Apresentação do PowerPointjucienebertoldo.com/wp-content/uploads/2020/05/M8_3BIM... · Secante...

3.° BIMESTRE - 2016

As mascotes Vinicius e Tom estão torcendo para que você ganhe medalha de ouro na luta contra o

Aedes aegypti! Agora ele não transmite só a Dengue, mas Zika e

Chikungunya também.

Rio2

016.

com

Beha

nce.

com

De

ngue

.gob

.br Elimine os focos do

Aedes aegypti.

EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO CLAYTON BOTAS NOGUEIRA MARCELO FERREIRA MARTINS SALVADOR ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA JULIA LYS DE LISBOA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIGRÁFICA IMPRESSÃO

Contatos CED: [email protected] - [email protected] Telefones: 2976-2301 / 2976-2302


PÁGINA 3

1. Indique a quantidade de diagonais de cada um dos polígonos:

a) Pentágono b) Octógono

2. Para contornar com fita adesiva uma cartolina, em forma de quadrilátero (representada na figura abaixo), quatro crianças mediram cada um dos lados. Os valores estão representados abaixo, porém com diferentes unidades de medida. De quantos centímetros de fita adesiva, no mínimo, eles irão precisar?

3. Calcule a área dos polígonos:

4. As figuras, apresentadas a seguir, estão representadas em uma malha quadriculada na qual cada quadradinho tem área de 1 𝑐𝑚2 . Encontre a área de cada uma delas:

150 mm

30 cm

30 cm

2 dm

12 𝑚

12 𝑚 3,3 cm

2,5 cm

32 𝑐𝑚

24 𝑐𝑚

10 𝑐𝑚

2 𝑚

3 𝑚

4 𝑚

6 𝑚

d = 𝑛−3 𝑛2

https://rioeduca-my.sharepoint.com/personal/rioeduca_rioeduca_net/_layouts/15/guestaccess.aspx?guestaccesstoken=2jRaGHWD11MiwxU1SRtbjDMuZW/IJN%2bQE%2bjKPMHQtGQ%3d&docid=2_03b38f52bf5504148be1c555057204e45


PÁGINA 4

Multirio

Monômios semelhantes são os

que possuem a mesma parte literal!

a) 𝑎 − 𝑏

7. Reduza os termos semelhantes dos polinômios:

5. Sejam 𝑎 = −3 , 𝑏 = 2 e 𝑐 = 12

. Encontre o valor das expressões algébricas:

b) 𝑏 + 𝑐

c) b ⋅ 𝑐 + 𝑎

d) 𝑐 + 𝑎

6. Pensei em um número, que somado a 17, é igual ao seu triplo subtraído de 1. Qual é esse número?

a) 𝑥2 + 3𝑥 − 5 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 2

b) 3𝑚 − 2𝑛 − 4𝑚 + 2𝑚 − 2𝑛

c) 4𝑦2 + 3𝑦 − 3𝑦 − 7 + 4𝑦2 − 7 − 2𝑦2 + 5

Determine o polinômio que representa

a) o perímetro do quadrado: _________________________

b) o perímetro do retângulo: _________________________

c) o área do quadrado: _______________________

d) o área do retângulo: _______________________

4x

3y

4x

4x

8. Observe os polígonos:

9. Efetue as operações com polinômios:

a) 2𝑥 ⋅ (2𝑥 − 7)

b) 3𝑦 − 4 ⋅ (2𝑦 − 5)

c) 𝑧 − 5 ⋅ (4 − 2𝑧)

Continuad) 2𝑥 − 3 ⋅ (𝑥 + 5)


PÁGINA 5

f) 1 − 2𝑦 ⋅ (𝑦2 + 5𝑦 − 3)

Multirio

Você percebeu que aplicamos a propriedade distributiva em cada um dos termos

nos parênteses?

e) (3𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥2 − 𝑥 + 2)

10. Faça como no exemplo e efetue as divisões com monômios:

a) 14𝑥3: 7𝑥

b) 12𝑦7: 3y4

c) 140𝑧10: 14𝑧2

d) 35𝑤4: 7𝑤

Para achar o quociente, entre dois monômios, devemos dividir os coeficientes e subtrair os expoentes de mesma base na parte literal.

Exemplo: 14: 7 = 2 𝑥3: 𝑥 = 𝑥2

Assim, 14𝑥3: 7𝑥 = 2𝑥2

11. Efetue as divisões entre polinômios e monômios:

Multirio

Para dividir um polinômio por um monômio, dividimos cada um de

seus termos. Observe:

a) (14𝑥3 − 35𝑥): 7𝑥

b) (12𝑦7 + 3𝑦5): 3y

c) 40𝑎4 − 16𝑎2 : (−4𝑎2)

d) 3c3 − 2c2 + 4c : 𝑐

Exemplo: 14𝑥3:7𝑥 = 2𝑥2 −35𝑥:7𝑥 = −5 Logo, temos que

14𝑥3 − 35𝑥 : 7𝑥 = 2𝑥2 − 5

e) (40𝑤5 − 120𝑤4 + 80𝑤3): 20𝑤2


PÁGINA 6 PÁGINA 6

CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS

Você sabe a diferença entre circunferência e círculo? Vamos ver dois exemplos para descobrirmos a diferença:

Que diferença você observa entre o anel e a moeda?

______________________________________________________________________________________________________________

A circunferência é o contorno de uma forma circular.

Enquanto que o círculo representa a área delimitada por esta, isto é, possui uma superfície (um preenchimento) no seu interior. Veja:

Assim, o anel pode representar a ideia de ________________

e a moeda pode representar a ideia de _________________.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_rings.JPG

A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de um ponto chamado centro da circunferência. Esta distância é chamada de raio da circunferência.

círculo

circunferência

centro

raios

centro

Uma corda é um segmento que liga dois pontos da circunferência.

Um diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência.

cordas

centro

diâmetros

centro centro

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:10_centavos.jpg


PÁGINA 7 PÁGINA 7

CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS

Precisamos lembrar que um diâmetro sempre mede o dobro de um raio. De fato, podemos dividir um diâmetro em dois raios. Observe:

diâmetro

raio

raio Multirio

O comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio!

Todo diâmetro é uma corda da circunferência. Na verdade, o diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência e possui o maior comprimento possível naquela circunferência.

cordas diâmetro

1. Observe as figuras. Em seguida, indique quais delas podem representar a ideia de círculo ou de circunferência:

http

s://c

omm

ons.

wik

imed

ia.o

rg/w

iki/F

ile:M

oeda

_de_

25_c

enta

vos_

da_p

rimei

ra_g

era%

C3%

A7%

C3%

A3o

_(fre

nte)

.png

https://comm

ons.wikim

edia.org/wiki/File:E

nge_-_Kirche_2011-08-03_16-32-16_S

hiftN2.jpg

https://comm

ons.wikim

edia.org/wiki/File:C

hain_basketball_hoop.jpg

_____________________

_______________________________________________________________

_____________________

_____________________

_____________________

https://comm

ons.wikim

edia.org/wiki/File:A

rtillery-spoked_wheel.jpg

http

://si

lves

tre.e

ng.b

r/ast

rono

mia

/edu

caca

o/ro

sas/

met

odo/

Vidro da janela

http

s://c

omm

ons.

wik

imed

ia.o

rg/w

iki/F

ile:S

treet

_iro

n_w

ork_

cloc

k.jp

g


PÁGINA 8 PÁGINA 8

2. Complete, indicando o nome dos segmentos na circunferência:

________________

________________ ________________

________________

________________

3. Utilizando uma régua, desenhe um raio, um diâmetro e uma corda na circunferência abaixo:

Agora, vamos estudar quais são as posições relativas entre um ponto e uma circunferência que estão em um mesmo plano.

Um ponto pode estar em diferentes posições em relação a uma circunferência: externo, interno ou pertencente a ela. Observe:

POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO A UMA CIRCUNFERÊNCIA

raio

Um ponto é externo à circunferência quando a distância entre este ponto e o centro da circunferência é maior que o raio.

raio

raio

Dizemos que um ponto é pertencente à circunferência quando a distância entre este ponto e o centro é igual ao raio.

Um ponto é interno à circunferência quando a distância entre este ponto e o centro da circunferência é menor que o raio.

Centro

Centro


PÁGINA 9

Secante

PÁGINA 9

Já uma reta pode ser exterior, tangente ou secante em relação a uma circunferência no mesmo plano.

Uma reta é exterior quando não encontra a circunferência em

nenhum ponto. Dizemos que uma reta é tangente quando ela possui apenas

um ponto de interseção com a circunferência. Uma reta é considerada secante quando ela cruza a

circunferência em dois pontos diferentes.

POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA A UMA CIRCUNFERÊNCIA

Exterior

Tangente

1. Indique a posição dos pontos em relação à circunferência com centro O:

2. Indique a posição das retas r, s e t em relação à circunferência

3. Nesta circunferência, desenhe um ponto interno e uma reta secante.

A - ____________ B - ____________ C - ____________

r - ____________ s - ____________ t - ____________

t

s

r

e

t

s


PÁGINA 10 PÁGINA 10

Podemos, ainda, estudar as diferentes posições entre duas circunferências que estão no mesmo plano.

Primeiro, vamos observar duas circunferências secantes, isto é, que possuem apenas dois pontos distintos em comum.

As circunferências tangentes são aquelas que possuem

apenas um ponto em comum. Podem ser tangentes exteriores ou interiores. Vejamos:

POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Duas circunferências que não possuem pontos em comum,

podem ser classificadas como externas ou internas.

Tangentes interiores Tangentes exteriores

Externas

Internas não concêntricas Internas concêntricas

Internas

Quando são internas, podem ser concêntricas, (isto é, ter o mesmo centro) ou não concêntricas.

Secantes



1. Nessa figura, podemos ver o símbolo dos Jogos Olímpicos.

Indique a posição relativa entre os aros:

Azul e amarelo: ________________________

Preto e vermelho: ________________________

3. Indique a posição relativa das circunferências:

https://commons.wikimedia.org

http

s://c

omm

ons.

wik

imed

ia.o

rg

https://comm

ons.wikim

edia.org

2. Nas figuras abaixo, podemos observar círculos em diferentes objetos. Indique, em cada caso, a posição relativa desses círculos:

____________________

_____________________

Laranja e verde: ________________________

Preto e marrom: ________________________

Azul e rosa: ________________________

Rosa e laranja: ________________________

4. Na figura a seguir, as duas circunferências são tangentes no ponto C, o raio da circunferência de centro B é de 3 centímetros e o da circunferência de centro D é igual a 2 centímetros. Encontre a distância entre o ponto A e o ponto D.

A B C

D


PÁGINA 12

Arcos de circunferência são partes da circunferência divididas

por dois de seus pontos. Observe os pontos A e B na circunferência

de centro O:

Podemos dividir em dois arcos diferentes: um maior e

outro menor.

A

B

115°

PÁGINA 12

ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULO CENTRAL

⌒ ⌒

A

B

O

Para diferenciar estes dois arcos, usaremos um outro ponto P que

pertence ao arco maior. Assim, vamos representar o arco menor como

AB e o arco maior como APB.

Se ligamos os pontos A e B, ao centro da circunferência, os raios

formam dois ângulos correspondentes a cada um dos arcos da

circunferência. Chamamos este ângulo de ângulo central. Leia o

exemplo:

AB APB

A

B

O

P

⌒ ⌒

O ângulo central de 245° é

correspondente ao arco APB.

O ângulo central de _____ é

correspondente ao arco AB.

A

B

P

245° ⌒

⌒

A

B

O

Arco maior

A

B

O

Arco menor

https://rioeduca-my.sharepoint.com/personal/rioeduca_rioeduca_net/_layouts/15/guestaccess.aspx?guestaccesstoken=pUZgaFAHrxCL7FFFR/kYdwndXwYCghYX1okYW1oU/Mc%3d&docid=2_0829577089b37459cb4e8a7502bff8697



Arcos, com diferentes comprimentos, podem ter o mesmo

ângulo correspondente. Veja:

O ângulo central de 80°

é correspondente aos

arcos AB e CD. Esse

ângulo é chamado de

medida angular dos

arcos.

⌒ ⌒

Dois pontos em uma circunferência sempre formam dois arcos

cujas medidas angulares somam sempre 360°, que é a medida

angular de uma circunferência completa.

⌒ Se a medida angular do

arco EF é 60°, a medida

angular do arco EPF é

300°, pois

60° + 300° = 360°

⌒

E

P

F

60°

1. Nesta figura, encontre a medida angular do arco ACB,

sabendo que a medida angular do arco AB é 170°.

2. Foi realizada uma pesquisa com os alunos de uma escola

sobre o que eles gostavam de fazer nas horas vagas: praticar

esportes, jogar videogame, ir a praia ou ler livros. O resultado

foi exposto em um gráfico de pizza. Leia:

A

B

C

Vídeo Game

Livro

Praia

𝟏𝟏𝟏𝟏

Esporte

Cada aluno escolheu apenas uma atividade.

Responda:

a) Quais as medidas angulares dos

outros setores do gráfico?

________________________________

________________________________

b) Se foram entrevistados 60 alunos,

quantos escolheram “Esportes”

como resposta?

________________________________

________________________________

A

B

C

D

80°

⌒


PÁGINA 14

E

F

A

B

P O

A

B

P O

PÁGINA 14

ÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA

O ângulo 𝐀𝑷�𝑩 é um

ângulo inscrito na

circunferência.

Multirio

Lembre-se: semirreta é uma parte da reta. Ela é infinita apenas em

uma direção!

Podemos dizer ainda que o ângulo 𝐀𝐏�𝐁 é o

ângulo inscrito correspondente ao arco AB. ⌒

Todos os ângulos inscritos em um mesmo arco são chamados

de congruentes, isto é, possuem a mesma medida.

E

P

F 32°

AGORA,É COM VOCÊ!!!

Com base no arco EF, apresentado nas

circunferências acima, escolha o ponto

P, no arco tracejado, trace as

semirretas e meça o ângulo formado

por elas, utilizando um transferidor.

E

P

F

32°

E

P F

32°

E

P

F 32°

Ângulo inscrito é aquele em que o vértice é um ponto qualquer da circunferência, sendo seus lados semirretas secantes a ela.

⌒



Em uma mesma circunferência, ou arco de circunferência,

podemos desenhar o ângulo central e o ângulo inscrito.

Observe a circunferência de centro O, apresentada abaixo.

Vamos desenhar os ângulos central e inscrito correspondentes ao

arco AB.

RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO CENTRAL E O ÂNGULO INSCRITO

⌒ A

B P

O

Traçando os raios 𝐎𝐀 e 𝐎𝐁,

podemos desenhar o ângulo

central 𝐀𝐎�𝐁 correspondente ao

arco AB. ⌒

Em seguida, desenhando as

semirretas 𝐏𝐀 e 𝐏𝐁, encontramos

o ângulo inscrito 𝐀𝐏�𝐁 que

corresponde ao arco AB. ⌒

Assim, aprenderemos uma propriedade muito importante que

será usada em nossas próximas atividades:

A medida do ângulo central, em um arco de

circunferência, é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito

no mesmo arco.

𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏 ⋅ 𝐀𝐏�𝐁

Leia este exemplo:

Se o ângulo inscrito mede 50°, qual

é a medida do ângulo central?

𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏 ⋅ 𝐀𝐏�𝐁 𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏 ⋅ 𝟓𝟏𝟏 𝐀𝐎�𝐁 = 𝟏𝟏𝟏°

A

B P

O

A

B P

O 𝐀𝐎�𝐁 =?

𝟓𝟏°

A

B P

O . P

x

x x x

y y

y y

2y

A

B P

O

https://rioeduca-my.sharepoint.com/personal/rioeduca_rioeduca_net/_layouts/15/guestaccess.aspx?guestaccesstoken=LyllKg2ksrWt7zOqmcjqddOsWdS40KEfQMTKoxBVgaA%3d&docid=2_05023c2ae22ef4481b5219ddba09628e4


PÁGINA 16

Nesta figura, o ângulo central é igual a 𝟏𝟏𝟏° . Será que

podemos encontrar o ângulo inscrito 𝐀𝐏�𝐁?

A

B

P O ?

110°

Multirio

O ângulo central é o dobro do

ângulo inscrito.

𝐀𝑷�𝐁 =𝐀𝑶�𝐁𝟏

𝐀𝑷�𝐁 =𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝐀𝑷�𝐁 = 𝟓𝟓𝟏

2. Em cada um dos casos, apresentados abaixo, encontre os

ângulos representados pelas incógnitas:

1. Com base na circunferência, apresentada abaixo, classifique

os ângulos como inscrito e central:

𝐹𝑂�𝐺:_______________

𝐹𝐻�𝐺:_______________

F

O

G

H

42° 𝑥

164°

𝑦

36°

𝒃

74°

𝑎

Continua

Multirio

Então, o ângulo inscrito é a metade

do central.


PÁGINA 17

4. De acordo com a figura, representada abaixo, complete as

sentenças com um dos termos que estão entre parênteses:

a) O segmento 𝑂𝑂 é chamado de __________________ (raio / diâmetro / corda) da circunferência.

b) Podemos dizer que a posição relativa do ponto B à circunferência é ___________________ (externo / interno / pertencente).

c) A posição relativa da reta r à circunferência é ___________________ (secante / tangente / exterior)

d) Podemos dizer que a posição relativa do ponto A à circunferência é ___________________ (externo / interno / pertencente ).

O A

B

r

5. Complete com o ângulo correspondente ao arco CD. ⌒

245°

C

D

P

𝑧

170°

50°

𝑐

3. Escreva as equações envolvendo os ângulos inscrito e

central e, em seguida, encontre o valor das incógnitas:

𝑥 + 15°

3𝑥 − 20°

Exemplo: 2 ⋅ 𝑥 + 15 = 3𝑥 − 20

2𝑥 + 5°

3𝑥 + 50°

𝑥 + 25°

𝑥


PÁGINA 18

ÁREAS E PERÍMETROS

1- Para um trabalho de Matemática, duas alunas elaboraram um jogo de tabuleiro. Para jogar, elas precisaram construir um retângulo quadriculado em que cada “casa” deveria ser um quadrado de 3 centímetros de lado. Elas montaram o tabuleiro, alternando casas vermelhas e azuis:

3 𝑐𝑚

3 𝑐𝑚

a) Quantos quadradinhos as meninas usaram para fazer o tabuleiro?

_______________________________________________________ b) Qual a área total do tabuleiro? _______________________________________________________ c) Se elas desejarem contornar o tabuleiro com um barbante, de

quantos centímetros de barbante irão precisar? _______________________________________________________ d) Chamamos o cálculo do contorno de uma figura de ____________

_______________________________________________________.

Enquanto conversavam sobre as regras de seu jogo de tabuleiro, as meninas acharam que o jogo ficaria mais interessante se o tabuleiro fosse menor. Então, dividiram o tabuleiro em duas partes:

e) Qual a área de cada um dos novos tabuleiros? _______________________________________________________ f) Para fazer o contorno dos dois tabuleiros, elas vão precisar de

quantos centímetros de barbante? _______________________________________________________

Multirio

Dividimos o tabuleiro em dois tabuleiros iguais!

g) Se elas tivessem dividido o tabuleiro novamente ao meio, qual seria a área de cada um dos 4 tabuleiros? ____________________________ ____________________________ ____________________________

h) E qual seria o perímetro de cada um desses quatro tabuleiros? ________________________________________________________ ________________________________________________________

i) Sendo assim, o total do perímetro desses quatro tabuleiros é _________________________________________________________

j) Que conclusões podemos tirar do ato de cortar a figura ao meio? _______________________________________________________ _______________________________________________________


PÁGINA 19

2. Encontre o perímetro das figuras, sabendo que elas estão desenhadas na malha quadriculada em que cada quadradinho tem lado igual a 2 cm:

4. Escreva a expressão algébrica que representa a área dos retângulos abaixo:

3. Encontre a área de cada uma das figuras:

Multirio

Se você tiver dúvidas, consulte o caderno do segundo bimestre!

5 m

4 m

3,5 𝑚

2 𝑚

35 𝑚

38 𝑚

45 𝑚

28 𝑚

22 𝑚

𝑥

2𝑥

7𝑦

4𝑦

3𝑧

3𝑧


PÁGINA 20

Depois de algumas operações com polinômios, vamos

estudar alguns produtos que aparecem com maior frequência

em cálculos algébricos. E, porque aparecem constantemente,

denominamos Produtos Notáveis.

Produto – resultado da operação de multiplicação.

Notável – importante, conhecido, “famoso”.

Vamos ler a seguinte situação:

Sr. Sergio tinha um terreno quadrado de 40 m de lado.

Ele resolveu ampliar seu terreno de forma que ele fique

com dois de seus lados aumentado em 10 metros.

40 m

40 m

Como calcular a parte acrescida do terreno? Vejamos:

A parte ampliada, mostrada em amarelo, pode ser dividida da

seguinte maneira:

Calculando a área de cada parte que separamos, podemos achar a nova área do terreno:

40 + 10 = 50 m

40 + 10 = 50 m

40 m 40 m

40 m

40 m 10 m

10 m

10 m

10 m

40 m

40 m

10 m 10 m

10 m 40 m 10 m

PRODUTOS NOTÁVEIS

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

40 m

Área do quadrado azul: _______

Área de cada retângulo amarelo: _______

Área do quadrado amarelo: _______

Área total da figura: ______________________________________


PÁGINA 21

Mas você poderia me perguntar:

Para achar a nova área não seria mais fácil fazer 40 + 10 2

ou melhor 502?

Sim. Porém, quando as medidas das figuras são

representadas por variáveis, nem sempre sabemos calcular a

soma destas medidas. Veja:

a a

a

a b

b b

b

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃𝟏

Não é necessário fazer o cálculo de cada área

separadamente. Vamos utilizar os nossos conhecimentos

algébricos?

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Se chamarmos a de primeiro termo e b de segundo termo,

a expressão do quadrado da soma de dois termos ficará:

𝒂 + 𝒃 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃2

1.º termo

2.º termo quadrado do 1.º termo quadrado do

2.º termo

dobro do produto do 1.º termo pelo 2.º termo

a

a

b b

b a b a

𝒂 + 𝒃 𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝟏.𝒂𝒃 + 𝒃𝟏

Multirio

Não sei quanto é 𝑎 + 𝑏!

Multirio

Mas posso calcular cada uma das áreas!

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎


PÁGINA 22


𝐚 + 𝐛 𝟏 ≠ 𝐚𝟏 + 𝐛𝟏

Observe o resultado se substituirmos a = 3 e b = 4:

3 + 4 2 32 + 42

1) Desenvolva os produtos notáveis do quadrado da soma:

a) 𝑥 + 4 2 = ___________________________________

b) 𝑦 + 7 2 = ___________________________________

c) 3 + 2𝑥 2 = __________________________________

d) 𝑝 + 5 2 =___________________________________

e) 𝑥 + 2𝑦 2 =___________________________________

f) 3𝑏 + 𝑐 2 =___________________________________

g) 4𝑡 + 1 2 =___________________________________

h) 𝑥 + 0,2 2 =___________________________________

i) (m + 12)2=___________________________________

j) 3𝑥2 + 𝑥 2 =___________________________________

k) 𝑦2 + 4𝑦 2 =___________________________________ l) 𝑥3 + 𝑥2 2 =_____________________________

2) Encontre a área dos quadrados: a) b) 3) Dado um quadrado, cujo lado, em cm, é expresso por 3b + 2c, determine: a) o polinômio que representa seu perímetro: ________________

b) o polinômio que representa sua área: ____________________

c) a área, se b for 4 cm e c for 5 cm: _____________________

p + 2

2x + y

7 2 𝟒𝟒

9 + 16 𝟏𝟓 ≠

OBMEP – NÍVEL 2

Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x² + 6xy + y² ? (A) 64. (B) 109. (C) 120. (D) 124. (E) 154.


PÁGINA 23

40 m

40 m

Também poderíamos resolver, algebricamente, o quadrado da

diferença de dois termos 𝒂 − 𝒃 2:

Se denominarmos o lado do quadrado original (40 m) de a

e a metragem retirada de cada lado do quadrado (10 m)

de b, teremos:

Portanto, a regra do quadrado da diferença de dois termos é

𝒂 − 𝒃 2 = 𝒂2 − 2𝒂𝒃 + 𝒃2

Retornando ao exemplo do terreno do Sr. Sergio...

Seu terreno inicial era um quadrado de 40 m de lado. Ele resolveu

vender a parte amarela representada na figura a seguir:

Então, para calcular a área do terreno, após a venda, teremos que

subtrair as áreas dos dois retângulos e do quadrado amarelos:

A nova área do terreno, após a venda, será de

1600 – 300 – 300 – 100 = 900 𝒎𝟏.

40 m 10 m 10 m 10 m

30 m 10 m 40 m 30 m

𝒂 − 𝑏 2 = 𝒂 − 𝑏 ⋅ 𝒂 − 𝑏

= 𝒂2 − 𝒂𝑏 − 𝑏𝒂 + 𝑏2 = 𝒂2 − 𝟏𝒂𝑏 + 𝑏2

10 m

10 m

40 m

40 m

30 m

1.º termo

2.º termo quadrado do 1.º termo

quadrado do 2.º termo

dobro do produto do 1.º termo pelo

2.º termo

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

30 m= (40-10) m

30 m= (40-10) m

Ou ainda, podemos calcular a área da figura vermelha:

40 − 10 2 = 40 − 10 ⋅ 40 − 10

= 1600 − 400 − 400 + 100 = 900

Lembre-se: ab = ba


PÁGINA 24

𝒂 + 𝒃 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃2

𝒂 − 𝒃 2 = 𝒂2 − 2𝒂𝒃 + 𝒃2

1) Calcule os quadrados:

a) 𝑦 − 2 2 = ____________________________________

b) 𝑚− 5 2 = ____________________________________

c) 2 − 𝑥 2 = ____________________________________

d) 4𝑚 − 3 2 = ____________________________________

e) 2𝑡 − 5 2 = ____________________________________

f) (𝑥 − 7)2= ____________________________________

g) 𝑦 − 0,3 2 = ____________________________________

h) 3𝑚 − 2𝑛 2 = ____________________________________

i) 𝑎 − 32

2= ____________________________________

j) 2𝑦2 − 𝑦 2 = ____________________________________

k) 𝑥4 − 1 2 = ____________________________________

l) 2𝑓 − 5 2 = ____________________________________


2) O lado do tampo de uma mesa quadrada é expresso por 2x – 4. Determine o polinômio que represente a área deste tampo. 3) Observe, atentamente, o sinal e desenvolva os produtos notáveis abaixo:

a) 𝑚− 3 2 = ____________________________________

b) 2𝑥 − 7 2 = ____________________________________

c) 8 + 𝑦 2 = ____________________________________

d) 3𝑡 − 4 2 = ____________________________________

e) 2𝑎 + 9𝑏 2 = ____________________________________

f) (𝑦2 − 3)2= ____________________________________

g) 4𝑐2 + 𝑐 2 = ____________________________________

h) 𝑚3 + 3𝑚2 2 = ____________________________________

https://ww

w.m

oveldomeujeito.com

.br/index.php/mesa-

quadrada-floratta-1-40x1-40m-tam

po-29mm

-e-pes-quadrados-111m

m.htm

l


PÁGINA 25

4) Complete os retângulos para que as sentenças sejam

verdadeiras:

a) 𝑥 + 4 2 = + 8𝑥 +

b) − 5 2 = 𝑦2 - 10 y +

c) 𝑚 + 2 = + 6𝑚 + 9

d) − 2 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

e) 𝑝 + 2 = + 12𝑝 + 36

5) Aplicando o cálculo dos produtos notáveis, desenvolva as

expressões, apresentadas abaixo, lembrando-se de reduzir os

termos semelhantes:

a) 𝑥 + 3 2 + 𝑥 + 5 2 =

b) 2𝑧 + 1 2 + 𝑧 − 2 2 =

c) 𝑚 + 3 2 + 2 . 𝑚− 4 2 =

De um quadrado de lado 𝒂, retiramos um outro quadrado de lado 𝒃. Veja:

Teremos, assim, a seguinte figura:

Assim, as duas áreas acima são equivalentes. Então, podemos

concluir que: 𝑎 + 𝒃 𝑎 − 𝒃 = 𝑎2 − 𝒃2

Multirio

Primeiro, resolva as potências!

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

𝑎

𝑎 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑎 𝑎 - 𝑏

𝑎

𝑎 − 𝑏

𝑎 𝑎 − 𝑏

𝑎

─

Para calcular sua área, dividimos a

figura em dois retângulos como a figura

a seguir e deslocamos o retângulo azul

para formar um único retângulo:

𝑎 − 𝑏

𝑎

𝑏

𝑎 - 𝑏

𝑎 − 𝑏

𝑎+𝑏

𝑏

𝑎 + 𝒃 𝑎 − 𝒃 𝑎2 − 𝒃2


PÁGINA 26

Resolvendo, algebricamente, o produto (a + b).(a – b), temos:

𝑎 + 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2

= 𝑎2 − 𝑏2

Se chamarmos a de primeiro termo e b de segundo termo, a

expressão do produto da soma pela diferença, entre dois termos, ficará:

(a + b) . (a – b) = 𝒂2 − 𝒃2

1.º termo 2.º termo

Quadrado do 1.º termo

Quadrado do 2.º termo

Como sabemos que 2 . 3 = 3 . 2 , pela propriedade comutativa da

multiplicação, então (a + b). (a – b) é igual a (a – b) . (a + b).

Calcule os valores dos produtos notáveis 𝑥 + 3 ⋅ (𝑥 – 3) e

𝑥 – 3 ⋅ (𝑥 + 3).

𝒂 + 𝒃 . 𝒂 − 𝒃 𝑜𝑜 𝒂 − 𝒃 . 𝒂 + 𝒃 = 𝑎2 − 𝑏2

1) Calcule os seguintes produtos:

a) (x + 5) . (x – 5) = __________________________

b) (t + 7) . (t – 7) = __________________________

c) (11 – y) . (11 + y) = __________________________

d) (2x + 4) . (2x – 4) = __________________________

e) (p + 0,6) . (p – 0,6) = __________________________

f) (m + 17) . (m – 17) = __________________________

g) (5c – 4b) . (5c + 4b) = __________________________

h) (𝑚2 + 9) . (𝑚2 – 9) = __________________________

i) (x + 38) . (x – 3

8) = __________________________

j) (2𝑤2 + 3) . (2𝑤2 – 3) = __________________________

k) (𝑦3 + 𝑦2) . (𝑦3 - 𝑦2) = __________________________

l) (23 + b) . (23 – b) = __________________________

Podemos aproveitar esta regra do produto da soma pela

diferença de dois termos, e facilitarmos alguns cálculos. Vejamos:

41. 39 = (40 + 1). (40 – 1) = 402 − 12 = 1 600 – 1 = 1 599 27 . 23 = (25 + 2) . (25 – 2) = 252 − 22 = 625 – 4 = 621

Ambos possuem resultado igual a 𝒙𝟏 − 𝟒



PÁGINA 27

2) Observando as dimensões dadas, determine a área de cada

retângulo e de cada quadrado abaixo:

3) Aplicando a regra do produto da soma pela diferença de dois

termos, calcule:

a) 31. 29 ________ b) 42 . 38 ________

c) 101 . 99 ________ d) 73 . 67 ________

4) Alice, ao resolver o produto (2x – 3) . (2x – 3), achou, como

resposta, 4𝑥2- 9. Você acha que ela acertou ou errou? ________

Por quê?

_____________________________________________________

10 − 𝑥

10 + 𝑥

𝑦 + 1

𝑦 + 1

15 − 𝑎

15 − 𝑎

4 + 𝑏

4 − 𝑏

1) Calcule os produtos:

a) 2𝑥 + 5 2 = __________________________

b) 3 − 4𝑦 2 = __________________________

c) (7p – 11) . (7p + 11) =__________________________

d) 4𝑡 − 9 2 =__________________________

e) 3𝑥 − 0,2 (3𝑥 + 0,2) =__________________________

f) (4𝑚2 + 1)2 =__________________________

g) 2. 𝑥 + 6 2 =__________________________

2) Simplifique as expressões: a) 2𝑥 + 1 2 + 𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 2

b) 𝑦 − 3 2 + 𝑦 − 1 . 𝑦 + 1

a + b 2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)(a – b) =𝑎2 − 𝑏2

a − b 2 = a2 − 2ab + b2

Multirio

Nas próximas atividades, utilizaremos os produtos notáveis que já vimos!



PÁGINA 28

5) Um terreno quadrado tem, em um de seus cantos, uma casa construída. Sabendo que a casa tem o formato quadrado com lado igual a 12 metros, escreva uma expressão que corresponda à área total do terreno. Vamos utilizar a incógnita x para representar os comprimentos do terreno em que não está a casa. Veja na figura:

x 12m

12m

x

6) O Professor Pedro pediu para seus alunos desenvolverem o

produto notável 2𝑎3 − 𝑏2 2 . Natan encontrou 2 𝑎6 − 4𝑎3𝑏2 + 𝑏4

e Pedro achou 4 𝑎3 − 4𝑎3𝑏2 + 𝑏4 . Qual deles estava com a

resposta correta?

7) Leia o polinômio 𝑚𝑛 − 1 2 + 2mn – (1 + mn) (1 – mn). Agora,

desenvolva. Depois, reduza os termos semelhantes:

3) Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira: I. x− 2 2 ( ) x2 + x

II. (2x + 1) . (2x − 1) ( ) 4x2 + 4x + 1

III. 2x− 1 2 ( ) 4x2 − 1

IV. (2x + 1) . (2x + 1) ( ) x2 − 2x + 1

V. (x + 1) . (x − 1) ( ) 4 x2 − 4x + 1

VI. x − 1 2 ( ) x2 − 4x + 4

VII. x x + 1 ( ) x2 − 1

4) Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes: a) 𝑝 − 4 2 + (3𝑝 + 1) . (3𝑝 + 1)

b) (2y – 4) (2y + 4) – 4 𝑦 − 2 2 + 32


PÁGINA 29

Escrever uma expressão algébrica em forma de produtos de

dois ou mais polinômios é o mesmo que fatorar um número.

Vamos estudar alguns casos?

Tomamos o exemplo 𝑥𝑦 + 2𝑥.

Observe que a variável 𝒙 é um fator dos dois termos: 𝑥𝑦 e 2𝑥.

Para transformar esta expressão em forma de produto, basta

dividir cada termo da expressão pelo fator comum (neste caso, 𝑥). Em

seguida, colocamos o fator comum em evidência, seguido da resposta

da divisão, entre parênteses.

Assim, colocando o fator comum em evidência... Veja:

Outros exemplos:

a) 4x + 6y + 8z =

Fator comum, entre todos os termos, é 2.

Dividindo a expressão algébrica pelo fator comum, acharemos

2x + 3y + 4z.

Colocando o fator comum 2 em evidência, obteremos a forma

fatorada da expressão: 2.(2x + 3y + 4z)

Multirio

Para encontrar o fator comum entre as variáveis, devemos utilizar a letra com

o menor expoente.

Multirio

Para descobrirmos o fator comum entre os coeficientes de cada termo, devemos achar o

maior divisor comum entre eles.

I - FATOR COMUM

FATORAÇÃO

Multirio

Vocês lembram o que significa fatorar um número?

18 2 9 3 3 3 1 18 = 2 . 32

Multirio

E na ÁLGEBRA? O que significa fatorar uma expressão algébrica?

Fatorar o número 18 é escrevê-lo em forma de produto de

números primos.

𝑥𝑦 + 2𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑦 + 2)

𝒙𝒙:𝒙 = 𝒙

𝟏𝒙:𝒙 = 𝟏

b) 𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟒𝒙+ 𝟑𝟏 =

Fator comum é o maior divisor comum 8.

Ao dividir cada termo pelo fator comum, teremos

𝟏𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟒.

A forma fatorada será: 8. (𝟏𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟒)

c) 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑

fator comum é = 𝒙𝟑

A divisão de cada termo, pelo fator comum, resulta em: 𝟑𝒙𝟏 − 𝟏𝒙 + 𝟓

Fatorando a expressão: 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝒙𝟑(𝟑𝒙𝟏 − 𝟏𝒙 + 𝟓)


PÁGINA 30

1) Fatore, colocando o fator comum em evidência:

a) 3x + 3y + 3z = ______________

b) ab + ac + ad = ______________

c) 8m – 4n + 16p = _____________

d) 𝑧2 + 3𝑧 = _____________

e) 3𝑥4 + 6 𝑥3 = ____________

f) - 5y – 10z = _____________

Podemos utilizar a Geometria para mostrar o caso de fator comum ou evidência:

𝑥 𝑥

𝑦 7

𝒙𝒙 7𝑥 Soma das duas áreas:

𝑥𝑦 + 7𝑥

Se juntarmos as duas áreas, teremos:

𝑥

𝑦 + 7

Área da nova figura: 𝑥(𝑦 + 7)

Fatorando: 𝒙𝑦 + 7𝒙 = 𝒙(𝑦 + 7)

g) 2b2 + 6ab = ______________

h) 45a2b − 9ab2 = ______________

i) 15x2y − 25xy2= ______________

j) 𝑎𝑥𝑦 + 𝑎𝑥𝑦2 − 3𝑎𝑥𝑦3 = ______________

2) Sabendo que ab = 5 e x + y = 7, qual é o valor numérico da

expressão algébrica abx + aby?

3) Reduza os termos semelhantes. Em seguida, fatore o resultado: a) xy + 5y + 3xy – y = __________________________

b) 8 (b – 2) – 5b + 10 =__________________________

c) 𝑚2𝑛 + 8𝑚𝑛2+ 6𝑚𝑛2 + 6 𝑚2𝑛 = __________________________

d) 2. 𝑎3 + 2𝑎2 - 7𝑎2 + 4(𝑎3 + 𝑎2) = _______________________



PÁGINA 31

Para realizar a fatoração por agrupamento, usaremos a fatoração por fator comum em evidência duas vezes.

Vejamos os exemplos:

a) 𝟒𝑥 + 𝟒𝑦 + 𝒂𝑥 + 𝒂𝑦

Podemos observar que 4 é o fator comum entre os dois primeiros

termos e a entre os dois últimos:

𝟒𝑥 + 𝟒𝑦 + 𝒂𝑥 + 𝒂𝑦

Utilizamos, em cada grupo, a regra do fator comum:

𝟒 𝑥 + 𝑦 + 𝒂(𝑥 + 𝑦)

Observamos que (𝑥 + 𝑦) passa a ser um fator comum dos novos

termos. Assim, para finalizar, devemos colocá-lo em evidência:

𝑥 + 𝑦 𝟒 + 𝒂

A forma fatorada 𝟒 𝑥 + 𝑦 + 𝒂(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) 𝟒 + 𝒂

b) Agora, fatore, por agrupamento, a expressão:

3𝑏 + 6𝑐 + 𝑏𝑦 + 2𝑐𝑦

Identificando os fatores comuns, temos que o fator comum entre

3𝑏 e 6𝑐 é _____ e dos termos 𝑏𝑦 e 2𝑐𝑦 é ______.

Utilizando a regra do fator comum, em cada termo, temos:

3𝑏 + 6𝑐 + 𝑏𝑦 + 2𝑐𝑦

___⋅(_________) + ___⋅ (_________) Finalmente, fatore o termo entre parênteses e encontre a forma

fatorada da expressão:

(________) ⋅ (_________)

c) Se a+b=5 e x+y=6, qual será o valor numérico da expressão:

𝒂𝒙 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒃𝒙?

Para fatorar este polinômio, podemos agrupar de dois em dois:

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) =

Colocando o fator (x + y) em evidência, teremos:

= (x + y) . (a + b)

= 6 . 5 = 30

O valor numérico de ax + ay + bx + by com os valores fornecidos

será 30.

II - AGRUPAMENTO

𝟒 𝒂


PÁGINA 32

1) Fatore os polinômios a seguir:

a) am + an + bm + bn

b) zxy + zm + 3xy + 3m

c) 30p – 10py + 9p – 3py

d) 12m – 4n + 3mp – np

e) 4pq + 20q + px + 5x

f) 2𝑥2 - 6xy + xy - 3𝑦2

g) 5xy + 3x + 35y + 21

h) mn – m + n – 1

i) 𝑥3 + 𝑥2 + 2x + 2

j) 2ax + 2bx + ay + by + az + bz

2) Leia, atentamente, o polinômio ay + az + by + bz.

a) Escreva a forma fatorada deste polinômio:

b) Calcule o valor numérico deste polinômio, de modo que

a + b = 7 e y + z = 8.

3) Sabendo que x + z = 4 e a + c = - 4 , determine o valor numérico do polinômio ax + cx + az + cz: 4) Fatore os polinômios:

a) 15𝑥3 + 20𝑥2 + 25x

b) 2xy + 9x + 6y + 27

c) 3p + 12 + p + 4

d) 𝑥3𝑦 + 2𝑥2y + 3xy

e) ab + 5a - 2b - 10

Muitas vezes, a quantidade de termos nos alerta sobre qual a regra de fatoração que devemos escolher para fatorar os polinômios.


PÁGINA 33

Já estudamos, nos produtos notáveis, que o produto da

soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1.º

termo menos o quadrado do 2.º termo:

Portanto, usando o pensamento inverso, a diferença entre

dois quadrados é o produto da soma pela diferença dos

elementos que estão ao quadrado. Leia os exemplos:

a) 𝑚2 − 25 =

Como 25 = 52, os elementos que estão ao quadrado são

𝑚 e 5. Assim, a expressão fica:

𝑚2 − 52 = (𝑚 + 5) . (𝑚 – 5)

Podemos então, concluir que, neste caso, a fatoração é a

operação inversa do desenvolvimento do produto notável.

:

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 Calcule o valor numérico da expressão xy - 2x + 2y - 4 para x = 38 e y = 42.

5) Observe a figura:

Os lados do retângulo maior (formado pelos quatro retângulos)

são _______ e _______ . Sua área pode ser representada por

__________________. Porém, temos outra maneira de calcular esta área. Observe:

a) Calcule a área dos quadriláteros:

Vermelho: __________ Azul: ___________

Preto: _____________ Verde: __________ b) A área do maior retângulo é formada pela soma de todas as áreas anteriores. Logo, será ____________________________. c) A forma fatorada deste polinômio será: ____________________________________________________.

a 5

b

2

III - DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS


PÁGINA 34

1) Fatore os polinômios:

a) 25 − 𝑏2 = __________________________

b) 9𝑚2 − 𝑝2 =__________________________

c) 36𝑎2 − 49𝑏2 =__________________________

d) 𝑥4 − 16𝑦2=__________________________

e) 𝑚2 − 1 = __________________________

f) 𝑝2 − 144 = __________________________

g) 𝑥2

100 − 𝑦

2

81 =__________________________

h) 𝑎2

9 − 𝑏

4

400 = __________________________

i) 100 − 𝑎2𝑏2 𝑐2 =__________________________

j) 𝑚4 − 16 = __________________________

2) Observe como a Professora Cláudia achou o resultado:

Você percebeu que a Professora utilizou a diferença de

quadrados para resolver? Faça como ela e calcule o valor das

seguintes diferenças:

a) 592 − 112 = ___________________

b) 302 − 252 = ___________________

c) 802 − 202 = ___________________

d) 1012 − 1002 = ___________________

3) A partir do que já estudamos, fatore os polinômios:

a) 𝑦2 − 49𝑧2 = ___________________

b) xz – 2x + 5z – 10 = ___________________

c) 𝑥3 + 6𝑥2 = ___________________

d) 𝑝3 − 4𝑝2 = ___________________

e) xy + by + ax + ab = ___________________

𝟒𝟏𝟏 − 𝟑𝟏𝟏 = 𝟒𝟏 + 𝟑𝟏 . 𝟒𝟏 − 𝟑𝟏 = 70 . 10 = 700

b) 9𝑥2 - 1

Sabemos que 9𝑥2 = 𝟑𝒙 2 e 1 = 𝟏2. Essa expressão pode ser

escrita como 𝟑𝒙 2 − 𝟏2. Logo,

9𝑥2 - 1 = 𝟑𝒙 2 − 𝟏2 = (3x + 1) . (3x – 1)

c) 𝑚2

49 − 𝑛

4

81

Sabemos que 𝑚2

49= 2 e 𝑛

4

81 = 2 . Então, podemos

escrever a expressão da seguinte maneira:

𝑚2

49 − 𝑛

4

81 = 2 - 2 = ( + ) . ( − )

𝑚7

𝑛2

9

𝑚7

𝑛2

9 𝑚7

𝑛2

9 𝑚7

𝑛2

9



PÁGINA 35

Da mesma maneira que associamos a diferença entre dois

quadrados ao produto notável da soma pela diferença de dois termos,

também temos os seguintes produtos notáveis:

Estes trinômios, que resultam do quadrado da soma ou da

diferença de dois termos, são denominamos trinômio quadrado

perfeito.

Como fatorar, então, um trinômio quadrado perfeito? Observe

o exemplo:

𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟓

Observe, inicialmente, que os dois termos das extremidades são

quadrados perfeitos:

𝑥2= 𝑥 ⋅ 𝑥 e 25 = 5 ⋅ 5 = 52

Além disto, o termo central (10𝑥) é o dobro do produto das

bases das potências anteriores: 𝑥 e 5:

𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟓

𝒎𝟏 − 𝟓𝒎 + 𝟒

Temos 𝑚2 e 9 que são quadrados perfeitos: 𝒎𝟏 é o quadrado

de 𝒎 e 𝟒 é o quadrado de 𝟑.

Porém, o termo central (−5m) não é igual ao dobro das raízes

quadradas 𝒎 e 𝟑:

Portanto, esse trinômio não é um quadrado perfeito.

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝒂𝟏 + 𝟏𝒂𝒃 + 𝒃𝟏 = 𝑎 + 𝑏 2 𝒂𝟏 − 𝟏𝒂𝒃 + 𝒃𝟏 = 𝑎 − 𝑏 2

ou ou

IV - TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Multirio

Nem todo trinômio é quadrado perfeito! Veja!

𝒙 𝟓

𝟏 ⋅ 𝒙 ⋅ 𝟓 = 𝟏𝟏𝒙

Lembrando que 𝒙 é a raiz quadrada de 𝒙𝟏, assim como 𝟓 é a

raiz quadrada de 𝟏𝟓. Então, a forma fatorada da expressão é:

𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙+ 𝟏𝟓 = 𝒙 + 𝟓 𝟏

𝟏 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝟑 = 𝟏𝒎 ≠ −𝟓𝒎

Agora, desenvolva os dois produtos notáveis e diga o que

pode notar em relação aos trinômios formados:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

𝒎 + 𝟑 𝟏 𝒎− 𝟑 𝟏


PÁGINA 36

Observe, atentamente, o sinal do termo

que não é quadrado perfeito, pois ele sinalizará se é um quadrado

da soma ou da diferença entre dois termos:

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 + 3 2

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 2

1) Quais dos trinômios, apresentados abaixo, são quadrados perfeitos?

a) 𝑥2 + 4𝑥 + 4 _______________

b) 𝑚2 + 2𝑚 + 36 _______________

c) 𝑦2 + 8𝑦 + 16 _______________

d) 𝑝2 − 𝑝 + 2 _______________

e) 𝑧2 + 9𝑧 + 81 _______________

f) 𝑡2 − 20𝑡 + 100 _______________

2) Escreva na forma fatorada:

a) 𝑥2 + 2𝑥 + 1 __________________________

b) 𝑏2 − 8𝑏 + 16 __________________________

c) 𝑚2 + 12𝑚 + 36 __________________________

d) 𝑥2 − 14𝑥 + 49 __________________________

e) 𝑥2 + 16𝑥 + 64 __________________________

f) 𝑦2 − 20𝑦 + 100 __________________________

g) 4𝑤2 − 12𝑤 + 9 __________________________

h) 𝑡2 + 22𝑡 + 121 __________________________

i) 9𝑐2 − 6𝑐 + 1 __________________________

j) 𝑟2 + 24𝑟 + 144 __________________________

k) 36𝑐2 − 12𝑐 + 1 __________________________

l) 25𝑐2−80𝑐 + 64 __________________________

3) Agora, que já sabemos fatorar, complete os retângulos:

a) −10𝑥 + 25 = 𝑥 − 2

b) 4𝑦2 - 4y + = 2𝑦 − 2

c) − 64 = 3x + . ( 3x − )

d) − + 49 = 𝑚− 2

e) 𝑝 + 2 = + + 36


PÁGINA 37

4) Um quadrado possui sua área expressa pelo trinômio

𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 36𝑦2

Determine:

a) a medida do lado deste quadrado.

b) o polinômio que representa seu perímetro.

5) Se o valor numérico de m + n = 15 e o de m – n = 3, determine

o valor de

a) 𝑚 + 𝑛 2 _________ c) 3m + 3n ___________

b) 𝑚− 𝑛 2 _________ d) 𝑚2 − 𝑛2 ___________

6) (FGV – adaptado) Seja N o resultado da operação 362 − 352.

Determine a soma dos algarismos de N:

7) Fatore as expressões algébricas:

a) 𝑥2 + 26𝑥 + 169 ____________________________________

b) 9𝑚2 − 49𝑛2 ____________________________________

c) 12a – 4y + 3an – ny ______________________________

d) 𝑥2𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1 __________________________________

e) 𝑥2

4+ 2𝑥 + 4 ____________________________________

f) 𝑚4 − 1 ________________________________________

g) 0,25𝑥2 − 4𝑦2 ____________________________________

h) ab + 3a - 7b – 21 _________________________________

i) 𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑦3 +𝑥3 𝑦3 _____________________________

j) ax + bx + ay + by + 2az + 2bz _______________________

𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 36𝑦2


PÁGINA 38

Desigualdade é uma relação de ordem entre dois números.

Utilizamos alguns símbolos para representar esta relação:

Leia os exemplos. Depois, complete com > ou < :

> Maior que < Menor que

Observe a seguinte situação:

Um triângulo isósceles possui uma base com 6 cm. Qual será a medida de seus outros lados, sabendo que seu perímetro é maior que 20 cm?

Representando o lado congruente (isto é, de mesma medida) por x, a expressão que expressa o perímetro será 2x + 6 > 20.

20 > 14 −7_____ − 2 39___−24

15 < 33 23 ___0 −15___9

6 cm

𝑥 𝑥

Antes de resolver as inequações, vamos observar importantes

propriedades das desigualdades.

Somar ou subtrair um mesmo número de ambos os membros

da inequação, não altera a inequação.

15 > 10

15 + 𝟑 > 10 + 𝟑 18 > 13

2𝑥 − 2 > 7 2𝑥 − 2 + 𝟏 > 7 + 𝟏

2𝑥 > 9

𝑦 + 5 < 3 𝑦 + 5 − 𝟓 < 3 − 𝟓

𝑦 < −2

Multiplicar ou dividir ambos os membros por um número

positivo não altera a inequação.

3 < 5 3 ⋅ 𝟏 < 5 ⋅ 𝟏

6 < 10 5𝑥 > 30

5𝑥:𝟓 > 30:𝟓 𝑥 > 6

−𝑥 < 12 −𝑥 ⋅ 𝟒 < 12 ⋅ 𝟒 −4𝑥 < 48

DESIGUALDADES (INEQUAÇÕES)

Multirio

Inequação é uma desigualdade entre

expressões algébricas.


PÁGINA 39

Multiplicar ou dividir ambos os membros de uma inequação por

um número negativo, como −1 , faz com que ela se torne

oposta.

−2 < 1 −2 ⋅ −𝟏 > 1 ⋅ (−𝟏)

+4 > −2

8 > 3

8 ⋅ −𝟏 < 3 ⋅ (−𝟏) −8 < −3

−4𝑥 > 12 −4𝑥: −𝟒 < 12: (−𝟒)

𝑥 < − 3

−𝑥 < −7 −𝑥 ⋅ −𝟏 > −7 ⋅ (−𝟏)

𝑥 > 7

O sinal da inequação se inverte pois, multiplicar por −1, por

exemplo, é obter o número oposto.

Observe o exemplo:

1 < 2

1 < 2

1 ⋅ −𝟏 > 2 ⋅ −𝟏

−1 > −2

a) Somando 14 anos ao dobro da idade de Henrique, temos um número menor que 70. Então, qual é a idade de Henrique?

Representando por x a idade de Henrique, a inequação que expressa este problema será 2x + 14 < 70.

2𝑥 + 14 − 𝟏𝟒 < 70 – 𝟏𝟒

2𝑥 < 56

2𝑥 ∶ 𝟏 < 56 ∶ 𝟏

𝑥 < 28 Podemos concluir que a idade de Henrique é um número natural menor que 28. b) Léa pensou em um número. Em seguida, somou o dobro deste

número com 12 e verificou que o resultado era maior que a soma do triplo deste número com 8. Em qual número Léa pensou?

Usando 𝒙 para representar o número que Léa pensou, temos:

𝟏𝒙 + 𝟏𝟏 > 𝟑𝒙 + 𝟖

Multirio

Para resolver as inequações, isto é, achar uma condição para a incógnita, vamos desenvolvê-las

da mesma forma que desenvolvemos as equações. Observe o exemplo!

Multirio

Resolva a inequação e lembre-se de multiplicar por −1, se necessário!


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Resposta: ___________________________________________

Também podemos interpretar como inequações situações com balanças desequilibradas.

1) Inicialmente, vamos obter as expressões para cada um dos pratos da balança:

𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 2 = 3𝑥 + 2 𝑥 + 8 O lado esquerdo mais alto na balança indica que este lado

é mais leve, tem massa menor que o lado direito. Resolva a inequação e encontre uma condição para 𝑥:

2) Encontre a inequação para cada uma das balanças e resolva cada uma delas: a)

𝒙

7 kg

3kg

10 kg 𝒙 𝒙

12 kg 𝒙

b)

2 kg

8 kg

𝒙 𝒙 𝒙

𝒙

𝟑𝒙 + 𝟏 < 𝒙 + 𝟖

𝒙 < 𝟑

3) Alice vai contornar um terreno retangular cuja largura é 𝑥 e o comprimento é 2𝑥 + 1. Ela possui 38 metros de corda. Porém, essa medida não foi suficiente para contornar todo o terreno. O que podemos dizer sobre a largura 𝑥?

4) Leia os números em destaque:

−5, −2, 0, 3, 8

Quais desses números podem ser solução da seguinte inequação?

𝟏𝒙 − 𝟑 < 𝟓𝒙 + 𝟓


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5) A soma dos ângulos da figura abaixo forma um ângulo agudo,

ou seja, menor que 90º. Determine os possíveis valores para x: 6) Sabendo que as soluções estão no conjunto dos números

racionais, resolva as seguintes inequações:

a) 12x – 7 < 3x + 2

b) 3y – 5 – 5y + 7 > - 14

c) 5m – 9 + 2m ≥ 8 – 3m + 13



MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

Leia, na tabela abaixo, as notas de Paulo, no 2.º bimestre, em Matemática, no ano de 2016:

Sabendo que cada avaliação tinha, por valor máximo, 10 e

observando os valores de cada nota de Paulo, podemos calcular a média de suas notas. 1) Leia a tabela e responda:

a) Qual foi a nota mais alta de Paulo? _____________ b) E a nota mais baixa?_____________ c) Nas aulas de Matemática, Paulo participou de quantas

avaliações?_______ Para calcular a média de Paulo, vamos somar todos os

valores e dividir pela quantidade de avaliações. Observe:

5,6 + 8,6 + 7,9 + 6,34

=28,4

4= 7,1

Assim, dizemos que a média das notas de Pedro foi 7,1.

Notas de Paulo Avaliação Teste Trabalhos Seminário Prova Nota 5,6 8,6 7,9 6,3

A MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES é a soma de todos os valores, dividida

pela quantidade de valores.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Salto_ornamental_-_UnB.jpg

2) Leia, atentamente. Em seguida, responda ao que se pede:

Em uma competição de saltos ornamentais, os atletas recebem notas de 0 a 10 de sete juízes.

Para a nota final, são descartadas a maior e a menor nota de cada atleta. Em seguida, é calculada a média aritmética simples das outras notas.

Abaixo, temos as sete notas dadas a um atleta por um salto efetuado:

a) Qual foi a nota mais baixa e a nota mais alta desse atleta?

____________________________________________________

b) Eliminando estas duas notas, quais as notas que foram aproveitadas? ____________________________________________________

c) Qual a nota final, isto é, a média aritmética das cinco notas restantes? ____________________________________________________

5,5 7,5 6,5 6,0

7,0 8,0 7,5



Para fazer um trabalho de Matemática, Marcela pesquisou o preço de um mesmo livro em diferentes lojas. A menina anotou os valores que encontrou e construiu este gráfico:

4) Durante um campeonato de futebol, uma jogadora anotou a quantidade de gols que fez em cada partida. O resultado, ela organizou na tabela apresentada abaixo:

25,90

33,00

25,30

29,90 30,00

27,90

25,00

26,00

27,00

28,00

29,00

30,00

31,00

32,00

33,00

Loja A Loja B Loja C Loja D Loja E Loja F

3) Agora, responda às perguntas de acordo com a tabela: a) Ao calcular a média entre os valores, que valor você encontrou?

____________________________________________________ b) O que podemos dizer sobre este número?

________________________________________________________________________________________________________

c) Quando trabalhamos com dinheiro, usamos duas casas decimais para representar os centavos. Assim, como podemos escrever o preço médio do livro que Marcela pesquisou? ____________________________________________________

Faça uma pesquisa do preço de um mesmo produto em diferentes lojas ou supermercados. Anote os valores e encontre a média.

Peça ajuda a seu Professor para fazer um gráfico com os dados pesquisados por você.

Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4 Jogo 5

3 2 0 1 4

5) Uma empresa que trabalha com vendas organizou o lucro que obteve em cada mês, por um ano, na lista ao lado. Observe os valores e responda às perguntas abaixo:

Janeiro R$ 1.200,00 Fevereiro R$ 1.350,00 Março R$ 980,00 Abril R$ 540,00 Maio R$ 670,00 Junho R$ 830,00 Julho R$ 1.150,00 Agosto R$ 1.400,00 Setembro R$ 870,00 Outubro R$ 935,00 Novembro R$ 1.240,00 Dezembro R$ 1.490,00

a) Qual foi a média mensal de lucro dessa empresa no primeiro semestre?

__________________________________________________

b) Qual foi a média mensal de

lucro da empresa em todo o ano?

__________________________________________________

Esse espaço é seu!

a) Encontre a média de gols dessa jogadora.


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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

1) Um professor construiu, com os alunos, um gráfico para contabilizar o número de faltas dos alunos a cada mês. O resultado pode ser visto nesse gráfico:

De acordo com o gráfico, responda às perguntas: a) Em que mês a turma teve o maior número de faltas? E o menor?

____________________________________________________

b) Entre quais meses as faltas dos alunos tiveram a maior queda? ____________________________________________________

c) Qual foi a média mensal de faltas nesse período? ____________________________________________________

32

25

13 10

Março Abril Maio Junho

Esse espaço é seu!

2) O pictográfico, apresentado abaixo, foi construído para representar os empréstimos de livros em uma biblioteca escolar durante um semestre.

http

s://o

penc

lipar

t.org

/det

ail/1

6961

4/op

en-b

ook

a) Qual o tema dos livros pesquisados foi o mais solicitado por empréstimo, na biblioteca, neste período?

____________________________________________________

b) Qual foi o tema menos solicitado? ____________________________________________________

c) Você pode dizer quantos livros com o tema Fantasia foram emprestados neste período? ____________________________________________________

d) Neste semestre, quantos livros, ao todo, foram solicitados para empréstimo na biblioteca? ____________________________________________________

Fantasia

Aventura

Suspense

Poesia

10 livros

Romance

NÚ

MER

O D

E FA

LTA

S

MÊS


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3) Este gráfico representa a quantidade de dias úteis em cada um dos meses:

Março

Abril

Maio

Junho

DIAS ÚTEIS

18 19 20 21 22 23 17

Qual das tabelas abaixo pode ser relacionada ao gráfico?

Mês Março Abril Maio Junho Dias úteis 20 22 21 19




QUESTÃO 1 Nessas igualdades, qual a expressão que completa, corretamente, o desenvolvimento?

2972 = 300 − 3 2 = ___________________ (A) 3002 − 2 ⋅ 300 ⋅ 3 + 32

(B) 3002 + 2 ⋅ 300 ⋅ 3 + 32

(C) 3002 − 32

(D) 3002 + 32

QUESTÃO 2 Ao ir a uma pizzaria, Mario foi informado que o tamanho da pizza era 30 cm, como podemos ver no segmento 𝑂𝐴 na figura abaixo: Considerando o contorno da pizza, semelhante a uma circunferência, podemos dizer que o segmento 𝑂𝐴 é (A) uma mediana.

(B) uma bissetriz.

(C)um diâmetro.

(D)um raio.

(A) (B) (C)

(D)


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QUESTÃO 4

Utilize os produtos notáveis para encontrar uma forma mais simples para a seguinte expressão:

3 ⋅ (𝑎 + 2)(𝑎 − 2) (A) 3𝑎2 + 12𝑎 + 12

(B) 3𝑎2 − 12𝑎 + 12

(C) 3𝑎2 + 12

(D) 3𝑎2 − 12

QUESTÃO 3 Na tabela apresentada abaixo, estão anotadas as quantidades de pontos que um jogador de basquete marcou em cinco jogos na temporada. Assim, podemos afirmar que a média de pontos deste jogador é (A) 89.

(B) 75.

(C) 65.

(D) 60.

Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4 Jogo 5

Pontos 65 40 57 74 89

QUESTÃO 5 Maria achou, em um livro, o esquema, apresentado abaixo, que explica que fatorar a diferença de dois quadrados e resolver o produto da diferença pela soma são operações inversas. Porém, Maria sujou uma parte da folha e não pôde ver o resultado da fatoração: Qual das alternativas deve ser o resultado da fatoração? (A) 2𝑥 + 3 2𝑥 − 3

(B) 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3

(C) 2𝑥 + 3 2

(D) 2𝑥 − 3 2

QUESTÃO 6 Resolva a inequação, apresentada abaixo, e encontre uma condição para 𝑥:

𝑥 + 13 > 3𝑥 − 3 (A) 𝑥 > 8

(B) 𝑥 < 8

(C) 𝑥 > 5

(D) 𝑥 < 5


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QUESTÃO 7 Qual das alternativas demonstra o desenvolvimento correto para o cálculo de 1012?

(A) 1002 + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 12

(B) 1002 − 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 12

(C) 1002 + 12

(D) 1002 − 12

QUESTÃO 8 Abaixo, estão numeradas imagens de circunferências e retas. Qual das imagens mostra uma reta tangente à circunferência? (A) I.

(B) II.

(C) III.

(D) IV.

I II

III IV

QUESTÃO 9 Durante a aula de Matemática, João construiu um gráfico de colunas para representar suas notas nos três primeiros bimestres, como podemos ver abaixo: Qual é a média aproximada das notas de João nestes três bimestres? (A) 6,1.

(B) 7,3.

(C) 7,5.

(D) 9,1.

5,4

7,5

9,1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.º Bimestre 2.º Bimestre 3.º Bimestre


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