Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg...
Transcript of Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg...
![Page 1: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/1.jpg)
Biophysik der Moleküle!!"#$%&'()*+,#-./'(#2343!
!"#$%&'#()*+))
,"-'./")#$%'&()
15. Nov. 2010
![Page 2: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/2.jpg)
Motivation:
Experiment shows characteristic saw-tooth profile Each increase is assumed to be associated with
stretching a flexible chain
![Page 3: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/3.jpg)
Techniques to measure
force-extension curves
AFM
Optical
trap
Magnetic
tweezers
Biomembrane
Force Probe
![Page 4: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/4.jpg)
56(#7+/89*87+/#:;)<=+/)>(&<(6'*+,#?@AB##
6)<#,=*C>(&<(6'<#D6<#E*=/&=F)GH(D#I6J('K(&<#L#
=#
0r!
Nr!
!
! R =! r N"! r 0
= b! n
i
i= 0
N
#
M7+/89*87+/#:;)<=+/N#
!
R2
= Na2
O*P=''QP=/#D6<#R#1GH&6J(+#
Polymere : Eine Einführung
!
! R = 0
56(#6/(='(S#T(U6;'(#V(J(##
6)<#(6+#O*P='')QP=/#
!
P(R,N) =3
2"Na2#
$ %
&
' (
3 2
exp )3
2
R2
Na2
#
$
% %
&
'
( (
![Page 5: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/5.jpg)
Die Entropie-Feder
!
! f = 3kBT
R
R2
A#
P#!
T > T0
!
S = kBln P R( )[ ]
!
f ="G(R)
"R= T
"S P(R)( )"R
-WGX<&(6;(+/(#V&=YL#
V%+P%&D=F%+)(+<&%Q6(L#
![Page 6: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/6.jpg)
Gummielastizität: Eine Folge der Quervernetzung
$7-1Z[\#]*DD6('=)F96<.<#
^(/(#I=)GH(#<&.,<#(<K=#/6(#<H(&D6)GH(#7+(&,6(#X_`#;(6S#*+/#/(&#I%/*'#]#'.))<#
)6GH#/*&GH#]#a#+#X_`#=;)GH.<9(+S#K%;(6#+#/6(#:+9=H'#/(&#I=)GH(+#Q&%#$%'*D(+#
6)<"#
?%'bD(&+(<9(#H=;(+#(6+(+#(+<&%Q6(8('=)F)GH(+#[H=&=X<(&"#56()(&#/&WGX<#)6GH#
/*&GH#/6(#*+,(KcH+'6GH(#?&%Q%&F%+='6<.<#/()#1GH(&D%/*')#9*#/(&#
(̀DQ(&=<*&#=*)"#
![Page 7: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/8.jpg)
Zustandssummen verbinden mikroskopische
Konfigurationen mit makroskopischen Größen !
w l{ }!
" #
$
% & =1
Z' e
(E l{ }( )kTWahrscheinlichkeit, den Zustand!
vorzufinden!
l{ }
b = ! ! ! w l{ }( )"" ! b l{ }( ) d l{ }Mittelwertberechnung!
Z = ! ! ! e"E l{ }( )kT## d l{ }Zustandssumme!
{l}={l1,l2,...,lN}!
Zusammenhang mit der freien Enthalpie! G = !kBT ln Z( )
'4#
'2#
'R#16(H(#?dd#*+/#`e#
![Page 9: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/9.jpg)
li
= l
sin(!i) cos("
i)
sin(!i)sin("
i)
cos(!i)
#
$
%
%
&
'
(
(
Z = 4!( )N
Z = ! ! !"" sin(#1 ) ! ... !sin(#N)d#1...d#N
d$1...d$ NOBdA:! E( l{ })= 0
r2 = ! ! !
1
Z"" ! l i#( )2 d l{ } = ! ! !1
Z"" ! l i2 + l il ji$ j##( ) d l{ }
r2
= N ! l2
Polarkoordinaten!
Beispiel Freie Kette!
![Page 10: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/10.jpg)
Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls !
Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für
das Integral zu finden (Grenzen tückisch). !
F = !k "T# ln(Z
r)
#r
Weg 1: Ausdehnung r vorgegeben, Kraft berechnen!
Weg 2: Kraft F vorgegeben, Ausdehnung berechnen!
Damit sind wieder alle Konfigurationen möglich (keine
komplizierten Integrationsgrenzen). Aber: Die Energien der
Konfigurationen sind nicht mehr gleich.!
r!
E = !F " r
Zr= ! !
li=r"! e
#E l{ }( )kT$$ d l{ }
'4#
'2# 'R#
![Page 11: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/11.jpg)
ZF= ! ! ! e
F!r
kT"" d l{ } li
= l
sin(!i) cos("
i)
sin(!i)sin("
i)
cos(!i)
#
$
%
%
&
'
(
(
!
r = kT" lnZ
F
"F= kT # # #
1
ZF
#r
kT# e
F #r
kT$$ d l{ }
OBdA: F zeige in z-Richtung!
ZF= ! ! ! e
F!l
k !Tcos("1 )+...+cos(" N
)[ ]
## sin("1) ! ... ! sin(" N)d"1...d"N
d$1...d$N
= e
F !l
k !Tcos("
i)
sin("i)d"
id#i
0
$
%0
2$
%i
&
![Page 12: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/12.jpg)
x = cos(!i), dx = "sin(!
i)d!
i
ZF= e
F !l
k!Tcos("
i)
sin("i)d"
id#i
0
$
%0
2$
%i
&
ZF= !e
F "l
k"Tx
dxid#
i
1
!1
$0
2%
$i
& = e
F "l
k"Tx
dxid#
i
!1
1
$0
2%
$i
&
= 2! e
F "l
k "Tx
dxi
#1
1
$i
%
= 4!k "T
F " lsinh
F " l
k "T
#
$ %
&
' (
)
* +
,
- . N
r = kT! lnZ
F
!F= N ! kT !
" ln 4#k !T
F ! lsinh
F ! l
k !T
$
% &
'
( )
*
+ ,
-
. /
"F
= NkT !
"4#kT
F2lsinh
F ! l
k !T
$
% &
'
( ) + 4#
1
Fcosh
F ! l
k !T
$
% &
'
( )
4#kT
Flsinh
F ! l
k !T
$
% &
'
( )
= N ! l cothF ! l
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
F ! l
)
* +
,
- . = NkT !
1
F+
l
kTcoth
F " l
k "T
#
$ %
&
' (
)
* +
,
- .
!
= 2"k #T
F # le
F # l
k#T $ e$F # l
k#T%
& '
(
) *
+
, - -
.
/ 0 0
N
![Page 13: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/13.jpg)
Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls !
r = N ! l cothF ! l
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
F ! l
)
* +
,
- . =:N ! l !L
F ! l
k !T
)
* +
,
- .
Die Polymerelastizität ist ein einfaches Beispiel für eine tiefliegende Analogie
zwischen Polymerphysik und Magnetismus (de Gennes).!
M = N !µ cothB !µ
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
B !µ
)
* + +
,
- . . Langevin Paramagnetismus!
mit L x( ) ! coth x[ ] "1
x
Langevinfunktion!
![Page 14: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/14.jpg)
Diese Umkehrung ist eine Näherung für
große N, wenn Fluktuationen keine
Bedeutung mehr haben.!
Für kleine Kräfte:! coth( x) !1
x+x
3
r ! N "l "l "F
3kTHooke’sches Gesetz!
F =kT
lL!1 r
N " l
#
$ %
&
' (
r = N ! l cothF ! l
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
F ! l
)
* +
,
- . =:N ! l !L
F ! l
k !T
"
# $
%
& '
F !3kT " r
N "l2
Für kleine Ausdehnungen:! Gummielastizität!
1000!
800!
600!
400!
200!
0!80!60!40!20!
Kra
ft!
Ausdehnung!
60!
40!
20!
0!
80!60!40!20!
Kra
ft!
Ausdehnung!
![Page 15: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/15.jpg)
Limitations of the Freely-Jointed Chain Model!
![Page 16: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/16.jpg)
s!
!(0)!
!(")#
Ein Maß für die Steifigkeit eines Polymers ist die Persistenzlänge Lp, die angibt, ab
welcher Länge s=Lp die Orientierung !(0) und !(") nicht mehr korreliert sind.!
Ein Maß für die Korrelation der Orientierung ist folgender Mittelwert:!
Das Worm-Like-Chain Modell für semiflexible Polymere!
!
C" (s) =! t s( ) #
! t 0( ) = exp $s L
P( )
!
C" (s) = cos " (s) #" (0)( ) = cos " (s)( ) =! t s( ) $
! t 0( )
!
! t s( )
!
! t 0( )
![Page 17: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/17.jpg)
Der End-zu-End Abstand im WLC-Modell!
= t(s)0
L
! " ds
#
$ % %
&
' ( (
t( ) s )0
L
! " d ) s
#
$ % %
&
' ( (
= t(s)0
L
! " t( # s ) " ds " d # s
0
L
!
s
! t ds
! r
= 2 ! t(s)" s =s
L
# ! t( " s ) ! ds ! d " s
s=0
L
# = 2 ! cos " ( # s )$" (s)[ ]# s =s
L
% ! ds ! d # s
s=0
L
%
= 2 ! e"
# s "s
Lp
# s =s
L
$ ! d # s ! dss=0
L
$ = 2 !Lp2
e"L
Lp "1+L
Lp
#
$
% %
&
'
( (
Vergleich mit FJC! Beide Modelle führen zum selben
mittleren End-zu-End Abstand,
wenn als effektive Kuhnlänge "
des WLC definiert wird:!
l1l2
l3
!
R2
!
R2
= bK
2N = b
KL
!
bK
= 2LP
!
"2 # L # LP für L >> LP
L2
für L << LP
$ % &
![Page 18: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/18.jpg)
The force extension relation of FJC and WLC!
F
k TB
Freely Jointed Chain!
F
k TB
F(x)=kT
p1
4(1-x/L)
1
4
x
L( )+-
2
Worm Like Chain !
![Page 19: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/19.jpg)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
dsDNAFJCWLC interpolatedWLC exactHooke's law
10
-11
Extension (x/L)
Forc
e (p
N)
Current Opinion in Structural Biology
100
10
1
0.1
0.01
f%&G(#(U<(+)6%+#G*&>(#%P#/)5R:#
![Page 20: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/20.jpg)
Unfolding 4 and 8 Segment Long Recombinant Titin IgFragments!
M. Rief, M. Gautel, F. Oesterhelt, J. M. Fernandez and H. E. Gaub, Science (1997),Vol 276 , p 1109-!
250 pN!
250 pN!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
E!xtension (nm)!
E!xtension (nm)!
Fo
rce!
Fo
rce!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
0! 50! 100! 150! 200!
E!xtension (nm)!
E!xtension (nm)!
600!
400!
200!
0!
-200!
600!
400!
200!
0!
-200!
800!
Fo
rce
(pN
)!F
orc
e (p
N)!
![Page 21: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/21.jpg)
200!
0!
400!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
Extension (nm)!
48! 74! 99! 123! 147! 171! 195!L!(nm)!
Fo
rce (
pN
)!
p= 3Å !
Unfolded Ig 8mer as a Worm Like Chain !
F(x)=! kT!
p!
1!
4(1-x/!L!)!
1!
4!
x!
L!(! )!+!-!2!
![Page 22: Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022040700/5d5617a588c993aa308b4ed2/html5/thumbnails/22.jpg)
{l}={l1,l2,...,lN}!
Das Freely-Jointed-
Chain Modell !
l2
= N ! l
s!
!(0)!
!(")#
Ein Maß für die Steifigkeit eines Polymers ist die
Persistenzlänge Lp, die angibt, ab welcher Länge s=Lp die
Orientierung !(0) und !(") nicht mehr korreliert sind.!
Das Worm-Like-
Chain Modell für
semiflexible
Polymere!
l= 2 !Lp
'g#
M_'%;)N#
?H6'#?6+G*)#
5(](++()#
!
= N ' l'