Algebra LinealLuisa Aburto H. Daniel Jimnez B Roberto Johnson H.20032ndice general1. Matrices 51.1. lgebra de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Inversin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Espacios Vectoriales 612.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.1. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.2. Espacios Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4.3. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5. Dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6. Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6.1. Sumas de Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6.2. Suma Directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.7. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.8. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.8.1. Espacio Cuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.8.2. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013. Transformaciones lineales 1053.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2.1. Kernel o Ncleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.2.2. Imagen o Recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.2.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2.4. lgebra de Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.2.5. Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.6. Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.3. Matriz asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.1. Matriz Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13434 NDICE GENERAL3.4. Espacio Vectorial Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.4.1. Base Dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.4.2. Transformacin Dual o Traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.5. Diagonalizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.6. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.6.1. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.6.2. Bases Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644. Programacin Lineal 1674.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.2. Transformacin a la Forma Estndar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2.1. Variable de Holgura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2.2. Variable excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.2.3. Variables Libres (Primer mtodo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.2.4. Variables Libres (Segundo mtodo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.3. Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.4. Mtodo del Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805. Ejercicios 1955.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.1.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.2. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.2.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.3. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.3.1. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Captulo 1Matrices1.1. lgebra de MatricesInformalmente, una matriz es un arreglo rectangular de nmeros dispuestos horizon-talmente en las y verticalmente en columnas.Una matriz se dice racional, real o compleja segn sea el conjunto en el que se encuentrenlos nmeros del arreglo o elementos de la matriz (coecientes de la matriz).Ms precisamente una matriz de orden : : con coecientes reales, es un arreglo rec-tangular de nmeros reales, con : las y : columnas. = na =__c11c12 c1ac21c22 c2a......cn1cn2cna__ = [ci)]naConvencionalmente usaremos letras maysculas para denotar matrices indicando su ordeno formato con subndices. Dado que el texto se trabaja principalmente con matrices reales,no se indica el conjunto numrico en el que se dene la matriz, salvo los casos que requieranpara mayor claridad de un desarrollo.El elemento situado en la la i y columna , de una matriz cualquiera, se describe comoci). As la la i de es_ ci1ci2ciay la anotamos ,i(). Del mismo modo, la columna , de est dada por__c1ic2i...cni__56 CAPTULO 1. MATRICESy la anotamos ci(). Cuando sea necesario, usamos la notacin ci)() para indicar el coe-ciente i, de la matriz o simplemente ci).El conjunto de la matrices de orden :: con coecientes en K lo anotamos `na(K).Si : = : entonces las matrices se dicen cuadradas de orden : y el conjunto de todas ellasse denota por `a(K). si los coecientes son nmeros reales entonces denotamos `na osimplemente `aDenicin 1 Dos matrices na y 1jq se dice que son iguales si y slo si : = j. : = ,y ci) = /i) con i = 1. . . . . :; , = 1. . . . . :Ejemplo 1 Notemos en los ejemplos siguientes, las matrices dadas son distintas:a)__ 1 32 10 0__ ,= _ 1 32 1_. ya que la primera tiene orden 3 2 y la segunda 2 2. Ellastienen diferentes ordenes.b)_ 1 1 02 3 4_ ,= _ 0 1 02 3 4_. ellas son distintas pues c11 = 1 ,= 0 = /11Ejemplo 2 En cada caso hallar c. /. c y d. constantes reales, tales quea)_ c2+ 2c 1/ 2_ = _ 3 11 +c 2_. en `2b)_ c2c + 1 dc + 2d 1_ = _ 3 2c6 1_. en `2c)_ c2+ 2c +/ 1c +/ +c 2_ = _ c2+ 1 2c/ d_. en `2Desarrollo.a) Si _ c2+ 2c 1/ 2_ = _3 11 +c 2_ entoncesc2+ 2c = 31 = 12 = 2/ = 1 +clas igualdades a estudiar son(1) c2+ 2c = 3(2) / = 1 +cDe (1), c2+ 2c + 3 = 0. luego c = 1 + i_2 con i2= 1, o sea c y / en C perola igualdad se estudia en los nmeros reales, entonces la solucin es vaca, pues no esposible encontrar c y / en R que satisfagan las igualdades (1) y (2).1.1. LGEBRA DE MATRICES 7b) Si _ c2c + 1 dc + 2d 1_ = _ 3 2c6 1_ , entonces(1) c2c + 1 = 3(2) d = 2c(3) c + 2d = 6(4) 1 = 1Si d = 2c entonces reemplazando en (3) tenemos 5c = 6, luego c =65 cuyo valor nocumple la igualdad c2c + 1 = 3, pues _65_2 65 + 1 = 3125.As no hay c y d que cumplan la igualdad matricial (b) pues el sistema formado porlas ecuaciones (1),(2),(3) y (4) tiene solucin vaca.c) Si _ c2+ 2c +/ 1c +/ +c 2_ = _ c2+ 1 2c6 d_. En este caso se tiene:(1) c2+ 2c +/ = c2+ 1(2) c +/ +c = 6(3) 1 = 2c(4) 2 = dDe (4) d = 2, de (3) c = 12 reemplazando en (2) y simplicando (1) obtenemos:(5) c +/ =132(1) 2c +/ = 1restando (1) la ecuacin (5) nos queda c = 112 . Reemplazando en (5) se tiene que/ = 12. Por lo tanto c = 112 ; / = 12, c = 12; d = 2 son las constantes reales quesatisfacen la igualdad matricial c).Denicin 2 Sean A=[ci)] y 1 = [/i)] matrices de orden : :, entonces la suma de y1 es la matriz de orden :: denida por: +1 = [ci) +/i)]Ejemplo 3 Si = _2 3 41 7 1_ y 1 = _3 3 41 0 7_ entonces +1 = _2 + 3 3 + (3) 4 + (4)(1) + (1) 7 + 0 1 + (7)_ = _5 0 02 7 6_Nota. La matriz nula de orden ::, denotada por 0na es una matriz compuesta slo deceros, o sea, 0na = [ci)] con ci) = 0 para todo i,,. Toda vez que se indique la matriz nulasin especicar su orden, debe entenderse denido por el contexto.De la denicin se deduce que dos matrices pueden sumarse solamente si son de igualorden.8 CAPTULO 1. MATRICESDenicin 3 Sean c en R y en `na entoncesc = c = [cci)]es llamado el producto por escalar.En particular, si c = 1 y = [ci)] entonces (1) = [ci)] . denotada por .Proposicin 4 Sean . 1. C cualesquiera en `na y c. d R entonces:1. ( +1) +C = + (1 +C) .2. +1 = 1 +.3. + 0 = .4. + () = 0, matriz nula de orden ::.5. c( +1) = c +c1.6. (c +d) = c +d.Denicin 5 Sean na = [ci)] y 1aq = [/i)] denimos el producto de y 1 como lamatriz1 = [ci)]nq donde ci) =a

I=1ciI/I).Ejemplo 4 Dadas las matrices = _1 7 31 5 4_. 1 = _ 1 20 4_. C = _0 8 11120_.Determinar una matriz A en `23 tal que2 +A 1C = 023.Desarrollo. Calculemos primero2 +A 1C = 0 Sumando Inverso Aditivo2 + 2 +A 1C = 0 2 CancelandoA 1C = 2 Sumando Inverso Aditivo y CancelandoA = 1C 2Ahora tenemos que2 = 2_1 7 31 5 4_ = _2 14 62 10 8_1C = _ 1 20 4_ _0 8 11120_ = _ 2 9 14 2 0_As, obtenemosA = _ 2 9 14 2 0__2 14 62 10 8_ = _ 4 5 56 12 8_1.1. LGEBRA DE MATRICES 9Ejemplo 5 Sean . 1 en `2. Determinar el valor de verdad de la proposicin1 = _ 0 00 0_ = _ = _ 0 00 0_. 1 = _ 0 00 0__Desarrollo.Basta tomar = _ 0 30 1_ y 1 = _ 1 100 0_. Ambas diferentes de la matriz nula y1 = 0. Luego la proposicin es falsa en general.Observacin. El producto de dos matrices 1 slo es posible cuando el nmero decolumnas de es el mismo que el nmero de las 1.No hay ley conmutativa para el producto matricial, en general 1 ,= 1. puede ocurrirque 1 est denida pero no 1. o que estando ambas denidas, stas sean diferentes.Ejemplo 6 Sean = _ 1 32 1_ y 1 = _ 1 10 11 _2 :_1 = _ 1 32 1_ _ 1 10 11 _2 :_ = _ 2 10 3_2 1 3:3 20 +_2 2 +:_ y1 = _ 1 10 11 _2 :_23_ 1 32 1_22no est denido. Luego no tiene sentido pregun-tarnos por la propiedad conmutativa.Ejemplo 7 Sean = _ 1 32 1_ y 1 = _ 1 101 _2_1 = _ 1 32 1_ _ 1 101 _2_ = _ 2 10 3_23 20 +_2_ y1 = _ 1 101 _2_ _ 1 32 1_ = _21 71 + 2_2 3 +_2_. En este caso, existen 1 y 1.pero son diferentes.Observacin. Para que dos matrices y 1 sean sumables y multiplicables es necesario quesean cuadradas y de igual orden.Por otra parte para que estn denidos los productos 1 y 1 la condicin general esque las matrices sean de orden :: y : :.Denicin 6 Decimos que las matrices y 1 conmutan si y slo si1 = 1Denicin 7 Llamamos matriz identidad o unitaria de orden : a la matriz cuadrada deorden : denida por1 = 1a = [oi)] =__1 000 10.........0 0 1__ donde oi) = _ 1 si i = ,0 si i ,= ,El smbolo oi) es llamado Delta de Kronecker.10 CAPTULO 1. MATRICESTeorema 8 Si cada suma y producto indicado existe, se cumple:1. (1C) = (1)C.2. ( +1)C = C +1C.3. 1(1 +1) = 11 +11.4. 1a = . 1n = . donde es de orden ::.Ejemplo 8 Dadas . 1. C y 1 matrices cuadradas del mismo orden : tales que 1 = 1 yC1 = 1. Resuelva la ecuacin matricial(1 +C)1 1A = C +1Desarrollo.(1 +C)1 1A = C +1 Por distribucin,11 +C1 1A = C +1 Reemplazando,11 +1 1A = C +1 Sumando inverso aditivo,1A = C +1 11 1 cancelando,1A = C 11 multiplicando por -1,1A = C +11 multiplicando por izquierda por .(1A) = (11 C) Distributividad y Asociatividad,(1) A = (1)1 C Reemplazando,1A = 11 C Identidad.As, obtenemosA = 1 CCorolario 9 Sean y 1 matrices tales que 1 existe entonces:1. El coeciente ci)(1) de 1 es el producto matricial de la la i de y la columna ,de 1. es decir,ci)(1) = ,i ()c) (1) .2. La columna , de 1 es el producto matricial de y la columna , de 1. es decir,c)(1) = c) (1) .3. La la i de 1 es el producto matricial de la la i de y 1. es decir,,i(1) = ,i ()1.Denicin 10 Si es una matriz cuadrada de orden :. Se dene, por recurrencia, lapotencia de una matriz0= 1aI+1= I con / N01.1. LGEBRA DE MATRICES 11Observacin. Ntese que para denir potencia no es necesaria la propiedad conmutativa,sin embargo, la propiedad asociativa es imprescindibleEjemplo 9 Dada la matriz = _ 1 20 1_. entonces podemos calcular sus potencias0= _ 1 00 1_.1= _ 1 20 1_.2= = _ 1 20 1_ _ 1 20 1_ = _ 1 00 1_.3= 2 = 12 = .Ejemplo 10 Dada la matriz = _1 21 1_. entonces podemos calcular sus potencias0= _ 1 00 1_.1= _1 21 1_.2= _1 21 1_ _1 21 1_ = _ 1 00 1_.3= 2 = 12 = .4= 3 = = 2= 12.Denicin 11 Si es una matriz cuadrada de orden : y j(r) = ni=0ciriun polinomiocon coecientes en K, entonces se dene j evaluado en comoj() =n

i=0ciiObservacin.Note que, en la evaluacin el coeciente c0 (trmino constante) se reemplaza por c01a.Esta denicin no es trivial, entenderemos su importancia en el ltimo captulo de estelibro.Ejemplo 11 Dada la matriz = _ 1 20 1_ y el polinomio j(r) = r3+ 3r + 1. Calcularj().Usando los clculos obtenidos en el ejemplo 9 y reemplazando, obtenemos:j() = _ 1 20 1_3+ 3_ 1 20 1_+12= _ 1 20 1_+_ 3 60 3_+_ 1 00 1_= _ 5 80 3_.12 CAPTULO 1. MATRICESEjemplo 12 Dada la matriz = _1 21 1_ y el polinomio j(r) = r53r2+2. Calcularj().Usando los resultados obtenidos en el ejemplo 10 y reemplazando, tenemos:j() = _1 21 1_53_1 21 1_2+ 212= _1 21 1_+_ 3 00 3_+_ 2 00 2_= _6 21 4_.Denicin 12 Sea = [ci)] una matriz cuadrada de orden : entonces:a) es una matriz diagonal si y slo si ci) = 0, si i ,= ,. Escribimos1[c11. c22. c33. ..... caa] =__c110 000 c22000 0 c330...............0 0 0caa__b) es una matriz antidiagonal si y slo si ci) = 0 si i +, ,= : + 1. Escribimos:1o_ca1. c(a1)2. c(a2)3. .... c1a =__0 0 0c1a............0 0 c(a2)300 c(a1)20 ...ca10 00__c) es una matriz tridiagonal si y slo si ci) = 0 si (i, + 1 i < , 1) .d) es una matriz triangular superior si y slo si ci) = 0 si i, (o sea, todo elementobajo la diagonal principal es cero)e) es una matriz triangular inferior si y slo si ci) = 0 si i < , (o sea, todo elementosobre la diagonal principal es cero)f) Particularmente es una matriz triangular estrictamente superior o triangular estricta-mente inferior si y slo si (ci) = 0 para i > , i 6 ,), respectivamente.Ejemplo 13 Las siguientes matrices las podemos clasicar, segn la denicin anteriorcomo:1 =__ 2 0 01 0 03 0 7__ es una matriz triangular inferior,1.1. LGEBRA DE MATRICES 13l =__ 0 2 30 0 70 0 0__ es una matriz triangular estrictamente superior, =__1 2 0 01 0 3 00 0 0 70 0 2 1__ es una matriz tridiagonal en `4.Ejemplo 14 Sean . 1 en `a matrices triangulares superiores.Probar que 1 es una matriz triangular superior.Desarrollo. Sean = [ci)], 1 = [/i)] . 1 = [ci)] .Debemos probar queci) =a

I=1ciI/I) = 0 si i,.Sea i, tenemosci) =i1

I=1ciI/I) +a

I=iciI/I)pero ciI = 0 si / = 1. .... (i 1), ya que es una matriz triangular superior, luego la primeraparte de la suma es nula. Tambin /I) = 0 si / = i. .... : debido a que 1 es triangularsuperior. Luego la suma (2) es nula.De lo anterior 1 es una matriz triangular superior ya que ci) = 0 si i,.Ejemplo 15 Determinar para que matrices cuadradas se cumple la igualdad212= ( +1)( 1).Desarrollo. Esta igualdad es verdadera, cuando las matrices y 1 conmutan, ya que( +1)( 1) = ( +1)( + (1)1)= ( +1) + ( +1)(1)1= 2+1 + (1)(1 +12)= 212+1 1.Luego,212= ( +1)( 1) == 1 1 = 0 == 1 = 1.Ejercicio 16 Determinar la forma ms general de dos matrices cuadradas de orden 2 nodiagonales que conmuten.14 CAPTULO 1. MATRICESDesarrollo. Sean = _ c /c d_; 1 = _ r . n_ las matrices pedidas. Entonces1 = 1 =___/. = c (1)(c d) = /(r n) (2)(c d). = c(r n) (3)Como y 1 son no diagonales, entonces / ,= 0 c ,= 0; ,= 0 . ,= 0Caso I Supongamos que c ,= 0. luego en (1) tenemos que . ,= 0.de lo contrario, si . = 0entonces = 0a) Si c = d entonces r = n/c = . = tAs obtenemos que las matrices son = _ c ctc c_. 1 = _ r .t. r_donde c. r. t son nmeros reales cualesquiera, c. . son no nulos.b) Si c ,= d entonces r ,= n ademsr nc d = .c = tluego . = tc y de (1) = t/. adems,si usamos el cambio de variable n = c d entonces tn = r nResumiendo tenemosr = tn +n = t/. = tcmatricialmente obtenemos = _ n +d /c d_. 1 = _ tn +n t/tc n_donde /. d. nson nmeros reales cualesquiera y t. n. c son no nulos.Caso II Si c = 0 entonces / ,= 0. . = 0. ,= 0. Si usamos el cambio de variable t = /.obtenemos = t/ adems, si denimos n = c d entonces tn = r n. as obtenemos = _ n +d /0 d_. 1 = _ tn +n t/0 n_donde d. nson nmeros reales cualesquiera y t. n. / son no nulos1.1. LGEBRA DE MATRICES 15Resumiendo = _ c ctc c_. 1 = _ r .t. r_ con c. r. t R c. . R

= _ n +d /c d_. 1 = _ tn +n t/tc n_ con /. c. d. n R t. n R

.Denicin 13 Sea una matriz de orden ::a) Trasponer una martiz de orden :: consiste en intercambiar sus las por sus colum-nas, respetando la secuencia. La matriz resultante se llama traspuesta de , es deorden :: y se anota t. Es decir, si = [ci)] entonces t= [c)i], donde el ele-mento ubicado en la la i y la columna , de , aparece en la la , y la columna i detb) Si una matriz es igual a su traspuesta se dice simtrica.c) Si una matriz es igual al inverso aditivo (negativo) de su traspuesta se dice antisimtrica.Observacin. Una matriz simtrica o antisimtrica debe ser cuadrada, por ejemplo:1a es simtrica;0a es simtrica y antisimtrica.Observacin. Si es antisimtrica, entonces los coecientes de la diagonal principal de son todos ceros.Ejemplo 17 Sea =__3 31 7_2 1__.Determinar la traspuesta de y decidir si es simtrica o antisimtrica.Desarrollo. La traspuesta esta dada port= _3 1 _23 7 1_y no es simtrica ni antisimtrica.Ejemplo 18 Determinar si las siguientes matrices son simtricas o antisimtricas.1. 1 =__2 1 31 7 23 2 1__;2. C =__0 1 21 0 12 1 0__;16 CAPTULO 1. MATRICES3. 1 = _2 11 0_;Desarrollo.1. 1 es simtrica ya que 1t= 1.2. C es antisimtrica ya que Ct= C.3. 1 no es simtrica y 1 no es antisimtrica.Ejemplo 19 Sea en `a una matriz antisimtrica.Demostrar que tiene slo ceros en la diagonal principal.Desarrollo.Sabiendo que es antisimtrica, debemos probar quecii = 0\i 1. ....... :Como = t. es decir,[ci)] = [c)i] \i 1. ..... :\, 1. ...... :.El coeciente ci) est en la diagonal principal si y slo si i = ,.Para dichos coecientes tenemos:cii = cii \i 1. ....... :o sea2cii = 0\i 1. ....... :luegocii = 0\i 1. ....... :Ejercicio 20 Demostrar que si es simtrica y antisimtrica entonces = 0a.Teorema 14 Sean y 1 dos matrices de orden : : y C una matriz de orden : y: Kentonces se cumple:1. (C)t= Ctt.2. ( +1)t= t+1t.3. (:)t= :t= (:)t; :C = (:C) = (C):.4. (t)t= .5. La suma y producto escalar de matrices simtricas resultan simtricas.6. El producto de matrices simtricas es simtrico si y slo si las matrices conmutan1.2. INVERSIN DE MATRICES 17Denicin 15 Una submatriz de una matriz . es una matriz que se obtiene a partir de eliminando algunas (no todas) las y/o columnas.Observacin. Las las y columnas de una matriz son ejemplos importantes de submatricesde sta.Ejercicios:1. Sean = _ 2 11 2_. 1 = _ 3 01 c_. C = _ 2 53 6_ y j(r) = (r 3)(r 1).a) Calcular j() y j(C).b) Calcular C2c) Determinar el valor c" tal que j(1) = 02. Sean = _ 1 11 3_. 1 = _ 3 21 c_, y j(r) = (r 4)(r 1).a) Calcular j()b) Calcular 212c) Determinar el valor \c" tal que j(1) = 03. Dada las siguientes matrices =__2 3 1 24 2 3 120 2 1 c__. 1 =__ 1 2 2 11 1 2 33 4 1 2__ . C = _ 1 1 2 1 Encontrar el conjunto solucin de la ecuacin matricial , para cada valor de c en losreales.Ct= 1Ct1.2. Inversin de matrices1.2.1. Operaciones elementalesEl estudio de las ecuaciones matriciales A = 1con an; Anj; 1aq es de granutilidad en matemticas aplicadas, pues adems de la utilidad directa por saber resolver laecuacin, en la bsqueda de la solucin general, hay que enfrentar y resolver varios problemasmuy frecuentes y caractersticos de los sistemas lineales.La ecuacin A = 1, en base a lo que ya hemos estudiado tiene un mtodo natural desolucin, que consiste en hacer directamente el producto A, asumiendo A como una matrizde :j variables o incgnitas distintas y proceder a igualarlo trmino a trmino con 1aj.18 CAPTULO 1. MATRICESEste mtodo reduce o transforma la ecuacin matricial en j sistemas lineales cada uno deellos con : ecuaciones y : incgnitas.Sin embargo es posible concebir otras alternativas de desarrollo para el mismo problema.Una de estas, es tratar de modicar la ecuacin A = 1, transformndola en otra, que seaequivalente a la anterior, pero que sea ms simple o de desarrollo ms evidente.Particularmente importante es el caso en que es cuadrada, pues pensando en formaanloga a la resolucin de una ecuacin en una variable en R. tenemos que encontrar unamatriz

de modo que cumpla con

= 1a y as al multiplicar la ecuacin A = 1 por

. obtenemos

A =

1de donde1aA =

1.o sea,A =

1.En este desarrollo tenemos que

es una matriz que acta sobre , tal como lo hace c1sobre c en R0; en otras palabras, la matriz

es la matriz inversa de , respecto delproducto de matrices.Precisamente, esta parte del texto, esta destinada a estudiar la inversa de una matriz ,tanto en lo relativo a su existencia como a su determinacin o clculo.Por otra parte, tambin nos interesa estudiar ciertas tansformaciones aplicables a lasmatrices y 1 que preservan (no alteran) el conjunto de las soluciones de la ecuacinA = 1 y que son de gran utilidad para resolver tanto Ecuaciones Matriciales de la formaA = 1 como Sistemas de Ecuaciones en general.Denicin 16 Sean . 1 en `aa) Se dice que 1 es la matriz inversa de en `a si y slo si1 = 1 = 1ab) Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y slo si existe la inversa de ella.c) Una matriz se dice singular si no es regular.Notacin. Si es regular, anotamos 1para la inversa de .Proposicin 17 Si existe una inversa de en `a ella es nica.Demostracin. Sean 1 y H dos inversas de , entonces1 = 11 = 1(H) = (1)H = 1H = HAs obtenemos que1 = Hluego la inversa es nica.1.2. INVERSIN DE MATRICES 19Proposicin 18 Dada en `a. Si existe 1 en `a tal que 1 = 1a entonces 1 = 1a.La demostracin de esta proposicin se ver ms adelante.De acuerdo a esto para determinar 1basta resolver una de las ecuaciones A = 1a A = 1a.Observacin. No toda matriz de orden : tiene inversa.Por ejemplo para : = 2 y = _ c 0c 0_.Supongamos que 1 = _ r . t_ es la inversa de . tenemos que1 = 1a.pero_ r . t_ _ c 0c 0_ = _ rc +.c 0c +tc 0_luego 1 ,= 1a para toda matriz 1.Ms adelante en `a se demuestra: Si una matriz de orden : tiene una la o columnanula, entonces ella no tiene inversa.Ejemplo 21 Si = _0 11 3_.Verique que 1= _ 3 11 0_Solucin._0 11 3_ _ 3 11 0_= _30 + 11 (1)0 + 013(1) + 31 (1)(1) + 30_= _ 1 00 1_.Ejemplo 22 Si =__0 1 21 3 01 2 1__.Verique que 1=__ 3 5 61 2 21 1 1__. y resuelva la ecuacin __ r.__ =__ /1/2/3__. para/1. /2. /3 en RSolucin. 1es inversa de si slo si 1= 1 = 1a20 CAPTULO 1. MATRICES1 =__ 3 5 61 2 21 1 1____0 1 21 3 01 2 1__=__ 5 + 6 3 + 5 12 6 + 62 + 2 1 + 6 4 2 + 21 1 1 3 + 2 2 1__=__ 1 0 00 1 00 0 1__.por lo tanto 1es inversa de . Ahora premultiplicamos por 1la ecuacin__ r.__ =__ /1/2/3__As obtenemos1__ r.__ = 1__ /1/2/3__y luego asociando e igualando 1 = 1. tenemos que__ r.__ =__ 3 5 61 2 21 1 1____ /1/2/3__por lo tantor = 3/1 + 5/2 + 6/3 = /1 + 2/2 + 2/3. = /1/2/31.2. INVERSIN DE MATRICES 21Teorema 19 Si y 1 en `a son regulares, entonces1. 1es regular y (1)1= .2. 1 es regular y (1)1= 111Demostracin.1. Sabemos que1= 1 = 1.por lo tanto, la inversa de 1es , y tambin la inversa de 1es (1)1. y como ella esnica tenemos,(1)1= 2. Como y 1 son regulares entonces existen 1. 11.As,(1)111= (111)1= 1= 1y anlogamente 111(1) = 1, por unicidad de la inversa se tiene(1)1= 111.Observacin. Note que si . 1. C son matrices regulares, entonces(1C)1= C1111Ejemplo 23 Dada la matriz = _ c /c d_ en `2. Determinar la matriz inversa de . sista existe.Desarrollo. Supongamos que 1= _ r . n_ y calculemos las constantes r. . .. n_ c /c d_

_ r . n_ = _ 1 00 1_por igualdad de matrices tenemos el siguiente sistema:1) cr +/. = 12) cr +d. = 03) c +/n = 04) c +dn = 1.Consideremos los sistemas(I) 1) cr +/. = 12) cr +d. = 0(II) 3) c +/n = 04) c +dn = 1En (I) Multiplicamos la ecuacin 1) por c y la ecuacin 2) por c y nalmente restando ala ecuacin 2) la ecuacin 1) obtenemoscd. c/. = c(cd c/). = c22 CAPTULO 1. MATRICESRepitiendo el proceso tenemos que multiplicar la ecuacin 1) por d y la ecuacin 2) por / yrealizando la diferencia se tiene,(cd c/)r = d.En (II) procediendo de manera anloga obtenemos(cd c/) = /(cd c/)n = cSi cd /c = 0. la matriz original es nula, luego no tiene inversa.As cd /c ,= 0 y podemos concluir_ r . n_ =1cd /c_d /c c_de otra manera_ c /c d_1=1cd /c_d /c c_.El ejercicio permite determinar una condicin necesaria y suciente para que una matrizde orden 2 sea invertible.Lamentablemente el mtodo empleado para matrices de orden : mayor que 2 no eseciente, ya que tenemos que resolver :sistemas lineales con : ecuaciones y : incgnitas.Estudiamos a continuacin ciertas operaciones realizables a las matrices, semejantes a lasempleadas para resolver el sistema de ecuaciones lineales anterior.Denicin 20 Dada una matriz de orden : :. Llamaremos Operaciones ElementalesFilas (OEF) sobre a cada una de las siguientes operaciones con las de la matriz .1. Denotamos 1i) al intercambio solamente de la la i con la la ,.2. Denotamos 1i(:) al reemplazo de la la i por : veces la la i. con : ,= 0.3. Denotamos 1i)(/) al reemplazo de la la i por la suma de la la i ms / veces la la,. con i ,= ,.4. Denotamos Ci) al intercambio solamente de la columna i con la columna ,.5. Denotamos Ci(:) al reemplazo de la columna i por : veces la columna i. con : ,= 0.6. Denotamos Ci)(/) al reemplazo de la columna i por la suma de la columna i ms /veces la columna ,. con i ,= ,.Notacin. Si . 1 son matrices de orden :: y 1 se obtiene desde la matriz efectuandosobre sta la operacin elemental 1. entonces anotamos 1~ 1 o 1 11.2. INVERSIN DE MATRICES 23Ejemplo 24 Sea =__ 1 2 1 20 4 3 72 5 0 1__ejempliquemos las distintas operaciones elementales C13(2)__1 2 1 26 4 3 72 5 0 1__131(2)__1 2 1 26 4 3 70 9 2 5__121(6)__ 1 2 1 20 8 3 190 9 2 5__C2(18 )__ 114 1 20 1 3 190982 5__Observacin. A partir de la matriz identidad podemos formar las siguientes matrices no-tables.__1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1__ C13(2)__1 0 0 00 1 0 02 0 1 00 0 0 1__= 131(2)__ 1 0 00 1 00 0 1__ 131(2)__1 0 00 1 02 0 1__= 131(2)__ 1 0 00 1 00 0 1__ 121(6)__ 1 0 06 1 00 0 1__= 121(6)__1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1__ C2(18)__1 0 0 00 180 00 0 1 00 0 0 1__= 122(18)24 CAPTULO 1. MATRICESque para el ejemplo anterior cumple con__ 1 2 1 20 4 3 72 5 0 1____1 0 0 00 1 0 02 0 1 00 0 0 1__=__1 2 1 26 4 3 72 5 0 1____1 0 00 1 02 0 1____1 2 1 26 4 3 72 5 0 1__=__1 2 1 26 4 3 70 9 2 5____ 1 0 06 1 00 0 1____1 2 1 26 4 3 70 9 2 5__=__1 2 1 26 4 3 70 9 2 5____1 2 1 26 4 3 70 9 2 5____1 0 0 00 180 00 0 1 00 0 0 1__=__ 114 1 20 1 3 190982 5__nalmente__ 1 0 06 1 00 0 1____1 0 00 1 02 0 1____ 1 2 1 20 4 3 72 5 0 1____1 0 0 00 1 0 02 0 1 00 0 0 1____1 0 0 00 180 00 0 1 00 0 0 1____ 114 1 20 1 3 190982 5__Denicin 21 Una Matriz Elemental (ME) de orden : es la matriz identidad 1a luego deefectuarle una operacin elemental la y la anotaremos del siguiente modo1a 1ij 1i)1a 1ij(I)1i)(/) 1a 1i(v) 1ii(:)Ejemplo 25 Algunas matrices elementales de orden 3.__ 1 0 00 1 00 0 1__ 112__ 0 1 01 0 00 0 1__ = 112__ 1 0 00 1 00 0 1__ 123(I)__ 1 0 00 1 /0 0 1__ = 123(/)__ 1 0 00 1 00 0 1__ 13(v)__ 1 0 00 1 00 0 :__ = 133(:)1.2. INVERSIN DE MATRICES 25Teorema 22 Sea matriz de orden ::. si denotamos por 1() la matriz de orden ::resultante de actuar sobre la operacin elemental 1, se tiene1. 1() = 1i). donde 1 es 1i).2. 1() = 1ii(:). donde 1 es 1i(:). : ,= 03. 1() = 1i)(/). donde 1 es 1i)(/).4. 1() = 1i). donde 1 es Ci).5. 1() = 1ii(:). donde 1 es Ci(:). : ,= 06. 1() = 1)i(/). donde 1 es Ci)(/).Observacin. El teorema anterior se puede generalizar del siguiente modo.Teorema 23 Sean . 1 matrices de orden ::. si desde se llega a 1 con operacioneselementales las o columnas, que enumeramos por orden de ejecucin, distinguiendo lasde columnas, entonces existen Matrices Elementales las 11. 12.. 1t de orden : : yexisten Matrices Elementales columnas 101. 102.. 10c de orden (:. :) tales que(1t1t1 1211) _101102 10c110c_ = 1Observacin. En las condiciones del teorema anterior tenemos que existen matrices 1. Qtal que1Q = 1en los prximos teoremas se demostrar que estas matrices son regulares.Teorema 24 Toda Matriz Elemental es regular1. 11i)= 1i)2. 11ii (:) = 1ii(:1). con : ,= 03. 11i) (/) = 1i)(/). con i ,= ,Observacin. Teniendo presente los teoremas anteriores tenemos que toda matriz que sepueda escribir como producto de matrices elementales es regular.Denicin 25 Sean . 1 matrices en `na.1. Se dice que es Equivalente por Fila a 1 si y slo si 1 se obtiene por un nmeronito de operaciones elementales las. en tal caso se denota por 1 1.2. Se dice que es Equivalente por Columna a 1 si y slo si 1 se obtiene desde por unnmero nito de operaciones elementales columnas en tal caso se denota por C 1.26 CAPTULO 1. MATRICES3. Se dice que es Equivalente a 1 si y slo si 1 se obtiene desde por un nmeronito de operaciones elementales en tal caso se denota por 1.Observacin. es equivalente por la a 1 implica que existe una matriz regular 1 tal que 1 = 1. es equivalente por Columna a 1 implica que existe una matriz regular Q tal que Q = 1. es equivalente a 1 implica que existen dos matrices regulares 1. Q tal que 1Q = 1.Teorema 26 En `na la relacin1 tiene las siguientes propiedades:Es reexiva: Para toda `na se tiene1 Es simtrica: Para toda . 1 `na. Si1 1 entonces11 .Es transitiva: Para toda . 1. C `na. Si1 1 y11 C entonces1 C.Teorema 27 Sea en `a.1. Si es equivalente por la a la identidad,1 1a. entonces es producto de matriceselementales.2. Si es producto de matrices elementales entonces es regular.3. Si es equivalente por columna a la identidad,C 1a. entonces es producto dematrices elementales.4. Si es equivalente a la identidad, 1a. entonces es producto de matriceselementales.5. Si es regular entonces es equivalente por la a la identidad.Corolario 28 Las siguientes proposiciones son equivalentes:1. es equivalente por la a la identidad.2. es producto de matrices elementales.3. es regular.Corolario 29 Sean . 1 matrices cuadradas de orden :.1. Si es singular y 1 1. entonces 1 es singular.2. Si es singular y C 1. entonces 1 es singular.1.2. INVERSIN DE MATRICES 273. Si es singular y 1. entonces 1 es singular.Demostracin. Por transitividad de la implicancia tenemos que es regular== 1 1alo cual es equivalente no es equivalente por la 1a == es singular.Usando la simetra y transitividad de la equivalencia por la tenemos que 1 no es equi-valente por la a la Identidad, luego 1 es singular.Observacin. El teorema anterior nos entrega un mtodo para determinar la inversa deuna matriz regular mediante operaciones elementales.Construyamos una nueva matriz de orden :(2:) dada por [[1a] y realizemos sobreella las operaciones elementales necesarias para obtener a partir de la matriz identidad, esdecir[[1a] [1a[1]entonces en 1 tenemos efectuadas todas las operaciones que se realizarn a . y por lo tanto1 = 1aluego1 = 1Si operamos por columnas, entonces el procedimiento es anlogo pero actuando sobre lamatriz de orden (2:):. dada por _ 1a_ y recordando que la matriz elemental columnapost-multiplica a .An no disponemos de un mtodo que permite saber anticipadamente si una matriz esregular o singular.Teorema 30 Si es una matriz de orden : con una la o columna de ceros, entonces es singular.Demostracin.a) Supongamos que ,i() = 0 y como para cualquier 1 `a se tiene,i(1) = ,i()1 = 01 = 0.entonces 1 ,= 1a. para cualquier 1 `a. por lo tanto no es regular.b) Supongamos que c)() = 0 y como para cualquier 1 `a se tienec)(1) = 1c)() = 10 = 0.entonces 1 ,= 1a. para cualquier 1 `a. por lo tanto no es regular.28 CAPTULO 1. MATRICESCorolario 31 Sean . 1 `a.Si 1 y alguna la o columna de 1 es cero entonces es singular.Ejemplo 26 Las siguientes matrices son singularesa)__ 1 0 00 0 00 0 0__b)__ 1 2 02 1 01 9 0__c)__1 2 12 1 30 0 0__Ejemplo 27 Hallar, si existe, la inversa de =__ 1 2 61 0 10 1 2__.Solucin. Usando Operaciones Elementales Filas, determinemos la inversa de .__ 1 2 6 1 0 01 0 1 0 1 00 1 2 0 0 1__ 112123__ 1 0 1 0 1 00 1 2 0 0 11 2 6 1 0 0____ 1 0 1 0 1 00 1 2 0 0 11 2 6 1 0 0__131(1)132(2)__ 1 0 1 0 1 00 1 2 0 0 10 0 1 112____ 1 0 1 0 1 00 1 2 0 0 10 0 1 112__123(2)113(1)__ 1 0 01 2 20 1 02 2 50 0 1 112__Luego es regular y1=__ 1 2 22 2 5112__Ejemplo 28 Hallar. si existe, la inversa de 1 =__1 2 31 0 50 1 2__.1.2. INVERSIN DE MATRICES 29Solucin. Usando Operaciones Elementales Filas, determinemos la inversa de 1.__1 2 3 1 0 01 0 5 0 1 00 1 2 0 0 1__ 112(1)__ 1 2 3 1 0 00 2 8 1 1 00 1 2 0 0 1____ 1 2 3 1 0 00 2 8 1 1 00 1 2 0 0 1__112__ 1 2 3 1 0 00 1 2 0 0 10 2 8 1 1 0____ 1 2 3 1 0 00 1 2 0 0 10 2 8 1 1 0__112(2)132(2)__ 1 01 1 020 1 2 0 0 10 0 4 1 12__realizando las operaciones elementales 113(14). 113(1). 123(1) obtenemos__ 1 01 1 020 1 2 0 0 10 0 4 1 12__ __ 1 0 05414520 1 0121220 0 1141412__Luego 1 es regular y11=__5414 5212 1221414 12__Ejemplo 29 Hallar. si existe, la inversa de C =__1 2 3 45 6 7 80 10 11 1213 14 15 16__Solucin. Usando operaciones elementales las, calculemos la inversa de C.__1 2 3 4 1 0 0 05 6 7 8 0 1 0 00 10 11 12 0 0 1 013 14 15 16 0 0 0 1__121(5)141(13)__1 2 3 4 1 0 0 00 4 812 5 1 0 00 10 11 12 0 0 1 0012243613 0 0 1____1 2 3 4 1 0 0 00 4 812 5 1 0 00 10 11 12 0 0 1 0012243613 0 0 1__142(3)__1 2 3 4 1 0 0 0048125 1 0 00 10 11 12 0 0 1 00 0 0 0 23 0 1__Usando el corolario anterior, concluimos que C es singular.Denicin 32 Una matriz 1 de orden :: se dice Escalonada Reducida por Fila si yslo si1. El primer elemento no cero de cada la (no nula) es 1 y la columna en que aparece escolumna de la matriz identidad 1n (los dems coecientes de la colunma son ceros).30 CAPTULO 1. MATRICES2. Las las nulas (si las hay) van abajo, es decir las primeras : columnas son no nulas ylas restantes :: son nulas.3. Si los unos, con que comienza cada la no nula estn en las posiciones(1. C1). (2. C2).(:. Cv). entoncesC1 < C2