Bevægelse i (lineære) magnetfelter · • For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et...
Transcript of Bevægelse i (lineære) magnetfelter · • For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et...
11/9/2015
1
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse
Forelæsning 3
Lineær Beam Optik - betafunktion
Wille kapitel 3.7 til og med 3.13
Repetition
Betafunktion og betatron bevægelse
Faserum
Beam størrelse og emmitans
Udregning af betafunktion
Matchning af betafunktioner
Cirkulære acceleratorer
Eksempel (WinAgile)
Repetition 1: Bevægelse i magnetfelt
• Bevægelse i (lineære) magnetfelter
– Hill’s ligning
– R er afbøjningsradius i dipol magnet
– k er fokuseringsstyrken (af en Quadrupol)
• k negativ: horisontalt fokuserede
• k positiv: horisontalt defokuserede
11/9/2015
2
Repetition 2: Matrix transformation
• For en partikel transformeres sted og
vinkel gennem et element via en transfer
matrix
Repetition 3: Matricerne
• Matricer for udvalgte elementer
PS: samme matricer som i optik (lasere)
11/9/2015
3
Repetition 4: Mange elementer
• Bevægelse igennem række elementer
• Dispersion
• Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen
– Hvor m11, m12, m21, og m22 er de samme som før
Repetition 5: Dispersion
p
psDx
)(
11/9/2015
4
Størrelse Wille (os) Ofte også brugt
Afbøjning radius i magnet R ρ
Vertikal koordinat z y
Symboler
• Indtil nu: Enkelt partikel bevægelse
• Nu: partiklernes indhylningskurve
• Starter igen med Hill’s ligning
– Sætter 1/R=0 og Δp/p=0
• Begrænser os til en dimension, dvs
Betafunktion 1
11/9/2015
5
• Hill’s ligning:
• Hvis k konstant (og <0), så kender vi løsningen
x=Acos(√|k|∙s+φ)
• Men k(s) er en funktion af s
• Test løsning:
• Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s
Betafunktion 2
• Hill’s ligning:
• Test løsning: • Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s
• Indsættelse giver (1) (2)
• (2) har løsningen
• som ved indsættelse i (1) giver som dog ikke har nogen analytisk løsning
• Variabel skift: og
Betafunktion 3
2A
11/9/2015
6
• Løsningen til Hill’s ligning bliver da
• Med
• β(s): Betafunktionen (enhed af meter)
– Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout
• Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout
• ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for den enkelte partikel)
– ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen
• φ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset
• Indhylningskurven er givet ved:
Betafunktion 4
Betafunktion 5 - indhyldningskurve
Se nærmere på
11/9/2015
7
• Lad os igen betragte betatron bevægelsen
• Analogt til en harmonisk bølge
kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λb
• Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt
– som det også ses på foregående figur
Betatron ”Bølgelængde”
xy
2sin
)(
1)(
2
ss
b
2
)(sb
vejlængdeperstenfasetilvæker2
b
• Position og vinkel af en partikel
• hvor
• Ved at isolere og , og bruge at
cos2(Θ)+sin2(Θ)=1 , samt introducerer
• fås
• Hvilket beskriver en ellipse i (x, x’)-rum (faserummet)
Betafunktion 6: emittansellipsen
11/9/2015
8
Betafunktion 7: emittansellipsen
(a, og g kaldes også Twiss eller Courant-Snyder parametre)
α=0 =>
ellipsen er
lodret/vandret
Betafunktion 8: emittansellipsen
Betafunktion
Emittans
Ellipse Arealet
er bevaret
11/9/2015
9
• For konservative kræfter gælder at arealet af
faserumsellipsen er bevaret
• Vi kan ændre formen, men aldrig arealet
• Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels)
for et ensemble af partikler. • Der kan dog være ikke-konservative kræfter i en accelerator (partikelstød,
køling). Mere om det senere.
Emittansellipsen: Louville’s teorem
• Indtil nu har vi betragtet en enkelt partikel
– men i en rigtig stråle har vi mange partikler
• Disse vil (oftest) følge en Gauss-fordeling
med givne spredninger σx og σz
• En partikel med position σx vil have
en emittans εx,std givet ved
Denne emittans kalder vi strålens
emittans (og benævnes oftest blot εx)
• Tilsvarende med εz
Beam størrelse og emittans
)(, sstdxx
11/9/2015
10
• Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel]
• med enheden m∙rad
– Ofte bruges mm∙mrad (millimeter milli-radian)
• samme som µmrad (10-6 mrad)
– eller nmrad (10-9 mrad)
• Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte
bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen
– Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad
• Bemærk også at rad er ”dimensionsløs”, så ved
udregning af f.eks. en strålestørrelse ”forsvinder” rad
Emittans
mmmmrad 111
• Strålens størrelse vil variere rundt i maskinen (√β)
• Samtidig vil vakuumkammerets størrelse d variere
• Hvor er mindst, er der mindst plads
• Vi definere nu den transversale acceptants A som
som er den største emittans
en partikel kan have
Acceptants
11/9/2015
11
• Antag at vi kender betafunktionen et givet sted s0
• Wille viser nu at betafunktionen på stedet s1 er givet ved hvor M er transfermatrixen fra s0 til s1
• Wille viser også den alternative form
• Brug af computer programmer (WinAgile, MAD, MatLab Acc. Toolbox)
Udregning af betafunktionen
• Vælg et symmetripunkt med betafunktion β*, og α*=0
• Så har vi
altså
Betafunktionen omkring en waist (symmetri punkt)
*
1
*
2/
To ellipser for s=0
11/9/2015
12
• Det er ret let at vise (Wille kap 3.11) at har man de
optiske værdier (β, α, og faseskiftet Ψ) i to punkter s, og
s0, så kan man udregne transfermatricen mellem de to
punkter ud fra
Transfermatricen fra de optiske funktioner
• Ofte har man en transportlinie, hvor de optiske funktioner
er givet ved indgang og udgang
• Opgaven er da at vælge de optiske elementers styrke (k)
og position så transportlinien transformere de optiske
funktioner på den ønskede måde
Matching 1
11/9/2015
13
• Der er generelt ingen analytisk løsning på matchingen
• Derfor gæt og iterer
• Wille angiver en metode hvor man ved hjælp af afledte
kommer tættere på en løsning
– Én dimensional
– Også for n-dimensional
• Alternativt kan man bruge least-squares-metoder
• Brug for computere
– Normalt indbygget i lattice programmer (WinAgile)
Matching 2
• Lad os nu betragte en cirkulær accelerator
• Vi har da den periodiske betingelse, L er omkredsen
• Dvs.
• Eller eksplicit
hvor
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 1
rev
11/9/2015
14
kan løses (selv om det ikke er let) og resultatet er
• Dvs. ud fra transfermatricen kan vi udregne betafunktionen (og dermed alt andet)
• Da β skal være reel (og positiv) må det gælde at
• Ved brug af det(M)=1 (Wille 3.73) kan det vises at være det samme som
• Hvilket altså er en nødvendig betingelse for stabilitet
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 2
rev
2)Tr( 2211 mmM rev
Bemærk trykfejl
i lign. 3.182
• Tilsvarende fås for dispersionen
• Som giver
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 3
11/9/2015
15
• Hvis vi igen finder transfermatricen fra de optiske værdier
• og benytter at for en hel omgang er β=β0, α=α0, og sætter μ=Ψ
(fasetilvæksten for en hel omgang), får vi
• Heraf ses også let at
• For et symmetripunkt er α= 0 og vi får
Periodisk løsning i cirkulær accelerator 4
a
a
a
sincossin1
sinsincos2
revM
2cos2)Tr( revM
cossin1
sincos
revM
Tune: Q=μ/2π antal svingninger
per omgang
• For et symmetri punkt er de afledte
nul, dvs.
• Det gør udregning af betaværdier lidt simplere
• og vi får et par yderlige betingelser for stabilt lattice
Symmetri punkter
11/9/2015
16
• For en cirkulær accelerator (ring) definere man ringens
middelradius Rm som (engelsk ’mean radius’)
hvor L er ringens omkreds
• Det er et begreb der ofte (mest) benyttes for de store ringe (LHC,
SPS, …), som jo på grund af de høje energier (små afbøjninger) får
mange dipoler, så ringens form tilnærmelsesvis er cirkulær.
• Pas på med ikke at forveksle
en rings middelradius med
afbøjningsradius i ringens dipoler.
– Man vil ofte se R brugt som
middelradius og så ρ som
afbøjningsradius
Middelradius
2LRm
• Betafunktion (β(s)): Beskriver ”ALT”
– Giver formen af partikelbevægelsens indhylningskurve
– Beamstørrelse:
– Udregnes ud fra transfermatricerne (vha. computer)
• Emittans (ε): Faserumsareal (på nær π)
– Bestemmer amplituden af indhylningskurven
• Dispersion (D(s)): Proportionaliteten mellem positionsskift og
impulsafvigelse
– Positionsskift:
• ”Ingeniør”-formler
– Stivhed:
– Fokuseringsstyrke:
Opsummering
)(s
p
psDx
)(
][2998.0
]/[][][][
eQ
cGeVpmRTBTmB
][
]/[
]/[
]/[][2998.0][ 2
TmB
mTg
mGevp
mTgeQmk
11/9/2015
17
ASTRID lattice
Beam envelope og
Beam envelope =
Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldes
hele arealet indenfor beam envelope.
Bemærk sammenhængen mellem og . Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, …
er konstant, men =(s)
11/9/2015
18
• Bemærk at βx er stor ved QF og lille ved QD
FODO lattice
Dispersion Revisited: Gravitationel analogi
• Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga.
tyngdekraften?
– Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større
afbøjning opad i F-qpolerne
– Afbøjning: , hvor Bρ er stivheden klzB
lBz
q
)(
11/9/2015
19
Dispersion Revisited 2
• En partikel med lav impuls afbøjes mere i
en magnet
• Der vil blive dannet en ny lukket bane, som
er forskudt. Forskydningen er givet ud fra
dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter)
p
psDx
)( D~1-10 m, p/p~10-4-10-3
x~1 mm
• WinAgile: Eksempel 3.13.3 (s. 98)
Demonstration