Better Hedge Ratios

11
P Q P Q s t = p t βq t s t t β p t q t P Q t

Transcript of Better Hedge Ratios

Page 1: Better Hedge Ratios

������ ����� ���� �� ����� ������

���� ������

������ ���

� �������

���� ���� ������� ��� �������� � ����� ������ �� ������ �������� �� ����������� ���� ����� ����� ������� ����� �� ������� �� ��� ������������ �������� �������� ����� ������ ������ ��� ��������� � ��� �� ���� �� ����� ����� ������� � ���� ����� ����� ��� ��� ����� �� ��� ������� � �������� ��� � � �������� � ��� ���� ������� ��� ���� �� ��� ���� ��!��� �����!����� �� �� �����"���� � ������� �� �#����� ��� ����� ������� ���� ������ ����� ����� �� $%& ��!����� ���� ��� ��� ��� ����� ������

��� ���� ������ ' ��� �� �������� ��� ��������� ����� ������ ����� ���� ������ �� ��� � ������� ����

� ����� ��

(��� � ����� � ������� � ��� ���� ��� ������ ��� ����� �������� ���)� �������� ������� P ��� Q� ������������ � � ��� ���� ��� ��� � P � �� �������� � Q ����� � ���� �����* ���� ������� �� ����� ��� ��� ������

+������������� ��� ����� ����� ��"��� ��� ������ ��� ��� �� �� � ����������� ����� ��

st = pt − βqt �,�

���� st �� ��� ������ �� ���� t� β �� ��� ����� ������ ��� pt ��� qt ��� �������� �� P ��� Q� ������������ �� ���� t�

��� ���� � ����� ����� �� ������ ����� �� ������ ��� �������� �������������� ��� ���"�������� � ��� ������ ������

�� ���� ����� � �� ���������� ����� ������ �� ���

• (� ������ ��� ����� ����� ��� ��������� ����- ���

• (� �� ��������� ������ ��� ����������� ���� ��� ���� ����������� �� ���� ��������� ������� ��� ���� ���� �����.� �#����� �� ����� �������� ���� ��� ����� ����� ��� �� ���������� �� ������������ ������������ ��� ��� � � ������ .������ �#����� �� ����� �������� ���� ��� ����� ����� �� ���������� �� ���������� ��� �����)� ������� ���������� ������

,

Page 2: Better Hedge Ratios

������� ����� �� � ��� ���� ���� � ����� ��� �� � ���� ���� ���������� �� ������ ����������� ��� �� �������� ���� ������ ������� ����� �� �� ����� ������� ��� ���� � � ��� � ��� ���� �������� ������������ ��� ������ �� ���� � !� ��� ��� ���� "��� ������� #��"�� �������� �� �� ������ ���� $%� %������ ��� ��� ������ #��� �� �������� �� �� �����&

'�� ��� �� ����(�� �� ) ��� ������ �� ������� ��� �������� ���������� ) ��� ����*����� ����� ���� ��������� ��� ������ ������ ������������ "� ��� ����� �� �+������ �� "� ����� $pt −βqt&� �� �� �+�������� "� ������� )� ���� ��� ���� ������� ���� ������*����� ������� ������ � ��� �,�� �� �� ���� �(�� �� ���� ����� " ������ ������ ����� %� %������ �� ��� ���� �����

� �������� �� �� � �����

-��� � ����� � ��� ��� ������� ����� ����. % ������ �� ��� �������� ��� ������� $/,�&� �� ���� ��� ���� ��� "� �� � ������

��� ������ �� � �������� ��� ������

)� � ������� ���� ) ����������� ���� ������� ��� ������� $/,�& ��� ���*���� ����� ���� �� ��� X ��� Y � �� ��� � ���� ��������� ����#�� β1 �� �� ����� ����

yi = β0 + β1xi + εi $0&

) ���� �� �������� ���� � �� ) ���� ������� ���� ���� ��� "��� )�������� �� �� � �� x ��� y� #� ��

xi = γ0 + γ1yi + εi $1&

) ������� � ���� � ������� ����� ���� ������� �� ) ������� ��γ1 = 1/β1� �� ���� ��2

��� /,� � � �� �������� ������� �� � ���� �������� ������*�� ����� �� /,� � ������ ���� �� �� Y � � ������ ����� � ��� ���� � ������ �� �������� ��� �� �� X �� ��� ��� ���� ������� "� (����������� ��� ���� � �� �� ����� ��� � �� �������� �

��� �������� � ������ � ����� �� )� �� ��� ���������� ���� � �� ��� � ����� ���(�� �� $�������& ������ � �� Y � ���"� �� �� �������(��� ���� ��� ������ ���������� ���� � �� � ���(�� �� $�������&������ � �� X� ���"� �� �� ���� ����� ���� ��� "� ���������� ��������������� ����� ����� � �� ����� �� ��� 3 4 ���� ' � �� �� �������� ��� ' 4 ���� 3�

��� � �� ����� ���� � ����� �������� "� "�� �� � ����� ���� �� "� ���#�� �������� �� -� �� �� "�� � ����� �� �������$�� � �& �� ��� ���#� � ����� �� �� ����� ����������� � �� �����

0

Page 3: Better Hedge Ratios

● ●

●●

●●

●●

●●

−0.2 0.2 0.6 1.0

−0.2

0.2

0.6

1.0

lm(Y ~ X)

x

y

● ●

●●

●●

●●

●●

−0.2 0.2 0.6 1.0

−0.2

0.2

0.6

1.0

lm(X ~ Y)

x

y������ �� ������ �� ������� ���� ������

������ �� �� ��� �������� ��� ������ ������� ���� �� ��� ����� ������ � ��� �������� �������������������� � �� ������ ���� �� ���� ��� �� �� ������ ���� ������

��� ����� ��� �� ��

!� ����������� �� ������� ���� ����� � ����� ����� �������� ��� ����� ��

������� ������� ���� "���� ���� ���� #"��$ ����� ��� X �� Y ��������� ���������� � ��� �������� ���� ����� � �������� %��� ������ �� ���� ��&��� �� ������� �� ��� ����� �������� � ���� ��������� ����� ��� '�����(�� '����� ���� �����(������ � ��� �)��� ������ ��� ������ �� X �� ��� ������ �� Y � "��

��� �)� ��� ������ �� ���� (xi, yi) ����� �� ��� �������� ����� "��� ��������� �� ������ *� "�� ������ �� �� ��� �)� ��� ������ %������� ���������� �� ��� �������� ����� ����� ��� ����������� �� � +�������������������+ "��� ������ � �������� � %� �������� X �� Y � � ��� ��������,� � ��������� ���� "��� ���� ��� ���� � �����!� !������ ��% ��� � ��� �� ��� �%�-��� ���� ! ��������� �� ��-

���� ������ #.�!$ ��������� ���� ��� ���� �� ��������� � ��� ������������������� �� ��� �������� �� ���� ����

������ ����� ��� � ����� ������� �������� �� ��� �������� �������� ����� ��� ���

������� ��� ���� � ���� ����� � ������ � �� ���� ���������� ���� ��� ������� �� ���

��� �� �� ��� �������� �� ������

/

Page 4: Better Hedge Ratios

●●

●●

●●

●●

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Total Least Squares

x

y

������ �� ������ �� ����� ���� ������

Page 5: Better Hedge Ratios

� ����� ����� ����� � �

���������� �� ��� � ���� ����� ���������� �� � �� ��� ������ ��������������� ��������� ������ ����� ���� �� ���� ������� ������ � p�� q �� �� ��� ������ �� ������ ��� �� �� ��! �����������! �� ��� ��� ������ �� ����� ���! β! ������ � ���� �� ����� pt − βqt�

� �� �������� � � �

���� �� ���������� ����� � ���������� �����

������ �� � � ������

"�� �� ����� ������ �� ���������� �������! ��! ������ �#� �� ������� ���� �� ������

����� �� �������� ��� � ���� � �������� ���

"�� �� ����� $��� ������� �� ���������� �� � ����� ���� ���� ������ �� ����

�� �� � � �����

�� �� � � �����

� �� �������� �� � ��

%� ��� � ���������� ���� ��� ����� �� �����! �� ���� �� �� �� ��������� ��

&�� ������� �� � �� ��� ������� �� ���� ����� �� β! �� �������� ���'����� ������ ��� �� ����� �����! ���� � �� ����� �� ����������������� ������� ��� ���'����� ������ ����� �� ������ ��� ������� ���(��������� �� ������ �� �� ����� ���� )������ �� ����� �� ��� ���� ����� * ���� ��� �� ������#� ����� ����! �� ���� ��� �� ������#������ ���� * ����� ���� ����� �� �� �����#� ���� �� ��������� +�������(���� ������! ��� �,����! ����� ������ � ������ ����

-���������! . � ����� �� ��� ���� ���������� ������ �� �� ������������ ���� �� �������� ������� &�� ���������� �� ����� ������ ���/������ ������ � ���� �� ���'����� ������� ������ ���������� �� � ������ ��� �������� �� 0� 1�(�� �� 0������� �2332� ��� �� � /��� ������ � 4 5� -���� �� �������� �� 6���� ���������� �� ��������! ������������ ���� ����� ���������� �������

� �������� ��� ������� ���� � ��� ������

������� �� ����� � ���,����� ��������� ������ �� 7�)�8 .+9! ������� � �� ������� 5::: ����,! �� 0;<! ����� �� � �� 0.; ����,� +� ��� 0;< ����� �� ������ ����� ��� � .+9 �������! �� �� �� � �������� ����� ����

=

Page 6: Better Hedge Ratios

���� ������ ������ ��� �� �� ����� ����� ��� ��� ���������� ��� ���������� �� �� ����� ��� ������� ���������� �� ��� ��������� ��� ��� ��������� �� � �� ��� ����� ��� ��� �������� ����� � �� ������ ���! ���������� �� �� �������� ��� ����������" �� ��� �� ��� ��������" �� ���!�

�� �� ��� ��� ������ �������� ��#��� �� ����� � ���$���� ������"�� ��� %�& �����!

����� ���������

��������� �� ������� ���� �

���� �� ��������� ��� � ���� ������ �� �� � � ������ �� �� � �

����!������"#$�% � ������!����� ��&����

�� �����

'

������ �� ����� ()*���������� �()*���

+,-���������� �+,-��� ����"#$�%�

�� �'�� ��� �������� ��� �������� �� �� ������� ��� ����� ��� �� �������� ����� ���!

���.����/��� �� ������� 0� �� �

� �� �� 0 1 ��

���� ��2�3

'

���.����/��� �� ������� 0� �� �

� �� 0�����0 1 0 4 ��

�5������� 2 � 3 6 �5������� 2�� 3

'

(&�� ��� ��� �������� �� � ��� ���� � )��� �������� *����� ��+� ������� ���� �� ��� ��������" *� )��� �� ��� ��� )���!, ���� �� ���"��� �������� �� ��� ���!

7�� ������ � �

��� �8$� ��� ()* 9�! +,- ��� ���.����/��� ()* �+,-�� �:���

��� �8$� ��� +,- 9�! ()* ��� ���.����/��� +,- �()*�� �:���

��� �;$� ��� ()* 9�! +,- ��� ���.����/��� ()* �+,-�� �:���

��� �;$� ��� +,- 9�! ()* ��� ���.����/��� +,- �()*�� �:���

'�

���� ���� �� ������ �� ����� ��

�������� ��������������������������������������������� ��������

-

Page 7: Better Hedge Ratios

���� �� ��� ������

��� ��� ��� � � � � ����������

��� ��� � � � ��� � ��������

��� ��� ��� � � � � ����������

��� ��� � � � ��� � ���������

��� �� �� �� ������ ��� ������������ ������� � � ����� � ������ ��� ����������� �� � ���������� �!������ ��� ��� ������� ����"��� ��� ���������� �������� � � ��#�� � ����$

%����� ���� ��� �� �� ������ ��� �������� ���� &�' �� ��(�&� ��� �� ��&���� ��� )� ������ ������� ����� *�+� ��� ������"� ' ����� ��� ��� ����� �� (��&� ������ �' ����� ��� ���� ��� �� �' ����� ����� ���� ���� �� �,� �������"� ' ����� ��� ����

� �������������

) �& �����(� �� ��� -�+������ .��(������ ���� ��&&����� (�� ��� ����������'�� ������� ���� &������ ����� � �������� �� , ) �& � �� �����(� �� /�� ��*������� (�� ��� ���(� ��&&���� �� ��� 0��� ��(� �( ���� ������ �� �� 1��������� (�� � ����('��� � ������� �'��

� ���������

��� ����� � �' 2����� �� 2� ���' �� � "��' ��� �� � ������� �� ��� ���3��� �(���� ���� �4����� ����� ���' �� 5 ���� ���� ��6 (��& ��� ���&����� ��������������� �( ��� ������4�� ��� ���, �' 7�� 8�!� �� 7�� ��� � ���� � ���� ���&����&����� ����� ��� ���������� ��� '���� �� ��� � ������&�� �&� �&���������( ���

� 2����� �� 2� ���' 9����:� ;����� �4����� �� ����� .��� ��< = ��&�������� �( � ������ ���������� �� ��������� ����������;� ������ 7� ���%� � 9������ ����:

� 7�� 8�!� �� 7�� ��� � 9�>>�:� �� ���� ���� ������� ��������

������������� ������ ��� ��������� �)=? 2���� 9)�@% ���>�#���#���:

#

Page 8: Better Hedge Ratios

� ��������� � �� �� ������� ����� �������

����� ����

� �� ��� ��������� ��� ����� �� �� � � �� ����� ��� �������� ������ ���� �� ���� � ��� � ����� �� � � �� �� ���������� ��� �� � p ��q �� ��� ���� ���� �� ����� ��� ��� � ����� ������� ���� �� �� � �� �������� ��� ����� � ���� β� ������ �� ���� ��� ��� � pt − βqt�

!�� � �� ��� �� ����� � � �� �� �������� ����� ���" �� ��� ��� � #��� ��� ��� ����� ��� ���� � � #��� ��� ���� !�� �$ ����� �� ��� ������� � ����� � #���� ��� ����� �� �� ���� ��� ���� �� #��� ��� � �� �� ��� ������ #����

%� � � � ��� ����� ��� �� ������ �� ���� �� �� ������ �� ��� � ��&� ����" �� ����� #��� ��������� ��� ��� ���� � ��������� �� �� �� � � ���� �� ����� '( )' �� ��� ����� ����� �

� �� ���� � � � � � ��� ��� ���������

���� �� � ��������� � ����� � ��� �� �� ��

!�� ��� � ����� ���� ��� ����� �� #��� � ������ ������� � �� � �� �����&���� *$ ���� �� +�� �� ���� �� �� ������ �,�-� ����� �� ���� � �� #��� ��������� ���� ������ ��� ����� � �� �� ��� ����� ����

� �� ���� � � � ��� � � � ���� ���������

���� �� � ��������� � ��� � � ��� �� �� ��

�������� � ����� �� � ��� ��� ���� �� ������ �!����"�� �� � ����������������� ��� ��� �����

� ��������� ��� ��������� � ����� �����

+���� �� � �� ���� �� ��� �� �� ��� ����� � ��� � ��� ���� � � �� ������.������ ��������� �� ��� ��� �� +�� �������$ ��������� ��� �������� ����� � ���� ���� � ���

����� ��� ����� ��� ���������

���� ����� � ��� �� /$�� �� � ����� ������� ����0 ��� �� �� ��� ��������� ������ ���� � ���� � � 0 �� ��� �� �� � �� �����

� �$ ���� �� /$�� ��� � � ��� ��� � ������� !�� !�� ���� ��*������ � ����� +�� !�� !�� �12 � 345�66� �� ��� *������ � �12 �378�))� � � ����&���� � ��� � � 9 !�� !�� ��� � ��� 8 *������ � ������� ��� � �� ��� �12 �� 3578�))� %� ���� �$��� �� � ����� � ��� 9"8 ��5"5�666 �� β : 5�666� �� �� � � ��� ��� ��� �� � �� �����

�� �$ ���� �� �� ��� ��� � � �1; ;������� �;�!+� �� ��� ����� ����� %� � � ��� ������� ����� �� � �� �� �� ��< +�� ���� ������

=

Page 9: Better Hedge Ratios

���� ��� �������� ����������� ������ ����� ��� ������ ��� ��� ����� �������� � ������� ��� ��� �������� �����

���� ����� ����� �� ������ ������ ��� �� ������� ����������� �������� �� ��� ����� ���� �� ������������ ���� β ������ � �� ������ �� ���� βt� �� ���� ��� ��� ����� ������

st = pt − βtqt ��

���������� ������ ��� �� ��� !����� ���� �� ��� ��� �� ������� ����������� ����� ������

"���������� ����� ����� �� �� ��������� ���������� ����� �� �������� ���� �� ���� ����� �� � ������ ��� ���� ��� ����� ����� β� �� �#�� ������� ��� ��� ����������� ��� �����

���������� � ���� �������������� ����

�� � ����� ���� �� �������� ��� ����� ����� �� ����� ��� ���������� ���

� �� ����� ��� ��� ���� ������� ��� ����� $����� ������ �� ���� ���� "����������� ���� �� �� ���� ���� ��� �������� ����� ��� �� ��� ��� ���%� �������� �� ��� �#����� �� �&' ���� � ()*� � ����

+� �#����� �� ����� ���� ���� ����� � � ������������ ����� ��������� "����� ����� "�� ,(-. �� ������� �� � �������� ����� ���� ������� ���� ��� �$��� �������� ����� +����� �#����� �� � ����� ������ ����� ��� ��� ������� ���� �� � ������������ ������ "�� ������ ������ ���������� ��� ���� ����� ��� ��� �� ������� ����� �����������

������ �� ����� ����� �� ��� ����������� � ����

��������

"�� �������� �����$���� /0� ��� "0�� �� ���� ������ �� �������� �����"�� $������� ��� ���� ����1 �� �� �#������� ������� ������������ ������� �������� �� ��� ���� ��� ���������� ������ ������������ �������������� �� �����

2� �� ������� � ��� �������� �� ���� � ���� �� ����� ��� ����� ���340 �������� ��� ���� �� ����� ���� � ���� ���� ��������� 5�������� ������� �� ����� �� �� ������ �� � ����������� ����� ����� �� ��� �������$���� � ������ ���� ������ �� +������#� ����� ����� ��� ������ ����������� �� �������� � ������ ���� �������� ���� ����� �������� ��6���

/��� ����������� �$��� ����������������� ����� "�������� ����� ����������� ���������� ������� ����� &� ���� ��� ���������� �� ��� ���� �� ������� ��� ���������� �� ��� ����� �� ���� �� � �������� �� ����� ����� �� ������������ ��� ����� ���� ���� �� ����� �����������

+����� ���� �� ���� �� ������������ ������� ������ ���������� � ���78����9 ������� ������ ��� � �� �� �� ������ � ������������ "����������� �� ����� �$��� �$��� ,(-.� �� ��� ���� "�� ,(-. �� ��� �����������

:

Page 10: Better Hedge Ratios

�� ��� ���� ��� �� � ���� � � ����� �� �� �� ���� ������ � ���� ��������� � �� ���� ���� ��� ������� ����� ����� ����� ��� ������� ����� ��������� ����� � ��� �������� �� ��� ������� ��� �� � ���� � � ����� ����

��������

����� �������� �������� ������ ���� �� ��� � �����

����� ������ ��� ����� � �������� ����� �� ��� �������� � �� ������������������ ���� ����� �� ���� �� ������� ������������� �������� �� ������ ��� ��� ��� ���� �� ����� �� ��� �� ����� ���� � ��� ��� � !�"�# ���� ���� ��� � ������ �� ���� ��� ������� ��� ����� ��� ��� ��� � ��� ��

• $��� �� !�"�#

������ ���� � �������� ��� �� ����� % ��� � � &'(#%����� ������ ���&'(# ������� ��� �������� �� ���� �� �� ���� ���� �� ���&'(# �� ���� �� � ���� �� ������ �� � )��� ��� � ��� �� #�#���� &'(# ���� �� �� ��� ���� ���� ��� ������� �� ��� ��� ���� ��

• $��� �� #�#

• * ���� ����� �������� ��� &'(# ���������� ����� ����� ���� ��� ��������� �����

• +���� �� � �������� �&'(#�

����� ������ ,��� � ���� ���� ��� �� ������� ��� ������� ����� ������ � ��� ���������� ������� � ��� ���� �� ��� ����� � ������ � ��� ��

• '�����

• +���� �� ������� ����

• -��������� ��� ����

�������� ������ ,��� � ���� � ������� ����� �� ������ � ������� ������ �������� ���� ������� $� � ����� ������� ������ ��� ���� ������� )��� � #�#� �� �� ��� ��� ������� �� ���� ������������ +�� ������� ������ ��� �� ����� �� ��������� ���� .��� �� ��� � ����� ����� �� ������ �������� ��� ��������� ��������%�����/ ���� ���� ������ ������� ��� ��� ���� �����%���������� �0� � ����� �� ������� ��� ���� � ������ �� ���� �������� ��� � ��� ��

• ���%����

• +���� �� ���� ����� �� ��� ������ ��� ��� ������� �����

• -��������� ��� � ��������� �����

#(

Page 11: Better Hedge Ratios

� ��������� ���� � ������������ �����

���� ������ � ����� ���� ������ ��� ������� ���� �� ������ ���������� � ������������ �� ��� ��������� ���������

PA,t = βPB,t + εt

��� ��������� ������ �� ����� β ����� �� B ��� ���� ���� �� A��

����� ��� ������� �� � �������� ���� ����� �� ���� ����������� ��� ��������� �� ������������� ������������ ���� ����� ������� ��� ����������� ������������� NB,t� ��� ��� �� �� ����� !��������� �� ������" �� B ���� �� ������� ���� t ��� � �������� ���� ������

#� ������������� ��� �������� ���� ��������� ���� �� �����

rA,t = βrB,t + εt

�����

• rA,t �� ��� ������ �� A �� ���� t�

• rB,t �� ��� ������ �� B �� ���� t�

• εt �� ��� ����� �����

�� ���� ��� ������ ��������� �� ��� ��� �� � ������ ����� �� � ������ � �������������

rA,tVA,t = rB,tVB,t

�����

• VA,t �� ��� ������ ����� �� A �� ���� t� ���

• VB,t �� ��� ������ ����� �� B �� ���� t�

#�� VA,t = NA,tPA,t ����� NA,t �� ��� ��� �� �� ����� �� A �� ���� t$ ���VB,t = NB,tPB,t ����� NB,t �� ��� ��� �� �� ����� �� B �� ���� t$ �����

rA,tNA,tPA,t = rB,tNB,tPB,t

�� ��� ������ rA,t ���� �� ��� ����������

βrB,tNA,tPA,t = rB,tNB,tPB,t

�� ������ ���� NA,t = 1� ���� ����� ��� NB,t�

NB,t = βPA,t

PB,t

����� ����� �� ��� ��� �� �� B ����� �� ����� ��� ���� ���� �� A� %����� ���� �������� ���� PA,t �� PB,t ����� ���� ����� ����� ���� ��������� ���

���� ���� ��������� � � ����� ��� ��������� �������� �� �����

&&