Apuntes+Wolfgang

Universidad Catolica de Chile

Facultad de Matematica

Calculo 1

Apuntes

Claudio Rivera

Mat 1610

Santiago - 8 de junio de 2011

Indice general

1. Lmite de Sucesiones 5

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Convergencia de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Propiedades de los Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Lmite y Continuidad 21

2.1. Lmite Puntual de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Asntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Teorema del Valor Intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. La Derivada 37

3.1. Interpretacion de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Continuidad y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Reglas de Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Derivada Logartmica e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5. Derivada de Orden Superior e Implcita . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6. Teorema del Valor Medio & Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Aplicaciones de la Derivada 57

4.1. Crecimiento y Decrecimiento de Funciones . . . . . . . . . . . . . 57

3

4 INDICE GENERAL

4.2. Mnimos & Maximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3. Regla de L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. Aproximacion de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Integral de Riemann 715.1. Suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3. Propiedades de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4. Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6. Funciones Logaritmo y Exponencial 896.1. Funcion Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3. Crecimiento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4. Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7. Tecnicas de Integracion 977.1. Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2. Integral Indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3. Formulas Basicas de Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.4. Integracion por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.5. Integracion por Substitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.6. Formulas de Reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.7. Integracion de Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Captulo1Lmite de Sucesiones

1.1. Introduccion

La palabra calculo proviene del latn calculus, que signica contar conpiedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comien-za la historia del calculo, o de las matematicas.

Las matematicas son una de las ciencias mas antiguas, y mas utiles.El concepto de matematicas, se comenzo a formar, desde que el hombrevio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevo a la creacion desistemas de numeracion que inicialmente se componan con la utilizacion delos dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosala implementacion de sistemas mas avanzados y que pudieran resolver lamayora de los problemas que se presentaban con continuidad.

A continuacion presentaremos dos problemas de la antiguedad que moti-varon la creacion de de una matematica mas elaborada que pudiera abordartemas que hasta entonces no tenan un clara solucion.

Problema. Consideremos el problema de determinar el area bajo la curvade una parabola por ecuacion f(x) = x2 con 0 x 1. Si nos remontamosa la antigua Grecia nuestro maestro seguramente nos preguntara: \>Cual esla gura geometrica mas sencilla con la cual intentaras aproximar el area deesa region?". Posiblemente nuestra respuesta sera un triangulo, pero comomuestra la gura de a continuacion tambien es posible hacerlo medianterectangulos, cuyo techo esta acotado por la graca de la parabola y de

5

6 CAPITULO 1. LIMITE DE SUCESIONES

ancho constante 1=n.

As, el area de la sucesion de rectangulos esta dada por

Area =1

n1

n

2+

1

n

2

n

2+

1

n3

n

2+ + 1

nn 1n

2=

12 + 22 + 32 + + (n 1)2n3

=(n 1)n(2n 1)

6n3

Evidentemente, en la medida que n crece la sucesion de rectangulos aproximapor debajo el area encerrada por la curva en el intervalo [0; 1]. De este modo,nos interesa determinar el area de la sucesion de rectangulos cuando n vahacia innito. Un calculo sencillo prueba que el lmite buscado es 1=3.

Lo anteriormente expuesto debera dejarnos una sensacion de insatisfac-cion, ya que el area encontrada depende de la sucesion de guras geometri-cas que aproximan interiormente el area acotada por la parabola. Mas aun,>sera posible obtener un valor diferente a 1=3 si aproximamos por otrasguras geometricas?, >Si hubieramos aproximado exteriormente el area, ob-tendramos el mismo resultado? As se abre un universo lleno de preguntasque, a lo largo de estos 2000 a~nos, se le han buscado un sin n de respuestas.

Problema. Aquiles fue el mas temible de los prncipes aqueos que asedi-aron Troya: el mezquino enfrentamiento que mantuvo con Agamenon, jefedel ejercito griego, y a causa del cual se automargino de la lucha constituyeel tema central de La Ilada, y le garantizo un lugar de honor en la historia dela literatura. Pero, aunque parezca mentira, Aquiles tambien jugo un papel

1.1. INTRODUCCI ON 7

muy destacado en la historia de las matematicas, nada menos que como com-petidor de una tortuga. Y es as: en el siglo V a.c., el losofo griego Zenonde Elea planteo una serie de paradojas sobre el movimiento: una echa,deca Zenon, para llegar al blanco tiene que pasar por todos los puntos desu trayectoria. Como estos son innitos, y la echa forzosamente tiene queestar en cada uno de ellos, tardara un tiempo innito en llegar al blanco.Otra: para recorrer el camino hasta una pared, una persona debe primerorecorrer la mitad del camino, pero antes de recorrer la mitad, debe recorrerla cuarta parte, y antes la octava, y antes la dieciseisava. Como esa regresiones innita, el fulano en cuestion no llega nunca hasta la pared. Pero la masfamosa de todas las paradojas de Zenon es, sin duda alguna, la de Aquilesy la tortuga. Supongamos, deca Zenon, que Aquiles, que corre cinco vecesmas rapidamente que una tortuga, juega con ella una carrera dandole unaventaja de cinco kilometros. Cuando Aquiles recorra esos cinco kilometros, latortuga habra avanzado un kilometro. Cuando Aquiles cubra ese kilometroque lo separa ahora de su contrincante, Esta habra caminado a su vez unquinto de kilometro, es decir, doscientos metros. Pero cuando Aquiles tratede alcanzarla corriendo esos doscientos metros, la tortuga habra recorridocuarenta metros. Y una vez que Aquiles salve esos cuarenta metros, con laesperanza de alcanzarla, la tortuga habra avanzado ocho metros, y todavale llevara ventaja. Una ventaja que disminuye sin cesar, pero que siempreesta, porque cada vez que Aquiles recorre la distancia que lo separa de latortuga, esta, en ese lapso de tiempo, se habra movido algo, por poco quesea, y en consecuencia, lleva siempre la delantera. Conclusion: Aquiles nuncala alcanza. El planteo de Zenon era muy agudo y el asunto de Aquiles y latortuga fue un dolor de cabeza para la matematica y la losofa griegas. Da-do que es muy facil constatar que, no solo Aquiles, sino cualquiera alcanzaefectivamente a una tortuga, el razonamiento de Zenon tena que esconderuna equivocacion. Pero >cual? La respuesta tarda la friolera de veintiun sig-los en llegar. Y la verdad es que para la matematica griega los problemas deZenon eran irresolubles porque involucraban sumas innitas. Efectivamente,los recorridos sucesivos de Aquiles son: cinco kilometros, un kilometro, do-scientos metros, cuarenta metros, ocho metros, etc... y los correspondientesde la tortuga son un kilometro, doscientos metros, cuarenta metros, ochometros, un metro 2 sesenta centmetros, etc. Para calcular el recorrido totalde uno y de otra, habra que sumar todos esos tramos sucesivos. Pero comoson innitos, la suma, aparentemente no puede hacerse. Hubo que esperarhasta el siglo diecisiete, cuando el matematico escoces James Gregory (1638-1675) estudio por primera vez y de manera sistematica la herramienta nece-saria para terminar con el dilema de Zenon: las series convergentes, sumas


que a pesar de tener un numero innito de terminos, dan como resultado unnumero nito. Por ejemplo, la suma 1=2+1=4+1=8+1=16+1=32+1=64+:::,puede hacerse, y da exactamente 1. Los recorridos parciales de Aquiles y dela tortuga en el problema de Zenon constituyen, precisamente, series con-vergentes. Si sumaramos los innitos tramos (los de Aquiles: 5 kilometros +1 kilometro + 200 metros + 40 metros + 8 metros...) y los correspondientesde la tortuga (1 kilometro + 200 metros + 40 metros + 8 metros + 1,60metros +...) obtendramos, para Aquiles 6,25 kilometros, y para la pobretortuga 1,25 kilometros. Como Aquiles le haba dado 5 kilometros de ven-taja, al recorrer uno 6,25 y la otra 1,25 kilometros, coinciden en el mismopunto. Gracias a las series convergentes, la famosa paradoja de Zenon quedaaclarada y Aquiles alcanza a la tortuga de una buena vez. Lo cual era justo,despues de perseguirla durante mas de dos mil a~nos.

1.2. Axioma del Supremo

La palabra axioma en su raz signica \verdad". Un axioma es unaproposicion tan clara y evidente que no requiere demostracion. En el for-malismo matematico la palabra axioma adquiere un caracter de principiofundamental e indemostrable sobre el cual se construye una teora. As elAxioma de supremo sera uno de los pilares fundamentales sobre el cual seconstruira la matematica moderna. A continuacion introduciremos algunosconceptos que nos permitiran vislumbrar con mayor claridad dicho axioma.

Denicion 1. Sea A un subconjunto de los numeros reales. Si existe unnumero real b tal que x b para todo x 2 A, diremos que b es cota superiorde A y que A esta acotado superiormente. Si b es cota superior de A conb 2 A, diremos que b es elemento maximo de A. En tal caso denotaremos

b = maxA

Un conjunto carente de cota superior se denomina no acotado superior-mente. Las deniciones de los terminos cota inferior, acotado inferiormentey elemento mnimo, pueden formularse analogamente a la denicion anteri-or. Si A tiene elemento mnimo, este sera denotado mnA.

Ejemplo. El conjunto A = (0;1) es un conjunto no acotado superiormente.No posee ni cotas superiores ni elemento maximo. Esta acotado inferiormentepor 0, pero no posee elemento mnimo.

Ejemplo. El intervalo cerrado A = [0; 1] esta acotado superiormente por 1e inferiormente por 0. De hecho el maximo de A es 1 y el mnimo de A es 0.

1.2. AXIOMA DEL SUPREMO 9

Ejemplo. El intervalo semiabierto A = [0; 1) esta acotado superiormentepor 1 pero carece de elemento maximo. Su elemento mnimo es 0.

Denicion 2. Sea A un subconjunto de los numeros reales. Diremos que bes supremo de A si se satisfacen las siguientes condiciones:

(i) b es cota superior de A.

(ii) Ningun numero menor que b es cota superior de A.

En tal caso denotaremos

b = supA

Ejemplo. El conjunto (1; 1) tiene a s = 1 como su supremo. Para de-mostrar dicha armacion notemos que

(0; 1) = fx 2 R : 0 < x < 1g

luego s = 1 es cota superior. Si s1 < s es otra cota superior de (1; 1)entonces existe 0 < " < 2 tal que s1 = 1 ". De este modo,

1 < s1 < s1 + " = 1

concluyendo as que s1 2 (1; 1) y por tanto no es cota superior. As seobtiene que s = 1 es el supremo de (1; 1).

Ejercicio. Demuestre que [2; 3] tiene por nmo a i = 2.

Ejercicio. Sea A un conjunto que tiene elemento maximo. Demuestre quesupA existe y

supA = maxA:

Analogamente se puede denir el nmo de un conjunto. Si A posee nmo,este sera denotado nf A.

Ahora estamos en condiciones de enunciar el Axioma del Supremo.

Axioma del Supremo. Todo conjunto no vaco A de los numeros reales queeste acotado superiormente admite un supremo; es decir, existe un numeroreal b tal que b = supA.

Como consecuencia del axioma anterior se obtiene que todo conjuntoacotado inferiormente admite un nmo.


1.3. Convergencia de Sucesiones

Denicion 3. Sea fang una sucesion de numeros reales y l 2 R. Diremosque an converge a l si y solo si para todo " > 0 existe N 2 N tal que

jan lj < " si n > N:

En este caso denotaremos,

l = lmn!1 an

Una de las primeras consecuencias en la denicion anterior es que todasucesion monotona y acotada es convergente. Para demostrar esta armacionconsideremos, sin perdida de generalidad, una sucesion creciente y acotadafang y el conjunto

A = fan : n 2 NgPor el axioma del supremo sabemos que existe s 2 R tal que s es supremode A. Luego fang converge a s, ya que en caso contrario existira " > 0 talque an =2 (s "; s + ") para todo n 2 N, y en consecuencia ~s = s "=2sera cota superior de A menor que s. Esto nos llevara a una contradiccional suponer que fang no converge a s, lo que concluye la demostracion denuestra armacion.

Ejemplo. Consideremos la sucesion

an =nX

k=0

1

k!

Es claro que an es creciente y que 2k1 k! para todo k 2. Luego,

an 1 + 1 +n1Xk=1

2k = 1 +1 2n1 21 3

Por lo tanto fang converge a un numero que denotaremos por e, conocidocomo la constante de Euler, que es el supremo del conjunto generado porlos an.

Ejemplo. Consideremos la sucesion fang denida recursivamente

a1 = 1; an+1 =

r9 + a2n

2

1.3. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 11

Para demostrar que an+1 an es necesario y suciente que a2n+1 a2n yaque an > 0 para todo n. Luego,

a2n+1 a2n ()9 + a2n

2 a2n () an 3

Pero, mediante el proceso de induccion, es posible demostrar que an 3para todo valor n 2 N. De este modo an es una sucesion creciente y acotada.Por lo tanto, la sucesion an converge a un lmite que denotaremos por ahoracon la letra l. En la proxima seccion estaremos en posicion de calcular estelmite de forma explcita, luego de probar algunas propiedades de los lmites.

Uno de los problemas mas grande en convergencia de sucesiones es probarpor denicion dicha convergencia. En los siguientes ejemplos expondremosalgunos problemas simples de calculo de lmites por denicion, que podranayudarnos a solucionar futuros ejercicios.

Ejemplo. Sea an =4n+ 1

2n+ 3una sucesion y l = 2 el posible lmite. Sea " > 0

luego debemos determinar N 2 N tal que

jan lj < " si n > N

Deseamos determinar N 2 N tal que

jan lj = 52n+ 3

< "

cada vez que n > N . De este modo, es necesario resolver la inecuacion5

2n+3 < " para " > 0 dado y n 2 N. Es claro que

5 3"2"

< n

luego, para N =53"2"

se satisface la denicion de convergencia.

Ejemplo. Sea an =

n+ 2

2n+ 1

2y l = 1=4. Siguiendo los pasos del ejemplo

anterior tenemos que

jan lj = 12n 154(2n+ 1)2

3n(2n+ 1)2 34n < "que es cierto siempre y cuando n > N =

34"

.


Ejemplo. Sea an =

pn2 + 1

n+ 1y l = 1. Siguiendo los pasos del ejemplo

anterior tenemos que

jan lj = 2n(n+ 1)(

pn2 + 1 +

pn2 + 2n+ 1)

2n(n+ 1)2

2(n+ 1)

< "

que es cierto siempre y cuando n > N =2""

.

Ejemplo. Consideremos la sucesion an = np, siendo p > 0. En este caso

podemos notar que los terminos de la sucesion se hacen peque~nos en lamedida que n crece. Probaremos a partir de la denicion anterior que lasucesion converge a cero. Para ello es necesario darnos cualquier " > 0 ydemostrar que existe un natural N (que podra depender del " elegido) talque janj < " para todo n N .

Supongamos en un primer momento que p > 1, luego se satisface quen < np para todo natural n. Luego, dado " > 0 existe un natural N tal que

janj < 1n 0 y denamos R = 1

"1p,

luego la siguiente desigualdad

janj < " = 1Rp

es cierta cada vez que n > R. Luego elegimos N = [R], donde [R] denota elmayor entero menor que R.

Denicion 4. Sea an una sucesion de numeros reales. Diremos que bk = ankes una subsucesion de an si nk k.Ejemplo. Si an es una sucesion luego nk = 2k induce la subsucesion bk =a2k de los terminos pares.

Teorema 5. Sea an una sucesion convergente a l, luego toda subsucesionbk = ank converge a l.

Demostracion. Si an converge a l luego para todo " > 0 existe N 2 N talque jan lj < " cuando n > N . Dado que nk k tendremos que

jank lj < " cuando k > Ny por tanto ank converge a l.

1.4. PROPIEDADES DE LOS LIMITES 13

Ejemplo. La sucesion an = 2n no converge ya que si existiera l 2 R tal

que an converge a l tendramos que jan lj < " para todo n sucientementegrande. Por propiedades de los numeros reales sabemos que existe k 2 N talque k l < k + 1, luego jan lj 1 para n sucientemente grande.Denicion 6. Diremos que una sucesion an diverge si para todo R > 0existe N 2 N tal que janj > R cuando n > N . En tal caso denotaremos

lmn!1 janj =1

Ejemplo. Es claro que la sucesion an = 2n diverge ya que

j2nj > R () n log(2) > log(R) () n > log(R)log(2)

log(R)

log(2)

= N

Ejercicio. Determine para que valores de r 2 R la sucesion an = rn con-verge.

Proposicion 7. Si an 6= 0 es una sucesion divergente entonces bn = a1nconverge a cero.

1.4. Propiedades de los Lmites

Teorema 8.

lmn!1 an = a si y solo si lmn!1 jan aj = 0

Teorema 9. Sea an una sucesion convergente, luego el conjunto A = fan :n 2 Ng es acotado. En particular existe una constante M > 0 tal que janj M para todo n 2 N.

Ejemplo. La sucesion an =n+ 1

2n+ 3converge a l = 1=2 cuando n va a

innito. Y podemos ver que

janj n+ 32n+ 3

2n+ 32n+ 3

= 1

concluyendo as que an esta acotada.

Ejemplo. La sucesion an = (1)n es acotada y no convergente.Teorema 10. Sean an y bn sucesiones de numeros reales convergentes.Luego,


(a) lmn!1(an + bn) = lmn!1 an + lmn!1 bn

(b) lmn!1(an) = lmn!1 an

(c) lmn!1(anbn) = lmn!1 an lmn!1 bn

(d) lmn!1

anbn

=lmn!1 anlmn!1 bn

Ejemplo. Recordemos el ejemplo de la sucesion fang denida recursiva-mente

a1 = 1; an+1 =

r9 + a2n

2

Sabiamos que an converga a un lmite l. Luego usando las propiedades delos lmites obtenemos

l2 = lmn!1 a

2n+1 = lmn!1

9 + a2n2

=9 + l2

2

concluyendo as que l puede ser 3. Dado que an es siempre un numero nonegativo, se deduce que l = 3.

Ejercicio. Usando las propiedades de los lmites calcule:

(a) lmn!1

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

n3.

(b) lmn!1

2n+1 + 3n+1

2n + 3n.

(c) lmn!1 an para an =

12 + 22 + 32 + + n2n3

.

(d) lmn!1 an si a1 = 2 y an+1 =

1

2

an +

1

an

.

Denicion 11. Sea ak una sucesion de numeros reales y

sn =

nXk=0

ak

la suma parcial de los terminos ak. Denimos la serie de terminos ak como

1Xk=0

ak = lmn!1

nXk=0

ak

siempre y cuando el lmite exista.

1.4. PROPIEDADES DE LOS LIMITES 15

En la denicion anterior hemos de notar que el smbolo asociado a laserie de terminos ak es solo un dibujo que representa el lmite de sn cuandon va al innito. En caso que sn converge a un numero real s diremos que laserie converge y si el lmite es innito diremos que la serie diverge.

Ejemplo. Sea r 6= 1 un numero real y denamos ak = rk. Luego, la sumaparcial de los terminos ak esta dada por

sn =nX

k=0

rk =1 rn+11 r

Luego,

lmn!1 sn =

8>>>:1

1 r si jrj < 1

1 si jrj > 1Los casos r 2 f1; 1g se analizaran en el proximo curso cuando se analicela convergencia de series.

Ejemplo. A continuacion analizaremos la convergencia de la serie

1Xk=1

1

k(k + 1).

Mediante sumas paciales y fracciones parciales tenemos

nXk=1

1

k(k + 1)=

nXk=1

1

k 1k + 1

= 1 1

n+ 1

que converge a 1 cuando n va al innito. Por lo tanto la serie converge.

Ejercicio. Considere la suma parcial sn =nX

k=1

1

k. Demuestre que s2n 1+n

2

y concluya que la serie de terminos ak =1

kno converge.

Ejercicio. Determine que la serie

1Xk=2

1

(k 1)!(k + 1)

converge y calcule su lmite.


1.5. Teorema del Sandwich

Teorema 12. Sean fang, fbng y fcng sucesiones de numeros reales talesque

an bn cnpara todo natural n, y

lmn!1 an = l = lmn!1 cn

Entonces el lmite de la sucesion bn existe y es igual a l.

En los siguientes ejercicios se vera la importancia de los teoremas reciendemostrados.

Ejercicio. Probar el lmite

lmn!1n

1=n = 1

Ejercicio. Sea 0 < A

1.6. NUMERO E 17

(j) bn =nX

k=1

7

k2 1

(k) cn =

nXk=1

k

(k + 1)!

Ejercicio. Demuestre

lmn!1

1

n2+

1

(n+ 1)2+

1

(2n)2

= 0

1.6. Numero e

Una de las primeras preguntas que debieramos hacernos es si la constantede Euler e es un numero racional. Recordemos que

e =

1Xk=0

1

k!

en el sentido que la suma parcial asociada a la sucesion ak = 1=k! converge.Si e = mn con m;n 2 Z, n 6= 0, entonces

n!(e sn) =1X

k=n+1

n!

k!

siendo sn la suma parcial de los terminos 1=k! hasta el termino n. Peron!(e sn) es un numero natural evidentemente positivo. Por otro lado,

1Xk=n+1

n!

k!

1Xk=1

1

(n+ 1)k=

1

n< 1

que es una contradiccion ya que habamos visto que la anterior suma re-sultaba ser un numero positivo. De este modo, resulta imposible que e seaun numero racional.

Notemos que para todo natural n se satisface1 +

1

n

n=

nXk=0

n

k

nk =

nXk=0

n!

(n k)!nk 1

k!

nXk=0

1

k!

FALTA PENDIENTE


1.7. Ejercicios

1.- Demuestre que (0; 1) posee supremo a s = 1.

2.- Demuestre que [0; 1] tiene elemento mnimo a i = 0.

3.- Determine si el conjunto

A :=

2n 1n+ 1

: n 2 N

es acotado superior e inferiormente. Determine supremo e nmo encaso de existir y demuestre que efectivamento lo son. Finalmente ver-ique si son mnimo y maximo del conjunto.

4.- Sea an =n 1n

, justique que [an] converge y determine su lmite.

5.- Sea A = f(1)n=n jn 2 N f0gg. Demuestre que A posee mnimo ymaximo.

6.- Demuestre los siguientes lmites por denicion

a) lmn!1

2n 13n+ 1

=2

3

7.- Calcule los siguientes lmites

a) lmn!1

p1 + n2 pn

n

b) lmn!1

1

7n

2 +

1

n

2nc) lm

n!1

n+ 2

n+ 1

n8.- Si an es una sucesion divergente, demuestre que bn = (an)

1 convergea cero.

9.- Sea an sucesion de numeros positivos tales que

lmn!1

an+1an

= < 1

Demuestre que an converge a cero.

1.7. EJERCICIOS 19

10.- Sabiendo que s =1Xk=1

1

k3

a) Determine en terminos de s el valor de

1Xk=1

1

(2k 1)3

b) Demuestre que1

2< s 0 existe > 0 tal que

jf(x) lj < " cuando 0 < jx bj <

Al igual que en el caso de sucesiones esto signica intuitivamente quecuando la variable x se acerca a x0 a lo largo del dominio de f , el valor dela funcion f(x) se acerca a l.

Ejemplo. Consideremos la funcionf : [0; 1] ! R dada por f(x) = x2.Calculemos lmx!1 f(x) por denicion. Intuitivamente el posible valor de ellmite es 1. Sea " > 0 luego

jf(x) 1j = jx2 1j = jx 1jjx+ 1j 2jx 1j

21

22 CAPITULO 2. LIMITE Y CONTINUIDAD

para todo x 2 [0; 1]. De este modo si elegimos = "=2 se tienejx2 1j < " cuando 0 < jx 1j <

Hacemos notar que el valor, y la existencia, del lmite no dependen delvalor de la funcion en el punto x0 sino del valor de f en los puntos deldominio cercanos a x0. La funcion f ni siquiera necesita estar denida en x0para denir lmx!x0 f(x).

Ejemplo. Considere la funcion f(x) =x2 1x 1 , luego el lmite cuando x! 1

es 2. Para ello notemos que

f(x) =(x 1)(x+ 1)

x 1 = x+ 1

Luego para todo " > 0 se tiene que

jf(x) 1j = jxjeligiendo as = ".

El siguiente ejemplo muestra que es posible la no existencia de un lmitede funciones.

Ejemplo. Consideremos la funcion

f(x) =x2 4jx 2j

Luego para todo x < 2 se tiene que jx 2j = (x 2). As, es facil ver que

f(x) = x2 4x 2 = (x+ 2)

cuyo lmite es 4 cuando x tiene a 2 por la izquierda.Ahora supongamos que x > 2 luego jx 2j = x 2 y se tiene que

f(x) =x2 4x 2 = x+ 2

con lmite 4 cuando x tiende a 2 por la derecha.

Con el ejemplo anterior podemos notar que es posible tener funciones quepueden tomar diferentes valores cuando la variable se acerca lateralmentea un punto dado. Los lmites anteriormente calculados son denominadoslmites laterales.

2.1. LIMITE PUNTUAL DE FUNCIONES 23

Denicion 3. Diremos que l es lmite por la derecha de f(x) cuandox tiende a b, y denotaremos l = lmx!b+ f(x), si y solo si para todo " > 0existe > 0 tal que

jf(x) lj < " cuando b < x < b+ Diremos que l es lmite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a b, ydenotaremos l = lmx!b f(x), si y solo si para todo " > 0 existe > 0 talque

jf(x) lj < " cuando b < x < bTeorema 4. Sea f una funcion y b un punto lmite en el dominio de f .Luego,

lmx!b

f(x) = l si y solo si lmx!b

f(x) = lmx!b+

f(x)

Demostracion. Por denicion del lmite de funciones

lmx!b

f(x) = l () Para todo " > 0 existe > 0 tal quejf(x) lj < " cuando 0 < jx x0j <

() Para todo " > 0 existe > 0 tal quejf(x) lj < " cuando x0 < x < x0; yx0 < x < x0 +

() lmx!b

f(x) = l y lmx!b+

f(x) = l

Ejemplo. Consideremos la funcion

f(x) =

8>>>:jxjx

si x 6= 0

0 si x = 0

Luego para todo x > 0 se tiene que f(x) = 1 mientras que para todo x < 0se cumple que f(x) = 1. Por lo tanto,

lmx!0

f(x) = 1 y lmx!0+

f(x) = 1

concluyendo gracias al teorema anterior que el lmite no existe cuando xtiende a cero de la funcion f .


Ejercicio. Sea f la funcion denida por tramos

f =

8>>>>>>>>>>>:

x2 + 2 si x < 1x2 si 1 x < 017 si x = 0

x2 si 0 < x 1x2 7 si x > 1

Graque la funcion f y demuestre que

lmx!0

f(x) = 0

Teorema 5 (Enlace). Sea f : A! R y a punto lmite de A, luego

lmx!a f(x) = l si y solo si lmn!1 f(xn)! l para toda xn ! x

Demostracion. Sea l = limx!x0f(x) y xn ! x0. Probemos que la suce-sion yn = f(xn) converge a f(x), para ello sea > 0 entonces existe > 0tal que

jf(x) lj < " cuando jx x0j < Para el = (") existe N 2 N tal que jxn x0j < cuando n > N ,concluyendo as

jf(xn) lj < " cuando n > Ny por lo tanto yn = f(xn) converge a l.

Recprocamente supondremos que f(x) no converge a l cuando x ! x0entonces existe sucesion xn (acotada) tal que

jf(xn) lj > " cuando jxn x0j < 1n

concluyendo que f(xn) no converge a l.

Propiedades. Sean f; g funciones tales que f(x) y g(x) convergen cuandox! a.(a) lm

x!af(x) = lmx!a f(x).

(b) lmx!a(f(x) + g(x)) = lmx!a f(x) + lmx!a g(x).

(c) lmx!a(fg)(x) = lmx!a f(x) lmx!a g(x)

2.1. LIMITE PUNTUAL DE FUNCIONES 25

(d) lmx!a

f

g

(x) =

lmx!a f(x)lmx!a g(x)

siempre y cuando g(x) y su lmite sean

diferente de cero.

Teorema 6. Sean f(x) g(x) h(x) para todo x 2 (aR; a+R) y algunR > 0. Si

lmx!a f(x) = l = lmx!ah(x)

luegolmx!a g(x) = l

Denicion 7. Diremos que una funcion f es acotada en su dominio si existeuna constante M > 0 tal que

jf(x)j Mpara todo x 2 Domf .Teorema 8. Sea f funcion continua en y0 y g funcion tal que

lmx!x0

g(x) = y0

Entonces,lmx!x0

f(g(x)) = lmy!y0

f(y) = f(y0)

Ejercicio. Demuestre que si f(x) = x entonces para todo a 2 R se tieneque

lmx!a f(x) = a

Luego concluya quelmx!a

px =

pa

Ejemplo. Para demostrar que

lmx!0

sin(x) = 0

consideremos la siguiente gura


luego la longitud del arco BC, sea este jxj, es mayor que la longitud delsegmento AB, es decir

j sin(x)j jxjconcluyendo as lmx!0 sin(x) = 0.

Ejercicio. Calcule los lmites

lmx!0

cos(x); lmx!0

tan(x)

Ejemplo. Consideremos la funcion f(x) = sin(x). Recordemos que f(x)tiende a 0 cuando x tiene a cero, luego para todo numero real a se satisface

sin(x) = sin(x a+ a) = sin(x a) cos(a) + sin(a) cos(x a)

que tiende a sin(a) cuando x tiende a a usando la linealidad del lmite y elteorema del sandwich.

Ejemplo. Sea f(x) =sin(x)

xque esta denida para todo x 6= 0. No es difcil

probar que f es continua fuera del origen. Analicemos la continuidad parax = 0. Recordemos que para todo jxj peque~noo se tiene que j sin(x)j jxj,luego sin(x)x

1Por otro lado, consideremos la siguiente gura:

se tiene que el area del triangulo OBC es mayor que el area de la seccioncircular OBD. De este modo se tiene la siguiente relacion

x

2 j tan(x)j

2=) j cos(x)j

sin(x)x

2.2. ASINTOTAS 27

Luego por el Teorema de Sandwich se tiene

1 = lmx!0

cos(x) lmx!0

sin(x)

x lm

x!01 = 1

De este modo, si denimos f(0) = 1 se tiene que

lmx!0

f(x) = f(0)

y tendramos que f es continua.

2.2. Asntotas

Denicion 9. Sea f una funcion y b un numero real. Denotaremos

lmx!b

f(x) =1

si y solo si para todo R > 0 existe > 0 tal que

f(x) > R cuando b < x < bEjemplo. Sea f(x) = x=(x+1) y x = 1. Luego para todo x < 1 se tieneque

x

x+ 1> R () 1 = R

R 1 < x < 1Eligiendo as = 1=(R 1).Denicion 10. Sea f una funcion y b un numero real. Denotaremos

lmx!b

f(x) = 1


f(x) < R cuando b < x < bEn tal caso diremos que f diverge en x = b

Ejemplo. Sea f(x) = x=(x 1) y x = 1. Luego para todo 0 < x < 1 setiene que

x

x 1 < R () 1 =R

R+ 1< x < 1

Eligiendo as = 1=(R+ 1).


Denicion 11. Sea f una funcion y b un numero real. Denotaremos

lmx!b+

f(x) =1


f(x) > R cuando b < x < b+

Ejemplo. Sea f(x) = x=(x 1) y x = 1. Luego para todo x > 1 se tieneque

x

x 1 > R () 1 < x 0 existe > 0 tal que

f(x) < R cuando b < x < b+

Ejemplo. Sea f(x) = x=(x+ 1) y x = 1. Luego para todo 1 < x < 0 setiene que

x

x+ 1< R () 1 < x < R

R+ 1< 1 +

Eligiendo as = 1=(R+ 1).

Denicion 13. Diremos que f(x) tiene asntota vertical en x = b siocurre alguno de los siguientes casos:

lmx!b

f(x) =1 o lmx!b

f(x) = 1

Ejercicio. Determine las asntotas verticales de la funcion

f(x) =x2 + x 2x2 + 4x+ 3

Ejercicio. Determine las astotas verticales de la funcion

f(x) =x2 + 2x 3x2 1

2.3. CONTINUIDAD 29

Denicion 14. Sea f una funcion, diremos que l es el lmite de f(x)cuando x tiende a 1 (resp. 1), y denotaremos lmx!1 f(x) = l (resp.lmx!1 f(x) = l), si para todo " > 0 existe N > 0 tal que

jf(x) lj < " cuando x > N (resp. x < N)En este caso diremos que f tiene asntota horizontal en y = l.

Ejercicio. Determine las asntotas horizontales y verticales de la funcion

f(x) =

8>>>>>:x+ 1

x 1 si x > 0

1 x1 + x

si x 0

y esboce su graco.

2.3. Continuidad

La idea de continuidad de funciones esta asociada a la idea intuitivade no levantar el lapiz mientras se traza el graco de dicha funcion. Estoentrega inmediatamente la idea de la no existencia de saltos en la funcion.

Denicion 15. Sea f : (a; b)! R una funcion. Diremos que f es continuaen un punto x0 2 (a; b) si para todo " > 0 existe un > 0 tal que

jf(x) f(x0)j < " cuando jx x0j < y denotaremos

lmx!x0

f(x) = f(x0)

Eventualmente el en la denicion anterior podra depender del " y x0elegidos. La idea que trata de plasmar la denicion anterior tiene relacioncon la idea de cercana, es decir si x esta cerca de x0 (distancia menor que > 0) entonces f(x) debe estar cerca de f(x0) (distancia menor que " > 0).Uno de los teorema de la seccion anterior nos deca que

lmx!a f(x) = l si y solo si lmx!a

f(x) = lmx!a+

f(x)

que se puede aplicar al concepto de continuidad cambiando l por f(x0). Deeste modo la continuidad de una funcion en un punto depende de sus lmiteslaterales.


Ejemplo. Consideremos la funcion f(x) = x, luego

jf(x) f(y)j = jx yj < " =

que nos entrega una relacion para > 0 en funcion de ". De este modo f escontinua para todo x real.

Ejercicio. Demuestre que f(x) = x2 es continua para todo x 2 [1; 1].Ejemplo. Si f(x) = sin(x) es claro que para todo numero real a se tiene

sin(x) = sin(x a+ a) = sin(x a) cos(a) + sin(a) cos(x a)

que luego de hacer tender x! a se deduce que

lmx!a sin(x) = sin(a)

teniendo as la continuidad de la funcion seno.

El siguiente teorema resulta de vital importancia en la teora de con-tinuidad de funciones.

Teorema 16 (Enlace). lmx!y f(x) = f(y) si y solo si para toda sucesionyn ! y se tiene que f(yn)! f(y).

El teorema anterior se explica con mayor claridad cuando uno intentaprobar que una funcion no es continua.

Ejemplo. Sea f(x) = (x21)jx1j1, luego si f fuera continua en x = 1 setendra que para toda sucesion xn que converge a 1 el lmite de f(xn) existecuando n!1. Denamos xn = 1+ 1=n e yn = 1 1=n dos sucesiones queconvergen a 1 cuando n!1. Luego,

f(xn) = xn + 1 y f(yn) = (yn + 1)

cuyos lmites cuando n!1 son respectivamente 2 y 2. Luego f no puedeser continua en x = 1.

Finalmente enunciaremos un teorema que permite determinar con mayorfacilidad la continuidad de funciones.

Teorema 17. Sean f y g funciones continuas en x0. Luego

(i) lmx!x0

(f(x) + g(x)) = f(x0) + g(x0).

2.3. CONTINUIDAD 31

(ii) lmx!x0

f(x) = f(x0).

(iii) lmx!x0

(f(x)g(x)) = f(x0)g(x0)

(iv) Si g(x0) 6= 0 entonces lmx!x0

f(x)=g(x) = f(x0)=g(x0).

Ejercicio. Pruebe que la funcion f(x) = xn es continua para todo n 2 N.Ejercicio. Determine si la funcion

f(x) =

8>:1 cos4(x)

x2si x 6= 0

1

2si x = 0

es continua.

Teorema 18. Sean f , g funciones tal que f es continua en a y g es continuaen b = f(x), luego

lmx!a g(f(x)) = g(f(a))

Demostracion. Sea xn ! a cuando n ! 1, luego por la continuidad def se tiene que yn = f(xn)! f(a) cuando n!1. De este modo,

lmn!1 g(f(xn)) = lmn!1 g(yn) = g(f(a))

consecuencia de la continuidad de g.

Denicion 19. Sea f una funcion con dominio Dom f . Diremos que Fes una extension de f si Dom f Dom F y F (x) = f(x) para todox 2 Dom f .Ejemplo. La funcion f(x) =

sin(x)

xno esta denida en x = 0. Por lo visto

en la seccion anterior sabemos que f(x) tiene por lmite 1 cuando x tiendea 0. De estemos modo podemos denir una nueva funcion

F (x) =

8


2.4. Teorema del Valor Intermedio

Una propiedad importante que tienen las funciones continuas es que sif(a) < y < f(b) entonces existe c 2 (a; b) tal que f(c) = y. Este valor dec podra no ser unico. A continuacion probaremos esta armacion medianteel siguiente resultado como el teorema del valor intermedio.

Teorema 20. Sea f una funcion continua tal que f(a) < 0 y f(b) > 0, cona < b. Luego existe c 2 (a; b) tal que f(c) = 0.Demostracion. Supongamos que f(x) 6= 0 para todo x 2 (a; b) y quef(a) < 0. Luego si para todo " > 0 se tiene existe x 2 (a; b) tal que jf(x)j < ",entonces se puede construir una sucesion xn creciente en (a; b) que convergea un x 2 (a; b) tal que f(x) = 0. Si no, luego existe un " > 0 tal quejf(x)j > " para todo x 2 (a; b). Por la continuidad de f se concluye que obien f(x) < " o bien f(x) > " para todo x 2 (a; b) lo que contradice elhecho que f pueda tomar tanto valores positivos como negativos.

Ejemplo. El polinomio p(x) = x3 + x + 1 es un claro ejemplo de funcioncontinua tal que p(1) = 1 y p(0) = 1, luego existe c 2 (1; 0) tal quep(c) = 0.

Corolario 21. Sea f funcion continua tal que f(a) < f(b) con a < b.Entonces para todo f(a) < y < f(b) existe x 2 (a; b) tal que y = f(x).Demostracion. Basta considerar F (x) = y f(x) y aplicar el Teoremadel Valor Intermedio.

2.5. EJERCICIOS 33

2.5. Ejercicios


a) lmx!0

x2 + x4

x7 + x

b) lmx!0

x3 3xx2 + 1

c) lmx!3

x+ 3

x3 2x2 3xd) lm

x!2x2 4

x2 4x+ 4e) lm

x!0cos2(x) 1

sin(x)

f ) lmx!0

sin(7x)

x

g) lmx!0

cos(x) 1x2

h) lmx!0

sin(3x)

x.

i) lmx!1

sin(x2 1)x 1 .

j ) lmx!0

sin(x5 + 2x2)

x3 + x2.

k) lmx!0

tan(7x)x

.

l) lmx!3

sin(x 3)x3 2x2 3x .

m) lmx!3

xm 1xn 1 , n;m 2 N.

n) lmx!3

p4x+ 1 2

3x.

~n) lmx!0

1 cos(x)x2

.

2.- Analice la continuidad de la funcion denida mediante el siguientelmite

f(x) = lmn!1

1

1 + xn; x 2 R

3.- Sea q 2 N f0g y a > 0, demuestrelmx!ax

1=q = a1=q

4.- Demuestre para todo x 2 Q que

lmn!1

1 +

x

n

n= ex

5.- Analice los puntos de discontinuidad de la funcion f(x) = [x2].

6.- Sea f una funcion continua en [0; 1]. Suponga que f(x) 2 Q para todox 2 [0; 1] y f(0; 5) = 0; 5. Demuestre que f(x) = 0; 5 para todo x 2 R.

7.- Sea f(x) una funcion continua de R en R que satisface

f(x+ y) = f(x) + f(y)


a) Calcule f(0) y f(n) con n 2 N, f(k) con k 2 Z, f(r) con r 2 Q.b) Si f es continua, calcule f(x) donde x es un numero irracional.

c) Demuestre que f(x) = cx donde c es una constante.

8.- Determine los valores de p tales que

f(x) =sin(1 cos(sin2(x)))

xp

no se puede extender como una funcion continua sobre todos los reales.

9.- Dada la funcion

f(x)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

sin((a+ b)(x+ 1))

(a b)(x+ 1) si x < 1

x2 1x2 + 1

si 1 x 0

cos(bx) 1x2

si x > 0

Determine las constantes a y b para que f(x) sea continua en todo R.

10.- Sea

f(x) = lmh!0

jx+ hj jxjh

a) Determine el dominio de f .

b) Trace el graco de f .

c) >Es f continua o puede extenderse continuamente a todo R?

11.- Sea

f(x) =x2 1jx 1j ; x 6= 1

>Existe F : R ! R continua tal que F (x) = f(x) para todo x 2Dom f? Justique su respuesta.

12.- Extienda continuamente f(x) = x sin(1=x) a todo R. Justique.

2.5. EJERCICIOS 35

13.- Dadas las funciones f(x) =sin(x)

xy g(x) = x2, demuestre que el

conjuntofx 2 R j f(x) = g(x) g

es no acotado.

14.- Sea f : [a; b] ! R continua. Demuestre que existe M > 0 tal quejf(x)j < M para todo x 2 [a; b]. >Es cierto el resultado anterior si envez de considerar [a; b] consideramos (a; b)?

15.- Sea f : [0; 1] ! R continua tal que f(0) > 0 y f(1) < 1. Demuestreque existe x0 2 (0; 1) tal que f(x0) = x0.

16.- Sea f : [0; 1] ! R continua tal que f(x) 2 Q para todo x 2 [0; 1]. Sif(1=2) = 1=2 demuestre que f es constante.

Captulo3La Derivada

El concepto de deriva o funcion derivable tiene sus orgenes formales enel calculo Newtoniano. Es Newton (y en paralelo Liebniz) quien da formarigurosa a una nueva teora dentro del lmite de funciones \El calculo difer-encial". El calculo diferencial fue de mucha ayuda, en sus comienzos, parala modelacion de fenomenos fsicos y posteriormente en modelos economi-cos. Esta nueva teora fue de vital importancia en los periodos de expansiondel conocimiento as como la \revolucion industrial" y la formacion de losgrandes procesos ingenieriles que hasta nuestros das siguen avanzando.

3.1. Interpretacion de la Derivada

Veamos una peque~na motivacion fsica que podra dar inicio a este calculodiferencial.

Consideremos a una persona que parte de una posicion x = 0 en elinstante t = 0. Denamos x(t) como la posicion de esta persona en el instantet y supongamos que x(n) = n para todo natural n. De este modo podemosdecir que la velocidad de este individuo es v(n) = (x(n)x(n1))=(n(n1)) = 1 en el instante de tiempo t = n. En la fsica Newtoniana la velocidadde un movil esta dada por la diferencia de posicion por instante de tiempo,es decir

v(t2) =x(t2) x(t1)

t2 t1siendo v(t2) la velocidad en el instante t2 y x(ti) la posicion del movil en elinstante ti.

37

38 CAPITULO 3. LA DERIVADA

Podemos observar que el ejemplo anterior muestra el caso de un movil delcual se sabe su posicion (y por tanto su velocidad) en instantes de tiemposdiscretos y de salto 1. En la practica uno se enfrenta a moviles que se muevende manera continua, esto genera el siguiente pregunta, cual es la velocidadde un movil en cada instante de tiempo.

Sea x(t) la posicion de un movil en el instante t y sea h > 0. Luego lavelocidad del movil en el instante t, que denotamos v(t), esta dada aproxi-madamente por

v(t) x(t+ h) x(t)h

(= v(t+ h) en el caso discreto)

como en el caso discreto. De este modo, en la mecanica Newtoniana se diceque la velocidad de un movil en el instante t esta dada por

v(t) = lmh!0

x(t+ h) x(t)h

en el caso que este lmite exista.

Ejemplo. Sea x(t) = gt2=2+x0 la posicion de una persona en el instantet. Se sabe que esta persona esta callendo libremente desde un edicio dealtura x0. Es claro que x(0) = x0 es decir en el instante t = 0 la personase encuentra en la parte mas alta del edicio. Luego la velocidad de estapersona en el instante t esta dada por

v(t) = lmh!0

x(t+ h) x(t)h

= gt

De este modo si estamos interesados en determinar con que velocidadllega al suelo debemos determinar el tiempo t0 tal que x(t0) = 0, es decirt0 =

px0=g. De este modo la velocidad de impacto con el suelo es

v(t0) = pgx0

3.1. INTERPRETACI ON DE LA DERIVADA 39

Ahora consideremos una funcion f con dominio en los reales. Sea x unpunto jo en el dominio de f y h > 0, luego la pendiente del segmento queune los puntos (x; f(x)) y (x+ h; f(x+ h)) esta dada por

mx;h =f(x+ h) f(x)

h

Sea l la recta que es tangente a la curva descrita por f en el punto (x; f(x)).Es de notar que la pendiente mx;h tiene a ser la pendiente de la recta lcuando h tiende a cero. De este modo, si la recta l tiene pendiente m sededuce que

m = lmh!0

f(x+ h) f(x)h

Este ultimo ejemplo nos da una interpretacion geometrica de un cierto lmitecomo la pendiente de la recta tangente en un punto a la curva descrita poruna funcion de variable real.

Ejemplo. Consideremos la funcion f(x) = x2+x+1, y buscamos determinarla o las rectas tangente a la curva determinada por f que pasan por el origen.Tales rectas tienen ecuacion

l : y y0 = m(x x0)siendo m la pendiente determinada por la derivada de f y (x0; y0) el puntode tangencia de l con la parabola. De este modo la pendiente m esta dadapor

m = 2x0 + 1

concluyendo as que

l : y y0 = (2x0 + 1)(x x0)


Dado que deseamos que esta recta pase por el punto (0; 0), entonces setendra que (x0; y0) satisfacen las siguientes ecuaciones

y0 = x0(2x0 + 1)y0 = x

20 + x0 + 1

obteniendo as que x0 = 1 e y0 = 3; 1.Denicion 1. Sea f : (a; b) ! R y sea x0 2 (a; b). Diremos que f tienederivada en el punto x0 si

f 0(x0) := lmh!0

f(x0 + h) f(x0)h

existe.

En la literatura se utilizan las siguientes notaciones para la derivada deuna funcion f :

f 0(x);d

dxf(x)

Hemos de hacer notar que la derivada de una funcion es una propiedadpuntual, es decir es posible que una funcion sea derivable en un subconjuntode su dominio e incluso sea diferenciable en ningun punto.

Ejemplo. Sea f(x) = jxj, luego

lmh!0

f(0 + h) f(0)h

= 1 6= 1 = lmh!0+

f(0 + h) f(0)h

por tanto f(x) no admite derivada en x = 0. Mientras que f 0(x) = sign(x)1.Proposicion 2. Pruebe que la funcion f(x) = log(x) es continua para todox en su dominio.

Demostracion. Una desigualdad conocida para la constante de Euler eesta dada por 1 + y ey. Dado que la funcion logaritmo es creciente sededuce que log(1 + y) y. Luego para todo h > 0 se satisface

j log(x+ h) log(x)j = log(1 + h=x) h=x! 0 cuando h! 0Por otro lado

j log(x h) log(x)j = log(x h+ h) log(x h) log(1 + h=(x h)) h

x h ! 0 cuando h! 0

3.1. INTERPRETACI ON DE LA DERIVADA 41

de este modolmh!0

log(x+ h) = log(x)

Corolario 3. La funcion f(x) = loga(x) es continua para todo a > 0, a 6= 1.Demostracion. Basta considerar

loga(x) =log(x)

log(a)

Ejercicio. Demuestrelmh!0

ah = 1

para todo a > 0.

Solucion. Dada la continuidad de la funcion logaritmo

0 = lmh!0

h log(a) = lmh!0

log(ah) = log( lmh!0

ah)

luego por la inyectividad de f(x) = log(x) se concluye que

lmh!0

ah = 1

Ejercicio. Calcule el siguiente lmite

lmh!0

log(h+ 1)

h

Solucion. Gracias a la continuidad de la funcion logaritmo se obtiene que

lmh!0

log(h+ 1)

h= lm

h!0log

h(h+ 1)1=h

i= log

lmh!0

(1 + h)1=h= log(e) = 1

Ejercicio. Calcule para todo a > 0 el siguiente lmite

lmh!0

ah 1h


Solucion. Recordemos que h log(a) = log(ah), luego

log(a) =log(ah)

h=

log(ah)

ah 1 ah 1h

pero

lmh!0

log(ah)

ah 1 = lmy!0log(y + 1)

y= 1

Ejercicio. Demuestre que

d

dxax = ax log(a)

Solucion. A partir del ejercicio anterior tendremos que

d

dxax = lm

h!0axah 1h

= ax log(a)


d

dxlog(x) =

1

x

para todo x > 0.

Solucion. Notemos que

d

dxlog(x) = lm

h!0log(x+ h) log(x)

h= lm

h!0log

"1 +

h

x

1=h#= log(e1=x) =

1

x

3.2. Continuidad y Diferenciabilidad

Una de las propiedades topologica (geometricas) mas importantes de lasfunciones diferenciables es su continuidad. El siguiente teorema nos entre-gara una demostracion sencillas de esta armacion.

Teorema 4. Sea f una funcion que admite deriva en x0, luego f es continuaen x0.

3.2. CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD 43

Demostracion. De la denicion de continuidad

lmh!0

(f(x0 + h) f(x0)) = lmh!0

f(x0 + h) f(x0)

h

h = f 0(x0) lm

h!0h = 0

Una consecuencia inmediata de este teorema es que la funcion f(x) = ax,para a > 0, es continua para todo x 2 R. A continuacion calculemos lasderivadas de xn, para n natural, y las funciones trigonometricas seno ycoseno en todo su dominio, concluyendo tambien que son continuas.

Ejercicio. Calcule la derivada de la funcion f(x) = xn para todo n 2 N.Solucion. A partir del teorema del binomio tendremos

lmh!0

(x+ h)n xnh

=

nXk=1

n

k

xnk lm

h!0hk1 =

n

1

xn1 = nxn1

Ejercicio. Calcule la deriva de las funciones trigonometricas seno y coseno.

Solucion. Ocupando las propiedades trigonometricas de la suma y restade angulos

sin(x+ h) sin(x)h

= sin(x)cos(h) 1

h+ cos(x)

sin(h)

h

pero

lmh!0

1 cos(h)h

= lmh!0

1 cos2(h)h

(1 + cos(h)) = 0por lo tanto, la derivada de la funcion seno es la funcion coseno.Analogamente se puede demostrar que (cos(x))0 = sin(x). Ejercicio. Calcule la derivada de la funcion exponencial.

Solucion. Por denicion

d

dxex = ex lm

h!0eh 1h

= ex log(e) = ex

Ejercicio. Calcule la derivada de la funcion tangente.


Solucion. Calculemos esta derivada usando la dencion

d

dxtan(x) = lm

h!0tan(x+ h) tan(x)

h

= lmh!0

cos(x+ h) sin(x+ h) cos(x) sin(h)h

lmh!0

1

cos(x) cos(x+ h)

= sec2(x)

Ejercicio. Calcule por denicion las derivadas de las funciones trigonometri-cas sec(x), cot(x) y csc(x).

3.3. Reglas de derivacion

Teorema 5. Sean f y g funciones diferenciables en x. Luego

(a) Para todo real d

dx(f(x)) = f 0(x)

(b)d

dx(f(x) + g(x)) = f 0(x) + g0(x)

(c) Si h(x) = f(x) g(x), entoncesd

dx(f(x) g(x)) = f 0(x) g(x) + f(x) g0(x)

(d) Si g(x0) 6= 0, luego

d

dx(f(x)=g(x)) =

f 0(x) g(x) f(x) g0(x)g(x)2

Demostracion. Sean f y g funciones diferenciables en x.

(a) Para todo 2 R se satisface

d

dx(f(x)) = lm

h!0f(x+ h) f(x)

h=

d

dxf(x)

3.3. REGLAS DE DERIVACI ON 45

(b) Dado que f y g admiten derivada en x entonces

d

dx(f(x)+g(x)) = lm

h!0f(x+ h) f(x) + g(x+ h) g(x)

h= f 0(x)+g0(x)

(c) Dado que f y g admiten derivada en x entonces de la seccion anteriorpodemos armar que ademas son continuas en dicho punto, luego

d

dx(f(x)g(x)) = lm

h!0f(x+ h)g(x+ h) f(x+ h)g(x)

h

+ lmh!0

f(x+ h)g(x) f(x)g(x)h

=f(x)g0(x) + f 0(x)g(x)

(d) Ocupando la propiedad recien probada podemos concluir que

0 =d

dx

g(x)

g(x)

=

g0(x)g(x)

+ g(x)d

dx

1

g(x)

que permite concluir la ultima parte del teorema aplicando (c) a f(x)(g(x))1.

Ejercicio. Calcule la derivada de la funcion trigonometrica tangente.

Solucion. Dado que la funcion tangente es el cuociente entre el seno y elcoseno se tiene

d

dxtan(x) =

cos(x) cos(x) ( sin(x)) sin(x)cos2(x)

= sec2(x)

Ejercicio. Calcule la derivada de la funcion f(x) = 2x3 cos(x) + sin2(x)

Ejercicio. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la funcion

f(x) =

(xn sin(1=x) si x 6= 00 si x = 0

; n 2 N

Teorema 6 (Regla de la cadena). Sean f y g funciones tal que g es derivableen x = a y f es derivable en b = g(a). Entonces

(f g)0(a) = f 0(g(a))g0(a)


Demostracion. Por denicion de la derivada y consecuencia de la con-tinuidad de g en x = a tendremos

(f g)0(a) = lmh!0

f(g(a+ h)) f(g(a))h

= lmh!0

f(g(a+ h)) f(g(a))g(a+ h) g(a) lmh!0

g(a+ h) g(a)h

= lmh!0

f(g(a+ h)) f(b)g(a+ h) b lmh!0

g(a+ h) g(a)h

= lmy!0

f(b+ y) f(b)y

lmh!0

g(a+ h) bh

= f 0(b)g0(a)


f(x) = log

1 + x

1 x; g(x) = f

a+ x

1 + ax

tienen la misma derivada.

3.4. Derivada Logartmica e Inversa

Teorema 7. Sea f : (a; b) ! (c; d) continua en x0 2 (a; b). Si g : (c; d) !(a; b) es la inversa de f entonces g es continua en y0 = f(x0).

Demostracion. Dada la continuidad de f en x0 tendremos que

lmy!y0

g(y) = lmx!x0

g(f(x)) = x0 = g(y0)

El teorema anterior nos permite asegurar que las funciones arctan(x),arcsin(x), arc cos(x), exp(x), etc son continuas. El siguiente teorema parafunciones diferenciables sera consecuencia de este resultado.

Teorema 8. Sea f : (a; b) ! (c; d) diferenciable en x0 2 (a; b). Si g :(c; d)! (a; b) es la inversa de f entonces g es diferenciable en y0 = f(x0).

3.4. DERIVADA LOGARITMICA E INVERSA 47

Demostracion. Dado que la funcion f es diferenciable en x0 entonces porel teorema anterior g sera continua en y0 = f(x0). De este modo,

1 = lmh!0

(f g)(y0 + h) (f g)(y0)h

= lmh!0

(f g)(y0 + h) (f g)(y0)g(y0 + h) g(y0) lmh!0

g(y0 + h) g(y0)h

= lmx!x0

f(x) f(x0)x x0 lmh!0

g(y0 + h) g(y0)h

= f 0(g(y0)) g0(y0)

que asegura la existencia de la derivada de g en y0 siempre y cuando f0(x0) 6=

0. Equivalentemente usando la regla de la cadena

1 = (f g)0(y0) = f 0(g(y0)) g0(y0)

Ejercicio. Calcule la derivada de la funcion arcsin(x), arc cos(x), arctan(x)

Ejercicio. Pruebe las siguientes igualdades para las derivadas

d

dxarccot(x) = 1

1 + x2;

d

dxarcsec(x) =

1

x2r1 +

1

x2

;d

dxarccsc(x) = 1

x2r1 +

1

x2

Posiblemente una de las herramientas mas utiles para el calculo dederivadas es mediante la derivacion logartmica. Esto consiste en derivarproducto y cuociente de funciones relativamente complejas luego de aplicarla funcion logaritmo. Para ello solo es necesario que la funcion sea derivabley utilizar la regla de la cadena. Es decir,

d

dxlog(f(x)) =

f 0(x)f(x)

Ejercicio. Derivar aplicando derivacion logartmica

(a) f(x) = f(x) = xxx

(b) g(x) = xsin2(x)

(c) h(x) =(3x 2)(2x 3) cos(x)

(5x+ 7) log(x)


3.5. Orden Superior e Implcita

Sea f una funcion derivable. Si el siguiente lmite existe

lmh!0

f 0(x+ h) f 0(x)h

diremos que f admite derivada de orden 2, que sera denotada f 00 o bienf (2). Inductivamente denimos la derivada de orden n de la funcion f , enel caso que exista, por la relacion

f (n)(x) =d

dxf (n1)(x)

Otra notacion comunmente utilizada en derivadas de orden n es la siguiente

dn

dxnf(x)

obteniendo as la relacion de recurrencia

dn

dxnf(x) =

d

dx

dn1

dxn1f(x)

El siguiente resultado fue presentado por el matematico Leibniz, con-temporaneo a Newton, quien ayudo al formalismo matematico del calculo.

Teorema 9. Sean f y g funciones que admiten derivada de orden n. En-tonces

dn

dxn(fg)(x) =

nXk=0

n

k

f (nk)(x)g(k)(x)

Ejercicio. Determine una expresion para

dn

dxn(exxm)

para m 2 N.

Ejercicio. Sea f(x) =2

x+ 1, demuestre que f (n)(x) =

2(1)nn!(x+ 1)n+1

.

En ocasiones uno se ve enfrentado a calcular derivadas de funciones bas-tante complejas como el siguiente caso:

f(x) =p1 x2

3.5. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR E IMPLICITA 49

que por simple inspeccion es necesario aplicar regla de la cadena. Para evitareste tipo de problematica se puede introducir una nueva forma de derivacionconocida como derivacion implcita que consiste en denir y = f(x) yobtener una ecuacion en dos variables (x; y). En nuestro ejemplo tendramosla ecuacion de una circunferencia de radio 1,

x2 + y2 = 1

advirtiendo que y es funcion de x. La derivacion implcita consta en derivarla ecuacion determinada al hacer el cambio y = f(x) y utilizando todas laspropiedades de la operacion derivar. Volviendo a nuestro ejemplo podemosver que la derivacion implcita consta en

x2 + y2 = 1

d

dx

2x+ 2yy0 = 0

y0 = xy

Por lo tanto

f 0(x) = xp1 x2

En estricto rigor, para derivar una ecuacion como hemos hecho en elejemplo anterior solo es necesario suponer que una de las variable dependede la otra. En general se tiene a hacer la convencion y = y(x) pero tambienes posible consevir x = x(y) ya que la eleccion de las letras es arbitrario. Amodo de ejemplo

x2 + y3 = xy o bien y2 + x3 = yx

que entregan el mismo problema salvo la eleccion de las variable.

Ejercicio. Determine y0 en la ecuacion

x3 + y2 = 2xy

Ejercicio. Determine y00 en la ecuacion

x4 + y4 = 16

Ejercicio. Dada la ecuacion x3 + 3xy + y3 = 8 calcule y0 e y00 en el puntodonde x = 2.


3.6. Teorema del Valor Medio & Rolle

El teorema de Rolle nos presentara dentro de su demostracion la equiv-alencia entre mnimos y maximos de una funcion con derivadas igual a cero.Para ello comenzaremos probando el siguiente teorema.

Teorema 10. Sea f una funcion continua sobre [a; b] entonces una con-stante M > 0 tal que jf(x)j M para todo x 2 [a; b].

Demostracion. Supondremos que no existe dicha constante, luego paracada n 2 N existe xn 2 (a; b) tal jf(xn)j > n. De la sucesion xn podemosextraer una subsucesion xnk que sea creciente (decreciente). Es claro quexnk es ademas una sucesion acotada luego por el axioma del supremo existex 2 [a; b] tal que xnk ! x cuando k !1. De este modo dada la continuidadde f sobre [a; b] se deduce que

f(x) = lmk!1

f(xnk) > lmk!1

nk =1

que sera una contradiccion. Por lo tanto debe existir alguna constanteM >0 tal que jf(x)j M para todo x 2 [a; b].

En el teorema anterior resulta de vital importancia que el intervalo dedominio sea cerrado. Esto se debe a que una funcion puede ser continua enun intervalo abierto y no acotada. En dichos casos la funcion no podra secontinua en el intervalo cerrado que la contiene al dominio. Para claricaresta armacion consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sea f : (0; 1) ! R la funcion continua f(x) = 1=x. Es claro quetodo a 2 (0; 1) se satisface que

lmx!a f(x) =

1

lmx!a x= f(a)

con que conrmamos la continuidad de f en (0; 1). Es claro tambien que

lmx!0+

f(x) =1

por lo tanto f no puede extenderse continuamente al intervalo [0; 1].

Corolario 11. Sea f : [a; b] ! R una funcion continua, entonces existec 2 [a; b] tal que f(x) f(c) para todo x 2 [a; b].

3.6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO & ROLLE 51

Demostracion. Denamos el conjunto

E := f f(x) j x 2 [a; b] gque es acotado por el teorema anterior. Luego,por el teorema de supremosabemos que existe s supremo de E. A su vez podemos asegurar la existenciade una sucesion yn = f(xn) en E tal que yn ! s cuando n ! 1. A lasucesion xn le extraemos una subsucesion xnk que es creciente (decreciente).Ya que la sucesion xnk es acotada, aplicando nuevamente el axioma delsupremo, podemos armar que existe c 2 [a; b] tal que xnk ! c cuandok !1. De este modo tendremos

f(c) = lmk!1

f(xnk) = lmn!1 yn = s

Equivalentemente, reproduciendo la demostracion del corolario anterior parauna funcion continua, se puede probar la existencia de un c 2 [a; b] tal quef(c) f(x) para todo x 2 [a; b].Teorema 12 (Rolle). Sea f : [a; b] ! R funcion continua y derivable en(a; b). Entonces existe c 2 (a; b) tal que f 0(c) = 0.Demostracion. Si f(x) = C constante para todo x 2 [a; b] entoncesf 0(x) = 0 para todo x 2 [a; b].

En el caso que f no es constante podemos suponer, sin perdida de gen-eralidad, que existe x0 2 [a; b] tal que f(x0) > f(a). Luego por el corolarioanterior sabemos que existe c 2 [a; b] tal que f(x) f(c) para todo x 2 [a; b].Ya que f es diferenciable sobre (a; b) entonces

0 lmh!0

f(c+ h) f(c)h

= f 0(c) = lmh!0+

f(c+ h) f(c)h

0

Lo que termina la demostracion del teorema.

Ejercicio. Dada la funcion f(x) = (x a)m(x b)n, con m y n naturales,demuestre que el punto c del teorema de Rolle divide al intervalo [a; b] en larazon m : n.

Teorema 13 (Valor Medio). Sea f : [a; b]! R funcion continua y derivableen (a; b). Entonces existe c 2 [a; b] tal que

f 0(c) =f(b) f(a)

b a


Demostracion. Denamos la funcion

F (x) = f(x) (x a)f(b) f(a)b a

Luego F (a) = f(a) = F (b) y por el Teorema de Rolle podemos armar queexiste un c 2 [a; b] tal que F 0(c) = 0. Pero,

F 0(c) = f 0(c) f(b) f(a)b a

que naliza la demostracion.

Ejercicio. Probar que f(x) = x3 3x+ b no puede tener mas de una razen [1; 1] para todo b.Ejercicio. Demuestre usando el Teorema del valor medio que

x

1 + x log(1 + x) x

para todo x > 0.

Corolario 14. Sea f : [a; b]! R funcion continua y diferenciable en (a; b)tal que f 0(x) = 0 para todo x 2 (a; b). Entonces f(x) = C constante paratodo x 2 [a; b].Demostracion. Para todo x; y 2 [a; b] se satisface

f(x) =f(x) f(y)

x y (x y) + f(y) = f0(c)(x y) + f(y) = f(y)

por lo tanto f es una funcion constante sobre su dominio.

Ejercicio. Sean f; g : [a; b] ! R derivables. Pruebe que si f 0(x) = g0(x)entonces f(x) = g(x) + c donde c es una constante.

Ejercicio. Sea f : [a; b] ! R diferenciable con 0 < a < b y que satisfacef(a) = f(b) = 0. Pruebe que existe c 2 (a; b) tal que la tangente a f en elpunto c pasa por el origen.

Ejercicio. Demuestre que la funcion

f(x) = arcsin(2x 1) + 2 arctanr

1 xx

es constante en el intervalo (0; 1). Determine el valor de dicha constante.

3.7. EJERCICIOS 53

3.7. Ejercicios

1.- Usando la denicion, calcule la derivada de las siguientes funciones, enlos puntos indicados:

a) f(x) = 3x2 + 2, en x = 2.

b) g(x) = sin(x), en x =

4.

c) h(x) =px 2, en x = 3.

d) j(x) =x 1x

, en x = 2.

e) k(x) = cos(2x), en x =

2.

f ) l(x) = x+1

x, en x = 1.

g) r(x) =

8

0.

f ) r(x) = log(x+px3 + a)


5.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de:

f(x) =

8 1

7.- Determine los valores de a y b de modo que la funcion

h(t) =

(sin(t) si t <

at+ b si t

sea continua y derivable en x = .

8.- Determine los valores de a y b de modo que la funcion

f(x) =

((x a)2 si x 3b (x 5)2 si x > 3

sea continua y derivable en todo R.

9.- Decida si

f(x) =

8

3.7. EJERCICIOS 55

13.- Halle la ecuacion de la recta normal a la curva g(x) =x2 + 1

x3 + 1en el

punto de abcisa 0.

14.- Determine la relacion que deben cumplir a, b y c en R para que lafuncion:

f(x) = ax2 + bx+ c

sea tangente al eje X.

15.- Demuestre que la ecuacion

x2 = x sin(x) + cos(x)

tiene exactamente dos races reales.

16.- Demuestre que la ecuacion

x2 + x log(x) 1 = 0

tiene una unica solucion.

17.- Sea f funcion con dos derivadas continua tal qued2

dx2f 0 y f(a) =

f(b) = f(c) = 0 con a; b; c 2 R diferentes. Demuestre que f 018.- Determine y0(0) sabiendo

cos(xy) + ey = 2 + x

19.- Si x = log(1 + y) + log(1 + y2), determine y0(0).

Captulo4Aplicaciones de la Derivada

4.1. Crecimiento y Decrecimiento de Funciones

Ya hemos visto en el captulo anterior que derivada habla sobre la suavi-dad de la funcion. Ahora veremos que esa propiedad puede renarse, enalgunos casos, a crecimiento y decrecimiento de funciones en ciertos interva-los donde la derivada no cambia de signo. Esta propiedad que tienen ciertasfunciones nos permitira trazar graco de funciones solo haciendo un analisisde la derivada.

Teorema 1. Sea f una funcion derivable en su dominio.

(a) Si f 0(x) > 0 en un intervalo, en este caso f es creciente en ese inter-valo.

(b) Si f 0(x) < 0 en un intervalo, en este caso f es decreciente en eseintervalo.

Demostracion. Supongamos que (a; b) es el intervalo donde f 0(x) > 0(resp. f 0(x) < 0) para cada x 2 (a; b). Sean x < y en (a; b) luego, por elteorema del valor medio, existe c 2 (a; b) tal que

f(y) = f 0(c)(y x) + f(x)Por lo tanto f(x) < f(y) (resp. f(y) < f(x)) si f 0(c) > 0 (resp. f 0(c) 0, queremos demostrar que

esta funcion es creciente. Luego la derivada de f esta dada por

log(f(x)) = x log

1 +

1

x

=) f 0(x) = f(x)

log

1 +

1

x

1

1 + x

Si deseamos que la derivada sea positiva debemos probar la siguiente de-

sigualdad log

1 +

1

x

1

1 + x. Para ello utilizaremos el teorema del valor

mediolog(1 + x) log(x)

(1 + x) x =1

c 1

1 + x; x c x+ 1

por lo tanto f(x) es creciente para todo x > 0.

Ejercicio. Demuestre que para todo 0 < u < v < 2 se satisface

sin(u)

sin(v)>

u

v

4.1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES 59

Solucion. El ejercicio tiene oculta la funcion f(x) =sin(x)

x. Entonces

calculando la derivada de f tendremos

f 0(x) =x cos(x) sin(x)

x2

Por el teorema del valor medio, para todo 0 < x < 2 tendremos que

sin(x) sin(0)x

= cos(c) > cos(x); 0 < c < x 0 en el intervalo [a; b], entonces f es concava hacia arribasobre [a; b].

(b) Si f 00(x) < 0 en el intervalo [a; b], entonces f es concava hacia abajosobre [a; b].

Demostracion. Sean a u t v b para determinar si f es concavahacia arriba o hacia abajo debemos analizar el signo de la siguiente expresion

f(v) f(t)v t

f(t) f(u)t u = f

0(c2) f 0(c1); u c1 t c2 v= f 00(c)(c2 c1); c1 c c2

60 CAPITULO 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

luego f es concava hacia arriba si f 00(c) > 0 y es concava hacia abajo sif 00(c) < 0.

Ejemplo. Volviendo a los dos ejemplos anteriores podemos notar que f(x) =x2 tiene segunda derivada f 00(x) = 2 luego f es concava hacia arriba. Porotro lado g(x) = x2 es concava hacia abajo ya que g00(x) = 2. En el casoque consideremos la funcion h(x) = sin(x), entonces h00(x) = sin(x) quees negativa en (0; ) y positiva en (; 2).

Ejercicio. Sea f(x) = 3x44x312x2+5, determine los intervalos de crec-imiento y decrecimiento de f , su concavidad y trace un graco aproximadode la funcion sobre todo R.

Ejercicio. Sea f(x) = 1+1

x+

1

x2, determine los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de f , su concavidad, asntotas y trace un graco aproximadode la funcion sobre todo R.

Denicion 4. Diremos que f tiene asntota oblicua l : ax+ b si

a = lmx!1

f(x)

xy b = lm

x!1(f(x) ax)

Ejercicio. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, su con-cavidad, asntotas y trace un graco aproximado de la funcion

f(x) =2x2 x 1

x+ 2

Ejercicio. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, su con-cavidad y trace un graco aproximado de la funcion

f(x) = x2=3(6 x)1=3

4.2. Mnimos & Maximos

Denicion 5. Diremos que x0 es un mnimo local de una funcion f siexiste un intervalo I Dom(f) que contiene a x0 y tal que f(x0) f(x)para todo x 2 I.Diremos que x0 es un maximo local de una funcion f si existe un intervaloabierto I Dom(f) que contiene a x0 y tal que f(x) f(x0) para todox 2 I.

4.2. MINIMOS & MAXIMOS 61

Ejemplo. Los ejemplos clasicos de funciones con mnimos y/o maximoslocales son los polinomios. Consideremos la funcion f(x) = x2 que determinauna parabala con vertice en x0 = 0. Ya que el termino general de la parabolaes 1 > 0 es claro que f es concava hacia arriba, luego f(x) tiene un mnimo(unico) local en x0 = 0.

Por otro lado podemos notar que la funcion f(x) = x3 tiene por derivadaf 0(x) = 3x2 0 para todo x 2 R. De este modo la funcion f es crecientesobre todo R concluyendo que no posee mnimo y/o maximo local ya quef(x)! 1 cuando x! 1.

Finalmente consideremos la funcion f(x) = 2x3 3x2 18x + 1 en elintervalo [5; 5]. Para determinar mnimos y maximos de f determinaremoslos intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . De este modo, donde laderivada cambia de signo sabremos que f posee un mnimo o maximo. Esclaro que la derivada de f esta dada por f 0(x) = 6x26x18 = 6(x+1)(x2)obteniendo la siguiente tabla de signos

(5;1) (1; 2) (2; 5)x+ 1 + +x 2 +f 0(x) +

Ya que tenemos cambio de signo en la derivada en los puntos x0 = 1; 2podemos advertir que tenemos dos posibles puntos para mnimos o maximosde la funcion. Ya que la funcion es decreciente a la izquierda de x0 = 1 ycreciente a su derecha se puede concluir que f(x) tiene un mnimo local enx0 = 1. Similarmente, a la izquierda de x0 = 2 la funcion es creciente y ala derecha decreciente, concluyendo as que f tiene maximo local en x0 = 2.Finalmente podemos notar que la funcion evaluada en los extremos tambienposee puntos de mnimo y/o maximo. Por la geomera de crecimiento ydecrecimiento de f en los distintos intervalos podemos notar que x0 = 5es un maximo local al igual que x0 = 5.

Denicion 6. Diremos que x0 es un punto crtico de una funcion f si ysolo si f 0(x0) = 0.

El siguiente teorema resultara ser un buen test para determinar puntosde mnimo y maximo cuando la funcion es derivable.

Teorema 7. Sea f una funcion continua y derivable en (x0; x0+) paraalgun > 0. Si x0 es punto crtico de f entonces

(i) x0 es un maximo local de f si y solo f0(x) 0 para x0 < x < x0

y f 0(x) 0 para x0 < x < x0 +


(ii) x0 es un mnimo local de f si y solo f0(x) 0 para x0 < x < x0 y

f 0(x) 0 para x0 < x < x0 + A partir del teorema anterior podemos notar que hay funciones que

tienen puntos crticos pero el signo de la derivada en todo a esos puntosno cambia. Uno de los ejemplos mas sensillos es el caso de f(x) = x3 quetiene punto crtico en x0 = 0 y no es mnimo o maximo de la funcion. Enestos casos diremos que dicho puntos son puntos de inexion.

Ejercicio. Determine los valores mnimos y maximos de la funcion f(x) =x+ 2 sin(x) en el intervalo [0; 2].

Una aplicacion inmediata de la concavidad de una funcion es determinarsi un punto crtico es mnimo o maximo.

Teorema 8. Sea x0 un punto crtico de una funcion f , entonces

(i) Si f 00(x0) < 0 entonces x0 es maximo local de f .

(ii) Si f 00(x0) > 0 entonces x0 es mnimo local de f .

Podemos notar en el teorema anterior que no obtenemos informacion enlos caso que f 00(x0) = 0. En estos casos es posible que la funcion tenga unpunto de inexion en x0.

Ejercicio. Determine los valores de a, b y c de manera que la funcion f(x) =ax3 + bx2 + c tenga un punto de inexion en (1;1) y la pendiente de latangente a la curva y = f(x) en ese punto sea 2.

Ejercicio. Determine las dimensiones del rectangulo de area maxima quese puede inscribir en la elipse de ecuacion

x2

a2+y2

b2= 1

Ejercicio. Un hombre tiene 240 metros de cerco para circundar un terrenoque debe tener forma rectangular y dividirlo en dos partes iguales medi-ante una cerca paralela a uno de los lados. >Que dimensiones debe tener elrectangulo para que el area cercada sea maxima?

Ejercicio. Una cancha de futbol mide 90 61 metros y los arcos tienen unlargo de 11 metros. Un puntero izquiero, que chutea muy bien, se muevepegado a su costado. >A que distancia del bandern del corner debe chutearpara obtener la maximas posibilidades de marcar un gol?

4.3. REGLA DE L'HOSPITAL 63

4.3. Regla de L'Hospital

Teorema 9. Sean f(x0) = g(x0) = 0, luego si f y g son diferenciables enx0 tales que g

0(x0) 6= 0 entonces

lmx!x0

f(x)

g(x)=

f 0(x0)g0(x0)

Demostracion. Por denicion tendremos que de la derivada tendremos

lmx!x0

f(x)

g(x)= lm

x!x0

f(x) f(x0)

x x0

g(x) g(x0)

x x0

=

f 0(x0)g0(x0)

La demostracion de este teorema se puede renar ocupando el teoremadel valor medio obteniendo as la siguiente relacion:

lmx!x0

f(x)

g(x)= lm

x!x0f 0(x)g0(x)

en el caso que el lmite del lado derecho exista. Para ello simplemente debe-mos suponer que f y g son derivables en cercanas de x0, luego por el teoremadel valor medio se tiene

lmx!x0

f(x)

g(x)= lm

x!x0

f(x) f(x0)

x x0

g(x) g(x0)

x x0

= lm

x!x0f 0(c1)g0(c2)

= lmx!x0

f 0(c1)g0(c2)

Ejercicio. Ocupando la regla de L'Hospital calcule los siguientes lmites:

(i) lmx!

sin(x2 ) + cos(x)

1 + sin2(x) + cos(x).

(ii) lmx!0

1

sin(x) 1x

.

(iii) lmx!0

(e2x + 2x)14x


Tambien existe una Regla de L'Hospital para el caso que x ! 1siempre y cuando las funciones f(x) y g(x) van a cero cuando x ! 1 yel lmite de f 0(x)=g0(x) existan cuando x ! 1 y en el ultimo caso seadiferente de cero. Para ello solo es necesario considerar lo siguiente:

lmx!1

f(x)

g(x)= lm

x!1f(x) f(x+ 1) + f(x+ 1)g(x) g(x+ 1) g(x)

= lmx!1

f 0(c1) + f(x+ 1)g0(c2) + g(x+ 1)

; x < c1; c1 x+ 1

= lmx!1

f 0(x)g0(x)

Analogamente se demuestra el caso en que x! 1.

Ejercicio. Calcule lmx!+1

px 2 arctan(px).

Ejercicio. Calcule lmx!+1x

2 arcsin

xp

x2 + 1

.

4.4. Aproximacion de Taylor

Consideremos la funcion exponencial f(x) = ex denida como lmitemonotono para todo real x

ex = lmn!1

nXk=0

xk

k!

El problema en querer determinar numericamente el valor de f en cadanumero real es que no existe una expresion explcita sencilla para las sumasparciales de la funcion exponencial, pero es posible estimar dichos valorescon errores que se pueden cuanticar y hacer tan peque~nos como uno lodesee. Para claricar lo recien expuesto estimaremos el valor de f(2) tal queel error sea menor que 102. De la denicion de f es claro que

f(2) =

nXk=0

2k

k!+

1Xk=n+1

2k

k!

=

nXk=0

2k

k!+

1Xk=n+1

2k

3k2=

nXk=0

2k

k!+ 9

3 1 (2=3)

n+1

1 (2=3); n > 0

4.4. APROXIMACI ON DE TAYLOR 65

Entonces, f(2)nX

k=0

2k

k!

27 2

3

n+1 29.

La aproximacion de Taylor consiste en determinar un polinomio de gradon que este uniformemente cerca de una funcion dada en ciertos intervalos.A continuacion expondremos el teorema de Taylor pero su demostracionsera postergada para el captulo siguiente ya que su demostracion necesitaherramientas del calculo integral.

Teorema 10 (Taylor). Sea f una funcion n+1 veces derivable en el inter-valo [c; d]. Luego para todo a; x 2 [c; d] se tiene

f(x) =nX

k=0

f (k)(a)

k!(x a)k +Rn(x; a)

donde

Rn(x; a) = (x a)n+1 f(n+1)(c)(n+ 1)!

siendo c un numero entre a y x.

El teorema anterior ya hemos comentado que se atribuye a Taylor, yel polinomio determinado es denominado polinomio de Taylor as comoRn(x; a) es denominado error o resto.

Ejemplo. Consideremos la funcion f(x) = sin(x) y a = 0. Luego lasderivadas de la funcion seno en todo orden evaluada en 0 esta dada por

f (k)(0) =

(ik1 si k es impar0 si k es par

obteniendo el polinomio de Taylor y el resto

pn(x) =

nXk=0

(1)k+1 x2k+1

(2k + 1)!y Rn(x; 0) = x

n+1 f(n+1)(c)(n+ 1)!

donde

f (n)(x) =

(ik1 cos(x) si n es imparik sin(x) si n es par


Analogamente se puede determinar una aproximacion en Taylor para lafuncion g(x) = cos(x) dada por

cos(x) =nX

k=0

(1)k+1 x2k

(2k)!+ xn+1

g(n+1)(c)(n+ 1)!

siendo

g(n)(x) =

(ik+1 sin(x) si n es impar

ik cos(x) si n es par

Ejercicio. Determine el polinomio de Taylor de f(x) = log(x) en torno aa = 1 tal que el resto sea menor que 101 en el intervalo [1=2; 3=2].

Ejercicio. Encuentre el desarrollo de Taylor de f(x) = log(cos(x)) hastaorden tres, entorno a x = 0 y demuestre que el resto esta acotado por jxj4=3,para x 2 4 ; 4 .

4.5. EJERCICIOS 67

4.5. Ejercicios

1.- Dada la funcion f(x) = 8x5 25x4 20x3, determine los intervalosdonde f(x) es creciente y donde es decreciente. Graque f(x).

2.- Demuestre que la funcion f(x) =

1 +

1

x

xes estrictamente creciente.

3.- Si 0 < u < v < 2 demuestre que:

a)sin(u)

sin(v)>

u

v

b)tan(v)

tan(u)>

v

u

4.- Esboce el graco de las siguientes funciones, analizando especialmenteel dominio de denicion, discontinuidades, races, signos, intervalosde crecimiento y de decrecimiento, maximos y mnimos, direccion dela concavidad, puntos de inexion, asntotas y comportamiento en lafrontera del dominio:

a) y = 1 +1

x+

1

x2.

b) y =p3x2 x3.

c) y =sin(x) cos(x)

cos(x) + 2 sin(x).

d) y =x

log(x).

e) y = xnex2, n 2 N.

f ) y = xe1x .

g) y =2x2

x 1.

5.- Demuestre que si las curvas y = f(x) e y = g(x) son ambas concavashacia arriba y f(x) es creciente, entonces f(g(x)) tambien es concavahacia arriba.

6.- Determine los valores de a, b y c de manera que la funcion f(x) =ax3 + bx2 + c tenga un punto de inexion en (1;1) y la pendiente dela tangente a la curva y = f(x) en ese punto sea 2.

7.- >Que relacion deben satisfacer las constantes a; b; c para que la curvade ecuacion: y = x3 + ax2 + bx+ c tenga un punto de inexion dondela tangente sea horizontal?

8.- Demuestre que la curva y =x+ 1

x2 + 1tiene tres puntos de inexion

colineales.


9.- Si a y b son constantes positivas, demuestre que el maximo valor de lafuncion f(x) = a sin(x) + b cos(x) es

pa2 + b2.

10.- Demuestre que si a, b y k son constantes positivas, entonces el valormnimo que toma la funcion f(x) = aekx + bekx es 2

pab.

11.- Una lamina cuadrada tiene 20 cm. de lado. En sus esquinas se recortancuadrados iguales y se doblan los bordes resultantes en angulo rectoformando una caja. >Cual es el recorte que produce la caja de volumenmaximo?

12.- Determine las dimensiones del rectangulo de area maxima que se puedeinscribir en la elipse de ecuacion

x2

a2+y2

b2= 1

13.- Una ventana normanda tiene forma de rectangulo coronado por unsemicrculo. Si el permetro de la ventana es 20 mt, >cuales deben sersus dimensiones para que permita que pase el maximo de luz posible?

14.- Un hombre tiene 240 metros de cerco para circundar un terreno quedebe tener forma rectangular y dividirlo en dos partes mediante unacerca paralela a uno de los lados. >Que dimensiones debe tener elrectangulo para que el area cercada sea maxima?

15.- Un tarro cilndrico recto, totalmente cerrado, debe tener un volumendado V . Demuestre que el tarro mas economico de fabricar es el quetiene su altura igual a su diametro basal.

16.- El area de un triangulo equilatero disminuye a razon de 4 cm2

min mante-niendo su formato. Calcule la rapidez de variacion de la longitud desus lados en el momento en que el area es de 200 cm2:

17.- Un cilindro es generado haciendo girar un rectangulo alrededor de subase, la que se encuentra en el eje X. Si los otros dos vertices estan

en la curva y =x

x+ 1, determine las dimensiones del rectangulo que

genera el cilindro de maximo volumen.

18.- Una habitacion tiene forma de paraleleppedo recto de base cuadradade 6 metros por 6 metros y 3 metros de altura. En un vertice superiorde la habitacion se encuentra una ara~na de rincon y en el verticeopuesto se encuentra, inmovil, un insecto. Si la ara~na camina primero

4.5. EJERCICIOS 69

por el techo y luego por una pared, >cual es la trayectoria mas cortaque debe seguir para cazar el insecto?


a) lmx!0

1

x sin(x)

x3

.

b) lmx!0

tan(x) xx sin(x) .

c) lmx!

2

(2x ) tan(x).

d) lmx!1

x

x 1 1

log(x)

.

e) lmx!1

x1

1x

f ) lmx!0

(e2x + 2x)14x

g) lmx!0

2ex

2

x sin(2x)

x2

!

20.- Si f(x) tiene segunda derivada continua en una vecindad del punto a,demuestre que:

lmx!a

1

f(x) f(a) 1

(x a)f 0(a)= f

00(a)2f 0(a)2

21.- Determine el desarrollo en Taylor de las siguientes funciones:

a) f(x) =1

1 + xen torno a x = 0.

b) f(x) = sin(x) en torno a x = 0.

c) f(x) = cos(x) en torno a x = 0.

d) f(x) =x

1 + x2en torno a x = 0.

e) f(x) = log(x) en torno a x = 1.

22.- Encuentre el desarrollo de Taylor de f(x) = log(cos(x)) hasta ordentres, entorno a x = 0 y demuestre que el resto esta acotado por 23 jxj4,para x 2 4 ; 4 .

23.- A partir del desarrollo de Taylor entorno a 0 de (x + a)n, con n 1,demuestre la formula del binomio:

(x+ a)n =

nXk=0

n

k

xnkak

Captulo5Integral de Riemann

Es concepto integral, es uno de los desarrollos basicos del Analisis Matematico.Sus orgenes se remontan al tiempo de los griegos para resolver problemasaislados de calculo de areas y volumenes.

Este procedimiento consista en rellenar ciertas guras geometricas conotras cuya area o volumen es conocida (ver la gura anterior)

5.1. Sumas de Riemann

La integral es un numero que en su esencia es una suma al lmite. Paracomprender mejor esta idea, ilustraremos con un ejemplo. Consideremos laregion encerrada por las curvas f(x) = x2, y = 0 y x = 2 con area A,

71

72 CAPITULO 5. INTEGRAL DE RIEMANN

0

1

2

3

4

0 1 20

1

2

3

4

0 1 2

1n

y particionemos el intervalo [0; 2] en subintervalos de longitud 1=n. As, pode-mos aproximar el area encerrada por la curva como la suma de rectanguloscon area f(k=n)=n, k = 1; : : : ; 2n, vale decir

A 2nXk=1

f(k=n)

n=

2nXk=1

k2

n3=

2n(2n+ 1)(4n+ 1)

6n3

Por construccion, la suma de las areas asociadas a los rectangulos es siem-pre menor que A. Haciendo paso al lmite tendremos que A 8=3. Valehacernos la siguiente pregunta >es posible determinar de manera exacta elvalor de A?. Sabemos que A es el area encerrada por una curva que esaproximada por rectangulos de areas denidas. Esta aproximacion crece demanera monotona con cota superior A. Ahora consideremos la sucesion derectangulos Rk;n con altura f(k=n) en el intervalo [

k1n ;

kn), el valor de A

esta acotado superiormente por

A 2nXk=1

f((k + 1)=n)

n=

2nXk=1

(k + 1)2

n3

=2n(2n+ 1)(4n+ 1)

6n3+

2n(2n+ 1)

n2+

2

n2

que tiene a 8=3 cuando n ! 1. Por el Teorema de Sandwich, del curso deCalculo 1, se deduce que A = 8=3.

En el ejemplo anterior no tan solo hemos encontrado el valor de A sinoque tambien hemos probado que ese valor existe y en consecuencia demostra-do que la gura delimitada por las curvas f(x) = x2, y = 0 y x = 2 tienearea.

Ahora consideremos la funcion g(x) = sin(x) en el intervalo [0; ] ydeterminemos el area encerrada por la curva que determina la graca de g

5.1. SUMA DE RIEMANN 73

y la recta y = 0. Dado que la funcion es creciente en el intervalo [0; =2]y es simetrica respecto a x = =2 solo calcularemos el area en el intervalo[0; =2]. Para cada natural n consideramos la particion xk =

k2n del intervalo

[0; =2] y la suma

2

n1Xk=1

g(xk)(xk+1 xk) A

siendo A el area que deseamos determinar. Luego para todo numero naturaln se satisface la siguiente desigualdad

n

n1Xk=0

sin(k2n ) A

n

n1Xk=0

sin( (k+1)2n )

Si consideramos = 2n la suma anterior equivale a la parte imaginaria dela siguiente cantidad

n1Xk=0

cis(k) =1 cis(n)1 cis() =

1 i1 cis()

Luego,

nRe

1 i1 cis( 2n)

A

para todo natural n. Luego haciendo paso al lmite para n al innito seobtiene que 2 A. Similarmente, a partir de la cosa superior para A deter-minada mas arriba, se prueba que A 2 y por tanto A = 2.

El siguiente ejemplo dejara en claro que no todas las regiones admitenarea mediante aproximacion por rectangulos. Sea f una funcion denidasobre el intervalo [0; 1] dada por

f(x) =

(1 si x es racional

0 si x es irracional.

y (resp. 0) particion racional (resp. particion irracional) del intervalo [0; 1]Luego, X

f(xk)(xk+1 xk) = 0 6= 1 =X0

f(yk)(yk+1 yk)

Denicion 1. Sea f una funcion real, positiva y acotada sobre el intervalo[a; b]. Denimos su suma de Riemann asociada a la particion por laexpresion

s(f; ) =X

f(k)(xk xk1); k 2 [xk1; xk)

74 CAPITULO 5. INTEGRAL DE RIEMANN

Denimos la suma inferior de f asociada a la particion por la expresion

I(f; ) =X

mk(xk xk1); mk =nfff(x) : x 2 [xk1; xk)g

Denimos la suma superior de f asociada a la particion por la expresion

S(f; ) =X

Mk(xk xk1); Mk = supff(x) : x 2 [xk1; xk)g

De la denicion anterior es inmediato que I(f; ) s(f; ) S(f; )para toda particion .

Lema 2. Sea f : [a; b] ! R acotada y 0 particiones de [a; b]. Luego,I(f; ) I(f; 0) S(f; 0) S(f; ).Denicion 3. Sea [a; b] un intervalo acotado de los reales y [a; b] nito.Diremos que es una particion de [a; b] si

= fa = x0 < x1 < < xn1 < xn = bg

Si 0 es una particion que contiene a , diremos que 0 es mas na que .Denimos el largo de la particion por el numero real

kk = max1kn

jxk xk1j

Proposicion 4. Sea f una funcion real acotada sobre [a; b]. Sea n unasucesion de particiones sobre [a; b] tales que n+1 n y knk ! 0 cuandon!1. Luego, lmn!1 I(f; n) existe y

lmn!1 I(f; n) = lmn!1 I(f; n [ )

para toda particion de [a; b].

5.1. SUMA DE RIEMANN 75

Demostracion. Sea n = fa = xn;1 < < xn;rn = bg y = fa < y < bg.Si xn;k < y xn;k+1 entoncesI(f; n [ ) I(f; n) + jf(y)jjxn;k+1 xn;kj I(f; n) + knk sup

y2[a;b]jf(y)j;

luego haciendo tender n!1 se tienelmn!1 I(f; n [ ) lmn!1 I(f; n)

La otra desigualdad sigue del hecho que I(f; n) I(f; n [ ) para todonatural n.

Proposicion 5. Sean n y 0n dos particiones de [a; b] tales que sus largo

tiende a cero cuando n!1. Sea f : [a; b]! R acotada, entonceslmn!1 I(f; n) = lmm!1 I(f;

0m)

Demostracion. De la proposicion anterior sigue que

lmn!1 I(f; n) lmm!1 I

Apuntes+Wolfgang

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