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Approche LPV pour la commande robuste de ladynamique des vhicules : amlioration conjointe du

confort et de la scuritAnh Lam Do

To cite this version:Anh Lam Do. Approche LPV pour la commande robuste de la dynamique des vhicules : amliorationconjointe du confort et de la scurit. Autre. Universit de Grenoble, 2011. Franais. .

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THSE Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE LUNIVERSIT DE GRENOBLE Spcialit : Automatique-Productique

Arrt ministriel : 7 aot 2006

Prsente par

Anh Lam DO Thse dirige par Olivier SENAME et Luc DUGARD prpare au sein du GIPSA-Lab dans lcole doctorale EEATS Approche LPV pour la commande robuste de la dynamique des vhicules : amlioration conjointe du confort et de la scurit. Thse soutenue publiquement le 14 octobre 2011, devant le jury compos de :

M. Michel BASSET Professeur, Universit de Haute-Alsace, Prsident

M. Germain GARCIA Professeur, INSA Toulouse, Rapporteur

M. Peter GASPAR Professeur, Universit de Budapest, Rapporteur

M. Sergio SAVARESI Professeur, Politecnico di Milano, Membre

M. Olivier SENAME Professeur, Grenoble INP, Directeur de thse

M. Luc DUGARD Directeur de recherche, CNRS Grenoble, Directeur de thse

Table of contents

Acknowlegdement 7

Abstract 9

Rsum des contributions (in French) 11

Thesis framework and contribution 41

1 Introduction 47

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.1.1 General introduction to vehicle dynamic control . . . . . . . . . . 471.1.2 Suspension system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.2 Quarter vehicle model and performance criteria for suspension control . . 501.2.1 Quarter vehicle model for suspension system control . . . . . . . . 501.2.2 Performance criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3 Semi-active suspensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.3.1 Classification and characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.3.2 Modeling methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.3 Control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 Background on control theory and optimization 63

2.1 Convex optimization and Linear Matrix Inequality . . . . . . . . . . . . . 632.1.1 Convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2 Linear matrix inequality - LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2 LPV control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.1 Representation of LPV Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.2 Stability of LPV systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.3 LPV synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3 Multi-objective optimization by genetic algorithms . . . . . . . . . . . . 762.3.1 Multi-objective optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.2 Genetic algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3

2.3.3 Elitist multi-objective evolutionary algorithms (MOEAs) . . . . . 802.4 Input saturation control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.2 Saturation modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.4.3 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4.4 Controller design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Suspension systems with nonlinear Magneto-Rheological dampers 95

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2 Semi-active suspension modelling for MR dampers . . . . . . . . . . . . . 973.3 The quarter vehicle model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4 LPV model for semi-active suspension control . . . . . . . . . . . . . . . 1013.5 Optimizing H/LPV controller for semi-active suspensions . . . . . . . . 105

3.5.1 Control scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5.2 Controller optimization using Genetic Algorithms . . . . . . . . . 109

3.6 Numerical analysis and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.6.1 The based-lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.6.2 Frequency domain analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.6.3 Time domain analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.6.4 Robustness evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.7 Reducing the conservatism in the synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4 Suspension systems with linear hydraulic dampers 129

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.1.1 Quarter car model equipped with a linear semi-active damper . . 1304.1.2 Performance objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.2 Strong stabilization approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.2 Strong stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2.3 Strong stabilization - Approach 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.2.4 Strong stabilization - Approach 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.2.5 Strong stabilization approach in semi-active suspension control . . 137

4.3 Numerical analysis and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3.1 Based-Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3.2 Preliminary design and analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3.3 Frequency domain analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.3.4 Time domain analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.3.5 Robustness evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5 Comfort and suspension deflection improvement 159

5.1 Problem introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.1.1 Dual-stage suspension system & equivalent one-stage suspension

system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.1.2 Parameters identification for OSS model . . . . . . . . . . . . . . 1615.1.3 The End-stop Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.1.4 Problem definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.2 Controller design for DSS system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.2.1 State-space representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.2.2 Controller optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3 Test scenario and performance criterion for evaluation . . . . . . . . . . . 1675.3.1 Road Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.3.2 Performance Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.4.1 Baselines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4.2 Frequency domain analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4.3 Time domain analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6 LPV control design with input saturation and state constraints 177

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.2 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.2.1 System description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.2.2 LPV controller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.2.3 Problem Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.3.1 Practical validity region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.3.2 Saturation model validity region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.3.3 W-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.5 Application to semi-active suspension control . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.5.1 Quarter car model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.5.2 State-space representation and control objective . . . . . . . . . . 1906.5.3 Numerical analysis and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7 Conclusions and Future works 195

A Proof of Sky-hook and ADD for MR damper 201

A.1 Extended Skyhook for MR damper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.2 Extended ADD for MR damper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.3 Extended Mixed Skyhook-ADD (SH-ADD) for MR dampers . . . . . . . 206

B Nonlinear Frequency Response - (Pseudo-Bode) 207

C Paper CDC-2010 209

D Controllers for DSS and OSS systems 217

Bibliography 220

Acknowlegdement

I would like to thank my advisors, Professors Olivier Sename and Luc Dugard, for theirscientific understanding and for their precious support during my PhD studies. I havebeen so lucky to work with them, who were always available and gave me the best researchconditions and professional opportunities. I look forward to further collaboration in thefuture.

I would like to thank Professor Michel Basset for being the president of my doctoralcommittee; Professor Germain Garcia and Professor Peter Gaspar for their time to reviewmy PhD thesis.

I would like also to thank Professor Sergio Savaresi (Politecnico di Milano, Milan) forparticipating in my doctoral committee and, specially, accepting me to join his MOVEteam for six months. There, under his supervision, I had the chance to exchange myscientific knowledge with Cristiano Spelta, Diego Delveccio and Mara Tanelli. Besides,thank you very much, Cristiano and Diego, for your kindness in helping me with thelodging in Milan.

My gratitude goes to Professor Joao M. Gomes da Silva Jr. for being available andpatient to answer very clearly all my questions on input saturation control. I hope wewill continue to work together on this interesting topic.

I will not forget to thank Jorge Lozoya-Santos, my dear Mexican friend, for the collab-oration in MR damper modeling and control and Charles Poussot-Vassal for his advicein suspension control and the matlab routines which were really helpful to me.

I have spent happy and unforgettable moments with my dear friends in GIPSA-Lab:Antoine, Irfan, Simona, Joumana, Lizeth, Andra, Amine, Jennifer, Caroline, Valentina,Marouane, Soheib, Sbastien, Gabriel, Felipe, Maria, Haiyang, Emilie, Federico, Bous-saad... Without you, my three years of PhD must have been so boring and difficult.

My sincere thanks go to Hieu, Nhung, Thang and Van (in Grenoble); and Thuan, Hung,Cuong, Duc Anh, Hoang...(in other cities) for always being beside me and sharing withme the joy and difficulties as well in France; to my interesting friends Trung, Duong,Thanh, Long, Trinh, Dinh, Ha, Xuan, Hoa, Trang, Thanh, Duy... for letting me to

7

be among you during my six months in Milan; and to my childhood friends Hai, Hien,Trang, Duong, Tuan, Phung, Hung, Xuyen for always supporting me from Vietnam.

Finally, I am also grateful to Marie-Thrse, Marielle, Virginie, Houria, Patricia, OlivierChabert... and all members of the staff of GIPSA-Lab. Without them, my work mighthave not run smoothly.

Anh-Lam DoGrenoble, France

November 2011

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Abstract

Abstract (in english) This work is concerned by the development of advanced con-trol methods for automotive suspensions to improve passenger comfort and road holding,while meeting technological constraints related to the suspension actuators (passivityconstraint, non-linearities, structural limits).In the first part, we propose two control schemes, polytopic LPV (Linear Parameter-Varying) and Strong Stabilization, with genetic algorithm optimization to solve the con-flicts comfort/road holding and comfort/suspension travel (Chapters 3, 4 and 5).In the second part, to solve the full control problem of semi-active suspensions, we firstdevelop a generic strategy for general LPV systems subject to actuator saturation andstate constraints. The problem is studied in terms of linear matrix inequalities (LMIs)that can synthesize an LPV controller with an anti-windup gain guaranteeing the sta-bility and the performance of the closed loop system. Then, this strategy is applied tothe case of semi-active suspension control (Chapter 6).All the proposed methods are validated by simulations on a non-linear quarter-vehiclemodel.

Keywords: Semi-active suspensions, robust control, LPV modeling and control, inputsaturation control, anti-windup, genetic algorithms.

Rsum (en franais) Ce travail concerne le dveloppement de mthodes de com-mandes avances pour les suspensions automobiles afin damliorer la tenue de route desvhicules et le confort des passagers, tout en respectant les contraintes technologiqueslies aux actionneurs de suspension (passivit, non-linarits, limites structurelles).Dans la 1re partie, nous proposons deux schmas de commande par approche LPVpolytopique (Linaire Paramtre Variant) et Stabilisation Forte (Strong Stabilization)avec optimisation par algorithme gntique pour rsoudre les conflits confort/tenue deroute et confort/dbattement de suspension (Chapitres 3, 4 et 5).Dans la 2me partie, pour rsoudre le problme complet de commande de suspensionssemi-actives, nous dveloppons dabord une stratgie gnrique pour les systmes LPVgnraux soumis la saturation des actionneurs et des contraintes dtat. Le problmeest tudi sous la forme de rsolution dingalits linaires matricielles (LMI) qui permet-

9

tent de synthtiser un contrleur LPV et un gain anti wind-up garantissant la stabilitet la performance du systme en boucle ferme. Ensuite, cette stratgie est applique aucas de la commande des suspensions semi-actives (Chapitre 6).Les mthodes proposes sont valides par une valuation base sur un critre industrielet des simulations effectues sur un modle non-linaire de quart de vhicule

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Rsum des contributions (in French)

Cette thse prsente le travail de trois ans (octobre 2008 - septembre 2011), ralis danslquipe SLR (Systmes Linaires et Robustesse), dpartement Automatique, GIPSA-Lab, sur lapproche LPV pour la commande robuste de la dynamique des vhicules:amlioration conjointe du confort et de la tenue de route, sous la direction de Mr.Olivier Sename (Professeur, Grenoble INP) et de Mr. Luc Dugard (Directeur deRecherche, CNRS). Ce travail a t financ par une allocation de recherche du Min-istre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche (MESR) et il fait aussi partie duprojet INOVE (approche INtgre pour lObservation et la commande de la dynamiquedu VEhicule) ANR 2010-2014.

La thse est la continuit de travaux antrieurs effectus dans lquipe de rechercheSLR

Ricardo Ramirez-Mendoza (voir [Ramirez-Mendoza, 1997]), Sur la Modlisationet la Commande de Vhicules automobiles a t la premire tude dans le cadrede lautomobile. Le travail a t ax sur la description et la modlisation desvhicules, ainsi que sur les premires tentatives sur les mthodologies de commandedes suspensions actives.

Damien Sammier (voir [Sammier, 2001]), Sur la Modlisation et la Commande dela Suspension de Vhicules automobiles a prsent la modlisation et la conceptionde rgulateur dune suspension active (utilisant les techniquesH pour les systmesLTI). La modlisation et la commande de suspension semi-active ont galement ttudies pour un amortisseur semi-actif de PSA Peugeot-Citron.

Alessandro Zin (voir [Zin, 2005]), Sur la Commande Robuste de suspensions au-tomobiles en vue du Contrle global de chssis, a tendu les travaux antrieursavec une attention forte sur la commande H/LPV dune suspension active afindamliorer les proprits de robustesse. Un schma de commande globale de chs-sis, grce lutilisation des quatre suspensions, a galement t obtenu laide unedistribution anti-roulis.

Charles Poussot-Vassal (voir [Poussot-Vassal, 2008]), Commande Robuste LPV

11

Multivariable de Chssis Automobile, a fourni des outils et des mthodologies deconception de contrleur afin damliorer le confort et la scurit dans les vhiculesautomobiles. Deux principales contributions sont la commande des suspensionssemi-actives (en utilisant lapproche LPV pour amliorer le confort et la tenue deroute) et la commande globale de chssis (concernant la commande des actionneursde freinage et de virage pour lamlioration de la scurit des vhicules).

Sbastien Aubouet (voir [Aubouet, 2010]), Modlisation et Commande duneSuspension semi-active SOBEN, a prsent une mthodologie de conceptiondobservateur permettant au concepteur de suspension de construire et de rglerun observateur qui estime des variables non mesures. Ensuite, les rsultats prc-dents de Charles Poussot-Vassal, pour la commande de la suspension semi-active,ont t tendus au modle vertical complet de vhicule, et complt avec une mth-ode de placement de ples, une stratgie dordonnancement base sur un modledamortissement et une commande damortisseur locale.

Pendant ma thse, la Rgion Rhnes-Alpes ma offert une bourse ExploraDoc pourpasser six mois dans un institut tranger. Par consquent, jai eu la chance de travailleravec Sergio Saveresi, Cristiano Spelta, Diego Delvecchio et Mara Tanelli (auDipartimento di Elettronica ed Informazione, Politecnico di Milano, Italie) sur la com-mande de la suspension semi-active. La collaboration a dbouch sur deux articles deconfrence An extension of Mixed Skyhook and ADD to Magneto-Rheological dampers[Do, Spelta, Savaresi, Sename, Dugard & Delvecchio, 2010] et An LPV control approachfor comfort and suspension travel improvements of semiactive suspension systems [Do,Sename, Dugard, Savaresi, Spelta & Delvecchio, 2010] et un potentiel article (en prpa-ration) sur la commande de lamortissement variable et la rigidit variable des systmesde suspension. Jai eu aussi la chance de travailler avec Joao M. Gomes da SilvaJr. lors de son sjour de recherche de deux mois au GIPSA-Lab. Les discussions surla commande de saturation dentre ont donn lieu un article de confrence Controldesign for LPV systems with input saturation and state constraints: an application toa semi-active suspension [Do, Gomes da Silva Jr., Sename & Dugard, 2011]. Enfin,jai collabor avec Jorge Santos Lozoya, doctorant mexicain, dans le cadre du pro-jet MCOS PCP 2007-2010 entre le Tecnologico de Monterrey et le GIPSA-Lab. Nousavons discut essentiellement sur la commande des amortisseurs magnto-rhologiques.Larticle sur les Modlisation et Commande LPV damortisseur Magnto-Rhologique[Do, Lozoya-Santos, Sename, Dugard, Ramirez-Mendoza & Morales-Menendez, 2010] estlun des premiers rsultats pour la commande des amortisseurs magnto-rhologiquesnonlinaires.

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Motivation et objectifs

Aujourdhui, de nouvelles technologies sophistiques de nombreux domaines tels que lamcanique, llectronique, la communication, lautomatique peuvent tre trouves dansun vhicule moderne. Par exemple, lutilisation de moteurs hybrides lectriques permetde minimiser le bruit, la consommation de carburant et les missions de polluants; lestechnologies base de camra pour dtecter les alentours dans un vhicule fournissent desinformations visuelles et davertissement au conducteur; la communication sans fil avecle monde extrieur (avec dautres vhicules ou des centres de communication) augmentela scurit et amliore lexprience de conduite. Bien que ces technologies apportent deplus en plus de plaisir aux utilisateurs, le facteur fondamental qui dtermine la perfor-mance dun vhicule est sans doute sa dynamique. En fait, la dynamique du vhiculeest un sujet intressant dans la recherche industrielle et acadmique. La conception etla commande des principaux actionneurs essentiels la dynamique du vhicule ont tintensivement tudis. Dans ce cadre, les systmes de suspension, ainsi que les systmesde freinage et de direction, jouent un rle cl. Il a t prouv par de nombreuses tudes,thoriques et pratiques, que les systmes de suspension amliorent considrablement leconfort et la scurit des vhicules. Rcemment, linvention de nouvelles technologies(amortisseurs lectro-rhologiques, magnto-rhologiques...) a ouvert une nouvelle ten-dance dans ltude et lapplication de tels actionneurs lautomobile.

Les systmes de suspension de vhicules utilisant des amortisseurs semi-actifs sontles objets de recherche de cette thse. Outre la coopration possible avec les systmes dedirection et de freinage pour un meilleur comportement dynamique du vhicule, ils ontune contribution distinctive au confort et la tenue de route (deux critres principauxpour un vhicule). De nombreuses approches ont t consacres optimiser sparmentle confort ou la tenue de route. Dautres ont propos des mthodes gnrales pour faireface leur compromis, mais les rsultats optimaux (au sens de Pareto optimal) nontjamais t discuts pour montrer lefficacit de ces mthodes. Par ailleurs, il peut trevu, partir des tudes existantes sur la commande de la suspension semi-active, que ladifficult commune est la contrainte de passivit. En effet, cest le principal problme grer. Aussi pour une conception plus raliste, les non-linarits et les limitationsmcaniques dun systme de suspension doivent tre prises en compte aussi.

Pour rsumer, les problmes suivants sont intressants et stimulants pour la com-mande de la suspension semi-active.

Problmes doptimisation multi-objectif.

Non-linarit de systmes de suspension semi-active.

Contraintes de commande (contrainte de passivit et de limites mcaniques).

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Le rle important des systmes de suspension dans des vhicules, en gnral, et lesproblmes thoriques intressants dans la conception de contrleur pour ces systmes,en particulier, ont motiv notre tude. Lobjectif de cette thse est de proposer unemthodologie gnrique pour obtenir un bon compromis entre confort et tenue de routetout en tenant compte des caractristiques importantes et des contraintes (non-linarits,contrainte de passivit et contraintes mcaniques).

Le modle de quart de vhicule et les critres de perfor-

mance

Le modle de quart de vhicule La dynamique verticale, concernant le comfortet la tenue de route, est tudie dans cette thse. Par consquent, le modle de quartde vhicule (voir Fig. 1) est utilis. Ce modle est simple et adapt une conceptionprliminaire. Dans ce modle, le chssis du vhicule est reprsent par la masse suspendue(ms) et la roue par la masse non suspendue (mus). Elles sont relies par un ressort decoefficient de raideur ks et par un amortisseur semi-actif. Le pneu est modlis par unressort de coefficient de raideur kt. Comme vu dans la figure 1, zs (respectivement zus)est le dplacement vertical autour du point dquilibre de ms (respectivement mus) et zrest la variation du profil de la route. Il est suppos que le contact roue-route est assur.

zs

zus

zr

ms

mus

ks Semi-activedamper

kt

Figure 1: Modle de quart de vhicule avec suspension semi-active.

En appliquant la deuxime loi de Newton, les quations dynamiques dun quart devhicule sont donns par

{

mszs = Fspring Fdamper

muszus = Fspring + Fdamper Ftire(0.0.1)

o Fspring est la force dynamique du ressort ks, Ftire est la force dynamique du pneu

14

et Fdamper est la force de lamortisseur. Notons zdef = zs zus le dbattement delamortisseur et zdef = zs zus la vitesse de dbattement.

Les forces dynamiques du ressort et du pneu sont donnes par

Fspring = kszdef (0.0.2)

Ftire = kt(zus zr) (0.0.3)

Les caractristiques de lamortisseur sont habituellement reprsentes par une relationforce-dbattement-vitesse de dbattement:

Fdamper = Fdamper (zdef , zdef ) (0.0.4)

Dans cette thse, nous utilisons le modle de quart de vhicule de la Renault MganeCoup (1/4 RMC) du modle de la voiture dessai disponible au Laboratoire MIPS(Mulhouse, France) (voir [Zin, 2005]).

Critres dvaluation des performances de suspension Dans la suite, les critrespour valuer la performance des systmes de suspension semi-active sont donns. Prenonsle cas du modle de quart de vhicule (voir Fig. 1). Par abus de langage, dnotons zs/zr(respectivement (zus zr)/zr)) la rponse frquentielle de la fonction de transfert liantla perturbation de route zr lacclration du corps du vhicule zs (respectivement ladflexion dynamique du pneu zus zr), c..d le gain de la fonction de transfert pourles systmes LTI ou le gain calcul en utilisant lalgorithme de Variance Gain danslannexe B pour les systmes non-linaires.

En gnral, lacclration de lhabitacle des vhicules entre 0 20 Hz doit tre filtrepour garantir un bon confort de conduite, bien quil soit intressant de noter galementque le cops humain est le plus sensible lacclration verticale autour de 4-8 Hz (ISO2631). De lautre ct, pour maintenir le contact route-roues, il est ncessaire que la forcedynamique du pneumatique soit plus petite que g(ms+mus) (o g est la gravit). Ainsi,pour lamlioration de la tenue de route, la force dynamique du pneumatique kt(zuszr),en dautres termes la dflexion dynamique du pneu zus zr, devrait tre faible dans lagamme de frquences de 0 30 Hz. Notons galement que la tenue de route est amlioreen limitant le rebond de roue zus dans les frquences autour de sa rsonance, ie. 10-20Hz.

En rsum, avec les remarques prcdentes, les critres de performance dans ledomaine frquentiel sont dcrits explicitement comme suit

Confort

JCF = min

20

0

zs/zr(f)df (0.0.5)

15

Tenue de route

JRH = min

30

0

(zus zr)/zr(f)df (0.0.6)

Les objectifs de la conception du contrleur sont de minimiser les deux critres. Ilest noter que les deux critres (0.0.5) et (0.0.6 sont compatibles avec ceux donns dans[Sammier et al., 2003] et [Savaresi et al., 2010].

Le modle et les critres de performance pour les systmes de suspension ont tprsents. Dans la prochaine section, nous allons prsenter les rsultats obtenus.Dabord, on discute des nouvelles mthodes de commande de deux types particuliersde suspensions semi-actives: amortisseur magnto-rhologique nonlinaire et amortis-seur hydraulique linaire. Lobjectif est de rsoudre les conflits confort/tenue de routeou confort/dbattement de suspension. Enfin, une mthode gnrique pour la commandedes systme LPV soumis la saturation dactionneur et aux contraintes dtat est pro-pose et applique au cas de la commande des suspensions semi-actives, sachant quela contrainte de passivit peut tre tranforme en contrainte de saturation tandis quela limite mcanique et la tenue de route peuvent tre reprsentes par des contraintesdtat.

Contribution 1: Commande de lamortisseur magnto-

rhologique

Rcemment, les amortisseurs magnto-rhologiques (MR) sont apparus comme lun desdispositifs les plus tudis dans les travaux de recherche industrielles et acadmiques.Ils utilisent des fluides MR dont les caractristiques peuvent tre modifies quand ilssont exposs un champ magntique. Compars dautres types damortisseurs semi-actifs (comme lectro-rhologique, amortisseurs friction...), ils ont de grands avantagestels que le temps de rponse rapide ainsi que le comportement hystrtique stable surune large gamme de temprature et la basse consommation dnergie. Ils reprsententune nouvelle gnration damortisseurs semi-actifs qui sont utiliss dans de nombreusesapplications comme les amortisseurs et les dispositifs damortissement, les pauses em-brayages, des actionneurs ou des articulations artificielles, des amortisseurs sismiquesoprationnels visant rduire le mouvement dans les btiments et bien sr dans lessystmes automobiles. La Fig. 2 montre un schma damortisseur MR.

Pour la commande des amortisseurs MR, dans notre article en collaboration avecS. Savaresi, C. Spelta, D. Delvecchio (voir [Do, Sename, Dugard, Savaresi, Spelta &Delvecchio, 2010]), les versions tendues du Skyhook ([Karnopp et al., 1974]) et dumixed Skyhook-ADD [Savaresi & Spelta, 2007] ont t proposes.

16

Figure 2: Schma de principe dun amortisseur MR.

Ici on prsente lintrt de cette mthodologie pour la modlisation et la commandeLPV de suspension semi-active. Dans cette tude, les dveloppements rcents dans nospublications [Do, Sename, Dugard, Aubouet & Ramirez-Mendoza, 2010], [Do, Sename& Dugard, 2010], [Do, Sename, Dugard & Soualmi, 2011] sont prsents pour:

dabord, dvelopper un modle LPV pour un systme de suspension automobile partir dun modle non-linaire damortissement semi-actif,

puis, en utilisant une reprsentation LPV originale de la dissipativit delamortisseur semi-actif, dvelopper un contrleur H/LPV ad-hoc.

enfin, proposer une procdure doptimisation du contrleur en utilisant des algo-rithmes gntiques.

Lensemble du modle LPV est utilis pour concevoir un contrleur polytopique Hpour un systme de suspension automobile quip dun amortisseur magnto-rhologiquesemi-actif. Ce contrleur vise amliorer le confort et/ou la tenue de route, selon lesspcifications requises.

Modle orient pour la commande Dans [Lozoya-Santos, Ruiz-Cabrera, Morales-Menndez, Ramrez-Mendoza & Diaz-Salas, 2009], les auteurs ont montr que si chaquecoefficient dans le modle de [Guo et al., 2006] est dfini comme une fonction polynomialedu courant lectrique, le modle obtenu approchera mieux les donnes relles. Cepen-dant pour lobjectif de commande, un modle simple orient pour la commande o unseul paramtre dpendant du signal dentre (le courant) a t propos et tudi la pre-mire fois dans [Do, Sename & Dugard, 2010], [Do, Spelta, Savaresi, Sename, Dugard &Delvecchio, 2010]. Selon les auteurs, le modle suivant est appropri pour la commande:

Fmr = c0xmr + k0xmr + fI tanh (c1xmr + k1xmr) (0.0.7)

17

o Fmr est la force de lamortisseur, c0, c1, k0 et k1 sont des paramtres constants et fIest le coefficient de force contrlable et qui varie selon le courant lectrique I dans labobine (0 fImin < fI fImax).

En comparaison avec le modle original dans [Guo et al., 2006] dont les caractris-tiques sont statiques et non commandables, le modle (0.0.7) reflte le comportementraliste dun amortisseur MR. Ce modle permet de satisfaire la contrainte de passivitde lamortisseur semi-actif et prsente une entre de commande fI . La limitation dumodle rside dans la supposition que lhystrsis de lamortisseur MR est invariante parrapport au courant I. La Fig. 3 prsente la dpendance de la force damortissement aucourant I. La modification du courant dans la bobine dun amortisseur MR modifie sescaractristiques. Ici, la bi-viscosit et lhystrsis peuvent tre clairement observes.

0.05 0 0.05

1500

1000

500

0

500

1000

1500

Deflection [m]

Forc

e [N

]

1 0.5 0 0.5 1

1500

1000

500

0

500

1000

1500

Deflection Velocity [m/s]

Forc

e [N

]

I=1 [A]

I=0 [A]

I=2 [A]I=2 [A]

I=1 [A]

I=0 [A]

Figure 3: Caractristiques des amortisseurs MR avec diffrentes valeurs de courant I:Force vs Dbattement (gauche) et Force vs Vitesse (droite)

Les paramtres du modle utilis (voir Fig.3) sont les suivants: c0 = 810, 78[Ns/m],k0 = 620, 79[N/m], c1 = 13, 76[s/m], k1 = 10, 54[1/m]. Ces paramtres exprimentauxont t identifis par Jorge de Jesus Lozoya-Santos (voir [Lozoya-Santos et al., 2010] et[Lozoya-Santos, Morales-Menendez, Ramirez-Mendoza & Nino-Juarez, 2009]) sur le bancdessai au Metalsa 1.

Modle orient pour la commande de lamortisseur semi-actif nonlinaire

En utilisant le modle de lamortisseur (0.0.7) et avec quelques manipulations mathma-

1www.metalsa.com.mx

18

tiques, on arrive formuler le modle de quart de vhicule sous forme LPV.

x = A (1, 2) x+Bu+B1w

z = Cz (1, 2) x

y = Cx

(0.0.8)

x : variables du modle 1/4 vhicule + variable du filtre

w: profil de route

u : commande

1 contient la caractristique de lamortisseur et la contrainte de passivit.

2 apparat cause des transformations mathmatiques.

Notons aussi que 1 et 2 ne sont pas indpendants. Comme vu dans la Fig. 4,lensemble de (1, 2) reprsent par la zone ombre nest pas un polytope. Dans lasection suivante, une approche polytopique sera applique pour le systme LPV (0.0.8)en considrant un polytope qui inclut toutes les trajectoires possibles des paramtresvariants de (1, 2) considrs comme indpendants.

1 0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

2

Figure 4: Paramtres variants (1, 2) (zone ombre).

En effet, le but est de trouver un contrleur LPV qui garantit la stabilit et laperformance H pour le systme (0.0.8). Il est bien connu que la qualit de ce contrleurdpend du choix de certaines fonctions de pondration. Par la suite, une procduregnrale pour loptimisation des fonctions de pondration sera propose puis applique la commande de suspension semi-active.

19

ABCD

EAFB

AF

F

CCDD

CDCCCB

!DDD"

CAFCC

CD CC!CFBCCFCFC

#FDCADFBFC

DADDCDDD"

$%FC#

&B'CD!(')"

&F%!F

Figure 5: Optimisation du rgulateur pour la commande de la suspension semi-active laide dalgorithmes gntiques.

Mthode propose pour optimiser la commande LPV de suspension semi-

active

Etape 1: Initialiser la premire gnration avec des valeurs positives alatoires desparamtres des fonctions de pondration et de la borne suprieure de la norme L2du systme en boucle ferme.

Etape 2: Rsoudre les LMIs (voir dans [Scherer et al., 1997]) pour obtenir uncontrleur LPV Kc(). Calculer la fonction dobjectif J en utilisant 0.0.9 (notonsque JD = quand les constrleurs Kc() sont instables).

Etape 3: Utiliser lalgorithme SPEA2 [Zitzler et al., 2001] pour slectionner lesmeilleurs individus qui peuvent entrer dans la prochaine gnration.

Etape 4: Si le nombre de gnration est infrieur une valeur maximale, revenir ltape 2 avec la nouvelle gnration obtenue dans ltape 3. Sinon, arrter leprogramme et sauve-garder les individus de la dernire gnration. Ces individusseront tudis a posteriori pour choisir les meilleures solutions (orients pour leconfort ou la tenue de route).

JD =

[

JDComfort

JDRoadHolding

]

(0.0.9)

JDComfort

=4

i=1

12

0

(zs/zr(f)i)df

20

JDRoadHolding =4

i=1

20

10

(zus/zr(f)i)df

Contribution 2: Commande de lamortisseur linaire

hydraulique

Bien que la non-linarit dans le modle de lamortisseur doive tre prise en comptedans la conception de contrleur, de nombreuses tudes ont t bases sur des modlesde systme de suspension simple avec amortisseurs hydrauliques linaires. La raison pourlaquelle les amortisseurs linaires ont t plus intensivement tudis est que les modlesde vhicules avec ces amortisseurs permettent, a priori, de faire face des problmesplus gnraux et complexes et de tester lefficacit des mthodes de conception dans lecas idal (en omettant la non-linarit). Dans ce chapitre, nous revisitons le problmede commande de lamortisseur linaire. Une nouvelle approche, base sur la stabilisationforte, est propose.

Approche par la stabilisation forte pour la commande des amortisseurs semi-

actifs linaires Considrons le modle de vhicule reprsent dans la Fig. 1 quipedun amortisseur linaire caractrise par lquation suivante:

Fdamper = czdef (0.0.10)

Tout dabord, dcomposons la force de lamortisseur comme Fdamper = c0zdef + uo c0 = (cmin + cmax)/2 et considrons une reprsentation dtat du modle quart devhicule comme suit:

xs = Asxs +Bs1w +Bs2u (0.0.11)

y = Csxs

o xs = (zs, zs, zus, zus)T , w = zr, y = zs zus = zdef .

As =

0 1 0 0

ksms

c0ms

ksms

c0ms

0 0 0 1

ksmus

c0mus

ks+ktmus

c0mus

, Bs1 =[

0 0 0 ktmus

]T

,

Bs2 =[

0 1ms

0 1mus

]T

, Cs =[

0 1 0 1]

.

21

Remark 0.0.1. En fait, u est la force compense ajoute un amortisseur nominal dontle coefficient damortissement est gal c0. Pour satisfaire la contrainte de passivit dunamortisseur semi-actif, lentre de commande u doit tre limite par

|u(t)| cmax cmin

2|zdef (t)| t 0 (0.0.12)

Notons U(s), Zdef (s) les transformes de Laplace de u et zdef . Considrons la condi-tion suivante

|U(j)| cmax cmin

2|Zdef (j)| , (0.0.13)

On peut voir que la contrainte (0.0.13) nimplique pas (0.0.12). Cependant, si noussupprimons certains dpassements court terme dans les rponses de u (ce qui peutvioler la contrainte de passivit, court terme), (0.0.13) est une bonne approximationde (0.0.12) et plus facile manipuler.

Remark 0.0.2. Comme vu dans (0.0.11), la vitesse de dflection zdef est une mesure desortie du systme. Ce choix est fait pour la raison suivante. Remarquons que sil existeun contrleur stabilisant LTI K pour le systme (0.0.11) et que

K =u2

zdef2cmax cmin

2pour tout zdef t.q 0 < zdef2

zs

zus

Wzs

Wzus

zr

u zdef

K

P

z1

z2

Wzr w1

Figure 6: Schma bloc pour lapproche par stabilisation forte

ABCD

EAFB

AF

FF

CCDD

AD

CDFFC

CAFCC

CDCCCFB CCF!CF"C

FDCADFBFC

DADDCDDD#

$FC

%B&CD '&(#

%FF

Figure 7: Optimisation du contrleur de suspension semi-active par algorithmes gn-tiques.

Encore une fois, la procdure doptimisation des fonctions de pondration prsentedans la partie de commande damortisseur MR est utilise. Lobjectif est de trouver descontrleurs stables et gain limit (voir [Gmssoy & zbay, 2005] et [Cheng et al.,2007]) tels que la fonction dobjectif suivante soit minimise:

min{}R10+

JD () =

[

JDComfort ()

JDRoadHolding ()

]

(0.0.18)

o

JDComfort

= 1

1.5

0(zs/zr R1)

2df + 2

10

3(zs/zr R2)

2df + 3K

(0.0.19)

JDRoadHolding = 1

20

10(zus/zr R3)

2df + 2K

(0.0.20)

23

o R1 (respectivement R2) est la rponse frquentielle de zs/zr de lamortisseur passifHard (respectivement Soft) et R3 est la rponse frquentielle de zus/zr de lamortisseurpassif Hard; i > 0 avec i = 1 : 3 et j > 0 avec j = 1 : 2 sont des coefficients depondration.

Contribution 3: Leffet de bute sur le confort

Il est bien vident que le compromis confort/tenue de route a t tudi dans de nom-breuses approches au cours des dernires dcennies. La question sur lamlioration dudbattement de la suspension na pas t toujours considr. Atteindre les limites struc-turelles, lorsque la perturbation routire est particulirement importante, dgrade con-sidrablement le confort des passagers (leffet de bute) et diminue la dure de vie descomposants du vhicule.

Dans cette thse, le compromis entre le confort des passagers et le dbattement desuspension est tudi. Les rsultats prsents dans ce chapitre ont t obtenus lors demon sjour de 6 mois au Dipartimento di Elettronica Informazione ed, Politecnico diMilano avec Sergio Savaresi, Cristiano Spelta et Diego Delvecchio.

Le premier rsultat a t prsent la confrence CDC-2010 (voir lannexe C). Dansce papier, une mthode hybride base sur la commutation ADD (Acceleration DrivenDamper) et la commande LPV (voir chapitre 3) a t dvelopp pour un modle devhicule non-linaire quip damortisseurs MR non linaires afin damliorer le confortet dbattement de suspension.

Dans le chapitre 6, nous prsentons un autre rsultat obtenu rcemment pour les sys-tmes dual-stage suspension system (reprsentant les siges du conducteur sur les poidslourds) en utilisant des amortisseurs hydrauliques linaires. Lobjectif de commande estgalement damliorer le confort du conducteur tout en tenant compte du dbattementde suspension (la tenue de route nest plus considre). Pour y parvenir, nous utilisonslapproche de stabilisation forte pour la commande de suspension semi-active proposedans le chapitre 4.

Contribution 4: Commande des systme LPV soumis

la saturation des entres et la contrainte dtats

Motivation La problme complet de commande de suspension semi-active est deraliser le meilleur compromis entre:

24

Le confort en termes dacclration verticale de la voiture zs.

La tenue de route en termes de la dflection dynamique du pneu zus zr.

La dflection en termes de dbattement de lamortisseur zs zus.

ainsi que de garantir la contrainte de passivit.

Dans presque toutes les approches trouves dans la littrature, le problme rsoudreconsiste optimiser un critre multi-objectif:

minimiser [zs, zuz zr, zs zus]T (0.0.21)

sous les contraintes de passivit (0.0.22)

Il est important de noter que le dbattement de lamortisseur est une contraintephysique (plutt quun objectif de performance)

|zs zus| < s = const (0.0.23)

o s est la course de la suspension, et que la condition de tenue de route peut trereprsente de faon simplifie par la contrainte suivante

zus zr 0, w(t) W avec

W = {w Rq : wTw < } (0.0.30)

Hypothse 3: Les paramtres variants dpendent des tats du systme = (x, t)(ie quasi-LPV) et sont borns dans

= { : i 6 i 6 i, i = 1, ..., k} (0.0.31)

26

Hypothse 4: Les entres de commande sont bornes en amplitude:

ui 6 ui(t) 6 ui, i = 1, ...,m (0.0.32)

La solution pour la commande des systme LPV 0.0.28 soumis la saturation des entreset la contrainte dtats est donn par le thorme suivant.

Theorem 0.0.1. Si, pour les scalaires donns 1 > 0 et > 0, il existe des matricessymtriques dfinies positives X, Y Rnn, un scalaire positif 2, des matrices diagonalesdfini-positives S Rmm, les matrices A() inRnn, B() inRnp, C(), Z1(), Z2() Rmn, D() Rmp, Q() Rnm tels que les ingalits matricielles (0.0.34) - (0.0.38)sont vrifies, alors le contrleur LPV anti-windup (0.0.29) avec des matrices

Ec () = N1Q ()S1 N1Y Bu

Dc () = D ()

Cc () = [C ()Dc ()CyX]MT

Bc () = N1[B () Y BuDc ()]

Ac () = N1[A ()NBc ()CyX Y BuCc ()M

T

Y (A () + BuDc ()Cy)X]MT

(0.0.33)

o M et N vrifient MNT = I XY , rsoud le problme dfini ci-dessus.

L11() L12() L13() L14()

L22() L23() L24()

L33() L34()

L44()

0 (0.0.34)

O11 () O12 () O13 () O14 ()

O22 () O23 () O24 ()

O33() O34 ()

O44()

0 (0.0.35)

X

I Y

Ci () Z1i () (D ()Cy)i Z2i () u2i

0

for i = 1 : m

(0.0.36)

X

I Y

H1iX H1i h20i

0

for i = 1 : s

(0.0.37)

27

2 1 0 (0.0.38)

oL11() = A()X +XA()

T +BuC() + C()TBTu + 1X

L12() = A() + A()T+BuD()Cy + 1In

L13() = BuS + Z1()T

L14() = BuD()Dyw +Bw()

L22() = Y A() +A()TY + B()Cy + C

Ty B()

T + 1Y

L23() = Q() + Z2()T

L24() = B()Dyw + Y Bw()

L33() = 2S

L34() = D()Dyw

L44() = 2I

O11() = A()X +XA()T +BuC() + C()

TBTu

O12() = A()T +A() +BuD()Cy

O13() = Bw() +BuD()Dyw

O14() = XCz()T + C()TDTzu

O22() = Y A() +A()TY + B()Cy + C

Ty B()

T

O23() = Y Bw() + B()Dyw

O24() = Cz()T + CTy D()

TDTzu

O33() = Im

O34() = Dzw()T +DTywD()

TDTzu

O44() = Ip

(0.0.39)

Le thorme ci-dessus est ensuite appliqu au cas de la commande de la suspensionsemi-active (voir chapitre 6).

Conclusions et perspectives

Conclusions

Cette thse a t consacre au problme de lamlioration de la dynamique du vhicule entermes de confort et de tenue de route. Ceci est principalement ralis par les systmesde commande de suspension. En ce qui nous concerne, nous avons plus particulirementtudi le contrle de la suspension semi-active qui, en outre, est un problme intressantpour les aspects la fois acadmiques et industriels. Les rsultats sur ce sujet ont t

28

prsents dans les chapitres 3, 4, 5 et 6. En rsum, les principales contributions de lathse sont les suivantes:

En termes de modlisation:

Un modle pour la commande LPV de suspensions semi-actives avec des amortis-seurs magnto-rhologiques (o les caractristiques de la bi-viscosit et lhystrsissont prises en compte) (chapitre 3).

Un nouveau modle pour la commande LPV des amortisseurs linaires o la vitessede lamortisseur est considre comme un paramtre variant (chapitre 6).

En termes de mthodologie de commande:

La conception LPV pour la commande des amortisseurs MR non linaires (chapitre3).

Une version tendue du Skyhook-ADD pour la commande des amortisseurs MRnon linaires (annexe A).

La conception dune nouvelle loi de commande optimale clipped pour les amortis-seurs hydrauliques semi-actifs linaires base sur lapproche par stabilisation forte(chapitres 4 et 5).

La conception dune loi de commande gnrique LPV avec des contraintes de sat-uration et dtat. Les rsultats obtenus peuvent tre ventuellement appliqus lafois pour les amortisseurs non-linaires et linaires (chapitre 6).

Une procdure doptimisation multi-objectif laide dalgorithmes gntiques pourle problme de commande de suspensions semi-actives. Lintrt de la mthodologiese trouve dans le fait quil peut fournir un ensemble de contrleurs qui peuventapprocher les meilleures solutions pour le problme de commande de suspensionssemi-actives.

En termes dapplication:

Modle de quart de vhicule (pour lamlioration du confort, la tenue de route etle dbattement de suspension).

Modle de chaise (pour lamlioration du confort et du dbattement de suspension).

Enfin, du point de vue de la mise en oeuvre en pratique, les mthodes proposes sontintressantes dans les points suivants:

29

Simple et facile mettre en oeuvre: un capteur de dplacement unique sert mesurer le dbattement de suspension (la vitesse de dbattement peut tre dduitenumriquement partir du dbattement de suspension) et les contrleurs sontstables.

Robuste face au transfert de charge et lincertitude de la masse suspendue (fac-teurs invitables qui apparaissent sur un vhicule quand il se dplace).

Perspectives

Bien que certains rsultats ont t obtenus, le travail peut tre poursuivi avec les quelquesorientations suivantes.Perspectives court terme

Pour les amortisseurs MR, lutilisation de lapproche par stabilisation forte pourdes systmes LPV est un point cl pour rduire le conservatisme. Dans le chapitre3, les contrleurs LPV stables nont pas t synthtiss. Nous avons juste utilisune astuce (algorithme 1, page 82) pour enlever les contrleurs instables lors deloptimisation par algorithmes gntiques. Par ailleurs, lapplication des rsultatsau chapitre 6 (commande des systmes LPV soumis des contraintes de saturationet dtat) pour des amortisseurs MR seront tests et compars avec les mthodesproposes (LPV conventionnelle, le Skyhook-ADD tendu).

Amliorer les rsultats de simulation dans le chapitre 6 est ncessaire. Par ailleurs,les comparaisons avec les autres mthodes de contrle doivent tre faites pourdmontrer lefficacit de la mthode propose (sous rserve de commande LPVavec les contraintes de saturation et dtat).

A partir des rsultats obtenus dans le chapitre 5, ltude sur les systmes Dual-Stage Suspension sera tendue la commande des systmes de suspension aveclamortissement et la rigidit variables.

Un test des mthodes proposes sur une plate-forme relle sera ralis.

Perspectives long terme

Les recherches sur le commande de commutation dune loi une autre sont gale-ment dvelopper. Dans [Geromel & Colaneri, 2006], [Geromel & Colaneri, 2010],les auteurs ont propos une mthode base sur les ingalits de Lyapunov-Metzlerpour dterminer la loi de commutation de faon ce que la stabilit et la min-imisation dune fonction de cot soient garanties en mme temps. Ce sont desbonnes rfrences initiales pour la poursuite des recherches dans le domaine de lacommutation.

30

Lorsque lon travaille avec les systmes LPV de suspension, il serait prfrable deles sparer en des petits sous-systmes LPV et puis commuter entre eux de faon ce que la stabilit du systme en boucle ferme reste vrifie et les performancessont optimises. Lide est lie la commande de commutation hybride LPV (voir[Lim & Chan, 2003], [Lu & Wu, 2004] et les rfrences cites.

Tout au long de la thse, la procdure commune pour rsoudre le problmedoptimisation multi-objectif de commande de suspensions semi-actives a tdutiliser les algorithmes gntiques. Les fonctions de pondration des paramtressont le vecteur de dcision. Il est galement intressant de considrer la mmeprocdure doptimisation (algorithme gntique) mais en considrant cette fois ciles paramtres du contrleur comme un vecteur de dcision. Par ailleurs, lessaiavec plusieurs sorties de mesure diffrentes peuvent tre ralises pour obtenir lameilleure solution.

Jusqu prsent, les systmes de suspension, de direction et de freinage ont ttudis sparment. La bonne coopration entre ces sous-systmes nest pas unetche triviale. Comme la dit Maurice Olley The engineers had made all partsfunction excellently, but when put together the whole was seldom satisfactory.Ceci nous motive donc pour tudier et dveloper une commande globale de chssis.

31

32

List of Figures

1 Modle de quart de vhicule avec suspension semi-active. . . . . . . . . . 14

2 Schma de principe dun amortisseur MR. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 MR damper characteristics with different current values I . . . . . . . . . 18

4 Paramtres variants (1, 2) (zone ombre). . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Optimisation du rgulateur pour la commande de la suspension semi-active laide dalgorithmes gntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Schma bloc pour lapproche par stabilisation forte . . . . . . . . . . . . 23

7 Optimisation du contrleur de suspension semi-active par algorithmesgntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 An example of suspension system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.2 Full vehicle model for suspension control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.3 Half vehicle model for suspension control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.4 Model of quarter vehicle with a semi-active damper. . . . . . . . . . . . . 52

1.5 Nonlinear RMC Spring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.6 ISO 2631 frequency weighting curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.7 Force-velocity characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Convex set (left) and non-convex set (right). . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 An example for the 2-dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3 The convex hull of set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4 An example of a convex function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5 Illustration of weighted sum method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

33

List of Figures

2.6 Illustration of Pareto-Ranking method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7 Principle of genetic algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.8 Crossover and mutation operation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.9 Two goals of an evolutionary algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.10 Effect of input saturation: example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.11 Effect of input saturation: example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.12 Invariant set approach for stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.13 Unconstrained closed-loop plant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.14 Control structure for system with input saturation . . . . . . . . . . . . . 90

3.1 Schematic layout of an MR damper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2 Realistic MR damper force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3 MR damper characteristics with different current values I . . . . . . . . . 99

3.4 Experimental test-rig for MR damper parameter identification . . . . . . 100

3.5 Experimental data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6 Models force v.s real data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7 Model of quarter vehicle with a semi-active damper. . . . . . . . . . . . . 101

3.8 Set of scheduling parameters (1, 2) (shaded area). . . . . . . . . . . . . 105

3.9 Block diagram for semi-active suspension control. . . . . . . . . . . . . . 107

3.10 Controller optimization for semi-active suspension control using GeneticOptimization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.11 Implementation scheme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.12 Pareto set obtained by proposed method (criteria computed for linearmodels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.13 Frequency Responses zs/zr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.14 Frequency Responses (zus zr)/zr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.15 Performances comparison (in frequency domain). . . . . . . . . . . . . . 117

3.16 Road profile zr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.17 Normalized RMS value of filtered zs (by ISO-2631). . . . . . . . . . . . . 118

34

List of Figures

3.18 Spectrum of zs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.19 Spectrum of zus zr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.20 Model of a quarter vehicle with sprung mass uncertainty. . . . . . . . . . 120

3.21 Spectrum of zs (test with an increase of 75% in sprung mass). . . . . . . 121

3.22 Spectrum of zus zr (test with an increase of 75% in sprung mass). . . . 121

3.23 Load transfer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.24 Spectrum of zs (test with a load transfer condition). . . . . . . . . . . . . 122

3.25 Spectrum of zus zr (test with a load transfer condition). . . . . . . . . 123

3.26 Absolute RMS value of filtered zs in different working conditions. . . . . 123

3.27 Reduced-polytope with 6 vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.28 Frequency Responses (zus zr)/zr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.29 Frequency Responses zs/zr (synthesis using polytope of 6 vertices v.s 4vertices). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.30 Frequency Responses (zus zr)/zr (synthesis using polytope of 6 verticesv.s 4 vertices). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1 Schematic layout of a hydraulic damper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2 Model of a quarter vehicle with a linear damper. . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3 Semi-active damper: Force vs Velocity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4 Illustration of semi-active control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5 Control Block Diagram for Strong Stabilization Approach . . . . . . . . . 138

4.6 Implementation scheme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.7 Comfort and road holding trade-off of different strategies. . . . . . . . . . 143

4.8 Controller gain u/zdef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.9 Bode diagram zs/zr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.10 Bode diagram (zus zr)/zr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.11 Damper Force v.s Damper Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.12 Comparison between design and real damper forces . . . . . . . . . . . . 146

4.13 Comfort and road holding trade-off of different strategies. . . . . . . . . . 147

35

List of Figures

4.14 Bode diagram: controller gain u/zdef (Comfort controller KCF ). . . . . . 149

4.15 Bode diagram: vehicle body acceleration zs/zr (Comfort controller KCF ). 149

4.16 Bode diagram: dynamic tire deflection (zus zr)/zr (Comfort controllerKCF ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.17 Bode diagram: Controller gain u/zdef (Road Holding Controller KRH). . 149

4.18 Bode diagram: vehicle body acceleration zs/zr (Road Holding ControllerKRH). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.19 Bode diagram: dynamic tire deflection (zus zr)/zr (Road Holding Con-troller KRH). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.20 Nonlinear frequency responses zs/zr (nonlinear simulation). . . . . . . . . 150

4.21 Nonlinear frequency responses zus zr/zr (nonlinear simulation). . . . . 150

4.22 Normalized RMS value of filtered zs (by ISO-2631). . . . . . . . . . . . . 151

4.23 Spectrum of zs (nonlinear simulation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.24 Spectrum of zus zr (nonlinear simulation). . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.25 Comparison of the Force-Velocity characteristics. . . . . . . . . . . . . . 153

4.26 Spectrum of zs (test with an increase of 75% in sprung mass). . . . . . . 155

4.27 Spectrum of zus zr (test with an increase of 75% in sprung mass). . . . 155

4.28 Spectrum of zs (test with a load transfer condition). . . . . . . . . . . . . 156

4.29 Spectrum of zus zr (test with a load transfer condition). . . . . . . . . 156

4.30 Absolute RMS value of filtered zs in different working conditions. . . . . 157

5.1 DSS model and equivalent OSS model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2 Frequency responses of DSS (in blue) and equivalent OSS (in red). . . . . 162

5.3 All frequency responses of DSS system for all c1 [c1min, c1max], c2 [c2min, c2max] (in blue region) and all frequency responses of equivalentOSS system for all cos [cosmin , cosmax ](region limited by two dash lines). 163

5.4 Time history of the suspension deflection and the body acceleration . . . 164

5.5 Control block diagram for DSS systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.6 Standard road profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.7 OSS system - Nonlinear frequency responses z/zr. . . . . . . . . . . . . . 170

36

List of Figures

5.8 OSS system - Nonlinear frequency responses (z zr)/zr. . . . . . . . . . 170

5.9 DSS system - Nonlinear frequencies responses z1/zr. . . . . . . . . . . . . 171

5.10 DSS system - Nonlinear frequencies responses (z1z2)/zr (Top) and (z2zr)/zr (Bottom). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.11 Time performance comparison for OSS system. . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.12 Time performance comparison for DSS system. . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.13 Time performance comparison between passive OSS and DSS systems. . 173

5.14 Time performance comparison with switching controller. . . . . . . . . . 175

6.1 Unconstrained closed-loop plant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.2 Closed-loop plant with anti-windup controller. . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.3 Saturation model validity regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.4 Model of quarter vehicle with a semi-active damper. . . . . . . . . . . . . 189

6.5 Road Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.6 Performances Comparison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.7 Scheduling parameter and saturation constraint. . . . . . . . . . . . . . . 193

7.1 Schematic layout of the proposed control methods . . . . . . . . . . . . . 196

7.2 Global chassis control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

A.1 Illustration of the extended Skyhook control for MR damper . . . . . . . 202

37

List of Figures

38

List of Tables

1.1 Parameter values of the Renault Mgane Coup quarter car model . . . . 53

3.1 Parameter values of the quarter car model equipped with an MR damper 102

3.2 Weighting function parameters for H/LPV semi-active suspension design113

3.3 Attenuatation scalars for H/LPV semi-active suspension design (ob-tained by Genetic Optimization). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4 Optimal controllers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.1 Model Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

39

List of Tables

40

Thesis framework and contribution

Thesis framework

This thesis presents the three-years work (from October 2008 to September 2011), per-formed in the SLR (Systmes Linaires et Robustesse) team from the Control Systemsdepartment of GIPSA-Lab, on the "LPV Approach for Robust control of vehicle dynam-ics: Joint improvement of comfort and road holding", under the supervision of OlivierSename (Professor, Grenoble INP) and Luc Dugard (Research Director, CNRS). Thiswork has been supported by a Minister of Research (MESR) grant and it is also partof the INOVE (INtegrated approach for Observation and control of VEhicle dynamics)ANR project 2010-2014.

The thesis is the continuity of previous works made in the SLR research team by

Ricardo Ramirez-Mendoza (see [Ramirez-Mendoza, 1997]), "Sur la modlisation etla commande de vhicules automobiles", which was the first study in the automo-tive framework. The work was focused on the description and modeling of vehicles,as well as first attempts on control methodologies for active cruise control.

Damien Sammier (see [Sammier, 2001]), "Sur la modlisation et la commande desuspension de vhicules automobiles" presented the modeling and control design ofan active suspension (using H control for LTI system). The semi-active suspen-sion modeling and control were also studied for a PSA Peugeot-Citron semi-activedamper.

Alessandro Zin (see [Zin, 2005]), "Sur la commande robuste de suspensions auto-mobiles en vue du contrle global de chssis", which extended the previous workswith a strong attention on H/LPV control of an active suspension in order toimprove robustness properties. A sketch of global chassis control through the useof the four suspensions was also derived using an anti-roll distribution.

Charles Poussot-Vassal (see [Poussot-Vassal, 2008]) "Robust Multivariable LinearParameter Varying Control of Automotive Chassis" provided tools and control

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List of Tables

design methodologies in order to improve comfort and safety in automotive vehicles.Two main contributions are the semi-active suspension control (using an LPVapproach to improve the passenger comfort and road holding) and the GlobalChassis Control (involving the control of the braking and steering actuators forvehicle active safety improvement).

Sbastien Aubouet (see [Aubouet, 2010]) presented an observer design methodologyallowing the suspension designer to build and adjust an appropriate observer, esti-mating the non-measured variables. Then, the previous results of Charles Poussot-Vassal, for semi-active suspension control, were extended to the full vertical car,and completed with both a pole placement method, a scheduling strategy basedon a damper model and a local damper control.

During three years, the Rhnes-Alpes Region offered me an ExploraDoc scholarshipto spend six months in a foreign institute. Therefore, I had chance to work with SergioSaveresi, Cristiano Spelta, Diego Delvecchio and Mara Tanelli (in Dipartimentodi Elettronica ed Informazione, Politecnico di Milano, Italia) on semi-active suspensioncontrol. The collaboration resulted in two conference papers An extension of Mixed Sky-hook and ADD to Magneto-Rheological dampers [Do, Spelta, Savaresi, Sename, Dugard& Delvecchio, 2010] and An LPV control approach for comfort and suspension travelimprovements of semiactive suspension systems [Do, Sename, Dugard, Savaresi, Spelta& Delvecchio, 2010] and a potential paper (in preparation) on the control of variabledamping and stiffness suspension systems. I had also the chance to work with JoaoM. Gomes da Silva Jr. when he was at GIPSA-Lab for a two-month research stay.The discussions on the input saturation control gave rise to a conference paper Controldesign for LPV systems with input saturation and state constraints: an application to asemi-active suspension [Do, Gomes da Silva Jr., Sename & Dugard, 2011]. And last, Ihave had a collaboration with Jorge Lozoya-Santos (a mexican PhD student involvedin the PCP project 2007-2010 MCOS between the Tecnologico de Monterrey and GIPSA-Lab). So far, we have discussed mainly on control of Magneto-Rheological Dampers. Thepaper on Modlisation et commande LPV dun amortisseur Magnto-Rhologique [Do,Lozoya-Santos, Sename, Dugard, Ramirez-Mendoza & Morales-Menendez, 2010] is oneof the initial results for the control of nonlinear Magneto-Rheological dampers.

Motivation and objectives

Today, almost new and sophisticated technologies of numerous domains such as me-chanics, electronics, communication, automatics can be found in a modern vehicle. Letus take for example, the use of hybrid electric engines which are expected to minimizethe noise, fuel consumption and pollutants emissions; the camera-based technologies to

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List of Tables

sense the surroundings in a vehicle which provide visual information and active warningto driver; wireless communication with the outside world (with other vehicles or commu-nication centers) which increases safety, or enhances the driving experience. Althoughthese technologies provide more and more convenience and pleasure to users, the basicfactor that decides the vehicle performance is its dynamics. In fact, the vehicle dynamicshave been an attractive subject in both industrial and academic research for a long time.The design and control of main actuators which are essential to vehicle dynamics havebeen intensively investigated. In this framework, the suspension systems, along withthe braking and steering systems, play a key role. It has been proven by many stud-ies, in both automatic control theory and practice, that the suspension systems improveconsiderably the vehicle comfort, safety and handling. Recently, the invention of newtechnologies (Electro-Rheological, Magneto-Rheological Dampers...) has opened a newtrend in study and application of such actuators to the automobile.

The vehicle suspension systems using semi-active dampers (a particular type of sus-pension systems in between passive and active ones) are the research objects of thisthesis. Besides the possible cooperation with steering and braking elements in an inte-grated control scheme for a better dynamics improvement, they have a distinguishingcontribution to comfort and road holding (two main and basic criteria for a vehicle).Many approaches were devoted to a comfort oriented or road holding oriented enhance-ment. Others proposed general methods to deal with both of them, but the optimalresults (in the sense of Pareto optimal) were never discussed to show their effectiveness.Moreover, it can be seen from the existing studies on semi-active suspension controlthat the common difficulty is the passivity constraint. Indeed, this is the main problemto handle. Furthermore, for a more realistic design, the nonlinearities and the restric-tive travel (due to the mechanical limitation) of a semi-suspension system should betaken into account as well. To summarize, the following problems are interesting andchallenging for semi-active suspension control, and part of the dissertation content.

Multi-objective optimization control problems.

Nonlinearity of semi-active suspension systems.

Constrained control (passivity constraint and mechanical limits).

The important role of the suspension systems in vehicles, in general, and the inter-esting theoretical problems in controller design of semi-active suspension, in particular,motivated our study. The objective of this thesis is to propose a generic method toobtain a good compromise between comfort and road holding while taking into accountthe important characteristics and constraints (nonlinearities, passivity constraint andmechanical constraint).

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List of Tables

Structure of the thesis

Chapter 1 introduces the general framework of semi-active suspension control. Firsta brief overview on vehicle dynamic control is made and the suspension system isdiscussed in terms of performance objectives and mathematical models for control.Finally, the semi-active suspension is emphasized by the classification, character-istics, modeling and existing control methods in the literature.

Chapter 2 gives some backgrounds on control theory and optimization which areuseful for the development of new semi-active suspension controllers in the thesis.For this purpose, some well-known definitions, lemmas and theorems on convexoptimization, Linear Matrix Inequaliy (LMI), Linear Parameter Varying (LPV)control, saturation control and multi-objective optimization by genetic algorithmsare presented.

Chapter 3 presents the control of semi-active suspension systems using nonlin-ear Magneto-Rheological dampers. The extended versions of existing methods forMagneto-Rheological dampers and the new LPV one to improve comfort and roadholding are discussed.

Chapter 4 revisits the classical semi-active suspension control problem based ona linear damper model. A new clipped method based on strong stabilizationapproaches is presented. Like in chapter 3, comfort and road holding are designobjectives.

Chapter 5 studies the effect of suspension travel in passenger/driver comfort. Inthis chapter, we make use of the results obtained in Chapters 3 and 4 to solve thecomfort and suspension deflection trade-off of the quarter car model with nonlinearMagneto-Rheological dampers and Dual-Stage Suspension model (chair model)with linear semi-active dampers. These results have been obtained during my6-months visiting research in Politecnico di Milano.

Chapter 6 is devoted to a new control method for LPV systems with input satura-tion and state constraints. Although, the study has not exhaustively investigatedyet, the preliminary results seem to be suitable to semi-active suspension controlto solve a complete problem in semi-active suspension control (multi-objective op-timization, nonlinearity, passivity constraint and mechanical constraint). This isalso the first result of our collaboration with Joao M. Gomes da Silva Jr.

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List of Tables

Contributions

Book chapter

[1] A. L.Do, O. Sename and L. Dugard, LPV modelling and control of semi-activedampers in automotive systems, in Control of Linear Parameter Varying Systemswith Applications (J. Mohammadpour and C. Scherer, Eds), Springer, 2012.

International conference papers with proceedings

[1] A. L. Do, O. Sename, L. Dugard, S. Aubouet, and R. A. Ramirez-Mendoza, Anlpv approach for semi-active suspension control, in 11th Pan-American Congress ofApplied Mechanics - PACAM XI, Foz do Iguau, Paran - BRAZIL, January 04-08,2010.

[2] A. L. Do, O. Sename, and L. Dugard, An LPV control approach for semi-activesuspension control with actuator constraints, in Proceedings of the IEEE AmericanControl Conference (ACC), Baltimore, Maryland, USA, June 30 - July 2, 2010.

[3] A. L. Do, J. Lozoya-Santos, O. Sename, L. Dugard, R. A. Ramirez-Mendoza, and R. Morales-Menendez, Modlisation et commande LPV dun amortisseurMagnto-Rhologique, in Proceedings de la Confrence Internationale FrancophonedAutomatique, Nancy, France, June 2-4, 2010.

[4] A. L. Do, O. Sename, L. Dugard, S. Savaresi, C. S. C, and D. Delvecchio, Anextension of mixed Skyhook and ADD to Magneto-Rheological dampers, in Proceedingsof the 4th IFAC Symposium on System, Structure and Control, Ancona, Italy,September 15-17, 2010.

[5] A. L. Do, C. Spelta, S. Savaresi, O. Sename, L. Dugard, and D. Delvecchio, AnLPV control approach for comfort and suspension travel improvements of semi-activesuspension systems, in Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision andControl (CDC), Atlanta, GA, December 15-17, 2010, pp. 5660 - 5665.

[6] A. L. Do, B. Soualmi, J. Lozoya-Santos, O. Sename, L. Dugard, and R. Ramirez-Mendoza, Optimization of weighting function selection for H/LPV control of semi-active suspensions, in 12th Mini Conf on Vehicle Sys. Dyn., Ident. and Anoma-lies, Budapest, Hungary, October 08-10, 2010.

[7] A. L. Do, O. Sename, L. Dugard, and B. Soualmi, Multi-objective optimization bygenetic algorithms in H/LPV control of semi-active suspension, in Proceedings of the18th IFAC World Congress (WC), Milan, Italy, August 02 - September 2, 2011.

[8] A. L. Do, J. M. Gomes da Silva Jr., O. Sename, and L. Dugard, Control design forLPV systems with input saturation and state constraints: an application to a semi-activesuspension (accepted), Proceedings of the 50th IEEE Conference on Decision and

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List of Tables

Control (CDC), Orlando, Florida, December 12-15, 2011.

National conference papers with proceedings

[1] A. L. Do, O. Sename, and L. Dugard, Optimisation par algorithme gntique dunecommande LPV de suspension semi-active, in Journes Doctorales MACS, Marseille,France, June 09-10, 2011.

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Chapter 1

Introduction

1.1 Introduction

1.1.1 General introduction to vehicle dynamic control

In the last decades, the vehicle dynamic control has been intensively studied. The prob-lems are numerous but in general they can be classified into two main issues: comfort andsafety. For safety oriented problems, efforts are made on stabilizing the vehicle in criticalsituations through the well-known devices like ABS (Anti-lock Braking System), EPS(Electronic Stability Program)... On the other hand, the use of controllable suspensionsystems has allowed to improve the passenger comfort. It can be seen from these studiesthat the knowledge of the forces and moments is essential to understand the vehicledynamics and to design the controllers. These forces, caused by the engines, gravity,aerodynamics and specially by road disturbances, influence the acceleration, braking,steering and ride performances. Under the view point of system control, to improve thevehicle performance, they must be handled by appropriate control rules.

In a vehicle, besides the engines and the power train system, the other essential actu-ators can be the braking, steering and suspension subsystems. The problems concerningthese three subsystems are very interesting in both vehicle dynamics and automaticcontrol. As in [Gillespie, 1992], braking performance defines the vehicle safety and is de-termined by the braking coefficient, deriving from adhesive and hysteretic friction. Thiscoefficient depends on the road condition and the wheel-slip (caused by the differencebetween the tire rotational speed and the forward velocity of the wheel). For a goodbraking performance, this coefficient must be high. For example, the function of an ABSis based on the principle that the braking coefficient is always kept around the highestvalue. On the other side, the steering performance is related to the handling (lateral,yaw and roll modes). The important factor for the analysis of steering performance is

47

Chapter 1. Introduction

the sideslip angle defined by the angle between the actual direction of travel of a rollingwheel and the direction towards which it is pointing. At low-speed, the sideslip angleis negligible, the cornering objective is easy to achieve. However, the high speed steer-ing case, the sideslip angle and the lateral force at each wheel appear. This makes thesteering no longer a simple task (in some situations, under-steering or over-steering canhappen)...

On the one hand, it can be seen that, in both cases of braking and steering, theirperformances are related to the tire. Actually, the tire dynamics play a key role in vehicleperformance. In many books about vehicle dynamics, the tire is always strongly empha-sized [Gillespie, 1992], [Kiencke & Nielsen, 2000], [Pacejka, 2005], [Rajamani, 2006]. Onthe other hand, the suspension systems turn out to be very important for the vehicledynamics because they link the tires to the vehicle chassis. Although the suspensionsinfluence only the vertical tire force (or the tire load), it can be seen that the lateraland longitudinal tire forces are indirectly concerned with the suspensions because bothforces are related to the vertical one [Gillespie, 1992], [Pacejka, 2005].

When a daily vehicle travels, it is excited by a broad spectrum of vibrations. Withoutefficient suspension systems, the vehicles can hardly travel safely and provide pleasureto passengers, even on good roads. In fact, not only the vertical dynamics but alsothe pitch and roll dynamics can be improved by a good suspension system. Moreover,as mentioned previously, because the braking and steering performances are influencedby the tire forces which can be modulated by suspension systems, it can be concludedthat these performances can also be improved through the control of the suspensionsystem. For example, in [Hac, 2002], the author proved that in steering mode, the rolloverstability would be improved by taking into account the effect of suspension in the design;in [Lu et al., 2011], braking safety and lateral stability can be effectively improved andthe occurrence of an unstable situation can be reduced by a global integrated control ofsuspension, braking and steering systems; in [Alleyne, 1997], for instance, the integrationof active suspension components with ABS (Anti-lock Braking System) mechanisms canreduce the stopping distance over just anti-lock brakes; in [Gaspar et al., 2007] and[Poussot-Vassal, Sename, Dugard, Gspr, Szab & Bokor, 2010], integrated controlstructures using active suspensions and an active brake were proposed to improve thesafety. So what is exactly a suspension system?

1.1.2 Suspension system

A suspension system is made up of an elastic element and a damping element connectedin parallel (see Fig. 1.1). This simple system has about one hundred years of develop-ment, from the appearance of passive dampers in Roll Royce (in 1913) to sophisticatedcontrollable Magneto-Rheological (MR) dampers in the most recent cars such as Audi

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Chapter 1. Introduction

TT, Audi R8, Ferrari 599 GTB... Today, it plays an important role in the automotiveindustry because, besides the vibration insulation capacity, they can further improve thesafety and the handling of the vehicle. Some more detailed historical facts on suspen-sion systems are presented in [Aubouet, 2010]. In general, suspensions are classified intothree types according to their controllability (see e.g. [Isermann, 2003] for a detailedclassification):

Passive suspensions, generally found in most of the vehicles, consist of a springconnected in parallel with a passive damper. They can only dissipate the energyand their characteristics are time-invariant.

Semi-active suspensions, available on a certain number of mid-range and expensivepassenger vehicles and on some military vehicles, consist of a spring and a semi-active damper. Like passive suspensions, they can only dissipate the energy buttheir property (the damping coefficient) can be changed by external control signals.

Active suspensions, found in a small number in mid-range and expensive passengervehicles, use a spring and an active damper. For such types of suspensions, externalactuators are required to supply energy to the systems. Hence, they can bothdissipate and generate the energy.

ABCCC

A

Figure 1.1: An example of suspension system.

In the next section, we discuss about the control oriented quarter vehicle model aswell as the performance criteria for suspension control.

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Chapter 1. Introduction

1.2 Quarter vehicle model and performance criteria for

suspension control

1.2.1 Quarter vehicle model for suspension system control

As mentioned previously, understanding vehicle dynamics is important for the designand development of controllers. This can be achieved by two methods: empirical oranalytical. While the empirical understanding, derived from experiments (trial and errorto understand which factors influence the vehicle performance in which condition...) oftenleads to failure, the analytical one, concerned by models built on the laws of physics,is preferred. The main difficulty for studying the performance based on an analyticalmodel is in the computation of a mathematical solution. The complexity in the vehicledynamics (the large number of components and systems, the nonlinearities...) results ina very complex problem which may be impossible to solve analytically. Today, this taskcan be much simplified by using powerful computers. Many numerical softwares allowrealistic simulations which are useful for the vehicle performance analysis and evaluationbefore the implementation.

Back to the particular case of suspensions, the following models are of interest:

A full model of suspension systems with 7 degrees of freedoms is shown in Fig.1.2. The seven degrees of freedom of the full car model are the heave z, pitch and roll and the road profile inputs at the four wheels that excite the systemrepresented by zrfl , zrfr , zrrl and zrrr . This model allows to study vertical, roll andpitch dynamics [Poussot-Vassal, 2008].

A half vehicle model (or bicycle model) with four degrees of freedom is shown inFig. 1.3. The four variables are the pitch and heave z motions of the vehiclebody and the road profile inputs at the front and rear wheels zrf and zrf . Thismodel is used for vertical and pitch control [Sammier, 2001], [Poussot-Vassal, 2008]A similar model (with of two front or two rear wheels) can be used for vertical/rolldynamics.

Quarter vehicle model : a quarter car model with two degrees of freedom is shownon Fig. 1.4. The two variables are the heave and the road profile input at a singlewheel. Only the study of vertical dynamics can be performed with this model.

The quarter vehicle model will be investigated in this thesis because comfort and roadholding are concerned with the vertical dynamics. The model is simple and suitable fora preliminary design. It represents a single corner of a vehicle. In this model, thequarter vehicle body is represented by the sprung mass (ms) and the wheel and tire

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Chapter 1. Introduction

Figure 1.2: Full vehicle model for suspension control.

Figure 1.3: Half vehicle model for suspension control.

are represented by the unsprung mass (mus). They are connected by a spring withthe stiffness coefficient ks and a semi-active damper. The tire is modeled by a springwith the stiffness coefficient kt. As seen in the figure, zs (respectively zus) is the verticaldisplacement around the equilibrium point ofms (respectivelymus) and zr is the variationof the road profile. It is assumed that the wheel-road contact is ensured.

By applying the second law of Newton, the dynamical equations of a quarter vehicleare given by

{

mszs = Fspring Fdamper

muszus = Fspring + Fdamper Ftire(1.2.1)

where Fspring is the dynamical spring force, Ftire is the dynamical tire force and

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Chapter 1. Introduction

zs

zus

zr

ms

mus

ks Semi-activedamper

kt

Figure 1.4: Model of quarter vehicle with a semi-active damper.

Fdamper is the damper force. Let us denote zdef = zs zus the damper deflection,zdef = zs zus the damper deflection velocity.

The dynamical spring force and tire force are given by

Fspring = ks(zdef ) (1.2.2)

Ftire = kt(zus zr) (1.2.3)

The dampers characteristics are usually represented by a Force-Deflection-DeflectionVelocity relation

Fdamper = Fdamper (zdef , zdef ) (1.2.4)

where Fdamper can be a linear or nonlinear function. For example, with a linear semi-active damper, this force is given by

Fdamper = czdef

where c > 0 is a variable parameter (damping coefficient) (if c is fixed, the damper ispassive). For a nonlinear semi-active damper, we will see that the damper force can beof the form:

Fdamper = c0zdef + k0zdef + fI tanh (c1zdef + k1zdef )

where c0, k0, c1, k1 and fI are positive constant or positive variable parameters.

In this thesis, we will use the 1/4 Renault Mgane Coup (1/4 RMC) model fromthe test car available in MIPS Laboratory (Mulhouse, France) (see in [Zin, 2005]. Themodel parameters are given in Tab. 1.1. It is important to notice that two spring modelswill be used in this thesis:

For linear design, the spring force is given by

Fspring = kszdef (1.2.5)

For simulation, the spring has a nonlinear characteristic (see Fig. 1.5).

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Chapter 1. Introduction

0.05 0 0.054000

3000

2000

1000

0

1000

2000

3000

4000

Spring Deflection [m]

Sp

rin

g F

orc

e [N

]

Figure 1.5: Nonlinear RMC Spring.

Table 1.1: Parameter values of the Renault Mgane Coup quarter car model

Parameter ms [kg] mus [kg] kt [N/m] ks [N/m]V alue 315 37.5 29500 210000

1.2.2 Performance criteria

In semi-active suspension control, the two main objectives are ride comfort and roadholding. Ride comfort concerns the pleasure of passenger and driver, road holding in-fluences the driving safety. While road holding can be directly related to the dynamictire force, for ride comfort it is however more difficult to evaluate since it is a subjectivematter. The human sensitivity to vibration is frequency-dependent. Furthermore, at thesame frequencies, the different parts of the human body feel the vibration in differentways. To answer the question on which is the good measure to evaluate ride comfort,let us recall some criteria existing in the literature (see [Guglielmino et al., 2008]).

Denote X the maximum allowed displacement amplitude, the angular frequency, fthe frequency and t the time. The Janeways comfort criterion (1965) relates the comfortto the vertical vehicle body displacement. At low frequencies, the criterion states that

X3 = 12.6 (1.2.6)

and at high frequencies, in the range 620 Hz, the vehicle body acceleration peak valueshould not exceed 0.33 m/s2, wh