Aufgabenstellung

•Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers , x_n [n], that approximate some "limit" x : xn-->x? Give examples and counter examples. Sketch pictures.

Inhalt

•Konvergenz für Folgen : Schwierigkeiten

•First Order Logic

•Jede Menge Beispiele.

•Alternative Darstellung von Quantoren

Konvergenz von Folgen: Schwierigkeiten

Konvergenz von Folgen

• Eine mögliche Definition :– Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt :

mit

a00 n 0| |na a n n ( )

nna

Konvergenz für Folgen

• Eine mögliche Definition :– Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt :

mit

• Schwierigkeiten : – Was bedeutet ?– Wofür steht ?– Was passiert, wenn man die Reihenfolge von ,

vertauscht? – Was bedeutet die Definition als ganzes?

a00 n 0| |na a n n ( )

nna

0n

0 0n

Konvergenz für Folgen

• Eine mögliche Definition:– Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt :

mit

• Ansatz: – Die Definitionen basiert auf First-Order Logic.

• Erklären von Grundkenntnisse in F.O. Logic, um Fehler zu vermeiden.

• Simple Umformungen einführen, um von F.O. Logic Termen einfachere Termen zu machen

• Mit Abbildungen zeigen, was die Formeln denn eigentlich bedeuten

a00 n 0| |na a n n ( )

nna

First-Order Logic

Semantik

• Prädikate: – Ausdrücke die zu richtig oder falsch auswerten.

• 0, 1 oder mehrere Argumente

• Quantoren:– Allquantor :

• für alle a‘s aus P gilt das Predikat t.

– Existenzquantor : • es gibt mindestens ein a aus P für dem das Predikat t gilt.

• Beispiel : –

– Es exisitiert ein Freund von mir der Paul kennt

[ ]( )a P t

[ ]( )a P t

[ ]( _ ( ))x Freunde Paul kennt x

Einfache First-Order Umformung

• Negation eines First-Order Ausdruck :– Allquantoren werden zu Existenzquantoren, und umgekehrt– Das Predikat t wird negiert– Beispiel : aus

wird

• Allquantor in Existenzquantor

umwandeln:– a a

[ ]( _ ( ))x Bär coca cola moegen x [ ]( _ ( ))x Bär coca cola moegen x

Jede Menge Beispiele

Übersicht über die Definitionen

• Definition 1 :

• Der Ausdruck ist wahr für die Folgen für die gilt: – Für einen Wert x und einer beliebig kleine Distanz ab ein

bestimmtes sind die Folgenglieder beliebig nah von x

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( )))))n

x N n

n N x x

N

• Definition 2 :

• Der Ausdruck ist wahr für: – Die Folgen die sich ab ein bestimmten beliebig nah von einen

Punkt x befinden.N

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( )))))n

x N n

n N x x

• Definition 3 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen die für kein Punkt x konvergieren

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

( ( )))))n

x N n

n N x x

• Definition 3, nochmal :

• Tipp : – Umformung des Ausdrucks kann das Verständnis erleichtern !

• Negation sind oft leichter am Anfang eines Ausdrucks zu lesen.

• Umformung :

Ist falsch für die Folgen die sich ab ein bestimmtes beliebig nah an einen Punkt x befinden -> Gegenteil von Definition 1

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

( ( )))))n

x N n

n N x x

( [ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( ))))))n

x N n

n N x x

N

• Definition 4 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen die nicht beliebig nah von einen Punkt x kommen ab ein

bestimmtes N

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

( ( )))))n

x N n

n N x x

• Definition 5 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen die ab einem bestimmten Punkt beliebig nah an

allen x ist.

• Beispiel:– Die Folge, dessen Wertebereich eine Ein-Elementige Menge ist, und

bei der alle n’s auf dieses eine Element abgebildet werden – Es gibt kein Beispiel solcher Folgen dessen Wertebereich in

ist

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( )))))n

n N x

n N x x

n N

• Definition 6 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen bei der kleiner sind als ein beliebig großes

• Beispiel:– Das ist für jede Folge wahr!

0x

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( )))))n

x N n

n N x x

• Definition 7 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen bei der maximal einer bestimmten Distanz von alle

x’s aus der Grundmenge entfernt ist. 0x

[ ]( [ ](( [ ]( [ ]

(( )))))n

x N n

n N x x

1 für i = 0

0 sonsti

i

x

x

,nx n

• Beispiel:– Eine Folge, dessen

Grundmenge beschränkt ist.

• Definition 8 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – ab n größer N gibt es für alle ein x, das beliebig nah dran ist

(trivial wahr mit =x) nx

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( )))))n

N n x

n N x x

nx

• Definition 9 :

• Der Ausdruck ist wahr für… : – Die Folgen bei denen für alle n gilt: es gibt ein x so dass x an

beliebig nah dran ist nx

• Wahr für alle Folgen mit x =

[ ]( [ ]( [ ]( [ ]

(( )))))n

N n x

n N x x

nx

Alternative Representation von Existenzquantoren

Alternative Repräsentation:

• Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle (beim Existenzquantor)– Um das zu verdeutlichen werden in manche Mathebücher diese

Notation benutzt :

• Statt :

• wird

geschrieben

– Damit lässt es sich vermeiden, dass man die Reihenfolge der Quantoren vertauscht.

0 0[ 0] ( [ ](| | ))n n a

0 0[ 0] ( [ ( ) ](| ( ) | ))n n a

Ende