Aula MF1

1

FACTEF VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Perodo/Curso: 3 Administrao

Disciplina: Matemtica Financeira 1 PROFESSOR: Jeov

PROGRAMA DA DISCIPLINA EMENTA: 1 Razo e proporo : conceito, transformao e tipos 2 Grandezas proporcionais: direta, inversa e diviso proporcional direta e composta 3 Regra de sociedade, regra de trs simples e composta 4 - Porcentagem:clculo percentual 5 - Operaes com mercadorias: lucro, prejuzo sobre custo e sobre venda 6 Mercado de cmbio: Taxa, converso e operaes 7 Juros simples: capital, taxa, tempo e montante 8 Desconto simples: tipos de crdito, desconto comercial e racional 9 Uso de calculadora HP-12C: TECLAS 10 A linguagem das transaes comerciais e do mundo dos negcios

2


Disciplina: Matemtica Financeira 1

18/02/05

RAZO E PROPORO 1 Razo de dois nmeros. Razo de um nmero a para um nmero b (diferente de zero), onde b no pode

ser zero, o quociente de a para b , ou seja: ab

EX: Razo de 3 para 12:

3 112 4

ab

= =

Razo de 20 para 5:

20 44

5 1ab

= = =

Razo de 5 para 1/2:

5 1 5 1 5 2 105 : : 10

1 2 1 2 1 1 12

ab

= = = = = =

Razo entre 1

23

+

e 7

1 2 1 6 1 7

2 7 7 73 1 3 3 3 : 7 :7 7 7 7 3 3 1

ab

++ +

= = = = = = onde:

7 7 7 1 1: :

3 1 3 7 3= =

NOTA: REGRAS DE SIMPLIFICAO ? O nmero divisvel por 2 quando par ? O nmero divisvel por 3 quando a soma dos algarismos for divisvel por 3 ? O nmero divisvel por 4 quando a soma dos 2 ltimos algarismos for divisvel por 4 e der diviso exata.

3


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Calcule a razo entre os seguintes nmeros:

a) 256 e 960

256 64 16 4960 240 60 15

ab

= = = =

b) 1,25 e 3,75

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1,25 100 125 5 25 5 5 51,25 13,75 3,75 100 375 5 75 5 15 5 3

ab

= = = = = =

c) 5 e 13

5 1 5 1 5 3 155: : 151 3 1 3 1 1 13

ab

= = = = = =

d) 12

e 0,2 OBS: 0,2 = 210

11 10 10 52 2,5

2 2 2 4 210

= = = =

OBS:

5 1 12 22 2 2

= + =

ONDE: 52 frao Imprpria e

122 Nmero Misto

4



PRPRIA (Numerador = Denominador) = ex: 25

FRAO APARENTE (N=D) = ex: 3

13

= OU 8

42

=

IMPRPRIA (N>D) = ex: 5 122 2

=

e) 125

-

e 3 RESP.: 35

RAZO DE DUAS GRANDEZAS Razo de duas grandezas a razo entre a medida da 1 e a medida da 2 grandeza. EXEMPLO: a) Razo de 2M para 3M.

2 23 3

a Mb M

=> =>

b) Razo de 30dm para 6M. onde: x 10 : 10

Km Hm Dam M Dc Cm mm 30Dm = 30,0 DM ou 3,0M 6M = 6,0M ou 60,0Dm

30 3 3 16 6 6 2

a Dm Mb M M

=> => => => ou 30 30 30 3 1

6 60 60 6 2a Dm Dmb M Dm

=> => => => =>

5


Disciplina: Matemtica Financeira 1 c) Razo de 100Km para 2H.

100 50 502 1

a Km Km Kmb h h h

=> => =>

Resolva: a) 27K e 3 L

27 9 93 1

a Km h Kmb L L L

=> => =>

b) 40g e 5Cm? c) 24Kg e 80Kg d) 20Cm e 4Dm e) 20d e 2M15d

PROPORO Conceito: Proporo a igualdade entre duas razes: a cb d

= Temos a est para b assim como c est para d.

2 4 1 16 12 3 3

= => =

Exemplos:

a b c d 1 Termo 2 Termo 3 Termo 4 Termo

a, c (Numeradores) => Antecedentes b, d (Denominadores) => Conseqentes a, d Extremos b, c Meios

6



PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES 1 Propriedade fundamental Numa proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

a ca d b c

b d= => =g g

4 24 3 6 2 12 12

6 3= => = => =g g

2 Propriedade Soma dos termos Numa proporo a soma dos dois primeiros termos est para o primeiro ou para o segundo, assim como os dois ltimos termos est para o terceiro ou para o quarto.

a c a b c d a b c db d a c b d

+ + + += => = =

4 2 4 6 2 3 4 6 2 36 3 4 2 6 3

+ + + += => = =

10 5 10 54 2 6 3

= =

20 20 30 30= =

7


Disciplina: Matemtica Financeira 1 3 Propriedade A diferena dos termos Numa proporo a diferena entre os dois primeiros termos est para o primeiro ou para o segundo assim como a diferena entre os dois ltimos termos est para o terceiro ou para o quarto termo.

a c a b c d a b c db d a c b d

- - - -= => = =

4 2 4 6 2 3 4 6 2 36 3 4 2 6 3

- - - -= => = =

2 1 2 1

4 2 6 3- - - -

= =

4 64 6

- -- -

4 Soma dos antecedentes e dos conseqentes Numa proporo a soma dos antecedentes est para a soma dos conseqentes assim como uma ente cedente est para o seu conseqente

a c a c a a c cb d b d b b d d

+ += => = =

+ +

5 10 5 10 5 5 10 103 6 3 6 3 3 6 6

+ += => = =

+ +

15 5 15 109 3 9 6

= =

45 9045 90

8


Disciplina: Matemtica Financeira 1 5 Diferena dos antecedentes e dos conseqentes Numa proporo, a diferena entre os antecedentes est para a diferena entre os conseqentes, assim como qualquer antecedente est para o seu conseqente


- -= => = =

- -

5 10 5 10 5 5 10 103 6 3 6 3 3 6 6

- -= => = =

- -

5 5 5 103 3 3 6

- -= =

- -

15 3015 30

- -- -

6 Produto dos antecedentes e dos conseqentes Numa proporo, o produto dos antecedentes est para o produto dos conseqentes, assim como o quadrado de qualquer antecedente est para o quadrado de seu conseqente.

2 2

2 2


= => = =g gg g

2 2

2 2

2 4 2 4 2 2 4 43 6 3 6 3 3 6 6

= => = =g gg g

8 4 8 16

18 9 18 36= =

72 72 288 288= =

9


Disciplina: Matemtica Financeira 1 EXERCCIO: PAG. 15 c)

2 32 1 1 3 2 3 1 15 5

1 1 5 2 6 5 10 30 5 106 2

a cb d

= => = => = => = =>

d)

5 2 5 25 8 2 2 40 4 4 49 3 9 3

2 2 80,8 9 10 3 3 90 9 9 93 3 10

a cb d

= => = => = = = => = => =

Simplificao em caso de uma igualdade da seguinte forma: EXERCCIO: PAG. 16 Exerccio 1 a) 15 15

15 60 1 420 4 80

20 20a c

x xb d x x

= => = => = => = => =g b)

7 7 55 7 3 56 6 13 3 6 2 1 12 1 2

a c xxb d x

= => = => = => =g g

c) 114

1 12 3

3 4

a c xb d

= => =+ +

Isto diferente, portanto no uma proporo

Isto uma proporo

a cb d

=

10



1 2 1 6 1 72

3 1 3 3 3+

+ => + => => 1 3 1 12 1 13

34 1 4 4 4

++ => + => =>

ENTO: 11 11

13 77 13 77 774 1 4 39 777 13 7 13 4 12 1 3 393 4 3 4

xx x x

x x= => = => = => = => = => =

EXERCCIO: PAG. 18 Exerccio 2 16

a) 8 44 3

a cb d

= => = => Portanto no uma proporo.

24 12

b) 2 43 6

a cb d

= => = => Portanto uma proporo.

12

4 9 363 8 24

=>gg

c)

9281

4 33 4

a cb d

= => = => 6 364 24

=> = 144 = 144 proporo

2 3 61 4 4

=>gg

11


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Exerccio 1 b) a) d) b) c) 3 8 2 14 45 3 5

= a c

a d b cb d

= => =g g

215

1354

2 83 45

= 24 2

180 15= = 360 = 360 proporo

24180

TRANSFORMAO DE UMA PROPORO Transformar uma proporo escrev-la numa ordem diferente da original. Frmula original: a c

a d b cb d

= => =g g Alternando os extremos a e d: d c

d a b cb a

= => =g g Alternando os meios c e b: a b

a d c bc d

= => =g g Invertendo os termos: b d

b c a da c

= => =g g

12


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Transpondo as razes: a cb d

= c ad b

=

EXERCCIO: PAG. 19 Exerccio 2

1) Escreva de oito maneiras diferentes a proporo. a c

a d b cb d

= => =g g => 8 4 24 246 3

= => =

d c

d a b cb a

= => =g g => 3 4 24 246 8

= => =

a b

a d c bc d

= => =g g => 8 6 24 244 3

= => =

b d

b c a da c

= => =g g => 6 3 24 248 4

= => =

c a

c b d ad b

= => =g g => 4 8 24 243 6

= => =

c d

c b a da b

= => =g g => 4 3 24 248 6

= => =

b a

b c d ad c

= => =g g => 6 8 24 243 4

= => =

d b

d a c bc a

= => =g g => 3 6 24 244 8

= => =

13



PROPORES MLTIPLAS - Proporo mltipla uma igualdade entre 3 ou mais razes.

.....a c eb d f

= = =

PROPRIEDADE DAS PROPORES MLTIPLAS

.... , , .......

a c e m a c e mb d f n b d f n

+ + + + = + + + +

EXEMPLO:

1 3 43 9 12

= =

1 3 4 13 9 12 3

+ +=

+ + 1 3 4 3

3 9 12 9+ +

=+ +

1 3 4 43 9 12 12

+ +=

+ +

24 72 96

8 124 3

= 8 324 9

= 8 424 12

=

24 72 96 VER EXERCCIOS RESOLVIDOS PGINA 20 Exerccio 1)

9 11 15x y z

= = 420x y z+ + =

420 12

9 11 15 35 1x y z+ +

= =+ +

12

1081 9

xx= => =

12132

1 11y

y= => = 12

1801 15

zz= => =

X=108 + y=132 + z=180 =>420

14


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Exerccio 2) Determine os antecedentes ... pg.21 a cb d

=

2 8a c

= 47a c+ =

47

2 8 10a c+

=+

47 94

10 94 9,410 2 10

aa a a= => = => = => = 47 37610 376 37,6

10 8 10c

c c c= => = => = => =

A=9,4 + c=37,6 =>47 OBS: Fazer exerccios das pginas 22, 23 e 24 do livro Prova : dia 30 => Captulo 1 do livro Exerccio 3) pg.21

Determine dois nmeros, sabendo que sua soma 60 e a razo entre eles 23

23

xy

= e x+y=60

2 3x y=

60 122 3 5 1x y+ = =>

+

12 241 2

x x= ==> = 12 361 3

y y= ==> =

15


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Exerccio 3) pg.22 Determine dois nmeros, sabendo que sua soma 18/90 e que a sua soma 30 18 2 190 10 5

= =

15

xy

= x+y=30

30 5

1 5 60 1x y+

= =+

1 5 1x y x+

=+

1 5 5x y y+

=+

51 1

x=

51 5

y=

X=5 y=25 x+y=30 EXERCCIOS PGINA 22 Exerccio 1) Determine a razo entre os nmeros:

a) 226 e 1.017

113

113

226 21017 9

=

b) 1,25 e 0,75

100 25

100 25

1,25 125 50,75 75 3

X

X = =

16



c) 1230

e 912

:3 :3

:3 :3

1212 9 12 12 4 4 16 830 :

9 30 12 30 9 10 3 30 1512

=> => => => =>g g

d) 2 35 4

+

e15 524 8

-

5

28

=> 21

2 8 58

+ =g ou 2 5 16 5 211 8 8 8

++ = =

Ento: 2 35 4

+

e 15 214 8

-

2

5

2 3 8 15 2323 9 23 8 23 2 465 4 20 20

15 21 30 21 9 20 8 20 9 5 9 454 8 8 8

:xy

++

= => => => => => =>-

-

ggg

Exerccio 2) pg.22 Calcule a razo entre as seguintes grandezas:

a) 80m e 48 dam

80 80 8 148 480 48 6

m mdam m

= = =

b) 150m e 45 ares OBS: 1 are = 1 Dam= 100m

45 are = 45 Dam= 4500m

2 2

2

150 150 15 145 4500 450 30

x m my ares m

= = = =

17



c) 0,725m? e 5000L OBS: 5000L = 5000dm?= 5m?

3 3

3 3

0,725 725 295 5000 200

x m my m m

= = =

d) 9d 17h 20min e 8d 12h 10min Transformar Horas em minutos 9d 17h 20min 9d x 24 horas x 60 min = 12.960 min 17h x 60 min = 1020 min Ou seja : X=14.000 min. Transformar Horas em minutos 8d 12h 10min 8d x 24 horas x 60 min = 11.520 min 12h x 60 min = 720 min Ou seja : y=12.250 min. ENTO: :250 :7

14000 56 812250 49 7

xy

= = =

:250 :7 3) Verifique se a razo de 6me 20d para 3a 5 me 20d igual a razo de 640L Para 2m?

a xb y

= 36 20 640

3 5 20 2m d L

a m d m=

180 20 2002000 1250d d d

L d+ =

3 32 2000 2000m dm L= =

4 8

200 6401250 2000

d Ld L

= 20 64

125 200= ou seja:

4 825 25

(No igual)

25 25

18


Disciplina: Matemtica Financeira 1 4) Verifique se as seguintes expresses formam proporo:

a)

3458

=

52

2512

x

3458

= x

52

2512

24 6020 50

= 6 65 5

= Sim proporo

b) 0,01 200,1 200

= 1 20

10 200=

1 110 10

= Sim proporo

c)

1 123 2

1 1 125 3 5

-=

- -

1 2 13 2

1 1 125 3 5

1-

=- -

1 6 13 21 5 325 15

-

=--

x

53125

-

- = x

122

15

125 15

3 4= No proporo

5) Escreva os produtos abaixo sob forma de proporo:

a) 2 3 4 73 5 7 10

=g g

a cb d

=

2 73 104 37 5

=

a b c d

b) 2 21 1 0,5 23 5

+ - =

g g a d b c=g g

2123

25 15

+ =

-

19


Disciplina: Matemtica Financeira 1 6) Verifique se os quatro nmeros formam uma proporo; em caso afirmativo, escreva a proporo correspondente: a b c d

a) 8, 5, 16 e 10

a cb d

= a d b c=g g 80

8 165 10

= uma proporo

80

b) 25

, 2 , 52

, e 0,5

Obs: 0,5 =>

:5

:5

5 10,5

10 2= =>

a d b c

25

, 21

, 52

, 12

a cb d

= a d b c=g g 20

2 5 2 15 2 1 2

=g g 10 210 2

= ou 10 210 2

= 1 = 1 uma proporo

20 a d b c

c) 3, 5, 8 e 10

a cb d

= a d b c=g g

310 5 8=g g

20


Disciplina: Matemtica Financeira 1 40

3 85 10

= No uma proporo

30 7) Calcule o valor de X na proporo:

a)

2 73 5

45

x=

a cb d

= 3 451

2 75

x=

2 4 73 5 51

x=g g 2 4 7

3 1 11x

=g g

8 88 7 8 8 7 8 1 83 37 :

73 1 3 7 3 1 3 7 211

XX X X X X X= => = => = => = => = => = => =g

b)

72

1 15 4

7 2

x= Observe que:

5 7 17

61 37

57

+=> =>g e que 4 2 1 92

12

42

+=> =>

g

Ento podemos dizer que:

36 97 2

172

x

= 9 36 7

1 2 7 2x

=g g 9 2522 14x

= 9

182x

=

369 18 2 9 36 4

9x x x x= => = => = => =g

21



c)

23

5 14 2

x=

- x

154

x

-= x

2312

4

34

5x

-= 12 20x = -

2012

x -= 5

3x -=

d)

110,1(1 0,1) 4

0,1 1 0,4 x

--=

- g Resolvendo por partes :

1 10,1(0,9) 40,1 4

10, x

-=

-

1 40,09 4

0,3 x

-

=-

( )( )

30,09 4

0,1001003 x

-=

-

39 430 x

-=

-

( )( ): 3:3

39 430 x

-- =

33 4

10 x

-- = ( )

33

1014

x- = - -

33 4

10 x=

3101

34x

=

10 3

31 4

x = g 3034

x = 3 7,5x = 7,53

x = 2,5x =

e)

1 14 32 2 1 13 5 4 2

x+=

- +

3 412

10 6 1 215 4

x+

=- + x

7124

15

= x

4

13

x

1 0 54 8

=43x

1 9 2 3 1 5x = 3 1 5 1 0 51 9 2 6 4

x x= = > =

f) 2

1 0,

21

56

10,3

32

x

--

-

= OBS: 0,33

10= , 0,5

510

=

2 22 21 2 3 2 1 1 13 3

1933 3

211 3

- => - => => => => -

g

22


Disciplina: Matemtica Financeira 1 SENDO ASSIM:

16

12

5101

310

19

x -=

-

1 16 21

3 1 110 2 9

x -=

-

1 361

3 5 110 9

x -

=-

261

2 110 9

x -

=-

131

1 15 9

x -

=-

( )131

11

15 9

x -+=

+-

-

131

1 15 9

x

= 1 1 1

1 9 5 3x

=g g 19 15x

= 15 9x = 9

15x =

35

x =

g)

83 7

3

x

x

+= Resolvendo por partes:

83

x+ =83 1

x+ 8 3

3x+

Substituindo na frmula

83 7

3

x

x

+= :

8 3

3 73

x

x

+

= 8 3

3 73

xx

+=g g 8 3 7x x+ = ( )3 8 17x x- = -- 3 7 8x x- + =

4 8x = 8 2

24 1

x x x= => = => =

h)

2

21

31

24

xx +

=

-

Resolvendo por partes: 3 1 3 2 12 1 2 2

-- = =

1 2 1 8 1 9 92 2 2 2 2

4 1 4 4 4 2= =

+ + +

=

= Substituindo na frmula :

12

92

xx

= 1 92 2

x x =g g 2 1 92 2

x = g 2 94

x = 94

x = 3 32

22

1x x= => = -

23



8) Escreva uma razo igual a 154

, cujo antecedente seja 53

.

154

xy

=

Substituindo o antecedente :

51534y

=

53

41

15y

= 5 413 1

5 y =g g 20153

y = 51

203

1y =

203 1

15

y = g

314

3y = g 4

9y =

Portanto :

A razo

5349

xy

=

9) Escreva uma razo igual a 15

, cujo conseqente seja 1

46

.

15

xy

=

Substituindo o consequente : obs: 4 6 16

51 26

46

+=> =>

g 1

146

5x

= 1

256

5x

= 255 16

x =g g 2556

x = 51

25 :6

x = 5125

6x =

115

6x =

56

x = Portanto :

A razo

561

46

xy

=

24



10) Escreva uma proporo cujas razes sejam iguais a 14

e cujos conseqentes

sejam 28 e 36.

128 36 4

yx = = ento : 1

28 4x = e

136 4y =

Resolvendo:

128 4x = e

136 4y =

17 1x =

19 1y =

7x = 9y =

Substituindo na frmula: 28 36x y=

728 6

93

=

11) Calcule X e Y sabendo que:

a) 5 12x y

= e 187x y+ = OBS: 187x y= -

Ento: se 187x y= - , substitumos na frmula :

5 12x y

= 187

5 12y y-

= 5 12(187 )y y= - 5 2244 12y y= - 5 12 2244y y+ =

17 2244y = 224417

y = 132y =

SUBSTITUNDO O VALOR DE Y NA FRMULA ( 187x y= - )TEMOS : 187 132x = - 55x =

25



b)

1132

x y= e

16

x y+ =

12

113 2

x y x=

+

+ resolvendo por partes:

32 61 1

32+

=>+ Substitundop na frmula:

3 2 16 2

x y x

+

=+

3 2 56 61 16 6

+

=

5 56 61 16 6

= 5 1 5 6:6 6 6 1

= g =5 ento :

1 1 12 3 2x y x

+=

+

15 21 x

= 1 1 1 1

52 2 5 10

x x x= => = => =g Achando y:

12 3

13

1

x y x

+=

+

15 31 x

= 1 1 1 1 15 : 53 3 3 5 15

y y y y= => = => = => =g

c) 8 3x y

= e 85x y- = ento : 85x y= +

85 255 3 8 255 5 518 3

y y y y y y+ = => + = => = => = Achando x:

85x y= + 85 51 136x x= + => =

12) Calcule dois nmeros, sabendo que sua soma 169 e que a razo 49

169x y+ = e 49

xy

= ento:

Se 169x y+ = temos que: 169x y= -

Resolvendo: 49

xy

= 169 4

9y

y-

= 4 1521 9y y= - 4 9 1521y y+ =

152113 1521 117

13y y y= => = => =

26



xy

= 9 4x y= 49y

x = substituindo o valor de y : 4117

9x =

g 52x =

13) Dois nmeros, cuja soma 28, guardam entre si a relao 34

. Quais so esses

nmeros?

28x y+ = onde tm a relao : 34

xy

=

Resolvendo 34

xy

= :

34

xy

= 4 3x y= 34

x y= ento substituindo o valor de x na frmula ( 28x y+ = )

temos: 3 284y y+ =

13 284 1y y+ =

3 4 284 4

y y+=

1127 112 16

7y y y= => = => = agora, se

312

4x y x= => =

14) Dois nmeros, cuja diferena 12, esto na relao 85

. Quais so esses

nmeros?

85

xy

=

8 55

x yy- -

= 12 3

5y=

4 120

5y

y= => =

Se x- y =12 ento:

20 12 12 20 32x x x- = => = + => =

15) A idade de um pai est para seu filho como 7 est para 53

. Se a soma das idades

52, qua a idade de cada um ?

753

xy

= e 52x y+ = onde pode-se dizer que: 52x y= -

27


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Substituindo na frmula:

52 753

yy-

=

260 5 2607 21 5 260 26 260 10

3 3 26y

y y y y y y= - => + = => = => = => = ento:

Se 52x y= - 52 10 42x x= - => =

16) Decomponha o nmero 356

em duas partes, tais que a razo entre elas seja 32

32

xy

=

356

x y+ =

3 2 52 2

x yy

+= =>

+

356

x y+ =

52

x yy+

= Substituindo temos:

35562y

=

355 2

6y = g 7

3y =

Calculando x:

32

xy

= Substituindo na frmula:

373

2x

= 27 33 1

x = g 72 72

x x=>= =

28


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Ou:

356

x y+ = ento substituindo y:

3573 6

x + = 73

356

x = - 35 14

6x -=

216

x = 72

x =

17) Qual o nmero que, aumentado de 2 unidades, est para 5 assim como 28 est para 20 ?

2 285 2

25 50

7x x+ = = + =>

2 75 5

x +=

255 10 35 5 35 10 5 25 5

5x x x x x+ = => = - => = => = => =

18) Qual o nmero que, diminudo de 3 unidades, est para o seu consecutivo assim como 5 est para 6 ? MONTANDO A FRMULA:

31

xx

-+

56

ab

=

3 51 6

xx

-=

+ 6 18 5 5 6 5 5 18 23x x x x x- = + => - = + => =

19) A soma de trs nmeros igual a 555. O primeiro est para o segundo como 8 est para 5. A diferena entre esses dois nmeros igual a 69. Quais so os trs nmeros ?

555x y z+ + = 85

xy

= 69x y- = ento: 69x y= +

69 8345 5 8 345 3 115

5y

y y y yy+

= => + = => = => = ento se 69x y= + :

69 115 184x x= + => = substituindo na frmula ( 555x y z+ + = )temos:

184 115 555 555 184 115 256z z z+ + = => = - - => =

29


Disciplina: Matemtica Financeira 1 20) A importncia de R$ 588 foi dividida entre trs pessoas. Sabendo que parte da primeira est para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda est para a da terceira como 7 para 9, determine as trs partes.

$588:3R X, Y, Z 7 99 79 7

y yy z zz

= => = => =

57

xy

= 57 57yx y x= => =

5885 97 7

x y zy yy

+ +=

+ + 5 7 9 4116y y y+ + = 196y =

9196252

7z z= => =

5196140

7x x= => =

CAPTULO 2 - GRANCEZAS PROPORCIONAIS

1 Grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas so diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) se, e somente se: a)

1 2 31 2 3

y y y yk

x x x x= = = =

Onde K (capa) a comstante de proporcionalidade ou o coeficiente de proporcionalidade ou fator de proporcionalidade. Genericamente temos uma funo do 1 Grau do tipo funo linear.

yk

x=

1y kx

= y k x= g y ax b= + (Funo do 1 Grau).

Se b=0 y ax= (Funo linear). y kx=

30



y

y5 y4 y3 y2 y1

x1 x2 x3 x4 x5 x

Exemplo: Gasolina (l)

Preo (R$)

1 2,5 2 5,0 3 7,5 4 10,0 5 12,5

1 2 3...

1 2 3v v v v

KG G G G

= = =

2,5 5 7,5 10 12,52,5

1 2 3 4 5= = = = => O fator de proporcionalidade 2,5

2,52,5

1v v v

KG G G

= => = => =

V(r$)

15,0 12,5 10,0 7,5 5,0

2,5 1 2 3 4 5 6 G(l)

31


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Exerccios resolvidos: Pg. 28

1) O comprimento de uma pea de tecido e seu preo so grandezas

diretamente proporcionais ? Porque ? Sim, porque multiplicando-se o comprimento da pea por um nmero diferente de zero, o preo fica multiplicado por esse nmero.

2) Verifique se so diretamente proporcionais as seguncias de nmeros (6, 9, 12, 15) e (2, 3, 4, 5).

6 9 12 15 32 3 4 5

= = = = Logo esta seqncia de nmeros so diretamente

proporcionais e a razo de proporcionalidade 3.

3) Os nmeros das seqncias (6, 9, 20) e (2, 3, 6) so proporcionais ? 6 9 202 3 6

= Logo esses nmeros no so proporcionais

4) Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule o valor de A e

B: X 7 9 b Y 21 a 39 Sendo K a razo de proporcionalidade, temos:

213

7k = = Logo :

3 9 3 279a

a a= => = => =g 39 39

3 3 39 3 39 133

b b b bb

= => = => = => = => =g Assim: A=27 e b=13

32



Exerccios : Pg. 29

1) O nmero de dias gastos na construo de um muro diretamente proporcional ao nmero de operrios empregados nesse servio ? Porque?

No, porque multiplicando o nmero de operrios por um nmero real diferente de zero, o nmero de dias gastos fica dividido por esse nmero. 2) Verifique se so ou no proporcionais os nmeros das seqncias: a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5)

40 38 358 7 5

No uma proporcionalidade !

b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105) 75 90 106 155 6 7

k= = => = uma proporcionalidade

3) Qual a razo de proporcionalidade entre as seqncias de nmeros

diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)? 40 64 88

85 8 11

k= = => =

4) Determine os valores de A e B nas seqncias de nmeros proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b).

6 212 5

ab

= = Resolvendo por partes:

63

2k=> = Logo:

3 5 3 155a k a= = => = =g e 21 21

3 21 3 73

k b b bb

= = => = => = => =

33



Exerccios Resolvidos: Pg. 29

1) Quais os menores nmeros inteiros proporcionais aos nmeros 2 3 1,3 4 6

e ?

Resolvendo: Vamos multiplicar cada um dos nmeros dados pelo menor mltiplo comum dos denominadores. Como o m.m.c (3,4,6)=12, temos:

212 2 4

83 1

=> =>g g

312 3 3

94 1

=> =>g g

112 1 2

26 1

=> =>g g

Logo os nmeros so: 8, 9, e 2.


1) Dados os nmeros 1 3 7,5 6 10

e , determine os trs menores nmeros inteiros

proporcionais a esses nmeros. Bem, como o mmc 30, temos:

130 306

5 5=> =>

g

3 30 9015

6 6=> =>

g

7 30 210 2121

10 10 1=> => =>

g


1) O nmero de dias gastos na execuo de uma obra direta ou inversamente proporcional ao nmero de mquinas empregadas na obra? Porque?

inversamente proporcional, porque, ao multiplicarmos o nmero de mquinas por um nmeroqualquer diferente de zero, o nmero de dias necessrios para a execuo da obra fica dividido por esse nmero. 2) Verifique se so ou no inversamente proporcionais as sequncias de nmeros: a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9) 2 45 3 30 615 10 9 90= = = =g g g g Logo so inversamente proporcionais. E o fator de proporcionalidade 90

34


Disciplina: Matemtica Financeira 1 b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20) 2 40 5 3 0 8 20 g g g Logo, no so inversamente proporcionais. 2) Determine os valores de a e b nas seqncias de nmeros inversamente

proporcionais (2, 3, b) e 15, a, 5). Resolvendo: 215 30 30k= => =g Da :

303 30 103

a a a= => = => =

305 30 65

b b b= => = => =


1) D um exemplo de grandezas inversamente proporcionais. - Velocidade e tempo - Nmero de mquinas e dias trabalhados.

2) Verifique se so ou no inversamente proporcionais as seqncias de nmeros:

a) (20, 12, 10) e (6, 10, 12) 20 6 1210 1012 120= = =>g g g So diretamente proporcionais

b) (1, 2, 5) e (4, 8, 20)

1 4 8 2 8 16 5 20 100= => = => =>g g g So inversamente proporcionais

3) Qual o fator de proporcionalidade (K) entre as sequncias de nmeros inversamente proporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12) ?

160 3 2 0 512 60 60k= = => => =g g g

35


Disciplina: Matemtica Financeira 1 4) Sabendo-se que os nmeros das seqncias (1, a, -4) e (4, 2, b) so inversamente proporcionais, determine a e b.

Sendo :

4 41 4 k= => =g Ento:

42 4 2

2a a a= => = => =g

44 4 4 4 14

b b b b- = =>- = => = => = --

g


7) Diga se so direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas:

a) Quantidade de metros de arame e preo (DIR) b) Velocidade e tempo (INV) c) Tempo e nmero de operrios empregados para um determinado servio (INV) d) Salrio e nmero de horas de trabalho (DIR) e) Quantidade de alimento e nmero de pessoas a serem alimentadas. (DIR)

8) D exemplos de: a) grandezas diretamente proporcionais

Quantidade de metros de arame e preo (DIR) b) grandezas inversamente proporcionais

Velocidade e tempo (INV ) 9) Verifique se so ou no proporcionais as seguintes sucesses de nmeros; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade:

a) 120, 180, e 375 48, 72, e 150

120 548 2

=> 180 20 572 8 2

=> => 375 5150 2

=>

b) 0,24, 0,21, e 0,15 0,8, 0,7, e 0,05

24 380 10

=> 21 370 10

=> 15 35 1

=>

36


Disciplina: Matemtica Financeira 1 11) Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucesses de nmeros proporcionais:

b) 12 1

22e

5 2366 3

e

OBS: 2 36 3 2363 3

1103

+=> =>

1 5 1 6 1 3 32 6 2 5 1 5 5

=> => =>g g 22 110 22 3 3

3 1101 1 5 => =>g

12) Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucesses de nmeros inversamente proporcionais

b) 2 4 7

, ,3 5 8

e

42 35,1 1

32,1

2 42 2 14 283 11 1

=> =>g g 4 35 4 7

285 11 1

=> =>g g 7 32 7 4 288 11 1

=> =>g g

37


Disciplina: Matemtica Financeira 1 13) Determine os valores de x, y e z nos seguintes grupos de nmeros diretamente proporcionais:

a) x y 0,7 2 5 2

0,7 1,42 1,4 0,7

2 2 2x

x x x= => = => = =

0,7 3,52 3,5 1,75

5 2 2y

y y y= => = => = =

b) x 0,3 2 53 7

9 35

y z

310395

x=

3 275 10x

= 30 135x = 135 45 930 10 2

x x= => => =

3 210 335

y=

3 610 15

y= 45 60y =

60 445 3

y y= => =

3 510 735

z=

3 1510 35

z = 105 150z = 107

z =

38


Disciplina: Matemtica Financeira 1 14) Determine os valores de m, n e p nos seguintes grupos de nmeros inversamente proporcionais: a) 5 n p 7 m 4 14 8

565 7 8 5 56 11,2

5m m m m= => = => = => =g g

56 144 7 8 4 564 1

n n n n= => = => = => =g g 56 4

14 7 8 14 5614 1

p p p p= => = => = => =g g

b) 8 4

35

p 9

m n 9 1

98 9 1 8 98

m m m= => = => =g

4 19 19 9 453 9 1 9 19 455 5 5 1 19

nn n n n= => = => = => = => =g g g

99 9 1 9 9 1

9p p p p= => = => = => =g g

39


Disciplina: Matemtica Financeira 1 CAPTULO 3 Diviso Proporcional

Regra de Sociedade

Diviso proporcional Exemplo: Suponhamos que Antnio, Jos e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor de R$60.000 . Antnio entrou com R$30.000, Jos com R$20.000 e Pedro com R$10.000. Algum tempo depois, venderam esse terreno p R$90.000. Qual a parte que cabe a cada um deles? Achando a razo:

90.0001,5

60.000= Logo:

Antnio 30.000 X 1,5 = R$45.000 Jos 20.000 X 1,5 = R$30.000 Pedro 10.000 X 1,5 = 15.000 Escrevendo a Razo:

45.000 30.000 15.0001,5

30.000 20.000 10.000= = =

Exerccios: Exerc.2 Pag.40 Um pai deixou r$2.870.000 para serem divididos entre seus trs filhos na razo inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um ?

1 1 1, ,

8 12 28

21 14 6

, ,168 168 168

21 14 6

x y z

2.870 70

21 14 6 41 1x y z+ +

= =+ +

mmc 8 12 28 2 4 6 14 2 2 3 7 2 1 3 7 3 1 1 7 7 1 1 1 168

40



701 21

x= 701 14

y= 701 6

z=

70 21 1.470x = =>g 7014 980y = =>g 70 6 420z = =>g X+y+z=> 1470+980+420=2.870 Exerccios Resolvidos Pg. 38 Divida o nmero 70 em partes proporcionais aos nmeros. 2, 3, 5. Sendo :

2 3 5x y z

= = 70x y z+ + =

x 2 70 y 3

z 5 10

70

710

k = = Logo:

X=2x7=14 Y=3x7=21 Onde: 14+21+35=70 Z=5x7=35

4) Sabendo que o nmero das seqncia (1, a, -4) e (4, 2, b) so inversamente proporcionais, determine a e b.

Denominando (x) Denominando (y) (1, a, -4) (4, 2, b) Temos que x y k=g Ento: 1 4 4=g k=4 Achando o valor de a. Achando o valor de b

42 4 2

2a a a= => = => =g 44 4 4 4 1

4b b b b- = =>- = => = => = -

-g

41


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Exerccio Resolvido pgina 38

1) Divida 184 em partes proporcionais a 1 2 3

,2 3 4

e

1 2 3

, ,2 3 4

6 8 9

, ,12 12 12

6 8 9

X y z

184 8

6 8 9 23 1x y z+ +

= =+ +

81 6

x= 81 8

y= 81 9

z=

8 6 48x = =>g 8 8 64y = =>g 8 9 72z = =>g

X+y+z=> 48+64+72=184

1) Divida 183 em partes proporcionais a 1 1 1,3 4 7

e pg. 39

1 1 1

, ,3 4 7

28 21 12, ,

84 84 84

28 21 12

X y z

mmc 2 3 4 2 2 3 2 2 1 3 1 3 1 1 1 12

mmc 3 4 7 2 3 2 7 2 3 1 7 3 1 1 7 7 1 1 1 84

42


Disciplina: Matemtica Financeira 1 183 3

28 21 12 61 1x y z+ +

= =+ +

31 28

x= 31 21

y= 31 12

z=

3 2 8 84x = =>g 3 2 1 63y = =>g 312 36z = =>g

X+y+z=> 84+63+36=183 Diviso em partes inversamente proporcionais Exemplo: Suponhamos, agora, que voc queira dividir o nme ro 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5, e 6. Isso significa dividir o nmero 210 proporcionalmente aos inversos dos nmeros 3, 5, e 6, isto , determinar parcelas x, y, e z, tais que:

1 1 1, ,

3 5 6

10 6 5, ,

30 30 30

10 6 5

X y z

210 1010 6 5 21 1x y z+ +

= =+ +

101 10

x= 101 6

y= 101 5

z=

1010 100x = =>g 10 6 60y = =>g 1 0 5 50z = =>g

X+y+z=> 100+60+50=210

mmc 3 5 6 2 3 5 3 3 1 5 1 5 1 1 1 30

43


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Exerccio 2, pgina 41

Divida 175 em partes diretamente proporcionais a 5 ,3,44

e ao mesmo tempo, inversamente

proporcionais a 3

,6,24

Sendo : 5 4 54 3 3

=g 3 1 11 6 2

=g 4 1 21 2 1

=g

5 1 2, ,

3 2 1 mmc = 6

Portanto: (10, 3, 12)

, ,10 3 12x y z

175 7

10 3 12 25 1x y z+ + = =>

+ +

7 710 101 10

x x= => = =>g 7 7 3 211 3

y y= => = =>g 7 7 1 2 841 12

z z= => = =>g Onde: 10+21+84=175 Exerccios , pgina 44

5) Divida o nmero 3.161 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2 4 7

, ,3 5 8

.

Inversamente proporcionais.

2 4 7, ,3 5 8

Diretamente proporcionais.

3 5 8, ,2 4 7

mmc = 28

42 35 32, ,28 28 28

44


Disciplina: Matemtica Financeira 1 Diretamente: 42 35 32 Ento:

42 35 32x y z

= =

3161 29

42 35 32 109 1x y z+ +

= =>+ +

2942 1x

= 29

35 1y

= 29

32 1z

=

X=1218 y=1015 z=928

6) Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4 ; 3,2 e 6,4. Inversamente proporcionais.

4 32 64, ,10 10 10

Diretamente proporcionais.

10 10 10, ,4 32 64

mmc = 128

320 40 20, ,128 128 128

Diretamente: 320 40 20 Ento:

320 40 20x y z

= =

760 2320 40 20 380 1

x y z+ += =>

+ +

45



320 1x

= 2

40 1y

= 2

20 1z

=

X=640 y=80 z=40 X+y+z = 640+80+40=>760

7) Divida o nmero 414 em partes inversamente proporcionais a 4, 8, e 10 e a 5, 6, e 7, ao mesmo tempo.

X 4x5=20 Y 8x6=48 Z 10x7=70

20 48 70x y z= =

414 3

20 48 70 138 1x y z+ +

= =+ +

3

20 1x

= 3

48 1y

= 3

70 1z

=

x=60 y=144 z=210

8) Divida o nmero 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneame nte,

aos nmeros 3, 5, e 9 e 1 1 1,5 6 8

e

3 1 31 5 5

x = =>g 5 1 51 6 6

y = =>g 9 1 91 8 8

z = =>g

3 5 9, ,5 6 8

mmc=120

72 100 135, ,120 120 120

72 100 135x y z= =

1842 672 100 135 307 1

x y z+ + = =+ +

672 1x =

6100 1

y = 6

135 1z =

46


Disciplina: Matemtica Financeira 1 6 72 432x = =>g 6 100 600y = =>g 6135 810z = =>g

X+y+z=432+600+810=>1842

9) Divida o nmero 330 em partes inversamente proporcionais simultaneamente, aos nmeros 3, 2, e 8 e 2, 4, e 6.

1 1 13 2 6

x = =>g 1 1 12 4 8

y = =>g 1 1 18 6 48

z = =>g

1 1 1, ,6 8 48

mmc=48

8 6 1, ,48 48 48

8 6 1x y z= =

330 228 6 1 15 1x y z+ + = =

+ +

228 1x =

226 1y =

221 1z =

2 2 8 176x = =>g 6 22 132y = =>g 1 2 2 22z = =>g

X+y+z=176+132+22=>330

10) Divida o nmero 1.080 em partes diretamente proporcionais a 1 32 4

e e inversamente

proporcionais a 5 6e , ao mesmo tempo.

1 1 12 5 10

x = =>g 3 1 3 14 6 24 8

y = => =>g

1 1,10 8

mmc=40

4 5,40 40

4 5x y=

1080 1204 5 9x y+ = =>

+

1204 1x

= 120

5 1y

=

47


Disciplina: Matemtica Financeira 1 120 4 480x = =g 120 5 600y = =>g

X+y=480+6001080

11) Trs tcnicos receberam ao todo R$2.550. O primeiro trabalhou 15 dias razo de 6 horas por dia; o segundo 25 dias razo de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias razo de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles?

Diretamente proporcionais. X 15x6=90=> 9 Y 25x4=100=>10 Z 30x5=150=>15

9 10 15x y z

= =

2550 75

9 10 15 34 1x y z+ +

= =+ +

75

9 1x

= 75

10 1y

= 75

15 1z

=

x=675 y=750 z=1125 x+y+z=675+750+1125 =>2550

12) Uma pessoa, ao morrer, deixou a herana de R$21.720.000 para ser repartida entre trs herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5, e e inversamente a 2/3, 3/5, e 1/3. Quanto recebeu cada um ?

3 932 2

x => =>g 5 2553 3

y => =>g 3 934 4

z => =>g

9 25 9, ,2 3 4

mmc=12

54 100 27, ,12 12 12

54 100 27x y z= =

21.720.000 120.00054 100 27 181 1

x y z+ + = =>+ +

120.00054 1x =

120.000100 1

y = 120.000

27 1z =

120.000 5 4 6480.000x = =g

48


Disciplina: Matemtica Financeira 1 120.000100 12.000.000y = =>g 120.000 27 3240.000x = =g

X+y+z=6480.000+12.000.000+3240.00021.720.000

13) Para a execuo de um servio, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$16.200, que cada mulher recebeu da quantia de um homem e que cada menor recebeu 4/5 da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada homem, cada mulher e cada menor ?

Homem x Mulher Y Menor z Cada homem x

Cada mulher 34x

Cada menor 35x

Porque: 4 3 4 3 35 4 5 4 5

x x xde = =

3 3

12 20 30 16.2004 5x x

x + + =g g 3 312 5 6 16.2001 1x xx + + =g g

3 312 5 6 16.200

1 1x x

x + + =g g

15 1812 16.200

1 1x xx + + = 12 15 18 16.200x x x+ + = 45 16.200x =

16.200360

45x x= => =

3 3 (360)270

4 4x

y y y= => = => =g

3 3 (360)

2165 5x

z z z= => = => =g

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