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A N T O L O G Í A DE LA MATERIA

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

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Abatimientos, triedros, perpendicularidad

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Abatimiento

Se llama abatimiento en geometría, al proceso mediante el cual, dados dos planos que se cortan, se hace girar uno de ellos alrededor de la recta intersección de ambos, hasta conseguir que ambos planos coincidan. De esta forma, se consigue que las proyecciones realizadas sobre estos planos sean coplanarias, pudiéndose aplicar a continuación sobre ellas construcciones de geometría plana.

Triedro

Un triedro es el ángulo poliedro formado por tres semirectas o aristas. Puede tener uno, dos o tres ángulos rectos; en cuyo caso se llama ángulo triedro rectángulo, birrectángulo o trirrectángulo, respectivamente.

Triedro o Ángulo triedro, es un ángulo poliédrico de tres caras. Tiene también tres diedros.

Las caras y los diedros de un triedro cumplen las siguientes propiedades:

Cada cara es menor que la suma de las otras dos. La suma de las tres caras es menor que 360º. La suma de los tres diedros es mayor que 180º y menor que 540º.

La intersección de un triedro con una superficie esférica con el centro en su vértice es un triángulo esférico:

Los lados del triángulo, a, b, c, son arcos de circunferencia máxima cuyas medidas coinciden con las de las respectivas caras del triedro. Los ángulos del triángulo son los correspondientes diedros del triedro.

Un triedro trirrectángulo es el que tiene los tres diedros rectos, es decir, el que está formado por tres planos perpendiculares entre sí. Sus aristas son tres semirrectas perpendiculares entre sí y, por tanto, sus caras son también ángulos rectos. El correspondiente triángulo esférico tiene los tres lados y los tres ángulos de 90º:

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Perpendicularidad La línea AB es perpendicular a la línea CD, porque los dos ángulos que crea (mostrados en naranja y azul, respectivamente) son de 90 grados.

Una figura es perpendicular a otra cuando al cortarla, determina todas sus secciones (en el plano que las contiene, según los casos) un ángulo recto. Esto se da en:

Rectas: cuando dos rectas se cortan (estando así en el mismo plano), originan no sólo uno, sino cuatro ángulos rectos. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.

Semirrectas: dos semirrectas con el mismo punto de origen originan un ángulo de 90 grados (o sea, recto) y otro de 270°, aunque esta última parte no se suele nombrar.

Planos: similar a las rectas. Son perpendiculares cuando originan cuatro ángulos diedros de 90 grados cada uno; ver diedro para mayor información.

Semiplanos: dos semiplanos compartiendo la misma recta de origen delimitan un ángulo diedro de 90° y otro de 270º, aunque esta última parte no se suele nombrar.

Propiedades

Simétrica: Si una figura geométrica es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas, determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).

Postulado de unicidad

En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.

Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado

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Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través del punto P.

Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue:

Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P. Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos. Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.

Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.

Con relación a líneas paralelas

Las líneas a y b son paralelas, como se ve por los cuadrados, y están cortadas por la línea transversal c.

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Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea.

En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás:

Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto. Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes. La línea c es perpendicular a la línea a. La línea c es perpendicular a la línea b.

Fundamentos del sistema axonométrico ortogonal

Las proyecciones en el plano del dibujo de las aristas del triedro (XYZ), también llamadas ejes, resultan al proyectar ortogonalmente todos los puntos que forman dichos ejes. Para ello, se hallan los puntos de intersección de éstos con el plano del cuadro del dibujo, con lo que se obtienen los puntos A, B, C. Uniéndolos con el punto O', proyección ortogonal de O, donde se cortan los ejes axonométricos, tendremos las proyecciones de los ejes, y si, además, unimos los puntos traza (A, B, C) entre sí, determinaremos el triángulo fundamental de las trazas.

Cuando se proyecta un objeto en este sistema, sus magnitudes varían; la razón existente entre el tamaño de un objeto real y su imagen proyectada se denomina coeficiente de reducción. Cuando no se utiliza este coeficiente, se dice que se está realizando un dibujo isométrico; sin embargo, cuando se aplica, se obtiene una perspectiva isométrica.

TIPOS DE AXONOMETRIA OCTOGENAL

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Al proyectar los ejes axonométricos (X, Y, Z) sobre el plano del dibujo, forman entre sí los ángulos _, _ y _, cuyos valores difieren dependiendo de la posición que estos ejes tengan respecto al plano. Las diferencias de ángulos generan las tres axonometrías siguientes:

Perspectiva isométrica, los tres ángulos _, _ y _, son iguales. El coeficiente de reducción es el mismo para los tres ejes.

Perspectiva dimétrica, dos ángulos son iguales y otro es distinto; por tanto, dos coeficientes de reducción son iguales y el otro desigual.

Perspectiva trimétrica, todos los ángulos son diferentes, al igual que los coeficientes de reducción.

Cambio de planos de proyección http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_07c-cambio_planos_proyeccion/06-cambio_cualquiera_fontal.htm

1.- Cambio del Plano Vertical de Proyección, para Observar de Punta a un Plano Cualquiera.

2.- Cambio del Plano Horizontal de Proyección, para Observar en Posición Horizontal a un Plano de Punta.

3.- Cambio de un Plano Cualquiera a Posición Horizontal, por medio de dos Cambios de Plano de Proyección Sucesivos.

4.- Cambio del Plano Horizontal de Proyección, para Observar en Posición Vertical a un Plano Cualquiera.

5.- Cambio del Plano Vertical de Proyección, para Observar en Posición Frontal a un Plano que se Encuentra en Posición Vertical.

6.- Cambio de un Plano Cualquiera a Posición Frontal, por medio de dos Cambios de Plano de Proyección Sucesivos

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Como ya se decribió, el sistema de Doble Proyección Ortogonal lo definen dos planos principales de proyección, denominados: plano vertical de proyección (PV) y plano horizontal de proyección (PH), los cuales se cortan, formando un ángulo de 900, y definiendo una línea denominada línea de tierra, la cual ahora se denominará (H-V), por representar la intersección entre los planos horizontal y vertical de proyección\ fig.1a.

El cambio de planos de proyección consiste en sustituir el plano vertical de proyección (PV) por cualquier plano tres (P3) de proyección que sea perpendicular al plano horizontal de proyección (fig.1b). Se obtiene de esta forma un nuevo sistema de doble proyección ortogonal, en el cual, los planos principales de proyección son: el plano tres de proyección (P3), que reemplaza al plano vertical de proyección (PV), y el plano horizontal de proyección (PH), que mantiene su posición. La Línea de Tierra, es ahora la intersección (H-3) entre los planos horizontal y tres de proyección. En este caso, la proyección horizontal (Ah) de cualquier punto (A) es común a ambos sistemas, y la cota (ZA) de cualquier punto (A) mantiene su valor al definir su proyección sobre el plano tres de proyección; que se denomina proyección tres (A3).fig.1.\ Cambio de planos de proyección