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Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015

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APUNTE: APUNTE: APUNTE: APUNTE: Funciones de Varias VariablesFunciones de Varias VariablesFunciones de Varias VariablesFunciones de Varias Variables

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO

Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería

Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2015

o Introducción

Hasta ahora hemos trabajado con funciones que dependen de una sola variable, pero en muchas situaciones ocurre que una magnitud es función de dos o más variables. Así, la superficie del cuerpo de una persona depende del peso y de la estatura. El volumen ocupado por un gas depende directamente de su temperatura (es decir, a mayor temperatura, mayor volumen) e inversamente de la presión (es decir, a mayor presión, menor volumen).

El volumen de un cilindro circular recto (por ejemplo, una lata de gaseosa) depende de dos variables: la altura del cilindro y el radio de la circunferencia. La fórmula para calcular

dicho volumen es: hrV ⋅⋅= 2π donde r es el radio y h la altura.

El volumen de un paralelepípedo depende de tres variables: el ancho, el alto y el espesor. La fórmula para calcular dicho volumen

es: cbaV ⋅⋅= donde a es el ancho, b el espesor y c la altura.

El precio de venta de un artículo puede depender de su costo de producción, del costo de los materiales y de los gastos generales. La cantidad de agua en un depósito puede depender de la cantidad de lluvia caída y de la cantidad de agua consumida por los habitantes. La demanda de un producto puede depender de su precio y también del precio de venta de la marca competidora.

Todos los casos anteriores son ejemplos de funciones de varias variables. Veamos un ejemplo de cómo trabajar con este tipo de funciones.

Ejemplo: Una tienda de licores comercializa dos marcas de vino: A y B. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio, sino también del precio de la marca competidora. Los cálculos de ventas indican que si el vino A se vende a x pesos la botella y el vino B se vende a y pesos la botella, la

demanda del vino A será de yxDA 3020300 +−= botellas por mes, y la demanda del vino B será de

yxDB 1040200 −+= botellas por mes. Expresar el ingreso total mensual de la tienda en la venta de esos

vinos como una función de los precios x e y .

Solución:

Calculamos primero el ingreso que tendrá la tienda por cada tipo de vino.

El ingreso por el vino A será ( ) xyxyxI A ⋅+−= 3020300),(

El ingreso por el vino B será ( ) yyxyxI B ⋅−+= 1040200),(

Luego, el ingreso total será la suma de ambos, es decir:

=),( yxI ( ) xyx ⋅+− 3020300 + ( ) yyx ⋅−+ 1040200 � 22 102070200300),( yxxyyxyxI −−++=


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Notemos que al escribir ),( yxI estamos indicando que el ingreso depende de ambos precios: el del vino A

(es decir, x) y el del vino B (es decir, y).

Por ejemplo, si el vino A se vende a 75$ la botella y el vino B a 60$, los ingresos que obtendrá la tienda en ese mes por la venta de ambos vinos será:

=⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅= 22 )60(10)75(206075706020075300)60,75(I $000.201

o Conceptos previos

Espacios numéricos n-dimensionales

1) Recta real: cuando trabajamos con números reales y queremos representarlos, utilizamos la recta real. En ella, ubicamos al 0 (cero), a la derecha de él los reales positivos y a su izquierda los reales negativos. Entonces, a cada punto de la recta le asociamos un número real, y recíprocamente, cada número real tiene un

punto en la recta real que lo representa. Este conjunto es un espacio de una dimensión y lo llamamos R . Lo utilizamos para representar, a los números reales y a subconjuntos de los reales, tales como intervalos, o para representar el dominio e imagen de una función de una variable real.

Así, decimos que R∈3 o que ( ) R⊂− 2;1 .

2) Plano real: si se toman dos rectas reales como la anterior, y se ubican en forma perpendicular, cuya intersección sea el 0 (cero), formamos un sistema de dos ejes cartesianos ortogonales, normalmente llamado plano real.

Es un espacio de dos dimensiones al que denominamos

2R . Aquí cada punto del plano es un par ordenado

),( yx . x e y se llaman componentes o coordenadas del punto. Cada par ordenado tiene un solo punto del

plano que lo representa, y para cada punto del plano hay un par ordenado.

Así, podemos escribir que el punto 2)3;2( R∈ , o que el punto

2)5.2;5.1( R∈−− .

Luego, 2R es el conjunto de todos los pares ordenados de reales, es decir: { }RyRxyxR ∈∧∈= /),(2


3

3) Espacio real: ahora vamos a considerar un sistema formado por tres ejes reales X, Y, Z, mutuamente perpendiculares en el espacio. Para darnos una idea de este sistema, podemos pensar en el ángulo que se forma en el piso de una habitación, donde convergen dos paredes y el piso. El punto de la esquina es el origen (0,0,0) de coordenadas, y las aristas que delimitan las paredes y el piso, son los ejes.

A cada punto del espacio tridimensional o espacio de tres dimensiones le corresponde una terna ordenada

de números reales ),,( zyx . El conjunto de todas estas ternas forman el espacio, que llamamos 3R .

Luego: { }RzRyRxquetalzyxR ∈∧∈∧∈= ),,(3

Así, podemos escribir que el punto 3)8,11,7( R∈ . La representación gráfica de este punto se muestra a

continuación.

Si un punto (x ; y ; z) 3R∈ tiene una coordenada nula, significa que se encuentra sobre algunos de los

planos coordenados XY, YZ o XZ. Por ejemplo, el punto (1 ; 2 ; 0) se encuentra sobre el plano coordenado XY ya que su coordenada en Z es cero.

Y

Z

X

(0,0,0)

Y

Z

X

(0;0;0)

11

7

8

(7;11;8)


4

o Función de dos variables reales

Una función de dos variables se puede expresar explícitamente mediante una ecuación ),( yxfz = o

implícitamente por la ecuación 0),,( =zyxF siendo yx, variables independientes y z la variable

dependiente.

La función f asigna a cada par ordenado de números reales ( )yx ; de un conjunto de partida (o dominio)

incluido en el plano 2R , un único número real z .

La definición de función de dos variables reales exige que se cumplan las mismas condiciones que para la función de una variable real: existencia y unicidad de la imagen para todos los elementos del dominio.

Observemos que mientras que en una función de una variable real el dominio es un subconjunto de R , en

una función de dos variables reales, el dominio es un subconjunto de 2R .

Definición

Dado 2RA ⊂ , una relación RAf →: es una función, si y solamente si se verifica que todo par ordenado

Ayx ∈),( tiene una única imagen Rz ∈ . Se escribe que ),( yxfz = .

Llamamos Dominio de la función al conjunto de partida 2RA ⊂ y Codominio al conjunto de llegada R .

El Conjunto Imagen es un subconjunto del codominio, es decir, un subconjunto de los reales, formado por

todos los elementos z que son imagen de algún elemento de A .

Dominio Si el dominio de una función de dos variables no está expresamente indicado, debemos hallarlo, de la misma manera que lo hacemos con funciones de una variable real.

Por ejemplo: sea la función 22

2),(

yxyxz

+= .

Para hallar el dominio, debemos excluir todos los pares ordenados ),( yx que anulan el denominador. En

este caso, esto sucede cuando 0== yx .

Luego, el dominio es: { })0,0(2 −= RDom .

(x,y) z

f

A R


5

Observemos que el dominio de una función de dos variables puede representarse geométricamente por una

región del plano XY, ya que cada par ordenado ),( yx está representado por un punto del plano.

Ejemplo: determinar y representar gráficamente el dominio de la función 4),( 22 +−−== yxyxfz

Para que esta expresión tome valores reales debe cumplirse que el radicando no sea negativo. Es decir:

0422 ≥+−− yx ⇔ 224 yx +≥ ⇔ 422 ≤+ yx

Por lo tanto, el dominio de esta función es: { }4/),( 222 ≤+∈= yxRyxDom

Los puntos del plano que satisfacen esta desigualdad son los que pertenecen al círculo centrado en el origen y de radio 2, es decir, los puntos que están sobre la circunferencia de radio 2 y los interiores a ella. Ejemplos de aplicaciones de funciones de dos variables reales (1) El ITH En días húmedos y calurosos, mucha gente tiende a sentirse incómoda. El grado de incomodidad está dado

numéricamente por el llamado índice temperatura–humedad (ITH), que es una función de dos variables st

(temperatura en ºF de bulbo seco del aire) y ht (temperatura en ºF de bulbo húmedo del aire) que vale:

( ) ( )hshs ttttfITH +⋅+== 4,015;

Si el ITH es mayor que 75, se sabe que la mayoría de la gente se siente incómoda. Muchos dispositivos eléctricos responden a este índice y pueden anticipar la demanda de aire acondicionado en sus sistemas.

Por ejemplo, si Fts º90= y Fth º80= entonces ( ) ( ) 8380904,01580;90 =+⋅+== fITH .

Ejercicio: averigua las diferencias entre termómetro de bulbo seco y de bulbo húmedo. Busca aplicaciones del ITH en la ganadería. Conceptos relacionados: humedad relativa, tabla psicrométrica. (2) La función de Cobb-Douglas La función de producción llamada Cobb-Douglas relaciona a los insumos de capital y trabajo necesarios para producir de la manera más eficiente posible una determinada cantidad de un bien. Se expresa de la siguiente manera:

( ) βα LKALKfY ⋅⋅== ;

donde 0, ≥βα son constantes paramétricas que verifican que 1=+ βα si los rendimientos son constantes

a escala, 0≥K es la cantidad de capital , 0≥L es la cantidad de trabajo , 0>A es una constante que

representa el estado de la tecnología e Y es la cantidad máxima del bien que se puede producir dados los insumos utilizados de capital y trabajo.

Por ejemplo, si 01,1=A ; 25,0=α ; 75,0=β entonces: ( ) 75,025,001,1; LKLKfY ⋅⋅==

Ejercicio: encuentra la expresión linearizada de la función de Cobb-Douglas, utilizando logaritmos.


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o Representación gráfica de una función de dos variables

La representación gráfica de una función de dos variables ),( yxfz = está dada

por una superficie formada por todos los puntos del espacio 3R que son ternas

de la forma ( ) ( )),(,,,, yxfyxzyx = donde los pares ordenados ( )yx,

pertenecen al dominio de la función. Veamos algunos ejemplos:

La gráfica de la función 1);( 22 ++== yxyxfz es la que se observa a la

derecha. Esta superficie se llama PARABOLOIDE.

La gráfica de la izquierda corresponde a la función yyxfz −== 2);( . Es un

PLANO.

En general una expresión de la forma CByAxyxfz ++== ),( representa

un plano en 3R . También puede expresarse en forma implícita de la siguiente

manera: 0=+++ GFzEyDx donde GA,..., son números reales.

Cómo graficar un plano Veremos dos maneras de realizar la gráfica de un plano.

a) En primer lugar debemos hallar las intersecciones con los ejes coordenados X, Y y Z.

Por ejemplo, vamos a representar el plano dado en forma implícita por la ecuación 0632 =−++ zyx .

Esta misma función en forma explícita es: 632),( +−−== yxyxfz .

Primero hallamos las intersecciones con el eje X, haciendo 0== zy . Obtenemos: 062 =−x � 3=x

Entonces, el punto de intersección del plano con el eje X es (3 ; 0 ; 0).

Análogamente, con el eje Y, haciendo 0== zx . Entonces: 063 =−y � 2=y . Por lo tanto, el punto de

intersección de plano con el eje Y es (0 ; 2 ; 0).

Finalmente, con el eje Z hacemos 0== yx , de donde 06 =−z � 6=z . Luego, el punto de intersección

del plano con el eje Y es (0 ; 0 ; 6).

Unimos estos tres puntos mediante segmentos de rectas, y obtendremos el siguiente gráfico:

Y

Z

X

3

2

6


7

b) El segundo método consiste en hallar las ecuaciones de las rectas en los planos coordenados XY, YZ y XZ. Para esto anulamos de a una variable por vez.

Así, en el ejemplo anterior:

Si 0=x entonces 063 =−+ zy � 63 +−= yz � Recta en el plano YZ

Si 0=y entonces 062 =−+ zx � 62 +−= xz � Recta en el plano XZ

Si 0=z entonces 0632 =−+ yx � 23

2+−= xy � Recta en el plano XY

Graficamos estas tres rectas y obtendremos nuevamente el mismo gráfico de plano.

Estos dos métodos para graficar, pueden generalizarse para cualquier función de dos variables. Veamos por

ejemplo, cómo graficar la función 22);( yxyxfz +== .

Por el primer método, hallamos los puntos de intersección con los ejes coordenados X, Y y Z de la siguiente manera:

Intersección con el eje X � 0== zy � 200 y+= � 0=y

Entonces, el punto de intersección del plano con el eje X es (0 ; 0 ; 0).

Intersección con el eje Y � 0== zx � 00 2 += x � 0=x

Entonces, el punto de intersección del plano con el eje Y es (0 ; 0 ; 0).

Intersección con el eje Z � 0== yx � 00 +=z � 0=z

Entonces, el punto de intersección del plano con el eje Z es (0 ; 0 ; 0). Por lo tanto, en este caso particular, la superficie intersecta a los ejes coordenados sólo en el origen. Ahora veamos cuáles son las intersecciones con los planos coordenados XY, XZ e YZ:

Si 0=x entonces 2yz = � Parábola el plano YZ

Si 0=y entonces2

xz = � Parábola en el plano XZ

Si 0=z entonces220 yx += � 00 =∧= yx � Punto ( 0 ; 0 ) en el plano XY

Y

Z

X

62 +−= xz

23

2+−= xy

63 +−= yz


8

Notemos que si por ejemplo 4=z nos queda: 224 yx += que es

una circunferencia de radio 2 con centro en el origen.

Luego, el gráfico de esta función, que se llama PARABOLOIDE CIRCULAR, es el que se muestra a la derecha.

o Aplicaciones económicas de las funciones de dos variables reales

Veamos ahora algunas funciones de dos variables que se aplican en la Economía y en la Administración.

1) Función de Demanda

a) ( )211 ; ppfD = expresa la cantidad demandada de un bien como función de su precio 1p y del

precio 2p de otro bien relacionado.

b) ( )IpfD ;2 = expresa la cantidad demandada de un bien como función de su precio p y del nivel

de ingresos del consumidor I .

2) Función de Ingreso

221121 );( qpqpqqfI ⋅+⋅== expresa el ingreso que obtiene un productor al vender las cantidades

1q y 2q de dos bienes 1Q y 2Q a los precios unitarios 1p y 2p respectivamente.

3) Función de Costo Total de Producción

CFqcqcqqfC +⋅+⋅== 221121 );( expresa el costo total que se tiene al producir las cantidades 1q

y 2q de dos bienes 1Q y 2Q cuyos costos unitarios son 1c y 2c siendo CF los costos fijos.

4) Producción

);( 21 xxfq = expresa la cantidad total de un producto que se puede elaborar en función de las

cantidades de los insumos o recursos 1x y 2x . También puede aparecer expresada en función del

trabajo y del capital ),( KTfq = .

5) Producción conjunta

);( 21 qqfx = expresa la cantidad total de un insumo X utilizado para producir las cantidades 1q y

2q de los bienes 1Q y 2Q . Esta función se aplica cuando un mismo insumo se utiliza en la

producción de más de un bien, como por ejemplo la leche, que se utiliza para producir queso y manteca.

6) Utilidad

);( 21 qqfU = expresa el nivel de satisfacción o preferencia de un consumidor cuando adquiere las

cantidades 1q y 2q de los bienes 1Q y 2Q .

4

(0;0;0) 2 2


9

o Curvas de nivel

En el ejemplo del paraboloide 22 yxz += , le dimos un valor fijo a la variable z , y obtuvimos una curva en

XY, en ese caso, una circunferencia. La proyección de esta circunferencia sobre el plano coordenado XY, se denomina curva de nivel de la función.

Definición

Dada una función ),( yxfz = se llama curva de nivel kzC = al conjunto de puntos ),( yx pertenecientes al

dominio de la función, para los que se verifica que kyxf =),( .

Características generales

Las curvas de nivel se utilizan en topografía, en el diseño de mapas y cartas topográficas, para representar una región en el plano, es decir, permiten mostrar en una hoja de papel (dos dimensiones) cómo es una región (tres dimensiones).

Supongamos que queremos representar en un plano un cerro. Para esto, se trazan planos horizontales equidistantes que “atraviesan” el cerro. La intersección entre estos planos y el cerro son curvas, que luego se proyectan en el plano. Así obtenemos un conjunto de curvas de nivel. Este “mapa” que se obtiene se denomina mapa de contorno.

Vamos a armar el mapa de contornos para la función del ejemplo anterior, el paraboloide 22);( yxyxfz +== .

Debemos ir dándole valores a z , así:

0=z � 220 yx += � 00 =∧= yx � es el punto )0;0(

1=z � 221 yx += � es la circunferencia centrada en el origen y de radio 1




En la gráfica siguiente se muestra el mapa de contornos del paraboloide circular 22);( yxyxfz +== ,

para valores enteros de z entre 1 y 20.


10

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Entonces, las curvas de nivel para está función son todas circunferencias centradas en el origen, cuyo radio

es z .

Notemos que la distancia entre las curvas de nivel no es siempre la misma. A medida que z aumenta, las circunferencias están cada vez más cerca una de otra.

En general, cuando las curvas de nivel están muy próximas entre sí, significa que hay un aumento de pendiente mayor en la superficie, y si están más alejadas, la pendiente es más “suave”.

Por ejemplo, en la gráfica de la derecha, las líneas dentro del círculo A están más espaciadas, lo que indica una pendiente más suave que las líneas que están dentro del círculo B, que están más próximas entre sí.

Una propiedad de las curvas de nivel es que nunca se intersectan entre ellas. Otra característica es que en una curva de nivel, todos los puntos que la forman se encuentran a la misma altura en la superficie. Debido a esto es que las curvas de nivel tienen muchas aplicaciones. Además del uso en las cartas topográficas, como ya hemos visto, se utilizan en diversas ciencias, tomando distintas denominaciones:

Isóbatas: son curvas que se usan para representar puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como también en lagos de grandes dimensiones.

A

B


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Isotermas: son líneas imaginarias que unen puntos en la superficie terrestre de igual temperatura, que se trazan a intervalos regulares, por ejemplo, cada diez grados centígrados.

Isohietas: son líneas imaginarias que unen puntos de igual precipitación media. (También se llaman isoyetas)

Isobaras: son líneas imaginarias que unen puntos de igual presión atmosférica.

Mapa de Isotermas Mapa de Isohietas

Mapa de Isobaras


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q1

q2

U=1

U=2

x1

x2

C=16

C=22

1

2

3

Aplicaciones de las curvas de nivel en Economía y Administración

Función económica Curva de nivel Interpretación económica

Utilidad Curva de Indiferencia Es el conjunto de todas las combinaciones de compras que le permiten obtener al consumidor el mismo nivel de satisfacción.

Ingreso por ventas Isoingreso Indica todas las combinaciones de ventas con las que el productor obtiene el mismo ingreso.

Coste total Isocoste Indica todas las combinaciones de insumos de producción que tienen un mismo coste.

Producción Isocuanta Indica todas las combinaciones de cantidades de insumos con las que se puede elaborar una misma cantidad de producto.

Producción conjunta Curva de transformación o de

Isoinsumo

Cuando se utiliza un insumo para producir más de un producto, una curva de isoinsumo indica todas las combinaciones de las cantidades de los dos productos que se pueden obtener con una misma cantidad de ese insumo.

Ejemplos:

1) Hallar y representar las curvas de indiferencia que corresponden a la función de utilidad 21 qqU ⋅= , para

los siguientes niveles de utilidad: 1=U , 2=U .

Solución

Si 1=U entonces 211 qq ⋅= � 1

2

1

qq =

Si 2=U entonces 212 qq ⋅= � 1

2

2

qq =

Las ecuaciones obtenidas corresponden a hipérbolas equiláteras, de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos.

2) Obtener las líneas de isocoste correspondientes a la función de costos 1032 21 ++= xxC , donde

21 ; xx representan las cantidades de insumos utilizados, y el costo fijo de producción es 10, para los

siguientes niveles de costo: 16=C , 22=C .

Solución

Si 16=C entonces 103216 21 ++= xx � 23

212 +−= xx

Si 22=C entonces 103222 21 ++= xx � 43

212 +−= xx

Las ecuaciones obtenidas corresponden a rectas paralelas de pendiente –2/3, y de distinta ordenada al origen, de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos.


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o Derivadas parciales

Sea ),( yxfz = una función de dos variables reales cuya gráfica es la superficie S , y sea ),,( cbaP = un

punto sobre la superficie.

La expresión by = representa un plano vertical, cuya intersección con la superficie S es la curva 1C . Sea

)(xg la función que da origen a esta curva.

Sea 1T la recta tangente a la curva 1C en el punto P . La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la

función g en el punto P , es decir, )´(ag . Podemos escribir que ),()´( bafag x= , y se llama derivada

parcial respecto de x. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva 1C en el punto P .

Análogamente, sea el plano vertical ax = cuya intersección con S es la curva 2C , cuya expresión es

)(yg . Sea 2T la recta tangente a esta curva en el punto P .

La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la función g en el punto P , es decir, )´(bg . Podemos

escribir que ),()´( bafbg y= , y se llama derivada parcial respecto de y. Esta derivada nos da la pendiente

de la recta tangente a la curva 2C en el punto P .


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Entonces: una derivada parcial de una función de dos variables es una derivada en la cual una de las

variables permanece fija; por lo tanto, se transforma en una derivada de una función de una variable. Si queremos hallar la derivada parcial respecto de x mantenemos fija (constante) la variable y, y si hallamos la derivada parcial respecto de y, mantenemos fija a la x.

Si ),( yxfz = entonces:

la derivada parcial de f respecto de x se denota x

fyxf x

∂

∂=),(

la derivada parcial de f respecto de y se denota y

fyxf y

∂

∂=),(

Teniendo en cuenta que una derivada es una razón de cambio, podemos decir que:

x

fyxf x

∂

∂=),( es la razón de cambio de f respecto a x cuando y se mantiene fija

y

fyxf y

∂

∂=),( es la razón de cambio de f respecto a y cuando x se mantiene fija

Ejemplo:

Hallar las derivadas parciales de xyxyyxfz 22),( 22 −+== en el punto )8,2,1(=P

Solución:

22),( −=∂

∂= xy

x

fyxf x � =−⋅⋅=

∂

∂= 2212)2,1()2,1(

x

ff x

2

24),( xy

y

fyxf y +=

∂

∂= � =+⋅=

∂

∂= 124)2,1()2,1(

y

ff y

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Interpretación Geométrica de las derivadas parciales

Si ),( yxfz = entonces las derivadas parciales x

f

∂

∂ y

y

f

∂

∂ pueden interpretarse geométricamente como las

pendientes de las rectas tangentes a la superficie ),( yxfz = en las direcciones x e y respectivamente.

Aplicaciones de las derivadas parciales Los conceptos vistos en funciones de una variable real, tales como costos marginales, ingresos marginales, etc., se aplican también en funciones de varias variables. 1) Costos marginales

Si la función de costo total conjunto de un fabricante que produce x unidades de un producto X e y

unidades de un producto Y , es ),( yxfC = , entonces se llama:

a) costo marginal (parcial) con respecto a x a la derivada parcial x

C

∂

∂, y es la razón de cambio de C

con respecto a x cuando y se mantiene fija. Es el costo de producir una unidad adicional de X cuando

el nivel de producción de Y es fijo.


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b) costo marginal (parcial) con respecto a y a la derivada parcial y

C

∂

∂, y es la razón de cambio de C

con respecto a y cuando x se mantiene fija. Es el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el

nivel de producción de X es fijo. Ejemplo: Una compañía fabrica dos tipos de esquíes, los modelos A y B. Supongamos que la función de costos conjuntos de producir x pares del modelo A e y pares del modelo B por semana está dado por

6000857507,0),( 2 +++== yxxyxfC , donde C se expresa en dólares.

Determinar los costos marginales cuando 100=x e 50=y . Interpretar los resultados.

Solución:

Hallamos las derivadas parciales de C respecto a x e y, y las evaluamos en el punto (100 ; 50):

7514,0),( +=∂

∂= x

x

CyxCx � =+⋅=

∂

∂= 7510014,0)50,100()50,100(

x

CCx

89 (1)

85),( =∂

∂=

y

CyxCy � =

∂

∂= )50,100()50,100(

y

CCy

85 (2)

La ecuación (1) implica que al aumentar la producción del modelo A de 100 a 101, mientras se mantenga constante en 50 la producción del modelo B, aumentan los costos aproximadamente en $89. La ecuación (2) implica que al aumentar la producción del modelo B de 50 a 51, mientras se mantiene constante en 100 la producción de modelo A, aumentan los costos aproximadamente en $85.

Como y

CyxCy

∂

∂=),( es una función constante, significa que el costo marginal con respecto a y es de $85

en todos los niveles de producción. 2) Ingresos Marginales

Si la función de ingreso de un fabricante que vende x unidades de un producto X e y unidades de un

producto Y , es ),( yxfI = , entonces se llama:

a) ingreso (parcial) con respecto a x a la derivada parcial x

I

∂

∂, y es la razón de cambio de I con

respecto a x cuando y se mantiene fija. Es el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional

de X cuando el nivel de ventas de Y es fijo.

b) ingreso (parcial) con respecto a y a la derivada parcial x

I

∂

∂, y es la razón de cambio de I con

respecto a y cuando x se mantiene fija. Es el ingreso aproximado recibido al vender una unidad

adicional de Y cuando el nivel de ventas de X es fijo.


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3) Productividad Marginal La fabricación de un producto depende de muchos factores de producción. Entre éstos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etc. Si, por simplicidad, suponemos que la producción sólo

depende del trabajo y del capital, es decir, ),( ktfP = , entonces se llama:

a) productividad marginal con respecto a t a la derivada parcial t

P

∂

∂, y es la razón de cambio de P

con respecto a t cuando k se mantiene fijo. Es el incremento aproximado de la producción al aumentar el

trabajo t en una unidad adicional cuando el capital k es fijo.

b) productividad marginal con respecto a k a la derivada parcial k

P

∂

∂, y es la razón de cambio de P

con respecto a k cuando t se mantiene fijo. Es el incremento aproximado de la producción al aumentar el

capital k en una unidad adicional cuando el trabajo t es fijo. 4) Demanda Marginal

Sean A y B dos artículos relacionados tales que el precio de uno afecta la demanda del otro. Si 1x es la

cantidad demandada del artículo A, y 2x es la cantidad demandada del artículo B, 1p y 2p son los precios

de ambos artículos, entonces las funciones de demanda pueden expresarse así: );( 211 ppfx = ,

);( 212 ppgx = . Definimos:

a) demanda marginal parcial de x1 con respecto a p1 a la derivada parcial 1

1

p

x

∂

∂, y es la razón de

cambio de 1x con respecto a 1p cuando 2p se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de A al aumentar

una unidad del precio de A cuando el precio de B es fijo.

b) demanda marginal parcial de x1 con respecto a p2 a la derivada parcial 2

1

p

x

∂


cambio de 1x con respecto a 2p cuando 1p se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de A al

aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es fijo.

c) demanda marginal parcial de x2 con respecto a p1 a la derivada parcial 1

2

p

x

∂


cambio de 2x con respecto a 1p cuando 2p se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de B al aumentar

una unidad del precio de A cuando el precio de B es fijo.

d) demanda marginal parcial de x2 con respecto a p2 a la derivada parcial 2

2

p

x

∂


cambio de 2x con respecto a 2p cuando 1p se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de B al

aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es fijo.

Demandas marginales cruzadas Las demandas anteriores b) y c) se denominan demandas marginales cruzadas. Pueden ser positivas o negativas, dependiendo de cómo es la interacción entre los productos.


17

Productos complementarios y productos competitivos

Teniendo en cuenta las demandas marginales cruzadas, pueden darse tres casos:

i) 02

1 <∂

∂

p

x ; 0

1

2 <∂

∂

p

x �

ii) 02

1 >∂

∂

p

x ; 0

1

2 >∂

∂

p

x �

iii) 02

1 >∂

∂

p

x ∧ 0

1

2 <∂

∂

p

x ó 0

2

1 <∂

∂

p

x ∧ 0

1

2 >∂

∂

p

x �

Ejemplo:

Las demandas de dos productos A y B están dadas por las funciones: 2

121 75300 ppx −+= ;

122 29250 ppx +−= . Determinar las cuatro funciones de demanda marginal e investigar si los productos

A y B son complementarios o competitivos.

Solución:

Las cuatro funciones de demanda marginal son: 1

1

1 14 pp

x−=

∂

∂ ; 5

2

1 =∂

∂

p

x ; 2

1

2 =∂

∂

p

x ; 9

2

2 −=∂

∂

p

x

Como 02

1 >∂

∂

p

x ∧ 0

1

2 >∂

∂

p

x entonces ambos productos son competitivos.

o Elasticidades Parciales

Sea ),( yxfz = , entonces la elasticidad parcial de z (o de f) respecto a x se define como la elasticidad de

z respecto a x cuando la variable y es constante.

Es decir: ),(),(

),(),( yxfyxf

xxfxfElast x⋅== ε

El valor obtenido ),( xfε es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un

aumento del 1 % de x , mientras y permanece constante.

Análogamente, la elasticidad parcial de z (o de f) respecto a y se define como la elasticidad de z respecto a y cuando la variable x es constante.

Es decir: ),(),(

),(),( yxfyxf

yyfyfElast y⋅== ε

El valor obtenido ),( yfε es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un

aumento del 1 % de y , mientras x permanece constante.

Los artículos SON COMPLEMENTARIOS, ya que un aumento en el precio del artículo A hace disminuir la demanda del artículo B, si el precio de B no cambia.

Los artículos SON COMPETITIVOS (o SUSTITUTOS), ya que un aumento en el precio del artículo A hace aumentar la demanda del artículo B, si el precio del artículo B no cambia.

Los artículos NO SON COMPETITIVOS NI

COMPLEMENTARIOS.


18

Ejemplo:

Hallar la elasticidad de la función 52),( yxyxfz == respecto a x y luego respecto a y .

Solución:

Primero hallamos las derivadas parciales xf y yf :

52),( xyyxf x = ;

425),( yxyxf y =

Luego calculamos las elasticidades:

22),(),(

5

52=⋅=⋅= xy

yx

xyxf

yxf

xxxε ; 55),(

),(

42

52=⋅=⋅= yx

yx

yyxf

yxf

yyyε

Luego, las elasticidades respecto a x e y son 2 y 5 respectivamente. Aplicación de la elasticidad: Elasticidades parciales de la demanda

Sean dos funciones de demanda );( 211 ppfx = , );( 212 ppgx = . La elasticidad parcial de la demanda es la

razón del cambio proporcional en la cantidad demandada de un artículo y el cambio proporcional en el precio de tal artículo, siendo constante el precio de otro artículo. Entonces, tendremos cuatro tipos de elasticidades parciales:

1

1

211

111

),(),(

p

x

ppx

ppx

∂

∂⋅=ε �

2

1

211

221

),(),(

p

x

ppx

ppx

∂

∂⋅=ε �

1

2

2112

112

),(),(

p

x

ppx

ppx

∂

∂⋅=ε �

2

2

212

222

),(),(

p

x

ppx

ppx

∂

∂⋅=ε �

Ejemplo:

Dada la función de demanda 2

105,0400);( ABBA ppppx −+= para el artículo A relacionado con el

artículo B, determinar las elasticidades parciales de la demanda respecto de Ap y Bp cuando 6=Ap y

50=Bp . Interpretar el resultado.

Solución:

Primero hallamos las derivadas parciales: A

A

pp

x20−=

∂

∂ ; 5,0=

∂

∂

Bp

x

La elasticidad parcial de la demanda 1x con respecto al precio 1p ,

para un precio 2p constante.








19

Cuando 6=Ap y 50=Bp resulta que 65610505,0400)50;6( 2 =⋅−⋅+=x

Evalúo las derivadas parciales en estos valores: 120)50;6(

−=

∂

∂

Ap

x ; 5,0

)50;6(

=

∂

∂

Bp

x

Por lo tanto:

08,11)120(65

6

),(),( −≈−⋅=

∂

∂⋅=

ABA

AA

p

x

ppx

ppxε

38,0)5,0(65

50

),(),( ≈⋅=

∂

∂⋅=

BBA

BB

p

x

ppx

ppxε

Esto significa que: un incremento cercano al 1 % en el precio del artículo A producirá una baja del 11,08 % en la demanda de este artículo, mientras que este mismo incremento en el precio del artículo B ocasiona un aumento del 0,38 % en la demanda de A. o Máximos y Mínimos en Funciones de dos variables Los conceptos de máximos y mínimos locales en funciones de dos variables son análogos a los de una variable real. Definición

Diremos que una función de dos variables ),( yxfz = tiene

un máximo local en ( )),(,, bafba si ),(),( yxfbaf ≥ ,

),( yx∀ dentro de un disco con centro en ),( ba .

Diremos que una función de dos variables ),( yxfz = tiene

un mínimo local en ( )),(,, bafba si ),(),( yxfbaf ≤ ,

),( yx∀ dentro de un disco con centro en ),( ba .

Propiedad

Si ),( yxfz = tiene un extremo local (es decir, un máximo o mínimo local) en ( )),(,, bafba , y las

derivadas parciales en ese punto existen, entonces se cumple que estas derivadas son nulas. Es decir:

Si ( )),(,, bafba es extremo local de ),( yxfz = y ∃ ),(),( bax

fbaf x

∂

∂= ∧ ∃ ),(),( ba

y

fbaf y

∂

∂= ,

entonces 0),(),( =∂

∂= ba

x

fbaf x ∧ 0),(),( =

∂

∂= ba

y

fbaf y .

Punto crítico

Un punto ( )),(,, bafba para el cual las derivadas parciales son nulas o alguna de ambas no existe, se llama

punto crítico o punto estacionario de f . En un punto crítico, la función puede tener un MAXIMO

RELATIVO, un MINIMO RELATIVO, o un PUNTO SILLA.


20

Derivadas Parciales Sucesivas

Al igual que en funciones de una variable real, podemos hallar las derivadas parciales de orden superior: segundas, terceras, etc., supuesto que existan. Veremos únicamente cómo hallar y utilizar las segundas derivadas parciales.

Segundas derivadas parciales (o derivadas parciales de segundo orden)

Sea la función ),( yxfz = cuyas primeras derivadas parciales son ),( yxf x y ),( yxf y . Entonces, esta

función tiene cuatro segundas derivadas parciales que se denotan con subíndices colocados en el orden en que se realizan las derivaciones.

Las segundas derivadas parciales de ),( yxfz = son:

2

2

),(x

f

x

f

x

fyxf xx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

2

2

),(y

f

y

f

y

fyxf yy

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

xy

f

x

f

y

fyxf xy

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

2

),(

yx

f

y

f

x

fyxf yx

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

2

),(

Propiedad de las derivadas parciales mixtas

Si las derivadas parciales mixtas de una función de dos variables son continuas en una región abierta, entonces para todo punto dentro de esa región, se cumple que ambas derivadas son iguales.

Es decir: ),(),( yxfyxf xyyx =

Ejemplo:

Sea la función )(),( yseneyxfz x ⋅== . Hallar sus primeras y segundas derivadas parciales. Verificar que

las derivadas parciales mixtas son iguales.

Solución:

)(),( ysenex

fyxf

x

x ⋅=∂

∂= ; )cos(),( ye

y

fyxf x

y ⋅=∂

∂=

)(),(2

2

ysenex

f

x

f

x

fyxf

x

xx ⋅=∂

∂=

∂

∂

∂

∂= ; )(),(

2

2

yseney

f

y

f

y

fyxf

x

yy ⋅−=∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

)cos(),(2

yexy

f

x

f

y

fyxf

x

xy ⋅=∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂= ; )cos(),(

2

yeyx

f

y

f

x

fyxf

x

yx ⋅=∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

Discriminante o Hessiano

Es el determinante de la matriz formada por las segundas derivadas parciales de una función, de la siguiente forma:

yyyx

xyxx

ff

ffH = [ ] 2

xyyyxx fff −⋅=

Se deriva dos veces respecto a x

Se deriva dos veces respecto a y

Se deriva primero respecto a x, y

después respecto a y

Se deriva primero respecto a y, y

después respecto a x

Se llaman derivadas

parciales

mixtas


21

Análisis del Punto Crítico �� Criterio de la Derivada Segunda

Una vez hallado el punto crítico );( ba , veamos cómo saber si es un extremo o no. Para esto utilizaremos las

segundas derivadas parciales.

Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea ),( yxfz = una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene

el punto );( ba , en el cual las primeras derivadas parciales son nulas, es decir: 0),( =baf x ∧

0),( =baf y .

Calculamos el Hessiano de la función en el punto );( ba :

[ ] 2),(),(),(),(),(

),(),(bafbafbaf

bafbaf

bafbafH xyyyxx

yyyx

xyxx−⋅==

Entonces:

1. Si 0>H y 0),( >baf xx entonces hay un MINIMO RELATIVO en );( ba .

2. Si 0>H y 0),( <baf xx entonces hay un MAXIMO RELATIVO en );( ba .

3. Si 0<H entonces el punto )),(;;( bafba es un PUNTO SILLA.

4. Si 0=H , el criterio no es concluyente.

Ejemplo:

Sea 1462),( 22 +−−+== yxyxyxfz . a) Hallar sus derivadas parciales. b) Hallar sus puntos críticos.

c) Hallar sus segundas derivadas parciales. d) Analizar si los puntos críticos son extremos o puntos silla.

Solución:

a) 22),( −=∂

∂= x

x

fyxf x ; 62),( −=

∂

∂= y

y

fyxf y

b) 0),(),( =∂

∂= yx

x

fyxf x � 022 =−x � 1=x

0),(),( =∂

∂= yx

y

fyxf y � 062 =−y � 3=y

c) =∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

2

2

),(x

f

x

f

x

fyxf xx 2 ; =

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

2

2

),(y

f

y

f

y

fyxf yy 2

=∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

xy

f

x

f

y

fyxf xy

2

),( 0 ; =∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

yx

f

y

f

x

fyxf yx

2

),( 0

d) Como 0>H y 0)3,1( >xxf entonces el punto )3;1( es un MINIMO RELATIVO.

Por lo tanto, el único punto crítico es )3;1(

Por lo tanto, 4=H


22

Punto silla Veamos un ejemplo de una función que tiene un punto silla.

Sea 22),( xyyxfz −== . Sus derivadas

parciales son xyxf x 2),( −= ; yyxf y 2),( = .

Por lo tanto, su único punto crítico es el punto

)0,0( . Sus segundas derivadas parciales son

2),( −=yxf xx ; 2),( =yxf yy ;

0),(),( == yxfyxf xyyx . Luego, 04 <−=D .

Por lo tanto la función tiene un punto silla en (0,0,0). o Maximización y minimización Al igual que en funciones de una variable, podemos maximizar y minimizar funciones de más de una variable. Veamos cómo trabajar en estos casos con un problema de aplicación. Ejemplo:

Sea 3232 09,089,102,054,0),( kkttktfP −+−== una función de producción donde t y k son las

cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. Encontrar los valores de t y

k que maximizan P .

Solución:

Primero hallamos las derivadas parciales de P respecto de t y k :

206,008,1 tt

t

P−=

∂

∂ ;

227,078,3 kkk

P−=

∂

∂

Luego hallamos los puntos críticos:

0)06,008,1(06,008,1 2 =−⋅=− tttt � 18,0 == tt

0)27,078,3(27,078,3 2 =−⋅=− kkkk � 14,0 == kk

Por lo tanto, tenemos 4 puntos críticos: (0;0), (0;14), (18;0) y (18;14)

Ahora calculamos las derivadas segundas: tf tt 12,008,1 −= ; kf kk 54,078,3 −= ; 0== tkkt ff

Evaluamos en cada punto crítico:

i) 08,1)0,0( =ttf ; 78,3)0,0( =kkf � 00824,478,308,1 >=⋅=H � en (0;0) hay un MINIMO.

ii) 08,1)14,0( =ttf ; 78,31454,078,3)14,0( −=⋅−=kkf � ( ) 00824,478,308,1 <−=−⋅=H

� en (0;14) hay un PUNTO SILLA.

iii) 08,11812,008,1)0,18( −=⋅−=ttf ; 78,3)0,18( =kkf � 00824,478,3)08,1( <−=⋅−=H

� en (18;0) hay un PUNTO SILLA.

iv) 08.11812,008,1)14,18( −=⋅−=ttf ; 78,31454,078,3)14,18( −=⋅−=kkf

� 00824,4)78,3()08,1( >=−⋅−=H � en (18;14) hay un MAXIMO.

Luego, los valores de t y k que maximizan P son 18=t y 14=k .


23

o Diferencial total Definición

Si ),( yxfz = es una función de dos variables reales, y x∆ , y∆ son los incrementos de x e y , se llaman

diferenciales de las variables independientes x e y a:

xdx ∆= y ydy ∆=

y la diferencial total de la variable dependiente z se define como:

dyyxfdxyxfdyy

zdx

x

zdz yx ),(),( +=

∂

∂+

∂

∂=

Ejemplo:

Hallar la diferencial total de la función 223)(2 yxysenxz −⋅=

Solución:

Como 26)(2),( xyysenyxf x −⋅= ,y, yxyxyxf y

26)cos(2),( −⋅=

Entonces: =dz ( ) dxxyysen 26)(2 −⋅ + ( ) dyyxyx 26)cos(2 −⋅

Aplicación de la diferencial total Veamos con un ejemplo cómo se aplica la diferencial total en economía:

En una cierta fábrica, la producción diaria es de 31

21

60 TKQ = unidades, donde K representa

el capital invertido medido en unidades de 1000 dólares y T es el tamaño de la fuerza de trabajo

medido en horas-hombre. El capital actualmente invertido es de 900000 dólares y se usan cada día

1000 horas-hombre. Estimar el cambio que resultará en la producción si la inversión de capital

aumenta en 1000 dólares y el trabajo aumenta en 2 horas-hombre.

Solución:

Tenemos que dTTKfdKTKfdTT

QdK

K

QdQ TK ),(),( +=

∂

∂+

∂

∂=

Como 900=K , 1000=T , 1=dK , 2=dL , y las derivadas parciales son:

21

31

21

31

30

2

60),(

K

T

K

TTKfK

⋅=

⋅

⋅= ,

32

21

32

21

20

3

60),(

T

K

T

KTKfK

⋅=

⋅

⋅=

entonces: dTT

KdK

K

TdQ

31

21

21

31

2030 ⋅+

⋅=

� 2)1000(

)900(201

)900(

)1000(30

32

21

21

31

⋅⋅

+⋅⋅

=dQ =+=⋅⋅

+⋅⋅

= 12102100

30201

30

103022

Esto significa que la producción aumentará aproximadamente en 22 unidades.

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