Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1....

28
Κεφ αλαιο 9 ΗΧαμιλτονιανηΘεωρηση Με αντρε ια, μεσκληροτητα στερ εωσε απ ανω στο σαλευομενο χ αοτοκαταστρογγυλο, τοκαταφωτιστο αλωνιτουνου, ν αλων ισει, να λιχν ισει, σα νοικοκ υρη, τα σ υμπαντα.” Ν ικο Καζαντζ ακη 9.1 Εισαγωγ η Κατ ατηνευτωνειαθεωρησητημηχανικ η, μπορουμε να προσδιο- ρ ισουμε τη θ εση x i κ αθε σωματιδ ιου σε ενα αδρανειακ ο καρτεσιαν οσυ- στημα αναφορ α, αν γνωρ ιζουμετη δυναμη F i που ασκε ιται στο σωματ ι- διο, ολοκληρωνοντατοδευτερον ομοτου Νευτωνα d 2 x i dt 2 = F i . (9.1) Δεδομ ενων των αρχικων θ εσεων και των ταχυτ ητων των σωματιδ ιων, κ αθε σωματ ιδιο διαγρ αφει μ ια τροχι α στον τρισδι αστατο ευκλε ιδειοχωρο. Οταν πρ οκειται για N σωματ ιδια, εχουμε N τροχι ε στον τρισδι αστατο χωρο. Στηνευτωνειαθεωρησηηκ ινηση εξελ ισσεται στον τρισδι αστατο φυσικ οχωροκαικ αθε σωματ ιδιο διαγρ αφει μ ια ξεχωριστ η τροχι α. Αντ ιθετα με τη συμφωνη μετι αισθ ησει μα εξ ελιξη του συστ ηματο στηνευτωνειαθεωρηση, στη λαγκρανζιαν ηθεωρηση ηκ ινηση του συστ η- Η κ ινηση απ οτοχωρο των αισθ ησεων στο θεσεογραφικ οχωρο ματο διαδραματ ιζεται στον αφηρημ ενο πολυδι αστατο και οχι κατ αν α- γκην ευκλε ιδειο χωρο των γενικευμ ενων θ εσεων και η τροχι α ολου του συ- στ ηματο σε αυτ ο τοχωροε ιναι μ ια και μοναδικ η. Αυτ ο σημα ινει οτι, αν η θ εση των σωματιδ ιων προσδιορ ιζεται απ ο τι n γενικευμ ενε συντεταγ- μ ενε q i , η τροχι α του συστ ηματο ε ιναι μ ια μοναδικ η καμπυλη στον n- δι αστατο χωροτωνγενικευμ ενων θ εσεων. Οχωροαυτ ο, οπω εχουμε αναφ ερει στο Κεφ αλαιο 4, ε ιναιο καλουμενο θεσεογραφικ οχωρο. Η τροχι α του συστ ηματο N σωματιδ ιων στο θεσεογραφικ οχωροε ιναι μ ια καμπυλη σε εναχωρο 3N διαστ ασεων, αφουαπαιτουνται 3N συντεταγ- μ ενε για τον προσδιορισμ ο τη θ εση ολων των σωματιδ ιων. Για να γ ινει πιο απτ η η διαφορ αμεταξυτουχωρουστον οπο ιο πραγ- ματοποιε ιται η κ ινηση στη νευτωνεια θεωρηση και του αντ ιστοιχουχω- 273

Transcript of Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1....

Page 1: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

Κεφαλαιο 9

Η Χαµιλτονιανη Θε£ωρηση

“Με αντρεια, µε σκληροτητα στερεωσε απανωστο σαλευοµενο χαο το καταστρογγυλο,

το καταφ£ωτιστο αλ£ωνι του νου,ν αλωνισει, να λιχνισει, σα νοικοκυρη, τα συµπαντα.”

Νικο Καζαντζακη

9.1 Εισαγωγη

Κατα τη νευτ£ωνεια θε£ωρηση τη µηχανικη, µπορουµε να προσδιο-ρισουµε τη θεση ~xi καθε σωµατιδιου σε ενα αδρανειακο καρτεσιανο συ-στηµα αναφορα, αν γνωριζουµε τη δυναµη ~Fi που ασκειται στο σωµατι-διο, ολοκληρ£ωνοντα το δευτερο νοµο του Νευτωνα

d2~xi

dt2= ~Fi . (9.1)

∆εδοµενων των αρχικ£ων θεσεων και των ταχυτητων των σωµατιδιων,καθε σωµατιδιο διαγραφει µια τροχια στον τρισδιαστατο ευκλειδειο χ£ωρο.Οταν προκειται για N σωµατιδια, εχουµε N τροχιε στον τρισδιαστατοχ£ωρο. Στη νευτ£ωνεια θε£ωρηση η κινηση εξελισσεται στον τρισδιαστατοφυσικο χ£ωρο και καθε σωµατιδιο διαγραφει µια ξεχωριστη τροχια.Αντιθετα µε τη συµφωνη µε τι αισθησει µα εξελιξη του συστηµατο

στη νευτ£ωνεια θε£ωρηση, στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση η κινηση του συστη- Η κινηση απο το χ£ωρο

των αισθησεων στο

θεσεογραφικο χ£ωρο

µατο διαδραµατιζεται στον αφηρηµενο πολυδιαστατο και οχι κατ ανα-γκην ευκλειδειο χ£ωρο των γενικευµενων θεσεων και η τροχια ολου του συ-στηµατο σε αυτο το χ£ωρο ειναι µια και µοναδικη. Αυτο σηµαινει οτι, ανη θεση των σωµατιδιων προσδιοριζεται απο τι n γενικευµενε συντεταγ-µενε qi, η τροχια του συστηµατο ειναι µια µοναδικη καµπυλη στον n-διαστατο χ£ωρο των γενικευµενων θεσεων. Ο χ£ωρο αυτο, οπω εχουµεαναφερει στο Κεφαλαιο 4, ειναι ο καλουµενο θεσεογραφικο χ£ωρο. Ητροχια του συστηµατο N σωµατιδιων στο θεσεογραφικο χ£ωρο ειναι µιακαµπυλη σε ενα χ£ωρο 3N διαστασεων, αφου απαιτουνται 3N συντεταγ-µενε για τον προσδιορισµο τη θεση ολων των σωµατιδιων.Για να γινει πιο απτη η διαφορα µεταξυ του χ£ωρου στον οποιο πραγ-

µατοποιειται η κινηση στη νευτ£ωνεια θε£ωρηση και του αντιστοιχου χ£ω-

273

Page 2: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

274 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

ρου στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση, απεικονιζουµε στου αντιστοιχου χ£ω-ρου την κινηση δυο ασυζευκτων εκκρεµ£ων, τα οποια εκτελουν µικρε τα-λαντ£ωσει στο ιδιο κατακορυφο επιπεδο µεσα στο πεδιο βαρυτητα τηΓη. Τα µηκη των εκκρεµ£ων εχουν λογο 1 :

√2. Η τροχια του συστηµα-

το των εκκρεµ£ων στη νευτ£ωνεια θε£ωρηση αποτελειται απο δυο κυκλικατοξα στο κατακορυφο επιπεδο x−y, οπω φαινεται στο Σχηµα 9.1(α). Στηλαγκρανζιανη θε£ωρηση η τροχια του συστηµατο ειναι µια περιπλοκη κα-µπυλη. Αν προσδιορισουµε τη θεση των δυο εκκρεµ£ων µε τι δυο γωνιεαποκλιση αυτ£ων απο την κατακορυφο, η κινηση του για ορισµενε αρχι-κε συνθηκε και για καποιο χρονικο διαστηµα δινεται απο την καµπυλητου Σχηµατο 9.1(β). Αν θελουµε να ειµαστε ακρι1ολογοι, ο χ£ωρο τωνθεσεων εξαιτια τη περιοδικοτητα των συντεταγµενων αυτ£ων θα ειναιτοπολογικα ενα τορο (που εχει το σχηµα µια σαµπρελα), ενα κλει-στο δηλαδη χ£ωρο (βλ. Σχηµα 9.1(γ)). Επειδη στη λαγκρανζιανη θε£ω-ρηση οι ανεξαρτητε µετα1λητε ειναι οι θεσει qi και οι γενικευµενε τα-

Σχηµα 9.1: (α)Οι τροχιε δυο ασυζευκτων επιπεδων εκκρεµ£ων στη νευτ£ωνεια θε£ωρηση.(β) Η τροχια του συστηµατο των δυο εκκρεµ£ων στο χ£ωρο των γενικευµενων θεσεων. Ηθεση του συστηµατο προσδιοριζεται απο τι γωνιε θ1 και θ2 που σχηµατιζουν τα εκ-κρεµη µε την κατακορυφο. Η τροχια στο θεσεογραφικο χ£ωρο για ενα πεπερασµενο χρο-νικο διαστηµα ειναι η καµπυλη που φαινεται στο Σχηµα. Ο θεσεογραφικο χ£ωρο ειναιτο τετραγωνο−π ≤ θ1 < π , −π ≤ θ2 < π του οποιου οι αντιθετε πλευρε ταυτιζονταιλογω τη κυκλικοτητα του ορισµου των γωνι£ων. Τετοια τετραγωνα ειναι τοπολογικαισοδυναµα µε εναν απλο τορο (γ). Ο θεσεογραφικο χ£ωρο µπορει, λοιπον, να ειναι κα-µπυλο. Οποια µορφη, οµω, και αν εχει ο χ£ωρο, η κινηση στη λαγκρανζιανη θε£ωρησηδινεται παντα απο τι ιδιε εξισ£ωσει, τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange.

Page 3: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275

χυτητε qi, οι τροχιε στο χ£ωρο των θεσεων µπορουν να τεµνονται, διοτισε καθε σηµειο του χ£ωρου των θεσεων αντιστοιχουν πολλε γενικευµενε Στο θεσεογραφικο

χ£ωρο οι τροχιε

µπορουν να τεµνονται

ταχυτητε. Για παραδειγµα, το καθε εκκρεµε διερχεται απο το κατ£ωτεροσηµειο κινουµενο ποτε µε θετικη και ποτε µε αρνητικη ταχυτητα.Για να αποφυγουµε την τοµη των τροχι£ων (που ειναι εµφανη στο

Σχηµα 9.1(β)), επειδη οι εξισ£ωσει Euler - Lagrange ειναι δευτερη ταξη,πρεπει για ενα συστηµα n βαθµ£ων ελευθερια να θεωρησουµε ενα χ£ωρο2n διαστασεων. Ενα τετοιο χ£ωρο στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση ειναιο χ£ωρο των θεσεων και των ταχυτητων1 τον οποιο γραφουµε (q, q), εχο-ντα παραλειψει για λογου συντοµια του δεικτε. Σε αυτον το χ£ωροτων θεσεων και των ταχυτητων οι τροχιε του συστηµατο προσδιοριζο-νται απο τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange που µπορουν να γραφουν ισοδυ-ναµω ω ενα συστηµα 2n διαφορικ£ων εξισ£ωσεων πρ£ωτη ταξη

dqi

dt= qi , (9.2)

dpi

dt=

∂L

∂qi. (9.3)

οπου η κανονικη ορµη pi οριζεται ω συναρτηση ολων των q, q µεσω τησχεση

pi =∂L

∂qi

. (9.4)

Στι εξισ£ωσει αυτε οι γενικευµενε θεσει q και οι γενικευµενε ταχυ-τητε q εµφανιζονται ω ανεξαρτητε µετα1λητε, καταδεικνυοντα οτιγια τον προσδιορισµο τη τροχια απαιτειται οχι µονο η γν£ωση των qi αλλακαι των qi.

Η κατασκευη, οµω, τη µοναδικη αυτη τροχια στο χ£ωρο των θε-σεων και των ταχυτητων (q, q) ειναι ιδιαιτερα περιπλοκη. Α υποθεσουµε Χτιζοντα βηµα-βηµα

την τροχια στο χ£ωρο

θεσεων-ταχυτητων.

οτι το συστηµα βρισκεται στην αρχικη κατασταση (q(0), q(0)). Υπολογι-ζουµε πρ£ωτα απο την εξισωση (9.4) την αντιστοιχη κανονικη ορ-µη p(0).Στη συνεχεια υπολογιζουµε υστερα απο χρονο δt, αρκουντω µικρο, τηνp(δt) απο την (9.3) µεσω τη σχεση

p(δt) ≈ p(0) + δt∂L

∂qi

(q(0),q(0))

, (9.5)

η καποιου αλλου ακρι1εστερου τυπου αριθµητικη ολοκληρωση. Η νεαθεση προσδιοριζεται µεσω τη (9.2) ω

q(δt) ≈ q(0) + δt q(0) . (9.6)

Εχοντα προσδιορισει τη νεα θεση q(δt) και την ορµη p(δt), προσδιορι-ζουµε απο την (9.4), που ειναι µια αλγε1ρικη εξισωση ω προ q(δt), τη

1Προσεξτε οτι και σε αυτον το χ£ωρο ενδεχεται να τεµνονται οι τροχιε. Αυτο, βε1αια,συµ1αινει µονο οταν η Λαγκρανζιανη εχει αµεση εξαρτηση απο το χρονο. Αν θελαµενα αποφυγουµε την τοµη των τροχι£ων και για τι χρονοεξαρτ£ωµενε Λαγκρανζιανε θαεπρεπε να εµ1απτισουµε την κινηση στο (2n+1)-διαστατο χ£ωρο των θεσεων, των ταχυ-τητων και του χρονου (q, q, t). Σεεναν τετοιο χ£ωρο ειναι αδυνατον να τµηθουν οι τροχιετου συστηµατο.

Page 4: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

276 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

νεα q(δt) και επαναλαµ1ανοντα πολλε φορε ολα τα προηγουµενα βη-µατα προσδιοριζουµε τελικα ολη την τροχια.Η διαδικασια αυτη κατασκευη τη τροχια ειναι αν µη τι αλλο ακο-

µψη. Η µεγαλη συµ1ολη του Hamilton συνισταται στην παρατηρηση οτι ηΜηπω ειναι

ευκολοτερη η

κατασκευη τη

τροχια στο χ£ωρο των

θεσεων-ορµ£ων;

τροχια δεν πρεπει να θεωρηθει οτι εκτυλισσεται στο χ£ωρο των θεσεων καιτων ταχυτητων (q, q), αλλα στο χ£ωρο των θεσεων και των ορµ£ων (q, p). Οχ£ωρο αυτο ονοµαζεται χ£ωρο των φασεων. Στη χαµιλτονιανη θε£ωρηση,ενα µηχανικο συστηµα περιγραφεται µε ανεξαρτητε µετα1λητε τι θε-σει και τι ορµε, εν£ω οι γενικευµενε ταχυτητε q θεωρουνται συναρ-τησει των θεσεων και των ορµ£ων. Αυτο σηµαινει οτι στη χαµιλτονιανηθε£ωρηση η γενικευµενη ταχυτητα q(q, p) θα παιζει το ρολο που επαιζε ηκανονικη ορµη p(q, q) στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση.Στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση η ορµη p(q, q) οριζεται µεσω τη λαγκραν-

ζιανη συναρτηση ω η ακολουθη συναρτηση των θεσεων και των ταχυ-τητων :

pi =∂L(q, q, t)

∂qi. (9.7)

Θα δειξουµε οτι απο τη Λαγκρανζιανη µπορει να κατασκευαστει µια νεασυναρτηση των θεσεων και των ορµ£ωνH(q, p, t) µεσω τη οποια οι γενι-Πραγµατι, αλλα

χρειαζοµαστε µια

καταλληλη συναρτηση

εξελιξη

κευµενε ταχυτητε q(q, p) προκυπτουν απο τη σχεση

qi =∂H(q, p, t)

∂pi. (9.8)

Η συναρτηση αυτηH(q, p, t) λεγεται χαµιλτονιανη συναρτηση η απλα Χα-µιλτονιανη. Στη χαµιλτονιανη θε£ωρηση ανταλλασσονται οι ρολοι των γε-νικευµενων ταχυτητων µε τι κανονικε ορµε και αντικαθισταται η Λα-γκρανζιανη L(q, q, t) απο τη Χαµιλτονιανη H(q, p, t), η οποια, οπω θαδουµε παρακατω, παραγει την κινηση του συστηµατο µε απλο τροπο.

9.2 Μετασχηµατισµο Legendre

Η αλλαγη απο την L(q, q, t) στην H(q, p, t), ετσι £ωστε να ικανοποιου-νται οι αντιστροφε σχεσει (9.7) και (9.8), επιτυγχανεται µε τον αποκα-λουµενο µετασχηµατισµο Legendre. Για να κατανοησουµε τον τροπο µετον οποιο “δουλευει” αυτο ο µετασχηµατισµο, θα ξεκινησουµε κατα-σκευαζοντα το µετασχηµατισµο Legendreµια συναρτηση µια µετα1λη-τη.Εστω, η συναρτηση µια µετα1λητη f(x). Η παραγωγο τη οριζει

τη νεα συναρτηση

p(x) =df

dx. (9.9)

Ο µετασχηµατισµο Legendre τη f(x) ειναι εκεινη η συναρτηση τη p,g(p), η οποια εχει την ιδιοτητα να εχει ω παραγωγο την αντιστροφη συ-Τι ειναι ο

µετασχηµατισµο

Legendre;

ναρτηση τη p(x), x(p)

x(p) =dg

dp. (9.10)

Page 5: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.2. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE 277

Σχηµα 9.2: Γραφικη κατασκευη του µετασχηµατισµου Legendre. Αν µια συναρτηση f(x)εχει καµπυλοτητα σταθερου προσηµου, δηλαδη η p(x) = df/dx ειναι αυστηρα µονο-τονη, µπορει να οριστει η αντιστροφη τη p(x), η x(p). Στο διαγραµµα απεικονιζεται ηµονοτονη καµπυλη p(x) και αν αντιστρεψει κανει του αξονε µπορει να δια1ασει καιτην αντιστροφη συναρτηση, x(p).

Π£ω µπορει, οµω, κανει να κατασκευασει µια τετοια συναρτηση g(p);Α υποθεσουµε οτι η x(p), η αντιστροφη δηλαδη συναρτηση τη p(x),

υπαρχει. Αν για παραδειγµα επιλεξουµε τη συναρτηση f(x) = x3/3, ησυναρτηση p(x) ειναι η p(x) = df/dx = x2, οποτε x(p) =

√p. Αυτη η

αντιστροφη µπορει να επιτευχθει αν Συνθηκη υπαρξη του

µετασχηµατισµουdp

dx=

d2f

dx26= 0 , (9.11)

διοτι, τοτε, υπαρχει αµφιµονοσηµαντη αντιστοιχια µεταξυ τη x και τη p,οποτε υπαρχει η αντιστροφη συναρτηση x(p). Εννοειται οτι η παραπανωσυνθηκη θα πρεπει να ισχυει σε ολη την περιοχη ενδιαφεροντο. Με αλλαλογια για να υπαρχει µετασχηµατισµο Legendre τη f απαιτειται η κα-µπυλοτητα τη συναρτηση στην περιοχη αυτη να παρουσιαζει σταθεροπροσηµο.Απο τη στιγµη που εχουµε προσδιορισει την p(x), οριζουµε τη συναρ-

τηση Η συνταγη του

µετασχηµατισµουg(p) = x(p)p − f (x(p)) , (9.12)

στην οποια το x θεωρειται συναρτηση του p. Η g(p) ειναι ο ζητουµενοµετασχηµατισµο Legendre τη f(x). Πραγµατι ∆ουλευει σωστα;

dg

dp=

dx(p)

dpp + x(p) − df

dx

dx(p)

dp= x(p) , (9.13)

αφου εξ ορισµου p = df/dx.Τα καταφεραµε, αλλα π£ω σκεφτηκαµε αυτη την κατασκευη; Εστω Ναι, αλλα γιατι;

οτι η p(x) εχει ω γραφηµα αυτο του Σχηµατο 9.2. Το ιδιο γραφηµα µπο-ρει να εκφρασει και την x(p), αν ανταλλαξουµε του αξονε. Το εµ1αδον

Page 6: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

278 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

του χωριου (x0xBA) ειναι

E(x0xBA) =

∫ x

x0

p(x)dx =

∫ x

x0

df

dxdx = f(x) − f(x0) . (9.14)

Οµοιω, το εµ1αδον του χωριου (p0pBA) ειναι

E(p0pBA) =

∫ p

p0

x(p)dp =

∫ p

p0

dg

dpdp = g(p) − g(p0) . (9.15)

Το αθροισµα των δυο αυτ£ων εµ1αδ£ων ειναι η διαφορα των δυο ορθογω-νιων

E(x0xBA) + E(p0pBA) = p x − p0 x0 . (9.16)

Συνεπ£ω,f(x) − f(x0) + g(p) − g(p0) = p x − p0 x0 . (9.17)

Αυτο σηµαινει οτι η ποσοτητα

f(x) + g(p) − p x , (9.18)

πρεπει να ισουται µε µια σταθερα C. Μαλιστα, επειδη η αντιστροφη συ-ναρτηση τη p(x)

x(p) =dg(p)

dp,

προσδιοριζεται υστερα απο παραγ£ωγιση τη g(p) µπορουµε να ενσωµα-τ£ωσουµε στην g(p) τη σταθερα C και να συναγαγουµε, οπω διαπιστ£ω-σαµε προηγουµενω, οτι ο πλεον γενικο µετασχηµατισµο Legendre τηf(x) ειναι ο

g(p) = p x(p) − f (x(p)) . (9.19)

Ασκηση 9.1. ∆ειξτε οτι ο µετασχηµατισµο Legendre τη f(x) = xα/α µε α > 1ΑΣΚΗΣΕΙΣειναι η g(p) = pβ/β µε του εκθετε α και β να ικανοποιουν τη σχεση 1

α+ 1

β= 1.

Ασκηση 9.2. ∆ειξτε οτι, αν ικανοποιειται η εξισωση Clairaut y = px − g(p) µεp = dy/dx και g(p) καποια συναρτηση µε καµπυλοτητα σταθερου προσηµου, τοτε ικα-νοποιειται και η διαφορικη εξισωση x = dg/dp. Βρειτε µια λυση τη εξισωση Clairautγια g(p) = p2/2. Κατασκευαστε µια οικογενεια λυσεων δοκιµαζοντα λυσει τη µορφηy = αx+β και σχεδιαστε τι λυσει αυτε. Μπορειτε να βρειτε τη σχεση πουεχουν οι λυ-σει αυτε µε την πρ£ωτη λυση που βρηκατε; [Απαντηση: Ηπρ£ωτη λυση αποτελει την πε-ρι1αλλουσα τη οικογενεια των λυσεων. Η περι1αλλουσα τη οικογενεια f(x, α) = 0οριζεται η καµπυλη που εφαπτεται σε ολε τι καµπυλε τη οικογενεια και προσδιορι-ζεται αν απαλειψουµε το α απο τι f = 0 και ∂f/∂α = 0.]

Εαν η g(p) ειναι ο µετασχηµατισµο Legendre τη f(x), τοτε ποιο ει-Ποιο ειναι ο

µετασχηµατισµο

Legendre του

µετασχηµατισµου

Legendre;

ναι ο µετασχηµατισµο Legendre τη g(p); Θα δειξουµε οτι ειναι η αρχικησυναρτηση f(x). Πραγµατι, η αρχικη συναρτηση f(x) εκφραζεται µεσωτη (9.19) ω

f(x) = p x − g(p) , (9.20)

Page 7: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.2. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE 279

οπου τ£ωρα ολα τα p που εµφανιζονται θεωρουνται συναρτησει του x.Μπορουµε να προσδιορισουµε τη συναρτηση p(x) επιλυοντα την x(p) =dg/dp ω προ p.Για να µπορει, βε1αια, να εκφραστει η pω συναρτηση του x µεσω τη

σχεση x(p) = dg/dp πρεπει να ισχυει οτι

dx

dp=

d2g

dp26= 0 . (9.21)

Επειδη, οµω, ισχυει οτι

d2f

dx2

d2g

dp2=

dp

dx

dx

dp= 1 , (9.22)

η υπαρξη µετασχηµατισµου Legendre τη f(x) επι1ε1αι£ωνει αυτοµατωτην υπαρξη µετασχηµατισµου Legendre και τη g(p).

Ασκηση 9.3. Επι1ε1αι£ωστε οτι πραγµατι η f(x) ειναι ο µετασχηµατισµο Legendre ΑΣΚΗΣΕΙΣτη g(p), δηλαδη οτι ισχυει p = df/dx.

Η ιδια διαδικασια µπορει να ακολουθηθει, αν εχουµε πολλε µετα1λη- Και αν εχουµε

συναρτηση

περισσοτερων

µετα1λητ£ων;

τε. Εστω, για παραδειγµα, η συναρτηση

f(x1, x2, . . . , xn) ,

η οποια οριζει τι συναρτησει των xk

pi =∂f

∂xi

.

Εστω οτι επιλεξαµε να απαλειψουµε ενα υποσυνολο των µετα1λητ£ωνxi, µε i = 1, . . . , k αντικαθιστ£ωντα τε µε τι αντιστοιχε pi και ανα-ζητουµε το µετασχηµατισµο Legendre

g(p1, . . . , pk, xk+1, . . . , xn)

τη f ω προ τι µετα1λητε xi, µε i = 1, . . . , k. Αυτο ο µετασχηµα-τισµο Legendre δινεται απο τον τυπο

g(p1, . . . , pk, xk+1, . . . , xn) =

(

k∑

i=1

pixi

)

− f(x1, x2, . . . , xn) . (9.23)

Ευκολα διαπιστ£ωνουµε οτι η παραπανω g ικανοποιει τι σχεσει

xi =∂g

∂pi, για i = 1, . . . , k . (9.24)

Page 8: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

Στην εκφραση (9.23) τα xi, µε i = 1, . . . , k θεωρουνται συναρτησειτων p1, . . . , pk, xk+1, . . . , xn και προσδιοριζονται αν επιλυσουµε τι k εξι-σ£ωσει

pi =∂f

∂xi

.

Απαραιτητη προποθεση για να ειναι δυνατη αυτη η αντιστροφη ειναι οακολουθο k × k εσσιανο (Hessian), οπω αποκαλειται, πινακα

∂2f

∂xi∂xjγια 1 ≤ i, j ≤ k , (9.25)

να ειναι θετικο.

Ασκηση 9.4. Αποδειξτε την ισχυ των εξισ£ωσεων (9.24).ΑΣΚΗΣΕΙΣ

9.3 Η Χαµιλτονιανη

HΛαγκρανζιανη ενο φυσικου συστηµατο ειναι συναρτηση των γενι-κευµενων συντεταγµενων qi, των ταχυτητων qi και, εν γενει, του χρονου,δηλαδη ειναι µια συναρτηση τη µορφη

L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) .

Οι κανονικε ορµε που οριζονται ω

pi =∂L

∂qi,

ειναι συναρτησει των qi, qi και του χρονου και οριζονται χωρι να γινεταιΑπο τα q και q στα

q και p καµια αναφορα στη φυσικη κινηση του συστηµατο. Προκυπτουν ω µα-θηµατικα κατασκευασµατα αµεσα απο τη Λαγκρανζιανη. Η Χαµιλτονι-ανη οριζεται ω ο µετασχηµατισµο Legendre τη Λαγκρανζιανη ω προολε τι γενικευµενε ταχυτητε, δηλαδη ειναι η συναρτηση

H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t) ,

η οποια ικανοποιει τη σχεση

qi =∂H

∂pi.

Συµφωνα µε τα προηγουµενα, η Χαµιλτονιανη δινεται απο τη σχεσηΑπο την L(q, q, t) στην

H(q, p, t)

H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t) =n∑

i=1

piqi − L , (9.26)

Page 9: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.3. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ 281

στην οποια τα qi, οπουδηποτε και αν εµφανιζονται, θεωρουνται συναρ-τησει των qi, pi και, εν γενει, του χρονου. Μπορουµε να προσδιορισουµεαυτε τι συναρτησει, qi(q, p), επιλυοντα τι αλγε1ρικε εξισ£ωσει

pi =∂L

∂qi

ω προ qi. Για να µπορει να επιτευχθει αυτη η αντιστροφη, που ειναιαναγκαια για τον προσδιορισµο τη Χαµιλτονιανη, απαιτειται ο εσσια-νο πινακα

∂2L

∂qi∂qj

, µε 1 ≤ i, j ≤ n ,

να ειναι θετικο. Αυτη η συνθηκη συνηθω ικανοποιειται, διοτι στα συ- Μπορουµε να

κατασκευασουµε τη

Χαµιλτονιανη για καθε

φυσικο προ1ληµα;

νηθη προ1ληµατα που εχουµε αντιµετωπισει εω τ£ωρα η Λαγκρανζιανηειναι διγραµµικη συναρτηση των γενικευµενων ταχυτητων, οποτε ο εσσι-ανο πινακα ισουται µε τον πινακα των συντελεστ£ων τη κινητικη ενερ-γεια, που ειναι συνηθω θετικο (βλ.Κεφαλαιο 8). Στην απλη περιπτωσηN µαζ£ων σεενα καρτεσιανο συστηµα συντεταγµενων, ο εσσιανο πινακαειναι ο διαγ£ωνιο πινακα µε στοιχεια τι µαζε των σωµατων.

Ασκηση 9.5. Υπολογιστε τη Χαµιλτονιανη ενο ελευθερου σωµατιδιου και ενο ΑΣΚΗΣΕΙΣαρµονικου ταλαντωτη σε µια διασταση.

Α αποδειξουµε οτι η χαµιλτονιανη συναρτηση ειναι ο µετασχηµατι-σµο Legendre τη Λαγκρανζιανη. Θα δειξουµε δηλαδη οτι η χαµιλτονι-ανη συναρτηση ικανοποιει τι σχεσει

qi =∂H

∂pi

,

για καθε i. Παραγωγιζοντα την (9.26) ω προ pi, λαµ1ανουµε τη σχεση

∂H

∂pi= qi + pj

∂qj

∂pi− ∂L

∂qj

∂qj

∂pi, (9.27)

απο την οποια εχει παραλειφθει το συµ1ολο τη αθροιση. Στο εξη, σεολε τι αντιστοιχε σχεσει οταν εµφανιζονται ζευγαρια ιδιων δεικτ£ωνθα υπονοειται η αθροιστικη συµ1αση. Επειδη εξ ορισµου ισχυει οτι pj =∂L/∂qj , συµπεραινουµε οτι οι δυο τελευταιοι οροι τη (9.27) ειναι ισοι καισυνεπ£ω για καθε i ισχυει η ζητουµενη σχεση

qi =∂H

∂pi. (9.28)

Εποµενω, η H ειναι ο µετασχηµατισµο Legendre τη L.

Page 10: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

282 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

Σεαυτο το σηµειο ειναι χρησιµο να υπολογισουµε τη µερικη παραγωγοτη χαµιλτονιανη συναρτηση ω προ τι µετα1λητε q και t, οι οποιεεµειναν ανενεργε κατα το µετασχηµατισµο Legendre. Εχουµε

∂H

∂qi= pj

∂qj

∂qi− ∂L

∂qi− ∂L

∂qj

∂qj

∂qi, (9.29)

οπου κατα τη µερικη παραγ£ωγιση ∂H/∂qi και ∂qj/∂qi παραµενουν στα-θερα ολα τα p καθ£ω και ολα τα q εκτο του qi, εν£ω κατα την παραγ£ωγιση∂L/∂qi παραµενουν σταθερα ολα τα q καθ£ω και ολα τα q εκτο του qi.

Σηµει£ωνουµε οτι οι τελευταιοι δυο οροι του αθροισµατο προκυπτουν, α-Προσοχη στο τι

διατηρειται σταθερο

κατα τι µερικε

παραγωγισει

φου η L ειναι συναρτηση ολων των q και των q· τα q, οµω, τ£ωρα θεωρου-νται συναρτησει των q, p και t. Ετσι

∂L

∂qi

pl,qk, k 6=i

=∂L

∂qi

ql,qk, k 6=i

+∂L

∂qj

ql,qk, k 6=j

∂qj

∂qi

pl,qk, k 6=i

. (9.30)

Επειδη εξ ορισµου ειναι

pj =∂L

∂qj

,

καταληγουµε στη σχεση

∂H

∂qi

pl,qk, k 6=i

= − ∂L

∂qi

ql,qk, k 6=i

. (9.31)

Οµοιω, υπολογιζουµε οτι

∂H

∂t= pj

∂qj

∂t− ∂L

∂qj

∂qj

∂t− ∂L

∂t(9.32)

και εποµενω∂H

∂t

pl,ql

= − ∂L

∂t

ql,ql

. (9.33)

Κλεινοντα τουτο το εδαφιο, α σηµει£ωσουµε οτι, οταν το συστηµαειναι χρονικα ανεξαρτητο, η Χαµιλτονιανη ειναι η γενικευµενη ενεργειατου συστηµατο. Στη φυση, οµω, πρωταρχικη θεση κατεχει η Λαγκραν-Απο τη Λαγκρανζιανη

προερχεται η

Χαµιλτονιανη η απο

τη Χαµιλτονιανη η

Λαγκρανζιανη;

ζιανη, η οποια, οπω ειδαµε, µπορει πολλε φορε να κατασκευαστει αποτι συµµετριε του φυσικου συστηµατο η αµεσα απο την αναλυση τουιδιου του φυσικου συστηµατο. Αντιθετω η Χαµιλτονιανη, οπω και ηδιατηρουµενη ενεργεια, δεν προκυπτει συνηθω αµεσα και πρεπει να υπο-λογιστει µεσω του µετασχηµατισµου Legendre τη Λαγκρανζιανη.Α υποθεσουµε, τ£ωρα, οτι ω δια µαγεια µα δινεται η Χαµιλτονιανη

ενο συστηµατοH(q, p, t) και θελουµε να κατασκευασουµε τη Λαγκραν-ζιανη του συστηµατο L(q, q, t). Η λαγκρανζιανη συναρτηση L(q, q, t)προσδιοριζεται ω ο µετασχηµατισµο Legendre τη ΧαµιλτονιανηH(q, p, t) ω προ ολε τι ορµε pi, οπου οι συναρτησει qi οριζονται ω

qi =∂H

∂pi.

Page 11: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.4. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ 283

Η λαγκρανζιανη συναρτηση δηλαδη ειναι

L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) =∑

i

piqi − H , (9.34)

οπου τα pi θεωρουνται συναρτησει των q και q και προσδιοριζονται ανεπιλυσουµε ω προ pi τι qi = ∂H/∂pi. Eιναι ευκολο να διαπιστ£ωσουµεµε απλε παραγωγισει τη L οτι ∂L/∂qi = pi.

Ασκηση 9.6. ∆ειξτε απο την παραπανω εκφραση τη Λαγκρανζιανη (9.34) οτι ΑΣΚΗΣΕΙΣ∂L/∂qi = −∂H/∂qi και ∂L/∂t = −∂H/∂t σηµει£ωνοντα µε προσοχη ποιε µετα1λητεπαραµενουν σταθερε σε καθε µερικη παραγ£ωγιση.

9.4 Οι εξισ£ωσει του Χαµιλτον

Επειδη η χαµιλτονιανη συναρτηση ειναι ο µετασχηµατισµο Legendreτη λαγκρανζιανη συναρτηση, θα ισχυουν οι σχεσει

pi =∂L

∂qi, (9.35)

qi =∂H

∂pi

. (9.36)

Οι σχεσει αυτε δεν εχουν κανενα δυναµικο περιεχοµενο και δεν εκφρα- Μαθηµατικα, διχω

φυσικηζουν κανενα φυσικο νοµο. Η πρ£ωτη ειναι απλ£ω ο ορισµο τη κανονικηορµη, εν£ω η δευτερη ειναι η αντιστροφη τη πρ£ωτη. Η σχεση (9.35) εκ-φραζει τι ορµε συναρτησει των ταχυτητων και, εν γενει, των θεσεων καιτου χρονου, µεσω τη Λαγκρανζιανη, εν£ω η σχεση (9.36) εκφραζει τι τα-χυτητε συναρτησει των ορµ£ων και, εν γενει, των θεσεων και του χρονου,µεσω τη Χαµιλτονιανη. Εαν ισχυει η µια απο αυτε τι σχεσει, η αλληπροκυπτει εξ ορισµου απο το µετασχηµατισµο Legendre.Α επιστρεψουµε τ£ωρα στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση των φυσικ£ων συ-

στηµατων. ∆εδοµενη τη Λαγκρανζιανη ενο συστηµατο, µπορουµενα γνωριζουµε πληρω τη δυναµικη συµπεριφορα του συστηµατο, επι-λυοντα τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange Εδ£ω κρυ1εται

ολη η φυσικη

του συστηµατο.d

dt

(

∂L

∂qi

)

− ∂L

∂qi= 0 , η pi =

∂L

∂qi. (9.37)

Συγχρονω, επειδη απο τον ορισµο του µετασχηµατισµου Legendre ισχυει(βλ. (9.31)) οτι

∂H

∂qi

pl,qk k 6=i

= − ∂L

∂qi

ql,qk k 6=i

, (9.38)

Page 12: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

284 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

οι δυναµικε εξισ£ωσει µπορει να γραφουν ισοδυναµω και ω

pi = −∂H

∂qi. (9.39)

Οι 2n συνολικα εξισ£ωσει (9.36) και (9.39)

qi =∂H

∂pi

,

pi = −∂H

∂qi. (9.40)

λεγονται εξισ£ωσει του Χαµιλτον η κανονικε εξισ£ωσει του Χαµιλτον2 καιπροσδιοριζουν την τροχια του συστηµατο στον 2n-διαστατο χ£ωρο τωνφασεων. Οι 2n εξισ£ωσει του Χαµιλτον, οι οποιε ειναι πρ£ωτη ταξη ωπρο το χρονο, ειναι ισοδυναµε µε τι n εξισ£ωσει Euler - Lagrange, οιοποιε ειναι διαφορικε εξισ£ωσει δευτερη ταξη ω προ το χρονο. Οικανονικε εξισ£ωσει του Χαµιλτον, εν£ω ουσιαστικα ειναι οι εξισ£ωσει Eu-Ισοδυναµια εξισ£ωσεων

Euler - Lagrange και

εξισ£ωσεων Χαµιλτον

ler -Lagrange σε διαφορετικη µαθηµατικη µορφη, ειναι απο τεχνικη πλευ-ρα αν£ωτερε απο τι εξισ£ωσειEuler -Lagrange. Αυτο οφειλεται στο ιδιαι-τερο πλεονεκτηµα που εχουν οι κανονικε εξισ£ωσει να εµφανιζουν στοαριστερο σκελο του τι χρονικε παραγ£ωγου των µετα1λητ£ων. Περα,οµω, απο αυτο, η χαµιλτονιανη θε£ωρηση οδηγει, οπω θα δουµε στα επο-µενα δυο κεφαλαια, σε µια νεα θε£ωρηση τη µηχανικη και προετοιµαζειτο εδαφο για τη µετα1αση στην κ1αντικη µηχανικη στην οποια η χαµιλ-τονιανη συναρτηση παιζει τον κυριαρχο ρολο.

Ασκηση 9.7. ∆ειξαµε οτι ενα φυσικο συστηµα που ικανοποιει τι εξισ£ωσει Euler -ΑΣΚΗΣΕΙΣLagrange ικανοποιει και τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον. ∆ειξτε οτι ισχυει και το αντιστροφο.

9.5 Η Χαµιλτονιανη φορτισµενου σωµατιδιου

Στο εδαφιο 3.4 κατασκευασαµε τη λαγκρανζιανη συναρτηση για εναφορτισµενο σωµατιδιο σε ηλεκτροµαγνητικο πεδιο. Η Λαγκρανζιανη

L =m

2|~x|2 + q~x · ~A − qφ − V (~x)

παραγει την κινηση ενο σωµατιδιου µαζαm και φορτιου q µεσα σε εναηλεκτρικο και µαγνητικο πεδιο ~E, ~B, υπο την επιδραση καποιου επιπλεον

2Οι εξισ£ωσει αυτε παρουσιαστηκαν για πρ£ωτη φορα απο τον Lagrange το 1809 σεεργασια του που πραγµατευοταν τη θεωρια διαταραχ£ων των µηχανικ£ων συστηµατων.Ο Lagrange, οµω, δεν αναγν£ωρισε αµεσω τη σηµασια του. Ο Cauchy, σε αδηµοσιευτοµνηµονιο το 1831,φαινεται να ειναι ο πρ£ωτο που κατανοησε τη σηµασια των εξισ£ωσεωναυτ£ων. Ο ιρλανδο φυσικο Hamilton στηριξε ολοκληρη την ερευνα του στη µηχανικηκαι την οπτικη σε αυτε τι εξισ£ωσει, τι οποιε και παρουσιασε σε δηµοσιευση του το1835.

Page 13: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.5. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 285

δυναµικου V . Το φ ειναι το ηλεκτρικο δυναµικο και το ~A ειναι το ανυσµα-τικο δυναµικο.Για να κατασκευασουµε τη χαµιλτονιανη συναρτηση, υπολογιζουµε

πρ£ωτα την κανονικη ορµη του σωµατιδιου

~p =∂L

∂~x= m~x + q ~A . (9.41)

H Χαµιλτονιανη προκυπτει απο το µετασχηµατισµο Legendre τη Λαγκ-ρανζιανη ω προ τι ταχυτητε και ειναι

H(~x, ~p) = ~p · ~x − L .

Στην παραπανω εκφραση η ταχυτητα ~x θεωρειται συναρτηση τη γενικευ-µενη ορµη ~p και θεση ~x του σωµατιδιου. Η συναρτηση αυτη προσδιο-ριζεται µεσω τη σχεση (9.41)

~x =~p − q ~A

m. (9.42)

Εποµενω, η χαµιλτονιανη συναρτηση ειναι

H(~x, ~p) = ~p · ~p − q ~A

m− L .

Εκτελ£ωντα τι πραξει και αντικαθιστ£ωντα την ταχυτητα και στην εκ-φραση τη Λαγκρανζιανη µεσω τη σχεση (9.42) συναγουµε οτι η χα-µιλτονιανη συναρτηση ενο φορτισµενου σωµατιδιου που κινειται µεσα σεενα ηλεκτροµαγνητικο πεδιο και ενα δυναµικο V ειναι

H =|~p − q ~A|2

2m+ qφ + V . (9.43)

Απο αυτη τη γενικη Χαµιλτονιανη προκυπτει αµεσα η χαµιλτονιανησυναρτηση ενο ελευθερου σωµατιδιου

H =|~p|22m

.

Επιση αν θεσουµε V = k|~x|2/2, προκυπτει η χαµιλτονιανη συναρτησηενο µη φορτισµενου ισοτροπου αρµονικου ταλαντωτη

H =|~p|22m

+k

2|~x|2 .

Στη γενικη περιπτωση του φορτισµενου σωµατιδιου οι εξι εξισ£ωσειτου Χαµιλτον ειναι

xi =∂H

∂pi

=pi − qAi

m,

και

pi = −∂H

∂xi

=q

m

∂Aj

∂xi(pj − qAj) − q

∂φ

∂xi− ∂V

∂xi.

Page 14: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

286 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

Ασκηση 9.8. ∆ειξτε οτι οι παραπανω εξισ£ωσει του Χαµιλτον οδηγουν στι εξισ£ω-ΑΣΚΗΣΕΙΣσει κινηση

mxi = q(ǫijkxjBk + Ei) −∂V

∂xi

.

9.6 Κυκλικε µετα1λητε και αγκυλε Poisson

Οι κυκλικε µετα1λητε οριζονται οπω και στη λαγκρανζιανη θε£ω-ρηση : εαν η χαµιλτονιανη συναρτηση δεν εχει αµεση εξαρτηση απο κα-ποια απο τι µετα1λητε q η p, τοτε η µετα1λητη αυτη ονοµαζεται κυκλικη.Επειδη στη χαµιλτονιανη δυναµικη οι θεσει και οι ορµε θεωρουνται ανε-ξαρτητε µετα1λητε, κυκλικε µετα1λητε µπορουν να ειναι οχι µονο οιθεσει αλλα και οι ορµε. Εαν για παραδειγµα η Χαµιλτονιανη δεν εξαρ-ταται απο τη µετα1λητη qi, τοτε απο την εξισωση του Χαµιλτον

pi = −∂H

∂qi= 0

προκυπτει οτι η συζυγη στην κυκλικη µετα1λητη ορµη pi διατηρειται κα-τα την κινηση.Στη χαµιλτονιανη θε£ωρηση, οµω, οι διατηρουµενε ποσοτητε ειναι

δυνατο να χαρακτηριστουν και µε εναν αλλο τροπο. Α θεωρησουµε µιαδυναµικη µετα1λητη F (q, p), η οποια ειναι συναρτηση των θεσεων q καιτων ορµ£ων p και δεν εχει αµεση εξαρτηση απο το χρονο t, ειναι δηλαδη∂F/∂t = 0. Η χρονικη παραγωγο αυτη τη µετα1λητη καθ£ω εξελισ-σεται το συστηµα ειναι (µε αθροιστικη συµ1αση)

dF

dt=

∂F

∂t+

∂F

∂qi

qi +∂F

∂pi

pi

=∂F

∂qi

∂H

∂pi− ∂F

∂pi

∂H

∂qi(9.44)

Στη δευτερη σχεση καταληξαµε κανοντα χρηση του µηδενισµου τη∂F/∂t, αφου η δυναµικη µετα1λητη δεν ειχε αµεση εξαρτηση απο το χρονο,και εφαρµοζοντα στη συνεχεια τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον (9.40)Οριζουµε ω αγκυλη Poisson3 δυο συναρτησεων A, B των ανεξαρτη-

των µετα1λητ£ων qi, pi τη νεα συναρτησηΑγκυλη Poisson

A, B =∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi. (9.45)

3Simιon - Denis Poisson [1781 -1840]: Γαλλο µαθηµατικο, µαθητη των Laplace καιLagrange, γνωστο κυριω για τη µαθηµατικη θεµελιωση του ηλεκτρισµου και του µαγνη-τισµου, καθ£ω και για τη συνεχιση του εργου του Lagrange στην αναλυτικη µηχανικη. Οσυµ1ολισµο που χρησιµοποιηθηκε για τη φερ£ωνυµη αγκυλη απο τον ιδιο τον Poisson το1809 ηταν (A, B). Ο συγχρονο συµ1ολισµο A, B καθιερ£ωθηκε απο τον Plummer το1960.

Page 15: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.6. ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΓΚΥΛΕΣ POISSON 287

Με τον ορισµο τη αγκυλη Poisson, η σχεση (9.44) γραφεται

dF

dt= F, H . (9.46)

Ηεκφραση αυτη µα οδηγει σε ενα νεο χαρακτηρισµο των ποσοτητων πουδιατηρουνται κατα την κινηση, κατ αναλογιαν µε τι ορµε που αντιστοι-χουν στι κυκλικε µετα1λητε στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση : οποιαδηποτεδυναµικη µετα1λητη, F (q, p), που δεν εχει αµεση εξαρτηση απο το χρονο,διατηρειται αν µηδενιζεται η αγκυλη Poisson τη ποσοτητα αυτη µε τηχαµιλτονιανη συναρτηση H . ∆ηλαδη, η F (q, p) διατηρειται αν

F, H = 0 .

Επειδη η αγκυλη Poisson µια συναρτηση µε τον εαυτο τη µηδενιζεταιταυτοτικα, θα ειναι

H, H = 0 ,

οποτε, αν η Χαµιλτονιανη δεν εχει αµεση χρονικη εξαρτηση, θα διατηρει-ται κατα την κινηση, δεδοµενου οτι

dH

dt= H, H = 0 .

Η προταση αυτη αποτελει επαναδιατυπωση του νοµου διατηρηση τηενεργεια.

Ασκηση 9.9. ∆ειξτε οτι οι αγκυλε Poisson ικανοποιουν τι ακολουθε αλγε1ρικε ΑΣΚΗΣΕΙΣιδιοτητε:

A, A = 0 ,

A, B = −B, A ,

A, kB = kA, B ,

A, B + C = A, B + A, C .

A, BC = BA, C + A, BC

Στι παραπανω σχεσει οιA, B, C ειναι δυναµικε µετα1λητε και η k ειναι µια σταθερα.

Χρησιµε αγκυλε Poisson ειναι οι ακολουθε : Ορµε και θεσει

σχηµατιζουν ζευγη

συζυγ£ων

συντεταγµενων

qi, qj = pi, pj = 0 , qi, pj = δij . (9.47)

Αυτε αποδεικνυονται ευκολα απο τον ορισµο τη αγκυλη Poissonαν πα-ρατηρησουµε οτι στη χαµιλτονιανη δυναµικη οι θεσει qi και οι ορµε pi

ειναι ανεξαρτητε µετα1λητε και συνεπ£ω ισχυει οτι

∂qi

∂qj= δij ,

∂qi

∂pj= 0

Page 16: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

288 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

και αντιστοιχα για τι ορµε

∂pi

∂pj= δij ,

∂pi

∂qj= 0 .

∆υναµικε µετα1λητε που ικανοποιουν τι σχεσει (9.47) ονοµαζονται κα-νονικε συζυγει µετα1λητε. Ο ορο συζυγει αναφερεται στα ζευγη τωνσυντεταγµενων θεση – ορµη που σχηµατιζονται. Στην κ1αντοµηχανικηολα αυτα τα ζευγη εχουν γινοµενο α1ε1αιοτητων µεγαλυτερο η ισο µε τησταθερα του Planck και εποµενω οι αντιστοιχε ποσοτητε δεν µπορουννα µετρηθουν ταυτοχρονα µε οσοδηποτε µεγαλη ακρι1εια.Τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον µπορουµε να τι γραψουµε µε κοµψο και

ενιαιο τροπο χρησιµοποι£ωντα τι αγκυλε Poisson. Λαµ1ανοντα στην(9.44) ω δυναµικη µετα1λητη την F = qi, συναγουµε οτι η δυναµικη εξε-λιξη των θεσεων ικανοποιει τι εξισ£ωσει

dqi

dt= qi, H

=∂H

∂pi, (9.48)

εν£ω λαµ1ανοντα F = pi καταληγουµε στι εξισ£ωσει

dpi

dt= pi, H

= −∂H

∂qi, (9.49)

που αποτελουν ισοδυναµη διατυπωση των εξισ£ωσεων του Χαµιλτον. Εν£ωοι εξισ£ωσει του Χαµιλτον για τι θεσει και τι ορµε ειναι διαφορετι-κε, µε την εισαγωγη τη αγκυλη Poisson οι εξισ£ωσει εξελιξη και τωνθεσεων και των ορµ£ων λαµ1ανει την ιδια µορφη. Αυτο µα οδηγει στηνυποψια οτι η πιο θεµελι£ωδη γραφη των εξισ£ωσεων κινηση ειναι αυτη µετι αγκυλε Poisson.Αντιλαµ1ανοµαστε, λοιπον, οτι, χρησιµοποι£ωντα την

αγκυλη Poisson, ειµαστε σε θεση να προσδιορισουµε µε ενιαιο τροπο τηχαµιλτονιανη εξελιξη, οχι µονο των θεσεων και των ορµ£ων, αλλα και οποι-ασδηποτε δυναµικη µετα1λητη. Η εξισωσηΟ δυναµικο νοµο

µετα1ολη µια

συναρτηση F (q, p)

στη χαµιλτονιανη

δυναµικη

dF

dt= F, H , (9.50)

αποτυπ£ωνει πληρω τη χρονικη εξελιξη τη µετα1λητη F σε ενα συστηµαµε χαµιλτονιανη συναρτηση H .

Bε1αια, αν η δυναµικη µετα1λητη F (q, p, t) εχει αµεση εξαρτηση αποτο χρονο, στο δυναµικο νοµο πρεπει να συµπεριληφθει και η αµεση µετα-1ολη τη µετα1λητη F µε το χρονο. Σε αυτη την περιπτωση καταληγουµεστον ακολουθο δυναµικο νοµο εξελιξη τη µετα1λητη F :

dF

dt=

∂F

∂t+ F, H . (9.51)

Page 17: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.7. H ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ 289

9.7 H γενικευµενη αρχη του Χαµιλτον

Οι εξισ£ωσει του Χαµιλτον, οπω και οι εξισ£ωσει Euler - Lagrange, ει-ναι δυνατον να προκυψουν απο µια αρχη ακροτατου. Επειδη η δρασηεχει οριστει ω Η δραση στη

χαµιλτονιανη θε£ωρησηS =

∫ t2

t1

L(q, q, t)dt ,

οριζουµε αντιστοιχα τη δραση για µια τροχια (qi(t), pi(t)) στο χ£ωρο τωνφασεων, συναρτησει των ανεξαρτητων πλεον µετα1λητ£ων qi, pi και τηΧαµιλτονιανη, ω

S =

∫ t1

t0

[pi(t) qi − H(qi(t), pi(t), t)] dt , (9.52)

η ισοδυναµα ω

S =

∫ t1

t0

pi(t) dqi(t) −∫ t1

t0

H(qi(t), pi(t), t) dt . (9.53)

Συµφωνα µε τη γενικευµενη αρχη του Χαµιλτον, η φυσικη κινηση κα-θιστα τη δραση ακροτατη για οποιεσδηποτε ανεξαρτητε µετα1ολε τωνqi(t) και pi(t), στι οποιε οµω δεν µετα1αλλονται οι αρχικε και οι τελι-κε θεσει καθ£ω και οι αντιστοιχε ορµε του συστηµατο qi(t1) και qi(t2),pi(t1) και pi(t2).Αυτη η αρχη ακροτατου αποτελει γενικευση τη αρχη του Χαµιλτον,

διοτι αντιµετωπιζει τι θεσει και τι ορµε, ισοτιµα, ω ανεξαρτητε µε-τα1λητε. Αντιθετω, η αρχη του Χαµιλτον, που συναντησαµε στα πρ£ωτακεφαλαια, θεωρει ω ανεξαρτητε µετα1λητε µονο τι θεσει qi, εν£ω οιµετα1ολε των ταχυτητων qi προσδιοριζονται απο τι µετα1ολε των θε-σεων, οπω συµ1αινει και µε τι µετα1ολε των κανονικ£ωνορµ£ων που ορι-ζονται απο τι σχεσει

pi =∂L

∂qi.

Θα δειξουµε στη συνεχεια οτι, οταν ικανοποιειται η γενικευµενη αρχη τουΧαµιλτον, η φυσικη διαδροµη ικανοποιει τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον. Η γενικευµενη αρχη

του Χαµιλτον στο χ£ωρο

των φασεων

Εστω (qi(t), pi(t)) η φυσικη διαδροµη. Θεωρουµε µικρε µετα1ολεαπο τη φυσικη διαδροµη

qi(t, ǫ) = qi(t) + ǫηi(t) , pi(t, ǫ) = pi(t) + ǫξi(t) ,

οπου ǫ καποια µικρη παραµετρο και ηi(t), ξi(t) ο τροπο µε τον οποιοµετα1αλλονται οι συντεταγµενε τη φυσικη διαδροµη στο χ£ωρο τωνφασεων. Ο µοναδικο περιορισµο που επι1αλλουµε ειναι να µηδενιζο-νται οι µετα1ολε στι θεσει και στι ορµε στον αρχικο και τελικο χρονοηi(t1) = ηi(t2) = 0 και ξi(t1) = ξi(t2) = 0. Επειδη η φυσικη διαδροµη(qi(t)pi(t)) καθιστα τη δραση ακροτατη, η πρ£ωτη ταξη, ω προ ǫ, µε-τα1ολη τη δραση δS µηδενιζεται. Εποµενω, για ολε τι επιτρεπτε µε-τα1ολε πρεπει να ικανοποιειται η συνθηκη

Page 18: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

290 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

0 =

∫ t2

t1

ξi

(

qi −∂H

∂pi

)

dt +

∫ t2

t1

(

piηi − ηi∂H

∂qi

)

dt

=

∫ t2

t1

ξi

(

qi −∂H

∂pi

)

dt +

∫ t2

t1

(

d(piηi)

dt− ηipi − ηi

∂H

∂qi

)

dt

=

∫ t2

t1

ξi

(

qi −∂H

∂pi

)

dt −∫ t2

t1

ηi

(

pi +∂H

∂qi

)

dt + [piηi]t2t1

.

Ο τελευταιο ορο ειναι µηδεν αφου ηi(t1) = ηi(t2) = 0. Επιπλεον, επειδηο µηδενισµο τη πρ£ωτη µετα1ολη τη δραση πρεπει να επιτυγχανεταιγια καθε ηi(t) και για καθε ξi(t), αν ικανοποιειται η γενικευµενη αρχη τουΧαµιλτον, ικανοποιουνται αυτοµατα και οι εξισ£ωσει του ΧαµιλτονΙσοδυναµια εξισ£ωσεων

Χαµιλτον και

γενικευµενη αρχη

του Χαµιλτον

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi. (9.54)

Ισχυει βε1αια και το αντιστροφο.4

9.8 Κανονικοι µετασχηµατισµοι

Παρατηρουµε οτι, οπω και στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση, στον ορισµοΧαµιλτονιανη και

µετασχηµατισµοι

βαθµονοµηση

τη δραση µπορουµε να προσθεσουµε µια οποιαδηποτε ολικη παραγωγοτου χρονου καποια συναρτηση F (q, p, t), χωρι να µετα1αλουµε τη φυ-σικη κινηση. Πραγµατι, η φυσικη κινηση που καθιστα ακροτατη τη δραση

S =

∫ t1

t0

pi(t)dqi(t) −∫ t1

t0

(

H(qi(t), pi(t), t) −dF (q, p, t)

dt

)

dt (9.55)

δεν διαφερει σε τιποτε απο τη φυσικη κινηση που προκυπτει απο το ακρο-τατο τη δραση (9.52).Ηπαρατηρηση αυτη ειναι σηµαντικη, διοτι µα επιτρεπει να κατασκευ-

ασουµε µετασχηµατισµου των συντεταγµενων qi, piΚανονικοι

µετασχηµατισµοιQi = Qi(q, p, t) , Pi = Pi(q, p, t) ,

τετοιου £ωστε η φυσικη κινηση, εκπεφρασµενη στι νεε συντεταγµενε,να ικανοποιει και παλι τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον

Qi =∂K

∂Pi, Pi = − ∂K

∂Qi, (9.56)

4Σηµει£ωνουµε οτι για την εξαγωγη των εξισ£ωσεων του Χαµιλτον δεν ηταν αναγκαιονα επι1αλουµε µηδενικη µετα1ολη των ορµ£ων στον αρχικο και τον τελικο χρονο. Επι-λεξαµε να επι1αλουµε το µηδενισµο των µετα1ολ£ων των ορµ£ων στον αρχικο και τον τε-λικο χρονο, για να µπορεσουµε στη συνεχεια να προσδιορισουµε του µετασχηµατισµουβαθµονοµηση. Η αδυναµια αυτη οφειλεται στη διατυπωση τη αρχη του Χαµιλτον. Ηαρχη του Χαµιλτον πρεπει να διατυπ£ωνεται ω εξη : η κλασικη κινηση ειναι αυτη πουκαθιστα τι πρ£ωτη ταξη, ω προ την αποκλιση απο την κλασικη κινηση, µετα1ολετη δραση συναρτησει µονο των αρχικ£ων και τελικ£ων θεσεων, ορµ£ων και χρονων.

Page 19: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.8. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 291

µε Χαµιλτονιανη τη συναρτηση K(Q, P, t). Τετοιου ειδου µετασχηµατι-σµοι που αφηνουν αναλλοιωτη τη χαµιλτονιανη δυναµικη ονοµαζονταικανονικοι µετασχηµατισµοι, η µετασχηµατισµοι επαφη και θα του µε-λετησουµε διεξοδικα στο Κεφαλαιο 11.Σε αυτο το σηµειο θα αρκεστουµε στην παρατηρηση οτι, εαν ο µετα-

σχηµατισµοQi = Qi(q, p, t) , Pi = Pi(q, p, t)

ικανοποιει τη σχεση

piqi − H(qi, pi, t) = PiQi − K(Qi, Pi, t) +dF

dt, (9.57)

τοτε η φυσικη διαδροµη που καθιστα τη δραση

S1 =

∫ t1

t0

PidQi −∫ t1

t0

K(Q, P, t)dt , (9.58)

ακροτατη, ικανοποιει τι εξισ£ωσει

Qi =∂K

∂Pi

, Pi = − ∂K

∂Qi

. (9.59)

Οµω, λογω τη σχεση (9.57), η διαδροµη που καθιστα τη δραση (9.58)ακροτατη καθιστα ακροτατη και τη δραση

S2 =

∫ t1

t0

pidqi −∫ t1

t0

H(q, p, t)dt .

Συνεπ£ω, η φυσικη διαδροµη που στι συντεταγµενε (Q, P ) διεπεται αποτι εξισ£ωσει του Χαµιλτον (9.59), ειναι η ιδια διαδροµη που στι συντε-ταγµενε (q, p) διεπεται απο τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi. (9.60)

Αυτο σηµαινει οτι οι κανονικοι µετασχηµατισµοι πρεπει να ικανοποιουνσχεσει τη µορφη (9.57).

H σχεση (9.57) µπορει να γραφει και ω

dF = (pidqi − PidQi) + (K − H)dt . (9.61)

Εποµενω, εαν επιλεξουµε µια συναρτηση F1(q, Q, t), η οποια εξαρταταιµονο απο τα q, Q και ενδεχοµενω το χρονο t, τοτε, αφου

dF1 =

(

∂F1

∂qidqi +

∂F1

∂QidQi

)

+∂F1

∂tdt , (9.62)

και η (9.62) θα πρεπει να εχει την ιδια µορφη µε τη σχεση (9.61), για καθεdQi, dqi και dt, συµπεραινουµε οτι η F1(q, Q, t) οριζει τον κανονικο µετα-σχηµατισµο (q, p) → (Q, P ) εµµεσα µεσω των σχεσεων Κατασκευη κανονικ£ων

µετασχηµατισµ£ων

pi =∂F1

∂qi, Pi = −∂F1

∂Qi. (9.63)

Page 20: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

292 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

Επιλυοντα τι αλγε1ρικε αυτε εξισ£ωσει, προσδιοριζουµε τι νεε συ-ντεταγµενε συναρτησει των παλαι£ων Qi = Qi(q, p, t), Pi = Pi(q, p, t).Αντιπαραθετοντα τι εξισ£ωσει (9.61) και (9.62), συµπεραινουµε επισηοτι η χαµιλτονιανη συναρτηση που διεπει τη δυναµικη στι νεε συντεταγ-µενε ειναι η ακολουθη :

K = H +∂F1

∂t. (9.64)

Αν για παραδειγµα επιλεξουµε F1 = qiQi, τοτε ο µετασχηµατισµοπου επιτελειται ειναι ο

Qi = pi , Pi = −qi .

Ο µετασχηµατισµο αυτο ανταλλασσει τι θεσει µε τι ορµε5 µε το σω-στο προσηµο £ωστε να διατηρειται η χαµιλτονιανη δυναµικη. Σε αυτη τηνπεριπτωση, οπω και σε ολε τι περιπτ£ωσει που ο µετασχηµατισµο δενεχει αµεση εξαρτηση απο το χρονο, η χαµιλτονιανη συναρτηση που διεπειτη δυναµικη στι νεε συντεταγµενε παραµενει η ιδια (βλ. 9.64), δηλαδηειναι K = H .

Ο µετασχηµατισµο Legendre6 τη τυχαια συναρτηση F1(q, Q, t), µο-νο ω προ τα Q (παρα1αλε µε τη δευτερη απο τι σχεσει (9.63))

F2(q, P, t) = Qi(q, P, t)Pi + F1(q, Q(q, P, t), t)

αντιστρεφει τη δευτερη απο τι σχεσει (9.63) και οριζει τον κανονικο µε-τασχηµατισµο που παραγεται απο συναρτησει τυπου F2(q, P, t)

pi =∂F2

∂qi

, Qi =∂F2

∂Pi

, K = H +∂F2

∂t. (9.65)

Για παραδειγµα, αν επιλεξουµε F2 = qiPi, τοτε ο µετασχηµατισµοπου επιτελειται ειναι ο ταυτοτικο µετασχηµατισµο

Qi = qi , Pi = pi .

Ασκηση 9.10. Αποδειξτε µε προσοχη οτι ο µετασχηµατισµο Legendre τηF1(q, Q, t)ΑΣΚΗΣΕΙΣω προ Q ικανοποιει τι εξισ£ωσει (9.65).

Ασκηση 9.11. Με διαδοχικου µετασχηµατισµου Legendre προσδιοριστε τι σχε-σει που οριζουν του κανονικου µετασχηµατισµου που παραγονται, οταν επιλεγουν

5Με αυτον το µετασχηµατισµο αναδεικνυεται για αλλη µια φορα η ισοδυναµια τωνσυντεταγµενων θεση και ορµη στο χαµιλτονιανο φορµαλισµο. Η αφαιρεση που εχειεπιτευχθει ειναι τεραστια : δεν ειναι πλεον προφανε τι ειναι θεση και τι ορµη ενο συ-στηµατο.

6Προσεξτε οτι τ£ωρα στο µετασχηµατισµο Legendre χρησιµοποιουµε αντιθετο προ-σηµο απ ο,τι στην κατασκευη τηΧαµιλτονιανη εξαιτια του αρνητικου προσηµου στηνPi τη σχεση (9.63).

Page 21: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.9. ΕΞΙΣΩΣΗ HAMILTON-JACOBI 293

συναρτησει τη µορφη F3(p, Q, t) και F4(p, P, t). ∆ειξτε οτι καταλληλα επιλεγµενεγεννητριε τυπου F3(p, Q, t) οριζουν το µετασχηµατισµο

qi = −∂F3

∂pi

, Pi = −∂F3

∂Qi

,

εν£ω γεννητριε τυπου F4(p, P, t) οριζουν το µετασχηµατισµο

qi = −∂F4

∂pi

, Qi =∂F4

∂Pi

.

Οι τεσσερι αυτε συναρτησει –οι δυο που ειδαµε στο κειµενο και οι δυο που µολι κατα-σκευασατε– ονοµαζονται γεννητριε συναρτησει τυπου 1,2,3 και 4, αντιστοιχα. ∆ειξτετελο οτι για ολου του τυπου των γεννητρι£ων η νεα Χαµιλτονιανη ειναι

K = H +∂Fi

∂t.

9.9 Η δια1ολικη ιδεα των Χαµιλτον και Jacobi

Στο προηγουµενο εδαφιο µαθαµε π£ω να µετατρεπουµε τι εξισ£ωσεικινηση ενο χαµιλτονιανου συστηµατο σε νεε συντεταγµενε στι οποι-ε η δυναµικη παραµενει Χαµιλτονιανη. Συνηθω επιζητουµε κανονικουµετασχηµατισµου, οι οποιοι οδηγουν σε εξισ£ωσει του Χαµιλτον που επι-λυονται ευκολοτερα απ ο,τι οι εξισ£ωσει του Χαµιλτον στι αρχικε κα-νονικε συντεταγµενε. Η δια1ολικη ιδεα του Hamilton και του Karl Gus-tav Jacobi [1804-1851] ηταν να µετασχηµατισουν τι εξισ£ωσει του Χαµιλ-τον ετσι £ωστε η Χαµιλτονιανη στι νεε κανονικε συντεταγµενε να ειναιµηδενικη. Εαν ηταν δυνατον να προσδιοριστει ο κανονικο µετασχηµατι-σµο, ο οποιο µετασχηµατιζει την αρχικη Χαµιλτονιανη H στη µηδενικηXαµιλτονιανη K = 0, τοτε το αρχικο δυναµικο προ1ληµα επιλυεται αµε- Αφου µπορουµε να

αλλαξουµε την τιµη τη

Χαµιλτονιανη, γιατι

να µην τη µηδενισουµε;

σω στι νεε συντεταγµενε, αφου οι εξισ£ωσει κινηση µετασχηµατιζο-νται στι τετριµµενε εξισ£ωσει

Qi = 0 , Pi = 0 , (9.66)

οι οποιε εχουν την ακολουθη λυση

Qi = αi , Pi = βi ,

οπου αi, και βi οι σταθερε τιµε των νεων συντεταγµενων Qi και Pi. Οκανονικο µετασχηµατισµο χαρη στον οποιο επιτευχθηκε ο µηδενισµοτηK προσδιοριζει τι θεσει και τι ορµε του συστηµατο σε καθε χρο-νικη στιγµη. Πραγµατι, υπο την προποθεση οτι ο µετασχηµατισµο επι-τελεστηκε µε µια συναρτηση τυπου F1(q, Q, t), µπορουµε, επιλυοντα τιαλγε1ρικε εξισ£ωσει

pi =∂F1

∂qi, Pi = −∂F1

∂Qi, (9.67)

Page 22: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

294 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

να προσδιορισουµε τι θεσει και τι ορµε,

qi = qi(αi, βi, t) , pi = pi(αi, βi, t) , (9.68)

συναρτησει των σταθερ£ων αi και βi που ειναι οι σταθερε τιµε των νεωνσυντεταγµενων Qi και Pi. Αν µαλιστα επιλεξουµε τι σταθερε αi και βi

ετσι £ωστεαi = qi(t0) , βi = pi(t0) ,

επειδη οι συντεταγµενε (qi, pi) καθ£ω και οι (Qi, Pi) ανα πασα στιγµηδιεπονται απο την ιδια ουσιαστικα χαµιλτονιανη δυναµικη, ο µετασχη-µατισµο F1(q, Q, t) παραγει, µεσω των εµµεσων σχεσεων (9.67), τι τι-µε των θεσεων και των ορµ£ων qi(t) , pi(t) στο χρονο t δεδοµενου οτι στοχρονο t0 ηταν αντιστοιχα Qi, Pi. Αυτο σηµαινει, οτι, ο µετασχηµατισµοF1(q, Q, t)που οδηγησε στο µηδενισµο τη χαµιλτονιανη συναρτηση πα-ρακολουθει τη φυσικη κινηση του συστηµατο και απεικονιζει καθε ση-µειο τη τροχια στο χ£ωρο των φασεων στο σηµειο που βρισκοταν το συ-στηµα µια δεδοµενη χρονικη στιγµη.Π£ω µπορουµε, οµω, να προσδιορισουµε τη συναρτηση F1(q, Q, t);

Επειδη ο κανονικο µετασχηµατισµο εχει κατασκευστει ετσι £ωστεK = 0,η συναρτηση F1(q, Q, t) πρεπει να ικανοποιει την εξισωση

H(q, p, t) +∂F1

∂t= 0 .

Επιπλεον, αφου οι αρχικε συντεταγµενε ορµη, ειναι

pi =∂F1

∂qi

,

καταληγουµε στο συµπερασµα οτι η F1(q, Q, t) πρεπει να αποτελει λυσητη µερικη διαφορικη εξισωση

∂F1

∂t+ H

(

qi,∂F1

∂qi, t

)

= 0 . (9.69)

Η εξισωση αυτη που προσδιοριζει το ζητουµενο µετασχηµατισµο ονοµα-Η εξισωση

Hamilton - Jacobi ζεται εξισωση Hamilton - Jacobi και η επιλυση τη ισοδυναµει µε την επι-λυση των εξισ£ωσεων του Χαµιλτον, δηλαδη µε τον προσδιορισµο τη κι-νηση του συστηµατο.Α προσπαθησουµε να βρουµε µια λυση7 των εξισ£ωσεων Hamilton -

Jacobi για την περιπτωση ενο ελευθερου σωµατιδιου µε Χαµιλτονιανη

H =p2

2m.

Αν χρησιµοποιησουµε τη συναρτηση

F1(q, Q, t) =(q − Q)2

2m(t − T ),

7Ω προ1ληµα διαφορικη εξισωση µε µερικε παραγ£ωγου µπορει να εχει περισσο-τερε απο µια λυσει.

Page 23: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.9. ΕΞΙΣΩΣΗ HAMILTON-JACOBI 295

τοτε ευκολα διαπιστ£ωνουµε οτι αυτη ικανοποιει την εξισωση Hamilton -Jacobi (9.69) για το ελευθερο σωµατιδιο

∂F1

∂t+

1

2m

(

∂F1

∂q

)2

= 0

και κατα συνεπεια επιτυγχανεται ο ζητουµενο µετασχηµατισµο. Ποιαειναι, οµω, η φυσικη σηµασια µια τετοια επιλογη για τη συναρτησηF1;Αν θυµηθουµε την κατασκευη τη ελαχιστη δραση για ενα ελευθεροσωµατιδιο, αναγνωριζουµε αµεσω στη µορφη τη F1 τη δραση που αντι-στοιχει στη φυσικη κινηση του ελευθερου σωµατιδιου που βρισκεται τηχρονικη στιγµη T στη θεση Q και τη χρονικη στιγµη t στη θεση q. Ειναι,αραγε, τυχαιο αυτο;Οριζουµε τη συναρτηση-δραση S(q1, q2, t1, t2) ω τη δραση που προ- Η δραση ω

συναρτηση και οχι

ω συναρτησοειδε

κυπτει απο τη φυσικη διαδροµη που διερχεται απο τα q1(t1) και q2(t2). Ησυναρτηση-δραση,

S(q1, q2, t1, t2) =

∫ t2

t1

(pq − H) dt =

∫ q2

q1

pdq −∫ t2

t1

Hdt ,

δεν ειναι πλεον συναρτησοειδε, αλλα µια συναρτηση στο χ£ωρο των θε-σεων, που εξαρταται µονο απο τι αρχικε και τελικε θεσει και χρονου,η συνδεση των οποιων επιτυγχανεται µονοσηµαντα µεσω τη φυσικη δια-δροµη. Μια µικρη χωροχρονικη µετατοπιση του αρχικου και του τελικουσηµειου θα προκαλεσει αντιστοιχη µετα1ολη στη συναρτηση-δραση ισηµε Μετα1ολη τη δραση

λογω µετατοπιση

των αρχικ£ων και

τελικ£ων σηµειων τη

τροχια στο χ£ωρο

των φασεων

dS = p2dq2 − p1dq1 − H2dt2 + H1dt1 .

Στην παραπανω σχεση οι τιµε των p1,2 και H1,2 ειναι οι τιµε τη ορµηκαι τη Χαµιλτονιανη στα αντιστοιχα ακρα. Συναγεται, λοιπον, οτι

p2 =∂S

∂q2, p1 = − ∂S

∂q1, (9.70)

και

H2 = −∂S

∂t2, H1 =

∂S

∂t1. (9.71)

Εποµενω, η συναρτηση S(q, Q, t, T ) που αντιστοιχει στη δραση τη φυ-σικη διαδροµη απο το Q τη χρονικη στιγµη T στο q τη χρονικη στιγµη t Ιδου, τι κρυ1εται

πισω απο τη

συναρτηση F1

ειναι µια λυση τη εξισωση Hamilton - Jacobi

∂S

∂t+ H

(

qi,∂S

∂qi, t

)

= 0 , (9.72)

και εποµενω η S(q, Q, t, T ) ειναι η ζητουµενη συναρτηση F1(q, Q, t) πουδηµιουργει τον κανονικο µετασχηµατισµο απο τι (q, p) στι (Q, P ) καικαθιστα τη Χαµιλτονιανη στι συντεταγµενε Q, P µηδενικη.Βε1αιω, ο προσδιορισµο τη συναρτηση S(q, Q, t, T ) απαιτει τη

γν£ωση τη φυσικη κινηση και γι αυτο η ιδεα τωνHamilton και Jacobi δεναποτελει πανακεια για την επιλυση των δυναµικ£ων εξισ£ωσεων. Ωστοσο,

Page 24: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

296 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

σε αρκετε περιπτ£ωσει που η Χαµιλτονιανη στην εκφραση (9.69) µπορεινα διαχωριστει σε µερη που εξαρτ£ωνται απο διαφορετικε µεταξυ του µε-τα1λητε, η εξισωσηHamilton - Jacobi µπορει να εξασφαλισει µια γρηγορηµαθηµατικη λυση του φυσικου προ1ληµατο (βλ. Ασκηση 9.12). Εκτο,οµω, απο την πρακτικη τη σηµασια, η εξισωση Hamilton - Jacobi εισαγειµε λεπτοτητα εναν ενδιαφεροντα τροπο σκεψη, ο οποιο επαιξε σηµα-ντικο ρολο κατα τη µετα1αση απο την κλασικη στην κ1αντικη µηχανικη.

Ασκηση 9.12. Προσπαθηστε να επιλυσετε παλι το προ1ληµα του ελευθερου σωµα-ΑΣΚΗΣΕΙΣτιδιου κατευθειαν µεσω τη σχεση (9.69) διαχωριζοντα τη συναρτηση F1 ω ακολου-θω

F1 = −E(t − T ) + W (q) ,

οπου E µια σταθερα διαχωρισµου.

Page 25: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 297

9.10 Προ1ληµατα

1. Κατασκευαστε το µετασχηµατισµο Legendre g(p) τη f(v) = v2/2+av. Αν v ειναι η ταχυτητα, ποιο φυσικο συστηµα περιγραφει η Χα-µιλτονιανη που βρηκατε; Κατασκευαστε επιση το µετασχηµατισµοLegendre τη f(v) = −b

√1 − v2 για |v| ≤ 1 και b > 0. Ποιο φυσικο

συστηµα περιγραφει αυτη η Χαµιλτονιανη;

2. Μετασχηµατισµοι Legendre στη θερµοδυναµικη: Η θερµοδυναµικηκατασταση ενο συστηµατο µπορει να προσδιοριστει µε δεδοµενεδυο µονο απο τι τεσσερι µετα1λητε : p (πιεση), V (ογκο), T (θερ-µοκρασια), S (εντροπια). Συµφωνα µε τον πρ£ωτο νοµο τη θερµο-δυναµικη ισχυει οτι dU = TdS − pdV και η εσωτερικη ενεργειαU µπορει να θεωρηθει συναρτηση των S και V . Συνεπ£ω, η πιεσηοντα και αυτη συναρτηση των S και V , ειναι p = − ∂U/∂V |S . H

ενθαλπιαH µε τη σειρα τη ειναι συναρτηση των S και p και ικανο-ποιει τη σχεση V = ∂H/∂p|S . Προσδιοριστε την H και δειξτε οτιT = ∂H/∂S|p . Η ελευθερη ενεργεια Gibbs ειναι συναρτηση των pκαι T και ικανοποιει τη σχεση S = − ∂G/∂T |p . Προσδιοριστε τηGκαι δειξτε οτι V = ∂G/∂p|T . Η συναρτηση του Helmholtz A ειναισυναρτηση των T και V και ικανοποιει τη σχεση p = − ∂A/∂V |T .

Προσδιοριστε την A και δειξτε οτι S = − ∂A/∂T |V .

3. Υπολογιστε τη λαγκρανζιανη συναρτηση που αντιστοιχει στη Χα-µιλτονιανη

H(q, p) =p2

2+ p sin q .

4. Σηµειακη µαζα κινειται στο επιπεδο υπο την επιδραση κεντρικηδυναµη f(r). Η κινηση περιγραφεται σε πολικε συντεταγµενε (r,θ). Υπολογιστε τη χαµιλτονιανη συναρτηση και γραψτε τι εξισ£ω-σει του Χαµιλτον.

5. Σηµειακη µαζα κινειται στο χ£ωρο υπο την επιδραση κεντρικη δυ-ναµη f(r). Η κινηση περιγραφεται σε σφαιρικε συντεταγµενε (r,θ, φ). Προσδιοριστε τι κανονικε ορµε pr, pθ, pφ. Γραψτε τη Χα-µιλτονιανη και τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον. Αποδειξτε οτι η κινησηπεριοριζεται σε καποιο επιπεδο.

6. Γραψτε τη χαµιλτονιανη συναρτηση που διεπει την κινηση ενο αρ-µονικου ταλαντωτη µε αποσ1εση.

7. ∆ειξτε οτι η χαµιλτονιανη συναρτηση δυο σωµατιδιων που αλληλε-πιδρουν µε νευτ£ωνειο δυναµικο ειναι

H =|~P |22M

+|~p|22µ

+ V (|~x|) ,

οπου ~P η ορµη του κεντρου µαζα των σωµατιδιων, M η συνολικηµαζα, ~p και ~x αντιστοιχα η σχετικη ορµη και θεση των σωµατιδιων

Page 26: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

298 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

και µ η ανηγµενη µαζα των. Γραψτε τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον πουδιεπουν την κινηση.

8. Η Λαγκρανζιανη ελευθερου σχετικιστικου σωµατιδιου που κινειταιστον αξονα x ειναι L(x) = −mc2

1 − (x/c)2, οπου x η θεση τουσωµατιδιου στον αξονα. Υποθεστε οτι στο σωµατιδιο ασκειται µιαδυναµη τετοια £ωστε η Λαγκρανζιανη να ειναι

L(x, x) = −mc2√

1 − (x/c)2 − 1

2mω2x2 .

Γραψτε τη χαµιλτονιανη συναρτηση του σωµατιδιου. ∆ιατηρειταιη Χαµιλτονιανη κατα την κινηση; Ποια ειναι η τιµη τη (α) οταν ηταχυτητα του σωµατιδιου ειναι µηδεν και (β) οταν βρισκεται στηναρχη των αξονων στο χ£ωρο των φασεων; ∆ειξτε οτι η περιοδο τηταλαντωση µπορει να λα1ει τη µορφη

T =4

2

m

∫ π/2

0

dθ;E − (E − mc2) sin2 θ

(E + mc2) − (E − mc2) sin2 θ,

οπου E η ενεργεια του σωµατιδιου. Επι1ε1αι£ωστε οτι η περιοδοτη κινηση τεινει στη µη-σχετικιστικη τιµη τη, οταν η ταχυτητα ει-ναι συνεχ£ω πολυ µικρη συγκριτικα µε την ταχυτητα του φωτο.

9. Θεωρηστε ενα ελευθερο σωµατιδιο µαζα m που κινειται στο επι-πεδο x−y. Αντι των καρτεσιαν£ων συντεταγµενων (x, y) επιλεγουµενα περιγραψουµε την κινηση στι περιστρεφοµενε συντεταγµενε

ξ = x cos ωt + y sin ωt ,

η = −x sin ωt + y cos ωt .

Παρατηρηστε οτι

x = ξ cos ωt − η sin ωt ,

y = ξ sin ωt + η cos ωt .

(α) Γραψτε τη λαγκρανζιανη συναρτηση του σωµατιδιου στι συ-ντεταγµενε (ξ, η) και τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange που διεπουντην κινηση. (β)Υπολογιστε τη χαµιλτονιανη συναρτησηH που αντι-στοιχει σε αυτη τη Λαγκρανζιανη. (γ)Μπορειτε να υπολογισετε τηνενταση ενο οµογενου µαγνητικου πεδιου, £ωστε η παραπανω Χα-µιλτονιανη να περιγραφει την επιπεδη κινηση ενο φορτισµενου σω-µατιδιου µεσα στο πεδιο αυτο, θεωρ£ωντα οτι στο σωµατιδιο δραεπιπλεον ενα ανεστραµµενο (απωθητικο) αρµονικο ταλαντω-τη; δ) ∆ιατηρειται η κινητικη ενεργεια Eκιν = 1

2m(x2 + y2); ∆ια-

τηρειται η Χαµιλτονιανη H ;

10. Αν η Χαµιλτονιανη ενο σωµατιδιου που κινειται σε µια διαστασηειναι ηH , δειξτε οτι η θεση του σωµατιδιου σε καθε χρονικη στιγµη

Page 27: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

9.10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 299

t µπορει να υπολογιστει απο το αναπτυγµα

x(t) = x(0) +t

1!x, Ht=0 +

t2

2!x, H, Ht=0 +

+t3

3!x, H, H, Ht=0 + . . .

Ολε οι αγκυλε Poisson υπολογιζονται τη χρονικη στιγµη t = 0.Χρησιµοποιηστε το παραπανω αναπτυγµα για να βρειτε την εξισωσηκινηση ενο σωµατιδιου µεσα στο οµογενε βαρυτικο πεδιο τη Γη,περιοριζοµενοι µονο στην κατακορυφη κινηση.

11. Προσδιοριστε τον κανονικο µετασχηµατισµο που οριζεται απο τησυναρτηση

F1(q, Q, t) =(q − Q)2

2t.

Τι συµ1αινει στο µετασχηµατισµο οταν στο οριο t → 0 ειναι q−Q =O(t); Προσδιοριστε τη Χαµιλτονιανη που διεπει τη δυναµικη στινεε συντεταγµενε.

12. Γραψτε την εξισωση Hamilton-Jacobi για τον αρµονικο ταλαντωτη

L =1

2

(

q2 − q2)

.

Υπολογιστε τη συναρτηση-δραση S =∫

Ldt και επαληθευστεοτι αυτη επιλυει την εξισωση Hamilton-Jacobi του αρµονικου ταλα-ντωτη.

13. Θεωρηστε τη Λαγκρανζιανη L(x, x, x, t) η οποια, εκτο των αλλωνεξαρταται και απο αν£ωτερε παραγ£ωγου. Μπορειτε να κατασκευ-ασετε χαµιλτονιανη θεωρια για αυτη τη Λαγκρανζιανη; (Φ. Χατζη-ωαννου)

14. Θεωρηστε τη γραµµικοποιηµενη Λαγκρανζιανη (8.113), του Κεφα-λαιου 8, που διεπει µικρε ταλαντ£ωσει µια αλυσιδα µεσα σε οµο-γενε πεδιο βαρυτητα. Προσδιοριστε τι κανονικε ορµε που αντι-στοιχουν στι γωνιε και κατασκευαστε τη χαµιλτονιανη συναρτησητη αλυσιδα. Στη συνεχεια γραψτε τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον.

15. Θεωρηστε τη λαγκρανζιανη συναρτηση

L =1

2qTAq − V (q) ,

οπου A συµµετρικο πινακα. Αποδειξτε οτι και ο B = A−1 ειναισυµµετρικο πινακα και δειξτε οτι η αντιστοιχη χαµιλτονιανη συ-ναρτηση ειναι η

H =1

2pTBp + V (q) .

Γραψτε τι εξισ£ωσει του Χαµιλτον και προσδιοριστε τα σηµεια ι-σορροπια τη. Στη συνεχεια κατασκευαστε τι γραµµικοποιηµενεεξισ£ωσει κινηση και προσδιοριστε τη Χαµιλτονιανη που τι παρα-γει.

Page 28: Κεφαλαιο“ 9 - users.uoa.grusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/09.pdf · 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ“υτητε̋ q˙i, οι τροχι“ε̋ στο χ £ωρο των

300 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

16. Θεωρηστε µικρε κινησει των δυο συζευγµενων εκκρεµ£ωνπου ανα-λυσαµε στο εδαφιο 8.2. Η κινηση του διεπεται απο τη Λαγκρανζι-ανη (8.12). ∆ειξτε οτι οι εξισ£ωσει του Χαµιλτον µπορουν να γρα-φουν στη µορφη

d

dt

θ1

p1

θ2

p2

=

0 1 0 0−ω2 0 −ω2

k 00 0 0 1

−ω2k 0 −ω2 0

θ1

p1

θ2

p2

οπου ω2 = ω2g + ω2

k. Θετοντα λυσει τη µορφη ae−iΩt στην πα-ραπανω εξισωση προσδιοριστε του χαρακτηριστικου τροπου τα-λαντωση στο χ£ωρο των θεσεων και των ορµ£ων. Καθε χαρακτηρι-στικο τροπο ταλαντωση προσδιοριζεται απο τη στηλη a που εχειτεσσερα στοιχεια.