BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
Transcript of BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 1/72
CHAPTER I
FUNDAMENTAL OF LOGICSDwi Maryono
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 2/72
Hidup adalah pilihan Segala situasi memunculkan pilihan Ada aksi ada reaksi
Ada masalah ada solusi Ternyata hal ini juga berlaku pada dunia
komputer◦ Turn on computer -> …
◦ lik start -> …◦ !o reaction "or #$ minutes -> …
INTRODUCTION
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 3/72
Di dunia pemrograman %contoh Siakad&
◦ 'roses (ogin
)sian data user dan password benar -> …
Data user benar password salah -> …
Data user salah passw juga salah -> …◦ 'roses da"tar M
'engambilan melebihi batas maks -> …
Mengambil M* ada syarat yang dipenuhi -> …
Dunia komputer adalah dunia logika Tidak ada komputer tanpa logika Tidak ada program tanpa logika Tidak ada teknisi tanpa logika
S+ , STA.T (A.! )!/+.MAT)0S /.+M (+1)0S222
INTRODUCTION
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 4/72
'ernyataan3 kalimat deklarati" yang mempunyai nilai benaratau salah saja %tidak bisa keduanya&
'ernyataan biasanya direpresentasikan dengan huru" kecilseperti3 p* 4* r* s* dst
0ontoh3◦ p 3 Hari ini hari kamis◦ q 3 )bukota )ndonesia adalah 5akarta
◦ r 3 6 7# 8 9
:agaimana jika ini◦ s 3 'acar saya cantik
◦ t 3 6;< 7 9 8=$
◦ p 3 Semarang dekat dengan Solo
◦ 4 3 Hari ini turun hujan
◦ r 3 Tahun depan :apak naik haji
◦ u3 6-<8$
Pernyataan/Preposisi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 5/72
alimat◦ Apakah setiap kalimat merupakan pernyataan?
◦ alimat tanya* kalimat perintah* kalimat harapan apakah jugapernyataan?
◦ alimat terbuka3 kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya@ :iasanya kalimat terbuka memuat ariabel-ariabel
◦ 0ontoh 3 6 B < 8 $
◦ : adalah kota hujan
◦ Tuan C berasal dari 5akarta
◦
alima terbuka menjadi pernyataan jika ariabel diberikan nilai@◦ 0ontoh3 6 B < 8 $ untuk 8 6 atau 8 -6
◦ : adalah kota hujan* untuk : 8 :ali
◦ Tuan C berasal dari 5akarta* untuk C 8Dwi Maryono
Pernyataan/Preposisi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 6/72
:agaimana jika ini◦ 'ak :ashori tidak ada di kantornya
◦ Soimah hari ini ke jakarta dan ditemani suaminya
◦ Si din beli beras atau beli telur@
◦ .udi masih di 5akarta atau sudah tiba di kos %C+.&
◦ 5ika hari ini hari Sabtu saya berangkat mudik lagi@
Pernyataan/Preposisi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 7/72
0ontoh3◦ p 3 Hari ini hari kamis
◦ q 3 )bukota )ndonesia adalah 5akarta
◦ r 3 6 7# 8 9
disebut pernyataan primiti" karena sudah tidakdapat dipecah lagi menjadi lebih sederhana@:erbeda dengan < contoh sebelumnya◦ 'ak Manajer tidak ada di kantornya
◦ Soimah hari ini ke jakarta dan ditemani suaminya◦ .udi masih di 5akarta atau sudah tiba di kos
◦ 5ika hari ini hari Sabtu saya berangkat mudik lagi@
Pernyataan/Preposisi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 8/72
Dari pernyataan primiti" kita bisamemperoleh pernyataan baru dengan cara◦ !egasiE)ngkaran
◦ Menggabungkan dua atau lebih pernyataan
%'ernyataan Majemuk& dengan kata penghubunglogika onjungsi
Disjungsi
)mplikasi :iimplikasi
Pernyataan/Preposisi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 9/72
Suatu pernyataan yang diperoleh daripernyataan sebelumnya dan mempunyai nilaikebenaran yang berlawanan dengan pernyataansebelumnya disebut ingkaran atau negasi
!egasi dari p dituliskan Fp dibaca Gnegasi patau Gbukan p
0ontoh 3◦ p3 < adalah bilangan ganjil
◦ Fp3 < bukan bilangan ganjil◦ 4 3 = 7 = 8 6
◦ F4 3 = 7 = ≠6
Negasi/Ingkaran
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 10/72
5ika pernyataan p bernilai benar maka Fpbernilai …
5ika pernyataan p bernilai salah maka Fpbernilai …
Atau bisa dinyatakan daam tabel kebenaran
Negasi/Ingkaran
p p
:
S
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 11/72
(atihan3 Tentukan !egasi dari pernyataan berikut◦ Manusia adalah makhluk sosial@
◦ Semua bilangan bulat adalah bilangan real@
◦ √6 adalah bilangan rasional@
◦
Di kepulauan Seribu ada seribu pulau@◦ 6< 8 6 7 6 7 6 7 6
◦ :eberapa proinsi di )ndonesia adalah daerah istimewa@
◦ log %ab& 8 log a 7 log b
◦ :eberapa negara tidak mempunyai kepala
pemerintahan@◦ # 7 I J <
Negasi/Ingkaran
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 12/72
onjungsi
◦ onjungsi adalah pernyataan majemuk yangdibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkandengan kata KdanG %A!D&@
◦
ata hubung KdanK dilambangkan dengan ∧@ 5ika pdan 4 pernyataan tunggal maka konjungsi dari p dan
4 dinyatakan dengan
p ∧ 4 0ontoh
◦ p 3 5akarta ibukota )ndonesia◦ 4 3 5akarta terletak di pulau 5awa
◦ p ∧ 4 3 5akarta adalah ibukota )ndonesia dan terletak di pulau jawa
Pernyataan Ma!e"#k
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 13/72
Menentukan nilai kebenaran kalimat konjungsi◦ p 3 5akarta ibukota )ndonesia
◦ 4 3 5akarta terletak di pulau 5awa
◦ p ∧ 4 3 5akarta adalah ibukota )ndonesia dan
terletak di pulau jawa 5ika p benar dan 4 benar maka p ∧ 4 benar Apa akibatnya
◦ 5ika p benar dan 4 salah maka p ∧ 4 bernilai salah
◦ 5ika p salah dan 4 benar maka p ∧ 4 bernilai salah
◦ 5ika p salah dan 4 salah maka p ∧ 4 bernilai salah
$on!#ngsi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 14/72
.angkum dalam tabel kebenaran berikut
$on!#ngsi
p % p ∧ %
: : :
: S S
S : S
S S S
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 15/72
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yangdiben-tuk dari dua pernyataan tunggal yangdihubungkan dengan kata Katau %+.&@
ata Gatau dilambangkan dengan G∨K@
5ika p dan 4 pernyataan tunggal maka disjungsidari p dan 4 dinyatakan dengan
p ∨ 4
0ontoh3◦ p 3 6 adalah bilangan ganjil◦ 4 3 6 adalah bilangan prima
◦ p ∨ 4 3 6 adalah bilangan ganjil atau bilangan prima
Dis!#ngsi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 16/72
Menentukan nilai kebenaran kalimat konjungsi◦ p 3 6 adalah bilangan genap
◦ 4 3 6 adalah bilangan prima
◦ p ∨ 4 3 6 adalah bilangan genap atau bilangan prima
5ika p benar dan 4 benar maka p∨4 benar Apa akibatnya
◦ 5ika p benar dan 4 salah maka p ∨ 4 bernilai benar
◦ 5ika p salah dan 4 benarmaka p ∨ 4 bernilai benar
◦
5ika p salah dan 4 salah maka p ∨ 4 bernilai salah
Dis!#ngsi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 17/72
Tabel ebenaran 'ernyataan Disjungsi
Dis!#ngsi
p % p ∨ %
: : :
: S :
S : :
S S S
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 18/72
Ada sebuah kasus unik dari kata hubung Gatau 0ontoh3
◦ p3 Sekarang Ali di 5akarta
◦ 43 Sekarang Ali di bandung
◦
5ika baik p dan 4 benar bagaimana◦ r 3 Sekarang Ali di 5akarta atau di :andung %salah&
◦ 'ernyataan r bernilai benar atau salah?
◦ ,hy? )ni disebut dengan E&'(#si)e OR %*OR&*
dilambangkan dengan ∨
!ilai p ∨ 4 bernilai benar jika hanya salah satu saja
yang bernilai benar
E&'(#si)e OR
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 19/72
Tabel ebenaran 'ernyataan Disjungsi
p % p %
: : S
: S :
S : :
S S S
E&'(#si)e OR
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 20/72
)mplikasi adalah pernyataan majemuk yangdibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkandengan Kjika … maka …@G %)/ … TH! …&
)mplikasi dilambangkan dengan G→@ 5ika p dan
4 adalah pernyataan* maka implikasi Kjika pmaka 4K ditulis p → 4@
0ontoh3◦ p 3 < tidak habis dibagi 6
◦ 4 3 < adalah bilangan genap◦ p → 4 3 jika < tidak habis dibagi 6 maka < bilangan
genap
I"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 21/72
0ontoh◦ p 3 Hari ini Sabtu
◦ 4 3 Dewanto mudik ke kampung
◦ p → 4 3 5ika hari ini hari Sabtu maka Dewanto mudik kekampung
Tabel kebenaran◦ Misalkan diketahui 5ika hari Sabtu Dewanto pasti mudik ke
kampung
◦ /akta3
hari ini Sabtu dan Dewanto mudik ke kampung %p3:enar*43:enar&
Hari ini Sabtu dan Dewanto tidak mudik ke kampung %p3benar* 4 3 salah&
Hari ini .abu dan Dewanto mudik ke kampung %p salah* 4benar&
Hari ini .abu dan Dewanto tidak mudik ke kampung %p salah*
4 salah&
I"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 22/72
Tabel ebenaran )mplikasi
I"p(ikasi
p % p %
: : :
: S S
S : :
S S :
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 23/72
:iimplikasi adalah pernyataan majemuk yangdibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkandengan kata G… jika dan hanya jika@@@
ata GbiimplikasiK dilambangkan dengan ↔@
5ika p dan 4 adalah pernyataan* makabiimplikasi Kp jika dan hanya jika 4K dinyatakan
dengan p ↔ 4
:iimplikasi p ↔ 4 merupakan gabungan
G%jika p maka 4& dan %jika 4 maka p&atau
%p→4& ∧ %4→p&
+ii"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 24/72
0ontoh3◦ aryawan akan dapat bonus jika dan hanya jika
ia tidak pernah datang terlambat@
◦ a7b 8 $ jika dan hanya jika b8-a
◦ 6n adalah bilangan genap jika dan hanya jika nbilangan bulat
+ii"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 25/72
Tabel ebenaran dari :iimplikasi
+ii"p(ikasi
p % p %
: : :
: S S
S : S
S S :
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 26/72
Misalkan dalam web siakad terdapat menu login 'ernyataan
p3 entry user ada di database
43entry password sesuai dengan user ser bisa masuk jika %p dan 4& benar ser tidak bisa masuk jika %p dan 4& salah@
apan itu terjadi??? S+
F%p ∧ 4& 8 Fp ∨ F4
0oba periksa dengan Tabel ebenaran222
Negasi $on!#ngsi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 27/72
Misalkan dalam sebuah penerimaan guru T) Syarat administrassi yang harus dipenuhi adalah3
lulusan S= Teknik )n"ormatika atau S= 'endidikan T) ◦
p3 penda"tar lulusan S= Teknik )n"ormatika◦ 43 penda"tar lulusan S= 'endidikan T)
'enda"tar lulus administrasi jika %p ∨4& benar* kapanitu terjadi?@@
Dia gagal administrasi jika…@ So
F%p ∨ 4& 8 Fp ∧ F4
0oba periksa dengan Tabel ebenaran222
Negasi Dis!#ngsi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 28/72
)ngat bahwa dalam pernyataan jika p maka 4 makadapat diartikan bahwa jika p terjadi maka pasti 4
juga terjadi@ Apakah berlaku sebaliknya?
0ontoh3 ada orang yang berteori 5ika bogor hujan lebih dari 6 jam maka 5akarta banjir
p3 :ogor hujan lebih dari dua jam
43 5akarta :anjir
p → 40ari pernyataan %"akta& yang dapat digunakanuntuk menyanggah teori ini@
Negasi ,ari I"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 29/72
0ontoh3a3 :ogor tidak hujan tapi 5akarta banjir
b3:ogor hujan tapi 5akarta tidak banjir
c35akarta tidak banjir dan bogor tidak hujanMana di antara pernytaan yang dapatmenyanggah teori di atas?
:uat contoh lain2222
SoF%p→4& 8 p ∧ %F4&
Tunjukkan dengan Tabel kebenaran222
Negasi ,ari I"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 30/72
F%p ↔ 4& 8 F%%p→4&∧%p→4&& 8
%p ∧F4&L %4 ∧Fp& :uat contoh222
Negasi ,ari +ii"p(ikasi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 31/72
Misalkan diberikan beberapa pernyataanprimiti"3◦ p3 Ali pergi jalan-jalan
◦ 43 Malam terang bulan
◦ r 3 0uaca mendung
!yatakan pernyataan gabungan yangdinotasikan berikut dalam kalimat◦ %4∧Fr&→p
◦ 4 →%Fr→p&
◦ F%p↔%4∨r&&
Ga-#ngan $ata .#-#ng
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 32/72
!yatakan dalam notasi◦ 5ika cuaca mendung dan bulan tidak terang maka
Ali tidak akan pergi jalan-jalan
◦ 5ika cuaca tidak mendung maka Ali pergi jalan-
jalan jika dan hanya jika bulan terang◦ :ulan tidak terang dan cuaca mendung* tapi Ali
tidak pergi jalan-jalan
Ga-#ngan $ata .#-#ng
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 33/72
Dalam bahasa pemrogram biasanya benarsalah diwakili oleh = %true& and $ %"alse&
Ta-e( ke-enaranrangk#"an
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 34/72
Dalam pemrograman dikenal adanya struktur)"@@then @@ Atau i" …then …else…
:edanya jika dalam pernytaan majemuk jika pmaka 4* keduanya baik p dan 4 adalah pernytaan
yang bernilai benar atau salah Dalam bahasa pemrograman i" p then 4* p adalah
kondisi yang harus dipenuhi %berupa pernyataanbernilai benar atau salah& sedangkan 4 adalahpernyataan eksekusi
0ontoh◦ )" % mod 6 8$& then write % adalah bilangan genap&N
◦ )" %bangun8persegiO& then (uas38s;sN
Str#kt#r Logika ,a(a"Pe"rogra"an
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 35/72
:agaimana i" p then 4 else r? 0ontoh3
◦ 5ika rerata ujian lebih besar atau sama dengan 9$maka status8lulusO jika tidak status8remidiO
◦ :eri contoh lain22
i" rata-rata≥ 9$ then status8lulusO
else status8tidak lulusO
Str#kt#r Logika ,a(a"Pe"rogra"an
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 36/72
:uktikan bahwaF%4∧%Fr→p&& ≅ F4 ∨ %Fr ∧ Fp&
Tanda ≅ dibaca ekuialenO
:uktikan lagi
LATIHAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 37/72
Tentukan tabel kebenaran dari◦ p→%p∨4&
◦ p∧%Fp ∧ 4&
!ilai p→%p∨4& selalau bernilai :enar untuk
apapaun nilai p dan 4 %Tautologi& !ilai p∧%Fp ∧ 4& selalu bernilai salah untuk
apapaun nilai p dan 4 %ontradiksi& Tautology 3 pernyataan yang selalu bernilai
benar ontradiksi 3 pernyataan yang selalu bernilai
salah
Ta#to(ogi ,an $ontra,iksi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 38/72
0hallenge3 Dari nilai- nilai berikut* pernyataan mana yang bernilai
benar jika 0* D* * / bernilai salah dan A* : bernilai benar?◦ %A and :& or %%0 and D& or & and /
◦ %A or :& and %%0 or D& and & or /
◦ %A and :& or %%0 or D& or & or /
◦ %A and :& and %%0 and D& and & and /
◦ %%A or :& or %0 or D& or & and /
5ika 4 benar tentukan nilai p*r*s agar pernytaan berikutini menjadi benar
Ta#to(ogi ,an $ontra,iksi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 39/72
Misalkan p* dan 4 pernytaan primitie Dengan Tabel kebenaran* tunjukkan bahwa
nilai kebenaran pernyataan p→4 selalusama dengan Fp∨4
Dapat disebutkan bahwa pernyataan p→4ekuialen dengan Fp∨4* atau dapatdituliskan
p→4 ≅ Fp∨4 Dapatkah dibuktikan dengan cara lain?
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 40/72
Dua pernytaan s= dan s6 disebutekuialensi logis jika s= benar jika danhanya jika s6 benar dan s= salah jika danhanya jika s6 salah
'embuktian3◦ Tabel kebenaran untuk semua kemungkinan
kombinasi nilai
◦ Aljabar menggunakan hukum-hukum logika
0ontoh buktikan apakah
F%p ∨ 4& ≅ %p↔4&
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 41/72
Hukum De Morgan3 F%p ∧ 4& ≅ Fp ∨ F4
F%p ∨ 4& ≅ Fp ∧ F4
Hukum Distribusi ∧ atas ∨
p∧%4∨r& ≅ %p∧4& ∨ %p∧r&
Hukum Distribusi ∨ atas ∧ p ∨ %4 ∧ r& ≅ %p ∨ 4& ∧ %p ∨ r&
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" LogikaLa2 o3 Logi's1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 42/72
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 43/72
!egasi ganda3 F%Fp& ≅p omutati"3
p ∨ 4 ≅ 4 ∨ p
p ∧ 4 ≅ 4 ∧ p
Assosiati" p ∨ %4 ∨ r& ≅ %p ∨ 4& ∨ r
p ∧ %4 ∧ r& ≅ %p ∧ 4& ∧ r )dempotent3
p ∨ p ≅ p p ∧ p ≅ p )dentitas
p ∨ /alse ≅ p p ∧ True ≅ p )nerse
p ∨ Fp ≅ True p ∧ Fp ≅ /alse
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 44/72
Dominasip ∨ True ≅ True p ∧ /alse ≅ /alse
Absorpsip∨%p∧4& ≅ p
p ∧%p∨4& ≅ p
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 45/72
Misalkan diberikan implikasip → 4
Dikenal beberapa istilah◦ oners 3 4 → p
◦ )ners 3 Fp → F4
◦ ontraposisi 3 F4 → Fp
Diantara ketiganya* manakah yang
ekuialen dengan p→
4? p → 4 ≅ F4 → Fp :eri contoh22
I"p(ikasi4 $on)ers4 In)ers4$ontraposisi
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 46/72
0ontoh soal Dengan hukum-hukum logika yang ada*
buktikan bahwa3◦ %r∧s&→4≅ %Fr ∨ Fs&∨4
◦ %p→%4∨r&& ≅ %p∧F4&→r
◦ Pp→%4∨r&Q≅PFr→%p→4&Q
◦ p∨4%Fp∧F4∧r&≅p∨4∨r
Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 47/72
Argumen yang alid Misalkan p=* p6* @@* pn* dan 4 adalah pernyataan-pernyataan dan
diberikan suatu implikasi %p=∧p6 ∧… ∧pn&→4
'ernyataan majemuk berikut ini disebut argumen
%p=∧p6 ∧… ∧pn&→4
di mana p=* p6* @@pn disebut premis dan 4 disebut kesimpulanargumen Argumen di atas disebut alid jika p=* p6* @@pn semua benar maka
kesimpulan 4 juga benar Sedangkan jika salah satu p=* p6 * @@atau pn saja bernilai salah maka
apapun nilai 4 maka
%p=∧p6 ∧… ∧pn&→4 akan bernilai benar Artinya untuk membuktikan sebuah argumen alid atau tidak adalah
dengan menunjukkan bahwa %p=∧p6 ∧… ∧pn&→4 adalah tautologi
IMPLI$ASI LOGIS/PENARI$AN$ESIMPULAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 48/72
Argumen alid 0ontoh3 Misalkan diberikan pernyataan
p3 .aka belajar
43 .aka bermain tenis
r3 .aka lulus Matematika Diskrit Misalkan dideRnisikan premis
p=3 5ika .aka belajar maka ia lulus Mat Diskrit
p63 5ika .aka tidak bermain tenis maka ia belajar
p#3 .aka tidak lulus diskrit
:uktikan apakah argumen berikut alid %p=∧p6 ∧p#&→4 Dengan kata lain jika p=* p6* dan p# adalah "akta* apakah
4 juga "akta?
IMPLI$ASI LOGIS/PENARI$AN$ESIMPULAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 49/72
ntuk membuktikan maka dapat diberikan notasiberikut
p=3 p→r p63 F4→p p#3Fr Argumen di atas dapat ditulis ulang
%%p→r&∧% F4→p& ∧%Fr&& →4 Apakah argumen dia tas alid* lihat di tabel kebenaran
IMPLI$ASI LOGIS/PENARI$AN$ESIMPULAN
Dari tabelkebenarandiperoleh bahwa
pernyataanimplikasi adalah Tautologi* yangselalu bernilaibenar@ Denganbegite argumen di
atas adalah alid@
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 50/72
MisalkanDiberikan premis p=3p* p63 %p∧r&→s* dankesimpulan 43r→s
Tunjukkan bahwa argumen %p=∧p6&→4adalah alid
IMPLI$ASI LOGIS/PENARI$AN$ESIMPULAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 51/72
5ika p dan 4 sebarang pernyataan sehinggap→4 adalah tautologi maka dikatakan
5p se'ara (ogik "engi"p(ikasi"enye-a-kan1 %6 atau dinotasikan p⇒4
sedangkan p→4 disebut i"p(ikasi (ogis Selanjutnya notasi p ⇒ 4 mengindikasikan
p→4 bukan tautologi atau p→4 bukanlah
implikasi logis
IMPLI$ASI LOGIS/PENARI$AN$ESIMPULAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 52/72
Misalkan diberikan argumen
Dengan tabel kebenaran sudah dapatditunjukkan bahwa argumen tsb alid@
Dapatkah dicek dengan cara lain?:agaimna jika argumen melibatkan lebihdari # pernytaan primiti"?
1unakan Aturan penarikan esimpulan222
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 53/72
Modus 'onen◦ Dalam bentuk implikasi logis
◦ Atau dalam bentuk tabular
◦ Tanda ∴ bisa dibaca Gjadi G atau Goleh karena itu atau4 adalah kesimpulan dari premis p dan p→4
◦ 0ontoh3
.aka :elajar
5ika .aka :elajar maka .aka lulus Diskrit
◦ 5adi .aka lulus Diskrit
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
ATURAN PENARI$AN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 54/72
SillogismeDalam bentuk implikasi logis
Atau
0ontoh3
5ika .aka rajin maka ia belajar
5ika .aka belajar maka ia lulus Diskrit 5adi* jika .aka rajin maka ia lulus diskrit
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
ATURAN PENARI$AN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 55/72
:erikan kesimpulan agar argumen berikutalid
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
.ita membuat kue 5ika .ita membuat kue maka ia tidak berlatihpiano 5ika ia tidak berlatih piano maka ayahnya tidakmembelikannya sepeda
ATURAN PENARI$AN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 56/72
Modus Tollens◦ !otasi implikasi logis
◦ Atau
◦ 0ontoh 3
◦
5ika .aka belajar maka ia lulus Diskrit◦ .aka tidak lulus Diskrit
◦ +leh karena itu .aka tidak belajar
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
ATURAN PENARI$AN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 57/72
Tunjukkan bahwa argumen berikut alid
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
ATURAN PENARI$AN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 58/72
ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 59/72
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 60/72
:uktikan argumen berikut alid
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 61/72
Selidiki aliditas argumen berikut3
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 62/72
TUGAS
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 63/72
'erhatikan kalimat3◦ 76 adalah bilangan genap
alimat di atas apakah pernytaan? alimat di atas disebut kalimat terbuka :agaimna supaya menjadi pernyataan?
◦ Mengganti dengan nilai tertentu
◦
Menggunakan A!T+.3 Semua * atau beberapa %Ada & yang memenuhi …@ alimat terbuka 76 adalah bilangan genap dapat dituliskan dalam
bentuk "ungsi p%& p%&3 76 adalah bilangan genap Sehingga p%I&3 I 7 6 adalah bilangan genap p%<&3 …@
arena ada nilai yang menyebabkan benar dan sebagian salah makadiapat dituliskan
:eberapa * p%& %beberapa memenuhi p%& -> bernilai :enar :agaimana dengan ntuk semua * p%& -> bernilai …
7UANTIFIER/$UANTOR
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 64/72
kuantor3◦ uantor istensial 3 ∃ p%&* dibaca Gbeberapa
memnuhi p%&* Gterdapat yang memenuhi p%&
◦ uantor niersal ∀ p%&* dibaca Gntuk semua
Euntuk setiap memenuhi p%& 0ontoh3 Diberikan
ntuk bilangan real* mana di antara pernytaanberikut yang benar3
7UANTIFIER
NEGASI ,ari Pernyataan
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 65/72
NEGASI ,ari Pernyataan+erk#antor
Negasi ,ari Pernytaan +er
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 66/72
Misalkan p%& 3 6 >= * 4%&3 6--98$ Tentukan nilai kebenaran dan negasi dari
pernyataan◦ ∀ p%&*
F%∀ p%&&≅∃ Fp%&
◦ ∃ 4%&
F%∃ 4%&& ≅ ∀ F4%&
Negasi ,ari Pernytaan +er0k#anti8er
Negasi ,ari Pernytaan +er
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 67/72
Misalkan◦ p%&3 adalah persegi panjang
◦ 4%&3 adalah persegi
Tentukan kebenaran dari
◦ ∀%p%&→4%&& %=&◦ ∀%4%&→p%&& %6&
◦ ∀%Fp%&→F4%&& %#&
◦ ∀%F4%&→Fp%&& %<&
Tentukan negasi dari bentuk = dan # Manakah di antara bentuk %=*6*#*<& yang
implikasi logis?
Negasi ,ari Pernytaan +er0k#anti8er
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 68/72
Selidiki apakah berikut ini implikasi logis?
Apakah berlaku sebaliknya?
7UANTIFIER
Negasi ,ari Pernytaan +er
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 69/72
Negasi ,ari Pernytaan +er0k#anti8er
I"p(ikasi (ogis Pernytaan +er
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 70/72
Apakah pernytaan berikut ini tautologi?
5adi3
I"p(ikasi (ogis Pernytaan +er0k#anti8er
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 71/72
Apakah pernytaan berikut ini tautologi?∀%p%& ∧ 4%&& → P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q
P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q → ∀%p%& ∧ 4%&& Sehingga keduanya merupakan imlikasi
logis
∀%p%& ∧ 4%&& ⇒P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q
P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q ⇒ ∀%p%& ∧ 4%&&
atau dapat dituliskan∀%p%& ∧ 4%&& ⇔P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q
Tanda ⇔ juga menunjukkan ekuialensi G≅
7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 72/72
Tanda ⇔ dapat digantikan dengan tanda G≅