Aspetti Matematici del Banking Risk Management (2016-11-30, Science Storming Cafe)

Aspetti matematicidel Banking Risk ManagementRoberto Anglani

Science Storming Cafe @ La Scuola Open Source

Bari, 30 Novembre 2016

Perché parlare di risk management in un Science Storming Cafe

2

E soprattutto di cosa parleremo.

R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016

3R. Anglani | Aspetti matematici del Banking Risk Management | Science Storming Cafe | Nov 30, /2016

1Da un punto di vista olistico, il risk management è unsistema complesso e multidisciplinare di processi, decisioni e misureconcepito per fronteggiare i rischi connessi all’attività dell’azienda

Motivazioni

Control

Measure

Assess

Iden

tify


2

Una parte fondamentale del risk management è la

misura quantitativadi tutti i fattori e le componenti di rischio

a cui si espone l’azienda.

Motivazioni


3La misura quantitativa si avvale dimetodi matematici, statistici e

numerici, in alcuni casi, concepiti appositamente per l’analisi dei rischi, in altri, “presi in prestito” da altri campi

della conoscenza

Motivazioni


4E infine, perché condividere conoscenza è uno dei principi fondanti di Alumni Mathematica e della Scuola Open Source

Motivazioni

(Fonte: http://www.slideshare.net/ff3300/la-scuola-open-source-introduzione)


5 Obiettivi

Per queste ragioni, parleremo di:1 Rischio e Rischio nelle banche2 Alcuni modelli matematici alla base di di misure di rischio fondamentali3 Problemi aperti


6 Alcuni caveat e una motivazione in più

I fenomeni collettivi originati da comportamenti sociali non sono “completamente” modellizzabili come molti fenomeni naturali o eventi di laboratorio.

Avvicinarsi alla modellizzazione matematica dietro le quinte del contesto bancario ha quindi la duplice funzione di illustrare:

- come alcune delle conquiste scientifiche degli ultimi 200 anni sono state applicate in un campo apparentemente lontano

- le sfide derivanti dai limiti della modellizzazione di fenomeni complessi governati da norme e comportamenti sociali.

Cosa si intende quando parliamo di rischio

9

E perché siamo (o dovremmo essere) tutti un po’ risk manager.


“Eventualità di subire un danno connessa a circostanze più o meno prevedibili.”

Definizione di rischio secondo la Treccani

10

http://www.treccani.it/vocabolario/rischio/




Il rischio è un concetto quotidiano. Ogni giorno tutti noi rischiamo di:

Concetto di rischio nella quotidianità

11

Perdere una scommessa

Farci male

Non superare l’esame

Non trovare lavoro

Non fare buoni affari

Chiudere un’attività

Perdere le elezioni

Perdere danaro

Perdere un treno

Arrivare tardi ad un appuntamento


Ma con la stessa naturalezza cerchiamo di gestire tutti i rischi che affrontiamo:

Gestione del rischio nella quotidianità

12

Giocare con “metodo”

Indossare un casco

Studiare molto bene

Impegno e tanti CV

Evitare sprechi

Ridurre i costi inutili

Convincere gli elettori

Investire il danaro oculatamente

Svegliarsi mezz’ora prima

Muoversi per tempo


13

Ma “scegliendo saggiamente” esistono attività prive di rischio che generano profitto?


Spoiler Alert!

Indiana Jones and the Last Crusade


No, non esistono scelte prive di rischio.

Non esiste il Sacro Graal degli investimenti.

15

Un qualunque investimento che generi profitto comporta l’assunzione di uno o

più rischi.

Aprire un bar | Investire in qualunque strumento finanziario | Affittare un appartamento | Creare un’impresa | Depositare

danaro su conto corrente | Fondare una start-up | ecc.


Cosa si intende quando parliamo di rischio nelle banche


E perché ogni tanto se ne parla.

Uno sguardo al core business delle banche

17

Funding

Lending

Investing

Raccogliere denaro dei clienti(depositi, c/c, titoli obbligazionari, ecc.)

Finanziare individui e imprese con il denaro “raccolto” (mutui, prestiti, linee di credito)

Investire il denaro raccolto su strumenti finanziari (azioni, obbligazioni, derivati, ecc.)



18

Funding Quando una banca “raccoglie” denaro da individui e enti (in surplus) si indebita.Ad esempio, incalando i nostri risparmi sui c/c o aprendo un deposito o acquistando un’obbligazione, di fatto, stiamo prestando soldi alla nostra banca di “fiducia”.

A seconda della forma di contratto, la banca deve quindi far fronte a impegni di pagamento e alla corresponsione di interessi passivi (costo della raccolta)



19

Lending

Investing

Al pari di ogni altra azienda, la banca con i soldi “presi in prestito” deve svolgere delle attività che non solo le consentano di ripagare i debiti, ma anche generare utili.

Pertanto, a sua volta presta danaro a individui o enti (in deficit) richiedendo la corresponsione di interessi (attivi).

E/o investe in altri strumenti finanziari che possano portare ricavi in forma di rendimenti, dividendi, cedole, etc.Tutto questo, ovviamente, comporta l’assunzione di un certo numero di rischi



CreditRisk

MarketRisk

OperationalRisk

Perdite potenziali originate dall’eventuale insolvenza dei debitori (mutui e prestiti non pagati, ecc.)

Perdite potenziali originate da fluttuazioni di mercato (variazioni dei tassi di interesse, prezzi delle azioni, ecc.)

Perdite potenziali originate da processi, persone e sistemi interni non adeguati o eventi (danni, rapine, ecc.)

LiquidityRisk

BusinessRisk

ReputationalRisk

Incapacità della banca di far fronte e in modo economico agli obblighi di pagamento previsti contrattualmente

Perdite potenziali originate dall’indebolimento della posizione competitiva della banca sul mercato

Perdite potenziali originati dall’indebolimento dello standing della banca nell’opinione pubblica

Una tassonomia semplificata del banking risk


E mai accaduto che rischi non controllati generassero perdite?

Dick & Jane - Operazione Furto

-4100 GUSDTotale perdite per banche e istituzioni a livello mondiale

22

2007 Crisi dei subprime

FALLITALEHMAN BROTHERS

-6.7 GUSD -26K dipendenti23

2007 Crisi dei subprime

- 5 GEURSOCIÉTÉ GÉNÉRALE(case study OpRisk)

24

2008 Derivati

FALLITABARINGS BANK

-1.3 GEUR25

1995 Derivati

Come si fa risk management nelle banche


E perché la matematica “aiuta”

“Go to the edge of the cliff and jump off. Build your wings on the

way down” -Ray Bradbury

Come si fa il “risk management”


Individuare Misurare Controllare Mitigare

i rischi che minacciano la stabilità, la redditività e le strategie dell’azienda

Mediante un sistema di processi finalizzato ad


Perché questo sistema è così importanteServe a supporto alle decisioni strategiche: individuazione dei rischi potenziali e valutazione degli impatti.

Serve a definire metodi di misura e meccanismi di monitoraggio periodico delle principali aree di rischio.

Serve a determinare il capitale “adeguato” alla copertura permanente di tutti i rischi ai quali è o potrebbe essere esposta l’azienda. (Circ. 285/2013 Banca d’Italia)

E perche la matematica “aiuta”


sulla base di enormi quantità di dati eterogenei

Per quantificare le perdite potenziali e “inattese”

mediante metodi e modelli

analizzando fenomeni deterministici e stocastici

governati da agenti economici (non sempre razionali), vincoli normativi, fattori endogeni ed esogeni


“enormi quantità di dati eterogenei”

“analizzando fenomeni deterministici e

stocastici”

“governati da agenti economici (non sempre

razionali), vincoli normativi, fattori endogeni

ed esogeni”

E perché la “matematica” entra in giocoSpiegato con le skills.

Matlab, Python, SAS, SQL

Multivariate statistics, time series analysis

Matlab, Python, SAS, C, Java

Probability, multivariate statistics, statistical learning, Monte Carlo, etc.

Matlab, Python

Generalized linear models, behavioural models, econometrics, etc.

Vincoli normativi e gestionali (Basilea, ECB, EBA, Bankit, CRR, CRD)

Alcuni modelli matematici per il rischio di mercato


Ma dobbiamo fare prima i conti con l’imprevedibilità


Il rischio di mercatoIl rischio di mercato è rappresentato da tutte le perdite potenziali derivanti dalle fluttuazioni di valore del portafoglio di trading della banca originati da variazioni dei tassi di interesse, dei tassi di cambio, del valore di equity, commodity, ecc.


Un approccio di gestione del rischio di mercato

1. Stimando il capitale necessario a far fronte le eventuali perdite.

2. Misurando e controllando periodicamente la rischiosità degli strumenti su cui si è investito.

3. Supportando il management nei processi decisionali legati a nuovi investimenti.

Questi processi necessitano di metodologie in grado di valutare correttamente il valore degli strumenti di un portafoglio, e di fornire affidabili misure di rischiosità.


Assunzioni e vincoli dei modelliOgni modellizzazione, che si basa su un sistema assiomatico di assunti, semplifica la descrizione di un fenomeno fornendone una rappresentazione approssimata.

I processi di scambio degli strumenti finanziari avvengono in mercati governati da agenti economici (non sempre razionali), fenomeni sociali, vincoli normativi, ecc.

Alcune ipotesi e limiti fondamentaliMercato efficiente: il valore di mercato, al tempo t, di uno strumento finanziario riflette istantaneamente tutte le informazioni del passatoVincoli normativi: le misure di rischio devono essere accettate (validate) normativamente (i.e il migliore dei modelli matematici non è sempre utilizzabile)

Preludio sulla probabilità


Rischio e probabilità

36

“Eventualità di subire un danno connessa a circostanze più o meno prevedibili.”


Probabilità


Un’idea di determinismo

Lo studio sperimentale di un fenomeno finalizzato all'individuazione di una legge matematica che lo governi richiede che,

a parità di condizioni iniziali, la ripetizione dell'esperimento che consente l'osservazione del fenomeno produca i medesimi risultati.


Un esempio: la caduta di un graveCondizioni inizialiPresenza del campo gravitazionale terrestre g = 9.8 m/s2; Assenza di attrito (vuoto)

Tempo di caduta da altezza h: t = (2h/g)1/2

La caduta del grave, da un punto di vista “cinematico” e sotto opportune condizioni, è un fenomeno deterministico ed è predicibile.In altre parole, possiamo prevedere il tempo di caduta di un grave dall'altezza di 10 km senza doverci recare personalmente a quella quota ed eseguire la misura!


I fenomeni stocastici (o aleatori)Esistono però molti altri fenomeni la cui osservazione restituisce esiti casuali indipendentemente dalle condizioni iniziali o dalla cura dello sperimentatore nel controllo di esse.

Tali fenomeni sono detti aleatori o stocastici e presentano la proprietà fondamentale di essere non prevedibili.

Uno degli esempi più semplici è il lancio di un dado non truccato. Per quanto si cerchi di controllare le modalità del lancio è realmente difficile che si possa prevedere il risultato.


Regolarità dei fenomeni stocastici

Molti dei fenomeni stocastici, presentano delle caratteristiche di regolarità.Se lanciassimo una moneta non truccata per 1000 volte ci aspetteremmo “Testa” o “Croce” all’incirca per 500 volte.

Se lanciassimo per 1000 volte una coppia di dadi non truccati ci aspetteremmo l'uscita del “7” circa 167 volte, del “10” circa 83 volte, del “12” solo circa 28 volte.

Come mai? E soprattutto, quanto è “possibile” che su 1000 lanci il “7” esca per 31 volte? O “Testa” per 930 volte?


Regolarità dei fenomeni stocastici

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Lanciando due dadi abbiamo 36 combinazioni possibili di uscite, 6 di queste fanno somma 7.

Lancio due dadi: 36 possibili usciteN. di lanci: 1000

N. coppie a somma 7: 6 su 36N. coppie a somma 10: 3 su 36N. coppie a somma 12: 1 su 36

Numero di uscite “atteso”N. lanci a somma 7: 1000*6/36 = 166.67N. lanci a somma 10: 1000*3/36 = 83.33N. lanci a somma 12: 1000*1/36 = 27.78


Un’idea di probabilitàLa stabilità nella frequenza di accadimento appena illustrata suggerisce l'ipotesi che in qualche modo si possa misurare la casualità di un evento mediante un numero che ne indichi la maggiore o minore possibilità che esso si verifichi.

La teoria delle probabilità infatti postula l'esistenza di una funzione, detta appunto probabilità, che ad ogni evento associa un numero reale positivo tanto più vicino a 1 (o a 0) quanto è più (o meno) probabile il verificarsi dell'evento stesso


Ingredienti di una teoria elementare delle P.Eventi non elementari “uscita del numero X dal lancio di due dadi”

P(X = 1) = 0/36P(X = 2) = 1/36P(X = 3) = 2/36P(X = 4) = 3/36P(X = 5) = 4/36P(X = 6) = 5/36P(X = 7) = 6/36P(X = 8) = 5/36P(X = 9) = 4/36P(X = 10) = 3/36P(X = 11) = 2/36P(X = 12) = 1/36

6

55

44

3

2

1

3

2

1

2 3 4 5 6 7 8 9

EVENTO ELEMENTARE (p= 1/36)

10 11 12


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

11

3

6

10

15

21

26

30

33

3536

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Distribuzioni di probabilitàLa distribuzione cumulata per variabili discrete

Distribuzione di probabilitàf(x) = P(X = x)

con che p. la variabile X assume il valore x

Distr. cumulata probabilitàf(x) = P(X ≤ x)con che p. la variabile X assume valori <= x


Distribuzioni di probabilitàAl pari del lancio di due dadi, è possibile modellizzare altri fenomeni aleatori mediante osservazioni ripetute nel tempo o sulla base di regolarità (approccio classico) o studiando le frequenze di accadimento (approccio frequentistico).

Ad esempio, possiamo osservare l’andamento di un azione, ogni giorno per 2 anni e costruire la distribuzione delle variazioni di prezzo. Se siamo fortunati, possiamo associare la distribuzione empirica ad una parametrica, altrimenti è necessario adottare metodi non-parametrici.


Distribuzioni di probabilità parametriche

Numerosi fenomeni aleatori sono modellizzabili con precisione mediante distribuzioni di probabilità parametriche (cioè definite da parametri):

- Distribuzione di Gauss - Distribuzione di Bernoulli Lanciando due dadi 100 volte, qual è la

probabilità di ottenere “7” per 31 volte? Bin(n=1000, k=31, p=⅙) = 10^-42

- Distribuzione di Poisson- Distribuzione t-Student- Distribuzione Chi-quadrato- Distribuzione Esponenziale


Distribuzione di Gauss

(fonte Wikipedia)

Il rischio di mercato e il teorema di Eulero


Il Value-at-Risk


Il rischio di mercatoE’ una misura fondamentale, perché la stima dell’esposizione della banca al rischio di mercato rientra nella valutazione dei rischi di Primo Pilastro (Basel Committee) per la determinazione dei requisiti patrimoniali minimi.Il Value-at-Risk è una delle misure utilizzabili secondo le disposizioni dell’Autorità di Vigilanza.


Esempio di fluttuazioniAndamento dell’indice Dow Jones

Dal 1980 Ultimi 6 mesi

(fonte Yahoo! Finance)


Il Value-at-RiskIl VaR è una misura finalizzata a riassumere in un unico valore di perdita l’esposizione complessiva al rischio di mercato di un portafoglio di trading.

Stimare il VaR significa valutare:

la massima perdita che può subire un portafoglio in un determinato orizzonte temporale, tale che una perdita

maggiore può avvenire con una probabilità preassegnata.In altre parole, significa affermare qualcosa di simile: “con un livello di confidenza del 95%, il portafoglio non perderà più di 697000 euro nei prossimi 10 giorni.


Il Value-at-RiskPer calcolare il VaR di portafoglio è pertanto necessario, ricostruire la distribuzione di probabilità dei rendimenti, su un determinato orizzonte temporale.

Approccio parametrico: si ipotizza che la distribuzione di probabilità dei rendimenti segua una distribuzione analitica (si stimano i parametri mediante un fit con la distr. empirica)

Approccio non-parametrico: si utilizza la distribuzione empirica ipotizzando che assumerà il medesimo comportamento in futuro.


Definizione di rendimentoDenotiamo con V(t) il valore al tempo t di un portafoglio.

La Loss Distribution sull’intervallo Δt è definita daL(t+Δt,t) = V(t)-V(t+Δt)

Il tasso di rendimento sull’intervallo Δt è definito comeI(t+Δt,t) = [V(t+Δt)-V(t)]/V(t)

Il rendimento logaritmico (log-return) sull’intervallo Δt è: R(t+Δt,t)= ln[V(t+Δt)/V(t)]

Ed è tale che R(t+Δt,t)~ I(t+Δt,t) per piccoli I, e che se t1<t

2<t

3

R(t3,t

1) = R(t

3,t

2) + R(t

2,t

1)


Definizione matematica di VaRData la distribuzione loss L su un determinato orizzonte temporale e un livello di confidenza α, il VaRα(L) è il più piccolo numero ℓ tale che la probabilità di avere una perdita maggiore di ℓ è minore di 1-α


VaR in approccio parametrico semplificatoSingolo strumento finanziario

z

Ipotesi di normalitàSi assume che la distribuzione delle rendimenti sia una normale con media 0 e varianza σ2.

Pertanto fissato un livello di confidenza α, si determina la variabile z corrispondente e si calcola il VaR giornaliero come


VaR in approccio parametrico semplificatoPortafoglio con più strumenti

(fonte Wikipedia)


VaR in approccio parametrico semplificatoPortafoglio con più strumenti

Ipotesi di linearità dei rendimentiIl rendimento di portafoglio sull’orizzonte Δt è la somma dei rendimenti dei singoli fattori di rischio pesati per le singole esposizioni.

La varianza di portafoglio terrà conto delle varianze dei singoli fattori di rischio e delle correlazioni tra essi.

(fonte Wikipedia)


Effetto della correlazione sul VaRApplicazione su due strumenti

Per comprendere l’effetto della covarianza sul VaR di portafoglio, consideriamo il caso di un portafoglio con due strumenti:

Quando la correlazione vale 1: il VaR di portafoglio eguaglia la somma dei VaR di singolo strumento.Quando la correlazione è negativa: allora il VaR di portafoglio risulta minore della somma dei VaR di singolo strumento, come ci si dovrebbe attendere da un portafoglio ben diversificato.

(fonte Wikipedia)


Il VaR e il t. di Eulero sulle funzioni omogeneeIl Component VaR

La proprietà di “omogeneità” del VaR è utile per allocare ai sotto-portafogli una misura di rischio dell’intero portafoglio.Una funzione definita in Rn omogenea di grado k si dice omogenea se

Per le funzioni omogenee vale il teorema di Eulero

Il VaR è una funzione omogenea di grado 1, sicché


Sembra semplice, tutto qui?No.

I portafogli su cui spesso si stima il VaR sono insiemi da centinaia (o migliaia) di strumenti.Per essere più corretti, la distribuzione dei rendimenti si costruisce a partire da fattori di rischio su cui si vanno a “mappare” gli strumenti.

La mappatura degli strumenti sui fattori di rischio e la valutazione della matrice di covarianza richiede una selezione “statistica” dei fattori di rischio e manutenzione “numerica” molto accurata.

Due fattori chiave: potenza di calcolo e affidabilità statistica


Ma la storia non si chiude con il parametric-VaR.Effetto delle code spesse.

La modellizzazione mediante distribuzione di Gauss non considera gli eventuali effetti di code spesse nelle distribuzioni empiriche producendo una sottostima delle perdite potenziali.

Approcci alternativi: fit con distribuzioni alternative (t-Student) o metodi non parametrici

Il VaR in approccio parametrico semplificato può presentare insensibilità al fenomeno delle code spesse.


Ma la storia non si chiude con il parametric-VaR.Effetto delle code spesse. - Esempi di fit alternativi

Distribuzione dei rendimenti giornalieri logaritmici del Dow Jones dal 1950 ad oggi.


VaR in approccio di simulazione storicaMetodi non parametrici

Per calcolare il VaR (o il CVaR), data la distribuzione empirica, si estrae il percentile desiderato (si ordinano 500 valori giornalieri di rendimento dal più negativo al più positivo, il 99° percentile è il 5° valore peggiore.)

Vantaggi1. non si fanno assunzioni sulla distribuzione

dei rendimenti;2. la correlazione tra fattori di rischio è

catturata implicitamente, senza necessità di stimarla

L’approccio in simulazione storica è un approccio non parametrico che si basa sull’assunzione per cui la distribuzione futura degli investimenti seguirà quella passata.


Effetti di bump nella distribuzione delle perditeL’Expected Shortfall

Per costruzione, il VaR indica il valore limite di perdita oltre il quale si verificherebbe un perdita superiore con probabilità (1-α), cioè il valore minimo con cui possono andare male le cose.

Infatti, due distribuzioni con differenti “code” possono produrre il medesimo valore di VaR. Quindi sarebbe più importante chiedersi: “se le cose vanno male, quanto ci aspettiamo di perdere?”

Conditional VaR: valore medio di tutte le perdite superiori al VaR.

-200M -10M

VaR

VaR

-10M-20M


Ma quindi qual è lo stato dell’arte?Il VaR (meglio CVaR) rimane la più diffusa e accettata (anche normativamente) per la misura di rischio mercato.Approcci migliorativi (simulazione storica e Monte Carlo) hanno aumentato l’affidabilità della stima in coerenza con i principi di economicità aziendali.

Problemi Aperti- Sviluppo di modelli matematici avanzati (volatilità

dipendenti dal tempo, distribuzioni di Levy stabili, ecc.)- Sviluppo di modelli numerici sostenibili

Derivati, Monte Carlo e sospensioni fluide


Le idee di un botanico, un matematico e due economisti


Le sospensioni fluide e il moto browniano

Le sospensioni fluide sono miscele in cui una sostanza solida viene finemente dispersa in una sostanza liquida (ad es. farina e acqua) in modo tale che si sedimenti in tempi lunghi.

Le particelle microscopiche (~μm) in sospensioni fluide sono caratterizzate da un moto continuo e disordinato (Robert Brown, botanico, 1827).

Randow walk (fonte Wikipedia)


L’intuizione di BachelierLa prima trattazione matematica del moto browniano fu ad opera di Einstein durante l’annus mirabilis (1905).

Tuttavia, nel 1900, il matematico francese Louis Bachelier, sviluppò un approccio statistico per descrivere l’andamento dei prezzi dei titoli della Borsa di Parigi (molto simile alle successive trattazioni matematiche del moto browniano).

Fu il primo ad applicare la teoria della probabilità ai fenomeni dinamici legati ai mercati finanziari.

Successivamente, con i lavori di Einstein, Langevin, Wiener (e altri) si aprì la strada allo studio dei processi stocastici.


I processi stocastici

Un processo stocastico è una famiglia di variabili aleatorie che dipendono da un parametro.

La realizzazione di una variabile aleatoria dipendente dal tempo può essere immaginata come un insieme infinito di traiettorie descrittive del processo.


Moto Geometrico BrownianoUn caso particolare di PS è il processo di Wiener o moto browniano in cui gli incrementi della variabile sono indipendenti tra loro e identicamente distribuiti secondo una normale gaussiana a media zero e varianza data dagli step temporali.Un MB geometrico è un PS in cui il logaritmo della variabile aleatoria segue un moto browniano con un termine di deriva.

(fonte Wikipedia)


Intermezzo sui metodi Monte Carlo

I metodi Monte Carlo costituiscono una classe di metodologie computazionali che restituiscono stime numeriche sulla base di un campionamento casuale.

Le applicazioni dei MCM sono vastissime e spaziano dalla fisica all’ingegneria meccanica e aeronautica, finanza, etc. (fonte Wikipedia)


Un esempio classico di MCMLa stima del “pi greco”

Cerchio di raggio r = 1 iscritto in un quadrato di lato L = 2.; Area cerchio AC = π; Area quadrato AQ = 4; Rapporto AC/AQ = π/4

Generiamo casualmente tante coppie ordinate (x,y) e contiamo quelle per cui x2+y2 ≤ 1 (rossi).

La stima di π sarà data da

π = 4*(num. punti rossi)/totale punti


Un esempio classico di MCMLa stima del “pi greco” | Codice Python

import numpy as np

npoint = 100000

x = np.random.rand(1,npoint)[0]y = np.random.rand(1,npoint)[0]

r = (x**2+y**2)**0.5quadrante = sum(r <= 1.0)pigreco = 4*quadrante/float(npoint)errperc = abs(round(100*(np.pi-pigreco)/np.pi,2))


Ora, diamo uno sguardo ai “derivati”

I derivati (derivatives) sono strumenti finanziari il cui prezzo dipende dal valore di un altro strumento finanziario, detto sottostante (underlying).

Tipologie: forward, future (fwd non scambiabili OTC) e opzioni.


Opzioni

Le opzioni sono contratti in cui una delle parti può (ma non ha l’obbligo) di esercitare l’opzione di acquisto o vendita di sottostanti nei confronti dell’altro contraente a prefissate condizioni.


Esempio: Call EuropeaAlice compra, oggi, da Bob un’opzione call europea che le consente di acquistare tra 6 mesi (da Bob), 100 azioni Google ad un prezzo prefissato di 780 USD (strike). Supponiamo che oggi il prezzo di GOOG sia 774.

Alice scommette che il prezzo aumeterà

Bob scommette che il prezzo diminuirà

(font

e W

ikip

edia

)


Cosa può accadereIl prezzo delle azioni Google sale.

Il prezzo di Google arriva a 800 USD e supera lo strike di 780 USD. Alice esercita l’opzione.Bob è obbligato a vendere le azioni a 780 USD.Alice compra le azioni a 780 USD e le rivende subito a 800, ricavando 20 dollari per azione.

Payoff = max(S-K, 0)Profit = Payoff - Premium


Cosa può accadereIl prezzo delle azioni Google scende.

Il prezzo di Google arriva a 760 USD ed è sotto lo strike di 780 USD. Alice non esercita l’opzione e perde l’importo del premio.Bob incassa il premio e il contratto scade.

(Bob è stato fortunato, essere short su una call può dare risultati disastrosi. Perché?)

Payoff = min(K-S, 0)Profit = Payoff - Premium


Un problema fondamentale: il pricingCome si prezza qualcosa che dipende da qualcos’altro?

Come determinare in maniera “fair” il prezzo di uno strumento il cui valore dipende da quello di una variabile aleatoria (come il prezzo di un’azione)?


Proviamo con il metodo Monte CarloUn approccio semplificato

1. Simuliamo i “possibili” cammini dell’azione in un determinato periodo di tempo (abbiamo bisogno di un’ipotesi economica);

2. Valutiamo a scadenza T tutti i possibili payoff dell’opzione: E[max(S

T-K,0)]

3. Scontiamo a valore attuale il valore di aspettazione di tutti i payoff: e-rTE[max(S

T-K,0)]


Le possibili traiettorie del prezzo di un’azioneSimulazione di un moto Browniano Geometrico

10 cammini casuali 100 cammini casuali 1000 cammini casuali


Moto Geometrico BrownianoSimulazione pricing call europea - Codice Python

from scipy.stats import normimport numpy as npfrom random import randomimport pandas as pd

S0 = 42; mu = 0.0; r = 0.1; sigma = 0.2; K = 40; T = 1; nstep = 250; dt = 1.0/nstep; nsimulation = 100

MC = pd.DataFrame({})for i in range(nsimulation):

St = [S0]for j in range(nstep):

print "Simulazion No.: "+str(i)+"\t "+"Step: "+str(j) G = np.exp((mu-0.5*sigma**2)*dt+sigma*np.sqrt(dt)*norm.ppf(random())) St.append(St[-1]*G)

MC.loc[:, 'SIM'+str(i)] = Stfin = np.array(pd.DataFrame(MC, index = [nstep]))[0]-Kpayoff = np.maximum(list(fin), [0.0]*nsimulation)price = np.exp(-r*T)*np.mean(payoff)

print price


Soluzione di Black-Scholes-MertonUna forma analitica chiusa

L’evoluzione del prezzo del sottostante è un processo stocastico markoviano descritto da un moto browniano geometrico. B-S proposero una forma analitica chiusa per la determinazione del prezzo delle opzioni.


Soluzione di Black-Scholes-MertonUna forma analitica chiusa

Ipotesi fondamentali1. Il mercato è efficiente (liquido, senza attriti, no asimmetrie informative)2. Andamento prezzi del sottostante segue un MBG3. Tasso di interesse risk-free e volatilità sono costanti4. Mercato arbitrage-free (non si può guadagnare quantità arbitrarie di danaro

senza rischi)5. Gli scambi si svolgono continuamente nel tempo (Δt~0).


Esiste quindi il Sacro Graal degli investimenti?No.

1994 Black, Scholes e altri tra i più famosi economisti del mondo fondano un hedge fund (la Long Term Capital Management) che ebbe (per breve periodo) una fortuna immensa (40% rendimenti)

1997 Black e Scholes vincono il premio Nobel per l’Economia


Esiste quindi il Sacro Graal degli investimenti?No.

1994 Black, Scholes e altri tra i più famosi economisti del mondo fondano un hedge fund (la Long Term Capital Management) che ebbe (per breve periodo) una fortuna immensa (40% rendimenti)

1997 Black e Scholes vincono il premio Nobel per l’Economia

1998 LTCM fallisce

4 affermazioni per riassumere questo talk



1. I percorsi epistemologici che fanno intersecare discipline apparentemente lontane, sono innumerevoli e per questo straordinari.


2. La modellizzazione matematica è un tassello fondamentale della gestione dei rischi bancari. Ma c’è ancora tanta strada.


3. Il risk management nelle banche è un sistema complesso e dinamico governato da fenomeni collettivi di origine sociale


4. “Ehi, regola numero uno a Wall Street: nessuno, ok se sei Warren Buffett forse sì, nessuno sa se la borsa va sù o giù, o di lato o in circolo, meno che mai i broker”.

Riferimenti e suggerimenti bibliografici


“Non c'è libro tanto cattivo che in qualche sua parte non possa giovare”. -Plinio il Vecchio

Nullum esse librum tam malum, ut non aliqua parte prodesset.


Suggerimenti e riferimenti bibliografici

Acknowledgements


Alumni Mathematica e la Scuola Open Source per l’ospitalità e la piacevole occasione di confronto.A. Zullo per le utili discussioni e gli ottimi suggerimenti che hanno contribuito alla costruzione di questo percorso.

APPENDICE



Come scegliere una buona misura di rischio? Una definizione di misura “coerente”

In un famoso paper Artzener et al. (1998) proposero un sistema di proprietà per definire “coerente” una misura di rischio.

1. Monotonicità. Se in ogni stato di natura i rendimenti di un portafoglio A sono minori di quelli di un portafoglio B allora il rischio di A deve essere maggiore di quello di B

2. Invarianza per traslazione. Aggiungendo capitale K al portafoglio, il rischio deve ridursi di un importo K.

3. Omogeneità. Aumentando il portafoglio di un multiplo M, con la stessa composizione, la misura di rischio si deve moltiplicare per M.

4. Subadditività. L’aggiunta di un portafoglio B ad un portafoglio A non può aumentare il rischio in misura maggiore della somma dei rischi dei singoli ptf.

Il VaR non è coerente (non è sempre subadditivo).Il CVaR invece sì.


Intermezzo: Lo sapevate che...Girolamo Cardano (1501-1567) è stato il primo scienziato ad essersi occupato di fenomeni casuali in maniera più sistematica, concentrandosi proprio sui dadi di cui si dice sia stato un forte giocatore. Fu egli l'autore della prima opera sul tema, intitolata Liber de Ludo Aleae scritta nel 1560 e pubblicata postuma in Italia nel 1663.


Ingredienti di una teoria elementare delle P.Spazio Ω degli eventi

elementari ωi

Funzione di probabilità

Algebra degli eventi (non elementari) A

Insieme di tutti i possibili eventi ricostruibili da Ω (ad es. evento somma

dei dadi = multiplo di 3)

Modello finito di probabilità

ovvero pari al rapporto tra il numero di eventi elementi

favorevoli (contenuti in A) e il numero di quelli possibili N


Penny: Yeah, you guys never use that space up there. Why not get a table?Sheldon: Do you want the long answer or the short answer?Howard: Hey, how come we never get that option?Sheldon: Chaos theory suggests that even in a deterministic system, if the equations describing its behaviour are non-linear, a tiny change in the initial conditions can lead to a cataclysmic and unpredictable result.Penny: Translation?Leonard: Waah. I don’t want a table. Big Bang Theory 7-16

Aspetti Matematici del Banking Risk Management (2016-11-30, Science Storming Cafe)

Documents

Transcript of Aspetti Matematici del Banking Risk Management (2016-11-30, Science Storming Cafe)