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AULA 17Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas VI:
Efeitos Zeeman e Paschen-Back e Exercícios
2
Data Aula Dia Tópico6 Abril 7 2a Átomos com mais de um elétron: Partículas idênticas e
princípio de exclusão de Pauli
8 Abril 8 4a Átomo de He e forças de troca
13 Abril 9 2a Teoria de Hartree
15 Abril 10 4a Estados fundamentais e excitados
22 Abril 11 4a Exercícios & Teste 1
27 Abril 12 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas I
29 Abril 13 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas II
04 Maio 14 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas III
06 Maio 15 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas IV e Efeito Zeeman
11 Maio 16 2a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas V e Efeito Zeeman
13 Maio 17 4a Átomos com mais de um elétron: Excitações Ópticas VI, Efeito Zeeman, Efeito Paschen-Back, Exercícios
Você também pode ler sobre esta aula no capítulo10 do livro do Eisberg & Resnick.
Calendário da Graduação 2020
•Agosto de 2020
31 - Término das aulas do 1º período letivo de 2020.
•Setembro de 2020
01 a 05 - Exames finais do 1º período letivo de 2020 e
das Turmas Especiais I e II.
09 - Último dia para entrada de Médias e Frequências do
1º período letivo de 2020 e Turmas Especiais I e II.
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Na próxima segunda-feira,..
•Na próxima segunda-feira, dia 18, vou passar o 2º teste.
•Novamente, eu recomendo fortemente que vocês façam
um resumo do capítulo em uma página de papel A4.
•O teste deverá ser entregue na 2ª feira seguinte, dia 25,
até as 21 horas.
•O resumo não é obrigatório, mas quem fizer pode
entregar e será considerado de alguma forma.
4
Vamos rever rapidamente o efeito Zeeman
•Pieter Zeeman observou pela primeira vez o efeito em 1896.
•Prêmio Nobel 1902, junto com Lorentz.
•O que há de tão excepcional na descoberta do efeito Zeeman?? Ainda não se conhecia o elétron (Thomson = e/m,1897), não havia quantização, nem fótons, nem modelo de Bohr, muito menos MQ!
•O efeito Zeeman consiste na separação de uma linha espectral em várias quando os átomos estão na presença de um campo magnético externo.
5
6
Sem
campo
Com
campo
Efeito Zeeman
normal Efeito Zeeman
anômalo
Transições entre quaisquer estados
singleto num átomo com número par de
elétrons opticamente ativos.
Transições entre dois estados dubleto:
entre 1º estado excitado e o estado
fundamental de um átomo de sódio
Efeito Zeeman normal e anômalo
Efeito Zeeman (campo externo)...
Sem campo
Com campo
fraco
7
Efeito de um campo magnético..
•Um campo magnético atuando no átomo acrescenta uma
energia potencial à energia total, que é
•Nós vimos que já existe um campo magnético interno nos
átomos (com exceção de quando não há momento
angular orbital).
•O campo magnético interno é responsável pela interação
spin-órbita.
•Nos dois efeitos seguintes, efeito Zeeman e efeito
Paschen-Back, estudamos o que acontece se aplicarmos
aos átomos um campo magnético externo.
8
.potE B = −
Nos dois efeitos,...
•No caso do efeito Zeeman, Bext<< Bint . Neste caso, o
campo interno tem um efeito maior para a separação dos
níveis do que o campo externo. A separação dos níveis
que é maior é a da interação spin-órbita, devida ao
campo interno.
•No caso do efeito Paschen-Back, Bext>> Bint . Neste caso,
o campo magnético externo tem um efeito maior do que o
campo magnético interno. A energia potencial de
orientação maior que é acrescida aos níveis é aquela
devida ao campo externo.
9
Efeito Zeeman
10
’
’
’
’ ’
’ ’’
Campo magnético
externo fracoBext
’
J’
Efeito Zeeman:
•A energia de cada estado será alterada em:
•resultando em
11
ext ext
g é chamado
de fator de Landé
( ) ( ) ( )
( )
1 1 11
2 1
j j s sg
j j
+ + + − += +
+
b jE g Bm =
NOTE: preste atenção nas grandezas que são
vetores e quais se referem a seus módulos!
Vamos ver um exemplo...
•Vamos estudar o que acontece com a transição do
primeiro estado excitado para o estado fundamental de
um átomo de sódio, que tem 11 elétrons.
•A configuração no estado fundamental é 1s22s22p63s.
•A configuração no 1º estado excitado é 1s22s22p63p.
•No estado fundamental não há interação spin-órbita.
•No 1º estado excitado, a interação spin-órbita causa a
separação em dois níveis.
12
Vamos ver o exemplo clássico•Um exemplo clássico no efeito Zeeman é o dubleto das
linhas amarelas D1 e D2 do átomo de sódio, emitidas na
transição do 1º estado excitado de volta ao estado
fundamental.
13
interação LS (Bint)
Em lâmpada de
vapor de sódio
2S1/2
2P3/2
2P1/2(ℓ=1) → (ℓ=0 )
g =4/3
g =2/3
g =2
Exemplo: Sódio
( ) ( ) ( )
( )
1 1 11
2 1
j j s sg
j j
+ + + − += +
+
jm
14
3s
3p
3p
g =4/3
g =2/3
g =2
Sódio
( ) ( ) ( )
( )
1 1 11
2 1
j j s sg
j j
+ + + − += +
+
b jE g Bm =
jm
15
3s
3p
3p
g =4/3
g =2/3
g =2
b jE g Bm =
jm
16
Regras de seleção
com campo externo
0, 1 (mas não 0 para 0)j j jm m m = = =
Efeito Zeeman anômalo no Na
17
Energ
ia /
eV
Sem
campo
Com campo
magnético fraco
B < B int
Sem campo
Com campo fraco
Efeito Zeeman anômalo no sódio
2P3/2
2P1/2
2S1/2
Interação spin-órbita
Note que..
•No slide anterior, você deve notar que a separação dos
níveis na presença do campo fraco é bem menor do que
a separação dos níveis devido à interação spin-órbita,
que é devida à interação com o campo magnético interno
do átomo (que é maior do que o campo externo aplicado).
18
19
Já para um estado em que o spin é nulo...
s’= 0 j’ = ℓ’ g = 1
( ) ( ) ( )
( )
1 1 11
2 1
j j s sg
j j
+ + + − += +
+
b bE g Bm Bm = =
O momento de dipolo vem unicamente
do momento angular orbital total.
Já para um estado em que o spin total é nulo,
ℓ’ =2
ℓ’ =1
mℓ’ Energia
1 linha espectral é
desdobrada em 3 linhas
3p3d
3p3d
h
h−bB h h +bB
Regras de seleção para efeito Zeeman
normal
•Há quatro regras de seleção que se aplicam no caso do
efeito Zeeman normal e nenhuma delas envolve j’, já
que tratamos a interação com o campo externo antes do
acoplamento spin-órbita (ou seja, na verdade estamos
não consideramos a interação spin-órbita):
21
' 0, 1
' 0, 1
' 0
' 0s
m
s
m
=
=
=
=
22
Já para um estado em que o spin total é nulo,
• Tive que procurar bastante para encontrar as regras de
seleção para o caso em que o spin total é nulo, que é o
caso do efeito Zeeman normal. Parece que todos os
livros se concentram em dar apenas as regras de seleção
para o efeito Zeeman anômalo.
• No caso em que o spin é nulo, como sabemos, não
estamos tratando a interação spin-órbita. Então as regras
que valem envolvem apenas ℓ’ e m’ℓ , s’ e m’s , e não
envolvem j’.
•A regra em s’ implica que não há transição para um estado
s’ 0 , por exemplo. Tal transição envolveria uma alteração
no spin, e, portanto, interação de dipolo magnético, não elétrico.
No caso do efeito Paschen-Back,..
23
• Paschen e Back fizeram suas medidas em 1921,
portanto, também antes do surgimento da Mecânica
Quântica.
Efeito Paschen-Back
24
Campo magnético
externo intenso
’
’
Bext
O momento angular
orbital e o spin
precessionam
independentemente
em torno da direção
do campo magnético. O número quântico j’
não é mais um “bom
número quântico”.
Há ainda um outro caso, mais simples...
•Quando temos um campo externo muito maior do que o
campo magnético interno do átomo, da ordem de alguns
Tesla.
•Neste caso, ocorre também uma separação do nível em
vários outros, mas antes da interação spin-órbita, e
sem destruir o acoplamento dos spins em S’ e dos
momentos angulares de L’.
•Os vetores S’ e L’ precessionarão independentemente
em torno do eixo z :
25
O efeito Paschen-Back (Bext>> Bint)
26
( )2b sE B m m = +
Regras de seleção para Paschen-Back:
0
0, 1
sm
m
=
=
Vamos ver as diferenças...
27
As linhas D1-D2 do dubleto do sódio
em campo magnético
28
2P3/2
2P1/2
2S1/2
Sem
campo
As linhas D1-D2 do dubleto do sódio em
campo magnético
29
2P3/2
2P1/2
2S1/2
Com
campo fracoSem
campo
4 + 6 = 10 linhas
As linhas D1-D2 do dubleto do sódio em
campo magnético
30
m’ℓ + 2 m’s
210
−1−2
+1
−1
2P3/2
2P1/2
2S1/2
Com
campo fraco
Sem
campo
4 + 6 = 10 linhas 3 linhas
0
0, 1
sm
m
=
=
Atenção
Não consegui fazer
as linhas em escala!
As cores iguais (vermelho,
amarelo e azul) indicam
diferenças de energias
(portanto e ) iguais.
Com
campo intenso
( )2b sE B m m = +
Um pouquinho melhor ampliado…
31
Efeito Paschen-Back
•No slide seguinte podemos observar como os níveis do
exemplo do átomo de sódio vão se separando cada vez
mais conforme o campo magnético vai aumentando.
•Aqui a variável na abscissa é proporcional ao campo
magnético externo, que vai crescendo a partir do zero
com o x crescente:
onde E é a diferença de energia entre os níveis
envolvidos quando não há campo magnético externo
aplicado.
32
Bohr Bx
E
=
Bohr Bx
E
=
m’ℓ m’s m’ℓ +2m’s
33
No slide anterior, note...
• Observe a linha vertical hachurada: ela corta as linhas
azuis resultando em 4 níveis para 2P3/2 , 2 níveis para
2P1/2 , e 2 níveis para 2S1/2 , exatamente como tínhamos
mostrado no slide 29 para o caso de campos magnéticos
externos fracos.
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Exercício 1
•Dê uma previsão dos valores de s’, ℓ’ e j’
do estado de máxima energia de dois elétrons opticamente
ativos com os números quânticos ℓ1 = 1, s1 = ½, ℓ2 = 2, s2 = ½.
•Faça um diagrama esquemático semelhante à figura 10-3
mostrando o movimento dos vetores momento angular neste
estado.
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Exercício 2
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• Ache os valores possíveis de s’, ℓ’ e j’ para uma configuração
com dois elétrons opticamente ativos com números quânticos
ℓ1 = 2, s1 = ½, ℓ2 = 3, s2 = ½. Especifique qual j’ vai com quais
combinações de s’ e ℓ’ .
• Faça um esquema dos níveis de energia em ordem
crescente de energia. Dê a designação de cada termo na
notação espectroscópica.
Exercício 3
•Escreva os números quânticos s’, ℓ’ e j’ para os estados
descritos na notação espectroscópica como 2S3/2, 3D2 e
5P3.
•Descubra se algum desses estados é impossível, e se
sim, explique por que.
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Exercício 4
•Faça um esquema, similar à figura 10-6, ilustrando os desdobramentos dos níveis devido ao acoplamento spin-órbita para os níveis de energia de dois elétrons numa configuração 4s3d.
•Calcule as diferenças de energia entre os níveis, e a razão entre as diferenças para que você consiga desenhar os níveis em escala.
•Dê a designação de cada termo na notação espectroscópica.
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Exercício 5
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• Para um estado atômico com números quânticos ℓ’ =2 ,
s’ = 1 e j’ = 3, encontre o ângulo entre o momento
magnético total e a direção antiparalela ao momento
angular total. Não há nenhum campo magnético externo
presente.
Exercício 6
•Escreva a configuração do estado fundamental dos
átomos de 12Mg, 13Al e 14 Si.
•Faça uma previsão sobre os números quânticos do
estado fundamental de cada átomo e expresse o seu
resultado na notação espectroscópica.
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Exercício 7
•Considere a configuração 2p3s do átomo de carbono para
a qual a ordenação dos níveis de energia segundo s’,ℓ’ e j’
e a dependência relativa da energia com esses números
quânticos é a dada pela interação LS.
•Faça um diagrama de níveis de energia esquemático para
esta configuração, seguindo o modelo da figura 10-6. Use
a mesma escala (exagerada) para o desdobramento da
estrutura fina, dada pela regra do intervalo de Landé, para
todos os níveis de um dado multipleto.
•Dê o notação espectroscópica de cada nível.
41
Dois elétrons do carbono: 2p3s
•Com a configuração dada, obteremos:
42
3P0,1,2
2p3s
s’=1
1P1
s’=0
43
3P0,1,2
2p3s
s’=1; ℓ’=1
1P1
j’
2
1
0
s’=0; ℓ’=1
• Interação spin-órbita: os estados tripleto serão separados segundo
•A constante K não é simples de calcular, mas ela é a mesma para todos os estados de um multipleto.
•Então podemos calcular razões entre diferenças de energias, de modo que a constante desconhecida seja cancelada.
•Use a fórmula acima para calcular as diferenças de energia entre os níveis 3P0 e 3P1 e entre os 3P1 e 3P2 e depois divida o segundo valor pelo primeiro. Você deve encontrar o valor 2, que é confirmado experimentalmente.
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ℓ’(ℓ’+1)
Exercício 8
•No diagrama de níveis de energia do exercício anterior,
desenhe, na mesma escala (altamente exagerada) os
desdobramentos Zeeman, dados pelo fator g de Landé,
para cada nível sob a influência de um campo magnético
externo fraco.
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Exercício 9
•a) Conte o número total de estados quânticos diferentes
na mesma configuração obtidos no exercício anterior.
•b) Mostre que esse número é igual à degenerescência da
configuração na aproximação de Hartree, isto é, o
produto dos fatores de degenerescência 2(2ℓ+1) para
cada um dos dois elétrons opticamente ativos da
configuração.
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Exercício 10
•Faça um diagrama mostrando as transições permitidas
pelas regras de seleção entre os estados singleto 2p3s1P1 e 2p2 1D2 do átomo de carbono.
•Verifique que o padrão Zeeman normal de 3 linhas
espectrais será observado nessas transições.
•Determine as diferenças em termos de comprimento de
onda entre essas três linhas quando o átomo estiver
submetido a um campo magnético externo de 0,1 Tesla.
•Dica: use a aproximação .
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( )2 2
c hcdEd d
h
= =
Exercício 11
•Refaça os diagramas de níveis de energia da figura 10-11
no caso da intensidade do campo magnético externo ser
aumentada até que os desdobramentos sejam descritos
pelo efeito Paschen-Back.
•Indique quais as transições permitidas pelas regras de
seleção neste caso e mostre que elas produzem linhas
espectrais desdobradas em somente três componentes.
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Resumo:
•Vimos uma recordação dos efeitos Zeeman e Paschen-
Back.
•Passamos alguns exercícios.
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