BILINGUAL : µÿæS-34 : Part 34 ÓóQ¿æ-2d/ Issue - 2 RŒ^þ June'16...

Aµÿç�ÿ¯ÿ S~ç�ÿ ¯ÿç ÿç�ÿ÷æ 1

µÿæS-34 : Part 34 ÓóQ¿æ-2d/ Issue - 2 Rê^þ -2016/June'16

HÝçÉæ S~ç�ÿ ÓóÓ�ÿ

ABHINAB GANITA BICHITRABILINGUAL : \ßòbûhú

_Xÿòaû còZ : ù_û[ô MYòZ

Aµÿç�ÿ¯ÿ S~ç�ÿ ¯ÿç ÿç�ÿ÷æ2

Aµÿç�ÿ¯ÿ S~ç�ÿ ¯ÿç ÿç�ÿ÷æ÷LÿæÉLÿ : HÝçÉæ S~ç�ÿ ÓóÓ�ÿ, {Àÿ.�ÿó: 7203/202 - 1973-74

þëQ¿ Lÿæ¾ö¿æÁÿß - S~ç�ÿ ¯ÿçµÿæS, D�Áÿ ¯ÿçÉ´ ÿç�ÿ¿æÁÿß, ¯ÿæ~ê¯ÿçÜÿæÀÿ, µëÿ¯ÿ{�ÿÉ´ÀÿHÝçÉæ S~ç�ÿ ÓóÓ�ÿÀÿ LÿþöLÿ�ÿæö :Óµÿæ¨�ÿç : Wü. ZûeòYú PeY _�û, _âûq^ _âùìe aâjà_êe aògßaò\ýûkdD¨Óµÿæ¨�ÿç : Wü. @ld Kêcûe cjû«ò, _âûq^ @¤l, aýûi^Me KùfR

Wü. jûWÿòa§ê _�^ûdK, _âûq^ @¤l, ùg÷kaûkû cjòkû cjûaò\ýûkdiû]ûeY iµû\K : _âùìe ^kò^úKû« ùPø]êeú, @ûA.Rò. @ûA.Uò. ieûwþëQ¿ Lÿæ¾ö¿æÁÿß Óó¨æ�ÿLÿ : Wü. @îìdû ^û[, D�Áÿ ¯ÿçÉ´ ÿç�ÿ¿æÁÿß, µÿë ÿ{�ÿÉ´Àÿ¾ëS½ Óó¨æ�ÿLÿ : gâú aòùaKû^¦ ùR^û, aýûi^Me KùfR{LÿæÌæ�ä : xÿ�. ùRýûZò eõR^ ^ûdK, AæB.sçÿ.B.AæÀÿ, µëÿ¯ÿ{�ÿÉ´Àÿ{ä�ÿ÷ Óó{¾æfLÿ, HÝçÉæ : xÿ�.ÿ ÜÿæÝç ÿ¤ëÿ ¨t�ÿæßLÿ,(S~ç�ÿ Aàÿç çAæÝú) _âûq^ @¤l {ÉðÁÿ¯ÿæÁÿæ þÜÿçÁÿæ þÜÿæ¯ÿç�ÿ¿æÁÿß, LÿsLÿþëQ¿& Óó¨æ�ÿLÿ (JOMS) : ÷{üÿÓe eûc^ûeûdY cjû_ûZâ,

ùi�âûfþ ù äûeòWûÿ aògßaò\ýûkd, Ieþfýû�þ, ~êqeûÁâ @ûùceòKû ö¨Àÿç`ÿæÁÿ�ÿæ& Óó¨æ�ÿLÿ : ÷{üÿÓe iê\gð^ ^¦, KòUþ aògßaò\ýûkdÓó¨æ�ÿLÿ : É÷ê þ�ÿ�ÿ {þæÜÿ�ÿ þÜÿæ;ÿç, ÷æNÿ�ÿ D¨-Óó¨æ�ÿLÿ,(Aµÿç�ÿ¯ÿ S~ç�ÿ ¯ÿç ÿç�ÿ÷æ) þæ�þçLÿ Éçäæ ¨ÀÿçÌ�ÿ, LÿsLÿ¨Àÿç`ÿæÁÿ�ÿæ& Óó¨æ�ÿLÿ : É÷ê �ÿêÁÿæºÀÿ ¯ÿçÉ´æÁÿ, _âû¤û_K, S~ç�ÿ(Aµÿç�ÿ¯ÿ S~ç�ÿ ¯ÿç ÿç�ÿ÷æ) Kckû ù^ùjeê cjòkû þÜÿæ¯ÿç�ÿ¿æÁÿß, bêaù^gßeàÿç ç Óó{¾æf�ÿ : S÷æüúÿ F�úÿ S÷æüÿçOÿ, HÝçAæ ¯ÿfæÀÿ, LÿsLÿ, {þæ.9861157244þë�ÿ÷~ : fS�æ$ { ÷æ{ÓÓú, LÿsLÿ¯ÿç�ÿÀÿLÿ : 1. cû]a aêKþ ùÁûe, beZò@û UûIßûe, aû\ûcaûWÿò, KUK

2. G.ùK.^ûdK, _êeêYû aiþÁû�, bêaù^gße3. \ò aêKþ _G�, _VûYò iûc« _äûùÛûeò@cþ, @ûPû~ðýaòjûe, bêaù^gße

{¾æSæ{¾æS: �ÿêÁÿæºÀÿ ¯ÿçÉ´æÁÿ, G-101, aògûfþ ùeiòùW èò, gâúeûc ^Me, IfØ UûC þ,µëÿ¯ÿ{�ÿÉ´Àÿ - 751002, {üÿæ�úÿ : 9937948664

þíàÿ¿ : 20 sZÿæ E-Mail : [email protected]


ABHINAB GANITA BICHITRA

µÿæS-34 ÓóQ¿æ - 2d Rê^þ - 2016PART - 34 ISSUE - 2ND JUNE - 2016

HÝçÉæ S~ç�ÿ ÓóÓ�ÿ Aæ�ëÿLíÿàÿ¿{Àÿ ÷LÿæÉç�ÿ {�ÿ÷ðþæÓçLÿê (\ßòbûhú)QUARTERLY, PUBLISHED ON BEHALF OF ORISSA MATHEMATICAL SOCIETY (BILINGUAL)

Óó¨æ�ÿLÿ :þ�ÿ�ÿ {þæÜÿ�ÿ þÜÿæ;ÿç

÷æNÿ�ÿ D¨-Óó¨æ�ÿLÿþæ�þçLÿ Éçäæ ¨ÀÿçÌ�ÿ

LÿsLÿ

¨Àÿç`ÿæÁÿ�ÿæ Óó¨æ�ÿLÿ :�ÿêÁÿæºÀÿ ¯ÿçÉ´æÁÿ

÷æ�æ¨Lÿ, S~ç�ÿ(ùiaû òaé�)bêaù^gße

Óó¨æ�ÿ�ÿæ þ�Áÿê :

_âùìe iáZò cjû«ò_âùìe, @ûA.Rò.@ûA.Uò., ieûw

_âùìe aýûiù\a _ûYò_âûq^ @¤l,

ieKûeú ÊdõgûiòZ cjûaò\ýûkd, êfaûYú

_âùìe @ld Kêcûe ISû@ûA.@ûA.Uò., bêaù^gße

_âùìe cú^ùKZ^ cjû«òIWÿògû Kéhò aògßaò\ýûkd, bêaù^gße


Óí ÿê

Lÿ÷.�ÿó. ¯ÿçÌß ¯ÿçÀÿ`ÿ�ÿ õÏæ

1. Ó¸æ�ÿLÿêß c\^ ùcûj^ cjû«ò 5

2. ù_û[ô MYòZ - 1 ^úkû´e aògßûk 7

3. ù`WûY KêjêKù_Wÿò I iõLýû 1089 gêbâKû« iûjê 13

4. MYòZ I eûR^úZò (20) ùMûKêkû^¦ \ûi 15

5. a§êZß_ì�ð @ûdZùlZâ Aõ. cûdû]e ÊûAñ 17

6. 2015 _VûYò iûc« ùc]ûaé�ò _eúlû _âùgÜû�e (9c) 19

7. flý GK _[ @ù^K eûù] ùMû_ûk Lcûeú 40

8. Rene Descartes Dr. Devi Prasad Das 45

9. cêñ iõLýû KjêQò - 1 Ké¾ ùcûj^ cûjûYû 47

10. C�e : 19Uò Wò@ûiòfò KûVòe MYòZ Aõ. @û\òf cj¹\ 49

11. ùKûY I Gjûe aòbûMúKeY cû^i cògâ 52

12. iûõLòýK Z�ß aòcgðü (\g) iù«ûh Kêcûe _�û 54

13. _ûVK _âgÜe C�e _êUêf iûjê 56

16. _êÉK icúlû : MYòZ gòLû ùMûaò¦ P¦â aògßûk 58

====


iµû\Kúd.....IWÿògû MYòZ iõi\e \ûdòZß

IWÿògû MYòZ iõi\e eì_ûd^ [ôfû \òaõMZ MYòZm _âùìe gue _âiû\ cògâ cjûgdueÊ_Ü ö Gjò iõi\e _eòKÌ^û ùjûA[ôfû 1972 ciòjûùe I Gjûe gêbûe¸ ùjûA[ôfû ùijò ahðeMùYg PZê[úð \ò ö

Gjò iõi\e _eòKÌ^û cìkùe Zûue K�Y Cù�gý [ôfû, Zûjû ùKCñVò fò_òa¡ ùjûA ejòQòKò ^ûjó, cêñ RûùY ^ûjó ö cûZâ Gjò iõi\u ij ùcû�e aòMZ Pûeò \gKe iõ_éqòeê ùcûe ù~Cñ]ûeYû C_êRòQò, Zûjû cêñ KjêQò ö Gjû ùjCQò ùMûUòG c�, ù~CñVò IWÿògûe icÉ MYòZ gòlK(KcðeZ aû @aie _âû¯) GKZòâZ ùjûA Zûue cù^ûbûa _âKûg Keòaûe iêù~ûM ejòQò ö MYòZi´§úd aòhdaÉê Z[û MYòZ gòlûe aòKûg i´§úd @ûùfûP^û Keòaû iùw iùw ùijò @ûùfûP^ûeò~ðýûiaê iûKûe Keòaûe _\ùl_ \ò@û~ûA _ûeòùf, IWÿògû MYòZ iõi\e MZògúkZû @ êbìZ

ùja ö

aòhdaÉê aòKûg Keòaû fûMò @ûcKê MYòZ i´§úd MùahYûe aòbò Ü \òM òeì_Y Keòaû@ûagýK ö MYòZ i´§úd ùKCñ ùKCñ aòhdaÉê i´§ùe @]ôK MùahYû \ßûeû MYòZe @bòaé¡òNUòa I Gjò aòmû^ ~êMKê @ûjêeò @ûùMA ùÂ _ûeòa, ùi i´§ùe iõi\ Zeèê \òMþ\gðù\aû Gaõ MùahYûeZ gòlKcûûê iûjû~ý Keòaû MYòZ iõi\ue GK \ûdòZß ùjaû aòù]d ö

MYòZ gòlûe aòKûg ùlZâùe iõi\e flý K�Y ùjûA_ûùe ?

_â[c flý ùja, gòlûe aòbò Ü Éeùe gòlû\û^ \ò@û~ûC[ôaû _ûVýaÉê (Syllabus)e iê-_eòKÌ^û ö aòbò Ü Éee gòlû \ûdòZßùe [ôaû iõiÚûcû^ Zûue _ûVý-LiWÿû Z[û _ûVý_êÉK _âÉêZKe«ò ö ùi[ô_ûAñ _âùZýK iõiÚûue ùMûUòG Syllabus Committee [û�«ò ö ùi[ôùe jûZMYZû7/8 RY ibý[û�«ò ö ibý Pd^ ùjûA[û«ò iõiÚûu cêLýcûûe RYûgêYû cjfeê ö KßPòZþ cêLý,aòhdaÉêKê @û]ûeKeò ibý Pd^ Keò[û�«ò ö @ZúZùe ùi aòPûe ]ûeû [ôfû iõiÚû-cêLý cûûe ö


a�ðcû^ ùi @aiÚû ù\LôaûKê còkê ^ûjó ö ùijò_eò _ûVý_êÉK _âÉêZò ö ùi[ô_ûAñ c¤ iõiÚû-cêLýKûjûKê RûY«ò, Zûjû C_ùe @[aû ^ýÉ-Êû[ð KcðPûeúu _eûcgð C_ùe òbðe Kùe ùfLKPd^ ö

gòlû i´§úd Gjò \êAUò \òM_âZò iõiÚû-cêLýcûûe òÊû[ð cù^ûbûa ejê ^[ôaûe iìP^û@]ê û \éÁòKê @ûiêQò ö Gjû \ßûeû MYòZ gòlû aò_[Mûcú ùjCQò ö Gjûe Kê_âbûaùe gòKûe ùjCQ«òeûRýe flýflý QûZâQûZâú, ù~Cñcûù^ Kò @ûMûcú \ò ùe ùjùa G RûZòe ùceê\� ö

gòlû ùlZâùe ùgh _~ðýûd ùjCQò _eúlû ö bûeZe ùa÷\òK ~êMe gòlûùlZâùe Gjò _eúlûeiìP^û ejòQò ö @ûeêYò Zû�e gòlû MâjYùe _eúlû ù\A[ôfû, Pûh Rcòe jòWÿ bûwò ùlZeê ajò~ûC[ôaû_ûYòKê @UKûAaû _ûAñ ö MêeêKêk-gòlûe @«bêðq ^[ôfû ùKak bûhû, MYòZ, aòmû^ AZýû\ò ö ùigòlûe cêLý \òM[ôfû bf cYòh _âÉêZ Keòaû, ù~Cñ[ô fûMò @ûagýK ùjCQò �K�ðaý òÂû� öùlZeê ajò~ûC[ôaû _ûYòKê @UKûAaû _ûAñ @ûeêYò Zû�e C\ýcùe @KéZKû~ðý ùjaûeê ùi òùRùiVûùe ùgûA ejò jòWÿe bwû iÚû^Kê a¦ Keò[ôfû ö @ûC iKûùk ùiVûùe ùi @ùPZ @aiÚûùe_Wÿòejò[ôaûe ù\Lû~ûA[ôfû ö K�ðaý- òÂûe _eúlûùe ùi C�ú�ð ùjûA[ôfû i`kZûe ijòZ öZû�e K�ðaý òÂûe aòKûg ùlZâùe Mêeêue Z� jé\þùaû] ùjûA[ôfû ò½d, Zû�Vûeê @]ôKMêeêZß_ì�ð K[û ùjCQò, ùi gòlûMâjY ùlZâùe KéZKû~ðý ùjûAQò ùaûfò Zû�e jé\þùaû] ùjûA[ôfû ö

a�ðcûê _eúlû aýaiÚûùe @ald @ûiòQò ö GYê G \òMùe c¤ MYòZ iõi\e C\ýc ejòaû@ûagýK, MYòZ _eúlûe Xû�û Kò_eò ùjaû @ûagýK, Zûjûe _eòKÌ^û MYòZ _eòh\ue \ûdòZß_eòie c¤Kê @ûiò_ûeòùf, MYòZ gòlû ùlZâùe C ÜZò NU«û ùaûfò aògßûi Keû~ûG ö

iõi\ òR Zeèê G iµKðùe KòQò Kû~ðý Kùf, Zûjû `k_â\ ùjaûe i¸ûa^û ùKùZ,Kjòùja ^ûjó ö GYê @ûagýK ùjCQò gòlûcªú Z[û gòlû @]ôKûeúu ij @ûùfûP^û Keò GiµKðùe Zûue jé\þùaû] KeûAaû ö _âùZýK iõiÚû Zûue MYòZ-aòhde iòfûaiþ KcòUò I _ûVý_êÉKeP^û fûMò ùfLKc�kú iÚòe Kfûùaùk, IWÿògû MYòZ iõi\u \ßûeû ibý cù^û^d^ Keû«ê,Gjòbkò GK òù�ðg ieKûe ùicûûê \ò@«ê ö Zû�ùjùf, MYòZ-gòlû C_~êq \òMþ\gð _ûAa ö

c\^ ùcûj^ cjû«ò, iµû\K


ù_û[ò MYòZ (1)(G/112 – P14/15)

^úkûé aògßûk�ù_û[ò MYòZ� ùaûAùf, KûkKûkeê IWò@û ù_û[òùe MzòZ [òaû MYòZe @ûùfûP^û û @ûùc

A�eùÛþùe @ù^K MûYòZòK aò ýûi ù\Lò @ûùcû\òZ ùjCQê û Gjò aò ýûi @^ýKê ù\ùLA,aò ýûi MV^KûeúKê aù]A RYCQê û iû]ûeYZü Gjò aò ýûi MV^KûeúMY _û½ûZý ù\geùfûùK û cûZâ, Gjû Vûeê iê¦e I KVò aò ýûi ù~, @ûc ù\ge, @ûc eûRýe _ìað _êeêhcûûe@a\û^, ùiK[û @ûùc RûYò ê û _û½ûZý _�òZ MY @ûcVûeê C]ûe ùÂ aû ùPûùeA ùÂ @ûcKê@ûRò �cýû[þ cýûRòKþ� gòLCQ«ò û Kò«ê @ûùc !

]eû~ûC, ùÛþ (Internet) ùe C_f² ùMûUòG R^_âòd aò ýûi ùjCQò �1 x 1 = 1

11 x 11 = 1 2 1

111 x 111 = 12 3 21

1 111 x 111 1 = 12 343 21

11 111 x 111 11 = 123 454 321

111 111 x 111 111 = 123 456 54 321

1 111 111 x 111 111 1 = 123 456 7 654 321

11 111 111 x 111 111 11 = 123 456 787 654 321

111 111 111 x 111 111 111 = 123 456 789 876 543 21

- - - - - - - - - - - - - - - X - - - - - - - - - = - - - - - - - - - � - - - - - - - - - -

GjûVûeê KVò Gaõ @ûKhðYúd aò ýûi ù~, @ûc IWò@û ù_û[òùe MzòZ @Qò, GùaKûeIWò@û MYòZ aògûe\MYuê Zûjû jêGZ RYû^ûjó û ~ûjûKê RYû@Qò, ùi aWaW _ûVùe cûZò, G\òMùe ]ýû^ ù\A ^ûjû«ò û ù^ûjòùf, @MYòZ MYòZ IWò@û ù_û[ò _êe_fäúe ù_û[òMû\òùe NêYLûC^[û«û ! iõMâjûkd cûûùe Kòic Kòice ù_û[ò iûAZû ùjûA ejòQò û _ûVK I MùahKMY @^ý iaê ù_û[òe C_ù~ûM KeêQ«ò û cûZâ, gZû]òK IWò@û MYòZ ù_û[ò @_Peû _WòejòQò ûIWògû eûRý iõMâjûkd Zeèê @ù^K ù_û[ò Gùa ùÛþ (Internet) ùe MzòZ Keû~ûAQò û iaêù_û[òe MâûjK @Q«ò, ùjùf, IWò@û MYòZ ù_û[òe RùY aò MeûL RêUê ^ûjû«ò û


Gùa @ûC ùak ^ûjó û KeYú @leùe ùfLû ù_û[ò _Xòaû ùfûùK ceò-jRò MùfYò ûIWò@ûùe _âûKþ gûekû ~êMe bûhûùe fòLòZ @MYòZ ù_û[òe bûhû aêSòaû Gùa KûVòKe _ûV û LêaþKcþùe _Pûg ahð _êaðeê G \òMùe iùPZ^ ùjûA[òùf, Kûc ijR ùjûA[û«û � ù_û[ò _Xê@ûùfûKu @bûa ^[òfû � GùaZ� ùKûUòGùe ùMûUòG û Gùa ùijò Kûc KVò ùjûA_ûùe, cûZâ@i¸a êùjñ û

Gùa Gjò ùfLK KòQò ù_û[òe ^Kf eûRý iõMâjûkdeê iõMâj KeòQò û ùijò ù_û[òùKùZûUò c]ýeê iaêVûeê ùaû]Mcý ù_û[òeê ùMûUòG ijR MYòZ aûQò GVûùe @ûùfûP^û Keû~ûCQòû Cq ù_û[òe ùfLK RùY êùjñ û ùZYê ù_û[òùe ùfLKu ûc ûjó û ù_û[òUò M\ý I _\ý CbdKòicùe C_iÚû_òZ ùjûAQò û ù_û[òUòe bûhûeê @ êcû^ Keû~ûCQò, jêGZ Gjû @Áû\g @[aûD^aòõg gZû±úùe fòLòZ û MéjúZ MYòZUò _\ýûKûeùe 14-@leò@û \û�ò aé�ùe fòLòZ û _â[ùcMYòZUòKê aêSòaû û Zû_ùe òR Xwùe Khòaû û

(IWò@û bûhûùe ùiùZùaùk a^û^ @gê¡òe ]eûK ^[òfû û ùiùZùaùk ~ûjûùfLû~ûA[òfû, Zùk @aòKk C¡éZ ùjûAQò û aêSòaû ùaùk ùijò @gê¡Kê gê¡aòùaP^û Keû~ûAQò û )

�x x x x x x x x x x x x x x x x x xùfLûe aò]ò aò]û^ gêY Zêù¸ iû]êR^ ûbâce ~ê[ _âùai ùjùf c]êa^ ûû1ûû

ùKùZ bâce Zû aû ^~ûY«ò ùKjú û[ê iêe_ ùcû\ ù\Lò icùÉ ùj ejú ûû2ûû

ckd a^ùe ùjõ QW bûMê bûùM û~ûB _êÆ aél[òfû ùijò aél fûùM ûû3ûû

_ûPõ bûMê bûùMK ejòùf ùijê aù^ ûPûeò bûMê bûùM eùj ùiaZò Kû^ù^ ûû4ûû

ùZûUûe c]ýùe [òfû _\à iùeûae ûZò ò bûMê bûùMK ejòùf c]êae ûû5ûû

Zòeòi bûMeê bûùM Pµû aél ejò ûiaê bâce ejúùf _û� Vûa ùjûBõ ûû6ûû


ùdK Kò bâce ùMûUû Vûa ù~ ^_ûB ûaêfê @Qò bâce @ûKêk c^ ùjûB ûû7ûû

Kj LWòKûe ù~ùa RûYê ZZâ N^ ûjeò MêYò bâce Zê Kjúaê aj^ ûû8ûû

Zê Kûjò RûYòaê ùfLû ^_ûeòaê Kjò ûùZûj LWúKûe _Y RûYò @Qò cêjò ûû9ûû

ia\ iêYòùf jûù[ ^ejúa LWú ûbûiûA ^ êeòa aûBa Zê� ~ûWú ûû10ûû

ùd Vûaùe ù~ùZK @Q«ò aW iû^ ûicÉ jiúùa Pûjò Keò ùZû a\^ ûû11ûû

ùdùW j«ê i«ê Kòµû GVûùe ùjûAaê ûLWò ]eò ùfLû Zêù~ Kjú ^_ûeòaê ûû12ûû

ùZûje ^ûGK ù~ùa òKùU @QA ûùaùM Keò ZûjûKê iùLûõkò @ûi ~ûB. ûû13ûû

ùijò _êY LWò ]eò Kjò ^_ûeòùf û@ûù¸ _ùQ Kjúù\aû PeY ]Bùf ûû14ûû

cûUúaõi akb\â _Pûùe ^~ûYò ûù\ûi ùcû ^ ]eòa LWúKûe _êYò ûû15ûû

[û_^û : cêêk bâce ^ûÉò û Q bûMeê bûùM cûkZú a^Kê Mùf û _û� bûMeê bûùM ~ûB a^KêMùf û Pûeò bûMeê bûùM ùiaZú a^Kê Mùf û Zò ú bûMeê bûùM _\à a^Kê Mùf û Zòeòi bûMeêbûùM Pµû a^Kê Mùf û iaê bâce _û� Vûaùe ejúùf û ùMûUûG Vûaùd ù^ûjúfû û ùi cêkbâce ùKùZ Kj û

x x x x x x x x x x x x

C_~ðêýq ùfLûUò _\ýùe _\ýùe GK MûYòZòK _âgÜ û [û_^ûe @[ð, _âgÜe aòùgæhY ûùgh _\(15)eê ÆÁ ù~, cûUúaõi akb\â @a]û^ ùjCQ«ò Gjò MYòZe bûhýKûe aûMV^Kûe û GùaKûe bûhûùe GjûKê @ûùc C_iÚû_^ Keòaû û _â[ùc _âûiwòK @[ð C_iÚû_^û ijaýûLýû Keòaû �


aýûLýû_\ 1 I 2:@[ð : ùj iû]êR^! b@ñe cûù^ c]êa^ùe _âùag ùjùf û ùicûûe iõLýû ùKùZ KûjûeòKêRYû ^[òfû û @û^¦ùe icùÉ ùiVò ejòùf û ([ê iêe_: Gjûe @[ð aêSû_Wê ûjó, _ûVùK RûYò[ôùfRYûAùa)_\ 3,4 I 5:@[ð : icÉ b@ñe cûû bòZeê ckd a^ùe ejòùf 6 bûMeê bûùM û RûA êf a^ùe ejòùf5 bûMeê bûùM û ùiaZò aYùe ejòùf 4 bûMeê bûùM û _\à ù_ûLeúùe ejòùf 3 bûMeêbûùM û_\ 6 I 7:@[ð : icÉ b@ñe cûû bòZeê Pµû MQùe ejòùf 30 bûMeê bûùM û icÉ b@ñe 5UòRûMûùe ejòùf û ùMûUòG b@ñe Vûa ^_ûA @ûKêk c^ùe aêfê[òfû û_\ 8 :@[ð : GVûùe ùfLK iaê Z[ý aLûYò iûeò, @^ý RùY ùRýûZòhKê _âgÜ _PûeòQ«ò � ùcûUùKùZûUò b@ñe [òùf, jeY-MêY^ jòiûa Keò Kêj ? (ùRýûZòhcûù^ MûYòZòK jòiûaùe ]êe§e[ôùf ö ùi[ô_ûAñ ùicûù^ Mâj ^lZâe MZò I iÚòZòKê jòiûa Keò ùRûZòhú Keê[ôùf ö)_\ 9 eê 15:@[ð : ùiùZùaùk ùRýûZòh aû LWòKûe aû ûjûKcûû bòZùe MYòZ _âZòù~ûMòZû ùjC[òfû û ibûbòZùe RùY @a]û^ @ûC RùY @a]û^Kê @ûjßû^ ù\A _âgÜ _Pûeê[òfû û C_~êq C�e ^ _ûAùfb�ð û Keê[ôfû ö Gùa aû\ú-_ûfûùe ù~còZò RùY MûdK @^ý RùY MûdKKê _ûfû c�_ùe _âgÜ_Pûe«ò, VòKþ ùicòZò û GVûùe akb\â ^ûc]ûeú RùY cûUúaõi @a]û^ @^ý LWòKûeKê b�ð û _ìaðK _PûeêQ«ò-

�cêñ ùZûe LWòKûe_Y RûYòQò û g± aû _âgÜ gêYòùf, ùZû jûZeê LWò Liò _Wòa- _ûUòeêbûhû aûjûeòa ^ûjó � RWû _ûfUò~òaê û GVûùe aW iû^ iaê ùfûK ùZû cêjñKê Pûjó jiòùa û


Zê�Z LWò ]eò jòiûa Keò ^_ûeò j«i« ùjaê û ~\ò ùZû RYûgêYû ùKjò ^ûjûK @ûL_ûLùe @Qò, ùZùa ZûKê WûKò@ûY ! ùi ~\ò Kjò ^_ûeòa, ùZùa ùcû ùMûWZùk _Wòùf- cêñKjòù\aò û

G_eò \òjRkû K[û Kjòiûeò, ùgh _\ùe Gjò akb\â ^ûc]ûeú cûUúaõi @a]û^,LWòKûeuVûùe òR ù\ûh _ûAñ lcû _âû[ð û KeòQ«ò û ùiùake iõÄéZò [òfû ùidû û cZû«eUûc^û«e ùjaû _ìaðeê b�ð ûKûeú b�ðòZVûùe lcû _âû[ð û Keê[òùf ûicû]û^ :

_âgÜû êiûùe , ùcûU b@ñee 1/6 @õg ckd a^ùe ejòùf, 1/5 @õg RûA êf a^ùeejòùf1/4 @õg ùiaZú a^ùe ejòùf, 1/3 @õg _\à ù_ûLeúùe ejòùf, 1/30 @õg Pµû MQùeejòùf, ùMûUòGb@ñe akò _Wòfû

16

15

14

13

130

1060

1260

1560

2060

260

5960

+ + + + = + + + + =

1 � 5960 = 1

60

\ke 160 @õgKê 1 b@ñe; _ìeû\k = 1 ¥ 1

60 = 60 b@ñe

ùZYê ùcûU b@ñe iõLýû = 60 (C)aòKÌ : aúR MYòZ _âùdûM \ßûeû, ùcûU b@ñe iõLýû = p ]eò icû]û^ Keû~ûA _ûeòa û

ùZYê, p p p p pp

6 5 4 3 301+ + + + + =

aû, + + + + p - = – 1

aû, � = – 1,

aû, = 60 (C)


Gùa @û_Y cûû _ûAñ _âgÜ GYòKò _âùZýK iõLýûùe ù_û[òeê @ûKhðYúd MYòZ aûQò

_âKûg Keòaûe ù~ûR^û KeòQê û G[òùe @ûMâjú _ûVKe ikLù~ûM\û^ Reêeò ùjûA _WòQò û Gùa @û_Yu ùaø¡òK KieZ_ûAñ � @û_Y cûû _ûAñ _âgÜ� É¸ùe ù_û[òeê MéjúZ MYòZ_âKûgòZ ùja û icû]û^ _VûAùf _âKûg _ûAa û

_âgÜ : (1)- G/99 – P-86

K�ðûU ù\gùe GK eûcûae eì_ MêYùe @]òK ûiêêeZú fûkùi Mfû Zûe _ûùg GK eiòK ^ûGK ûû

cêKêZû cûYòK júeû GK GK ùÂ Zû jÉùe ù\fû ûù\Lò ùi ~êaZú ùjûA ùZûhcZò ^ûMeKê _Pûeòfû ûû

cìf Gjûe ùKùZ ùKùZ ùjûAa ù`Wò Kj ùcûe @ûM ûgêYòY ^ûMe bûhA PZêe ùN ò aûkû @ êeûM ûû

ùcûje jÉe K^K cê\âòKû ùcûZò cìfý cògò ù~ùZ ûcûYòK júeû \êjòueò cìfKê icû^ ùN^ iêPòùZ ûû

_êYòjòõ cê\úe cìfý cûYòKýe \e ù~ùa ~êq ùja ûcêKêZû júeû \êjòueò cìfKê ùa ò MêY ùi RûYòa ûû

Gùa Kjê@Qò gêYùe céMûlú jòeû cê\ú cìfý cògò ûcêKêZû cûYòKý cìfýKê ZâòMêY ùjûAa RûYò[û@iò ûû

_�òZ gûÈùe _eògâc [òùf ùMûPe ùjûAa ùZûùZ ûLWòKûe _U^ûGK @]e KCZêùK bùY MúùZ ûû

MúZe ùgh ]ûWòeê ÆÁù~, @]e _U^ûGKu \ßûeû Gjò MYòZUò MVòZ û @û]ê òK IWò@ûùfL^úe Qû_ G[òùe ejòQò û ùZYê ùaû]Mcý ùjûAQò û

aýûLýû ij icû]û^ _Vû«ê � Q_ûùja û


ù`WÿûY KêjêKù_Wÿò I iõLýû 1089gêbâKû« iûjê

iõLýû RMZ ejiýcd, iõLýû-ùiø¦~ðýe aûiÜû @Qò ö iõLýû MY^û aò û G RúaRMZ a�ô ejòa^ûjó ö Kéhò Kû~ðý, aò\ýûkd, aýaiûd, _âZò ùlZâùe MYòZ _ûVe @ûagýKZû ejòQò ö ùZYê MYòZKêiKk aò\ýûe iûe ùaûfò Kêjû~ûG ö MYòZe cìk ùjCQò MY^û @[ûðZþ iõLýû ö ùijò iõLýûcû^u c¤eê�1089� G_eò GK iõLýû ~ûjûKò @Zý« ejiý _ì�ð ö

bûM - 10, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 (KêjêKù_Wÿò - 1)

\êA @uaògòÁ iõLýûUòG ò@ ö ZûKê IfUûA ùfL, \êAUò iõLýû c¤eê aWÿ iõLýûeê iû^ iõLýûKêaòùdûM Ke ö aòùdûM`k ù_Wÿò c¤ùe @Qò ö ~ûjûKò �9� e MêYòZK ö

cù^Ke iõLýûUò 23

IfUûA ùfLôùf - 32

aòùdûM`k = 32 – 23 = 9 (ù_Wÿò bòZùe @Qò)iõLýûUò - 37,

IfUûA ùfLôùe - 73

aòùdûM `k = 73 – 37 = 36 (ù_Wÿò bòZùe @Qò) öbûM - 2

0, 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990 (KêjêKù_Wÿò - 2)Zò ò @uaògòÁ iõLýûUòG ùfL ö ZûKê IfUûA ùfL ö aWÿ iõLýûeê iû^ iõLýûKê aòùdûM Kùf

aòùdûM`k ù_Wÿò c¤ùe @Qò ö ~ûjûKò �99� e MêYòZK öcù^Ke iõLýûUò 243

IfUûA ùfLôùf - 342

aòùdûM`k = 342 – 243 =099 (ù_Wÿò bòZùe @Qò)iõLýûUò - 237,

IfUûA ùfLôùe - 732

aòùdûM `k = 732 – 237 = 495 (ù_Wÿò bòZùe @Qò) ö


ù_Wÿò c¤ùe [ôaû iõLýûcû^ue ù~ûM`k ö_â[c ù_Wÿòùe [ôaû ùMûUòG iõLýû ùfL ö ZûKê IfUûA ùfL ö iõLýû \êAUòKê ù~ûMKùf ù~ûM`k

ùja �99� ö18 + 81 = 99 45 + 54 = 99

36 + 63 = 99 27 + 72 = 99

\ßòZúd ù_Wÿòùe [ôaû iõLýûUòG ùfL ö ZûKê IfUûA ùfL ö iõLýû \êAUòKê ù~ûMKùf ù~ûM`kùja �1089� ö

198 + 891 = 1089 099 + 990 = 1089

396 + 693 = 1089 792 + 297 = 1089

_â[c ù_Wÿòeê còkê[ôaû ù~ûM`k �99� Gaõ \ßòZúd ù_Wÿòeê còkê[ôaû ù~ûM`k �1089� ö1089 Kê IfUûA ùfLôùf 9801 ~ûjûe aMðcìk 99, 1089 e aMðcìk 33

bûM - 31089 1 = 1 0 8 9

1089 2 = 2 1 7 8

1089 3 = 3 2 6 7

1089 4 = 4 3 5 6

1089 5 = 5 4 4 5

1089 6 = 6 5 3 4

1089 7 = 7 6 2 3

1089 8 = 8 7 1 2

1089 9 = 9 8 0 1

C_ùeûq MêY^L¦ûùe còkê[ôaû MêY`kMêWÿòKê flý Ke, Zkê C_eKê ù\Lòùf, _âZòMêY`kùeGKK Gaõ \gK iÚû^ùe @u \ßd 1 ùfLûGñ aXÿò aXÿò ~ûCQò ö gZK I ijiâ iÚû^ùe K�Y ùjCQò c¤ù\L ö

ieÊZú gògê aò\ýû c¦òeMû§úcûMð - @ûVMWÿ

Ròfäû KUK - 754029 ö


MYòZ I eûR^úZò - 20ùMûKêkû^¦ \ûi

_âiw : MYòZm @ûùafue céZgúeùe eûRcêKêUiê_âiò¡ MYòZm Niels Henrid Abel ue R à @MÁ 5, 1802 ciòjûùe ö

ùi aeùIß aûiò¦û [ôùf I GK \eò\â _eòaûeùe R à MâjY Keò[ôùf ö@ûùaf Äêfùe _Xÿê[ôaû icdùe QûZâcûûê @Zý]ôK gûeúeòK \�

\ò@û~ûC[ôfû @Zò iûcû^ý ù\ûhùe ö RùY gòlKu \�ùe @ûùafu KäûieRùY QûZâ céZêý aeY Kùf ö G[ô_ûAñ ùi Äêfeê Cq gòlKuê aòZûWÿòZ KeûMfû öGjò gòlKu iÚû^ùe ù~Cñ gòlK ò~êqò _ûAùf, ùi [ôùf RùY \l I MYòZùe_ûewc gòlK ö Zûue ^ûc ùjCQò - Bernt Michael Holmboe (1795 -

1850 A.D.) ùiùZùakKê @ûùafue adi _¦eahð ö ùjûfcaþue gòlû\û^_âKòâdûùe @ûùafue @« òjòðZ cûîòK iÚòZò \îZMZòùe aòKgòZ ùjfû ö ùi òCU þ, @ùdfe IfûMâû þR MYòZmcûûe i¦bð _XÿòaûKê fûMòùf I MYòZ Zûue _òâd aòhdaÉê ùjûAMfû ö

Zûuê RùY _âgÜ Keò[ôùf ù~ Zûue G_eò \îZ @MâMZò ùjfû Kò_eò ? Zûe C�eùe ùi Kjò[ôùf:�By studying the masters, not their pupils.�KûkKâùc ùjûkcaþ I @ûùaf N òÂ a§ê ùjùf ö @ûùafue @û[ôðK \ê�òð ùe ùjûfcaþ iûjû~ý

Keê[ôùf ö@ûùafue _â[c Azû[ôfû _�c NûZúd icúKeY (quintic)e icû]ûê

iìZâ ò¡ûðeY Keòaû _ûAñ ö ùi Gjò _âdûiùe @ù^K[e aò k ùjûA[ôùf iZ,Kò«ê G _âdûi RûeòeLôùf I ùghùe i`k ùjùf ö Zûue i¦bð ùi _é[ôaú_âiò¡MYòZm Gauss ue cZûcZ _ûAñ _VûAùf ö Kò«ê MûCiþ ùi _âa§Kê ^ _Xÿò@kò@ûM\ûKê ù`û_ûWÿò ù\ùf I Kjòùf “Here is another of those monstrosities”

MûCiþue G _âKûe Kîe aýajûe _ûAñ @ù^K Zûuê ò¦û Keò[ôùf ö Zû�_ùe@ûùaf afòð Mùf I August Leopold Crelle (1780-1856) uê iûlûZ KeòòRe MùahYû iµKðùe Kjòùf ö ùiùZùaùk ùKâùf MYòZe GK i¦bð _ZâòKû

Q_ûAaûKê cîÚ Keò[ôùf ö @ûùafue _û�òZý ù\Lò ùi _â[ùc @ûùafue i¦bðcû^ _âKûg KeòaûKêiÚòe Keò[ôùf ö ùKâùfue _ZâòKûùe Zòù^ûUò bfêýcþùe @ûùafue aûAgòUò _âa§ _âKûgòZ ùjfû ö Gjû\ßûeû ùKak ù~ @ûùaf GK iê_âiò¡ MYòZm bûaùe ÊúKéZò fûb Kùf Zûjû êùjñ, ùaâùfu _ZâòKûUòc¤ _âiò¡ò fûb Kfû ö

Niels Henrid Abel

Carl Friedrich Gauss


ùKâùf afòð aògßaò\ýûkdùe @ûùafuê _âùìe _\aúùe ò~êqò ù\aû _ûAñ _âÉûa eLòùf öMYòZm fòùR�e I Kêiò aòPûeK ejòùf ö fòùR�euê ùiùZùaùk 74 ahð I Kêiòuê 39 ahð öfòùR�e cZ ù\ùf ù~ @ûùafue ùfLûMêWÿòK i`ûiêZêeû êjñ ö ùZYê ùi @ûC [ùe @ûùa\^Ke«ê ö Kò«ê Kêiò i¦bðMêWÿòKê NeKê ùÂMùf I ùKCñVò eLòù\ùf Zûjû ùi bêfòMùf ö @agý @ûùafuecéZêý _ùe i¦bðMêWÿòK còkò[ôfû ö

@ûC GK i¦bð _ûAñ c¤ @ûùaf Cy _âgõiòZ ùjûA[ôùf ö Zûjû Gùa @ûùaf C__û\ý jiòaûùeiê_âiò¡ I Gjû a�ðcû^ KùfRe _ûVýKâce @«bêðq ö

@ûùafuê aûe´ûe [�û fûMò ejê[ôfû ö ùi _ýûeòiùe [ôaû ùaùk, GK Wûqeue _eûcgðù^ùf ö ùiùZùakKê ùi _êi êi ùeûMùe @ûKâû« ùjûAMùfYò ö PòKò�û _ûAñ @[ð ûjó ö PûKòeò ûjó öùi bûaò[ôùf AC òbeiòUò PûKòeò còkòMùf, iaê iê]êeò~òa ö

ùiøbûMýagZü afòð eê PòVò @ûiòfû ù~ afòð aògßaò\ýûkdùe ùi _âùìeþ _ûAñ cù^û^úZùjûAQ«ò ö Kò«ê jûd! PòVò _j�òaûe \êA \ò _ìaðeê @ûùaf _âûYZýûM KeòiûeòùfYò ö

ùi \ò [ôfû G_òâf 6 ZûeòL 1829 ciòjû I Zûue adi ùjûA[ôfû 26 ahð 8 cûi ö@ûùafue ce geúeùe eûRcêKêU Kò ùgûbû _ûAa!!!

177, ]cðaòjûe, L�Mòeò, ùcû. 9437035121

_ûVKu _ûAñ iìP^ûPkòZ ahð 2016e cûyð iõLýû - @bò a

MYòZ aòPòZâûùe _âKûgòZ ùMûKêkû^¦ \ûiu \ßûeûfòLòZ �MYòZ I eûR^úZò - 19� _âa§Uòùe KòQòZîUò ejò~ûA[ôfûö ùijò ZîUòe iõùgû]^ òcÜùe_â\gòðZö

1c _ûeû : 2d ]ûWÿò - �_äûùUû� _eòaù�ð _Xÿ«ê - �@û~ðýb��2d _ûeû : 1c ]ûWÿò - �_äûùUû� _eòaù�ð _Xÿ«ê - �ùKû_eþ^òKiþ�

2d ]ûWÿò - �_äûùUû� _eòaù�ð _Xÿ«ê - �ùKû_eþ^òKiþ�Gjò @ òzûKéZ ZîUò _ûAñ iµû\^û c�kú \êüL _âKûg KeòQ«ò ö

@û~ðýb�ùKû_eþ^òKi


a§êZß_ì�ð @ûdZùlZâAõ. cûdû]e ÊûAñ

@]ôKûõg MYòZ ù_âcú a§êZß_ì�ð iõLýû (amicable numbers)i´§ùe RûY«ò ö @agý Gjû ajê_âûPú^ Kûkeê RYû@Qò ö \êAUò iõLýûKê a§êZß_ì�ð iõLýû Kêjû~òa, ~\ò ùMûUòG iõLýûe _âKéZ MêY^údKMêWÿòK(ùijò iõLýûKê QûWÿò)e icÁò @^ý iõLýûUò ij icû^ ùjûA[ôa ö iõLýûRMZe iaêVûeê ùQûU a§êZß_ì�ðiõLýû \êAUò ùjCQò 220 I 284 ö 220 e _âKéZ MêY^údKMêWÿòK ùjCQò 1, 2, 4, 5, 10,11, 20, 22, 44, 55 I 110 Gaõ ùiMêWÿòKe icÁò ùjCQò 284 ö ùijò_eò 284e _âKéZMêY^údKMêWÿòK ùjCQò 1, 2, 4, 71 I 142 Gaõ ùiMêWÿòKe icÁò ùjCQò 220 ö Gjò a§êZß_ì�ðiõLýû \êAUò MâúKþ MYòZm _ò[ûùMûeûiþ (Lâú._ì. 572- Lâú._ì. 497) Kò û Zûu _ìaðeê RYû[ôfû ö

MYòZe AZòjûi @ ê~ûdú eûiú MYòZu _òGeò cûð (1601 - 1665) \ßòZúd a§êZß_ì�ð iõLýûù~ûWÿò (17296 I 18416) Kê 1636 ciòjûùe @ûaòÃûe Keò[ôùf ö _ùe ùWKûùUð (1596 -1650) ZéZúd a§êZß_ì�ð iõLýû ù~ûWÿò (9363584, 9437056)Kê @ûaòÃûe Keò[ôùf ö _âKéZùeGjò a§êZß_ì�ð iõLýûù~ûWÿòKê \gc gZû±úùe @ûeaúd MYòZmcûù^ @ûaòÃûe Keò[ôùf ö cûð I ùWKûùUðGjûe _ê ü@ûaòÃûe Kùf ö

@Áû\g gZû±úùe fòI^ûWÿð @Gfe (1707 - 1783) 64 ùMûUò a§êZß_ì�ð iõLýû ù~ûWÿòe GKZûfòKû _âÉêZ Keò[ôùf (_ùe G[ôeê \êA ù~ûWÿû a§êZß_ì�ð iõLýû êùjñ ùaûfò RYû_Wÿòfû) ö cûZâ ùMûUòGùQûU a§êZß_ì�ð iõLýû ù~ûWÿòKê @Gfe Kò û @^ý MYòZmcûù^ @ûaòÃûe Keò _ûeò [ôùf ö Zûjû ùjCQò(1184, 1210) ö Gjû ùjCQò \ßòZúd lê\âZc a§êZß_ì�ð iõLýû ù~ûWÿò ö AUûfòe RùY ùhûjk ahðadÄ aûkK òùKûfû _òMû ò ò 1866 ciòjûùe GjûKê @ûaòÃûe Keò MYòZ RMZùe Pjk _KûA[ôùf öa�ðcû^ iê¡û _âûd 12000000Uò a§êZß_ì�ð iõLýû ù~ûWÿò RYû_WÿòQò ö

a�ðcû^ a§êZß_ì�ð @ûdZùlZâ i´§ùe RûYòaû ö cù^Ke P I Q ùjCQò \êAUò @ûdZùlZâ ö ~\òP @ûdZùlZâe ùlZâ k, Q @ûdZùlZâe _eòiúcû ij iûõLôýK bûùa (GKKKê QûWÿò) icû^ Gaõ Q@ûdZùlZâe ùlZâ k, P @ûdZ ùlZâe _eòiúcû ij iûõLôýK bûùa icû^ jêG, Zûjûùjùf P I Q@ûdZùlZâ \êAUòKê a§êZß_ì�ð @ûdZùlZâ Kêjû~ûG ö

4

6

2 10


C\ûjeY Êeì_, P e \êAaûjê e ù\÷NðýKê 4 I 6 GKK Gaõ Q e \êA aûjêe ù\÷NðýKê 2 GKKI 10 GKK ù^aû ö Zûjûùjùf, P e ùlZâ k ùjCQò 24 aMð GKK I _eòiúcû ùjCQò 20 GKK öQ e ùlZâ k ùjCQò 20 aMð GKK I _eòiúcû ùjCQò 24 GKK ö GYê P I Q ùjCQò a§êZß_ì�ð@ûdZ ùlZâ ö

Gjû aýZúZ @ûC ùKak Q@ ù~ûWÿû Gjò_eò a§êZß_ì�ð @ûdZùlZâ @Qò ö ùiMêWÿòK ùjCQò(1 ¨ 34, 7 ¨ 10), (1 ¨ 38, 6 ¨ 13), (1 ¨ 54, 5 ¨ 22), (2 ¨ 13, 13 ¨ 10),(3 6, 3 6) Gaõ (4 4, 4 4) ö ùgh \êA ù~ûWÿû @ûdZùlZâe @^ý ùMûUòG aòùgh MêY@Qò ö _âùZýK ùlZâùe @ûdZùlZâe _eòiúcû Gjûe ùlZâ k ij iûõLôýK bûùa icû^ ö ~[û :

3 ¨ 6 = 2 (3 + 6) Gaõ 4 ¨ 4 = 2 (4 + 4) ö Gjò \êAUò aýZúZ @^ý ùKøYiò @ûdZùlZâe Gjò MêY ^ûjó ö

_äUþ ^õ 70/7356, flàúaòjûe ù`Rþ - 1aWÿMWÿ KòâUþ Kùfû ò WûKNe, bêaù^gße - 751018

ù`û þ - 9438693724

aýûu ùPKþùe ZîUòeû]êaûaê Uuû CVûAaû _ûAñ aýûu ùPKþùe Uuûe _eòcûY ùfLòfû ùaùk, bêfùe _â[c

@u \êAUò RûMûùe ùgh @u \êAUòKê ùfLòù\ùf I ùgh @u \êAUò RûMûùe _â[c @u \êAUòKêùfLòù\ùf û

ùPKþ ù\A aýûueê Uuû @ûYòaû aûUùe ùi ùijò Uuûeê WûKNeê 5 Uuûe f`û_ûKòYòùf û ù\Lòùf, ùi aýûueê ù~ùZ Uuû @ûYòaû K[û, Zûjûe \êAMêY Uuû Zûu _ûLùe @Qò ûùZùa ùi aýûueê ùKùZUuû @ûYò[òùf ?

(Gjûe icû]û^ _VûAùf _e iõLûùe _âKûg _ûAa)


2015 ciòjû _VûYò iûc« MYòZ ùc]ûaé�ò _eúlû (9c)_âgÜe icû]û^ :

1. ùMûUòG ZòâbêRe ùMûUòG ùKûYe _eòcûY 1200 Gaõ @^ý \êAUò ùKûYe _eòcû_e @ ê_ûZ 1 : 3 ö iaêVûeêiû^ ùKûYe _eòcû_ ùKùZ ?(A) 450 (B) 300 (C) 150 (D) 120

C. ùMûUòG ZâòbêRe ùMûUòG ùKûYe _eòcû_ = 1200

Gjûe @^ý ùKûY\ßde _eòcû_e @ ê_ûZ = 1:3

cù^Ke ùi \êAUò c¤eê ùMûUòG ùKûYe _eòcû_ = x0 , @^ýUò = x ¨ 3 = 3x0

_âgÜû ê~ûdú, x0 + 3x0 = 1800– 1200

Þ 4x0 = 600 Þ x0 = 60

4

0

= 150

Þ ZâòbêRe lê\âZc ùKûYe _eòcû_ 150 @ùU ö C (C)2. (19.99)2 + (89.98)2 = ?

(A) 8496.0005 (B) 8495.0105 (C) 8497.1005 (D) 7895.0005

C. (19.99)2+(89.98)2 = (20–0.01)2 + (90–0.02)2

= 400 – 2 x 20 x 0.01 + (0.01)2 + 8100 – 2 x 90 x 0.02 + (0.02)2

= 8500 – 0.4 – 3.6 + 0.0001 + 0.0004

= 8500 – 4 + 0.0005 = 8496.0005 C (A)

3. (x + 2) (x + 3) = x2 + 6x + 6, òcÜiÚ ùKCñ _âKûe @ùU ?(A) @ùb\ (B) icúKeY (C) _fòù^ûcò@ûfþ (D) @icû^Zû

C. (x +2) (x+3) = x2 +6x+6Þ x2 +5x+6 = x2 +6x+6Þ x2 +5x–x2 – 6x = 6 – 6Þ – x = 0 Þ x = 0

x e GK ò�òðÁ cû^ ‘0’ [ôaûeê Gjû GK icúKeY ö C (B)

4. òùcÜûq Cqòcû^u c¤eê ùKCñUò VòKþ ?(A) aòùdûM Kòâdû _eòùcd iõLýûùe ijù~ûMú òdc _ûk^ Kùe ö(B) 0 Kê _eòùcd iõLýûùe MêY^ûZàK @ùb\ Kêjû~ûG ö(C) ùMûUòG iõLýûe aêýZþKâcKê Cq iõLýûe MêY^û}c aòùfûcú Kêjû~ûG ö(D) bûMKòâdû _eòùcd iõLýûùe ijù~ûMú òdc _ûk^ Kùe ö

C. ùMûUòG iõLýûe aêýZþKâcKê Cq iõLýûe MêY^ûcôK aòùfûcú Kêjû~ûG ö C. (C)


5. 7 113 ùe, 1 I Cq iõLýûKê QûWÿò @ûC ùKùZûUò C_ôû\K @Qò ?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

C. 7 x 113 = 7 x 11 x 11 x 11

ùZùa Gjûe C_ôû\Kcû^ (1 I Cq iõLýûKê QûWÿò) ùjùf 7, 7 x 11, 7 x 11x 11, 11, 11x 11, 11 x 11 x 11

\ ùcûU 6 Uò C_ôû\K @Qò ö C. (C)

6. ùMûUòG ùUâ þ GK aZúLê�Kê 20 ùiùK�ùe I 225 còUe f´ GK ù_ûfKê 1 cò òU 20 ùiùK�ùe@ZòKâc Kùe ö ùUâ þe ù\÷Nðý ùKùZ ?(A) 110 còUe (B) 75 còUe (C) 100 còUe (D) 80 còUe

C. ùMûUòG ùUâ þ aZúLê�Kê 20 ùiùK�ùe @ZòKâc KeêQò, @[ûðZþ ùi òR ù\÷NðýKê 20 ùi.ùe@ZòKâc KeêQò ö ùi 1 cò òUþ 20 ùi.ùe 225 còUe aògòÁ ùMûUòG ù_ûfKê @ZòKâc Kùe ö @[ûðZþ,ùi ù_ûf ij òR ù\÷NðýKê 1 cò òUþ 20 ùi. ùe @ZòKâc Kùe öùUâ þe ù\÷Nðý l cò. ùjC ö l cò.Kê @ZòKâc Keòaû icd 20 ùiùK�(l + 225) cò. Kê @ZòKâc Keòaû icd = 1 cò òUþ 20 ùiùK�\ 225 còUe Kê @ZòKâc Keòaû icd = 1 cò òUþ 60 ùiùK�@[ûðZþ, 60 ùiùK�ùe ùUâ þ MZò Keê[ôaû \ìeZû = 225 còUe

\ 20 ùiùK�ùe ùUâ þ MZò Keê[ôaû \ìeZû= 225

6020x =75cò.

\ ùUâ þe ù\÷Nðý l cò. = 75 cò. C. (B)

7. ùMûUòG KûcKê A, 25 \ò ùe I B 30 \ò ùe Keò_ûe«ò ö Cbùd cògò Kûc @ûe¸ Kùf Kò«ê 5 \ò _ùeA Kûc a¦ Kfû ö iµì�ð KûcUò ùgh ùjaûfûMò ùKùZ \ò fûMòQò ?(A) 19 (B) 26 (C) 18 (D) 24

C. A ùMûUòG KûcKê Kùe 25 \ò ùe \ A 1 \ò ùe Keòa 1

25@õg

B ùijò KûcKê Kùe 30 \ò ùe \ B 1 \ò ùe Keòa 1

30 @õg

ùZùa A I B 1 \ò ùe Keòùa 1

25+ 1

30 = 6 5

150

11

150

+ = @õg

A I B cògò 5 \ò ùe Keòùa 11

150x 5 =

11

30@õg

akKû Kûc = 1 –11

30@õg = 30 11

30

19

30

− = @õg


ùZùa, B 19

30@õg Kû~ðýKê Keòaû fûMò @ûagýK icd = 30 x

19

30 = 19 \ò

ùZùa Cq Kû~ðýUò ieòaûKê fûMò[ôaû ùcûU icd = 5 \ò +19 \ò = 24 \ò C.(D)

8. ùMûUòG iÚûêê A I B \êùjñ _ìað \òMùe aûjûeòùf ö A, 6 còUe ~òaû _ùe C�eKê 11 còUe Mfû öùijò_eò B, 9 còUe ~òaû_ùe C�e \òMùe 7 còUe Mfû ö a�ðcû^ A I B c¤ùe \ìeZû ùKùZ ?(A) 5 2 còUe (B) 3 2 còUe (C) 9 còUe (D) 5 còUe

C. cù^Ke A I B Cbd X iÚûêê aûjûeòùf öA, X Vûeê aûjûeò 6 còUe _ìaðKê ~ûA Y ^ûcK iÚûêê C�eKê 11 cò. ~ûA P ^ûcK iÚû^ùe_j�òfû öùijò_eò B, X Vûeê aûjûeò 9 còUe _ìaðKê~ûA Z ^ûcK iÚûêê C�eKê 7 cò. ~ûAQ ^ûcK iÚû^ùe _j�òfû ö_ûgßðiÚ PòZâùe, XY = 6 còUe,XZ = 9 còUeùZùa, YZ = 9 cò – 6 cò = 3 cò. = RQ

_êYò PR = 11 cò. – 7 cò = 4 cò.ùZYê, AB c¤ùe \ìeZû = PQ e ù\÷Nðý= ( ) ( )PR QR2 2+ = ( ) ( )4 3

2 2+ cò. = 5 còUe C.(D)

9. x2 – 1 \ßûeû p2 x4 + qx3 + prx2 –2qrx + m, q ¹ 0 aòbûRý ùjùf, r e cìfý ùKùZ ?(A)

1

2(B) –

1

2(C) 2 (D) –2

C. cù^Ke p(x) = (p2x4 + qx3 + prx2 – 2qrx + m), (x2–1) \ßûeû aòbûRýGVûùe q ¹ 0

bûRK x2 – 1 = (x+1) (x–1)

Þ 1 Gaõ –1 \ßd \� _fòù^ûcò@ûfþe cìk @U«ò öx = 1 ù^ùf, p2+ q + pr – 2qr + m = 0

x = –1 ù^ùf, p2– q + pr + 2qr + m = 0

(–) (+) (–) (–) (–) . Þ 2q – 4qr = 0 Þ r = 1

2C.(A)

X Y Z

R Q

P

6 cò.3 cò.

7 cò.

4 cò.


10. ùc]û aé�ò _eúlûùe 60Uò _âgÜ _Wÿò[ôfû ö _âùZýK _âgÜe C�e _ûAñ PûùeûUò aòKÌ (K), (L), (M), (N)[ôfû ö Z à¤eê ùKak ùMûUòG aòKÌùe VòKþ C�e [ôfû ö ~\ò GK-\gcûõg _âgÜe VòKþ C�e (K)aòKÌùe [ûG, 20% _âgÜe VòKþ C�e (L) aòKÌùe [ûG Gaõ @]û _âgÜe VòKþ C�e (M) aòKÌùe [ûG,ùZùa ùKùZûUò _âgÜe VòKþ C�e (N) aòKÌùe @Qò ?(A) 15 (B) 20 (C) 5 (D) 12

C. ùcûU 60 Uò _âgÜ c¤eê�K� aòKÌùe VòKþ C�e [ôaû _âgÜ iõLýû = 1 \gcûõg = 60 1

10 = 6 Uò

�L� aòKÌùe VòKþ C�e [ôaû _âgÜ iõLýû = 20% = 60 20

100 = 12 Uò

�M� aòKÌùe VòKþ C�e [ôaû _âgÜ iõLýû = 1

2 @õg = 60

1

2 = 30 Uò

ùZùa K,L I M aòKÌùe VòKþ C�e [ôaû _âgÜ iõLýû= 6 + 12 + 30 = 48 UòùZùa N aòKÌùe VòKþ C�e [ôaû _âgÜ iõLýû = 60 – 48 = 12 Uò ö C.(D)

11. ùMûUòG ibûùe 32 RY ibý C_iÚòZ [ôùf Gaõ @ûC RùY ibý C_iÚòZ ùjùf, ibûKû~ðý _eòPûk^ûKeû~ûA_ûeòa ö ~\ò icÉ ibýu GK-ZéZúdûõg C_iÚòZ [ôùf ibûKû~ðý _eòPûk^û Keû~òaûe òdc[ûG, ùZùa ùi\ò ùKùZ RY ibý @ ê_iÚòZ [ôùf ?(A) 67 (B) 64 (C) 66 (D) 65

C. ùMûUòG ibûùe C_iÚòZ ibýiõLýû = 32, @ûC ùRY ibý [ôùf ibû Pûfò[û«û öùZùa ibû Pûfòaû _ûAñ ùcûU ibý @ûagýK= 32+1 = 33 RYcûZâ Gjû ùcûU ibý iõLýûe 1

3 @õg

ùZYê 13

@õg = 33

1 @õg = 33 3 = 99 RYC_iÚòZ ibý iõLýû 32 RYùZùa, ùcûU @ ê_iÚòZ [ôaû ibý iõLýû 99 – 32 = 67 RY C.(A)

12. ùMûUòG a§êK Pûk^û ùLkùe [ùe flýùb\ Kùf U. 1.00 còùk I [ùe flýbâÁ ùjùf U. 1.00

ù\aûKê _ùWÿ ö RùY 100 [e ùPÁû Keò U. 30.00 _ûAùf ö ùi ùKùZ [e flýùb\ Keò[ôùf ?(A) 50 (B) 65 (C) 70 (D) 75


C. ùi 100 [e ùPÁû Keò U. 30.00 _ûAQ«ò öùZYê ùi (100 – 30) = 70 Uuû jeûAQ«ò öGK [e a§êK Pûk^ûùe KéZKûû~ðý ùjùf, _ûAùa 1 UuûGK[e a§êK Pûk^ûùe @KéZKû~ðý ùjùfû, ù\ùa 1 Uuû@[ûðZþ 1 [e @KéZKû~ðý ùjùf ùi jeûAùa 2 Uuû2 Uuû jeû«ò 1 [e @KéZKû~ðý ùjùf,70 Uuû jeû«ò ½ x 70 = 35 [e @KéZKû~ðý ùjùf,\ flý ùb\ iõLýû = 100 – 35 = 65 [e ö C.(B)

13. ùMûUòG Wâcþùe 25 fòUe Kòùeûiò þ ]ùe ö _ìeû Wâcþ Kòùeûiò þ ùâû ùaùk, G[ôeê 2 fòUe Kòùeûiò þCQêkò aûjûeKê _WÿòMfû ö Gùa _ìeû Wâcþe gZKWÿû ùKùZ Kòùeûiò þ ùi[ôùe @Qò ?(A) 98 (B) 23 (C) 92 (D) 88

C. ùMûUòG Wâcþùe 25 fò. Kòùeûiò ò ]ùe ö GjûKê @ûYòaû ùaùk 2 fòUe CQêkò aûjûeòMfû öWâcùe [ôaû akKû _eòcûY ùZf = 25 fò � 2 fò. = 23 fòUe

Wâcþe _ì�ð[ôaû gZKWÿû @õg = 2325

¨100 = 92 % C.(C)

14. a2 + b2 = 21 I ab = 2 ùjùf, a2 – b2 e cû^ ùKùZ ùja, ~\ò a, b Î N ?

(A) 2 (B) 3 (C) 5 17 (D) 5 13

C. a2 + b2 = 21ab = 2

2ab = 2 x 2 = 4

ùZYê, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 21 + 4Þ (a + b)2 = 25

Þ a + b = 25 =5 [Q a, b Î N]

ùijò_eò, a2 + b2 – 2ab = 21 – 4Þ (a – b)2 = 17

Þ a – b = 17

ùZùa a2 – b2 = (a + b) (a – b) = 5 x 17 = 5 17 C.(C)

15. ùMûUòG icNê icMâ _éÂZke ùlZâ k 216 aMð còUe ùjùf, Gjûe N^`k ùKùZ ?(A) 36 N^ còUe (B) 216 N^ còUe (C) 144 N^ còUe (D) 72 N^ còUe

C. ùMûUòG icNê icMâ _éÂe ùlZâ k = 216 a.cò.


ùZùa 6 ¨ (aûjê)2 = 216 a.cò.(aûjê)2 = 216

6 = 36 a.cò.

aûjê = 6 cò.Gjûe N^`k (aûjê)3 = (6)3 N.cò. = 216 N.cò. C.(B)

16. 125x = 5y ùjùf, x = ?

(A) 3y (B) 2y (C) y

3(D) 5y

C. 125x = 5y

Þ (53)x = 5y Þ53x = 5y

3x = y Þ x = y

3C.(C)

17. ~\ò 9n + 9n + 9n = 32013, ùZùa n e cû^ ùKùZ ùja ?(A) 906 (B) 939 (C) 1006 (D) 1039

C. 9n + 9n + 9n = 32013

Þ 32n + 32n + 32n = 32013

Þ 3 x 32n = 32013 Þ 32n+1 = 32013Þ 2n+1 = 2013 Þ 2n = 2013 – 1

Þ 2n = 2012 Þ n = 1006 C.(C)

18. 0.0001 e aMðcìk ùKùZ ùja ?(A) 0.1 (B) 1 (C) 0.001 (D) 0.01

C. 0 00011

10000

1

100. = = = 0.01 C.(D)

19. \ò@û~ûA[ôaû PòZâ bkò A eê B Kê ~òaû _ûAñ GK @¡ð aé� @ûKéZòe _[ I GK ikL _[ ejòQò ö RùY aýqò,@¡ð aé� C_e ù\A A eê B Kê Mùf I _ùe aýûi ù\A A eê B Kê ikL Mùf öaýûi C_e ù\A ~òaûeê, ùi \ßòZúd [e 45 ùiùK�þ gúNâ _j�ôùf ö ~\ò _âùZýK [e ~òaûùaùk ZûueùaM cò òUþ _âZò 80 còUe ùjûA[ûG, ùZùa aé�e aýûi ùKùZ ?

(A) 120

2π − còUe (B)

60

2π − còUe

(C) 30

2π − còUe (D) 100

2π − còUe

C. @¡ðaé�e aýûi = d, Gjû C_eòiÚ @¡ð aé�e _eò]ô = πd

2

ùfûKUòe ùaM = 80 cò. / cò òUþ


@[ûðZþ ùfûKUò 80 còUe ~òaûe icd = 60 ùi.1 còUe ~òaûe icd = 60

80 ùi.

d còUe ~òaûe icd = 6080

¨ d = 3

4

d ùi.

πd

2 cò. ~òaûe icd 60

80 ¨ πd

2 = 3

8

πd ùi.

_âgÜû ê~ûdú, 38

πd ùi. � 34

d ùi. = 45 ùi.

Þ 3 6

8

πd d− = 45 Þ

3 2

8

d( )π − = 45

Þ 3d = 4 5 8

2

x( )π −

Þ d = 45 8

3 2

xx( )π − = 120

2π − cò. C.(A)

20. ùMûUòG icùKûYú ZòâbêRe bìcòe ù\÷Nðý 8 ùi.cò. Gaõ ùlZâ e 24 aMðùi.cò. @ùU ö Cq ZòâbêRe_eòiúcû ùKùZ ?(A) 48 ùi.cò. (B) 24 ùi.cò. (C) 32 ùi.cò. (D) 19 ùi.cò.

C. ùMûUòG icùKûYú ZâòbêRe bìcò = 8 ùi.cò., Gjûe ùlZâ k = 24 a.ùi.cò.

ùZùa Gjûe CyZû = ùlZâ k

bìcòx 2

= 24 2

8

x = 6 ùi.cò.

ùZùa icùKûYú ZâòbêRe K�ð = ( ) ( )bìcò CyZû2 2x = ( ) ( )8 62 2x ùi.cò.

= 64 36x ùi.cò. = 100 =10 ùi.cò.ùZùa ZâòbêRe _eòiúcû = bìcò + CyZû + K�ð= 8 ùi.cò + 6 ùi.cò. + 10 ùi.cò. = 24 ùi.cò. C.(B)

21. \� PòZâùe x ùKûYe _òecûY ùKùZ ?

(A) 750 (B) 800

(C) 900 (D) 500


C. D ABD ùe AB = BD

D ABD e ajòiÚ ÐABCÞ mÐABC= mÐADB + mÐDAB= 250 + 250 = 500

D ABC ùe, AB = ACÞ mÐABC = mÐACB = 500

mÐBAC = 1800 – (500 +500) = 1800 � 1000 = 800

mÐDAB + mÐBAC + x0 = 1800 (ùMûUòG iekùeLûùe @aiÚòZ ùjZê)x0 = 1800 – (mÐDAB + mÐBAC) = 1800 – (250 + 800)

= 1800 – 1050 = 750 C.(A)

22. \� PòZâùe AOB GK iekùeLû ö G[ôùe ~\ò mÐAOC + mÐCOD = 1000 GaõmÐBOC + mÐCOD = 1460, ùZùa mÐCOD ùKùZ ?

(A) 660 (B) 700

(C) 1000 (D) 900

C. mÐAOC + mÐCOD + mÐBOD = 1800

Gaõ mÐAOC + mÐCOD = 1000 .................(I)

I mÐBOD + mÐCOD = 1460 .................(II)

icúKeY (I) I (II) Kê ù~ûM Kùf _ûAaû,Þ (mÐAOC + mÐCOD + mÐBOD)+ mÐCOD

= 1000 + 1460

Þ 1800 + mÐCOD = 2460

Þ mÐCOD = 2460 – 1800 = 660 C.(A)

23. ùMûUòG icùKûYú ic\ßòaûjê ZòâbêRe K�ðe ù\÷Nðý 70 ùi.cò. ùjùf, Gjûe ùlZâ k ùKùZ ?

(A) 1225

2 aMð ùi.cò. (B) 1225 aMð ùi.cò. (C) 1250 aMð ùi.cò. (D)

1250

2aMð ùi.cò.

C. ùMûUòG icùKûYú ic\ßòaûjê ZâòbêRe K�ðe ù\÷Nðý = 70 ùi.cò.ùZùa _âùZýK icû^ aûjêe ù\÷Nðý = 70

2

ùi.cò. = 35 2 ùi.cò.

Gjûe ùlZâ k = 12

¨ (icû^aûjêe ù\÷Nðý)2

A

DB C


= 12

¨ ( 35 2 )2 a.ùi.cò.

= 12

¨ 35 35 2 a.ùi.cò.= 1225 a.ùi.cò. C. (B)

24. ùMûUòG PZêbêðRe K�ð\ßd _eÆeKê icùKûYùe ic\ßòL� Ke«ò ö ùZùa PZêbêðRUò Kò _âKûe PòZâ ?(A) iûcû«eòK PòZâ (B) e´iþ(C) @ûdZPòZâ (D) Uâû_òRò@cþ

C. ABCD PZêbêðRe AC I BD K�ð\ßd _eÆeKê icùKûYùe ic\ßòL� Ke«ò öùZùa AO = CO I BO = DO

Gaõ mÐAOB = mÐBOC

= mÐCOD = mÐDOA = 900

ùZùa D AOB I D BOC c¤ùe,AO = CO

BO iû]ûeY aûjê I mÐAOB = mÐBOC

ùZùa D AOB @ D BOC (aû-ùKû-aû. ÊúKû~ðý)Þ AB = BC

Gaõ D AOB I D COD c¤ùe, AO = CO,

BO = DO I mÐAOB = mÐCOD

\ D AOB @ D COD (aû-ùKû-aû)AB = CD

ùZùa mÐOAB = mÐOCD

cûZâ Gcûù^ GKû«e, ùZYê AB II CD

AB = CD I AB II CD ùjZê PòZâUò GK iûcû«eòK PòZâ,cûZâ Gjûe AB = BC ùjZê Gjû GK e´iþ ö C. (B)

25. 6 ùi.cò. aýûi aògòÁ GK aé� c¤ùe ùMûUòG aMðPòZâ @«fòðLôZ ùjûAQò ö aMðùlZâe ùlZâ k ùKùZ ?(A) 18 aMð ùi.cò. (B) 9 aMð ùi.cò. (C) 36 aMð ùi.cò. (D) 12 aMð ùi.cò.

C. ùMûUòG aé�e aýûi = 6 ùi.cò.ùZùa Gjûe c¤ùe @«fòðL^ ùjûA[ôaû aMðùlZâe K�ðe ù\÷Nðý = 6 ùi.cò.

Gjûe aûjêe ù\÷Nðý = 6

2 ùi.cò. = 3 2 ùi.cò.

Gjûe ùlZâ k = (aûjê)2 = ( 3 2 )2 a.ùi.cò. = 18 a.ùi.cò. C. (A)

A D

B C

O


26. ABCD iûc«eòK ùlZâùe AB = 12 ùi.cò., BC = 5 ùi.cò. I AC K�ð = 13 ùi.cò. ö iûcû«eòKùlZde ùlZâ k ùKùZ ?(A) 65 aMð ùi.cò. (B) 75 aMð ùi.cò. (C) 60 aMð ùi.cò. (D) 78 aMð ùi.cò.

C. ABCD iûcû«eòK ùlZâùe AB = 12 ùi.cò., BC = 5 ùi.cò., CA = 13 ùi.cò.cûZâ 12, 5 I 13 Gjû _ò[ûùMûeúd Zâdú @U«ò öùZùa D ABC GK icùKûYú D ~ûjûe ÐABC icùKûY ö

D ABC e ùlZâ k = 12

¨ AB ¨ BC

= 12

¨ 12 ùi.cò. ¨ 5 ùi.cò.= 30 a.ùi.cò.\ iûcû«eòK ùlZâe ùlZâ k = 2 30 a.ùi.cò. = 60 a.ùi.cò. C. (C)

27. ùMûUòG icaûjê ZòâbêRe ùlZâ k 16 3 aMð còUe ö Gjûe GK aûjê C_ùe ùMûUòG aMðPòZâ @uòZ

ùjûAQò ö aMðPòZâe _eiúcû ùKùZ ?(A) 16 2 còUe (B) 64 3 còUe (C) 48 còUe (D) 32 còUe

C. ùMûUòG icaûjê ZâòbêRe ùlZâ k = 16 3 còUe

Gjûe aûjê = 16 34

364x cò.= cò. = 8 cò.

ùZùa Gjò aûjê C_ùe @aiÚòZ ùjZê aMðPòZâe aûjêe ù\÷Nðý 8cò.ùZùa Gjûe _eòiúcû = 8 cò. ¨ 4 = 22 còUe ö C.(D)

28. òcÜfòLôZ Cqòcûû c¤eê ùKCñUò @iZý ?(A) m I n ùcøkòK iõLýû ùjùf ùicûûe iû]ûeY C_ôû\K= 1 ö(B) m I n MY^ iõLýû ùjùf m2 + mn + n2 c¤ GK MY^ iõLýû ö(C) m I n ùcøkòK iõLýû ùjùf m + n GK ùcøkòK iõLýû êùjñ ö(D) _âùZýK _eòùcd iõLýûe GK MêY^ûZàK aòùfûcú @Qò ö

C. (A) iZý ö KûeY ùcøkòK iõLýûcûû 1 I Cq iõLýû bò Ü @^ý ùKøYiò MêY^údK ^[ûG ö(B) iZý ö KûeY m I n Î N Þ m2, mn, n2 Î N

= m2 + mn + n2 Î N

(C) iZý ö KûeY m I n ùcøkòK ö m = 3, n = 5 ùjC,3 + 5 = 8 ùcøkòK êùjñ ö

(D) @iZý ö O Î Q Gaõ O e MêY^ûcôK aòùfûcú ^ûjó ö C.(C)


29. A = {a, b, c} ùjùf, òùcÜûq ùKCñ CqòUò iZý ?(A) {a} Î A (B) {{a}} Ì A (C) {} Ì A (D) f Î A

C. {} Ì A C.(C)

30. ùMûUòG icNê _âùZýK aûjêKê 100% aé¡ò KeûMùf, Zûe @ûdZ^ùe gZKWÿû ùKùZ aé¡ò ùja ?(A) 100 (B) 300 (C) 500 (D) 700

C. cù^Ke ùMûUòG icNê aûjêe ù\÷Nðý = x ,Gjûe @ûdZ^ = x3

cûZâ 100% aXÿòaû _ùe aûjêe ù\÷Nðý = 2x,

@ûdZ^ = (2x)3 = 8x3

@ûdZ^ùe aé¡ò = 8x3 – x3 = 7x3

% aé¡ò = 73

3

x

x ¨ 100 = 700% C.(D)

31. RùY aò\ýû[úð Neê ÄêfKê N�û _âZò 6 Kò.cò. ùaMùe Mùf I Äêfþeê NeKê N�û _âZò 2 Kò.cò. ùaMùeùèòùf ö Zûue N�û _âZò jûeûjûeò ùaM ùKùZ Kò.cò. ?(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 5

C. 6 I 2 e f.iû.Mê = 66 Kò.cò. ¥ 6 Kò.cò./N. = 1 N.6 Kò.cò. ¥ 2 Kò.cò./N. = 3 N.~òaû @ûiòaû aûU = 6 + 6 = 12 Kò.cò.~òaû @ûiòaû icd = 1 + 3 = 4 N.ùZùa jûeûjûeò ùaM = 12

4 = 3 Kò.cò/ N�û C.(B)

aòKÌ : cù^Ke aò\ýû[úðe Neê aò\ýûkde \ìeZû = x Kò.cò.ùZùa ùcûUþ ~òaû I @ûiòaû \ìeZû = 2 x Kò.cò. = 2x Kò.cò.aò\ýû[úðUò Neê ÄêfþKê Mfûùaùk Zû�e ùaM = 6 Kò.cò. / N.@[ûðZþ 6 Kò.cò. Kê icd = 1 N�û

1 Kò.cò. Kê icd = 16

N. Þ x Kò.cò. Kê icd = x

6 N.

Äêfþeê NeKê ~òaûùaùk Zû�e ùaM = 2 Kò.cò. / N.

@[ûðZþ 2 Kò.cò. Kê icd = 1 N�û Þ 1 Kò.cò. Kê icd = 12

N.


x Kò.cò. Kê icd = 12

¨ x = x

2 N.

ùcûUþ icd @ûagýK = x

2 N. + x

6 N.= 3

6

x x+ N.

= 46

x N. = 2

3

x N.

ùZùa Zû�e jûeûjûeò ùaM = ùcûU \ìeZûùcûU icd

= 2

2

3

xx

Kò.cò.N. Kò.cò./ N.= 3 Kò.cò. / N. (C) (B)

32. 100 RY aò\ýû[ðúue MYòZùe _ûA[ôaû ^ée jûeûjûeò 40 ùaûfò jòiûa KeûMfû ö _ùe RYû _Wÿòfû \êARYue^é bêfþùe 30 I 40 PXÿû~ûAQò ö cûZâ VòKþ ^é 50 I 60 @ùU ö ùZùa VòKþ jûeûjûeò ^é ùKùZ ?(A) 40.4 (B) 41 (C) 40.6 (D) 40.5

C. 100 RYue jûeûjûeò ^é 40 [ôfû2 RYue bêf [ôfû, ùZùa 100 RY ùcûUþ ^é [ôfû

= 100 40

ùi[ôeê Cq \êARYue ^é aòùdûM Kùf _ûAaû= 4000 – (30 + 40) = 4000 – 70 = 3930

ùZùa 98 RYue ùcûUþ ^é = 3930 @ùUùi \êA RYue ^é [ôfû = 50 I 60

ùZùa 100 RYue ùcûUþ ^é = 3930 + 50 + 60 = 4040

ùZùa 100 RYue jûeûjûeò ^é = 4040100

= 40.4 (C) (A)

33. òcÜ _\� Cqòeê ùKCñUò VòKþ ?(A) ùcøkòK iõLýûe aMð iað\û GK @~êMà iõLýû ö(B) @~êMà iõLýûe aMð GK ùcøkòK iõLýû ö(C) \êAUò aMð iõLýûe icÁò GK aMð iõLýû ö(D) \êAUò aMð iõLýûe @«e, ùicûûe aMð cìk\ßde icÁò I @«ee MêY`k ùja ö

C. \êAUò aMð iõLýûe @«e, ùicûûe aMðcìk \ßde icÁò I @«e `ke MêY`k @ùU ö_âcûY - cù^Ke \êAUò aMð iõLýû = a2 I b2


ùZùa ùi \êAUòe aMðcìk = a I ba2 – b2 = (a + b) (a – b)

ùZYê (D) C�eUò VòKþ ö (C) (D)

34.( . ) x( . )

( . ) x( . )

0 36 0 27

144 0 0343

12

23

12

13

= ?

(A) 9

14(B)

6

7(C)

3

1410

13x( ) (D)

9

1410

13x( )

C. ( . ) x( . )

( . ) x( . )

x

x

0 36 0 27

144 0 0343

1

2

2

3

1

2

1

3

1

2

2

3

1

2

1

3

36

100

27

1000

144

100

343

10000

=b g b g

b g b g

=

6

100

227

1000

12

10

2343

1000

1

10

1

2 2

3

1

2 1

3

10b g b g

b g b g

x

x

x

x =

6

10

3

10

3

12

10

7

10

31

10

2

3 2

3

1

3 1

3

10x x

x x

b g

b g b g

= 12

10 10 9

14

3

10

2

7

10

2

3

1

3

xx xb g

= C.(A)

35. A Vûeê B, 2 ahð aWÿ I B Vûeê C, 3 ahð aWÿ ö 4 ahð _ìùað Zò òRYu adi cògò 48 ahð [ôfû ö 3 ahð_ùe ùicûûe adi cògò ùKùZ ùja ?(A) 55 (B) 61 (C) 57 (D) 69

C. 4 ahð _ìùað A, B I C e adi cògò [ôfû 48

a�ðcû^ A, B I C e adi cògò= 48 + 4x3 = 48 + 12 = 60 ahð

3 ahð _ùe A, B I C e adi cògò= 60 + 3 3 = 60 + 9 = 69 ahð C.(D)

36. 2015 ciòjûùe bûeZe RîõLýû 127 ùKûUò ö aûhòðK 2% jûeùe RîõLýû aé¡ò_ûAùf, 2017 ciòjûùakKê Gjûe RîõLýû ùKùZ aé¡ò _ûAa (_ì�ð iõLýK ùKûUòùe)?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

C. GVûùe cìk R^ iõLýû = 127 ùKûUò = p,

icd = 2017 – 2015 = 2 ahð = t

jûe = 2% = r

Gjûe icìkPKâaé¡ò A =


= 127 x 12

100

2

+FHG

IKJ = 132.1308 ùKûUò

= 132 ùKûUò (_ì�ð iõLýûùe)ùZùa ùcûU ùfûKiõLýûùe aé¡ò= 132 ùKûUò � 127 ùKûUò = 5 ùKûUò (C) C.(B)

37. \êAUò _ûYò_µ \ßûeû 4 N�ûùe 3 Uò Kê� _ûYò _ì�ð jêG ö @ûC ùMûUòG @]ôKû _µ Kûcùe fMûAùf, _ìaðKê� @ûKûee 12 Uò Kê� ùKùZ N�ûùe _ì�ð ùja (iµéq _µMêWÿòK icû^ lcZû iµ Ü) ?(A) 8

1

3(B) 8

2

3(C) 10

1

3(D) 10

2

3

C. 2 Uò _ûYò_µ \ßûeû 4 N�ûùe 3 Kê� _ûYò _ì�ð jêG öùZùa 3 Uò _ûYò_µ ùKùZ N�ûùe 12 Uò Kê� _ûYò _ì�ð ùja ö_µ iõLýûKê x, icdKê y, Kê� iõLýûKê z ò@û~ûC öGVûùe, x

1 = 2 y

1 = 4 z

1 = 3

x2 = 3 y

2 = ? z

2 = 12

GVûùe y a1

x (z iÚòe); y a z (x iÚòe)

ùZùa y a z

x Þ

y

y

z

z

x

x2

1

2

1

1

2

= x

Þ y2 =

z x y

z x

2 1 1

1 2

12

3 3

32

310

2

3

2 4x x

x

x x

x= = = C.(D)

38. ùMûUòG PZêbêðRe \êAUò KâcòK ùKûYe _eòcûY ~[ûKâùc 650 I 750 ö @^ý \êAUò ùKûYe _eòcûY icû^ùjùf, Cq ùKûY\ßd c¤eê _âùZýKe _eòcûY ùKùZ?(A) 1100 (B) 700 (C) 650 (D) 550

C. ùMûUòG PZêbêðRe \êAUò KâcòK ùKûYe _eòcûY = 650 I 750

ùZùa @^ý ùKûY \ßde _eòcûYe icÁò= 3600 – (650 + 750)= 3600 – 1400 = 2200

@^ý ùKûY\ßd _âùZýK icû^ ùjùf,

@^ý ùKûY \ßd c¤eê _âùZýK = 2202

0

= 1100 C.(A)


39. RùY ajò ù\ûKû^ú aòKâò Keê[ôaû Lù� ajò C_ùe 10% eòjûZò ù\aû _ùe c¤ 10% fûb Ke«ò ö ~\òajò C_ùe \ûc 77 Uuû ùfLû~ûA[ûG, ùZùa ajòe Kâd cìfý ùKùZ ?(A) 61 Uuû 40 _Aiû (B) 62 Uuû 37 _. (C) 70 Uuû (D) 63 Uuû

C. ajòe fòLôZ cìfý = 77 U.

eòjûZò = 10% = 77 10

100 = 7.70 _.

ùZùa Gjûe aòKòâcìfý = 77 U. � 7.70 = 69.30 _.fûb = 10%

ùZùa Kâdcìfý = aòKâò cìfýfûb%x100

100 + = 63 U. C.(D)

40. ùMûUòG icùKûYú ZâòbêRe \êAUò aûjêe ù\÷Nðý ~[ûKâùc 5 ùi.cò. Gaõ 6 ùi.cò. ùjùf, ZéZúd aûjêeù\÷Nðý òeì_Y _ûAñ ùKùZûUò i¸ûa^û @Qò ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) @iúc

C. ùMûUòG icùKûYú D e \êAUò aûjê = 5 I 6ùZùa 6 Kê K�ðe ù\÷Nðý ù^ùf, @^ý aûjê= 6 5 36 25 11

2 2− = − =5 I 6 Kê icùKûY iõfMÜ aûjêe ù\÷Nðý \ßd ù^ùf, @^ý aûjê

= 6 5 36 25 612 2+ = + =

\ 2 Uò C�e còkòaûe i¸ûa^û @Qò ö C.(B)

41. ~\ò 2 \ßûeû aòbûRý icÉ _ì�ð iõLýûcû^ue ùiUþ A @ùU Gaõ 7 \ßûeû aòbûRý icÉ _ì�ð iõLýûcû^uùiUþ B @ùU, ùZùa òùcÜûq Cqò c¤eê ùKCñUò VòKþ ?(A) A Ç B ùe ùKak ùMûUòG C_û\û^ 14 @Qò ö(B) A Ç B ùe 50 \ßûeû aòbûRý C_û\û^ ^ûjó ö(C) A Ç B ùe 13 \ßûeû aòbûRý C_û\û^ @Qò ö(D) A Ç B = f

C. A Ç B ùe 14 QWû c¤ @ûjêeò C_û\û^ @Qò, ~ûjû 28 öùZYê _â[cUò @iZý ö

A Ç B ùe 50 \ßûeû aòbûRý C_û\û^ c¤ @Qò ö ~[û, 350 : Gjû 7 \ßûeû aòbûRý I 2 \ßûeû c¤aòbûRý ö ùZYê \ßòZúdUò @iZý ö

A Ç B ùe 7 x 2 x 13 = 182 c¤ C_û\û^ eìù_ @Qò KûeY Gjû 2 I 7 _âùZýK \ßûeû aòbûRý öGYê CqòUò iZý ö


cûZâ A Ç B ùe 2 x 7 ò½òZ GK C_û\û^ ö ùZYê A Ç B ¹ Q ö ùZYê (C) aòKÌUò iZý @ùU öC.(C)

42. ùMûUòG _fòù^ûcò@ûfþe NûZ 100 Gaõ G[ôùe [ôaû ]îaûu _\Uò 100 @ùU ö @^ý GK _fòù^ûcò@ûfþeNûZ 70 Gaõ Zjòñùe [ôôaû ]îaûu _\Uò –100 @ùU ö _fòù^ûcò@ûf \êAUòe ù~ûM`kKê @^ý GK_fòù^ûcò@ûfþ ijòZ MêYûMfû ö MêY`kùe [ôaû _fòù^ûcò@ûfþ ]îaûu _\Uò ùKùZ ùja?(A) 100 (B) 90 (C) –100 (D) 0

C. _â[c _fòù^ûcò@ûfe ]îaûu = 100

\ßòZúd _fòù^ûcò@ûfe ]îaûu = – 100

ùZùa Gcû^ue ù~ûM`ke ]îaûu = 0ùZYê Cq _fòù^ûcò@ûfþ \ßûeû @^ý GK _fòù^ûcò@ûfþKê MêYûMùf, ]îaûu = 0 C.(D)

43. 2x + 3 \ßûeû 2x3 + 9x2 + ax – 3 aòbûRý ùjùf a e cû^ ùKùZ ?(A) 11 (B) 7 (C) –11 (D) 3

C. 2x + 3 2x3+9x2+ax – 3 x2+3x –1

2x3+3x2

6x2+ ax – 3 6x2+9x

– 9x + ax – 3 – 2x – 3

– 7x +ax

– 7x +ax = 0 (Gjû aòbûRý ùjZê) Þ a = 7

(bûMùgh C__û\ý _âùdûMùe c¤ icû]û^ Keû~ûA_ûùe) C.(B)

44. \êAUò iõLýûe MêY`k x4 + 4y4 ö ùMûUòG iõLýû (x+y)2 + y2 ùjùf @^ý iõLýûUò ùKùZ?(A) (x+y)2 + x2 (B) (x–y)2 + 2x2

(C) (x+y)2 – 2y2 (D) (x–y)2 + y2

C. (x+y)2 + y2 = x2 + 2xy + y2 + y2 = x2 + 2xy + 2y2

x2 + 2xy + 2y2 x4+ 4y4 x2 – 2xy + 2y2

x4+ 2x3y + 2x2y2

– 2x3y – 2x2y2 + 4y4

– 2x3y – 4x2y2 – 4x2y3

2x2y2 + 4xy3 + 4y4

2x2y2 + 4xy3 + 4y4

0


ùZùa @^ý C_ôû\K = x2 – 2xy + 2y2 = x2 – 2xy + y2 + y2

= (x–y)2 + y2 C.(D)

45. eûc N�û _âZò 4 Kò.cò. ùaMùe Mùf, Äêfùe 5 cò òUþ aòk´ùe _jù� Kò«ê N�û _âZò 6 Kò.cò. ùaMùeMùf 10 cò òUþ _ìaðeê _jù� ö ~\ò Cbd ùlZâùe ùi GK ò�òðÁ icdùe Neê aûjûeò[ûG ùZùa NeVûeêZû Äêfe \ìeZû ùKùZ?(A) 8 Kò.cò. (B) 3 Kò.cò. (C) 4 Kò.cò. (D) 5 Kò.cò.

C. eûc N�û _âZò 4 Kò.cò. ùaMùe ~òa, @[ûðZþ 4 Kò.cò. ~òa 60 cò.ùe1 Kò.cò. ~òa = 60

4= 15 cò òUþùe

ùijò_eò 6 Kò.cò. ùaMùe ~òa, @[ûðZþ 6 Kò.cò. ~òa 60 cò.ùe1 Kò.cò. ~òa = 60

6= 10 cò òUþùe

ùZùa ~\ò \ìeZû 1 Kò.cò. jêG, ùZùa icd aýa]û^15 cò òUþ – 10 cò òUþ = 5 cò òUþcûZâ ùcûU icd aýa]û^ ùjûAQò= 10 cò òUþ + 5 cò òUþ = 15 cò òUþ5 cò òUþ icd aýa]û^ ùaùk, \ìeZû = 1 Kò.cò.1 cò òUþ icd aýa]û^ ùaùk, \ìeZû = 1

5 Kò.cò.

15 cò òUþ icd aýa]û^ ùaùk, \ìeZû = 15

x15 = 3 Kò.cò. C.(B)

46. RùY ù\ûKû^ú 5 Uò iù_Uûe KòYû \ûcþùe 2 Uò iù_UûKê aòKâò Kùf, Zûjûe gZKWÿû ùKùZ fûb ùja?(A) 120% (B) 130% (C) 140% (D) 150%

C. cù^Ke 5 Uò ùiù_Uûe KòYû\ûcþ = x , ùZùa 2 Uò ùiù_Uûe aòKâòcìfý = xcù^Ke ùi 10 Uò KòYò[ôfû,ùZùa 10 Uò ùiù_Uûe KòYû\ûcþ = 10

5x x = 2x U.

10 Uò ùiù_Uûe aòKâò\ûcþ = 102

x x = 5x U.fûb = 5x – 2x = 3x U.% fûb =

fûbKâd cìfý x 100 =

3

2

x

x x 100 = 150% C.(D)

47. ùMûUòG Rò òhKê 54 Uuûùe aòKòùf 10% lZò jêG ö ùKùZ cìfýùe aòKòùf 15% fûb ùja?(A) 69 Uuû (B) 64 Uuû (C) 84 Uuû (D) 74 Uuû


C. ùMûUòG \âaýKê 54 U.ùe aòKòùf 10% lZò jêGùZùa aòKâò cìfý = 54 U., lZò = 10%

KòYûcìfý = aòKâò cìfýlZò%

x 100

100 − = 54 100

90

x = 60 U.

KòYûcìfý = 60 U. fûb 15 %

aòKâòcìfý = KòYû cìfý fûb)x ( %100

100

+ = 60 100 15

100

x ( )+ = 69 U. C.(A)

48. \êARY _âû[ðú [ôaû òaûðP^ùe 25000 L� ùbûU _Wÿò[ôfû ö ^ûKP ùbûU aû\ ù\aû _ùe, VòKþ ùbûU 80%

ùjfû Gaõ VòKþ ùbûUþe 60% aòRdú _âû[ðú _ûAùf ö jûeò[ôaû _âû[ðú ùKùZ L� VòKþ ùbûU _ûAùf?(A) 10000 (B) 500 (C) 12000 (D) 8000

C. ùcûU ùbûU iõLýû = 25000, VòKþ ùbûU 80% = 25000 x 80

100 = 2000 Uò

aòRdú _âû[ðú _ûA[ôaû ùbûU iõLýû = VòKþ ùbûUþe 60%

jûeò[ôaû _âû[ðú _ûAùa = VòKþ ùbûUþe (100 % – 60%) = VòKþ ùbûUþe 40%

jûeò[ôaû _âû[ðú _ûA[ôaû ùcûU ùbûU iõLýû = VòKþ ùbûUþe 40% = 40

100x 20000 = 8000

C.(D)

49. RùY ù\ûKû^ú ùMûUòG aýûMþKê U. 165.00 KòYòùf I Zû� _ûAñ Zûue @^ýû^ý Lyð U. 15.00 ùjfû ö ~\òùi aýûMUòKê U.198.00 ùe aòK«ò, Zûue gZKWÿû ùKùZ fûb ùja?(A) 10% (B) 12.5% (C) 15% (D) 9%

C. aýûMþe KòYûcìfý=165 U. Gaõ aýûM _ûAñ @^ýû^ý Lyð = 15UaýûM _ûAñ ùcûU Lyð = 165 U + 15 U = 180 UaòKâò \ûc = 198 U., fûb = 198 U � 180 U. = 18 U

% fûb = 18

180x 100 = 10% C.(A)

50. Mäòieò þ I Rke GK cògâYùe 35% IRê Mäòieò þ cògòQò ö 100 Mâûce GcòZò GK cògâYùe 25 Mâûc RkcògûA \ò@ûMfû ö ìZ^ cògâYùe Mæòieò þe IR^ gZKWÿû ùKùZ?(A) 25 (B) 23 (C) 28 (D) 30

C. Mäòiòeò þ I Rke cògâYùe 35% IRê Mäòieò þ @Qò öùZùa 100 Mâûcþ IRê cògâYùe Mäòieò þ _eòcûY = 100 x

35

100= 35 Mâû.


100 Mâûcþ cògâYùe @ûC 25 Mâûcþ Rk cògòùf cògâYe _eòcûY = 100 Mâûcþ + 25 Mâûcþ = 125 MâûcþùZùa ùcûU Mäòiòeò þe gZKWÿû _eòcûY= 35

125x100 = 28% C.(C)

51. òcÜ _â\� iõLýû c¤eê ùKCñUò iaðaéjZþ @ùU ?(A)

1

2(B)

2

2(C) 2 2 (D)

1

2 2

C. 1

2

2

2 2

2

2= =

x2

2

2 2

2 2

2 2

22= = =x

x1

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

4= = =

x x x

2 2 22

2

2

4> > > \ 2 2 ùjCQò aéj�c C.(C)

52. ~\ò x = 0.000001, ùZùa òcÜ _â\� c¤eê iað òcÜ iõLýûUò ò�ðd Ke ö

(A) x (B) x (C) x2 (D) 1

xC. x = 0.000001

x = 0 000001. = 0.001x2 = (0.000001)2 = 0.000000000001

1 1

0 000001

1 1000000

11000000

1

1000000x

= = = =. C.(C)

53. ~\ò A = {x Î Q : x ³ 0} I B = {x Î Q : x £ 0} ùZùa A È B ùKùZ?(A) Q (B) {0} (C) 0 (D) f

C. A = {x Î Q : x ³ 0} e C_û\û^ ùjùf icÉ ]^ûcôK _eòùcd iõLýû I 0B = {x Î Q : x £ 0} e C_û\û^ ùjùf icÉ EYûcôK _eòùcd iõLýû I 0A È B = icÉ _eòùcd iõLýû = Q C.(A)

54. ~\ò A, B, C Zòù^ûUò ùiUþ, IAI = 15, IBI = 18, IC I= 17, I A Ç BI = 4, I B Ç CI = 5, I A Ç CI =

3 I I A È B È C I = 40, ùZùa I A Ç B Ç C I ùKùZ?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

C. I A I = 15, I B I = 18, I C I = 17, I A Ç B I = 4, I B Ç C I = 5, I A Ç C I = 3I A È B È C I = I A I + I B I + I C I – I A Ç B I–I B Ç C I –I A Ç C I+I A Ç B Ç C I


40 = 15 + 18 + 17 – 4 – 5 – 3 + I A Ç B Ç C I40 = 50 – 12 + I A Ç B Ç C IÞ 38 + I A Ç B Ç C I = 40 Þ I A Ç B Ç C I= 90 – 38 = 2 C.(B)

55. òcÜ_â\� iõLýû c¤eê 1 e òKUZc KòG ?(A) 0.99 (B) 1.1 (C) 0.9 (D) 1.00009

C. 1 – 0.99 = 0.01; 1.1 – 1 = 0.1; 1 – 0.9 = 0.1; 1.00009 – 1 = 0.000009

0.01, 0.1, 0.1 I 0.00009 c¤eê 0.00009 iaêVê iû^, ùZYê 1.00009, 1 e òKUZc öC.(D)

56. 1024 625 ùKùZ @u aògòÁ iõLýû @ùU ?(A) 7 (B) 6 (C) 4 (D) 5

C. 1024 625 ùe 1024 5 = Gjû GK Pûeò @u aògòÁ iõLýû1024 20 = Gjû GK _û� @u aògòÁ iõLýû1024 600 = Gjû c¤ GK Q@ @u aògòÁ iõLýû

ùZYê C�e GK Q@ @u aògòÁ iõLýû ùja öaòKÌ: 1024 625 = 640000 Gjû GK Q@ @u aògòÁ iõLýû @ùU ö

ùZYê 1024 625 = 6 @u aògòÁ iõLýû ùja ö C.(B)

57. xx

− =12 ùjùf, x

x3

3

1− ùKùZ ùja ?

(A) 3 2 (B) 6 2 (C) 2 (D) 5 2

C. x – 1

x= 2

x3 – 1

3x= x

xx

xx

x−F

HGIKJ + −F

HGIKJ

13

1 13

x x

= + = = + =2 3 2 2 2 2 2 3 2 5 23

d i x C.(D)

58.4

94

4

3

0

1

x xFHGIKJ

−

= ?

(A) 1

2(B) –1 (C) 4 (D)

4

3

C. 4

94

4

3

10x xFHG

IKJ

− =

2

31

3

4x x =

1

2C.(A)

59. 162 = 83n ùjùf, n e cìfý ùKùZ ùja ?

(A) 8 (B) 9 (C) 2

3(D)

8

9


C. 162 = 83n

Þ 83n = 162 Þ (23)3n = (24)2 Þ 29n = 28

Þ 9n = 8 Þ n = 8

9C.(D)

60.32

243

2

5FHG

IKJ

−

e cìfý ùKùZ ?

(A) 9

4(B)

5

8(C) –1 (D)

2

3

C. 32

243

2

5 2

3

2

55

5

FHG

IKJ

−=

FHG

IKJ

−

= 2

3

52

5 2

3

23

2

29

4

FHG

IKJ

−= F

HGIKJ

−= F

HGIKJ =

xC.(A)

@^ý C�e \ûZû : gêbûgòh ^ûdK, ieÊZú gògê aò\ýûc¦òe, Mû§úcûMð, @ûVMWÿgûgßZ Kêcûe cògâ, cû ðZ Mòeòg Kêcûe cògâ, @ûVMWÿùRýûZò _âKûg aeûk, cû ðZ ecûKû« aeûk, RkùiP^ Kùfû^ú, @ûVMWÿ

(~\ò C�e\ûZûcûû _ûLùe òR_âÉêZ C�ee ^Kf[ûG, ùZùa ZûKê GVùe \� C�e ijcòkûA ù\Lòùa ö)

icN^ : iaê_ûL icû^

Gjò icNê PûeòUò gúhðùe PûeòUò iõLýû 7,4,3 I 2 ùfLû ~ûAQò û @^ýgúhð MêWòKùe ùfLû[òaû iõLýû iaê fòbò~ûAQò û fòbò ~ûA[òaû iõLýû MêWòKê aûQ,-ù~_eò icNê _âùZýK _ûLùe [òaû PûeòUò gúhð iõLýûe ù~ûM`k icû^ ùja û


7 2

4

3


flý GK _[ @ù^Keûù] ùMû_ûk Lcûeú

MYòZùe _âùZýK _âgÜe GK ò�òðÁ C�e [ôaûeê MYòZKê Zûjû iei I iê¦e Keò[ûG ö GVûùe ò�òðÁ [ôaûC�eKê _ûAaû ùjCQò flý, Kò«ê _[ @ù^K [ôaûeê _âgÜUòKê @ûjêeò @ûKhðYúd KeòQò ö ùZYê MYòZ ùKùZ RUòkùKùZ KêUòk, ùKùZ iek I ùKùZ Ê_Üòk Zûjû @u Khê[ôaû aýqò jó aêSò_ûeòa ö @û«RûðZúd MYòZ _âZòù~ûMòZûùeGK ò�òðÁ _âgÜ fûMò C�e òeì_Y _¡Zò _âZòù~ûMú cûûe hûVòG _âKûee [ôaûe ^Ròe @Qò ö icûRùe@ù^K aòm aýqò @Q«ò ù~Cñcûù^ Zûu Rúa^ùe cûUâòKêùfi^ _eúlûùe @ù^K _âgÜe ò�òðÁ C�e òRe_âYûkúùe VòKþ KeòQ«ò Kò«ê ùijò _âgÜe C�e ùUÁù__e Kò û ajòe C�e ij cògòaûeê ùKak ùijò _âgÜùe[ôaû cûKð jó KUòQò ö ùZYê Gjò CqòUò GVûùe @ûùfûP^û Keòaûe @[ð ùjfû Gjò ù~, GK ùc]ûaú QûZâ_eúlKcûûe @iûa]û^Zûe gòKûe ^ ùjC ö GK ò�òðÁ C�e [ôaû _âgÜUòe 3/4 _âKûee C�e _âZò_û\^Keû~ûAQò ö

_âgÜ - ABC iìlàùKûYú ZòâbêRùe H ùjCQò Gjûe fáò¦ê ö ]eû~ûC h ùjCQò Gjûe \úNðZc CyZû ö_âcûY Ke ù~ AH + BH + CH £ 2h .

icû]û^ _¡Zò :- (1) cù^Keû~ûC ÐC ùjCQò ZòâbêR ABC e lê\âZc _eòcûY aògòÁ ùKûY ö\ mÐA ³ mÐC Gaõ mÐB ³ mÐC

GVûùe C gúhð ù\A ~ûA[ôaû CyZû AB aûjêKê D aò¦êùe ùQ\Kùe ö cù^Keû~ûC CD→

ZòâbêRABCe _eòaé�Kê D/ aò¦êùe ùQ\Kùe ö GVûùe CD = h ö

ZòâbêRe Zòù^ûUò CyZû ùjfû CD, AE, Gaõ CF ö_âcûY KeòaûKê ùja ù~ AH + BH + CH £ 2CD

@[ûðZþ, _âcûY KeòaûKê ùja ù~ AH + BH + CH £ CD + CD

Û AH + BH + CH £ CH + HD + CD

Û AH + BH £ HD + CD

~\ò GVûùe HD = DD/ ùaûfò _âcûY Keû~ûA _ûeòa,ùZùa _âcûY Keò ùja ù~AH + BH £ CD + HD = CD + DD/ = CD/

@[ûðZþ, AH + BH £ CD/ ùaûfò _âcûY Keòaû \eKûe öa�ðcû^ ZòâbêR ADH Gaõ ZòâbêR AEB c¤ùe ÐDAH @ ÐBAE (iû]ûeY ùKûY)ÐADH @ ÐAEB = 900

\ ÐAHD @ ÐABE (@ ÐABC) (3d ùKûY ùjZê) ..... (1)

CB E

F

H

A

D/

D


a�ðcû^ ÐABC @ ÐAD/ C (GK Pû_û«fòðLôZ ùKûY ùjZê) ...... (2)

(1) I (2) Þ ÐAHD @ ÐAD/D (Cbd ùKûY, ÐABC ij iaðic)AD/D D ùe, ÐAHD/ = ÐAD/H ........ (3)

Þ AD/= AH

a�ðcû^ D ADH I D AD/D c¤ùe ÐAHD @ ÐAD/D [(3) ùe _âcûYòZ]

ÐADA @ ÐADD/ [_âùZýK icùKûY (\�)]AD iû]ûeY aûjê\ D AHD @ D AD/D (ùKû-aû-ùKû)Þ DH = DD/ Gaõ AH = AD/

ùijò_eò _âcûY Keû~ûA_ûùe BH = BD/

GVûùe, CD ³ AE, CD ³ BF

\ AC ³ AB Gaõ BC ³ AB

Uùfcò (Ptolemy) u C__û\ý @ ê~ûdú AD/BC aé�û«fòðLôZ PZêbêðRùeCD/ ¨ AB = AD/ BC + BD/ AC ³ AD/ AB + BD/ ¨ AB

= (AD/ + BD/) AB

\ AD/ + BD/ £ CD/ Þ AH + BH = CD/ (_âcûYòZ)icû]û^ _¡Zò (2) - (ZâòùKûYcòZòe _âùdûM)

GVûùe PòZâ @ ê~ûdú ABC ZòâbêR _eòaé� @u^ Keû~ûAQòGaõ AD aéj�c CyZû ùjC ö _âcûY KeòaûKê ùja ù~: AH + BH + CH £ 2AD

GVûùe, ABC ZòâbêRe _eòaé�e aýûi ùjCQò BP (PòZâ-2)

a�ðcû^ AP I CP Kê @õK^ Keû~ûC ö\ mÐBAP = 900 = mÐBCP (Q @¡ðaé� L�iÚ ùKûY icùKûY)\ AF CF⊥ (Q mÐAFC = mÐFAP = 900) Gaõ AF AP⊥

\ CF AP⊥ Þ HC AP⊥

ùijò_eò _âcûY Keû~ûA _ûùe ù~ AH CPII

\ AHCP GK iûcû«eòK ùlZâGYê AH = CP Gaõ CH = AP

\ AH = CP = BP cos ÐBPC = BPcos ÐBAC = 2RcosA

(Q ÐBPC @ ÐBAC Gcûù^ GK Pû_û«fòðLôZ ùKûY)

CB

EFH

A

D

CB

EF

H

A

D

P

(PòZâ-1)

(PòZâ-2)


ùijò_eò _âcûY Keû~ûA_ûùe ù~ BA = 2RcosB Gaõ CH = 2R cos C

a�ðcû^ sinB = AD

AB Þ AD = AB sinB

\ AD = ABsinB = BPsin ÐAPB = BP sin ÐACB . sin B

= BP sin ÐACB . sinB = 2RsinC . sinB = 2R sinB . sin C

\ AD = 2 R Sin B SinC

GYê, _âcûY KeòaûKê _Wÿòa AH + BH + CH £ 2AD

Û 2R (cosA + cosB + cosC) £ 4 R sin B sin CÛ cosA +cosB + cosC £ 2 sinB . sinC

Û 2sinA (cosA + cos B + cosC) £ 4 sinB. sinC .sinA = 4 sinA .sinB sinC ........... (1)

a�ðcû^ ABC D ùe, A + B + C = p2A + 2B + 2C = 2p\ sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin 2A + sin 2B + sin 2C + 0

= sin 2A + sin 2B + sin 2C + sin 2p

=2sin 2 2

2

A B+FHG

IKJ cos

2 2

2

A B−FHG

IKJ + 2sin

2 2

2

C +FHG

IKJ

π cos

2 2

2

C −FHG

IKJ

π

= 2sin (A + B) cos (A – B) + 2sin (C+p) cos (C – p)

\ cos (C – p) = cos (p – C) Gaõ sin (p + C) = – sin C

GYê, sin 2A + sin 2B + sin 2C= 2sin (A + B) cos (A – B) – 2 sin C cos (p – C)= 2sin (p – C) cos (A – B) – 2sin C cos (p – C)

= 2 sin C .cos (A – B) – 2sin C cos (A + B) (Q sin(p – C) = sin C, p – C = A+ B)= 2 sin C [cos(A–B ) – cos(A + B ) ]= 2 sin C [cos A . cos B + sin A . sin B – cos A . cos B + sin A. sin B ]

= 2 sin C . 2 sin A . sin B = 4 sinA . sinB . sin C

@icúKeY (1) ùe, 4 sinA . sinB . sin C e cìfýsin 2A + sin 2B + sin 2C ù^ùf, @icúKeY (1) ùja

2sinA . cosA + 2sinA . cosB + 2sinA . cosC £ sin2A + sin2B + sin2CÛ 2sinA .cosA + 2sin A . cos B + 2 sin A .cosC £ 2 sinA. cosA +2sinB . cosB +2sinC.cosCÛ 2sinA .cosB – 2sin B . cos B + 2 sin A .cosC – 2 sinC. cosC £ 0

Û cosB (sin A – sin B) + cosC(sinA – sin C) £ 0

Q AD \úNðZc CyZû I D ABC iìlàùKûYú\ mÐA £ mÐB Gaõ mÐA £ mÐC

\ cos B > 0 Gaõ cos C > 0


GVûùe sinA £ sinB, sinA £ sinC

\ cos B( sinA – sinB) £ 0 Gaõ cos C( sinA – sinC) £ 0\ cos B( sinA – sinB) + cos C ( sinA – sinC) £ 0\ AH+BH + CH £ 2AD (_âcûYòZ)

icû]û^ _¡Zò :-(3)cù^Keû~ûC O ùjCQò D ABC e _eòùK¦â GaõL, M, N ùjCQò ~[ûKâùc BC , AC I AB aûjê Zâde c¤aò¦êGVûùe DABC _eòaé� @u^ Keû~ûAQò ö

BO→

, D ABCe _eòaé� aò¦ê Vûùe ùQ\ Keê öicû]û^ _âYûkú (2) ùe _âcûY Keû~ûAQò ù~AHCP GK iûcû«eòK ùlZâ \ AH = CP

_ê ½ BP e c¤aò¦ê O Gaõ BC e c¤ aò¦ê L @U«ò ö\ AH = CP = 2OL

ùijò_eò _âcûY Keû~ûA_ûùe ù~,BH = 2OM, CH = 2ON

Q AD \úNðZc CyZû, lê\âZc aûjê ö\ ABC D e ùlZâ k = BOC D e ùlZâ k + AOC D e ùlZâ k + AOB D e ùlZâ kÞ [ABC] = [BOC] + [AOC] + [AOB]

Þ [ABC] = ½ BC . OL + ½ AC .OM + ½ AB .ON

Þ 2[ABC] =BC . OL + AC .OM + AB .ON

= ½ (BC . AH + CA . BH + AB . CH)

Þ 4[ABC] =BC . AH + CA .BH + AB .CH ³ BC . AH + BC . BH + BC . CH)

= BC (AH + BH + CH)

\ AH + BH + CH £ 4 4 2

1

2[ ]x

.ABC

BC

BC AD

BCAD= =

\ AH + BH + CH £ 2AD (_âcûYòZ)

C

B

EF

H

A

D

P

M

N

L

(PòZâ-3)

O


icû]û^ _¡Zò :-(4)

PòZâùe AD , BE I CF ~[ûKâùc BC , AC I AB _âZòf´ I H ùjCQò f´ aò¦ê ö

a�ðcû^ AH

AD

AHB

ADB

AHB

ADB= =∆

∆eùlZâ keùlZâ k

[ ][ ]

\ AH

AD

AHB

ADB

AHC

ADC= =[ ]

[ ][ ][ ]

\ AH

AD

AHB AHC

ADB ADC= +

+[ ] [ ][ ] [ ]

= [ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]AHB AHC

ABC

AHB AHC BHC BHC

ABC

+ = + + −

= [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

ABC BHC

ABC

BHC

ABC

− = −1

\ AH

AD

BH

BE

CH

CF

BHC

ABC

AHC

ABC

AHB

ABC+ + = − + − + −1 1 1

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

= 3 – [ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

AHB BHC AHC

ABC

ABC

ABC

+ + = −3

= 3 – 1 = 2

\ AH

AD

BH

BE

CH

CF+ + = 2 Q AD ³ BF AD ³ CF (AD \úNðZc CyZû )

\ 2 = AH

AD

BH

BF

CH

CF

AH

AD

BH

AD

CH

AD+ + ≥ + +

\ 2AD ³ AH +BH + CH

Þ AH +BH + CH £ 2AD (_âcûYòZ)C_ùeûq _âgÜe @ù^K _âKûee icû]û^ _¡Zò ùjûA_ûeòa ö _ûVKcû^ue @aMZò òcù« PûùeûUò

_âKûee icû]û^ _¡Zò \ò@ûMfû ö@¤û_K, _�ûdZ cjûaò\ýûkd, aeMWÿ

CB

E

F H

A

D


Rene DescartesDr. Devi Prasad Das

If the diagonals of a parallelogram are perpendicular to each other, the parallelogramis a rhombus.

Let the parallelogram be OABC

O is the origin, side OA lies along the x-axisand it joins the origin O to the point (a,0)

\ length of OA = aC = (b, c)side CB is parallel to the x-axis.\ B = (d, c)

OC ABII

c

b = slope of OC = slope of AB =

c

d a−

ie. c

b

c

d a=

−

Þ c(d–a) = bc Þ d – a = b Þ d = b + a .... (1)

OB AC⊥

\ (slope of OB ) x (slope of AC ) = –1

Þ c

d

c

b ax

−= −1 Þ

c

b a

c

b a+ −= −x 1 (as d = b + a) in (1)

Þ c

b a

2

2 2−= –1 Þ c2 = a2 – b2

Þ a2 = b2 + c2 ................(2)

OC = ( ) ( )b c− + −0 02 2 = b c2 2+ = a2 = a = OA

Þ OC = OA ........................ (3)

>

> C (b, c) B (d, c)

A (a, 0)O (0, 0)


MZ iõLýû _âgÜe C�eiêRòZþ cògâ

_âgÜ - (_éÂû 22) N^iõLýûeê cìkiõLýûG_eò GK ]^ûcôK _ì�ðiõLýû MV^ Ke, ~ûjûe N^`ke ùgh Zò òUò @uKê fòùbA ù\ùf;

cìkiõLýûUò còkòa öC- 32e N^`k 32768 ö Gjûe ùgh Zòù^ûUò @uKê fòbûA ù\ùf 32 ùjCQò ö

ùZYê ]^ûcôK _ì�ðiõLýûUò 32 ö

_âgÜ - (_éÂû 28) 1 eê 9 = 100 (@]ôK RûYò[ôùf RYû@)123 - 45 - 67 + 89 = 100123 + 4- 5 + 67 - 89 = 100123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 1001 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9 = 100- - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 100

C�e: 1 + 2+3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100bûMðaú jûAÄêf, aúe^eiòõj_êe, _êeú

CB = ( ) ( )d b c c− + −2 2 = ( )d b− +20

= d – b = (b+a) – b [as in (1)]

= a = OA .......... (4)

AB = ( ) ( )d a c− + −2 20 = ( )b a a c+ − +2 2 [as in (1)]

= b c2 2+

= a2 [as in (2)]

= a ...............(5)

\ (3), (4) (5) Þ OC = OA = CB = AB

Q four sides of parallelogram OABC are equal in length.

Therefore OABC is a rhombus (Proved)

Okhala, New Delhi - 110020


cêñ iõLýû KjêQò (1)Ké¾ ùcûj^ cûjûYû

cêñ iõLýû KjêQò ö cêñ @eì_, gûgßZ I i^ûZ^ ö cêñ Bgße ö aògße @ûe¸ eê cêñ @Qò ö cêñ _âajcû^ öcêñ iaêùaùk _ì�ð ö @«üikòkû `fþMê _eò ^úk ^\ú Vûeê iò§ê _~ðý« ùcûe MZò ö @^« @cû_ öùKùZùaùk iÚòe, ùaùkùaùk @iÚòe ö gì ý c¦òe ùcûe aòjûe ö aògße Pûeò_ùU ùcûe i�ûe ö cêñIñKûe ö ùcûe @û\ý ^ûjó Kò @« ^ûjó ö

mûZ I @mûZ c¤ùe ùcûe i�û ö ùKùa (0) eì_ùe, ùKùa iõLýû eì_ùe ùcûe @ûaòbûða ö KaòZûeQ¦ I a§^ùe Rúa^e _eòKâcû ö cñ lê\â, Bgßeue ùfûc Kì_ùe cûkcûk ùjûA aòeûRcû^ Kùe ö

_ì�ð aMð iõLýû ùjCQò ùcûe bò Ü GK Kùkae ö _ì�ðaMð iõLýû ùgâYú GK @iúc ùiUþ öU icÉ ÊûbûaòK iõLýûe aMð iõLýû @Qò jêGZ òùR Kûjûe aMð iõLýû ùjûA^_ûùe öU ùKak 1 \ßûeû MVòZ iõLýûe MêY I ]cð

112 = 1211112 = 1232111112 = 1234321

U ùKùZK _ì�ðaMð iõLýû @Qò ù~Cñ MêWÿòKê aûc @ûWÿê _Xÿòùf ~ûjû WûjûY @ûWÿê _Xÿòùf Zûjû -484, 676

U cìk iõLýû I IfUû iõLýûe aMð c¤ IfUû122 = 144212 = 4411022 = 104042012 = 40401

U \êAUò KâcòK iõLýûe icÁò GK @~êMà _ì�ð aMð iõLýû ö4 + 5 = 9 = 32

12 + 13 = 25 = 52

U \êAUò KâcòK @~êMà iõLýûe icÁò GK _ì�ð aMð iõLýû ö1 + 3 = 4 = 22

7 + 9 = 16 = 42

31 + 33 = 64 = 82

U 81 ùjCQò lê\âZc _ì�ðaMð iõLýû ~ûjû Zòù^ûUò _ì�ðaMð iõLýûe ù~ûM`kùe _âKûg Keòùja ö81 = 12 + 42 + 82 = 1 + 16 + 64 = 81


U KâcòK N^ iõLýûe icÁò ùjCQò icÁòe aMð ö13 = 12

13 + 23 = 9 = (1+ 2)2

13 + 23 + 33 = 36 = (1+ 2 + 3)2

U KâcòK @~êMà iõLýûcû^u ù~ûM`k GK _ì�ðaMð iõLýû ö1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 33

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

U Zò ò @u I Pûeò @u aògòÁ ò@ûeû I @^^ý 9Uò iõLýû ~[û - 324, 729, 1296, 2025, 2916,

3969, 5184, 6561, 8100ö ù~_eòKò -

324 = 18 Þ 1 + 8 = 9 Þ 324

9 = 36 Þ 36 = 6

K[û aòjûe, Zebû, iêa�ð_êeùcû - 9437706464

bâc iõùgû]^ KeiõLýû ùgâYúUò ùjfû �

2, 9, 3, 1, 8, 4, 3, 6, 5, 7, 20 ûGjò iõLýû ùgâYúe ùgh iõLýûUò bêfùe _âKéZ iõLýû RûMûùe 20

ùfLû ùjûA ~ûAQò û ùgh iõLýûUò ùKùZ ùja ? bâc iõùgû]^ Ke û-------------------------------------------------------------

gì^ý iÚû^ ???(2+6), (21+6), (58+6), (�), (210+6),

Gjò iõLýû aò ýûie gì ý _\Uò _ìeY Ke û



C�e : 19Uò \ò@ûiòfò KûVò MYòZ(MZ[e _Peû ~ûA[ôaû _âgÜe C�e)

AõRò òde @û\òf cj¹\þMZ[e _âgÜ [ôfû :-_âgÜ - 1 : 19Uò \ò@ûgòfò KûVòKê G_eò iRû@ ù~_eò Gjû \ßûeû MVòZ @ûdZPòZâe ùlZâ k

iaûð]ôK ùja öC�e - Gjûe iû]ûeY `cìðfûUò òcÜ _âKûee(K) cù^Ke N ® \ò@ûgòfò KûVò iõLýû GVûùe N = 19(L) K = floor (N / 4)

(iõLýûKê 4 \ßûeû bûMKeò _ì�ð iõLýû bûM`kUò ò@û~òa) K = floor (19 / 4) K = 4

(M) L = N – (4 K)

GVûùe, L = 19 � (4 ¨ 4) = 3(N) ~\ò L < 2 ùZùa ùlZâ k = K ¨ K

^Zêaû, ùlZâ k = K ¨ (K + 1)

GVûùe, = 4 ¨ 5 = 20; @[ûðZþ, PòZâUò òcÜ _âKûee ùja

G[ôùe 18Uò KûVò aýajûe Keû~ûAQò ö


_âgÜ - 2 : _ìað [e _âgÜUò [ôfû -19Uò \ò@ûiòfò KûVòKê G_eò iRû@ ù~_eò Gjû \ßûeû MVòZ bò Ü bò Ü @ûdZ ùlZâ e icÁò iaûð]ôK

ùja ?C�e - ù\Lû~ûAQòKûVò iõLýû icê\ûd bò Ü bò Ü @ûdZ ùlZâe icÁò

4 15 16 17 38 39 310 611 612 913 1014 1015 1216 1517 1818 1819 21

GYê 19Uò KûVòKê aýajûe Keò 21 _âKûe bò Ü bò Ü @ûdZ ùlZâ MV^ Keòùja ~ûjûe icÁò21 ö

(6Uò 1 ¨ 1, 5Uò 2 ¨ 2, 4Uò 3 ¨ 1, 3Uò 4 ¨ 1, 2Uò 5 ¨ 1, 1 ùMûUò 1 ¨ 1)PòZâUò òcÜ _âKûe -


_âgÜ - 3 : MZ [e _âgÜ Uò [ôfû :19Uò \ò@ûgòfò KûVòKê aýajûe Keò ùKùZûUò ZòâbêR @ûKéZò MV^ Keò _ûeòaû ? ùi PòZâUò Ke ö

C�e : @ûùc 3Uò KûVò aýajûe Keò ùMûUòG D @ûKéZò MV^ Keò _ûeòaû ö@ûùc 5Uò KûVò aýajûe Keò 2ùMûUò D @ûKéZò MV^ Keò _ûeòaû ö@ûùc 7Uò KûVò aýajûe Keò 3ùMûUò D @ûKéZò MV^ Keò _ûeòaû ö@ûùc 3 + (N –1)2Uò KûVò aýajûe Keò N ùMûUò D @ûKéZò MV^ Keò _ûeòaû ö@ûùc 19Uò KûVò aýajûe KeòaûGVûùe, 3 + (N –1)2 = 19Þ (N –1)2 = 19 � 3 Þ (N –1)2 = 16 Þ (N –1) = 8 Þ N = 919Uò KûVò Kê aýajûe Keò 9Uò D @ûKéZò MV^ Keò _ûeòaû öPòZâ -

ijKûeú òaûðjú ~ªú, eûCeùKfû _ò.GPþ. WòbòR þùcûaûAfþ - 9437198677

aeûj còjòeu _âùdûM^éiòõj PeY _�û

@Éò É¸Zùk aòkõ Z\ê_eò KâúWÿû gòL�úiÚòZüÉù¸ jÉ^ùaûzòâùZ ZâòMêYòZü É¸ _âcûYû«ùe ö\éÁßûjòõ aòkcûaâR«c_ZZþ Zò~ðKþ i Zùiýû_eòlò_âõ aïjò ZùdûaòðkûZþ KZòcòùZ÷ü iûùcý^MùZýû~êðZòü ö

^�jûZ Cy ùMûUòG L´ C_ùe gòL�ú (cdìe) aiò[ôfû ö L´ cìkeê L´ _âcûYe Zò òMêY @[ûðZþ9 x 3 = 27 jûZ \ìeùe ùMûUòG iû_ @Qò ö ùi L´ cìkùe [ôaû MûZKê @ûiêQò ö ùiùZùaùk cdìe Zû�C_eKê ùWAñfû ö cdìe I iû_e MZò icû^ ö ùZùa MûZVûeê ùKùZ \ìeùe cdìe iû_Kê ]eòfû, GjûùjCQò _âgÜ ö Gjò _âgÜ aeûj còjòe òRe ^ûZêYúKê _Pûeò[ôùf ö C�e eìù_ ^ûZêYú 12 jûZ \ìeùe]eòfû ùaûfò RYûA[ôùf ö (@û_Yue C�e ùKùZ ùjCQò jòiûa Ke«ê Gaõ jòiûaUòKê @ûc _ûLKê _Vû«ê ö Q_û ùja ö)

ieKûeú Cy aûkòKû aò\ýûkd, aû\ûcaûWÿò, KUK - 12

9 x 3 = 27

9


�ùKûY� I Gjûe aòbûMúKeYcûî cògâ, MYòZ gòlK

(fòiû I ùiû^ú \êA bCYú (cûCiúSò@) ö Cbd acùgâYúe QûZâú ö fòiû eûCeùKfûùe D.A.V.

Public School ùe Gaõ ùiû^ú Mûñe IWÿò@û cû¤c ieKûeú jûAÄêfùe _ûV _Xÿ«ò ö aWÿ\ò QêUòùeCbdue @Rû Mûñ iûlòùMû_ûk òKUa�úð aògß û[_êeKê aêfò~ûA[ôùf ö @Rû Zûue jûAÄêfe @aie_âû¯Ê^ûc]^ý MYòZ gòlK ö @Rûu Nùe \òù^ _ûVKê ùÂ Cbdu c¤ùe SMWÿû ùjfû ö)

fòiû, ùiû ò \êùjñ Keòùf SMWÿû�iek ùKûY�Kê ùÂ

(fòiû) - Zêc _ûV ajò, @ûc iùw ùKùa~òaKò icû^ ùjûA ?...... ûû1ûû

\ûcòKû _òfûG _Xÿ«òùfû ZûKêKeòQ«ò G þ.iò.A.@ûeþ.Uò

c¤ûjÜ ùbûR^ cûMYû LûAKò^ RûYò KeêQê _ûUò ö...... ûû2ûû

RýûcòZòùe _û� _âKûe ùKûYKêZêùc Z _XÿêQ Zò� ò

còQUûùe Lûfò êUûYò ù\LûCaiê ê ùjûAKò Zê ò ö...... ûû3ûû

(ùiû^ò)- ajòe iekùKûYKê ùÂKòù\LûC aj_ GùZ

(ùZùa) ùMûUòG ùeLûùe, @ûC ZâòbêRùeùKûY iõLýû Kj ùKùZ ?...... ûû4ûû

[1800 cû_ aògòÁ ùKûYKê MâjY Kùf ZòâbêR I iekùeLûùe @iõLý iek ùKûY ejòùa]

gì WòMâú ùKûY GK egàò \ßûeûiìPûAQ Zêc ajòùe

\êAùMûUò egàò GKûVò ejòùf(Zûu) iû]ûeY aò¦ê Kûjóùe ?...... ûû5ûû


�0� Vûeê aWÿ �180� Vûeê iû^@ûc ùKûY _eòcû_

�gì � eê �Zò òg hûVòG� _~ðý«Zêùc _Xÿ ùKûY cû_ ö......ûû6ûû

@Rû ùèê[ôùf cûùKðUòõ iûeò@UKò ejòùf ùiVò

Kjòùf _òfûG Kkò Ke ^ûjóaiòKò, gêY GKûVò ö......ûû7ûû

(‘A’, ‘B’, ‘C’) Zò ò aò¦ê ~\ò @Y-ùeLú ùjùf( BA BC

→ →, ) iõù~ûMKê Kêj ABC ùKûY

‘B’ gúhðaò¦ê ùja Zû�e egàòegàò\ßd aûjê RûY ......ûû8ûû

_eòcûY ùÂ ùKûY Zò òbûA@U«ò ùcøkòK ùKûY

iìlàùKûY, icùKûY _êYò ZûuùRýÂ bâûZû iÚìk ùKûY ö......ûû9ûû

�gì �eê @]ôK �^ùa�eê @k_ùi ùjûAa iìlàùKûY

VòKþ ^ùa ùjùf, RûYò[û@ _òùfZûjû ùja icùKûY ö ûû10ûû

~\ò _eòcûY �^ùa�Kê U_òfû�gùj @gú� ^ ]eòfû

ZûjûKê Kjòa iÚìkùKûY _òùfGAVò ùKûY ieòfû öö11öö

Zò ò ùMûUò ùÄf ejòQò RûYò[ûùKûYKê cû_òaû _ûAñ

WòMâú, ùMâWÿþ, iùw ùeWò@û þ _êYògêY Zêùc c^ ù\A ö......ûû12ûû

A

CB

WòMâú cûù_ ^ùa ùMâWÿþ cûù_ gùj GK icùKûY jêG

aé�úd cû_ùe icùKûY _êYòπ2

ùeWÿò@û þ ùjûA[ûGö...... ûû13ûûùiû^ú Zûkòcûeò Kjòfû, @ûce

IWÿògû ùfLòQò gê¡\òfäú iò û Lûfò PcK ù\LûG

MYòZùe ù\L M] öû14ûû

bûMðaú jûAÄêf, aúeêiòõj_êe, _êeú


iûõLôýK Z�ß aòcgðü (\g)iù«ûh Kêcûe _�û

10 �\g�\g @aZûe - cú^, Kz_, iìKe, ^ejeò, aûc^, béMê_Zò, eNê_Zò, akeûc, aê¡ I KkþKú @aZûe ö\g A¦òâd - Plê, K�ð, ^ûiû, Ròjßû, ZßKþ, gâaY, \gð , Ægð, @ûÊû\^, I NâûY ö\g C_Pûe - _û\ý, @Nðý, @ûPc^, c]ê_Kð, @ûPc^, M§, _ê¿, ]ì_, \ú_, I ù ÷ùa\ý ö\g K^ýû ù\ûh - Zûcâ ùKgú, @]ôKûwú, Pòe ùeûMòYú, ùfûc ejòZû I @Zò ùfûc~êqû, KUê bûhòYú,

_òwkûlú, CyûK_ûkú, Kê\«ú, ^Á PeòZâû I jú^ûwú ö\g K^ýû ù\ûh - jú^Kòâd, ò¿êeêh, ògþQ¦, ùeûcg, @gúð, ldú, @ûcdûaú, @_iàûeú, gßòZâú I KêÂú

aõg K^ýû ö\gKcð iõÄûe - Mbûð]û^, _êõia^, iúcù«û d^, RûZKcð, ûc KeY, òÃâcY, @ Ü_âûg Ü, PìWÿûKeY,

C_^d^ I aòaûj ö\gûw ]ì_ - cjê, cê[û, Nò@, P¦^Mê�ò, MêMþMêk, @Mêe, gòkûRZê, ù\a\ûeê KûV, SêYû I ùiûeòh ö\g \û^ - ùMû, bì, Zòk, iêa�ð, NéZ, aÈ, ]û^ý, MêWÿ, ùeø_ý I faY ö\g\òM - _ìað, @MÜò, \lòY, ù ÷EZ, _½òc, aûdê, C�e, Hgû^ý, D¡ßð I @] ö\g\òM _ûk - A¦â, @MÜò, ~c, ù ÷EZê, aeêY, aûdê, Kêùae, Bgû^, aâjàû I @^« ö\g ù\ûh - òfðRû, ùPûeYú, WûKò ú, \êÃcð KûeòYú, aýbòPûeòYú, KUêbûhòYú, jòõiûKûeòYú, cò[ýûaû\ò ú,

iað\û @i«êÁû I aûe´ûe _òZéMéjKê ~òaû ö Gjû ^ûeúe ù\ûh @ùU ö\g\ßûe - \êAPlê, \êA K�ð, cêL, \êA^ûiû, Mêjý, C_iÚ I aâjàe¦â ö\g ^ûWÿú - AWÿû, _òwk, iêhêcÜû, Mû§ûeú, jÉú Ròjßû, _ìhû, ~gÊò ú, @k êhû, Kêjê I gvò ú ö\g òùh] Kêk - jú^Kòâd, ò¿êeêh, ògþQ¦, ùeûcg, @gúð, ldú, @ûcdûaú, @_iàûeú, gßòZâú I

KêÂúKêk ö\g_âûY - _âûY, @_û^, aýû^, C\û^, icû^, ^ûM, Kìcð, KéKe, ù\a\� I ]^¬d ö\gaò] @MÜòKkû - ]ìcâûyòð, Chàû, Rßkò ú, Rßûkò ú, aò¾êfòwò ú, iêgâú, iêeì_û, K_òkû, jaýajû I Kaýajû ö\gaò] KêzâaâZ - Z¯ Kézâ, iû«_^ Kézâ, _û\Kézâ, _âûRû_Zý Kézâ, @¡âKézâ, _âûRû_Zý Kézâ, @¡ðKézâ,

@ZòKézâ, KézâûZòKézâ, ùiøcýKézâ, Zêkû_êeêh Kézâ I K�K Kézâ ö


\gaò] òdc flY - Z_, iù«ûh, @ûÉòKý, \û^, ù\a_ìR^, iò¡û«, gâaY, jâú, cZò I R_ûjêZò ö\gaò] akòù~ûMý _gê - céM, QûM, ùch, fêfû_, gìKe, gfäKú, ggK, ùMû]û, Kìcð I LWÿþMú ö\gaò] aòhd flY - iMð, _âZòiMð, iÚû^, ù_ûhY, DZò, c ß«e, BgK[û, òùeû], cêqò I @ûgâd ö\gaò] aò¾êKkû - Reû, _ûkò ú, gû«ò, Hgßeú, eZò, KcðKû, ae\û, @ûjäû\ò ú, _âúZò I \úNð ö\gaò] aâjàû Kkû - iéÁò, E¡ò, iáZò, ùc]û, Kû«ò, flàú, \êýZú, iÚòeû, iÚòZò I iò¡ò ö\gaò] ~c flY - @jòõiû, iZý, @ùÉd, aâjàP~ðý, \dû, @ûRða, lcû, ]éZò, còZûjûe I ùgøP ö\gaò] eì_K - ^ûUK, _âKeY, bûY, aýûùdûM, icaKûe, Wòc, AjûcéM, @u, aú[ú I _âji^ ö\gaò] gûK - _Zâ, cìk, Keúe (aûCñgMRû) @M, `k, Kû�, @iÚòeêXK, ZßKþ, _ê¿ I KaK ö\g aò] gòlû_\ - _âûYûZò_ûZ, @\�û\û^, @aâjàP~ðý, @iZý, iêeû_û^, aòKûk ùbûR^, _â\gð ,

aòbìhY, cjûgd^ I ]^iõMâj ö\gaò] iõÄûe - _êõia^, iúcù«û^d^, RûZKcð, ^ûcKeY, ajò òÃâcY, @ Ü_âûg^, PìWÿû Kcð,

C_^d^, ùa\ûe¸ I icûa�ð ö\g aògß ù\aû - KâZê, \l, aiê, iZý, Kûk, Kûc, ]ß , ùeûPK, _êeêeaiþ I cû\âaiþ ö\g cjû\û^ - iêa�ð, @gß, Zòk, céM, K^ýû, MR, \ûiú, e[, _é[ôaú I K_òkû ù] ê ö\g cjûaò\ýû - Kûkú, Zûeû, ùhûWÿgú, bêaù^gßeú, ùb÷eaú, zò ÜcÉû, ]ìcûaZú, aMkûcêLô, cûZwú I

KckûZàòKû ö\gcê\âû - @ûaûj^, iõiÚû_^, i Üò]û^, i Üòùeû]^, iKkú KeY, @aMêY× , ù] êcê\âû, @céZúKeY,

cjûcê\âû I _ecúKeY cê\âû ö\gcìk - ùaf, iê ûeú, _ûUkú, M¸ûeú, @Mòa[ê, gûk_�ðû, Ké¾_�úð, @ueû«ò, fZûùaùuûkò I ùMûLe ö\gùckK - Zûe, P¦â, ak, a�ð, c�k, ba^û]úg, ^ûZò, RûZò, Êe I aMð ö\geûZòâ - \ûeêYeûZòâ (@ldZéZúdû) \úaýeûZòâ (Mwû\gjeû) ùcûjeûZâò (R àûÁcú), cjûeûZòâ (cjûÁcú),

KûkeûZâò (cjûkdû), ùNûeeûZâò (ù_øh Ké¾ûÁcú), aúeeûZâò (eU«ò PZê�ðgú), MY_Zò eûZòâ(ae\û PZê[úð) @akûeûZâò (_û_ùcûP^ú GKû\gú) I iò¡eûZòâ (cjûaòhêa iõKâû«ò) ö

\ùgû_ òh\þ - Bùgû_ òh\þ, ùKù^û_ òh\þ, KùVû_ òh\þ, _âùgÜû_ òh\þ, cêù�û_ òh\þ, cû�êKû C_ òh\þ,ùZ÷�eúùdû_ òh\þ, H�eúùdû_ òh\þ, Qû¦ùMýû_ òh\þ I aéjZ @ûeYýùKû_ òh\þ ö

GeWÿû, aeú, ~ûR_êe


_âgÜ : ùMûUòG aMðPòZâe PûeòUò aûjê C_ùe PûeòUòiaðic icùKûYú ZâòbêR @u^ Keû~ûAQò û \êAUò ZâòbêRaMðùlZâe bòZe _ûLùe @Qò, @^ý \êAUò ZâòbêR aMðùlZâeaûjûe _ûLùe @Qò û PòZâ ù\L û Gjò PûeòUò iaðicicùKûYú ZâòbêRe PûeòUò bò Übò Ü gúhð aò¦êKê Kâcû ßdùeù~ûM Keò G_eò GK ùeLûPòZâ @u^ Ke ~ûjûe ù\÷Nðý cû_ iað òcÜ ùja û ùeLûPòZâUòe ^ûcKY ?

MYòZ aòPòZâû cûyð - 2016 _ûVK_âgÜe icû]û^icû]û^ K�ðû - _êUêf iûjê

icû]û^ -

‘ABCD’ GK aMðùlZâ ö aMðùlZâe @«ù\ðgùe @aiÚòZ BPC icùKûYú ZòâbêRe K�ð BC Gaõ‘AQD’ icùKûYú ZòâbêRe K�ð AD ö \ßòZúdZü aMðùlZâe aûjûe ajòüù\ðgùe ‘AOB’ icùKûYúZòâbêRe K�ð AB Gaõ ‘CRD’ icùKûYú ZòâbêRe K�ð CD ö Gjò PûùeûUò icùKûYú ZòâbêR _eÆeiaðic ö @[ûðZþ OB = PB = DQ = DR Gaõ AO = AQ = CP = CR ö


@ûagýKúd ùeLûPòZâUò, 3 Uò ùeLûL�e icûjûe @[ûðZþ PòZâUò (OP PQ QR∪ ∪ ) @ùU öPòZâUòe ù\÷Nðý = OP + PQ + QR

Gjò ù\÷Nðýe cû_ iað òcÜ ùjaû _ûAñ ùeLûL� Zâd GKùeLú ùjaû aòù]d ö_âûcûYý : Pûeò icùKûYú ZòâbêRe gúhðaò¦ê O, P, Q, R GK iekùeLú (O – P – Q – R) ùjùa ö

mÐOAB = mÐPCB = mÐQAD = mÐRCD = x0 ùjC öGcû^ue Pûeò @ ê_ìeK ùKûY ùjùf ÐOBA, ÐPBC, ÐQDA Gaõ ÐRDC ömÐOBA = mÐPBC = mÐQDA = mÐRDC = 900 – x0 ùja ö

_âcûY : aMðùlZâe ABCD ùe ÐA, ÐB, ÐC I ÐD _âùZýK icùKûY öÞ ÐPBA = 900 – (900 – x0) = x0 ùja öùijò_eò mÐQDC = 900 – (900 – x0) = x0

mÐBAQ = 900 – x0 Gaõ mÐDCP = 900 – x0 ùjùa öa�ðcû^ mÐOBP = mÐOBA + mÐABP = 900 – x0 + x0 = 900

Gjò_eò _âcûY Keû~ûA _ûùe mÐOBP = mÐPCR = mÐQAO = mÐRDQ = 900

@[ûðZþ D OBP, D PCR, D QAO, D RDQ icùKûYú ZòâbêR @U«ò öa�ðcû^ OBP D ùe BO = BP Þ mÐBOP = mÐBPO = 450

PCR D ùe CP = CR Þ mÐCPR = mÐCRP = 450

DQR D ùe DQ = DR Þ mÐDRQ = mÐDQR = 450

Gaõ AOQ D ùe AO = AQ Þ mÐAOQ = mÐAQO = 450

mÐOPB + mÐBPC + mÐCPQ = 450 + 900 + 450 = 1800

Þ OP I P Q GKùeLú ö ................(1)

mÐPQA + mÐAQD + mÐDQR = 450 + 900 + 450 = 1800

Þ PQ I QR GKùeLú ö ................(2)

(1) I (2) GKùeLú ö \ O – P – Q – R GKùeLú öPòZâUòe ^ûc OR ùeLûL� ö

Mâû / ù_û.-iêKîkò, cdêeb¬, ù`û þ - 9658154584@^ý C�e\ûZû : ai« Kêcûe cjû_ûZâ, ~ùgûa«_êe, RMZþiòõj_êe


_êÉK icúlû icúlû : ùMûaò¦ P¦â aògßûk

MYòZ gòLû :_VûYò iûc« MYòZ ùc]ûaé�ò (6Â /9c)( ìZ^ Xû�ûùe _âÉêZ)

ùfLK : c\^ ùcûj^ cjû«ò, ^úkûé aògßûk_âKûgK : ZòZòfòcû aògßûk, cìfý : U.110/-

_VûYò iûc« MYòZ ùc]ûaé�ò _eúlû[ðúu _ûAñ Gjò ajò _âKûgòZùjûAQò ö \êAL�ò ajò- L�òG hÂ , @^ýUò âc ùgâYú _ûAñ ö

aòMZ ahðe _eúlû[ðúcûù^ Kj«ò, �hÂ ùgâYú ^òcò� C�òÁ_eúlûe _âûd icÉ _âgÜ Gaõ ac ùgâYú fûMò C�òÁ _eúlûe _ûLû_ûLò@]û@]ô _âgÜ _âZýl aû _ùeûl bûaùe Gjò ajòeê @ûiò[ôfû ö� GjòcZûcZeê ajòUòe C_ûù\dZû i´§ùe ]ûeYû R àûG ö

Gjò ajòe aòùghZß ùjfû, ajò @ûe¸eê C_ù~ûMú MYòZe �Z[ýI Z�ß�e C_iÚû_^û ö @^ýû^ý _âZòù~ûMòZû cìkK MYòZ ajòùe G_eò@¤ûd [ûG ö ùZYê QûZâ I gòlK cjfùe Gjû @û\éZ ùja ò½d ö

Gùa ìZ^ Xû�ûùe _âgÜe C�e ù\aûKê _WÿêQò ö OMR �ðùe VòKþbûùa C�òÁ aé�Kê Kkû^Kùf, _âKéZ C�e RûYò iê¡û _eúlû[ðú gì é _ûCQò ö ùZYê @ûagýKúd C�e`�ð (OMRSheet) @býûi _ûAñ ajòùe iõù~ûRòZ Keû~ûAQò ö

baòhýZùe _òfûcûù^ CAT, MBA, MAT, IMI, IRMA, IFFT, NIFT, BBA, BCA,LAW, IAS Z[û aýûu _ò.I. _ûAñ _âZòù~ûMòZûcìkK _eúlûùe i¹êLú^ ùjùa ö ùiùZùaùkùicûù^ Gjò ajòe C_ûù\dZû @ êba Keòùa ö GùaVûeê _Xÿ«ê ! _Xû«ê!!

_âû¯òiÚû^ : 1. G.ùK.cògâ _âû.fò. eKèòùf^þ, aû\ûcaûWÿò, ,KUK; 2. cû]a aêKþ ùÁûe, beZò@ûUûIßûe, aû\ûcaûWÿò, KUK; 3. KòZûa cjf, aû\ûcaûWÿò, KUK; 4. ùMäûaûfþ GùR^èò, aû\ûcaûWÿò, KUK;5. ieÊZú aò\ýûb�ûe, KUK; 6. G.ùK.^ûdK, IfWÿþ aiþÁû�þ, bêaù^gße; 7. \ò aêKþ _G�þ, _VûYòiûc« _äûùÛûeòdcþ, bêaù^gße; 8. Kýû_òUûf aêKþ Wòù_û, 1 ^é jûU, bêaù^gße, 9. Ké_ûRkGùR^èò, R^_[, bêaù^gße, 10. iõRd aêKþ ùÁûeþ, KùfR ùeûWÿþ, b\âK ö


(C_~êq C�e _VûAùf _ùe _âKûg _ûAa ö)_ûVK _âgÜòcÜ PòZâùe 9 ùMûUò ijeKê (A, B, C, D, E, F, G, @ûe¸ I ùgh) ùaûfò ûcòZ Keû~ûAQò û

PòZâùe UYû ~ûA[òaû Mûe iaê ùjfû, _âùZýK ijeKê eûÉû û @û_Y @ûRò iaê ijeKê ~òùa û ~òaûeòdc ùjfû - @û_Y _â[ùc (@ûe¸) PòjÜòZ ijeeê aûjûeòùa I (ùgh) PòjÜòZ ijeùe ~ûZâû ùgh

Keòùa û � ùKøYiò eûÉûùe GKû]òK [e ~òùa ^ûjó û

ùgh @ûe¸

Gùa _âgÜ ùjfû - @û_Y iaê ije aêfò ~ûZâû ùgh Keò _ûeòùaZ ! ~\ò _ûeòùa, ùZùa@û_Yu ~ûZâû _[ iPòZâ \gðû«ê û

IWògû MYòZ iõi\ - 44Zc aûhðòK i¹òk^úGaõ RûZúd Kcðgûkû

iÚû^ : Mû§ò A^þÁòPêýUþ @`þ A¬ò^òdeòõ G� ùUùKÜûùfûRòMêYê_êe, eûdMWÿû - 765022

icd : _ùe RYûA \ò@û~òa ö

_â.ZûeòYú PeY _�û _â. ^kò^úKû« ùPø]êeú(ibû_Zò) (iõ_û\K)

eûÉû ùZe : ^@ ije


Aµÿç�ÿ¯ÿ S~ç�ÿ ¯ÿç ÿç�ÿ÷æ Óº¤ÿ{Àÿ...

1. @bò a MYòZ aòPòZâû GK ùZâ÷cûiòK \ßòbûhú (Bilingual) ¨�ÿ÷çLÿæ > FÜÿæ Óæ�æÀÿ~�ÿ� ÷{�ÿ¿Lÿ ¯ÿÌöþæaÿö, fë�úÿ, {Ó{ uºÀÿ H xÿç{ÓºÀÿ þæÓ{Àÿ ÷LÿæÉç�ÿ ÜëÿF >

2. ¨�ÿ÷çLÿæ{Àÿ ¨÷LÿæÉ�ÿ �ÿçþç�ÿ IWÿò@û Kò û English {àÿQæSëÝçLëÿ LÿæSfÀÿ {SæsçF ¨æQ{Àÿ ØÎ µÿæ{¯ÿ{àÿQç ¨vÿæB¯ÿæLëÿ A�ëÿ{Àÿæ� > ùfLû C_ùe ùfLKue `ùUûUòG ejòaû @ûagýK ö

3. {àÿQæ ¾$æÓ»¯ÿ Óóäç© �ÿ$æ Óæ�æÀÿ~ S~ç�ÿ{ ÷þê ¨ævÿLÿZÿ ¨æ{vÿæ¨{¾æSê {Üÿ¯ÿæ Aæ¯ÿÉ¿Lÿ >

4. ¨÷LÿæÉç�ÿ �ÿ {Üÿ¯ÿæ {àÿQæSëÝçLëÿ {üÿÀÿÖ {�ÿ¯ÿæLëÿ A�ëÿ{Àÿæ� Àÿäæ LÿÀÿç¯ÿæ Ó»¯ÿ �ëÿ{Üÿô >

5. {àÿQæ ¨vÿæB¯ÿæ �ÿ$æ A�ÿ¿æ�ÿ¿ ¯ÿçÌß{Àÿ {¾æSæ{¾æS LÿÀÿç¯ÿæÀÿ vÿçLÿ~æ :

�ÿêÁÿæºÀÿ ¯ÿçÉ´æÁÿ, G-101, aògûfþ ùeiòùW^èò, gâúeûc ^Me, IfØ UûC^þ, µëÿ¯ÿ{�ÿÉ´Àÿ- 751002B-{þàú : [email protected] {þæ¯ÿæBàúÿ : 9937948664

6. ÷{�ÿ¿Lÿ ÓóQ¿æÀÿ þíàÿ¿ s. 20/- > xÿæLÿ {¾æ{S ¯ÿæÌ}Lÿ þíàÿ¿ s. 100/-@ûRúa^ MâûjK ù\d : U.1,000/-

¨÷æ{©Ìë

Printed and Published by Sri Nilambar Biswal, on behalf of Orissa Mathmatical Society and Printedat Jagannath Process, Cuttack and Published at OMS, Department of Mathematics, Utkal University,Vanivihar, Bhubaneswar, Editor- Sri Madan Mohan Mohanty

PRINTED BOOK

BILINGUAL : µÿæS-34 : Part 34 ÓóQ¿æ-2d/ Issue - 2 RŒ^þ June'16...

Documents

Transcript of BILINGUAL : µÿæS-34 : Part 34 ÓóQ¿æ-2d/ Issue - 2 RŒ^þ June'16...