Apostila_AlLinear_2010_U1

Álgebra Linear 1

Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris

UNESC

UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE

Caderno Pedagógico de:

MSc Elisa Netto Zanette Drª Ledina Lentz Pereira

MSc Sandra Regina da Silva Fabris

Criciúma (SC), 2010

Álgebra Linear 2


INTRODUÇÃO

A Matemática, desde os seus primórdios, entrelaça-se intimamente com a história da civilização e é uma das alvancas principais do progresso humano (BAUMGART1, 1997). Vários conceitos básicos dessa ciência, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, posteriormente revelaram uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das idéias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância na Matemática (LIMA2, 2000, p.28).

Observamos uma mudança contínua que se processa tanto nas condições sócio-político-econômica das sociedades quanto na própria Matemática. Ë fato que a validez das teorias Matemáticas é perene e subsiste através dos séculos. Porém, a posição dessas teorias e técnicas a elas associadas, varia bastante em termos de importância, alcance e eficácia em fase dos novos desenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrência de áreas recentes de aplicação, dentro e fora da Matemática (LIMA3, 2001, p.159).

Usamos Matemática diariamente, mesmo sem perceber. Isso só, poderia justificar a sua importância. É facilmente percebida, nas atividades simples do homem às mais complexas, nos esportes, na estatística, nas construções, nas previsões orçamentárias. Sem dúvida, ela confere “poder” aos economistas, aos empresários, etc. A Matemática é ferramenta imprescindível para que se possa ordenar os pensamentos, porque desafia e desenvolve a mente, ajuda a compreender as linguagens que se utiliza no cotidiano.

As concepções matemáticas desenvolvidas e acumuladas nas diversas gerações podem ser divididas em Aritmética (números), Álgebra (letras + números) e Geometria (figuras planas e espaciais). A Trigonometria pode ser considerada como um ramo da Geometria e a Geometria Analítica como uma fusão da Álgebra com a Geometria. Resolvemos os problemas como o uso da aritmética, da geometria, da trigonometria, da álgebra, do cálculo diferencial e integral, etc. Alguns problemas podem ser solucionados ao mesmo tempo pela Álgebra, ou Geometria ou Aritmética. Coube a Descartes a solução de problemas geométricos através da Álgebra e vice-versa, em 1637.

Para Baumgart (1999) a origem da palavra “álgebra” é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que se deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah (“Ciência das equações”), escrito em Bagdá (ano 825) por um matemático árabe. Esse tratado de álgebra é com freqüência citado, abrevidamente, como Al-jabr. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo e uma definição satisfatória requer um enfoque, tanto cronológico quanto conceitual, em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las; (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis, corpos, etc.

A Álgebra Linear (o nome indica sua origem geométrica) ou Álgebra Vetorial é uma parte da Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares que contribuem para um estudo detalhado de sistemas lineares de equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear tenha origem nos estudos de sistemas lineares de equações.

Segundo o matemático Elon Lages Lima (LIMA, 2001), a Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares possuem matrizes. Também têm matrizes as formas bilineares e, mais, particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transformações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. 1 BAUMGART, John K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. Trad. Hygino H Domingues. São Paulo: Atual, 1997. 2 LIMA, Elon Lages. Meu Profesor de Matemática e outras histórias. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio de Janeiro: Solgraf Publicações Ltda, 2000. 3 LIMA, Elon Lages. Matemática e Ensino. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio de Janeiro: R&S, 2001.

Álgebra Linear 3


Tanto a Álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias áreas, em especial às Engenharias. Possibilitam explicar princípios fundamentais e simplificar os cálculos em Engenharia, Ciência da Computação, Física, Biologia, Matemática, Economia e Estatística. É, portanto relevante e tem destaque em diversos cursos superiores, na graduação e na pós-graduação.

Muitos dos temas do âmbito da Álgebra Linear fazem parte integrande de planos de estudos desses cursos já citados. Para Lay4 (1999) a Álgebra Linear (e a Geometria Analítica, como sua subsidiária) constitui uma das áreas da Matemática com mais vastas e variadas aplicações incluindo a sua importância para as diversas áreas da própria Matemática – da Análise à Estatística e à Investigação Operacional – em que temas fundamentais como Cálculo Matricial ou o Cálculo Vetorial são de utilização constante e cotidiana. É de extrema importância para em seus tópicos mais avançados, simplificando sua teoria e em geral, para a maior parte da Matemática.

Numa análise comparativa com a Geometria, a Álgebra, como estrutura lógica, têm-se desenvolvido mais recentemente, principalmente nos últimos 100 anos, com formulação simples, onde poucos axiomas são suficientes para organizar toda a estrutura da Álgebra. Por sua vez, a Geometria, desenvolvida inicialmente pelos Gregos a mais de 2.000 anos, está sintetizada nos “Elementos de Euclides” que formam a base da Geometria Plana e Sólida atual, conservando a maneira sistemática de analisar as propriedades de pontos, retas, triângulos, círculos e outras configurações. Têm-se introduzido em estudos recentes, conjuntos de axiomas e postulados que melhoram sua estrutura lógica, mas o conteúdo da Geometria permanece o mesmo.

Descobriu-se que, essencialmente, toda Geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Na associação de pontos e retas ao invés da geometria usual, realiza-se operações algébricas em certos objetos, denominados vetores. Esses vetores obedecem a certas leis algébricas, similares aos números. Assim, trabalhamos teoremas da geometria através de teoremas da álgebra dos vetores com ênfase nas equações, identidades e desigualdade em lugar de conceitos geométricos como, congruência, semelhança e interseção de segmentos.

Os vetores têm papel relevante, não apenas na Matemática, como na aplicação em outras áreas. O estudo desses vetores, normalmente é feito por meio de dois tratamentos que se completam: Geométrico e Algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento que sob o ponto de vista algébrico, são mais formais e abstratos.

Apesar da Álgebra Linear representar um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da Matemática. Haetinger (2007) cita algumas e afirma que, apesar de não conseguir abordá-las todas, num curso de Álgebra, o objetivo é que o estudante tome contato com o que representa o estado da arte desta área. Alguns exemplos5 de aplicações: Jogos de Estratégia; Distribuição de Temperatura de Equilíbrio; Genética; Crescimento Populacional por Faixa Etária; Criptografia; Tomografia Computadorizada; etc.

Nos temas a serem trabalhados, incluimos a discussão sobre os conceitos teóricos formalmente instituidos, acompanhados de exemplos e atividades. Os textos são escritos em linguagem simples, mas com rigor matemático. São apresentados em forma de resumo e de modo algum, dispensam a pesquisa do acadêmico aos diversos livros didáticos da área. Portanto, para aprofundar seus conhecimentos, sugerimos como fontes, os livros e links relacionados na bibliografia.

4 LAY, C David. Álgebra Linear e suas aplicações. 2ed. Trad. Ricardo Camelier e Valéria de M. Iório. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 5 HAETINGER, Claus. 2007. Disponível em http://ensino.univates.br/~chaet/Algebra_Linear.html . Acesso em Jan 2009.

Essa introdução - associando a geometria com a álgebra de vetores - é informal e objetiva formar uma noção intuitiva da Álgebra. O conteúdo programático de Álgebra Linear foi elaborado, visando um conhecimento dos conceitos mínimos e indispensáveis, de modo que se possa perceber a inter-relação entre os mesmos e a sua aplicação conjunta.

Álgebra Linear 4


SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................................ 2 I MATRIZES ............................................................................................................................................................................... 6 1 Introdução ...................................................................................................................................................................... 6 2. Definição......................................................................................................................................................................... 6 3. Tipos de Matrizes..................................................................................................................................................... 10 4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta ....................................................................... 12 5. Matriz Transposta.................................................................................................................................................... 12 6. Simetria em Matrizes............................................................................................................................................. 13

Lista 1 de Atividades - Matrizes ...................................................................................................................................... 14 7. Operações com Matrizes ..................................................................................................................................... 16 7.1 Adição e Subtração de matrizes ............................................................................................................... 16 7.2 Multiplicação por um escalar ..................................................................................................................... 17 7.3 Multiplicação entre matrizes ...................................................................................................................... 18

8. Potência de uma Matriz ....................................................................................................................................... 22 9. Propriedades das Operações com Matrizes.............................................................................................. 23

Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes ............................................................................................................ 24 10. Equivalência de Matrizes .................................................................................................................................. 28

Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento................................................................................... 30 II DETERMINANTES E MATRIZES .................................................................................................................................... 32 1 Classe de uma Permutação ................................................................................................................................. 32 2 Determinante de uma matriz ............................................................................................................................. 33 2.1 Determinante de 1ª ordem ......................................................................................................................... 34 2.2 Determinante de 2ª ordem ......................................................................................................................... 34 2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus ................................................................................... 35 2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE ................................................................. 37 2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante ........................................................... 38

3 Propriedades dos determinantes..................................................................................................................... 39 4 Determinante e Matriz Inversa ......................................................................................................................... 40

Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes............................................................................................................ 43 5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria .......................................... 46

Lista 5 de atividades - Determinantes .............................................................................................................................. 47 III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES ............................................................................................ 48 1 Equações Lineares .................................................................................................................................................... 48 2 Sistema de Equações Lineares .......................................................................................................................... 50 2.1 Conceito ................................................................................................................................................................. 50 2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares ............................................ 50 2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares......................................................................... 52 2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares............................................................................ 54 2.5 Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo princípio da equivalência: Método de condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan ........................................................... 55 2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer................................. 58

3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução ............................................ 59 Lista 6 de atividades – Parte I .......................................................................................................................................... 61 Lista 6 de atividades - Parte II ......................................................................................................................................... 61

4 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio.................. 65 Lista 7 de atividades ........................................................................................................................................................ 66

APÊNDICE A...................................................................................................................................................................... 67 Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica......................................................................................................... 67 Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa ........................................................ 67 1 Encontrando a Matriz de Co-fatores .......................................................................................................... 67 2 Encontrando a Matriz Adjunta Clássica .................................................................................................... 68

Álgebra Linear 5


3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante............................................................................... 70 Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica......................................................................... 71

Bibliografia........................................................................................................................................................................ 72

Álgebra Linear 6


CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO III

MMAATTRRIIZZEESS,, DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS EE SSIISSTTEEMMAASS

s Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Os fundamentos e operações básicas com matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares são importantes no desenvolvimento de conceitos da Álgebra Linear e portanto, pré-requisito para o estudo da mesma.

I MATRIZES

1 Introdução

requentemente nos deparamos com conjuntos de números ou outros objetos matemáticos, que podem ser tratados em blocos por serem operados essencialmente da mesma maneira. Para isso, usamos matrizes.

As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo, surgidas em meados do século XVII como um novo instrumento que, de início, servia para resolver sistemas lineares. Dentre as matrizes as que mais uso teve e tem, é a matriz quadrada.

As primeiras concepções sobre matrizes na Matemática, surgiram com o inglês Arthur Cayley (1821-1895). Sua preocupação vinculava-se na forma e na estrutura em Álgebra. Sob esse aspecto, criou um modelo considerado referência mas sem a menor idéia de qualquer possível utilidade prática.

Hoje a teoria das matrizes é uma das partes da matemática mais férteis em aplicação: na Matemática, na Física, na Física Atômica, na Estatística, na Economia, na Engenharia, na Computação, etc. Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por matrizes. As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo. Dos eventos e atividades nos quais somos, direta ou indiretamente, envolvidos no cotidiano, muitos deles podem ser dispostos em forma de tabela/matrizes.

VVVooocccêêê sssaaabbbiiiaaa qqquuueee:::

A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacional não está no tamanho das matrizes mas na quantidade delas e na rapidez de processamento das multiplicações (para que se tenha um movimento realístico).

Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz é suficiente mas seu tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso ocorre normalmente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistema de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais comuns em vários campos da Engenharia. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a grandes redes de distribuição de energia elétrica, redes de comunicações, redes de transporte, etc. (SILVEIRA, 1999).

2. Definição

A

F

Álgebra Linear 7


hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x n elementos (números, polinômios, frações, etc.) dispostos em m linhas e n colunas.

Ou, uma matriz é qualquer tabela formada por números ou outro tipo de objeto matemático que se pretende operar em bloco, simultaneamente.

Ou, uma matriz é um conjunto ordenado de números e estão associdados a duas dimensões: a dimensão das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prático de matriz surge na informática: os programas conhecidos como planilhas eletrônicas correspondem a matrizes. Uma planilha, tal como uma matriz, está dividida em linhas e colunas e, cada célula da planilha representa um elemento da matriz.

De forma genérica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto ou por seus elementos representativos. Estes elementos são dispostos normalmente entre parênteses ( ) ou entre colchetes [ ] ou duplas barras . Da mesma forma, cada elementos está associado a dois subíndices que indicam sua posição na matriz.

Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mátria A é representado por aij, onde i representa a linha e j a coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunas possui dimensão mxn (lê-se m por n) e indicamos por Amxn.

Exemplo 1:

(a) A2x3 =

−

−

534

012 é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa

um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo está na segunda linha (i=2) e terceira coluna (j=3) que indicamos por a23 = -5. Os demais elementos indicamos por:

534

012

232221

131211

−===

=−==

aaa

aaa

(b) B2x2 = 4

91

ié uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [bij]2x2

(c) C1x4 = [ ]9422 − é uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [cij]2x2 Exemplo 2: Consideremos a situação-problema de 03 pessoas, candidatas a um emprego e submetidas a testes. Podemos representar o resultado dos testes num quadro de avaliação:

1º teste 2º teste 3º teste

Teresa 4,0 3,5 1,0

Paulo 5,0 7,3 8,0

Marcos 4,8 7,2 3,0

André 9,0 8,8 6,5

Os números distribuidos na horizontal representam a pessoa avaliada e formam o que denominamos de linha e, os colocados na vertical representam o grau de aprovação no teste e são chamados de coluna. A tabela de valores resultante do quadro é denominada matriz e cada número é chamado de elemento.

Neste exemplo, temos uma tabela/matriz de ordem quatro por três (4 x 3) ou seja, é uma a matriz com 4 linhas e 3 colunas. Assim, representamos a situação-problema em:

C

Álgebra Linear 8


A4x3 =

5,68,80,9

0,32,78,4

0,83,70,5

0,15,30,4

Exemplo 3: Vamos considerar agora, a representação em matriz da seguinte situação: Analisando a pontuação (de 0 a 10) obtida por Paulo, André e Luana, no programa de formação continuada da empresa em que trabalham, nos últimos anos, temos: Paulo, com 8, 7, 9 e 8 pontos; André, com 6, 6, 7, 6 e Luana, com 4, 8, 5, 9.

Esta situação-problema pode ser representando num quadro ou numa matriz com a pontuação dos três por ano. Observe:

Representando num quadro:

2004 2005 2006 2007

Paulo 8 7 9 8

André 6 6 7 6

Luana 4 8 5 9

Representando numa matriz:

Para saber a pontuação de André, por exemplo, em 2006, basta procurar o número que fica na 2ª linha e na 3ª coluna da tabela ou da matriz. Temos nesse caso, uma matriz de ordem 3 x 3 ou seja, nossa matriz tem 3 linhas e 3 colunas e indicamos por A3,3. Quando uma matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas, é chamada de matriz quadrada.

Exemplo 4: Vamos avaliar uma outra situação-problema na comparação entre pessoas com seus respectivos pesos, alturas e idade. Podemos representar no quadro abaixo os valores encontrados:

Altura(m) Massa(kg) Idade(anos)

Eduardo 1,83 72 18

Fernando 1,75 54 14

Este quadro pode ser representada por uma matriz A de ordem 2 x 3 ou seja com 2 linhas e 3 colunas. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.

A2x3 =

145475,1

187283,1 LINHAS

COLUNAS

1ª linha 2a linha

3ª coluna 2a coluna 1a coluna

Álgebra Linear 9


Resumindo:

1. Algebricamente, usamos letras maiúsculas (A, B, ...) para indicar as matrizes genéricas e letras minúsculas ou números para indicar os elementos.

2. As tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes de ordem m x n. Portanto: Denomina-se matriz de ordem m x n (lê-se: m por n) com m, n ≥≥≥≥ 1, a uma tabela formada por m x n elementos (números, polinômios, funções, etc.), dispostos em m linhas e n colunas.

3. A representação genérica de uma matriz A de ordem m x n é:

Amxn =

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

321

2232221

1131211

, com m e n ∈ N*

Indica-se a matriz acima por: Amxn = [ aij ] m x n com i ∈ {1, 2, ..., m} ⊂ N e j ∈ { 1, 2, ..., n} ⊂ N ou Amxn = [ aij ] , (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).

Note que cada elemento aij da matriz A, está vinculado a dois índices: i e j. O primeiro indica a linha e o segundo a coluna em que o elemento pertence. Exemplo: O elemento a25 indica que o elemento a está localizado na 2ª linha e 5ª coluna da matriz A.

4. A representação de uma matriz a partir de uma lei de formação permite calcular o seu número de elementos e encontrá-los.

Exemplo: Encontre a matriz A = (aij)3x2 sabendo que aij = 2i – 3j.

Resolvendo: A representação abreviada de A = (ai j)3 x 3 indica que A tem ordem 3 x 2 ou seja 3 linhas e 2 colunas. Então m x n = 3 x 2 = 6. Assim, nossa matriz tem 6 elementos e sua

representação genérica é A3x2 =

3231

2221

1211

aa

aa

aa

. Logo, para aij = 2i – 3j temos:

⇔⇔⇔⇔ a11 = 2.1 - 3.1 = 2 – 3 = -1 a12 = 2.1 – 3.2 = 2 – 6 = -4 a21 = 2.2 – 3.1 = 4 – 3 = 1 a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 a31 = 3.3 – 3.1 = 9 – 3 = 6 a32 = 3.3 – 3.2 = 9 – 6 = 3.

A matriz procurada é A3x2 =

−

−−

36

21

41

Álgebra Linear 10


3. Tipos de Matrizes

lgumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Vamos conhecer!

1. Matriz Retangular: Se m ≠≠≠≠ n então A é dita matriz retangular de ordem m x n.

Exemplo: A3x4=

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

é uma matriz retangular de ordem 3 ×××× 4 ou A = [aij]3x4

2. Matriz Linha ou vetor linha: É a matriz de ordem 1 x n, ou seja, formada por uma única linha. Exemplo: A1x4 = ( )8513 −

3. Matriz Coluna ou vetor coluna: É a matriz de ordem m x 1,

ou seja, com uma única coluna. Exemplo: B2x1 =

−

9

4.

4. Matriz Nula ou matriz nula: É a matriz em que todos os elementos são nulos. É representada

por 0m x n. Exemplo: 02x3 =

000

000

Exemplo complementar: A tabela a seguir apresenta os preços dos produtos químicos para tratamento de água P1, P2, P3, P4 das empresas A, B, e C.

P1 P2 P3 P4 A 190 182 204 179 B 191 180 200 177 C 192 181 205 175

� Neste exemplo temos uma matriz retangular de ordem 3 x 4, formada por 3 linhas e 4 colunas.

� Os preços da empresa A formam a matriz linha 1x4 indicada por A = ( )179204182190 . Idem para os preços das empresas B e C.

� Os preços do produto P1, relacionados as empresas A, B e C formam a matriz coluna

3x1, indicada por P1=

192

191

190

. Idem para os produtos P2, P3 e P4 .

5. Matriz Quadrada: Se m = n então a matriz A é denominada matriz quadrada de ordem n isto é, A é uma matriz que tem um número igual de linhas e colunas. Exemplos:

A3x3=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

e B2x2=

−

40

31. A é uma matriz quadrada de ordem 3 e B tem ordem 2.

Os elementos aij da matriz quadrada quando i = j formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal é chamada diagonal secundária.

Exemplo: A3x3=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Diagonal principal

Diagonal secundária

Note que: Matrizes com a característica de ser linha ou coluna têm papel importante na Álgebra e são denominadas vetores. E estes têm representação geométrica no plano e no espaço tridimensional.

Álgebra Linear 11


Na diagonal principal estão os elementos que têm os dois índices iguais → a11, a22, ... ann Na diagonal secundária estão os elementos aij tais que i+j = n+1 ou seja, que têm soma dos índices igual a n+1 → São: a1n, a2(n-1), ... an1.

As matrizes quadradas se classificam em:

5.1 Matriz diagonal: É a matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são iguais a zero ou seja, se A=[ aij ], então aij = 0 quando i ≠ j. Indicamos por D = diag (a11, a22, ... ann ).

Exemplo 1: D3x3 =

−

200

0310

005

5.2 Matriz identidade ou matriz unidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos. É representada por In, sendo n a ordem da matriz ou simplesmente I.

Ou, matriz identidade é uma matriz diagonal com os elementos não nulos iguais a 1.

Exemplo: I3 =

100

010

001

Pode ser representada genericamente por:

In = [ aij ] com aij =

≠

=

j i se 0,

j i se ,1

Note que: A multiplicação de qualquer matriz pela identidade resulta na matriz original.

5.3 Matriz escalar ou singular: É a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais. Note que toda matriz identidade é uma matriz escalar.

Exemplo: A3 =

500

050

005

5.4 Matriz triangular superior: É a matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal principal são nulos ou é a matriz A=[aij] cujos elementos aij são nulos (aij = 0) para i > j

Exemplo:A4 =

−

2000

0100

1220

1865

5.5 Matriz triangular inferior: É a matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal são nulos ou é a matriz quadrada A=[aij] cujos elementos aij são nulos (aij = 0) para i < j

Exemplo:A4 =

−

2523

0119

0020

0005

Note que: Uma Matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Por exemplo:

Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols no 1o mês, 45 Zafiras no 2o mês, no último mês foram 20 Passats. Observe, ao lado, a tabela de vendas e a matriz diagonal que é simultaneamente triangular.

Gol Zafira

Passat

M1 106

0 0

M2 0 45 0 M3 0 0 20

ou

2000

0450

00106

Álgebra Linear 12


4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta

4.1 Duas matrizes de mesma ordem podem ser iguais.

Duas matrizes A = [ aij ] e B =[ bij ], de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos seus elementos correspondentes são iguais ou seja, se aij = bij.

Exemplo 1: A matriz A = [ 2 -4 1,5 ] é igual a matriz B = [ a -4 1,5 ] se, cada um dos seus elementos são iguais. Neste caso, a = 2.

Exemplo 2: Seja A =

dc

ba e B =

− 51

61. A=B se a = 1, b = 6, c = -1 e d = 5.

Exemplo 3: Seja A =

−

22

41 e B =

+

−

wy

zx

1

2 temos que A = B ou B = A se

−

22

41 =

+

−

wy

zx

1

2⇔

=

−=−

=+

=

2

42

21

1

w

z

y

x

⇔

=

−=

=

=

2

2

1

1

w

z

y

x

4.2 Toda matriz A tem uma matriz oposta (-A). Se A = [ aij ] m x n então existe uma matriz oposta de A representada por (-A) de modo que aij = - aij. A matriz (-A) oposta de A é obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A ou multiplicando A pelo escalar (-1).

Exemplo 1: Se A=

−

40

31então (-A) =

−

−

40

31.

Exemplo 2: Se A=

−

22

41 então B é oposta de A se B =

−−

−

22

41

5. Matriz Transposta

ada uma matriz Am,n, chama-se transposta de A a matriz A

t que se obtem trocando ordenadamente as linhas pelas colunas. Ou, a matriz transposta de uma matriz A= [aij], de ordem mxn, é a matriz A

t, de ordem nxm, que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas ou vice-versa.

Exemplo: Se A =

−−

−

324

611então At =

−

−−

36

21

41

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna.

Obs: Algumas propriedades se definem nas transpostas envolvendo soma e produto de matrizes. Portanto, serão comentadas após as operações com matrizes.

D

Álgebra Linear 13


6. Simetria em Matrizes

ma matriz qualquer quadrada, pode ser simétrica e anti-simétrica. Observe:

6.1 Matriz simétrica: É a matriz quadrada de ordem n tal que A = At. É a matriz cujos elementos aij = aji. Em geral a matriz simétrica é indicada pela letra S

Também podemos dizer que: Se uma matriz (quadrada) A e a sua transposta At são iguais, isto é, as jiij aa = para todo i e j, então a matriz A é

simétrica (com relação a sua diagonal principal). A = At � Matriz Simétrica

Exemplo: A =

−

−

712

130

205

= At = S

Observe que na Matriz simétrica os elementos dispostos simetricamente em relação a diagonal principal são iguais. Neste exemplo, temos:

� a12 = a21= 0 � a13 = a31= 2 � a23 = a32= -1

6.2 Matriz anti-simétrica: É a matriz quadrada de ordem n tal que At = (-A) ou é a matriz cujos elementos aij = (-aji) para i≠j e aij=0 para i=j. Em geral a matriz simétrica é indicada pela letra S´

A = -At � Matriz anti-simétrica

Observe nos exemplos que, como A=(-At ) então A é simétrica e

� a12 = - a21, � a13 = - a31, � a23 = - a32 � a11 = a22 = a33 = 0

NNNooottteee qqquuueee::: Se uma matriz A é anti-simétria, seus elementos dispostos simétricamente em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.

Exemplo 1: A=

−

−

−

012

105

250

=-At = S´

Exemplo 2: B=

−−

−

031

304

140

=-Bt = S´

Agora, tente você!

Resolva a lista de atividades 1

U

Álgebra Linear 14


Lista 1 de Atividades - Matrizes

1.Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e 12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês foram 86 Gols, 40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas e transforme em matriz.

2.Encontre as matrizes definidas em:

(a) A=(aij)3x2 com aij=i–5j

(b) B=(bij)4x4 com bij =

=

≠−

j i se ,0

j i se 1

3.Encontre as matrizes definidas em:

(a) A=(aij)3x2 com aij=4i–j

(b) B=(bij)3x3 com bij =i2+j2

(c) C=(cij)2x3 com cij =

=+

≠

j i se ,2

j i se 4

ji

j

i

(d) D = (dij)3x3, matriz identidade

4.Considere a matriz B =

5,68,80,9

0,32,78,4

0,83,77,5

0,15,30,4

. Encontre os valores dos seguintes elementos de B:

a) b11 b) b21 c) b12 d) b32 e) b42 f) b24

5.Uma matriz possui 8 elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz? 1x8, 2x3, 5x7, 4x2, 2x4, 2x6!

6. Quantos elementos tem uma matriz de ordem 4 por 7? 7. Encontre a tabela de carros financiados por uma agência bancária nos meses de junho, julho e

agosto. Represente em matriz e analise: (a) Qual o modelo de carro mais financiado? (b) Em qual mês houve um maior número de carros financiados. (c) Qual o total de carros financiados pela agência mensalmente e, ao final dos três meses?

8. Dê exemplo de: (a) Matriz simétrica S e anti-simétrica S´de ordem 3. (b) Matriz escalar de ordem 4. (c) Matriz Identidade de ordem 5.

9. Considere as matrizes retangulares A = 6200

4531 +x e B =

6400

4631

−y.

(d) Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais; (b) Encontre At e Bt.

10. Determine a matriz oposta de A2x3 =

−

250

321

11. A partir de uma matriz triangular superior de ordem 3, encontre a sua matriz oposta. 12. A partir de uma matriz diagonal de ordem 4, encontre sua transposta.

13. Encontre a transposta da matriz A = [aij]3x2 em que aij =

≠−

=−

jiij

jiji

se

se

14. Para a matriz linha A = [aij]1x3 em que aij =2i-j, prove que (At)t = A.

15. Encontre a matriz diagonal A = [aij] de ordem 3, sabendo que aij = 3i-j. Após, determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária.

Álgebra Linear 15


16. Para A =

−

215

36

420

y e B =

−

z

x

84

13

560

encontre os valores de x, y e z para B = At.

17. Verifique se a matriz identidade de ordem 3 é simétrica ou anti-simétrica e justifique. 18. Determine uma matriz triangular superior A e uma matriz triangular inferior B de ordem 3, para aij = i+j e bij = i-j.

19. Considere a matriz A =

18

9

431

−z

yx . Para que valores de x, y e z, A é uma matriz simétrica.

Respostas da Lista de Atividades 1

(1) Gol Zafira Passat M1 106 40 12 M2 100 22 6 3 86 40 20

(2) A=

−−

−−

−−

72

83

94

(2) B =

−−−

−−−

−−−

−−−

0111

1011

1101

1110

(3) A =

1011

67

23

(3) B =

181310

1385

1052

(3) C =

3/868

3/423;

(3) D =

100

010

001

(4) (a) b11=4,0 (b) b12=3,5 (c) b42=8,8 (d) b21=5,7 (e) b31=7,2 (f) b24=não existe;

(5) 1x8, 4x2 e 2x4 (6) 4x7 = 28 elementos (7)

2015115

104598

25106

(a) modelo A; (b) mês 07; (c) mês 06 = 113; mês 07 =

153 e mês 08 = 150. Ao final de 3 meses financiaram 416 carros.

(8)(a) S =

−

−

2042

4453

23106; S=

−

−−

042

403

230 (b) E=

2000

0200

0020

0002

(c) I =

10000

01000

00100

00010

00001

(9a) x=1 e y = 6

(9b)At=

64

26

03

01Bt; (10) (-A)=

−−

−−

250

321 , (11) A=

1800

1380

1052, (-A) =

−

−−

−−−

1800

1380

1052 (12) D =

−

7000

0100

0030

0002 = Dt.

(13) At

−

−−

101

210 (14) A = ( )101 − , At =

−1

0

1, (At)t = ( )101 − = A (provado) (15) D =

33

22

11

00

00

00

a

a

a=

600

040

002→

(2+4+6)+(0+4+0) = 16. (16) x= 2 , y=8 e z=2 ou S={( 2 ,8,2)}; (17) É simétrica pois aij = aji para i ≠ j e não é anti-

simétrica pois aij ≠ 0 para i = j; (18) A =

600

540

432, B =

012

001

000 (19) A é simétrica para x=3, y = 8 e z = 4

204086

622100

1240106

Álgebra Linear 16


7. Operações com Matrizes

7.1 Adição e Subtração de matrizes

uas matrizes, A = [aij] e B = [bij], só podem ser adicionadas ou subtraídas se tem a mesma ordem. Neste caso, a soma (adição) de A com B é uma matriz C = [cij], indica-se por A + B = C, tal que:

cij = aij + bij

A diferença (subtração) entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é definida pela soma de A com (-B), indica-se: A + (-B) = A – B, tal que:

cij = aij - bij

Assim, duas matrizes podem ser somadas (ou subtraídas) se e somente se elas possuem a mesma dimensão ijij ba =

Exemplo 1: Se

=

2221

1211

aa

aaA e

=

2221

1211

bb

bbB então

++

++=+

22222121

12121111

baba

babaBA

Exemplo 2: A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, C3 produzidas numa semana pelas industrias A, B e C integrantes de um mesmo grupo empresarial, numa semana:

C1 C2 C3 A 18 41 17 B 17 52 15 C 25 48 19

A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P1 =

194825

155217

174118

.

Considerando que a quantidade de embalagens semanais produzidas não se altera, qual o total de embalagens produzidas pelo grupo, por indústria e por modelo, ao final de duas semanas?

1ª semana + 2ª semana = P1 + P2 =

194825

155217

174118

+

194825

155217

174118

=

389650

3010434

348236

.

A matriz P1 + P2 indica a produção por empresa e produto ao final de duas semanas. Temos então: Indústria A: produziu 36 mil embalagens do modelo C1, 82 mil do C2 e 34 mil de C3. Indústria B: produziu 34 mil embalagens do modelo C1, 104 mil do C2 e 30 mil de C3. Indústria C: produziu 50 mil embalagens do modelo C1, 96 mil do C2 e 38 mil de C3.

Este é um exemplo de soma de matrizes Analisando a matriz resultante, podemos encontrar outros dados, facilmente. Por exemplo: � O total de embalagens produzidas do modelo C1 (= 120 000), do modelo C2 (= 282 000), do modelo C3 (=102 000).

� O total de embalagens produzidas, por industria, nos três modelos: A (=152 000), B (=168 000) e C = (184 000)

� O total de embalagens produzidas nas três industrias (=504 000)

D

Álgebra Linear 17


Exemplo 3: Se A =

02

41 e B =

68

35então A + B =

02

41+

68

35 =

610

76

Exemplo 4: Se A =

02

41 e B =

68

35 então A - B =

02

41 -

68

35 =

−−

−

66

14

Exemplo 5: Se A=

−−−

753

234

321

e B=

−

351

484

323

então,

A+B=

−−−

753

234

321

+

−

351

484

323

=

+++

−+−+−+−

+++

375513

)4(28344

332231

=

−

10104

650

644

=C

A–B=

−−−

753

234

321

-

−

351

484

323

=

−−−

−−−−−−−

−−−

375513

)4(28344

332231

=

−−

−

402

2118

002

=D

Exemplo 6: Se A = [ ]12 −b e B =

32

3

1 ⇒ A + B =

+ 22

3

7b

Exemplo 7: Se A = [ ]152 − e B = [ ]423 − então A + (-B) = A–B = [ ]571 −−

7.2 Multiplicação por um escalar

eja A = [aij] e k um escalar (número) real ou complexo. O produto da matriz A pelo escalar k, é a matriz B = [bij] tal que bij = k aij , ou seja, é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k → bij = kaij

Exemplo 1: k A = k

02

41=

02

4

k

kk se k=5 temos 5A=5

02

41=

010

205=B

Exemplo 2: Se A= [ ]423 − então =A.3

1[ ]423.

3

1− =

− 4.

3

12.

3

13.

3

1=

−

3

4

3

21 .

Exemplo 3: Considermos o mesmo problema anterior do quadro demonstrativo de produção de embalagens de indústrias que integram o mesmo grupo empresarial. A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, C3 produzidas pelas industrias A, B e C, numa semana:

C1 C2 C3 A 18 41 17 B 17 52 15 C 25 48 19

S

Álgebra Linear 18


A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P1 =

194825

155217

174118

. Para

atender as necessidades do mercado, a produção precisa dobrar nas duas últimas semanas do mês. Qual deve ser o quadro de produção da empresa num mês de 04 semanas?

1ª semana: P1 =

194825

155217

174118

= P2 → 2ª semana;

3ª semana: P3 = 2.P1 = 2.

194825

155217

174118

=

389650

3010434

348236

= P4 → 4ª semana;

Produção nas 4 semanas: P1+P2+ P3 + P4 = 3. P4 =

114288150

90312102

102246108

OU podemos resolver fazendo Pi = 6.P1= 6.

194825

155217

174118

=

114288150

90312102

102246108

7.3 Multiplicação entre matrizes

Vamos introduzir o conceito a partir de exemplos:

Exemplo 1: Em três lojas A, B, C, de uma rede, são vendidos mensalmente, calçados do tipo C1, C2 e C3 conforme tabela:

Tabela Matriz

C1 C2 C3 A 18 41 17 B 17 52 15 C 10 39 16

V =

163910

155217

174118

Se os calçados do tipo C1, C2 e C3 são vendidos respectivamente no valor de 50, 40 e 60 reais cada,

então os preços das mercadorias podem ser representadas pela matriz P =

60

40

50

.

O valor recebido pelas vendas dos calçados na loja A é obtido pela multiplicação de cada elemento da 1ª linha da matriz V pelos correspondentes elementos da matriz P. Assim,

V =

163910

155217

174118

. P =

60

40

50

= 18.50+41.40+17.60 = 900+1640+1020 = 3560 reais → Loja A

Álgebra Linear 19


Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C.

V =

163910

155217

174118

. P =

60

40

50

= 17.50+52.40+15.60 = 850+2080+900 = 3830 reais → Loja B

V =

163910

155217

174118

. P =

60

40

50

= 10.50+39.40+16.60 = 500+1560+960 = 3020 reais → Loja C

Portanto, o valor recebido pelas vendas dos três tipos de calçados nas lojas A, B e C é representado

pela matriz V.P =

163910

155217

174118

.

60

40

50

=

3020

3830

3560

. Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na

venda mensal dos calçados do tipo C1, C2 e C3 é de R$ 10.410,00 que equivale a R$ 3.560,00 da Loja A, R$ 3.830,00 da Loja B e R$ 3.020,00 da Loja C.

Exemplo 2:Uma empresa produz dois tipos de produtos, P1 e P2. São usados três tipos de ingredientes na produção: x, y, z nas seguintes proporções:

Tabela Matriz P1 P2 x 3 1 y 4 2 z 3 7

Ip =

73

24

13

Diariamente são fabricados 80 produtos do tipo P1 e 120 do tipo P2. Esta quantidade de

produtos pode ser representada pela matriz produção P =

120

80.

Para saber a quantidade de ingredientes utilizados diariamente, fazemos: Ingrediente x → 3.80+1.120 = 240+120=360 Ingrediente y → 4.80+2.120 = 320+240=560 Ingrediente z → 3.80+7.120 = 240+840=1080

Esta quantidade de produtos pode ser representada pela matriz Pi =

1080

560

360

.

Podemos obter esta matriz Pi denominada de matriz produto de Ip por P, da seguinte forma:

73

24

13

.

120

80=

+

+

+

120.780.2

120.280.4

120.180.3

=

1080

560

360

= Pi

Note que: cada elemento da matriz final é a soma dos produtos ordenados de uma linha da primeira matriz pela coluna da segunda matriz ou seja:

360 = 3.80+1.120 560 = 4.80+2.120 1080= 3.80+7.120

Este é mais um exemplo de multiplicação de matrizes.

Álgebra Linear 20


Conceituando o produto de matrizes:

Utilizamos na definição de produto de matrizes o conceito de somatório: Vamos rever este conceito?

Saiba Mais:

Definição:

Produto entre duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de Ae pelo número de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A.

Dadas as matrizes A = (aik)mxn e B = (bik)mxp, define-se como produto de A por B a matriz C = (cij)mxp tal que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.

C = A ⋅⋅⋅⋅ B ⇒⇒⇒⇒ cij = ).(1 ik

p

k ik BA∑ =

Se considerarmos, por exemplo, as matrizes A = [ aij ]2xn e B = [ bij ]mx1, com m = n, o produto AB, nesta ordem, é a matriz C = [ cij ]2x1 tal que, cij é a soma dos produtos, na ordem em que estão dispostos, dos elementos da matriz-linha A, pelos elementos da matriz-coluna B. Note que a matriz resultante C tem o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B.

Exemplo 1: Seja A = [ ]423 − , B =

4

2

1

, C =

352

624e D =

6721

0132

1425

.

a) A x B = ? Resolução: A1x3 x B3x1 = [(3x1) + (-2x2) + (4x4)] = [3-4+16] = [15] = C1 x 1. b) B x C = ? Resolução: B3x1 x C2x2 =? Não existe produto BC pois o nº de colunas de B é diferente do nº de linhas de C ou 1 ≠ 2. c) C x D = ?

Resolução: C2x3 x D3x4 =

352

624x

6721

0132

1425

= M2x4 =

24232221

14131211

aaaa

aaaa

Para determinar M que é o produto das matrizes C x D, consideramos cada linha da matriz A como uma matriz-linha e cada coluna da matriz B como matriz-coluna. Calculamos cada elementos aij da matriz M = CD. Como?

(1) Multiplicamos a 1ª linha de C pela 1ª coluna de D. A seguir, multiplicamos a 1ª linha de C pela 2ª coluna de D. E, assim, sucessivamente, multiplicamos a 1ª linha de C

O

Na multiplicação de matrizes, utilizamos o símbolo de somatório ∑ (letra

sigma maiúscula do alfabeto grego) para representar uma soma. Por exemplo, a soma a1+ a2+ a3+ a4+ a5 pode ser representada abreviadamente por:

∑=

5

1i

ia (lê-se: somatório de ai com i variando de 1 a 5). Assim, ∑=

5

1i

ia = a1+ a2+

a3+ a4+ a5. Generalizando: ∑=

n

mi

ia = am+ am+1+ am+2+...+ an. Neste caso, i é o

índice da soma, m é o limite inferior do somatório e n é o limite superior do somatório.

Exemplo: ∑=

5

1

23i

i = 3.12+3.22+3.32+3.42+3.52=3.1+3.4+3.9+3.16+3.25=165.

Álgebra Linear 21


pela 3ª e 4ª colunas de D. Obtemos respectivamente, os elementos a11, a12, a13 e a14 que formam a primeira linha da matriz M.

(2) Encontramos a segunda linha de M, multiplicando a 2ª linha de C pela 1ª, 2ª, 3ª e 4ª coluna de D e assim sucessivamente. Ou seja:

a11 = (1ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 4x5 + 2x2 + 6x1 = 20 + 4 + 6 = 30 a12 = (1ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 4x2 + 2x3 + 6x2 = 8 + 6 + 12 = 26 a13 = (1ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 4x4 + 2x1 + 6x7 = 16 + 2 +42 = 60 a14 = (1ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 4x1 + 2x0 + 6x6 = 4 + 0 + 36 = 40 a21 = (2ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 2x5 + 5x2 + 3x1 = 10 + 10 + 3 = 23 a22 = (2ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 2x2 + 5x3 + 3x2 = 4 + 15 + 6 = 25 a23 = (2ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 2x4 + 5x1 + 3x7 = 8 + 5 + 21= 34 a24 = (2ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 2x1 + 5x0 + 3x6 = 2 + 0 + 18= 20

Portanto, o produto das matrizes C(2,3) e D(3,4) é a matriz M(2,4) =

20342523

40602630

Exemplo6 2: Sejam as matrizes A e B defindas por: A =

43

21 e B =

−

24

31. Determinar a

matriz C resultante do produto de A por B. Resolução: O produto de A com B resulta numa matriz C, quadrada de ordem 2. Procedemos multiplicando os elementos equivalentes de cada linhas de A por cada colunas de B, adicionando os resultados. Vejamos:

A2x2 x B2x2 = C2x2 =

2221

1211

cc

cc. Fazendo A.B temos A.B =

43

21.

−

24

31=

C11 =resultado do produto e soma da 1ª linha com 1ª coluna




6 SOMATEMATICA: Ensino Superior: Teoria, Exercícios. (CD-Room). Virtuous Tecnologia da Informação Ltda. 2008

Álgebra Linear 22


Portanto, A2x2 x B2x2 = C2x2 =

2221

1211

cc

cc=

1713

77

Observe que, fazendo B.A, neste caso, obtemos um resultado diferente de A.B.

B2x2 x A2x2 =

−

24

31.

43

21=

Portanto, B2x2 x A2x2 = D2x2 =

2221

1211

dd

dd=

1610

108.

8. Potência de uma Matriz

ma matriz quadrada A pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas operações, e que representamos por An é denominada potência n da matriz A .

Exemplo 1: A =

02

11→ A2 = A.A =

02

11.

02

11=

22

13. Assim, a matriz

22

13 é a

potência 2 da matriz A e indicamos por A2. Note que:

� Se An = A para n ≥ 2 então A é uma matriz periódica. Em particular se a matriz é periódica para n = 2 ou seja, se A2 = A então A também é chamada de uma matriz idempotente.

� Se existir um número n, inteiro e positivo, tal que An=0 então A é uma matriz nihilpotente. Note que, se A2 = 0, então A3 = A4 = A5 = ... = An = 0

Exemplos:

Exemplo 1: A matriz A =

−−

−−

−

344

232

112

é idempotente porque

A2 = A ou, A.A =

−−

−−

−

344

232

112

.

−−

−−

−

344

232

112

=

−−

−−

−

344

232

112

=A

U

Dica: Utilizando o conceito de matriz transposta e produto de matrizes podemos verificar de uma matriz é ortogonal (formada por vetores linhas ou vetores colunas cujo ângulo entre si equivale a 90º). Se uma matriz A multiplicada pela sua transposta resulta na matriz Identidade então os vetores de A são perpendiculares ou ortogonais. Assim, se A. At = I então A é uma matriz ortogonal.

Álgebra Linear 23


Exemplo 2: A matriz7 A =

−−

−−

−

444

333

111

é nihilpotente de índice 2 porque A2 = 0, A3 = A4

= ... =0. Portanto A3 = A2.A = 0.A=0.

Exemplo 3: A matriz B =

−−− 312

625

311

é nihilpotente de ordem 3 porque

A3 = 0 ou A.A =

−−− 311

933

000

e A2.A =

000

000

000

= 0.

Como A3 = 0 então A4 = A5 = ... = An =0

Exemplo 4: As matrizes A =

−− 64

96 e B =

− 129

1612 são nihilpotente de índice 2 porque

A2 = 0 e B2 = 0.

9. Propriedades das Operações com Matrizes

� Propriedades da adição de matrizes Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:

1) Comutativa

2) Associativa

3) Elementro Neutro

4) Simétrica

A + B = B + C

A+ (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = 0 + A, sendo 0 a matriz Nula

A + (-A) = A - A = 0 � Propriedades do produto de uma matriz por um escalar Para as matrizes A e B, de mesma ordem e k e k’, escalares quaisquer, então:

k(A + B) = kA + kB e (k m k’) A = kA m k’A.

E, também, (kk’) A = k(k’ A) e se kA = kB então A = B. � Propriedades do produto de matrizes Sejam as matrizes A, B e C. Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

1) Associativa

2) Distributiva em relação à adição

3) Elementro Neutro

A(BC) = (AB)C

(A+B)C = AC + BC ou C(A+B) = CA + CB

AIn = InA = A, sendo In a matriz Identidade de ordem n Note que:

7 Steinbruch (1987, p.406)

Álgebra Linear 24


(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

Se o produto AB é possível, então (kA)B = A(kB) = k(AB) para qualquer k escalar.

Se AB= 0, não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0

Se AB=AC, não implica necessariamente que B=C

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, AB ≠ BA.

A2x2 =

−

−

01

11, B2x2 =

−

43

21 então AB =

−

−−

21

24e BA =

−−

−

31

13

Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas. � Propriedades da matriz transposta Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição e multiplicação de matrizes, são válidas as propriedades:

1) (A + B)t = A t + B t

2) (kA)t = kA t

3) (AB)t = B t A t ⇒ (AB) t ≠ A t B t

4) (At) t = A

5) (-A)t = -(A t)

� Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição e multiplicação de matrizes, são válidas as propriedades: 1) O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica S Assim, A ⋅⋅⋅⋅

At = S 2) A soma de uma matriz quadrada A com sua transposta At é uma matriz simétrica S

Assim, S = A + At = St

3) A diferença entre uma matriz A e sua transposta At, é uma matriz anti-simétrica S’ Assim, A - At = S’

Exemplo 1: Consideremos as matrizes A e sua transposta At para:

A =

−

40

31 e sua transposta At =

− 43

01.

� Fazendo A ⋅⋅⋅⋅ At =

−

40

31⋅⋅⋅⋅

− 43

01=

+−+

−+−−+

4.40.0)3.(41.0

4).3(0.1)3).(3(1.1=

−

−

1612

1210 = S. Note

que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s12 = s21

� Fazendo A + At =

−

40

31+

− 43

01=

−

−

83

32= S

Note que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s12 = s21

� Fazendo A - At =

−

40

31-

− 43

01=

−

03

30= S’

Note que a matriz resultante S’ é uma matriz anti-simétrica pois (-s12)= s21

AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva a Lista de Atividades

Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes

1. Encontre os elementos da matriz A = (aij)3x2 em que aij = i + j e da matriz B = (bij)3x2 em que aij = i - j . Encontre:

Álgebra Linear 25


(b) A + B; (c) A + (-B); (d) 5A + 3B.

2. Considere as matrizes A =

−

−

22

11, B =

−

−

20

54, C =

−

−

312

119 e D =

−

342

111.

(a) Verifique se A ⋅ B = B ⋅ A;

(b) Determine (A ⋅ C) + (B ⋅ D);

(c) É possível determinar C ⋅ D? Justifique.

3. Para as matrizes quadradas de ordem 3 definidas por A=(aij) com aij =i2 e B=(bij) com bij=-j

2 encontre:

(a) A+B (b) A+(-B) (c) A.2B (d) (AB)+(BA)

4. Se A =

263

174

952

calcule:

(a) A + At = S. Verifique se S é uma matriz simétrica e justifique;

(b) A - At = P. Verifique se P é uma matriz anti-simétrica e justifique.


− 75

32, B =

−

−−

918

721

534

e C =

−

−

695

243

172

. Encontre as

matrizes S e verifique se são simétricas e/ou anti-simétricas.

(a) S = A.At (b) S = C+Ct (c) S = C - Ct (d) S = B – Bt (e) S = B + Bt

6. Para atender a um projeto experimental de tratamento de esgoto, foram elaborados dois modelos de experimentos E1 e E2. Nos dois modelos serão utilizados os mesmos produtos x, y e z para tratamento com dosagens diferentes. No experimento E1 serão utilizados 5 medidas do produto x, 8 medidas do produto y e 1 medida do produto z. No experimento E2 a dosagem equivale a 4, 6 e 3 medidas de x, y e z, respectivamente. Para controle, serão produzidas 75 amostras do experimento E1 e 96 amostras do experimento E2. Estruture o problema em tabela e matriz e determine:

(a) quantas dosagens de produtos serão utilizados para a produção das amostras?

(b) Considerando que, o custo de dosagem dos produtos equivalem a: R$ 1,30 para x, R$ 2,30 para y e R$ 7,50 para z. Qual o custo por amostra? Qual o custo total para a produção das amostras?

7. Considere as matrizes triangulares superiores A e B e as matrizes trinagulares inferiores C e D,

definidas por A =

200

310

112

, B =

−−

200

130

121

, C =

111

011

002

e D =

−− 121

010

002

.

Determine:

(a) E = A.B;

(b) F = C.D

(c) Classifique E e F por triangular inferior ou superior.

(d) Verifique se a matriz A é ortogonal.

8. Prove que, o produto de duas matrizes diagonais resulta numa matriz diagonal. Utilize matrizes de ordem 3.

Álgebra Linear 26



αα

αα

sen - cos

cos -sen , B =

−− 53

106e C =

−− 42

105.

(a) Mostre que A.At = I sendo I a Matriz Identidade. Logo A é uma matriz ortogonal.

(b) Verifique se B e C são matrizes idempotentes, periódicas ou nihilpotente. Analise para o período 1 ou seja para B2 e C2 somente.

10. Verifique se as matrizes A e B são nihilpotentes, para A =

−− 64

96e B =

− 129

1612

11. Dadas as matrizes diagonais A =

800

010

001

e B =

600

040

002

calcular AB e classificar este produto.

12. Considere a matriz A =

−

−

−−

344

232

112

. Calcule A2 e classifique A. (STEINBRUCH, 1987, p.413)


(1) A =

54

43

32

, B =

−

12

01

10

(a) A+B=

66

44

22

(b) A+(-B)=

42

42

42

(c) 5A+3B=

2826

2018

1210

(2a) A.B =

−

−

68

34 ≠ B.A =

−

−

44

66 (2b)

−

−

8414

427+

−−−

−−−

684

19166=

−−

−−

14410

23141.

(2c) Não é possível determinar o produto C.D pois a dimensão das linhas de C é diferentes da dimensão das colunas de D.

(3) A =

999

444

111

, B=

−−−

−−−

−−−

941

941

941

(3ª) A+B=

−

−−

058

503

830

, (3b) A+(-B)=

181310

1385

1052

(3c)

−−−

−−−

−−−

48621654

2169624

54246

(3d)

−−−

−−−

−−−

24310827

1084812

27123

+

−−−

−−−

−−−

989898

989898

989898

=

−−−

−−−

−−−

341206125

206146110

125110101

(4a) A+At=S =

4712

7149

1294

S é simétrica pois aij = aji para i ≠ j . (4b) A-At=P=

−

−−

056

501

610

S é anti-simétrica pois aij = (-aji) para i ≠ j e

aij = 0 par i = j. (5) A matriz S em a,b, e é simétrica porque Aij=Aji. A matriz S em c,d é é anti-simétrica pois aij = (-aji)

para i ≠ j e aij = 0 par i = j. (5a) S=

−

−

7411

1113 (5b)

−

−−

−

1276

784

644

(5c)

−

−−

0114

11010

4100

(5d)

−−

−

083

804

340

(5e)

−−

−

18613

642

1328

(6a) x = 759, y = 1176 e z = 363 ou

363

1176

759

. (6b) O custo por amostra é: E1 = R$ 32,40; E2 = 41,50 ou C

= ( )50,4140,32 . O custo total para a produção das amostras é de R$ 6.414,00 = ( )50,4140,32

96

75. (7a) E =

Álgebra Linear 27


−

400

730

172

; (7b) F =

−131

012

004

; (7c) E é triangular superior e F é inferior. (8) Criar matrizes e provar. (9a) Fazer A.At

e mostrar que o resultado é a matriz identidade (Dica: lembre-se que sen2x + cos2x = 1). (9b) As matrizes B e C são idempotentes de ordem 2 ou de período 1 porque B.B=B2=B e C2=C.

(10) A e B são nihilpotentes de ordem 2 pois A2=0=A3=A4 =... Idem para a matriz B. (11) AB=

4800

040

002

e AB é diagonal.

(12) A2 =

−−

−−

−

344

232

112

. Como A2 ≠ A não é idempotente.

Álgebra Linear 28


10. Equivalência de Matrizes

izemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são equivalentes quando são obtidas a partir de operações elementares efetuadas entre elas ou: Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente a matriz A (indica-se B ∼ A) se for obtida a partir de operações elementares efetuadas em A, onde

cada linha ( Li ou j ) de B é uma combinação linear das linhas de A. A matriz B encontrada é equivalente a matriz A e também é denominada, matriz escalonada por linhas de A . As operações elementares possíveis são:

1. Li ⇔⇔⇔⇔ Lj 2. Li ⇔⇔⇔⇔ k.Lj com k ≠ 0 3. Li ⇔⇔⇔⇔ k.Lj + Li com k ≠ 0

1. Troca de linhas entre si; 2. Multiplicação de linha por escalar; 3. Substituição de uma linha pela adição de k vezes

outra linha.

Note que:

� Se aplicarmos as inversas das operações em B, obtemos A. � A matriz B encontrada é dita matriz escalonada por linhas de A .

Exemplo 1: Se A =

− 43

21 então podemos encontar uma matriz B =

−100

21 dita

matriz escalonada por linhas de A . � Uma matriz B equivalente a uma matriz A é dita matriz escalonada reduzida por linhas

(ou matriz na forma canônica por linhas) se: � os elementos distinguidos8 são únicos não nulos de suas respectivas colunas; � os elementos distinguidos são iguais a 1.

Exemplo 2: B =

10

01

Exemplo 3: B =

4100

7010

2001

A matriz B está representada na forma canônica por linhas pois o 1º elemento de cada linha é igual a 1 e é o único não nulo em sua respectiva coluna.

Exemplo 4: Para a matriz A =

−−

−−

−

−

13111

11500

11131

11012

encontre sua matriz B,

equivalente a A ou seja encontre a matriz escalonada por linhas de A.

Resolução: Nosso objetivo é encontrar uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonal formada pelos elementos (2), (3), (-5), (-3) sejam todos iguais a zero. Para isso aplicamos as operações elementares de linhas Li:

8 Elementos distinguidos são os primeiros elementos não nulos das linhas de uma matriz

D

Álgebra Linear 29


A =

−−−

−−

−

−

13141

11500

11131

11072

L4 ⇔ L3

(troca de linhas entre si)

∼

−−

−−−−

−

−

11500

13141

11131

11072

∼

L2 ⇔ L1 + 2L2;

L3 ⇔ L1 - 2L3. ∼

−−

−

−

11500

37210

33210

11072

∼

L3 ⇔ L2 + L3.

∼

−−

−

−

11500

610400

33210

11072

∼

L4 ⇔ 5L3 + 4L4.

∼

−

−

2654000

610400

33210

11072

= B

Note que a matriz B encontrada é equivalente a matriz A e, abaixo da diagonal todos os elementos são nulos.

A matriz B também é chamada, forma escalonada de A. ∼

−

−

2654000

610400

33210

11072

= B

Importante: Para a solução de alguns problemas matemáticos, uma matriz B, escalonada por linhas de A, necessita apresentar-se numa forma mais reduzida, ou seja, na forma escalonada reduzida por linhas. Neste caso, pode-se afirmar que:

Uma matriz B equivalente a A é dita matriz escalonada reduzida por linhas (ou matriz na forma canônica por linhas) se, e somente se, seus elementos distinguidos são iguais a um

e são os únicos não nulos de suas respectivas colunas.

Exemplos: C =

100

010

001

ou D =

4100

2010

9001

ou E =

−

10000

07100

03021

.

As matrizes C, D e E, estão representadas na forma canônica por linhas pois o 1º elemento de cada linha é igual ao número 1 e, é o único não nulo em sua respectiva coluna.

AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva a Lista 3 de atividades

Álgebra Linear 30


Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento

1. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes A. Indique-as por A´.

a) A =

−

231

110

012

121

b) A =

−

−−

−

1240

511

412

023

c) A=

−

0110

2001

0201

1011

d) A =

−

−

−

32

363

42

2. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes e verifique se estão corretas as equivalências:

a) A=

−−

−

5013

0121

2001

∼

0100

2120

2001

=B b) A=

−−

−−−−

18512

6243

1121

∼

−

−

551100

3120

1121

=B

c)A=

−−

−−

−−

7283

2131

1241

∼

−

−−

8000

1110

1241

=B d) A =

− 90

20∼

00

20= B

3. Encontre a forma canônica por linhas das matrizes:

a) A=

−

−−

−

521

614

436

b) A =

−

−

−

56263

32142

12121

c) A=

−

−

−

4350

1200

3140

2310

4. Encontre a matriz triangular superior que seja equivalente a cada uma das matrizes dadas.

A =

1053

521

132

B =

1053

521

132

C =

− 1103

2221

0342

1231

D =

−

−−

−

521

614

436

E =

22262

13452

11131

4321

−

−

F =

875

654

321

G =

223

142

111

−

−

H =

−

−

−

241

132

111

5. Encontre a matriz escada, equivalente por linhas

A =

−

2242

1111

1121

B =

−

−

−

52333

42123

13212

C=

−

−

1111

2212

5103

D =

3213

2212

1321

−

−−

6. Aplicação de escalonamento de matrizes: Tente resolver o sistema, aplicando a equivalência de matrizes.

Álgebra Linear 31


=−+

=+−

=−+

19234

4422

632

zyx

zyx

zyx


(1) (a) A´=

−−

000

300

250

121

; (b) A´=

−

000

4500

1270

023

; (c) C´=

−

−

−

0000

2200

1210

1011

; (d) D´=

−

00

00

42;

(2) Não são equivalentes somente as matrizes (2b) e (2c) pois em (2b) A´ ≈

−

−

29900

3120

1121≠B e em (2c),

temos A ≈

−−

0000

1110

1241≠B.

(3) (a)

−

0009

26109

701

; (b)

− 611000

001003

40021; (c)

0000

1000

0100

0010

(4) A ∼

−−

400

910

521 B ∼

−

−

000

310

121 C ∼

−

15000

4100

1010

1231

D∼

−

−

000

52180

436 E∼

0000

2200

7410

4321

−−

−

; F ∼

100

210

321 G ∼

−

1100

120

111 H ∼

−

−

000

350

111 (5a) A∼

0000

2010

1121 (5b) B ∼

−

−

−

82000

55410

13212; (5c) C∼

−

−

2200

0010

1111(Observe que houve troca de linhas);

(5d) D∼

−

−

−−

10700

4430

1321 (6) O sistema equivale a matriz escalonada

−−

−

101000

81060

6321. A solução do sistema é x = 3, y = 3

e z = 1 ou S = {(3,3,1)}.

Álgebra Linear 32


II DETERMINANTES E MATRIZES

1 Classe de uma Permutação

ara uma melhor compreensão do conceito de determinantes é importante revermos os conceitos de permutação. Conceito: Dados n objetos distintos a1, a2, ..., an. Uma permutação σσσσ destes objetos consiste em dispô–los em uma determinada ordem. Ou seja, para n elementos

distintos denominamos de permutação a disposição dos mesmos numa certa ordem.

As permutações podem nos dizer o nº de arranjos possíveis em certas situações. Representamos permutação por S(A) ou S(n).

Exemplo: Para os algarismos 1, 2 e 3 podemos obter 6 permutações que são:

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2, 3 2 1 Permutação principal (2º) (3º) (4º) (5º) (6º)

A quantidade de permutações dos n elementos é dada por n! (lê-se: n fatorial) onde:

n ! = n x (n-1) x (n-2) x . . . x 2 x 1 para n > 0.

Portanto, se n = 3 temos: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 permutações. Se n = 0 temos 0! = 1. Proposições:

� Diz-se que dois elementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordem inversa à da permutação principal. Considerando uma permutação a c b, os elementos c e b formam uma inversão.

� Para uma permutação do conjunto N*, dizemos que existe uma inversão quando um número inteiro precede um outro menor que ele.

Exemplo1: Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 6 admitem 120 permutações pois 5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 e a permutação 6 4 3 2 1 admite 10 inversões que são: 64, 63, 62, 61, 43, 42, 41, 32, 31 e 21.

Exemplo 2: A permutação 54321 tem 10 inversões que são: 54, 53, 52, 52, 43, 42, 41, 32, 31 e 21.

Exemplo 3: A permutação 4521 tem 05 inversões que são: 42, 41, 52, 51 e 21.

Observe na tabela de números as permutações e inversões dos algarismos 1, 2, 3:

Permutações Nº de inversões Permutações Nº de inversões

1 2 3 0 2 3 1 2

1 3 2 1 3 1 2 2

2 1 3 1 3 2 1 3

� Uma permutação tem classe par ou classe ímpar, (indica-se classe σσσσ) conforme apresenta

um número par ou ímpar de inversões. Assim, para σ uma permutação arbitrária em Sn, (Sn → indica o conjunto de permutações), dizemos que σσσσ é ímpar ou par, conforme exista um nº par ou ímpar de pares (i, k) para os quais i > k mas i precede k em σσσσ. Exemplificando: A permutação 1 3 2 tem uma inversão, logo tem classe ímpar.

P

Álgebra Linear 33


� Definimos como sinal ou paridade da classe σσσσ, indica-se sgn σσσσ por

Sgn σσσσ =

− .,1

;,1

ímparése

parése

σ

σ

Ou seja: � Quando na permutação existir um número par de inversões então o sinal de σσσσ (sgn σσσσ) é

positivo. � Quando na permutação existir um número ímpar de inversões então sgn σσσσ é negativo.

Exemplo1: A permutação σσσσ 5 3 1 2 4 tem 6 inversões (quantidade par) logo sgn σσσσ =1. Exemplo 2: S3 = 3! = 3.2.1 = 6. Observe na tabela a seguir.

Permutação σ 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

Nº de inversões 0 1 1 2 2 3

Par ou ímpar Par Ímpar Ímpar Par Par Ímpar

Sgn σ + - - + + -

2 Determinante de uma matriz

imos que a matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

• Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; • Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as

coordenadas dos seus vértices. Mas, o que é um determinante?

Denomina-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém, efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder dos produtos o sinal (+) ou (-), conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou ímpar.

� Defini-se como termo principal, ao produto dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada;

� Denomina-se ordem de um determinante a mesma ordem da matriz a que o mesmo equivale;

� Indica-se o determinante de uma matriz quadrada A, por det A, representando a matriz entre dois traços verticais.

A notação do determinante de uma matriz é || ou seja, representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Saiba Mais:

V

Álgebra Linear 34


Como calcular o determinante? 2.1 Determinante de 1ª ordem

ada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o próprio número real a11 ou seja, det M =|a11| = a11

Exemplo:

M= [5] det M = 5 ou |5| = 5 M = [-6] det M = -6 ou |-6| = -6

2.2 Determinante de 2ª ordem

ada a matriz quadrada M de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

D

D

Considere a seguinte situação problema: Qual o valor real de x e y para que A.B = C sendo A =

45

21, B =

y

x e C =

−1

1?. Para determinar os valores de x e y, aplicamos o produto A.B =

C e obtemos:

45

21.

y

x =

−1

1. Resolvendo o produto, encontramos:

+

+

yx

yx

45

2=

−1

1. Aplicando o conceito de igualdade de matrizes, temos o sistema:

−=+

=+

145

12

yx

yx Resolvendo o sistema pelo método de adição, temos:

−=+

=+

145

.(-5) 12

yx

yx⇔

−=+

−=−−

145

5105

yx

yx⇔

6)104(

6104

145

5105

−=−

−=−

−=+

−=−−

y

yy

yx

yx

⇔ y = 104

6

−

−=

)5.2()4.1(

6

−

−=

6

6

−

−=1. Se fizermos o

mesmo procedimento para encontrar o valor de x, iremos observar que o denominador também é (-6). Portanto x = -1. Observe que a expressão numérica (1.4)-(2.5), comum nas expressões, permite que calculemos o valor de x e y e determina se o sistema tem solução (se é determinada ou indeterminada). Daí a origem do nome determinante. Observe também que a expressão

(1.4)-(2.5) tem relação com os termos da matriz A=

45

21. A teoria dos determinantes surgiu,

quase simultaneamente, na Alemanha e no Japão, quando dois matemáticos, Leibniz (1646-1716) e Seki S.Kowa (1642-1708), resolveram problemas de eliminações, necessárias à resolução de um sistema de n equações lineares com n variáveis. Depois deles, surgiram os trabalhs de Cramer, Bezout, Laplace, Vandermonde, Lagrange, Cauchy e Jacobri.

Álgebra Linear 35


Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Observe os exemplos:

(a) Para M =

54

32temos: det M = (2.5)-(4.3) = 10-12= -2.

(b) Se A =

2

1

4

3 então det A =

2

1

4

3 = (1 x 4) – (2 x 3) = -2

2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus

determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser obtido pela regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para D=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira ou repetimos à direita dos elementos da matriz A, as duas primeiras colunas:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

O

Álgebra Linear 36


Assim:

ou det D = + a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31

Exemplo 1: Encontrar |A| para A =

−

−

011

021

121

.

Resolução: Pela regra de Sarrus, fazemos

11

21

21

011

021

121

−

−

−

−

=

(-1.2.0)+(2.0.-1)+(1.1.1)-(2.1.0)-(-1.0.1)-(1.2.-1) = 0+0+1-0-0+2 = 3. Logo |A|= 3 ou Det A = 3.

Exemplo 2: Determine o valor de x sabendo que

381

52

14

−

x

x

=0

Resolução: Pela regra de Sarrus, fazemos

81

2

4

381

52

14

−−

x

x

x

x

= 0. Logo,

12x – 5x + 16 – 6x – 160 +x = 0 → 2x – 144 = 0 → x = 144/2 → x = 72.

Álgebra Linear 37


2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE

imos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Teorema de LAPLACE: Segundo Laplace, o determinante da matriz A = aij é igual à soma dos produtos obtidos multiplicando os elementos de qualquer linha(ou coluna) de A pelos seus respectivos cofatores Cij: det A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ...+ ain Cin ou

det A = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj Mas, o que são cofatores? Reveja este assunto no Apêndice A deste caderno.

•

Exemplo 2: Seja A =

−

−

317

132

101

.

O Det A, segundo Laplace é calculado da seguinte forma: Escolha uma linha ou coluna → dê preferência para aquela que tem elementos nulos. Neste caso escolhemos a linha 1. Det A = (-1) . C11 + (0). C12 + (1). C13 (fixada 1ª linha ).

Det A = (-1) . (-1)1+1 31

13 − + (0). C12 + (1). (-1)

1+3 17

32

Det A = (-1) . 1 . [9-(-1)] + 0 + 1. 1 . (2-21) Det A = -1.1.10 + 0 + 1.1.-19 Det A = - 10 + 0 - 19 Det A = - 29 Por Regra de Sarrus temos

Det A =

−

−

−

17

32

01

317

132

101

= (-1.3.3)+(0.-1.7)+(1.2.1)-(1.3.7)-(-1.1.-1)-(3.0.2)

= -9 + 0 + 2 – 21 – 1 – 0 = -29.

Exemplo 3: Seja A =

−

241

325

431

. Calcule o Det A.

O Det A, segundo Laplace:

V

Álgebra Linear 38


Det A = (1) . C11 + (5). C21 + (1). C31 (fixada 1ª coluna).

Det A = (1) . (-1)1+1 24

32 −+ (5). (-1)2+1

24

43 + (1). (-1)3+1

32

43

−

Det A = (1) . 1 . [4-(-12)] + (5).(-1).(6-16) + 1. 1 . (-9-8) Det A = (1).1.(16) + (5).(-1).(-10) + 1. 1 . (-17) Det A = 16 + 50 + (-17) Det A = 49 Por Regra de Sarrus temos

Det A =

−

41

25

31

241

325

431

= (1.2.2)+(3.-3.1)+(4.5.4)-(4.2.1)-(1.-3.4)-(3.5.2)

= 4 -9 + 80 – 8 + 12 - 30 = 96 – 47 = 49. 2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante

processo de triangulação para cálculo de determinante pode ser aplicado em todas as matrizes quadradas de ordem n ≥≥≥≥ 2.

Para se executar o processo de triangulação, se procura colocar, por meio de operações adequadas (e das respectivas compensações quando for o caso), como elementos da diagonal principal, exceto o último, o número 1.

Obtido o nº 1 na 1ª linha e 1ª coluna, isto é, a11 = 1, substituindo-se, por meio de operações competentes, todos os demais elementos da 1ª coluna por zeros; da mesma forma, depois de obter a22 = 1, substituem-se os demais elementos da 2ª coluna, situados abaixo de a22 por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz A, três hipóteses podem ocorrer: 1ª) O elemento é igual a zero → neste caso, deve-se proceder a operação de troca de linhas e multiplicar o det A por –1, como compensação, isto é, para que o determinante de A conserve o seu valor. 2ª) O elemento é igual a k≠ 1 → nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos da linha por i/k, com o que se obtém o número 1 como elemento da diagonal principal dessa linha. Por outro lado, para compensar, isto é, para que o det A mantenha o seu valor, deve-se multiplicá-lo pelo inverso de 1/k, isto é k. 3ª) O elemento é igual a 1→nesse caso nada a fazer no que diz respeito à diagonal principal.

Agora, tente você Calcule o determinante da matriz

=

435

231

712

A , usando o processo da

triangulação. Vocë deve obter como resposta, det A = - 66

O

Álgebra Linear 39


3 Propriedades dos determinantes

s matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

1. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao de sua transposta At ou seja, |A| = |At |.

Exemplo 1: Se A =

42

31então At =

43

21. E, det At = 1.4 – 2.3 = -2 = det A.

Exemplo 2: det A =

342

212

321

= 9 = det At =

323

412

221

= 9

2. Se a matriz quadrada A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0 ou se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo 1: Exemplo 2: 3. Se a matriz quadrada A tem uma linha ou coluna nula então det A = 0 ou Quando todos os

elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplos:

4. Se uma matriz quadrada A trocarmos a posição de duas linhas (ou colunas) o

determinante troca de sinal.

Exemplo: 5. Se A é uma matriz triangular (superior ou inferior) então det A = produto dos elementos

diagonais. Exemplos:

6. Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada A é multiplicado por

um escalar k então o det A fica multiplicado por k. Conseqüência: Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz A contém um fator k, podemos coloca-lo em evidência.

A

Álgebra Linear 40


Exemplo 1: A =

032

1154

361

⇒ A’= 3

012

154

321

⇒ (det A) = 3 (det A’).

Exemplos 2 e 3

7. O determinante de um produto de duas matrizes A e B é igual ao produto de seus

determinantes ou seja, det(A.B) = (det A) . (det B) ou |A.B|=|A|.|B.|

8. Uma matriz quadrada A é inversível se o det A ≠ 0.

9. Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplo:

10 Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo: 9

342

212

321

= Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o

dobro da 2ª, temos:

4 Determinante e Matriz Inversa

onsideremos a matriz quadrada A, de ordem n. Definimos como inversa de A, a matriz A-1 tal que A . A-1 =I = A-1 . A sendo I a matriz identidade de ordem n.

Proposições:

(i) Se A tem inversa, diz-se que A é inversível.

C

Álgebra Linear 41


(ii) Se A e B são matrizes quadradas, de mesma ordem e inversíveis, então:

(A-1)-1 =A AxB é inversível (A.B)-1 = B-1 .A-1 (A+B)-1 =A-1 + B-1 Posto A = n.

(iii) Toda matriz quadrada A, cujo determinante é nulo, é dita matriz singular e, se o determinante de A for diferente de zero, dizemos que A é uma matriz não-singular. Em conseqüência, toda matriz não-singular sempre tem inversa e toda matriz singular não tem inversa. Portanto, nem toda matriz quadrada tem inversa.

(iv) Se a matriz A tem inversa, então o determinante da matriz A é não nulo → det A ≠ 0 e det

A-1 = ADet

1

(v) Se A é uma matriz inversível, n × n, com n ≥ 2, então: A–1 = Adet

1. Adj A

Esta proposição envolve o conceito de determinantes e matriz adjunta clássica (Adj A). Para rever o conceito de matriz adjunta clássica, e o calculo de matriz inversa por determinante, consulte o Apêndice A no final do caderno pedagógico.

(vi) Uma matriz A é dita ortogonal se a sua transposta é igual a sua inversa ou, A é ortogonal se

At = A-1.

Saiba Mais:

Exemplo: A matriz M =

−2

1

2

32

3

2

1

é ortogonal porque o produto de M pela sua matriz

transposta, resulta na matriz identidade. Neste caso, a matriz inversa de M é a sua transposta.

Assim, se M . Mt = Mt . M = I então Mt = M-1 Logo M é ortogonal.

A solução de problemas que envolvem matrizes e suas inversas exigem, em geral, o conhecimento dos algoritmos matemáticos de:

� (1º) Verificação se duas matrizes são inversas; � (2º) Determinação da matriz inversa de uma matriz dada.

Como verificar se duas matrizes são inversas?

Exemplo 1: Verifique se a matriz A =

35

712 é inversa da matriz B=

−

−

125

73.

Resolução: Para verificar se a matriz A é inversa de B aplicamos o conceito A . A-1 =I = A-1 . A Ou seja, devemos provar que a multiplicação das duas matrizes, resulta na matriz identidade.

Assim, podemos fazer A.B = I ou B.A = I.

A.B = I →→→→

35

712.

−

−

125

73 =

+−−+

+−−+

12.3)7.(5)5.(33.5

12.7)7.(12)5.(73.12=

10

01= I (provado). A e B são

inversas porque AB = I Como determinar a inversa de uma matriz?

A partir do conceito de matriz inversa podemos verificar a ORTOGONALIDADE DE MATRIZES. Dizemos que uma matriz M é ortogonal quando sua inversa M-1 é igual a sua transposta Mt. Se Mt = M-1 e como M.M-1 = M-1.M = I então podemos também afirmar que M . Mt = Mt . M = I (I representa a matriz identidade).

Álgebra Linear 42


Para determinar a matriz inversa, temos algumas opções de procedimentos matemáticos. Opção 1: Determinando a matriz inversa de A pela aplicação do conceito A . A-1 =I

Neste caso, utilizamos também conhecimento sobre a resolução de sistemas lineares.

Exemplo 1: Encontre a matriz inversa de A =

− 31

21.

Resolução: Aplicando o conceito temos que A . A-1 =I

Sabemos que I =

10

01. Supondo A-1 =

dc

ba, fazemos

− 31

21.

dc

ba=

10

01.

Resolvendo o produto das matrizes encontramos,

+−+−

++

dbca

dbca

3131

2121=

10

01. Comparando os resultados obtemos:

=+−

=+

03

12

ca

ca e

=+−

=+

13

02

db

db. Resolvendo os sistemas encontramos como resposta:

a=5

3, b=

5

2−, c=

5

1, d=

5

1. Portando a matriz procurada A-1 =

dc

ba é A-1 =

−

5

1

5

15

2

5

3

.

Podemos facilmente comprovar se a matriz encontrada é solução do problema. Basta multiplicar a matriz A pela sua inversa e verificar que o resultado do produto é a matriz

identidade I. Ou seja, A-1 . A =

−

5

1

5

15

2

5

3

.

− 31

21= I.

Opção 2: Determinando a matriz inversa pelo Teorema da Inversibilidade (por redução das linhas) � Uma matriz A de ordem n é inversível se existe uma seqüência de operações elementares que

transforme A numa matriz identidade. � Uma matriz A-1 pode ser obtida aplicando a mesma seqüência de operações elementares

iniciando-se com a matriz identidade. Exemplo:

Ache a inversa da matriz A =

201

110

011

se existir.

Resolução:

100

010

001

201

110

011

≈≈≈≈

−− 101

010

001

210

110

011

≈≈≈≈ ....

−

−

−

31

31

31

31

32

31

31

32

32

100

010

001

Resolva a Lista 4 de atividades

Álgebra Linear 43


Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes

(1) Calcule o determinante de cada matriz:

a) A=

−

−

431

250

112

b) B=

−

−−

160

152

423

c) C=

−

−−

−

2034

2113

0201

3221

d) D=

132

314

523

e) E =

100

7980

521

f) F =

7729

000

431

−

g) G =

1212

7040

2353

3121

h) H =

−

13

21

(2) Dada P =

−

−

220

112

112

, calcule o determinante de P2; (3) Encontre lAl =

2401

1300

3120

2012

−

−

(4) Para A =

−

−

427

103

314

e B =

−−− 321

1293

862

. Verificar se Det (AB) = Det A. Det B.

(5) Para A=

x

x

21

12

B=

−

01

11

10

x

x

x

,C=

100

010

5432

101

x

x

x

, encontre x para Det A+Det B=Det C

(6) Resolver as equações determinando o valor real de x em cada equação:

a)

x

x

x

247

25

64

− =-128 b)

10215

2318

0112

x

x

x

−

−

−

=6 c)

3

2

1

xx

xx

xx

=0 d)

42

215

x

x+−=0 e)

2

2

1

1

x

x

−

−=0

(7) Encontre os valores de a e b que transformam as matrizes A e B em inversas ou seja,

determine a e b sabendo que AB = I, sendo I a matriz identidade, com A =

a

a

0

0 e B=

1

1

b

b

(8) Se A=

10

21e B=

11

02, calcule AB-BA e verifique se: (a) A é inversa de B; (b) A é singular

(9) Mostre que as matrizes A e B são inversas sendo A =

51

42 e B =

−

−

3/16/1

3/26/5.

(10) Prove que a matriz B é inversa da matriz A, sendo B =

101

210

011

− e A =

111

212

211

−

−

−−

Álgebra Linear 44


(11) Considere a matriz A =

αα

αα

sen - cos

cossen . Verifique se a matriz A é ortogonal (Dica: lembre-se

que A é ortogonal se A.At=I). Em caso afirmativo, encontre sua inversa.

(12) Prove que a matriz M =

100

0 cossen

0sen - cos

αα

αα

é ortogonal. E, determine sua inversa

(STEINBRUCH, 1987, p.411)

(13) Determinar a inversa das matrizes: A =

352

224

312

, B =

345

231

712

, C =

35

712

(14) Encontre a inversa A-1 da matriz A =

−

101

210

011

e prove que A.A-1 =I

(15) Encontre a matriz inversa pelo processo de inversão (ou triangulação), para:

(a)

−

−

112

211

111

;(b)

− 111

111

012

;(c)

−

101

111

122

;(d)

− 211

111

121

;(e)

−

−

111

111

111

;(f)

−−

−

111

110

111

Respostas: 1(a) 21; 1(b) -11; 1(c) -131 (Dica: Aplicar Laplace); 1(d) 30; 1(e) Por propriedade o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da digaonal principal ou seja, Det E =8; 1(f) 0; 1(g) 0 (Dica: Aplicar Laplace); 1(h) -7;

(2) Como P2 =

−+

−−+

+−−

22222

122122

221122

então Det P2 = 64. Note que é mais prático fazer 648.8. ==PP ; (3) − 14; (4)

Det AB =

926824

21165

1192

= AB = 0. E, como lAl=-9 e lBl=0, temos que lAl.lBl=(-9).0 = 0. Portanto lABl = lAl.lBl;

(5) x = 4

3; (6a) x = 2; (6b) x = 7; (6c) x = 0 ou x = 2 (6d) x = 2,5 ou x = − 2 (6e) x =± 1.

(7) A.B=I →

a

a

0

0 .

1

1

b

b=

10

01→ a=1 e b = 0; (8) AB-BA=

11

24.

31

42=

−

−

20

22. (a) A não é inversa de B

pois AB ≠ I. (b) A não é singular pois A não é uma matriz diagonal.

(9) A e B são inversas se A.B=I (verdadeiro) ou A.B=I →

51

42.

−

−

3/16/1

3/26/5=

10

01(provado). Ou, a partir de A,

encontre B. Vejamos: A.B=I →

51

42.

dc

ba=I

10

01 →

++

++

dbca

dbca

55

4242=

10

01. Logo

=+

=+

05

142

ca

cae

=+

=+

15

042

db

db. Resolvendo os sistemas encontramos os valores de a, b, c, d que equivale a matriz

−

−

3/16/1

3/26/5;

(10)

101

210

011

− .

111

212

211

−

−

−−

=

000

010

001

;

Álgebra Linear 45


(11) A é ortogonal porque A.At = I. Então sua inversa é A-1 = At =

αα

αα

sen - cos-

cos sen .

(12) M é ortogonal porque M.Mt = I. E, Mt =

100

0 cossen -

0sen cos

αα

αα

é inversa de M ou seja Mt = M-1.

13) A-1 =

−

−

−−

04/12/1

4/104/1

8/18/38/1

, B-1 =

−

−−

−−

66/566/111/2

22/122/911/1

66/1966/1711/1

, C-1 =

−

−

125

73; (14) A.A-1=

101

210

011

− .

111

212

211

−

−

−−

=

100

010

001

= I; 15(a)

−

−−

−

7/27/37/1

7/37/17/5

7/17/27/3

; 15(b)

−−

−

−

2/12/31

111

2/12/10

; 15(c)

−−

−

−

641

330

541

;15(d)

−

−

−−

132

011

153

;15(e)

−

−

2/102/1

02/12/1

2/12/10

; 15(f)

−

−

2/102/1

2/112/1

110

.Verificação:

=−

100

010

0011

AA

Álgebra Linear 46


5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria

amos conhecer algumas aplicações dos determinantes que, em geral, são tratados com mais formalismo nos estudos envolvendo geometria analítica.

Aplicação 1: Condição de alinhamento de 3 pontos Sejam três pontos A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3).

Eles estarão alinhados ou seja, farão parte de uma mesma reta, se

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

= 0.

Exemplo: Verifique se os pontos A(0,1), B(1,2) e C(2,3) estão alinhados.

Resolução:A, B e C estão alinhados pois 132

121

110

=0 ou seja,32

21

10

132

121

110

=0+2+3-4-0-1=0.

De fato, A, B e C estão alinhados, como se verifica na projeção geométrica →

Aplicação 2: Cálculo da área de um triângulo conhecendo os vértices

Sejam os vértices do triângulo definidos nos pontos A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3). Se eles NÃO estiverem alinhados, formarão um triângulo.

A área deste triângulo será S= D2

1 sendo D=

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

.

Exemplo: Determine a área do triângulo ABC cujos vértices são definidos em A (1,1), B(3,4) e C(5,2).

Resolução: S= D2

1 sendo D=

125

143

111

=4+5+6-20-3-2=-10.

Portanto, para S = D2

1 temos S = 5

2

1010.

2

110

2

1===− . A área do

triângulo ABC é 5 u.a. (unidade de área).

Agora, tente você! Resolva a Lista 5 de atividades.

V

Álgebra Linear 47


Lista 5 de atividades - Determinantes

1 Verifique se os pontos A(1,2), B(2,3) e C(4,5) estão alinhados.

2 Determine a área do triângulo ABC cujos vértices são A(2,3), B(1,8) e C(2,5).

3 Os pontos A(1,2), B(x’’, y’’) e C(5,-2) estão numa mesma reta. Determine os valores do ponto B, sabendo que ele está sobre o eixo x.

4 Num sistema de coordenadas cartesianas com suas unidades em cm, são localizados três pontos A(-2,3), B(3,-3) e C(6,3). Calcule em cm2 a área da figura determinada pelos pontos.

5 Dois vértices de um triângulo são (3,-5) e (-1,-3). A área do triângulo é 16 cm2. Encontre o valor da abscissa do terceiro vértice sabendo que a ordenada é 5.

6 Determine m real para que os pontos (3,1), (m,2) e (1,m+1) não estejam alinhados. 7 Verifique se os pontos estão alinhados. Em caso negativo, encontra a área do triângulo formado por ABC. (a) A(1,3), B(-1,2), C(1,4) (b) A(1,3), B(1,4), C(2,-1) (a) A(1,3), B(2,4), C(3,5)

Respostas:

1) Sim; 2) S = 1 u.a.; 3) B(3,0) 4) 24 cm2 5) x = -33 6) m≠ 1 ou m≠ 2.

7ª) Como

141

121

131

− = -2 e portanto é diferente de zero, significa que os pontos não são alinhados. Portanto, formam um

triângulo ABC cuja área é igual a 2

ABC= 1 u.a. (unidade de área)

7b) Não são alinhados e a área do triângulo ABC = 1/2 u.a. (unidade de área)

7ª) São alinhados pois o determinante é nulo então não formam um triângulo ABC.

Álgebra Linear 48


III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES

1 Equações Lineares

idéia de equação tem estreita relação com a noção de equilíbrio e a metáfora da balança é, normalmente utilizada para trabalhar esta noção. Entretanto, Lins9 (1997), afirma que essa metáfora não é oportuna para casos com valores negativos, do tipo 3x + 35 = 2. Neste caso, deve-se enfatizar que, modificada a situação, a metáfora já não resolve. Outras noções10

associadas a equações são: igualdade e variável.

Uma equação com n variáveis x1, x2,...,xn cuja combinação linear resulte em alguma constante é definida como uma equação linear.

Ou, Toda equação escrita na forma a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b é denominada equação linear, em que:

� a1, a2, ...,an são os coeficientes das variáveis � x1, x2, ..., xn são as variáveis ou incógnitas � b é o termo independente. Os valores das variáveis que transformam a equação numa identidade formam sua solução e são denominadas raízes da equação linear.

Exemplos: a) 2x1 + 3x2 - x3 = 5 é uma equação linear a três incógnitas ou três variáveis x1, x2, e x3

b) x+y+z+t=-1 é uma equação linear de quatro incógnitas ou quatro variáveis x, y, z e t.

Observações:

1) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: 5x - 3y = 0.

2) Uma equação linear não apresenta termos da forma 21x , x1 . x2, etc, isto é, cada termo da

equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. As equações 213x + 2x2 = -3 e

-4x. y + z = 2 não são lineares. 3) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou n-upla

ou ênupla (·1,·2, ..., αn), que, colocados respectivamente no lugar de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade dada.

4) Uma solução evidente da equação linear homogênea 3x + y = 0 é a dupla (0,0). Vejamos alguns exemplos de equações lineares

Exemplo 1: Dada a equação linear 4x - y + z = 2, encontrar uma de suas soluções.

Resolução: Podemos atribuir valores arbitrários à x e y e obter o valor de z. Por exemplo, se x = 2 e y = 0, temos 4.2 - 0 + z = 2. Logo z = -6

Neste caso, uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6). Mas, podemos resolver a equação isolando do lado esquerdo da igualdade, a primeira

variável e teríamos: 4x - y + z = 2 → 4x = 2 + y - z → x = 4

2 zy −+.

9 LINS, Romulo C. e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. SP, Papirus, 1997. 10 Para saber mais, acesse ao texto de OLIVEIRA http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2003/eda/pgm1.htm

A

Álgebra Linear 49


Neste caso temos como solução geral da equação Sg = {4

2 zy −+, y, z} para y e z

variáveis livres reais. Note que esta equação assume várias soluções. A variável x depende de y e z. Se y = 2 e z = 0 temos como solução, dita solução particular, a tripla ordenada (1,2,0). Se y = 0 e z = (-6) temos como Sp, (2,0,-6),....

Resposta: A solução seral da equação é Sg = {4

2 zy −+, y, z} para y, z reais. Uma solução

particular poderia ser Sp = {(0,0,2)} para y=0 e z=2.

Exemplo 2: Dada a equação 3x - 2y = 5, determinar α para que a dupla (-1, α) seja solução da equação. Resolução: Pelo enunciado do problema, sabemos que a dupla (-1, α) significa que x = (-1) e y =

α. Assim, substituindo na equação estes valores temos: 3x - 2y = 5 ⇒ 3(-1) - 2α = 5 ⇒ -3 - 2α = 5 ⇒ - 2α = 5+3 ⇒ α = -4

Resposta: O valor de α para a dupla (-1, α) seja solução da equação é α = -4

Exemplo 3: A equação linear 3x + y = - 2 admite, entre outras, as raízes x = 0 e y = -2 pois 3.0 +

(-2) = -2. Qual a solução geral: Resolução: Para encontrar a solução geral dessa equação, isolamos uma das variáveis e obtemos:

3x + y = - 2 ⇒ 3x = - 2 – y ⇒ x = 3

2 y−−∀y ∈ R.

Resposta: A solução geral da equação, indicada por S é: Sg = {(3

2 y−−, y), ∀y ∈ IR}. Note que

a equação tem infinitas soluções reais a partir do valor que atribuímos para y. Se

atribuirmos a y o valor 4, por exemplo, obtemos x = 23

6

3

42−=

−=

−−. Portanto, x = (-2)

para y = 4. Logo Sg = {(4,-2)}. Exemplo 4: Qual o valor de k, para que a 4-upla u = (3, -2, 0, 1) seja solução da equação linear

kx - y + 3z - w = 0? Resolução: Como u = (3,-2,0,1) é a solução da equação linear, temos x=3, y=-2, z=0 e w=1.

Substituindo esses valores na equação, encontramos o valor de k.

kx - y + 3z - w = 0 k.3 – (-2) + 3.0 - 1 = 0 ⇒ k.3 +2 + 0 - 1 = 0 ⇒ 3k + 1 = 0 ⇒ k = -1/3. Verificando: (-1/3).3-(-2)+3.0-1=-1+2-1=0

Resposta: O valor de k, para que a 4-upla u = (3,-2,0,1) seja solução da equação é k=-1/3.

Exemplo 5: A equação linear 2x - y + z = 1 tem qual solução?

Resolução: Se 2x – y + z = 1 ⇔ 2x = 1 – y – z ⇔ x = 2

1+−− zy para ∀y, z ∈ IR.

Resposta: A solução geral da equação é Sg = {(2

1+−− zy, y, z) para ∀y, z ∈ IR}.

Proposições: Se a equação é da forma 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b, então:

Álgebra Linear 50


(i) Se b = 0, então qualquer n-upla de escalares11 reais é solução da equação. Exemplo: 0x + 0y + 0z = 0. Neste caso, temos como solução S = {(x,y,z), ∀x, y, z ∈ R}.

(ii) Se b ≠≠≠≠ 0 então a equação linear não tem solução. Exemplo: 0x + 0y + 0z = 3 ⇒ 0x = 3 – 0y

- 0z ⇒ x=0

003 zy −−(solução impossível)

2 Sistema de Equações Lineares

2.1 Conceito

m grupo de m equações de mesmas variáveis n, mas com possíveis combinações lineares distintas forma um sistema definido como sistema de equações lineares de ordem m x n. Ou, um sistema de equações lineares é um conjunto de equações da forma

=++++

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

.......................................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

com:

� m equações � n variáveis � aij indicando os coeficientes (números reais ou complexos) das variáveis para i = (1, 2, ..., m) e j = (1, 2, 3, ..., n) � bi indicando os termos independentes ou seja, as constantes (números reais ou complexos) para i = (1, 2, ..., m). A solução ou as raízes do sistema é uma lista de números ou n-upla (x1,x2,...,xn) que representa os valores das variáveis e satisfaz simultaneamente as m equações lineares.

Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 = b2 =... = bn = 0 o sistema linear é homogêneo.

Exemplo:

=+−

=++

=−+

0325

04

02

zyx

zyx

zyx

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0 ou S = {(0,0,0)} Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial.

2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares

odo sistema de equações pode ser representado na forma de matriz, como uma matriz completa ou como uma matriz simples. Dentre as variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares.

11 Números

U

T

Álgebra Linear 51


Consideremos o sistema linear

=++++

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

.......................................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Utilizando matrizes, representamos o sistema da seguinte forma:

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

L

.

nx

x

x

M

2

1

=

nb

b

b

M

2

1

Exemplo:

Representação-padrão do sistema Representação na forma matricial

=−+

−=+−

=−+

827

1634

052

321

321

321

xxx

xxx

xxx

−

−

−

217

634

152

.

3

2

1

x

x

x

=

−

8

1

0

Note que: Também podemos transpor os coeficientes do sistema para uma matriz. Neste caso temos duas formas de representar: � Representação geral de um sistema de equações lineares como uma matriz completa (ou matriz ampliada).

� Representação de um sistema de equações lineares como uma matriz simples.

1

31

21

11

...

ma

a

a

a

2

32

22

12

...

ma

a

a

a

3

33

23

13

...

ma

a

a

a

...

...

...

...

...

mn

n

n

n

a

a

a

a

...3

2

1

mb

b

b

b

...3

2

1

1

31

21

11

...

ma

a

a

a

2

32

22

12

...

ma

a

a

a

3

33

23

13

...

ma

a

a

a

...

...

...

...

...

mn

n

n

n

a

a

a

a

...3

2

1

Lembre-se que: Numa matriz, as filas horizontais de números chamam-se linhas e as filas verticais colunas.

Matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas

Matriz coluna constituída pelas incógnitas

Matriz coluna dos termos independentes

Álgebra Linear 52


2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares

s sistemas lineares são classificados, quanto as possíveis soluções. Podem ter uma única solução, nenhuma ou diversas. Observe:

Exemplo 1:

(a) O sistema S=

=+

=+

0

1

yx

yx, não tem soluções porque não existem valores para x e y cuja

soma seja simultaneamente 1 e 0. Logo S = ∅

(b) O sistema

=+

=−

22

1

yx

yx, tem a única solução x = 0 e y = 1. Logo S = {(0,1)}

(c) O sistema

=+

=+

422

2

yx

yx, tem a solução x=-2y, para cada valor de y. Neste caso é

indeterminado, possui infinitas soluções. Sua Solução Geral SG = {(-2y,y)} para qualquer y real. Podemos encontrar várias soluções particulares. Uma delas, por exemplo, poderia ser Sp = {(-2,1)} para y = 1 ou Sp= {(-6,3)} para y = 3, etc.

Note que:

• Um sistema de equações é possível se possuir pelo menos uma solução. De outro modo é impossível. Um sistema possível também é denominado de consistente ou compatível. E, um sistema impossível também é denominado de inconsistente ou incompatível.

• Geometricamente, em R2 podemos "visualizar" estas classificações. Assim, considerando um

sistema cartesiano ortogonal R2 (x,y) e duas retas r e s definidas na forma geral por a11 x + a12 y =b1 e a21 x + a22 y =b2.

Representando-as em um sistema de equações lineares do tipo 2 x 2, temos

S =

=+

=+

22221

11211

byaxa

byaxa

O SISTEMA LINEAR

POSSÍVEL (COMPATÍVEL) Quando tem solução

IMPOSSÍVEL (INCOMPATÍVEL) Quando não tem solução

DETERMINADO Admite uma única solução

INDETERMINADO Admite infinitas soluções

Álgebra Linear 53


1. Se para algum par de retas específico obtivermos um sistema possível e determinado então encontramos um único ponto (x, y), ou seja, uma única solução que satisfaça a ambas as equações simultaneamente (as retas, geometricamente, são concorrentes12 e coincidentes neste ponto).

2.

Se para um outro par de retas tivermos um sistema classificado como possível e indeterminado, então teremos como representação geométrica da solução uma outra reta que representa todos os valores possíveis que satisfaçam as equações (as retas, geometricamente, são coincidentes13).

3.

E finalmente, se por acaso o sistema for impossível, então não há ponto que seja comum as duas retas (as retas, geometricamente, são paralelas14 - nunca se encontrarão).

Vamos analisar alguns15 exemplos! Exemplo 1: S1

=

=+

=+

32

12

yx

yx

−=−

=+≅

200

12

yx

yx

−=

=+≅

20

12

y

yx

O sistema S1 não tem solução, portanto é um sistema inconsistente ou impossível.

Retas paralelas em S1 : Sistema impossível

Exemplo 6:

S2 =

=−

=+

2

4

yx

yx

=+

=+≅

220

4

yx

yx

=

=≅

1

3

y

x

O sistema S2 tem somente a solução S = {(3,1)}, portanto é um sistema consistente e determinado.

Retas concorrentes em S2: sistema determinado e tem um ponto em comum (3,1) que é a

solução do sistema

12 Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que

formam entre si um ângulo reto. 13Retas coincidentes: Duas retas sobrepostas num mesmo plano – todos os pontos são comuns. 14 Retas paralelas: Duas retas eqüidistantes em todos os seus pontos – nenhum ponto é comuns. 15 Para saber mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm

Álgebra Linear 54


Exemplo 7: S3

=

=+

=+≅

=+

=+

000

12

224

12

yx

yx

yx

yx

−

=≅=+≅2

112

yxyx

O sistema S3 tem infinitas soluções para 0x+0y=0, portanto é um sistema consistente e indeterminado. A fórmula que representa a universalidade de soluções

possíveis é Sg={( yy

,2

1 −) para y ∈ R ou C}.

Retas coincidentes em S3: Sistema indeterminado

Assim, geometricamente, pode-se interpretar a solução de um sistema qualquer, no plano R2, onde:

1. Se o sistema é consistente e determinado, as retas se interceptam num único ponto (ponto solução do sistema);

2. Se o sistema é consistente e indeterminado, as retas são coincidentes; 3. Se o sistema é impossível ou inconsistente, as retas são paralelas.

2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares

e dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja os exemplos:

Exemplo 1: Os sistemas

=+−

=+

53

42

yx

yx e

−=−

−=+−

1

13

yx

yx são equivalentes porque tem a

mesma solução S={(1,2)} Exemplo 2: Como os sistemas admitem a mesma solução {(1,-2)}, S1 e S2 são equivalentes.

⇒

=−

−=+

42

531

yx

yx:S S = {(1,-2)} e

⇒

−=+−

=+

13

22

3

2yx

yx

:S S = {(1,-2)}

Teorema 1 Dado o sistema de equações S, obtêm-se um sistema equivalente quando se efetua as operações elementares sobre suas equações que são:

1. Permutação de duas equações; 2. Multiplicação de uma equação por um escalar k, real e não nulo; 3. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação, eventualmente multiplicada

pelo escalar k ∈ R* .

Usando as operações descritas no Teorema 1, é sempre possível construir um sistema equivalente. Assim, podemos encontrar a solução de um sistema, através da transformação sucessiva do mesmo em sistemas equivalentes, até obtermos os resultados das suas variáveis.

S

Álgebra Linear 55


Proposições

(i) As variáveis (ou incógnitas) que num sistema na forma escalonada por linhas (sistemas equivalentes), não aparecem no início de nenhuma equação, são denominadas variáveis livres.

(ii) Para determinar o número de variáveis livres de um sistema aplicamos após o processo de equivalência das linhas, a fórmula:

nº de variáveis livres = n variáveis - m equações não nulas.

(iii) Se o sistema é consistente e indeterminado podemos determinar a solução geral do sistema e soluções particulares do sistema. Para encontrar soluções particulares, atribuímos valores para as variáveis livres, que farão parte da solução geral.

2.5 Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo princípio da equivalência: Método de condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan

técnica básica para determinar as soluções de um sistema de equações lineares é o método de eliminação (de Gauss –forma escalonada) Exemplo 1: Consideremos o sistema de equações,

S1 =

=++

−=++

=++

2242

1

12

zyx

zyx

zyx

. Podemos determinar a solução do sistema pelo processo de

equivalência de sistemas ou de matriz. Vejamos: Método 1: Equivalência de sistemas - Escalonamento

S1 =

=++

−=++

=++

2242

1

12

zyx

zyx

zyx

≅

=++

=++

=++

0000

200

12

zyx

zyx

zyx

≅

=

=++

2

12

y

zyx

.

Substituindo o valor de y = 2, na 1ª equação do sistema equivalente a S1, temos:

≅

=

=++

2

12.2

y

zx≅

=

−−=

2

41

y

zx≅

=

−−=

2

3

y

zx.

Note que: � O sistema é consistente (possível) e indeterminado pois admite mais de uma solução para as suas variáveis. � O sistema apresenta uma variável livre (z). A quantidade de variáveis livres pode ser determinada pela fórmula: nº de variáveis livres = 3 – 2 = 1 (conforme proposição ii). � Podemos obter uma solução geral e soluções particulares. Solução geral: S´= {(-3-z, 2, z) ∀ z ∈ R}. Uma solução particular para o sistema: S´= {(-4,2,1)} para z = 1.

Método 2: Equivalência de matrizes

A

Álgebra Linear 56


S1 =

=++

−=++

=++

2242

1

12

zyx

zyx

zyx

A matriz completa de S1 é:

2

1

1

4

1

2

2

1

1

+

−

+

2

1

1

Vamos transformar a matriz completa de S em matrizes equivalentes aplicando a operações elementares citadas no Teorema 1:

2

1

1

4

1

2

2

1

1

+

−

+

2

1

1

≅

0

0

1

0

1

2

0

0

1

0

2

1

Para encontrar a 2ª matriz, aplicamos na 1ª as

operações: L2 = L2 – L1 e L3 = L3 – 2L1 .

A matriz equivalente encontrada corresponde ao sistema S1=

=

=++

2

12

y

zyx ⇔y=2.

Substituindo o valor encontrado para y na 1ª equação do sistema equivalente a S temos: x+2y+z =1⇔ x+2.2+z =1⇔ x = -3-z. O sistema é possível e indeterminado com uma solução geral S´= {(-3-z, 2, z) ∀ z ∈ R} e uma solução particular S´= {(-3,2,0)} para z = 0.

Observe outros exemplos: Exemplo 2: No sistema abaixo, vamos reduzir na forma escalonada, aplicando as operações convenientes:

+−=→=++

+−=→=−+

+−=→=++

=−+

414

313

212

222262

213452

113

432

LLLzyx

LLLzyx

LLLzyx

zyx

~

+−=→=+

+−=→=+

=+

=−+

424

323

21482

52

74

432

LLLzy

LLLzy

zy

zyx

~

−=−

=+

=−+

22

74

432

z

zy

zyx

Note que o sistema na forma escalonada apresenta 3 equações não nulas nas três variáveis, então o sistema é consistente de solução única. Onde: Por L3, temos 2z = 2 ⇒ z = 1; Por L2, temos y = 3 e, por L1, temos: x = 1 Logo, a 3–upla (1, 3, 1) é a única solução do sistema. Ou S = {(1,3,1)}

Exemplo 3: Considere o sistema:

→=−++

→=+−+

→=+−+

3

2

1

52333

4223

1322

Lwzyx

Lwzyx

Lwzyx

1º) Aplicando a operação L2 = -3L1 + 2L3 e, em seguida também L3 = -3L1 + 2L3

→=−+

→=−+

→=+−+

3

2

1

713123

554

1322

Lwzy

Lwzy

Lwzyx

2º) Aplicando a operação L3 = -3L2 + L3 teremos

−=

=−+

=+−+

82

554

1322

w

wzy

wzyx

variável livre

O sistema na forma escalonada apresenta o número de equações não nulas inferior ao número de incógnitas, logo o sistema terá várias soluções.

Observação: Chamamos variável livre a variável que no sistema na forma escalonada não inicia nenhuma equação. No exemplo a variável z não inicia em nenhuma das três equações do sistema. Logo é a variável livre.

Álgebra Linear 57


Solução geral: 2w = -8 portanto w = -4. Substituindo o valor encontrado para w na equação anterior temos:

y + 4z – 5 w = 5 → y + 4z – 5.(-4) = 5 → y = 5 – 4z – 20→ y = - 4z – 15. Substituindo na primeira equação os valores de w e y encontrados, temos, 2x+y-2z+3w =1→ 2x+(-4z-15)–2z+3.(-4)=1 →2x=1+4z+15–2z+12→x = 3z + 14. Solução Geral: Sg = {(x, y, z, w)} = {(14+ 3z, -15 - 4z, z, -4)}, para z real Solução Particular: Se z = 1 então S = (17,-19,1,-4)

Exemplo 4: Resolva o seguinte sistema, reduzindo-o a forma escalonada:

+−=→=+−+

+−=→=+−+

=+−+

313

212

512118105

254342

2322

LLLwzyx

LLLwzyx

wzyx

~

+−=→=−

=−

=+−+

323 2242..............

12...............

2422

LLLwz

wz

wzyx

~

=

=−

=+−+

00..........................

12.................

2322

wz

wzyx

O sistema na forma escalonada apresenta 2 equações não nulas nas 4 variáveis, logo o sistema é consistente com várias soluções. Neste caso há duas variáveis livres y e w (elas não aparecem no começo de nenhuma equação), e, portanto, uma solução particular pode se obtida dando a y e a w quaisquer valores. Fazendo y = 1 e w = 0, obteremos z = 1 e x = 2 ⇒ Sp = (2, 1, 1, 0). A solução geral será obtida, calculando os valores de x e z em função das variáveis livres y e w. Assim, temos z = 1 + 2w . Substituindo o valor de z na primeira equação do sistema, temos: x + 2y – 2z + 3w = 2 x = 2 – 2y + 2( 1 + 2w ) + 3w x = 2 – 2y + 2 + 4w + 3w x = 4 – 2y + 7w Logo, a solução geral é S = {(4 – 2y + 7w, y, 1 + 2w, w)} para y e w reais. Podemos encontrar uma solução particular, atribuindo valores as variáveis livres y e w. Por exemplo, fazendo y = 0 e w = 1 temos como solução particular S = {(11,0,3,1)}.

Exemplo 5: Seja o sistema S, definido em:

Álgebra Linear 58


S =

=++

=++−

=−+

222

12

03

zyx

zyx

zyx

escalonando temos:

=++

=−+

=+++−

222

03

12

zyx

zyx

zyx

~

=

=+

=++−

10

354

12

zy

zyx

. O sistema na

forma escalonada apresenta a equação 0 = 1 que é inconsistente (falso). Portanto o sistema é impossível e temos então S = ∅

2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer

Para saber mais: APLICAÇÃO DE DETERMINANTE às equações lineares: Regra de Cramer De uso restrito, a regra de Cramer é utilizada, em geral, para resolver sistemas com 2 ou 3 equações e com 2 ou 3 variáveis. Acima disso, torna-se um processo extenso e trabalhos (praticamente inaplicável). Supondo como exemplo, um sistema com três variáveis, x, y, e z. Para resolver o sistema pela Regra de Cramer, devemos:

1. Encontrar o determinante D = ∆ da matriz dos coeficientes x, y e z; 2. Calcular o determinante Dx = ∆x da matriz que se obtém, substituindo a coluna dos

coeficientes de x pela coluna dos termos independentes;

3. Determinar os valores das variáveis x, y e z pela fórmula x = ∆

∆x, y =

∆

∆y e z =

∆

∆z.

Seja o sistema W:

=++++

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

.......................................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

(1) ∆ equivale ao determinante de uma matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema W

(2) ∆x equivale ao determinante de uma matriz Ax, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.

∆= Det A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

L

21

22221

11211

∆x = Det Ax1 =

mnmn

n

n

aab

aab

aab

L

MMM

L

L

2

2222

1121

(3) De maneira análoga a ∆x podemos determinar ∆y e ∆z

∆y=Det Ax2=

mnnm

n

n

aba

aba

aba

L

MMM

L

L

1

2221

1111

e ∆z=Det Axn =

nmm baa

baa

baa

L

MMM

L

L

21

22221

11211

(4) Pela regra de Cramer x1 =x= ∆

∆x=

A

Ax

det

det 1

x2 = y= ∆

∆y=

A

Ax

det

det 2 e z = ∆

∆z.

Generalizando, pela regra de Cramer, xn = A

Axn

det

det

Álgebra Linear 59


Exemplo 1: Resolva o sistema S, aplicando Cramer.

S =

=++

=++

−=−−

223

12

4

zyx

zyx

zyx

.

Resolução: Temos ∆=

123

112

111 −−

, ∆x =

122

111

114 −−−

, ∆y =

123

112

141 −−

,∆z =

223

112

411 −−

.

Resolvendo os determinantes, encontramos: ∆ = 1-3-4+3-2+2, ∆x =-4-2-2+2+1+8, ∆y = 1-12-4+3-2+8 e ∆z = 2-3-16+12+4-2. ∆ = -3, ∆x = 3, ∆y = -6 e ∆z = -3.

Logo: x = 13

3−=

−=

∆

∆x, y = 2

3

6=

−

−=

∆

∆y e z = 1

3

3=

−

−=

∆

∆z.

A solução do sistema é S´= {(-1,2,1)}.

3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução

omo já vimos, os sistemas formados por equações lineares cujos termos independentes são todos iguais a zero (bi = 0) são denominados de sistemas homogêneos. Neste caso, todas as constantes b1,b2,...,bm do sistema são nulas.

Todo sistema homogêneo é consistente (ou possível), pois sempre admite solução. Neste caso, temos duas possibilidades de solução:

• O sistema de m equações e n incógnitas é consistente e determinado e tem somente a solução trivial (0,0,...,0) quando m = n ou seja, quando o número de m equações do sistema equivalente, na forma escada, é igual ao número de variáveis n do sistema.

• O sistema de m equações e n incógnitas é consistente e indeterminado isto é, tem também soluções não nulas, quando m <<<< n ou seja, quando o sistema tem mais variáveis n do que equações m.

Seja o sistema homogêneo S =

=+++

=+++

=+++

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

L

L

L

L

.

O sistema S sempre terá pelo menos uma solução, a n–upla (0, 0, ..., 0) chamada solução zero ou trivial. Qualquer outra solução é chamada não-nula ou não–trivial. Assim, em todo sistema homogêneo temos duas possibilidades de resposta:

1ª) quando o número de equações do sistema na forma escalonada for igual ao número de incógnitas, dizemos que o sistema tem somente solução zero ou trivial.

2ª) quando o número de equações do sistema na forma escalonada for menor que o número de incógnitas, dizemos que o sistema tem solução não nula.

Exemplo 1: Encontre a solução dos sistemas S1=

=++

=−+

=−+

0223

042

0

zyx

zyx

zyx

e S2 =

=+−

=+−

=−+

024

032

0

zyx

zyx

zyx

C

Álgebra Linear 60


Resolução: S1=

=++

=−+

=−+

0223

042

0

zyx

zyx

zyx

⇒

=+−

=+

=−+

05

02

0

zy

zy

zyx

⇒

=

=+

=−+

011

02

0

z

zy

zyx

⇒ x = 0, y = 0 e z = 0

Note que o sistema na forma escalonada, apresenta número de equações igual ao número de incógnitas, logo o sistema possui solução única, isto é, trivial. Logo, S = (0,0,0).

Resolução: S2=

=+−

=+−

=−+

024

032

0

zyx

zyx

zyx

⇒

=+−

=+−

=−+

035

035

0

zy

zy

zyx

⇒

=

=+−

=−+

00

035

0

zy

zyx

. Observe que o sistema na forma

escalonada apresenta duas equações não nulas e três incógnitas, x, y e z. Logo o sistema possui

várias soluções. A variável livre é z. Solução Geral: -5y+3z=0 ⇒ y=5

3z e x= z

z+

−

5

3⇒ x =

5

2z.

Logo SG = ( zzz

,5

3,

5

2), para z real; Solução Particular: Para z = 1 temos SP = ( 1

5

3

5

2,, )

AAAgggooorrraaa,,, ééé cccooommm vvvooocccêêê!!! Resolva a lista 6 de Atividades

Álgebra Linear 61


Lista 6 de atividades – Parte I

1) Ache as duas soluções da equação: -x1 + 2

1x2 = 0.

2) Determine m para que (-1,1,-2) seja solução da equação mx + y - 2z = 6

3) Dada a equação 122

−=+yx

, ache α para que (α,α+1) torne a sentença verdadeira.

4) Determine duas soluções da equação x + 2y - z = 0.

5) Seja o sistema S:

−−++−

=+−

=−+

2

52

032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

. (a)Verifique se (2,-1,1) é solução se S. (b) Verifique se

(0,0,0) é solução se S.

6) Seja o sistema:

+=−

−=+

32

93 2

kyx

Kyx , calcule k para que o sistema seja homogêneo

7) Verifique se os sistemas S1

=+

=−

7

52

yx

yx e S2

=−

=+−

93

115

yx

yx são equivalentes.

8) Calcular m e n de modo que os sistemas

=+

=−

52

1

yx

yx e

=+

−=−

2

1

mynx

nymxsejam equivalentes.

9) Expresse matricialmente os sistemas: a)

=−

=+

03

52

yx

yx e b)

=−+−

=+

−=++

253

0

12

cba

ca

cba

.

10) A expressão matricial de um sistema S é:

−

13

52.

b

a =

−

7

4. Determine as equações de S.

Lista 6 de atividades - Parte II

1 Encontre o conjunto solução. Classifique os sistemas a partir da solução, justificando sua resposta.

a) S1=

=++

=++

−=−−

223

12

4

zyx

zyx

zyx

b) S2=

=+−−

−=+−

−=+−

1322

432

742

zyx

zyx

zyx

c) S3=

−=++

=+−

=++

122

22

02

zyx

zyx

zyx

d) S4=

−=−+

−=++

=+−

4323

2232

4

zyx

zyx

zyx

(e) S5=

=−+−

=−+

=−+

32

432

3

zyx

zyx

zyx

(f) S6=

=+++−

=+−+

=−++

=+++

72

22

12

6

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

Álgebra Linear 62


(g) S7=

=+

=++−

−=−+

=++−

1

2

2

1

tz

tyx

tzy

tzyx

(h) S8=

=+

=+

=+

333

232

1

yx

yx

yx

(i) S9=

=++

−=−−

=++

2

1

6

zyx

zyx

zyx

(j) S10=

=+−

=−−

=++

13423

0

2

zyx

zyx

zyx

(k) S11=

=−+−−

−=+−−

=−++

6232

43

42

wzyx

wzyx

wzyx

(l) S12=

=+−

−=−−−

=++

2

6

6

zyx

zyx

zyx

2 Resolva os sistemas pela Regra de Cramer:

a)

=−+

=+−

=−+

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

(b)

=++

=+−

=+−

6

32

32

cba

cba

cba

3 Determine se cada sistema tem solução não-nula. Classificar e resolver os sistemas homogêneos, justificando a resposta. Se for indeterminado, encontre a solução geral e uma solução particular.

a)

=+++

=+−−

=−+−

0w2z5y3x4

0w4z2y7x3

0w2z3y2x

b)

=++

=++

=++

=−+

0z3y3x

0z7y4x

0z2y5x2

0zy2x

c)

=−−

=++

=−+

0z4yx3

0z2y5x2

0z3y2x

d)

=++

=+−

02

023

zyx

zyx

e)

=−+−

=+−

0422

02

zyx

zyx

f)

=++−

=−+−

=+−−

=−+−

0

03

023

032

zyx

wzyx

wzyx

wzyx

g)

=+−−

=+−+−

=+−+−

=+−

02

022

02

0

tzyx

twyx

twzyx

tyx

4 Encontre a solução dos sistemas determinados.

a)

=++

=+−

=+−

3

22

1

zyx

zyx

zyx

b)

=++

=+−

=+−

3

22

1

zyx

zyx

zyx

c)

=++

=−−

=+−

1

22

3

zyx

zyx

zyx

5 Escalone, classifique e resolva os sistemas

a)

=+−

=−+

=+−

22

0423

52

zyz

zyx

zyx

b)

=+−

=++

=+−

223

12

32

zyx

zyx

zyx

c)

−=++−

−=+−+

=−++

322

122

6

tzyx

tzyx

tzyx

6 Classifique, justificando sua resposta e resolva os sistemas homogêneos e não-homogêneos de equações lineares. Se o sistema for consistente e indeterminado, encontre a solução geral e uma particular.

Álgebra Linear 63


a)

=+−

=−+

023

02

zyx

zyx

b)

=++

=+−

=+−

2

13

032

zyx

zyx

zyx

c)

=+−

=+−

=−+

02

03

025

zyx

zyx

zyx

d)

=++

=−−−

=++

6363

4242

22

zyx

zyx

zyx

7 Mostre, algébrica e geometricamente, que o sistema S1 é consistente e indeterminado e o sistema

S2 é inconsistente para: S1=

=−

=−

=−

21

2

224

12

yx

yx

yx

e S2=

=+

=−

=+

22

0

2

yx

yx

yx

.

8 Classifique e resolva os sistemas de equações lineares. Se o sistema for consistente e indeterminado, encontre a solução geral e uma particular.

(a) S1=

=++

=++

=+−

=+−

43

6

0234

1132

zyx

zyx

zyx

zyx

(b) S2=

−=+−+

−=+−++

=−+++

123

25262

147323

tzyx

twzyx

twzyx

9 Verifique se os sistemas homogêneos têm solução não nula, justificando sua resposta.

a) S1=

=+−

=+−

=−+

0223

032

023

zyx

zyx

zyx

b) S2=

=+−

=+−

=−+

0423

088

023

zyx

zyx

zyx

c) S3=

=+−

=+−

=−+

02

023

02

zyx

zyx

zyx

d) S3=

=+−

=+−

=−+

02

03

025

zyx

zyx

zyx

10 Mostre, algébrica e geometricamente, que o sistema formado pelas equações 2x - y = 1, x - y/2 = ½ e 4x - 2y = 2, é consistente e indeterminado.

11 O sistema homogêneo formado pelas equações x + 3y - 2z = 0, 2x + 3y + z = 0 e 3x - 2y + 2z = 0 tem solução não nula? Justifique.

12 Classifique e resolva os sistemas de equações lineares. Se o sistema for consistente e indeterminado, encontre a solução geral e uma particular.

(a) S1=

=++

=++

=+−

=+−

53

3

8234

832

zyx

zyx

zyx

zyx

(b) S2=

=+−+

=+−++

=−+++

523

125262

27323

tzyx

twzyx

twzyx

13 Encontre a solução algébrica e geométrica dos sistemas:

A=

−=−

=+

132

2

yx

yx B=

=+

=+

422

2

yx

yx C=

=+

=+

3

2

yx

yx D=

=−

=+

032

0

yx

yx E=

=+

=+

022

0

yx

yx F=

=+

=+

0

0

yx

yx

Respostas da Lista de Atividade Parte I

(1) S = {( 2y

, y)}, y ∈ IR (2) m = -1 (3) α = 23− (4) S = {(-2y+z, y, z)}, y,z ∈ IR (5ª) Sim (5b) Não

(6) k = -3 (7) Sim. S = {(4, 3)} (8) Os sistemas são equivalentes para m = 0 e n = 1. S= {(2, 1)}

(9a)

− 31

12 .

y

x =

0

5 (9b)

−− 153

101

112

.

z

y

x

=

−

2

0

1

(10)

=+

−=−

73

452

ba

ba

Respostas da Lista de Atividade 6-Parte II

Álgebra Linear 64


(1a) S = {(-1,2,1)} (1b) S = {(-5,15,7)} (1c) S = {( 31 ,-1, 3

1 )} (1d) S = {(1,-2,1)} (1e) S = {(1,2,0)} (1f) S

= {(0,1,2,3)} (1g) S = {( 58,5

3,51,3

1− )} (1h) S = {(1,0)} (1i) Impossível (1j) S = {(1,-1,2)} (1k) S =

{(0,5

)72(2,

5

6 ++ ww,w)}, w ∈ IR. OBS: Se optar por transformar z em variável livre, a resposta é Sg = {(0, ½+z/4, z,

-7/2+5z/4)} para z real. (1l) S = {(4-z,2,z)} z ∈ IR; Sistema Não-homogêneo Consistente e Determinado 1ª, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f, 1g, 1h, 1j; Sistema Não-homogêneo Consistente e Indeterminado 1k, 1l; Sistema Não-homogêneo Inconsistente 1i

2 (a) S = {(1,2,3)}; (b) S = {(5

9,

5

12,

5

9)}; (3a) S = {( wwww ,16

15,165,16

23 )} w ∈ IR. Sistema Homogêneo

Consistente e Indeterminado. Sp = {(23,5,15,16)} para w = 16; (3b) S = {(9z,-4z,z)} z ∈ IR. Sistema Homogêneo Consistente e Indeterminado. Sp = {(9, -4, 1)} para z = 1; (3c) S = {(0,0,0)}. Sistema Homogêneo Consistente e

Determinado; (3d) S ={( zzz

,15,2

5−

+−)} z ∈ IR. Sistema Homogêneo Consistente e Indeterminado. Sp = {(0, -10, 5)}

para z=5; (3e) S = {(y-2z, y, z)} para y, z ∈ IR. Sistema Homogêneo Consistente e Indeterminado. Sp = {(1, 1, 0)} p/y=1

e z = 0; (3f) S = {(0,0,0,0)}. Sistema Homogêneo Consistente e Determinado; (3g) S ={(8

,,2

,8

5,

2

ww

www−}, w ∈ IR

ou S ={(- ttttt ,8,4,5,4 } para t real. Sistema Homogêneo Consistente e Indeterminado. Sp = {(-4,5,4,8,1)} para w = 8.

4) a) S = {(1,1,1,)}; b) S = {(-3/2, -3,5/2)}; S = {1,-1,1)}.

5ª) SPD e S= {(2,1,2)}; 5b) SI e S= { }; 5c) SPI e Sg= )},2

5,3,

2

1{( t

tt

t ++

−para todo t real. Sp = {(0,4,3,1)} para t=1;

6a) SPI e Sg= )},7

5,

7

3{( z

zz−para z real. Sp = {(-3,5,7)} para z=7; 6b) SPD. S = {(4/5,13/10,-1/10)};

8a) SPD.S = {(-1,2,5)}; 8b) SPI e Sg= {(1-3y-7,y,2+t,3+2t,t)} para todo y e t real. Sp = {(-1,1,1,1,-1)} para y=1 e t=-1;

9ª, 9c,9d) SPD e S= {(0,0,0)}; 9b) SPI e Sg= )},11

10,

11

8{( z

zz−para todo z real. Sp = {(-8,10,11)} para z=11;

Álgebra Linear 65


4 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio

iscutir o sistema é saber se ele é possível (ou consistente) ou impossível (ou inconsistente). Se ele for possível de solução, pode determinado ou indeterminado. Com o mesmo procedimento de equivalência de sistemas, podemos resolver outro tipo de problema, como a classificação de um dado sistema, que dependa de parâmetros.

Exemplo 1: Discutir os valores de k no sistema abaixo:

=++

=+−

=−+

kzyx

zyx

zyx

23

332

42

⇒

+−=+−

−=+−

=−+

kzy

zy

zyx

1255

555

42

⇒

+−=

−=+−

=−+

k

zy

zyx

1250

555

42

Discussão: 0 = 5 - 12 + k ⇒ K = 7 i) Se K = 7 o sistema possui várias soluções, é indeterminado. A variável livre é z. ii) Se K ≠ 7 o sistema é impossível (ou inconsistente ou incompatível), sem solução.

Exemplo 2: Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) uma única solução; (ii) mais de uma solução; (iii) nenhuma solução.

+−=→=++

+−=→=++

=−+

313

212

23

2332

1

LLLzayx

LLLazyx

zyx

~

+−=→=+−

=++

=−+

323 )1(14)1(

1)2(......

1

LLaLzya

zay

zyx

~

−=−+

=++

=−+

azaa

zay

zyx

2)2)(3(

1)2(

1

Discussão: O sistema na forma escalonada tem a equação (3+a)(2-a)z=2–a, portanto: (i) Para o sistema ter uma solução única, é necessário que o coeficiente de z seja diferente de zero, ou seja, (3 + a) (2 - a) ≠ 0, logo, a ≠ -3 e a ≠ 2. (ii) Para a = 2, a terceira equação é 0 = 0 e o sistema tem várias soluções. (iii) No caso de a = -3, a terceira equação é 0 = 5 e o sistema não tem solução.

Exemplo 3: Dado o sistema16 de equações S vamos discutir a sua natureza, em função dos

parâmetros reais k para S =

=++

=−++

=++

042

1)1(

1

kzyx

zkyx

zkyx

Resolução: Resolvendo pelo método de condensação ou de eliminação de Gauss, temos:

2

1

1

4

1

k

k

k 1

1

−

0

1

1

≅

0

0

1

k

k

k

24

1

−

−

k

k

+−

+−

2

2

1

− 2

0

1

≅

0

0

1

0

1 k

k

−

65

2

1

2−+−

+−

kk

k

− )1(2

0

1

k

.

A representação matricial do sistema na forma escalonada, mostra a necessidade de análise para os parâmetros de k e t em: � Para 1 – k = 0 ⇒ k=1. � Para k2-5k+6 = 0 ⇒ k = 2 ou k = 3. Assim, nossa análise será feita sobre essas igualdades, e k ≠ 1, k ≠ 2 e k ≠ 3. Aplicando o resultado da matriz equivalente encontrada na forma de sistema, obtemos:

−=−+−

=+−+−

=++

).1(2)65(

0)2()1(

1

2kzkk

zkyk

zkyx

Analisando a partir da última equação do sistema, temos:

16 PINTO (1997:13)

D

Álgebra Linear 66


(a) Para 2)2(2)65( 2 −+−=−+− ktzkk ⇒ z = 65

2)2(22

−+−

−+−

kk

kt.

As possíveis respostas para z, dependem dos valores de k . Vejamos: � Se k = 2 ou k = 3 não existe solução para z, então o sistema é impossível. � Se k ≠ 2 ou k ≠ 3 existe solução determinada para z, então o sistema é possível e determinado.

(b) Para 0)2()1( =+−+− zkyk temos y = k

zk

−

+−

1

)2(.

As possíveis respostas para y, dependem dos valores de k . Vejamos: � Se k = 1 não existe solução para y então o sistema é impossível. � Se k ≠ 1, k tem solução se k ≠ 2 ou k ≠ 3. Neste caso o sistema possível e determinado. Resumindo: O sistema é impossível para k = 1, k = 2 ou k = 3. O sistema é possível e determinado para k ≠ 2 ou k ≠ 3 .

AAAgggooorrraaa,,, ééé cccooommm vvvooocccêêê!!! Resolva a lista 7 de Atividades

Lista 7 de atividades

1 Encontre o valor real de “a”, para que o sistema S admita solução, sendo S =

=−

=−

=+

ayx

yx

yx

2

045

234

2 Encontre o valor real de k, para que o sistema S de equações admita solução:

=−

=−

=+−

kyx

yx

yx

2

045

234

3 Determine o valor de k, para que (5,k-1,3k+2) seja solução da equação linear x -2y + z = 7.

4 Considere o sistema S de equações

=+++−

=+++

=++

tzykx

zykx

zykx

2)2(2

1)1(

0

Discuta-o, em função dos parâmetros reais k e t Resolva-o, pela regra de Cramer, tomando k=1 e t = 0. Respostas: 2) k=-6; 3) k=-2

Álgebra Linear 67


APÊNDICE A

Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica.

Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa

1 Encontrando a Matriz de Co-fatores

O Cofator de um elemento aij de uma matriz A indicado por Cof (A) ou C, se define como

ij

ji

ij Mc +−= )1( sendo |Mij| o MENOR complementar do elemento aij da matriz A.

Note que: Se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de uma matriz A forem suprimidas, o determinante da submatriz resultante se chama o MENOR do elemento aij e é indicado por |Mij|. Encontrando todos os cofatores dos elementos aij da matriz, obtemos a matriz de cofatores de A (Cof A).

Exemplo:

Se

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A então o MENOR de a11 é 11M =3332

2322

aa

aa=

= 32233322 aaaa −

Ou: Menores e co-fatores (definição): Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 sobre um corpo K. Seja Aij a sub matriz de A obtida suprimindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O menor do elemento aij de A é o determinante da sub matriz Aij, indicado por Mij. O co-fator do elemento aij de A é o produto de (-1)i+j pelo menor de aij, indicado por Cij = (-1)

i+j . Mij. Assim, pelo Teorema de Laplace, podemos encontrar o determinante de uma matriz fazendo: det A = a11 |M11 | - a12 |M12 |+ a13 |M13 | ou det A = a11 . C11 + a12 .C12 + a13 . C13 sendo onde Mij a sub matriz encontrada da matriz inicial A, de onde foram retiradas a i-ésima linha e a j-ésima coluna e Cij é o cofator dos elementos de A.

Assim, det A = a11 11M - a12 12M + a13 13M

det A = a11 32

22

a

a

33

23

a

a - a12

31

21

a

a

33

23

a

a + a13

31

21

a

a

32

22

a

a

det A = a11 (a22 a33 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)

Exemplo 1: Seja A =

−

−

317

132

101

. A matriz dos cofatores dos elementos de A é definda em:

C11 = (-1)1+1 .

31

13 −=1.(9+1) = 1.10 = 10. C12=(-1)

1+2.37

12 −=(-1).(6+7)=(-1).(13)=-13

C13 =(-1)1+3 .

17

32=1.(2-21) = 1.(-19)= -19. C21 = (-1)

2+1 . 31

10=(-1).(0-1)=(-1).(-1)= 1.

C22 = (-1)2+2 .

37

11−=1.(-3-7)=1.(-10)= -10. C23 = (-1)

2+3. 17

01−=(-1).(-1-0)=(-1).(-1)= 1

Álgebra Linear 68


Idem para C31 = -3; C32 = -1; C31 = -3.

Temos então a matriz de cofatores de A, definida em Cof (A)3x3 =

−−−

−

−−

313

1101

191310

Aplicando os Teoremas de Laplace temos: det A = a11 . C11 + a12 .C12 + a13 . C13 ⇔ Det A = (-1). 10 + 0.(-13) + 1.(-19) = -29

Proposições:

• O determinante I M ij I é denominado menor complementar de aij

• Denomina-se Cofator de aij ao número Cij = (-1)i + j . Mij .

Pode-se desenvolver um determinante de ordem n > 3 pelo procedimento de Laplace.

2 Encontrando a Matriz Adjunta Clássica

onsideremos uma matriz quadrada de ordem n, A = (aij ) sobre um corpo K. Denominamos de matriz Adjunta Clássica de A a transposta da matriz dos cofatores (Cof A) dos elementos aij de A, representada por Adj A.

A=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

L

→ Cof A=

mn2m1m

n22221

n11211

CCC

CCC

CCC

L

MMM

L

L

→ Adj A= (CofA)t=

mnnn

m

m

CCC

CCC

CCC

L

MMM

L

L

21

22212

12111

Lembre-se que: O cofator do elemento aij de uma matriz A, indicado por C, se define como

ij

ji

ij Mc +−= )1( . Para |Mij| o menor complementar de um elemento da matriz.

Encontrando todos os cofatores dos elementos aij da matriz, obtemos a matriz de cofatores de A (Cof A).

A Matriz Adjunta de uma matriz A, indicada por (Adj A) é a transposta da matriz de cofatores, isto é Adj A = (Cof A)t.

Exemplo 1: Encontrar a matriz adjunta de uma matriz A.

Resolução: Para obter a adjunta de uma matriz quadrada A, inicialmente, formamos a matriz dos cofatores dos elementos aij de A. Vimos que, por definição, o cofator de aij é o produto de (-1)i+j pelo determinante da submatriz de A que obtemos removendo a linha e a coluna que passam por aij. Formada a matriz dos cofatores, a sua transposta será a matriz adjunta.

Assim, se A =

− 011

012

101

então a sua matriz de cofatores é:

C

Álgebra Linear 69


Cof A =

−=−=−=

−−=

−−=−=

−−=

−−=−=

+++

+++

+++

12

01.)1(

02

11.)1(

01

10.)1(

11

01.)1(

01

11.)1(

01

10.)1(

11

12.)1(

01

02.)1(

01

01.)1(

3333

2332

1331

322322

2212

21

311321

1211

11

ccc

ccc

ccc

=

−

−

121

111

300

Transpondo a matriz dos cofatores, obtemos a adjunta de A ou Adj A =

−

−

113

210

110

= Ct

Saiba Mais:

A primeira impressão quando nos deparamos com a definição de adjunta é, em geral, estranha. Qual o sentido de formar uma matriz por meio de tantos artifícios? A idéia de formar uma adjunta surge naturalmente quando se toma conhecimento de dois resultados clássicos sobre determinantes: Os teoremas de Laplace e Cauchy.

1º: Teorema (elementar) de Laplace. A soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) por seus respectivos cofatores é o determinante da matriz.

2º: Teorema de Cauchy. A soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela é igual a zero. Observe:

No Ex.1 a matriz A =

− 011

012

101

tem com matriz de cofatores C=

−

−

121

111

300

. Se

formarmos a soma dos produtos dos elementos da primeira linha pelos seus respectivos cofatores, o resultado será o determinante ou seja, pelo Teorema de Laplace, o determinante de A, indicado Det A = a11.c11 + a12.c12+ a13.c13 = 1.0+0.1+1.3 = 3

Isto vale para qualquer linha ou coluna, isto é, para qualquer fila. É o famoso desenvolvimento por cofatores de um determinante.

Igualmente, verificamos o Teorema de Cauchy: Somando os produtos dos elementos da primeira linha pelos cofatores dos elementos de outra linha é zero. Assim, multiplicando os elementos da 1ª linha de A pelos cofatores dos elementos da 2ª linha e somando os produtos, obtemos:

Verificando: 1ª linha de A x 2ª linha de C = 1.1+0.1+1.(-1) = 1 + 0 – 1 = 0. 1ª linha de A x 3ª linha de C = = 1.-1+0.-1+1.(1) = -1 + 0 +1 1 = 0. Você pode verificar com as outras linhas e colunas. Os teoremas de Laplace e Cauchy podem ser integrados numa única definição: “Se A é uma matriz quadrada de ordem n então A. Adj A = Det A . In sendo In a matriz identidade de ordem n”. Note que, para toda matriz quadrada, A. Adj A = Adj A . A ou seja, uma matriz e sua adjunta comutam.

Álgebra Linear 70


Exemplo 2:

Seja A =

−

−

317

132

101

. A matriz dos cofatores de A é definda em Cof (A)3x3 =

−−−

−

−−

313

1101

191310

.

Aplicando os Teoremas de Laplace ou Cauchy, podemos fazer a verificação se os resultados encontrados estão corretos. A partir da matriz de cofatores de A, encontramos a matriz Adjunta Clássica de A:

Adj (A)3x3 =

−−

−−−

−

3119

11013

3110

Proposição: Para toda e qualquer matriz quadrada A temos que, A

x (Adj A) = (Adj A) x A = (det A) x I.

3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante

imos que, uma matriz quadrada A, de ordem n tem inversa A-1 se (A.A-1)=(A-1.A)=I, sendo I matriz identidade de ordem n. Decorre da definição algumas proposições. As proposições relacionadas ao determinante são:

� Se A tem inversa, então det A ≠ 0 e det A-1 = 1/det A

� Se A é uma matriz inversível, n × n, com n ≥ 2, então: A–1 = Adet

1. Adj A

Exemplo: Encontre a matriz inversa da Matriz A =

−

−

−

511

240

432

, pelo conceito aplicado a

determinante e adjunta clássica (Adj A). Resolução:

a) Ache o determinante de A; b) Substitua cada elemento aij de A por seu cofator para obter a (Cof A); c) Obtenha a transposta da Matriz (Cof A) = (Adj A); d) Divida cada elemento da matriz adjunta por |A|.

� Determinante de A → det A = [2.(-4).5]+[3.2.1]+[(-4).0.(-1)]-[(-4).(-4).1]-[2.(-1).2]-[5.0.3] = -40 + 6 + 0 – 16 + 4 – 0 = -46. Como det A ≠ 0 então A tem inversa.

� Matriz de cofator de A ou (Cof A) =

−−

−

−

8410

51411

4218

. Verifique por Laplace que a matriz

encontrada está correta.

� Transposta da Matriz (Cof A) = (Adj A) =

−

−−−

854

4142

101118

V

Álgebra Linear 71


� Divisão de cada elemento da matriz adjunta por |A| ou seja A–1 = Adet

1. Adj A

A–1 = 46

1

−

−

−−−

854

4142

101118

. Portanto A–1 =

−−−

−−

23/446/523/2

23/223/723/1

23/546/1123/9

.

Verifique que A. A-1 = I

Resolva a Lista De atividades

Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica

1 Dadas as matrizes A =

120

111

011

e B =

111

013

221

, encontre (a) Adj A; (b) Adj B

2 Determinar a inversa das matrizes: A =

352

224

312

, B =

345

231

712

, C =

35

712

3 Encontre a inversa A-1 da matriz A =

−

101

210

011

e prove que A.A-1 =I

4 Considere a matriz A =

312

475

321

: (a) Encontre o determinante de A; (b) Determine a matriz de cofatores de

A; (c) Encontre a matriz Adjunta de A; (d) Calcule a matriz inversa de A. 5. Encontre a matriz inversa pelo processo de inversão (ou triangulação), para:

(a)

−

−

112

211

111

;(b)

− 111

111

012

;(c)

−

101

111

122

;(d)

− 211

111

121

;(e)

−

−

111

111

111

;(f)

−−

−

111

110

111

Respostas: 1) Adj A=

−

−−

−−

022

111

111

=(Cij)t ; Adj B =

−

−−

−

512

613

201

; 2) A-1 =

−

−

−−

04/12/1

4/104/1

8/18/38/1

, B-1

=

−

−−

−−

66/566/111/2

22/122/911/1

66/1966/1711/1

, C-1 =

−

−

125

73; (3) A.A-1=

101

210

011

− .

111

212

211

−

−

−−

=

100

010

001

= I; (4) a)

Determinante de A = Det(A) = |A| = -24; 4b) Matriz Cofatores Cof (A) =C=

−−

−−

−−

31113

333

9717

; 4c) Transposta de

Álgebra Linear 72


C = Ct =Adj A=

−−

−−

−−

339

1137

13317

; 4d) A–1 =A

1.Adj A =

24

1− .

−−

−−

−−

339

1137

13317

=

−

−

−

8/18/18/3

24/118/124/7

24/138/124/17

5(a)

−

−−

−

7/27/37/1

7/37/17/5

7/17/27/3

; 5(b)

−−

−

−

2/12/31

111

2/12/10

; 5(c)

−−

−

−

641

330

541

;5(d)

−

−

−−

132

011

153

;5(e)

−

−

2/102/1

02/12/1

2/12/10

; 5(f)

−

−

2/102/1

2/112/1

110

.Verificação:

=−

100

010

0011

AA

Bibliografia ANTON, H.; BUSBY, R.C. Álgebra Linear Contemporânea. Trad. C.I.Doering. Porto Alegre: Bookman. 2006. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar 4: seqüencias, matrizes, determinantes, sistemas. 6.ed SP: Ed. Atual, 1993. v.4. KUHLJAMP, Nilo. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. Florianópolis: Ed. UFSC, 2007. LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed Rio de Janeiro: LTC, 1999. 504 p. LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 4.ed Rio de janeiro: LTC, 1999. 390 p. LINS, Romulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. São Paulo, Papirus, 1997. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. RJ: Makron Books, 1987. 581 p. STEINBRUCH, Alfredo. Álgebra linear e geometria analítica. SP: Ed. McGraw-Hill, 1975.518 p.

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