Bernard Lapeyre Etienne Pardoux Remi Sentis

Methodes de Monte-Carlo pour les equations

de transport et de diffusion

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Table des matieres

Introduction IX

1 Methodes de Monte-Carlo et Calcul d'integrales 1 1.1 Rappels de probabilites 2 1.2 Description de la methode de Monte-Carlo 3 1.3 Convergence et limites de la methode 4

1.3.1 Theoremes de convergence 4 1.3.2 Estimation de la variance d'un calcul 6 1.3.3 Quelques exemples significatifs 7

1.4 Methodes de reduction de variance 9 1.5 Suites ä discrepance faible . . . 15 1.6 Simulation de variables aleatoires 18

1.6.1 Simulation d'une loi uniforme sur [0,1] 19 1.6.2 Simulation d'autres variables aleatoires 20

1.7 Commentaires bibliographiques 21

2 Processus et equations de transport 23 2.1 Rappel sur les processus de Markov 26

2.1.1 Semi-groupe associe ä un processus de Markov 27 2.2 Processus de transport ä vitesses discretes 28

2.2.1 Processus markovien de sauts 28 2.2.2 Construction d'une classe d'evolutions aleatoires. Proces­

sus de transport 34 2.2.3 Generateur infinitesimal du semi-groupe associe 35

2.3 Equations de Kolmogorov associees 36 2.3.1 Equation de Fokker-Planck 37 2.3.2 Equation de Kolmogorov retrograde 38 2.3.3 Generalisation 39

2.4 Convergence vers une diffusion 42 2.4.1 Theoreme de la limite centrale pour un processus marko­

vien de sauts 42 2.4.2 Convergence d'une evolution aleatoire vers une diffusion. 45 2.4.3 Convergence des equations de Kolmogorov associees. . . 47

i

VI TABLE DES MATIERES

2.5 Processus de transport generaux 48 2.5.1 Processus markovien de sauts ä valeurs dans Rfc 48 2.5.2 Processus de transport et equations de Kolmogorov as-

sociees 50 2.6 Application aux equations de transport 53 2.7 Commentaires bibliographiques 55

3 Methode de Monte-Carlo pour les equations de transport 57 3.1 Principe de la methode de Monte-Carlo adjointe 58 3.2 Principe de la methode de Monte-Carlo directe 60

3.2.1 Description de la methode 61 3.2.2 Lien avec les methodes particulaires 64

3.3 Conditions aux limites 65 3.4 Schema general avec discretisation temporelle 69 3.5 Evaluation des quantites de grilles 71 3.6 Problemes stationnaires 74

3.6.1 Schema general 76 3.6.2 Evaluation des quantites de grille 76

3.7 Limites de la methode et generalisation 77 3.7.1 Limites de la methode 77 3.7.2 Devissage (ou "Splitting") d'operateurs 78 3.7.3 Generalisation ä des problemes non-lineaires 79 3.7.4 Couplage avec d'autres methodes numeriques 80

3.8 Techniques specifiques 81 3.8.1 Mise en groupe 81 3.8.2 Technique du choc fictif 84

3.9 Reduction de Variance et fonctions d'importance 85 3.9.1 Biaisage angulaire 87 3.9.2 Biaisage des poids 88 3.9.3 Surface de "Splitting" 88

3.10 Un exemple de biaisage angulaire 89 3.11 Remarques sur la programmation 90

3.11.1 Vectorisation 90 3.11.2 Parallelisation 91

3.12 Commentaires bibliographiques et conclusions 92

4 Methode de Monte-Carlo pour l'equation de Boltzmann 93 4.1 Generalites sur les equations de Boltzmann 94 4.2 Lien avec l'equation maitresse 99

4.2.1 Equation maitresse et processus de collision de Bird . . 101 4.2.2 Propagation du chaos 102 4.2.3 Interpretation en terme de methode de Monte-Carlo . . 105

4.3 Les methodes lineaires et symetriques 106 4.3.1 Description rapide de la methode de Monte-Carlo lineaire 107 4.3.2 Description des methodes de type Monte-Carlo symetriquellO

TABLE DES MATIERES VII

4.4 Mise en oeuvre des methodes symetriques 111 4.5 Limites des methodes de Monte-Carlo 112 4.6 Commentaires bibliographiques 113

5 Methode de Monte-Carlo pour les equations de diffusion 115 5.1 Mouvement brownien et equations aux derivees partielles . . . 116

5.1.1 Le mouvement brownien 116 5.1.2 Mouvement brownien et equation de la chaleur 119 5.1.3 Integrale stochastique d'Itö 120 5.1.4 Mouvement brownien et probleme de Dirichlet 128 5.1.5 Formule de Feynman-Kac 130

5.2 Representations probabilistes et processus de diffusion 131 5.2.1 Equations differentielles stochastiques 132 5.2.2 Generateur infinitesimal et diffusion 135 5.2.3 Diffusions et problemes d'evolution 138 5.2.4 Diffusions et Problemes stationnaires 142 5.2.5 Diffusion et equation de Fokker-Planck 143 5.2.6 Applications en mathematiques financieres 147

5.3 Simulation des processus de diffusion 151 5.3.1 Le schema d'Euler 152 5.3.2 Le schema de Milshtein 153

5.4 Methodes de reduction de variance 157 5.4.1 Variables de contröle et representation previsible . . . . 157 5.4.2 Exemples d'utilisation de variables de contröle 160 5.4.3 Fonction d'importance et theoreme de Girsanov 162

5.5 Commentaires bibliographiques 165

Bibliographie 167

Index 175