INTRODUO DINMICA E AOCONTROLE DE MANIPULADORESROBTICOSAPOSTILACOMPILADAPELOPROF.RENATOMOLINADASILVA,PARAUSODOSALUNOSDOCURSODEENGENHARIADECONTROLEEAUTOMAODAPUCRS,COM BASE NOS LIVROS:ROBOTICS:CONTROL,SENSING,VISIONANDINTELLIGENCE,K.S.FU,R.C.GONZALEZ E C. S. G. LEE, McGRAW-HILL, NEW YORK, 1987ROBOTDYNAMICSANDCONTROL,M.W.SPONGEM.VIDYASAGAR,JOHNWILEY & SONS, NEW YORK, 1989"FUNDAMENTALSFORCONTROLOFROBOTICMANIPULATORS",A.J.KOIVO,JOHN WILEY & SONS, NEW YORK, 1989"MODELINGANDCONTROLOFROBOTMANIPULATORS",L.SCIAVIACCOEB.SICILIANO, McGRAW-HILL, NEW YORK, 1996Captulo 1 - Conceitos Bsicos2CAPTULO 1CONCEITOS BSICOSNestetextoserotratadosexclusivamenteconceitosbsicosdeCinemtica,DinmicaeControle de manipuladores robticos industriais. O entendimento de tais assuntos essencial para acompreenso de outros tpicos relacionados com Robtica que no sero explorados neste texto, taiscomo locomoo, viso, programao, sensoreamento, manipulao, etc.Osmanipuladoresrobticossocompostospormembrosconectadosporjuntasemumacadeiacinemticaaberta.Asjuntaspodemserrotativas(permitemapenasrotaorelativaentredoismembros)ouprismticas(permitemapenastranslaolinearrelativaentredoismembros).Afigura 1.1 mostra vrias maneiras de representar tais tipos de juntas.Fig. 1.1 Representao simblica de juntas de robs1.1 INTRODUO1.2 COMPONENTES DE ROBS. GRAUS DE LIBERDADECaptulo 1 - Conceitos Bsicos3Cada junta interconecta dois membros l1 e l2. O eixo de rotao ou de translao de uma juntasempredenotadocomoeixodajuntazi,seajuntaiinterconectarosmembrosiei+1.Asvariveis das juntas so denotadas por i, se a junta for rotativa, ou por di, se a junta for prismtica.Onmerodejuntasdeterminaaquantidadedegrausdeliberdadedomanipulador.Tipicamente,ummanipuladorindustrialpossui6grausdeliberdade,3paraposicionarorgoterminal (garra, aparelho de soldagem, de pintura, etc.) e 3 para orientar o rgo terminal, conformeilustra a fig. 1.2:Fig. 1.2 Rob industrial tpicoPode-seter,tambm,manipuladorescommenoroumaiornmerodegrausdeliberdade,conformeafunoaserexecutada.Quantomaioraquantidadedegrausdeliberdade,maiscomplicadas so a cinemtica, a dinmica e o controle do manipulador.O volume espacial varrido pelo rgo terminal do manipulador conhecido como volume detrabalhoouespaodetrabalho.Ovolumedetrabalhodependedaconfiguraogeomtricadomanipulador e das restries fsicas das juntas (limites mecnicos).Asjuntasrobticassonormalmenteacionadasporatuadoreseltricos,hidrulicosoupneumticos.Osatuadoreseltricossoosmaisutilizadosindustrialmente,principalmentepeladisponibilidadedeenergiaeltricaepelafacilidadedecontrole.Josatuadoreshidrulicossoindicadosquandograndesesforossonecessrios.Osatuadorespneumticosstmplicaoemoperaesdemanipulaoemquenosoobrigatriasgrandesprecises,devidocompressibilidade do ar.Captulo 1 - Conceitos Bsicos4A precisode um manipulador uma medida de quo prximo o rgo terminal pode atingirum determinado ponto programado, dentro do volume de trabalho. J a repetibilidade diz respeito capacidadedomanipuladorretornarvriasvezesaopontoprogramado,ouseja,umamedidadadistribuio desses vrios posicionamentos em torno do dito ponto.A preciso e a repetibilidade so afetadas por erros de computao, imprecises mecnicasdefabricao,efeitosdeflexibilidadedaspeassobcargasgravitacionaisedeinrcia(sobretudoemaltasvelocidades),folgasdeengrenagens,etc.Porestemotivo,tmsidoosmanipuladoresprojetadoscomgrandesrigidezes.Modernamente,entretanto,devidotendnciaamanipuladorescadavezmaisrpidoseprecisos,temsidodadagrandenfase,paraoprojetodocontrolador,naconsiderao dos efeitos da flexibilidade.Umoutrofatorqueinfluenciagrandementeaprecisoearepetibilidadearesoluodecontroledocontrolador.Entende-seporresoluodecontroleomenorincrementodemovimentoque o controlador pode "sentir". Matematicamente, dada pela expressoRes. de controle=distncia total percorrida pela juntan2(1.3.1)onde n o nmero de bits do encoder (sensor de posio existente na junta). Obviamente, se a juntaforprismtica,onumeradordaeq.(1.3.1)umdeslocamentolinear,enquantoqueseajuntaforrotativa,serumdeslocamentoangular.Nessecontexto,juntasprismticasproporcionammaiorresoluoquejuntasrotativas,poisadistncialinearentredoispontosmenordoqueoarcodecircunferncia que passa pelos mesmos dois pontos.Os manipuladores podem apresentar diferentes configuraes geomtricas, isto , diferentesarranjosentreosmembroseostiposdejuntasutilizadas.Amaioriadosrobsindustriaistem6oumenos graus de liberdade. No caso de um manipulador com seis graus de liberdade, os trs primeirosgraus (a contar da base) so usados para posicionar o rgo terminal no espao 3D, enquanto que ostrsltimosservemparaorientarorgoterminalnoespao3D.Combasenostrsprimeirosgraus de liberdade, pode-se classificar os robs industriais em cinco configuraes geomtricas: Articulado (RRR) Esfrico (RRP) SCARA (RRP) Cilndrico (RPP) Cartesiano (PPP)onde R significa junta rotativa e P significa junta prismtica.1.3 PRECISO E REPETIBILIDADE1.4 CONFIGURAES GEOMTRICASCaptulo 1 - Conceitos Bsicos51.4.1 Rob articulado (RRR)Tambm denominado antropomrfico, por ser o que mais se assemelha ao brao humano, o mais usado industrialmente. A fig. 1.3 esquematiza um manipulador articulado:Fig. 1.3 Manipulador articuladoOmanipuladorarticuladoasseguraliberdadedemovimentosrelativamentegrandeemumvolumedetrabalhocompacto,tornando-oomaisverstildosmanipuladoresindustriais.Oseuvolume de trabalho est mostrado na fig. 1.4.Fig. 1.4 Volume de trabalho do manipulador articulado1.4.2 Rob esfrico (RRP)Captulo 1 - Conceitos Bsicos6Estaconfiguraoobtidasimplesmentesubstituindoajuntarotativadocotovelodomanipulador articulado por uma junta prismtica, conforme ilustra a fig. 1.5:Fig. 1.5 Manipulador esfricoA denominao dessa configurao vem do fato de que as coordenadas que definem a posiodo rgo terminal so esfricas (1, 2, d3).Afig.1.6mostraovolumedetrabalhodomanipuladoresfrico.Fig. 1.6 Volume de trabalho do manipulador esfrico1.4.3 Rob SCARA (RRP)OchamadorobSCARA(SelectiveCompliantArticulatedRobotforAssembly)umaconfiguraorecentequerapidamentesetornoupopular,sendoadequadaparamontagens.Emboratenha uma configurao RRP, bastante diferente da configurao esfrica, tanto na aparncia comona faixa de aplicaes. O rob SCARA caracteriza-se por ter os trs eixos z0, z1 e z2 todos verticais eparalelos, conforme mostra a fig. 1.7. A fig. 1.8 ilustra o seu volume de trabalho.Captulo 1 - Conceitos Bsicos7Fig. 1.7 Manipulador SCARAFig. 1.8 Volume de trabalho do manipulador SCARA1.4.4 Rob cilndrico (RPP)Naconfiguraocilndrica,mostradanafig.1.9,aprimeirajuntarotativaenquantoasegunda e terceira juntas so prismticas. Como o prprio nome sugere, as variveis das juntas so ascoordenadas cilndricas (1, d2, d3) do rgo terminal, com relao base. O volume de trabalho estilustrado na fig. 1.10.Fig. 1.9 Manipulador cilndricoCaptulo 1 - Conceitos Bsicos8Fig. 1.10Volume de trabalho do manipulador cilndrico1.4.5 Rob cartesiano (PPP)Trata-sedeummanipuladorcujastrsprimeirasjuntassoprismticas.omanipuladordeconfiguraomaissimples,sendomuitoempregadoparaarmazenamentodepeas.Asfigs.1.11e1.12 ilustram a configurao e o volume de trabalho, respectivamente.Fig. 1.11 Manipulador cartesianoFig. 1.12 Volume de trabalho do manipulador cartesianoCaptulo 1 - Conceitos Bsicos9Alm da classificao dos manipuladores conforme os tipos e disposio das juntas utilizadas,apresentadanoitem1.4,pode-setambmclassificarosrobsdeacordocomomtododecontroleutilizado.Dessemodo,pode-seterrobscomcontroleemmalhaaberta,quesoosmaisantigos,cujosmovimentossolimitadosporbatentesmecnicos.Assim,porexemplo,quandoobraomecnico encontra um batente que limita o seu movimento, esse batente pode acionar um interruptorque desligar o motor da junta e ligar o motor de uma outra junta e assim por diante, at completaro ciclo desejado.J os robs modernos so robs com controle em malha fechada, ou servorobs, os quaisusamumcontrolecomputadorizadocomrealimentaoparamonitoraroseumovimento.Osservorobs,porsuavez,soclassificadosdeacordocomomtodoqueocontroladorutilizaparaguiar o rgo terminal em robs ponto a ponto (ou robs PTP, do ingls "point-to-point") e robsde trajetria contnua (ou robs CP, do ingls "continuous path").Ao rob PTP ensinado um conjunto de pontos discretos (normalmente atravs de um TP, o"TeachPendant"),pormnohcontrolesobreatrajetriaqueorgoterminaldeveseguirentredois pontos consecutivos. As coordenadas dos pontos so armazenadas e o rgo terminal passa poreles sem controle sobre a trajetria. Tais robs so muito limitados em suas aplicaes.J no rob CP toda a trajetria pode ser controlada. Por exemplo, pode ser ensinado ao robque o seu rgo terminal deve seguir uma linha reta entre dois pontos ou mesmo uma trajetria maiscomplicada como numa operao de soldagem a arco. Pode-se, tambm, controlar a velocidade e/oua acelerao do rgo terminal. Obviamente, os robs CP requerem controladores e programas maissofisticados do que os robs PTP.Porpunhodeummanipuladorentende-seoconjuntodejuntasquesocolocadasentreoantebrao e o rgo terminal, de modo a prover este ltimo com uma dada orientao. Em geral, ospunhosrobticossodotadosde2ou3juntasrotativas.Amaioriadosrobssoprojetadoscompunho esfrico, isto , punhos cujos eixos das juntas (todas rotativas) interceptam-se em um mesmoponto.Talpunhosimplificabastanteacinemticadeorientao,conformeservistomaisadiante.Umpunhoesfricocomtrsgrausdeliberdadeapareceilustradonafig.1.13.Osmovimentosderotao do punho esfrico so denominados, respectivamente, guiagem, arfagem e rolamento, pormesto consagrados na literatura os correspondentes termos em ingls: Yaw,Pitch e Roll.1.5 MTODOS DE CONTROLE1.6 PUNHO E RGO TERMINALCaptulo 1 - Conceitos Bsicos10Fig. 1.13 Estrutura de um punho esfrico comum encontrar-se manipuladores industriais com 2 ou trs graus de liberdade no punho,demodoqueorob,nototal,tenha5ou6grausdeliberdade.Assim,umrobdenotadocomoRRR-RRR um rob articulado com um punho esfrico com 3 juntas rotativas RPY (de Roll, Pitch eYaw),comumtotalde6grausdeliberdade.JumrobRPP-RRumrobcilndricocomumpunho com 2 junras rotativas RP (de Roll e Pitch), com um total de 5 graus de liberdade.A garra, que o rgo terminal mais comum, possui um movimento de abre (open) e fecha(close). Tal grau de liberdade, no entanto, no computado quando se especifica a quantidade totalde graus de liberdade do rob.O problema fundamental da Robtica, consiste em achar respostas pergunta:O que deve ser feitopara programar um rob com o objetivo de executar uma determinada tarefa?Por exemplo, considere-se um rob articulado com seis graus de liberdade (6 GDL), portandoum rebolo para uma operao de retfica plana, conforme mostra a figura 1.14:Fig. 1.14 Rob com 6 graus de liberdade portando um reboloNote-se que so os seguintes os 6 GDL do manipulador robtico:1.7 O PROBLEMA DA ROBTICACaptulo 1 - Conceitos Bsicos111) rotao do tronco2) rotao do ombro3) rotao do cotovelo4) rotao do punho (pitch = arfagem)5) rotao do punho (yaw = guiagem)6) rotao do punho (roll = rolamento)OstrsprimeirosGDLposicionamorgoterminaldomanipulador,aopassoqueostrsltimos orientamo mesmo.Taltipodemanipuladormuitoutilizadoemrobticaindustrialebastantecomplexo,conforme ser estudado em captulo posterior. Assim, a fim de apresentar o problema fundamental darobticadeumamaneiramaissimplificada,considere-seummanipuladorplanarcomapenasdoismembros:Fig. 1.15 Rob planarSuponha-se que se queira mover o manipulador de sua posio de espera A (Home) para aposioB,apartirdaqualorobdeverseguirocontornodasuperfcieSataposioC,comvelocidadeconstanteemantendoumacertaforaprescritaF,normalsuperfcie.Surgem,naturalmente, os seguintes problemas:Problema 1: Cinemtica DiretaO primeiroproblemaqueaparece consiste na descrio das posies da ferramenta(rebolo),dospontosAeBedasuperfcieS,todasemrelaoaummesmosistemadecoordenadasinercial(fixo).Maistarde,seroestudadosemdetalhesossistemasdecoordenadasfixosemveiseastransformaes entre os mesmos. O rob deve estar apto a sentir sua posio em cada instante, pormeio de sensores internos (codificadores ticos, potencimetros, etc.) localizados nas juntas, os quaispodemmedirosngulos1e2.Portanto,necessrioexpressarasposiesdaferramentaemtermosdessesngulos,isto,expressarxeyemfunode1e2.Issoconstituioproblemadacinemticadireta,ouseja,dadasascoordenadasdasjuntas1e2,determinarxey,ascoordenadas do rgo terminal.Considere-seumsistemafixodecoordenadasO0x0y0comorigemnabasedorob:ochamado sistema da base, ilustrado a seguir:Captulo 1 - Conceitos Bsicos12Fig. 1.16 Sistemas de coordenadas para o manipulador planarAo sistema da base sero referidos todos os objetos, inclusive o manipulador. Nesse exemplosimples,aposio(x,y)daferramenta(tambmconhecidacomoToolCenterPoint=TCP),emrelao ao sistema da base, pode ser obtida atravs de conhecimentos simples de Trigonometria:x = a1cos1 + a2cos(1 + 2)(1.7.1)y = a1sen1 + a2sen(1 + 2)Considere-se, tambm, o sistema da ferramenta O2x2y2,comorigemnoTCPecomoeixox2colocadonoprolongamentodomembroanterior(oantebrao),apontandoparafora.Aorientao da ferramenta com relao ao sistema da base dada pelos cossenos diretores dos eixosx2 e y2 com respeito aos eixos x0 e y0:(1.7.2)ou, sob forma matricial:(1.7.3)onde a matriz do membro direito denominada matriz de orientao ou matriz de rotao.As eqs. (1.7.1), que fornece a posio do TCP, e (1.7.2), que fornece a orientao da garra,sodenominadasequaesdacinemticadiretadeposio.Obviamente,paraumrobcom6GDLnotosimplesescreveraseqs.(1.7.1)e(1.7.2)comoofoiparaumrobcomapenas2GDL.Existeumprocedimentogeralparaaobtenodasequaesdacinemticadiretaqueserexplicado mais tarde, o qual se baseia na chamada notao de Denavit-Hartenberg.Problema 2: Cinemtica InversaV-se,pelaseqs.(1.7.1)e(1.7.2),quepossveldeterminarascoordenadasxeydoTCP,assim como sua orientao, uma vez conhecidas as coordenadas das juntas1 e 2. Entretanto, paracomandar o rob, necessrio o inverso: dadas x e y, que ngulos1 e 2 devem ser adotados pelasCaptulo 1 - Conceitos Bsicos13juntas,demodoaposicionaroTCPnaposio(x,y)?Esseochamadoproblemadacinemticainversa.Tendo em vista que as eq. (1.7.1) e (1.7.2) so no-lineares, a soluo pode no ser simples.Alm disso, pode no haver soluo (posio (x,y) fora do volume de trabalho), como pode tambmnohaverumasoluonicaparaoproblema,conformemostraafig.1.17,ondeseverificaqueexistem as chamadas configuraes cotovelo acima e cotovelo abaixo:Fig. 1.17 Duas solues para a cinemtica inversa: cotovelo acima e cotovelo abaixoConsidere-se, agora, o diagrama da fig. 1.18:Fig. 1.18 Soluo do problema da cinemtica inversa do manipulador planarUsando a lei dos cossenos, o ngulo 2 dado por(1.7.4)Por outro lado, da trigonometria:(1.7.5)Captulo 1 - Conceitos Bsicos14Dividindo (1.7.5) por (1.7.4):(1.7.6)A eq. (1.7.6) fornece ambas as solues, conforme o sinal usado:+ cotovelo acima- cotovelo abaixoUsandorelaestrigonomtricassimples,pode-semostrar(fazercomoexerccio)queongulo 1 dado por(1.7.7)Portanto, para esse rob muito simples, as eqs. (1.7.4), (1.7.6) e (1.7.7) permitem calcular ascoordenadas das juntas1 e 2, uma vez conhecida a posio (x, y) do TCP.Problema 3: Cinemtica da VelocidadePara seguir o contorno S com uma velocidade especificada, preciso conhecer a relao entrea velocidade do TCP e as velocidades das juntas. Isso pode ser obtido derivando as eqs.(1.7.1)emrelao ao tempo, obtendo-se a cinemtica direta de velocidade:(1.7.8)Usando notao vetorial:pode-se escrever as eq. (1.7.8) como(1.7.9)ondeamatrizJ,definidanaeq.(1.7.9),denominadaJacobianodomanipulador,oqualumparmetroimportantequedevesempreserdeterminadoparaummanipuladoremestudo.ParadeterminarasvelocidadesdasjuntasapartirdasvelocidadesdoTCP,usa-seaoperaoinversa,obtendo-se a cinemtica inversa de velocidade:(1.7.10)Captulo 1 - Conceitos Bsicos15ou(1.7.11)OdeterminantedoJacobianodadovalea1a2sin2,logo,quando2=0ouquando2=,oJacobiano J no tem inversa, o que caracteriza uma configuraosingular,talcomoailustradanafig. 1.19:Fig. 1.19 Uma configurao singularA determinao de configuraes singulares importante, por duas razes:1)nessas configuraes o TCP no pode mover-se em certas direes, como, no caso da fig. 1.19,na direo paralela a a1;2)essasconfiguraesseparamasduassoluespossveisparaoproblemainverso;emmuitasaplicaes importante planejar movimentos que evitem passar por configuraes singulares.Problema 4: DinmicaPara controlar a posio do manipuladorprecisoconhecerassuaspropriedadesdinmicas,demodoasaberaquantidadedefora(outorque)quedeveseraplicadasjuntasparaqueelesemova.Poucafora,porexemplo,farcomqueomanipuladorreajavagarosamente,enquantoqueforademaispodefazercomqueomanipuladoresbarreemobjetosouvibreemtornodaposiodesejada.Adeduodasequaesdinmicasdemovimentonoumatarefafcil,devidograndequantidadedegrausdeliberdadeetambmsno-linearidadespresentes.Emgeral,sousadastcnicasbaseadasnaDinmicaLagrangianaounaDinmicaNewtoniana,paraadeduosistemtica de tais equaes. Alm da dinmica das peas (membros) que compem o manipulador, adescriocompletadevetambmenvolveradinmicadosatuadoresedatransmisso,osquaisproduzem e transmitem as foras e torques necessrios ao movimento.Captulo 1 - Conceitos Bsicos16Problema 5: Controle da PosioO problema do controle da posio consiste em determinar as excitaes necessrias a seremdadasaosatuadoresdasjuntasparaqueorgoTerminalsigaumadeterminadatrajetriae,simultaneamente, rejeitar distrbios originrios de efeitos dinmicos no modelados, tais como atritoerudos.Oenfoquepadroutilizaestratgiasdecontrolebaseadasnodomniodafreqncia.Outrasestratgias,taiscomoocontroleavante,otorquecalculado,adinmicainversa,ocontrolerobustoeocontroleno-linear,sotambmutilizadasnocontroledeposiodomanipulador.Problema 6: Controle da Fora de retficaUmavezalcanadaaposioB,omanipuladordeveseguirocontornoS(verfig.1.15),mantendoumacertaforanormalconstantecontraasuperfcieaserretificada.Ovalordessaforano pode ser muito pequeno, de modo a tornar a operao de retfica ineficiente, nem muito grande,poispoderiadanificartantoaobracomoaferramenta.Da,ento,anecessidadedeseexercerumcontroleprecisosobreafora.Osenfoquesmaiscomunssoocontrolehbridoeocontroledeimpedncia.Captulo 1 - Conceitos Bsicos17PROBLEMAS1.1 Sejam dois pontos A e B no espao, distantes entre si de d, em linha reta. Esses dois pontos sosubentendidos por um ngulo central , cujo vrtice dista ldos dois pontos, isto , pelos dois pntospassa tambm um arco circular de comprimento l. Pede-se:(a) mostrar, usando a lei dos cossenos, que a distncia d dada por) ( d = cos l 1 2 ;(b) Para l = 1 m, = 900 e dispondo de um codificador de 10 bits, calcular a resoluo para asseguintes trajetrias:(b.1) linha reta entre A e B; (b.2) Arco circular entre A e B.1.2 Deduzir a eq. (1.7.7).1.3 Para o manipulador planar da fig. 1.15, achar as coordenadas x e y do rebolo, quando 1 = /6 e2 = /2, para a1 = a2 = 1 m.1.4Paraomanipuladorplanardafig.1.15,acharosngulosdasjuntas1e2,quandooreboloestiver localizado na posio (0,5 0,5).1.5Seasvelocidadesdasjuntasdomanipuladorplanardafig.1.15soconstanteseiguaisa1 21 2. . = = = = rad / se rad / s, qual a velocidade (componentes em x0 e em y0) quando 1 = 2 = /4?Captulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas18Paraodesenvolvimentodasequaescinemticasdomanipuladorhnecessidadedeestabelecervriossistemasdecoordenadaspararepresentarasposieseorientaesdecorposrgidos.Tambmprecisoconhecerastransformaesdecoordenadasentreessessistemas,demodoapossibilitarquevetoresrepresentativosdeposies,velocidadeseaceleraes,dadosemumdeterminadosistemadecoordenadas, possam ser representados em outros sistemas de coordenadas.Nestecaptuloseroconsideradasasoperaesderotaoedetranslaodeumsistemaemrelao a um outro sistema e apresentada a noo de transformao homognea, muito usuais em Robtica.SejaumpontogenricoP,doespao3D.Deseja-serelacionarascoordenadasdeP,dadasnosistemamvelOx1y1z1,comascoordenadasdomesmopontoP,emrelaoaosistemafixoOx0y0z0,conforme fig. 2.1:Fig. 2.1 Relao entre Sistemas de CoordenadasCAPTULO 02MOVIMENTOS DE CORPO RGIDO.TRANSFORMAES HOMOGNEAS2.1 INTRODUO2.2ROTAESCaptulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas19Sejam i0, j0 e k0 os vetores unitrios do sistema fixo Ox0y0z0 e sejam i1, j1 e k1 os vetores unitriosdo sistema mvel Ox1y1z1. Ento, o ponto P pode ser representado nos dois sistemas:- sistema Ox0y0z0: p0 = p0xi0 + p0yj0 + p0zk0(2.2.1)- sistema Ox1y1z1: p1 = p1xi1 + p1yj1 + p1zk1(2.2.2)Como p0 e p1 representam, na realidade, o mesmo ponto P, pode-se escrever:p0x = p0 i0 = p1 i0p0y = p0 j0 = p1 j0p0z = p0 k0 = p1 k0Levando em conta a eq. (2.2.2):p0x = p1xi1 i0 + p1yj1 i0 + p1zk1 i0p0y = p1xi1 j0+ p1yj1 j0+ p1zk1 j0p0z = p1xi1 k0+ p1yj1 k0+ p1zk1 k0ou, em forma compacta, comop0 = R10 p1(2.2.3)onde a matriz 3 x 3011 010 1 010 1 0101 010 1 0Ri iji k iij j jkji kjk k k= = . . .. . .. . .(2.2.4)aqualpermiteatransformaodovetorp1dosistemamvelOx1y1z1paraosistemafixoOx0y0z0denominadamatrizderotao.Observe-sequeosseusvetorescolunassooscossenosdiretoresdoseixos do sistema mvel com relao aos eixos do sistema fixo.Prmultiplicando a eq. (2.2.3) por (R10)-1, chega-se ap1 = (R10)-1 p0(2.2.5)Por outro lado, seguindo o mesmo raciocnio usado para a obteno da eq. (2.2.3), pode-se mostrarque:p1 = R01 p0(2.2.6)onde =k.k k. jk.ij .kj . j j .ii.k i. ji.iR1 0 101 0101 0 101 0 101 001(2.2.7)Captulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas20amatrizderotaoquepermiteatransformaodovetorp0dosistemafixoOx0y0z0paraosistemamvel Ox1y1z1. Observe-se que os seus vetores colunas so os cossenos diretores dos eixos do sistema fixocom relao aos eixos do sistema mvel.Comparando as eqs. (2.2.4), (2.2.5), (2.2.6) e (2.2.7), conclui-se queR01 =(R10)-1 =(R10)T(2.2.8)isto , a matriz inversa da matriz de rotao igual a sua transposta, logo a matriz de rotao ortogonal.Resumindo: dado um vetor p1 no sistema mvel Ox1y1z1,paralev-loparaosistemafixoOx0y0z0,deve-seaplicaraeq. (2.2.3), onde a matriz de rotao dada pela eq. (2.2.4); dado um vetor p0 no sistema fixo Ox0y0z0,paralev-loparaosistemamvelOx1y1z1,deve-seaplicaraeq. (2.2.6), onde a matriz de rotao dada pela eq. (2.2.8).Exemplo Ilustrativo(a)SupondoqueosistemamvelOx1y1z1giredeumnguloemtornodoeixoz0,acharamatrizderotao;(b) Idem, se o giro for em torno do eixo y0;(c) Idem, se o giro for em torno do eixo x0.Soluo(a) Adotando a notao R10 = Rz, e aplicando a eq. (2.2.4), chega-se matriz de rotao dada porz,cos cos( + / 2) cos / 2cos( / 2 - ) cos cos / 2cos / 2 cos / 2 cos0 R =Logo: z,cos -sensen cos1 R =000 0(2.2.9)(b) Analogamente, chega-se ay,cos sen-sen cos R =00 1 00(2.2.10)Captulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas21(c) Analogamente, chega-se ax,0cos -sensen cos R =1 000(2.2.11)As trs matrizes acima constituem as chamadas matrizes bsicas de rotao.Suponha-se, agora, a adio de um outro sistema mvel de coordenadas, O2x2y2z2, relacionado aossistemas O0x0y0z0 (fixo) e O1x1y1z1 (mvel) por transformaes rotacionais. Um dado ponto P pode entoser representado de trs maneiras:(2.3.1)(2.3.2)(2.3.3)Substituindo a eq. (2.3.3) na eq. (2.3.1):(2.3.4)Comparando as eqs. (2.3.2) e (2.3.4), tem-se(2.3.5)Logo, para transformar as coordenadas de um ponto P do sistema mvel O2x2y2z2 para o sistema O0x0y0z0(fixo), necessrio, primeiro, transform-lo para o sistema mvel O1x1y1z1, atravs da matriz R21e,aps,para o sistema O0x0y0z0 (fixo), usando a matriz R10.Generalizando para n sistemas: Rn0 = R10R21 ... Rnn-1(2.3.6)Observao importante: a eq. (2.3.6) vlida quando as rotaes so feitas sucessivamente em relao asistemasqueestomudandodeposio,denominadossistemascorrentes,comofoiocasoconsideradoaqui.Entretanto,quandoossistemasnomudamdeposio(oschamadossistemasfixos),pode-semostrar que a ordem das matrizes das eqs. acima deve ser invertida, ou seja:R20 = R21 R10(2.3.7)Rn0 = Rnn-1 ... R21 R10(2.3.8)2.3 COMPOSIO DE ROTAESCaptulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas22Exemplo ilustrativo(a)Um sistema de coordenadas sofre uma rotao em torno do eixo y e, aps, uma rotao em tornodo eixo z, j na nova posio (eixo corrente). Achar a matriz de rotao;(b) Idem (a), porm as rotaes se do em ordem inversa;(c) Comparar as matrizes obtidas em (a) e em (b). Concluir.Soluo(a) Usando a notao cos = C, sen = S, etc., tem-se: =(b)=(c)V-sequeRR',oqueeradeseesperar,poisoprodutomatricialnocomutativo.Fisicamente,significa que a ordem das rotaes importante.Conformefoivistoanteriormente,amatrizderotaocompostapornoveelementos.Taiselementosnosoquantidadesindependentes,pois,seumcorporgidopossuinomximotrsgrausdeliberdadepararotaes,sonecessriasesuficientesapenastrsquantidadesindependentespara2.4 OUTRAS REPRESENTAES DE ROTAESCaptulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas23especificaraorientaodeumsistemaemrelaoaooutro.Seroapresentadas,nesteitem,duasrepresentaes de rotaes, utilizando apenas trs quantidades independentes.2.4.1 Representao por ngulos de EulerConsidere-seafig.2.2,ondeaparecemossistemasfixoO0x0y0z0emvelOx1y1z1.Pode-seespecificar a orientao do sistema mvel (j rotado) em relao ao sistema fixo pelos chamados ngulosde Euler (, , ), obtidos atravs de trs rotaes sucessivas:(1) rotao em torno de z0(2) rotao em torno de y'(3) rotao em torno de z''Fig. 2.2 Representao por ngulos de EulerComo so rotaes em torno de eixos correntes:(2.4.1)Captulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas242.4.2 Representao por ngulos de Navegao Roll-Pitch-Yaw (RPY)Uma outra maneira de representar rotaes atravs de trs rotaes sucessivas em torno dos eixosde um mesmo sistema fixo, conforme fig. 2.3, na seguinte seqncia:(1) rotao (Yaw = Guiagem) em torno de x0(2) rotao (Pitch = Arfagem) em torno de y0(3) rotao (Roll = Rolamento) em torno de z0Fig. 2.3 Representao por ngulos de Navegao Roll-Pitch-YawComo as rotaes so feitas em torno de eixos fixos:(2.4.2)Na realidade, a representaoRPYconstituiumcasoparticulardarepresentaoporngulosdeEulereassim tratada por vrios autores.Atagora,foramconsideradasapenasrotaesdeumsistemadecoordenadasemrelaoaumoutro. Neste item, sero introduzidos, tambm, os movimentos de translao.2.5 TRANSFORMAES HOMOGNEASCaptulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas25SejaumsistemamvelO1x1y1z1,obtidoportranslaopuraapartirdosistemafixoO0x0y0z0,conforme fig. 2.4:Fig. 2.4 Translao puraComo se observa, a origem O1 do sistema mvel foi deslocada de uma distncia representada pelovetor d10. Tal vetor fornece apenas a posio do sistema mvel em relao ao sistema fixo, nada indicandoquanto a sua orientao, a qual, conforme j foi visto, dada pela matriz de rotao R10.Consideremos,agora,acombinaodetranslaocomrotao.Nessecaso,umpontoPdoespao3Drepresentado,nosistemafixoO0x0y0z0,pelasomavetorialdovetorposiodaorigemdosistema mvel, d10, com o vetorp1, em relao ao sistema mvel O1x1y1z1:(2.5.1)ou, desenvolvendo:0x0y0z1x1y1zpppr r rr r rr r rpppddd = = + + 11 12 1321 22 23311 32 33010101xyzonde os elementos rij so os elementos da matriz de rotao, dada pelos ngulos de Euler.Uma outra forma de apresentar a equao acima, com apenas uma multiplicao matricial, :=1pppdddr r rr r rr r rppp1z1y1x10z10y10x33 32 31123 22 2113 12 110z0y0xPode-se, ainda, colocar a expresso acima em uma forma mais conveniente, de modo que a matrizseja quadrada 4 x 4:=1ppp1 0 0 0d r r rd r r rd r r r1ppp11110 33 32 3110 23 22 2110 13 12 11000zyxzyxzyxCaptulo 2 - Movimentos de Corpo Rgido. Transformaes Homogneas26PROBLEMAS2.1 Deduzir a eq. (2.2.6).2.2 Um ponto P no espao 3D tem coordenadas (1, 1, 0) em relao ao sistema fixo Ox0y0z0. Achar as suascoordenadas em relao ao sistema mvel Ox1y1z1, de mesma origem e girado de /2, em relao ao eixoy0.2.3 Provar que a matriz de rotao bsica Rz, possui as seguintes propriedades:(a) Rz,0 = I (b) Rz, Rz, = Rz,(+)(c) (Rz,)-1 = Rz,-2.4 Deduzir as eqs. (2.2.10) e (2.2.11).2.5SeosistemadecoordenadasO1x1y1z1obtidoapartirdosistemadecoordenadasfixoO0x0y0z0porumarotaode/2emtornodoeixox0,seguidadeumarotaode/2emtornodoeixoy0,acharamatriz de rotao que representa a composio de rotaes.2.6 Supondo que sejam dados trs sistemas de coordenadas O1x1y1z1, O2x2y2z2 e O3x3y3z3 e supondo que121 0 00123203212R = = e que130 0 10 1 01 0 0R= = achar R32. Supor eixos correntes.Captulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg27Nestecaptuloserodesenvolvidasasequaesparaacinemticadiretadeposioparamanipuladores rgidos. O problema da cinemtica direta pode ser estabelecido da seguinte maneira: dadasas variveis das juntas de um rob, determinar a posio e a orientao do rgo terminal.Assim,nocaso de um rob articulado do tipo RRR-RRR, as dadas variveis das juntas so os ngulos i, i = 1, 2, ... ,6 entre os membros do rob e o problema da cinemtica direta de posio pode ser assim esquematizado:Cinemticai, i = 1, 2, ... , 6 Direta x0, y0, z0, n, s, ade Posioondex0,y0ez0soascoordenadascartesianasdorgoterminalen,seasoosvetorescujoscomponentes so os cossenos diretores dos ngulos formados pelos eixos x6, y6ez6dosistemadorgoterminal com os eixos do sistema da base, x0, y0 e z0, respectivamente.Aobtenodasequaesqueresolvemoproblemadacinemticadireta,combaseemconhecimentos de geometria e trigonometria, relativamente fcil para manipuladores muito simples, comonocasodomanipuladorplanarilustradonocaptulo1.Pararobsespaciais,entretanto,aformulaosetornabastantecomplexa,sendoprefervelutilizararepresentaodeDenavit-Hartenberg,consagradaemmecanismoseemrobtica.Talrepresentaopermitetratarqualquertipodemanipuladordeumamaneira sistemtica, facilitando muito a obteno das equaes da cinemtica direta de posio.Parafinsdeanlisecinemtica,pode-seconsiderarorobcomoumacadeiacinemtica,ouseja,um conjunto de membros rgidos conectados entre si por juntas. Em Robtica Industrial, tais juntas soCAPTULO 03CINEMTICA DIRETA DE POSIO.REPRESENTAO DE DENAVIT-HARTENBERG3.1 INTRODUO3.2 CADEIAS CINEMTICASCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg28muitosimples,dostiposrotativa(R)ouprismtica(P),asquaispermitemapenasumgraudeliberdade.Assim,aaodecadajuntapodeserdescritaporumasquantidade:onguloderotao,nocasodejuntasR,ouodeslocamentolinear,nocasodejuntasP.Oobjetivodacinemticadiretadeterminaroefeito cumulativo do conjunto de variveis dasjuntas.Acadeiacinemticarepresentativadeumrobpodeseraberta,naqualexisteapenasumajuntaconectandodoismembrosconsecutivos,oufechada,quandopode-setermaisdeumajuntaconectandodoismembrosconsecutivos.Nopresentecursoseroestudadosapenasosrobscomcadeiacinemticaaberta, os quais constituem a grande maioria dos robs industriais.Umrobcomcadeiacinemticaabertapodeserconsideradocomocompostoden+1membros(includa a a base, que sempre o membro 0), conectados por n juntas. Os corpos so numerados de 0 a n,a partir da base. As juntas so numeradas de 1 a n, sendo que a junta i conecta o membro i ao membro i - 1.Ai-simavariveldajuntadenotadaporqiepodeserumdeslocamentoangular(juntaR)ouumdeslocamento linear (junta P).A cada membro do rob associado um sistema decoordenadascartesianas:osistemaO0x0y0z0 associado base 0, o sistema O1x1y1z1 associado ao membro 1 e assim por diante. Devido consideraodecorporgido,qualquerpontodomembroi+1temcoordenadasconstantescomrelaoaosistemaOixiyizi. A fig. 3.1 ilustra tais convenes:Fig. 3.1 Conveno para membros, juntas e sistemas de coordenadas3.3 CONVENO PARA MEMBROS, JUNTAS E SISTEMAS DE COORDENADASCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg29Seja Aii-1 a matriz de transformao do sistema do membro i para o sistema do membro i-1. Comocada junta tem apenas um grau de liberdade, a matriz Aii-1 funo apenas da varivel da junta, qi:Aii-1 = Aii-1 (qi) (3.3.1)Obviamente, a matriz Aii-1noconstante,masvariamedidaquemudaaconfiguraodomanipuladorno espao, durante o seu movimento.Aposioeaorientaodorgoterminal,emrelaoaosistemadabase,podeserobtidadeduas maneiras:(a)percorrendoacadeiacinemticaaberta,apartirdabaseatorgoterminal,passandoportodososmembros,ouseja,considerandoasrotaessucessivasemtornodossistemasdosmembros,osquaissosistemas correntes:Hn0 = A10A21 ... Ann-1(3.4.1)onde cada transformao homognea Aii-1 dada porAii-1 = i -1ii -1iR dO 1 (3.4.2)e onde Rii-1 a matriz de rotao do sistema Oixiyizi para o sistema Oi-1xi-1yi-1zi-1 e dii-1 o vetor posio daorigem do sistema Oixiyizi em relao ao sistema Oi-1xi-1yi-1zi-1.(b)indodiretamentedosistemadabaseaosistemadagarra,atravsdamatrizdetransformaohomogneaHn0 = 0n0nR dO 1 (3.4.3)ondeRn0amatrizderotaodosistemadorgoterminalOnxnynznemrelaoaosistemadabaseO0x0y0z0 e dn0 o vetor posio da origem do sistema do rgo terminal Onxnynzn em relao ao sistema dabase O0x0y0z0.Portanto,acinemticadiretadeposioresume-seemdeterminarasmatrizesdadaspelaseqs.(3.4.1) e (3.4.3) e igual-las, obtendo-se 12 equaes que fornecero a posio do rgo terminal (atravsda igualdade dos 3 elementos correspondentes ao vetor posio) e a orientao do rgo terminal (atravsda igualdade dos 9 elementos correspondentes matriz de rotao), em funo das variveis das juntas.possvelobter-seumasimplificaoconsidervel,utilizandoachamadarepresentaodeDenavit-Hartenberg.3.4 OBTENO DAS EQUAES DA CINEMTICA DIRETA DE POSIOCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg30NarepresentaoDH,consagradaemRobtica,cadamatrizAii-1representadapeloprodutodequatro transformaes bsicas:Aii-1 = Rz,Tz,dTx,aRx,(3.5.1)onde Rz,representa a rotao em torno do eixo z (sinal positivo dado pela regra da modireita),Tz,drepresenta a translao d ao longo do eixo z (sinal positivo quando a translaoconcorda com o sentido do eixo),Tx,arepresenta a translao a ao longo do eixo x (sinal positivo quando a translaoconcorda com o sentido do eixo) eRx,representa a rotao em torno do eixo x (sinal positivo dado pela regra da modireita).Osparmetros,d,aesochamadosparmetrosdomembroouparmetrosDH,osquaisrecebem as denominaes seguintes: = ngulod = excentricidadea = comprimento = toroDesenvolvendo a eq. (3.5.1), obtem-se:Aii-1 =ou Aii-1 = cos -sen cos sen sen a cossen cos cos -cos sen a sen0 sen cos0 0 0 1i i i i i i ii i i i i i ii i id (3.5.2)ComoAii-1funoapenasdavariveldajunta,qi,conclui-sequetrsdosquatroparmetrosDHsoconstantes para um determinado membro do manipulador, enquanto que o quarto parmetro (, para juntasR ou d, para juntas P) a varivel da junta.3.5 REPRESENTAO DE DENAVIT-HARTENBERG (DH)Captulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg31Conforme foi visto anteriormente, uma matriz de transformao homognea caracterizada por seisquantidades:trsngulosderotao(quepodemserosngulosdeEulerouosngulosdenavegaoRPY)etrscomponentesdovetordeslocamento.NarepresentaoDH,existemapenasquatroparmetros.Talreduonaquantidadedeparmetrospossveldevidoaumacertaliberdadedeescolhadaposiodaorigemedoseixoscoordenadosdosistemadomembroi,seforemsatisfeitasasseguintescondies DH:DH1:o eixo zi-1 o eixo da junta i;DH2: o eixo xi perpendicular ao eixo zi-1, apontando no sentido do afastamento desse ltimo e interceptao eixo zi-1.A fig. 3.2 ilustra a representao DH:Fig. 3.2 Representao DHCom base na fig. 3.2, pode-se, agora, dar uma interpretao fsica a cada parmetro:ai =distncia,aolongodexi,deOiinterseodoseixosxiezi-1(ouadistnciamaiscurtaentreoseixos zi-1 e zi);di =distncia, ao longo de zi-1, de Oi-1 interseo dos eixos xi e zi-1;i =ngulo do eixo zi-1 para o eixo zi, medido em torno de xi (sinal dado pela regra da mo direita);i = ngulo do eixo xi-1 para o eixo xi, medido em torno de zi-1, (sinal dado pela regra da mo direita).Captulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg32(Obs.: a definio dos sistemas de coordenadas no nica)PASSO 1: Localizar e nomear os eixos das juntas, z0, z1, ... , zn-1,podendoserosmesmosderotao(juntaR)oudetranslao(juntaP).Oeixoz0deverapontarparaoombro.Pararobscom brao (e/ou antebrao) esquerda ou direita do ombro, os eixos z1(e/ouz2)devemapontar no sentido do tronco para o brao.PASSO 2: Estabelecer o sistema da base O0x0y0z0. Colocar O0 em qualquer lugar sobre z0. Os eixos x0e y0 devem completar um triedro destrgiro. Colocar x0 e y0 em posies convenientes.PARA i = 1, 2, ... , n-1, REALIZAR OS PASSOS 3 A 5:PASSO 3: LocalizaraorigemOiondeanormalcomumazi ezi-1(retaquecontemamenordistnciaentre zi e zi-1) intercepta zi. Se zi intercepta zi-1, localizar Oi nessa interseo. Se zi e zi-1 soparalelos, localizar Oi na junta i.PASSO 4: Estabelecer xi ao longo do produto vetorial (zi x zi-1), atravs de Oi, ou da normal comumaos eixos zi e zi-1, quando eles forem paralelos.PASSO 5: Estabelecer yi de modo a completar um sistema destrgiro.PASSO 6: Estabelecer o sistema do rgo terminal, Onxnynzn, conforme fig. 3.3, onde:Fig. 3.3 Sistema do rgo terminalOn = centro do rgo terminal;a = vetor unitrio na direo de aproximao ao objeto (approach) zn-1;s = vetor unitrio na direo de abertura/fechamento da garra (sliding);n = s x a = vetor unitrio na direo normal, completa o sistema destrgiro.Obs.: em caso de conflito da disposio acima com a condio DH2, seguir essa ltima.3.6 ALGORITMO DE DENAVIT-HARTENBERG PARA A CINEMTICA DIRETA DE POSIOCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg33PASSO 7: Criar uma tabela com os parmetros DH:Corpo ai idi(*) i(**)12...n(*) varivel, se junta P (**) varivel, se junta RPASSO 8:Formar as matrizes de transformao homognea, substituindo os parmetros DH naequao (3.5.2).PASSO 9: Formar a matriz de transformao homognea total, substituindo as matrizes obtidas nopasso 8 na eq. (3.4.1).PASSO 10: Formar a matriz de transformao homognea total "direta", usando a eq. (3.4.3), a qual,aps desenvolvimento, apresenta a forma00000 0 0 1nn 0n0 n 0n0 n 0n0n 0n0 n 0cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )x x y x z x xx y y y z y yx z y z z z zH=(3.6.1)PASSO 11: Igualar as matrizes obtidas nos passos 9 e 10, obtendo as equaes da cinemticadireta de posio.Observao - a conveno DH fornece uma definio no nica nos seguintes casos: Para o sistema da base O0x0y0z0, somente a direo do eixo z0 especificada, logo O0 e x0 podemser escolhidos arbitrariamente; Paraosistemadorgoterminal,Onxnynzn,somenteaescolhadoeixoxnestestabelecida(deveestar ao longo do eixo zn-1); Quandodoiseixosconsecutivossoparalelos,anormalcomumentreelesnoestunicamentedefinida; Quando dois eixos consecutivos se interceptam, a direo de xi arbitrria; Quando a junta i prismtica, somente a direo do eixo zi-1 determinada.Captulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg34Asfiguras3.4e3.5,aseguir,correspondentes,respectivamente,aorobarticuladoPUMAeaorobdeStanford, ilustram a aplicao dos passos 1 a 7 do algoritmo DH.Fig. 3.4 Sistemas de Coordenadas e Parmetros DH para o rob articulado PUMACaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg35Fig. 3.5 Sistemas de Coordenadas e Parmetros DH para o rob de StanfordCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg36A fig. 3.6 representa simbolicamente orobcilndricoRPP.UsandooalgoritmoDH,desenvolveras equaes da cinemtica direta de posio para os trs primeiros graus de liberdade.Fig. 3.6 Rob cilndricoSoluoPassos 1 a 6: representados na prpria figura.Passo 7:Corpo ai idi i1 0 0 d1 12 0 -90 d203 0 0 d30Passo 8: substituindo os parmetros DH na eq. (3.5.2):3.7 EXEMPLO ILUSTRATIVO 1: ROB CILNDRICOCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg37i = 1: A10 = cos -sensen cos0 d0 0 0 11 11 11 0 00 00 1 i = 2: A21 = 1 0 0 00 0 1 01 0 0 d0 0 0 12 i = 3: A32 = 1 0 0 00 1 0 00 1 0 d0 0 0 13 Passo 9: substituindo as matrizes obtidas no passo 8 na eq. (3.4.1), obtem-se:H30 = A10 A21 A32H30 = cos -sen - d sensen cos d cos0 d + d0 0 0 11 1 3 11 1 3 11 2 001 0 (3.7.1)Passo 10: matriz de transformao homognea total "direta", usando a eq. (3.6.1):00000 0 0 1nn 0n0 n 0n0 n 0n0n 0n0 n 0cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )x x y x z x xx y y y z y yx z y z z z zH=Passo 11: igualando as matrizes obtidas nos passos 9 e 10, obtem-se as equaes da cinemtica direta deposiocos(x3, x0) = cos1cos(y3, x0) = 0cos(z3, x0) = -sen1cos(x3, y0) = sen1cos(y3, y0) = 0cos(z3, y0) = cos1cos(x3, z0) = 0Captulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg38cos(y3, z0) = -1cos(z3, z0) = 0que fornecem a orientao do rgo terminal, ex0 = -d3sen1y0 = d3cos1z0 = d1 + d2que fornecem a posio do rgo terminal.Muito usado em robtica industrial, caracteriza-se por trs rotaes em torno de trs eixos z3, z4 ez5, que se interceptam num mesmo ponto, denominado centro do punho, conforme ilustra a fig. 3.7:Fig. 3.7 Punho esfricoNote-se que as variveis das juntas, 4, 5 e 6, so os ngulos de Euler , e , com relao ao sistema decoordenadas do punho, O3x3y3z3. Achar a matriz de transformao homognea H63.SoluoTrata-se, agora, de aplicar o algoritmo DH somente at o passo 9:Passos 1 a 6: representados na prpria figura.Passo 7:Corpo ai idi i4 0 -90 0 43.8 EXEMPLO ILUSTRATIVO 2: PUNHO ESFRICOCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg395 0 90 0 56 0 0 d6 6Passo 8: substituindo os parmetros DH na eq. (3.5.2):i = 4: A43 = cos -sensen cos0 00 0 0 14 44 4 0 00 01 0 i = 5: A54 = cos sensen cos0 00 0 0 15 55 5 0 00 01 0 i = 6: A65 = cos -sensen cos0 d0 0 0 16 66 66 0 00 00 1 Passo 9: substituindo as matrizes obtidas no passo 8 na eq. (3.4.1), obtem-se:H63 = A43 A54 A65 =(3.8.1)onde foram usadas as notaes sen4 = S4, cos5 = C5, etc.A eq. (3.8.1) de extrema utilidade, j que a grande maioria dos robs utilizam punhos esfricos.Comoltimoexemploilustrativo,considere-seacombinaorobcilndricoRPPcompunhoesfrico RRR. Desenvolver as equaes da cinemtica direta de posio.3.9 EXEMPLO ILUSTRATIVO 3: ROB CILNDRICO COM PUNHO ESFRICOCaptulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg40SoluoExaminandoasduasfigurasanteriores,observa-sequeoeixoderotaodajunta4dopunhoesfricocoincidecomoeixoz3dorobcilndrico.Logo,pode-secombinarasexpressesdesenvolvidasnos exemplos anteriores, eqs. (3.7.1) e (3.8.1), passando diretamente ao passo 9 do algoritmo DH:H60 = H30H63Logo,executandooprodutomatricialacimaeigualandooresultadoobtidomatriz"direta"(passo10),chega-se s equaes da cinemtica direta de posio (passo 11):cos(x6, x0) = C1C4C5C6 - C1S4S6 + S1S5C6cos(y6, x0) = -C1C4C5S6 - C1S4C6 - S1S5S6cos(z6, x0) = C1C4S5 - S1C5cos(x6, y0) = S1C4C5C6 - S1S4S6 - C1S5C6cos(y6, y0) = -S1C4C5S6 - S1S4C6 + C1S5S6 (3.9.1)cos(z6, y0) = S1C4S5 + C1C5cos(x6, z0) = -S4C5C6 - C4S6cos(y6, z0) = S4C5S6 - C4C6cos(z6, z0) = -S4S5que fornecem a orientao do rgo terminal, ex0 = d6C1C4S5 - d6S1C5 - d3S1y0 = d6S1C4S5 + d6C1C5 + d3C1 (3.9.2)z0 = d1 + d2 - d6S4S5que fornecem a posio do rgo terminal.Captulo 3 - Cinemtica Direta de Posio.Representao de Denavit-Hartenberg41PROBLEMAS3.1 Detalhar o desenvolvimento das eqs. (3.9.1) e (3.9.2).3.2 O manipulador de Stanford (desenvolvido na Universidade de Stanford, USA) um manipulador RRP-RRR. Apresenta a caracterstica de ter uma excentricidade no ombro, conforme fig. 3.8, abaixo, na qual jestodesenhadososeixosdasjuntas(passos1a6doalgoritmoDH).Sendoopunhoesfrico,acharasequaes para a cinemtica direta de posio.Fig. 3.8 Manipulador de Stanford3.3DesenvolverasequaesparaacinemticadiretadeposioparaomanipuladorSCARAdoLaboratrio de Manufatura Integrada por Computador. Testar para posies conhecidas.3.4DesenvolverasequaesparaacinemticadiretadeposioparaomanipuladorarticuladoMK3doLaboratrio de Manufatura Integrada por Computador. Testar para posies conhecidas.3.5DesenvolverasequaesparaacinemticadiretadeposioparaomanipuladorarticuladoER9doLaboratrio de Manufatura Integrada por Computador. Testar para posies conhecidas.Captulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio42Nocaptuloanteriorfoivistocomodeterminaraposioeaorientaodorgoterminalemtermos das variveis das juntas. No presente captulo ser estudado como resolver o problema inverso, ouseja, achar as variveis das juntas em termos da posio e orientao do rgo terminal:x0, y0, z0 ngulos do sistema do OT c/ i,i = 1, 2, ... , 6 sistema da baseOproblemadacinemticainversa,emgeral,maisdifcilderesolver,emformafechada.Comoexemplo,considere-seummanipuladordeStanford.Asoluodoproblemadacinemticadiretadeposio (conforme solicitado no problema 3.2 do captulo 3) dada pelo conjunto de 12 equaes com 6incgnitas (4.1.1)ondeosmembrosdadireitasooselementosdamatrizqueforneceaposioeaorientaodorgoterminal:CAPTULO 04CINEMTICA INVERSA DE POSIO4.1 INTRODUOCinemtica InversadePosioCaptulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio43(4.1.2)Para achar as variveis das juntas 1, 2, d3, 4, 5 e 6, deve-se resolver o sistema (4.1.1), o que bastantedifcildeconseguiremformafechada,poissetratadeumsistemaaltamenteno-linear.Almdisso,enquantoacinemticadiretatemsempreumanicasoluo,acinemticainversapodeterounosoluo(p.ex.,quandoaposiodesejadacaiforadovolumedetrabalho)e,nocasodeexistirsoluo,pode a mesma ser ou no nica.Paracontornaroproblemadeve-se,ento,desenvolvertcnicassistemticaseficientesqueexploremaestruturacinemticaparticulardomanipulador.Serconsiderado,daquiemdiante,queamatriz homognea dada pela eq. (4.1.2) corresponde a uma configurao no interior do volume de trabalhodo manipulador, o que garante a existncia de pelo menos uma soluo.Felizmente,paramanipuladorescomseisjuntas,nosquaisoseixosdastrsltimasjuntasseinterceptamemumponto(comonocasodomanipuladordeStanfordacima),possveldesacoplaroproblemadacinemticainversaemdoisproblemasmaissimples,conhecidosporcinemticainversadeposioecinemticainversadeorientao,respectivamente.Ouseja,paraummanipuladorcomseisgraus de liberdade munido de um punho esfrico, pode-se inicialmente achar a posio do centro do punho(interseo dos trs eixos do punho esfrico) e, aps, encontrar a orientao do punho.Considere-se, pois, que existam exatamente seis graus de liberdade e que os eixos das ltimas trsjuntas, os eixos z4, z5 e z6, se interceptem no ponto O (centro do punho), no qual se localizam as origens O4e O5e,namaioriadasvezes,emboranonecessariamente,aorigemO3,conformefig.3.7.Aposiodocentrodopunhofunoapenasdastrsprimeirascoordenadas,nodependendodastrsltimascoordenadas. A origem O6 do sistema do rgo terminal obtida por uma translao d6 ao longo do eixoz5, a partir do centro do punho O. Chamando pc o vetor que vai da origem do sistema da base O0x0y0z0 aocentro do punho, tem-se (ver fig. 4.1):d = pc + d6Rkoupc = d - d6Rk (4.2.1)4.2DESACOPLAMENTO CINEMTICOCaptulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio44Fig. 4.1 Desacoplamento cinemticoondeaorientaodosistemadorgoterminaldadapelamatrizReaposiodomesmodadapelovetor d. Em forma expandida, pode-se escrever a eq. (4.2.1) como(4.2.2)onder13,r23er33soelementosdeR,aqualconhecida(dada).Assim,usandoaeq.(4.2.2),pode-secalcular as coordenadas do centro do punho e, depois, achar as trs primeiras variveis das juntas, q1, q2 eq3, atravs de relaes retiradas da geometria do manipulador, conforme ser ilustrado mais adiante. Pode-se,aps,determinaraorientaodorgoterminalemrelaoaosistemaO3x3y3z3(extremidadedopunho) a partir da expressoR = R30 R63(4.2.3)ou R63 = (R30)-1 RR63 = (R30)T R (4.2.4)pois R30 ortogonal.As trs ltimas variveis das juntas, q4, q5 e q6, (que, no caso do punho esfrico, sero sempre 4, 5e 6), so ento encontradas como um conjunto de ngulos de Euler correspondentes a R63. Note-se que omembro direito da eq. (4.2.4) conhecido, pois R dada e R30 pode ser calculada, j que as trs primeirasvariveisdasjuntas,q1,q2eq3,soconhecidas,apartirdageometriadomanipulador.Aseoseguinteilustra o procedimento.Captulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio45Nestaseoserapresentadoapenasoenfoquegeomtricoparaacinemticainversadeposioporduasrazes.Primeiro,porqueasconfiguraescinemticasdosrobsindustriaissorelativamentesimples, conforme foi visto no captulo 1. Segundo, porque existem poucas tcnicas disponveis para trataro problema geral da cinemtica inversa de configuraes quaisquer.A maioria dos robs industriais composta de seis graus de liberdade, com trs variveis de juntasno tronco e trs no punho, em geral esfrico. Alm disso, conforme j foi visto anteriormente, muitos dosparmetrosDHaiedisonulos,enquantoqueosparmetrosiso0ou/2.Nessescasos,odesacoplamento bastante facilitado, conforme ser ilustrado a seguir.Seja o manipulador articulado da fig. 4.2, onde px, py e pz, j foram obtidos atravs da eq. (4.2.2):Fig. 4.2 Manipulador articuladoOvetorpc,queligaO0aO(nomostradonafigura),apareceprojetado(vetorr)sobreoplanohorizontal que passa pela origem do sistema O1x1y1z1 (note-se que a mesma origem do sistema O0x0y0z0).Da figura:1 = arctgppyx(4.3.1)Observe-se que existe uma segunda soluo vlida para 1, que 1 = + arctgppyx(4.3.2)Assoluespara1,dadaspelaseqs.(4.3.1)e(4.3.2),nosovlidasparapx=py=0porque,nessecaso,arctgppyxindeterminadoeomanipuladorencontra-seemumaposiosingular,naqualocentro do punho est sobre o eixo z0 e, portanto, qualquer valor de1 satisfaz esta configurao, existindo,pois, uma infinidade de solues, conforme ilustra a fig. 4.3:4.3 CINEMTICA INVERSA DE POSIO. ENFOQUE GEOMTRICOCaptulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio46Fig. 4.3 Configurao singularPara sanar esse problema, pode-se introduzir uma excentricidade no ombro, d1, como mostra a fig.4.4. Nesse caso, o centro do punho no cair sobre o eixo z0, havendo ento somente duas solues para1.Fig. 4.4 Manipulador articulado com excentricidade no ombroTaissoluescorrespondemschamadasconfiguraesbraoesquerdoebraodireito,conforme mostram as vistas superiores das fig. 4.5 e 4.6, respectivamente:Fig. 4.5 Configurao brao esquerdoCaptulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio47Fig. 4.6 Configurao brao direitoDa fig. 4.5 tira-se a primeira soluo, para a configurao brao esquerdo:1 = - (4.3.3)onde dp pdarctgd rdarctgpparctg212y2x12121xy +===A segunda soluo, obtida a partir da configurao brao direito da fig. 4.6 dada pordp pdarctgpparctg212y2x1xy1 ++ =(4.3.4)Paraacharosngulos2e3,dado1,considere-seoplanoformadopelobraoepeloantebrao,conforme fig. 4.7:Fig. 4.7 Plano vertical formado pelo brao e antebraoCaptulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio48Tendoemvistaqueomovimentodobraoedoantebraoplanar,asoluoanlogadesenvolvidaparaomanipuladorplanardocap.1.Assim,aproveitandoaquelesresultados(eqs.(1.7.4)a(1.7.7)) e fazendo as devidas adaptaes, pode-se escrever (comparar as figs. 1.18 e 4.7):(4.3.5)onde d1 aqui o parmetro DH e no a excentricidade recm descrita.Portanto, 3 dado por32arctg1-DD=(4.3.6)ondeasduassoluespara3correspondemsposiescotoveloacimaecotoveloabaixo,respectivamente.Analogamente, 2 dado por 21= +=++arctgsrarctgaS3a aC3arctgpdp parctgaS3a aC333 3zx2y233 3(4.3.7)Um exemplo de manipulador articulado com excentricidade o rob PUMA mostrado na fig. 4.8.Existem quatro solues, conforme ilustra a figura. Ser visto mais adiante que existem duas solues paraaorientaodopunhoesfrico,dando,assim,umtotaldeoitosoluesparaacinemticainversadessetipo de manipulador.Captulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio49Fig. 4.8 Quatro solues da cinemtica inversa de posio do manipulador PUMANo item anterior foi utilizado o enfoque geomtrico para a obteno das trs primeiras variveis dasjuntas,correspondentesaumadadaposiodocentrodopunho.Resta,agora,resolveroproblemadacinemticainversadeorientao,ouseja,encontrarosvaloresdastrsltimasvariveisdasjuntas,correspondentesaumadadaorientaodorgoterminal,comrelaoaosistemaO3x3y3z3.Paraumpunho esfrico, isso significa achar um conjunto de ngulos de Euler correspondentes a uma dada matriz derotao R, conforme exposto no captulo 3.4.4CINEMTICA INVERSA DE ORIENTAOCaptulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio50Seja dada a matriz de orientao U = uij, obtida a partir do membro direito da eq. (4.2.4) e seja R63amatrizdetransformao,obtidaatravsdaeq.(2.4.1).Oproblemaconsiste,ento,emencontrarosngulos de Euler , e , que satisfazem a equao matricial(4.4.1)Dois casos podem se apresentar.1o caso: u13 e u23 no so simultaneamente nulos.Ento , da eq. (4.4.1), vemos que C S = u13 0S S = u23 0de onde se conclui que S 0, logo S 0 u31 0u32 0u33 = C 1Logo, podemos escrever = arctg (S/C), ou seja, =arctg 1-uu33233(4.4.2)ou =arctg 1-uu33233(4.4.3)Se for escolhido o primeiro valor para , ento S > 0 e a primeira soluo dada por =arctg uu1323(4.4.4)e =arctg u-u3132(4.4.5)Por outro lado, se for escolhido o segundo valor para , ento S < 0 e a segunda soluo dada por =arctg -u-u1323(4.4.6)e =arctg -uu3132(4.4.7)Captulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio512o caso: u13 e u23 so simultaneamente nulos.Se u13 = u23 = 0, ento, pela eq. (4.4.1), S = 0 e a matriz de rotao U passa a ter a formaonde u33 = 1 pois C = (1 - S2)1/2 = 1. A seguir, sero examinadas cada uma das possibilidades parau33.C = 1(1) Se u33 = + 1 = 0 e a eq. (4.4.1) se tornaS = 0Assim, a soma + pode ser determinada como + =arctg uu=arctg -uu21111211(4.4.8)Como,nessecaso,apenasasoma+podeserdeterminada,existeumnmeroinfinitodesolues.Pode-se, por conveno, tomar = 0 e achar atravs da eq. (4.4.8).C = - 1(2) Se u33 = - 1 = e a eq. (4.4.1) se tornaS = 0Assim, a diferena - pode ser determinada como - =arctg -u-u=arctg -u-u12112221(4.4.9)Como, nesse caso, apenas a diferena - pode ser determinada, existe um nmero infinito de solues.Podemos, por conveno, tomar = 0 e achar atravs da eq. (4.4.9).Captulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio52Exemplo ilustrativo: manipulador articulado com punho esfrico.Acinemticainversadeposiojfoiresolvida,conformeeqs.(4.3.1)a(4.3.7).Pararesolveracinemtica inversa de orientao, podemos iniciar determinando R30, poisR30 = A10 A21 A32onde as matrizes Aii-1 so dadas pela eq. (3.5.2). Fazendo tal clculo, chega-se facilmente a(a)Por outro lado, a matriz R63, referente ao punho esfrico, j foi fornecida pela eq. (3.8.1), aqui repetida:(b)Portanto, dada a matriz de rotao total R:=r r rr r rr r r33 32 3123 22 2113 12 11R (c)trata-se de resolverR63 = (R30)T R= U (d)Substituindoaseqs.(a),(b)e(c)naeq.(d),obtemosumaequaomatricialdaqualtiramosasseguintesequaes algbricas relevantes para a aplicao do procedimento exposto anteriormente:- elementos (1,3): C4S5 = C1C23r13 + S1C23r23 - S23r33 = u13- elementos (2,3): S4S5 = -C1S23r13 - S1S23r23 - C23r33 = u23- elementos (3,3): C5 = -S1r13 + C1r2310 caso: u13 e u23 no so simultaneamente nulosC4S5 0Ento: S5 0S4S5 0Captulo 4 - Cinemtica Inversa de Posio53e pode-se usar as eqs. (4.4.2) a (4.4.7) para obter os ngulos 5 (ngulo de Euler ), 4 (ngulo de Euler )e6 (ngulo de Euler ).20 caso: u13 e u23 so simultaneamente nulosC4S5 = 0Ento: S5 = 0 eixos das juntas 3 e 5 so colineares e somenteS4S5 = 0asoma4+6podeserdeterminada.Umasoluoescolher4arbitrariamenteeentodeterminar6usando a eq. (4.4.8) ou a eq. (4.4.9).4.1Resolver o problema da cinemtica inversa de posio e de orientao de um rob cartesiano dotado depunho esfrico, cujas primeiras trs coordenadas das juntas so d1, d2 e d3.4.2 Idem 4.1, para um rob cilndrico RPP com punho esfrico.4.3 Completar o exemplo ilustrativo do item 4.4, detalhando todas as passagens matemticas.4.4Depossedetodasasexpressesparaacinemticainversadomanipuladorarticulado,obtidasnoproblema anterior, escrever um programa de computador para resolver o problema completo da cinemticainversa.Incluirprocedimentosparaidentificarconfiguraessingulareseescolherumasoluoparticularquando a configurao singular. Testar o programa para vrios casos especiais (incluindo configuraessingulares) de fcil verificao. PROBLEMASCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador54Noscaptulosanterioresforamestudadasascinemticasdiretaeinversadaposio.Paraoestudo das cinemticas direta e inversa da velocidade e da acelerao, h necessidade de estudar certaspropriedades das matrizes de rotao, as quais sero teis no estudo das transformaes de velocidadese aceleraes entre sistemas de coordenadas.No presente captulo sero apresentadas as citadas propriedades e deduzidas as relaes entre asvelocidadeslineareseangularesdorgoterminal(oudequalqueroutropontodomanipulador)easvelocidadesdasjuntas.Tambmserodiscutidasarelaoentreasaceleraesdasjuntasedorgoterminal (ou de qualquer outro ponto do manipulador).Considere-seumamatrizderotaovariantenotempoR=R(t).Tendoemvistaaortogonalidade de R, pode-se escreverDerivando em relao ao tempo:(5.2.1)Definindo (5.2.2)pode-se verificar facilmente que a matriz S anti-simtrica, pois(5.2.3)Psmultiplicando a eq. (5.2.3) por R(t), e levando em conta as eqs. (5.2.1) e (5.2.2), chega-se aCAPTULO 5CINEMTICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAOO JACOBIANO DO MANIPULADOR5.1 INTRODUO5.2 PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAOCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador55(5.2.4)que permite expressar a derivada temporal da matriz de rotao em funo dela mesma e da matriz anti-simtrica S(t).Essamatrizanti-simtricaS(t)temumainterpretaofsicainteressante.Considere-seumvetorconstante p e o vetor funo do tempo p(t) = R(t) p. Derivando em relao ao tempo o vetor p(t):ou, tendo em vista a eq. (5.2.4):Denotando o vetor velocidade angular instantnea do sistema R(t) com relao ao sistema inercial por (t), sabe-se da mecnica quePortanto,observandoasduasltimasequaes,verifica-sequeamatrizS(t)descreveoprodutomatricialentreovetor (t)eovetorR(t)p.AmatrizS(t)representaovetor (t)=[xyz]Tnaforma(5.2.5)o que justifica que S(t) = S( (t)). No importante caso particular dos vetores unitrios i, j e k, tem-seS i ( ) =0 0 00 0 -10 1 0(5.2.6)S j ( ) =0 0 10 0 0-1 0 0(5.2.7)S k ( ) =0 -1 01 0 00 0 0(5.2.8)Tambm pode-se provar que, se R uma matriz de rotao, ento(5.2.9)expresso que ser muito til mais tarde.Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador56Propriedades da matriz SAmatrizSapresentaalgumaspropriedadesinteressantesqueestorelacionadasaseguir,semprovas, embora as mesmas no sejam difceis.(1)Linearidade S(a + b) = S(a) + S(b) (5.2.10)onde e so escalares e a e b so vetores.(2)Para qualquer vetor p S(a) p = a x p (5.2.11)isto , o produto matricial da matriz anti-simtrica associada ao vetor a, S(a), pelo vetor p,igualaoproduto vetorial do vetor a pelo vetor p.(3)Seja a matriz ortogonal 3 x 3 R e sejam a e b dois vetores no espao 3D. EntoR(a x b) = R axR b (5.2.12)ouseja,seprimeiroforemgiradosaebusandoamatrizdetransformaoRedepoisformadooproduto vetorial dos vetores girados R a e R b, o resultado o mesmo que o obtido primeiro formandoo produto vetorial a x b e depois girando o vetor produto.(4)R S(a) RT = S(R a) (5.2.13) (5)Se R = R() uma matriz de rotao funo apenas da varivel , entodd( )RS R = (5.2.14)Seja R(t)umamatrizderotaoortogonal3x3,dependentedotempo.Deacordocomaeq.(5.2.4) e com a justificativa de que S(t) = S( (t)), conforme visto no item 5.2, pode-se escrever.RS R = ( (t)) (t) (5.3.1)VelocidadeConsidere-se,inicialmente,ocasodarotaopura.Sejaumvetorp1,definidonosistemamvelO1x1y1z1,oqualgiraemrelaoaosistemafixoO0x0y0z0.Ento,ovetordadotransformadoparaosistema fixo atravs da relaop0 = R(t) p1(5.3.2)Para achar a velocidade em relao ao sistema fixo, basta derivar a eq. (5.3.2) em relao ao tempo:5.3 VELOCIDADE E ACELERAOCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador57(5.3.3)que a familiar expresso da velocidade no caso da rotao pura.Seja,agora,ocasogeraldetranslaoerotao.Nessecaso,amatrizdetransformaohomognea dada por011 11HR dO(t) =(t) (t)0 0(5.3.4)Por simplicidade, sero omitidos o argumento t e os superescritos e subescritos que aparecem na matrize no vetor da expresso acima. Assim, o vetor posio, em relao ao sistema da base, dado porp0 = d + R p1(5.3.5)Derivando em relao ao tempo, obtem-se o vetor velocidade:(5.3.6)onde foi usada a eq. (5.3.1) e adotada a notao .dv = .Na eq. (5.3.6): v a velocidade linear da origem do sistema mvel em relao ao sistema fixo; a velocidade angular do sistema mvel em relao ao sistema fixo;r = R p1 o vetor posio p1 em relao ao sistema fixo.Se o vetor p1 estiver se movimentando em relao ao sistema mvel, ento deve-se adicionar aotermo v o termoR p (t)1.que a taxa de variao de p1 expressa no sistema O0x0y0z0.AceleraoA eq. (5.3.6) pode ser colocada na forma(5.3.7)Derivando em relao ao tempo:(5.3.8)A eq. (5.3.8) pode ser escrita como(5.3.9)Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador58ondeaaaceleraolinear.Otermo x( xr)denomina-seaceleraocentrpetadapartculaeest sempre dirigido para o eixo de rotao, sendo perpendicular a esse eixo. O termo chamadoacelerao transversal.Seovetorp1estivervariandocomrelaoaosistemamvel,aexpresso(5.3.9)devesermodificada para(5.3.10)onde O termo conhecido como acelerao de Coriolis.Muitas vezes tem-se interesse em achar a velocidade angular resultante devida rotao relativade vrios sistemas de coordenadas. Considere-se, inicialmente, a composio das velocidades angularesdeapenasdoissistemasdecoordenadasmveis,O1x1y1z1 eO2x2y2z2,emrelaoaumsistemafixoO0x0y0z0. Seja um ponto p representado nos respectivos sistemas pelas relaes(5.4.1)onde (5.4.2)e (5.4.3)Derivando a eq. (5.4.2) em relao ao tempo:(5.4.4)O termo da expresso acima pode ser escrito como(5.4.5)O primeiro termo do lado direito da eq. (5.4.4) simplesmente(5.4.6)Quanto ao segundo termo do lado direito da eq. (5.4.4), usando a eq. (5.2.12), obtem-se5.4 ADIO DE VELOCIDADES ANGULARESCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador59(5.4.7)Combinando as expresses acima(5.4.8)Tendo em vista que S(a) + S(b) = S(a + b), v-se ento que(5.4.9)Emoutraspalavras,asvelocidadesangularespodemsersomadas,desdequeestejamexpressasemrelao ao mesmo sistema de coordenadas, no caso o sistema O0x0y0z0.A expresso (5.4.9) pode ser extendida para qualquer nmero de sistemas de coordenadas:(5.4.10)Matematicamente,asequaesdacinemticadiretadefinemumafunoentreoespaodasposies e orientaes cartesianas (ou, simplesmente, o espao cartesiano) e o espao das posies dasjuntas (ou, simplesmente, o espao das juntas). As relaes entre velocidades so, ento, determinadaspelo Jacobiano dessa funo. O Jacobiano uma funo matricial, podendo ser imaginado como umaversovetorialdaderivadaordinriadeumafunoescalar.Trata-sedeumadasquantidadesmaisimportantes na anlise e no controle do movimento de um rob. Ele aparece em basicamente todos osaspectosdamanipulaodeumrob:noplanejamentoeexecuodetrajetrias,nadeterminaodeconfiguraessingulares,nadeduodasequaesdinmicasdomovimentoenatransformaodeforas e torques do rgo terminal para as juntas do manipulador.Paraummanipuladorcomnmembros,deve-sededuziroJacobianoquerepresentaatransformaoinstantneaentreovetordasvelocidadesdasjuntas(ncomponentes)eovetordasvelocidadeslineareseangularesdorgoterminal(6componentes,sendo3velocidadeslinearese3velocidadesangulares),oudequalqueroutropontodomanipulador.Portanto,oJacobianoumamatriz de dimenses 6 x n.Considere-se um manipulador com n variveis das juntas, representadas pelo vetor q =[q1 q2...qn]T e seja a transformao do sistema do rgo terminal em relao ao sistema da base dada por(5.5.1)5.5 O JACOBIANO DO MANIPULADORCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador60medidaqueorobsemovimenta,tantoasvariveisdasjuntas,qi,comoaposiod0neaorientaodorgoterminal,R0n,serofunesdotempo.Oobjetivoagorarelacionarasvelocidades linear e angular do rgo terminal com o vetor das velocidades das juntas, .q(t) .Seja a velocidade angular do rgo terminal definida por(5.5.2)e seja a velocidade linear do rgo terminal denotada por(5.5.3)Deseja-se obter expresses das formas(5.5.4)(5.5.5)onde Jv e J so matrizes 3 x n. Pode-se reunir as duas ltimas equaes como(5.5.6)onde a matriz dada por(5.5.7)oconhecidoJacobianodoManipulador,umamatriz6xn,ondenonmerodemembrosdomanipulador.Inicialmente,serdeterminadaaparteinferiordoJacobianodaeq.(5.5.7),J , referentevelocidadeangular.Conformeestudadoanteriormente,asvelocidadesangularespodemsersomadasvetorialmente,desdequeestejamexpressasemrelaoaummesmosistemadecoordenadas.Assim,pode-sedeterminaravelocidadeangulardorgoterminal,emrelaobase,expressandoavelocidadeangulardecadamembroemrelaobaseesomandovetorialmenteessasvelocidades.Logo, a velocidade angular do i-simo membro, se a junta for rotativa,emrelaoaosistemai-1,dada por(5.6.1)5.6 DEDUO DO JACOBIANOCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador61 Por outro lado, se a junta for prismtica, ento tal velocidade angular nula:(5.6.2)Portanto, a velocidade angular total do rgo terminal, em relao ao sistema da base, dada por(5.6.3)onde (5.6.4)denota o vetor unitrio k do sistema i - 1 expresso em relao ao sistema da base e onde i= 1 se a junta i rotativa i= 0 se a junta i prismticaAssim, a metade inferior do Jacobiano da eq. (5.5.7) dada por(5.6.5)Ser,agora,determinadaapartesuperiordoJacobianodaeq.(5.5.7),Jv, referentevelocidade linear. A velocidade linear do rgo terminal pode ser obtida a partir da derivao temporaldo vetor posio, usando a regra da cadeia da derivao:(5.6.6)Assim, v-se que a i-sima coluna de Jv simplesmenteAlmdisso,essaexpressojustamenteavelocidadelineardorgoterminalqueresultase. .i j for igual a 1 e os outrosforem nulos.q q Em outras palavras, a i-sima coluna do Jacobiano geradamantendo-setodasasjuntasfixasexcetoai-sima,queatuadacomvelocidadeunitria.Doiscasosso considerados a seguir.Caso 1Se a junta i prismtica, ento R0j-1 independente de qi = di para todo j, e(5.6.7)Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador62Se todas as juntas forem fixadas, exceto a i-sima, tem-se(5.6.8)Assim, (5.6.9)Caso 2Se a junta i rotativa, ento ok denota o vetor dk0 da origem O0 origem Ok para qualquer k, e pode-se ento escrever(5.6.10)ou, na nova notao: (5.6.11)Com relao fig. 5.1, que ilustra o movimento do rgo terminal devido ao membro i, observe-se quetanto di-10 como Ri-10 so constantes se apenas a i-sima junta for atuada.Fig. 5.1 Movimento do rgo terminal devido ao i-simo membroPortanto, da eq. (5.6.10): (5.6.12)Tendo em conta que o movimento do membro i uma rotao qi em torno de zi-1, tem-se(5.6.13)e assim (5.6.14)Portanto, (5.6.15)Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador63e a parte superior do Jacobiano, Jv (5.6.16)onde a i-sima coluna (5.6.17)se a junta for rotativa e (5.6.18)se a junta for prismtica.ReunindoasmetadessuperioreinferiordoJacobiano,foimostradoqueoJacobianoparaummanipulador de n membros tem a forma(5.6.19)onde a isima coluna dada por(5.6.20)se a junta i for rotativa e (5.6.21)se a junta i for prismtica.As frmulas acima tornam simples a determinao do Jacobiano de qualquer manipulador, poistodas as quantidades necessrias j esto disponveis a partir da cinemtica direta. Na verdade, as nicasquantidades necessrias para calcular o Jacobiano so os vetores unitrios zi e os vetores que localizamasorigensO1,O2,...,On,emrelaoorigemO0.Ora,fcilverificarquezidadopelostrsprimeiroselementosdaterceiracolunadamatrizHi0,enquantoqueoidadopelostrsprimeiroselementosdaquartacolunadeHi0.Portanto,apenasasterceiraequartacolunasdasmatrizesdetransformao homognea so necessrias para a construo do Jacobiano.Oprocedimentoacimafuncionanoapenasparacalcularavelocidadedorgoterminal,mastambmparadeterminaravelocidadedequalquerpontodomanipulador.Issosermuitoimportanteparaadeterminaodasvelocidadesdoscentrosdemassadosvriosmembrosdomanipulador,afimde deduzir as equaes dinmicas do movimento, conforme ser estudado em captulo posterior.Exemplo ilustrativoConsidere-se o manipulador planar da fig. 1.15. Como ambas as juntas so rotativas, o Jacobiano (queneste caso uma matriz 6 x 2) tem a forma(5.6.22)onde v-se facilmente que as vrias quantidades que aparecem na expresso acima so dadas porCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador64(5.6.23)(5.6.24)Executando os clculos:(5.6.25)AexpressodoJacobianodadaacimapraticamenteamesmaobtidanocap.1(vereq.(1.7.9).Tambminteressanteobservarqueasduasprimeiraslinhasdaeq.(5.6.25)fornecemavelocidadelineardaorigemO2relativamentebase.Aterceiralinhaavelocidadelinearnadireoz0que,nopresente caso, zero. As trs ltimas linhas representam a velocidade angular do ltimo sistema, que simplesmente uma rotao em torno do eixo horizontal, cuja velocidade O Jacobiano 6 x n, J(q), define uma relao linear entre o vetor das velocidades das juntas, .q, eo vetor das velocidades do rgo terminal, .) X=(v, T(5.7.1)dada por(5.7.2)TendoemcontaqueoJacobianofunodaconfiguraoq,asconfiguraesparaasquaisdecresceaordemdeJpossuemespecialsignificado,sendoconhecidascomoconfiguraessingulares. A identificao de configuraes singulares importante por diversas razes:1.As singularidades representam configuraes em que a mobilidade do manipulador reduzida, isto ,no possvel impor um movimento arbitrrio ao rgo terminal;2.Nassingularidades,pequenasvelocidadesdorgoterminalpodemcorresponderagrandesvelocidades das juntas;5.7 SINGULARIDADESCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador653.Nassingularidades,pequenasforasetorquesdorgoterminalpodemcorresponderagrandesforas e torques das juntas;4.As singularidades usualmente (mas nem sempre) correspondem a pontos do contorno do volume detrabalho do manipulador, isto , pontos de mximo alcance do manipulador;5.Assingularidadescorrespondemapontosdovolumedetrabalhodomanipuladorquepodemserinatingveis sob pequenas mudanas dos parmetros do membro (ai, di, etc.);6.Nasproximidadesdassingularidadesnoexisteumanicasoluoparaoproblemadacinemticainversa; em tais casos, pode no haver soluo ou pode haver uma infinidade de solues.Exemplo ilustrativoConsidere-senovamenteomanipuladorplanarparaoqualfoicalculadoanteriormenteoJacobiano,dado porParaverificarseexistemsingularidades,necessrioexaminarseexistereduonaordemdamatriz.Comosetratadeumamatriz6x2,deve-seexaminartodasassubmatrizesquadradas2x2quenelaesto contidas. No caso, existe a submatriz 2 x 2(5.7.3)oquecomprovaqueomanipuladorpodeapresentarsingularidades.Taissingularidadespodemseridentificadas calculando-se as condies para as quais o det J nulo, isto :det J = a1a2s2 = 0Como a1 e a2 0 (comprimentos do brao e do antebrao), ento o determinante se anula quando2 = 0ou 2 = que so, respectivamente, as situaes em que o rgo terminal est localizado na superfcie externa dovolume de trabalho (conforme ilustra a fig. 1.19) e na superfcie interna do volume de trabalho.Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador665.7.1Desacoplamento de singularidadesAssim como foi feito o desacoplamento da cinemtica inversa de posio da de orientao, parao caso de punho esfrico, tambm pode-se fazer o desacoplamento das singularidades do brao (i. .,dos trs primeiros membros) das singularidades do punho esfrico.Considere-sequeummanipuladorclssicoquetenha3GDLnobraoe3GDLnopunhoesfrico. Nesse caso, o Jacobiano uma matriz 6 x 6 e uma configurao q singular se e somente se(5.7.4)Pode-se particionar o Jacobiano em blocos 3 x 3:(5.7.5)Logo, como as trs ltimas juntas so rotativas:(5.7.6)Tendoemvistaqueoseixosdopunhointerceptam-seemumpontocomumo,seforemescolhidos sistemas de coordenadas tais que o3 = o4 = o5 = o6 = o, ento a expresso para J0 torna-se(5.7.7)e a i-sima coluna Ji de JP (5.7.8)se a junta for rotativa, ou(5.7.9)se a junta for prismtica.Nesse caso, o Jacobiano tem a forma triangular (5.7.10)com determinante(5.7.11)Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador67onde J11 e J22 so matrizes 3 x 3. J11 tem a i-sima coluna zi-1 x (o - oi-1) se a junta i for rotativa e zi-1 se ajunta for prismtica, enquanto que(5.7.12)Portanto,oconjuntodeconfiguraessingularesdomanipuladorauniodoconjuntodeconfiguraesdobraosatisfazendodetJ11=0eoconjuntodeconfiguraesdopunhosatisfazendodetJ22=0.Note-sequeessaformadoJacobianonofornecenecessariamentearelaoentreavelocidadedorgoterminaleasvelocidadesdasjuntas.Elapretendeapenassimplificaradeterminao das singularidades. Sero examinadas, a seguir, as duas singularidades desacopladas.5.7.2 Singularidades do punhoPode-severfacilmente,apartirdaeq.(5.7.12),queumpunhoesfricoestemumaconfiguraosingularsemprequeosvetoresz3,z4ez5foremlinearmentedependentes.Observandoafig. 5.2, v-se que isso acontece quando os eixos das juntas z3 e z5 so colineares:Fig. 5.2 Singularidade do punho esfricoDefato,sempreresultaumasingularidadequandooseixosdeduasjuntasrotativasforemcolineares,pois, para 5=0(situaomostradanafiguraacima)e5=,umarotaoigualeopostaemtornodoseixosnoacarretamovimentolquidodorgoterminal.Essaanicasingularidadedopunhoesfrico, a qual inevitvel, a no ser que se imponham limites mecnicos no projeto do punho, de talmodo que os eixos z3 e z5 no possam ficar alinhados.5.7.3Singularidades do braoPara investigar as singularidades do brao, necessrio apenas calcular J11, de acordo com a eq.(5.7.8), conforme mostra o exemplo a seguir.Exemplo ilustrativo: Manipulador articuladoSeja o manipulador articulado da fig. 5.3:Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador68Fig. 5.3 Manipulador articuladoPode-se mostrar (ver problema 5.8) que(5.7.13)e que o determinante de J11 (5.7.14)Da eq. (5.7.14) pode-se ver que o brao estar em uma configurao singular sempre ques3 = 0, ou seja, 3 = 0 ou (5.7.15)e sempre que (5.7.16)A situao da eq. (5.7.15) est mostrada na fig. 5.4 e aparece sempre que o antebrao est totalmentedistendido ou totalmente retrado: Fig. 5.4 Singularidades do brao do manipulador articuladoA situao da eq. (5.7.16) est mostrada na fig. 5.5 e ocorre quando o centro do punho estiver sobre oeixo z0, de modo que nesse caso haver uma infinidade de configuraes singulares e de solues para acinemtica inversa de posio:Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador69Fig. 5.5 Singularidades do brao do manipulador articulado sem excentricidadePara um manipulador articulado com excentricidade, conforme fig. 5.6, o centro do punho nopode interceptar z0, o que vem corroborar que configuraes singulares podem ser evitadas impondo-sepequenas mudanas nos parmetros do manipulador (nesse caso, uma excentricidade no cotovelo ou noombro). Essa uma soluo muito utilizada pelos fabricantes de robs.Fig. 5.6 Manipulador articulado com excentricidade no ombroConformefoivistonoitemanterior,asvelocidadesdasjuntasestorelacionadascomasvelocidades do rgo terminal pelo Jacobiano:(5.8.1)logo,asoluodoproblemadacinemticainversadavelocidaderesume-searesolverosistemadeequaes diferenciais lineares (5.8.1), o que conceitualmente simples.5.8CINEMTICA INVERSA DE VELOCIDADE E DE ACELERAOCaptulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador70Derivando a eq. (5.8.1) em relao ao tempo:(5.8.2)Assim, dado um vetor das aceleraes do rgo terminal, ..X, o vetor acelerao instantnea dasjuntas dado como uma soluo de(5.8.3)onde(5.8.4)Paramanipuladorescom6GDL,asequaesparaacinemticainversadevelocidadeedeacelerao podem ser escritas, respectivamente, como(5.8.5)(5.8.6)desde que det J(q) 0.Obs.:Paramanipuladoresredundantes(aquelesquedispemdeumaquantidadedegrausdeliberdade maior do que a quantidade de variveis necessrias para cumprir uma determinada tarefa) oucom menos do que 6 membros, o Jacobiano no pode ser invertido e, nesse caso, haver uma soluopara as eqs. (5.8.1) ou (5.8.4) se e somente se o vetor do membro esquerdo estiver dentro da faixa deoperao do Jacobiano. Isso pode ser determinado pelo seguinte teste de ordem (rank):Um vetor a pertence faixa de operao de J se e somente se(5.8.7) Emoutraspalavras,,aeq.(5.8.1)(eq.(5.8.4))podeserresolvidapara( )desdequeorank da matriz aumentada [J(q)X] ([J(q)b]) seja o mesmo do Jacobiano J. Esse um resultado dalgebraLinearediversosalgoritmosexistem(talcomoodaeliminaodeGauss)pararesolvertaissistemas de equaes lineares.Captulo 5 - Cinemtica da Velocidade e da Acelerao. O Jacobiano do Manipulador71PROBLEMAS5.1Verificar a eq. (5.2.3).5.2 Verificar a eq. (5.2.4).5.2 Verificar as eqs. (5.2.6) a (5.2.8).5.3 Deduzir a eq. (5.3.10).5.4ConsideraromanipuladordeStanforddoproblema3.2.Combasenacinemticadiretaobtida,detalhar o desenvolvimento do Jacobiano para esse manipulador.5.5Idem problema 5.4, para o manipulador SCARA do problema 3.3.5.6Idem problema 5.4, para o manipulador articulado MK3 do problema 3.4.5.7Idem problema 5.4, para o manipulador ER9 do problema 3.5.5.8Deduzir as eqs. (5.7.13) e (5.7.14).5.9Referindo-sefig.5.7quemostraasingularidadedobraodeummanipuladorSCARA,mostrarque a mesma ocorre quando 2 = 0, .Cap. 6 Dinmica do Manipulador72CAPTULO 6DINMICA DO MANIPULADOROmodelomatemtico(oumodelodinmico)domanipuladordesempenhaumpapelpreponderantenasimulaodomovimento,naanlisedaestruturadomanipuladorenoprojetodosalgoritmosdecontrole.Eleforneceumadescriodarelaoentreasforasgeneralizadas(forasetorques) aplicadas nas juntas e o movimento do manipulador.Neste captulo so introduzidos dois mtodos da Mecnica que possibilitam deduzir tal modelomatemtico.Inicialmente,serapresentadaachamadaformulaodeEuler-Lagrange,aqualconceitualmentesimplesesistemtica.Osegundomtodorefere-seaumaformulaoalternativa,conhecida com formulao de Newton-Euler, que permite obter o modeoo matemtico de uma formarecursiva e computacionalmente mais eficiente.Nestaseoserapresentado,semdeduo(oleitorinteressadodevereferir-seaobrasdeMecnicaAnaltica),umsistemadeequaesdiferenciais,conhecidascomoEquaesdeEuler-Lagrange, o qual descreve o movimento de um sistema mecnico sujeito a restries holonmicas, isto, aqueles que apresentam equaes de restrio ligando suas coordenadas generalizadas.Quandoomovimentodeumsistemamecnicoestiverdealgumamaneirarestrito,surgemtambmaschamadasforasderestrio,isto,asforasnecessriasparaqueasrestriessejamsatisfeitas. A determinao das foras de restrio (tambm denominadas foras de vnculoouforasinternas) nem sempre uma tarefa fcil. Sob esse aspecto, a formulao Lagrangiana uma alternativavantajosa, pois ela no requer a determinao das foras de restrio para a obteno das equaes domovimento.6.1 INTRODUO6.2 FORMULAO DE EULER-LAGRANGECap. 6 Dinmica do Manipulador736.2.1Coordenadas generalizadasConsidere-seumsistemadekpartculassujeitoalrestriesholonmicasepossuindoumaquantidadedegrausdeliberdadeigualdiferenaentreaquantidadedegrausdeliberdadequeosistemateriasenohouvessemrestriesel.Nessecaso,possvelexpressarascoordenadasdaskpartculas em termos de n coordenadas generalizadas q1, q2, ... , qn, isto ,ri = ri (q1, q2, ... , qn) i = 1, 2, ... , k (6.2.1)onde q1, q2, ... , qn so todas independentes. Como ilustrao, seja um pndulo simples constando deuma massa punctual m fixada a um fio inextensvel de comprimento L, conforme mostra a fig. 6.1.Fig. 6.1 Coordenada generalizada independente de um pndulo simplesConsidere-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de oscilao e sejam x e yas coordenadas cartesianas da massa. Pode-se ver facilmente que existe uma equao de restrio parao sistema, vinculando x e y, obtida pelo fato de que L constante, que :x2 + y2 = L2(6.2.2)Senoexistissearestrioacima,amassateriadoisgrausdeliberdade.Portanto,aquantidadedegrausdeliberdadedadapeladiferena2-1=1,logopossvelexpressaraposiodamassaemtermos de n = 1 coordenada generalizada independente (no caso, q1 = , o ngulo que o fio faz com avertical).Resumindo,sendonaquantidadedegrausdeliberdade(igualquantidadedecoordenadasgeneralizadasindependentes),laquantidadedeequaesderestrioepaquantidadedegrausdeliberdade do sistema se no existissem restries, pode-se afirmar que:n = p - l (6.2.3)Aidiadecoordenadasgeneralizadaspodeserusadamesmoquandoexisteumainfinidadedepartculas. Por exemplo, um corpo rgido tal como uma barra possui uma infinidade de partculas, mascomoadistnciaentreasmesmasnovariaduranteomovimento,somenteseiscoordenadassosuficientesparaespecificarcompletamenteaposiodabarra:trscoordenadasparaaposiodocentro de massa da barra e trs ngulos de Euler para a orientao do corpo.Cap. 6 Dinmica do Manipulador746.2.2Equaes de Euler-LagrangeUma vez que tenha sido escolhido um conjunto de coordenadas generalizadas independentes qj,j=1,2,...,n,ondenaquantidadedegrausdeliberdadedosistemamecnico,define-seoLagrangiano do sistema mecnico comoL = K V (6.2.4)ondeKaenergiacinticaeVaenergiapotencialdosistema.Ento,asEquaesdeEuler-Lagrange (ou, simplesmente, Equaes de Lagrange) so expressas como:(6.2.5)ondeiaforageneralizadanoconservativa(torqueoufora)nadireodacoordenadageneralizada independente qi. Recorde-se, aqui, que uma fora no conservativa aquela que no podeser obtida por derivao da energia potencial. Assim, a fora elstica de uma mola (que pode ser obtidaderivando-seaenergiapotencialelsticanelaacumulada)eaforapeso(quepodeserobtidaderivando-se a energia potencial de posio) so foras conservativas e, portanto, no contribuem paraa formao do membro direito das eqs. (6.2.5).Observe-se que as eqs. (6.2.5) constituem um sistema de n equaes diferenciais, uma para cadagrau de liberdade. A seguir, um exemplo elucidativo da aplicao das Equaes de Lagrange.Exemplo Ilustrativo: Manipulador com um s braoSeja o manipulador da fig. 6.2, consistindo de um brao rgido acoplado a um motor CC atravsde um trem de engrenagens:Fig.6.2 Manipulador com um s braoSejam l e m os deslocamentos angulares do brao e do motor, respectivamente. Nesse caso, sendo n arelao de transmisso do trem de engrenagens, tem-se l = m/n. A energia cintica do sistema dadaporCap. 6 Dinmica do Manipulador75ondeJleJmsoosmomentosdeinrciademassadobraoedomotor,respectivamente.Aenergiapotencial dada poronde M a massa total do brao e l a distncia do centro de massa do brao ao eixo de rotao.Portanto, o Lagrangiano do sistema valeLevando L nas Equaes de Lagrange, obtem-seA fora generalizada consiste do torque do motor (entrada) u e dos torques no conservativosdeamortecimento,eObserve-sequeestosendodesprezadosostorquesrestauradoresdevidos elasticidade dos eixos, isto , esto sendo considerandos eixos rgidos. Transferindo tudo parao eixo do motor:Portanto, a expresso completa para a dinmica desse sistema dada porondeEm geral, a aplicao das Equaes de Lagrange a sistemas robticosconduzaumsistemadeequaesdiferenciaisordinriasno-linearesdesegundaordem,ondeasvariveisdependentessoascoordenadas generalizadas e a varivel independente o tempo t.Sero,aseguir,deduzidasexpressesconvenientesparaasenergiascinticaepotencialdeumobjetorgido,demodoafacilitaroclculodoLagrangianoparaposterioraplicaonasEquaesdeLagrange.Cap. 6 Dinmica do Manipulador766.3.1 Clculo da Energia CinticaAenergiacinticaconstitudapordoistermos:aenergiacinticadetranslao,obtidaconcentrando-se a massa total do objeto no seu centro de massa, e a energia cintica de rotao, emtorno do seu centro de massa.Sejaumobjetocontnuodemassaespecfica,funodaposioespacial.Logo,amassadoobjeto ser dada por(6.3.1)onde B denota a regio do espao ocupada pelo objeto. Ento, a energia cintica do objeto dada por(6.3.2)onde v o vetor velocidade da partcula dm localizada nas coordenadas (x, y, z).Por outro lado, o centro de massa do objeto localizado pelas coordenadas(6.3.3)ou, em uma forma vetorial mais compacta:(6.3.4)onde rc o vetor posio do centro de massa do objeto.Suponha-se, agora, que um sistema mvel de coordenadas seja fixado ao objeto, com a origemcoincidindo com o centro de massa do objeto. medida que o objeto se move no espao, a velocidadede um ponto arbitrrio do mesmo, em relao a um sistema inercial, dada por(6.3.5)ondevcavelocidadelineardocentrodemassa,rovetorposiodopontoarbitrrioe avelocidade angular do sistema de referncia ligado ao objeto, tudo em relao ao sistema inercial.Entretanto, para o clculo da energia cintica, mais conveniente usar a velocidade em termosdo sistema mvel, o que possvel, j que a mudana de sistema de referncia no afeta o mdulo do6.3 EXPRESSES PARA AS ENERGIAS CINTICA E POTENCIALCap. 6 Dinmica do Manipulador77vetor velocidade. Assim, pode-se usar a eq. (6.3.5), porm tendo sempre em mente que a mesma estarsendo expressa em relao ao sistema mvel de coordenadas. A eq. (6.3.5) pode ser rescrita como(6.3.6)deacordocomapropriedadedamatrizantissimtricaS( )estabelecidanoCap.5.Levandoaeq.(6.3.6) na eq. (6.3.2):(6.3.7)Seragoraexpandidooprodutodentrodosinaldeintegrao,compostodequatrotermos.Oprimeiro termo nos d(6.3.8)ondefoilevadoemcontaqueovetorvcnodependedavariveldeintegraom.Essaquantidadejustamente a energia cintica de translao de uma partcula de massa m localizada no centro demassa do objeto. O segundo termo dado por(6.3.9)porque (6.3.10)j que o centro de massa est localizado na origem do sistema de coordenadas. Pelo mesmo motivo oterceiro termo, dado por(6.3.11)tambm nulo. J o quarto termo demanda algum trabalho. Seja ele definido como(6.3.12)Existe uma propriedade das matrizes anti-simtricas, que pode ser facilmente comprovada, pela qual S( ) r=- S(r) (6.3.13)Aplicando a propriedade de transposio aos dois membros da equao acima: rT ST( )=- T ST(r) (6.3.14)Levando as eqs. (6.3.13) e (6.3.14) na eq. (6.3.12):Cap. 6 Dinmica do Manipulador78

(6.3.15)Como no depende de m:(6.3.16)Tendo em vista que o vetor r pode ser escrito sob forma de matriz anti-simtrica, conforme eq. (5.2.4),tem-se: (6.3.17)pode-se desenvolver a eq. (6.3.16), obtendo-se:(6.3.18)Finalmente, possvel rescrever a eq. (6.3.18) como(6.3.19)onde I a matriz inrcia, definida a partir da eq. (6.3.18) como(6.3.20)O quarto termo, K4, representa a energia cintica de rotao do objeto. Assim, a energia cintica totaldo objeto rgido dada por(6.3.21)Considere-se, agora, um manipulador composto por n membros. Foi visto, no captulo 5, que asvelocidades linear e angular de qualquer ponto de qualquer membro podem ser expressas simplesmenteem termos do Jacobiano e das derivadas das variveis das juntas. Como, no caso, as variveis das juntasso as coordenadas generalizadas, segue-se que, para matrizes Jacobianas apropriadas:(6.3.22)dm ] ) ( )][ ( [21 T T4 r -S r S - KB )dm} ( ) ( {21 T T4r S r S KBr S]]]]]

0 x y -x - 0 zy z - 0) (

,`

.|]]]]]

]]]]]

0 x y -x - 0 zy z - 00 x - yx 0 z -y - z 021KT4BCap. 6 Dinmica do Manipulador79onde a matriz RiT(q) leva em conta o fato de que a velocidade angular deve ser expressa no sistema derefernciafixadoaomembroi.SupondoqueomembroitenhamassamiequeasuamatrizinrciaIitenha sido calculada em relao ao sistema de coordenadas do membro i, ento, da eq. (6.3.21), segue-se que a energia cintica total do manipulador dada por(6.3.23)Em outras palavras, a energia cintica total do manipulador tem a forma(6.3.24)ondeD(q),denominadamatrizinrciageneralizada,umamatrizsimtricapositivodefinidaquedepende, em geral, da configurao do manipulador.6.3.2 Clculo da Energia PotencialQuanto energia potencial, ela tambm obtida concentrando-se a massa total do objeto no seu centrodemassa.Nocasodecorposrgidos,asuanicafonteagravidade.Sejagovetoraceleraodagravidade,expressonosistemainercial.Ento,aenergiapotencialdeumapartculainfinitesimaldemassadm,localizadanopontordoobjetodadaporgTrdm.Logo,aenergiapotencialtotaldoobjeto (6.3.25)ouseja,aenergiapotencialdoobjetoobtidaconcentrandoamassadetodoobjetonoseucentrodemassa.Seroconsiderados,nestaseo,doiscasosespeciaisparaaaplicaodasEquaesdeLagrange:(1) a energia cintica uma funo quadrtica do vetor velocidade generalizada, na forma(6.4.1)onde a matriz inrcia D(q) simtrica e positivo-definida para cada q n.6.4 EQUAES DO MOVIMENTOCap. 6 Dinmica do Manipulador80(2) aenergiapotencialV=V(q)independentedavelocidadegeneralizada(osmanipuladoresrobticos satisfazem essa condio).As equaes de Euler-Lagrange sero deduzidas a seguir, para tal sistema. Tendo em vista que(6.4.2)tem-se(6.4.3)e(6.4.4)Tambm(6.4.5)Assim, as Equaes de Lagrange podem ser escritas(6.4.6)Trocando a ordem no somatrio e considerando a simetria, pode-se mostrar que(6.4.7)Portanto,(6.4.8)Os termos(6.4.9)soconhecidoscomosmbolosdeChristoffeldeprimeiraespcie.Note-seque,paraumkfixado,tem-se cijk = cjik, o que reduz metade o trabalho envolvido no clculo. Finalmente, definindo(6.4.10)ento as Equaes de Lagrange se tornamCap. 6 Dinmica do Manipulador81(6.4.11)Na eq. (6.4.11) existem trs tipos de termos:(1) termos envolvendo as segundas derivadas das coordenadas generalizadas;(2) termosquadrticosdasprimeirasderivadasdeq,ondeoscoeficientespodemdependerdeq,osquais podem ser classificados em:(2.1) termos centrfugos: envolvem produtos do tipoq.i2(2.2) termos de Coriolis: envolvem um produto do tipoq.q.j i onde i j(3) termos envolvendo somente q mas no as suas derivadas, os quais surgemdaderivao da energiapotencial. comum escrever a eq. (6.4.11) na forma matricial(6.4.12)onde o k,j-simo elemento da matriz C definido como(6.4.13)A seguir, apresentado o enunciado de um teorema relacionando as matrizes DeCqueaparecemnaeq. (6.4.12), o qual ser muito til no problema de controle de manipuladores.(O leitor interessado na demonstrao do teorema poder consultar Spong & Vidyasagar, pg. 143).Sejaexaminado,agora,umcasoespecialimportante,emqueamatrizinrciadiagonaleindependente de q. Nesse caso, segue-se da eq. (6.4.9) que todos os smbolos de Christoffel so nulos,pois cada dij uma constante. Alm disso, a quantidade dkj no nula se e somente se k = j, de tal modoque as eqs. (6.4.11) desacoplam na forma(6.4.15)Teorema: Seja a matriz definida por(6.4.14)Ento N antissimtrica, isto , njk = - nkj.Cap. 6 Dinmica do Manipulador82Emresumo,odesenvolvimentomostradonestaseomuitogeraleseaplicaaqualquersistema mecnico em que a energia potencial seja independente deq. . Na prxima seo ser aplicadotal desenvolvimento a configuraes robticas especficas.6.5.1 Manipulador cartesiano com dois membrosSejaomanipuladorcartesianodafig.6.3,ondeestoilustradasasmassaseascoordenadasgeneralizadas dos membros:Fig. 6.3 Manipulador cartesiano com dois membrosComoascoordenadasgeneralizadasdasjuntastmdimensesdecomprimento,asforasgeneralizadasassociadas,aplicadasnasjuntas,tmdimensesdeforaesodadasporfi,i=1,2.Aenergia cintica tem a forma da eq. (6.41), ao passo que a energia potencial funo apenas de q1 e q2.Portanto, pode-se usar as frmulas da seo anterior para obter as equaes dinmicas. Por outro lado,como as juntas so prismticas, o Jacobianodavelocidadeangularnuloeaenergiacinticadecadamembro consiste somente do termo translacional.A velocidade do centro de massa do membro 1 dada por(6.5.1)onde(6.5.2)Analogamente,(6.5.3)onde (6.5.4)6.5 ALGUMAS CONFIGURAES COMUNSCap. 6 Dinmica do Manipulador83Portanto, a energia cintica dada por(6.5.5)Comparando com a eq. (6.4.1), v-se que a matriz de inrcia dada simplesmente por(6.5.6)A energia potencial do membro 1 dada por m1g q1, enquanto que a do membro 2 dada por m2g q2,logo a energia potencial total (6.5.7)Pode-se,ento,escreverasequaesdomovimento.Tendoemvistaqueamatrizdeinrciaconstante, os smbolos de Christoffel so nulos. Alm disso, os vetores k so dados por(6.5.8)Substituindo na eq. (6.4.11)