AS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX fileAS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX Lu™s A. Cordero*...

23

Revista Galega do Ensino-ISSN: 1133-911X- N�m. 28 - Outubro 2000

Resumi-la evoluci�n das Mate-m�ticas � longo do s�culo XX nunhaspoucas p�xinas � unha tarefa imposi-ble. Tanto por raz�ns obxectivas comopor raz�ns subxectivas, tendo en contaos modos de pensamento que temos osmatem�ticos e a nosa linguaxe tanespecial, achegarlle � lector os avanceshabidos neste s�culo no pensamentomatem�tico sen recorrer �s f�rmulaspar�ceme, cando me dispo�o a come-zar a escribir, algo irrealizable.

Ademais, coido que un matem�ti-co, � enfronta-la tarefa de escribir un ar-tigo como este, que se sup�n de divul-gaci�n, debe ter en conta que polomenos a metade dos seus lectores deixar�n de ler � que atopen nel unhaprimeira ecuaci�n, e non � dif�cil ima-xinar qu� ocorrer� cos que contin�en � daren coa segunda. As� que eu, que comparto este punto de vista, voutentar escribir este traballo sen utilizar

f�rmulas, confiado en que o meu lec-tor saber� desculparme polas moitasimprecisi�ns, erros e omisi�ns que send�bida hei cometer.

AS CIENCIAS MATEMÁTICAS: A NOSA CULTURAINVISIBLE

Ningu�n cun nivel cultural me-dio pode nega-la existencia do pen-samento matem�tico como algo inhe-rente � poder racional do home,formando parte da s�a natureza e das�a historia.

Na proposici�n non de lei doCongreso dos Deputados sobre o AnoMundial das Matem�ticas 2000 dise:

As Matem�ticas son unha das m�ximasexpresi�ns da intelixencia humana econstit�en un eixe central na historia dacultura e das ideas. Gracias � s�a univer-salidade apl�canse nas outras cien-cias, nas ciencias da natureza, nas

AS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX

Lu�s A. Cordero* Universidade de Santiago

de Compostela

ÒEntrist�ceme que a xente culta ninsequera saiba que o meu tema existeÓ

Paul R. Halmos

* Catedrático de Xeometría e Topoloxía.

1 COLABORA.CIN 4/4/01 21:47 Página 23

24 Luís A. Cordero

ciencias sociais, nas enxe�er�as, nas no-vas tecnolox�as, e nas distintas ramas dosaber mais nos diferentes tipos de activi-dade humana, de tal xeito que resultanser fundamentais no desenvolvemento eprogreso dos pobos.

O impacto e influencia das Mate-m�ticas na nosa forma actual de vida � indiscutible e d�bese � seu espectacu-lar crecemento e � aumento das s�as aplicaci�ns, principalmene no�ltimo tercio do s�culo XX, no que todose matematiza. Moitas das cousas que forman parte da nosa vida coti� edas que non poderiamos prescindirfacilmente, como a radio, o tel�fono, atelevisi�n, as calculadoras, os ordena-dores, os c�digos de barras, os dis-cos compactos, o esc�ner ou os sat�litesartificiais, por exemplo, non se-r�an posibles sen a aplicaci�n de nume-rosos resultados matem�ticos. Maliaiso, e a�nda que a s�a historia se midepor milenios, os matem�ticos temosque admitir que as Matem�ticas son,sen d�bida, as m�is impopulares det�dalas ciencias, e ocupan o �lti-mo posto da lista no que � comunica-ci�n e co�ecemento do home medio serefire.

F. Hirzebruch sinala: Sen Matem�ticas non haber�a un pen-samento l�xico estructurado; o pensa-mento matem�tico � un compo�entefundamental do mundo moderno. His-toricamente as Matem�ticas foron a cha-ve que abriu as portas da ilustraci�n.Hoxe, as Matem�ticas puras po-den a�nda ser consideradas como o garda do graal do pensamento l�xi-co.

O CAMBIO DE SÉCULO: DO XIX Ó XX

Ser�a imposible falar dos logrosacadados polas Matem�ticas no s�culoXX sen facer referencia � revoluci�nexperimentada polo pensamento mate-m�tico � longo do s�culo anterior. Nons� a s�a linguaxe, sen�n os fundamen-tos l�xicos das Matem�ticas actuais,dependen dun xeito esencial do acon-tecido durante o s�culo XIX.

Unha das caracter�sticas primor-diais das Matem�ticas � o seu rigor, �dicir, o coidado en non admitir m�isque aquilo que fose probado por unrazoamento, e fixar con precisi�n asbases de todo razoamento. Sen embar-go, este coidado non existiu sempre,como mostra a historia das Ma-tem�ticas nos s�culos XVII e XVIII,cando os continuadores da obra deNewton e de Leibniz, a�nda que culmi-nan as colosais creaci�ns do C�lculoinfinitesimal e do C�lculo integral,inquietaban seriamente os cient�ficos emais os fil�sofos polas s�as ousad�asnos esvarad�os terreos do infinito e doinfinit�simo, que se atopaban na basede todo o c�lculo, ousad�as provocadaspor unha incontrolada chamada �intuici�n.

Non obstante, os r�pidos progre-sos experimentados neses s�culos fixe-ron que as Matem�ticas entraran noXIX Ñpara moitos o verdadeiro s�culoda Matem�tica puraÑ nun per�odo deaxitado crecemento caracterizado pordous feitos: 1) a cr�tica dos fundamen-tos, primeiro os da An�lise, logo os da


As Ciencias Matemáticas no século XX 25

Xeometr�a, e por �ltimo tam�n os daL�xica, e 2) por unha tendencia � xene-ralizaci�n, tentando libera-las Mate-m�ticas das presunci�ns intuitivas elograr que fosen un obxecto de estudioen por si, independentes da Filosof�anatural. As melloras nos sistemas dec�lculo, coa elaboraci�n dun sistemarigoroso de an�lise, conducen, nun �lti-mo termo, � Mec�nica cu�ntica e �Teor�a da Relatividade, e, como conse-cuencia, a un co�ecemento e com-prensi�n m�is fondos da natureza damateria e do espacio. Doutra banda, �cuestiona-la l�xica do C�lculo e daXeometr�a, desc�brese un novo mundopara as Matem�ticas nas teor�as dosconxuntos infinitos e das xeometr�asnon-euclidianas, o que de feito condu-cir�, � longo do primeiro tercio dos�culo XX, � mellor entendemento dosseus propios fundamentos.

Estas d�as direcci�ns, unha apli-cada e con influencias alleas, a outrate�rica, introspectiva e abstracta, te�enen realidade unhas ra�ces com�ns emostran a simbiose existente entre Ma-tem�tica pura e Matem�tica aplicada.

Dunha parte, J. Fourier (1768--1830) int�e que toda funci�n pode serexpresada como suma de certas fun-ci�ns b�sicas simples que representanas vibraci�ns peri�dicas que forman ostons puros musicais ou as cores b�sicasda luz. Esta idea de Fourier, motivadapola s�a an�lise da calor nos corpos, �unha das m�is importantes da historiadas Matem�ticas. Os estudios deriva-dos deste descubrimento est�ndense �longo de todo o s�culo XIX e involu-

cran os m�is importantes matem�ticosda �poca, como Dirichlet, Riemann,Weierstrass ou Cantor. Eles analizanqu� � o que valida o m�todo (a conver-xencia controlada das sumas infinitas)e qu� � o que pode invalidalo. Os seusestudios perm�tenlles �s f�sicos te�ricos(seguindo o cami�o no que a teor�a �v�lida) transforma-la F�sica cl�sica pormedio destes novos instrumentosmatem�ticos. Pola s�a banda, os mate-m�ticos exploran as moitas v�as nasque o m�todo de Fourier non funciona.Descobren deste xeito o amplo mundo,ata ent�n desco�ecido, dos conxuntosinfinitos.

Prod�cese asemade un descubri-mento sorprendente e desconcertante:a Xeometr�a euclidiana non � o �nicotipo de xeometr�a posible. Hoxe sabe-mos que este achado se debe a K. F.Gauss (1777-1855), o matem�tico m�isgrande de t�dolos tempos, quen nuncao publicou por medo � rid�culo; o cretoda primeira publicaci�n, en 1826, d�be-se atribu�r a N. Lobachevski (1792--1856) e J. B�lyai (1802-1860), que, dunxeito independente e case simult�neo,deron a co�ecer o que hoxe chamamosXeometr�a hiperb�lica. A clave para talachado at�pase no feito de que un dospostulados da Xeometr�a euclidiana, oPostulado da Paralela ou Postulado V,non � por forza certo. � dicir, dos dezaxiomas da Xeometr�a euclidiana, oAxioma da Paralela pode ser negado e,as� e todo, a�nda � posible constru�r cosnove restantes unha Xeometr�a perfec-tamente consistente; ou o que � omesmo, tal axioma � independente dos


26 Luís A. Cordero

outros nove. Este descubrimento levade contado � pluralizaci�n das Mate-m�ticas: onde antes hab�a unha xeome-tr�a agora temos xeometr�as e, nun �lti-mo termo, �lxebras e non s� unha�lxebra, sistemas num�ricos e non uns� sistema num�rico. O pulo definitivodestas consideraci�ns puramente abs-tractas sobre as xeometr�as non-eucli-dianas prod�cese coa definici�n por G. B. Riemann (1826-1866) das Òconfi-guraci�ns n-dimensionaisÓ, co que secrean os modelos matem�ticos que llepermitir�n a A. Einstein (1879-1955),anos m�is tarde, o desenvolvemento daTeor�a da Relatividade.

Estas d�as direcci�ns seguidas nos�culo XIX, se ben poden ser considera-das fundamentais, non foron certamen-te as �nicas. As necesidades da F�sicamatem�tica provocaron o inicio dodesenvolvemento da An�lise comple-xa, � dicir, do estudio das funci�nssobre os n�meros complexos. Este pro-greso, que se leva a cabo canda o daAn�lise de Fourier, segue a ter hoxe end�a aplicaci�ns constantes non s� naF�sica matem�tica sen�n tam�n, porexemplo, desempe�ando un papel cen-tral na resoluci�n de arrevesados pro-blemas da moi abstracta e pura Teor�ados N�meros Primos. Doutra banda, a Teor�a de Grupos, iniciada por E. Galois (1811-1832) � tratar de resol-ve-lo problema, xa cl�sico daquela, deatopar as ra�ces dunha ecuaci�n poli-n�mica, a çlxebra de Boole, xermoloda l�xica matem�tica (G. Boole, 1815--1864), ou a çlxebra de Matrices (A.Cayley 1821-1895), xorden como conse-

cuencia de consideraci�ns puramentete�ricas e como resposta a necesidadespuramente intelectuais; con todo, coandar do tempo todas elas se te�enmostrado claramente �tiles nas s�asaplicaci�ns.

Desta visi�n do sucedido no s�cu-lo XIX, incompleta e moi superficial,p�dese extraer emporiso unha impor-tante conclusi�n que marca o devir dasMatem�ticas � longo do s�culo XX:a�nda que as Matem�ticas est�n mol-deadas tanto pola necesidade decomprensi�n da forma pura como poladeterminaci�n dun feito cient�fico,�mbolos dous moldes producen estruc-turas semellantes e, independentemen-te de se o seu desenvolvemento v�nmotivado polo seu interese intr�nseco,como se se realiza polo interese dass�as aplicaci�ns, os problemas que sexeran e as estructuras necesarias pararesolvelos comparten unha base l�xicacom�n, e s� se diferencian na forma deseren expresados. Por iso, e dun modocase xeral, as Matem�ticas eran xaaceptadas, a finais do s�culo XIX, comounha forma de pensamento axiomati-zado.

AS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX

O desenvolvemento experimenta-do polas Matem�ticas � longo do s�cu-lo XX �, se non maior, si polo me-nos comparable � de calquera dasoutras ciencias. O ocorrido nestes cenanos p�dese resumir, dun xeito moisimple, dicindo que a s�a primeira



metade estivo marcada pola idea deque Òcanta m�is abstracci�n, mellorÓ;este concepto foi cambiando co paso dotempo, e semella que na segunda meta-de do s�culo o principio predominantepasou a ser que Òexisten niveis �ptimosde abstracci�nÓ.

Postos a sinala-las influenciasm�is relevantes que condicionan odesenvolvemento das Matem�ticas naprimeira metade do s�culo, � obrigadoasocialas, nunha inicial aproximaci�n,cos nomes de dous ilustres matem�ti-cos: Georg Cantor (1845-1918) e DavidHilbert (1862-1943).

Cando a Matem�tica se mov�a nomedio dun mare magnum de novosconceptos e teor�as e dunha nova lin-guaxe que nac�a coa Teor�a dosConxuntos Infinitos de Cantor, prod�-cese un feito que marca decisivamenteo seu desenvolvemento posterior �longo de todo o s�culo. En agosto doano 1900 celebrouse en Par�s o 2¼Congreso Mundial de Matem�ticas; nasecci�n de Bibliograf�a e Historia,Ensino e M�todos, nunha sesi�n presi-dida precisamente por Cantor, Hilbertpronunciaba unha conferencia tituladaÒOs problemas futuros das Mate-m�ticasÓ. Nela presentaba unha lista devintetr�s problemas non resoltos que,na s�a opini�n, eran os m�is importan-tes cos que se enfrontaban asMatem�ticas naquel momento e quedeber�an centra-lo traballo investiga-dor nos seguintes anos. Os problemaspropostos por Hilbert marcaron o devirdas Matem�ticas a partir do momentoda s�a formulaci�n e ata os nosos d�as,

nos que, por certo, alg�n deles a�ndasegue sen resolver. Tal foi a importan-cia desa lista de problemas que osmatem�ticos que lograron solucionaralg�n deles obtiveron un reco�ecemen-to un�nime por parte de toda a comu-nidade matem�tica.

Pero m�is importante a�nda c�lista de problemas de Hilbert foi a s�aproclamaci�n de fe persoal na posibleresoluci�n de todo problema matem�-tico, feita na primeira parte da confe-rencia e que se resume nas s�as propiaspalabras como segue: Ò(Os matem�ti-cos) o�mos sempre resoar esta chama-da: aqu� te-lo problema, b�scalle solu-ci�n. Ti podes atopala polo razoamento

David Hilbert presentou na súa conferencia do ano 1900en París, que acadou moita sona, unha lista de vintetrésproblemas matemáticos non resoltos.


28 Luís A. Cordero

puro. Xamais o matem�tico ser� levadoa dicir: IgnorabimusÓ.

Hilbert base�base no convence-mento de que a natureza das Mate-m�ticas consiste en propo�er e resolverproblemas, polo que os instrumentosdo pensamento puro na mente dosmatem�ticos creadores deben ser sem-pre suficientes para resolver calqueraproblema matem�tico que se lles pro-po�a. Segundo el, as esixencias e ascondici�ns xerais �s que debe corres-ponde-la soluci�n dun problema mate-m�tico son d�as: 1», a exactitude dasoluci�n, que debe obterse por mediodun n�mero finito de conclusi�ns; e 2»,esa soluci�n debe fundamentarse sobreun n�mero finito de hip�teses propor-cionadas polo mesmo problema e for-muladas, en cada caso, con precisi�n.

O m�todo axiom�tico as� propug-nado por Hilbert non era algo novo, xaque foi o utilizado por Euclides, porexemplo; pero a Hilbert se debe quecomezara a ser co�ecido e utilizado, nas�a forma moderna, a finais do s�culoXIX. Como aut�ntico mestre da axio-m�tica, o esp�rito de Hilbert exerceuunha profunda influencia no universomatem�tico de principios do s�culo, epor iso debe ser considerado como undeses grandes homes que dominan ecaracterizan toda unha �poca. O rigorda s�a linguaxe e a marabillosa perfec-ci�n dos seus razoamentos fixeron queo seu traballo fose un modelo parat�dolos matem�ticos posteriores. O seulibro Grundlangen der Geometrie (Fun-damentos da Xeometr�a, 1» ed. 1899)marca o inicio da axiomatizaci�n das

Matem�ticas, ou, por sermos m�is pre-cisos, da utilizaci�n dos sistemas deaxiomas formais como base de cadaunha das disciplinas matem�ticas e,eventualmente, de t�dalas Matem�-ticas.

Non obstante, a implantaci�ndesta concepci�n hilbertiana, esencial-mente formalista, non foi doada; elmesmo co�ec�a mellor ca ningu�n agrande influencia exercida polas outrasd�as escolas de pensamento sobre afundamentaci�n das Matem�ticas quexurdiron nos comezos do s�culo.

Dunha parte estaba a Escola loxi-cista; os seus principais impulsoresforon os ingleses B. Russell (1872-1970)e A. N. Whitehead (1861-1947). Osmembros desta escola sosti�an que aMatem�tica � unha rama da L�xica e,xa que logo, avogaban pola definici�ndos conceptos matem�ticos en termosde noci�ns l�xicas e a proba das s�asproposici�ns como teoremas de l�xica.Este enfoque non era novo xa que oprincipio de que as Matem�ticas sonderivables da L�xica se remonta aLeibniz, quen distingu�a entre verda-des da raz�n, ou necesarias, e verdadesde feito, ou continxentes. En 1903, nas�a obra Principios da Matem�tica,Russell escrib�a: ÒO feito de que t�dalasMatem�ticas son l�xica simb�lica � undos achados m�is grandes da nosa�poca...Ó

Doutra banda estaba a chamadaEscola intuicionista, fundada por L. E.J. Brouwer (1881-1966), � que m�istarde se une Hermann Weyl (1885-



-1955). Brouwer concib�a o pensamentomatem�tico como un proceso de construcci�ns mentais que crea o seupropio universo, independente daexperiencia e restrinxido s� na medidaen que debe de estar baseado na intui-ci�n matem�tica fundamental. Brou-wer escribia: ÒO �nico fundamento po-sible para as Matem�ticas ten quebuscarse neste proceso constructivo,limitado pola obriga de captar con re-flexi�n, cultura e refinamento de esp�ri-to qu� teses son aceptables � intuici�n eevidentes � mente e qu� teses non osonÓ. Como non reco�ec�a ning�nprincipio da L�xica a priori, tampouconon reco�ec�a a tarefa matem�tica dededucir conclusi�ns a partir de axio-mas; para el, os paradoxos eran undefecto da L�xica e non da verdadematem�tica, as� que negaba a lexitimi-dade absoluta das regras aristot�licasda L�xica, chegando a citar a Lei doTercio Excluso para conxuntos infinitoscomo exemplo de principio l�xico quese estaba a aplicar con excesiva liberda-de. Hilbert, reaccionando contra estacorrente, chegar�a a declarar, alporiza-do, no ano 1924: ÒDespoxa-lo matem�-tico da Lei do Tercio Excluso equivale anegarlle o telescopio � astr�nomo, ou ouso dos seus pu�os � boxeadorÓ.

Co fin de salva-la Matem�tica cl�-sica da demoledora cr�tica intuicionis-ta, as� como tam�n a Teor�a Conxun-tista de Cantor, que se estaba a crebarpolo mal dos paradoxos, Hilbert pro-puxo que a Matem�tica fose formuladacomo unha teor�a axiom�tica formal.Impulsou deste xeito unha terceira

escola, a Escola formalista, baseada nafilosof�a de que todo o contido dasMatem�ticas pode transformarse nunsistema de f�rmulas simb�licas; xuntoa este sistema formal existe un eidochamado Metamatem�tica, dominioseparado que serve de xustificaci�npara o sistema de f�rmulas, xa que oseu obxecto de investigaci�n son aspropias demostraci�ns das Matem�-ticas ordinarias. Esta concepci�n for-malista ou hilbertiana distingue osenunciados ÔreaisÕ dos ÔideaisÕ, segun-do o seu uso implique ou non a pose-si�n dun significado intuitivo. Ade-mais, o engadido de Ôelementos ideaisÕa un sistema para completa-la s�aestructura e simplificar as� o desenvol-vemento da correspondente teor�a,resultou ser un procedemento moi pro-veitoso.

Hilbert e os seus seguidores cr�anque co procedemento de edificar e for-maliza-la demostraci�n matem�ticapor medio dun sistema de postuladosnon contradictorios, poder�a introdu-cirse nas Matem�ticas o mesmo tipo decerteza que as Leis de Newton introdu-ciran na Mec�nica dous s�culos antes.Sen embargo, do mesmo xeito que aMec�nica cu�ntica botou por terra odeterminismo newtoniano, as� a publi-caci�n do Teorema de Incompletitudepor Kurt G�del (1906-1978), no ano1931, fixo o mesmo coa certeza hilber-tiana. No seu teorema Ñsen d�bida undos resultados m�is profundos da his-toria do pensamentoÑ, G�del estable-ce a sorprendente conclusi�n de que asMatem�ticas non poden ser encadea-


30 Luís A. Cordero

das � L�xica, deixando sentado que a Aritm�tica e, a fortiori, a Ciencia matem�tica, � unha teor�a incompleta.Isto vi�a a significa-lo seguinte: dadoun conxunto calquera de axiomas queincl�a os da Aritm�tica, non existe nin-g�n proceso de demostraci�n con forzaabonda para probar que tal conxunto �,� mesmo tempo, consistente e comple-to, xa que se fose completo ter�a que sercontradictorio, e se non cont�n contra-dicci�ns ent�n sempre existen enuncia-dos matem�ticos verdadeiros que nonpoden derivar do conxunto de axiomasde partida. Utilizando as palabras deHilbert, G�del probou que nas Mate-m�ticas sempre existe un ÒIgnorabi-musÓ.

G�del fac�a ver as� que asMatem�ticas non son unha ciencia to-dopoderosa e que estaban moi lonxe deprobalo todo como alg�ns pretend�an,xa que nin sequera daban constatado as�a propia consistencia. Po��ase as�mesmo en evidencia que se a Teor�a deConxuntos non � contradictoria candose basea nun sistema de axiomas noque non figure o Axioma da Elecci�n(que estipula a posibilidade de elixir unelemento en cada conxunto dunhafamilia de conxuntos), ent�n tampoucoo � a teor�a obtida engad�ndolle � siste-ma o Axioma da Elecci�n e a Hip�tesedo Continuo (que di que todo conxun-to non numerable de n�meros reais tena potencia do continuo, entendendopor ÔcontinuoÕ o conxunto de t�dolosn�meros reais). Polo tanto, non sepuido probar nin a veracidade nin afalsidade do Axioma da Elecci�n e da

Hip�tese do Continuo, disxuntiva quedivid�a os matem�ticos e coa que rema-tou no ano 1963 o americano P. J.Cohen (1934-...) � probar no seuTeorema de Indicibilidade que se tratade dous axiomas independentes doresto, e que a supresi�n dun ou de�mbolos dous, e mesmo a negaci�n decalquera deles, dar�a orixe a Mate-m�ticas diferentes. Por certo, Cohendeu as� resposta � primeiro dos proble-mas da lista proposta por Hilbert en1900.

En resumo, todas estas convul-si�ns experimentadas pola axiom�ticaprimitiva � longo da d�cada dos trintaprovocaron modificaci�ns substanciaisna forma de pensamento matem�tico econduciron, en definitiva, � inclusi�ndun formalismo-clase no sistema e �fusi�n dos axiomas da Teor�a deConxuntos cos do C�lculo l�xico. Entodo caso, un feito predominante aca-bou por ser incuestionable: o triunfodas ideas de Cantor.

A introducci�n por Cantor, nos�ltimos anos do s�culo XIX, dos con-xuntos infinitos no vocabulario dasMatem�ticas deu orixe � Teor�a deConxuntos, e con ela proporcionouunha nova e rica linguaxe que permitiuachar novas demostraci�ns de feitos xaco�ecidos e, sobre todo, considera-lasMatem�ticas desde unha nova pers-pectiva, con resultados tan afagadoresque logrou estimular enerxicamente asxeraci�ns posteriores. A Teor�a de Con-xuntos, que deixara estampada unhaimpresi�n indeleble nas cuesti�ns filo-s�ficas m�is fondas dos fundamentos



das Matem�ticas, impulsou que os pro-blemas m�is arrevesados das s�as prin-cipais �reas fosen repropostos e moitasveces resoltos; acus�ronse daquela osefectos do poderoso pulo innovadorxerado por ela.

Por exemplo, cuesti�ns sobre aestabilidade das soluci�ns das ecua-ci�ns diferenciais, nas que as soluci�nsrepresentan traxectorias de obxectos enmovemento, foron traducidas en pro-blemas de xeometr�a de certos conxun-tos de puntos chamados superficies, oque axudou � afianzamento dun novocampo nacente: a Topolox�a. Dun xeitoan�logo, cuesti�ns sobre a estructuracom�n das matrices, dos grupos e dosconxuntos, conduciron � amplo domi-nio hoxe co�ecido como çlxebra abs-tracta. E m�todos similares, � serenaplicados � An�lise do s�culo XIX,levaron � An�lise abstracta, na que asintegrais e derivadas do c�lculo cl�sicose aplican en espacios de dimensi�ninfinita. Estas tres disciplinas, çlxebra,An�lise e Topolox�a, representan a cul-tura com�n dun matem�tico do nosos�culo. As definici�ns, teor�as e m�to-dos destes tres campos conformanhoxe o fundamento da educaci�nmatem�tica, e ningu�n pode ser consi-derado culto en Matem�ticas se nonpode lelas e escribilas na linguaxe daçlxebra, da An�lise e da Topolox�a.Partindo destes tres campos, nados nosalbores do s�culo XX, xorde a incriblevariedade das Matem�ticas dos nososd�as.

Esta r�pida exposici�n das orixes,art�fices e principais �reas que levan �s

Matem�ticas contempor�neas, queda-r�a incompleta se non se cita a decisivainfluencia exercida, entre os anoscorenta e ata ben entrados os setenta,pola aparici�n no mundo matem�ticodunha iniciativa moi singular co�ecidabaixo o nome de Nicol�s Bourbaki.

No primeiro semestre do curso1934-35, un grupo de matem�ticosfranceses mozos, case todos antigosalumnos da Escola Normal Superior dePar�s, formado � principio por H. Cartan (1904-...), C. Chevalley (1909--1984), J. Delsarte (1903-1968), J. Dieu-donn� (1906-1992) e A. Weil (1906--1998), decidiron escribir xuntos unlibro sobre An�lise. Nun primeiro mo-mento concib�rono pensando nos es-tudiantes das universidades francesase como substituto dun libro de E. Goursat, que consideraban xa anti-cuado, polo que decidiron redactar unnovo texto que respondera axeitada-mente �s necesidades das Matem�ticasdo s�culo XX. Con este fin, comezarona reunirse unha vez � mes para discuti-ren o seu plan. Axi�a, chegaron nesasreuni�ns � conclusi�n de que non llesser�a posible limitarse s� a escribir untexto de An�lise. A çlxebra, por exem-plo, que cambiara por completo nos�ltimos anos como resultado dos im-pulsos vidos desde Alema�a, debidosprincipalmente � traballo de EmmyNoether (1882-1935) e dos seus estu-diantes, estaba xa a muda-la cara detoda a Matem�tica. Doutra banda, asdistintas ramas das Matem�ticas ti�anacadado un desenvolvemento de talmagnitude que a especializaci�n era xa


32 Luís A. Cordero

absolutamente necesaria para caset�dolos matem�ticos. S� aqueles daestatura cient�fica dun David Hilbertou dun Henri Poincar� pod�an pensaren abranguer todo o conxunto daMatem�tica. Para un matem�tico me-dio, sen embargo, era xa pouco menosque imposible ter unha perspectivacompleta da Matem�tica e co�ecert�dalas relaci�ns existentes entre ass�as diferentes ramas.

Todo isto fixo que o grupo come-zara a decatarse do enorme que ter�a deser o seu traballo, polo que decidironque tal tarefa non pod�a facela un s�individuo e que a s�a divisi�n entre os

distintos membros do grupo de acordocoa especializaci�n de cadaqu�n ser�acontraproducente para o seu obxectivofinal: expo�e-los conceptos b�sicoscom�ns a t�dalas ramas das Mate-m�ticas, en primeiro lugar, e, unica-mente unha vez feito isto, dedicarse acada unha das s�as �reas.

Desde o principio, Bourbaki nondubidou en adopta-lo m�todo axiom�-tico, polo que ten sido criticado dura-mente en moitas ocasi�ns, pero el con-sider�bao absolutamente necesariopara poder acada-lo seu obxectivo. Aidea, moi simple, que inspira o m�todoaxiom�tico � a seguinte: no canto de

Henri Cartan (esquerda) e Jean Dieudonné (dereita) son dous dos fundadores do grupo Bourbaki. Os dous cóntanseentre os máis brillantes especialistas, á marxe das súas publicacións baixo o pseudónimo do matemático pantasma.



defini-los obxectos que se van investi-gar, o que hai que facer � unha lista daspropiedades fundamentais dos obxec-tos que se van utilizar no estudio. Estaspropiedades t�manse como axiomas, ea partir de aqu� xa non � importantec�les son os obxectos que se estudian.As demostraci�ns constr�ense de talxeito que as s�as conclusi�ns poden seraplicadas tam�n a calquera outroobxecto que satisfaga eses mesmosaxiomas. � case incrible que unha ideatan sinxela, que transformou completa-mente as Matem�ticas, tardara tantotempo en ser posta en pr�ctica.

Esta decisi�n de Bourbaki de uti-liza-lo m�todo axiom�tico levouno �necesidade de adoptar un novo orde-namento das diferentes ramas das Ma-tem�ticas, xa que non era posiblemante-la divisi�n cl�sica en An�lise,C�lculo diferencial, Xeometr�a, Teor�ade N�meros, etc.; no seu lugar xurdiu anoci�n de ÔestructuraÕ, que permitiu aintroducci�n do concepto de Ôisomor-fismoÕ e, con el, unha nova clasificaci�ndas disciplinas fundamentais dentrodas Matem�ticas.

Os primeiros fasc�culos da obrade Bourbaki, que titulou Elementos deMatem�tica, apareceron no ano 1939 echegou a publicar arredor de cincuentavolumes; o emprego do singular not�tulo, Matem�tica e non Matem�ticas,plasma a idea que inspira o seu traba-llo, e que queda nidiamente expostacando sinala: ÒO tratado toma as Ma-tem�ticas na s�a orixe e d� demostra-ci�ns completasÓ.

Con partidarios entusiastas, perotam�n con detractores moi importan-tes, ningu�n, sen embargo, se atrever�a nega-la influencia da obra deBourbaki, sen a cal as Matem�ticas dos�culo XX ser�an algo totalmente dis-tinto do que son: unha ciencia robuste-cida e unificada, cimentada sobre unhafonte �nica, a Teor�a de Conxuntos, tale como Hilbert preconizara. E, se benquedan ramas das Matem�ticas quedeber�n ser axiomatizadas sobre esefundamento, e a�nda que as Mate-m�ticas seguen apuntando cara � abs-tracci�n e a xeneralizaci�n, co paso dosanos comezan a recordar que os seusintereses e est�mulos m�is importantessempre se atopan nas s�as aplicaci�ns.Morris Klein sinala: ÒPretender deste-rrar das Matem�ticas as s�as aplica-ci�ns equivaler�a a querer concentra-lavida dun animal unicamente nos seus�sos, sen dedicar atenci�n �s seus m�s-culos, nervios e v�scerasÓ.

MATEMÁTICA PURA E MATEMÁTICA APLICADA

Armand Borel, membro destaca-do do grupo Bourbaki, dixo nunha oca-si�n:

As Matem�ticas son coma un grande ice-berg; por baixo da superficie at�panse asMatem�ticas puras, f�ra da vista daxente. Por riba da auga est� a punta doiceberg, a parte visible que se deu en cha-mar Matem�tica aplicada. A maior�a daxente s� ve esa punta que emerxe sobre aauga e non se decatan de que esa porci�nque eles ven non existir�a sen a outraporci�n, moit�simo m�is grande, quepermanece agachada da s�a vista porbaixo da agua, a Matem�tica pura.


34 Luís A. Cordero

A Matem�tica aplicada pode serconsiderada como aquela actividadeou actividades nas que as Matem�ticasatopan a s�a aplicaci�n m�is al� dosseus propios intereses. Pola s�a mesmanatureza, a Matem�tica aplicada � in-terdisciplinar e a ela deber�an dedicar-se, en termos ideais, s� aqueles que nonte�en o principal interese nas Mate-m�ticas por si mesmas. Desde estepunto de vista, por exemplo, se a outramateria implicada fose a F�sica, ser�adif�cil decidir se os interesados nela sonf�sicos te�ricos ou matem�ticos aplica-dos, e mesmo se estamos a falar deF�sica te�rica ou de Matem�tica apli-cada.

� indiscutible que a relaci�n entreas Matem�ticas e moitas das outrasciencias leva experimentando un cam-bio substancial � longo das �ltimasd�cadas, cambio que en xeral foi positi-vo e deu froitos claramente percepti-bles. O desenvolvemento dos ordena-dores, cada vez m�is potentes, tenmoito que ver con este cambio, peronon � o seu �nico responsable, a�ndaque nun nivel popular semella identifi-carse a Matem�tica aplicada con aque-la que utiliza os ordenadores comoferramenta. Emporiso, este cambio nonafecta o feito de que a Matem�tica con-tin�a sendo unha ciencia esencialmen-te distinta de calquera outra.

ç Matem�tica cham�ronlle, algu-nhas veces, a Ôra��a das cienciasÕ. Paraalg�ns � algo superior, e a s�a existen-cia xustif�case de seu; nesta visi�n pl�s-mase un sentimento de autosuficienciae presunci�n, que se reafirma coa con-

sideraci�n tan estendida entre moitosmatem�ticos de que s� necesitan delesmesmos. Esta actitude mostra unhaespecie de sentimento case divino oucelestial, polo que a superioridade damente sobre a materia atopa a s�amellor expresi�n nas Matem�ticas, xaque elas son, � mesmo tempo, a m�isnobre e pura forma do pensamento.Seguramente unha das m�is apaixona-das confesi�ns, neste sentido, foi a domatem�tico ingl�s G. H. Hardy (1877--1947), quen afirmou que a mellorforma de xustifica-la pr�ctica dasMatem�ticas � a de consideralas comounha forma de arte.

Diante desta actitude extrema deHardy, que defendeu o estudio dasMatem�ticas como unha forma supe-rior do co�ecemento humano, inde-pendentemente da s�a utilidade social,at�pase a postura oposta, que entendeque s� se deben considerar e estudiaraqueles aspectos das Matem�ticas quesexan �tiles socialmente. Esta visi�natopou, probablemente, a s�a m�ximaexpresi�n na China, polo que � co�eci-da como ÔMao�smo matem�ticoÕ. Baixoo r�xime de Mao declarouse, nun certomomento, unha moratoria sobre ainvestigaci�n cient�fica en xeral queafectou tam�n as Matem�ticas. Os in-vestigadores foron obrigados a realiza--lo seu traballo de acordo co principiode que Òa investigaci�n cient�fica debeservi-la pol�tica proletaria, os traballa-dores, os campesi�os e os soldados, eestar integrada totalmente no procesoproductivoÓ. Durante ese per�odo fun-cionaron na China comit�s asesores



que informaban sobre a importancia dainvestigaci�n que se estaba a realizaren Matem�ticas, as� como sobre a s�aconformidade con ese principio pol�ti-co; � dicir, sempre baixo o criterio deque a investigaci�n que se fixese deb�aestar dirixida � resoluci�n de proble-mas pr�cticos, e que o seu ensino debe-r�a basearse en aplicaci�ns concretas.Ata se fixo presi�n sobre os investiga-dores para que abandonasen o seu tra-ballo en certas �reas in�tiles para talobxectivo, como ocorreu, por exemplo,coa Topolox�a1 .

As Matem�ticas tam�n te�en sidoconsideradas, durante longo tempo,como o Òservente da CienciaÓ; � dicir,como un operario cuantitativo que pro-porciona as ferramentas, e tam�n moi-tas veces o marco axeitado, �s outrasciencias. Esta consideraci�n non tensentido na actualidade; hoxe son xatantas as actividades nas que os mate-m�ticos colaboran co resto dos cient�fi-cos que as Matem�ticas son m�is uncompa�eiro de viaxe ca un servente.

Unha terceira forma de concibi--las Matem�ticas � consideralas como alinguaxe da que dependen as outrasciencias para cuantifica-lo que fan. R. Feynmann, premio Nobel de F�sicano ano 1965 polo seu traballo sobre aelectrodin�mica cu�ntica, dixo: ÒOUniverso semella ser indescritible nonsendo coa linguaxe das Matem�ticasÓ.Non � dif�cil ilustrar esta afirmaci�n, xa

que os exemplos � longo da historiason innumerables. Pola s�a relevancia,citarei s� tres.

Primeiro exemplo: Newton que-r�a achar un marco te�rico que lle per-mitise describi-lo movemento dosobxectos baixo a influencia da forza dagravidade, inclu�ndo nese marco asLeis de Kepler do movemento planeta-rio, e logrou o seu obxectivo � enuncia--la s�a Lei de Gravitaci�n Universal.Pero � mesmo tempo desenvolveu oc�lculo infinitesimal, un dos maioreslogros da ciencia � longo da historia.

Segundo exemplo: Einstein em-pregou moitos anos en tratar de formu-lar dun xeito preciso o feito de que agravitaci�n � unha consecuencia dacurvatura do espacio-tempo, pero nonsab�a c�mo expresalo en termos mate-m�ticos. Contan as cr�nicas que, certo d�a, dirixiuse � seu amigo M. Grossman e d�xolle: ÒGrossman, tesque me axudar ou vou tolearÓ. Esteamigo faloulle ent�n a Einstein do tra-ballo de Riemann sobre os espacios concurvatura. Neste contexto, o daXeometr�a non-euclidiana, xa se desen-volvera unha inxente cantidade deinvestigaci�n b�sica ou pura, que seatopaba en disposici�n de ser usada.Einstein, que era ante todo un f�sico ematem�tico s� por necesidade, respi-rou ent�n aliviado e continuou co seutraballo sobre a Teor�a da RelatividadeXeral.

1 En 1976, unha delegación de matemáticos americanos visitou a China, e tiveron entón a oportunidade decelebrar encontros informais con algúns matemáticos chineses. No informe que elaboraron sobre a visita recó-llense descricións das súas entrevistas que permiten constata-la terrible realidade daquela situación.


36 Luís A. Cordero

Esta conexi�n entre as Matem�-ticas e a F�sica, tan clara nestes dousexemplos, ten estado presente en t�do-los tempos, xa que a motivaci�n m�isimportante da Matem�tica foi desdesempre a F�sica, ou, se se prefire, omundo que nos rodea, motivaci�n quesegue a medrar co paso do tempo,tanto en extensi�n coma en profundi-dade. S. Weinberg, tam�n premioNobel de F�sica, fala da existencia decoincidencias ÔsorprendentesÕ ou Ôfan-tasmaisÕ. Segundo el, sempre resultasorprendente para o f�sico que imaxinaun novo concepto ou idea constatar, aposteriori, que os matem�ticos xa estive-ran antes al�. A Teor�a Abstracta deGrupos, que ningu�n dubidar�a ensituar dentro da Matem�tica pura, pro-porciona un claro exemplo desta situa-ci�n.

Terceiro exemplo: en esencia, ungrupo � simplemente unha formamatem�tica de expresa-la noci�n desimetr�a. Cando os f�sicos descobren,na primeira metade do s�culo, a exis-tencia da Teor�a de Grupos, at�pansecon que iso � precisamente o que elesnecesitan para unifica-las grandes leisda F�sica (da conservaci�n da enerx�a,do momento, do spin, da carga, etc.).Estas leis resultan ser un reflexo dasimetr�a do mundo que nos rodea, eeste sutil principio � un dos conceptosfundamentais na ciencia actual. Porexemplo, � ben sabido que, por raz�nsbastante complexas, a pregunta m�isb�sica que se pode facer sobre unhapart�cula elemental � c�l � o seu grupode simetr�as.

O PODER DAS MATEMÁTICAS

En termos xerais, �s matem�ticossempre se nos acusa de vivir nunhatorre de marfil, perdidos nun mundode abstracci�n formado por puntosinfinitamente pequenos, circunferen-cias perfectamente redondas ou li�asinfinitamente delgadas, por exemplo; �dicir, obxectos ideais que son irrelevan-tes para o mundo que nos rodea.

Pero coido que a abstracci�n non�, en absoluto, algo malo ou negativo, eque a construcci�n de modelos ideaisdo mundo � noso redor sobre unhabase matem�tica ten resultado positivaen innumerables ocasi�ns. L�mbreseque o mundo non � como semella ser.Por exemplo, Àquen poder�a imaxinar,mirando pola fiestra, que a masa seaproxima � infinito cando un se achega� velocidade da luz? Certamente,poderiamos preguntar: Àa quen lle inte-resa iso? � obvio que lles interesa �sf�sicos, e supo�o que tam�n �s mate-m�ticos, e, se a historia serve para algo,temos que admitir que tam�n lles inte-resa a moitos m�is, a�nda que a mi�doese interese xurda anos, ou mesmod�cadas ou s�culos, despois de que acorrespondente teor�a matem�tica foradesenvolvida. Por exemplo, a Xeome-tr�a de Riemann, que foi esencial para aformulaci�n da Teor�a da Relatividade,foi formulada sesenta anos antes deque Einstein a utilizara. A Teor�a deGrupos de Lie (S. Lie, 1842-1899), fun-damental na F�sica actual, desenvol-veuse polo menos trinta anos antes dese comezar a aplicar na F�sica de



Part�culas. A Teor�a de Galois, ferra-menta indispensable na Criptograf�amoderna, iniciou o seu cami�o haim�is de cento cincuenta anos.

Doutra banda, o descubrimentodo positr�n polo f�sico P. A. M. Dirac(1902-1984) amosa como, �s veces, as Matem�ticas chegan a ser Òm�isreais c� propia realidadeÓ. Dirac esta-bleceu as ecuaci�ns de movemento doelectr�n base�ndose fundamentalmen-te en consideraci�ns de simetr�a. Perosucedeu algo inesperado: as s�as ecua-ci�ns predic�an a existencia dunhacerta part�cula, id�ntica � electr�n entodo ag�s na s�a carga. Ningu�n obser-vara esta hipot�tica Ôantipart�culaÕ,pero os f�sicos experimentais confirma-ron rapidamente a s�a existencia. Estedescubrimento ten sido catalogadocomo un dos grandes triunfos daF�sica, pero te�o para min que m�is benfoi, de feito, un gran triunfo dasMatem�ticas.

Perm�tanme que describa outrosexemplos, m�is recentes no tempo, queamosan esa interrelaci�n que se produ-ce, sempre dun xeito inesperado e sor-prendente, entre as Matem�ticas e asoutras ciencias, e que levan por mediodas Matem�ticas a obter elegantessoluci�ns de problemas propostosnesoutras ciencias.

Os qu�micos xa sab�an, desdecomezos do s�culo, que cando un fluxode raios X atravesa un cristal, cada undos seus raios sofre unha difracci�n �bater cun �tomo dentro do cristal; as�, �obte-la imaxe do cristal por medio dos

raios X, o que se consegue � unhaimaxe bidimensional na que o nivel deescuridade var�a de acordo coa situa-ci�n no espacio dos distintos �tomosque forman o cristal. Isto era unhaespecie de xerogl�fico para os qu�micos,pois o que eles quer�an era poder des-cribir con precisi�n a situaci�n espacialdos �tomos dentro do cristal. O proble-ma co que topaban era o seguinte: osraios X, o mesmo ca calquera outraradiaci�n electromagn�tica, p�densever como ondas, ben determinadaspola s�a amplitude e a s�a fase; pero asimaxes bidimensionais obtidas pormedio dos raios X detectan s� as ampli-tudes das ondas e non as s�as fases, oque en definitiva fac�a aparentementeimposible a deducci�n da estructuratridimensional do cristal.

Este problema, que durante d�ca-das intrigou �s qu�micos, non foi resol-vido ata corenta anos m�is tarde, �redor de 1950, e a s�a soluci�n d�besea un matem�tico chamado H. Haup-tman, quen se decatou de que pod�a serformulado en termos puramente mate-m�ticos, e que para el exist�a xa unhasoluci�n moi elegante. Ata aquel mo-mento os cristal�grafos s� pod�anobserva-lo que poderiamos pensar como a ÔsombraÕ dun fen�meno f�sico,pero Hauptman probou que se pod�areconstru�-lo fen�meno f�sico real apartir desa ÔsombraÕ, utilizando unhamaquinaria matem�tica xa cl�sica eque se atopaba a disposici�n da comu-nidade cient�fica desde hab�a arredorde cen anos: as t�cnicas da Teor�a de


38 Luís A. Cordero

Fourier2 . Por certo, Hauptman recibiuo premio Nobel de Qu�mica en 1985.

O feito certo e indiscutible � que aaplicabilidade ou non aplicabilidadedunha determinada teor�a matem�tica� algo non predicible. P. A. Griffiths,matem�tico e director do Instituto deEstudios Avanzados de Princeton,abunda nesta afirmaci�n � dicir:ÒCanto m�is fundamental � a Mate-m�tica implicada tanto m�is amplaresulta se-la s�a aplicaci�nÓ.

Unha excelente ilustraci�n destefeito xurdiu hai s� unhas d�cadas,cando o enxe�eiro A. M. Cormackandaba � busca dun m�todo que llepermitise precisa-la localizaci�n e den-sidade dun obxecto no interior docorpo humano sen ter que recorrer �cirurx�a. Daquela os m�dicos s� dispo-��an dos raios X que, como xa dixemos,proporcionan informaci�n unicamenteen d�as dimensi�ns.

O problema que se prop�n � oseguinte: se se fai pasar un feixe deraios a trav�s dun obxecto de densida-de variable, � posible medi-la cantida-de de radiaci�n que sae polo outro ladodo obxecto e, polo tanto, c�nta materiaexiste no obxecto � longo da traxectoriade cada un dos raios do feixe. A cues-ti�n � c�mo se poden reconstru�-las dis-tintas densidades no interior do obxec-

to a partir da informaci�n as� obtida. Asoluci�n para este problema, desde opunto de vista puramente matem�tico,era xa co�ecida desde moitos anosatr�s, a partir dos traballos dun mate-m�tico chamado J. Radon (1887-1956).Usando as t�cnicas de Radon3 , Cor-mack observou que � posible determi-nar con toda precisi�n a localizaci�n emaila forma dun obxecto no interior docorpo humano a partir das imaxes doobxecto obtidas por medio dos raios Xdesde distintos �ngulos. Naceu as� o xapopular esc�ner ou TAC, � dicir, atomograf�a axial computarizada. Estemesmo principio foi estendido poste-riormente para obte-las imaxes porresonancia magn�tica, a�nda dunhamaior precisi�n. En �mbalas t�cnicas serealiza unha gran cantidade de medi-das que son esencialmente unidimen-sionais, e util�zase unha t�cnica pura-mente matem�tica para reconstru�r, apartir delas, unha imaxe tridimensio-nal. M�is recentemente, facendo usodas antipart�culas descubertas porDirac, desenvolveuse a tomograf�a poremisi�n de positr�ns, que permitemedir non s� a anatom�a, sen�n tam�no metabolismo do �rgano en cuesti�n.A. M. Cormack, enxe�eiro, foi galardo-ado co premio Nobel de Medicina noano 1979.

2 A función densidade de electróns é unha función triplemente periódica, non negativa e con soporte moipequeno, e é posible determina-los valores absolutos dos seus coeficientes de Fourier a partir de medidas expe-rimentais. A partir disto, Hauptman foi quen de deduci-las fases das ondas a partir das intensidades na placa deraios X.

3 Existen moitas outras aplicacións da técnica de Radon, posiblemente non tan coñecidas nin de tanta reper-cusión popular. Por exemplo, a técnica de Radon utilízase en Oceanografía para determina-la temperatura dosocéanos, o que non é algo intranscendente, xa que esa temperatura ten unha enorme influencia sobre o clima.



Posiblemente unha das raz�nspolas que as Matem�ticas chegaron aser de tanta utilidade � que lograronromper coas s�as barreiras internas.T��ase en conta que Henri Poincar�(1854-1912) foi, probablemente, o

�ltimo matem�tico do que se poder�adicir que ti�a un co�ecemento globaldas Matem�ticas. O inmenso desenvol-vemento acadado � longo do s�culo XXfai imposible que ningu�n pos�a hoxetal co�ecemento.

� un feito indiscutible que aSegunda Guerra Mundial pode consi-derarse como unha fronteira no avanceda maior�a das ciencias, e podemosfalar dun antes e un despois dela, polomenos no tocante �s Matem�ticas.Lamentablemente, a guerra foi desdesempre unha das motivaci�ns m�isimportantes para o desenvolvementode aplicaci�ns en t�dolos �mbitos daciencia, e as Matem�ticas non sonalleas a esta influencia.

Nos Estados Unidos, durante aSegunda Guerra Mundial, os matem�-ticos con m�is talento foron recrutadospara traballar nos centros de investiga-ci�n do Goberno, nas industrias deguerra, etc. Unha lista non exhaustivadas actividades nas que eses matem�ti-cos estiveron directamente implicadosincl�e, por exemplo, a aerodin�mica, ahidrodin�mica, a bal�stica, o desenvol-vemento do radar e do sonar, a fabrica-ci�n da bomba at�mica, a criptograf�a ea intelixencia militar, a fotograf�a a�rea,a meteorolox�a, a investigaci�n ope-rativa, o perfeccionamento dos ordena-dores, a econometr�a, os foguetes, aprogresi�n de teor�as de control, etc.Foron innumerables os investigadoresde sona involucrados nestas e noutrasmoitas actividades, igual que moitosdos seus disc�pulos.

Imaxe do cerebro por resonancia magnética R.N.M. Osestudios de Cormack deron pé ó nacemento do TAC eposteriores modificacións.


40 Luís A. Cordero

A explosi�n da bomba at�micasobre o Xap�n e a posterior invenci�nde novas bombas m�is potentes, fixoque os f�sicos at�micos, que viv�an nass�as torres de marfil acad�micas, expe-rimentaran un fondo sentimento deculpabilidade, tam�n estendido � co-munidade matem�tica. As Matem�-ticas, que se consideraban a si mesmascomo unha doutrina arredada, allea �sinfluencias e condicionamentos impos-tos �s outras ciencias polas realidadesdo mundo e libres da s�a contamina-ci�n, mostr�ronse de s�peto como algoque tam�n posu�a a capacidade de pro-ducir un enorme dano. Alg�ns mate-m�ticos comezaron ent�n a distinguirno seu traballo unha parte boa, aMatem�tica pura, e unha parte mala, aMatem�tica aplicada de calquera tipoque fose. De feito, alg�ns matem�ticos,e con eles toda unha xeraci�n de disc�-pulos, abandonaron para sempre oestudio das aplicaci�ns. Por exemplo,N. Wiener (1894-1964), que estiverainvolucrado na evoluci�n de teor�as decontrol, renunciou a todo apoio doGoberno � seu traballo e dedicou oresto da s�a vida a un Òtraballo boÓ, enBiof�sica, e � activismo a prol dos derei-tos humanos.

Despois da Segunda GuerraMundial chegou a Guerra Fr�a e o ini-cio da carreira espacial. De novo,milleiros de matem�ticos foron empre-gados nas actividades das industriasaeroespaciais, tanto nos Estados Uni-dos como na Uni�n Sovi�tica; e algo

semellante est� pasando no momentoactual co perfeccionamento te�rico eindustrial dos ordenadores.

A implicaci�n das Matem�ticasnas actividades que, directa ou indirec-tamente, gardan algunha relaci�n coaguerra ten acadado tal grao de impor-tancia que xa se te�en escoitado vocesafirmando que, da mesma forma que aPrimeira Guerra Mundial foi a guerrados qu�micos, e a Segunda Guerra foi ados f�sicos, a Terceira Guerra, que con-fiemos nunca se chegue a producir,ser� a guerra dos matem�ticos. Quizaiseste ser�a un bo momento para lem-brarlles �s cient�ficos en xeral, e �smatem�ticos en particular, a adverten-cia que os alquimistas fac�an �s seusdisc�pulos: ÒApartade os poderososdos vosos laboratorios, pois abusan dosagrado misterio para po�elo � serviciodo seu poder ego�staÓ.

En definitiva, por unha ou outraraz�n, o feito certo � que as Mate-m�ticas ve�en caracteriz�ndose nestes�ltimos tempos por unha tendencia �especializaci�n en subcampos cada vezm�is pequenos. Unha primeira conse-cuencia disto � que alg�ns destes sub-campos est�n sendo explorados moi afondo. Unha segunda consecuencia �que os matem�ticos temos un enormeproblema de comunicaci�n entre n�smesmos. � innegable a persistenciadesta fragmentaci�n en pequenos sub-campos4 , pero os seus efectos negati-vos quedan paliados polo feito de que

4 O “Mathematics Subject Classification 2000”, publicado por Math. Reviews e Zentralblatt für Math., abran-gue 63 áreas, 557 subáreas e 5031 sub-subáreas.



moitos problemas especialmente inte-resantes poden estudiarse agora desdeunha perspectiva moito m�is xeral.

OUTRAS APLICACIÓNS DAS MATEMÁTICAS

Do que levo dito ata agora, o meulector poder�a deducir que a relaci�ndas Matem�ticas con outras ciencias s�se produce, ou polo menos fundamen-talmente, coa F�sica. Tal conclusi�n,quizais v�lida antano, non ser�a correc-ta hoxe en d�a. As Matem�ticas est�n afacer numerosas contribuci�ns a moi-tas outras disciplinas, � tempo queesoutras disciplinas propo�en tam�nnovos retos �s Matem�ticas, con distin-tos tipos de problemas que levan anovas aplicaci�ns, e as� sucesivamente.

Un exemplo ilustrativo disto pro-porci�nanolo o estudio da din�micados flu�dos. O aparello matem�ticodeste campo xira, fundamentalmente,� redor das chamadas ecuaci�ns deNavier-Stokes. Actualmente estasecuaci�ns estanse utilizando para estu-diar unha incrible cantidade de fen�-menos, como por exemplo a aerodin�-mica, a formaci�n e comportamentodos furac�ns, o fluxo sangu�neo nocoraz�n, os fluxos a trav�s de membra-nas porosas, a mestura do combustiblenun carburador, a formaci�n de cristaisl�quidos, o comportamento do plasmanun reactor de fusi�n, o movementodas galaxias, as correntes, as nubes, osventos, etc. Esta lista, a�nda que incom-pleta, pode dar unha idea de por qu�

tanta xente se interesa nestas ecua-ci�ns.

En particular, o estudio das turbu-lencias e do caos esperta un intereseespecial hoxe en d�a, tanto desde opunto de vista te�rico como desde o pr�ctico. O estudio do comportamen-to ca�tico, � dicir, desas situaci�ns nasque pequenos cambios producen gran-des efectos, � probablemente un dosaspectos das Matem�ticas implicadasque atrae unha maior atenci�n popular(l�mbrese o terrible efecto que unhaspoucas mol�culas de clorofluorocarbo-nados producen no ozono da nosaatmosfera).

Algunhas outras �reas das Mate-m�ticas, a�nda que non moitas, certa-mente, te�en sido tam�n utilizadas nopasado nas chamadas Ciencias daVida, como ocorre por exemplo coaEstat�stica, se ben esa utilizaci�n se pro-duc�a nun nivel non fundamental. Estasituaci�n est� cambiando. Gracias �snovas t�cnicas creadas en temposrecentes e � aparici�n dos ordenadores,a Matem�tica pode xa traballar coacomplexidade dos organismos biol�xi-cos e contrib�e dun xeito importante �seu mellor co�ecemento. A capacidadedas Matem�ticas para distinguir mode-los e organizar informaci�n comeza apenetrar sistemas tan b�sicos como,por exemplo, as redes de neuronas. Odesenvolvemento do esc�ner, xuntocos estudios sobre a din�mica dos flu�-dos, permitiu, por exemplo, a elabora-ci�n de modelos por ordenador do ril,do o�do e do p�ncreas e os do coraz�n


42 Luís A. Cordero

permitiron xa melloras no dese�o dasv�lvulas artificiais.

Hoxe, bi�logos e matem�ticos tra-ballan xuntos no estudio dos mecanis-mos de duplicaci�n do ADN. A deno-minada Teor�a de N�s, que moi poucosmatem�ticos dubidar�an en cualificarcomo pura, xunto coa Teor�a deProbabilidades e a Combinatoria, axu-dan a que os bi�logos comprendanmellor a complexidade da mec�nica tri-dimensional nas cadeas do ADN.

ÀE que dicir da Econom�a? Asaplicaci�ns das Matem�ticas na Eco-nom�a son tam�n innumerables. O mo-delo do economista americano K.Arrow, premio Nobel de Econom�a,permite predici-lo comportamento dosmercados libres; o �xito deste modelofoi tal que se est� producindo unhamatematizaci�n do conxunto das cien-cias econ�micas.

Na industria, a modelizaci�n porordenador est� a revolucionar tododun xeito tal que aquelas industriasque non se adapten � cambio corren orisco de quedar desfasadas. As mello-ras, tanto no hardware como na modeli-zaci�n matem�tica ou nos algoritmosimplicados no software, fan avanzar

estas aplicaci�ns dunha forma extre-madamente r�pida. Un bo exemplodesta situaci�n proporci�nao o dese�odos microchips, que se realiza por m�-todos matem�ticos utilizando a deno-minada Matem�tica discreta5 . Outra�rea b�sica da Matem�tica, a Teor�a deCorpos Finitos, atopou numerosas eimportantes aplicaci�ns na teor�a deordenadores e nas comunicaci�ns6 .

¿MATEMÁTICA PURA OU MATEMÁTICA APLICADA?

Hoxe en d�a estamos xa afeitos afalar de que hai que elixir entre investi-gaci�n ÔpuraÕ ou investigaci�n Ôaplica-daÕ, dos Plans I+D, etc., e coido que taldisxuntiva � puramente artificial, polomenos en Matem�ticas. De feito, unhagran parte do que se adoita chamarMatem�tica pura ten a s�a orixe eninvestigaci�n moi pr�ctica, e reciproca-mente. Nada impide que alg�n d�a,nun futuro qu�n sabe se moi pr�ximoou a�nda moi distante, o traballo reali-zado nun contexto esencialmenteÔpuroÕ, e por xentes visceralmente tanpuras como o foi Hardy, retorne nuncontexto de importante investigaci�npr�ctica. E xa que a historia debe de

5 Unha tarefa estándar para comprobar placas con circuítos integrados consiste en mover un instrumento ólongo de centos ou milleiros de puntos no circuíto e realizar algunha tarefa ou proba en cada un deles. Cómolevar a cabo tal test no mínimo tempo posible é un caso particular do denominado “problema do vendedor”, édicir, determina-lo camiño para visitar tódolos vértices dun grafo de forma que tal camiño sexa de lonxitude míni-ma.

6 Por exemplo, un reto para as compañías telefónicas consiste en construír sistemas que sexan ó mesmotempo eficientes e robustos; é dicir, que utilicen o menor número posible de liñas para conduci-las chamadas,pero que asemade as dean reconducido con rapidez e eficacia cando o sistema sofre unha sobrecarga.Matematicamente isto pode ser calculado mediante un grafo do que os vértices serían as centrais telefónicasimplicadas e as arestas representan as liñas telefónicas entre as distintas centrais.



servirnos sempre como gu�a, non resul-ta aventurado pensar que as aplica-ci�ns m�is importantes a�nda est�n porchegar, e farano moi probablemente en�reas que non poderiamos nin imaxi-nar neste momento.

Penso que a forma m�s apropiadade describi-la relaci�n entre a Ma-tem�tica pura e a Matem�tica aplicada� consideralas como simbi�ticas; nin-gunha das d�as poder�a sobrevivir sena outra. A Matem�tica aplicada necesi-ta da pura para exerce-las s�as fun-ci�ns e acada-los seus obxectivos, epara que a Matem�tica pura non resul-te est�ril, sen sentido e morta, necesitada revitalizaci�n e o contacto coa reali-dade que s� a Matem�tica aplicada llepode proporcionar.

Paul R. Halmos, matem�tico puroÔmilitanteÕ, � reflexionar sobre �mbalasMatem�ticas, escribe:

Comprende-lo mundo e, quizais, cam-bialo, � a motivaci�n do matem�ticoaplicado. Unha vez fixado un problema,as t�cnicas para resolvelo son elixidas exulgadas en funci�n da s�a efectividade;e a satisfacci�n at�pase de acordo cograo de coincidencia da soluci�n obtidacoa realidade e a s�a utilidade para rea-lizar predicci�ns. Pola contra, a motiva-ci�n dun matem�tico puro �, con fre-cuencia, simplemente a curiosidade. Aelecci�n da t�cnica para resolver un pro-blema est� dictada, polo menos en parte,pola s�a harmon�a co contexto que orodea, e a satisfacci�n � maior na medidaen que a soluci�n atopada amose cone-xi�ns insospeitadas entre ideas ou conceptos que parec�an moi distantesentre si.

Moitos matem�ticos puros consi-deran a s�a actividade como unha arte.

Os matem�ticos aplicados parecen con-sidera-lo seu tema, �s veces, comounha simple sistematizaci�n de m�to-dos. Moitos matem�ticos puros crenque a Matem�tica aplicada non � outracousa que unha bolsa chea de trucos,sen m�is m�rito que o feito de que esestrucos funcionan. Para moitos matem�-ticos aplicados a maior parte daMatem�tica pura merece ser descritacomo unha abstracci�n sen m�is senti-do que o seu amor por si mesma e, polotanto, sen m�rito ning�n.

Este clima de tensi�n entreMatem�tica pura e Matem�tica aplica-da non � novo, nin tampouco � algopolo que debamos lamentarnos. Defeito, esta tensi�n � unha fonte inesgo-table de novas matem�ticas; primeiro ateor�a acada a pr�ctica e logo a pr�cticaconduce a unha nova teor�a. Esta situa-ci�n � algo tan vello coma a propiaMatem�tica.

BIBLIOGRAFÍA

Cartan, H., ÒNicolas Bourbaki andContemporary MathematicsÓ, TheMath. Intelligencer vol. 2 (4) 1980,175-180.

Casacuberta, C., e M. Castellet (eds.),Mathematica Research Today and To-morrow, Lecture Notes in Math.1525, Berl�n, Springer-Verlag,1992.

Halmos, P. R., Selecta. Expository Writ-ing, Berl�n, Springer-Verlag, 1983.


44 Luís A. Cordero

Kline, M., Mathematics in the WesternCulture, Oxford, Oxford Univ.Press, 1971.

____Matem�ticas. La p�rdida de la certi-dumbre, Madrid, Siglo XXI deEspa�a Eds., 1985.

Steen L. A. (ed.), Mathematics Today.Twelve Informal Essays, Berl�n,Springer-Verlag, 1978.

____Mathematics Tomorrow, Berl�n,Springer-Verlag, 1981.


AS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX fileAS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX Lu™s A. Cordero*...

Documents

Transcript of AS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX fileAS CIENCIAS MATEMÁTICAS NO SÉCULO XX Lu™s A. Cordero*...