Apostila - Limites - Derivada - Integral

Matemtica - Economia aProf. Dr. Evandro Bittencourt UNIVILLE 5 de maro de 2003 c

Sumrio a1 Relaoes e Funes c co 1.1 Pares ordenados . . . 1.2 Relaoes . . . . . . . c 1.3 Denioes Gerais . . c 1.4 Funao . . . . . . . . c 1.4.1 Deniao . . c 1.4.2 Classicaao . c 1.4.3 Exerc cios . . 1.5 Intervalos . . . . . . 1.6 Campo de existncia e 1.6.1 Exerc cios . . 1.7 Representao grca ca a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14

2 Limites 2.1 Noao / Notaao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c c 2.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Indeterminaoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.3 Propriedades Operatrias . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4 Limite de uma Funo Algbrica Racional Inteira . . ca e 2.4.1 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Limite de uma Funo Algbrica Racional Fracionria ca e a o 2.5.1 1 Caso: xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 2o Caso: x . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Limite de uma funao irracional . . . . . . . . . . . . c 2.6.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exerc cios gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Continuidade de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . co 2.8.1 Condioes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.8.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Limite laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Limite e limites laterais . . . . . . . . . . . . 2.8.5 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Prof. Evandro Bittencourt - Matemtica - Economia - 2003 a

2

3 Derivadas 3.1 Acrscimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Relaao Incremental . . . . . . . . . . . . . c 3.3 Derivada de uma funo . . . . . . . . . . . ca 3.3.1 Deniao . . . . . . . . . . . . . . . c 3.3.2 Simbologia de derivada . . . . . . . . 3.4 Regra geral de derivao . . . . . . . . . . . ca 3.4.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Frmulas de derivadas de funoes algbricas o c e 3.5.1 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Derivada de uma funo logar ca tmica . . . . . 3.6.1 Frmulas . . . . . . . . . . . . . . . o 3.6.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Derivada de uma funo exponencial . . . . ca 3.7.1 Frmulas de derivaao . . . . . . . . o c 3.7.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Exerc cios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Interpretao geomtrica da derivada . . . . ca e 3.10 Aplicaoes das derivadas . . . . . . . . . . . c 3.10.1 Funoes crescentes e decrescentes . . c 3.10.2 Inclinao da tangente a curva . . . . ca 3.11 Mximos e M a nimos . . . . . . . . . . . . . 3.11.1 Regras para determinao dos pontos ca 3.11.2 Ponto de Inexo . . . . . . . . . . . a 3.11.3 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de mximos a . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m nimos . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 23 23 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29

4 Derivadas Parciais 4.1 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tcnicas de derivao parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ca 4.3 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Integral - Antiderivada 5.1 Integrao Indenida ca 5.2 Frmulas . . . . . . . o 5.3 Exerc cios . . . . . . 5.4 Integral Denida . . 5.4.1 Simbologia . . 5.4.2 Exemplo . . . 5.4.3 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3

1

Relaes e Funes co co

Neste cap tulo, vamos denir um conceito muito importante na Matemtica: o de a funo. Antes vamos estudar dois outros conceitos: o de par ordenado e o de relaao. ca c

1.1

Pares ordenados

Nos conjuntos a ordem dos elementos no altera o conjunto. No entanto, existem a certas situaoes em que a ordem importante. No caso de um conjunto de dois elementos, c e chamaremos par ordenado, indicado por (a, b), o conjunto de elementos a e b onde a ordem dos elementos importante. Note que, de acordo com esta denio, temos e ca (a, b) = (b, a) Quando ambos os elementos do par ordenado forem nmeros reais, podemos representar o u par ordenado em um sistema cartesiano de coordenadas, que um plano onde so denidos dois e a eixos de nmeros reais, chamados x e y, de forma u que eles se cruzem nos pontos x = 0 e y = 0, sendo o eixo x posto na horizontal e o eixo y, na vertical. Um par ordenado (a,b) pode ser representado nesse sistema de coordenadas se associarmos ao elemento a um valor no eixo x e ao elemento b um valor no eixo y. Dessa forma, podemos encontrar um ponto de coordenadas (a, b) nesse sistema cartesiano, representando assim o par ordenado (como na gura).

yTb

s (a,b)

a

x

E

Ex.1.:represente o par ordenado (2,3) no sistema cartesiano de coordenadas: Soluo: ca yT3

s (2,3)

0

2

x

E

Ex.2.:represente o par ordenado (-3,1) no sistema cartesiano de coordenadas: Ex.3.:represente o par ordenado ( 1 ,2) no sistema cartesiano de coordenadas: 4


4

1.2

Relaes co

Dados dois conjuntos, A e B, chamamos de relaao de A em B um conjunto de pares c ordenados tal que os primeiros elementos dos pares pertencem ao conjunto A e os segundos elementos dos pares pertencem ao conjunto B, de forma que, dados os conjuntos: A = {a, b, c, d}, temos que R = {(a, e), (b, f ), (c, h), (d, i)} uma relao de A em B. e ca........................................... ........ .......... ..... ........ ..... ................................ ..... . ............... . e . .... ........... ....... ......... ...................... ..... .... ... ........ ........................................................................................... ... ..... ....................... ....... .. ... ...... a ................ .. f . ................................ ... ..... . . . .... ............................... ....... . . A ..... ....................... . . .... . . . . . .... g . . b . . . . .. . . ................................................................ . . . . . ........................................................................ . .. . . . . . . .. . .. h . .. .. c . . . .. ...... .. ... .. ........................................................................................................................................... ..... ..... ... ... ... .. i ......... d ...................... ... .... ... .... ..... .... ............................................................... ...... j ................... ......... .............. .............................

B = {e, f, g, h, i, j},

B

Ex.1.: escreva uma relao entre os conjuntos A={2,0} e B={-1,3,4}: ca Soluo: uma das relaes poss ca co veis e R = {(2 1), (0, 4)}. Ex.2.: escreva uma relao entre os conjuntos E={elefante,girafa,boi} e ca F={pescoo,escamas,chifres,tromba}. c Ex.3.: construa a relaao que associa a todo nmero real o quadrado do seu valor. c u Soluo: esta relaao dada por ca c e R = {(x, x2 ), x R}.


5

1.3

Denies Gerais co

1. Constante: uma quantidade cujo valor permanece invarivel mum problema partie a cular. Ex.: C = 2R, 2 e so constantes. a 2. Varivel: uma quantidade que pode assumir diversos valores num problema partia e cular. Ex.: C = 2R, C e R so variveis. a a 3. Dom nio: o conjunto de valores que a varivel pode assumir. e a Ex.: x = a1 , a2 , a3 , . . . , an

1.41.4.1

Funo caDenio ca

Sejam duas variveis x e y denidas em seus respectivos dom a nios. Se a cada valor do dom nio de x correspondem um ou mais valores do dom nio de y, diz-se que y funo de e ca x e representa-se por y=f(x), onde: x varivel independete a y varivel dependente a f(x) s mbolo usado para indicar uma funao de x. c 1.4.2 Classicao ca

1. Quanto a natureza (a) Algbricas, quando envolvem operaoes elementares como: adio, multiplicao, e c ca ca diviso, potenciaao e radiciaao. a c c a 2 Ex.: y = 3x , y = , y = x, etc. x (b) Transcendentes, quando envolvem outras operaes como: logaritmos, exponenco ciais e trigonomtricas. e Ex.: u = logx, y = e2x , y = senx, etc. 2. Quanto a determinaao c (a) Univalentes, quando a correspondncia un e e voca. 2 Ex.: y = 5x + 3x 1....... ............ ................. . ..... .... v ....... . .. . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .. ... .. v .... .... ...... .. .................................. ....... ............ ................. .... ..... ... .... E v . .. .. . .. . . . . . . . . . .. .. .. .. ... E v .. .... .. ...... .... ..................................

x

y

(b) Plurivalentes, quando a correspondncia plur e e voca. Ex.: y = x............................ ............................ ..... .. ........ ........ X .... ..... ..... $ v ....... ... ...$ .. .. . . $$ . . . $ .. . . . . . . . . . . . . . . v $$ $ .. . . . . . . . . . . .. .. . .. .. . .. . .. . ... ... .. .. .... z ..... v ..... .... ...... . ........ .................................. ............................

x

y


6

3. Quanto a variao ca (a) Crescente, quando x e y variam no mesmo sentido. Ex.: y = 2x + 1, y quando x, ou y quando x (b) Decrescente, quando x e y variam em sentido contrrios. a 1 Ex.: y = x , y quando x, ou y quando x 2 4. Quanto a forma (a) Expl citas, quando esto indicados com clareza as operaoes em torno das variveis a c a indenpendentes para obteo das variveis dependentes, ou seja, y=f(x). ca a Ex.: y = x2 + 3.x 5 (b) Impl citas, quando as operaoes no esto indicadas com clareza, ou seja, f(x,y)=0. c a a 2 Ex.: 2.x + 3.x.y x.y = 0 1.4.3 Exerc cios

1. seja y=f(x) e y = x2 + 5x 3, achar f(1), f(2), f(5), f(-2), f(-1), f(0) 2. se f (x) = x3 3x2 + 5, achar f(b+1) 3. se f (x) = 4. se f (x) = 3 1 2a3 x 3a + + achar f ? 2 x 5 2x a 1 3 3 + 3x2 + 2 achar f ? 1 bx b b 1 b 3 a2 b1 + x1 x0 achar f a2 ? b

5. se f (x) =

1.5

Intervalos

Intervalo numrico real de uma varivel, o conjunto de todos os nmeros reais compreene a e u didos entre dois extremos e que podem ser atribu dos ` varivel. a a Sejam a e b dois nmeros reais, onde a 1 x2 se x 1 3 x2 se x 1 1 + x2 se x > 1 8) Q(x) = 9) F (x) =

15

4) g(x) = 5) G(x) = 6) f (x) = 7) f (x) =

;a = 1 ;a = 1 ;a = 1 ;a = 1

1 se x = 2 x2 ;a = 2 0 se x = 2 x2 9 se x = 3 x3 ;a = 3 2 se x = 3

3 + x2 se x < 2 0 se x = 2 ; a = 2 10) R(x) = 11 x2 se x > 2


16

33.1

DerivadasAcrscimos ea) Acrscimo de uma varivel livre (independente) e a O acrscimo de uma varivel livre x, que passa de um valor inicial x1 ` outro x2 , a e a a e diferena x2 x1 , positiva ou negativa representada pelo s c mbolo x. Assim, x = x2 x1x1

4x

x2

Exemplo: Se x1 = 15 e x2 = 15, 02 x = 15, 02 15 = 0, 02 b) Acrscimo de uma varivel dependente e a O acrscimo de uma varivel y dependente de x ou seja y = f (x), que passa de um e a valor inicial de y1 a outro y2 quando x passa de x1 ` x2 , a diferena y2 y1 , positiva a e c ou negativa, representada pelo s mbolo y. Assim, y = f (x2 ) f (x1 ) = y2 y1 y TT

y2

yc y1

. ... . ... . ... . ... . ... .. ..... ... .....................x1'

x

E

x2

E

x

Exemplo: Se y = x2 + 1 e x passa de 1,0 para 1,2. y = y2 y1 = 2, 44 2 = 0, 44

3.2

Relao Incremental ca

Seja y = f (x) ento obtemos a relaao incremental do seguinte modo: a c 1o ) Atribuindo-se a x o acrscimo e y+ x, temos para y um acrscimo e y = f (x + x) (1) y, ou seja,


17

2o ) Subtraindo-se de (1) a funao dada, temos: c y+ y y y = = = f (x + f (x) f (x + x) x) f (x) (2)

3o ) Dividindo-se (2) por

x, temos a relao incremental: ca y f (x + = x x) f (x) x

3.33.3.1

Derivada de uma funo caDenio ca

Derivada de uma funao y = f (x) o limite da razo incremental, quando o acrscimo da c e a e varivel livre (independente) tende a zero. a lim y dy = x dx

x0

3.3.2

Simbologia de derivada

Seja y = f (x) ento podemos escrever derivada de y em relao a x como: a ca dy df (x) = y = f (x) = Df (x) = Dy = dx dxLeibnitz Lagrange Cauchy

3.4

Regra geral de derivao cax, de sorte que corresponder para y um acrscimo a e y.

Para se obter a derivada de uma funo y = f (x): ca 1o ) Atribuir a x um acrscimo e 2o ) Formar a expresso de a

y, subtraindo-se a funao acrescida da funao inicial. c c y , dividindo-se x y x y por x

3o ) Estabelece a relaao incremental c 4o ) Achar 3.4.1 dy , calculando-se, lim 4x0 dx

Exemplo

y = mx + b 1o ) y + 2) o

x = m(x + y+ y y y

x) + b

= m(x + x) + b = mx + b = m x

3o )

y m x = =m x x

Prof. Evandro Bittencourt - Matemtica - Economia - 2003 a dy y = lim x0 dx x dy = lim m = m x0 dx Exerc cios

18

4o )

3.4.2

a) y = 3x2 + 5 b) y = x3 2x + 7 c) y = d) y = e) y = c x2 1 1 2x x2 3 +2

3.51) 2) 3) 4) 5) y y y y y

Frmulas de derivadas de funes algbricas o co ey y y y y =0 =1 = ku =u +v +t = m.um1 .u u y = m m um1 y = u .v + u.v u .v u.v y = v2 derivada derivada derivada derivada derivada de de de de de uma constante varivel a constante por varivel a uma soma uma potncia e

=k =x = ku =u+vt = um 6) y = m u 7) y = u.v u 8) y = v 3.5.1 Exerc cios

derivada de uma raiz derivada de um produto derivada de um quociente

a) y = 2x b) y = x3 c) y = 3x2 d) y = (3x)2 e) y = x f ) y = x 2 g) y = x4 + 2x3 5 h) y = 6x 2 + 5.x 2 i) y = 1 2x j) y = (4x 5)(1 3x2 ) k) y = (5x 7)37 1 1

Prof. Evandro Bittencourt - Matemtica - Economia - 2003 a a+x ax 3x m) y = 5 7x l) y = n) y = 2x4 b2 x2 3 x o) y = (5 x2 ) 2 x1 + (3x)2 4 5x

19

p) y =

3.6

Derivada de uma funo logar ca tmica

Sempre que poss para estas funoes deveremos usar as propriedades operatrias de logavel c o ritmos. 3.6.1 Frmulas o y = y = u . log e u

a) y = log u b) y = ln u 3.6.2

u u

Exerc cios

a) y = ln(ax + b) b) y = log ax c) y = ln[(ax + b)3 ] d) y = log x3 e) y = log3 x 5x 3 x2 g) y = ln 9 x2 f ) y = log h) y = x. log x i) y = log ax. a + x log 3x j) y = 5 x

3.73.7.1

Derivada de uma funo exponencial caFrmulas de derivao o ca y = au . ln a.u y = eu .u

a) y = au b) y = eu


20

3.7.2

Exerc cios

a) y = enx b) y = 103x c) y = e 5x2 +x2

d) y = ec

e3x e) y = 7x ln 5x f) y = x e g) y = ln(x2 .ex ) h) y = ln e x i) y = e5x . ln2 7x 4 e3x j) y = 5 7x2

3.8

Exerc cios Gerais3

a) y = x 2 + b) y =

5x

(4 3x)2 3x c) y = 4x. 2 5x d) y = 7 x2 e) y = (4 3x)3 f ) y = x2 .e 5x g) y = ex + ex ex ex

h) y = x2 . log 5x i) y = log 2x 1 + x2 a + bx a bx

j) y = log


21

3.9

Interpretao geomtrica da derivada ca ey TT

Seja a funo y = f (x) denida em (a, b) e representada pela curva C. ca s ... Q .. .. u ... . . .. . . . ... t ... . . P..... ...... R .... ............ .. u . . ......... x

y2

yc y1

. . .........

'

1

x

E

x2

E

x

Consideremos os pontos P(x1 , y1 ) e Q(x2 , y2 ) ou Q(x1 + x, y1 + y) da curva. Tracemos a secante s passando por P e Q, bem como, a tangente t ` curva em P. Se traarmos a c PR paralelo ao eixo de x, o PQR retangulo e seus catetos RQ e RP so os acrscimos e a e y e x, ento: a RQ = RP Se zermos x 0, ento: a y = tg (coeciente angular da reta PQ) x

4x0

lim

y = lim tg = tg (coeciente angular da reta t em P) x 4x0

Concluso: A derivada de uma funao y = f (x), em um ponto qualquer do seu campo de a c denio, igual a declividade da tangente ` curva neste ponto. ca e a

3.10

Aplicaes das derivadas co

Atravs do conhecimento de derivadas, para um determinado valor de x, podemos saber: e a) Se a funao crescente ou decrescente. c e b) A inclinaao da tangente ` curva ou seja, se a curva] em um ponto qualquer tem sua c a tangente vertical, horizontal ou inclinada. c) Se a funao passa por pontos de mximo ou m c a nimos.

Prof. Evandro Bittencourt - Matemtica - Economia - 2003 a y T

22

. ... . . . ... . ......... = 0o . ... .. .. ... .............. .. f. .. .. .. ... > 90o... < 90o ... f ... . .. .. .... f. .. ... . f. .... f.. ... ....... ... ............... o...... ..... .. .. . . . .

= 90o

........ ......... .. .. . . .

.... ... .. .. . . . .

=0

E

x

3.10.1

Funoes crescentes e decrescentes c

Para vericarmos se uma funo y = f (x), denida em (a, b) crescente ou decrescente em ca e um ponto qualquer do referido intervalo, calculamos a derivada primeira da funao e, se: c a) f (x) > 0 b) f (x) < 0 crescente decrescente

Exemplo: Seja y = x2 3x + 1, vericar se a funo crescente ou decrescente no pontos -1, 0 e 2. ca e 3.10.2 Inclinao da tangente a curva ca

Para vericarmos se uma curva em um ponto qualquer tem sua tangente horizontal, vertical ou inclinada. Calculamos a derivada primeira da funo, e se: ca a) b) c) d) f f f f (x) > 0 (x) < 0 (x) = 0 (x) = < 90o e a tangente inclinada e o > 90 e a tangente inclinada e = 0 e a tangente horizontal e o = 90 e a tangente vertical e

Exemplo: Seja y = x2 + 1, vericar a inclinaao da curva em -1, 0, 1, . c


23

3.11

Mximos e M a nimosy T

. ... . . . . .... . . .......... .. .. ... .............. .. .. .. .. ... ..... . ... .. .. .. ... .. ... . .... .... .... ... ....... ................M nimo Mximo a

E

x

Pto de inexo a

3.11.1

Regras para determinao dos pontos de mximos e m ca a nimos

a) Achar a derivada primeira da funo: y ca b) Igualar a zero a derivada primeira e obter as ra da equao obtida: y=0 zes ca c) Achar a derivada segunda da funo: y ca d) Substituir as ra obtidas no item 2 na derivada segunda, e se: zes nimo y > 0 m y < 0 mximo a nimo ? m y =0 mximo a ? ponto de inexo ? a 3.11.2 Ponto de Inexo a

Seja y = f (x) ento se f (x) e f (x) se anularem para x = xo e f n (x) a primeira derivada a e que no se anula para x = xo temos: a - se n for par f n (xo ) > 0 m nimo n f (xo ) < 0 mximo a

- se n for mpar f n (xo ) = 0 ponto de inexo e a 3.11.3 Exerc cios

1) y = x2 + 2 2) y = x2 + 3 3) y = x2 + 4x 4) y = x2 + 6x 5) y = x3 6) y = x3 12x


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7) y = x3 6x2 8) y = x3 3x2 9x + 5 9) y = x3 3x2 10) y = x4 11) y = x5 + 3 12) y = x +2

1 x

2a3 13) y = x + x 14) y = a2 b x2 + x 2ab2

15) Uma folha de papel para um cartaz tem 2m2 de rea, as margens no tpo e na base a o so de 25cm e no lados 15cm. Quais so as dimenses sabendo que a rea impressa e a a o a mxima? a 16) Um produtor de vinhos querendo negociar agora os 180 barris que possui, obter no a mercado R$600 por barril. Se porm, esperar algum tempo ele sabe antecipadamente e que conseguir um aumento de produao em 30 barris/semana, enquanto haver uma a c a queda de R$50 no preo do barril por semana. Dentro de quantas semanas dever o c a produtor vender todo o vinho para que obtenha a maior receita poss vel. 17) Supondo que um fabricante possa vender x unidades por semana ao preo P = 200 c 0, 01x reais cada e que a fabricaao dessas x unidades custa y = 50x + 20.000 reais. c Qual o n de produao que proporcionara lucro mximo. vel c a 1 18) Seja CT = 1000 + 3x + x2 a funao custo total associada ` produao de um bem, e c a c 20 na qual x representa a quantidade produzida. Determinar: dCT dx (b) O Custo Marginal ao n de 20 unidades vel (a) A Funo Custo Marginal Cm = ca (c) Determinar, caso existam, os valores de x para os quais o custo marginal zero. e 19) Responder as perguntas do problema anterior para cada uma das seguintes funoes de c custo: (a) CT = 2x + 100 (b) CT = 4x + 25 + 30 1 (c) CT = x3 5x2 + 10x + 120 2 1 (d) CT = 100e 20 x 20) Conforme a Figura 1, o custo para a disposiao lateral e para a disposio longitudinal c ca de R$3.000 e R$6.750 para cada linha de mquina respectivamente. Como dispor 36 e a mquinas de modo que o custo seja m a nimo.


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Figura 1: Disposiao das Mquinas c a

21) Conforme a Figura 2, o tempo para a movimentao das peas fabricadas pela mquina ca c a usando a esteira e a empilhadeira 1,5 m/s e 2,0 m/s respectivamente. Qual a posiao e c do ponto C, na lateral da unidade fabril para minizar o tempo entre o ponto A e o ponto D. Figura 2: Esquema de movimentao de peas para expedio ca c ca

22) Uma companhia que promove excurses (Paraguai bate/volta) constata que, quando o o preo mdio era de R$90 por pessoa, o nmero mdio de clientes era de 200 por c e u e semana. Aps reduzir o preo para R$80 por pessoa, o nmero mdio de clientes o c u e aumentou para 250 por semana. Admitindo que a funao procura seja linear, que c preo deve ser cobrado para obter a receita semanal mxima? c a 23) Existe um certo custo relacionado em manter uma pea em estoque durante um ano c (o custo do capital empatado, o custo das instalaoes, refrigerao, limpeza e seguros). c ca


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Para diminuir o custo de estoque poderemos manter uma pol tica de reposiao de c peas durante o ano. Geralmente tambm existe um custo relacionado com pedidos c e de reposiao de peas (documentaao, despesas de pedido e transporte). Existe a c c c necessidade de calcular o nmero de peas que deve ser encomendadas de cada vez, u c que possibilite minimizar o custo total (Equaao 1). c Custo Total=Custo anual de manuteno do estoque+Custo anual dos pedidos (1) ca Exemplo: Existe a necessidade de 1000 unidades anuais de um determinado item. O custo anual de manter cada item em estoque de R$50 e o custo de cada encomenda (pedido) de e e R$1.000. Determinar a quantidade de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez, de forma a minimizar o custo total de operaao do estoque. c 24) A determinaao de zeros das funes muitas vezes necessria. O mtodo de Newton c co e a e e um processo iterativo, bastante utilizado nestes casos. A Equaao 2 resume o mtodo. c e xn+1 = xn f (xn ) f (xn ) (2)

O valor de xn na primeira iteraao um valor adotado. As iteraoes seguem utilizando c e c o valor obtido xn+1 na ultima iteraao como xn na prxima. c o Quanto mais xn+1 se aproximar do valor de xn , mais exato vai ser a resposta. Para cada uma das equaes abaixo, encontre as ra usando o mtodo de Newton. co zes e (a) x3 19 = 0 (b) 6x 1 x2 = 0 (c) x7 + 4x3 + 12 = 0 25) Um equipamento de R$10.000 nanciado em 3 parcelas mensais de R$3.000, 5.000 e e 4.000 respectivamente. Qual foi a taxa de juros utilizada?


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4

Derivadas Parciais

As derivada parcial a derivada de funoes com duas ou mais variveis independentes. e c a Considerando a funao y = f (x1 , x2 , x3 , ...., xn ) onde as variveis x1 , x2 , x3 , ...., xn so todas c a a independentes uma das outras, de modo que cada uma pode variar sem afetar as demais.

4.1

Simbologia

Usamos s mbolos espec cos para denotar as derivadas parciais. A derivada parcial de y em y relao a x1 descrita como ca e x1

4.2

Tcnicas de derivao parcial e ca

Quando derivamos determinada funo em relaao a uma determinada varivel, as outras ca c a variveis so consideradas como constantes. a a Exemplo: Dada y = f (x1 , x2 ) = 3x2 + x1 x2 + 4x2 , achar as derivadas parciais. 1 2 Soluo: ca y = 6x1 + x2 x1 y = x1 + 8x2 x2

4.3

Exerc cios3u 2v , achar as derivadas parciais. u2 + 3v

1) Dada y = f (u, v) = (u + 4)(3u + 2v), achar as derivadas parciais. 2) Dada y =

3) Ache as derivadas parciais de cada uma das seguintes funoes: c (a) y = 2x3 11x2 x2 + 3x2 1 1 2 (b) y = 6x1 + 16x1 x2 9x3 2 2 (c) y = (2x1 + 3)(x2 2) 2x1 + 3 (d) y = x2 2 (e) z = x2 + 5xy y 3 (f) z = (x2 7y)(x 2) (g) z = (h) z = 2x 3y x+y x2 1 xy

4) O modelo de mercado simples, contendo uma mercadoria, pode ser escrito na forma de duas equaoes: c Q = a bP Q = c + dP (a,b > 0) [demanda] (c,d > 0) [oferta]

Onde Q a quantidade e o P o preo, (a, b, c, d) so parmetros positivos. e e c a a brio, bem como as derivadas parciais Achar o preo (P ) e a quantidade (Q) de equil c de preo e quantidade de equil c brio em relaao as parmetros (a, b, c, d). c a


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Integral - Antiderivada

A integraao tem duas interpretaoes distintas; o procedimento inverso da diferenciao e c c e ca um mtodo usado para determinar a rea sob uma curva. e e a Se uma funao derivada e, a seguir, a funao resultante integrada, o resultado a funo c e c e e ca original. Exemplo: Dada a funao y = f (x) = x2 + 3x, ache a funo derivada, e ento use a intec ca a grao para achar a funao original. ca c y = x2 + 3x y = 2x + 3 2x + 3 = 2x2 + 3x = x2 + 3x 2

5.1

Integrao Indenida ca

O processo que determina uma funao cuja derivada conhecida chama-se integrao e a c e ca funao exigida denominada uma integral ou uma antiderivada da funao dada. c e c Se F(x) uma integral com relaao a x da funao f(x), a relao entre F(x) e f(x) expressa e c c ca e assim: f (x)dx = F (x) + C C uma constante qualquer da funo antiderivada. e ca

5.2

Frmulas o

As frmulas de integraao so as frmulas da derivaao apropriadamente inversas. o c a o c 1) 2) 3) 4) 5) y=c y = c.xn 1 y= u y = eu y = au ydx = cx c ydx = .xn+1 + c2 n+1 ydx = ln u + c ydx = eu + c 1 u ydx = .a + c ln a c = constante qualquer

Exemplo Grco a

y = 2x

y = x2 + c


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5.31) 2) 3) 4)

Exerc ciosxdx (x2 + 2)dx (x + 3x)dx (x2 x + 4)dx3

5) 6) 7)

(2 7t)2/3 dt 2 + 5ydy

dx (3x + 2)2

Exerc cios Aplicados 1) O custo marginal y como uma funo de x unidades produzidas dado por y = ca e 1, 064 0, 005x. Ache as funoes de custo total mdio, se o custo xo igual a 16,3. c e e e 2) O custo marginal y como uma funo de x unidades produzidas dado por y = ca e 2 2 + 60x 5x . Ache as funoes de custo total mdio, se o custo xo igual a 65. c e e e 3) Se a funo de receita marginal R (x) = 8 6x 2x2 determine as funoes de receita ca e c total e de demanda. 4) Se a funo de receita marginal R (x) = 12 8x x2 determine as funoes de receita ca e c total e de demanda.

5.4

Integral Denida

Podemos interpretar a integral denida como sendo igual ` rea sob uma curva. aa 5.4.1 Simbologia

A integral denida a antiderivaao entre dois limites: e cb

f (x)dxa

a e b so os dois limites da integral denida, o resultado a rea sob a funao f (x) entre os a e a c valores x = a e x = b. 5.4.2 Exemplo

Calcular a rea sob a funao f (x) = 2x + 2 entre x=1 e x=4. a c Resoluo: ca4 1

(2x + 2)dx = x2 + 2x

4 1

= (42 + 2.4) (12 + 2.1) = 21 u.a.

5.4.3

Exerc cios

Calcule as seguintes integrais:1

1)0 1

(x2 2x + 3)dx

2

3)0 1

(4x + 1)1/2 dx dx 2x + 1

2)1

(v + 1)2 dv

4)0

Apostila - Limites - Derivada - Integral

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