Antenas de Micro ta Com Substrato Metamaterial Manoel do Bon … · Manoel do Bon m Lins de Aquino...

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao

Antenas de Microfita Com Substrato Metamaterial

Manoel do Bonfim Lins de Aquino

Orientador: Prof. Dr. Humberto Cesar Chaves Fernandes

Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia

Eletrica e Computacao da UFRN (Area de

concentracao: Engenharia Eletrica) como

parte dos requisitos para obtencao do tıtulo

de Mestre em Ciencias.

Natal/RN - Brasil

Novembro de 2008

Divisao de Servicos Tecnicos

Catalogacao da publicacao na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Aquino, Manoel do Bonfim Lins de.

Antenas de microfita com substrato metamaterial / Manoel do Bonfim Lins

de Aquino - Natal, RN, 2008.

90 f.

Orientador: Dr. Humberto Cesar Chaves Fernandes.

Dissertacao (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Pro-

grama de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica.

1. Antenas de microfita - Dissertacao. 2. Metamateriais - Dissertacao. 3.

Metodo da linha de transmissao transversa - Dissertacao. 4. Miniaturizacao de

antenas - Dissertacao. I. Fernandes, Humberto Cesar Chaves. II. Tıtulo.

RN/UF/BCZM CDU 621.396.67 (043.3)

Antenas de Microfita Com Substrato Metamaterial

Manoel do Bonfim Lins de Aquino

Dissertacao de Mestrado aprovada em 19 de novembro de 2008 pela banca exami-

nadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Humberto Cesar Chaves Fernandes (orientador) . . . . . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Laercio Martins de Mendonca (examinador interno) . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Sandro Goncalves da Silva (examinador interno) . . . . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Alfredo Gomes Neto (examinador externo) . . . CTEMA/CEFET-PB

Aos meus pais - Vilani e Cazuza, pela

sabedoria e amor que me proporcionaram

A minha esposa - Justina Laura

Agradecimentos

Ao meu orientador e amigo, Dr. Professor Humberto Cesar Chaves Fernandes.

Aos colegas Davi Bibiano, Richardson, Roberto, Aline, Sousa, Joao Cleber, pela ajuda.

Aos demais colegas de pos-graduacao, pelo companheirismo, crıticas e sugestoes.

A Indira e famılia pela convivencia e amizade durante a graduacao e mestrado.

A minha famılia pelo apoio durante esta jornada, em especial aos irmaos Cleilson e Cle-

vanir que sempre me incentivaram na vida academica.

A minha esposa Justina pelo amor e compreensao.

A CAPES e CNPQ, pelo apoio financeiro.

Resumo

Este trabalho apresenta a analise teorica e numerica dos parametros de uma antenade microfita tipo patch retangular sobre substrato metamaterial. Para isso, e aplicadaa teoria de metamateriais - MTM, em conjunto com o metodo da Linha de Transmis-sao Transversa - LTT, para a caracterizacao das grandezas do substrato e obtencao dasequacoes gerais dos campos eletromagneticos. E realizado um estudo acerca da teoriade metamateriais com o intuito de obter seus parametros construtivos, os mesmos saocaracterizados atraves de tensores permissividade e permeabilidade. Essa teoria e apli-cada ao metodo da Linha de Transmissao Transversa chegando-se as equacoes gerais paraos campos eletromagneticos da antena. Em seguida sao utilizados princıpios da teoriaeletromagnetica para obter-se caracterısticas como: frequencia de ressonancia complexa,diagramas de radiacao e largura de banda. Sao simulados diferentes configuracoes demetamateriais e antenas com o intuito de miniaturizar as dimensoes fısicas e aumentara largura de banda das mesmas, os resultados sao apresentados atraves de graficos. Aanalise teorica computacional deste trabalho se mostra precisa, em comparacao a outros,podendo ser empregado em dispositivos que utilizem metamateriais como substratos. Aofinal sao apresentadas conclusoes e sugestoes para trabalhos futuros.

Palavras Chaves: Antenas de Microfita, Metamateriais, Metodo da Linha de Trans-missao Transversa, Miniaturizacao de Antenas.

Abstract

This paper presents a theoretical and numerical analysis of the parameters of a rectan-gular microstrip antenna with metamaterial substrate. The metamaterial (MTM) theorywas applied along with Transverse Transmission Line (LTT) method to characterize sub-strate quantities and obtain the general equations of the electromagnetic fields. A studyon metamaterial theory was conducted to obtain the constructive parameters, which werecharacterized through permittivity and permeability tensors to arrive at a set of elec-tromagnetic equations. Electromagnetic principes are used to obtained parameters suchas complex resonance frequency, bandwidth and radiation pattern were then obtained.Different metamaterial and antenna configurations were simulated to miniaturize themphysically and increase their bandwidth, the results of which are shown through graphics.The theoretical computational analysis of this work proved to be accurate when com-pared to other studies, and may be used for other metamaterial devices. Conclusions andsuggestions for future work are also proposed.

Keywords: Microstrip Antennas, Metamaterials, Transverse Transmission Line, An-tennas Miniaturization. Method.

Conteudo

Sumario p. iii

Lista de Figuras p. vi

Lista de Tabelas p. ix

Lista de abreviaturas e siglas p. x

Lista de sımbolos p. xi

1 Introducao p. 1

2 Teoria de Antena p. 4

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

2.2 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

2.3 Processo de Radiacao na Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

2.4 Campos no Espaco ℜ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7

2.4.1 Regioes de Campos Proximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7

2.4.2 Regiao de Campos Distantes - Regiao de Fraunhofer . . . . . . . p. 7

2.4.3 Campos Distantes para um Dipolo Hertziano . . . . . . . . . . . . p. 7

2.5 Parametros de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10

2.6 Antenas de Microfita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.6.2 Aspectos Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.6.3 Linha de Microfita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.6.4 Vantagens e Limitacoes das Antenas de Microfita . . . . . . . . . p. 16

2.6.5 Tecnicas de Alimentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2.6.6 Metodos de Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.6.7 Metodos de Onda Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.7 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3 Substrato Metamaterial p. 24

3.1 Definicao de Metamateriais Esquerdinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

3.2 Superfıcie de Impedancia Reativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

3.3 Metamaterial Planar com Uma Camada . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

3.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

4 Metodo da Linha de Transmissao Transversa - Aplicado a Metama-

teriais p. 34

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

4.2 Desenvolvimento dos Campos Transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

4.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

5 Campos Eletromagneticos na Antena de Microfita Retangular Com

Substrato Metamaterial p. 45

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

5.2 Antena de Microfita Retangular com Substrato Metamaterial . . . . . . . p. 46

5.3 Determinacao das Equacoes dos Campos Eletromagneticos . . . . . . . . p. 47

5.4 Aplicacao Das Condicoes de Contorno e Determinacao das Constantes

Desconhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

5.5 Aplicacao das Condicoes de Contorno Magneticas e Determinacao da

Matriz Admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

iv

5.6 Expansao das Densidades de Corrente em Termos de Funcoes de Base . . p. 55

5.7 Equacao Caracterıstica e Calculo da Frequencia de Ressonancia Complexa p. 58

5.8 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

6 Diagrama de Radiacao p. 60

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

6.2 Campos Distantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

6.2.1 Princıpio de Equivalencia dos Campos . . . . . . . . . . . . . . . p. 64

6.2.2 Campos Tangenciais a Fita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

6.2.3 Campos Distantes para uma Antena Retangular de Microfita . . . p. 67

6.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

7 Resultados p. 70

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

7.2 Resultados da Frequencia de Ressonancia Complexa da antena de Mi-

crofita Retangular com Substrato Metamaterial . . . . . . . . . . . . . . p. 72

7.2.1 Reducao das Dimensoes Fısicas de Antenas Usando Metamateriais p. 72

7.2.2 Analise da Largura de Banda Atraves dos Tensores Permissivi-

dade e Permeabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74

7.3 Diagramas de Radiacao para Antenas de Microfita com Substrato Meta-

material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76

7.4 Resultado Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

7.5 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

8 Conclusoes p. 79

Bibliografia p. 81

Apendice A -- Demonstracao do Metodo da Linha de Transmissao

Transversa - LTT p. 83v

Lista de Figuras

2.1 Etapas da radiacao em uma antena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6

2.2 Densidade superficial de fluxo de potencia para as regioes definidas pelos raios: Rcp =

0,62√

D3

λe Rcd = 2D2

λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

2.3 Campos distantes no sistema de coordenadas esfericas para um dipolo Hertzano. . . . p. 9

2.4 Diagramas de irradiacao, lobulos principal e secundarios. (a) Diagrama de irradiacao

linear; (b) diagrama de irradiacao polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

2.5 Perda de retorno e largura de banda, para uma antena com frequencia central em 500

Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.6 (a) Polarizacao elıptica. (b) Polarizacao linear horizontal, caso particular de (a). (c)

Polarizacao linear vertical, tambem, caso particular de (a). . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.7 Antena de microfita convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.8 Formas comuns de patchs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.9 Alimentacao via linha de microfita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2.10 Alimentacao via conector coaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2.11 Alimentacao via acoplamento por abertura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2.12 Alimentacao via acoplamento por proximidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2.13 Modelo da linha de transmissao: (a) efeito franja com um incremento ∆l; (b) dis-

tribuicao do campo eletrico ao longo da antena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.14 Circuito equivalente para antena de microfita, pelo modelo da linha de transmissao. . p. 21

3.1 Diagrama de permissividade - permeabilidade e ındice de refracao (CALOZ; ITOH,

2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

3.2 Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda eletrico e magnetico em materiais

comuns (a) e metamateriais left-handed (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

3.3 Diagrama de raios mostrando a direcao de propagacao de onda (a) material natural,

(b) metamaterial left-handed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

3.4 Estrutura TW - Thin Wire, construıdo com fios finos de metal em (a); estrutura

SRR - split ring resonator, construıdo com aneis circulares em (b) e (c) Metamaterial

TW-SRR, formado pela juncao das estruturas TW e SRR. . . . . . . . . . . . . . p. 27

3.5 Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuracao dupla e (b) configuracao

simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

3.6 Resultados teoricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permeabilidade. . p. 29

3.7 Resultados teoricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, per-

missividade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

3.8 Metamateriais (p λg) construıdos apenas com metais comuns e dieletricos, (a) ε-

negativo/µ-positivo, (b) ε-positivo/µ-negativo e (c) estrutura SRR-TW (SHELBY et

al., 2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

3.9 Estrutura RIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

3.10 Metamaterial planar com uma camada, construıdo a partir de uma arranjo de estru-

turas TW e SRR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

5.1 Fluxograma descritivo das etapas a serem realizadas nesse capıtulo. . . . . . . . . . p. 46

5.2 Antena retangular de microfita com substrato metamaterial. . . . . . . . . . . . . p. 46

5.3 Secao transversal de uma antena de microfita com patch de largura W . . . . . . . . p. 47

5.4 Vista superior de uma antena de microfita com patch de largura W e comprimento l. . p. 47

5.5 Secao transversal de uma antena retangular de microfita com patch de largura W . . . p. 50

6.1 Ressoador de aberura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

6.2 Equivalencia dos campos. No grafico (a) ~E1 e ~H1 sao os campos gerados pelas fontes e

campos ~E e ~H na superfıcie ~S1. Em (b) ~Es e ~Hs sao os campos gerados pelas densidades

de corrente eletrica e magnetica ~Js e ~Ms, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . p. 64

6.3 Campos distantes no sistema de coordenadas esfericas. . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

7.1 Antena retangular de microfita com substrato metamaterial. . . . . . . . . . . . . p. 71

7.2 Vista da secao transversal da antena retangular de microfita com substrato metamaterial. p. 71

vii

7.3 Metamaterial planar TW-SRR, construıdos apenas com metais e dieletricos comuns,

na face superior as celulas SRR e na inferior as estruturas TW. . . . . . . . . . . . p. 71

7.4 Frequencia de ressonancia para antena de microfita. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

7.5 (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em

funcao da frequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

7.6 Frequencia de ressonancia em funcao do comprimento l do patch para o dieletrico

ε = 2,2 e os MTM’s 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74

7.7 Largura de banda em funcao da frequencia de ressonancia, para o dieletrico com

εr = 2,2 e MTM εx1 = εy1 = εz1 = 4,4; µx1 = µy1 = µz1 = 1. . . . . . . . . . . . . . . p. 74

7.8 (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em

funcao da frequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

7.9 Largura de banda em funcao da frequencia de ressonancia (a) MTM 1 e 2 (b) MTM

3 e 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76

7.10 Largura de banda em funcao da frequencia de ressonancia (a) MTM 1 e 3 (b) MTM

2 e 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76

7.11 (a) diagrama de radiacao plano E(θ = 0 e −90 < φ < 90) e (b) diagrama de radiacao

plano H(φ = 0 e 0 < θ < 180) para a frequencia 1 GHz. . . . . . . . . . . . . . . p. 77

7.12 (a) permeabilidade e (b) permissividade para o substrato TW-SRR construıdo em

laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

7.13 Resultado experimental para antena supracitada - frequencia de ressonancia 2,5 GHz. p. 78

viii

Lista de Tabelas

2.1 Tabela comparativa entre as diversas tecnicas de alimentacao. . . . . . . . . . . . p. 20

Lista de abreviaturas e siglas

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers , p. 4

MTM Metamaterial, p. 24

ME Materiais Esquerdinos - Left Handed , p. 25

MD Materiais Destros - Right Handed , p. 26

TW Fio Fino de Metal - Thin Wire, p. 28

SRR Ressoador de Anel Partido - Split Ring Ressonator , p. 28

TW-SRR Ressoador de Anel Partido e Fio Fino de Metal - Thin Wire

and Split Ring Ressonator ,

p. 29

RIS Superfıcie de Impedancia Reativa - Reactivate Impedance Sur-

face,

p. 31

PEC Condutor Eletrico Perfeito - Perfectly Electric Conductor , p. 31

PMC Condutor Magnetico Perfeito - Perfectly Magnetic Conductor , p. 31

LTT Metodo da Linha de Transmissao Transversa, p. 34

Lista de sımbolos

η Impedancia Intrınseca do Espaco Livre, p. 9

k Numero de Onda, p. 9

r Raio para o Sistema de Coordenadas Esferica, p. 9

~℘ Vetor de Poynting Complexo, p. 10

Prad Potencia Media Radiada pela Antena, p. 10

~ds Vetor Diferencial de Superfıcie, p. 10

Re

~℘

Densidade Superficial de Potencia Irradiada, p. 10

U Intensidade de Radiacao, p. 10

P(θ ,φ) Padrao de Radiacao, p. 10

F(θ ,φ)dB Padrao de Radiacao em dB, p. 11

P(θ ,φ) Padrao de Potencia, p. 11

F(θ ,φ)dB Padrao de Potencia em dB, p. 11

D Diretividade, p. 12

G Ganho de Potencia, p. 12

Za Impedancia de Entrada, p. 12

ROE Relacao de Onda Estacionaria, p. 13

Γ Coeficiente de Reflexao, p. 13

PR Perda de Retorno, p. 13

LB Largura de Banda, p. 13

~E Vetor Campo Eletrico, p. 35

j Numero Imaginario Unitario, j =√−1, p. 35

ω Frequencia Angular Complexa, p. 35

µ Permeabilidade Magnetica, p. 35

~H Vetor Campo Magnetico, p. 35

ε Permissividade Eletrica, p. 35

∇t Operador Transversal, p. 35

µxx Permeabilidade Magnetica Relativa na Direcao x, p. 36

µyy Permeabilidade Magnetica Relativa na Direcao y, p. 36

µzz Permeabilidade Magnetica Relativa na Direcao z, p. 36

µ0 Permeabilidade Magnetica no Espaco Livre, p. 36

εxx Permissividade Eletrica Relativa na Direcao x, p. 36

εyy Permissividade Eletrica Relativa na Direcao y, p. 36

εzz Permissividade Eletrica Relativa na Direcao z, p. 36

ε0 Permissividade Eletrica no Espaco Livre, p. 36

x Versor na Direcao x, p. 36

y Versor na Direcao y, p. 36

x Versor na Direcao z, p. 36

ki Numero de Onda da Enesima Regiao Dieletrica, p. 40

γ Constante de Propagacao na Direcao y, p. 44

αn Variavel Espectral na Direcao x, p. 44

βk Variavel Espectral na Direcao z, p. 44

∇t Operador Transversal, p. 90

αn Variavel Espectral na Direcao x, p. 96

xii

Capıtulo 1

Introducao

O eletromagnetismo vem recebendo grande atencao por grupos de pesquisa ao redor

do mundo devido a demanda por novos dispositivos de telecomunicacoes que transmitam

dados a velocidades cada vez mais altas, exigindo o desenvolvimento de novos circuitos

integrados e materiais de alta eficiencia. Em decorrencia dessa demanda, novos materi-

ais sao desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de controle e propagacao de

ondas eletromagneticas. Nesse contexto, as antenas de microfita sao introduzidas como

alternativa viavel de transmissao e recepcao de microondas, podendo ser utilizadas em

conjunto com metamateriais para novos sistemas - Comunicacao via satelite, telefonia

movel, redes Wireless. Avancos significativos vem ocorrendo tanto na analise das ante-

nas de microfita, como no desenvolvimento de novos materiais - PBG (Photonic Band

Gap), ferritas, metamateriais. Essas antenas sao estruturas que consistem em um patch

condutor sobre um substrato dieletrico e um plano de terra na parte inferior, (BAHL;

BHARTIA, 2001). O substrato tem papel importante no desempenho da estrutura, como

o aumento da largura de banda e eficiencia, pode-se utilizar materiais com e sem perdas -

semicondutores, ferritas e mais recentemente metamateriais. Nessa dissertacao metamate-

riais formados por dieletricos e condutores devidamente arranjados (estruturas periodicas)

sao utilizados como substratos com o objetivo de desenvolver antenas de alta eficiencia e

tamanhos reduzidos.

Diversos metodos de analise sao relatados na literatura, como o Metodo dos Potenciais

Vetoriais de Hertz, o Metodo da Linha de Transmissao Equivalente, o Metodo da Equacao

Integral, o Metodo de Cohn (BAHL; BHARTIA, 2001), o Metodo da Linha de Transmissao

Transversa (FERNANDES, 1984), entre outros. Entretanto, recomenda-se para o estudo

de estruturas em microfita uma analise por metodos rigorosos, pois produzem resultados

mais exatos e eficazes.

Capıtulo 1. Introducao 2

Nesse trabalho e utilizado o Metodo da Linha de Transmissao Transversa - LTT

(FERNANDES, 1984) em conjunto com Garlekin, caso particular do metodo dos Momen-

tos (SANTOS, 2005), que sao metodos de analise rigorosa no domınio espectral. Aquele

consiste em se obter os componentes dos campos eletrico e magnetico em funcao dos

componentes transversais no domınio da transformada de Fourier - DTF (BRACEWELL,

1965). O mesmo foi utilizado em varios trabalhos (SANTOS, 2005), (SILVA, 1999), e, em

comparacao com outros metodos dinamicos apresenta alta eficiencia, alem de importantes

simplificacoes algebricas das equacoes envolvidas no processo. O que gera reducao de

esforcos computacionais.

O trabalho esta distribuıdo em oito capıtulos, buscando-se abordar todo o referen-

cial teorico para o estudo da estrutura e equacionamento matematico e, em seguida,

apresentar uma analise dos resultados obtidos na caracterizacao da antena. A principal

contribuicao do trabalho e o desenvolvimento das equacoes gerais de campos para um

ressoador de microfita com metamaterial. Constituindo-se um importante avanco nos

estudos do eletromagnetismo, uma vez que, os estudos sobre MTM aplicado a antenas

planares ainda sao prematuros.

Primeiramente, e apresentado no capıtulo 2 a teoria de antenas, conceitos e grandezas

essenciais para caracterizacao e estudo. Apresenta-se, tambem, o ressoador de microfita

- situando-o no contexto historico, aplicacoes, formas e principais metodos e modelos de

alimentacao e analises.

No capıtulo 3 descreve-se as estruturas metamateriais, apresenta-se o estudo geral do

ındice de refracao, permeabilidade e permissividade. Sao definidos os principais tipos de

metamateriais, descrevendo-se suas estruturas, equacionamentos e curvas caracterısticas.

Em seguida, no capıtulo 4 e desenvolvido um equacionamento rigoroso para os ressoa-

dores retangulares de microfita com substrato metamaterial, atraves do metodo da Linha

de Transmissao Transversa e da teoria de metamateriais. Essas equacoes constituem-se

na alma do trabalho, pois e o ponto de partida para todo o desenvolvimento analıtico.

No capıtulo 5, a teoria desenvolvida nos capıtulos anteriores e aplicada a uma an-

tena de microfita retangular com substrato MTM com o objetivo de obter-se a frequencia

de ressonancia complexa e campos eletromagneticos tangenciais a fita condutora. Para

tanto, encontra-se a solucao das equacoes de Helmohltz utilizando-se condicoes de con-

torno eletromagneticas adequadas. Em seguida aplica-se o metodo dos momentos - as

densidades de corrente sao expandidas em termos de funcoes de bases e encontra-se a

Capıtulo 1. Introducao 3

equacao caracterıstica, cuja raiz e a frequencia de ressonancia complexa.

No capıtulo 6, baseado no metodo LTT e na condicao de fase estacionaria, e desen-

volvida a teoria de campos distantes para um ressoador de fenda e em seguida generalizado

para antenas de microfita (OLIVEIRA, 1996).

Os resultados numericos para a antena de microfita com substrato metamaterial sao

apresentados no capıtulo 7. Faz-se comparacoes com outros autores e analises dos resul-

tados obtidos.

Por fim sao apresentadas as conclusoes a que se chegou e sugestoes para trabalhos

posteriores.

Capıtulo 2

Teoria de Antena

2.1 Introducao

Sao apresentados neste capıtulo conceitos e grandezas essenciais para caracterizacao

e estudos de antenas. Em seguida e feita uma abordagem sobre antena de microfita - as-

pectos historicos, vantagens, limitacoes, principais aplicacoes. Sao apresentados tambem,

os principais metodos de alimentacao e analises de antenas de microfita.

2.2 Definicao

Antenas sao estruturas metalicas projetadas para radiar e receber energia eletromag-

netica. Constituem-se em elementos essenciais para qualquer sistema de comunicacao sem

fios, realizando a interface entre o guia de onda e o espaco livre. Uma definicao oficial

do IEEE para antenas e dada em Strutzman and Thiele (STUTZMAN; THIELE, 1998),

como segue: ”That part of a transmitting or receiving system that is designed to radiate

or receive electromagnetic waves”. Ou seja, e o dispositivo responsavel por transmitir e

receber ondas eletromagneticas.

2.3 Processo de Radiacao na Antena

Para entender como ocorre a radiacao na antena, primeiro precisa-se conhecer o feno-

meno da radiacao eletromagnetica.

∇ ·~E =ρ

εLei de Gaus, (2.1)

Capıtulo 2. Teoria de Antena 5

∇×~E =−µ∂

∂ t~H Lei de Faraday, (2.2)

∇× ~H = ~J + ~JD Lei de Ampere. (2.3)

Partindo-se das equacoes de Maxwell 2.1 a 2.3. Considere uma estrutura geometrica

irradiante δ eletricamente condutora excitada por uma fonte de tensao senoidal V (t) =

V0 sen(2π f ). O processo de irradiacao para δ , pode ser resumido em 4 etapas:

(I) Em consequencia de V (t), surgem correntes da forma I(t) = I0 sen(2π f +φ) que fluem

pela estrutura com densidade superficial ~J(x,y,z, t)[

Am2

], tal fluxo implica na ocor-

rencia de cargas eletricas em movimento no interior da estrutura δ , com densidade

volumetrica ρ(x,y,z, t)[

Cm3

];

(II) Em consequencia de 2.1 e gerado um campo eletrico ~Eρ(x,y,z, t) devido a densidade

volumetrica de cargas ρ(x,y,z, t)[

Cm3

]. Por sua vez, de 2.3 um campo magnetico

~HJ(x,y,z, t) e estabelecido devido a densidade superficial de corrente ~J(x,y,z, t);

(III) De 2.2, e originado ~EH(x,y,z, t) devido a variacao de ~HJ(x,y,z, t) no tempo. Assim,

somando-se as contribuicoes dos campos eletricos ~EH e ~Eρ , chega-se a ~E(x,y,z, t),

que por seu turno, da origem a densidade superficial de corrente de deslocamento

~JD(x,y,z, t) = ε∂

∂ t~E(x,y,z, t);

(IV) A partir de2.3, ~HD(x,y,z, t) e estabelecido em decorrencia de ~JD(x,y,z, t).

As etapas (III) e (IV) repetem-se recursivamente, de sorte que, para cada recursao

existe uma correspondencia unıvoca entre o instante t e as coordenadas espaciais (x,y,z).

Observa-se ainda que, o campo ~EH(x,y,z, t) e continuamente regenerado por ~HD(x,y,z, t),

diferentemente de ~Eρ(x,y,z, t), pois esse apresenta valores significativos apenas nas proxi-

midades do irradiador (regiao de campos proximos) (FERNANDES; FRANCO, 2002).

A radiacao numa antena pode ser explicada atraves da figura 2.1 a qual mostra uma

fonte de tensao conectada a uma linha de transmissao. Aqui pode-se evidenciar as etapas

descritas acima: a fonte conectada a estrutura irradiante δ estabelece uma tensao V (t) =

V0 sen(2π f ). Conforme descrito em (I), tem-se uma corrente do tipo I(t) = I0 sen(2π f +φ),

que flui por δ com densidade superficial ~J(x,y,z, t)[

Am2

], esse fluxo gera ρ(x,y,z, t)

[Cm3

]. De

(II), ~Eρ(x,y,z, t) e gerado devido a densidade volumetrica de cargas ρ(x,y,z, t). E, devido a


densidade superficial de corrente ~J(x,y,z, t), ~HJ(x,y,z, t) e estabelecido. De (III), A variacao

de ~HJ(x,y,z, t) no tempo leva a formacao de ~EH(x,y,z, t), somando-se os componentes

~EH(x,y,z, t) e ~Eρ(x,y,z, t) chega-se ao campo eletrico total ~E(x,y,z, t), o qual da origem a

densidade de corrente de deslocamento ~JD(x,y,z, t). Por fim, conforme (IV), ~HD(x,y,z, t)

e estabelecido devido a ~JD(x,y,z, t). Desde que seja mantida a fonte de tensao as etapas

acima acontecem ciclicamente e a radiacao e estabelecida.

Figura 2.1: Etapas da radiacao em uma antena.

Pode-se evidenciar a presenca desse campo ao longo da estrutura atraves de linhas de

forca, que sao tangenciais ao campo, bem como, a sua magnitude que e diretamente pro-

porcional ao numero de linha de forca. Conforme exposto, devido a variacao dos campos

eletricos e magneticos, ondas eletromagneticas sao criadas e viajam entre os condutores

do guia. Quando essas perturbacoes se aproximam da abertura da antena, sao formadas

ondas no espaco livre pela conexao da abertura final as linhas de forcas. Desde que, a

fonte senoidal continue a criar perturbacoes eletricas - ondas eletromagneticas sao criadas

continuamente, trafegam atraves da linha de transmissao ate a antena, e sao irradiadas

para o espaco livre (BALANIS, 1997).


2.4 Campos no Espaco ℜ3

As caracterısticas e o relacionamento entre os campos ~E(r,θ ,φ , t) e ~H(r,θ ,φ , t) apre-

sentam diferentes comportamentos a depender da distancia r do ponto P(θ ,φ , t) a antena.

Tal comportamento peculiar depende especificamente da relacao ente r e λ , definindo

duas regioes basicas de irradiacao denominadas de campos proximos (r λ ) e campos

distantes (r λ ).

2.4.1 Regioes de Campos Proximos

Esta regiao e definida como a parte no espaco ℜ3 onde a distancia r entre a antena e

qualquer ponto P(θ ,φ , t) pertencente a regiao, e tal que r λ - empiricamente adota-se

a distancia de r < 0,62√

D3

λ, onde D e a maior dimensao fısica da antena e λ e o compri-

mento da onda irradiada). Nessa regiao ~Eθ e ~Hφ estao defasados no tempo, tornando o

fluxo de potencia nas extremidades do ressoador altamente reativo. Fisicamente significa

a existencia de ondas estacionarias no interior desta regiao, que faz com que a energia

irradiada flua para frente e para traz. Ou seja, nessa regiao ha a tendencia de manter

confinada a potencia fornecida pela antena sem irradia-la para frente, exceto no seu limite

externo - inıcio da denominada zona intermediaria de Fresnel

(0,62

√D3

λ< r < 2D2

λ

)aqui,

comeca a haver irradiacao efetivamente, conforme figura 2.2.

2.4.2 Regiao de Campos Distantes - Regiao de Fraunhofer

A regiao de Fraunhofer e a regiao no espaco ℜ3 na qual a distancia r entre a antena

e qualquer ponto P(θ ,φ , t) pertencente a regiao, e tal que r λ (empiricamente adota-se

a distancia de 2D2

λ). Nessa regiao ~Eθ e ~Hφ estao em fase no tempo - nessas condicoes a

onda eletromagnetica irradiada possui seus campos ~E e ~H relacionados da mesma forma

que numa onda plana incidente. Portanto, a energia eletromagnetica e efetivamente ir-

radiada atraves do espaco ℜ3 em consequencia do alinhamento de fase entre ~Eθ e ~Hφ

(FERNANDES; FRANCO, 2002).

2.4.3 Campos Distantes para um Dipolo Hertziano

A radiacao na regiao de campos distantes para um dipolo Hertziano, pode ser enten-

dida com o auxılio do sistema de coordenadas esfericas mostrado na figura 2.6. A direcao


Figura 2.2: Densidade superficial de fluxo de potencia para as regioes definidas pelos raios: Rcp = 0,62√

D3

λ

e Rcd = 2D2

λ.

vertical e dada pelo eixo y e a horizontal pelo plano xz, θ e φ sao os angulos de elevacao

e azimute respectivamente. Assim xy e o plano de elevacao (φ = 0) ou plano-E, o qual

contem o vetor campo eletrico na direcao de maxima propagacao. Enquanto xz e o plano

azimutal(θ = π

2

)- Plano-H, onde ocorre a direcao de maxima propagacao do vetor campo

magnetico (BALANIS, 1997).

Considerando, ainda, um dipolo Hertziano (com comprimento L e diametro menor

que um comprimento de onda) e assumindo-se que uma corrente I(0) flui atraves de seu

comprimento. Se o dipolo e colocado na origem, ao longo do eixo ”y”, entao conforme

(BALANIS, 1997), pode-se escrever:

Eθ = jηKI(0)Le− jkr senθ

4πr

[1 +

1jkr− 1

(kr)2

], (2.4)

Er = ηI(0)Le− jkr cosθ

(2πr)2

[1 +

1jkr

], (2.5)

Hφ = jKI(0)Le− jkr senθ

4πr

[1 +

1jkr

], (2.6)


Figura 2.3: Campos distantes no sistema de coordenadas esfericas para um dipolo Hertzano.

com,

Hr = 0 Hθ = 0 Eφ = 0.

Para a regiao de campos distantes os termos r2 e r3 podem ser desprezados, assim as

equacoes 2.4 a 2.8 podem ser escritas como:

Eθ = jηKI(0)Le− jkr

4πrsenθ , (2.7)

Hφ = jKI(0)Le− jkr

4πrsenθ , (2.8)

Er = 0, (2.9)

sendo:

η - Impedancia intrınseca do espaco livre;

k = 2π

λ- Numero de onda;

r - Raio para o sistema de coordenadas esferica.

Assumindo-se que os campos Eθ e Hφ variam senoidalmente com o tempo, percebe-se

que: as funcoes 2.7 e 2.8 sao transversais entre si; a relacao Eθ

Hφ= η = 120π - e a impedancia

intrınseca do espaco livre (valida quando o meio de propagacao e o vacuo ou ar seco); e a


magnitude dos campos Eθ e Hφ e inversamente proporcional ao raio r. A direcao de Eθ e

Hφ , e definida pelo vetor de Poynting ao longo de r, e indica a direcao de propagacao da

onda. O vetor de Poynting e dado por (BALANIS, 1997)

~℘=12

(~E× ~H∗

) [Varm2

]. (2.10)

2.5 Parametros de Antenas

Do vetor de Poynting complexo chega-se a potencia media irradiada pela antena:

Prad =©∫∫

s℘rad~ds =

∫ 2π

0

∫π

0℘radr2senθdθdφ [W ] , (2.11)

na qual:

~ds = r2 senθdθdφ r - Vetor diferencial de superfıcie;

℘rad = Re

~℘[W

m2

]- Vetor de Poynting medio, que determina a densidade superficial

de potencia irradiada.

O termo℘radr2 [ W

rad2

]e denominado intensidade de radiacao, e mede a potencia

irradiada pela antena por unidade de angulo solido, ou ainda, densidade solido-angular

de potencia irradiada. Assim a intensidade de radiacao de uma antena e definida por:

U =℘radr2[

Wrad2

]. (2.12)

Padrao de radiacao F(θ ,φ) de uma antena e uma expressao analıtica que define a

intensidade normalizada do campo eletrico Eθ (θ ,φ) resultante em cada ponto da superfıcie

esferica Se de raio re em cujo centro encontra-se a antena:

F(θ ,φ) =Eθ (θ ,φ)

Eθ max, (2.13)

sendo Eθmax o valor maximo de Eθ (θ ,φ) que ocorre para a particular direcao (θ ,φ) =

(θmax,φmax) do espaco ℜ3 sendo θmax e φmax os valores para os angulos θ e φ que maximizam

a grandeza Eθ (θ ,φ). O grafico de tal funcao e denominado diagrama de irradiacao.

O padrao de irradiacao F(θ ,φ) e dado em Decibeis por 2.14 :


F(θ ,φ)dB = 20log |F(θ ,φ)|, (2.14)

por seu turno o padrao de potencia de uma antena e dado por 2.15:

P(θ ,φ) = |F(θ ,φ)|2, (2.15)

logo seu valor em Decibeis e 2.16:

P(θ ,φ)dB = 10log |F(θ ,φ)|2 = 20log |F(θ ,φ)|, (2.16)

donde temos a seguinte equivalencia:

P(θ ,φ)dB = F(θ ,φ)dB. (2.17)

Figura 2.4: Diagramas de irradiacao, lobulos principal e secundarios. (a) Diagrama de irradiacao linear;(b) diagrama de irradiacao polar.

Considerando o diagrama de irradiacao da figura 2.4, pode-se extrair as seguintes

propriedades:

• Lobulo principal - ocorre na direcao que contem a maior concentracao de potencia

irradiada, lobulos secundarios - todos os que nao sao principal.

• HPBW (Half Power Beam Width), largura de feixe com centro no maximo de

F(θ ,φ)dB, para a qual a potencia irradiada caı a metade. Tal grandeza e tambem

conhecida como angulo de meia potencia.

• FNBW (First Null Beam Width), largura de feixe com centro no maximo de

F(θ ,φ)dB, para a qual a potencia irradiada caı ao seu primeiro valor mınimo.


A diretividade de uma antena e um ındice que mede a “habilidade” em concentrar

a potencia irradiada na direcao de maxima propagacao. Ou seja, mede a capacidade de

concentrar energia dentro de um angulo solido.

D =Umax

Umed=

4π

Ωa, (2.18)

na qual:

Ωa =∫ 2π

0∫

π

0 P(θ ,φ)senθdθdφ [sr] - Angulo solido de feixe;

Umax - Valor maximo da intensidade de radiacao;

Umed - Intensidade de radiacao caso a potencia fosse irradiada uniformemente em

todas as direcoes no ℜ3, ou seja, e a intensidade de radiacao resultante de um irradiador

isotropico.

Ganho de potencia e a razao entre a maxima densidade superficial de potencia

irradiada ℘rad(θmax,φmax) pela antena e ℘radmed = Pe4πr2 caso a antena fosse um irradiador

isotropico com 100% de eficiencia (η = 1, Pa = Pe) e alimentado por uma potencia Pe.

G =℘rad(θmax,φmax)

Pe4πr2

= η℘rad(θmax,φmax)

Pa4πr2

= ηD, (2.19)

Portanto, o ganho de potencia G de uma antena, sera no maximo igual a sua diretividade.

Ademais, 10logG define o parametro dBi, ganho em dB em relacao a um irradiador

isotropico. No entanto, devido a essa estrutura ser fisicamente irrealizavel, e comum

utilizar-se o parametro dBd - ganho em relacao ao dipolo de meia onda.

A impedancia de entrada de uma antena e a apresentada a linha de transmissao

que a alimenta ou a estrutura de acoplamento que a une a linha de transmissao.

Za =Va

Ia= Ra + jXa [Ω] , (2.20)

sendo Ra a resistencia de radiacao e Xa a reatancia propria.

Relacao de onda estacionaria (ROE), e a relacao entre o sinal incidente e o

refletido, sendo um parametro de suma importancia para os sistemas de comunicacao,

pois a medida que essa taxa comeca a crescer aumenta as perdas do sistema.

ROE =Vmax

Vmin=

Imax

Imin=

1 + Γ

1−Γ, (2.21)

Γ e o coeficiente de reflexao dado por:


Γ =ZL−Z0

ZL + Z0. (2.22)

A Perda de retorno indica a proporcao entre a potencia incidente e a refletida,

definida como:

PR =−20logΓ [dB], (2.23)

Tanto a perda de retorno quanto o coeficiente de onda estacionarias, sao excelentes

ındices para a determinacao da performance de antenas, sendo aceito na pratica, valores

menores que 1,3 para esse e acima de -10dB para aquele.

A Largura de banda e a faixa na qual a antena opera satisfazendo determinados

parametros de performance. A largura de banda (LB), pode ser especificada:

(I) Sob forma percentual (utilizado quando a largura de banda e muito menor que a

frequencia central):

LB =Fs−Fi

Fc, (2.24)

na qual:

FS - Frequencia superior;

Fi - Frequencia inferior;

Fc - Frequencia central;

(II) Pelo posicionamento de frequencias (Fs e Fi) - utilizado quando Fs e maior igual ao

dobro de Fi:

LB =Fs

Fi. (2.25)

A Polarizacao de uma antena, define a direcao do vetor ~E do campo eletromagnetico

por ela irradiado com relacao a um plano de referencia. A forma mais geral de polarizacao

e a Elıptica - quando o vetor ~E gira em um plano perpendicular a direcao de propagacao

da onda eletromagnetica (FERNANDES; FRANCO, 2002).


Figura 2.5: Perda de retorno e largura de banda, para uma antena com frequencia central em 500 Hz.

Figura 2.6: (a) Polarizacao elıptica. (b) Polarizacao linear horizontal, caso particular de (a). (c) Polar-izacao linear vertical, tambem, caso particular de (a).


2.6 Antenas de Microfita

2.6.1 Introducao

Nesta secao sao abordadas as principais caracterısticas acerca das antenas de microfita

com patch retangular, de modo a produzir subsıdios para os estudos dos capıtulos poste-

riores. Primeiramente sera feita uma introducao sobre aspectos historicos, exemplificando

as vantagens e limitacoes em seu uso. Depois sao discutidas as principais tecnicas de

alimentacao eletromagnetica. Finalmente, sao mostrados os metodos de analise de maior

aplicacao as antenas de microfita.

2.6.2 Aspectos Historicos

O conceito de irradiadores em microfita surgiu em 1953, porem as primeiras antenas

praticas foram desenvolvidas a partir de 1970 por Howell e Munson (BAHL; BHARTIA,

2001). A partir de entao foram desenvolvidas antenas e arranjos de microfita explorando

suas vantagens, tais como: pequeno volume, peso reduzido, configuracao planar, compa-

tibilidade com circuitos integrados, baixo custo de fabricacao e a possibilidade de atuar

com frequencia dual.

2.6.3 Linha de Microfita

A linha de microfita e uma estrutura nao-homogenea com o modo de propagacao

hıbrido nao-TEM. O substrato concentra predominantemente as linhas dos campos eletro-

magneticos. Quanto maior a permissividade eletrica relativa do substrato (εr), maior sera

a concentracao de energia nesta regiao. Varios dispositivos podem ser fabricados uti-

lizando linhas de microfita entre eles estao os ressoadores, antenas, filtros, acopladores

direcionais e divisores de potencia. As antenas de microfita apresentam varias aplicacoes

tais como: comunicacao via satelite, radares, telemetria em mısseis, sensoriamento remoto,

comunicacoes moveis, etc.

A antena de microfita na sua forma mais simples e composta de um elemento metalico

(patch) depositado sobre um substrato (dieletrico) que por sua vez esta sobre um plano

de terra (uma fina camada metalica), como mostra a figura 2.7.

O patch pode ter varias geometrias tais como: quadrado, retangular, circular, elıptica,

triangular ou qualquer outra configuracao de acordo com as caracterısticas desejadas. Em


Figura 2.7: Antena de microfita convencional.

geral para facilitar a analise teorica sao comumente escolhidas as formas mostradas na

figura 2.8. A forma do elemento metalico influencia na distribuicao de corrente e por

consequencia na distribuicao dos campos na superfıcie da antena. Logo, a irradiacao pode

ser determinada atraves da distribuicao de campo entre o patch metalico e o plano de

terra, bem como, em termos de distribuicao de corrente de superfıcie no patch.

Figura 2.8: Formas comuns de patchs.

2.6.4 Vantagens e Limitacoes das Antenas de Microfita

As antenas de microfita apresentam algumas vantagens quando comparadas com as

antenas convencionais usadas para microondas (BAHL; BHARTIA, 2001), tais como:

• Baixo peso e configuracao fina;

• Polarizacoes linear e circular sao possıveis com alimentacao simples;

• Antenas com polarizacao dual e frequencia dual sao facilmente realizaveis;


• Podem ser facilmente embarcadas com circuitos integrados de microondas;

• Linhas de alimentacao e redes de casamento de impedancia podem ser fabricadas

simultaneamente com a estrutura da antena.

Entretanto, apresentam algumas limitacoes:

• Largura de banda limitada;

• Baixo ganho (≈ 6 dB);

• Excitacao de ondas de superfıcie;

• A utilizacao de substratos com alta constante dieletrica e preferıvel, pois facili-

tam a integracao com MMIC’s (Circuitos Integrados Monolıticos de Microondas)

entretanto, substratos com altas constantes dieletricas possuem largura de banda

estreita e baixa eficiencia de irradiacao, decorrente da alta concentracao dos campos

em torno da regiao de alta permissividade.

Existem muitas formas de diminuir o efeito dessas limitacoes, como por exemplo, a

reducao da excitacao de ondas de superfıcie atraves da utilizacao de substratos PBG,

reducao do acoplamento entre o patch e plano de terra utilizando-se materiais magnetico-

dieletrico - com valor moderado de permissividade e permeabilidade alta (µ > ε) (MOSAL-

LAEI; SARABANDI, 2004). Um aumento na largura de banda pode ser obtido, tambem,

com antenas de patchs empilhados ou com multicamadas dieletricas.

2.6.5 Tecnicas de Alimentacao

Antenas de microfita podem ser alimentadas por uma variedade de metodos. Esses

podem ser classificados em duas categorias: contactados e nao contactados. Nas tecnicas

por contato, a fonte de RF e ligada fisicamente ao patch usando linhas de microfita

ou conector coaxial. Enquanto que, nas tecnicas nao-conectado, a ligacao e feita por

acoplamento eletromagnetico. As quatro formas mais comuns sao: linha de microfita,

sonda coaxial (Conexao direta), acoplamento por abertura e proximidade (BALANIS,

1997).


Alimentacao por Linha de Microfita

Nesta tecnica, uma linha de microfita conecta o patch a extremidade da antena como

mostra a figura 2.9, as vantagens em se usar tal processo e a facilidade de construcao, pois

e implementado diretamente sobre o substrato, alem de se integrar facilmente a circuitos

impressos.

Figura 2.9: Alimentacao via linha de microfita.

Alimentacao Coaxial

Essa tecnica e muito comum em estruturas de microfita como visto na figura 2.10. O

condutor interno do conector coaxial transpoe o dieletrico e e soldado ao patch, enquanto

o outro condutor (externo) e soldado diretamente ao plano de terra. A principal vantagem

aqui, e que a alimentacao pode ser feita em qualquer local do patch, facil fabricacao e tem

baixos espurios de radiacao. Entretanto, impoe limitacoes a largura de banda.

Figura 2.10: Alimentacao via conector coaxial.

Acoplamento por Abertura

Os metodos de acoplamento sao os de mais difıcil fabricacao, principalmente o acopla-

mento por abertura. Essa tecnica consiste de dois substratos separados por um plano de


terra. Abaixo do substrato 1 ha uma linha de alimentacao de microfita que fornece energia

atraves de um slot (abertura) no plano de terra, como visto na figura 2.11.

Figura 2.11: Alimentacao via acoplamento por abertura.

Esse arranjo permite uma otimizacao independente do mecanismo de alimentacao e

do elemento de irradiacao. O nıvel de acoplamento e determinado atraves do formato e

localizacao da abertura. Como o plano de terra separa o patch da linha de alimentacao,

as radiacoes superiores sao minimizadas. As desvantagens dessa tecnica sao: dificuldade

de fabricacao devido as multiplas camadas, e baixa largura de banda.

Acoplamento por Proximidade

Essa tecnica de alimentacao consiste em uma linha de alimentacao colocada entre

dois substratos dieletricos, conforme figura 2.12 o patch e colocado sobre o substrato

superior, enquanto que o plano de terra e colocado sob o substrato inferior. As principais

vantagens nessa tecnica e que elimina a radiacao de alimentacao superior e oferece alta

largura de banda. O casamento de impedancia e atingido variando-se a largura da linha

de transmissao e espessura dos substratos.

Figura 2.12: Alimentacao via acoplamento por proximidade.


A tabeta 2.1 faz uma sıntese das tecnicas exploradas acima, mostrando as principais

caracterısticas, vantagens e limitacoes (BAHL; BHARTIA, 2001).

Caracterısticas Linha deMicrofita

AlimentacaoCoaxial

Acoplamentopor Aber-tura

Acoplamentopor Proximi-dade

Espurios deRadiacao

Maior Maior Menor Medio

Confiabilidade Otima Boa (a de-pender dasolda)

Boa Boa

Fabricacao Facil Facil Difıcil DifıcilCasamentode Impedan-cia

Facil Facil Facil Facil

Largura deBanda

2-5% 2-5% 2-5% 13%

Tabela 2.1: Tabela comparativa entre as diversas tecnicas de alimentacao.

2.6.6 Metodos de Analise

Os principais metodos de analise de antenas de microfita sao: o da linha de trans-

missao, o modelo da cavidade, ambos aproximados e os de onda completa - dentre os

quais incluem-se o Metodo da Linha de Transmissao Equivalente - LTE ou Metodo da

Imitancia, o Metodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Metodo da Linha de Transmis-

sao Transversa - LTT, o qual sera usado neste trabalho. Esses baseiam-se em equacoes

diferenciais integrais e utilizam-se do metodo dos momentos e de funcoes de base para

determinar as solucoes.

Modelo da Linha de Transmissao (LT)

No modelo da Linha de Transmissao (LT), o patch e a linha de alimentacao sao mo-

deladas por secoes de LT. A antena e entao representada por uma secao ressonante onde a

impedancia caracterıstica (Z0) e a constante de fase de propagacao (β ) sao determinados

pelos parametros do substrato e dimensoes da antena planar. Considerando uma patch

retangular alimentado por uma linha de microfita conforme figura 2.13, quando os cam-

pos eletromagneticos que se propagam ao longo da linha encontram uma descontinuidade


(inıcio do patch), nesse ponto, devido a mudanca de largura W da microfita, sao gerados

campos de fuga (de franja) nas bordas do patch. Esses efeitos de franja tem como carac-

terıstica armazenar energia, logo sao modelados por capacitores (C). Por outro lado, uma

parte desses campos irradia potencia no espaco o que e representado por uma condutan-

cia (G) em paralelo com (C). Em seguida os campos se propagam atraves do patch ate a

outra extremidade onde, devido as dimensoes finitas W e l ultrapassam o limite fısico do

patch. Aqui mais uma vez aparece o efeito dos campos de fuga, e sao modelados como

visto anteriormente por uma associacao paralelo de (C) e (G). O processo descrito acima

causa um acrescimo eletrico nas dimensoes do patch e e modelado acrescentando-se ao

comprimento l o fator ∆l em ambos os lados do patch, dessa forma tem-se as dimensoes

efetivas. A figura 2.13.b mostra a distribuicao do campo eletrico ao longo da antena, que

pode ser aproximada pela expressao E0 cos(πx/l). Assim as condicoes de contorno sao

satisfeitas, o campo eletrico e maximo nas bordas e nulo no centro da antena (l/2)

Figura 2.13: Modelo da linha de transmissao: (a) efeito franja com um incremento ∆l; (b) distribuicaodo campo eletrico ao longo da antena.

Conforme descrito acima a antena pode ser modelada atraves do circuito da figura

2.14, os seus parametros e as dimensoes sao dados pelas equacoes abaixo.

Figura 2.14: Circuito equivalente para antena de microfita, pelo modelo da linha de transmissao.

∆l = 0,412h

(εre f f + 0,3

)(Wh

+ 0,264)

(εre f f −0,258

)(Wh

+ 0,8) , (2.26)

le f f = l + 2∆l, (2.27)


εe f f =εr + 1

2+

εr−12

[1 + 12

hW

]−1/2

, (2.28)

Fr =c

2√εe f f

[(mL

)2+( n

W

)2]1/2

, (2.29)

sendo Fr a frequencia de ressonancia. Os ındices m e n representam os modos de propa-

gacao na antena,

W =c

2Fr

√(εr + 1)

2

, (2.30)

C = εWlh

. (2.31)

Modelo da Cavidade

O Modelo da Cavidade pode manipular qualquer geometria de patch, tratando a

antena como sendo uma cavidade com paredes ressonantes, onde na base e no topo ha

paredes eletricas e nas laterais paredes magneticas. Os campos na antena sao considerados

como sendo os campos na cavidade, dessa forma serao expandidos em termos de modos

ressonantes na cavidade, na qual cada modo tem a sua frequencia de ressonancia dada

pela equacao 2.32 (BALANIS, 1997).

Frmnp =1

2π√

µε

√(mπ

h

)2+(nπ

L

)2+( pπ

W

)2, (2.32)

sende c a velocidade da luz. Os ındices m, n, p representam os modos de propagacao.

Embora esse modelo seja relativamente simples de implementar e aplicar a diversos

formatos de antenas, ha algumas limitacoes em seu uso, principalmente devido as apro-

ximacoes iniciais. Dessa forma, esse modelo nao oferece um resultado satisfatorio para

antenas com substratos mais espessos, com patch empilhados e arranjos de antenas.

2.6.7 Metodos de Onda Completa

A analise de estruturas planares a partir de modelos aproximados (descritos acima),

oferece relevante rapidez nas formulacoes, no entanto, incluem uma parcela de erro devido


as simplificacoes feitas, sobretudo quando se trata de aplicacoes em altas frequencias e

substratos anisotropicos. Assim, a analise a partir de um metodo rigoroso e imprescindıvel

para a precisao dos resultados com substratos metamateriais. E sabido que o modo de

propagacao da microfita se modifica devido a interface dieletrico-ar, tornando-se um modo

hıbrido nao-TEM. Logo, o metodo de analise deve considerar a natureza hıbrida dos modos

de propagacao, por esse motivo tais metodos sao chamados de analise dinamica ou de

onda completa. Os mais relatados na literatura sao: o Metodo da Linha de Transmissao

Equivalente - LTE ou Metodo da Imitancia, o Metodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e

o Metodo da Linha de Transmissao Transversa - LTT. Esse sera utilizado ao longo deste

trabalho, com uma nova formulacao para metamateriais. Por esse motivo e desnecessario

apresenta-lo neste momento, pois e detalhado com todo o formalismo matematico no

capıtulo 4

2.7 Conclusoes

Nesse capıtulo foi apresentado conceitos e grandezas essenciais ao entendimento dos

temas que serao abordados nos capıtulos seguintes, situando assim, o leitor acerca do

trabalho desenvolvido.

Capıtulo 3

Substrato Metamaterial

O eletromagnetismo vem recebendo grande atencao por grupos de pesquisa ao redor

do mundo devido a gama de aplicacoes praticas que esses estudos possibilitam. Os avancos

gerados pelas grandes guerras mundiais e pela guerra fria, impulsionam a demanda por

materiais e abrem uma nova area de trabalho em eletromagnetismo. Tal avanco levou

ao desenvolvimento de materiais artificiais com caracterısticas dieletricas e magneticas

desejaveis. Atualmente meios de fabricacao e tecnicas inovadoras vem possibilitando a

fabricacao de materiais com caracterısticas que nao podem ser encontradas na natureza

(SUDHAKARAN, 2006). Tais materiais sao chamados metamateriais - MTM. Esses tam-

bem, podem ser definidos como estruturas eletromagneticas efetivas, homogeneas, arti-

ficiais, com propriedades incomuns que nao sao encontradas em materiais na natureza

(CALOZ; ITOH, 2000). Uma estrutura homogenea efetiva e aquela em que o compri-

mento medio estrutural de celula p (Fig. 3.4) e muito menor que um comprimento de

onda guiada λg. Assim, esse comprimento medio de celula deve ser pelo menos menor

que um quarto de comprimento de onda - p <λg4 . Essa condicao de referencia p = λg

4

sera denominada como o limite de homogeneidade efetiva, para garantir que os fenomenos

espalhamento/difracao sucumbirao frente a refracao quando uma onda se propaga dentro

do meio metamaterial.

Os principais parametros constitutivos sao a permissividade ε e a permeabilidade µ ,

relacionados ao ındice de refracao n dado por (CALOZ; ITOH, 2000):

n =±√

µrεr, (3.1)

na qual µr e εr sao respectivamente a permeabilidade e permissividade relativas, rela-

cionadas a permeabilidade e permissividade no espaco livre dadas por µ0 = µ

µr= 4π 10−7

H/m e ε0 = ε

εr= 8.854 10−12 F/m, respectivamente. Na equacao 3.1 o sinal ± para

Capıtulo 3. Substrato Metamaterial 25

o valor duplo da funcao raiz quadrada admite quatro possibilidades de combinacoes de

sinais para µ e ε - (+,+), (+,-), (-,+) e (-,-), que sao ilustrados no diagrama da Fig. 3.1.

Enquanto as tres primeiras combinacoes sao bem conhecidas em materiais tradicionais, a

ultima (-,-) com permissividade e permeabilidade simultaneamente negativas e uma nova

classe de materiais os “materiais canhotos” ou do ingles left-handed.

Figura 3.1: Diagrama de permissividade - permeabilidade e ındice de refracao (CALOZ; ITOH, 2000).

3.1 Definicao de Metamateriais Esquerdinos

Estes materiais como uma consequencia de seus duplos parametros negativos mostra-

dos na figura 3.1, sao caracterizados por fase e velocidade de grupo antiparalelas ou ındice

de refracao negativo, equacao 3.1. Os materiais esquerdinos (ME) sao claramente meta-

materiais de acordo com a definicao dada na secao anterior, uma vez que sao artificiais,

efetivamente homogeneos (p <λg4 ) e possuem caracterısticas nao usuais como o ındice de

refracao negativo.

Estes materiais foram inicialmente propostos por Viktor Vaselago em 1968 (VESE-

LAGO, 1968) onde pela primeira vez ambos os parametros dieletricos -permissividade ε

e permeabilidade µ - sao negativos. Ele os definiu como materiais left-handed. Quando

uma onda eletromagnetica passa por esses materiais o vetor de campo eletrico, o vetor de


campo magnetico e o vetor de onda obedecem a regra da mao esquerda ao contrario de

materiais naturais, cujos vetores obedecem a regra da mao direita e possuem parametros

de material positivos. Os materiais com parametros positivos sao nomeados “materiais

destros” (MD). A Fig. 3.2 mostra a direcao dos vetores desses materiais. Pode-se observar

que o vetor de pointing e o vetor de onda estao em direcoes opostas no metamaterial ME,

enquanto obedecem a mesma direcao no caso dos materiais MD.

Figura 3.2: Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda eletrico e magnetico em materiaiscomuns (a) e metamateriais left-handed (b).

Os ME possuem caracterısticas nao usuais como: lei de Snell, radiacao e efeito

Doppler, reversos (VESELAGO, 1968). A Fig. 3.3 mostra as direcoes de propagacao

de onda usando diagramas de raios para o material convencional MD e o ME, quando

uma onda incide obliquamente no material. Pode-se observar que no material natural a

refracao da onda na primeira interface e para cima em relacao a normal, enquanto no

material artificial e para baixo.

Figura 3.3: Diagrama de raios mostrando a direcao de propagacao de onda (a) material natural, (b)metamaterial left-handed.

Vaselago concluiu em seu artigo, que algumas substancias naturais poderiam exibir

caracterısticas ME. Ele entao sugeriu: “substancias girotropicas possuindo plasma e pro-

priedades magneticas” (metais ferrimagneticos puros ou semicondutores); “onde tanto a

permissividade quando a permeabilidade sao tensores” (estruturas anisotropicas), pode-


riam possibilitar o desenvolvimento de um LH. No entanto ele reconheceu: (VESE-

LAGO, 1968), “infelizmente,..., nos nao conhecemos sequer uma substancia que possa

ser isotropica e possuir permeabilidade negativa” de fato nenhum LH foi descoberto em

seu tempo.

Foram necessarios mais de 30 anos - apos publicado seu artigo, para desenvolver

o primeiro metamaterial ME e demonstra-lo experimentalmente. Esse material nao foi

uma substancia natural como esperava-se, mas uma estrutura efetivamente homogenea e

artificial - um metamaterial, construıdo por Smith e seus colaboradores na Universidade

da California em Sao Diego (SMITH et al., 2000b). Essa estrutura foi proposta por

Pendry et al. na Faculdade Imperial, Londres (PENDRY, 2000). Prendy introduziu

o tipo plasmatico ε-negativo/µ-positivo e ε-positivo/µ-negativo mostrado na Fig. 3.4,

que podem ser projetados em frequencia plasmatica na faixa de microondas. Ambas as

estruturas possuem um tamanho medio de celula p muito menor que o comprimento de

onda guiada λg (p λg) sendo assim uma estrutura artificial, efetivamente homogenea,

com caracterısticas incomuns, logo um metamaterial.

Figura 3.4: Estrutura TW - Thin Wire, construıdo com fios finos de metal em (a); estrutura SRR - splitring resonator, construıdo com aneis circulares em (b) e (c) Metamaterial TW-SRR, formado pela juncaodas estruturas TW e SRR.

O metamaterial descrito na Fig. 3.4(a) e o fio fino de metal (thin-wire - TW ). Se a

excitacao do campo eletrico ~E e paralela ao eixo dos fios (~E||y), induz-se uma corrente ao

longo desses e se estabelece um momento de dipolo eletrico equivalente, e esse metamate-

rial exibe uma funcao de frequencia do tipo plasmatica para a permissividade da seguinte

forma (PENDRY, 2000),

εr(ω) = 1−ω2

pe

ω2 + ζ 2 + jζ ω2

pe

ω(ω2 + ζ 2), (3.2)

na qual ω2pe =

√2πc2

p2 ln( pr ) (c - velocidade da luz, r - raio dos fios) e a frequencia plasmatica


eletrica, ajustado na faixa de GHz; ξ =ε0( pωpe

r )2

πσ(σ - condutividade do metal) e o fator

de amortecimento devido as perdas do metal. Pode-se notar nessa formula que:

Re(εr) < 0 ⇒ ω2 < ωpe−ξ

2, (3.3)

desde que ξ 2 = 0, tem-se:

Re(εr) < 0 ⇒ ω2 < ωpe. (3.4)

Por outro lado a permeabilidade e simplesmente µ = µ0, uma vez que nao ha presenca

de material magnetico e o momento de dipolo magnetico nao e gerado. Deve-se notar que

os fios sao considerados muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente ao

infinito), o que significa que sao excitados em frequencias situadas bem abaixo de sua

primeira ressonancia.

O metamaterial descrito na Fig. 3.4(b) e o ressoador de anel partido (split-ring res-

onator - SSR). Se a excitacao do campo magnetico ~H e perpendicular ao plano dos aneis

(~H ⊥ z) induz-se uma corrente na malha fechada e se estabelece um momento dipolo mag-

netico, e esse metamaterial exibe uma funcao de frequencia do tipo plasmatica para a

permissividade como se segue (PENDRY, 2000),

µr(ω) = 1−Fω2(ω2−ω2

0m)(ω2−ω2

0m)2 +(ωζ )2 + jFω2ζ

(ω2−ω20m)2 +(ωζ )2 , (3.5)

sendo F = π

(rp

)2(r - raio interno do anel menor), ω0m = c

√3p

π ln(

2dr3s

) (d - largura dos

aneis, s - espaco radial entre os aneis) a frequencia de ressonancia magnetica, que pode

ser ajustada para GHz; ζ = 2pR′rµ0

(R′ - resistencia do metal por unidade de comprimento)

e o fator de compensacao devido as perdas. Deve-se notar que a estrutura SRR possui

uma resposta magnetica - apesar de nao incluir materiais condutores magneticos, devido

a presenca de momentos de dipolos magneticos artificiais gerados pelos aneis ressoadores.

A equacao 3.6 revela que uma faixa de frequencia pode existir quando Re(µr) < 0,

Re(µr) < 0 ⇒ ω0m < ω <ω0m√1−F

, (3.6)

na qual ωpm e a frequencia plasmatica magnetica. Uma diferenca essencial entre as

expressoes plasmaticas para a permissividade e a permeabilidade e que a ultima e de

natureza ressonante µ(ω = ω0m) = ∞ devido a ressonancia dos SRRs, dados por ω0m =


c√

3p

π ln(

2dr3s

) (PENDRY, 2000).

O circuito equivalente do SRR e mostrado na Fig. 3.5 (PENDRY, 2000). Na configu-

racao de anel duplo Fig. 3.5(a), o acoplamento capacitivo e indutivo entre os aneis maior

e menor e modelado por uma capacitancia de acoplamento (Cm) e um transformador n.

Na configuracao de anel simples Fig. 3.5(b), o modelo do circuito e um simples RLC

com frequencia ressonante ω0 = 1√LC

. O SRR duplo e essencialmente equivalente ao SSR

simples se o acoplamento mutuo e fraco, porque as dimensoes dos dois aneis sao muito

proximas, assim L1 ≈ L2 ≈ L e C1 ≈ C2 ≈ C resultando em uma frequencia ressonante

combinada proxima a do SRR simples com as mesmas dimensoes, porem com um maior

momento magnetico devido a maior densidade de corrente.

Figura 3.5: Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuracao dupla e (b) configuracaosimples.

Uma forma de utilizar essas estruturas (thin-wire - TW e split-ring resonator - SSR)

em conjunto, e formar um substrato TW-SRR que consiste da juncao de ambas as estru-

turas em um unico dieletrico com as estruturas dispostas em lados opostos do substrato

Fig. 3.4(c), resultados para esse substrato podem ser vistos nas Fig. 3.6 e 3.7.

Freqüência Hz

Figura 3.6: Resultados teoricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permeabilidade.

Embora do ponto de vista fısico os metamateriais TW-SRR com aneis circulares se-

jam bastante interessantes, na pratica sao de pouca valia em engenharia para aplicacoes

planares. Uma alternativa foi apresentada por Shelby (SHELBY et al., 2001), onde sao

utilizados aneis quadrados e linhas de transmissao como e mostrada na Fig. 3.8.


Figura 3.7: Resultados teoricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permissivi-dade.

Figura 3.8: Metamateriais (p λg) construıdos apenas com metais comuns e dieletricos, (a) ε-negativo/µ-positivo, (b) ε-positivo/µ-negativo e (c) estrutura SRR-TW (SHELBY et al., 2001).

Os metamateriais descritos sao bi-anisotropicos e caracterizados por tensores permis-

sividade e permeabilidade uniaxiais (SMITH et al., 2000a):

µ = µ0

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz

(3.7)

ε = ε0

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

(3.8)

A estrutura mostrada na Fig. 3.4(c) pode apresentar caracterısticas de material es-

querdino monodimensional, uma vez que apenas uma direcao e permitida para o par

(~E, ~H), assim tem-se: εxx(ω < ωpe) < 0 ou εxx(ω ≥ ωpe) > 0; εyy = εzz > 0; µxx(ω0m < ω <

ωpm) < 0 ou µxx(ω0m ≥ ω ≥ ωpm) > 0; µyy = µxx > 0. Ja a estrutura da Fig. 3.8(c) pode

ser um matetrail esquerdino bidimensional, e permite a seguinte configuracao: εxx(ω <


ωpe) < 0 ou εxx(ω ≥ ωpe) > 0; εyy = εzz > 0; µxx e µzz < 0 para ω0m < ω < ωpm ou µxx e

µzz > 0 para ω0m ≥ ω ≥ ωpm; µyy > 0 (SMITH et al., 2000a). Tal fato ocorre, pois o vetor

~E e direcionado ao longo dos fios - obrigatoriamente em uma unica direcao. Nada obsta,

que o vetor ~H varie em duas dimensoes, desde que ao longo dos aneis quadrados.

3.2 Superfıcie de Impedancia Reativa

Uma alternativas para as estruturas SRR-TW, e usar uma superfıcie de impedancia

reativa (RIS) como substrato. Essas estruturas podem ser projetadas para possuir a

propriedade de refletir a potencia total: como um condutor puramente eletrico (PEC

- perfectly electric conductor) ou um condutor puramente magnetico (PMC - perfectly

magnetic conductor) e, ao mesmo tempo, ser capaz de armazenar energia eletrica ou

magnetica (SARABANDI et al., 2006).

A estrutura RIS, e formada por uma camada capacitiva impressa em um dos lados

de um substrato dieletrico separada por um plano de terra metalico - do lado oposto a

camada capacitiva - no substrato dieletrico. A frequencia de ressonancia da superfıcie

depende: do valor dos elementos capacitivos; da distancia entre a camada capacitiva e

a superfıcie metalica e da permissividade da camada dieletrica. A construcao de uma

RIS pode ser feita usando capacitores integrados dispostos de forma periodica. A Fig.

3.9 mostra um arranjo periodico de dipolos cruzados, os quais se acoplam atraves de

capacitores integrados em suas terminacoes. Essa estrutura tem o comportamento de

uma PEC. Tal estrutura e equivalente a um circuito LC paralelo no qual a impedancia

e sempre reativa. A utilizacao dessa estrutura como substrato dieletrico, consiste em

empilhar a RIS sob a estrutura desejada melhorando o seu desempenho.

3.3 Metamaterial Planar com Uma Camada

Uma configuracao metamaterial planar com uma unica camada foi proposta em 2004

por David R. e seus colaboradores (DAVID et al., 2004), nesse artigo estruturas SRR

quadradas sao dispostas em um lado da superfıcie do substrato formando um conjunto

de celulas ressonantes, enquanto na outra face encontram-se estruturas TW formadas

a partir de linhas metalicas planares Fig. 3.10. Essa configuracao sera utilizada nessa

dissertacao, pois e conveniente para aplicacoes em estruturas planares podendo ser usadas

como substratos em antenas de microfita.


Figura 3.9: Estrutura RIS

Figura 3.10: Metamaterial planar com uma camada, construıdo a partir de uma arranjo de estruturasTW e SRR.

3.4 Conclusoes

Neste capıtulo foi apresentada uma introducao sobre algumas estruturas metamateri-

ais e suas caracterısticas, como fatores que motivaram a utilizacao dessas estruturas em

substrato para os dispositivos que serao descritos neste trabalho, devido a gama de me-

lhorias e inovacoes possıveis de ser realizadas. Apresentou-se, tambem, a caracterizacao


matematica dos MTM (TW-SRR) que sera aplicada aos programas desenvolvidos neste

trabalho.

Capıtulo 4

Metodo da Linha de Transmissao

Transversa - Aplicado a

Metamateriais

4.1 Introducao

No estudo das linhas de transmissao planares, sobretudo em linhas de microfita para

altas frequencias, e necessario a analise dos campos eletromagneticos atraves de metodos

rigorosos, os quais consideram a natureza hıbrida dos modos de propagacao, pois esses

se modifica devido a interface dieletrico-ar tornando-se um modo hıbrido nao TEM. Tais

metodos sao chamados de analise dinamica ou de onda completa, como o Metodo da

Linha de Transmissao Equivalente - LTE ou Metodo da Imitancia, o Metodo dos Poten-

ciais Vetoriais de Hertz e o Metodo da Linha de Transmissao Transversa - LTT. Esses

em particular, fazem a mudanca para o domınio espectral como forma de simplificar a

analise da estrutura. Outro motivacao e que a maior parte do desenvolvimento algebrico

independe da geometria analisada, sendo a funcao de base (responsavel por representar as

caracterısticas fısicas da estrutura) escolhida de acordo com a geometria. O objetivo deste

capıtulo e desenvolver as equacoes dos campos eletromagneticos pelo metodo da Linha

de Transmissao Transversa - LTT (FERNANDES, 1984) no domınio da transformada de

Fourier (DTF) (BRACEWELL, 1965).

Diferentemente de outros metodos de onda completa o Metodo LTT utiliza a direcao

de propagacao “y”, transversa a direcao real de propagacao “z”. Dessa forma ha reducao

do tempo computacional quando implementado em algumas linguagens computacionais,

como o Fortran.

Capıtulo 4. Metodo LTT - Aplicado a Metamateriais 35

4.2 Desenvolvimento dos Campos Transversais

Nessa secao os campos para a regiao do substrato metamaterial de uma antena de mi-

crofita com Patch retangular sao determinados. As equacoes gerais dos campos - equacoes

finais do metodo LTT - sao obtidas a partir das equacoes de Maxwell. Partindo-se das

equacoes 4.1 e 4.2,

∇×~E =− jωµ~H, (4.1)

∇× ~H = jωε~E, (4.2)

os vetores campo eletrico e magnetico sao decompostos nas suas tres componentes:

fazendo,

~H = ~Hy + ~Ht = ~Hxx + ~Hyy + ~Hzz, (4.3)

~E = ~Ey +~Et = ~Exx +~Eyy +~Ezz, (4.4)

e

∇ = ∇y + ∇t = ∇t +∂

∂yy =

∂

∂xx +

∂

∂yy +

∂

∂ zz, (4.5)

com

~Ht = ~Hx + ~Hz - Campo magnetico na direcao transversa, (4.6)

~Et = ~Ex +~Ez - Campo eletrico na direcao transversa, (4.7)

e finalmente,

∇t =∂

∂xx +

∂

∂ zz. (4.8)

Para o caso do metamaterial temos:

µ = µ0

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz

, (4.9)


ε = ε0

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

. (4.10)

Substituindo (4.3) a (4.5) em (4.2), tem-se:

(∂

∂xx +

∂

∂yy +

∂

∂ zz)× (~Hxx + ~Hyy + ~Hzz) = jωε0

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

~Exx~Eyy~Ezz

, (4.11)

ou

∂

∂x~Hyz− ∂

∂x~Hzy−

∂

∂y~Hxz +

∂

∂y~Hzx +

∂

∂ z~Hxy− ∂

∂ z~Hyx (4.12)

= jωε0(~Exεxx +~Eyεyy +~Ezεzz),

separando-se as componentes transversais x e z de 4.12, tem-se:

∂

∂x~Hyz− ∂

∂y~Hxz +

∂

∂y~Hzx−

∂

∂ z~Hyx = jωε0(~Exεxx +~Ezεzz), (4.13)

reescrevendo,

(∂

∂y~Hzx−

∂

∂y~Hxz)

+(

∂

∂x~Hyz− ∂

∂ z~Hyx)

= jωε0(~Exεxx +~Ezεzz), (4.14)

como:

(∂

∂y~Hzx−

∂

∂y~Hxz)

=∂

∂yy× ~Ht , (4.15)

e

(∂

∂x~Hyz− ∂

∂ z~Hyx)

= ∇t× ~Hy, (4.16)


entao,

(∂

∂yy× ~Ht

)+(

∇t× ~Hy

)= jωε0(~Exεxx +~Ezεzz), (4.17)

que resulta em

~Ex +~Ez =1

jωε0(εxx + εzz)

(∇t× ~Hy +

∂

∂yy× ~Ht

), (4.18)

ou utilizando a equacoes 4.7 e 4.18,

~Et =1

jωε0(εxx + εzz)

(∇t× ~Hy +

∂

∂yy× ~Ht

). (4.19)

Substituindo 4.4 a (4.5) em 4.1, tem-se:

(∂

∂xx +

∂

∂yy +

∂

∂ zz)× (~Exx +~Eyy +~Ezz) =− jωµ0

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz

~Hxx~Hyy~Hzz

, (4.20)

ou

∂

∂x~Eyz− ∂

∂x~Ezy−

∂

∂y~Exz +

∂

∂y~Ezx +

∂

∂ z~Exy− ∂

∂ z~Eyx (4.21)

= jωµ0(~Hxµxx + ~Hyµyy + ~Hzµzz),

separando as componentes transversais x e z de 4.21, tem-se:

∂

∂x~Eyz− ∂

∂y~Exz +

∂

∂y~Ezx−

∂

∂ z~Eyx = jωµ0(~Hxµxx + ~Hzµzz), (4.22)

reescrevendo,

(∂

∂x~Eyz− ∂

∂ z~Eyx)

+(

∂

∂y~Ezx−

∂

∂y~Exz)

= jωµ0(~Hxµxx + ~Hzµzz), (4.23)


como:

(∂

∂y~Ezx−

∂

∂y~Exz)

=∂

∂yy×~Et , (4.24)

e

(∂

∂x~Eyz− ∂

∂ z~Eyx)

= ∇t×~Ey, (4.25)

entao,

(∂

∂yy×~Et

)+(

∇t×~Et

)= jωε0(~Hxµxx + ~Hzµzz) (4.26)

que resulta em,

~Hx + ~Hz =1

jωµ0(µxx + µzz)

(∇t×~Ey +

∂

∂yy×~Et

), (4.27)

ou utilizando a equacoes 4.6 e 4.27,

~Ht =1

jωµ0(µxx + µzz)

(∇t×~Ey +

∂

∂yy×~Et

). (4.28)

Para ~Et , substituindo 4.28 em 4.19, tem-se:

jωε0(εxx + εzz)~Et = ∇t× ~Hy +∂

∂yy×[

1− jωµ0(µxx + µzz)

(∇t×~Ey +

∂

∂yy×~Et

)], (4.29)

ou

jωε0(εxx + εzz)~Et = ∇t× ~Hy +1

− jωµ0(µxx + µzz)∂

∂yy×(

∇t×~Ey +∂

∂yy×~Et

), (4.30)

mas,


y× (∇t×~Ey) = y×[(

∂

∂xx +

∂

∂ zz)×~Eyy

]= y×

(∂

∂xx×~Eyy +

∂

∂ zz×~Eyy

)(4.31)

= y×(

∂

∂x~Eyz− ∂

∂ z~Eyx)

(4.32)

= y× ∂

∂x~Eyz− y× ∂

∂ z~Eyx (4.33)

=∂

∂x~Eyx +

∂

∂ z~Eyz (4.34)

= ∇t~Ey, (4.35)

e

y×(

∂

∂yy×~Et

)= y×

(∂

∂yy× (~Exx +~Ezz)

)= y×

(∂

∂yy×~Exx +

∂

∂yy×~Ezz

)(4.36)

= y×(− ∂

∂y~Exz +

∂

∂y~Ezx)

(4.37)

=− ∂

∂y~Exx− ∂

∂y~Ezz (4.38)

=− ∂

∂y~Et , (4.39)

substituindo 4.35 e 4.39 em 4.29, tem-se:


jωε0(εxx + εzz)~Et = ∇t× ~Hy +1

− jωµ0(µxx + µzz)∂

∂y

(∇t~Ey−

∂

∂y~Et

), (4.40)

ou

− jωµ0(µxx + µzz)[ jωε0(εxx + εzz)~Et ] = (4.41)

− jωµ0(µxx + µzz)∇t× ~Hy +∂

∂y∇t~Ey−

∂ 2

∂y2~Et ,

ω2µ0(µxx + µzz)ε0(εxx + εzz)~Et +

∂ 2

∂y2~Et =− jωµ0(µxx + µzz)∇t× ~Hy +

∂

∂y∇t~Ey, (4.42)

ou ainda,

(ω

2µ0(µxx + µzz)ε0(εxx + εzz)+

∂ 2

∂y2

)~Et =

∂

∂y∇t~Ey− jωµ0(µxx + µzz)∇t× ~Hy, (4.43)

mas:

∂ 2

∂y2 = k2y , (4.44)

k20 = ω

2µ0ε0, (4.45)

k2 = ω2µε, (4.46)

logo, substituindo 4.44 a 4.46 em 4.43, tem-se:

[k20(µxx + µzz)(εxx + εzz)+ k2

y ]~Et =∂

∂y∇t~Ey− jωµ0(µxx + µzz)∇t× ~Hy, (4.47)

assim,


~Et =1


y ]

(∂

∂y∇t~Ey− jωµ0(µxx + µzz)∇t× ~Hy

). (4.48)

Para ~Ht , substituindo 4.19 em 4.28, tem-se:

− jωµ0(µxx + µzz)~Ht = ∇t×~Ey +∂

∂yy×[

1jωε0(εxx + εzz)

(∇t× ~Hy +

∂

∂yy× ~Ht

)], (4.49)

ou

− jωµ0(µxx + µzz)~Ht = ∇t×~Ey +1

jωε0(εxx + εzz)∂

∂yy×(

∇t× ~Hy +∂

∂yy× ~Ht

), (4.50)

utilizando 4.35 e 4.39, mudando ~E por ~H, e substituindo em 4.50, tem-se:

− jωµ0(µxx + µzz)~Ht = ∇t×~Ey +1

jωε0(εxx + εzz)∂

∂yy×(

∇t× ~Hy−∂

∂y~Ht

), (4.51)

ou

− jωµ0(µxx + µzz)( jωε0(εxx + εzz))~Ht +∂ 2

∂y2~Ht (4.52)

= jωε0(εxx + εzz)∇t×~Ey +∂

∂y∇t ~Hy,

ou [∂ 2

∂y2 + ω2µ0(µxx + µzz)ε0(εxx + εzz)

]~Ht = jωε0(εxx + εzz)∇t×~Ey +

∂

∂y∇t ~Hy, (4.53)

substituindo 4.44 a 4.46 em 4.53,tem-se:


y ]~Ht = jωε0(εxx + εzz)∇t×~Ey +∂

∂y∇t ~Hy, (4.54)

entao,

~Ht =1


y ]

(jωε0(εxx + εzz)∇t×~Ey +

∂

∂y∇t ~Hy

). (4.55)


Da equacao 4.48 tem-se:

~Et = ~Ex +~Ez =

[1


y ]

](4.56)[

∂

∂y

(∂

∂xx +

∂

∂ zz)

~Ey− jωµ0(µxx + µzz)(

∂

∂xx +

∂

∂ zz)× ~Hy

],

ou

~Et = ~Ex +~Ez =

[1


y ]

](4.57)[

∂ 2

∂y∂x~Eyx +

∂ 2

∂y∂ z~Eyz + jωµ0(µxx + µzz)

(− ∂

∂x~Hyz +

∂

∂ z~Hyx)]

,

entao,

~Ex =1


y ]

[∂ 2

∂y∂x~Ey + jωµ0µxx

∂

∂ z~Hy + jωµ0µzz

∂

∂ z~Hy

], (4.58)

e

~Ez =1


y ]

[∂ 2

∂y∂ z~Ey− jωµ0µxx

∂

∂x~Hy− jωµ0µzz

∂

∂x~Hy

]. (4.59)

De maneira analoga, para a equacao 4.55, tem-se:

~Ht = ~Hx + ~Hz =

[1


y ]

](4.60)[

∂

∂y

(∂

∂xx +

∂

∂ zz)

~Hy + jωε0(εxx + εzz)(

∂

∂xx +

∂

∂ zz)×~Ey

],

ou

~Ht = ~Hx + ~Hz =

[1


y ]

](4.61)[

∂ 2

∂y∂x~Hyx +

∂ 2

∂y∂ z~Hyz + jωε0(εxx + εzz)

(∂

∂x~Eyz− ∂

∂ z~Eyx)]

,

entao,


~Hx =1


y ]

[∂ 2

∂y∂x~Hy− jωε0εxx

∂

∂ z~Ey− jωε0εzz

∂

∂ z~Ey

], (4.62)

e

~Hz =1


y ]

[∂ 2

∂y∂ z~Hy + jωε0εxx

∂

∂x~Ey + jωε0εzz

∂

∂x~Ey

]. (4.63)

Das equacoes 4.58, 4.59, 4.62, 4.63 chega-se as equacoes gerais para microfita com

substrato metamaterial:

Ex =1

[γ2 + k20(µxx + µzz)(εxx + εzz)]

[− jαn

∂

∂yEy + ωµ0µxxβkHy + ωµ0µzzβkHy

]; (4.64)

Ez =1


[− jβk

∂

∂yEy−ωµ0µxxαnHy−ωµ0µzzαnHy

]; (4.65)

Hx =1


[− jαn

∂

∂yHy−ωε0εxxβkEy−ωε0εzzβkEy

]; (4.66)

Hz =1


[− jβk

∂

∂yHy + ωε0εxxαnEy + ωε0εzzαnEy

]. (4.67)

Nas quais:

k2y = γ

2, (4.68)

γ2 = α

2n + β

2k − k2

i , (4.69)

k2i = ω

2µε, (4.70)


∂

∂x=− jαn, (4.71)

∂

∂ z=− jβk, (4.72)

e para a regiao de metamaterial, tem-se:

k2i = ω

2µ0ε0µyyεyy. (4.73)

4.3 Conclusoes

Foi apresentado o desenvolvimento matematico e a determinacao dos campos eletro-

magneticos gerais para ressoador de microfita com substrato metamaterial, utilizando-se

o Metodo da Linha de Transmissao Transversa. Tal processo constitui-se em inovacao no

estudo dessas estruturas, pois possibilita a sua caracterizacao atraves de um metodo de

analise rigorosa.

Capıtulo 5

Campos Eletromagneticos na Antena

de Microfita Retangular Com


5.1 Introducao

Nesse capıtulo e apresentado o desenvolvimento das equacoes dos campos eletromag-

neticos para uma antena de microfita retangular com substrato metamaterial, para tanto

e usado o metodo da linha de transmissao transversa, pois a analise atraves de meto-

dos de onda completa se faz necessaria para a obtencao de resultados exatos e eficientes.

Partindo-se das equacoes de Maxwell, as componentes dos campos eletrico e magnetico Ex,

Ez, Hx, Hz sao escritos em funcao das componentes Ey e Hy no domınio da transformada

de Fourier. Tomando-se uma solucao geral da equacao de onda de Helmohltz (sera vista

adiante), e aplicando-se as condicoes de contorno adequadas, sao obtidas as constantes

envolvidas nessa solucao em funcao do campo eletrico fora da fita, que sao aplicadas as

equacoes tangenciais resultando em uma equacao matricial nao homogenea envolvendo as

densidades de corrente na fita. Em seguida aplica-se o metodo dos momentos, as densi-

dades de corrente sao expandidas em funcoes de base, obtendo-se uma equacao matricial

homogenea. A solucao nao-trivial desse sistema e a equacao caracterıstica da estrutura,

cujas raızes permitem a obtencao da frequencia de ressonancia complexa da antena e os

campos tangenciais a fita, que servirao de subsıdio para o calculo dos campos distantes

da antena. O procedimento descrito pode ser sintetizado atraves do fluxograma 5.1.

Capıtulo 5. Campos Eletromagneticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 46

Figura 5.1: Fluxograma descritivo das etapas a serem realizadas nesse capıtulo.

5.2 Antena de Microfita Retangular com Substrato

Metamaterial

O dispositivo em estudo e composto por um patch metalico retangular sobre um

substrato metamaterial que tem na parte inferior uma lamina condutora conhecida como

plano de terra, conforme figura 5.2.

Figura 5.2: Antena retangular de microfita com substrato metamaterial.

Durante a analise o efeito da espessura da lamina condutora e desprezado e sao consi-

derados os parametros dimensionais e eletromagneticos da estrutura e o sistema cartesiano,


conforme ilustrados nas figuras 5.3 e 5.4.

Figura 5.3: Secao transversal de uma antena de microfita com patch de largura W .

Figura 5.4: Vista superior de uma antena de microfita com patch de largura W e comprimento l.

5.3 Determinacao das Equacoes dos Campos Eletro-

magneticos

Nessa secao, sao desenvolvidas detalhadamente as solucoes das equacoes de ondas para

antena de microfita com substrato metamaterial na regiao 1. Para regiao 2 e considerado

o espaco livre.

Das equacoes de Maxwell tem-se:

∇×~E =− jωµ~H, (5.1)

e

∇× ~H = jωε~E, (5.2)

sendo para o caso de substrato metamaterial:


µ = µ0

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz

, (5.3)

e

ε = ε0

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

. (5.4)

Como as solucoes das equacoes de onda sao feitas considerando a direcao de propa-

gacao, as equacoes 5.3 e 5.4 se tornam:

ε = ε0εyy, (5.5)

e

µ = µ0µyy. (5.6)

De 5.1, calculando-se o rotacional tem-se:

∇×∇×~E =− jωµ∇× ~H, (5.7)

substituido 5.2 em 5.7,

∇×∇×~E = ω2ε0εyyµ0µyy~E, (5.8)

assim, 1

∇(∇ ·~E)−∇2~E = ω

2ε0εyyµ0µyy~E, (5.9)

como a regiao e livre de cargas e correntes eletricas, tem-se pelas equacoes de Maxwell

que:

∇ ·~E = 0, (5.10)

logo, pode-se escrever 5.9 como segue,

1Identidade Vetorial ∇×∇×~A = ∇(∇ ·~A)−∇2~A


∇2~E + ω

2ε0εyyµ0µyy~E = 0, (5.11)

esta relacao e valida para todas as componentes de ~E e, em particular para Ey, ou seja:

∇2~Ey + ω

2ε0εyyµ0µyy~Ey = 0, (5.12)

decompondo-se o operador ∇2, tem-se

∇2 =

∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2 +∂ 2

∂ z2 , (5.13)

assim 5.12 e dada por:

∂ 2~Ey

∂x2 +∂ 2~Ey

∂y2 +∂ 2~Ey

∂ z2 + ω2ε0εyyµ0µyy~Ey = 0. (5.14)

Da teoria da transformada de Fourier, tem-se:

∂ 2~Ey

∂x2 =−α2n~Ey, (5.15)

e∂ 2~Ey

∂ z2 =−β2k~Ey. (5.16)

Transformando-se 5.14 para o domınio da transformada de Fourier, tem-se:

−α2n~Ey +

∂ 2~Ey

∂y2 −β2k~Ey + ω

2ε0εyyµ0µyy~Ey = 0, (5.17)

ou, ainda

∂ 2~Ey

∂y2 − (α2n + β

2k − k2)~Ey = 0, (5.18)

para γ2 = α2n + β 2

k − k2, tem-se:

∂ 2~Ey

∂y2 − γ2~Ey = 0, (5.19)

com k = ω2ε0εyyµ0µyy~Ey.

A equacao 5.19 e a equacao de onda para ~Ey. De maneira analoga para ~Hy, mostra-se

que:


∂ 2Hy

∂y2 − γ2Hy = 0. (5.20)

Atraves das equacoes de onda de Helmohltz apresentadas em 5.19 e 5.20 sao encon-

tradas as solucoes para as componentes dos campos em y para as regioes da estrutura

abaixo.

Figura 5.5: Secao transversal de uma antena retangular de microfita com patch de largura W .

Para regiao 1:

Ey1 = A1e cosh(γ1y), (5.21)

e

Hy1 = A1h senh(γ1y). (5.22)

Para regiao 2:

Ey2 = A2eeγ1y, (5.23)

e

Hy2 = A2heγ1y. (5.24)

Substituindo as equacoes 5.21 e 5.22 em 4.64 a 4.67 tem-se para regiao 1:

Ex1 =− j

(γ21 + k2

1)[αnγ1A1e senh(γ1y)+ jωβkµ0(µx1 + µz1)A1h senh(γ1y)] , (5.25)

Ez1 =− j

(γ21 + k2

1)[βkγ1A1e senh(γ1y)− jωαn(µx1 + µz1A1hµ0)senh(γ1y)] , (5.26)

Hx1 =− j

(γ21 + k2

1)[αnγ1A1h cosh(γ1y)− jωβkε0(εx1 + εz1)A1e cosh(γ1y)] , (5.27)


Hz1 =− j

(γ21 + k2

1)[βkγ1A1h cosh(γ1y)+ jωαnε0(εx1 + εz1)A1e cosh(γ1y)] , (5.28)

sendo:

k21 = k2

0(µx1 + µz1)(εx1 + εz1), (5.29)

e

γ21 = α

2n + β

2k − k2

0µy1εy1. (5.30)

Substituindo as equacoes 5.23 e 5.24 nas equacoes gerais do metodo LTT para dieletri-

cos (Apendice A), tem-se para regiao 2:

Ex2 =− j

(γ22 + k2

2)

[−αnγ2A2ee−γ2y + jωβkµ2A2he−γ2y] , (5.31)

Ez2 =− j

(γ22 + k2

2)

[−βkγ2A2ee−γ2y− jωαnµ2A2he−γ2y] , (5.32)

Hx2 =− j

(γ22 + k2

2)

[−αnγ2A2he−γ2y− jωβkε2A2ee−γ2y] , (5.33)

Hz2 =− j

(γ22 + k2

2)

[−βkγ2A2he−γ2y + jωαnε2A2ee−γ2y] , (5.34)

sendo,

k22 = k2

0µr2εr2. (5.35)

5.4 Aplicacao Das Condicoes de Contorno e Deter-

minacao das Constantes Desconhecidas

Em y = g tem-se as condicoes de contorno dadas por

Ex1 = Ex2 = Exg, (5.36)

e

Ez1 = Ez2 = Ezg. (5.37)

De 5.36 tem-se:


− j(γ2

1 + k21)

[αnγ1A1e senh(γ1g)+ jωβkµ0(µx1 + µz1)A1h senh(γ1g)] (5.38)

=− j

(γ22 + k2

2)

[−αnγ2A2ee−γ2y + jωβkµ2A2he−γ2y]= Exg,

ou

A1e =j(γ2

1 + k21)Exg− jωβkµ0(µx1 + µz1)A1h senh(γ1g)

αnγ1senh(γ1g). (5.39)

De 5.37 tem-se:

− j(γ2

1 + k21)

[βkγ1A1e senh(γ1g)− jωαnµ0(µx1 + µz1)A1h senh(γ1g)] (5.40)

=− j

(γ22 + k2

2)

[−βkγ2A2ee−γ2y− jωαnµ2A2he−γ2y]= Ezg,

ou

A1h =−(γ2

1 + k21)Ezg− jβkγ1A1e senh(γ1g)

ωαnµ0(µx1 + µz1)senh(γ1g). (5.41)

Substituindo 5.39 em 5.41 tem-se:

A1h =βkExg−αnEzg

ωµ0(µx1 + µz1)senh(γ1g), (5.42)

em decorrencia, tem-se para A1e:

A1e =jαnExg + jβkEzg

γ1 senh(γ1g). (5.43)

De 5.38 e 5.40 tem-se:

A2e =− j(γ2

2 + k22)Exg + jωβkµ2A2he−γ2y

αnγ2e−γ2y , (5.44)

e

A2h =−(γ2

2 + k22)Ezg + jβkγ2A2ee−γ2y

ωαnµ2e−γ2y . (5.45)


Substituindo 5.44 em 5.45 tem-se:

A2h =[

βkExg−αnEzg

ωµ2

]eγ2y, (5.46)

em decorrencia, tem-se para A2e:

A2e =[− jαnExg− jβkEzg

γ2

]eγ2y. (5.47)

5.5 Aplicacao das Condicoes de Contorno Magneti-

cas e Determinacao da Matriz Admitancia

Apos a obtencao das constantes dos campos, e aplicada a condicao de contorno mag-

netica na interface onde se localiza a fita condutora (y = g) para a figura 5.3. As condicoes

de contorno utilizadas sao (FARIAS; FERNANDES, 1997),

Hx1− Hx2 = Jzg, (5.48)

e

Hz1− Hz2 =−Jxg. (5.49)

A aplicacao das condicoes de contorno 5.48 e 5.49, pode ser escrita na forma matricial,

gerando uma matriz que relaciona os campos eletricos tangenciais a interface da fita e as

densidades de corrente tangenciais. Essa e chamada de matriz admitancia ou impedancia,

dependendo da forma como a equacao e representada (COLLIN, 2001), (POZAR, 1998).

[Yxx Yxz

Yzx Yzz

][Exg

Ezg

]=

[Jxg

Jzg

]- Matriz Admitancia, (5.50)

[Zxx Zxz

Zzx Zzz

][Jxg

Jzg

]=

[Exg

Ezg

]- Matriz Impedancia. (5.51)

Aplicando a condicao de contorno magnetica 5.48 tem-se:


− j coth(γ1g)(γ2

1 + k21)

[αnγ1

(−αnEzg + βkExg

ωµ0(µx1 + µz1)

)− jωβkε0(εx1 + εz1)

(jβkEzg + jαnExg

γ1

)](5.52)

− − j(γ2

2 + k22)

[−αnγ2

(−αnEzg + βkExg

ωµ2

)− jωβkε2

(− jβkEzg− jαnExg

γ2

)]= Jzg,

ordenando os termos de acordo com 5.50 tem-se:

Yzx =− jαnβk

ωµ0γ1γ2

[γ2 coth(γ1g)(γ2

1 + ω2ε0µ0(εx1 + εz1)(µx1 + µz1))(γ2

1 + k21)(µx1 + µz1)

+γ1(γ2

2 + ω2ε2µ2)(γ2

2 + k22)

];

(5.53)

Yzz =− j

ωµ0γ1γ2

[γ2 coth(γ1g)(−α2

n γ21 + ω2β 2

k ε0µ0(εx1 + εz1)(µx1 + µz1))(γ2

1 + k21)(µx1 + µz1)

+γ1(−α2

n γ22 + ω2β 2

k ε2µ2)(γ2

2 + k22)

].

(5.54)

Aplicando a condicao de contorno magnetica 5.49 tem-se:

j coth(γ1g)(γ2

1 + k21)

[βkγ1

(−αnEzg + βkExg

ωµ0(µx1 + µz1)

)+ jωαnε0(εx1 + εz1)

(jβkEzg + jαnExg

γ1

)](5.55)

+− j

(γ22 + k2

2)

[−βkγ2

(−αnEzg + βkExg

ωµ2

)+ jωαnε2

(− jβkEzg− jαnExg

γ2

)]= Jxg,

ordenando os termos de acordo com 5.50 tem-se:

Yxx =j

ωµ0γ1γ2

[γ2 coth(γ1g)(β 2

k γ21 −ω2α2

n ε0µ0(εx1 + εz1)(µx1 + µz1))(γ2

1 + k21)(µx1 + µz1)

+γ1(+β 2

k γ22 −ω2α2

n ε2µ2)(γ2

2 + k22)

];

(5.56)

Yxz = Yzx. (5.57)

No estudo de estruturas de microfita a analise e feita atraves das densidades de cor-

rente na lamina condutora, portanto, essas sao expandidas em termos de funcoes de base

(BAHL; BHARTIA, 2001). Sendo assim, seria necessario recalcular todas as equacoes dos

campos para torna-las em funcao de Jxg e Jzg , entretanto, a referida sugestao pode ser

simplificada, e muito, ao se inverter a equacao matricial 5.50, logo:


[Zxx Zxz

Zzx Zzz

]=

[Yxx Yxz

Yzx Yzz

]−1

, (5.58)

e importante ressaltar que a inversao matricial acima so e possıvel se as matrizes ad-

mitancia e impedancia forem simetricas, isto e, sendo [Y ] a inversa de [Z], entao [Z] e a

inversa de [Y ] 5.58. Assim, obtem-se a equacao matricial da impedancia [Z] em funcao

das densidades de corrente [J], na qual os termos Zxx, Zxz, Zzx, Zzz sao as componentes da

funcao diadica de Green da estrutura em estudo, dada por

[Zxx Zxz

Zzx Zzz

][Jxg

Jzg

]=

[Exg

Ezg

]. (5.59)

5.6 Expansao das Densidades de Corrente em Ter-

mos de Funcoes de Base

O metodo de Galerkin e um caso particular do metodo dos momentos, onde as funcoes

de peso sao consideradas iguais as funcoes de expansao ou funcoes de base (COLLIN,

2001). Assim, efetua-se o produto interno da equacao matricial da impedancia pelos con-

jugados das funcoes de base como sera abordado mais adiante. Esse metodo e usado com

eficiencia na analise de estruturas planares na faixa de frequencias de microondas e on-

das milimetricas. Para sua aplicacao a estrutura em estudo, sao definidas funcoes de base

que devem representar as caracterısticas fısicas das distribuicoes de corrente na fita condu-

tora. A escolha dessas funcoes e de fundamental importancia para a expansao dos campos

eletricos tangenciais a interface da fita condutora ou para a expansao das densidades de

corrente que existem na superfıcie da fita condutora. Logo, condicionam a estabilidade e

convergencia do metodo dos momentos (BAHL; BHARTIA, 2001). A escolha das funcoes

de base deve ser tal que obedecam as condicoes de contorno da estrutura (BAHL; BHAR-

TIA, 2001). No estudo de estruturas de microfita, tanto os campos eletricos quanto as

densidades de corrente podem ser expandidos em funcoes de base. Como existe campo

eletrico apenas fora da fita condutora, seria necessario utilizar-se de mais funcoes de base

do que para o caso da expansao das densidades de corrente, pois a area que contem os

campos (fora da fita condutora) e muito maior do que a area que contem as densidades

de corrente (superfıcie da fita), assim e preferıvel expandir as densidades de corrente (que

estao presentes apenas na fita condutora), pois, utiliza-se menos funcoes de base.


Ao se obter a equacao 5.59, aplica-se as funcoes de base adequadas para aproximar os

valores das densidades de corrente a forma da funcao real, conforme apresentado por

Jxg(x,z) =M

∑m=1

axm fxm(x,z), (5.60)

e

Jzg(x,z) =N

∑m=1

azm fzm(x,z), (5.61)

onde M e N sao numeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um) mantendo

os resultados com uma otima aproximacao dos resultados reais.

Fazendo-se a aproximacao M = N = 1 e calculando a dupla transformada de Fourier

conforme definida em (BRACEWELL, 1965) as equacoes 5.60 e 5.61 tomam a seguinte

forma:

Jxg(αn,βk) = ax fx(αn,βk), (5.62)

Jzg(αn,βk) = az fz(αn,βk), (5.63)

os termos ax e az sao constantes desconhecidas.

Para este trabalho foram utilizadas duas funcoes de bases nas direcoes cartesianas OX

e OZ. As suas escolhas baseou-se em trabalhos anteriores, onde foram comprovadas as

suas eficacias (FERNANDES, 1984). E sao definidas por:

• Para a direcao OZ:

fz(x,z) = fz(x) fz(z), (5.64)

com

fz(x) =1√(w

2

)2− x2, (5.65)

e

fz(z) = cos(

πzl

), (5.66)

que no domınio espectral sao:

componente espectral da funcao em Z, variando com a variavel espectral αn

fz(αn) = πJ0

(αn

w2

), (5.67)


componente espectral da funcao em Z, variando com a variavel espectral βk

fz(βk) =2πl cos(βkl

2 )π2− (βkl)2 , (5.68)

sendo as variaveis espectrais αn e βk dadas por

αn =nxπ

b, (5.69)

com

b =dB2

, (5.70)

e

dB = 15w; (5.71)

βk =nzπ

dL, (5.72)

com

dL =L2, (5.73)

e

L = 15l. (5.74)

A combinacao das duas componentes 5.67 e 5.68 resulta na transformada de Fourier

de 5.64, como sgue:

fz(αn,βk) =2π2l cos(βkl

2 )π2− (βkl)2 J0

(αn

w2

), (5.75)

sendo J0 a funcao de Bessel de primeira especie e ordem zero.

• Por se tratar de uma estrutura simetrica foi utilizado a mesma funcao de base

tanto para a direcao OX quanto OZ, necessariamente, fazendo as devidas adequacoes

quanto as variaveis espectrais e as dimensoes da estrutura. Conforme o supracitado

tem-se para a direcao OX

fx(x,z) = fx(x) fx(z). (5.76)

com,

fx(z) =1√( l

2

)2− z2, (5.77)


e

fx(x) = cos(

πxw

), (5.78)

que no domınio espectral sao: componente espectral da funcao em X , variando com

a variavel espectral βk

fx(βk) = πJ0

(βk

l2

), (5.79)

componente espectral da funcao em X , variando com a variavel espectral αn

fx(αn) =2πwcos(αnw

2 )π2− (αnw)2 , (5.80)

a combinacao das duas componentes 5.79 e 5.80 resulta na transformada de Fourier

de 5.76, com abaixo:

fx(αn,βk) =2π2wcos(αnw

2 )π2− (αnw)2 J0

(βk

l2

). (5.81)

5.7 Equacao Caracterıstica e Calculo da Frequencia

de Ressonancia Complexa

As componentes Jxg; Jzg; Exg; Ezg da matriz impedancia definida em 5.59, sao funcoes

desconhecidas, no entanto, os campos eletricos e as densidades de correntes sao diferentes

de zero em regioes complementares na interface do dieletrico. Logo, aplicando-se o produto

interno do sistema de equacoes 5.59 com uma funcao teste existente apenas na regiao da

fita, de acordo com o metodo de Galerkin - que utiliza uma funcao teste igual a funcao de

base da densidade de corrente. Pode-se eliminar os campos Exg e Ezg. Desde que, a funcao

teste seja definida em uma regiao complementar a funcao de base do campo eletrico, esse

produto interno e nulo fazendo com que o sistema de equacoes 5.59 se torne homogeneo,

como segue:

[Kxx Kxz

Kzx Kzz

][ax

az

]=

[0

0

], (5.82)

os elementos da matriz [K] sao:

Kxx =∞

∑−∞

fxZxx f ∗x ; (5.83)


Kxz =∞

∑−∞

fzZxz f ∗x ; (5.84)

Kzx =∞

∑−∞

fxZzx f ∗z ; (5.85)

Kzz =∞

∑−∞

fzZzz f ∗z . (5.86)

O determinante da matriz de parametros K da equacao 5.82 deve ser igual a zero para

que o sistema tenha uma solucao nao-trivial. A equacao formada por este determinante

fornece uma raiz que e a Frequencia Angular de Ressonancia Complexa.

5.8 Conclusao

O estudo apresentado neste capıtulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita mostra

uma analise dinamica da estrutura atraves do metodo LTT, que a partir das equacoes de

Maxwell chega-se as equacoes gerais dos campos eletromagneticos, permitindo o calculo

da frequencia de ressonancia complexa.

Para a obtencao efetiva dos resultados propostos, foi escrito um programa computa-

cional na linguagem FORTRAN, que atraves do metodo numerico de NEWTON RAPH-

SON consegue chegar a raiz da equacao caracterıstica a partir de uma aproximacao inicial.

As principais vantagens e contribuicoes do presente trabalho sao a utilizacao de um

metodo de onda completa para o calculo da frequencia de ressonancia de uma antena de

patch retangular com substrato metamaterial, ja que trata-se de uma estrutura nova, ainda

nao caracterizada na literatura. Alem de fornecer os campos eletromagneticos tangenciais

a fita, essenciais ao calculo dos campos distantes da antena (sera visto no Cap.6). O

programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alta performance e

com largo grau de liberdade de projeto, pois os parametros µ e ε podem assumir qualquer

valor.

Capıtulo 6

Diagrama de Radiacao

6.1 Introducao

Existem diversos metodos e tecnicas para o calculo dos campos distantes de uma

antena de microfita, a maioria baseia-se em equacoes analıticas fechadas, resultado de

simplificacoes da estrutura. Por isso, esses procedimentos incorrem em erros. Neste

trabalho sao determinados os campos distantes atraves de um metodo de onda completa

(LTT), o que garante uma solucao precisa.

6.2 Campos Distantes

Primeiramente, sera desenvolvida a teoria de calculo dos campos distantes para uma

antena de abertura, posteriormente, generalizada para antenas de microfita (OLIVEIRA,

1996).

Considerando-se uma abertura com dimensoes 2a e 2b em um plano infinito, localizada

em y = 0, conforme mostrado na figura 6.1.

Na regiao do espaco livre, o campo eletrico deve satisfazer a equacao de onda de

Helmholtz.

(∇

2 + K20)~E(x,y,z) = 0, (6.1)

sendo K20 = ω2µ0ε0. Como a regiao e livre de cargas e correntes eletricas, tem-se pelas

equacoes de Maxwell que:

∇ ·~E = 0. (6.2)

Capıtulo 6. Diagrama de Radiacao 61

Figura 6.1: Ressoador de aberura.

Da definicao de transformada de Fourier (BRACEWELL, 1965), tem-se:

E(α,y,β ) =∫

∞

−∞

∫∞

−∞

~E(x,y,z)e j(αx+βy)dxdy, (6.3)

e

~E(x,y,z) =1

4π2

∫∞

−∞

∫∞

−∞

E(α,y,β )e− j(αx+βy)dαdβ . (6.4)

Assim, aplicando-se 6.3 e 6.4 a equacao 6.2, tem-se:

(∂ 2

∂y2 + γ2)

E(α,y,β ) = 0, (6.5)

sendo γ2 = k20−α2−β 2.

A solucao geral para 6.5 e do tipo:

E(α,y,β ) = f (α,β )e− jγy, (6.6)

que corresponde a radiacao na direcao de propagacao y.

O campo eletrico, para y > 0 pode entao ser representado por:

~E(x,y,z) =1

4π2

∫∞

−∞

∫∞

−∞

f (α,β )e− jγye− j(αx+βy)dαdβ , (6.7)

ou


~E(x,y,z) =1

4π2

∫∞

−∞

∫∞

−∞

f (α,β )e− jk·rdαdβ , (6.8)

na qual~k = α ax + γ ay + β az, e ~r = xax + yay + zaz.

O campo eletrico, para y > 0 (Fig. 6.1), e formado pela superposicao de ondas do tipo

f (α,β )e− jk·r, havendo duas possibilidades a serem discutidas para a constante γ :

(I) γ e real (α2 + β 2 < k20), e nesse caso, as ondas sao propagantes e contribuem para a

energia do campo distante.

(II) γ e imaginario (α2 + β 2 > k20), aqui, as ondas sao evanescentes e nao contribuem

para a energia do campo distante.

Dessa forma, serao considerados os valores α e β para os quais α2 + β 2 < k20, ja que

sao eles que efetivamente contribuem para a energia do campo distante.

Partindo-se de 6.2 e resolvendo o divergente tem-se:

∇ ·(

f (α,β )e− jk·r)

= 0, (6.9)

logo,

f · k = 0. (6.10)

Assim, fy pode ser determinado a partir de fx e fz, dessa forma, conclui-se que

o campo em y > 0 (Fig. 6.1), campo eletrico no espaco livre fy, e funcao somente das

componentes tangenciais do campo eletrico na abertura fx e fz (OLIVEIRA, 1996),

(DAMIANO et al., 1990).

Para a estrutura em analise (Fig. 6.1) em y = 0, tem-se:

~Et(x,0,z) = ~Ea(x,z) =1

4π2

∫∞

−∞

∫∞

−∞

f (α,β )e− j(αx+βy)dαdβ , (6.11)

na qual o ındice t indica a componente tangencial, e ~Ea(x,z) e o campo eletrico na abertura.

Aplicando a transformada de Fourier, tem-se:

f (α,β ) =∫

∞

−∞

∫∞

−∞

~Ea(x,z)e j(αx+βy)dxdz. (6.12)


Da Figura 6.1, tem-se:

x = r senθ cosφ , (6.13)

y = r cosθ , (6.14)

z = r senθ senφ . (6.15)

Assim,

~k ·~r = αx + γy + β z, (6.16)

ou

~k ·~r = αr senθ cosφ + γr cosθ + β r senθ senφ . (6.17)

A condicao de fase estacionaria garante que, para ~r muito grande (regiao de campos

distantes),~k ·~r nao varia com α e β , logo:

∂~k ·~r∂α

= 0, e∂~k ·~r∂β

= 0. (6.18)

Usando-se 6.17 e 6.18, obtem-se:

α = γsenθ cosφ

cosθ, (6.19)

e

β = γsenθ senφ

cosθ, (6.20)

em decorrencia da relacao α2 + β 2 + γ2 = k20 e das equacoes 6.19 e 6.20, obetem-se:

γ = k0 cosθ , (6.21)

logo,

α = k0 senθ cosφ , (6.22)


e

β = k0 senθ senφ . (6.23)

6.2.1 Princıpio de Equivalencia dos Campos

O princıpio da equivalencia de campos de Schelkunoff (MARTIN, 1984) estabelece

que o campo em uma regiao com perdas pode ser especificado atraves das fontes internas

a regiao juntamente com as componentes tangenciais de campo eletrico na fronteira, ou

pelas fontes internas a regiao mais as componentes tangenciais de campo magnetico na

fronteira, ou ainda, o campo eletrico tangencial em parte da fronteira e o magnetico no

restante.

Deste princıpio (MARTIN, 1984), os campos eletromagneticos fora da superfıcie fechada

podem ser determinados atraves da substituicao da superfıcie fechada por convenientes

densidades eletricas e magneticas de corrente, conforme a Fig. 6.2

Figura 6.2: Equivalencia dos campos. No grafico (a) ~E1 e ~H1 sao os campos gerados pelas fontes e campos~E e ~H na superfıcie ~S1. Em (b) ~Es e ~Hs sao os campos gerados pelas densidades de corrente eletrica emagnetica ~Js e ~Ms, respectivamente.

As densidades de corrente ~Js e ~Ms sao dadas por:

~Js = n×[~Hs− ~H

], (6.24)

e

~Ms =−n×[~Es−~E

]. (6.25)

Desde que ~H = ~E = 0 - princıpio da equivalencia de Love (OLIVEIRA, 1996), tem-se:


~Js = n× ~Hs, (6.26)

e

~Ms =−n×~Es. (6.27)

Considerando-se a abertura da Fig. 6.1 com area S. De acordo com o princıpio da

equivalencia, pode-se determinar o campo distante gerado por uma fonte, a partir das tres

situacoes seguintes (MARTIN, 1984):

1. ~Js 6= 0 e ~Ms 6= 0;

2. ~Js 6= 0 e ~Ms = 0;

3. ~Js = 0 e ~Ms 6= 0.

Assim, pode-se determinar os campos eletrico e magnetico para as tres situacoes acima,

encontrando-se previamente os vetores potenciais eletrico e magnetico A(r) e Am(r), e em

seguida expandido-os em termos de ~Eθ e ~Eφ .

Para o primeiro caso ( ~Js 6= 0 e ~Ms 6= 0 ), tem-se:

A(~r) =µ0

4πre− jk0~r

∫ ∫s~Js(~r′)e jk0~r·~r′dx′dz′, (6.28)

Am(~r) =ε0

4πre− jk0~r

∫ ∫s~Ms(~r′)e jk0~r·~r′dx′dz′. (6.29)

Para o segundo caso ( ~Js 6= 0 e ~Ms = 0 ), tem-se:

A(~r) =µ0

4πre− jk0~r

∫ ∫s2~Js(~r′)e jk0~r·~r′dx′dz′. (6.30)

Para o terceiro caso ( ~Js = 0 e ~Ms 6= 0 ), tem-se:

Am(~r) =ε0

4πre− jk0~r

∫ ∫s2~Ms(~r′)e jk0~r·~r′dx′dz′, (6.31)

sendo


~r′ = x′ax + z′az, (6.32)

~Js = ay× ~Ha, (6.33)

e

~Ms =−ay×~Ea. (6.34)

Encontrados os potenciais eletricos e magneticos, pode-se determinar os campos dis-

tantes a partir das equacoes

~Eθ =− jωAθ − jωη0Amφ , (6.35)

e

~Eφ =− jωAφ − jωη0Amθ , (6.36)

nas quais η0 e a impedancia intrınceca do espaco livre.

Atraves da definicao de transformada de Fourier, equacoes 6.22, 6.23, 6.28 e 6.36,

obtem-se as equacoes para o campo eletrico distante de acordo com as fontes consideradas

(~Js 6= 0 e ~Ms 6= 0; ~Js 6= 0 e ~Ms = 0; ~Js = 0 e ~Ms 6= 0), assim tem-se:

1. ~Js 6= 0 e ~Ms 6= 0:

~Eθ =jk0e− jk0~r

4π~r

[Exg cosφ + Ezg senφ + η0 cosθ(Hzg cosφ − Hxg senφ)

], (6.37)

e

~Eφ =jk0e− jk0~r

4π~r

[(Ezg cosφ − Exg senφ)cosθ −η0(Hzg senφ + Hxg cosφ)

]; (6.38)

2. ~Js 6= 0 e ~Ms = 0:

~Eθ =jk0η0e− jk0~r

2π~r

(Hzg cosφ − Hxg senφ

)cosθ , (6.39)

e


~Eφ =jk0η0e− jk0~r

2π~r

(Hzg senφ + Hxg cosφ

); (6.40)

3. ~Js = 0 e ~Ms 6= 0:

~Eθ =jk0e− jk0~r

2π~r

(Exg cosφ + Ezg senφ

), (6.41)

e

~Eφ =jk0e− jk0~r

2π~r

(Ezg cosφ − Exg senφ

)cosθ . (6.42)

Nas equacoes acima os termos Exg e Ezg, Hxg e Hzg sao respectivamente as componentes

do campo eletrico e magnetico tangenciais a fita, no domınio da transformada de Fourier.

Em ambas as funcoes os ındices x e z indicam as direcoes cartesianas.

6.2.2 Campos Tangenciais a Fita

Os campos tangenciais a fita (Exg e Ezg) na interface superior da antena sao deter-

minados a partir do metodo LTT em conjunto com o metodo de Galerkin, a precisao

de tal procedimento depende da escolha minuciosa das funcoes de bases adequadas, con-

forme ilustrado no Cap. 5. De posse da equacao caracterıstica da antena 5.82, foram

determinadas as constantes desconhecidas ax e az contidas nas equacoes de expansao das

densidades de corrente 5.60 e 5.61 com o objetivo de determinar as densidades de corrente

na fita. Assim determinou-se os campos tangenciais a partir do sistema de equacoes

[Yxx Yxz

Yzx Yzz

][Exg

Ezg

]=

[Jxg

Jzg

]. (6.43)

6.2.3 Campos Distantes para uma Antena Retangular de Mi-crofita

A radiacao na regiao de campos distantes para uma antena de microfita pode ser

entendida com o auxılio do sistema de coordenadas esfericas mostrado na figura 6.3. A

direcao vertical e dada pelo eixo y e a horizontal pelo plano xz, θ e φ sao os angulos de

elevacao e azimute respectivamente. Assim xy e o plano de elevacao (φ = 0) ou plano-H,

o qual contem o vetor campo magnetico na direcao de maxima propagacao. Enquanto xz


e o plano azimutal(θ = π

2

)ou Plano-E, onde ocorre a direcao de maxima propagacao do

vetor campo eletrico (BALANIS, 1997). Desta forma define-se:

• Plano E ( θ = 90, 0 < φ < 90 e 270 < φ < 360),

• Plano H ( φ = 0, 0 < θ < 180).

Figura 6.3: Campos distantes no sistema de coordenadas esfericas.

Para antenas de microfita, tem-se o modelo de radiacao atraves de aberturas laterais

e, portanto, as expressoes para o campo distante sao dadas atraves das equacoes

~Eθ =jk0e− jk0~r

2π~r

(Exg cosφ + Ezg senφ

), (6.44)

e

~Eφ =jk0e− jk0~r

2π~r

(Ezg cosφ − Exg senφ

)cosθ . (6.45)

6.3 Conclusao

Nesse capıtulo foi demonstrado o caculo dos campos distantes para uma antena de

abertura, utilizando-se da condicao de fase estacionaria, e em seguida, generalizado para

o caso de uma antena de microfita. A equacao geral encontrada para os campos no


espaco livre e funcao dos campos tangenciais a fita, o que possibilita utilizar-se da teoria

desenvolvida no Cap. 5. Nao obstante, os campos tangenciais sao determinados atraves

do metodo LTT (metodo de onda completa), o que garante a precisao dos resultados.

Capıtulo 7

Resultados

7.1 Introducao

A partir da teoria desenvolvida nos Capıtulos 3, 5 e 6, obtive-se resultados para a an-

tena de microfita retangular com substrato metamaterial (estrutura apresentada no Cap.

2), os resultados sao: frequencia de ressonancia complexa, diagrama de radiacao e largura

de banda. Para tanto, foram desenvolvidos os seguintes programas: FRPMSMTM

(AQUINO; FERNANDES, 2008), que calcula a frequencia de ressonancia complexa e os

campos eletricos tangenciais a fita para antenas de microfita com substrato metamaterial,

de acordo com a teoria desenvolvida no capıtulo 5; CPPMSMTM, determina a permis-

sividade e a permeabilidade para o substrato metamaterial, com base na teoria descrita no

capıtulo 3; CDRPMSMTM, calcula o diagrama de radiacao para antenas de microfita

com substrato metamaterial, baseado na teoria descrita nos capıtulos 5 e 6.

Nos resultados apresentados neste capıtulo e desconsiderada a existencia de perdas na

regiao metamaterial do ressoador, sendo portanto, a condutividade igual a zero (σ = 0).

A frequencia de ressonancia complexa e uma quantidade real, pois a parte imaginaria e

desprezada (parcela de perdas) (SILVA, 1999).

A estrutura em analise e mostrada nas figuras 7.1 e 7.2, os parametros fısicos en-

volvidos nos resultados sao: espessura do substrato “g”, largura e comprimento do patch

“w” e “l” respectivamente, tensores permissividade e permeabilidade “ε” e “µ”. Durante a

analise a espessura da fita metalica “s” e desconsiderada.

O substrato metamaterial considerado nas simulacoes e o mostrado na figura 7.3, sua

teoria e formulacoes foram apresentadas no capıtulo 3, as dimensoes fısicas sao dadas

em milımetros e os valores de permeabilidades e permissividades sao obtidos atraves do

programa CPPMSMTM.

Capıtulo 7. Resultados 71

Figura 7.1: Antena retangular de microfita com substrato metamaterial.

Figura 7.2: Vista da secao transversal da antena retangular de microfita com substrato metamaterial.

Figura 7.3: Metamaterial planar TW-SRR, construıdos apenas com metais e dieletricos comuns, na facesuperior as celulas SRR e na inferior as estruturas TW.


7.2 Resultados da Frequencia de Ressonancia Com-

plexa da antena de Microfita Retangular com


Para efeito de comprovacao e tracada uma curva de frequencia de ressonancia em

funcao do comprimento l do patch, e comparada com (SANTOS, 2005), esse autor por

sua vez, comparou seus resultados com o metodo da cavidade (CALOZ; ITOH, 2000).

Os resultados apresentados na figura 7.4 foram obtidos a partir dos seguintes para-

metros: largura do patch w = 15mm, material usado no substrato dieletrico (trabalho do

autor (SANTOS, 2005)) foi o RT Duroid 5880, que tem permissividade eletrica relativa

εr = 2,2, altura do dieletrico h = 1,27mm. Para o caso metamaterial (resultado desse

trabalho) foi considerado o caso limite (εx1 = 0, εy1 = 2,2, εz1 = 1 e µx1 = 0, µyx = 0,

µz1 = 1) valores para os quais o metamaterial descrito em 5.53 a 5.57 torna-se dieletrico.

Os demais parametros foram considerados os mesmos variando-se o comprimento l com

passos de 3mm desde l = 15mm a l = 57mm.

Figura 7.4: Frequencia de ressonancia para antena de microfita.

7.2.1 Reducao das Dimensoes Fısicas de Antenas Usando Meta-materiais

As antenas de microfita podem ter suas dimensoes reduzidas drasticamente com o

emprego de materiais de alta permissividade eletrica. Como o metamaterial apresentado

nesse trabalho alcanca qualquer valor de permissividade e permeabilidade, pode-se pro-

jetar antenas com dimensoes reduzidas. Tal procedimento torna-se ainda mais relevante


quando utilizado na faixa de VHF e UHF, ja que essas antenas tem dimensoes consid-

eraveis.

O estudo considera a faixa de frequencia de 200MHz a 1GHz, foram considerados dois

metamateriais (metamaterial 1 e metamaterial 2). Seus parametros sao mostrados nas

curvas da figura 7.5, e foram gerados a partir dos seguintes dados: SRR-1 (w = 20mm;

s = 1,29mm; d = 1,43mm; g = 1mm; p = 50mm); TW-1 (r = 1,9mm; p = 50mm); TW-

2 (r = 2mm; p = 51mm) em todas as estruturas o metal considerado e o cobre, cuja

condutividade e σ = 59,6 ·106 1Ωm .

(a) (b)

Figura 7.5: (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em funcaoda frequencia.

A figura 7.6 apresenta a variacao da frequencia de ressonancia em funcao do com-

primento do patch para os metamateriais 1 e 2 descritos acima e para o dieletrico com

permissividade εr = 2,2.

Os parametros da antena para o dieletrico, o metamaterial 1 e o metamaterial 2

sao respectivamente: (w = 118,58mm; εr = 2,2 e h = 1,27mm); (w = 59,29mm; εx1 =

εy1 = εz1 = 2,2; µx1 = µy1 = µz1 = 1 e h = 1,27mm); (w = 59,29mm; εx1 = εy1 = εz1 = 4,4;

µx1 = µy1 = µz1 = 1 e h = 1,27mm).

A partir da analise do resultado percebe-se que houve uma reducao significativa nas

dimensoes da antena com metamaterial em relacao a antena com dieletrico, evidenciando

a caracterıstica de utilizar-se metamaterial com o intuito de miniaturizacao (Para a fre-

quencia de 1 GHz, por exemplo, comparando-se o dieletrico e o metamaterial 1 ha reducao

de aproximadamente 50% da area da superfıcie superior da antena). O metamaterial 2

simula o aumento da permissividade, e, para uma frequencia de 700 MHz ha reducao de


Figura 7.6: Frequencia de ressonancia em funcao do comprimento l do patch para o dieletrico ε = 2,2 eos MTM’s 1 e 2.

aproximadamente 70% da area da antena em comparacao a antena com dieletrico.

7.2.2 Analise da Largura de Banda Atraves dos Tensores Per-missividade e Permeabilidade

O aumento da permissividade apesar dos efeitos desejaveis - acima citados, impoe li-

mitacoes a largura de banda da antena, devido ao forte acoplamento eletromagnetico entre

o patch e o plano de terra, gerado pela forte concentracao de campos em torno da regiao

de alta permissividade (MOSALLAEI; SARABANDI, 2004). Esse efeito e comprovado

na figura 7.7, que traca a variacao da largura de banda (LB) em funcao da frequencia

para o dieletrico e o metamaterial com permissividades εr = 2,2 e εx1 = εy1 = εz1 = 4,4

respectivamente; e permeabilidades µr = µx1 = µy1 = µz1 = 1 .

Figura 7.7: Largura de banda em funcao da frequencia de ressonancia, para o dieletrico com εr = 2,2 eMTM εx1 = εy1 = εz1 = 4,4; µx1 = µy1 = µz1 = 1.


O problema evidenciado na figura 7.7 pode ser contornado usando-se um material

com permeabilidade magnetica maior que a permissividade eletrica, assim a largura de

banda da antena pode ser aumentada por µr/εr ou µr > εr. Felizmente os metamateriais

reunem essas caracterısticas e podem ser usados com sucesso. Abaixo segue um estudo

comparativo entre as larguras de banda para diferentes configuracoes de metamateriais.

Nas curvas da figura 7.8 sao definidas duas estruturas metamateriais que serao apli-

cadas como substrato nas antenas para efeito de comparacao de suas larguras de banda.

Seus parametros sao: SRR 1 (w = 20mm; s = 1,29mm; d = 1,43mm; g = 1mm; p = 50mm);

TW 1 (r = 1,9mm; p = 50mm); SRR 2 (w = 16mm; s = 1,19mm; d = 1,23mm; g = 1mm;

p = 51mm r = 2mm; p = 51mm); TW 2 (r = 2mm; p = 51mm) em todas as estruturas o

metal considerado e o cobre, cuja condutividade e σ = 59,6 ·106 1Ωm .

(a) (b)

Figura 7.8: (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em funcaoda frequencia.

Serao testados quatro substratos metamateriais retirados das curvas da Fig. 7.8 com

as seguintes configuracoes:

• MTM - 1 ⇒ µxx = µyy = µzz = 1 e εxx = εyy = εzz = 2,2;




Para a analise foi considerado um ressoador com comprimento l = 9,3mm; largura

w = 11,85mm e espessura do substrato g = 1,27mm, foram obtidos 20 pontos pela variacao

do comprimento l.


(a) (b)

Figura 7.9: Largura de banda em funcao da frequencia de ressonancia (a) MTM 1 e 2 (b) MTM 3 e 4.

(a) (b)

Figura 7.10: Largura de banda em funcao da frequencia de ressonancia (a) MTM 1 e 3 (b) MTM 2 e 4.

Em todos os resultados verifica-se o aumento da largura de banda ao se aumentar

a permeabilidade, dessa forma, os metamateriais podem ser empregados com exito para

miniaturizacao de antenas, desde que se use valores adequados para µ e ε .

7.3 Diagramas de Radiacao para Antenas de Microfita

com Substrato Metamaterial

Os diagramas de radiacao foram obtidos de acordo com a teoria desenvolvida no capı-

tulo 6, a partir da frequencia de ressonancia e dos campos tangenciais a fita obtidos com o

metodo LTT. A estrutura simulada tem as seguintes caracterısticas: patch (comprimento

l = 9,3mm; largura w = 11,85mm) e substrato (espessura g = 1,27mm; SRR (w = 20mm;


s = 1,29mm; d = 1,43mm; g = 1mm; p = 50mm); TW (r = 1,9mm; p = 50mm)).

(a) (b)

Figura 7.11: (a) diagrama de radiacao plano E(θ = 0 e − 90 < φ < 90) e (b) diagrama de radiacaoplano H(φ = 0 e 0 < θ < 180) para a frequencia 1 GHz.

7.4 Resultado Experimental

Para comprovar a exatidao dos calculos e programas desenvolvidos no trabalho, foi

construıdo uma antena e medida em laboratorio atraves de um analisador de redes vetorial.

Os resultados mostram-se concisos e comprovam a alta eficiencias dos metamateriais.

(a) (b)

Figura 7.12: (a) permeabilidade e (b) permissividade para o substrato TW-SRR construıdo em labo-ratorio.

A antena foi projetada para operar na frequencia de 2,5 GHz, para tanto foi calculado

a seguinte configuracao:

• Antena - comprimento l = 28,2mm; largura w = 36,5mm, espessura do substrato

g = 1,58mm.


• Substrato - SRR (w = 10mm; s = 0,7mm; d = 1,08mm; g = 1,0mm; p = 20mm); TW

(r = 1,0mm; p = 20mm).

O resultado da figura 7.13 mostra a alta largura de banda conseguida com substratos

metamaterial em comparacao a substratos comuns (BAHL; BHARTIA, 2001), alem de

comprovar a exatidao da teoria desenvolvida nesse trabalho.

Figura 7.13: Resultado experimental para antena supracitada - frequencia de ressonancia 2,5 GHz.

7.5 Conclusao

Fez-se estudos de convergencia com o intuito de comprovar a eficacia dos resultados,

esses mostraram-se precisos quando comparados a estudos anteriores, o que garante que a

teoria desenvolvida e concisa. Fez-se um estudo da variacao do substrato com objetivo de

miniaturizar as dimensoes fısicas das antenas e manter a largura de banda satisfatoria. Os

resultados formam muito bons, demonstrando que os metamateriais podem ser utilizados

com sucesso em antenas de microfita, por reunir caracterısticas desejaveis (controle de

permeabilidade e permissividade) que nao sao encontradas nos materiais comuns. Por

fim mostrou-se resultados experimentais de uma antena de microfita patch retangular

em substrato metamaterial, os mesmos foram satisfatorios e convergentes com a teoria

desenvolvida no trabalho.

Capıtulo 8

Conclusoes

Inicialmente foi abordada a teoria geral de antenas, os parametros essenciais para

caracterizacao e entendimento dessas estruturas. Foi tambem, apresentada a estrutura

objeto desse estudo, suas formas de alimentacao e as principais tecnicas de analises.

Em seguida foram descritos substratos metamateriais, suas principais teorias, equaciona-

mentos atraves de tensores permissividade e permeabilidade e curvas caracterısticas. A

analise teorica dessa dissertacao foi realizada atraves do metodo da Linha de Transmissao

Transversa. Para tanto, foi necessario desenvolver uma teoria aplicada ao caso dos meta-

materiais com o objetivo de obter-se as equacoes gerais de campos eletromagneticos no

domınio espectral. Em seguida as equacoes gerais de campos foram aplicadas a estrutura

em estudo juntamente com condicoes de contorno adequadas, para obtencao das solucoes

eletromagneticas. Funcoes de base precisas foram aplicadas em conjunto com o metodo

dos momentos, para obter-se os campos tangenciais a fita e a frequencia de ressonancia

complexa da antena. No capıtulo 6 foram demonstradas as equacoes de campos distantes

para antenas de microfita. Primeiramente, foi desenvolvida a teoria para uma antena de

abertura, utilizando-se da condicao de fase estacionaria e em seguida, o estudo foi generali-

zado para o caso de antenas de microfita. Foram desenvolvidos programas computacionais

nas linguagens Scilab e Fortran, para analise dos substratos metamateriais e dos parame-

tros da antena com metamateriais. Foram feitos estudos de convergencia e os resultados

foram comparados a estudos anteriores, mostrando que a teoria desenvolvida e concisa.

Ainda no capıtulo de resultados fez-se um estudo da variacao do substrato com objetivo

de miniaturizar as dimensoes fısicas das antenas e manter a largura de banda satisfatoria.

Mostrou-se tambem, os resultados experimentais e teoricos para uma antena de microfita

tipo patch retangular com substrato metamaterial, com o objetivo de comprovar a teoria

desenvolvida. Os resultados formam satisfatorios, demonstrando que os metamateriais

podem ser utilizados com sucesso em antenas de microfita por reunirem caracterısticas

Capıtulo 8. Conclusoes 80

desejaveis (controle de permeabilidade e permissividade) que nao sao encontradas nos

materiais comuns.

A continuidade desse trabalho devera incluir estudos sobre outros dispositivos, que

utilizem metamateriais como substratos. Nesse contexto sao apresentadas as seguintes

sugestoes para trabalhos futuros:

• Estruturas de linhas de laminas, filtros e outras configuracoes de antenas de mi-

crofita;

• Obtencao de novos parametros, como: impedancia de entrada e perda de retorno;

• Caracterizacao de novos substratos metamateriais;

• Construcao e medicao das estruturas desenvolvidas nesse estudo.

81

Bibliografia

AQUINO, M. B. L.; FERNANDES, F. C. C. Relatorio Tecnico PPgEEC 001/2008 - TEC-FOTON Programa FRPMSMTM - Frequencia de Ressonancia do Ressoador Retangularde Microfita com Substrato Metamaterial. Natal, RN, Brasil, 2008.

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APENDICE A -- Demonstracao do Metodo

da Linha de Transmissao

Transversa - LTT

Neste capıtulo e demonstrado o equacionamento do metodo LTT, desenvolvido pelo

Dr. Humberto Cesar Chaves Fernandes. O qual descreve os campos eletricos e magneticos

em funcao da direcao transversa y.

∇×~E =− jωµ~H, (A.1)

∇× ~H = jωε~E, (A.2)

os vetores campo eletrico e magnetico sao decompostos nas suas tres componentes: fazendo,

~H = ~Hy + ~Ht = ~Hxx + ~Hyy + ~Hzz, (A.3)

~E = ~Ey +~Et = ~Exx +~Eyy +~Ezz, (A.4)

e

∇ = ∇y + ∇t = ∇t +∂

∂yy =

∂

∂xx +

∂

∂yy +

∂

∂ zz, (A.5)

com

~Ht = ~Hx + ~Hz - Campo magnetico na direcao transversa, (A.6)

~Et = ~Ex +~Ez - Campo eletrico na direcao transversa, (A.7)

Apendice A. Demonstracao do Metodo da Linha de Transmissao Transversa - LTT 84

e finalmente,

∇t =∂

∂xx +

∂

∂ zz. (A.8)

Γ = α + jβ (A.9)

Substituindo (A.3) a (A.5) em (A.2), tem-se:

(∂

∂xx +

∂

∂yy +

∂

∂ zz)× (~Hxx + ~Hyy + ~Hzz) = jωε

(~Ey +~Et

), (A.10)

ou

∂

∂x~Hyz− ∂

∂x~Hzy−

∂

∂y~Hxz +

∂

∂y~Hzx +

∂

∂ z~Hxy− ∂

∂ z~Hyx = jωε~Ey + jωε~Et , (A.11)

separando-se as componentes transversais x e z de A.11, tem-se:

∂

∂x~Hyz− ∂

∂y~Hxz +

∂

∂y~Hzx−

∂

∂ z~Hyx = jωε~Et , (A.12)

entao,

~Et =1

jωε

(∇t× ~Hy +

∂

∂yy× ~Ht

). (A.13)

Substituindo A.4 a (A.5) em A.1, tem-se:

(∂

∂xx +

∂

∂yy +

∂

∂ zz)× (~Exx +~Eyy +~Ezz) =− jωµ(~Ht + ~Hy), (A.14)

ou

∂

∂x~Eyz− ∂

∂x~Ezy−

∂

∂y~Exz +

∂

∂y~Ezx +

∂

∂ z~Exy− ∂

∂ z~Eyx =− jωµ~Ht− jωµ~Hy, (A.15)

separando as componentes transversais x e z de A.15, tem-se:

∂

∂x~Eyz− ∂

∂y~Exz +

∂

∂y~Ezx−

∂

∂ z~Eyx =− jωµ~Ht , (A.16)

entao,


~Ht =1

− jωµ

(∇t×~Ey +

∂

∂yy×~Et

). (A.17)

Para ~Et , substituindo A.17 em A.13, tem-se:

jωε~Et = ∇t× ~Hy +∂

∂yy×[

1− jωµ

(∇t×~Ey +

∂

∂yy×~Et

)], (A.18)

ou

jωε~Et = ∇t× ~Hy +1

− jωµ

∂

∂yy×(

∇t×~Ey +∂

∂yy×~Et

), (A.19)

mas,

y× (∇t×~Ey) = y×[(

∂

∂xx +

∂

∂ zz)×~Eyy

]= y×

(∂

∂xx×~Eyy +

∂

∂ zz×~Eyy

)(A.20)

= y×(

∂

∂x~Eyz− ∂

∂ z~Eyx)

(A.21)

= y× ∂

∂x~Eyz− y× ∂

∂ z~Eyx (A.22)

=∂

∂x~Eyx +

∂

∂ z~Eyz (A.23)

= ∇t~Ey, (A.24)

e

y×(

∂

∂yy×~Et

)= y×

(∂

∂yy× (~Exx +~Ezz)

)= y×

(∂

∂yy×~Exx +

∂

∂yy×~Ezz

)(A.25)


= y×(− ∂

∂y~Exz +

∂

∂y~Ezx)

(A.26)

=− ∂

∂y~Exx− ∂

∂y~Ezz (A.27)

=− ∂

∂y~Et , (A.28)

substituindo A.24 e A.28 em A.18, tem-se:

jωε~Et = ∇t× ~Hy +1

− jωµ

∂

∂y

(∇t~Ey−

∂

∂y~Et

), (A.29)

ou

− jωµ( jωε~Et) =− jωµ∇t× ~Hy +∂

∂y∇t~Ey−

∂ 2

∂y2~Et , (A.30)

ω2µε~Et +

∂ 2

∂y2~Et =− jωµ∇t× ~Hy +

∂

∂y∇t~Ey, (A.31)

ou ainda,

(ω

2µε +

∂ 2

∂y2

)~Et =

∂

∂y∇t~Ey− jωµ∇t× ~Hy, (A.32)

mas:

∂ 2

∂y2 = k2y , (A.33)


k20 = ω

2µ0ε0, (A.34)

k2 = ω2µε, (A.35)

εr =ε

ε0(A.36)

logo, substituindo A.33 a A.36 em A.32, tem-se:

(k20εr + k2

y)~Et =∂

∂y∇t~Ey− jωµ∇t× ~Hy, (A.37)

assim,

~Et =1

(k20εr + k2

y)

(∂

∂y∇t~Ey− jωµ∇t× ~Hy

). (A.38)

Para ~Ht , substituindo A.13 em A.17, tem-se:

− jωµ~Ht = ∇t×~Ey +∂

∂yy×[

1jωε

(∇t× ~Hy +

∂

∂yy× ~Ht

)], (A.39)

ou

− jωµ~Ht = ∇t×~Ey +1

jωε

∂

∂yy×(

∇t× ~Hy +∂

∂yy× ~Ht

), (A.40)

utilizando A.24 e A.28, mudando ~E por ~H, e substituindo em A.40, tem-se:

− jωµ~Ht = ∇t×~Ey +1

jωε

∂

∂yy×(

∇t× ~Hy−∂

∂y~Ht

), (A.41)


ou

jωε− jωµ~Ht +∂ 2

∂y2~Ht = jωε∇t×~Ey +

∂

∂y∇t ~Hy, (A.42)

ou (∂ 2

∂y2 + ω2µε

)~Ht = jωε∇t×~Ey +

∂

∂y∇t ~Hy, (A.43)

substituindo A.33 a A.36 em A.43,tem-se:

(k2

0εr + k2y)~Ht = jωε∇t×~Ey +

∂

∂y∇t ~Hy, (A.44)

entao,

~Ht =1(

k20εr + k2

y) ( jωε∇t×~Ey +

∂

∂y∇t ~Hy

). (A.45)

Da equacao A.38 tem-se:

~Et = ~Ex +~Ez =1(

k20εr + k2

y) [ ∂

∂y

(∂

∂xx +

∂

∂ zz)

~Ey− jωµ

(∂

∂xx +

∂

∂ zz)× ~Hy

], (A.46)

ou

~Et = ~Ex +~Ez =1(

k20εr + k2

y) [ ∂ 2

∂y∂x~Eyx +

∂ 2

∂y∂ z~Eyz + jωµ

(− ∂

∂x~Hyz +

∂

∂ z~Hyx)]

, (A.47)

entao,

~Ex =1(

k20εr + k2

y) [ ∂ 2

∂y∂x~Ey + jωµ

∂

∂ z~Hy

], (A.48)

e

~Ez =1(

k20εr + k2

y) [ ∂ 2

∂y∂ z~Ey− jωµ

∂

∂x~Hy

]. (A.49)

De maneira analoga, para a equacao A.45, tem-se:


~Ht = ~Hx + ~Hz =1(

k20εr + k2

y) [ ∂

∂y

(∂

∂xx +

∂

∂ zz)

~Hy + jωε

(∂

∂xx +

∂

∂ zz)×~Ey

], (A.50)

ou

~Ht = ~Hx + ~Hz =1(

k20εr + k2

y) [ ∂ 2

∂y∂x~Hyx +

∂ 2

∂y∂ z~Hyz + jωε

(∂

∂x~Eyz− ∂

∂ z~Eyx)]

, (A.51)

entao,

~Hx =1(

k20εr + k2

y) [ ∂ 2

∂y∂x~Hy− jωε

∂

∂ z~Ey

], (A.52)

e

~Hz =1(

k20εr + k2

y) [ ∂ 2

∂y∂ z~Hy + jωε

∂

∂x~Ey

]. (A.53)

As equacoes A.48, A.49, A.52 e A.53 escritas no FTD sao:

Ex =1

(γ2 + k20εr)

[− jαn

∂

∂yEy− jωµΓ Hy

]; (A.54)

Ez =1

(γ2 + k20εr)

[−Γ

∂

∂yEy−ωµαnHy

]; (A.55)

Hx =1

(γ2 + k20εr)

[− jαn

∂

∂yHy + jωεΓ Ey

]; (A.56)

Hz =1

(γ2 + k20εr)

[−Γ

∂

∂yHy + ωεαnEy

]. (A.57)

Nas quais:

k2y = γ

2, (A.58)


γ2 = α

2n + β

2k − k2

i , (A.59)

∂

∂x=− jαn, (A.60)

∂

∂ z=−Γ . (A.61)

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