Binomial

1

DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE

PROBABILIDAD DISCRETASPROBABILIDAD DISCRETAS Ing. Manuel García Pantigozo

2006 - II

2

Objetivos de AprendizajeDefinir una distribución de probabilidad.

Distinguir entre distribución de probabilidad discreta y continua.

Calcular la media, la variancia y la desviación estandar de una distribución de probabilidades.

Elaborar una Distribución Binomial, una Distribución Hipergeomátrica y una Distribución de Poisson.

Determinar que tipo de Distribución de Poprobabilidad sera empledad en una situacion dada.

3

Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas.

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS

NÚMEROS DE CARAS PROBABILIDAD DE LOS RESULTADOS

0 1/8 = 0.125

1 3/8 = 0.375

2 3/8 = 0.375

3 1/8 = 0.125

Total 8/8 = 1

Características de una distribución probabilística: La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1. La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre es 1.

4

Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.EJEMPLO 1: considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz. El espacio muestral para este experimento será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0, 1, 2, 3,El resultado será: “cero caras” ocurrió una vez, “una cara” ocurrió tres veces, “dos caras” ocurrió tres veces y “tres caras” ocurrió una vez.De la definición de variable aleatoria, la X definida en este experimento, es una variable aleatoria.

VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIA

5

Una variable aleatoria discreta es

una variable que puede tomar sólo

ciertos valores diferentes que son

el resultado de la cuenta de alguna

característica de interés.

EJEMPLO 2: sea X el número de

caras obtenidas al lanzar 3 veces

una moneda. Aquí los valores de X

son x = 0, 1, 2, 3

VARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLE ALEATORIA DISCRETA

6

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (V. DISCRETAS)

• Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad.

• Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.

• Ejemplo– Número de caras al lanzar 3

monedas. 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3

7

Si se mide algo, como el tamaño de

una pieza metálica, se dice que es

una variable aleatoria continua.

Puede tomar una cantidad infinita de

valores dentro de ciertas limitaciones.

EJEMPLO 3: La presión de un

neumático en (lb/pulg2) podría ser

28.0, 28.6, 28.62, 28.624 y así

sucesivamente, dependiendo de la

exactitud del medidor.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUAVARIABLE ALEATORIA CONTINUAVARIABLE ALEATORIA CONTINUAVARIABLE ALEATORIA CONTINUA

8

• Definición

– Es una función no negativa de integral 1.

• Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables continuas.

• ¿Para qué lo voy a usar?

– Nunca lo vas a usar directamente.

– Sus valores no representan probabilidades.

FUNCIÓN DE DENSIDAD (V. CONTINUA)

9

¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCION DENSIDAD?

• Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.

• La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.

• Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.

10

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

• Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales.

• Piénsalo como la generalización de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

• A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero.– A los valores extremadamente altos les

corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno.

– Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “p-valor”, significación,…

11

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

• Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales.

• Piénsalo como la generalización de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

• A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero.– A los valores extremadamente altos les

corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno.

– Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “p-valor”, significación,…

12

¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN?

• Contrastar lo anómalo de una observación concreta.

• Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de distribución en 210 es muy alta.

• Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala” porque la función de distribución es muy baja para 140cm.

• Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5.

13

¿PARA QUÉ SIRVE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN?

• Relaciónalo con la idea de cuantil.

• En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en conjunto con respecto a una hipótesis de terminada.

– Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hipótesis.

14

La media o esperanza matemática es una medida de localización, que indica el valor alrededor del cual fluctúa la variable aleatoria; si ésta es continua, la media se define como:

MEDIA DE UNA DISTRIBUCION MEDIA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICAPROBABILISTICA

MEDIA DE UNA DISTRIBUCION MEDIA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICAPROBABILISTICA

µ = E(X) = Σ[x*P(X)]

15

La variancia describe el grado de dispersión en una distribución.

VARIANCIA DE UNA DISTRIBUCION VARIANCIA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICAPROBABILISTICA

VARIANCIA DE UNA DISTRIBUCION VARIANCIA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICAPROBABILISTICA

σ2

= E(X) = Σ[(X - µ)2

*P(X)]

16

Una persona vende autos nuevos para una empresa. Generalmente negocia el mayor numero de autos los sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el numero de autos que espera vender en un sábado en particular.

EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1EJERCICIO 1

NÚMEROS DE AUTOS VENDIDOS X PROBABILIDAD P(X)0 0.10 1 0.202 0.303 0.304 010

Total 1.00

1. ¿Qué tipo de distribución es esta? 2. En un sábado común, ¿Cuántos autos desea vender? 3. ¿Cuál es la variancia de la distribución?

17

1. Es una distribución de probabilidad discreta (las respuestas

son mutuamente excluyentes).

2. El numero medio de autos vendidos:

µ = Σ[x*P(X)]=0(0.1) +1(0.2)+ 2(0.3)+ 3(0.3)+4(0.1)=2.1

EJERCICIO 01 (continuación)EJERCICIO 01 (continuación)EJERCICIO 01 (continuación)EJERCICIO 01 (continuación)

NÚMEROS DE AUTOS VENDIDOS X

PROBABILIDAD P(X)

X.P(X)

0 0.10 0.001 0.20 0.202 0.30 0.603 0.30 0.904 010 0.40

Total 1.00 2.10

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EJERCICIO 01 (continuación)EJERCICIO 01 (continuación)EJERCICIO 01 (continuación)EJERCICIO 01 (continuación)NÚMEROS DE AUTOS VENDIDOS X PROBABILIDAD (PX) X.P(X)

0 0.10 0.00

1 0.20 0.202 0.30 0.60

3 0.30 0.904 010 0.40

Total 1.00 E(X) =2.10

NÚMEROS DE AUTOS VENDIDOS X

PROBABILIDAD P(X)

(X - µ) (X - µ)2 (X - µ)2. P(X)

0 0.10 0 – 2.1 4.41 0.441

1 0.20 1 – 2.1 1.21 0.242

2 0.30 2 - 2.1 0.01 0.003

3 0.30 3 – 2.1 0.81 0.243

4 010 4 – 2.1 3.61 0.361

Total 1.00σ

2= 1.290

σ= 1.136

3. De nuevo es util una tabla para sistematizar los cálculos para la variancia. Su

valor es 1.290

19

Autoexamen 6-2

Una empresa ofrece tres tamaños de un refresco (pequeño, mediano y grande) como complemento de pizzas. Las bebidas se venden a 50, 75 y 90 centavos de dólar respectivamente. De los pedidos, 30% son para el tamaño pequeño, 50% para el mediano y 20% para el grande.

1.¿Es esta una distribución probabilística discreta? Indique porque si o porque no. 2. Calcule la cantidad media cobrada por el refresco. 3.¿Cual es la variancia del cobro por la bebida? ¿la

desviación estándar? Solución 1. Si, la suma de probabilidades es igual a 1.

20

Autoexamen 6-2 (continua) Solución 2. Cantidad media cobrada por el refresco.

X P(x) xP(x)

50 0.30 15.0075 0.50 37.50

90 0.20 18.00

70.50Solución 3:

X P(x) (X - µ) (X - µ)*(X - µ)*P(x)

50 0.30 -20.5 126.075

75 0.50 4.5 10.12590 0.20 19.5 76.05

VARIANCIA212.25

DESVIACION 14.57

22

1ERA CARACTERISTICA:• Se ocupa de experimentos en donde cada resultado puede tomar

solo una de dos formas.• La respuesta de una pregunta del tipo verdadero-falso.• Cada resultado es mutuamente excluyente (esto quiere decir que la

respuesta no puede ser verdadero y falso al mismo tiempo).• También puede ser denotado como éxito y fracaso.

DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIALDISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIALDISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIALDISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL

• EJEMPLO DE EXPERIMENTOS:• Experimento: seleccionar juguete de una línea de producción• Resultado: • El juguete funciona (éxito)• El juguete no funciona (fracaso)• Experimento: preguntar a un consumidor si le gusta la coca cola• Resultado: • Le gusta la coca cola (éxito)• No le gusta la coca cola(fracaso)

23

2DA CARACTERISTICA:• Los datos recopilados son resultado de conteos. Es por esta razón

que la distribución binomial se clasifica como discreta.


• Ejemplo:• La probabilidad de que se adivine la primera pregunta de una

prueba de verdadero o falso en forma correcta (éxito) es 0.5;la probabilidad de adivinar la segunda pregunta (segundo ensayo) también es 0.5; la probabilidad de éxito en el tercer ensayo es 0.5, y asi sucesivamente.

• La probabilidad de que salga 6 al lanzar un dado es 1/6;la probabilidad de que sal 6 de nuevo (segundo ensayo) también es 1/6; la probabilidad de éxito en el tercer ensayo es 0.5, y asi sucesivamente.

3RA CARACTERISTICA:• Que la probabilidad de un éxito permanece igual de un ensayo a

otro.

24

4TA CARACTERISTICA:• Es que un ensayo es independiente de otro. No existe un patrón

rítmico con respecto a los resultados.


Para elaborar una distribución binomial, sean el número de ensayosx el número de éxitos observadosp la probabilidad de éxito en cada ensayo

La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:

25


Para elaborar una distribución binomial, sean el número de ensayosr el número de éxitos observadosp la probabilidad de éxito en cada ensayo

q la probabilidad de fracaso, que se obtiene por 1- p.

Pr = n!

r!(n – r)!

(p)r(q)n-r

26

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Función de probabilidad

– Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

• Media: μ =n p

• Varianza: σ2 = n p q

nkqpk

nkXP knk

0 ,][

27

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

P(r) =

n!

r!(n – r)!prqn-r

• n: numero de ensayos• r: es el numero de éxitos observados• p: probabilidad de éxito• q: probabilidad de fracaso

32

• Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:– En cada prueba del experimento sólo son posibles dos

resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso). – El resultado obtenido en cada prueba es independiente de

los resultados obtenidos anteriormente. – La probabilidad del suceso A es constante, la representamos

por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .

– El experimento consta de un número n de pruebas. • Todo experimento que tenga estas características

diremos que sigue el modelo de la Distribución Distribución BinomialBinomial.. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos Variable Aleatoria Binomial.Variable Aleatoria Binomial.

33

• La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).

• La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

34

Parámetros de la Distribución BinomialParámetros de la Distribución Binomial

Función de Función de DistribuciónDistribución de la v.a. Binomial de la v.a. Binomial

35

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente

a una distribución binomial.

36

Ejemplo 1: Ejemplo 1: Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros

B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(r=1).

37

• Ejemplo 2Ejemplo 2: : La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:

• a)Ninguno sufra la enfermedadb)Todos sufran la enfermedadc)Dos de ellos contraigan la enfermedad

• Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

38

• Ejemplo 3:Ejemplo 3: La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000b) La varianza y la desviación típica.Solución :

39

• Ejemplo 4Ejemplo 4: : Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.

r = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanosr = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humanop = p (éxito) = p (un accidente se deba a errores humanos) = 0.75q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

Solución a)

40

P(r) = 5!

2!(5 – 2)!(0.752)(0.255-2) = 0.08789

P(r) = 5!

0!(5 – 0)!(0.750)(0.255-0) +

5!

1!(5 – 1)!(0.751)(0.255-1) = 0.015624

Solución a)

Solución b)

41

En este caso cambiaremos el valor de p;n =5r = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humanor = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanosp = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

Solución c)

P(r) = 5!

3!(5 – 3)!(0.753)(0.255-3) = 0.08789

42

• Ejemplo 5:Ejemplo 5: Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

n =12r = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensar = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensap =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60

Solución a)

43

P(r) =12!

4!(12 – 4)!(0.404)(0.6012-4) = 0.21284

P(r)= 1 -12!

0!(12 – 0)!(0.750)(0.2512-0) +

12!

2!(12 – 2)!(0.752)(0.2512-2) = 0.91656

Solución a)

Solución b)

p(r=3,4,..,12,n=12,p=0.4)=p(r=3)+p(r=4)+.+p(r=12)=1-p(r=0,1,2)=

12!

1!(12 – 1)!

(0.751)(0.2512-1) +

44

Solución c)

P(r) =12!

5!(12 – 5)!(0.405)(0.6012-5) = 0.22703

45

• Ejemplo 6:Ejemplo 6: La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d) encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

n =10r =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB.

Solución a)

46

r = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dBp = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85

Solución a)

P(r) =10!

5!(10 – 5)!(0.155)(0.8510-5) = 0.00849

47

P(r)= 1-10!

0!(10 – 0)!(0.150)(0.8510-0) +

0.455705

Solución b)

10!

1!(10 – 1)!

(0.151)(0.8510-1)

p(r=2,3,4,5,6,7,8,9,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) =

P(r) =

Solución c)

n=10r= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2 dBr= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dBp = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15

48

P(r)= 10!

4!(10 – 4)!(0.854)(0.1510-4) +

10!

6!(10 – 6)!(0.856)(0.1510-6) = 0.013748970.01374897

Solución c)

10!

5!(10 – 5)!

(0.855)(0.1510-5) +

n=10, p=0.15, q=1-p=0.85Solución d)

µ = np = (10)(0.15) = 1.5 = 2 amplificadores

50

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

• También se denomina de sucesos raros.• Se obtiene como aproximación de una distribución

binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n>30) y ‘p pequeño’ (p<0,1).

• Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza.)

• Función de probabilidad:

,...2,1,0 ,!

][ kk

ekXPk

51

EJEMPLOS DE VARIABLES DE POISSON

• El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el servicio de urgencias del hospital clínico universitario.– En Málaga hay 500.000 habitantes(n grande)– La probabilidad de que cualquier persona tenga un

accidente es pequeña, pero no nula. Supongamos que es 1/10.000

– Bin (n=500.000,p=1/10.000)≈ Poisson(μ=np=50)

52

EJEMPLOS DE VARIABLES DE POISSON

• Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de traumatología de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero creemos que aún demasiados, enfermos con secuelas tras la intervención). Es dificil compararlos pues cada hospital atiende poblaciones de tamaños diferentes (ciudades, pueblos,…)– Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes

atendidos o nº individuos de la población que cubre el hospital.

– Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con respecto al total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la población,…

– Se puede modelar mediante Poisson(μ=np)

53

CARACTERÍSTICAS DE POISSON

• En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:

• # de defectos de una tela por m2• # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora,

minuto, etc, etc.• # de bacterias por cm2 de cultivo• # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora,

minuto, etc, etc.• # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes,

etc, etc.• Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos

por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

54

CARACTERÍSTICAS DE POISSON

P(x)=

µx

X!eµ

55

Ejercicio 1:Ejercicio 1: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por

día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución: a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc.

µ = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

P(x)=

µx

X!eµ

=

64

4!e6= 0.13392

56

• x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc.

• µ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

• Nota: µ siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

Solución: b)

P(x)=

µx

X!eµ=

1210

10!e12= 0.104953

57

Ejercicio 2:Ejercicio 2:

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

µ = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

P(x)=

µx

X!eµ

=

0.61

1!e0.6= 0.329307

58

x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc.

µ = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata.

Solución: b)

P(x)= 1 - 11

1!e1= 0.26416

10

0!e1+

59

x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

µ= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

Solución: c)

P(x)= 1 - 31

1!e3= 0.1992106

30

0!e3+

60

Ejercicio 3Ejercicio 3: Cierta enfermedad tiene una probabilidad de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad.

• Si consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo que

X->B (n=500000,p=1/100000) ->X ->Poi(λ=5)• Así el número esperado de personas que padecen la

enfermedad es E [X] = 5E [X] = 5 .Como Var [X] = 5Var [X] = 5 ,existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas enfermas es:

Solución :Solución :

61

• P [X>3] = 1 – P[ X P [X>3] = 1 – P[ X ≤≤ 3 ] 3 ]

• P [X>3] = 1 – P[ X = 0] - P[X=1] - P[ X P [X>3] = 1 – P[ X = 0] - P[X=1] - P[ X == 2 ] - P[ X = 3 ] 2 ] - P[ X = 3 ]

• P [X>3] = 1 - eP [X>3] = 1 - e-5*0-5*0 – e – e-5*1-5*1 - e - e-5*2-5*2 – e – e-5*3-5*3

• P [X>3] = 0,735P [X>3] = 0,735

0! 1! 2! 3!

Solución : Solución : (continua)

62

Ejercicio 4Ejercicio 4: El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de m = 43.2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del hospital? .

• Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución P(43.2). La probabilidad solicitada es


Pr(X>50) = 1 – Pr(X≤50) = 1 – F(50)

Pr(X>50) = 0.1343 0.1343

63

Ejercicio 5Ejercicio 5: Un equipo tiene dos componentes: A y B. El componente A se rompe, en promedio, cada 400hs; el componente B, cada 600hs. El equipo deja de funcionar cuando se rompe cualquiera de esos dos componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que ese equipo funcione por

menos de 800hs?

• Sea XXAA la cantidad de tiempo que funciona la máquina A, con

distribución exponencial negativa y λA=1/400 y XXBB la cantidad de tiempo que funciona la máquina B, con distribución

exponencial negativa y λB=1/600 . De aquí en adelante, podemos resolver el problema de al menos dos maneras:


64

Opción a:Opción a: La probabilidad de que el sistema dure menos de 800hs es P((XA<800)) U (XB . Esto se debe a que el sistema trabaja “en serie“. Las dos situaciones NO son disjuntas, por lo que la unión debe expresarse como la suma de la probabilidad de cada una, menos la intersección (como son independientes, la

intersección se calcula como el producto). Opción b:Opción b: Como la duración del equipo viene dada por la del componente que se rompa primero, la distribución de su duración es la del mínimo entre . La probabilidad de que se rompa antes de las 800hs sería integrar eso entre 0 y 800. Al buscar la fórmula para obtener la distribución del mínimo, tener en cuenta que son dos variables independientes con distinta tasa de falla.

El resultado final es 0,9643.El resultado final es 0,9643.

65

Ejercicio 6Ejercicio 6: Unas galletitas tienen pedacitos de chocolate blanco y pedacitos de chocolate negro. Los pedacitos negros tienen una distribución de Poisson, con una media de 4 pedacitos/galleta; los blancos también tienen una distribución de Poisson pero la media es de 3 pedacitos/galleta. Un paquete de estas galletitas trae 8 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en el mismo paquete haya al menos 2 galletitas sin ningún

pedacito de chocolate?

•Se puede considerar un proceso Bernoulli el agarrar una galletita y comprobar si tiene algún copito o no.La p de que no tenga copitos es la P de que no tenga blancos Y no tenga negros. Son independientes, así que esa intersección es el producto de ambas probabilidades . Otra opción es considerar una variable que represente el total de copitos ( ); su distribución también será de Poisson y su media será la suma de las media.


66

• En este caso,• El número de veces que se lleva a cabo el experimento es 8 (n=8). Como piden que AL MENOS 2 no tengan copitos, conviene sacar la P de que ninguna tenga copitos y la de que 1 no tenga copitos, sumarlas, y restarlas a 1.


Resultado: 5,44x10-5

67

Ejercicio 7Ejercicio 7: El numero de llamadas que llegan a cierta Central Telefónica en determinado periodo de tiempo sigue un proceso de Poisson de tasa 180 llamadas la hora. La capacidad de la Central Telefónica permite atender un máximo de 5 llamadas por minuto. Calcular:a) La probabilidad de que en un minuto determinado se reciban mas llamadas de las que se pueden atender.b) La probabilidad de que en un intervalo de 5 minutos se produzcan mas de 10 llamadas.c) La probabilidad de que en 2 minutos se produzcan exactamente 4 llamadas.d) El número medio de minutos por hora en que la Central Telefónica podrá atender todas las llamadas recibidas.e) La probabilidad de que no se produzca saturación en ningún minuto a lo largo de una hora.


69

Se aplica al muestreo sin reposición de una población finita, cuyos elementos pueden ser clasificados en dos categorías:Defectuosos (S) y no defectuosos (N-S).

N - S S

70

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

• N Tamaño de la población• S Número de éxitos en la población • r Número de éxitos que interesan (0,1,2,3,...)• n Tamaño de la muestra• C Símbolo de la combinación

Pr =(sCr)*(N-SCn-r)

(NCn)

71

ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA

µ = E(X) = n*S

N

VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA

σ2= E[(X - µ)2]

72

Ejemplo 1:

Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50). Operaron sin problemas 40 (S=40) y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5). Utilizando la fórmula hipergeométrica ¿Cuál es la probabilidad que cuatro (r=4) de los cinco operarán sin problemas? (Observar que se hace sin reposición y que el tamaño de muestra de 5 es de 10% de la población. Esto es mayor que la condición de 5%).

73

Solución: • N = 50• S = 40 • r = 4• n = 5

Pr =(40C4)*(50-40C5-4)

(50C5)= 0.431

NÚMERO QUE FUNCIONÓ CORRECTAMENTE PROBABILIDAD

0 0.000

1 0.004

2 0.044

3 0.210

4 0.431

5 0.311

74

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

1 2 3 4 5 6x

P

75

Ejercicio 2: Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs

(N=50). Operaron sin problemas 40 (S=40) y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5). Utilizando la fórmula hipergeométrica ¿Cuál es la probabilidad que cuatro (r=3) de los cinco operarán sin problemas? (Observar que se hace sin reposición y que el tamaño de muestra de 5 es de 10% de la población. Esto es mayor que la condición de 5%).

Solución: • N=50;S= 40;r= 3; n = 5

Pr =(40C3)*(50-40C5-3)

(50C5)= 0.210

76

Ejercicio 3:

Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido se habían enviado tres aparatos defectuosos.

Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los dos este defectuoso?

77

Solución: • N = 10• S = 7 • r = 2• n = 2

Pr =(7C2)*(10-7C2-2)

(10C2)= 0.466667


0 0.0666667

1 0.466667

2 0.466667

78

Ejercicio 4:

• Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

•

79

Solución: • N = 10• S = 3 • r = 4• n = 2

Pr =(3C2)*(10-3C4-2)

(10C4)= 0.30


0 0.166667

1 0.500000

2 0.300000

80

Ejercicio 5 : Para evitar que lo descubran en la aduana,

un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

81

Solución: • N = 15; S = 6 ; r = 1,2,3; n = 3

a)

Pr =(6C1)*(15-6C6-1)+

(15C3)

(6C2)*(15-6C6-2)+ (6C3)*(15-6C6-3)


0 0.1846151 0.4747252 0.2967033 0.043956

0.815384

SUMAMOS Y……

b) Pr =(6C0)*(15-6C3-0)

(15C3)= 0.184615

82

Ejercicio 6: De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y

se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

Solución: • N = 10; S= 7 ; r = 4 ;n = 4

a)

Pr =(35)*(1)

(210)=0.16667

83

b)

= 0.333333

Pr =(3C2)*(10-3C4-2)

(10C4)

(3C3)*(10-3C4-3)+

Pr =(3)*(21)

(210)

(1)*(7)+

Pr =63

210

7+

84

Ejercicio 7: a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

Solución: • N = 9;S = 4 ;r = 2;n = 5

a) Pr = (4Cr)*(9-4C5 - 2)(9C5)

= 0.47619

85

b) • N= 9; S = 4; r = 0,1 y 2; n = 5

Pr =(4C0)*(9-4C5-0) + (4C1)*(9-4C5-1) + (4C2)*(9-4C5- 2)

(9C5)


0 0.007931 0.158732 0.47619

0.64285

SUMAMOS Y……

86

Ejercicio 8: Una compañía manufacturera utiliza un

esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación?

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