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Apostila de MEF (Método dos elementos Finitos), fornecida aos alunos de graduação de engenharia Mecânica, no curso de Métodos Numéricos para Engenharia do primeiro semestre de 2009

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UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINASFACULDADEDEENGENHARIAMECANICADEPARTAMENTODEPROJETOMECANICOINTRODUC AOAOMETODODEELEMENTOSFINITOSAPLICADO`AANALISEESTRUTURAL-EXEMPLOSCOMOPROGRAMAANSYSProf. Dr. MarcoL ucioBittencourtCAMPINAS/SP2007PREFACIOOobjetivodestetextoeapresentarconceitosdoMetododeElementosFinitos(MEF)aplicado` aan aliselineardeestruturas. N aoseadotaumaabordagemvariacional doMEFesuaaplica c aoaproblemas devalores decontorno. Osaspectos te oricos selimitamaumconjuntodeconceitosmnimosparaaaplica c aodometodo. Umabreveintrodu c aoaosoftware ANSYS e exemplos s ao apresentados para motivar o leitor no uso de um programadeelementosnitos.Esse material foi preparadoe revisado desde 1991 e usado em cursos de gradua c ao e ex-tens aonaUNICAMP eem outrasuniversidades. Aolongodessetempo,aminhavis aodoMEF mudou no sentido de adotar uma abordagem variacional. Esse texto apresenta aspec-tos nessa direc ao ao formular o problema de elasticidade linear usando o Princpio dos Tra-balhosVirtuais. No entanto,o textoapresentav ariosaspectospositivoscomoa introdu c aodasfunc oesdeinterpola c aoatravesdeprodutotensorial. Aconstruc aodasfunc oesparatri angulosetetraedros aqui apresentadaetotalmenteoriginal. Otextotambemprocuraseparar aformulac aodosproblemas dasuaaproximac aopeloMEF. OusodeexemplosdoANSYSpermiteaoleitorassociarosconceitosapresentadoscomousodeumpacotecomercial.OCaptulo1apresentaumabreveintrodu c aoaoMEFprocurandodarumano c aoin-tuitivasobreaspectosdometodo. No Captulo2,considera-seoconceitode coecientesdeinuenciaparaaconstruc aodasmatrizesderigidezdebarrasevigas. Apresentaaindaoprocesso de superposi c ao dessas matrizes paraconstruir amatriz de rigidez global easoluc aodosistemadeequa c oesresultanteatraves deummetodonumerico. Oscoe-cientesdeinuencias aobaseadosemno c oesdeequilbrioepermitemintroduziraspectosimportantesdoMEFdeformasimples.No Captulo 3,apresenta-se uma revis ao de conceitos b asicos de elasticidade. Conside-ram-se os estados de deformac ao e tens ao para um corpo s olido, a lei de Hooke generalizadaeasequac oesdiferenciaisdeequilbrio.No Captulo 4, introduzem-se os conceitos de energia de deformac ao,trabalhode forcaseoPTV. Usandoas equa c oes b asicas deelasticidade linear eaproximac aopeloMEF,deduz-seaequa c aodiscretademovimentoobtendo-seasexpress oesgeraisdasmatrizesdemassaerigidezedosvetoresdecarregamento.OCaptulo5apresentaoconceitodeelementosnitosisoparametricos, sistemasdecoordenadas, fun c oes de interpola c ao e jacobiano. Consideram-se aindaas func oes deinterpola c ao para elementos nitos unidimensionais. Nos Captulos 6a7, considera-seaconstruc aodefunc oesdeinterpola c aoparaelementosbidimensionais(quadrados etri angulos)etridimensionais(cubosetetraedros). NoCaptulo8,discute-seaintegra c aonumerica para o c alculos dos coecientes das matrizes e vetores de carregamento doselementos. NoCaptulo9, discute-se aaproximac ao de problemas de estadoplanodetens aoedeformac aoes olidosaxissimetricos.Os Apendices apresentam uma revis ao deAlgebra Linear,uma introdu c aoao programaANSYSeexemplos.Umconjuntopequenodereferenciasfoi empregadonaprepara c aodessetexto. Oob-jetivon aofoiapresentarumarevis aogeral sobreoMEFesuasaplica c oes, masprocurarintroduzirdeformasimpleseobjetivav ariosconceitosfundamentaisdometodo.MarcoL.Bittencourt(DPM/FEM/UNICAMP,e-mail: mlb@fem.unicamp.br)Sumario1 Introdu c ao 11.1 ConceitosBasicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ElementosdeBarraeViga 52.1 Barrasubmetida` aFor caAxialdeTra cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 VigaemFlexaoPura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 CoecientesdeInuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 ElementodeBarraPlana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Deforma caoEspeccaeTensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 MatrizdeRigideznoSistemaGlobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Determina caodaEqua caoGlobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Decomposi caodeCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Aplica caodoMetododeCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3 CalculodasDeforma coeseTensoesnosElementosdeBarra . . . . . 222.6 ElementodeVigaPlana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Equa c oesBasicasdeElasticidade 273.1 EstadoGeraldeSolicita cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 EstadoGeraldeDeforma cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Deforma coesTermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 LeideHooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 EstadodeTensaonumPonto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Equa coesDiferenciaisdeEquilbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Equa caodeMovimento 454.1 TrabalhoeEnergiadeDeforma cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 IdentidadedeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 PrincpiodosTrabalhosVirtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Discretiza caodeumSistemaContnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52i4.5 Equa caodeMovimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.6 ElementodeBarraPlana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7 ElementodeVigaPlana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.8 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 ElementosFinitosIsoparametricos 615.1 SistemasdeReferenciaGlobaleLocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Fun coesdeForma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 ElementosUnidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1 ElementoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 ElementoQuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.3 ElementoC ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.4 ElementoQuartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 ElementoBidimensionalLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 ElementosIsoparametricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 JacobianoeCalculodasDerivadasGlobais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.7 Dedu caodaMatrizdeRigidezdeBarraPlana . . . . . . . . . . . . . . . . 745.8 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 Fun c oesdeFormaparaosElementosQuadrangulares 776.1 ElementosPlanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.1 ElementoQuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.2 ElementoC ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.1.3 ElementoQuartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 ElementosEspaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.1 ElementoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.2 ElementoQuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.3 ElementoC ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 Fun c oesdeFormaparaElementosTriangulares 917.1 CoordenadasdeArea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2 CalculodoJacobianoedasDerivadasGlobais. . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3 ElementosPlanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.1 ElementoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.3.2 ElementoQuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3.3 ElementoC ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.4 ElementoQuartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.4 CoordenadasdeVolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.5 CalculodoJacobianoedasDerivadasGlobais. . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.6 ElementosEspaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.6.1 TetraedroLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.6.2 TetraedroQuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107ii7.6.3 TetraedroC ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.7 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 Integra caoNumerica 1138.1 Introdu cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.2 Integra caodeNewton-Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3 QuadraturadeGauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.4 ExemplodeAplica cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.5 Integra caoNumericaBidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.6 Integra caoNumericaTridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.7 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239 EstudodeCasos 1259.1 EstadoPlanodeTensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2 EstadoPlanodeDeforma cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.3 EstruturasAxissimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4 Considera coessobreElementosFinitosIsoparametricos. . . . . . . . . . . . 1379.4.1 Integra caoNumerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.4.2 CalculodeTensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.3 Considera coessobreoModelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139AVetoreseMatrizes 143A.1 Vetores . . . . . . . . . . . . .