ANOVA BETWEEN

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ANOVA BETWEEN ANOVA BETWEEN – Introduzione l’ANOVA BETWEEN è un’estensione del test T per il confronto tra medie di due campioni indipendenti Variabile indipendente una due più di due Variabile dipendente Anova univariat a a una via Anova univariat a a due vie Anova univariat a a più vie una Anova bivariata a una via Anova bivariata a due vie Anova bivariata a più vie due Anova multivari ata a una via Anova multivari ata a due vie Anova multivari ata a più vie più di due disegni fattorial i Between subjects: c’è un diverso gruppo di soggetti per ogni livello della variabile indipendente

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ANOVA BETWEEN. l’ANOVA BETWEEN è un’estensione del test T per il confronto tra medie di due campioni indipendenti. disegni fattoriali. Between subjects: c’è un diverso gruppo di soggetti per ogni livello della variabile indipendente. ANOVA BETWEEN – Introduzione. ANOVA BETWEEN. - PowerPoint PPT Presentation

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – Introduzione

l’ANOVA BETWEEN è un’estensione del test T per il confronto tra medie di due campioni indipendenti

Variabile indipendente

una due più di due

Variab

ile dip

end

ente

Anova univariata a

una via

Anova univariata a

due vie

Anova univariata a

più vieuna

Anova bivariata a

una via

Anova bivariata a

due vie

Anova bivariata a

più viedue

Anova multivariata

a una via

Anova multivariata

a due vie

Anova multivariata

a più vie

più di due

disegni fattoriali

Between subjects: c’è un diverso gruppo di soggetti per ogni livello della variabile indipendente

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – Terminologia

FATTORE/I: variabile/i indipendente/i

LIVELLI DEI FATTORI: numero di modalità di ogni variabile indipendente. Il numero di fattori determina il numero di gruppi k.

ESEMPIOESEMPIO

ANOVA A 1 VIA: variabile indipendente “sesso” 2 livelli (“maschio” e “femmina”)

ANOVA A 2 VIE: variabili indipendenti “sesso” e “età” 3 livelli (“giovane”, “adulto”, “anziano”) ESEMPIOESEMPIO

EFFETTI PRINCIPALI: medie della variabile dipendente per ogni livello (“maschio”, “femmina”, giovane”, “adulto”, “anziano”)

INTERAZIONI: medie della variabile dipendente per ogni cella di incrocio dei livelli (“maschio*giovane”, “maschio*adulto”, “maschio*anziano”, “femmina*giovane”, “femmina*adulto”, “femmina*anziano”)

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ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

Gruppo A Gruppo B

Media Gruppo A

Media Gruppo B

Gruppo C

Media Gruppo C

Variabile indipendente XVariabile indipendente X

Variabile dipendente Y Variabile dipendente Y yij valore della variabile Y

per il soggetto i (i=1,…,nj) appartenente al gruppo j (j=1,..,k)

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ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

Gruppo A

Gruppo B

Gruppo C

ijjij yyyy )(

Le differenze TRA gruppi si misurano confrontando le medie di gruppo

con la media generale VARIABILITA’ TRA GRUPPI

Misura dell’effetto del trattamento

jyy

Page 5: ANOVA BETWEEN

Le differenze NEI gruppi si misurano confrontando i valori dei singoli soggetti yij con la media del gruppo a cui appartengono

VARIABILITA’ NEI GRUPPI.ij rappresenta il fattore casuale (detto errore sperimentale): errore non

è sinonimo di sbaglio, ma indica l’effetto di uno o più fattori sconosciuti, comunque non valutati o non controllati nell'esperimento.

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

ijjij yyyy )(Gruppo A

Gruppo C

Gruppo B

jy

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

Gli errori εij:

devono essere tra loro indipendenti (il punteggio di un soggetto non deve essere correlato con quello di altri soggetti). L’assegnazione casuale dei soggetti alle diverse condizioni sperimentali fa in modo che le osservazioni non siano correlate – Coefficiente di correlazione interclasse per la valutazione dell’indipendenza,

devono essere distribuiti normalmente,le varianze dei vari gruppi devono essere omogenee

(omoschedasticità) – Test di Levene per la verifica dell’omoschedasticità,

gli effetti hanno una natura additiva

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

k

j

n

ijijj

k

j

k

jj

n

iij

jj

yynyyyy1

2

11

2

1

2

1

)()()(

Devianza totale Devianza TRA gruppi

(BETWEEN)

Devianza NEI gruppi

(WITHIN)

(k-1) gdl

j=1,2,…,k indice di gruppo i=1,2,…,nj indice dell’individuo

(n-k) gdl (n-1) gdl

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

H0: 1=2=…=k

(le popolazioni di provenienza dei campioni hanno medie uguali per la variabile dipendente Y)

H1: i ≠ j per almeno un i e un j (i≠j)

(almeno due campioni provengono da popolazioni con medie diverse)

)](),1[(

)(

)1(knk

Within

Between

F

kn

Devk

Dev

Statistica Test F di Snedecor

F(1,2) F(2,4)

F(5,10) F(10,50)

La zona di rifiuto dell’ipotesi nulla è sempre

nella coda di destra.

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

Lo studio investiga l’effetto che il mascheramento di un testimone ha sulla memoria e sulla percezione dei giurati rispetto alla testimonianza dello stesso testimone.

Fattore between:Fattore between: “Presentation condition” con 4 livelli “unmasked” (non mascherato), “greyblob” (punto grigio), “pixelated” (diviso in pixel), “negated” (nero e bianco invertiti).

Variabile dipendente:Variabile dipendente: percentuale di fatti raccontati dai testimoni e ricordati dai giurati

L’ipotesi è che ci potrebbe essere un effetto negativo del mascheramento sulla memoria.H0: unmasked=greyblob=pixelated=negated

H1: i ≠ j per almeno un i e un j (i≠j)

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

ANALYZE → COMPARE MEANS → ONE WAY ANOVA

In DEPENDENT LIST inserire la variabile dipendente

In FACTOR inserire la variabile indipendente

In OPTIONS selezionare Descriptive e Homogeneity of variance test Descriptives

MEMORY

10 66.70 5.334 1.687 62.88 70.52 58 75

10 55.70 3.802 1.202 52.98 58.42 48 61

10 57.70 5.417 1.713 53.82 61.58 51 68

10 67.20 4.590 1.451 63.92 70.48 58 74

40 61.83 7.001 1.107 59.59 64.06 48 75

unmasked

greyblob

pixelated

negated

Total

N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval forMean

Minimum Maximum

Medie di gruppoNumerosità di

gruppo

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

ANOVA

MEMORY

1071.875 3 357.292 15.314 .000

839.900 36 23.331

1911.775 39

Between Groups

Within Groups

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Devianze

Gradi di libertà

Varianze=Devianze/gdl

Valore sperimentale= valore della statistica test (F di Snedecor)

P-value

p-value < → rifiuto

l’ipotesi nulla

Il mascheramento ha un effetto

significativo sulla memoria.

Test of Homogeneity of Variances

MEMORY

.490 3 36 .692

LeveneStatistic df1 df2 Sig.

Test di Levene:

H0: omoschedasticità

H1: eteroschedasticità

P-value> accetto ipotesi nulla

Page 12: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

Se nel confronto tra le medie di k gruppi con il test F è stata rifiutata l’ipotesi

nulla H0: 1=2=…=k si pone il problema di verificare tra quali medie esista

una differenza significativa.

I confronti multipli a posteriori (confronti non pianificati, post hoc comparisons) sono utili quando non è possibile programmare i confronti a priori per mancanza di informazioni. Si effettuano, quindi, tutti i possibili confronti tra le medie alla ricerca di quelle differenze che hanno determinato la significatività totale (ogni media viene confrontata tra tutte le altre).Per questi confronti sono stati proposti diversi metodi che, come impostazione logica, derivano dal test T di Student per ipotesi bidirezionali. Il ricercatore tenderà a scegliere il test post hoc che garantisce la potenza del test maggiore (1-=p(rifiutare H0/H1 è vera)) senza tuttavia dimenticare il problema legato all’errore di primo tipo (vedi disuguaglianza di Bonferroni):

pi

TOT

p=numero di confronti tra medie

i=significatività di ogni confronto post hoc

ANALYZE → COMPARE MEANS → ONE WAY ANOVA

In POST HOC selezionare TUKEY e BONFERRONI

Page 13: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A UNA VIA

Multiple Comparisons

Dependent Variable: MEMORY

11.00* 2.160 .000 5.18 16.82

9.00* 2.160 .001 3.18 14.82

-.50 2.160 .996 -6.32 5.32

-11.00* 2.160 .000 -16.82 -5.18

-2.00 2.160 .791 -7.82 3.82

-11.50* 2.160 .000 -17.32 -5.68

-9.00* 2.160 .001 -14.82 -3.18

2.00 2.160 .791 -3.82 7.82

-9.50* 2.160 .001 -15.32 -3.68

.50 2.160 .996 -5.32 6.32

11.50* 2.160 .000 5.68 17.32

9.50* 2.160 .001 3.68 15.32

11.00* 2.160 .000 4.97 17.03

9.00* 2.160 .001 2.97 15.03

-.50 2.160 1.000 -6.53 5.53

-11.00* 2.160 .000 -17.03 -4.97

-2.00 2.160 1.000 -8.03 4.03

-11.50* 2.160 .000 -17.53 -5.47

-9.00* 2.160 .001 -15.03 -2.97

2.00 2.160 1.000 -4.03 8.03

-9.50* 2.160 .001 -15.53 -3.47

.50 2.160 1.000 -5.53 6.53

11.50* 2.160 .000 5.47 17.53

9.50* 2.160 .001 3.47 15.53

(J) Presentation conditiongreyblob

pixelated

negated

unmasked

pixelated

negated

unmasked

greyblob

negated

unmasked

greyblob

pixelated

greyblob

pixelated

negated

unmasked

pixelated

negated

unmasked

greyblob

negated

unmasked

greyblob

pixelated

(I) Presentation conditionunmasked

greyblob

pixelated

negated

unmasked

greyblob

pixelated

negated

Tukey HSD

Bonferroni

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval

The mean difference is significant at the .05 level.*.

H0: differenza medie nulla; H1: differenza medie non nulla

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

EFFETTI

PRINCIPALI (indipendentemente dai valori delle altre variabili indipendenti)INTERAZIONI (l’effetto di una variabile indipendente sulla variabile dipendente non è uguale per tutti i livelli delle altre variabili indipendenti)

IPOTESI

Un’ipotesi per ogni fattore principale (ipotesi sulle medie)

Un’ipotesi per le interazioni (ipotesi sulle differenze di medie)

Page 15: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

ANOVA A 2 VIE 2 FATTORI

A con 4 livelli (a, b, c, d)

B con 5 livelli (1, 2, 3, 4, 5)

IPOTESI

Per il fattore A H0: µa = µb = µc = µd

H1: almeno una coppia di medie diversa

Per l’interazione A*B H0: (µ1-µ2)a = (µ1-µ3)a = …= (µ1-µ2)b =(µ1-µ3)b=…= (µ1-µ2)c= (µ1-µ3)c=…

Per il fattore B H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5

H1: almeno una coppia di medie diversa

Page 16: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

ijy

jy.

Valore della variabile Y per il soggetto i (i=1,…,n) appartenente al livello j (j=1,…k)

.iy

Media della variabile Y per il livello j (j=1,…k) - media di colonna -

Media della variabile Y per il soggetto i (i=1,…n) - media di riga -

Page 17: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

DEVIANZA TOTALE

DEVIANZA NEI GRUPPI DEVIANZA TRA I GRUPPI

DEVIANZA EFFETTO

PRINCIPALE 1°FATTORE

DEVIANZA EFFETTO

PRINCIPALE 2°FATTORE

DEVIANZA EFFETTO

INTERAZIONE

Page 18: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

(n-1)

n-(k1*k2) DEVIANZA TRA I GRUPPI

(k1-1) (k2-1)

(k1-1)*(k2-1)

k1= livelli del 1°fattore

k2=livelli del 2°fattore

Si costruiscono 3 test F del tipo

gdlDevgdlDev

NEI

TRA

Page 19: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

Lo studio considera l’effetto che il fascino e il genere dell’imputato possono esercitare sulla giuria durante un processo. Nello studio in esame viene consegnata a 60 persone la testimonianza (sotto forma di testo scritto) di un ipotetico imputato con la descrizione dell’omicidio commesso. 20 persone ricevono solamente la testimonianza scritta, 20 persone la testimonianza scritta e una fotografia di un imputato affascinante e, infine, 20 persone ricevono la testimonianza scritta e una fotografia di un imputato non affascinante. (La fotografia può essere indifferentemente di un uomo o di una donna). Ai partecipanti viene chiesto di indicare quanti anni di prigione l’imputato dovrebbe scontare come punizione.

Fattore between 1:Fattore between 1: “Attractiveness” con 3 livelli “attractive”, “unattractive”, “no picture”.

Fattore between 2: Fattore between 2: “Sex differences” con 2 livelli “same sex as defendant” e “opposite sex as defendent” (indicato nella testimonianza scritta o nella fotografia).

Variabile dipendente:Variabile dipendente: sentenza data sotto forma di numero di anni da scontare in carcere (minimo 3, massimo 25 anni).

L’ipotesi è che imputati non affascinanti ricevano pene più dure e che la durata delle pene dipenda anche dal genere dell’imputato.

File: twowaybetweenANOVA.sav

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ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

ANALYZE → GENERAL LINEAR MODEL → UNIVARIATE

In DEPENDENT VARIABLE inserire la variabile dipendente

In FIXED FACTORS inserire le variabili indipendenti

In OPTIONS selezionare Descriptive Statistics

Page 21: ANOVA BETWEEN

Descriptive Statistics

Dependent Variable: Sentence

7.50 1.780 10

11.20 2.300 10

14.50 1.269 10

11.07 3.403 30

7.50 2.415 10

10.30 2.058 10

13.50 1.650 10

10.43 3.191 30

7.50 2.065 20

10.75 2.173 20

14.00 1.522 20

10.75 3.286 60

AttractivenessAttractive

Unattractive

No picture

Total

Attractive

Unattractive

No picture

Total

Attractive

Unattractive

No picture

Total

Sex DifferencesSame sex as defendant

Opposite sex asdefendant

Total

Mean Std. Deviation N

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

Between-Subjects Factors

Same sexasdefendant

30

Oppositesex asdefendant

30

Attractive 20

Unattractive 20

No picture 20

1

2

Sex Differences

1

2

3

Attractiveness

Value Label N

Nella prima tabella, SPSS riporta i fattori e i corrispondenti livelli nonché il numero di soggetti per ogni livello.

Sex Differences * Attractiveness

Sex Differences

Attractiveness

Page 22: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

Tests of Between-Subjects Effects

Dependent Variable: Sentence

431.550a 5 86.310 22.658 .000

6933.750 1 6933.750 1820.236 .000

6.017 1 6.017 1.579 .214

422.500 2 211.250 55.457 .000

3.033 2 1.517 .398 .674

205.700 54 3.809

7571.000 60

637.250 59

SourceCorrected Model

Intercept

SEX

ATTRACT

SEX * ATTRACT

Error

Total

Corrected Total

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

R Squared = .677 (Adjusted R Squared = .647)a.

Effetti principali

Interazione

L’effetto principale della variabile genere (SEX) non è significativo (p-value 0.214). C’è una significatività nell’effetto principale della variabile fascino (ATTRACT) (p<0.0005). Non c’è interazione significativa tra i due fattori (p-value 0.674).

Page 23: ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN

ANOVA BETWEEN – A DUE VIE

GRAPH → BAR → SIMPLE

In OTHER SUMMARY FUNCTION inserire la variabile dipendente

In CATEGORY AXIS inserire la variabile indipendente significativa

Attractiveness

No pictureUnattractiveAttractive

Me

an

Se

nte

nce

16

14

12

10

8

6