Ani So Tropic Diffusion in Image Processing

8/3/2019 Ani So Tropic Diffusion in Image Processing

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A n i s o t r o p i c D i u s i o n

i n I m a g e P r o c e s s i n g

J o a c h i m W e i c k e r t

V o m F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k d e r U n i v e r s i t a t K a i s e r s l a u t e r n

z u r V e r l e i h u n g d e s a k a d e m i s c h e n G r a d e s D o k t o r d e r N a t u r -

w i s s e n s c h a f t e n ( D o c t o r r e r u m n a t u r a l i u m , D r . r e r . n a t . )

g e n e h m i g t e D i s s e r t a t i o n

1 . G u t a c h t e r : P r o f . D r . H . N e u n z e r t

2 . G u t a c h t e r : P r o f . D r . P . - L . L i o n s

V o l l z u g d e r P r o m o t i o n : 2 9 . 0 1 . 1 9 9 6

D 3 8 6



M e i n e n E l t e r n



P r e f a c e

T h r o u g h m a n y c e n t u r i e s p h y s i c s h a s b e e n o n e o f t h e m o s t f r u i t f u l s o u r c e s o f i n s p i -

r a t i o n f o r m a t h e m a t i c s . A s a c o n s e q u e n c e , m a t h e m a t i c s h a s b e c o m e a n e c o n o m i c

l a n g u a g e p r o v i d i n g a f e w b a s i c p r i n c i p l e s w h i c h a l l o w t o e x p l a i n a l a r g e v a r i e t y o f

p h y s i c a l p h e n o m e n a . M a n y o f t h e m a r e d e s c r i b e d i n t e r m s o f p a r t i a l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s ( P D E s ) .

I n r e c e n t y e a r s , h o w e v e r , m a t h e m a t i c s a l s o h a s b e e n s t i m u l a t e d b y o t h e r n o v e l

e l d s s u c h a s i m a g e p r o c e s s i n g . G o a l s l i k e i m a g e s e g m e n t a t i o n , m u l t i s c a l e i m -

a g e r e p r e s e n t a t i o n , o r i m a g e r e s t o r a t i o n c a u s e a l o t o f c h a l l e n g i n g m a t h e m a t i c a l

q u e s t i o n s . N e v e r t h e l e s s , t h e s e p r o b l e m s f r e q u e n t l y h a v e b e e n t a c k l e d w i t h a p o o l

o f h e u r i s t i c a l r e c i p e s . S i n c e t h e t r e a t m e n t o f d i g i t a l i m a g e s r e q u i r e s v e r y m u c h

c o m p u t i n g p o w e r , t h e s e m e t h o d s h a d t o b e f a i r l y s i m p l e . W i t h t h e t r e m e n d o u s

a d v a n c e s i n c o m p u t e r t e c h n o l o g y i n t h e l a s t d e c a d e , i t h a s b e c o m e p o s s i b l e t o a p -

p l y m o r e s o p h i s t i c a t e d t e c h n i q u e s s u c h a s P D E - b a s e d m e t h o d s w h i c h h a v e b e e n

i n s p i r e d b y p h y s i c a l p r o c e s s e s .

A m o n g t h e s e t e c h n i q u e s , p a r a b o l i c P D E s h a v e f o u n d a l o t o f a t t e n t i o n f o r

s m o o t h i n g a n d r e s t o r a t i o n p u r p o s e s , s e e e . g . 1 1 3 ] . T o r e s t o r e i m a g e s t h e s e e q u a -

t i o n s f r e q u e n t l y a r i s e f r o m g r a d i e n t d e s c e n t m e t h o d s a p p l i e d t o v a r i a t i o n a l p r o b -

l e m s . I m a g e s m o o t h i n g b y p a r a b o l i c P D E s i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s c a l e - s p a c e

c o n c e p t w h e r e o n e e m b e d s t h e o r i g i n a l i m a g e i n t o a f a m i l y o f s u b s e q u e n t l y s i m -

p l e r , m o r e g l o b a l r e p r e s e n t a t i o n s o f i t . T h i s i d e a p l a y s a f u n d a m e n t a l r o l e f o r

e x t r a c t i n g s e m a n t i c a l l y i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n . T h e p i o n e e r i n g w o r k o f A l v a r e z ,

G u i c h a r d , L i o n s a n d M o r e l 1 1 ] h a s d e m o n s t r a t e d t h a t a l l s c a l e - s p a c e s f u l l l i n g

a f e w f a i r l y n a t u r a l a x i o m s a r e g o v e r n e d b y p a r a b o l i c P D E s w i t h t h e o r i g i n a l

i m a g e a s i n i t i a l c o n d i t i o n . W i t h i n t h i s f r a m e w o r k , t w o c l a s s e s c a n b e j u s t i e d i n

a r i g o r o u s w a y a s s c a l e - s p a c e s : t h e l i n e a r d i u s i o n e q u a t i o n w i t h c o n s t a n t d i f -

f u s i v i t y a n d n o n l i n e a r s o - c a l l e d m o r p h o l o g i c a l P D E s . A l l t h e s e m e t h o d s s a t i s f y

a m o n o t o n y a x i o m a s s m o o t h i n g r e q u i r e m e n t w h i c h s t a t e s t h a t , i f o n e i m a g e i s

b r i g h t e r t h a n a n o t h e r , t h e n t h i s o r d e r i s p r e s e r v e d d u r i n g t h e e n t i r e s c a l e - s p a c e

e v o l u t i o n .

A n i n t e r e s t i n g c l a s s o f p a r a b o l i c e q u a t i o n s w h i c h p u r s u e b o t h s c a l e - s p a c e a n d

r e s t o r a t i o n i n t e n t i o n s i s g i v e n b y n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s . M e t h o d s o f t h i s t y p e

h a v e b e e n p r o p o s e d f o r t h e r s t t i m e b y P e r o n a a n d M a l i k i n 1 9 8 7 1 9 0 ] . I n

v



v i P R E F A C E

o r d e r t o s m o o t h t h e i m a g e a n d t o s i m u l t a n e o u s l y e n h a n c e s e m a n t i c a l l y i m p o r -

t a n t f e a t u r e s s u c h a s e d g e s , t h e y a p p l y a d i u s i o n p r o c e s s w h o s e d i u s i v i t y i s

s t e e r e d b y l o c a l i m a g e p r o p e r t i e s . T h e s e l t e r s a r e d i c u l t t o a n a l y s e m a t h e m a t -

i c a l l y , a s t h e y m a y a c t l o c a l l y l i k e a b a c k w a r d d i u s i o n p r o c e s s . T h i s g i v e s r i s e

t o w e l l - p o s e d n e s s q u e s t i o n s . M o r e o v e r , s i n c e t h e y v i o l a t e t h e m o n o t o n y a x i o m ,

t h e y c a n n o t b e t r e a t e d w i t h i n t h e a b o v e m e n t i o n e d s c a l e - s p a c e a x i o m a t i c . O n t h e

o t h e r h a n d , n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s a r e f r e q u e n t l y a p p l i e d w i t h v e r y i m p r e s s i v e

r e s u l t s ; s o t h e r e a p p e a r s t h e n e e d f o r a t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n .

T h e g o a l o f t h e p r e s e n t w o r k i s t o d e v e l o p r e s u l t s i n t h i s d i r e c t i o n : W e s h a l l

i n v e s t i g a t e i f t h e r e i s a s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n b e y o n d t h e m o n o t o n y r e q u i r e -

m e n t , a n d i n w h i c h s e n s e r e s t o r a t i o n p r o p e r t i e s a n d s c a l e - s p a c e r e q u i r e m e n t s a r e

c o m p a t i b l e .

T o t h i s e n d , w e c o n s i d e r a g e n e r a l c l a s s o f n o n l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s e s . T h e y

u t i l i z e a d i u s i o n t e n s o r d e p e n d i n g o n t h e l o c a l i m a g e s t r u c t u r e v i a t h e s o - c a l l e d

s t r u c t u r e t e n s o r ( s e c o n d - m o m e n t m a t r i x ) , a w e l l - e s t a b l i s h e d t o o l f o r t e x t u r e a n a -

l y s i s . T h i s c l a s s c o m p r i s e s l i n e a r d i u s i o n l t e r s a s w e l l a s s p a t i a l r e g u l a r i z a t i o n s

o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s . S i n c e i t r e v e a l s a d i u s i o n t e n s o r i n s t e a d o f a s c a l a r

d i u s i v i t y , t h e d i u s i v e u x d o e s n o t h a v e t o b e p a r a l l e l t o t h e g r e y v a l u e g r a d i e n t :

t h e l t e r m a y b e c o m e a n i s o t r o p i c . T h e u s e o f d i u s i o n t e n s o r s a l l o w s t o d e s i g n

n o v e l d i u s i o n l t e r s w h i c h o u t p e r f o r m i s o t r o p i c o n e s w i t h r e s p e c t t o c e r t a i n

a p p l i c a t i o n s s u c h a s d e n o i s i n g o f h i g h l y d e g r a d e d e d g e s o r e n h a n c i n g c o h e r e n t

o w - l i k e i m a g e s b y c l o s i n g i n t e r r u p t e d o n e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s . I n o r d e r t o

e s t a b l i s h w e l l - p o s e d n e s s a n d s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s f o r t h i s c l a s s , w e s h a l l i n v e s -

t i g a t e e x i s t e n c e , u n i q u e n e s s , s t a b i l i t y , m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e s , L y a p u n o v

f u n c t i o n a l s , a n d i n v a r i a n c e s .

I n p r a c t i c e , h o w e v e r , o n e h a s t o d e a l w i t h d i g i t a l i m a g e s w h i c h a r e s a m p l e d

o n a g r i d . F o r t h i s r e a s o n i t i s i m p o r t a n t t o k n o w i f t h e r e s u l t s f o r t h e c o n t i n u o u s

f r a m e w o r k c a r r y o v e r t o t h e d i s c r e t e s e t t i n g . T h e s e q u e s t i o n s s h a l l b e a d d r e s s e d

i n t h e p r e s e n t w o r k a s w e l l . A g e n e r a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f s e m i d i s c r e t e a n d f u l l y

d i s c r e t e l t e r s , w h i c h r e v e a l s i m i l a r p r o p e r t i e s a s t h e i r c o n t i n u o u s d i u s i o n c o u n -

t e r p a r t s , i s p r e s e n t e d .

D u e t o t h e i n t e r d i s c i p l i n a r y c h a r a c t e r o f i m a g e p r o c e s s i n g , t h i s b o o k i s w r i t t e n

i n a s t y l e w h i c h s h o u l d b e u n d e r s t a n d a b l e f o r r e s e a r c h e s w i t h a v e r y d i e r e n t

s c i e n t i c b a c k g r o u n d . T h e r e f o r e , t h e i n t e n t i o n i s t o k e e p i t a s s e l f - c o n s i s t e n t a s

p o s s i b l e a n d t o r e q u i r e o n l y b a s i c k n o w l e d g e i n p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d

i m a g e p r o c e s s i n g . T h e a u t h o r a p o l o g i z e s i f s o m e s e c t i o n s m a y r e i t e r a t e t o p i c s

t h a t a r e a l r e a d y k n o w n t o s o m e o f t h e r e a d e r s .

A s a r s t s t e p t o p r o v i d e a c o m m o n b a s i c k n o w l e d g e , C h a p t e r 1 s u r v e y s t h e

f u n d a m e n t a l i d e a s b e h i n d P D E - b a s e d s m o o t h i n g a n d r e s t o r a t i o n m e t h o d s . T h e

d i s c u s s i o n o f l i m i t a t i o n s a n d o p e n q u e s t i o n s o f t h e s e t e c h n i q u e s p u t s u s i n a



P R E F A C E v i i

p o s i t i o n t o d e n e t h e g o a l s o f t h e p r e s e n t w o r k m o r e p r e c i s e l y . T h e s e g o a l s a n d

a d e t a i l e d o u t l i n e o f w h a t i s d i s c u s s e d i n t h e s u b s e q u e n t c h a p t e r s c a n b e f o u n d

i n S e c t i o n 1 . 7 .

I t i s a p l e a s u r e t o t a k e t h i s o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s m y g r a t i t u d e t o a l l p e o p l e

w h o h a v e c o n t r i b u t e d t o t h e s u c c e s s o f t h i s w o r k :

P r o f e s s o r H e l m u t N e u n z e r t f o r d r a w i n g m y i n t e r e s t t o d i u s i o n p r o c e s s e s

i n i m a g e p r o c e s s i n g a n d f o r p r o v i d i n g t h e p o s s i b i l i t y t o c a r r y o u t t h i s w o r k

a t t h e L a b o r a t o r y o f T e c h n o m a t h e m a t i c s .

P r o f e s s o r P i e r r e { L o u i s L i o n s ( C E R E M A D E , U n i v e r s i t y P a r i s I X ) f o r i n v i t -

i n g m e t o t h e C E R E M A D E a n d f o r g i v i n g m e t h e h o n o u r t o g e t , a s a n

i n v i t e d s p e a k e r a t t h e c o n f e r e n c e \ M u l t i s c a l e A n a l y s i s i n I m a g e P r o c e s s -

i n g " , i n t o c o n t a c t t o m a n y r e s e a r c h e r s i n t h i s e l d .

P r o f e s s o r J e a n { M i c h e l M o r e l ( a l s o C E R E M A D E ) f o r f r u i t f u l d i s c u s s i o n s

a n d f o r h i s s u p p o r t .

P r o f e s s o r B e r n d J a h n e ( I W R , U n i v e r s i t y o f H e i d e l b e r g ) f o r s t i m u l a t i n g m y

i n t e r e s t i n s t r u c t u r e t e n s o r a n a l y s i s .

D r . B a r t t e r H a a r R o m e n y ( I m a g i n g C e n t e r U t r e c h t , U t r e c h t U n i v e r s i t y ) f o r

h i s e n c o u r a g e m e n t a n d f o r i n t r o d u c i n g m e t o t h e m e m b e r s o f t h e E S P R I T {

N S F p r o j e c t \ G e o m e t r y - D r i v e n D i u s i o n " .

D r . M a r t i n R e i e l f o r u n d e r t a k i n g t h e h a r d j o b o f p r o o f r e a d i n g , f o r v a l u a b l e

h i n t s , a n d f o r m a n y d i s c u s s i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d l i f e i n g e n e r a l .

A n d r e a B e c h t o l d f o r h e r t h o r o u g h a s s i s t a n c e i n a l l k i n d s o f d i c u l t i e s w i t h

t h e E n g l i s h l a n g u a g e .

A l l c o l l e a g u e s a t t h e L a b o r a t o r y o f T e c h n o m a t h e m a t i c s w h o h e l p e d m e

w h e n e v e r m a t h e m a t i c a l o r s o f t w a r e p r o b l e m s o c c u r e d .

T h e C e n t e r f o r A p p l i e d M a t h e m a t i c s D a r m s t a d t { K a i s e r s l a u t e r n a n d t h e

S t i f t u n g R h e i n l a n d { P f a l z f u r I n n o v a t i o n f o r t h e i r n a n c i a l s u p p o r t .

L a s t b u t n o t l e a s t , I o w e a l o t o f t h a n k s t o m y p a r e n t s G e r d a a n d N o r b e r t

f o r g i v i n g m e a l l k i n d s o f h e l p t h r o u g h o u t m y w h o l e l i f e .

W i t h o u t t h e a i d o f a l l o f t h e m t h i s w o r k w o u l d n o t h a v e b e e n p o s s i b l e .

K a i s e r s l a u t e r n , N o v e m b e r 1 9 9 5 J o a c h i m W e i c k e r t



v i i i P R E F A C E



C o n t e n t s

P r e f a c e v

C o n t e n t s i x

1 I m a g e s m o o t h i n g a n d r e s t o r a t i o n b y P D E s 1

1 . 1 L i n e a r d i u s i o n l t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 . 1 . 1 P h y s i c a l b a c k g r o u n d o f d i u s i o n p r o c e s s e s . . . . . . . . . 2

1 . 1 . 2 F o u n d a t i o n s o f l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 3 S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 1 . 4 N u m e r i c a l a s p e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 1 . 5 S h o r t c o m i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 1 . 6 D i r e c t e d d i u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 2 N o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 2 . 1 T h e P e r o n a { M a l i k m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 2 . 2 R e g u l a r i z e d n o n l i n e a r m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

1 . 2 . 3 A n i s o t r o p i c n o n l i n e a r m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 2 . 4 G e n e r a l i z a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1 . 2 . 5 N u m e r i c a l a s p e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

1 . 2 . 6 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

1 . 3 M e t h o d s o f d i u s i o n { r e a c t i o n t y p e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

1 . 3 . 1 S i n g l e d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . 2 0

1 . 3 . 2 C o u p l e d s y t e m s o f d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a t i o n s . . . . . . . 2 2

1 . 4 C l a s s i c m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

1 . 4 . 1 B i n a r y a n d g r e y - s c a l e m o r p h o l o g y . . . . . . . . . . . . . . 2 4

1 . 4 . 2 B a s i c o p e r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 . 4 . 3 C o n t i n u o u s - s c a l e m o r p h o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 . 4 . 4 T h e o r e t i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

1 . 4 . 5 S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7


1 . 5 C u r v a t u r e - b a s e d m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . 2 9

1 . 5 . 1 M e a n - c u r v a t u r e l t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

i x



x C O N T E N T S

1 . 5 . 2 A n e i n v a r i a n t l t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

1 . 5 . 3 G e n e r a l i z a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3


1 . 5 . 5 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

1 . 6 T o t a l v a r i a t i o n m e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

1 . 6 . 1 T V - p r e s e r v i n g m e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

1 . 6 . 2 T V - m i n i m i z i n g m e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

1 . 7 C o n c l u s i o n s a n d s c o p e o f t h e t h e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

2 C o n t i n u o u s d i u s i o n l t e r i n g 4 1

2 . 1 B a s i c l t e r s t r u c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

2 . 2 T h e s t r u c t u r e t e n s o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

2 . 3 T h e o r e t i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

2 . 4 S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

2 . 4 . 1 I n v a r i a n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

2 . 4 . 2 I n f o r m a t i o n - r e d u c i n g p r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

3 S e m i d i s c r e t e d i u s i o n l t e r i n g 6 1

3 . 1 T h e g e n e r a l m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1



3 . 4 R e l a t i o n t o c o n t i n u o u s m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

3 . 4 . 1 I s o t r o p i c c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

3 . 4 . 2 A n i s o t r o p i c c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

4 D i s c r e t e d i u s i o n l t e r i n g 8 3

4 . 1 T h e g e n e r a l m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3



4 . 4 R e l a t i o n t o s e m i d i s c r e t e m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

5 E x a m p l e s a n d a p p l i c a t i o n s 9 5

5 . 1 E d g e - e n h a n c i n g d i u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

5 . 1 . 1 F i l t e r d e s i g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

5 . 1 . 2 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6

5 . 2 C o h e r e n c e - e n h a n c i n g d i u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

5 . 2 . 1 F i l t e r d e s i g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

5 . 2 . 2 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

6 C o n c l u s i o n s 1 1 5

B i b l i o g r a p h y 1 1 7



C h a p t e r 1

I m a g e s m o o t h i n g a n d r e s t o r a t i o n

b y P D E s

P D E - b a s e d m e t h o d s a p p e a r i n a l a r g e v a r i e t y o f i m a g e p r o c e s s i n g a r e a s r a n g i n g

f r o m s h a p e - f r o m - s h a d i n g , a c t i v e c o n t o u r m o d e l s a n d o p t i c a l o w t o s t e r e o v i s i o n

a n d e v e n h i s t o g r a m m e m o d i c a t i o n .

T h i s c h a p t e r r e v i e w s t h e i r m a i n a p p l i c a t i o n , n a m e l y i m a g e s m o o t h i n g , i m a g e

r e s t o r a t i o n a n d e d g e d e t e c t i o n . I t i s w r i t t e n i n a n i n f o r m a l s t y l e a n d r e f e r s t o a

l a r g e a m o u n t o f o r i g i n a l l i t e r a t u r e , w h e r e p r o o f s a n d f u l l m a t h e m a t i c a l d e t a i l s

c a n b e f o u n d .

T h e g o a l i s t o g i v e a n i n t r o d u c t i o n t o P D E m e t h o d s t h a t a r e r e l a t e d t o o u r

n o n l i n e a r d i u s i o n a p p r o a c h . O n t h e o n e h a n d , t h i s s h o u l d m a k e t h e r e a d e r s e n -

s i t i v e t o t h e s i m i l a r i t i e s , d i e r e n c e s a n d p r o b l e m s o f a l l t h e s e m e t h o d s , o n t h e

o t h e r h a n d i t s h o w s h o w o u r w o r k r e l a t e s t o t h e m a n d m o t i v a t e s t h e r e a d e r t o

s t u d y h o w s o m e o f t h e s e p r o b l e m s w i l l b e s o l v e d l a t e r o n .

F o r e a c h c l a s s o f m e t h o d s w e s h a l l s k e t c h t h e b a s i c i d e a s a s w e l l a s t h e t h e o -

r e t i c a l b a c k g r o u n d , n u m e r i c a l a s p e c t s a n d a p p l i c a t i o n s . M a n y o f t h e s e i d e a s a r e

b o r r o w e d f r o m p h y s i c a l p h e n o m e n a s u c h a s w a v e p r o p a g a t i o n o r t r a n s p o r t o f h e a t

a n d m a s s . N e v e r t h e l e s s , a l s o g a s d y n a m i c s , c r a c k p r o p a g a t i o n , g r a s s r e o w , t h e

s t u d y o f s a l i n i t y p r o l e s i n o c e a n o g r a p h y , o r m e c h a n i s m s o f t h e r e t i n a a n d t h e

b r a i n a r e c l o s e l y r e l a t e d t o s o m e o f t h e s e a p p r o a c h e s . A l t h o u g h a d e t a i l e d d i s -

c u s s i o n o f t h e s e c o n n e c t i o n s w o u l d b e f a r b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s w o r k , w e s h a l l

m e n t i o n t h e m w h e r e v e r t h e y a p p e a r , i n o r d e r t o a l l o w t h e i n t e r e s t e d r e a d e r t o

p u r s u e t h e s e i d e a s .

T h e o u t l i n e o f t h i s c h a p t e r i s a s f o l l o w s :

W e s t a r t w i t h r e v i e w i n g t h e p h y s i c a l i d e a s b e h i n d d i u s i o n p r o c e s s e s . T h i s

h e l p s u s t o u n d e r s t a n d t h e n e x t s e c t i o n s w h i c h a r e c o n c e r n e d w i t h t h e p r o p e r -

t i e s o f l i n e a r a n d n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s i n i m a g e p r o c e s s i n g . T h e s u b s e q u e n t

s t u d y o f i m a g e e n h a n c e m e n t m e t h o d s o f d i u s i o n { r e a c t i o n t y p e r e l a t e s d i u -

1



2 C H A P T E R 1 . P A R T I A L D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S

s i o n l t e r s t o v a r i a t i o n a l i m a g e r e s t o r a t i o n t e c h n i q u e s . A f t e r w a r d s w e i n v e s t i g a t e

m o r p h o l o g i c a l l t e r s , a t o p i c w h i c h s e e m s a t r s t g l a n c e f a i r l y d i e r e n t t o t h e

d i u s i o n a p p r o a c h . N e v e r t h e l e s s , i t r e v e a l s s o m e i n t e r e s t i n g r e l a t i o n s w h e n i t

i s i n t e r p r e t e d w i t h i n a P D E f r a m e w o r k . T h i s b e c o m e s e s p e c i a l l y e v i d e n t w h e n

c o n s i d e r i n g c u r v a t u r e - b a s e d m o r p h o l o g i c a l P D E s . F i n a l l y w e s h a l l d i s c u s s t o t a l

v a r i a t i o n i m a g e r e s t o r a t i o n t e c h n i q u e s w h i c h p e r m i t d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s . T h e

l a s t s e c t i o n s u m m a r i z e s t h e a d v a n t a g e s a n d s h o r t c o m i n g s o f t h e m a i n m e t h o d s

a n d g i v e s a n o u t l i n e o f t h e q u e s t i o n s w e a r e c o n c e r n e d w i t h i n t h e s u b s e q u e n t

c h a p t e r s .

1 . 1 L i n e a r d i u s i o n l t e r i n g

T h e s i m p l e s t a n d b e s t i n v e s t i g a t e d P D E m e t h o d f o r s m o o t h i n g i m a g e s i s t o

a p p l y a l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s . A f t e r h a v i n g s k e t c h e d t h e p h y s i c a l b a c k g r o u n d

o f d i u s i o n p r o c e s s e s , w e s h a l l f o c u s o n t h e r e l a t i o n b e t w e e n l i n e a r d i u s i o n

l t e r i n g a n d t h e c o n v o l u t i o n w i t h a G a u s s i a n , a n a l y s e i t s s m o o t h i n g p r o p e r t i e s

f o r t h e i m a g e a s w e l l a s i t s d e r i v a t i v e s , a n d r e v i e w t h e f u n d a m e n t a l p r o p e r t i e s o f

t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e i n d u c e d b y l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g . A f t e r w a r d s w e s h a l l

g i v e a s u r v e y o n d i s c r e t e a s p e c t s a n d d i s c u s s s h o r t c o m i n g s o f t h e l i n e a r d i u s i o n

p a r a d i g m . T h e s e c t i o n i s c o n c l u d e d b y s k e t c h i n g d i r e c t e d d i u s i o n p r o c e s s e s , a

m e t h o d f o r i n t r o d u c i n g b i a s i n t o t h e p r o c e s s w i t h o u t r e n o u n c i n g l i n e a r i t y .

1 . 1 . 1 P h y s i c a l b a c k g r o u n d o f d i u s i o n p r o c e s s e s

M o s t p e o p l e h a v e a n i n t u i t i v e i m p r e s s i o n o f d i u s i o n a s a p h y s i c a l p r o c e s s t h a t

e q u i l i b r a t e s c o n c e n t r a t i o n d i e r e n c e s w i t h o u t c r e a t i n g o r d e s t r o y i n g m a s s . T h i s

p h y s i c a l o b s e r v a t i o n c a n b e e a s i l y c a s t i n a m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n .

T h e e q u i l i b r a t i o n p r o p e r t y i s e x p r e s s e d b y F i c k ' s l a w

j = ? D r u : ( 1 . 1 )

T h i s e q u a t i o n s t a t e s t h a t a c o n c e n t r a t i o n g r a d i e n t r u c a u s e s a u x j w h i c h a i m s

t o c o m p e n s a t e f o r t h i s g r a d i e n t . T h e r e l a t i o n b e t w e e n r u a n d j i s d e s c r i b e d b y

t h e d i u s i o n t e n s o r D , a p o s i t i v e d e n i t e s y m m e t r i c m a t r i x . T h e c a s e w h e r e j

a n d

r u a r e p a r a l l e l i s c a l l e d i s o t r o p i c . T h e n w e m a y r e p l a c e t h e d i u s i o n t e n s o r

b y a p o s i t i v e s c a l a r - v a l u e d d i u s i v i t y g . I n t h e g e n e r a l a n i s o t r o p i c c a s e , j a n d r u

a r e n o t p a r a l l e l .

T h e o b s e r v a t i o n t h a t d i u s i o n d o e s o n l y t r a n s p o r t m a s s w i t h o u t d e s t r o y i n g

i t o r c r e a t i n g n e w m a s s i s e x p r e s s e d b y t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n

@

t

u = ? d i v j ( 1 . 2 )



1 . 1 L I N E A R D I F F U S I O N F I L T E R I N G 3

w h e r e t d e n o t e s t h e t i m e .

I f w e p l u g i n F i c k ' s l a w i n t o t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n w e e n d u p w i t h t h e

d i u s i o n e q u a t i o n

@

t

u = d i v ( D r u ) : ( 1 . 3 )

T h i s e q u a t i o n a p p e a r s i n m a n y p h y s i c a l t r a n s p o r t p r o c e s s e s . I n t h e c o n t e x t o f

h e a t t r a n s f e r i t i s c a l l e d h e a t e q u a t i o n .

I n i m a g e p r o c e s s i n g w e m a y i n t e r p r e t t h e c o n c e n t r a t i o n a s a g r e y v a l u e a t a

c e r t a i n p o i n t . T h e d i u s i o n t e n s o r d o e s n o t h a v e t o b e c o n s t a n t : f r e q u e n t l y i t i s

a d v a n t a g e o u s t o c h o o s e i t a s a f u n c t i o n o f t h e l o c a l i m a g e s t r u c t u r e . T h i s l e a d s

u s t o n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s . T h r e e c a s e s a r e r e l e v a n t f o r i m a g e p r o c e s s i n g :

( a ) l i n e a r i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s u s i n g a c o n s t a n t d i u s i v i t y ,

( b ) n o n l i n e a r i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s w i t h d i u s i v i t i e s b e i n g a d a p t e d t o t h e

l o c a l i m a g e s t r u c t u r e ,

( c ) n o n l i n e a r a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s w i t h d i u s i o n t e n s o r s b e i n g a d a p t e d

t o t h e l o c a l i m a g e s t r u c t u r e .

T h e l i n e a r c a s e ( a ) i s t r e a t e d b e l o w , a n d t h e n o n l i n e a r c a s e s ( b ) a n d ( c ) w i l l b e

d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 . 2 .

1 . 1 . 2 F o u n d a t i o n s o f l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g

G a u s s i a n s m o o t h i n g

L e t a g r e y - s c a l e i m a g e f b e r e p r e s e n t e d b y a r e a l - v a l u e d m a p p i n g f 2 L

1

( I R

2

) :

A w i d e l y - u s e d w a y t o s m o o t h f i s b y c a l c u l a t i n g t h e c o n v o l u t i o n

( K

f ) ( x ) : =

Z

I R

2

K

( x ? y ) f ( y ) d y ( 1 . 4 )

w h e r e K

d e n o t e s t h e t w o - d i m e n s i o n a l G a u s s i a n o f w i d t h ( s t a n d a r d d e v i a t i o n )

> 0 :

K

( x ) : =

1

2

2

e x p

?

j x j

2

2

2

!

: ( 1 . 5 )

T h e r e a r e m u l t i p l e r e a s o n s f o r t h e e x c e l l e n t s m o o t h i n g p r o p e r t i e s o f t h i s

m e t h o d :

F i r s t w e o b s e r v e t h a t s i n c e K

2 C

1

( I R

2

) w e g e t K

f 2 C

1

( I R

2

) ; e v e n

i f f i s o n l y a b s o l u t e l y i n t e g r a b l e .

N e x t , l e t u s i n v e s t i g a t e t h e b e h a v i o u r i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . W h e n d e n i n g

t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n F b y

( F f ) ( ! ) : =

Z

I R

2

f ( x ) e x p ( ? i h ! ; x i ) d x ( 1 . 6 )




w e o b t a i n b y t h e c o n v o l u t i o n t h e o r e m t h a t

( F ( K

f ) ) ( ! ) = ( F K

) ( ! ) ( F f ) ( ! ) : ( 1 . 7 )

S i n c e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f a G a u s s i a n i s a g a i n G a u s s i a n - s h a p e d ,

( F K

) ( ! ) = 2 e x p

?

j ! j

2

2 =

2

!

; ( 1 . 8 )

w e o b s e r v e t h a t ( 1 . 4 ) i s a l o w - p a s s l t e r t h a t d a m p s h i g h f r e q u e n c i e s i n a m o n o -

t o n e w a y .

I n t e r e s t i n g l y , t h e s m o o t h i n g b e h a v i o u r c a n a l s o b e u n d e r s t o o d i n t h e c o n t e x t

o f a P D E i n t e r p r e t a t i o n .

E q u i v a l e n c e t o l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g

I t i s a c l a s s i c a l r e s u l t ( c f . e . g . 1 9 5 , p p . 2 6 7 { 2 7 1 ] a n d 1 2 0 , p p . 4 3 { 5 6 ] ) t h a t f o r

a n y b o u n d e d f 2 C ( I R

2

) t h e l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s

@

t

u = u ; ( 1 . 9 )

u ( x ; 0 ) = f ( x ) ( 1 . 1 0 )

p o s s e s s e s t h e u n i q u e s o l u t i o n

u ( x ; t ) =

(

f ( x ) ( t = 0 )

( K

p

2 t

f ) ( x ) ( t > 0 ) :

( 1 . 1 1 )

T h i s s o l u t i o n i s u n i q u e , p r o v i d e d w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o f u n c t i o n s s a t i s f y i n g

j u ( x ; t ) j M e x p ( a j x j

2

) ( M ; a > 0 ) : ( 1 . 1 2 )

I t d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n t h e i n i t i a l i m a g e f w i t h r e s p e c t t o k : k

L

1

( I R

2

)

; a n d i t

f u l l s t h e m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e

i n f

I R

2

f u ( x ; t ) s u p

I R

2

f o n I R

2

0 ; 1 ) : ( 1 . 1 3 )

F r o m ( 1 . 1 1 ) w e o b s e r v e t h a t t h e t i m e t c o r r e s p o n d s w i t h t h e s p a t i a l w i d t h

p

2 t o f t h e G a u s s i a n . H e n c e , s m o o t h i n g s t r u c t u r e s o f o r d e r r e q u i r e s t o s t o p t h e

d i u s i o n p r o c e s s a t t i m e

T =

1

2

2

: ( 1 . 1 4 )




G a u s s i a n d e r i v a t i v e s

I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e s t r u c t u r e o f a n i m a g e w e h a v e t o a n a l y s e g r e y v a l u e

u c t u a t i o n s w i t h i n a n e i g h b o u r h o o d o f e a c h i m a g e p o i n t , t h a t i s t o s a y , w e n e e d

i n f o r m a t i o n a b o u t i t s d e r i v a t i v e s . H o w e v e r , d i e r e n t i a t i o n i s a n i l l - p o s e d p r o b l e m

i n t h e s e n s e o f H a d a m a r d 2 3 9 ] , a s s m a l l p e r t u r b a t i o n s i n t h e o r i g i n a l i m a g e

c a n l e a d t o a r b i t r a r y l a r g e u c t u a t i o n s i n t h e d e r i v a t i v e s . H e n c e , t h e n e e d f o r

r e g u l a r i z i n g m e t h o d s a r i s e s .

O n e p o s s i b i l i t y t o r e g u l a r i z e i s t o c o n v o l v e t h e i m a g e w i t h a G a u s s i a n p r i o r

t o d i e r e n t i a t i o n 2 3 9 ] . B y t h e e q u a l i t y

@

n

x

1

@

m

x

2

( K

f ) = K

( @

n

x

1

@

m

x

2

f ) = ( @

n

x

1

@

m

x

2

K

) f ( 1 . 1 5 )

w e o b s e r v e t h a t a l l d e r i v a t i v e s u n d e r g o t h e s a m e G a u s s i a n s m o o t h i n g p r o c e s s

a s t h e i m a g e i t s e l f a n d t h i s p r o c e s s i s e q u i v a l e n t t o c o n v o l v i n g t h e i m a g e w i t h

d e r i v a t i v e s o f a G a u s s i a n .

T h e r e s u l t i n g G a u s s i a n d e r i v a t i v e s c a n b e s u c c e s s f u l l y a p p l i e d t o t h e d e b l u r -

r i n g o f i m a g e s 1 1 5 ] . M o r e o v e r , t h e y c a n b e c o m b i n e d ( o f t e n i n a n o n l i n e a r w a y )

t o e x p r e s s i o n s ( d i e r e n t i a l i n v a r i a n t s ) t h a t a r e i n v a r i a n t u n d e r t r a n s f o r m a t i o n s

s u c h a s r o t a t i o n s , f o r i n s t a n c e j r K

u j o r K

u :

D i e r e n t i a l i n v a r i a n t s a r e u s e f u l f o r t h e d e t e c t i o n o f f e a t u r e s s u c h a s e d g e s ,

r i d g e s , j u n c t i o n s , a n d b l o b s ( s e e 1 5 3 ] f o r a n o v e r v i e w ) . T o i l l u s t r a t e t h i s , w e f o c u s

o n t w o a p p l i c a t i o n s f o r d e t e c t i n g e d g e s .

A f r e q u e n t l y u s e d m e t h o d i s t h e C a n n y e d g e d e t e c t o r 5 1 ] . I t i s b a s e d o n

c a l c u l a t i n g t h e r s t d e r i v a t i v e s o f t h e G a u s s i a n - s m o o t h e d i m a g e . A f t e r a p p l y -

i n g s o p h i s t i c a t e d t h i n n i n g a n d l i n k i n g m e c h a n i s m s ( n o n - m a x i m a s u p p r e s s i o n a n d

h y s t e r e s i s t h r e s h o l d i n g ) , e d g e s a r e i d e n t i e d a s l o c a t i o n s w h e r e t h e g r a d i e n t m a g -

n i t u d e h a s a m a x i m u m . T h i s m e t h o d i s a c k n o w l e d g e d t o b e t h e b e s t l i n e a r e d g e

d e t e c t o r 5 8 ] , a n d i t h a s b e c o m e a l m o s t a s t a n d a r d i n e d g e d e t e c t i o n .

A n o t h e r i n t e r e s t i n g e d g e d e t e c t o r i s t h e M a r r { H i l d r e t h o p e r a t o r 1 6 5 ] , w h i c h

u s e s t h e L a p l a c i a n - o f - G a u s s i a n ( L o G ) K

a s c o n v o l u t i o n k e r n e l . E d g e s o f f

a r e i d e n t i e d a s z e r o - c r o s s i n g s o f K

f . T h i s n e e d s n o f u r t h e r p o s t p r o c e s s i n g

a n d a l w a y s g i v e s c l o s e d c o n t o u r s . T h e r e i s s o m e e v i d e n c e t h a t L o G s a n d e s p e c i a l l y

t h e i r a p p r o x i m a t i o n b y d i e r e n c e s - o f - G a u s s i a n s ( D o G s ) p l a y a n i m p o r t a n t r o l e

i n t h e v i s u a l s y s t e m o f m a m m a l s , s e e 1 6 5 ] a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n .

I f o n e i n v e s t i g a t e s t h e t e m p o r a l e v o l u t i o n o f t h e z e r o - c r o s s i n g s o f a n i m a g e

l t e r e d b y l i n e a r d i u s i o n , o n e o b s e r v e s a n i n t e r e s t i n g p h e n o m e n o n : W h e n i n -

c r e a s i n g t h e s m o o t h i n g s c a l e , n o n e w z e r o - c r o s s i n g s c a n b e c r e a t e d w h i c h a r e

n o t p r e s e n t a t n e r s c a l e s 2 6 3 ] . T h i s e v o l u t i o n p r o p e r t y i s c l o s e l y c o n n e c t e d t o t h e

m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e o f c e r t a i n p a r a b o l i c o p e r a t o r s 1 2 4 ] . A t t e m p t s t o

r e c o n s t r u c t t h e o r i g i n a l i m a g e f r o m t h e t e m p o r a l e v o l u t i o n o f t h e z e r o - c r o s s i n g s




o f t h e L a p l a c i a n h a v e b e e n c a r r i e d o u t 1 2 5 ] w i t h t h e r e s u l t t h a t t h i s i s p r a c t i c a l l y

u n s t a b l e u n l e s s a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i s p r o v i d e d .

N e v e r t h e l e s s , t h e e v o l u t i o n p r o p e r t y o f t h e z e r o - c r o s s i n g s w a s o n e o f t h e k e y

i n v e s t i g a t i o n s l e a d i n g t o t h e s c a l e - s p a c e i d e a 2 6 3 ] , w h i c h w e s h a l l d e s c r i b e b e l o w .

1 . 1 . 3 S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s

T h e g e n e r a l s c a l e - s p a c e c o n c e p t

I t i s a w e l l - k n o w n f a c t t h a t i m a g e s u s u a l l y c o n t a i n s t r u c t u r e s a t a l a r g e v a r i e t y o f

s c a l e s . I n t h o s e c a s e s w h e r e i t i s n o t c l e a r i n a d v a n c e w h i c h i s t h e r i g h t s c a l e f o r t h e

d e p i c t e d i n f o r m a t i o n i t i s d e s i r a b l e t o h a v e a n i m a g e r e p r e s e n t a t i o n a t m u l t i p l e

s c a l e s . M o r e o v e r , b y c o m p a r i n g t h e s t r u c t u r e s a t d i e r e n t s c a l e s , o n e o b t a i n s a

h i e r a r c h y o f i m a g e s t r u c t u r e s , w h i c h e a s e s a s u b s e q u e n t i m a g e i n t e r p r e t a t i o n .

A s c a l e - s p a c e i s a n i m a g e r e p r e s e n t a t i o n a t a c o n t i n u u m o f s c a l e s , e m b e d d i n g

t h e i m a g e f i n t o a f a m i l y f T

t

f j t 0 g o f g r a d u a l l y s i m p l i e d v e r s i o n s o f i t , p r o -

v i d e d t h a t i t f u l l s c e r t a i n a r c h i t e c t u r a l , s m o o t h i n g a n d i n v a r i a n c e r e q u i r e m e n t s

w h i c h w e s h a l l s k e t c h b r i e y b e l o w . F o r m o r e d e t a i l s t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o 1 1 ]

f r o m w h i c h m o s t o f t h e f o l l o w i n g n o m e n c l a t u r e i s b o r r o w e d .

A n i m p o r t a n t a r c h i t e c t u r a l a s s u m p t i o n i s r e c u r s i v i t y , i . e . f o r t = 0 ; t h e s c a l e -

s p a c e r e p r e s e n t a t i o n g i v e s t h e o r i g i n a l i m a g e f , a n d t h e l t e r i n g m a y b e s p l i t i n t o

a s e q u e n c e o f l t e r b a n k s :

T

0

f = f ; ( 1 . 1 6 )

T

t + s

f = T

t

( T

s

f ) 8 s ; t 0 : ( 1 . 1 7 )

T h i s p r o p e r t y i s a l s o s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s t h e s e m i g r o u p p r o p e r t y . O t h e r

a r c h i t e c t u r a l a x i o m s r e q u i r e r e g u l a r i t y p r o p e r t i e s o f T

t

a n d l o c a l b e h a v i o u r a s t

t e n d s t o 0 .

I n f o r m a t i o n r e d u c t i o n a r i s e s f r o m t h e w i s h t h a t t h e s m o o t h i n g t r a n s f o r m a t i o n

s h o u l d n o t c r e a t e a r t e f a c t s w h e n p a s s i n g f r o m n e t o c o a r s e r e p r e s e n t a t i o n . T h u s ,

a t a c o a r s e s c a l e , w e m u s t n o t h a v e a d d i t i o n a l s t r u c t u r e s w h i c h a r e c a u s e d b y

t h e l t e r i n g m e t h o d i t s e l f a n d n o t b y u n d e r l y i n g s t r u c t u r e s a t n e r s c a l e s . T h i s

p r o p e r t y i s s p e c i e d b y n u m e r o u s a u t h o r s i n d i e r e n t w a y s , u s i n g c o n c e p t s s u c h a s

n o c r e a t i o n o f n e w l e v e l c u r v e s 1 4 3 , 1 2 4 , 1 5 0 ] , n o n e n h a n c e m e n t o f l o c a l e x t r e m a

2 4 , 1 5 0 ] , d e c r e a s i n g n u m b e r o f l o c a l e x t r e m a 1 5 0 ] , m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e

1 2 4 , 1 9 2 ] , a n d c o m p a r i s o n p r i n c i p l e 1 1 ] .

W e m a y r e g a r d a n i m a g e a s a r e p r e s e n t a t i v e o f a n e q i v a l e n c e c l a s s c o n t a i n i n g

a l l i m a g e s t h a t d e p i c t t h e s a m e o b j e c t . T w o i m a g e s o f t h i s c l a s s d i e r e . g . b y g r e y -

l e v e l s h i f t s , t r a n s l a t i o n s a n d r o t a t i o n s o r e v e n m o r e c o m p l i c a t e d t r a n s f o r m a t i o n s

s u c h a s a n e m a p p i n g s . T h i s m a k e s t h e r e q u i r e m e n t p l a u s i b l e t h a t t h e s c a l e -




s p a c e a n a l y s i s s h o u l d b e i n v a r i a n t t o a s m a n y o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s a s p o s s i b l e ,

i n o r d e r t o a n a l y s e o n l y t h e d e p i c t e d o b j e c t 1 5 ] .

T h e w o r k o f A l v a r e z , G u i c h a r d , L i o n s a n d M o r e l ( 1 1 ] , s e e a l s o 8 ] ) s h o w s t h a t

e v e r y s c a l e - s p a c e f u l l l i n g s o m e f a i r l y n a t u r a l a r c h i t e c t u r a l , i n f o r m a t i o n - r e d u c i n g

a n d i n v a r i a n c e p r o p e r t i e s i s g o v e r n e d b y a P D E w i t h t h e o r i g i n a l i m a g e a s i n i t i a l

c o n d i t i o n .

G a u s s i a n s c a l e - s p a c e

T h e b e s t i n v e s t i g a t e d e x a m p l e o f a s c a l e - s p a c e i s t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e , w h i c h

i s o b t a i n e d v i a c o n v o l u t i o n w i t h G a u s s i a n s o f i n c r e a s i n g v a r i a n c e 2 6 3 ] , o r { e q u i v -

a l e n t l y { b y l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g a c c o r d i n g t o ( 1 . 9 ) , ( 1 . 1 0 ) . N u m e r o u s t h e o -

r e t i c a l r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h i s i s t h e o n l y \ r e a s o n a b l e " w a y t o d e n e a l i n e a r

s c a l e - s p a c e :

K o e n d e r i n k 1 4 3 ] d e r i v e d t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e i n o n e a n d t w o d i m e n -

s i o n s a s t h e u n i q u e t r a n s f o r m a t i o n t h a t ( a ) d o e s n o t c r e a t e n e w l e v e l c u r v e s

w h e n i n c r e a s i n g t h e s c a l e p a r a m e t e r a n d ( b ) t r e a t s a l l s p a t i a l p o i n t s a n d

s c a l e l e v e l s e q u a l l y . H e n a m e d t h e r s t r e q u i r e m e n t c a u s a l i t y a n d t h e s e c -

o n d o n e h o m o g e n e i t y a n d i s o t r o p y . Y u i l l e a n d P o g g i o 2 6 8 ] c a m e t o s i m i l a r

r e s u l t s b a s e d o n a s s u m p t i o n s c o n c e r n i n g t h e z e r o - c r o s s i n g s o f t h e L a p l a c i a n .

I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e , B a b a u d e t a l . 2 4 ] s h o w e d t h a t t h e G a u s s i a n

i s t h e u n i q u e k e r n e l f u l l l i n g s o m e n a t u r a l c o n s t r a i n t s s u c h a s s y m m e t r y ,

n o r m a l i z a t i o n , a n d n o n e n h a n c e m e n t o f l o c a l e x t r e m a .

L i n d e b e r g 1 5 0 ] d e r i v e d t h e o n e - d i m e n s i o n a l G a u s s i a n s c a l e - s p a c e b y c o m -

b i n i n g t h e r e q u i r e m e n t o f n o t i n t r o d u c i n g n e w l o c a l e x t r e m a w i t h t h e s e m i -

g r o u p p r o p e r t y a n d n o r m a l i z a t i o n a n d s y m m m e t r y a s s u m p t i o n s o n t h e k e r -

n e l .

T h e u n i q u e n e s s o f t h e G a u s s i a n k e r n e l a n d t h e G a u s s i a n d e r i v a t i v e s c a n

a l s o b e e s t a b l i s h e d f r o m l i n e a r i t y , i s o t r o p y a n d s p a t i a l s h i f t i n v a r i a n c e c o n -

s t r a i n t s i n c o n n e c t i o n w i t h s c a l e i n v a r i a n c e , s e e t e r H a a r R o m e n y e t a l .

1 1 4 ] . T h i s h o l d s f o r a n y d i m e n s i o n .

A l v a r e z e t a l . 1 1 ] p r o v e d t h a t t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e i s t h e o n l y l i n -

e a r t r a n s f o r m a t i o n f u l l l i n g a s e m i g r o u p , l o c a l i t y a n d r e g u l a r i t y a x i o m a s

w e l l a s a m o n o t o n y r e q u i r e m e n t ( c o m p a r i s o n p r i n c i p l e ) a n d i n v a r i a n c e w i t h

r e s p e c t t o g r e y l e v e l s h i f t s a n d E u c l i d e a n t r a n s f o r m a t i o n s .

A v e r y d e t a i l e d t r e a t m e n t o f l i n e a r s c a l e - s p a c e t h e o r y c a n b e f o u n d i n t h e m o n o -

g r a p h b y L i n d e b e r g 1 5 1 ] .




1 . 1 . 4 N u m e r i c a l a s p e c t s

T h e p r e c e d i n g t h e o r y i s e n t i r e l y c o n t i n u o u s . H o w e v e r , i n p r a c t i c a l p r o b l e m s , t h e

i m a g e i s s a m p l e d a t t h e n o d e s ( p i x e l s ) o f a x e d e q u i d i s t a n t g r i d . T h u s , t h e

d i u s i o n l t e r h a s t o b e d i s c r e t i z e d .

B y v i r t u e o f t h e e q u i v a l e n c e o f s o l v i n g t h e l i n e a r d i u s i o n e q u a t i o n a n d c o n -

v o l v i n g w i t h a G a u s s i a n , w e c a n e i t h e r a p p r o x i m a t e t h e c o n v o l u t i o n p r o c e s s o r

t h e d i u s i o n e q u a t i o n .

L e t u s s t a r t w i t h c o n v o l u t i o n - b a s e d m e t h o d s . W h e n r e s t r i c t i n g t h e i m a g e t o a

n i t e d o m a i n a n d a p p l y i n g t h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m a t i o n ( F F T ) , c o n v o l u t i o n

i n t h e s p a t i a l d o m a i n c a n b e r e d u c e d t o m u l t i p l i c a t i o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n ,

c f . ( 1 . 7 ) . D u e t o t h e o v e r h e a d o f t r a n s f o r m a t i o n a n d b a c k t r a n s f o r m a t i o n , t h i s

p r o c e e d i n g i s e s p e c i a l l y e c i e n t i f t h e k e r n e l s i z e i s l a r g e .

W h e n c a r r y i n g o u t t h e c o n v o l u t i o n i n t h e s p a t i a l d o m a i n , t h e G a u s s i a n k e r n e l

h a s t o b e s a m p l e d a n d t r u n c a t e d . A l t h o u g h t h i s t e c h n i q u e i s f r e q u e n t l y u s e d ,

i t h a s t h e d r a w b a c k t h a t i t d o e s n o t p r e s e r v e t h e s e m i g r o u p p r o p e r t y o f t h e

c o n t i n u o u s G a u s s i a n s c a l e - s p a c e 1 5 0 ] .

L i n d e b e r g 1 5 0 ] h a s d e v e l o p e d a l i n e a r s c a l e - s p a c e t h e o r y f o r t h e s e m i d i s c r e t e

1

c a s e . H e p r o v e d t h a t t h e d i s c r e t e a n a l o g u e o f t h e G a u s s i a n k e r n e l i s g i v e n i n t e r m s

o f m o d i e d B e s s e l f u n c t i o n s o f i n t e g e r o r d e r . S i n c e t h i s s c a l e - s p a c e f a m i l y a r i s e s

n a t u r a l l y f r o m a s e m i d i s c r e t i z e d v e r s i o n o f t h e d i u s i o n e q u a t i o n , h e c o n c l u d e s

t h a t a p p r o x i m a t i n g t h e d i u s i o n e q u a t i o n s h o u l d b e p r e f e r r e d t o d i s c r e t i z i n g t h e

c o n v o l u t i o n i n t e g r a l .

A m o n g t h e n u m e r o u s n u m e r i c a l p o s s i b i l i t i e s t o a p p r o x i m a t e t h e l i n e a r d i f -

f u s i o n e q u a t i o n , n i t e d i e r e n c e ( F D ) s c h e m e s d o m i n a t e t h e e l d . E x c e p t f o r a

f e w i m p l i c i t a p p r o a c h e s 1 0 8 , 4 8 , 4 9 ] , e x p l i c i t s c h e m e s a r e m a i n l y u s e d . A v e r y

e c i e n t a p p r o x i m a t i o n o f t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e r e s u l t s f r o m a p p l y i n g m u l t i -

g r i d i d e a s . T h e G a u s s i a n p y r a m i d 4 7 ] g i v e s a m u l t i l e v e l r e p r e s e n t a t i o n a t n i t e l y

m a n y s c a l e s o f d i e r e n t r e s o l u t i o n . B y s u b s e q u e n t l y s m o o t h i n g t h e i m a g e w i t h a n

e x p l i c i t s c h e m e f o r t h e d i u s i o n e q u a t i o n a n d r e s t r i c t i n g t h e r e s u l t t o a c o a r s e r

g r i d , o n e o b t a i n s a s i m p l i e d i m a g e r e p r e s e n t a t i o n a t t h e n e x t c o a r s e r g r i d . D u e t o

t h e i r s i m p l i c i t y a n d e c i e n c y , p y r a m i d d e c o m p o s i t i o n s a r e m e a n w h i l e i n t e g r a t e d

i n t o c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e h a r d w a r e ( 1 5 1 ] , p . 3 8 ) .

1 . 1 . 5 S h o r t c o m i n g s

I n s p i t e o f i t s m u l t i t u d e o f p r o p e r t i e s t h a t m a k e l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g u n i q u e

a n d e a s y t o h a n d l e , i t r e v e a l s s e v e r a l d r a w b a c k s :

( a ) A n o b v i o u s d i s a d v a n t a g e o f G a u s s i a n s m o o t h i n g i s t h e f a c t t h a t i t d o e s

n o t o n l y s m o o t h n o i s e , b u t a l s o b l u r s i m p o r t a n t f e a t u r e s s u c h a s e d g e s

1

B y s e m i d i s c r e t e w e m e a n d i s c r e t e i n s p a c e a n d c o n t i n u o u s i n t i m e t h r o u g h o u t t h i s w o r k .




a n d m a k e s t h e m h a r d e r t o i d e n t i f y . T h i s e q u a t i o n c a n n o t c o m p r i s e a n y

a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o n s t r u c t u r e s w h i c h a r e w o r t h b e i n g p r e s e r v e d ( o r

e v e n e n h a n c e d ) .

( b ) L i n e a r d i u s i o n l t e r i n g d i s l o c a t e s e d g e s w h e n m o v i n g f r o m n e r t o c o a r s e r

s c a l e s , s e e e . g . W i t k i n 2 6 3 ] . S o s t r u c t u r e s w h i c h a r e i d e n t i e d a t a c o a r s e

s c a l e d o n o t g i v e t h e r i g h t l o c a t i o n a n d h a v e t o b e t r a c e d b a c k t o t h e o r i g i n a l

i m a g e 2 6 3 , 2 9 ] . I n p r a c t i s e , r e l a t i n g d i s l o c a t e d i n f o r m a t i o n o b t a i n e d a t

d i e r e n t s c a l e s i s d i c u l t a n d g i v e s r i s e t o i n s t a b i l i t i e s , u n l e s s t h e s t e p

s i z e b e t w e e n s u b s e q u e n t s c a l e s i s v e r y s m a l l . T h e s e c o a r s e - t o - n e t r a c k i n g

d i c u l t i e s a r e g e n e r a l l y d e n o t e d a s t h e c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m .

( c ) S o m e c a u s a l i t y p r o p e r t i e s o f G a u s s i a n s c a l e - s p a c e d o n o t h o l d f o r d i m e n -

s i o n s l a r g e r t h a n o n e : A c l o s e d z e r o - c r o s s i n g c o n t o u r c a n s p l i t i n t o t w o a s

t h e s c a l e i n c r e a s e s 2 6 8 ] , a n d i t i s g e n e r a l l y n o t t r u e t h a t t h e n u m b e r o f l o -

c a l e x t r e m a i s n o n i n c r e a s i n g , s e e 1 4 9 , 1 5 0 ] f o r i l l u s t r a t i v e c o u n t e r e x a m p l e s .

A d e e p m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f s u c h p h e n o m e n a h a s b e e n c a r r i e d o u t b y

D a m o n 6 9 ] .

D u e t o t h e u n i q u e n e s s o f t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e w i t h i n a l i n e a r f r a m e w o r k

w e k n o w t h a t a n y m o d i c a t i o n i n o r d e r t o o v e r c o m e t h e s e p r o b l e m s w i l l e i t h e r

r e n o u n c e l i n e a r i t y o r s o m e s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s . W e s h a l l s e e t h a t t h e s h o r t -

c o m i n g s ( a ) a n d ( b ) c a n b e a v o i d e d b y n o n l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s e s , w h i l e ( c )

r e q u i r e s m o r p h o l o g i c a l e q u a t i o n s .

B e f o r e w e t u r n o u r a t t e n t i o n t o t h o s e p r o c e s s e s , l e t u s r s t i n v e s t i g a t e a

l i n e a r m o d i c a t i o n w h i c h h a s n o s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n a n y m o r e , b u t a l l o w s

t o i n c l u d e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i n t o t h e e v o l u t i o n .

1 . 1 . 6 D i r e c t e d d i u s i o n

P r o v i d e d w e a r e g i v e n s o m e b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n i n f o r m o f a s m o o t h i m a g e

b , i t h a s b e e n s h o w n b y I l l n e r a n d N e u n z e r t 1 2 7 ] , t h a t u n d e r s o m e t e c h n i c a l

r e q u i r e m e n t s a n d s u i t a b l e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n u o f

@

t

u = b u ? u b ; ( 1 . 1 8 )

u ( x ; 0 ) = f ( x ) ( 1 . 1 9 )

c o n v e r g e s t o b a l o n g a p a t h w h e r e t h e r e l a t i v e e n t r o p y w i t h r e s p e c t t o b i n c r e a s e s

i n a m o n o t o n e w a y . N u m e r i c a l e x p e r i m e n t s h a v e b e e n c a r r i e d o u t b y G i u l i a n i

1 0 1 ] , a n d a n a n a l y s i s i n t e r m s o f n o n s m o o t h b a n d w e a k s o l u t i o n s i s d u e t o I l l n e r

a n d T i e 1 2 8 ] .

S u c h a d i r e c t e d d i u s i o n p r o c e s s r e q u i r e s t o s p e c i f y a n e n t i r e i m a g e a s b a c k -

g r o u n d i n f o r m a t i o n i n a d v a n c e ; i n m a n y a p p l i c a t i o n s i t w o u l d b e d e s i r a b l e t o



1 0 C H A P T E R 1 . P A R T I A L D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S

i n c l u d e a p r i o r i k n o w l e d g e i n a l e s s s p e c i c w a y , e . g . b y p r e s c r i b i n g t h a t f e a t u r e s

w i t h i n a c e r t a i n c o n t r a s t a n d s c a l e r a n g e a r e c o n s i d e r e d t o b e s e m a n t i c a l l y i m -

p o r t a n t a n d p r o c e s s e d d i e r e n t l y . S u c h d e m a n d s c a n b e s a t i s e d b y n o n l i n e a r

d i u s i o n l t e r s .

1 . 2 N o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g

A d a p t i v e s m o o t h i n g m e t h o d s a r e b a s e d o n t h e i d e a t o a p p l y a p r o c e s s w h i c h

i t s e l f d e p e n d s o n l o c a l p r o p e r t i e s o f t h e i m a g e . A l t h o u g h t h i s c o n c e p t i s w e l l -

k n o w n i n t h e i m a g e p r o c e s s i n g c o m m u n i t y ( s e e 2 0 9 ] a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n

f o r a n o v e r v i e w ) , a c o r r e s p o n d i n g P D E f o r m u l a t i o n w a s r s t g i v e n b y P e r o n a

a n d M a l i k 1 9 0 ] i n 1 9 8 7 . W e s h a l l d i s c u s s t h i s m o d e l i n d e t a i l , e s p e c i a l l y i t s i l l -

p o s e d n e s s a s p e c t s . T h i s g i v e s r i s e t o s t u d y r e g u l a r i z a t i o n s . T h e s e t e c h n i q u e s c a n

b e e x t e n d e d t o t r u e a n i s o t r o p i c p r o c e s s e s w h i c h m a k e u s e o f a n a d a p t e d d i u s i o n

t e n s o r i n s t e a d o f a s c a l a r d i u s i v i t y .

1 . 2 . 1 T h e P e r o n a { M a l i k m o d e l

B a s i c i d e a

P e r o n a a n d M a l i k p r o p o s e a n o n l i n e a r d i u s i o n m e t h o d f o r a v o i d i n g t h e b l u r r i n g

a n d l o c a l i z a t i o n p r o b l e m s o f l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g 1 9 0 , 1 9 2 ] . T h e y a p p l y a

n o n u n i f o r m p r o c e s s ( w h i c h t h e y n a m e a n i s o t r o p i c ) t h a t r e d u c e s t h e d i u s i v i t y

a t t h o s e l o c a t i o n s h a v i n g a l a r g e r l i k e l i h o o d t o b e e d g e s . T h i s l i k e l i h o o d c a n b e

m e a s u r e d b y j r u j

2

: H e n c e , t h e y u s e

2

@

t

u = d i v ( g ( j r u j

2

) r u ) : ( 1 . 2 0 )

A m o n g t h e d i u s i v i t i e s t h e y p r o p o s e i s

g ( s

2

) =

1

1 + s

2

=

2

( > 0 ) : ( 1 . 2 1 )

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t { i n o u r t e r m i n o l o g y { t h e P e r o n a { M a l i k l t e r i s r e -

g a r d e d a s a n i s o t r o p i c m o d e l , s i n c e i t u t i l i z e s a s c a l a r - v a l u e d d i u s i v i t y a n d n o t

a d i u s i o n t e n s o r .

I n t e r e s t i n g l y , t h e r e e x i s t s a r e l a t i o n b e t w e e n ( 1 . 2 0 ) a n d t h e n e u r a l d y n a m i c s

o f b r i g h t n e s s p e r c e p t i o n : I n 1 9 8 4 C o h e n a n d G r o s s b e r g 6 3 ] p r o p o s e d a m o d e l o f

t h e p r i m a r y v i s u a l c o r t e x w i t h s i m i l a r i n h i b i t i o n e e c t s a s i n t h e P e r o n a { M a l i k

m o d e l .

2

S i n c e w e w a n t t h e e d g e e s t i m a t o r t o d e p e n d s m o o t h l y o n r u , w e c o n s i d e r j r u j

2

i n s t e a d o f

j r u j .



1 . 2 N O N L I N E A R D I F F U S I O N F I L T E R I N G 1 1

0

1

0 lambda

diffusivity

0

0.6

0 lambda

flux function

F i g u r e 1 . 1 : ( a ) L e f t : D i u s i v i t y g ( s

2

) =

1

1 + s

2

=

2

: ( b ) R i g h t : F l u x f u n c t i o n

( s ) =

s

1 + s

2

=

2

.

T h e e x p e r i m e n t s o f P e r o n a a n d M a l i k w e r e v i s u a l l y v e r y i m p r e s s i v e : e d g e s

r e m a i n e d s t a b l e o v e r a v e r y l o n g t i m e . I t w a s d e m o n s t r a t e d 1 9 2 ] t h a t e d g e d e -

t e c t i o n b a s e d o n t h i s p r o c e s s c l e a r l y o u t p e r f o r m s t h e l i n e a r C a n n y e d g e d e t e c t o r ,

e v e n w i t h o u t a p p l y i n g n o n - m a x i m u m s u p p r e s s i o n a n d h y s t e r e s i s t h r e s h o l d i n g .

T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t d i u s i o n a n d e d g e d e t e c t i o n i n t e r a c t i n o n e s i n g l e

p r o c e s s i n s t e a d o f b e i n g t r e a t e d a s t w o i n d e p e n d e n t p r o c e s s e s w h i c h a r e t o b e

a p p l i e d s u b s e q u e n t l y .

M o r e o v e r , t h e r e i s a n o t h e r r e a s o n f o r t h e i m p r e s s i v e b e h a v i o u r a t e d g e s , w h i c h

w e s h a l l d i s c u s s n e x t .

E d g e e n h a n c e m e n t

T o s t u d y t h e b e h a v i o u r o f t h e P e r o n a { M a l i k l t e r a t e d g e s , l e t u s f o r a m o m e n t

r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . T h i s s i m p l i e s t h e n o t a t i o n a n d

i l l u s t r a t e s t h e m a i n b e h a v i o u r , s i n c e n e a r a s t r a i g h t e d g e a t w o - d i m e n s i o n a l i m a g e

a p p r o x i m a t e s a f u n c t i o n o f o n e v a r i a b l e .

F o r t h e d i u s i v i t y ( 1 . 2 1 ) i t f o l l o w s t h a t t h e u x f u n c t i o n ( s ) : = s g ( s

2

)

s a t i s e s

0

( s ) 0 f o r j s j ; a n d

0

( s ) < 0 f o r j s j > ; s e e F i g u r e 1 . 1 . S i n c e

( 1 . 2 0 ) c a n b e r e w r i t t e n a s

@

t

u =

0

( u

x

) u

x x

; ( 1 . 2 2 )

w e o b s e r v e t h a t { i n s p i t e o f i t s n o n n e g a t i v e d i u s i v i t y { t h e P e r o n a { M a l i k m o d e l

i s o f f o r w a r d p a r a b o l i c t y p e f o r j u

x

j ; a n d o f b a c k w a r d p a r a b o l i c t y p e f o r

j u

x

j > : H e n c e , p l a y s t h e r o l e o f a c o n t r a s t p a r a m e t e r s e p a r a t i n g f o r w a r d ( l o w

c o n t r a s t ) f r o m b a c k w a r d ( h i g h c o n t r a s t ) d i u s i o n a r e a s .

I t i s n o t h a r d t o v e r i f y t h a t t h e P e r o n a { M a l i k l t e r i n c r e a s e s t h e s l o p e a t

i n e c t i o n p o i n t s o f e d g e s w i t h i n a b a c k w a r d a r e a : I f t h e r e e x i s t s a s u c i e n t l y




s m o o t h s o l u t i o n u i t s a t i s e s

@

t

( u

2

x

) = 2 u

x

@

x

( u

t

) = 2

0 0

( u

x

) u

x

u

2

x x

+ 2

0

( u

x

) u

x

u

x x x

: ( 1 . 2 3 )

A l o c a t i o n x

0

w h e r e u

2

x

i s m a x i m a l a t s o m e t i m e t i s c h a r a c t e r i z e d b y u

x

u

x x

= 0

a n d u

x

u

x x x

0 : T h e r e f o r e ,

( @

t

( u

2

x

) ) ( x

0

; t ) 0 f o r j u

x

( x

0

; t ) j > ( 1 . 2 4 )

w i t h s t r i c t i n e q u a l i t y f o r u

x

u

x x x

< 0 :

I n t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e , ( 1 . 2 2 ) i s r e p l a c e d b y 1 1 , 2 6 7 ]

@

t

u =

0

(

r u ) u

+ g (

j r u

j

2

) u

( 1 . 2 5 )

w h e r e t h e g a u g e c o o r d i n a t e s a n d d e n o t e t h e d i r e c t i o n s p e r p e n d i c u l a r a n d

p a r a l l e l t o r u , r e s p e c t i v e l y . H e n c e , w e h a v e f o r w a r d d i u s i o n a l o n g i s o p h o t e s

( i . e . l i n e s o f c o n s t a n t g r e y v a l u e ) c o m b i n e d w i t h f o r w a r d { b a c k w a r d d i u s i o n a l o n g

o w l i n e s ( l i n e s o f m a x i m a l g r e y v a l u e v a r i a t i o n ) .

W e o b s e r v e t h a t t h e f o r w a r d { b a c k w a r d d i u s i o n b e h a v i o u r i s n o t o n l y r e -

s t r i c t e d t o t h e s p e c i a l d i u s i v i t y ( 1 . 2 1 ) , i t a p p e a r s f o r a l l d i u s i v i t i e s g ( s

2

)

w h o s e r a p i d d e c a y c a u s e s n o n - m o n o t o n e u x f u n c t i o n s ( s ) = s g ( s

2

) : S u c h d i f -

f u s i v i t i e s a r e e x p l i c i t l y i n t e n d e d i n t h e P e r o n a { M a l i k m e t h o d , a s t h e y g i v e t h e

d e s i r a b l e r e s u l t o f b l u r r i n g s m a l l u c t u a t i o n s a n d s h a r p e n i n g e d g e s . T h e r e f o r e ,

t h e y a r e t h e m a i n r e a s o n f o r t h e v i s u a l l y i m p r e s s i v e r e s u l t s o f t h i s r e s t o r a t i o n

t e c h n i q u e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e y l e a d t o s e v e r e t h e o r e t i c a l p r o b l e m s , w h i c h w e

s h a l l d i s c u s s n o w .

I l l - p o s e d n e s s

A l t h o u g h t h e r e i s n o g e n e r a l t h e o r y f o r n o n l i n e a r p a r a b o l i c p r o c e s s e s , t h e r e e x i s t

c e r t a i n f r a m e w o r k s w h i c h a l l o w t o e s t a b l i s h w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s f o r a l a r g e

c l a s s o f e q u a t i o n s . L e t u s r e c a l l t h r e e e x a m p l e s :

L e t S ( N ) d e n o t e t h e s e t o f s y m m e t r i c N N m a t r i c e s a n d H e s s ( u ) t h e

H e s s i a n o f u . C l a s s i c a l d i e r e n t i a l i n e q u a l i t y t e c h n i q u e s 2 4 4 ] b a s e d o n t h e

N a g u m o { W e s t p h a l l e m m a r e q u i r e t h a t t h e u n d e r l y i n g n o n l i n e a r e v o l u t i o n

e q u a t i o n

@

t

u = F ( t ; x ; u ; r u ; H e s s ( u ) ) ( 1 . 2 6 )

s a t i s e s

F ( t ; x ; r ; p ; Y ) F ( t ; x ; r ; p ; X ) ( 1 . 2 7 )

f o r a l l X ; Y 2 S ( 2 ) w h e r e Y ? X i s p o s i t i v e s e m i d e n i t e .




T h e s a m e r e q u i r e m e n t i s n e e d e d f o r a p p l y i n g t h e t h e o r y o f v i s c o s i t y s o l u -

t i o n s 6 8 ] .

L e t H b e a H i l b e r t s p a c e w i t h s c a l a r p r o d u c t ( : ; : ) a n d A : H ! H .

I n o r d e r t o a p p l y t h e c o n c e p t o f m a x i m a l m o n o t o n e o p e r a t o r s 3 9 ] t o t h e

p r o b l e m

d u

d t

+ A u = 0 ; ( 1 . 2 8 )

u ( 0 ) = f ( 1 . 2 9 )

o n e h a s t o e n s u r e t h a t A i s m o n o t o n e , i . e .

( A u ? A v ; u ? v ) 0 8 u ; v 2 H : ( 1 . 3 0 )

W e o b s e r v e t h a t t h e n o n m o n o t o n e u x f u n c t i o n o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s i m -

p l i e s t h a t n e i t h e r ( 1 . 2 7 ) i s s a t i s e d n o r A d e n e d b y A u : = ? d i v ( g ( j r u j

2

) r u )

i s m o n o t o n e . T h e r e f o r e , n o n e o f t h e s e f r a m e w o r k s i s a p p l i c a b l e t o e n s u r e w e l l -

p o s e d n e s s r e s u l t s .

A l t h o u g h f o r g e n e r a l s m o o t h n o n m o n o t o n e t h e e x i s t e n c e q u e s t i o n i s n o t

s e t t l e d 1 2 2 ] , H o l l i g 1 2 1 ] h a s p r o v e d t h a t i f i s p i e c e w i s e l i n e a r , d e c r e a s i n g i n a

b o u n d e d i n t e r v a l , a n d i n c r e a s i n g e l s e w h e r e , t h e r e e x i s t i n i t i a l f u n c t i o n s f o r w h i c h

t h e c o r r e s p o n d i n g i n i t i a l v a l u e p r o b l e m h a s i n n i t e l y m a n y s o l u t i o n s .

T h e c u r r e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s m a k e s i t r a t h e r u n -

l i k e l y t h a t i t p o s s e s s e s s m o o t h s o l u t i o n s , b u t i t s e e m s t o b e p o s s i b l e t h a t t h i s

e q u a t i o n a d m i t s w e a k s o l u t i o n s . U n i q u e n e s s a n d s t a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o t h e

i n i t i a l i m a g e s h o u l d n o t b e e x p e c t e d 5 8 , 1 9 3 ] .

I n t e r e s t i n g l y , s u c h f o r w a r d { b a c k w a r d d i u s i o n e q u a t i o n s a r e n o t a s u n n a t u r a l

a s t h e y l o o k a t r s t g l a n c e : t h e y h a v e b e e n p r o p o s e d a s a m a t h e m a t i c a l m o d e l

f o r h e a t a n d m a s s t r a n s f e r i n a s t a b l y s t r a t i e d t u r b u l e n t s h e a r o w t o e x p l a i n

t h e e v o l u t i o n o f s t e p w i s e c o n s t a n t t e m p e r a t u r e o r s a l i n i t y p r o l e s i n t h e o c e a n

( a l t h o u g h t h e w e l l - p o s e d n e s s q u e s t i o n w a s u s u a l l y c i r c u m v e n t e d ) . R e l a t e d e q u a -

t i o n s a l s o p l a y a r o l e i n p o p u l a t i o n d y n a m i c s a n d v i s c o e l a s i t i c i t y , s e e 2 7 ] a n d t h e

r e f e r e n c e s t h e r e i n .

I n t h e c o n t e x t o f o c e a n o g r a p h y , n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s w e r e c a r r i e d o u t b y

P o s m e n t i e r 1 9 6 ] i n 1 9 7 7 . S t a r t i n g f r o m a s m o o t h l y i n c r e a s i n g i n i t i a l d i s t r i b u t i o n

h e r e p o r t e d t h e c r e a t i o n o f p e r t u r b a t i o n s w h i c h l e d t o a s t e p w i s e c o n s t a n t s a l i n i t y

p r o l e a f t e r s o m e t i m e . H e a l s o o b s e r v e d i n s t a b i l i t i e s , a r s t e x p e r i m e n t a l h i n t

t o t h e i l l - p o s e d n e s s o f t h i s e q u a t i o n . I n s t a b i l i t i e s w e r e a l s o r e p o r t e d l a t e r o n b y

D z h u M a g a z i e w a 7 8 ] .

I n i m a g e p r o c e s s i n g , n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o n t h e i l l - p o s e d n e s s o f t h e o n e -

d i m e n s i o n a l P e r o n a { M a l i k l t e r w e r e p e r f o r m e d b y N i t z b e r g a n d S h i o t a 1 8 1 ] ,




F r o h l i c h a n d W e i c k e r t 9 2 ] , a n d B e n h a m o u d a 2 8 ] . A l l r e s u l t s p o i n t i n t h e s a m e

d i r e c t i o n : t h e s o l u t i o n d e p e n d s s t r o n g l y o n t h e r e g u l a r i z i n g e e c t o f t h e d i s -

c r e t i z a t i o n . F i n e r d i s c r e t i z a t i o n s a r e l e s s r e g u l a r i z i n g a n d r e v e a l a l a r g e r d a n g e r

o f s t a i r c a s i n g e e c t s , w h e r e t h e n u m b e r o f i n e c t i o n p o i n t s o f a s m o o t h e d s t e p

e d g e i n c r e a s e s .

S c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n

P e r o n a a n d M a l i k r e n o u n c e d t h e a s s u m p t i o n o f K o e n d e r i n k ' s l i n e a r s c a l e - s p a c e

a x i o m a t i c 1 4 3 ] t h a t t h e s m o o t h i n g t r e a t s a l l s p a t i a l p o i n t s a n d s c a l e l e v e l s

e q u a l l y . I n s t e a d o f t h i s , t h e y r e q u i r e d t h a t r e g i o n b o u n d a r i e s s h o u l d b e s h a r p

a n d s h o u l d c o i n c i d e w i t h t h e s e m a n t i c a l l y m e a n i n g f u l b o u n d a r i e s a t e a c h r e s o -

l u t i o n l e v e l ( i m m e d i a t e l o c a l i z a t i o n ) a n d t h a t i n t r a - r e g i o n s m o o t h i n g s h o u l d b e

p r e f e r r e d t o i n t e r - r e g i o n s m o o t h i n g ( p i e c e w i s e s m o o t h i n g ) . T h e s e p r o p e r t i e s a r e

o f s i g n i c a n t p r a c t i c a l i n t e r e s t , a s t h e y g u a r a n t e e t h a t s t r u c t u r e s c a n b e d e t e c t e d

e a s i l y a n d c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m s c a n b e n e g l e c t e d . T h e i r e x p e r i m e n t s d e m o n -

s t r a t e d t h a t t h e P e r o n a { M a l i k l t e r s a t i s e s t h e s e r e q u i r e m e n t s f a i r l y w e l l 1 9 2 ] .

I n o r d e r t o e s t a b l i s h a s m o o t h i n g s c a l e - s p a c e p r o p e r t y f o r t h i s n o n l i n e a r d i f -

f u s i o n p r o c e s s , i t w a s a r g u e d t h a t t h e P e r o n a { M a l i k l t e r s a t i s e s a m a x i m u m {

m i n i m u m p r i n c i p l e , p r o v i d e d t h a t i t p o s s e s s e s C

2

s o l u t i o n s 1 9 2 ] . H o w e v e r , t h i s

s c a l e - s p a c e r e a s o n i n g i s n o t v e r y s a t i s f a c t o r y s i n c e i t i s u n l i k e l y t h a t t h e P e r o n a {

M a l i k l t e r e x h i b i t s s m o o t h s o l u t i o n s .

A s a n a l t e r n a t i v e t o c o n s t r u c t n o n l i n e a r d i u s i o n s c a l e - s p a c e s , S a l d e n 2 1 0 ] ,

F l o r a c k 8 8 , 9 0 ] a n d E b e r l y 7 9 ] p r o p o s e t o c a r r y o v e r t h e l i n e a r s c a l e - s p a c e t h e o r y

t o t h e n o n l i n e a r c a s e b y c o n s i d e r i n g n o n l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s e s w h i c h r e s u l t

f r o m s p e c i a l r e s c a l i n g s o f t h e l i n e a r o n e .

3

U n f o r t u n a t e l y , t h e P e r o n a { M a l i k l t e r

t u r n s o u t n o t t o b e l o n g t o t h i s c l a s s 8 8 , 9 0 ] .

A l v a r e z , G u i c h a r d , L i o n s a n d M o r e l 1 1 ] h a v e d e v e l o p e d a n o n l i n e a r s c a l e -

s p a c e a x i o m a t i c w h i c h c o m p r i s e s t h e l i n e a r s c a l e - s p a c e t h e o r y a s w e l l a s n o n l i n e a r

m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s ( w h i c h w e w i l l d i s c u s s i n 1 . 4 a n d 1 . 5 ) . T h e i r s m o o t h i n g

a x i o m i s a m o n o t o n y a s s u m p t i o n ( c o m p a r i s o n p r i n c i p l e ) r e q u i r i n g t h a t t h e s c a l e -

s p a c e i s o r d e r - p r e s e r v i n g :

f g = ) T

t

f T

t

g 8 t 0 : ( 1 . 3 1 )

T h i s p r o p e r t y i s c l o s e l y r e l a t e d t o a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e a n d t o L

1

-

s t a b i l i t y o f t h e s o l u t i o n 1 1 , 1 5 5 ] . H o w e v e r , t h e P e r o n a { M a l i k m o d e l d o e s n o t t

i n t o t h i s f r a m e w o r k a s w e l l s i n c e i t s n o n m o n o t o n i c u x f u n c t i o n p r e v e n t s i t f r o m

s a t i s f y i n g t h e c o m p a r i s o n p r i n c i p l e ( s e e a l s o 1 9 3 ] ) .

3

A c o m p a r i s o n o f t h e s c a l e - s p a c e r e a s o n i n g s o f F l o r a c k a n d A l v a r e z e t a l . c a n b e f o u n d i n

1 1 7 ] .




1 . 2 . 2 R e g u l a r i z e d n o n l i n e a r m o d e l s

I n s p i t e o f t h e a b o v e m e n t i o n e d t h e o r e t i c a l p r o b l e m s , i t h a s b e e n o b s e r v e d t h a t

p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n s o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s w o r k f r e q u e n t l y v e r y w e l l .

T h i s s u g g e s t s t h a t t h e n u m e r i c a l s c h e m e s p r o v i d e i m p l i c i t r e g u l a r i z a t i o n s w h i c h

s t a b i l i z e t h e p r o c e s s . H e n c e , i t s e e m s n a t u r a l t o i n t r o d u c e t h e r e g u l a r i z a t i o n d i -

r e c t l y i n t o t h e c o n t i n u o u s e q u a t i o n i n o r d e r t o b e c o m e m o r e i n d e p e n d e n t o f t h e

n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n 5 8 , 1 8 1 ] .

H o l l i g ' s n o n u n i q u e n e s s r e s u l t 1 2 1 ] s h o w s t h a t t h e d y n a m i c s o f t h e s o l u t i o n

m a y c r i t i c a l l y d e p e n d o n t h e s o r t o f r e g u l a r i z a t i o n . H e n c e , t h e r e g u l a r i z a t i o n

s h o u l d b e s p e c i c a l l y a d j u s t e d t o t h e d e s i r e d g o a l o f t h e f o r w a r d { b a c k w a r d h e a t

e q u a t i o n 2 7 ] .

O n e c a n a p p l y s p a t i a l o r t e m p o r a l r e g u l a r i z a t i o n ( a n d o f c o u r s e , a c o m b i n a t i o n

o f b o t h ) . B e l o w w e s h a l l d i s c u s s t h r e e e x a m p l e s w h i c h i l l u s t r a t e t h e v a r i e t y o f

p o s s i b i l i t i e s a n d t h e i r t a i l o r i n g t o w a r d s a s p e c i c t a s k .

( a ) T h e r s t s p a t i a l r e g u l a r i z a t i o n a t t e m p t i s p r o b a b l y d u e t o P o s m e n t i e r w h o

o b s e r v e d n u m e r i c a l l y t h e s t a b i l i z i n g e e c t o f a v e r a g i n g t h e g r a d i e n t w i t h i n

t h e d i u s i v i t y 1 9 6 ] .

A m a t h e m a t i c a l l y s o u n d f o r m u l a t i o n o f t h i s i d e a i s g i v e n b y C a t t e , L i o n s ,

M o r e l a n d C o l l 5 8 ] . B y r e p l a c i n g t h e d i u s i v i t y g ( j r u j

2

) o f t h e P e r o n a {

M a l i k m o d e l b y g (

j r u

j

2

) w i t h u

: = K

u t h e y e n d u p w i t h

@

t

u = d i v ( g ( j r u

j

2

) r u ) : ( 1 . 3 2 )

I n 5 8 ] e x i s t e n c e , u n i q u e n e s s a n d r e g u l a r i t y o f a s o l u t i o n f o r > 0 h a s

b e e n e s t a b l i s h e d .

O t h e r s p a t i a l r e g u l a r i z a t i o n s o f e q u a t i o n s o f P e r o n a { M a l i k t y p e h a v e b e e n

p r o p o s e d b y W e i c k e r t 2 4 8 , 2 5 0 ] a n d w i l l b e d e s c r i b e d i n 1 . 2 . 3 . W h i t a k e r

a n d P i z e r 2 5 5 ] h a v e s u g g e s t e d t h a t t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s h o u l d

b e a d e c r e a s i n g f u n c t i o n i n t . I n a d d i t i o n , L i a n d C h e n 1 4 8 ] h a v e p r o p o s e d

t o s u b s e q u e n t l y d e c r e a s e t h e c o n t r a s t p a r a m e t e r .

W e s h a l l s e e t h a t t h e s e s p a t i a l r e g u l a r i z a t i o n s b e l o n g t o a c l a s s o f w e l l -

p o s e d p r o b l e m s w h i c h p o s s e s s a l a r g e c l a s s o f L y a p u n o v f u n c t i o n a l s w h i c h

g u a r a n t e e t h a t t h e s o l u t i o n c o n v e r g e s t o a c o n s t a n t s t e a d y - s t a t e .

F r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , s p a t i a l r e g u l a r i z a t i o n s o e r t h e a d v a n t a g e

t h a t t h e y m a k e t h e l t e r i n s e n s i t i v e t o n o i s e a t s c a l e s s m a l l e r t h a n . T h e r e -

f o r e , w h e n r e g a r d i n g ( 1 . 3 2 ) a s a n i m a g e r e s t o r a t i o n e q u a t i o n , i t e x h i b i t s b e -

s i d e s t h e c o n t r a s t p a r a m e t e r a n a d d i t i o n a l s c a l e - p a r a m e t e r . T h i s a v o i d s

a s h o r t c o m i n g o f t h e g e n u i n e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s w h i c h m i s i n t e r p r e t s

s t r o n g o s c i l l a t i o n s d u e t o n o i s e a s e d g e s w h i c h s h o u l d b e p r e s e r v e d o r e v e n

e n h a n c e d .




( b ) P . - L . L i o n s p r o v e d i n a p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n t o M u m f o r d t h a t t h e o n e -

d i m e n s i o n a l p r o c e s s

@

t

u = @

x

( g ( v ) @

x

u ) ; ( 1 . 3 3 )

@

t

v =

1

( j @

x

u j

2

? v ) ( 1 . 3 4 )

l e a d s t o a w e l l - p o s e d l t e r ( c f . 1 9 3 ] ) . W e o b s e r v e t h a t v i s i n t e n d e d a s a

t i m e - d e l a y r e g u l a r i z a t i o n o f j @

x

u j

2

w h e r e t h e p a r a m e t e r > 0 d e t e r m i n e s

t h e d e l a y . T h e s e e q u a t i o n s a r i s e a s a s p e c i a l c a s e o f t h e s p a t i o - t e m p o r a l

r e g u l a r i z a t i o n s o f N i t z b e r g a n d S h i o t a 1 8 1 ] , w h e n n e g l e c t i n g a n y s p a t i a l

r e g u l a r i z a t i o n . M u m f o r d c o n j e c t u r e s t h a t t h i s m o d e l g i v e s p i e c e w i s e c o n -

s t a n t s t e a d y s t a t e s 1 8 0 ] . I n t h i s c a s e , t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n w o u l d s o l v e

a s e g m e n t a t i o n p r o b l e m .

( c ) I n t h e c o n t e x t o f s h e a r o w s , B a r e n b l a t t e t a l . 2 7 ] r e g u l a r i z e d t h e o n e -

d i m e n s i o n a l f o r w a r d { b a c k w a r d h e a t e q u a t i o n b y c o n s i d e r i n g t h e t h i r d - o r d e r

e q u a t i o n

@

t

u = @

x

( ( u

x

) ) + @

x t

( ( u

x

) ) ( 1 . 3 5 )

w h e r e i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g a n d u n i f o r m l y b o u n d e d i n I R , a n d j

0

( s ) j =

O (

0

( s ) ) a s s ! 1 . T h i s r e g u l a r i z a t i o n w a s p h y s i c a l l y m o t i v a t e d b y

i n t r o d u c i n g a r e l a x a t i o n t i m e i n t o t h e d i u s i v i t y .

F o r t h e c o r r e s p o n d i n g i n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h h o m o g e n e o u s

N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e y p r o v e d t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e g e n -

e r a l i z e d s o l u t i o n . T h e y a l s o s h o w e d t h a t s m o o t h s o l u t i o n s m a y b e c o m e

d i s c o n t i n u o u s w i t h i n n i t e t i m e , b e f o r e t h e y n a l l y c o n v e r g e t o a p i e c e w i s e

c o n s t a n t s t e a d y s t a t e .

1 . 2 . 3 A n i s o t r o p i c n o n l i n e a r m o d e l s

A l l n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s t h a t w e h a v e i n v e s t i g a t e d s o f a r u t i l i z e a s c a l a r -

v a l u e d d i u s i v i t y g w h i c h i s a d a p t e d t o t h e u n d e r l y i n g i m a g e s t r u c t u r e . T h e r e f o r e ,

t h e y a r e i s o t r o p i c a n d t h e u x j = ? g r u i s a l w a y s p a r a l l e l t o r u . N e v e r t h e l e s s ,

i n c e r t a i n a p p l i c a t i o n s i t w o u l d b e d e s i r a b l e t o r o t a t e t h e u x t o w a r d s t h e o r i e n -

t a t i o n o f i n t e r e s t i n g f e a t u r e s . T h e s e r e q u i r e m e n t s c a n n o t b e s a t i s e d b y a s c a l a r

d i u s i v i t y a n y m o r e , a d i u s i o n t e n s o r l e a d i n g t o a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s h a s

t o b e i n t r o d u c e d .

F i r s t a n i s o t r o p i c i d e a s i n i m a g e p r o c e s s i n g d a t e b a c k t o G r a h a m 1 0 9 ] i n

1 9 6 2 , f o l l o w e d b y N e w m a n a n d D i r i l t e n 1 7 6 ] , L e v , Z u c k e r a n d R o s e n f e l d 1 4 6 ] ,

a n d N a g a o a n d M a t s u y a m a 1 7 4 ] . T h e y u s e d c o n v o l u t i o n m a s k s t h a t d e p e n d e d

o n t h e u n d e r l y i n g i m a g e s t r u c t u r e . R e l a t e d s t a t i s t i c a l a p p r o a c h e s w e r e p r o p o s e d

b y K n u t s s o n , W i l s o n a n d G r a n l u n d 1 4 1 , 2 6 2 ] .




C o n v o l u t i o n w i t h s h a p e - a d a p t e d a n i s o t r o p i c G a u s s i a n k e r n e l s i s s t u d i e d b y

N i t z b e r g a n d S h i o t a 1 8 1 ] , L i n d e b e r g a n d G a r d i n g ( 1 5 2 ] , c f . a l s o 1 5 3 ] ) , a n d

Y a n g e t a l . 2 6 6 ] . U n l i k e i n t h e l i n e a r c a s e , t h i s i s n o m o r e e q u i v a l e n t t o s u i t a b l e

d i u s i o n p r o c e s s e s . I f o n e w a n t s t o r e l a t e t h e s e i d e a s t o d i u s i o n l t e r i n g , o n e h a s

t o i t e r a t e t h e c o n v o l u t i o n a n d c a r r y o u t s o p h i s t i c a t e d s c a l i n g l i m i t s , c f . 1 8 1 ] .

A n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s u s u a l l y a p p l y s p a t i a l r e g u l a r i z a t i o n s t r a t e g i e s ( a n

e x c e p t i o n i s C o t t e t ' s t i m e - d e l a y r e g u l a r i z a t i o n 6 7 ] ) . B e l o w w e s t u d y t w o t y p i c a l

r e p r e s e n t a t i v e s o f a n i s o t r o p i c d i u s i o n p r o c e s s e s . T h e r s t o n e o e r s a d v a n t a g e s

a t n o i s y e d g e s , w h e r e a s t h e s e c o n d o n e i s w e l l - a d a p t e d t o t h e p r o c e s s i n g o f o n e -

d i m e n s i o n a l f e a t u r e s .

( a ) A n i s o t r o p i c r e g u l a r i z a t i o n o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s

I n t h e i n t e r i o r o f a s e g m e n t t h e n o n l i n e a r i s o t r o p i c d i u s i o n e q u a t i o n ( 1 . 3 2 )

b e h a v e s a l m o s t l i k e t h e l i n e a r d i u s i o n l t e r ( 1 . 9 ) , b u t a t e d g e s d i u s i o n

i s i n h i b i t e d . T h e r e f o r e , n o i s e a t e d g e s c a n n o t b e e l i m i n a t e d s u c c e s s f u l l y b y

t h i s p r o c e s s .

T o o v e r c o m e t h i s p r o b l e m , a d e s i r a b l e m e t h o d s h o u l d p r e f e r d i u s i o n a l o n g

e d g e s t o d i u s i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e m .

A n i s o t r o p i c m o d e l s d o n o t o n l y t a k e i n t o a c c o u n t t h e m o d u l u s o f t h e e d g e

d e t e c t o r r u

, b u t a l s o i t s d i r e c t i o n . T o t h i s e n d , w e c o n s t r u c t t h e o r t h o n o r -

m a l s y s t e m o f e i g e n v e c t o r s v

1

, v

2

o f t h e d i u s i o n t e n s o r D s u c h t h a t t h e y

r e e c t t h e e s t i m a t e d e d g e s t r u c t u r e :

v

1

k r u

; v

2

r u

: ( 1 . 3 6 )

I n o r d e r t o p r e f e r s m o o t h i n g a l o n g t h e e d g e t o s m o o t h i n g a c r o s s i t , W e i c k e r t

2 4 7 , 2 5 0 ] p r o p o s e d t o c h o o s e t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s

1

a n d

2

a s

1

( r u

) : = g ( j r u

j

2

) ; ( 1 . 3 7 )

2

( r u

) : = 1 : ( 1 . 3 8 )

I n g e n e r a l , r u d o e s n o t c o i n c i d e w i t h o n e o f t h e e i g e n v e c t o r s o f D a s l o n g

a s > 0 : H e n c e , t h i s m o d e l b e h a v e s r e a l l y a n i s o t r o p i c . I f w e l e t t h e

r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r t e n d t o 0 , w e e n d u p w i t h t h e i s o t r o p i c P e r o n a {

M a l i k p r o c e s s .

A n o t h e r a n i s o t r o p i c m o d e l w h i c h c a n b e r e g a r d e d a s a r e g u l a r i z a t i o n o f a n

i s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r h a s b e e n d e s c r i b e d i n 2 4 8 ] .

( b ) A n i s o t r o p i c m o d e l s f o r s m o o t h i n g o n e - d i m e n s i o n a l o b j e c t s

A s e c o n d m o t i v a t i o n f o r i n t r o d u c i n g a n i s o t r o p y i n t o d i u s i o n p r o c e s s e s

a r i s e s f r o m t h e w i s h t o p r o c e s s o n e - d i m e n s i o n a l f e a t u r e s s u c h a s l i n e - l i k e




s t r u c t u r e s . T o t h i s e n d , C o t t e t a n d G e r m a i n 6 6 ] c o n s t r u c t e d a d i u s i o n

t e n s o r w i t h e i g e n v e c t o r s a s i n ( 1 . 3 6 ) a n d c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s

1

( r u

) : = 0 ; ( 1 . 3 9 )

2

( r u

) : =

j r u

j

2

1 + ( j r u

j = )

2

( > 0 ) : ( 1 . 4 0 )

T h i s i s a p r o c e s s d i u s i n g s o l e l y p e r p e n d i c u l a r t o r u

. F o r ! 0 , w e o b -

s e r v e t h a t r u b e c o m e s a n e i g e n v e c t o r o f D w i t h c o r r e p o n d i n g e i g e n v a l u e 0 .

T h e r e f o r e , t h e p r o c e s s s t o p s c o m p l e t e l y . I n t h i s s e n s e , t h e C o t t e t { G e r m a i n

m o d e l i s n o t i n t e n d e d a s a n a n i s o t r o p i c r e g u l a r i z a t i o n o f t h e P e r o n a { M a l i k

e q u a t i o n .

I n 6 6 ] t h e e x i s t e n c e o f w e a k s o l u t i o n s f o r t h i s p r o c e s s w a s p r o v e d .

S i n c e t h e C o t t e t { G e r m a i n m o d e l d i u s e s o n l y i n o n e d i r e c t i o n , i t s s u c c e s s

c r i t i c a l l y d e p e n d s o n a c o r r e c t e s t i m a t e o f t h e a p p r o p r i a t e d i r e c t i o n . W e

s h a l l s e e t h a t t h i s p r o c e s s c a n b e i m p r o v e d w h e n r e p l a c i n g r u

b y a m o r e

r o b u s t d e s c r i p t o r o f l o c a l o r i e n t a t i o n , t h e s t r u c t u r e t e n s o r .

1 . 2 . 4 G e n e r a l i z a t i o n s

H i g h e r d i m e n s i o n s . I t i s e a s i l y s e e n t h a t m a n y o f t h e p r e v i o u s r e s u l t s

c a n b e g e n e r a l i z e d t o h i g h e r d i m e n s i o n s . T h i s m a y b e u s e f u l w h e n c o n s i d e r i n g

e . g . c o m p u t e r i z e d t o m o g r a p h y ( C T ) o r m a g n e t i c r e s o n a n c e t o m o g r a p h y ( M R T )

i m a g e s e q u e n c e s a r i s i n g f r o m m e d i c a l a p p l i c a t i o n s o r w h e n a p p l y i n g d i u s i o n

l t e r s t o t h e p o s t p r o c e s s i n g o f u c t u a t i n g h i g h e r - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l d a t a .

T h r e e - d i m e n s i o n a l d i u s i o n l t e r s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d b y G e r i g e t a l . 9 9 ] a n d

R a m b a u x a n d G a r c o n 2 0 2 ] .

M o r e s o p h i s t i c a t e d s t r u c t u r e d e s c r i p t o r s . T h e e d g e d e t e c t o r r u

e n -

a b l e s u s t o a d a p t t h e d i u s i o n t o m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n o f e d g e s , b u t i t c a n n o t

d i s t i n g u i s h b e t w e e n e d g e s a n d c o r n e r s o r g i v e s a r e l i a b l e m e a s u r e o f l o c a l o r i -

e n t a t i o n . T o t h i s e n d , o n e c a n s t e e r t h e s m o o t h i n g p r o c e s s b y m o r e a d v a n c e d

s t r u c t u r e d e s c r i p t o r s s u c h a s h i g h e r - o r d e r d e r i v a t i v e s 8 2 ] o r t e n s o r - v a l u e d e x -

p r e s s i o n s o f r s t - o r d e r d e r i v a t i v e s 1 8 1 , 1 7 9 , 2 5 2 ] . T h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s i n t h e

p r e s e n t w o r k s h a l l c o m p r i s e t h e s e c o n d p o s s i b i l i t y .

V e c t o r - v a l u e d m o d e l s . V e c t o r - v a l u e d i m a g e s c a n a r i s e e i t h e r f r o m d e v i c e s

m e a s u r i n g m u l t i p l e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o r f r o m a f e a t u r e a n a l y s i s o f o n e s i n g l e

i m a g e . E x a m p l e s f o r t h e r s t c a t e g o r y a r e c o l o u r i m a g e s , m u l t i - s p e c t r a l L a n d s a t

e x p o s u r e s a n d m u l t i - s p i n e c h o M R T i m a g e s , w h e r e a s r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e s e c o n d

c l a s s a r e g i v e n b y s t a t i s t i c a l m o m e n t s o r t h e j e t s p a c e i n d u c e d b y t h e i m a g e i t s e l f




a n d i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s u p t o a g i v e n o r d e r . F e a t u r e v e c t o r s p l a y a n i m p o r t a n t

r o l e f o r t a s k s l i k e t e x t u r e s e g m e n t a t i o n .

T h e s i m p l e s t i d e a h o w t o a p p l y d i u s i o n l t e r i n g t o m u l t i c h a n n e l i m a g e s

w o u l d b e t o d i u s e a l l c h a n n e l s s e p a r a t e l y a n d i n d e p e n d e n t l y f r o m e a c h o t h e r .

T h i s l e a d s t o t h e u n d e s i r a b l e e e c t t h a t e d g e s m a y b e f o r m e d a t d i e r e n t l o c a t i o n s

f o r e a c h c h a n n e l . I n o r d e r t o a v o i d t h i s , o n e s h o u l d u s e a c o m m o n d i u s i v i t y w h i c h

c o m b i n e s i n f o r m a t i o n f r o m a l l c h a n n e l s . S u c h i s o t r o p i c v e c t o r - v a l u e d d i u s i o n

m o d e l s w e r e p r o p o s e d b y G e r i g , K u b l e r , K i k i n i s , J o l e s z 9 9 ] a n d W h i t a k e r 2 5 7 ,

2 5 8 ] i n t h e c o n t e x t o f m e d i c a l i m a g e r y .


I n c o n t r a s t t o l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g , n o s a t i s f a c t o r y s e m i d i s c r e t e o r d i s c r e t e

s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n f o r n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s h a s b e e n a v a i l a b l e u p t o

n o w . C h a p t e r 3 a n d 4 w i l l p r o v i d e s u c h a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k .

N e v e r t h e l e s s , n u m e r o u s n u m e r i c a l m e t h o d s f o r n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g

h a v e b e e n a p p l i e d :

F r o h l i c h a n d W e i c k e r t 9 2 ] h a v e c o m p a r e d t h r e e s c h e m e s f o r a o n e - d i m e n -

s i o n a l r e g u l a r i z e d n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r : a w a v e l e t m e t h o d o f P e t r o v { G a l e r k i n

t y p e , a s p e c t r a l m e t h o d a n d a n i t e - d i e r e n c e ( F D ) s c h e m e . I t t u r n e d o u t t h a t

{ e s p e c i a l l y f o r l a r g e { a l l r e s u l t s w e r e f a i r l y s i m i l a r . S i n c e t h e c o m p u t a t i o n a l

e o r t i s o f a c o m p a r a b l e o r d e r o f m a g n i t u d e , i t s e e m s t o b e a m a t t e r o f t a s t e

w h i c h s c h e m e i s p r e f e r r e d .

O f c o u r s e , o t h e r n u m e r i c a l m e t h o d s a r e a p p l i c a b l e a s w e l l , e . g . n i t e e l e m e n t s

2 2 0 ] . N e u r a l n e t w o r k r e a l i z a t i o n s o f n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s a r e i n v e s t i g a t e d

b y C o t t e t 6 5 , 6 7 ] . P e r o n a a n d M a l i k 1 9 1 ] a n d S c h n o r r 2 2 3 ] p r o p o s e h a r d w a r e

r e a l i z a t i o n s b y m e a n s o f a n a l o g u e V L S I n e t w o r k s w i t h n o n l i n e a r r e s i s t o r s .

I n m o s t a p p l i c a t i o n s o f n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s , n i t e d i e r e n c e s a r e p r e -

f e r r e d , s i n c e t h e y a r e e a s y t o h a n d l e a n d t h e p i x e l s t r u c t u r e o f a r e a l d i g i t a l

i m a g e a l r e a d y p r o v i d e s a n a t u r a l d i s c r e t i z a t i o n o n a x e d r e c t a n g u l a r g r i d . E x -

p l i c i t s c h e m e s a r e v e r y s i m p l e t o i m p l e m e n t a n d t h e r e f o r e t h e y a r e u s e d a l m o s t

e x c l u s i v e l y 2 3 , 6 6 , 7 1 , 9 9 , 1 9 2 , 1 8 9 , 2 3 6 , 2 5 6 ] . D u e t o t h e i r l o c a l b e h a v i o u r , t h e y

a r e w e l l - s u i t e d f o r p a r a l l e l a r c h i t e c t u r e s 1 9 2 , 2 0 9 ] . N e v e r t h e l e s s , t h e y s u e r f r o m

t h e f a c t t h a t f a i r l y s m a l l t i m e s t e p s i z e s a r e n e e d e d i n o r d e r t o e n s u r e s t a b i l i t y .

S e m i - i m p l i c i t s c h e m e s ( w h i c h a p p r o x i m a t e t h e d i u s i v i t y o r t h e d i u s i o n t e n s o r

i n a n e x p l i c i t w a y a n d t h e r e s t i m p l i c i t l y ) a r e c o n s i d e r e d b y 5 8 , 2 4 6 ] . T h e y p o s -

s e s s m u c h b e t t e r s t a b i l i t y p r o p e r t i e s . F u r t h e r s p e e d - u p c a n b e a c h i e v e d b y u s i n g

s p l i t t i n g t e c h n i q u e s 2 4 6 ] . A f a s t m u l t i g r i d t e c h n i q u e u s i n g a p y r a m i d a l g o r i t h m

f o r t h e P e r o n a { M a l i k l t e r h a s b e e n s t u d i e d b y A c t o n e t a l . ( 3 ] , s e e a l s o 2 0 9 ]

f o r r e l a t e d i d e a s ) .




1 . 2 . 6 A p p l i c a t i o n s

N o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s h a v e b e e n a p p l i e d f o r p o s t p r o c e s s i n g u c t u a t i n g d a t a

1 5 9 , 2 5 0 ] a n d f o r v i s u a l i z i n g q u a l i t y - r e l e v a n t f e a t u r e s i n c o m p u t e r a i d e d q u a l i t y

c o n t r o l 2 4 8 , 2 5 0 , 2 5 2 ] . T h e y h a v e p r o v e d t o b e u s e f u l f o r t e x t u r e s e g m e n t a t i o n

2 5 7 , 2 6 0 , 2 6 1 ] , f o r i m a g e s e q u e n c e a n a l y s i s 2 2 1 , 2 2 2 ] , a n d f o r e d g e d e t e c t i o n 4 ]

a n d s e g m e n t a t i o n 3 ] o f r e m o t e l y s e n s e d i m a g e s . M o s t a p p l i c a t i o n s , h o w e v e r , a r e

c o n c e r n e d w i t h t h e l t e r i n g o f m e d i c a l i m a g e s 9 9 , 2 3 , 6 5 , 6 6 , 6 7 , 1 8 9 , 2 5 8 , 1 5 7 ,

2 3 6 , 2 5 0 , 2 6 0 ] . S o m e o f t h e s e a p p l i c a t i o n s w i l l b e i n v e s t i g a t e d i n m o r e d e t a i l i n

C h a p t e r 5 .

B e s i d e s s u c h s p e c i c p r o b l e m s o l u t i o n s , n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g i s c u r -

r e n t l y i n t e g r a t e d i n t o c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e s o f t w a r e p a c k a g e s , f o r i n s t a n c e t h e

i m a g e p r o c e s s i n g t o o l H e u r i s k o .

4

1 . 3 M e t h o d s o f d i u s i o n { r e a c t i o n t y p e

T h i s s e c t i o n i n v e s t i g a t e s v a r i a t i o n a l f r a m e w o r k s , i n w h i c h d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a -

t i o n s o r c o u p l e d s y s t e m s o f t h e m a r e i n t e r p r e t e d a s s t e e p e s t d e s c e n t m i n i m i z e r s

o f s u i t a b l e e n e r g y f u n c t i o n a l s . T h i s i d e a c o n n e c t s d i u s i o n m e t h o d s t o e d g e d e -

t e c t i o n a n d s e g m e n t a t i o n i d e a s .

5

B e s i d e s t h e v a r i a t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n t h e r e e x i s t o t h e r t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k s

f o r d i u s i o n l t e r s s u c h a s t h e M a r k o v r a n d o m e l d a n d m e a n e l d a n n e a l i n g

c o n t e x t 9 6 , 2 3 5 ] , a n d d e t e r m i n i s t i c i n t e r a c t i v e p a r t i c l e m o d e l s 1 6 6 ] . H o w e v e r ,

t h e i r d i s c u s s i o n w o u l d l e a d u s b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s w o r k .

1 . 3 . 1 S i n g l e d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a t i o n s

N o r d s t r o m 1 8 2 , 1 8 3 ] h a s s u g g e s t e d t o o b t a i n a r e c o n s t r u c t i o n u o f a d e g r a d e d

i m a g e f b y m i n i m i z i n g t h e e n e r g y f u n c t i o n a l

E

f

( u ; w ) : =

Z

( u ? f )

2

+ w j r u j

2

+

2

( w ? l n w )

d x : ( 1 . 4 1 )

T h e p a r a m e t e r s a n d a r e p o s i t i v e w e i g h t s a n d w : ! 0 ; 1 ] g i v e s a f u z z y

e d g e r e p r e s e n t a t i o n : i n t h e i n t e r i o r o f a r e g i o n , w a p p r o a c h e s 1 w h i l e a t e d g e s , w

i s c l o s e t o 0 ( a s w e s h a l l s e e b e l o w ) .

T h e r s t s u m m a n d o f E p u n i s h e s d e v i a t i o n s o f u f r o m f ( d e v i a t i o n c o s t ) , t h e

s e c o n d t e r m d e t e c t s u n s m o o t h n e s s o f u w i t h i n e a c h r e g i o n ( s t a b i l i z i n g c o s t ) , a n d

4

H e u r i s k o i s a r e g i s t e r e d t r a d e m a r k o f A E O N V e r l a g & S t u d i o , F r a u n h o f e r s t r . 5 1 B , 6 3 4 5 4

H a n a u , G e r m a n y .

5

D i u s i o n { r e a c t i o n m e t h o d s w i t h c o n s t a n t d i u s i v i t i e s c a n a l s o b e u s e d f o r l o c a l c o n t r a s t

n o r m a l i z a t i o n i n i m a g e s , s e e 1 9 4 ] .



1 . 3 M E T H O D S O F D I F F U S I O N { R E A C T I O N T Y P E 2 1

t h e l a s t o n e m e a s u r e s t h e e x t e n d o f e d g e s ( e d g e c o s t ) . C o s t t e r m s o f t h e s e t h r e e

t y p e s a r e t y p i c a l f o r v a r i a t i o n a l i m a g e r e s t o r a t i o n m e t h o d s .

T h e c o r r e s p o n d i n g E u l e r e q u a t i o n s t o t h i s e n e r g y f u n c t i o n a l a r e g i v e n b y

0 = ( u ? f ) ? d i v ( w r u ) ; ( 1 . 4 2 )

0 =

2

( 1 ?

1

w

) + j r u j

2

; ( 1 . 4 3 )

e q u i p p e d w i t h a h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r u .

S o l v i n g ( 1 . 4 3 ) f o r w g i v e s

w =

1

1 + j r u j

2

=

2

: ( 1 . 4 4 )

W e r e c o g n i z e t h a t w i s i d e n t i c a l w i t h t h e P e r o n a { M a l i k d i u s i v i t y g ( j r u j

2

) i n t r o -

d u c e d i n ( 1 . 2 1 ) . T h e r e f o r e , ( 1 . 4 2 ) c a n b e r e g a r d e d a s t h e s t e a d y - s t a t e e q u a t i o n

o f

@

t

u = d i v ( g ( j r u j

2

) r u ) + ( f ? u ) : ( 1 . 4 5 )

T h i s e q u a t i o n c a n a l s o b e o b t a i n e d d i r e c t l y a s t h e d e s c e n t m e t h o d o f t h e f u n c -

t i o n a l

F

f

( u ) : =

Z

( u ? f )

2

+

2

l n

1 +

j r u j

2

2

d x : ( 1 . 4 6 )

T h e d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a t i o n ( 1 . 4 5 ) c o n s i s t s o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s

w i t h a n a d d i t i o n a l b i a s t e r m ( f ? u ) : N o r d s t r o m c l a i m s t h a t t h i s m o d i c a t i o n

f r e e s t h e u s e r f r o m t h e d i c u l t y o f s p e c i f y i n g a n a p p r o p r i a t e s t o p p i n g t i m e f o r

t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s . M o r e o v e r , b y r e g a r d i n g i t a s a m e t h o d f o r m i n i m i z i n g

t h e e n e r g y f u n c t i o n a l ( 1 . 4 1 ) , h e a r g u e s t h a t t h i s g i v e s n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g

a n a p p e a l i n g s e n s e o f o p t i m a l i t y a n d e s t a b l i s h e s i t a s a m e t h o d f o r s o l v i n g a

w e l l - d e n e d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m .

H o w e v e r , i t i s o b v i o u s t h a t t h e N o r d s t r o m m o d e l j u s t s h i f t s t h e p r o b l e m o f

s p e c i f y i n g a s t o p p i n g t i m e T t o t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g ( a l t h o u g h t h i s

q u e s t i o n w a s c i r c u m v e n t e d b y s e t t i n g : = 1 ) .

B e s i d e s t h e f a c t t h a t t h i s m e t h o d s u e r s f r o m t h e s a m e i l l - p o s e d n e s s p r o b -

l e m s a s t h e u n d e r l y i n g P e r o n a { M a l i k e q u a t i o n , i t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e e n e r g y

f u n c t i o n a l ( 1 . 4 6 ) i s n o n c o n v e x . T h e r e f o r e , i t m a y p o s s e s s n u m e r o u s l o c a l m i n i m a ,

a n d t h e p r o c e s s ( 1 . 4 5 ) w i t h f a s i n i t i a l c o n d i t i o n d o e s n o t n e c e s s a r i l y c o n v e r g e

t o a g l o b a l m i n i m u m .

A s a r e m e d y , S c h n o r r 2 2 0 ] r e n o u n c e s e d g e - e n h a n c i n g d i u s i v i t i e s i n o r d e r t o

e n d u p w i t h ( n o n q u a d r a t i c ) c o n v e x f u n c t i o n a l s . I n t h i s c a s e t h e c l a s s i c a l t h e o r y

i s a p p l i c a b l e e n s u r i n g w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s a n d s t a b i l i t y o f a s t a n d a r d n i t e -

e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n .




F o r o t h e r d i u s i o n { r e a c t i o n m e t h o d s s u c h a s 9 6 ] , t h e c o n v e r g e n c e p r o b l e m

h a s u s u a l l y n o t b e e n a d d r e s s e d . O n e e x c e p t i o n i s t h e p a p e r o f C o t t e t a n d G e r -

m a i n 6 6 ] . T h e y s h o w t h a t t h e i r l t e r a l l o w s t h e p o s s i b i l i t y o f h a v i n g a l m o s t

s t e a d y p i e c e w i s e c o n s t a n t s t a t e s a n d p r o v e t h e i r a t t r a c t i v i t y . T h e s t a b i l i t y o f

t h e s e s o l u t i o n s i s i n d i c a t e d b y s h o w i n g t h a t p i e c e w i s e c o n s t a n t s t a t e s a r e a l m o s t

s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s o f a s e m i d i s c r e t i z e d v e r s i o n w h e r e t h e d i u s i o n t e n s o r i s

c o n s t a n t w i t h r e s p e c t t o t i m e .

1 . 3 . 2 C o u p l e d s y t e m s o f d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a t i o n s

M u m f o r d a n d S h a h 1 7 2 , 1 7 3 ] h a v e p r o p o s e d t o o b t a i n a s e g m e n t e d i m a g e u f r o m

f b y m i n i m i z i n g t h e f u n c t i o n a l

E

f

( u ; K ) =

Z

( u ? f )

2

d x +

Z

n K

j r u j

2

d x + j K j ( 1 . 4 7 )

w i t h n o n n e g a t i v e p a r a m e t e r s a n d . T h e d i s c o n t i n u i t y s e t K c o n s i s t s o f t h e

e d g e s , a n d i t s o n e - d i m e n s i o n a l H a u s d o r m e a s u r e j K j g i v e s t h e t o t a l e d g e l e n g t h .

L i k e t h e N o r d s t r o m f u n c t i o n a l ( 1 . 4 1 ) , t h i s e x p r e s s i o n c o n s i s t s o f t h r e e c o s t t e r m s :

t h e r s t o n e i s t h e d e v i a t i o n c o s t , t h e s e c o n d o n e g i v e s t h e s t a b i l i z i n g c o s t , a n d

t h e t h i r d o n e r e p r e s e n t s t h e e d g e c o s t .

T h e M u m f o r d { S h a h f u n c t i o n a l c a n b e r e g a r d e d a s a c o n t i n u o u s v e r s i o n o f t h e

M a r k o v r a n d o m e l d m e t h o d b y G e m a n a n d G e m a n 9 8 ] a n d t h e w e a k m e m b r a n e

m o d e l o f B l a k e a n d Z i s s e r m a n 3 2 ] . R e l a t e d a p p r o a c h e s a r e a l s o u s e d t o m o d e l

m a t e r i a l s w i t h t w o p h a s e s a n d a f r e e i n t e r f a c e ( c f . 7 0 ] ) .

T h e f a c t t h a t ( 1 . 4 7 ) l e a d s t o a f r e e d i s c o n t i n u i t y p r o b l e m c a u s e s m a n y c h a l -

l e n g i n g t h e o r e t i c a l q u e s t i o n s 1 4 5 ] . T h e b o o k o f M o r e l a n d S o l i m i n i 1 7 1 ] c o v e r s

a v e r y d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h i s f u n c t i o n a l . A l t h o u g h t h e e x i s t e n c e o f a g l o b a l

m i n i m i z e r w i t h a c l o s e d e d g e s e t K h a s b e e n e s t a b l i s h e d 7 0 , 1 7 ] , u n i q u e n e s s i s i n

g e n e r a l n o t t r u e 1 6 0 , p p . 1 9 7 { 1 9 8 ] . R e g u l a r i t y r e s u l t s f o r K h a v e r e c e n t l y b e e n

o b t a i n e d 3 7 ] .

T h e c o n c e p t o f e n e r g y f u n c t i o n a l s f o r s e g m e n t i n g i m a g e s o e r s t h e p r a c t i c a l

a d v a n t a g e t h a t i t p r o v i d e s a f r a m e w o r k f o r c o m p a r i n g t h e q u a l i t y o f t w o s e g -

m e n t a t i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , ( 1 . 4 7 ) e x h i b i t s a l s o s o m e s h o r t c o m i n g s , e . g . t h e

p r o b l e m t h a t a t e d g e s p r o d u c e m u l t i p l e s e g m e n t a t i o n b o u n d a r i e s ( o v e r s e g m e n -

t a t i o n ) 2 2 9 ] . A n o t h e r d r a w b a c k r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t t h e M u m f o r d { S h a h

f u n c t i o n a l a l l o w s o n l y s i n g u l a r i t i e s w h i c h a r e t y p i c a l f o r m i n i m a l s u r f a c e s : C o r -

n e r s o r T - j u n c t i o n s a r e n o t p o s s i b l e a n d s e g m e n t s m e e t a t t r i p l e p o i n t s w i t h 1 2 0

o

a n g l e 1 7 3 ] . I n o r d e r t o a v o i d s u c h p r o b l e m s , m o d i c a t i o n s o f t h e M u m f o r d { S h a h

f u n c t i o n a l h a v e b e e n p r o p o s e d b y A m b r o s i o a n d M a n t e g a z z a ( c f . 2 0 5 ] ) a n d S h a h

2 3 1 ] . A n a n e i n v a r i a n t v e r s i o n o f ( 1 . 4 7 ) i s i n v e s t i g a t e d i n 2 6 , 2 5 ] .



1 . 3 M E T H O D S O F D I F F U S I O N { R E A C T I O N T Y P E 2 3

S i n c e m a n y a l g o r i t h m s i n i m a g e p r o c e s s i n g c a n b e r e s t a t e d a s v e r s i o n s o f t h e

M u m f o r d { S h a h f u n c t i o n a l 1 7 1 ] a n d s i n c e i t i s a p r o t o t y p e o f a f r e e d i s c o n t i n u i t y

p r o b l e m i t i s i n t e r e s t i n g t o s t u d y t h i s v a r i a t i o n a l p r o b l e m i n m o r e d e t a i l .

N u m e r i c a l c o m p l i c a t i o n s a r i s e f r o m t h e f a c t t h a t t h e M u m f o r d { S h a h f u n c -

t i o n a l h a s n u m e r o u s l o c a l m i n i m a . G l o b a l m i n i m i z e r s s u c h a s t h e s i m u l a t e d

a n n e a l i n g m e t h o d u s e d b y G e m a n a n d G e m a n 9 8 ] a r e e x t r e m e l y s l o w . H e n c e ,

o n e s e a r c h e s f o r f a s t ( s u b o p t i m a l ) d e t e r m i n i s t i c s t r a t e g i e s , e . g . p y r a m i d a l r e g i o n -

g r o w i n g a l g o r i t h m s 2 , 1 4 2 ] .

A n o t h e r i n t e r e s t i n g c l a s s o f n u m e r i c a l m e t h o d s i s b a s e d o n t h e i d e a t o a p -

p r o x i m a t e t h e d i s c o n t i n u i t y s e t K b y a s m o o t h f u n c t i o n w , w h i c h i s c l o s e t o 0

n e a r e d g e s o f u a n d w h i c h a p p r o x i m a t e s 1 e l s e w h e r e .

W e m a y f o r i n s t a n c e s t u d y t h e f u n c t i o n a l

F

f

( u ; w ) : =

Z

( u ? f )

2

+ w

2

j r u j

2

+

c j r u j

2

+

( 1 ? w )

2

4 c

d x ( 1 . 4 8 )

w i t h a p o s i t i v e p a r a m e t e r c s p e c i f y i n g t h e \ e d g e w i d t h " . A m b r o s i o a n d T o r t o r e l l i

p r o v e d t h a t t h i s f u n c t i o n a l c o n v e r g e s t o t h e M u m f o r d { S h a h f u n c t i o n a l f o r c ! 0

( i n t h e s e n s e o f ? - c o n v e r g e n c e , s e e 1 9 ] f o r m o r e d e t a i l s ) .

M i n i m i z i n g F

f

c o r r e s p o n d s t o t h e g r a d i e n t d e s c e n t e q u a t i o n s

@

t

u = d i v ( w

2

r u ) + ( f ? u ) ; ( 1 . 4 9 )

@

t

w = c w ?

2 w

j r u j

2

?

( 1 ? w )

2 c

( 1 . 5 0 )

w i t h h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . E q u a t i o n s o f t h i s t y p e a r e

i n v e s t i g a t e d b y R i c h a r d s o n a n d M i t t e r 2 0 5 ] . S i n c e ( 1 . 4 9 ) i s v e r y s i m i l a r t o t h e

N o r d s t r o m p r o c e s s ( 1 . 4 5 ) , s i m i l a r p r o b l e m s a r i s e : T h e f u n c t i o n a l F

f

i s n o t j o i n t l y

c o n v e x i n u a n d v , s o i t m a y h a v e m a n y l o c a l m i n i m a a n d a g r a d i e n t d e s c e n t a l g o -

r i t h m m a y g e t t r a p p e d i n a p o o r l o c a l m i n i m u m . W e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s f o r t h i s

s y s t e m h a v e n o t b e e n o b t a i n e d u p t o n o w , b u t a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e

a n d a l o c a l s t a b i l i t y p r o o f h a v e b e e n e s t a b l i s h e d .

A n o t h e r d i u s i o n { r e a c t i o n s y s t e m i s s t u d i e d b y S h a h 2 2 7 , 2 2 8 ] . H e r e p l a c e s

t h e f u n c t i o n a l ( 1 . 4 7 ) b y t w o c o u p l e d c o n v e x e n e r g y f u n c t i o n a l s a n d a p p l i e s g r a d i -

e n t d e s c e n t . T h i s r e s u l t s i n n d i n g a n e q u i l i b r i u m s t a t e b e t w e e n t w o c o m p e t i n g

p r o c e s s e s . E x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a t i t c o n v e r g e s t o a s t a b l e s o l u t i o n . P r o e s m a n s

e t a l . 2 0 0 , 1 9 9 ] o b s e r v e d t h a t t h i s s o l u t i o n l o o k s f a i r l y b l u r r e d s i n c e t h e e q u a t i o n s

c o n t a i n d i u s i o n t e r m s s u c h a s u . T h e y o b t a i n e d p r o n o u n c e d e d g e s b y r e p l a c i n g

s u c h a t e r m b y i t s P e r o n a { M a l i k c o u n t e r p a r t d i v ( g (

j r u

j

2

)

r u ) . O f c o u r s e , t h i s

a p p r o a c h g i v e s r i s e t o t h e s a m e t h e o r e t i c a l q u e s t i o n s a s ( 1 . 4 9 ) , ( 1 . 5 0 ) .

T h e s y s t e m o f R i c h a r d s o n a n d M i t t e r i s u s e d f o r e d g e d e t e c t i o n 2 0 5 ] . S h a h i n -

v e s t i g a t e s d i u s i o n { r e a c t i o n s y s t e m s f o r m a t c h i n g s t e r e o i m a g e s 2 3 0 , 2 3 2 ] , w h i l e

P r o e s m a n s e t a l . a p p l y c o u p l e d d i u s i o n - r e a c t i o n e q u a t i o n s t o i m a g e s e q u e n c e




a n a l y s i s , v e c t o r - v a l u e d i m a g e s a n d s t e r e o v i s i o n 1 9 9 , 2 0 1 ] . T h e i r n i t e d i e r e n c e

a l g o r i t h m s r u n o n a p a r a l l e l t r a n s p u t e r n e t w o r k .

I t s h o u l d a l s o b e m e n t i o n e d t h a t t h e r e e x i s t r e a c t i o n { d i u s i o n s y s t e m s w h i c h

h a v e b e e n a p p l i e d t o i m a g e r e s t o r a t i o n 1 9 7 , 1 9 8 ] o r t e x t u r e g e n e r a t i o n 2 4 0 , 2 6 4 ]

a n d w h i c h a r e n o t c o n n e c t e d t o t h e P e r o n a { M a l i k o r M u m f o r d { S h a h i d e a s .

1 . 4 C l a s s i c m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s

M o r p h o l o g y i s a n a p p r o a c h t o i m a g e a n a l y s i s b a s e d o n s h a p e s . I t s m a t h e m a t i c a l

f o r m a l i z a t i o n g o e s b a c k t o t h e g r o u p a r o u n d M a t h e r o n a n d S e r r a , b o t h w o r k i n g

a t E N S d e s M i n e s d e P a r i s i n F o n t a i n e b l e a u . T h e t h e o r y h a d r s t b e e n d e v e l o p e d

f o r b i n a r y i m a g e s , a f t e r w a r d s i t w a s e x t e n d e d t o g r e y t o n e i m a g e s b y r e g a r d i n g

l e v e l s e t s a s s h a p e s . I t s a p p l i c a t i o n s c o v e r b i o l o g y , m e d i c a l d i a g n o s t i c s , h i s t o l o g y ,

q u a l i t y c o n t r o l , r a d a r a n d r e m o t e s e n s i n g , s c i e n c e o f m a t e r i a l , m i n e r a l o g y , a n d

m a n y o t h e r s .

M o r p h o l o g y i s u s u a l l y d e s c r i b e d i n t e r m s o f a l g e b r a i c s e t t h e o r y , s e e e . g . 1 6 7 ,

2 2 5 , 1 1 8 , 1 1 9 ] f o r a n o v e r v i e w . N e v e r t h e l e s s , r e c e n t l y P D E f o r m u l a t i o n s f o r c l a s s i c

m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s h a v e b e e n d i s c o v e r e d b y B r o c k e t t a n d M a r a g o s 4 1 , 4 2 ] ,

v a n d e n B o o m g a a r d 3 4 ] , A r e h a r t e t a l . 2 2 ] a n d A l v a r e z e t a l . 1 1 ] .

T h i s s e c t i o n s u r v e y s t h e b a s i c i d e a s a n d e l e m e n t a r y o p e r a t i o n s o f b i n a r y a n d

g r e y - s c a l e m o r p h o l o g y , p r e s e n t s i t s P D E r e p r e s e n t a t i o n s f o r i m a g e s a n d c u r v e s ,

a n d s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s c o n c e r n i n g w e l l - p o s e d n e s s a n d s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s .

I t e n d s u p w i t h d i s c u s s i n g n u m e r i c a l a s p e c t s o f t h e P D E f o r m u l a t i o n o f t h e s e

p r o c e s s e s .

1 . 4 . 1 B i n a r y a n d g r e y - s c a l e m o r p h o l o g y

B i n a r y m o r p h o l o g y c o n s i d e r s s h a p e s ( s i l h o u e t t e s ) , i . e . c l o s e d s e t s X I R

2

w h o s e

b o u n d a r i e s a r e J o r d a n c u r v e s 1 5 ] . H e n c e f o r t h , w e i d e n t i f y a s h a p e X w i t h i t s

c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n

( x ) : =

(

1 i f x 2 X ,

0 e l s e .

( 1 . 5 1 )

B i n a r y m o r p h o l o g i c a l o p e r a t i o n s a e c t o n l y t h e b o u n d a r y c u r v e o f t h e s h a p e a n d ,

t h e r e f o r e , t h e y c a n b e v i e w e d a s c u r v e o r s h a p e d e f o r m a t i o n s .

G r e y - s c a l e m o r p h o l o g y g e n e r a l i z e s t h e s e i d e a s 1 6 3 ] b y d e c o m p o s i n g a n i m a g e

f i n t o i t s l e v e l s e t s f X

a

f ; a 2 I R g ; w h e r e

X

a

f : = f x 2 I R

2

; f ( x ) a g : ( 1 . 5 2 )

A b i n a r y m o r p h o l o g i c a l o p e r a t i o n A c a n b e e x t e n d e d t o s o m e g r e y s c a l e i m a g e f

b y d e n i n g

X

a

( A f ) : = A ( X

a

f ) 8 a 2 I R : ( 1 . 5 3 )



1 . 4 C L A S S I C M O R P H O L O G I C A L P R O C E S S E S 2 5

W e o b s e r v e t h a t f o r m o r p h o l o g i c a l o p e r a t i o n s o n l y g r e y - l e v e l s e t s m a t t e r . A s

a c o n s e q u e n c e , t h e y a r e i n v a r i a n t u n d e r m o n o t o n e g r e y - l e v e l r e s c a l i n g s . T h i s i s a

v e r y d e s i r a b l e p r o p e r t y i n a l l c a s e s w h e r e b r i g h t n e s s c h a n g e s o f t h e i l l u m i n a t i o n

o c c u r o r w h e r e o n e w a n t s t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e s p e c i c c o n t r a s t r a n g e o f

t h e c a m e r a . O n t h e o t h e r h a n d , f o r a p p l i c a t i o n s l i k e e d g e d e t e c t i o n o r i m a g e

r e s t o r a t i o n , c o n t r a s t p r o v i d e s i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n s w h i c h s h o u l d b e t a k e n i n t o

a c c o u n t . M o r e o v e r , i n s o m e c a s e s i s o l i n e s m a y g i v e i n a d e q u a t e i n f o r m a t i o n a b o u t

t h e d e p i c t e d p h y s i c a l o b j e c t b o u n d a r i e s .

1 . 4 . 2 B a s i c o p e r a t i o n s

I n o r d e r t o a n a l y s e a s h a p e , c l a s s i c m o r p h o l o g y u s e s a s o - c a l l e d s t r u c t u r i n g e l e -

m e n t , a b o u n d e d s e t B I R

2

. T y p i c a l s h a p e s f o r B a r e d i s c s , s q u a r e s , o r e l l i p s e s .

T h e t w o b a s i c m o r p h o l o g i c a l o p e r a t i o n s , d i l a t i o n a n d e r o s i o n w i t h a s t r u c t u r -

i n g e l e m e n t B , a r e d e n e d f o r a g r e y - s c a l e i m a g e f 2 L

1

( I R

2

) b y 4 2 ]

d i l a t i o n : ( f B ) ( x ) : = s u p f f ( x ? y ) ; y 2 B g ; ( 1 . 5 4 )

e r o s i o n : ( f B ) ( x ) : = i n f f f ( x + y ) ; y 2 B g : ( 1 . 5 5 )

T h e s e n a m e s c a n b e e a s i l y m o t i v a t e d w h e n c o n s i d e r i n g a s h a p e i n a b i n a r y i m a g e

a n d a d i s c s t r u c t u r i n g e l e m e n t . I n t h i s c a s e d i l a t i o n b l o w s u p i t s b o u n d a r i e s , w h i l e

e r o s i o n s h r i n k s t h e m .

D i l a t i o n a n d e r o s i o n f o r m t h e b a s i s f o r c o n s t r u c t i n g o t h e r m o r p h o l o g i c a l p r o -

c e s s e s , f o r i n s t a n c e o p e n i n g a n d c l o s i n g :

o p e n i n g : ( f B ) ( x ) : = ( ( f B ) B ) ( x ) ; ( 1 . 5 6 )

c l o s i n g : ( f B ) ( x ) : = ( ( f B ) B ) ( x ) : ( 1 . 5 7 )

I n t h e p r e c e d i n g s h a p e i n t e r p r e t a t i o n o p e n i n g s m o o t h e s t h e s h a p e b y b r e a k i n g

n a r r o w i s t h m u s e s a n d e l i m i n a t i n g s m a l l i s l a n d s , w h i l e c l o s i n g s m o o t h e s b y e l i m -

i n a t i n g s m a l l h o l e s , f u s i n g n a r r o w b r e a k s a n d l l i n g g a p s o n t h e c o n t o u r s 1 1 8 ] .

1 . 4 . 3 C o n t i n u o u s - s c a l e m o r p h o l o g y

L e t u s c o n s i d e r a c o n v e x s t r u c t u r i n g e l e m e n t t B w i t h a s c a l i n g p a r a m e t e r t > 0 .

T h e n , c a l c u l a t i n g u ( t ) = f t B a n d u ( t ) = f t B ; r e s p e c t i v e l y

6

, c a n b e

s h o w n t o b e e q u i v a l e n t t o s o l v i n g

@

t

u ( x ; t ) = s u p

y 2 B

h y ; r u ( x ; t ) i ; ( 1 . 5 8 )

@

t

u ( x ; t ) = i n f

y 2 B

h y ;

r u ( x ; t )

i : ( 1 . 5 9 )

6

H e n c e f o r t h , w e f r e q u e n t l y u s e t h e s i m p l i e d n o t a t i o n u ( t ) i n s t e a d o f u ( : ; t )




w i t h f a s i n i t i a l c o n d i t i o n 1 1 , 2 1 3 ] .

B y c h o o s i n g e . g . B : = f y 2 I R

2

; j y j 1 g o n e o b t a i n s

@

t

u = j r u j ; ( 1 . 6 0 )

@

t

u = ? j r u j : ( 1 . 6 1 )

T h e s o l u t i o n u ( t ) i s t h e d i l a t i o n ( r e s p . e r o s i o n ) o f f w i t h a d i s c o f r a d i u s t a n d

c e n t r e 0 a s s t r u c t u r i n g e l e m e n t .

C o n n e c t i o n t o c u r v e e v o l u t i o n

M o r p h o l o g i c a l P D E s s u c h a s ( 1 . 6 0 ) o r ( 1 . 6 1 ) a r e c l o s e l y r e l a t e d t o s h a p e a n d

c u r v e e v o l u t i o n s .

7

T o i l l u s t r a t e t h i s , l e t u s c o n s i d e r a s m o o t h J o r d a n c u r v e C :

0 ; 2 ] 0 ; 1 ) ! I R

2

,

C ( p ; t ) =

x

1

( p ; t )

x

2

( p ; t )

!

( 1 . 6 2 )

w h e r e p i s t h e p a r a m e t r i z a t i o n a n d t i s t h e e v o l u t i o n p a r a m e t e r . W e a s s u m e t h a t

C e v o l v e s i n o u t e r n o r m a l d i r e c t i o n n w i t h s p e e d , w h i c h m a y b e a f u n c t i o n o f

i t s c u r v a t u r e : =

d e t ( C

p

; C

p p

)

j C

p

j

3

:

@

t

C = ( ) n ; ( 1 . 6 3 )

C ( p ; 0 ) = C

0

( p ) : ( 1 . 6 4 )

O n e c a n e m b e d t h e c u r v e C ( p ; t ) i n a n i m a g e u ( x ; t ) i n s u c h a w a y t h a t C i s

j u s t a l e v e l c u r v e o f u . T h e c o r r e s p o n d i n g e v o l u t i o n f o r u i s g i v e n b y 1 8 8 , 2 1 4 , 1 5 ]

@

t

u = ( c u r v ( u ) ) j r u j : ( 1 . 6 5 )

w h e r e t h e c u r v a t u r e o f u i s

c u r v ( u ) : = d i v

r u

j r u j

!

: ( 1 . 6 6 )

S e t h i a n 2 2 6 ] c a l l s ( 1 . 6 5 ) t h e E u l e r i a n f o r m u l a t i o n o f t h e c u r v e e v o l u t i o n ( 1 . 6 3 ) ,

b e c a u s e i t i s w r i t t e n i n t e r m s o f a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m .

W e o b s e r v e t h a t ( 1 . 6 0 ) a n d ( 1 . 6 1 ) c o r r e s p o n d t o t h e s i m p l e c a s e s = 1 :

H e n c e , t h e y d e s c r i b e t h e c u r v e e v o l u t i o n s

@

t

C = n : ( 1 . 6 7 )

T h i s e q u a t i o n m o v e s l e v e l s e t s i n n o r m a l d i r e c t i o n w i t h c o n s t a n t s p e e d . S u c h a

p r o c e s s i s a l s o n a m e d g r a s s r e o w o r p r a i r i e o w . I t i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e

H u y g e n s p r i n c i p l e f o r w a v e p r o p a g a t i o n 2 2 ] .

7

B e s i d e s t h i s a p p l i c a t i o n , c u r v e e v o l u t i o n a p p r o a c h e s p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n n u m e r o u s

o t h e r i m a g e p r o c e s s i n g p r o b l e m s r a n g i n g f r o m s h a p e - f r o m - s h a d i n g t o s k e l e t o n s , s e e 4 3 ] f o r a n

o v e r v i e w .



1 . 4 C L A S S I C M O R P H O L O G I C A L P R O C E S S E S 2 7

1 . 4 . 4 T h e o r e t i c a l r e s u l t s

E q u a t i o n s s u c h a s ( 1 . 6 7 ) m a y d e v e l o p s i n g u l a r i t i e s a n d i n t e r s e c t i o n s e v e n f o r

s m o o t h i n i t i a l d a t a . H e n c e , c o n c e p t s o f j u m p c o n d i t i o n s , e n t r o p y s o l u t i o n s , a n d

s h o c k s h a v e t o b e a p p l i e d t o t h i s s h a p e e v o l u t i o n 1 3 8 ] .

A s u i t a b l e f r a m e w o r k f o r t h e i m a g e e v o l u t i o n e q u a t i o n ( 1 . 6 5 ) i s p r o v i d e d b y

t h e t h e o r y o f v i s c o s i t y s o l u t i o n s 6 8 ] . T h e a d v a n t a g e o f t h i s a n a l y s i s i s t h a t i t

a l l o w s u s t o t r e a t s h a p e s w i t h s i n g u l a r i t i e s s u c h a s c o r n e r s , w h e r e t h e c l a s s i c a l

s o l u t i o n c o n c e p t d o e s n o t a p p l y , b u t a u n i q u e w e a k s o l u t i o n i n t h e v i s c o s i t y s e n s e

s t i l l e x i s t s .

I t c a n b e s h o w n 6 2 , 8 3 , 6 8 ] , t h a t f o r a n i n i t i a l v a l u e

f 2 B U C ( I R

2

) : = f ' 2 L

1

( I R

2

) j ' i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s o n I R

2

g ( 1 . 6 8 )

t h e e q u a t i o n s ( 1 . 5 8 ) , ( 1 . 5 9 ) p o s s e s s a u n i q u e g l o b a l v i s c o s i t y s o l u t i o n u ( x ; t ) w h i c h

f u l l s t h e m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e

i n f

I R

2

f u ( x ; t ) s u p

I R

2

f o n I R

2

0 ; 1 ) : ( 1 . 6 9 )

M o r e o v e r , i t i s L

1

- s t a b l e : f o r t w o d i e r e n t i n i t i a l i m a g e s f , g t h e c o r r e s p o n d i n g

s o l u t i o n s u ( t ) , v ( t ) s a t i s f y

k u ( t ) ? v ( t ) k

L

1

( I R

2

)

k f ? g k

L

1

( I R

2

)

: ( 1 . 7 0 )

1 . 4 . 5 S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s

B r o c k e t t a n d M a r a g o s 4 1 ] p o i n t e d o u t t h a t t h e c o n v e x i t y o f B i s s u c i e n t t o

e n s u r e t h e s e m i g r o u p p r o p e r t y o f t h e c o r r e s p o n d i n g d i l a t i o n s a n d e r o s i o n s . T h i s

e s t a b l i s h e s a n i m p o r t a n t a r c h i t e c t u r a l s c a l e - s p a c e p r o p e r t y .

S i m i l a r r e s u l t s h a v e b e e n f o u n d b y v a n d e n B o o m g a a r d a n d S m e u l d e r s 3 5 , 3 6 ] .

M o r e o v e r , t h e y c o n j e c t u r e a c a u s a l i t y p r o p e r t y w h e r e s i n g u l a r i t i e s p l a y a s i m i l a r

r o l e a s z e r o - c r o s s i n g s i n t h e G a u s s i a n s c a l e - s p a c e .

J a c k w a y e t a l . 1 3 1 , 1 3 2 ] p r o v e a c a u s a l i t y t h e o r e m f o r t h e d i l a t i o n { e r o s i o n

s c a l e - s p a c e , w h i c h i s a l s o b a s e d o n l o c a l e x t r e m a i n s t e a d o f z e r o - c r o s s i n g s . T h e y

e s t a b l i s h t h a t u n d e r e r o s i o n t h e n u m b e r o f l o c a l m i n i m a i s d e c r e a s i n g , w h i l e

d i l a t i o n r e d u c e s t h e n u m b e r o f l o c a l m a x i m a .

A c o m p l e t e s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n i s d u e t o A l v a r e z , G u i c h a r d , L i o n s a n d

M o r e l 1 1 ] : T h e y p r o v e t h a t u n d e r t h r e e a r c h i t e c t u r a l a s s u m p t i o n s ( s e m i g r o u p

p r o p e r t y , l o c a l i t y a n d r e g u l a r i t y ) , o n e s m o o t h i n g a x i o m ( m o n o t o n y ) a n d a d d i -

t i o n a l i n v a r i a n c e r e q u i r e m e n t s ( g r e y - l e v e l s h i f t i n v a r i a n c e , E u c l i d e a n i n v a r i a n c e ,

m o r p h o l o g i c a l i n v a r i a n c e ) , a t w o - d i m e n s i o n a l s c a l e - s p a c e e q u a t i o n h a s t h e f o l l o w -

i n g f o r m :

@

t

u = j r u j F ( t ; c u r v ( u ) ) ( 1 . 7 1 )




C l e a r l y , d i l a t i o n a n d e r o s i o n b e l o n g t o t h e c l a s s ( 1 . 7 1 ) , t h u s b e i n g g o o d c a n d i -

d a t e s f o r m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s . I n d e e d , i n 1 1 ] i t i s s h o w n t h a t t h e c o n v e r s e

i s t r u e a s w e l l : a l l a x i o m s t h a t l e a d t o ( 1 . 7 1 ) a r e f u l l l e d .

8


M o r p h o l o g i c a l s c h e m e s f o r d i l a t i o n o r e r o s i o n w h i c h a r e b a s e d o n c u r v e e v o l u t i o n

t u r n o u t b e b e d i c u l t t o h a n d l e : t h e y r e q u i r e p r o h i b i t i v e s m a l l t i m e s t e p s ,

a n d s u e r f r o m t h e p r o b l e m o f c o p i n g w i t h s i n g u l a r i t i e s a n d t o p o l o g i c a l c h a n g e s

1 8 8 , 2 2 , 2 1 3 ] .

F o r t h i s r e a s o n i t i s u s e f u l t o d i s c r e t i z e t h e c o r r e s p o n d i n g i m a g e e v o l u t i o n

e q u a t i o n s . T h e P S C s c h e m e s

9

o f O s h e r a n d S e t h i a n 1 8 8 ] a r e b a s e d o n t h e i d e a

t o d e r i v e n u m e r i c a l m e t h o d s f o r s u c h e q u a t i o n s f r o m t e c h n i q u e s f o r h y p e r b o l i c

c o n s e r v a t i o n l a w s .

T o i l l u s t r a t e t h i s w i t h a s i m p l e e x a m p l e , l e t u s r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e o n e -

d i m e n s i o n a l d i l a t i o n e q u a t i o n @

t

u = j @

x

u j : A r s t - o r d e r u p w i n d P S C s c h e m e f o r

t h i s p r o c e s s i s g i v e n b y

u

n + 1

i

? u

n

i

=

s

m i n

u

n

i

? u

n

i ? 1

h

; 0

2

+

m a x

u

n

i + 1

? u

n

i

h

; 0

2

; ( 1 . 7 2 )

w h e r e h i s t h e p i x e l s i z e , i s t h e t i m e s t e p s i z e , a n d u

n

i

d e n o t e s a d i s c r e t e

a p p r o x i m a t i o n o f u ( i h ; n ) :

S u c h P D E - b a s e d m o r p h o l o g i c a l s c h e m e s p o s s e s s t w o a d v a n t a g e s o v e r c l a s s i c a l

s e t - t h e o r e t i c s c h e m e s f o r d i l a t i o n / e r o s i o n 2 2 , 2 1 3 ] :

( a ) T h e y g i v e e x c e l l e n t r e s u l t s f o r n o n - d i g i t a l l y s c a l a b l e s t r u c t u r i n g e l e m e n t s

w h o s e s h a p e s c a n n o t b e r e p r e s e n t e d c o r r e c t l y o n a d i s c r e t e g r i d , f o r i n s t a n c e

d i s c s o r e l l i p s e s .

( b ) T h e t i m e t p l a y s t h e r o l e o f a c o n t i n u o u s s c a l e p a r a m e t e r . T h e r e f o r e , t h e

s i z e o f a s t r u c t u r i n g e l e m e n t n e e d n o t t o b e m u l t i p l e s o f t h e p i x e l s i z e , a n d

i t i s p o s s i b l e t o g e t r e s u l t s w i t h s u b - p i x e l a c c u r a c y .

H o w e v e r , t h e y r e v e a l a l s o t w o d i s a d v a n t a g e s :

( a ) T h e y a r e s l o w e r t h a n s e t - t h e o r e t i c m o r p h o l o g i c a l s c h e m e s .

( b ) D i s s i p a t i v e e e c t s s u c h a s b l u r r i n g o f d i s c o n t i n u i t i e s o c c u r .

T o a d d r e s s t h e r s t p r o b l e m , s p e e d - u p t e c h n i q u e s f o r s h a p e e v o l u t i o n h a v e b e e n

p r o p o s e d 6 ] , w h i c h u s e o n l y p o i n t s c l o s e t o t h e c u r v e a t e v e r y t i m e s t e p . B l u r r i n g

o f d i s c o n t i n u i t i e s c a n b e m i n i m i z e d b y a p p l y i n g s h o c k - c a p t u r i n g t e c h n i q u e s s u c h

a s h i g h - o r d e r E N O s c h e m e s 2 3 7 , 2 3 4 ] .

8

E u c l i d e a n i n v a r i a n c e i s o n l y s a t i s e d f o r a d i s c c e n t e r e d i n 0 a s s t r u c t u r i n g e l e m e n t .

9

P S C m e a n s \ p r o p a g a t i o n o f s u r f a c e s u n d e r c u r v a t u r e " .



1 . 5 C U R V A T U R E - B A S E D M O R P H O L O G I C A L P R O C E S S E S 2 9

1 . 5 C u r v a t u r e - b a s e d m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s

B e s i d e s p r o v i d i n g a u s e f u l r e i n t e r p r e t a t i o n o f c l a s s i c c o n t i n u o u s - s c a l e m o r p h o l -

o g y , t h e P D E a p p r o a c h h a s l e d t o t h e d i s c o v e r y o f n e w m o r p h o l o g i c a l o p e r a t o r s .

T h e s e p r o c e s s e s a r e c u r v a t u r e - b a s e d , a n d { a l t h o u g h t h e y c a n n o t b e w r i t t e n i n

c o n s e r v a t i o n f o r m { t h e y r e v e a l i n t e r e s t i n g r e l a t i o n s t o d i u s i o n p r o c e s s e s . T w o

i m p o r t a n t r e p r e s e n t a t i v e s o f t h i s c l a s s a r e c u r v a t u r e m o t i o n a n d t h e s o - c a l l e d

f u n d a m e n t a l e q u a t i o n i n i m a g e p r o c e s s i n g . I n t h i s s u b s e c t i o n w e s h a l l d i s c u s s

t h e s e P D E s , p o s s i b l e g e n e r a l i z a t i o n s , n u m e r i c a l a s p e c t s , a n d a p p l i c a t i o n s .

1 . 5 . 1 M e a n - c u r v a t u r e l t e r i n g

I n o r d e r t o m o t i v a t e o u r r s t c u r v a t u r e - b a s e d m o r p h o l o g i c a l P D E , l e t u s r e c a l l

t h a t t h e l i n e a r d i u s i o n e q u a t i o n ( 1 . 9 ) c a n b e r e w r i t t e n a s

@

t

u = @

u + @

u ; ( 1 . 7 3 )

w h e r e t h e g a u g e c o o r d i n a t e s a n d p o i n t i n t h e d i r e c t i o n p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c -

u l a r t o r u , r e s p e c t i v e l y . T h e r s t t e r m o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 1 . 7 3 ) d e s c r i b e s

s m o o t h i n g a l o n g t h e o w l i n e s , w h i l e t h e s e c o n d o n e s m o o t h e s a l o n g i s o p h o t e s .

W h e n w e w a n t t o s m o o t h t h e i m a g e a n i s o t r o p i c a l l y a l o n g i t s i s o p h o t e s , w e c a n

n e g l e c t t h e r s t t e r m a n d e n d u p w i t h t h e p r o b l e m

@

t

u = @

u ; ( 1 . 7 4 )

u ( x ; 0 ) = f ( x ) : ( 1 . 7 5 )

B y s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n s o n e v e r i e s t h a t ( 1 . 7 4 ) c a n a l s o b e w r i t t e n a s

@

t

u =

u

2

x

2

u

x

1

x

1

? 2 u

x

1

u

x

2

u

x

1

x

2

+ u

2

x

1

u

x

2

x

2

u

2

x

1

+ u

2

x

2

( 1 . 7 6 )

= u ?

1

j r u j

2

h r u ; H e s s ( u ) r u i ( 1 . 7 7 )

= j r u j c u r v ( u ) : ( 1 . 7 8 )

P r o c e s s e s o f t h i s t y p e a r e o f i m p o r t a n c e f o r a m e p r o p a g a t i o n a n d c r y s t a l g r o w t h ,

s e e 1 8 8 ] a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n . S i n c e c u r v ( u ) = d i v

r u

j r u j

i s t h e c u r v a t u r e

o f u ( m e a n c u r v a t u r e f o r d i m e n s i o n s 3 ) , e q u a t i o n ( 1 . 7 8 ) i s n a m e d ( m e a n - )

c u r v a t u r e m o t i o n ( M C M ) . T h e c o r r e s p o n d i n g c u r v e e v o l u t i o n

@

t

C ( p ; t ) = ( p ; t ) n ( p ; t ) ( 1 . 7 9 )

s h o w s t h a t ( 1 . 7 4 ) p r o p a g a t e s i s o p h o t e s i n i n n e r n o r m a l d i r e c t i o n w i t h a v e l o c i t y

t h a t i s g i v e n b y t h e i r c u r v a t u r e =

d e t ( C

p

; C

p p

)

j C

p

j

3

: I t i s c a l l e d g e o m e t r i c h e a t e q u a -

t i o n o r E u c l i d e a n s h o r t e n i n g o w . T h e s u b s e q u e n t d i s c u s s i o n s s h a l l c l a r i f y t h e s e

n a m e s .




I n t r i n s i c h e a t o w

I n t e r e s t i n g l y , t h e r e e x i s t s a f u r t h e r c o n n e c t i o n b e t w e e n l i n e a r d i u s i o n a n d m o -

t i o n b y c u r v a t u r e . L e t v ( p ; t ) d e n o t e t h e E u c l i d e a n a r c - l e n g t h o f C ( p ; t ) ; i . e .

v ( p ; t ) : =

p

Z

0

j C

( ; t ) j d ; ( 1 . 8 0 )

w h e r e C

: = @

C : T h e E u c l i d e a n a r c - l e n g t h i s c h a r a c t e r i z e d b y j C

v

j = 1 : I t i s

i n v a r i a n t u n d e r E u c l i d e a n t r a n s f o r m a t i o n s , i . e . m a p p i n g s

x ! R x + b ( 1 . 8 1 )

w h e r e R 2 I R

2 2

d e n o t e s a r o t a t i o n m a t r i x a n d b 2 I R

2

i s a t r a n s l a t i o n v e c t o r .

S i n c e i t i s w e l l - k n o w n f r o m d i e r e n t i a l g e o m e t r y ( s e e e . g . 5 0 ] , p . 1 4 ) t h a t

( p ; t ) n ( p ; t ) = @

v v

C ( p ; t ) ; ( 1 . 8 2 )

w e r e c o g n i z e t h a t c u r v a t u r e m o t i o n c a n b e r e g a r d e d a s E u c l i d e a n i n v a r i a n t d i f -

f u s i o n o f i s o p h o t e s :

@

t

C ( p ; t ) = @

v v

C ( p ; t ) : ( 1 . 8 3 )

T h i s g e o m e t r i c h e a t e q u a t i o n i s i n t r i n s i c , a s i t i s i n d e p e n d e n t o f t h e c u r v e p a r a -

m e t r i z a t i o n . H o w e v e r , t h e r e a d e r s h o u l d b e a w a r e o f t h e f a c t t h a t { a l t h o u g h t h i s

e q u a t i o n l o o k s l i k e a l i n e a r o n e - d i m e n s i o n a l h e a t e q u a t i o n { i t i s i n f a c t n o n l i n e a r ,

s i n c e t h e a r c - l e n g t h v i s a g a i n a f u n c t i o n o f t h e c u r v e .

T h e o r e t i c a l r e s u l t s

F o r t h e e v o l u t i o n o f a s m o o t h c u r v e u n d e r i t s c u r v a t u r e , i t h a s b e e n s h o w n i n 1 2 3 ,

9 5 , 1 1 0 ] t h a t a s m o o t h s o l u t i o n e x i s t s f o r s o m e n i t e t i m e i n t e r v a l 0 ; T ) . A c o n v e x

c u r v e r e m a i n s c o n v e x , a n o n c o n v e x o n e b e c o m e s c o n v e x a n d , f o r t ! T ; t h e c u r v e

s h r i n k s t o a c i r c u l a r p o i n t , i . e . a p o i n t w i t h a c i r c l e a s l i m i t i n g s h a p e . M o r e o v e r ,

s i n c e u n d e r a l l o w s C

t

= C

q q

t h e E u c l i d e a n a r c - l e n g t h p a r a m e t r i z a t i o n q ( p ) : =

v ( p ) i s t h e f a s t e s t w a y t o s h r i n k t h e E u c l i d e a n p e r i m e t e r

H

j C

p

j d p ; e q u a t i o n

( 1 . 8 3 ) i s c a l l e d E u c l i d e a n s h o r t e n i n g o w 9 4 ] . T h e t i m e f o r s h r i n k i n g a c i r c l e o f

r a d i u s t o a p o i n t i s g i v e n b y

T =

1

2

2

: ( 1 . 8 4 )

I n a n a l o g y t o t h e d i l a t i o n / e r o s i o n c a s e i t c a n b e s h o w n t h a t , f o r a n i n i t i a l i m a g e

f 2 B U C ( I R

2

) ; e q u a t i o n ( 1 . 7 4 ) h a s a u n i q u e v i s c o s i t y s o l u t i o n w h i c h i s L

1

- s t a b l e

a n d s a t i s e s a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e 1 1 ] .




S c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n

A s h a p e s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n f o r c u r v e e v o l u t i o n u n d e r E u c l i d e a n h e a t o w

i s s t u d i e d b y K i m i a a n d S i d d i q i 1 3 7 ] . I t i s b a s e d o n r e s u l t s o f E v a n s a n d S p r u c k

8 3 ] . T h e y e s t a b l i s h t h e s e m i g r o u p p r o p e r t y a s a r c h i t e c t u r a l q u a l i t y , a n d s m o o t h -

i n g p r o p e r t i e s f o l l o w f r o m t h e f a c t t h a t t h e t o t a l c u r v a t u r e d e c r e a s e s . M o r e o v e r ,

t h e n u m b e r o f e x t r e m a a n d i n e c t i o n p o i n t s o f t h e c u r v a t u r e i s n o n i n c r e a s i n g .

A s a n i m a g e e v o l u t i o n , M C M b e l o n g s t o t h e c l a s s o f m o r p h o l o g i c a l s c a l e -

s p a c e s w h i c h s a t i s f y t h e g e n e r a l a x i o m s o f A l v a r e z , G u i c h a r d , L i o n s a n d M o r e l

1 1 ] , t h a t w e h a v e m e n t i o n e d i n 1 . 4 . 5 .

W h e n s t u d y i n g t h e e v o l u t i o n o f i s o p h o t e s u n d e r M C M , i t c a n b e s h o w n t h a t ,

i f o n e i s o p h o t e i s e n c l o s e d b y a n o t h e r , t h i s o r d e r i n g i s p r e s e r v e d 8 3 , 1 3 7 ] . S u c h a

s h a p e i n c l u s i o n p r i n c i p l e i m p l i e s i n c o n n e c t i o n w i t h ( 1 . 8 4 ) t h a t i t t a k e s t h e t i m e

T =

1

2

2

t o r e m o v e a l l i s o p h o t e s w i t h i n a c i r c l e o f r a d i u s . T h i s s h o w s t h a t t h e

r e l a t i o n b e t w e e n t e m p o r a l a n d s p a t i a l s c a l e f o r M C M i s t h e s a m e a s f o r l i n e a r

d i u s i o n l t e r i n g ( c f . ( 1 . 1 4 ) ) .

M o r e o v e r , t w o l e v e l s e t s c a n n o t m o v e c l o s e r t o o n e a n o t h e r t h a n t h e y w e r e

i n i t i a l l y 8 3 , 1 3 7 ] . H e n c e , c o n t r a s t c a n n o t b e e n h a n c e d . T h i s p r o p e r t y i s c h a r a c -

t e r i s t i c f o r a l l s c a l e - s p a c e s o f t h e A l v a r e z { G u i c h a r d { L i o n s { M o r e l a x i o m a t i c a n d

d i s t i n g u i s h e s t h e m f r o m n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s .

1 . 5 . 2 A n e i n v a r i a n t l t e r i n g

M o t i v a t i o n

A l t h o u g h E u c l i d e a n i n v a r i a n t s m o o t h i n g m e t h o d s a r e s u c i e n t i n m a n y a p p l i c a -

t i o n s , t h e r e e x i s t c e r t a i n p r o b l e m s w h i c h a l s o r e q u i r e i n v a r i a n c e w i t h r e s p e c t t o

a n e t r a n s f o r m a t i o n s . A ( f u l l ) a n e t r a n s f o r m a t i o n i s a m a p p i n g

x ! A x + b ( 1 . 8 5 )

w h e r e b 2 I R

2

d e n o t e s a t r a n s l a t i o n v e c t o r a n d t h e m a t r i x A 2 I R

2 2

i s i n v e r t i b l e .

A n e t r a n s f o r m a t i o n s a r i s e a s s h a p e d i s t o r t i o n s o f p l a n a r o b j e c t s w h e n b e i n g

o b s e r v e d f r o m a l a r g e d i s t a n c e u n d e r d i e r e n t a n g l e s .

A n e i n v a r i a n t i n t r i n s i c d i u s i o n

I n a n a l o g y t o t h e E u c l i d e a n i n v a r i a n t h e a t o w , S a p i r o a n d T a n n e n b a u m 2 1 4 ,

2 1 5 ] c o n s t r u c t e d a n a n e i n v a r i a n t o w b y r e p l a c i n g t h e E u c l i d e a n a r c - l e n g t h

v ( p ; t ) i n ( 1 . 8 3 ) b y a n \ a r c - l e n g t h " s ( p ; t ) t h a t i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o

a n e t r a n s f o r m a t i o n s w i t h d e t ( A ) = 1 ( a n d r e l a t i v e i n v a r i a n t t o f u l l a n e

t r a n s f o r m a t i o n s ) .




S u c h a n a n e a r c - l e n g t h w a s p r o p o s e d b y B l a s c h k e 3 3 , p p . 1 2 { 1 5 ] i n 1 9 2 3 .

I t i s c h a r a c t e r i z e d b y d e t ( C

s

; C

s s

) = 1 ; a n d i t c a n b e c a l c u l a t e d a s

s ( p ; t ) : =

p

Z

0

d e t

C

( ; t ) ; C

( ; t )

1

3

d : ( 1 . 8 6 )

B y v i r t u e o f

@

s s

C ( p ; t ) =

( p ; t )

1

3

n ( p ; t ) ( 1 . 8 7 )

w e o b t a i n t h e a n e i n v a r i a n t h e a t o w

@

t

C ( p ; t ) =

( p ; t )

1

3

n ( p ; t ) ; ( 1 . 8 8 )

C ( p ; 0 ) = C

0

( p ) : ( 1 . 8 9 )

A n e i n v a r i a n t i m a g e e v o l u t i o n

W h e n r e g a r d i n g t h e c u r v e C ( p ; t ) a s a l e v e l - l i n e o f a n i m a g e u ( x ; t ) ; w e e n d u p

w i t h t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n

@

t

u = j r u j

c u r v ( u )

1

3

( 1 . 9 0 )

=

u

2

x

2

u

x

1

x

1

? 2 u

x

1

u

x

2

u

x

1

x

2

+ u

2

x

1

u

x

2

x

2

1

3

( 1 . 9 1 )

= j r u j

2

3

u

1

3

; ( 1 . 9 2 )

w h e r e i s t h e d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o r u .

B e s i d e s t h e n a m e a n e i n v a r i a n t h e a t o w , t h i s e q u a t i o n i s a l s o c a l l e d a n e

s h o r t e n i n g o w , a n e m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e ( A M S S ) , a n d f u n d a m e n t a l e q u a -

t i o n i n i m a g e p r o c e s s i n g .

T h i s i m a g e e v o l u t i o n e q u a t i o n h a s b e e n d i s c o v e r e d i n d e p e n d e n t l y a n d s i m u l -

t a n e o u s l y t o t h e c u r v e e v o l u t i o n a p p r o a c h o f S a p i r o a n d T a n n e n b a u m b y A l v a r e z ,

G u i c h a r d , L i o n s a n d M o r e l 9 , 1 1 ] v i a a n a x i o m a t i c s c a l e - s p a c e a p p r o a c h . A f t e r

h a v i n g m e n t i o n e d s o m e t h e o r e t i c a l r e s u l t s , w e s h a l l b r i e y s k e t c h t h i s r e a s o n i n g

b e l o w .

T h e o r e t i c a l r e s u l t s

T h e c u r v e e v o l u t i o n p r o p e r t i e s o f a n e i n v a r i a n t h e a t o w c a n b e s h o w n t o b e

t h e s a m e a s i n t h e E u c l i d e a n i n v a r i a n t c a s e , w i t h t h r e e e x c e p t i o n s 2 1 5 ] :

( a ) C l o s e d c u r v e s s h r i n k t o p o i n t s w i t h a n e l l i p s e a s l i m i t i n g s h a p e ( e l l i p t i c a l

p o i n t s ) .




( b ) T h e n a m e a n e s h o r t e n i n g o w r e e c t s t h e f a c t t h a t , u n d e r a l l o w s C

t

=

C

q q

; t h e a n e a r c - l e n g t h p a r a m e t r i z a t i o n q ( p ) : = s ( p ) i s t h e f a s t e s t w a y

t o s h r i n k t h e a n e p e r i m e t e r

L ( t ) : =

I

d e t

C

p

( p ; t ) ; C

p p

( p ; t )

1

3

d p : ( 1 . 9 3 )

( c ) T h e t i m e f o r s h r i n k i n g a c i r c l e o f r a d i u s t o a p o i n t i s

T =

3

4

4

3

: ( 1 . 9 4 )

F o r t h e i m a g e e v o l u t i o n e q u a t i o n ( 1 . 9 0 ) w e h a v e t h e s a m e r e s u l t s a s f o r M C M

a n d d i l a t i o n / e r o s i o n c o n c e r n i n g w e l l - p o s e d n e s s o f a v i s c o s i t y s o l u t i o n w h i c h s a t -

i s e s a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e 1 1 ] .

S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s

A l v a r e z , G u i c h a r d , L i o n s a n d M o r e l 9 , 1 1 ] p r o v e d t h a t ( 1 . 9 0 ) i s u n i q u e ( u p

t o t e m p o r a l r e s c a l i n g s ) w h e n i m p o s i n g o n t h e s c a l e - s p a c e a x i o m s f o r ( 1 . 7 1 ) a n

a d d i t i o n a l a n e i n v a r i a n c e a x i o m :

F o r e v e r y i n v e r t i b l e A 2 I R

2 2

a n d f o r a l l t 0 ; t h e r e e x i s t s a

r e s c a l e d t i m e t

0

( t ; A ) 0 ; s u c h t h a t

T

t

( A f ) = A ( T

t

0

f ) 8 f 2 B U C ( I R

2

) : ( 1 . 9 5 )

F o r t h i s r e a s o n t h e y c a l l t h e A M S S e q u a t i o n a l s o f u n d a m e n t a l e q u a t i o n i n

i m a g e a n a l y s i s . S i m p l i c a t i o n s o f t h i s a x i o m a t i c a n d r e l a t e d a x i o m s f o r s h a p e

s c a l e - s p a c e s c a n b e f o u n d i n 1 5 , 1 6 ] .

T h e s c a l e - s p a c e r e a s o n i n g o f S a p i r o a n d T a n n e n b a u m i n v e s t i g a t e s p r o p e r t i e s

o f t h e c u r v e e v o l u t i o n , s e e 2 1 4 ] a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n . B a s e d o n r e s u l t s o f

1 3 9 , 2 1 ] t h e y p o i n t o u t t h a t t h e E u c l i d e a n a b s o l u t e c u r v a t u r e d e c r e a s e s a s w e l l

a s t h e n u m b e r o f e x t r e m a a n d i n e c t i o n p o i n t s o f c u r v a t u r e . M o r e o v e r , a s h a p e

i n c l u s i o n p r i n c i p l e h o l d s .

1 . 5 . 3 G e n e r a l i z a t i o n s

I n o r d e r t o a n a l y s e p l a n a r s h a p e s i n a w a y t h a t d o e s n o t d e p e n d o n t h e i r l o c a -

t i o n i n I R

3

, o n e r e q u i r e s a m u l t i s c a l e a n a l y s i s w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r a g e n e r a l

p r o j e c t i v e m a p p i n g

( x

1

; x

2

)

>

!

a

1 1

x

1

+ a

2 1

x

2

+ a

3 1

a

1 3

x

1

+ a

2 3

x

2

+ a

3 3

;

a

1 2

x

1

+ a

2 2

x

2

+ a

3 2

a

1 3

x

1

+ a

2 3

x

2

+ a

3 3

>

( 1 . 9 6 )




w i t h A = ( a

i j

) 2 I R

3 3

a n d d e t A = 1 : R e s e a r c h i n t h i s d i r e c t i o n h a s b e e n c a r r i e d

o u t b y F a u g e r a s 8 4 , 8 5 ] , B r u c k s t e i n a n d S h a k e d 4 5 ] , O l v e r e t a l . 1 8 4 , 1 8 5 ] ,

a n d D i b o s 7 2 ] . I t t u r n s o u t t h a t i n t r i n s i c h e a t - e q u a t i o n - l i k e f o r m u l a t i o n s f o r t h e

p r o j e c t i v e g r o u p a r e m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h e E u c l i d e a n a n d a n e i n v a r i a n t

o n e s , a n d t h a t t h e r e i s s o m e e v i d e n c e t h a t t h e y d o n o t r e v e a l t h e s a m e s m o o t h i n g

s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s 1 8 4 , 1 8 5 ] . A g e n e r a l s t u d y o f i n t r i n s i c h e a t o w s w h i c h a r e

i n v a r i a n t u n d e r s u b g r o u p s o f t h e p r o j e c t i v e g r o u p c a n b e f o u n d i n 1 8 4 , 1 8 5 ] .

T h e E u c l i d e a n a n d a n e i n v a r i a n t c u r v e e v o l u t i o n m a y a l s o b e m o d i e d i n

o r d e r t o o b t a i n a r e a - o r l e n g t h - p r e s e r v i n g e q u a t i o n s 9 4 , 2 1 6 , 2 1 9 ] . B y a d o p t i n g

a N o r d s t r o m - l i k e m o d i c a t i o n ( c f . ( 1 . 4 5 ) ) t o c u r v e e v o l u t i o n u n d e r E u c l i d e a n

s h o r t e n i n g o w , o n e c a n a v o i d t h e d r a w b a c k t h a t c o r n e r s g e t r o u n d e d a n d c u r v e s

s h r i n k t o p o i n t s 8 7 ] . S i n c e t h e s e m e t h o d s w o r k w e l l f o r c u r v e e v o l u t i o n , i t w o u l d

b e i n t e r e s t i n g t o s t u d y w h e t h e r t h e y a r e p r a c t i c a b l e a n d u s e f u l f o r t h e e v o l u t i o n

o f i m a g e s .

G e n e r a l i z a t i o n s o f M C M o r A M M S f o r 3 D i m a g e s a r e i n v e s t i g a t e d i n 5 4 , 1 7 5 ,

1 8 5 ] . T h e c r u c i a l p r o b l e m i n t h i s c a s e i s t o c o m b i n e t h e p r i n c i p a l c u r v a t u r e s i n

s u c h a w a y t h a t t h e r e s u l t i n g p r o c e s s s i m p l i e s a r b i t r a r y s u r f a c e s b y d e f o r m i n g

t h e m ( e . g . i n t o s p h e r e s ) w i t h o u t c r e a t i n g s i n g u l a r i t i e s .

A n e s c a l e - s p a c e a x i o m a t i c s f o r i m a g e s e q u e n c e s ( m o v i e s ) h a v e b e e n e s t a b -

l i s h e d i n 1 0 , 1 1 , 1 6 9 ] , w h i l e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e A l v a r e z { G u i c h a r d { L i o n s { M o r e l

a x i o m a t i c t o s c a l e - s p a c e s f o r c o l o u r i m a g e s a r e a t o p i c o f c u r r e n t r e s e a r c h 5 9 ] .


D u e t o t h e e q u i v a l e n c e b e t w e e n c u r v e e v o l u t i o n a n d m o r p h o l o g i c a l i m a g e p r o -

c e s s i n g P D E s , w e h a v e t w o m a i n c l a s s e s o f n u m e r i c a l m e t h o d s : c u r v e o r s h a p e

e v o l u t i o n m e t h o d s , a n d a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s f o r t h e E u l e r i a n f o r m u l a t i o n . A

c o m p a r i s o n o f d i e r e n t m e t h o d s o f b o t h c l a s s e s c a n b e f o u n d i n 6 4 ] .

W h e n a p p l y i n g c u r v e o r s h a p e e v o l u t i o n s c h e m e s t o i m a g e s , o n e s e p a r a t e s t h e

i m a g e i n t o a ( n i t e ) n u m b e r o f l e v e l c u r v e s a n d e v o l v e s e a c h c u r v e s e p a r a t e l y .

A f t e r w a r d s , t h e r e s u l t s h a v e t o b e s u p e r i m p o s e d t o o b t a i n t h e e v o l v e d i m a g e .

C u r v e e v o l u t i o n s c h e m e s a r e i n v e s t i g a t e d b y M o k h t a r i a n a n d M a c k w o r t h 1 7 0 ] ,

B r u c k s t e i n e t a l . 4 4 ] , a n d C o h i g n a c e t a l . 6 4 ] . I n 4 4 ] d i s c r e t e a n a l o g u e s o f

M C M a n d A M S S f o r t h e e v o l u t i o n o f p l a n a r p o l y g o n s a r e i n t r o d u c e d . I n c o m -

p l e t e a n a l o g y t o t h e b e h a v i o u r o f t h e c o n t i n u o u s e q u a t i o n s , c o n v e r g e n c e t o p o l y -

g o n e s , w h o s e c o r n e r s b e l o n g t o c i r c l e s a n d e l l i p s e s , r e s p e c t i v e l y , i s e s t a b l i s h e d .

C o n v e r g e n t s e t - t h e o r e t i c m o r p h o l o g i c a l s c h e m e s f o r M C M a n d A M S S h a v e b e e n

p r o p o s e d b y C a t t e e t a l . 5 7 , 5 6 ] .

A l t h o u g h c u r v e e v o l u t i o n s c h e m e s h a v e a n e x c e l l e n t b e h a v i o u r w i t h r e s p e c t t o

m o r p h o l o g i c a l i n v a r i a n c e ( a n d a n e i n v a r i a n c e i n t h e c a s e o f A M S S ) , t h e y h a v e

m a i n l y b e e n u s e d f o r t h e e v o l u t i o n o f a s i n g l e c u r v e . T h e i r a p p l i c a t i o n t o i m a g e s




i s l e s s e c i e n t b e c a u s e o f t h e h i g h c o m p u t a t i o n a l c o s t t o t r e a t e a c h l e v e l c u r v e

s e p a r a t e l y 1 5 ] .

T h i s h i g h e o r t f o r e v o l v i n g i m a g e s c a n b e c i r c u m v e n t e d b y a p p r o x i m a t i n g

d i r e c t l y t h e i m a g e e v o l u t i o n e q u a t i o n s .

M o s t d i s c r e t i z a t i o n s o f m o r p h o l o g i c a l i m a g e e v o l u t i o n P D E s a r e b a s e d o n t h e

P S C s c h e m e s o f O s h e r a n d S e t h i a n 1 8 8 ] . I n t h e c a s e o f M C M o r A M S S , t h i s l e a d s

t o a n e x p l i c i t n i t e d i e r e n c e m e t h o d w h i c h a p p r o x i m a t e s t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s

b y c e n t r a l d i e r e n c e s . S u c h a s c h e m e i s u s e d b y S a p i r o a n d T a n n e n b a u m 2 1 4 ] ,

w h i l e C o h i g n a c e t a l . 6 4 ] , a n d A l v a r e z a n d M o r a l e s 1 4 ] m o d i f y t h e a p p r o x i m a -

t i o n o f t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s i n o r d e r t o g e t b e t t e r r o t a t i o n a l i n v a r i a n c e a n d

s t a b i l i t y p r o p e r t i e s . N i e s s e n e t a l . 1 7 7 , 1 7 8 ] a p p r o x i m a t e t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s

b y G a u s s i a n d e r i v a t i v e s w h i c h a r e c a l c u l a t e d i n t h e F o u r i e r d o m a i n .

C o n c e r n i n g s t a b i l i t y o n e o b s e r v e s t h a t t h e e x p l i c i t P S C - l i k e a p p r o a c h e s d o n o t

p r e s e r v e a d i s c r e t e m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e a n d r e q u i r e s m a l l t i m e s t e p s t o

b e e x p e r i m e n t a l l y s t a b l e . F o r t h e A M S S a n a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t a p p e a r s : t h e

b e h a v i o u r o f t h i s e q u a t i o n i s h i g h l y n o n l o c a l , s i n c e t h e a n e i n v a r i a n c e i m p l i e s

t h a t c i r c l e s a r e e q u i v a l e n t t o e l l i p s e s o f a n y a r b i t r a r y e c c e n t r i c i t y . I f o n e w a n t s

t o h a v e a g o o d n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f a n e i n v a r i a n c e o n e h a s t o d e c r e a s e

t h e t i m e s t e p s i z e s i g n i c a n t l y b e l o w t h e s t e p s i z e o f e x p e r i m e n t a l s t a b i l i t y 1 5 ] .

O n e w a y t o a c h i e v e u n c o n d i t i o n a l L

1

- s t a b i l i t y f o r M C M i s t o r e p l a c e u

b y

a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f x e d s m o o t h i n g d i r e c t i o n s a n d t o a p p l y a s e m i - i m p l i c i t

n i t e d i e r e n c e s c h e m e ( c f . 6 4 , 1 2 ] ) . H o w e v e r , s u c h a p p r o x i m a t i o n s r e n o u n c e

c o n s i s t e n c y w i t h t h e o r i g i n a l e q u a t i o n a s w e l l a s r o t a t i o n a l i n v a r i a n c e ( r o u n d

s h a p e s e v o l v e i n t o p o l y g o n a l s t r u c t u r e s ) .

1 . 5 . 5 A p p l i c a t i o n s

T h e s p e c i a l i n v a r i a n c e s o f A M S S a r e u s e f u l f o r s h a p e r e c o g n i t i o n t a s k s 1 1 , 8 6 ] , f o r

c o r n e r d e t e c t i o n 1 4 ] , a n d f o r t e x t u r e d i s c r i m i n a t i o n 1 5 8 , 1 5 ] . M C M a n d A M S S

h a v e a l s o b e e n a p p l i e d t o d e n o i s i n g 1 7 7 , 1 7 8 ] a n d b l o b d e t e c t i o n 1 0 0 ] i n m e d i c a l

i m a g e s .

I f o n e a i m s t o u s e t h e s e e q u a t i o n s f o r i m a g e r e s t o r a t i o n o n e u s u a l l y m o d i e s

t h e m b y m u l t i p l y i n g t h e m w i t h a t e r m t h a t r e d u c e s s m o o t h i n g a t e d g e s w i t h

l a r g e g r a d i e n t s 1 2 , 2 1 7 , 2 1 8 ] . A n o t h e r m o d i c a t i o n r e s u l t s f r o m o m i t t i n g t h e

f a c t o r j r u j i n t h e m e a n c u r v a t u r e m o t i o n ( 1 . 7 8 ) , s e e e . g . 8 1 , 8 2 ] . T h i s c o r r e -

s p o n d s t o n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s a n d a r e s t o r a t i o n m e t h o d b y t o t a l v a r i a t i o n

m i n i m i z a t i o n 2 0 7 ] w h i c h w e s h a l l d e s c r i b e i n 1 . 6 . 2 . R e l a t e d m o d e l s t o M C M a l s o

a p p e a r i n t h e c o n t e x t o f a c t i v e c o n t o u r m o d e l s 5 2 , 1 6 1 , 1 6 0 , 1 6 2 , 2 5 9 , 5 3 , 5 5 ] .

F o r i m a g e r e s t o r a t i o n t a s k s , M C M o r A M S S a r e f r e q u e n t l y c o m b i n e d w i t h o t h e r

p r o c e s s e s s u c h a s l i n e a r d i u s i o n 1 2 ] , s h o c k l t e r i n g ( 1 3 ] , c f . 1 . 6 . 1 ) o r g l o b a l

P D E s f o r h i s t o g r a m m e e n h a n c e m e n t 2 1 2 ] .




A l l t h e s e p r e c e d i n g m o d i c a t i o n s a r e a t t h e e x p e n s e o f r e n o u n c i n g t h e m o r -

p h o l o g i c a l i n v a r i a n c e o f t h e g e n u i n e o p e r a t o r s ( a n d a l s o a n e i n v a r i a n c e i n t h e

c a s e o f 2 1 7 , 2 1 8 ] , u n l e s s a n \ a n e i n v a r i a n t g r a d i e n t " i s u s e d ) . I f o n e w a n t s t o

r e m a i n w i t h i n t h e m o r p h o l o g i c a l f r a m e w o r k o n e c a n c o m b i n e d i e r e n t m o r p h o -

l o g i c a l p r o c e s s e s , f o r i n s t a n c e M C M a n d d i l a t i o n / e r o s i o n . T h i s s o - c a l l e d e n t r o p y

s c a l e - s p a c e i s u s e f u l f o r a n a l y s i n g c o m p o n e n t s o f s h a p e 1 3 8 , 1 4 0 , 2 3 3 , 2 3 8 , 2 6 9 ] .

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t i n 1 9 6 5 G a b o r ( t h e i n v e n t o r o f o p t i c a l h o l o g r a p h y

a n d t h e s o - c a l l e d G a b o r f u n c t i o n s ) p r o p o s e d a d e b l u r r i n g a l g o r i t h m b a s e d o n

s o l v i n g M C M b a c k w a r d s i n t i m e 9 3 , 1 5 4 ] , a l o n g - t i m e f o r g o t t e n m e t h o d .

1 . 6 T o t a l v a r i a t i o n m e t h o d s

I n s p i r e d b y o b s e r v a t i o n s f r o m u i d d y n a m i c s w h e r e t h e t o t a l v a r i a t i o n ( T V )

T V ( u ) : =

Z

j r u j d x ( 1 . 9 7 )

p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e f o r s h o c k c a l c u l a t i o n s , o n e m a y a s k i f i t i s p o s s i b l e t o a p p l y

r e l a t e d i d e a s t o i m a g e p r o c e s s i n g . T h i s w o u l d b e u s e f u l t o r e s t o r e d i s c o n t i n u i t i e s

s u c h a s e d g e s .

B e l o w w e s h a l l f o c u s o n t w o i m p o r t a n t T V - b a s e d i m a g e r e s t o r a t i o n t e c h n i q u e s

w h i c h h a v e b e e n p i o n e e r e d b y O s h e r a n d R u d i n : T V - p r e s e r v i n g m e t h o d s a n d

t e c h n i q u e s w h i c h a r e T V - m i n i m i z i n g s u b j e c t t o c e r t a i n c o n s t r a i n t s .

1 0

1 . 6 . 1 T V - p r e s e r v i n g m e t h o d s

I n 1 9 9 0 , O s h e r a n d R u d i n h a v e p r o p o s e d t o r e s t o r e b l u r r e d i m a g e s b y s h o c k l -

t e r i n g 1 8 6 ] . T h e s e l t e r s c a l c u l a t e t h e r e s t o r e d i m a g e a s t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n

o f t h e p r o b l e m

@

t

u = ? j r u j F ( L ( u ) ) ; ( 1 . 9 8 )

u ( x ; 0 ) = f ( x ) : ( 1 . 9 9 )

H e r e , s g n ( F ( u ) ) = s g n ( u ) ; a n d L ( u ) i s a s e c o n d - o r d e r e l l i p t i c o p e r a t o r w h o s e

z e r o - c r o s s i n g s c o r r e s p o n d t o e d g e s , e . g . t h e L a p l a c i a n L ( u ) = u o r t h e s e c o n d -

o r d e r d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e L ( u ) = u

w i t h k r u :

B y m e a n s o f o u r k n o w l e d g e f r o m m o r p h o l o g i c a l p r o c e s s e s , w e r e c o g n i z e t h a t

t h i s l t e r a i m s t o p r o d u c e a o w e l d t h a t i s d i r e c t e d f r o m t h e i n t e r i o r o f a r e g i o n

1 0

A n o t h e r i m a g e e n h a n c e m e n t m e t h o d t h a t i s c l o s e i n s p i r i t i s d u e t o E i d e l m a n , G r o s s m a n n

a n d F r i e d m a n 8 0 ] . I t m a p s t h e i m a g e g r e y v a l u e s t o g a s d y n a m i c a l p a r a m e t e r s a n d s o l v e s t h e

c o m p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s u s i n g s h o c k - c a p t u r i n g t o t a l v a r i a t i o n d i m i n i s h i n g ( T V D ) t e c h -

n i q u e s b a s e d o n G o d u n o v ' s m e t h o d .



1 . 6 T O T A L V A R I A T I O N M E T H O D S 3 7

t o w a r d s i t s e d g e s w h e r e i t d e v e l o p s s h o c k s . T h u s , t h e g o a l i s t o o b t a i n a p i e c e w i s e

c o n s t a n t s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n w i t h d i s c o n t i n u i t i e s o n l y a t t h e e d g e s o f t h e i n i t i a l

i m a g e .

I t h a s b e e n s h o w n t h a t a o n e - d i m e n s i o n a l v e r s i o n o f t h i s l t e r p r e s e r v e s t h e

t o t a l v a r i a t i o n a n d s a t i s e s a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e , b o t h i n t h e c o n t i n u -

o u s a n d d i s c r e t e c a s e . F o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e n o t m a n y t h e o r e t i c a l r e s u l t s

a r e a v a i l a b l e e x c e p t f o r a d i s c r e t e m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e .

A n o t h e r T V - p r e s e r v i n g d e b l u r r i n g m e t h o d o f O s h e r a n d R u d i n s o l v e s t h e

l i n e a r d i u s i o n e q u a t i o n b a c k w a r d s i n t i m e u n d e r t h e c o n s t r a i n t t h a t t h e t o t a l

v a r i a t i o n r e m a i n s c o n s t a n t 1 8 7 ] .

F r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , T V - p r e s e r v i n g m e t h o d s s u e r f r o m t h e p r o b -

l e m t h a t u c t u a t i o n s d u e t o n o i s e d o a l s o c r e a t e s h o c k s . F o r t h i s r e a s o n , A l v a r e z

a n d M a z o r r a 1 3 ] r e p l a c e t h e o p e r a t o r L ( u ) = u

i n ( 1 . 9 8 ) b y a r e g u l a r i z e d

v e r s i o n L ( K

u ) = K

u

a n d s u p p l e m e n t t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n w i t h a n o i s e -

e l i m i n a t i n g m e a n - c u r v a t u r e p r o c e s s . T h e y p r o v e t h a t t h e i r s e m i - i m p l i c i t n i t e -

d i e r e n c e s c h e m e h a s a u n i q u e s o l u t i o n w h i c h s a t i s e s a m a x i m u m { m i n i m u m

p r i n c i p l e .

1 . 6 . 2 T V - m i n i m i z i n g m e t h o d s

T o t a l v a r i a t i o n i s g o o d f o r q u a n t i f y i n g t h e s i m p l i c i t y o f a n i m a g e s i n c e i t m e a s u r e s

o s c i l l a t i o n s w i t h o u t u n d u l y p u n i s h i n g d i s c o n t i n u i t i e s . F o r t h i s r e a s o n , b l o c k y i m -

a g e s ( c o n s i s t i n g o n l y o f a f e w a l m o s t p i e c e w i s e c o n s t a n t s e g m e n t s ) r e v e a l v e r y

s m a l l t o t a l v a r i a t i o n .

I n o r d e r t o r e c o v e r n o i s y b l o c k y i m a g e s , R u d i n , O s h e r a n d F a t e m i 2 0 7 ] h a v e

p r o p o s e d t o m i n i m i z e t h e t o t a l v a r i a t i o n u n d e r c o n s t r a i n t s w h i c h r e e c t a s s u m p -

t i o n s a b o u t n o i s e .

1 1

T o x i d e a s , l e t u s s t u d y a n e x a m p l e . G i v e n a n i m a g e f w i t h a d d i t i v e n o i s e

o f z e r o m e a n a n d k n o w n v a r i a n c e

2

, w e s e e k a r e s t o r a t i o n u s a t i s f y i n g

m i n

u

Z

j r u j d x ( 1 . 1 0 0 )

s u b j e c t t o

1

2

Z

( u

? f )

2

d x =

2

; ( 1 . 1 0 1 )

Z

u d x =

Z

f d x : ( 1 . 1 0 2 )

1 1

R e l a t e d i d e a s h a v e a l s o b e e n d e v e l o p e d b y G e m a n a n d R e y n o l d s 9 7 ] .




I n o r d e r t o s o l v e t h i s c o n s t r a i n t v a r i a t i o n a l p r o b l e m , P D E m e t h o d s c a n b e

a p p l i e d : A s o l u t i o n o f ( 1 . 1 0 0 ) { ( 1 . 1 0 2 ) v e r i e s n e c e s s a r i l y t h e E u l e r e q u a t i o n

d i v

r u

j r u j

!

? ? ( u ? f ) = 0 ( 1 . 1 0 3 )

w i t h h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e ( u n k n o w n ) L a g r a n g e m u l -

t i p l i e r s a n d h a v e t o b e d e t e r m i n e d i n s u c h a w a y t h a t t h e c o n s t r a i n t s a r e

f u l l l e d . I n t e r e s t i n g l y , ( 1 . 1 0 3 ) l o o k s s i m i l a r t o t h e s t e a d y s t a t e e q u a t i o n o f t h e

d i u s i o n { r e a c t i o n p r o c e s s e s o f N o r d s t r o m 1 8 2 , 1 8 3 ] a n d S c h n o r r 2 2 0 ] , b u t { i n

c o n t r a s t t o T V a p p r o a c h e s { t h e s e m e t h o d s a r e n o t i n t e n d e d t o s a t i s f y t h e n o i s e

c o n s t r a i n t e x a c t l y 2 0 8 ] . M o r e o v e r , t h e d i v e r g e n c e t e r m i n ( 1 . 1 0 3 ) i s i d e n t i c a l w i t h

t h e c u r v a t u r e , w h i c h r e l a t e s t h i s t e c h n i q u e t o M C M .

I n 2 0 7 ] a g r a d i e n t d e s c e n t m e t h o d i s p r o p o s e d t o s o l v e ( 1 . 1 0 3 ) . I t u s e s a n

e x p l i c i t n i t e d i e r e n c e s c h e m e w i t h c e n t r a l a n d o n e - s i d e d s p a t i a l d i e r e n c e s a n d

a d a p t s t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r b y m e a n s o f t h e g r a d i e n t p r o j e c t i o n m e t h o d o f

R o s e n . G e n e r a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s r e s u l t s f o r c o n s t r a i n e d n o n l i n e a r P D E s

h a v e b e e n o b t a i n e d b y L i o n s e t a l . 1 5 6 ] .

B e s i d e s t h e i r P D E i n t e r p r e t a t i o n , T V - m i n i m i z i n g i m a g e p r o c e s s i n g m e t h o d s

h a v e g a i n e d m u c h i n t e r e s t w i t h i n t h e o p t i m i z a t i o n c o m m u n i t y 1 , 6 0 , 6 1 , 7 3 , 7 5 ,

1 2 9 , 1 3 0 , 1 4 7 , 2 4 2 ] . T o o v e r c o m e t h e p r o b l e m t h a t t h e t o t a l v a r i a t i o n i n t e g r a l

c o n t a i n s t h e n o n d i e r e n t i a b l e a r g u m e n t j r u j ; o n e a p p l i e s r e g u l a r i z a t i o n s t r a t e -

g i e s o r t e c h n i q u e s f r o m n o n s m o o t h o p t i m i z a t i o n . M u c h r e s e a r c h i s d o n e i n o r d e r

t o n d e c i e n t n u m e r i c a l m e t h o d s f o r w h i c h c o n v e r g e n c e c a n b e e s t a b l i s h e d .

T h e c o n s t r a i n e d T V - m i n i m i z a t i o n i d e a c a n a l s o b e a d a p t e d t o o t h e r c o n -

s t r a i n t s s u c h a s b l u r , n o i s e w i t h b l u r , o r o t h e r t y p e s o f n o i s e 1 5 6 , 2 0 6 , 2 0 8 , 7 4 ,

1 4 7 , 2 4 3 ] . L i o n s e t a l . 1 5 6 ] a n d D o b s o n a n d S a n t o s a 7 3 ] h a v e s h o w n t h e e x i s -

t e n c e o f a B V ( ) - s o l u t i o n f o r p r o b l e m s o f t h i s t y p e , w h e r e a s u n i q u e n e s s s e e m s

t o b e d o u b t f u l 7 3 ] . M o r e o v e r , o n e c a n m i n i m i z e t h e L

1

( ) - n o r m o f h i g h e r t h a n

r s t - o r d e r d e r i v a t i v e s 2 0 6 ] .

T o t a l v a r i a t i o n m e t h o d s h a v e b e e n a p p l i e d t o r e s t o r i n g i m a g e s o f m i l i t a r y

r e l e v a n c e 2 0 7 , 2 0 8 , 1 5 6 , 1 4 7 , 2 4 3 ] , t o i m p r o v i n g m a t e r i a l f r o m c r i m i n a l a n d c i v i l

i n v e s t i g a t i o n s a s c o u r t e v i d e n c e 2 0 6 ] , a n d t o e n h a n c i n g p i c t u r e s f r o m c o n f o c a l

m i c r o s c o p y 2 4 2 ] a n d e l e c t r i c a l i m p e d a n c e t o m o g r a p h y 7 3 ] .

1 . 7 C o n c l u s i o n s a n d s c o p e o f t h e t h e s i s

N o w t h a t w e h a v e a c q u i r e d a s u r v e y o n t h e m a i n i d e a s b e h i n d P D E s i n i m a g e

p r o c e s s i n g , w e a r e i n a p o s i t i o n t o d r a w c o n s e q u e n c e s f o r t h e o b j e c t i v e s o f t h e

p r e s e n t w o r k .



1 . 6 T O T A L V A R I A T I O N M E T H O D S 3 9

W e h a v e s e e n t h a t b o t h l i n e a r d i u s i o n a n d m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s r e -

v e a l w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s a n d c a n b e v e r y w e l l a x i o m a t i c a l l y j u s t i e d . O n t h e

o t h e r h a n d , f o r s o m e a p p l i c a t i o n s , t h e y p o s s e s s t h e u n d e s i r a b l e p r o p e r t y t h a t

t h e y d o n o t p e r m i t c o n t r a s t e n h a n c e m e n t a n d t h a t t h e y m a y b l u r a n d d e l o c a l i z e

s t r u c t u r e s .

P u r e r e s t o r a t i o n m e t h o d s s u c h a s d i u s i o n { r e a c t i o n e q u a t i o n s o r T V - b a s e d

t e c h n i q u e s d o a l l o w c o n t r a s t e n h a n c e m e n t a n d l e a d t o s t a b l e s t r u c t u r e s b u t s u e r

f r o m t h e o r e t i c a l o r p r a c t i c a l p r o b l e m s , f o r i n s t a n c e w e l l - p o s e d n e s s q u e s t i o n s o r

t h e s e a r c h f o r e c i e n t m i n i m i z e r s o f n o n c o n v e x o r n o n d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n a l s .

M o r e o v e r , m o s t i m a g e - e n h a n c i n g P D E m e t h o d s f o c u s o n e d g e d e t e c t i o n a n d s e g -

m e n t a t i o n p r o b l e m s . O t h e r i n t e r e s t i n g i m a g e r e s t o r a t i o n t o p i c s h a v e f o u n d l e s s

a t t e n t i o n .

F o r b o t h s c a l e - s p a c e a n d r e s t o r a t i o n m e t h o d s m a n y q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e i r

d i s c r e t e r e a l i z a t i o n s a r e s t i l l o p e n : d i s c r e t e s c a l e - s p a c e r e s u l t s a r e f r e q u e n t l y m i s s -

i n g , m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m s m a y g e t t r a p p e d i n a p o o r l o c a l m i n i m u m , o r t h e

u s e o f e x p l i c i t s c h e m e s c a u s e s r e s t r i c t i v e s t e p s i z e l i m i t a t i o n s .

N o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g s e e m s t o c o m b i n e m a n y o f t h e a b o v e m e n t i o n e d

s h o r t c o m i n g s : N e i t h e r s t a b i l i t y r e s u l t s n o r a s a t i s f a c t o r y c o n t i n u o u s , s e m i d i s c r e t e

o r d i s c r e t e s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n a r e a v a i l a b l e . E d g e - e n h a n c i n g d i u s i v i t i e s

o e r a l o t o f o p p o r t u n i t i e s t o r u n i n t o t r o u b l e , a n d e x p l i c i t a l g o r i t h m s a r e t y p i -

c a l l y a p p l i e d t o e d g e d e t e c t i o n a n d s e g m e n t a t i o n t a s k s .

T h e g o a l o f t h e p r e s e n t w o r k i s t o c o n v i n c e t h e r e a d e r t h a t t h i s i m p r e s s i o n

s h o u l d b e r e v i s e d :

W e s h a l l s e e t h a t a n i s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s e s s h a r e m o s t a d -

v a n t a g e s o f t h e s c a l e - s p a c e a n d t h e i m a g e e n h a n c e m e n t w o r l d . A s c a l e - s p a c e

i n t e r p r e t a t i o n i s p r e s e n t e d w h i c h d o e s n o t e x c l u d e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t , a n d

w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s a r e e s t a b l i s h e d . B o t h s c a l e - s p a c e a n d w e l l - p o s e d n e s s p r o p -

e r t i e s c a r r y o v e r f r o m t h e c o n t i n u o u s t o t h e s e m i d i s c r e t e a n d d i s c r e t e s e t t i n g . T h e

l a t t e r o n e c o m p r i s e s a l s o ( s e m i - ) i m p l i c i t t e c h n i q u e s f o r w h i c h u n c o n d i t i o n a l s t a -

b i l i t y i n t h e L

1

- n o r m i s p r o v e d . F i n a l l y , i t i s d e m o n s t r a t e d t h a t e v e r y t h i n g c a n b e

c o n s i d e r e d w i t h i n a g e n e r a l f r a m e w o r k w h i c h i n c l u d e s l i n e a r a n d i s o t r o p i c n o n l i n -

e a r d i u s i o n l t e r s . A n i s o t r o p i c m o d e l s a r e p r e s e n t e d w h i c h p e r m i t a p p l i c a t i o n s

b e y o n d s e g m e n t a t i o n a n d e d g e e n h a n c e m e n t t a s k s , f o r i n s t a n c e e n h a n c e m e n t o f

c o h e r e n t o w - l i k e s t r u c t u r e s i n t e x t u r e s .

T h i s t h e s i s i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s :

C h a p t e r 2 p r e s e n t s a g e n e r a l m o d e l f o r t h e c o n t i n u o u s s e t t i n g w h e r e t h e d i f -

f u s i o n t e n s o r d e p e n d s o n t h e s t r u c t u r e t e n s o r , a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e G a u s s i a n -

s m o o t h e d g r a d i e n t a l l o w i n g a m o r e s o p h i s t i c a t e d d e s c r i p t i o n o f l o c a l i m a g e s t r u c -

t u r e . F o r t h i s m o d e l c l a s s w e d i s c u s s e x i s t e n c e , u n i q u e n e s s , s t a b i l i t y , a n d a n




e x t r e m u m p r i n c i p l e . S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s a r e i n v e s t i g a t e d w i t h r e s p e c t t o i n -

v a r i a n c e s a n d i n f o r m a t i o n - r e d u c i n g q u a l i t i e s r e s u l t i n g f r o m a s s o c i a t e d L y a p u n o v

f u n c t i o n a l s .

C h a p t e r 3 e s t a b l i s h e s c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h c o m p a r a b l e w e l l - p o s e d n e s s a n d

s c a l e - s p a c e r e s u l t s c a n b e p r o v e d f o r t h e s e m i d i s c r e t e f r a m e w o r k . T h i s c a s e i s o f

s p e c i a l i n t e r e s t s i n c e i t i n v o l v e s t h e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n w h i c h i s c h a r a c t e r i s t i c

f o r d i g i t a l i m a g e s b u t i t k e e p s t h e s c a l e - s p a c e i d e a o f u s i n g a c o n t i n u o u s s c a l e

p a r a m e t e r . I t l e a d s t o n o n l i n e a r s y s t e m s o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . W e

s h a l l i n v e s t i g a t e u n d e r w h i c h c o n d i t i o n s i t i s p o s s i b l e t o g e t c o n s i s t e n t a p p r o x i m a -

t i o n s o f t h e c o n t i n u o u s a n i s o t r o p i c l t e r c l a s s w h i c h s a t i s f y t h e a b o v e m e n t i o n e d

r e q u i r e m e n t s .

I n p r a c t i c e , h o w e v e r , s c a l e - s p a c e s a r e a l w a y s a p p r o x i m a t e d w i t h a n i t e n u m -

b e r o f s c a l e s . T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e f u l l y d i s c r e t e c a s e w h i c h i s t r e a t e d i n

C h a p t e r 4 . T h e i n v e s t i g a t e d d i s c r e t e l t e r c l a s s c o m e s d o w n t o s o l v i n g l i n e a r

s y s t e m s o f e q u a t i o n s w h i c h m a y a r i s e f r o m s e m i - i m p l i c i t t i m e d i s c r e t i z a t i o n s o f

t h e s e m i d i s c r e t e l t e r s . W e s h a l l s e e t h a t m a n y n u m e r i c a l s c h e m e s s h a r e t y p i c a l

f e a t u r e s w i t h t h e i r s e m i d i s c r e t e c o u n t e r p a r t s , f o r i n s t a n c e w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s ,

e x t r e m u m p r i n c i p l e s , L y a p u n o v f u n c t i o n a l s , a n d c o n v e r g e n c e t o a c o n s t a n t s t e a d y

s t a t e .

I n C h a p t e r 5 s p e c i c m o d e l s a r e p r o p o s e d w h i c h a r e t a i l o r e d t o w a r d s t w o o b -

j e c t i v e s : s m o o t h i n g w i t h e d g e e n h a n c e m e n t o r m u l t i s c a l e e n h a n c e m e n t o f c o h e r -

e n t s t r u c t u r e s . T h e i r q u a l i t i e s a r e i l l u s t r a t e d u s i n g i m a g e s a r i s i n g f r o m c o m p u t e r

a i d e d q u a l i t y c o n t r o l a n d m e d i c a l a p p l i c a t i o n s , b u t a l s o n g e r p r i n t i m a g e s a n d

i m p r e s s i o n i s t i c p a i n t i n g s s h a l l b e p r o c e s s e d . T h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o r e l a t e d

m e t h o d s .

F i n a l l y , C h a p t e r 6 c o n c l u d e s t h e t h e s i s b y g i v i n g a s u m m a r y o f t h e m a t h e -

m a t i c a l r e s u l t s a n d t h e i r r e l e v a n c e f o r i m a g e p r o c e s s i n g .



C h a p t e r 2

C o n t i n u o u s d i u s i o n l t e r i n g

T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a g e n e r a l c o n t i n u o u s m o d e l f o r a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s ,

a n a l y s e s i t s t h e o r e t i c a l p r o p e r t i e s a n d g i v e s a s c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n . T o t h i s

e n d , w e a d a p t t h e d i u s i o n p r o c e s s t o t h e s t r u c t u r e t e n s o r , a w e l l - k n o w n t o o l

f o r a n a l y s i n g l o c a l o r i e n t a t i o n . U n d e r f a i r l y w e a k a s s u m p t i o n s o n t h e c l a s s o f l -

t e r s , i t i s p o s s i b l e t o e s t a b l i s h w e l l - p o s e d n e s s a n d r e g u l a r i t y r e s u l t s a n d t o p r o v e

a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e . S i n c e t h e p r o o f d o e s n o t r e q u i r e a n y m o n o t o n y

a s s u m p t i o n i t a p p l i e s a l s o t o c o n t r a s t - e n h a n c i n g d i u s i o n p r o c e s s e s . A f t e r s k e t c h -

i n g i n v a r i a n c e s o f t h e r e s u l t i n g s c a l e - s p a c e , w e f o c u s o n a n a l y s i n g i t s s m o o t h i n g

p r o p e r t i e s . W e s h a l l s e e t h a t , b e s i d e s t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e , a l a r g e c l a s s o f

a s s o c i a t e d L y a p u n o v f u n c t i o n a l s p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h i s c o n t e x t 2 4 9 ] .

2 . 1 B a s i c l t e r s t r u c t u r e

L e t u s c o n s i d e r a r e c t a n g u l a r i m a g e d o m a i n : = ( 0 ; a

1

) ( 0 ; a

2

) w i t h b o u n d a r y

? : = @ a n d l e t a n i m a g e b e r e p r e s e n t e d b y a m a p p i n g f 2 L

1

( ) . T h e c l a s s

o f a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s w e a r e c o n c e r n e d w i t h i s r e p r e s e n t e d b y t h e i n i t i a l

b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m

@

t

u = d i v ( D r u ) o n ( 0 ; 1 ) ; ( 2 . 1 )

u ( x ; 0 ) = f ( x ) o n ; ( 2 . 2 )

h D r u ; n i = 0 o n ? ( 0 ; 1 ) : ( 2 . 3 )

H e r e b y , n d e n o t e s t h e o u t e r n o r m a l a n d h : ; : i t h e E u c l i d e a n s c a l a r p r o d u c t o n I R

2

.

I n o r d e r t o a d a p t t h e d i u s i o n t e n s o r D 2 I R

2 2

t o t h e l o c a l i m a g e s t r u c t u r e , o n e

w o u l d u s u a l l y l e t i t d e p e n d o n t h e e d g e e s t i m a t o r r u

( c f . 1 . 2 . 3 ) , w h e r e

u

( x ; t ) : = ( K

~ u ( : ; t ) ) ( x ) ( > 0 ) ( 2 . 4 )

a n d ~ u d e n o t e s a n e x t e n s i o n o f u f r o m t o I R

2

, w h i c h m a y b e o b t a i n e d b y m i r -

r o r i n g a t ? ( c f . 5 8 ] ) .

4 1



4 2 C H A P T E R 2 . C O N T I N U O U S D I F F U S I O N F I L T E R I N G

H o w e v e r , w e s h a l l c h o o s e a m o r e g e n e r a l s t r u c t u r e d e s c r i p t o r w h i c h c o m p r i s e s

t h e e d g e d e t e c t o r r u

, b u t a l s o a l l o w s t o e x t r a c t m o r e i n f o r m a t i o n . T h i s w i l l b e

p r e s e n t e d n e x t .

2 . 2 T h e s t r u c t u r e t e n s o r

I n o r d e r t o i d e n t i f y f e a t u r e s s u c h a s c o r n e r s o r t o m e a s u r e l o c a l c o h e r e n c e o f

s t r u c t u r e s , w e n e e d m e t h o d s w h i c h t a k e i n t o a c c o u n t h o w t h e ( s m o o t h e d ) g r a d i e n t

c h a n g e s w i t h i n t h e v i c i n i t y o f a n y i n v e s t i g a t e d p o i n t .

T h e s t r u c t u r e t e n s o r ( a l s o c a l l e d s c a t t e r m a t r i x o r ( w i n d o w e d s e c o n d ) m o m e n t

t e n s o r ) i s a n i m p o r t a n t r e p r e s e n t a t i v e o f t h i s c l a s s . M a t r i c e s o f t h i s t y p e a r e u s e f u l

f o r a n a l y s i n g o w - l i k e t e x t u r e s 2 0 3 , 2 0 4 , 2 5 ] , c o r n e r s a n d T - j u n c t i o n s 1 8 1 , 1 7 9 ] ,

s h a p e c u e s 1 5 1 , p p . 3 4 9 { 3 8 2 ] a n d s p a t i o { t e m p o r a l i m a g e s e q u e n c e s 1 3 3 , p p .

1 4 7 { 1 5 3 ] . R e l a t e d a p p r o a c h e s m a y a l s o b e f o u n d i n 1 3 5 , 3 0 , 3 1 ] . L e t u s f o c u s o n

s o m e a s p e c t s w h i c h a r e o f i m p o r t a n c e i n o u r c a s e .

T o t h i s e n d , w e r e c o n s i d e r t h e v e c t o r - v a l u e d s t r u c t u r e d e s c r i p t o r r u

w i t h i n

a m a t r i x f r a m e w o r k . T h e m a t r i x J

0

r e s u l t i n g f r o m t h e t e n s o r p r o d u c t

J

0

( r u

) : = r u

r u

: = r u

r u

T

( 2 . 5 )

h a s a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f e i g e n v e c t o r s v

1

, v

2

w i t h v

1

k r u

a n d v

2

r u

.

T h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s j r u

j

2

a n d 0 g i v e j u s t t h e c o n t r a s t ( t h e s q u a r e d

g r a d i e n t ) i n t h e e i g e n d i r e c t i o n s . B y c o n v o l v i n g J

0

( r u

) c o m p o n e n t w i s e w i t h a

G a u s s i a n K

w e o b t a i n t h e s t r u c t u r e t e n s o r

J

( r u

) : = K

( r u

r u

) ( 0 ) : ( 2 . 6 )

I t i s n o t h a r d t o v e r i f y t h a t t h e s y m m e t r i c m a t r i x J

=

j

1 1

j

1 2

j

1 2

j

2 2

i s p o s i t i v e s e m i d e f -

i n i t e a n d p o s s e s s e s o r t h o n o r m a l e i g e n v e c t o r s v

1

, v

2

w i t h

v

1

k

0

@

2 j

1 2

j

2 2

? j

1 1

+

q

( j

1 1

? j

2 2

)

2

+ 4 j

2

1 2

1

A

: ( 2 . 7 )

T h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s

1

a n d

2

a r e g i v e n b y

1 ; 2

=

1

2

j

1 1

+ j

2 2

q

( j

1 1

? j

2 2

)

2

+ 4 j

2

1 2

; ( 2 . 8 )

w h e r e t h e + s i g n b e l o n g s t o

1

. A s t h e y i n t e g r a t e t h e v a r i a t i o n o f t h e g r e y

v a l u e s w i t h i n a n e i g h b o u r h o o d o f s i z e O ( ) , t h e y d e s c r i b e t h e a v e r a g e c o n t r a s t i n

t h e e i g e n d i r e c t i o n s . T h u s , t h e i n t e g r a t i o n s c a l e s h o u l d r e e c t t h e c h a r a c t e r i s t i c

w i n d o w s i z e o v e r w h i c h t h e o r i e n t a t i o n i s t o b e a n a l y s e d . P r e s m o o t h i n g i n o r d e r t o



2 . 3 . T H E O R E T I C A L R E S U L T S 4 3

o b t a i n r u

m a k e s t h e s t r u c t u r e t e n s o r i n s e n s i t i v e t o n o i s e a n d i r r e l e v a n t d e t a i l s

o f s c a l e s s m a l l e r t h a n O ( ) . T h e p a r a m e t e r i s c a l l e d l o c a l s c a l e .

B y v i r t u e o f

1

2

0 ; w e o b s e r v e t h a t v

1

i s t h e o r i e n t a t i o n w i t h t h e

h i g h e s t g r e y v a l u e u c t u a t i o n s , a n d v

2

g i v e s t h e p r e f e r r e d l o c a l o r i e n t a t i o n , t h e

c o h e r e n c e d i r e c t i o n . F u r t h e r m o r e ,

1

a n d

2

c a n b e u s e d a s d e s c r i p t o r s o f l o c a l

s t r u c t u r e : C o n s t a n t a r e a s a r e c h a r a c t e r i z e d b y

1

=

2

= 0 ; s t r a i g h t e d g e s g i v e

1

2

= 0 ; c o r n e r s r e v e a l

1

2

0 ; a n d t h e e x p r e s s i o n

(

1

?

2

)

2

= ( j

1 1

? j

2 2

)

2

+ 4 j

2

1 2

( 2 . 9 )

b e c o m e s l a r g e f o r a n i s o t r o p i c s t r u c t u r e s . I t i s a m e a s u r e o f t h e l o c a l c o h e r e n c e .

2 . 3 T h e o r e t i c a l r e s u l t s

I n o r d e r t o d i s c u s s w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s , l e t u s r s t r e c a l l s o m e u s e f u l n o t a t i o n s .

L e t H

1

( ) b e t h e S o b o l e v s p a c e o f f u n c t i o n s u ( x ) 2 L

2

( ) w i t h a l l d i s t r i b u t i o n a l

d e r i v a t i v e s o f r s t o r d e r b e i n g i n L

2

( ) . W e e q u i p H

1

( ) w i t h t h e n o r m

k u k

H

1

( )

: =

k u k

2

L

2

( )

+

2

X

i = 1

k @

x

i

u k

2

L

2

( )

!

1 = 2

( 2 . 1 0 )

a n d i d e n t i f y i t w i t h i t s d u a l s p a c e . L e t L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) ) b e t h e s p a c e o f f u n c t i o n s

u , s t r o n g l y m e a s u r a b l e o n 0 ; T ] w i t h r a n g e i n H

1

( ) ( f o r t h e L e b e s g u e m e a s u r e

d t o n 0 ; T ] ) s u c h t h a t

k u

k

L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) )

: =

0

@

T

Z

0

k u ( t )

k

2

H

1

( )

d t

1

A

1 = 2

<

1 : ( 2 . 1 1 )

I n a s i m i l a r w a y , C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) i s d e n e d a s t h e s p a c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s

u : 0 ; T ] ! L

2

( ) s u p p l e m e n t e d w i t h t h e n o r m

k u k

C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) )

: = m a x

0 ; T ]

k u ( t ) k

L

2

( )

: ( 2 . 1 2 )

A s u s u a l , w e d e n o t e b y C

p

( X ; Y ) t h e s e t o f C

p

- m a p p i n g s f r o m X t o Y .

L e t u s n o w g i v e a p r e c i s e f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m w e a r e c o n c e r n e d w i t h .

W e n e e d t h e f o l l o w i n g p r e r e q u i s i t e s :




A s s u m e t h a t f

2 L

1

( ) ,

0 ; a n d ; T > 0 :

L e t a : = e s s i n f

f ; b : = e s s s u p

f ; a n d c o n s i d e r t h e p r o b l e m

@

t

u = d i v ( D ( J

( r u

) ) r u ) o n ( 0 ; T ] ;

u ( x ; 0 ) = f ( x ) o n ;

h D ( J

( r u

) ) r u ; n i = 0 o n ? ( 0 ; T ] ;

w h e r e t h e d i u s i o n t e n s o r D = ( d

i j

) s a t i s e s t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s :

( C 1 ) S m o o t h n e s s :

D 2 C

1

( I R

2 2

; I R

2 2

) .

( C 2 ) S y m m e t r y :

d

1 2

( J ) = d

2 1

( J ) f o r a l l s y m m e t r i c m a t r i c e s J 2 I R

2 2

.

( C 3 ) U n i f o r m p o s i t i v e d e n i t e n e s s :

F o r a l l w 2 L

1

( ; I R

2

) w i t h j w ( x ) j K o n

, t h e r e

e x i s t s a p o s i t i v e l o w e r b o u n d ( K ) f o r t h e e i g e n v a l u e s

o f D ( J

( w ) ) .

9

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( P

c

)

U n d e r t h e s e a s s u m p t i o n s t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h i c h g e n e r a l i z e s a n d e x t e n d s

r e s u l t s f r o m 5 8 , 2 4 9 ] , c a n b e p r o v e d .

T h e o r e m 1 ( W e l l - p o s e d n e s s ,

1

r e g u l a r i t y , e x t r e m u m p r i n c i p l e )

T h e p r o b l e m ( P

c

) h a s a u n i q u e s o l u t i o n u ( x ; t ) i n t h e d i s t r i b u t i o n a l s e n s e w h i c h

s a t i s e s

u 2 C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) \ L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) ) ; ( 2 . 1 3 )

@

t

u 2 L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) ) : ( 2 . 1 4 )

M o r e o v e r , u 2 C

1

(

( 0 ; T ] ) : T h i s s o l u t i o n d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n f w i t h

r e s p e c t t o k : k

L

2

( )

; a n d i t f u l l s t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e

a u ( x ; t ) b o n ( 0 ; T ] : ( 2 . 1 5 )

1

F o r a c o m p l e t e w e l l - p o s e d n e s s p r o o f o n e a l s o h a s t o e s t a b l i s h s t a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o

p e r t u r b a t i o n s o f t h e d i u s i o n e q u a t i o n . T h i s p r o b l e m w i l l n o t b e a d d r e s s e d h e r e .




P r o o f :

( a ) E x i s t e n c e , u n i q u e n e s s a n d r e g u l a r i t y

E x i s t e n c e , u n i q u e n e s s a n d r e g u l a r i t y a r e s t r a i g h t f o r w a r d a n i s o t r o p i c e x t e n -

s i o n s o f t h e p r o o f f o r t h e i s o t r o p i c c a s e s t u d i e d b y C a t t e , L i o n s , M o r e l a n d

C o l l 5 8 ] . T h e r e f o r e , w e j u s t s k e t c h t h e b a s i c i d e a s o f t h i s p r o o f .

E x i s t e n c e c a n b e p r o v e d u s i n g S c h a u d e r ' s x e d p o i n t t h e o r e m . O n e c o n -

s i d e r s t h e s o l u t i o n U ( w ) o f a d i s t r i b u t i o n a l l i n e a r v e r s i o n o f ( P

c

) w h e r e D

d e p e n d s o n s o m e f u n c t i o n w i n s t e a d o f u . T h e n o n e s h o w s t h a t U i s a w e a k l y

c o n t i n u o u s m a p p i n g f r o m a n o n e m p t y , c o n v e x a n d w e a k l y c o m p a c t s u b s e t

W

0

o f W ( 0 ; T ) : =

n

w 2 L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) ) ;

d w

d t

2 L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) )

o

i n t o i t s e l f .

S i n c e W ( 0 ; T ) i s c o n t a i n e d i n L

2

( 0 ; T ; L

2

( ) ) , w i t h c o m p a c t i n c l u s i o n , U

r e v e a l s a x e d p o i n t u 2 W

0

, i . e . u = U ( u ) .

S m o o t h n e s s f o l l o w s f r o m c l a s s i c a l b o o t s t r a p a r g u m e n t s a n d t h e g e n e r a l t h e -

o r y o f p a r a b o l i c e q u a t i o n s 1 4 4 ] . S i n c e u ( t ) 2 H

1

( ) f o r a l l t > 0 , o n e d e -

d u c e s t h a t u ( t ) 2 H

2

( ) f o r a l l t > 0 . B y i t e r a t i n g , o n e c a n e s t a b l i s h t h a t

u i s a s t r o n g s o l u t i o n o f ( P

c

) a n d u 2 C

1

( ( 0 ; T ]

) .

T h e b a s i c i d e a o f t h e u n i q u e n e s s p r o o f c o n s i s t s o f u s i n g e n e r g y e s t i m a t e s f o r

t h e d i e r e n c e o f t w o s o l u t i o n s , s u c h t h a t t h e G r o n w a l l { B e l l m a n i n e q u a l i t y

c a n b e a p p l i e d . T h e n , u n i q u e n e s s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t b o t h s o l u t i o n s

s t a r t w i t h t h e s a m e i n i t i a l v a l u e s .

F i n a l l y a n i t e r a t i v e l i n e a r s c h e m e i s i n v e s t i g a t e d , w h o s e s o l u t i o n i s s h o w n

t o c o n v e r g e i n C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) t o t h e s t r o n g s o l u t i o n o f ( P

c

) .

( b ) E x t r e m u m p r i n c i p l e

I n o r d e r t o p r o v e a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e , w e u t i l i z e S t a m p a c c h i a ' s

t r u n c a t i o n m e t h o d ( c f . 4 0 ] , p . 2 1 1 ) .

W e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o p r o v i n g o n l y t h e m a x i m u m p r i n c i p l e . T h e m i n i m u m

p r i n c i p l e f o l l o w s f r o m t h e m a x i m u m p r i n c i p l e w h e n b e i n g a p p l i e d t o t h e

i n i t i a l d a t u m ? f .

L e t G 2 C

1

( I R ) b e a f u n c t i o n w i t h G ( s ) = 0 o n ( ? 1 ; 0 ] a n d 0 < G

0

( s ) C

o n ( 0 ; 1 ) f o r s o m e c o n s t a n t C . N o w , w e d e n e

H ( s ) : =

s

Z

0

G ( ) d ; s 2 I R ;

' ( t ) : =

Z

H ( u ( x ; t ) ? b ) d x ; t 2 0 ; T ] :

B y t h e C a u c h y { S c h w a r z i n e q u a l i t y , w e h a v e

Z

j G ( u ( x ; t ) ? b ) @

t

u ( x ; t ) j d x C k u ( t ) ? b k

L

2

( )

k @

t

u ( t ) k

L

2

( )




a n d b y v i r t u e o f ( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 4 ) w e k n o w t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h i s

e s t i m a t e e x i s t s . T h e r e f o r e , ' i s d i e r e n t i a b l e f o r t > 0 , a n d w e g e t

d '

d t

=

Z

G ( u ? b ) @

t

u d x

=

Z

G ( u ? b ) d i v ( D ( J

( r u

) ) r u ) d x

=

Z

?

G ( u ? b ) h D ( J

( r u

) ) r u ; n i

| { z }

= 0

d S

?

Z

G

0

( u ? b )

| { z }

0

h r u ; D ( J

( r u

) ) r u i

| { z }

0

d x

0 : ( 2 . 1 6 )

B y m e a n s o f H ( s )

C

2

s

2

, w e h a v e

0 ' ( t )

Z

H ( u ( x ; t ) ? f ( x ) ) d x

C

2

k u ( t ) ? f k

2

L

2

( )

: ( 2 . 1 7 )

S i n c e u 2 C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) , t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 2 . 1 7 ) t e n d s t o 0 = ' ( 0 )

f o r t ! 0

+

w h i c h p r o v e s t h e c o n t i n u i t y o f ' ( t ) i n 0 . N o w f r o m

' 2 C 0 ; T ] ; ' ( 0 ) = 0 ; ' 0 o n 0 ; T ]

a n d ( 2 . 1 6 ) , i t f o l l o w s t h a t

' 0 o n 0 ; T ] :

H e n c e , f o r a l l t

2 0 ; T ] , w e o b t a i n u ( x ; t )

? b

0 a l m o s t e v e r y w h e r e ( a . e . )

o n . D u e t o t h e s m o o t h n e s s o f u f o r t > 0 , w e n a l l y e n d u p w i t h t h e

a s s e r t i o n

u ( x ; t ) b o n

( 0 ; T ] :

( c ) C o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n t h e i n i t i a l i m a g e

L e t f ; h 2 L

1

( ) b e t w o i n i t i a l v a l u e s a n d u , w t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n s .

I n t h e s a m e w a y a s i n t h e u n i q u e n e s s p r o o f i n 5 8 ] , o n e s h o w s t h a t t h e r e

e x i s t s s o m e c o n s t a n t c > 0 s u c h t h a t

d

d t

k u ( t ) ? w ( t ) k

2

L

2

( )

c k r u ( t ) k

2

L

2

( )

k u ( t ) ? w ( t ) k

2

L

2

( )

:

A p p l y i n g t h e G r o n w a l l { B e l l m a n l e m m a 3 9 , p p . 1 5 6 { 1 3 7 ] y i e l d s

k u ( t ) ? w ( t ) k

2

L

2

( )

k f ? h k

2

L

2

( )

e x p

0

@

c

t

Z

0

k r u ( s ) k

2

L

2

( )

d s

1

A

:




B y m e a n s o f t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e w e k n o w t h a t u i s b o u n d e d o n

0 ; T ] .

T h u s , r u

i s a l s o b o u n d e d , a n d p r e r e q u i s i t e ( i i ) i m p l i e s t h a t t h e r e e x i s t s

s o m e c o n s t a n t = ( ; k f k

L

1

( )

) > 0 , s u c h t h a t

t

Z

0

k r u ( s ) k

2

L

2

( )

d s

T

Z

0

k r u ( s ) k

2

L

2

( )

d s

1

T

Z

0

Z

h r u ( x ; s ) ; D ( J

( r u

( x ; s ) ) ) r u ( x ; s ) i d x

d s

=

1

T

Z

0

Z

u ( x ; s ) d i v

D ( J

( r u

( x ; s ) ) ) r u ( x ; s )

d x

d s

1

T

Z

0

k u ( s ) k

L

2

( )

k @

t

u ( s ) k

L

2

( )

d s

1

k u k

L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) )

k @

t

u k

L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) )

:

B y v i r t u e o f ( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 4 ) , w e k n o w t h a t t h e r i g h t - h a n d o f t h i s e s t i m a t e

e x i s t s . N o w , l e t > 0 a n d c h o o s e

: = e x p

? c

2

k u k

L

2

( 0 ; T ; H

1

( )

k @

t

u k

L

2

( 0 ; T ; H

1

( ) )

:

T h e n f o r k f ? h k

L

2

( )

< , t h e p r e c e d i n g r e s u l t s i m p l y

k u ( t ) ? w ( t ) k

L

2

( )

< 8 t 2 0 ; T ] ;

w h i c h p r o v e s t h e c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n t h e i n i t i a l d a t a . 2

R e m a r k s :

( a ) W e o b s e r v e a s t r o n g s m o o t h i n g e e c t w h i c h i s c h a r a c t e r i s t i c f o r d i u s i o n

p r o c e s s e s : u n d e r f a i r l y w e a k a s s u m p t i o n s o n t h e i n i t i a l i m a g e ( f 2 L

1

( ) )

w e o b t a i n a n i n n i t e l y o f t e n d i e r e n t i a b l e s o l u t i o n f o r a r b i t r a r y s m a l l p o s -

i t i v e t i m e s . M o r e r e s t r i c t i v e r e q u i r e m e n t s { f o r i n s t a n c e f 2 B U C ( I R

2

) i n

o r d e r t o a p p l y t h e t h e o r y o f v i s c o s i t y s o l u t i o n s { a r e n o t n e c e s s a r y i n o u r

c a s e .

( b ) M o r e o v e r , o u r p r o o f d o e s n o t r e q u i r e a n y m o n o t o n y a s s u m p t i o n . T h i s h a s

t h e a d v a n t a g e t h a t c o n t r a s t - e n h a n c i n g p r o c e s s e s a r e p e r m i t t e d a s w e l l .

C h a p t e r 5 w i l l i l l u s t r a t e t h i s b y p r o v i d i n g e x a m p l e s w h e r e c o n t r a s t i s e n -

h a n c e d .




( c ) T h e c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o f t h e s o l u t i o n o n t h e i n i t i a l i m a g e h a s s i g n i f -

i c a n t p r a c t i c a l i m p a c t a s i t e n s u r e s s t a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o p e r t u r b a t i o n s

o f t h e o r i g i n a l i m a g e . T h i s i s o f i m p o r t a n c e w h e n c o n s i d e r i n g s t e r e o i m a g e

p a i r s , s p a t i o - t e m p o r a l i m a g e s e q u e n c e s o r s l i c e s f r o m m e d i c a l C T o r M R T

s e q u e n c e s , s i n c e w e k n o w t h a t s i m i l a r i m a g e s r e m a i n s i m i l a r a f t e r l t e r i n g .

2

( d ) T h e e x t r e m u m p r i n c i p l e o e r s t h e p r a c t i c a l a d v a n t a g e t h a t , i f w e s t a r t

f o r i n s t a n c e w i t h a n i m a g e w i t h i n t h e r a n g e 0 ; 2 5 5 ] , w e w i l l n e v e r o b t a i n

r e s u l t s w i t h g r e y v a l u e s u c h a s 2 5 7 . I t i s a l s o c l o s e l y r e l a t e d t o s m o o t h i n g

s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s , a s w e s h a l l s e e i n 2 . 4 . 2 .

( e ) T h e w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s a r e e s s e n t i a l l y b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e r e g u -

l a r i z a t i o n b y c o n v o l u t i o n w i t h a G a u s s i a n a l l o w s t o e s t i m a t e k r u

k

L

1

( )

b y

k u k

L

1

( )

. T h i s p r o p e r t y i s r e s p o n s i b l e f o r t h e u n i f o r m p o s i t i v e d e n i t e n e s s

o f t h e d i u s i o n t e n s o r .

2 . 4 S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s

L e t u s n o w i n v e s t i g a t e s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s ( P

c

) a n d j u x t a p o s e t h e

r e s u l t s t o o t h e r s c a l e - s p a c e s . T o t h i s e n d , w e s h a l l n o t f o c u s o n f u r t h e r i n v e s t i -

g a t i o n s o f a r c h i t e c t u r a l r e q u i r e m e n t s l i k e r e c u r s i v i t y , r e g u l a r i t y a n d l o c a l i t y , a s

t h e s e q u a l i t i e s d o n o t d i s t i n g u i s h n o n l i n e a r d i u s i o n s c a l e - s p a c e s f r o m o t h e r o n e s .

W e s t a r t w i t h b r i e y d i s c u s s i n g i n v a r i a n c e s . A f t e r w a r d s , w e t u r n t o a m o r e c r u -

c i a l t a s k , n a m e l y t h e q u e s t i o n i n w h i c h s e n s e o u r e v o l u t i o n e q u a t i o n { w h i c h m a y

a l l o w c o n t r a s t e n h a n c e m e n t { c a n s t i l l b e c o n s i d e r e d a s a s m o o t h i n g , i n f o r m a t i o n -

r e d u c i n g i m a g e t r a n s f o r m a t i o n .

2 . 4 . 1 I n v a r i a n c e s

L e t u ( x ; t ) b e t h e u n i q u e s o l u t i o n o f ( P

c

) a n d d e n e t h e s c a l e - s p a c e o p e r a t o r T

t

b y

T

t

f : = u ( t ) ; t 0 ; ( 2 . 1 8 )

w h e r e u ( t ) : = u ( : ; t ) .

T h e p r o p e r t i e s w e d i s c u s s n o w i l l u s t r a t e t h a t a n i n v a r i a n c e o f T

t

w i t h r e s p e c t t o

s o m e i m a g e t r a n s f o r m a t i o n P i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f a c t t h a t T

t

a n d P c o m m u t e .

M u c h o f t h e t e r m i n o l o g y u s e d b e l o w i s b o r r o w e d f r o m 1 1 ] .

2

T h i s d o e s n o t c o n t r a d i c t c o n t r a s t e n h a n c e m e n t : I n t h e c a s e o f t w o s i m i l a r i m a g e s , w h e r e o n e

l e a d s t o c o n t r a s t e n h a n c e m e n t a n d t h e o t h e r n o t , t h e r e g u l a r i z a t i o n d a m p s t h e e n h a n c e m e n t

p r o c e s s i n s u c h a w a y t h a t b o t h i m a g e s d o n o t d i e r m u c h a f t e r l t e r i n g .



2 . 4 . S C A L E - S P A C E P R O P E R T I E S 4 9

G r e y l e v e l s h i f t i n v a r i a n c e

S i n c e t h e d i u s i o n t e n s o r i s o n l y a f u n c t i o n o f J

(

r u

) , b u t n o t o f u , w e m a y s h i f t

t h e g r e y l e v e l r a n g e b y a n a r b i t r a r y c o n s t a n t C , a n d t h e l t e r e d i m a g e s w i l l a l s o

b e s h i f t e d b y t h e s a m e c o n s t a n t . M o r e o v e r , a c o n s t a n t f u n c t i o n i s n o t a e c t e d b y

d i u s i o n l t e r i n g . T h e r e f o r e , w e h a v e

T

t

( 0 ) = 0 ; ( 2 . 1 9 )

T

t

( f + C ) = T

t

( f ) + C 8 t 0 : ( 2 . 2 0 )

R e v e r s e c o n t r a s t i n v a r i a n c e

F r o m D ( J

(

? r u

) ) = D ( J

(

r u

) ) , i t f o l l o w s t h a t

T

t

( ? f ) = ? T

t

( f ) 8 t 0 : ( 2 . 2 1 )

T h i s p r o p e r t y i s n o t f u l l l e d b y c l a s s i c a l m o r p h o g i c a l s c a l e - s p a c e e q u a t i o n s l i k e

d i l a t i o n a n d e r o s i o n . W h e n r e v e r s i n g t h e c o n t r a s t , t h e r o l e o f d i l a t i o n a n d e r o s i o n

h a s t o b e e x c h a n g e d a s w e l l .

A v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e

A v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e i s a f u r t h e r p r o p e r t y i n w h i c h d i u s i o n s c a l e - s p a c e s

d i e r f r o m m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s . I n g e n e r a l , t h e e v o l u t i o n P D E s o f t h e

l a t t e r o n e s a r e n o t o f d i v e r g e n c e f o r m a n d d o n o t p r e s e r v e t h e m e a n g r e y v a l u e .

P r o p o s i t i o n 1 ( C o n s e r v a t i o n o f a v e r a g e g r e y v a l u e ) .

T h e a v e r a g e g r e y l e v e l

: =

1

j j

Z

f ( x ) d x ( 2 . 2 2 )

i s n o t a e c t e d b y n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g :

1

j

j

Z

T

t

f d x = 8 t > 0 : ( 2 . 2 3 )

P r o o f :

D e n e I ( t ) : =

R

u ( x ; t ) d x f o r a l l t 0 . T h e n t h e C a u c h y { S c h w a r z i n e q u a l i t y

i m p l i e s

j I ( t ) ? I ( 0 ) j =

Z

u ( x ; t ) ? f ( x )

d x

j j

1 = 2

k u ( t ) ? f k

L

2

( )

:




S i n c e u 2 C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) , t h e p r e c e d i n g i n e q u a l i t y g i v e s t h e c o n t i n u i t y o f I ( t ) i n

0 .

F o r t > 0 , T h e o r e m 1 , t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d

d I

d t

=

Z

@

t

u d x =

Z

?

h D ( J

(

r u

) )

r u ; n

i d S = 0 :

H e n c e , I ( t ) m u s t b e c o n s t a n t f o r a l l t 0 . 2

A v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e m a y b e d e s c r i b e d b y c o m m u t i n g o p e r a t o r s , w h e n

i n t r o d u c i n g a n a v e r a g i n g o p e r a t o r M : L

1

( ) ! L

1

( ) w h i c h m a p s f t o a c o n -

s t a n t i m a g e w i t h t h e s a m e m e a n g r e y l e v e l :

( M f ) ( y ) : =

1

j j

Z

f ( x ) d x 8 y 2 : ( 2 . 2 4 )

T h e n P r o p o s i t i o n 1 a n d g r e y l e v e l s h i f t i n v a r i a n c e i m p l y t h a t t h e o r d e r o f M a n d

T

t

i s e x c h a n g a b l e :

M ( T

t

f ) = T

t

( M f ) 8 t 0 : ( 2 . 2 5 )

W h e n s t u d y i n g d i u s i o n l t e r i n g a s a p u r e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m i n t h e d o m a i n

I R

2

, i t a l s o m a k e s s e n s e t o i n v e s t i g a t e E u c l i d e a n t r a n s f o r m a t i o n s o f a n i m a g e . T h i s

l e a d s u s t o t r a n s l a t i o n a n d i s o m e t r y i n v a r i a n c e .

T r a n s l a t i o n i n v a r i a n c e

D e n e a t r a n s l a t i o n

h

b y (

h

f ) ( x ) : = f ( x + h ) . T h e n d i u s i o n l t e r i n g f u l l s

T

t

(

h

f ) =

h

( T

t

f )

8 t

0 : ( 2 . 2 6 )

T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t t h e d i u s i o n t e n s o r d e p e n d s o n J

( r u

)

s o l e l y , b u t n o t e x p l i c i t l y o n x .

I s o m e t r y i n v a r i a n c e

L e t R

2 I R

2 2

b e a n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n . I f w e a p p l y R t o f b y d e n i n g

R f ( x ) : = f ( R x ) , t h e n t h e e i g e n v a l u e s o f t h e d i u s i o n t e n s o r a r e u n a l t e r e d a n d

a n y e i g e n v e c t o r v i s t r a n s f o r m e d i n t o R v . T h u s , i t m a k e s n o d i e r e n c e w h e t h e r

t h e o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s a p p l i e d b e f o r e o r a f t e r d i u s i o n l t e r i n g :

T

t

( R f ) = R ( T

t

f ) 8 t 0 : ( 2 . 2 7 )




2 . 4 . 2 I n f o r m a t i o n - r e d u c i n g p r o p e r t i e s

N o n e n h a n c e m e n t o f l o c a l e x t r e m a

M a n y s m o o t h i n g s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o e x t r e m u m p r i n c i p l e s :

H u m m e l 1 2 4 ] f o r i n s t a n c e s h o w s t h a t , u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , t h e m a x i m u m

p r i n c i p l e f o r p a r a b o l i c o p e r a t o r s i s e q u i v a l e n t t o t h e p r o p e r t y t h a t t h e c o r r e -

s p o n d i n g s c a l e - s p a c e n e v e r c r e a t e s a d d i t i o n a l l e v e l - c r o s s i n g s f o r t > 0 . A n o t h e r

i m p o r t a n t s m o o t h i n g a x i o m i s t h e r e q u i r e m e n t t h a t l o c a l e x t r e m a m u s t n o t b e

a m p l i e d w h e n i n c r e a s i n g t h e s c a l e p a r a m e t e r . T h i s c o n d i t i o n h a s r s t b e e n u s e d

b y L i n d e b e r g 1 5 0 ] i n t h e c o n t e x t o f l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g . H o w e v e r , i t i s a l s o

s a t i s e d b y n o n l i n e a r d i u s i o n s c a l e - s p a c e s , a s w e s h a l l s e e n o w .

3

T h e o r e m 2 ( N o n e n h a n c e m e n t o f l o c a l e x t r e m a ) .

L e t u b e t h e u n i q u e s o l u t i o n o f ( P

c

) a n d c o n s i d e r s o m e > 0 . S u p p o s e t h a t 2

i s a l o c a l e x t r e m u m o f u ( : ; ) . T h e n ,

@

t

u ( ; ) 0 ; i f i s a l o c a l m a x i m u m , ( 2 . 2 8 )

@

t

u ( ; ) 0 ; i f i s a l o c a l m i n i m u m . ( 2 . 2 9 )

P r o o f :

L e t D ( J

( r u

) ) = : ( d

i j

( J

( r u

) ) ) . T h e n w e h a v e

@

t

u =

2

X

i = 1

2

X

j = 1

@

x

i

d

i j

( J

( r u

) )

@

x

j

u +

2

X

i = 1

2

X

j = 1

d

i j

( J

( r u

) ) @

x

i

x

j

u : ( 2 . 3 0 )

S i n c e

r u ( ; ) = 0 a n d @

x

i

d

i j

( J

(

r u

( ; ) ) ) i s b o u n d e d , t h e r s t t e r m o f t h e

r i g h t - h a n d s i d e o f ( 2 . 3 0 ) v a n i s h e s i n ( ; ) .

W e k n o w t h a t t h e d i u s i o n t e n s o r D : = D ( J

( r u

( ; ) ) ) i s p o s i t i v e s e m i -

d e n i t e . H e n c e , t h e r e e x i s t s a n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n S 2 I R

2 2

s u c h t h a t

S

T

D S = d i a g (

1

;

2

) = :

w i t h

1

,

2

b e i n g t h e n o n n e g a t i v e e i g e n v a l u e s o f D .

N o w , l e t u s a s s u m e t h a t ( ; ) i s a l o c a l m a x i m u m . T h e n t h e H e s s i a n H : =

H e s s ( u ( ; ) ) a n d B : = ( b

i j

) : = S

T

H S a r e n e g a t i v e s e m i d e n i t e . T h e r e f o r e , w e

h a v e

b

i i

0 ( i = 1 ; 2 )

3

A s i n t h e l i n e a r d i u s i o n c a s e , n o n e n h a n c e m e n t o f l o c a l e x t r e m a g e n e r a l l y d o e s n o t i m p l y

t h a t t h e i r n u m b e r i s n o n i n c r e a s i n g , c f . 1 . 1 . 5 .




a n d b y t h e i n v a r i a n c e o f t h e t r a c e w i t h r e s p e c t t o o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n s i t

f o l l o w s t h a t

@

t

u ( ; ) = t r a c e ( D H )

= t r a c e ( S

T

D S S

T

H S )

= t r a c e ( B )

=

2

X

i = 1

i

b

i i

0 :

I f i s a l o c a l m i n i m u m o f u ( x ; ) , o n e p r o c e e d s i n t h e s a m e w a y u t i l i z i n g t h e

p o s i t i v e s e m i d e n i t e n e s s o f t h e H e s s i a n . 2

N o n e n h a n c e m e n t o f l o c a l e x t r e m a d i s t i n g u i s h e s a n i s o t r o p i c d i u s i o n f r o m

c l a s s i c a l c o n t r a s t e n h a n c i n g m e t h o d s s u c h a s h i g h - f r e q u e n c y e m p h a s i s 1 0 5 , p p .

1 8 2 { 1 8 3 ] , w h i c h d o v i o l a t e t h i s p r i n c i p l e . A l t h o u g h p o s s i b l y b e h a v i n g l i k e b a c k -

w a r d d i u s i o n a c r o s s e d g e s , n o n l i n e a r d i u s i o n i s a l w a y s i n t h e f o r w a r d r e g i o n a t

e x t r e m a . T h i s e n s u r e s i t s s t a b i l i t y .

L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a n d b e h a v i o u r f o r t ! 1

S i n c e s c a l e - s p a c e s a r e i n t e n d e d t o s u b s e q u e n t l y s i m p l i f y a n i m a g e , i t i s d e s i r a b l e

t h a t , f o r t ! 1 , w e o b t a i n t h e s i m p l e s t p o s s i b l e i m a g e r e p r e s e n t a t i o n , n a m e l y

a c o n s t a n t i m a g e w i t h t h e s a m e a v e r a g e g r e y v a l u e a s t h e o r i g i n a l o n e . T h e

f o l l o w i n g t h e o r e m s t a t e s t h a t a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r i n g a l w a y s l e a d s t o a

c o n s t a n t s t e a d y - s t a t e . T h i s i s d u e t o t h e c l a s s o f L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a s s o c i a t e d

w i t h t h e d i u s i o n p r o c e s s .

T h e o r e m 3 ( L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a n d b e h a v i o u r f o r t ! 1 ) .

S u p p o s e t h a t u i s t h e s o l u t i o n o f ( P

c

) a n d l e t a , b , a n d M b e d e n e d a s i n ( P

c

) ,

( 2 . 2 2 ) a n d ( 2 . 2 4 ) , r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s a r e v a l i d :

( a ) ( L y a p u n o v f u n c t i o n a l s )

F o r a l l r 2 C

2

a ; b ] w i t h r

0 0

0 o n a ; b ] , t h e f u n c t i o n

V ( t ) : = ( u ( t ) ) : =

Z

r ( u ( x ; t ) ) d x ( 2 . 3 1 )

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n a l :

( i ) ( u ( t ) ) ( M f ) f o r a l l t 0 .

( i i ) V 2 C 0 ; 1 ) \ C

1

( 0 ; 1 ) a n d V

0

( t ) 0 f o r a l l t > 0 .




M o r e o v e r , i f r

0 0

> 0 o n a ; b ] , t h e n V ( t ) = ( u ( t ) ) i s a s t r i c t L y a p u n o v

f u n c t i o n a l :

( i i i ) ( u ( t ) ) = ( M f ) ( )

(

u ( t ) = M f o n

( i f t > 0 )

u ( t ) = M f a . e . o n ( i f t = 0 )

( i v ) I f t > 0 , t h e n V

0

( t ) = 0 i f a n d o n l y i f u ( t ) = M f o n

.

( v ) V ( 0 ) = V ( T ) f o r T > 0 ( )

(

f = M f a . e . o n a n d

u ( t ) = M f o n

( 0 ; T ]

( b ) ( C o n v e r g e n c e )

( i ) l i m

t ! 1

k u ( t ) ? M f k

L

p

( )

= 0 f o r p 2 1 ; 1 ) .

( i i ) I n t h e 1 D c a s e , t h e c o n v e r g e n c e l i m

t ! 1

u ( x ; t ) = i s u n i f o r m o n

.

P r o o f :

( a ) ( i ) S i n c e r 2 C

2

a ; b ] w i t h r

0 0

0 o n a ; b ] , w e k n o w t h a t r i s c o n v e x o n

a ; b ] . U s i n g t h e a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e a n d J e n s e n ' s i n e q u a l i t y

w e o b t a i n , f o r a l l t 0 ,

( M f ) =

Z

r

0

@

1

j j

Z

u ( x ; t ) d x

1

A

d y

Z

0

@

1

j j

Z

r ( u ( x ; t ) ) d x

1

A

d y

=

Z

r ( u ( x ; t ) ) d x

= ( u ( t ) ) : ( 2 . 3 2 )

( i i ) L e t u s s t a r t b y p r o v i n g t h e c o n t i n u i t y o f V ( t ) i n 0 . T h a n k s t o t h e

m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e , w e m a y c h o o s e a c o n s t a n t

L : = m a x

s 2 a ; b ]

j r

0

( s ) j

s u c h t h a t f o r a l l t > 0 , t h e L i p s c h i t z c o n d i t i o n

j r ( u ( x ; t ) ) ? r ( f ( x ) ) j L j u ( x ; t ) ? f ( x ) j

i s v e r i e d a . e . o n . F r o m t h i s a n d t h e C a u c h y { S c h w a r z i n e q u a l i t y , w e

g e t

j V ( t )

? V ( 0 )

j j

j

1 = 2

k r ( u ( t ) )

? r ( f )

k

L

2

( )

j j

1 = 2

L k u ( t ) ? f k

L

2

( )

;




a n d b y v i r t u e o f u 2 C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) , t h e l i m i t t ! 0

+

g i v e s t h e

a n n o u n c e d c o n t i n u i t y i n 0 .

B y T h e o r e m 1 a n d t h e b o u n d e d n e s s o f r

0

o n a ; b ] , w e k n o w t h a t V i s

d i e r e n t i a b l e f o r t > 0 a n d V

0

( t ) =

R

r

0

( u ) u

t

d x . T h u s , t h e d i v e r g e n c e

t h e o r e m y i e l d s

V

0

( t ) =

Z

r

0

( u ) d i v ( D ( J

( r u

) ) r u ) d x

=

Z

?

r

0

( u ) h D ( J

( r u

) ) r u ; n i

| { z }

= 0

d S

?

Z

r

0 0

( u )

| { z }

0

h r u ; D ( J

( r u

) ) r u i

| { z }

0

d x

0 :

( i i i ) L e t ( u ( t ) ) = ( M f ) .

I f t > 0 , t h e n u ( t ) i s c o n t i n u o u s i n

. L e t u s n o w s h o w t h a t e q u a l i t y

i n t h e e s t i m a t e ( 2 . 3 2 ) i m p l i e s t h a t u ( t ) = c o n s t . o n

. T o t h i s e n d ,

a s s u m e t h a t u i s n o t c o n s t a n t o n

. T h e n , b y t h e c o n t i n u i t y o f u , t h e r e

e x i s t s a p a r t i t i o n =

1

2

w i t h

j

1

j ;

j

2

j 2 ( 0 ;

j

j ) a n d

: =

1

j

1

j

Z

1

u d x 6=

1

j

2

j

Z

2

u d x = : :

F r o m r

0 0

> 0 o n a ; b ] i t f o l l o w s t h a t r i s s t r i c t l y c o n v e x o n a ; b ] a n d

r

0

@

1

j j

Z

u d x

1

A

= r

j

1

j

j j

+

j

2

j

j j

!

<

j

1

j

j j

r ( ) +

j

1

j

j j

r ( )

1

j j

Z

1

r ( u ) d x +

1

j j

Z

2

r ( u ) d x

=

1

j

j

Z

r ( u ) d x :

I f w e u t i l i z e t h i s r e s u l t i n t h e e s t i m a t e ( 2 . 3 2 ) w e o b s e r v e t h a t , f o r

t > 0 , ( u ( t ) ) = ( M f ) i m p l i e s t h a t u ( t ) = c o n s t . o n

. T h a n k s t o

t h e a v e r a g e g r e y v a l u e i n v a r i a n c e w e n a l l y o b t a i n u ( t ) = M f o n

.

S o l e t u s t u r n t o t h e c a s e t = 0 . F r o m ( i ) a n d ( i i ) , w e c o n c l u d e t h a t

( u ( ) ) = ( M f ) f o r a l l > 0 . T h u s , w e h a v e u ( ) = M f f o r a l l




> 0 .

F o r > 0 , t h e C a u c h y { S c h w a r z i n e q u a l i t y g i v e s

Z

j u ( x ; ) ? j d x j j

1 = 2

k u ( ) ? M f k

L

2

( )

= 0 :

S i n c e u 2 C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) , t h e l i m i t ! 0

+

n a l l y y i e l d s u ( 0 ) = M f

a . e . o n .

C o n v e r s e l y , i t i s o b v i o u s t h a t u ( t ) = M f ( a . e . ) o n i m p l i e s ( u ( t ) ) =

( M f ) .

( i v ) L e t t > 0 a n d V

0

( t ) = 0 . T h e n f r o m

0 = V

0

( t ) =

?

Z

r

0 0

( u ( x ; t ) )

| { z }

> 0

h r u ( x ; t ) ; D ( J

(

r u

( x ; t ) ) )

r u ( x ; t )

i d x

a n d t h e s m o o t h n e s s o f u w e o b t a i n

h r u ; D ( J

( r u

) ) r u i = 0 o n

:

B y t h e u n i f o r m b o u n d e d n e s s o f D , t h e r e e x i s t s s o m e c o n s t a n t > 0 ,

s u c h t h a t

j r u j

2

h r u ; D ( J

( r u

) ) r u i o n

( 0 ; 1 ) :

T h u s , w e h a v e r u ( x ; t ) = 0 a . e . o n . D u e t o t h e c o n t i n u i t y o f r u ,

t h i s y i e l d s u ( x ; t ) = c o n s t . f o r a l l x 2 , a n d t h e a v e r a g e g r e y l e v e l

i n v a r i a n c e n a l l y g i v e s u ( x ; t ) = o n .

C o n v e r s e l y , l e t u ( x ; t ) = o n . T h e n ,

V

0

( t ) = ?

Z

r

0 0

( u ) h r u ; D ( J

( r u

) ) r u i d x = 0 :

( v ) S u p p o s e t h a t V ( T ) = V ( 0 ) . S i n c e V i s d e c r e a s i n g , w e h a v e

V ( t ) = c o n s t . o n 0 ; T ] .

L e t > 0 . T h e n f o r a n y t 2 ; T ] , w e h a v e V

0

( t ) = 0 , a n d p a r t ( i v )

i m p l i e s t h a t u ( t ) = M f o n . N o w , t h e C a u c h y { S c h w a r z i n e q u a l i t y

g i v e s

Z

j f ? M f j d x j j

1 = 2

k f ? u ( t ) k

L

2

( )

:

A s u 2 C ( 0 ; T ] ; L

2

( ) ) , t h e l i m i t t ! 0

+

y i e l d s f = M f a . e . o n .

C o n v e r s e l y , i f u ( t ) = M f ( a . e . ) o n h o l d s f o r a l l t 2 0 ; T ] , i t i s e v i d e n t

t h a t V ( 0 ) = V ( T ) .




( b ) ( i ) B y t h e g r e y l e v e l s h i f t i n v a r i a n c e w e k n o w t h a t e : = u ? M f s a t i s e s t h e

d i u s i o n e q u a t i o n a s w e l l . W e m u l t i p l y t h i s e q u a t i o n b y e , i n t e g r a t e ,

a n d u s e t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m t o o b t a i n

Z

e e

t

d x = ?

Z

h r e ; D ( J

( r e

) ) r e i d x :

S i n c e r e

i s b o u n d e d , w e n d s o m e > 0 s u c h t h a t

1

2

d

d t

( k e k

2

L

2

( )

) ? k r e k

2

L

2

( )

:

F o r t > 0 , t h e r e e x i s t s s o m e x

0

w i t h e ( x

0

) = 0 . T h e r e f o r e , t h e P o i n c a r e

i n e q u a l i t y ( c f . 7 , p . 1 2 2 ] ) t e l l s u s t h a t

k e

k

2

L

2

( )

C

0

k r e

k

2

L

2

( )

w i t h s o m e c o n s t a n t C

0

= C

0

( ) > 0 . T h i s y i e l d s

d

d t

k e k

2

L

2

( )

? 2 C

0

k e k

2

L

2

( )

a n d h e n c e t h e e x p o n e n t i a l d e c a y o f k e k

L

2

( )

t o 0 .

B y t h e m a x i m u m p r i n c i p l e , w e k n o w t h a t k e ( t ) k

L

1

( )

i s b o u n d e d b y

k f

? M f

k

L

1

( )

. T h u s , f o r q

2 I N , q

2 , w e g e t

k e ( t ) k

q

L

q

( )

k f ? M f k

q ? 2

L

1

( )

k e ( t ) k

2

L

2

( )

! 0 ;

a n d H o l d e r ' s i n e q u a l i t y g i v e s , f o r 1 p < q < 1 ,

k e ( t ) k

L

p

( )

j j

( 1 = p ) ? ( 1 = q )

k e ( t ) k

L

q

( )

! 0 :

T h i s p r o v e s t h e a s s e r t i o n .

( i i ) T o p r o v e u n i f o r m c o n v e r g e n c e i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l s e t t i n g , w e c a n

g e n e r a l i z e a n d a d a p t m e t h o d s f r o m 1 2 7 ] t o o u r c a s e .

L e t = ( 0 ; a ) . F r o m p a r t ( a ) w e k n o w t h a t V ( t ) : =

a

R

0

u

2

( x ; t ) d x i s

n o n i n c r e a s i n g a n d b o u n d e d f r o m b e l o w . T h u s , t h e s e q u e n c e ( V ( i ) )

i 2 I N

c o n v e r g e s .

S i n c e V

2 C 0 ;

1 )

\ C

1

( 0 ;

1 ) t h e m e a n v a l u e t h e o r e m i m p l i e s

9 t

i

2 ( i ; i + 1 ) : V

0

( t

i

) = V ( i + 1 ) ? V ( i ) :

T h u s , ( t

i

)

i 2 I N

! 1 a n d f r o m t h e c o n v e r g e n c e o f ( V ( i ) )

i 2 I N

i t f o l l o w s

t h a t

V

0

( t

i

) ! 0 : ( 2 . 3 3 )




T h a n k s t o t h e u n i f o r m p o s i t i v e d e n i t e n e s s o f D t h e r e e x i s t s s o m e

> 0 s u c h t h a t , f o r t > 0 ,

V

0

( t ) = ? 2

a

Z

0

u

2

x

D ( J

( @

x

u

) ) d x

? 2

a

Z

0

u

2

x

d x

0 : ( 2 . 3 4 )

E q u a t i o n s ( 2 . 3 3 ) a n d ( 2 . 3 4 ) y i e l d

k u

x

( t

i

) k

L

2

( )

! 0 :

H e n c e , u ( t

i

) i s a b o u n d e d s e q u e n c e i n H

1

( 0 ; a ) . B y v i r t u e o f t h e R e l l i c h {

K o n d r a c h o v t h e o r e m 5 , p . 1 4 4 ] w e k n o w t h a t t h e e m b e d d i n g f r o m

H

1

( 0 ; a ) i n t o C

0 ;

0 ; a ] , t h e s p a c e o f H o l d e r - c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n

0 ; a ] 5 , p p . 9 { 1 2 ] , i s c o m p a c t f o r 2 ( 0 ;

1

2

) . T h e r e f o r e , t h e r e e x i s t s a

s u b s e q u e n c e ( t

i

j

) ! 1 a n d s o m e u w i t h

u ( t

i

j

) ! u i n C

0 ;

0 ; a ] :

T h i s a l s o g i v e s u ( t

i

j

) ! u i n L

2

( 0 ; a ) . S i n c e w e a l r e a d y k n o w f r o m

( b ) ( i ) t h a t u ( t

i

j

)

! M f i n L

2

( 0 ; a ) , i t f o l l o w s t h a t u = M f . H e n c e ,

l i m

j ! 1

k u ( t

i

j

) ? M f k

L

1

( )

= 0 : ( 2 . 3 5 )

P a r t ( a ) t e l l s u s t h a t k u ( t ) ? M f k

p

L

p

( )

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r p 2 .

T h u s ,

k u ( t ) ? M f k

L

1

( )

= l i m

p ! 1

k u ( t ) ? M f k

L

p

( )

i s a l s o n o n i n c r e a s i n g . T h e r e f o r e , l i m

t ! 1

k u ( t ) ? M f k

L

1

( )

e x i s t s a n d f r o m

( 2 . 3 5 ) w e c o n c l u d e t h a t

l i m

t ! 1

k u ( t ) ? M f k

L

1

( )

= 0 :

T h e s m o o t h n e s s o f u e s t a b l i s h e s n a l l y t h a t

l i m

t ! 1

u ( x ; t ) =

u n i f o r m o n

. 2




S i n c e o u r c l a s s ( P

c

) d o e s n o t f o r b i d c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i t a d m i t s p r o c e s s e s

w h e r e f o r w a r d d i u s i o n h a s t o c o m p e t e w i t h b a c k w a r d d i u s i o n . T h e o r e m 3 i s

o f i m p o r t a n c e a s i t s t a t e s t h a t t h e r e g u l a r i z a t i o n b y c o n v o l v i n g w i t h K

t a m e s

t h e b a c k w a r d d i u s i o n i n s u c h a w a y t h a t f o r w a r d d i u s i o n w i n s i n t h e l o n g r u n .

M o r e o v e r , t h e c o m p e t i t i o n e v o l v e s i n a c e r t a i n d i r e c t i o n a l l t h e t i m e : a l t h o u g h

b a c k w a r d d i u s i o n m a y b e l o c a l l y s u p e r i o r , t h e g l o b a l r e s u l t { d e n o t e d b y t h e

L y a p u n o v f u n c t i o n a l { b e c o m e s p e r m a n e n t l y b e t t e r f o r f o r w a r d d i u s i o n . S o l e t

u s h a v e a c l o s e r l o o k a t w h a t m i g h t b e t h e m e a n i n g o f t h i s g l o b a l r e s u l t i n t h e

c o n t e x t o f i m a g e p r o c e s s i n g .

C o n s i d e r i n g t h e L y a p u n o v f u n c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h r ( s ) : = j s j

p

, r ( s ) : =

( s ? )

2 n

a n d r ( s ) : = s l n s , r e s p e c t i v e l y , t h e p r e c e d i n g t h e o r e m g i v e s t h e f o l l o w i n g

c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y 1 ( S p e c i a l L y a p u n o v f u n c t i o n a l s ) .

L e t u b e t h e s o l u t i o n o f ( P

c

) a n d a a n d b e d e n e d a s i n ( P

c

) a n d ( 2 . 2 2 ) . T h e n

t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s a r e d e c r e a s i n g f o r t 2 0 ; 1 ) :

( a )

k u ( t )

k

L

p

( )

f o r a l l p

2 .

( b ) M

2 n

u ( t ) ] : =

1

j j

Z

( u ( x ; t ) ? )

2 n

d x f o r a l l n 2 I N .

( c ) H u ( t ) ] : =

Z

u ( x ; t ) l n ( u ( x ; t ) ) d x , i f a > 0 .

C o r o l l a r y 1 o e r s m u l t i p l e p o s s i b i l i t i e s o f h o w t o i n t e r p r e t n o n l i n e a r a n i s o t r o p i c

d i u s i o n l t e r i n g a s a s m o o t h i n g t r a n s f o r m a t i o n .

A s a s p e c i a l c a s e o f ( a ) i t f o l l o w s t h a t t h e e n e r g y k u ( t ) k

2

L

2

( )

i s r e d u c e d b y

d i u s i o n .

P a r t ( b ) g i v e s a p r o b a b i l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r i n g .

C o n s i d e r t h e i n t e n s i t y i n a n i m a g e f a s a r a n d o m v a r i a b l e Z

f

w i t h d i s t r i b u t i o n

F

f

( z ) , i . e . F

f

( z ) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a n a r b i t r a r y g r e y v a l u e Z

f

o f f d o e s n o t

e x c e e d z . B y t h e a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e , i s e q u a l t o t h e e x p e c t e d v a l u e

E Z

u ( t )

: =

Z

I R

z d F

u ( t )

( z ) ; ( 2 . 3 6 )

a n d i t f o l l o w s t h a t M

2 n

u ( t ) ] i s j u s t t h e e v e n c e n t r a l m o m e n t

Z

I R

z ? E Z

u ( t )

2 n

d F

u ( t )

( z ) : ( 2 . 3 7 )

T h e s e c o n d c e n t r a l m o m e n t ( t h e v a r i a n c e ) c h a r a c t e r i z e s t h e s p r e a d o f t h e i n t e n -

s i t y a b o u t i t s m e a n . I t i s a c o m m o n t o o l f o r c o n s t r u c t i n g m e a s u r e s f o r t h e r e l a t i v e




s m o o t h n e s s o f t h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n . T h e f o u r t h m o m e n t i s f r e q u e n t l y u s e d

t o d e s c r i b e t h e r e l a t i v e a t n e s s o f t h e g r e y v a l u e d i s t r i b u t i o n . H i g h e r m o m e n t s

a r e m o r e d i c u l t t o i n t e r p r e t e , a l t h o u g h t h e y d o p r o v i d e i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n

f o r t a s k s l i k e t e x t u r e d i s c r i m i n a t i o n 1 0 5 , p p . 4 1 4 { 4 1 5 ] . A l l d e c r e a s i n g e v e n m o -

m e n t s d e m o n s t r a t e t h a t t h e i m a g e b e c o m e s s m o o t h e r d u r i n g d i u s i o n l t e r i n g .

H e n c e , l o c a l e e c t s s u c h a s e d g e e n h a n c e m e n t , w h i c h o b j e c t t o i n c r e a s e c e n t r a l

m o m e n t s , a r e o v e r c o m p e n s a t e d b y s m o o t h i n g i n o t h e r a r e a s .

I f w e c h o o s e a n o t h e r p r o b a b i l i s t i c m o d e l o f i m a g e s , t h e n p a r t ( c ) c h a r a c t e r i z e s

t h e i n f o r m a t i o n - t h e o r e t i c a l s i d e o f o u r s c a l e - s p a c e . P r o v i d e d t h e i n i t i a l i m a g e f i s

s t r i c t l y p o s i t i v e o n , w e m a y r e g a r d i t a l s o a s a t w o - d i m e n s i o n a l d e n s i t y .

4

T h e n ,

S u ( t ) ] : = ?

Z

u ( x ; t ) l n ( u ( x ; t ) ) d x ( 2 . 3 8 )

i s c a l l e d t h e e n t r o p y o f u ( t ) , a m e a s u r e o f u n c e r t a i n t y a n d m i s s i n g i n f o r m a t i o n

4 6 ] . S i n c e a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s i n c r e a s e t h e e n t r o p y t h e c o r r e s p o n d i n g

s c a l e - s p a c e e m b e d s t h e g e n u i n e i m a g e f i n t o a f a m i l y o f s u b s e q u e n t l y l i k e l i e r

v e r s i o n s o f i t w h i c h c o n t a i n l e s s i n f o r m a t i o n .

5

M o r e o v e r , f o r t ! 1 , t h e p r o c e s s

r e a c h e s t h e s t a t e w i t h t h e l o w e s t p o s s i b l e i n f o r m a t i o n , n a m e l y a c o n s t a n t i m a g e .

F r o m a l l t h e p r e v i o u s c o n s i d e r a t i o n s , w e o b s e r v e t h a t , i n s p i t e o f p o s s i b l e

c o n t r a s t - e n h a n c i n g p r o p e r t i e s , a n i s o t r o p i c d i u s i o n d o e s r e a l l y s i m p l i f y t h e o r i -

g i n a l i m a g e i n a s t e a d y w a y .

L e t u s n a l l y p o i n t o u t a n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e L y a p u n o v f u n c t i o n a l s .

I n a c l a s s i c s c a l e - s p a c e r e p r e s e n t a t i o n , t h e t i m e t p l a y s t h e r o l e o f t h e s c a l e p a r a -

m e t e r . B y i n c r e a s i n g t , o n e t r a n s f o r m s t h e i m a g e f r o m a l o c a l t o a m o r e g l o b a l

r e p r e s e n t a t i o n . W e h a v e s e e n i n C h a p t e r 1 t h a t , f o r l i n e a r d i u s i o n s c a l e - s p a c e s

a n d m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s , i t i s p o s s i b l e t o a s s o c i a t e w i t h t h e e v o l u t i o n t i m e

a c o r r e s p o n d i n g s p a t i a l s c a l e .

I n t h e n o n l i n e a r d i u s i o n c a s e , h o w e v e r , t h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d .

S i n c e t h e s m o o t h i n g i s n o n u n i f o r m , o n e c a n o n l y d e n e a n a v e r a g e m e a s u r e f o r t h e

g l o b a l i t y o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . T h i s c a n b e a c h i e v e d b y t a k i n g s o m e L y a p u n o v

f u n c t i o n ( u ( t ) ) a n d i n v e s t i g a t i n g t h e e x p r e s s i o n

( u ( t ) ) : =

( f ) ? ( u ( t ) )

( f ) ? ( M f )

: ( 2 . 3 9 )

W e o b s e r v e t h a t ( t ) i n c r e a s e s f r o m 0 t o 1 . I t g i v e s t h e a v e r a g e g l o b a l i t y o f u ( t )

a n d i t s v a l u e c a n b e u s e d t o m e a s u r e t h e d i s t a n c e o f u ( t ) f r o m t h e i n i t i a l s t a t e

f a n d t h e n a l s t a t e M f . P r e s c r i b i n g a c e r t a i n v a l u e f o r p r o v i d e s u s w i t h a n

a - p o s t e r i o r i c r i t e r i o n f o r t h e s t o p p i n g t i m e o f t h e n o n l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s .

4

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e o m i t t h e n o r m a l i z a t i o n .

5

T h i s m i g h t m a k e a n i s o t r o p i c d i u s i o n a t t r a c t i v e f o r i m a g e c o m p r e s s i o n .



C h a p t e r 3

S e m i d i s c r e t e d i u s i o n l t e r i n g

T h e g o a l o f t h i s c h a p t e r i s t o s t u d y a s e m i d i s c r e t e f r a m e w o r k f o r d i u s i o n s c a l e -

s p a c e s w h e r e t h e i m a g e i s s a m p l e d o n a n i t e g r i d a n d t h e s c a l e p a r a m e t e r i s

c o n t i n u o u s . T h i s l e a d s t o a s y s t e m o f n o n l i n e a r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

( O D E s ) . W e s h a l l i n v e s t i g a t e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h o n e c a n e s t a b l i s h s i m i l a r

p r o p e r t i e s a s i n t h e c o n t i n u o u s s e t t i n g c o n c e r n i n g w e l l - p o s e d n e s s , e x t r e m u m p r i n -

c i p l e s , a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e , L y a p u n o v f u n c t i o n a l s , a n d c o n v e r g e n c e t o a

c o n s t a n t s t e a d y - s t a t e . A f t e r w a r d s w e s h a l l d i s c u s s w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o o b -

t a i n s u c h l t e r s f r o m s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n s o f t h e c o n t i n u o u s m o d e l s t h a t h a v e

b e e n i n v e s t i g a t e d i n C h a p t e r 2 . W e w i l l s e e t h a t t h e r e e x i s t s a n i t e s t e n c i l o n

w h i c h a d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s t s t h e s e m i d i s c r e t e

s c a l e - s p a c e f r a m e w o r k .

3 . 1 T h e g e n e r a l m o d e l

A d i s c r e t e i m a g e c a n b e r e g a r d e d a s a v e c t o r f 2 I R

N

, N 2 , w h o s e c o m p o n e n t s

f

j

, j = 1 , . . . , N r e p r e s e n t t h e g r e y v a l u e s a t t h e p i x e l s . W e d e n o t e t h e i n d e x s e t

f 1 ; : : : ; N g b y J . I n o r d e r t o s p e c i f y o u r r e q u i r e m e n t s f o r o u r s e m i d i s c r e t e l t e r

c l a s s w e r s t r e c a l l a u s e f u l d e n i t i o n o f i r r e d u c i b l e m a t r i c e s 2 4 1 , p p . 1 8 { 2 0 ] .

D e n i t i o n 1 ( I r r e d u c i b i l i t y ) . A m a t r i x A = ( a

i j

) 2 I R

N N

i s c a l l e d i r r e -

d u c i b l e i f f o r a n y i ; j 2 J t h e r e e x i s t k

0

, . . . , k

r

2 J w i t h k

0

= i a n d k

r

= j s u c h t h a t

a

k

p

k

p + 1

6= 0 f o r p = 0 , . . . , r ? 1 .

T h e s e m i d i s c r e t e p r o b l e m c l a s s ( P

s

) w e a r e c o n c e r n e d w i t h i s d e n e d i n t h e

f o l l o w i n g w a y :

6 1



6 2 C H A P T E R 3 . S E M I D I S C R E T E D I F F U S I O N F I L T E R I N G

L e t f 2 I R

N

. F i n d a f u n c t i o n u 2 C

1

( 0 ; 1 ) ; I R

N

) w h i c h s a t i s e s t h e

i n i t i a l v a l u e p r o b l e m

d u

d t

= A ( u ) u ;

u ( 0 ) = f ;

w h e r e A = ( a

i j

) h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( S 1 ) L i p s c h i t z - c o n t i n u i t y o f A 2 C ( I R

N

; I R

N N

) f o r e v e r y b o u n d e d

s u b s e t o f I R

N

,

( S 2 ) s y m m e t r y : a

i j

( u ) = a

j i

( u ) 8 i ; j 2 J ; 8 u 2 I R

N

,

( S 3 ) v a n i s h i n g r o w s u m s :

P

j 2 J

a

i j

( u ) = 0 8 i 2 J ; 8 u 2 I R

N

,

( S 4 ) n o n n e g a t i v e o - d i a g o n a l s : a

i j

( u )

0

8 i

6= j ;

8 u

2 I R

N

,

( S 5 ) i r r e d u c i b i l i t y f o r a l l u 2 I R

N

.

9

>

>

>

>

>

>

>

>

>

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=

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>

>

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>

>

>

>

;

( P

s

)

N o t a l l o f t h e s e r e q u i r e m e n t s a r e n e c e s s a r y f o r e v e r y t h e o r e t i c a l r e s u l t b e l o w .

( S 1 ) i s n e e d e d f o r w e l l - p o s e d n e s s , t h e p r o o f o f a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e

i n v o l v e s ( S 3 ) a n d ( S 4 ) , w h i l e a v e r a g e g r e y v a l u e i n v a r i a n c e u s e s ( S 2 ) a n d ( S 3 ) .

T h e e x i s t e n c e o f L y a p u n o v f u n c t i o n a l s c a n b e e s t a b l i s h e d b y m e a n s o f ( S 2 ) { ( S 4 ) ,

a n d s t r i c t L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a n d t h e c o n v e r g e n c e t o a c o n s t a n t s t e a d y s t a t e

r e q u i r e ( S 5 ) i n a d d i t i o n t o ( S 2 ) { ( S 4 ) .

T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e s e p r o p e r t i e s r e v e a l s o m e i n t e r e s t i n g p a r a l l e l s t o t h e

c o n t i n u o u s s e t t i n g f r o m C h a p t e r 2 : I n b o t h c a s e s w e n e e d s m o o t h n e s s a s s u m p t i o n s

t o e n s u r e w e l l - p o s e d n e s s ; ( S 2 ) a n d ( S 3 ) c o r r e s p o n d t o t h e s p e c i c s t r u c t u r e o f t h e

d i v e r g e n c e e x p r e s s i o n w i t h a s y m m e t r i c d i u s i o n t e n s o r D , w h i l e ( S 4 ) a n d ( S 5 )

p l a y a s i m i l a r r o l e a s t h e n o n n e g a t i v i t y o f t h e e i g e n v a l u e s o f D a n d i t s u n i f o r m

p o s i t i v e d e n i t e n e s s , r e s p e c t i v e l y .


B e f o r e w e c a n e s t a b l i s h s c a l e - s p a c e r e s u l t s , i t i s o f i m p o r t a n c e t o e n s u r e t h e

e x i s t e n c e o f a u n i q u e s o l u t i o n . T h i s i s d o n e i n t h e t h e o r e m b e l o w w h i c h a l s o s t a t e s

t h e c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o f t h e s o l u t i o n a n d a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e .




T h e o r e m 4 ( W e l l - p o s e d n e s s , e x t r e m u m p r i n c i p l e ) .

F o r e v e r y T > 0 t h e p r o b l e m ( P

s

) h a s a u n i q u e s o l u t i o n u ( t ) 2 C

1

( 0 ; T ] ; I R

N

) .

T h i s s o l u t i o n d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n t h e i n i t i a l v a l u e a n d t h e r i g h t - h a n d s i d e o f

t h e O D E s y s t e m , a n d i t s a t i s e s t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e

a u

i

( t ) b 8 i 2 J ; 8 t 2 0 ; T ] ; ( 3 . 1 )

w h e r e

a : = m i n

j 2 J

f

j

; ( 3 . 2 )

b : = m a x

j 2 J

f

j

: ( 3 . 3 )

P r o o f :

( a ) L o c a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s

L o c a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s a r e p r o v e d b y s h o w i n g t h a t o u r p r o b l e m

s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e P i c a r d { L i n d e l o f t h e o r e m 2 5 4 , p . 5 9 ] .

L e t t

0

: = 0 a n d > 0 . E v i d e n t l y , ( t ; u ) : = ( u ) : = A ( u ) u i s c o n t i n u o u s

o n

B

0

: = 0 ; T ]

n

u 2 I R

N

k u k

1

k f k

1

+

o

;

s i n c e i t i s a c o m p o s i t i o n o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . M o r e o v e r , b y t h e c o m -

p a c t n e s s o f B

0

t h e r e e x i s t s s o m e c > 0 w i t h

k ( t ; u ) k

1

c 8 ( t ; u ) 2 B

0

:

I n o r d e r t o p r o v e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f a s o l u t i o n o f ( P

s

) i n

R

0

: =

n

( t ; u )

t 2 t

0

; t

0

+ m i n (

c

; T ) ] ; k u ? f k

1

o

B

0

w e h a v e t o s h o w t h a t ( t ; u ) s a t i s e s a g l o b a l L i p s c h i t z c o n d i t i o n o n R

0

w i t h r e s p e c t t o u . H o w e v e r , t h i s f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e f a c t t h a t A i s

L i p s c h i t z - c o n t i n u o u s o n

f u

2 I R

N

j k u

? f

k

1

g .

( b ) M a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e

W e p r o v e o n l y t h e m a x i m u m p r i n c i p l e , s i n c e t h e p r o o f f o r t h e m i n i m u m

p r i n c i p l e i s a n a l o g o u s .

A s s u m e t h a t t h e p r o b l e m ( P

s

) h a s a u n i q u e s o l u t i o n o n 0 ; ] . F i r s t w e s h o w

t h a t t h e d e r i v a t i v e o f t h e l a r g e s t c o m p o n e n t o f u ( t ) i s n o n p o s i t i v e f o r e v e r y




t 2 0 ; ] . L e t u

k

( # ) : = m a x

j 2 J

u

j

( # ) f o r s o m e a r b i t r a r y # 2 0 ; ] . I f w e k e e p

t h i s k x e d w e o b t a i n , f o r t = # ,

d u

k

d t

=

X

j 2 J

a

k j

( u ) u

j

= a

k k

( u ) u

k

+

X

j 2 J n f k g

a

k j

( u )

| { z }

0

u

j

| { z }

u

k

u

k

X

j 2 J

a

k j

( u )

( S 4 )

= 0 : ( 3 . 4 )

L e t u s n o w p r o v e t h a t t h i s i m p l i e s a m a x i m u m p r i n c i p l e ( c f . 1 2 6 ] ) .

L e t " > 0 a n d s e t

u

"

( t ) : = u ( t ) ?

0

B

B

@

" t

.

.

.

" t

1

C

C

A

:

M o r e o v e r , l e t P : = f p 2 J j u

" p

( 0 ) = m a x

j 2 J

u

" j

( 0 ) g . T h e n , b y ( 3 . 4 ) ,

d u

" p

d t

!

( 0 ) =

d u

p

d t

!

( 0 )

| { z }

0

? " < 0 8 p 2 P : ( 3 . 5 )

B y m e a n s o f

m a x

i 2 J n P

u

" i

( 0 ) < m a x

j 2 J

u

" j

( 0 ) ;

a n d t h e c o n t i n u i t y o f u t h e r e e x i s t s s o m e t

1

2 ( 0 ; ) s u c h t h a t

m a x

i 2 J n P

u

" i

( t ) < m a x

j 2 J

u

" j

( 0 )

8 t

2 0 ; t

1

) : ( 3 . 6 )

N e x t , l e t u s c o n s i d e r s o m e p 2 P . D u e t o ( 3 . 5 ) a n d t h e s m o o t h n e s s o f u w e

m a y n d a #

p

2 ( 0 ; ) w i t h

d u

" p

d t

!

( t ) < 0 8 t 2 0 ; #

p

) :

T h u s , w e h a v e

u

" p

( t ) < u

" p

( 0 ) 8 t 2 ( 0 ; #

p

)

a n d , f o r t

2

: = m i n

p 2 P

#

p

, i t f o l l o w s t h a t

m a x

p 2 P

u

" p

( t ) < m a x

j 2 J

u

" j

( 0 ) 8 t 2 ( 0 ; t

2

) : ( 3 . 7 )




H e n c e , f o r t

0

: = m i n ( t

1

; t

2

) , t h e e s t i m a t e s ( 3 . 6 ) a n d ( 3 . 7 ) g i v e

m a x

j 2 J

u

" j

( t ) < m a x

j 2 J

u

" j

( 0 ) 8 t 2 ( 0 ; t

0

) : ( 3 . 8 )

N o w w e w a n t t o p r o v e t h a t t h i s e s t i m a t e e x t e n d s t o t h e c a s e t

2 ( 0 ; ) . T o

t h i s e n d , a s s u m e t h e o p p o s i t e i s t r u e . T h e n , b y v i r t u e o f t h e i n t e r m e d i a t e

v a l u e t h e o r e m , t h e r e e x i s t s s o m e t

3

w h i c h i s t h e s m a l l e s t t i m e i n ( 0 ; ) s u c h

t h a t

m a x

j 2 J

u

" j

( t

3

) = m a x

j 2 J

u

" j

( 0 ) :

L e t u

" k

: = m a x

j 2 J

u

" j

( t

3

) . T h e n t h e m i n i m a l i t y o f t

3

y i e l d s

u

" k

( t ) < u

" k

( t

3

) 8 t 2 ( 0 ; t

3

) ; ( 3 . 9 )

a n d i n e q u a l i t y ( 3 . 4 ) g i v e s

d u

" k

d t

!

( t

3

) =

d u

k

d t

!

( t

3

)

| { z }

0

? " < 0 :

D u e t o t h e c o n t i n u i t y o f

d u

d t

t h e r e e x i s t s s o m e t

4

2 ( 0 ; t

3

) w i t h

d u

" k

d t

!

( t ) < 0 8 t 2 ( t

4

; t

3

] : ( 3 . 1 0 )

T h e m e a n v a l u e t h e o r e m , h o w e v e r , i m p l i e s t h a t w e n d a t

5

2 ( t

4

; t

3

) w i t h

d u

" k

d t

!

( t

5

) =

u

" k

( t

3

) ? u

" k

( t

4

)

t

3

? t

4

( 3 9 )

> 0 ;

w h i c h c o n t r a d i c t s ( 3 . 1 0 ) . H e n c e , ( 3 . 8 ) m u s t b e v a l i d o n t h e e n t i r e i n t e r v a l

( 0 ; ) .

T o g e t h e r w i t h u = l i m

" ! 0

u

"

a n d t h e c o n t i n u i t y o f u t h i s y i e l d s t h e a n n o u n c e d

m a x i m u m p r i n c i p l e

m a x

j 2 J

u

j

( t ) m a x

j 2 J

u

j

( 0 ) 8 t 2 0 ; ] :

( c ) G l o b a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s

G l o b a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o l l o w f r o m l o c a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s

w h e n b e i n g c o m b i n e d w i t h t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e .

U s i n g t h e n o t a t i o n s a n d r e s u l t s f r o m ( a ) , w e k n o w t h a t t h e p r o b l e m ( P

s

)

h a s a u n i q u e s o l u t i o n u ( t ) f o r t 2 t

0

; t

0

+ m i n (

c

; T ) ] .




N o w l e t t

1

: = t

0

+ m i n (

c

; T ) , g : = u ( t

1

) , a n d c o n s i d e r t h e p r o b l e m

d u

d t

= A ( u ) u ;

u ( t

1

) = g :

C l e a r l y , ( t ; u ) = A ( u ) u i s c o n t i n u o u s o n

B

1

: = 0 ; T ]

n

u

2 I R

N

k u

k

1

k g

k

1

+

o

;

a n d b y t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e w e k n o w t h a t B

1

B

0

. H e n c e ,

k ( t ; u ) k

1

c 8 ( t ; u ) 2 B

1

:

w i t h t h e s a m e c a s i n ( a ) . U s i n g t h e s a m e c o n s i d e r a t i o n s a s i n ( a ) o n e s h o w s

t h a t i s L i p s c h i t z - c o n t i n u o u s o n

R

1

: =

n

( t ; u )

t 2 t

1

; t

1

+ m i n (

c

; T ) ] ; k u ? g k

1

o

:

H e n c e , t h e c o n s i d e r e d p r o b l e m h a s a u n i q u e s o l u t i o n o n t

1

; t

1

+ m i n (

c

; T ) ] .

T h e r e f o r e , ( P

s

) r e v e a l s a u n i q u e s o l u t i o n o n 0 ; m i n (

2

c

; T ) ] , a n d , b y i t e r a t i n g

t h i s r e a s o n i n g , t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e s o l u t i o n c a n b e e x t e n d e d t o t h e

e n t i r e i n t e r v a l 0 ; T ] . A s a c o n s e q u e n c e , t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e i s v a l i d o n

0 ; T ] a s w e l l .

( d ) C o n t i n u o u s d e p e n d e n c e

L e t u ( t ) b e t h e s o l u t i o n o f

d u

d t

= ( t ; u ) ;

u ( 0 ) = f

f o r t 2 0 ; T ] a n d ( u ; t ) = ( u ) = A ( u ) u . I n o r d e r t o s h o w t h a t u ( t ) d e p e n d s

c o n t i n u o u s l y o n t h e i n i t i a l d a t a a n d t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h e O D E s y s t e m ,

i t i s s u c i e n t t o p r o v e t h a t ( t ; u ) i s c o n t i n u o u s , a n d t h a t t h e r e e x i s t s s o m e

> 0 s u c h t h a t ( t ; u ) s a t i s e s a g l o b a l L i p s c h i t z c o n d i t i o n o n

S

: =

n

( t ; v )

t

2 0 ; T ] ;

k v

? u

k

1

o

:

w i t h r e s p e c t t o i t s s e c o n d a r g u m e n t . I n t h i s c a s e t h e r e s u l t s i n 2 4 5 , p . 9 3 ]

e n s u r e t h a t f o r e v e r y " > 0 t h e r e e x i s t s a > 0 s u c h t h a t t h e s o l u t i o n ~ u o f

t h e p e r t u r b e d p r o b l e m

d ~ u

d t

=

~

( t ; ~ u ) ;

~ u ( 0 ) =

~

f




w i t h c o n t i n u o u s

~

a n d

k

~

f ? f k

1

< ;

k

~

( t ; v ) ? ( t ; v ) k

1

< f o r k v ? u k

1

<

e x i s t s i n 0 ; T ] a n d s a t i s e s t h e i n e q u a l i t y

k ~ u ( t ) ? u ( t ) k

1

< " :

S i m i l a r t o t h e t h e l o c a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s p r o o f , t h e g l o b a l L i p s c h i t z

c o n d i t i o n o n S

f o l l o w s d i r e c l y f r o m t h e f a c t t h a t A i s L i p s c h i t z - c o n t i n u o u s

o n f v 2 I R

N

j k v ? u k

1

g . 2


I t i s e v i d e n t t h a t p r o p e r t i e s s u c h a s g r e y l e v e l s h i f t i n v a r i a n c e o r r e v e r s e c o n t r a s t

i n v a r i a n c e a r e a u t o m a t i c a l l y s a t i s e d b y e v e r y c o n s i s t e n t s e m i d i s c r e t e a p p r o x i m a -

t i o n o f t h e c o n t i n u o u s l t e r c l a s s ( P

c

) . O n t h e o t h e r h a n d , t r a n s l a t i o n i n v a r i a n c e

o n l y m a k e s s e n s e f o r t r a n s l a t i o n s i n g r i d d i r e c t i o n w i t h m u l t i p l e s o f t h e g r i d s i z e ,

a n d i s o m e t r y i n v a r i a n c e i s s a t i s e d f o r c o n s i s t e n t s c h e m e s u p t o a n d i s c r e t i z a t i o n

e r r o r . S o l e t u s f o c u s o n a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e n o w .



: =

1

N

X

j 2 J

f

j

( 3 . 1 1 )

i s n o t a e c t e d b y t h e s e m i d i s c r e t e d i u s i o n l t e r :

1

N

X

j 2 J

u

j

( t ) = 8 t 0 : ( 3 . 1 2 )

P r o o f :

B y v i r t u e o f ( S 2 ) a n d ( S 3 ) w e h a v e

P

j 2 J

a

j k

( u ) = 0 f o r a l l k 2 J . T h u s , f o r t 0 ,

X

j 2 J

d u

j

d t

=

X

j 2 J

X

k 2 J

a

j k

( u ) u

k

=

X

k 2 J

X

j 2 J

a

j k

( u )

u

k

= 0 ;

w h i c h s h o w s t h a t

P

j 2 J

u

j

( t ) i s c o n s t a n t o n 0 ; 1 ) a n d c o n c l u d e s t h e p r o o f . 2

T h i s p r o p e r t y i s i n c o m p l e t e a c c o r d a n c e w i t h t h e r e s u l t f o r t h e c o n t i n u o u s

l t e r c l a s s .




S i m i l a r t o t h e c o n t i n u o u s s e t t i n g , i t i s p o s s i b l e t o n d a l a r g e c l a s s o f L y a p u n o v

f u n c t i o n a l s w h i c h e s t a b l i s h s m o o t h i n g s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s a n d e n s u r e t h a t t h e

i m a g e t e n d s t o a c o n s t a n t s t e a d y - s t a t e w i t h t h e s a m e a v e r a g e g r e y l e v e l a s t h e

i n i t i a l i m a g e .

T h e o r e m 5 ( L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a n d b e h a v i o u r f o r t ! 1 ) .

L e t u ( t ) b e t h e s o l u t i o n o f ( P

s

) , l e t a , b , a n d b e d e n e d a s i n ( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) , a n d

( 3 . 1 1 ) , r e s p e c t i v e l y , a n d l e t c : = ( ; ; : : : ; )

>

2 I R

N

.

T h e n t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s a r e v a l i d :


F o r a l l r 2 C

1

a ; b ] w i t h i n c r e a s i n g r

0

o n a ; b ] , t h e f u n c t i o n

V ( t ) : = ( u ( t ) ) : =

X

i 2 J

r ( u

i

( t ) )

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n a l :

( i ) ( u ) ( c ) f o r a l l t 0 .

( i i ) V 2 C

1

0 ; 1 ) a n d V

0

( t ) 0 f o r a l l t 0 .

M o r e o v e r , i f r

0

i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g o n a ; b ] , t h e n V ( t ) = ( u ( t ) ) i s a s t r i c t

L y a p u n o v f u n c t i o n a l :

( i i i ) ( u ) = ( c ) ( ) u = c

( i v ) V

0

( t ) = 0 ( ) u = c

( b ) ( C o n v e r g e n c e )

l i m

t ! 1

u ( t ) = c .

P r o o f :

( a ) ( i ) S i n c e r

0

i s i n c r e a s i n g o n a ; b ] w e k n o w t h a t r i s c o n v e x o n a ; b ] . A v e r a g e

g r e y l e v e l i n v a r i a n c e a n d t h i s c o n v e x i t y y i e l d , f o r a l l t 0 ,

( c ) =

N

X

i = 1

r

0

@

N

X

j = 1

1

N

u

j

1

A

N

X

i = 1

0

@

1

N

N

X

j = 1

r ( u

j

)

1

A

=

N

X

j = 1

r ( u

j

)

= ( u ) : ( 3 . 1 3 )




T h i s s h o w s t h a t e q u a l i t y i n ( 3 . 1 3 ) i m p l i e s t h a t u

1

= : : : = u

N

. B y

v i r t u e o f t h e g r e y l e v e l s h i f t i n v a r i a n c e w e c o n c l u d e t h a t u = c .

C o n v e r s e l y , i t i s t r i v i a l t h a t ( u ) = ( c ) f o r u = c .

( i v ) L e t V

0

( t ) = 0 . F r o m ( 3 . 1 4 ) w e h a v e

0 = V

0

( t ) =

N

X

i = 1

N ? i

X

k = 1

a

i ; i + k

( u ) ( u

i + k

? u

i

)

r

0

( u

i

) ? r

0

( u

i + k

)

| { z }

0

;

a n d b y v i r t u e o f t h e s y m m e t r y o f A ( u ) i t f o l l o w s t h a t

a

i j

( u ) ( u

j

? u

i

)

r

0

( u

i

) ? r

0

( u

j

)

= 0 8 i ; j 2 J : ( 3 . 1 5 )

N o w c o n s i d e r t w o a r b i t r a r y i

0

; j

0

2 J . T h e i r r e d u c i b i l i t y o f A ( u ) i m -

p l i e s t h a t t h e r e e x i s t k

0

, . . . , k

r

2 J w i t h k

0

= i

0

, k

r

= j

0

, a n d

a

k

p

k

p + 1

( u )

6= 0 ; p = 0 ; : : : ; r

? 1 :

A s r

0

i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g w e h a v e , f o r p = 0 , . . . , r ? 1 ,

( u

k

p

? u

k

p + 1

)

r

0

( u

k

p + 1

) ? r

0

( u

k

p

)

= 0 ( ) u

k

p

= u

k

p + 1

:

F r o m t h i s a n d ( 3 . 1 5 ) w e g e t

u

i

0

= u

k

0

= u

k

1

= : : : = u

k

r

= u

j

0

:

S i n c e i

0

a n d j

0

a r e a r b i t r a r y , w e o b t a i n u

i

= c o n s t . f o r a l l i 2 J , a n d

t h e a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e g i v e s u = c . T h i s p r o v e s t h e r s t

i m p l i c a t i o n .

C o n v e r s e l y , l e t u

i

= c o n s t . f o r a l l i 2 J . T h e n f r o m t h e r e p r e s e n t a t i o n

( 3 . 1 4 ) w e i m m e d i a t e l y c o n c l u d e t h a t V

0

( t ) = 0 .

( b ) T h e c o n v e r g e n c e p r o o f i s b a s e d o n c l a s s i c a l L y a p u n o v r e a s o n i n g s , s e e e . g .

1 1 6 ] f o r a n i n t r o d u c t i o n t o t h e s e t e c h n i q u e s .

C o n s i d e r t h e L y a p u n o v f u n c t i o n a l V ( t ) : = ( u ( t ) ) : = j u ( t ) ? c j

2

, w h i c h

r e s u l t s f r o m t h e c h o i c e r ( s ) : = ( s ? )

2

. S i n c e V ( t ) i s d e c r e a s i n g a n d b o u n d e d

f r o m b e l o w b y 0 , w e k n o w t h a t l i m

t ! 1

V ( t ) = : e x i s t s a n d 0 .

N o w a s s u m e t h a t > 0 .

S i n c e j u ( t ) ? c j i s b o u n d e d f r o m a b o v e b y : = j f ? c j w e h a v e

j u ( t ) ? c j 8 t 0 : ( 3 . 1 6 )




B y v i r t u e o f ( x ) = j x ? c j

2

w e k n o w t h a t , f o r 2 ( 0 ;

p

) ,

( x ) < 8 x 2 I R

N

; j x ? c j < :

L e t w . l . o . g . < . S i n c e ( u ( t ) ) w e c o n c l u d e t h a t

j u ( t ) ? c j 8 t 0 : ( 3 . 1 7 )

S o f r o m ( 3 . 1 6 ) a n d ( 3 . 1 7 ) w e h a v e

u ( t ) 2 f x 2 I R

N

j j x ? c j g = : S 8 t 0 :

B y ( a ) ( i i ) , ( i v ) , t h e c o m p a c t n e s s o f S , a n d > 0 t h e r e e x i s t s s o m e M > 0

s u c h t h a t

V

0

( t )

? M

8 t

0 :

T h e r e f o r e , i t f o l l o w s

V ( t ) = V ( 0 ) +

Z

t

0

V

0

( ) d V ( 0 ) ? t M

w h i c h i m p l i e s l i m

t ! 1

V ( t ) = ? 1 a n d , t h u s , c o n t r a d i c t s ( a ) ( i ) .

H e n c e t h e a s s u m p t i o n > i s w r o n g a n d w e m u s t h a v e = .

A c c o r d i n g t o ( a ) ( i i i ) t h i s y i e l d s l i m

t ! 1

u ( t ) = c . 2

A s i n t h e c o n t i n u o u s c a s e , w e c a n c o n s i d e r t h e L y a p u n o v f u n c t i o n s a s s o c i a t e d

w i t h r ( s ) : = j s j

p

, r ( s ) : = ( s ? )

2 n

a n d r ( s ) : = s l n s , r e s p e c t i v e l y , a n d o b t a i n t h e

f o l l o w i n g c o r o l l a r y .


L e t u b e t h e s o l u t i o n o f ( P

s

) a n d a a n d b e d e n e d a s i n ( 3 . 2 ) a n d ( 3 . 1 1 ) . T h e n

t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s a r e d e c r e a s i n g f o r t 2 0 ; 1 ) :

( a ) k u ( t ) k

p

f o r a l l p 2 .

( b ) M

2 n

u ( t ) ] : =

1

N

N

P

j = 1

( u

j

( t ) ? )

2 n

f o r a l l n 2 I N .

( c ) H u ( t ) ] : =

N

P

j = 1

u

j

( t ) l n ( u

j

( t ) ) , i f a > 0 .

S i n c e a l l p - n o r m s ( p 2 ) a n d a l l c e n t r a l m o m e n t s a r e d e c r e a s i n g , w h i l e t h e

d i s c r e t e e n t r o p y

S u ( t ) ] : = ?

N

X

j = 1

u

j

( t ) l n ( u

j

( t ) ) ( 3 . 1 8 )

i s i n c r e a s i n g w i t h r e s p e c t t o t , w e o b s e r v e t h a t t h e s e m i d i s c r e t e s e t t i n g r e v e a l s

s m o o t h i n g s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s w h i c h a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e c o n t i n u o u s c a s e .




3 . 4 R e l a t i o n t o c o n t i n u o u s m o d e l s

L e t u s n o w i n v e s t i g a t e w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o u s e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n s o f t h e

c o n t i n u o u s l t e r c l a s s ( P

c

) i n o r d e r t o n d s e m i d i s c r e t e d i u s i o n m o d e l s s a t i s f y -

i n g ( S 1 ) { ( S 5 ) . F i r s t w e s h a l l v e r i f y t h a t t h i s i s e a s i l y d o n e f o r i s o t r o p i c m o d e l s .

I n t h e a n i s o t r o p i c c a s e , h o w e v e r , t h e m i x e d d e r i v a t i v e t e r m s m a k e i t m o r e d i -

c u l t t o e n s u r e n o n n e g a t i v e o - d i a g o n a l e l e m e n t s . W e s h a l l p r e s e n t a c o n s t r u c t i v e

e x i s t e n c e p r o o f t h a t f o r a s u c i e n t l y l a r g e s t e n c i l i t i s a l w a y s p o s s i b l e t o n d

s u c h a n o n n e g a t i v e d i s c r e t i z a t i o n . T h i s c o n c e p t i s i l l u s t r a t e d b y i n v e s t i g a t i n g t h e

s i t u a t i o n o n a ( 3 3 ) - s t e n c i l i n d e t a i l .

3 . 4 . 1 I s o t r o p i c c a s e

L e t t h e r e c t a n g l e = ( 0 ; a

1

) ( 0 ; a

2

) b e d i s c r e t i z e d b y a g r i d o f N = n

1

n

2

p i x e l s s u c h t h a t a p i x e l ( i ; j ) w i t h 1 i n

1

a n d 1 j n

2

r e p r e s e n t s t h e l o c a t i o n

( x

i

; y

j

) w h e r e

x

i

= ( i ?

1

2

) h

1

; ( 3 . 1 9 )

y

j

= ( j ?

1

2

) h

2

; ( 3 . 2 0 )

a n d t h e g r i d s i z e s h

1

, h

2

a r e g i v e n b y h

1

: = a

1

= n

1

a n d h

2

: = a

2

= n

2

, r e s p e c t i v e l y .

T h e s e p i x e l s c a n b e n u m b e r e d b y m e a n s o f a n a r b i t r a r y b i j e c t i o n

p : f 1 ; : : : ; n

1

g f 1 ; : : : ; n

2

g ! f 1 ; : : : ; N g : ( 3 . 2 1 )

T h u s , p i x e l ( i ; j ) i s r e p r e s e n t e d b y a s i n g l e i n d e x p ( i ; j ) .

L e t u s n o w s h o w t h a t a s t a n d a r d F D s p a c e d i s c r e t i z a t i o n o f a n i s o t r o p i c v a r i a n t

o f ( P

c

) l e a d s t o a s e m i d i s c r e t e l t e r s a t i s f y i n g t h e r e q u i r e m e n t s ( S 1 ) { ( S 5 ) . T o t h i s

e n d , w e r e p l a c e t h e d i u s i o n t e n s o r D ( J

( r u

) ) b y s o m e s c a l a r - v a l u e d f u n c t i o n

g ( J

( r u

) ) . T h e s t r u c t u r e t e n s o r r e q u i r e s t h e c a l c u l a t i o n s o f c o n v o l u t i o n s w i t h

r K

a n d K

, r e s p e c t i v e l y . I n t h e s p a t i a l l y d i s c r e t e c a s e t h i s c o m e s d o w n t o

s p e c i c v e c t o r { m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n s . F o r t h i s r e a s o n , w e m a y a p p r o x i m a t e t h e

s t r u c t u r e t e n s o r b y s o m e m a t r i x H ( u ) = ( h

i j

( u ) ) w h e r e H

2 C

1

( I R

N

; I R

2 2

) .

L e t u s c o n s i d e r s o m e p i x e l k = p ( i ; j ) . W e d e n e f o u r e x p r e s s i o n s g

k E

( u ) ,

g

k W

( u ) , g

k N

( u ) , g

k S

( u ) , w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e i n t e r a c t i o n s o f p i x e l ( i ; j ) w i t h

i t s f o u r n e a r e s t n e i g h b o u r s a n d t a k e i n t o a c c o u n t t h e h o m o g e n e o u s N e u m a n n

b o u n d a r y c o n d i t i o n :

g

k E

( u ) : =

(

g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j )

) + g ( ( H ( u ) )

p ( i + 1 ; j )

)

2

( i 2 f 1 ; : : : ; n

1

? 1 g )

0 ( e l s e ) ;

( 3 . 2 2 )

g

k W

( u ) : =

(

g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j )

) + g ( ( H ( u ) )

p ( i ? 1 ; j )

)

2

( i 2 f 2 ; : : : ; n

1

g )

0 ( e l s e ) ;

( 3 . 2 3 )



3 . 4 . R E L A T I O N T O C O N T I N U O U S M O D E L S 7 3

g

k N

( u ) : =

(

g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j )

) + g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j + 1 )

)

2

( j 2 f 1 ; : : : ; n

2

? 1 g )

0 ( e l s e ) ;

( 3 . 2 4 )

g

k S

( u ) : =

(

g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j )

) + g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j ? 1 )

)

2

( j 2 f 2 ; : : : ; n

2

g )

0 ( e l s e ) :

( 3 . 2 5 )

W h e n d e n i n g A ( u ) = ( a

k l

( u ) ) b y m e a n s o f

a

k l

( u ) : =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

g

k E

( u )

h

2

1

( l = p ( i + 1 ; j ) ) ;

g

k W

( u )

h

2

1

( l = p ( i ? 1 ; j ) ) ;

g

k N

( u )

h

2

2

( l = p ( i ; j + 1 ) ) ;

g

k S

( u )

h

2

2

( l = p ( i ; j ? 1 ) ) ;

?

g

k E

( u ) + g

k W

( u )

h

2

1

?

g

k N

( u ) + g

k S

( u )

h

2

2

( l = p ( i ; j ) ) ;

0 ( e l s e ) ;

( 3 . 2 6 )

a s e m i d i s c r e t e v e r s i o n o f t h e i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r c a n b e w r i t t e n a s

d u

d t

= A ( u ) u : ( 3 . 2 7 )

L e t u s n o w v e r i f y t h a t ( S 1 ) { ( S 5 ) a r e f u l l l e d .

S i n c e H 2 C

1

( I R

N

; I R

2 2

) a n d g 2 C

1

( I R

2 2

) , w e h a v e A 2 C

1

( I R

N

; I R

N N

) .

T h i s p r o v e s ( S 1 ) .

T h e s y m m e t r y o f A f o l l o w s d i r e c t l y f r o m ( 3 . 2 6 ) : F o r i n s t a n c e , i f l = p ( i + 1 ; j ) ,

w e o b t a i n

a

k l

( u ) =

g

k E

( u )

h

2

1

=

8

<

:

g ( ( H ( u ) )

p ( i ; j )

) + g ( ( H ( u ) )

p ( i + 1 ; j )

)

2 h

2

1

( i 2 f 1 ; : : : ; n

1

? 1 g ) ;

0 ( e l s e )

=

8

<

:

g ( ( H ( u ) )

p ( i + 1 ; j )

) + g ( ( H ( u ) )

p ( ( i + 1 ) ? 1 ; j )

)

2 h

2

1

( i + 1 2 f 2 ; : : : ; n

1

g ) ;

0 ( e l s e )

=

g

l W

( u )

h

2

1

= a

l k

( u ) :

B y t h e c o n s t r u c t i o n o f A i t i s a l s o e v i d e n t t h a t a l l r o w s u m s v a n i s h , i . e . ( S 3 )

i s s a t i s e d . M o r e o v e r , s i n c e g i s p o s i t i v e , i t f o l l o w s t h a t a

k l

0 f o r a l l k 6= l a n d ,

t h u s , ( S 4 ) h o l d s .

I n o r d e r t o s h o w t h a t A i s i r r e d u c i b l e , l e t u s c o n s i d e r t w o a r b i t r a r y p i x e l s

s

1

= p ( i ; j ) a n d s

2

= p ( n ; m ) . T h e n w e h a v e t o n d k

0

, . . . , k

r

2 J w i t h k

0

= s

1

a n d




k

r

= s

2

s u c h t h a t a

k

q

k

q + 1

6= 0 f o r q = 0 , . . . , r ? 1 . T o t h i s e n d , l e t r : = j n ? i j + j m ? j j

a n d

k

q

: =

(

p ( i + q s g n ( n ? i ) ; j ) ( q = 0 ; : : : ; j n ? i j )

p ( n ; j + ( q ? j n ? i j ) s g n ( m ? j ) ) ( q = j n ? i j + 1 ; : : : ; r )

( 3 . 2 8 )

T h e n , u s i n g ( 3 . 2 6 ) a n d t h e p o s i t i v i t y o f g w e o b t a i n k

0

= s

1

, k

r

= s

2

, a n d a

k

q

k

q + 1

> 0

f o r q = 0 , . . . , r ? 1 . T h i s e s t a b l i s h e s ( S 5 ) .

R e m a r k s :

( a ) W e o b s e r v e t h a t ( S 1 ) { ( S 5 ) a r e p r o p e r t i e s w h i c h a r e v a l i d f o r a l l a r b i t r a r y

p i x e l n u m b e r i n g s .

( b ) T h e l t e r c l a s s ( P

c

) i s n o t t h e o n l y f a m i l y w h i c h l e a d s t o s e m i d i s c r e t e l t e r s

s a t i s f y i n g ( S 1 ) { ( S 5 ) . I n t e r e s t i n g l y , a s e m i d i s c r e t e v e r s i o n o f t h e P e r o n a {

M a l i k l t e r ( w h i c h i s c l a i m e d t o b e i l l - p o s e d i n t h e c o n t i n u o u s s e t t i n g ) o n a

x e d g r i d a l s o s a t i s e s ( S 1 ) { ( S 5 ) a n d , t h u s , r e v e a l s a l l t h e b e f o r e m e n t i o n e d

w e l l - p o s e d n e s s a n d s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e

e x t r e m u m p r i n c i p l e l i m i t s t h e m o d u l u s o f d i s c r e t e g r a d i e n t a p p r o x i m a t i o n s .

H e n c e , t h e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n i m p l i c i t l y c a u s e s a r e g u l a r i z a t i o n .

3 . 4 . 2 A n i s o t r o p i c c a s e

I f o n e w i s h e s t o t r a n s f e r t h e r e s u l t s f r o m t h e i s o t r o p i c c a s e t o t h e g e n e r a l a n i s o -

t r o p i c s e t t i n g t h e m a i n d i c u l t y a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t , d u e t o t h e m i x e d

d e r i v a t i v e e x p r e s s i o n s , i t i s n o t o b v i o u s h o w t o e n s u r e ( S 4 ) , t h e n o n n e g a t i v i t y o f

a l l o - d i a g o n a l e l e m e n t s o f A ( u ) . T h e t h e o r e m b e l o w s t a t e s t h a t t h i s i s a l w a y s

p o s s i b l e f o r a s u c i e n t l y l a r g e s t e n c i l .

T h e o r e m 6 ( E x i s t e n c e o f a n o n n e g a t i v e d i s c r e t i z a t i o n ) .

L e t D 2 I R

2 2

b e s y m m e t r i c p o s i t i v e d e n i t e w i t h a s p e c t r a l c o n d i t i o n n u m b e r

. T h e n t h e r e e x i s t s s o m e m ( )

2 I N s u c h t h a t d i v ( D

r u ) r e v e a l s a s e c o n d - o r d e r

n o n n e g a t i v e F D d i s c r e t i z a t i o n o n a ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 1 ) - s t e n c i l .

P r o o f :

L e t u s c o n s i d e r s o m e m 2 I N a n d t h e c o r r e s p o n d i n g ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 1 ) - s t e n c i l . T h e

\ b o u n d a r y p i x e l s " o f t h i s s t e n c i l d e n e 4 m p r i n c i p a l o r i e n t a t i o n s

i

2 ( ?

2

;

2

] ,

i = ? 2 m + 1 ; : : : ; 2 m a c c o r d i n g t o

i

: =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

a r c t a n

i h

2

m h

1

( j i j m ) ;

a r c c o t

( 2 m ? i ) h

1

m h

2

( m < i 2 m ) ;

a r c c o t

( i ? 2 m ) h

1

m h

2

( ? 2 m + 1 i < ? m ) :




N o w l e t J

m

: = f 1 ; : : : ; 2 m ? 1 g a n d d e n e a p a r t i t i o n o f ( ?

2

;

2

] i n t o 4 m ? 2 s u b i n -

t e r v a l s I

i

, j i j 2 J

m

:

( ?

2

;

2

] =

? 1

i = ? 2 m + 1

(

i

;

i + 1

]

| { z }

= : I

i

2 m ? 1

i = 1

(

i ? 1

;

i

]

| { z }

= : I

i

;

w h e r e

i

: =

8

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

:

0 ( i = 0 ) ;

1

2

a r c t a n

2

c o t

i

? t a n

i + 1

( i 2 f 1 ; : : : ; 2 m ? 2 g ;

i

+

i + 1

<

2

) ;

4

( i 2 f 1 ; : : : ; 2 m ? 2 g ;

i

+

i + 1

=

2

) ;

2

+

1

2

a r c t a n

2

c o t

i

? t a n

i + 1

( i 2 f 1 ; : : : ; 2 m ? 2 g ;

i

+

i + 1

>

2

) ;

2

( i = 2 m ? 1 ) ;

a n d

i

: = ?

? i

( i 2 f ? 2 m + 1 ; : : : ; ? 1 g ) :

I t i s n o t h a r d t o v e r i f y t h a t

i

2 I

i

f o r j i j 2 J

m

.

L e t

1

2

> 0 b e t h e e i g e n v a l u e s o f D w i t h c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s

( c o s ; s i n )

>

a n d ( ? s i n ; c o s )

>

, w h e r e 2 ( ?

2

;

2

] . N o w w e s h o w t h a t f o r a

s u i t a b l e m t h e r e e x i s t s a s t e n c i l d i r e c t i o n

k

, j k j 2 J

m

s u c h t h a t t h e s p l i t t i n g

d i v ( D r u ) = @

e

0

0

@

e

0

u

+ @

e

k

k

@

e

k

u

+ @

e

2 m

2 m

@

e

2 m

u

( 3 . 2 9 )

w i t h e

i

: = ( c o s

i

; s i n

i

)

>

r e v e a l s n o n n e g a t i v e \ d i r e c t i o n a l d i u s i v i t i e s "

0

,

k

,

2 m

a l o n g t h e s t e n c i l o r i e n t a t i o n s

0

,

k

,

2 m

. T h i s c a n b e d o n e b y p r o v i n g t h e

f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) L e t 2 I

k

a n d D =

a

b

b

c

. T h e n a n o n n e g a t i v e s p l i t t i n g o f t y p e ( 3 . 2 9 ) i s

p o s s i b l e i f

m i n

a ? b c o t

k

; c ? b t a n

k

0 : ( 3 . 3 0 )

( b ) I n e q u a l i t y ( 3 . 3 0 ) i s s a t i s e d f o r

1

2

m i n

c o t (

k

?

k

) t a n

k

; c o t (

k

?

k

) c o t

k

= :

k ; m

( 3 . 3 1 )

w i t h

k

: =

(

k

( j k j 2 f 1 ; : : : ; 2 m ? 2 g ) ;

1

2

(

k

+

k

) ( j k j = 2 m ? 1 ) ;

k

: =

(

1

2

k

( j k j = 1 ) ;

k ? 1

( j k j 2 f 2 ; : : : ; 2 m ? 1 g ) :




( c ) l i m

m ! 1

m i n

j i j 2 J

m

i ; m

= 1 :

O n c e t h e s e a s s e r t i o n s a r e p r o v e d a n o n n e g a t i v e s e c o n d - o r d e r d i s c r e t i z a t i o n o f

( 3 . 2 9 ) a r i s e s i n a n a t u r a l w a y , a s w e s h a l l s e e a t t h e e n d o f t h i s c h a p t e r . S o l e t u s

n o w v e r i f y ( a ) { ( c ) .

( a ) I n o r d e r t o u s e s u b s e q u e n t i n d i c e s , l e t '

0

: = 0 , '

1

: =

k

w h e r e 2 I

k

, a n d

'

2

: =

2

. F u r t h e r m o r e , l e t

0

: =

0

,

1

: =

k

, a n d

2

: =

2 m

. T h e n ( 3 . 2 9 )

r e q u i r e s t h a t

d i v

a b

b c

!

r u

!

=

2

X

i = 0

@

@ e

'

i

i

@ u

@ e

'

i

!

=

@

@ x

2

X

i = 0

c o s '

i

i

( u

x

c o s '

i

+ u

y

s i n '

i

)

+

@

@ y

2

X

i = 0

s i n '

i

i

( u

x

c o s '

i

+ u

y

s i n '

i

)

= d i v

0

B

B

@

0

B

B

@

2

P

i = 0

i

c o s

2

'

i

2

P

i = 0

i

s i n '

i

c o s '

i

2

P

i = 0

i

s i n '

i

c o s '

i

2

P

i = 0

i

s i n

2

'

i

1

C

C

A

r u

1

C

C

A

:

B y c o m p a r i n g t h e c o e c i e n t s a n d u s i n g t h e d e n i t i o n o f '

0

, '

1

a n d '

2

w e

o b t a i n t h e l i n e a r s y s t e m

0

B

@

1 c o s

2

k

0

0 s i n

k

c o s

k

0

0 s i n

2

k

1

1

C

A

0

B

@

0

1

2

1

C

A

=

0

B

@

a

b

c

1

C

A

w h i c h h a s t h e u n i q u e s o l u t i o n

0

= a ? b c o t

k

; ( 3 . 3 2 )

1

=

b

s i n

k

c o s

k

; ( 3 . 3 3 )

2

= c ? b t a n

k

: ( 3 . 3 4 )

F r o m t h e s t r u c t u r e o f t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f D i t i s e a s i l y s e e n

t h a t

b = (

1

?

2

) s i n c o s :

N o w ,

1

?

2

0 , a n d s i n c e ;

k

2 I

k

w e c o n c l u d e t h a t a n d

k

b e l o n g

t o t h e s a m e q u a d r a n t . T h u s ,

1

i s a l w a y s n o n n e g a t i v e . I n o r d e r t o s a t i s f y

t h e n o n n e g a t i v i t y o f

0

a n d

2

w e n e e d t h a t

m i n

a ? b c o t

k

; c ? b t a n

k

) 0 :




( b ) L e t

1

2

k ; m

a n d c o n s i d e r t h e c a s e 0 <

k

<

2

. B y d e n i n g

B ( ' ) : = c o s

2

' ? s i n ' c o s ' c o t

k

;

C ( ' ) : = s i n

2

' + s i n ' c o s ' c o t

k

w e g e t

1

2

c o t (

k

?

k

) t a n

k

= ?

C (

k

)

B (

k

)

= m i n

' 2 (

k

;

k

)

?

C ( ' )

B ( ' )

!

:

S i n c e B ( ' ) < 0 o n (

k

;

2

) w e h a v e

1

B ( ' ) +

2

C ( ' ) 0 8 ' 2 (

k

;

k

) : ( 3 . 3 5 )

B e c a u s e o f

B ( ' ) 0 8 ' 2 ?

2

;

k

] ;

C ( ' ) 0 8 ' 2 0 ;

2

] ;

a n d t h e c o n t i n u i t y o f B ( ' ) a n d C ( ' ) w e m a y e x t e n d ( 3 . 3 5 ) t o t h e e n t i r e

i n t e r v a l I

k

= (

k ? 1

;

k

] . I n p a r t i c u l a r , s i n c e 2 I

k

, w e h a v e

0

1

B ( ) +

2

C ( )

= (

1

c o s

2

+

2

s i n

2

) ? (

1

?

2

) s i n c o s c o t

k

:

B y t h e r e p r e s e n t a t i o n

a b

b c

!

=

c o s ? s i n

s i n c o s

!

1

0

0

2

!

c o s s i n

? s i n c o s

!

=

1

c o s

2

+

2

s i n

2

(

1

?

2

) s i n c o s

(

1

?

2

) s i n c o s

1

s i n

2

+

2

c o s

2

!

w e r e c o g n i z e t h a t t h i s i s j u s t t h e d e s i r e d c o n d i t i o n

a ? b c o t

k

0 : ( 3 . 3 6 )

F o r t h e c a s e

?

2

<

k

< 0 a s i m i l a r r e a s o n i n g c a n b e a p p l i e d l e a d i n g a l s o

t o ( 3 . 3 6 ) .

I n a n a n a l o g o u s w a y o n e v e r i e s t h a t

1

2

c o t (

k

?

k

) c o t

k

= ) c ? b t a n

k

0 :




( c ) L e t u s r s t c o n s i d e r t h e c a s e 1 i 2 m ? 2 . T h e n ,

i

=

i

, a n d t h e

d e n i t i o n o f

i

i m p l i e s t h a t

c o t

i

? t a n

i

= c o t

i

? t a n

i + 1

:

S o l v i n g f o r c o t

i

a n d t a n

i

, r e s p e c t i v e l y , y i e l d s

c o t

i

=

1

2

c o t

i

? t a n

i + 1

+

q

( c o t

i

? t a n

i + 1

)

2

+ 4

;

t a n

i

=

1

2

? c o t

i

+ t a n

i + 1

+

q

( c o t

i

? t a n

i + 1

)

2

+ 4

:

B y m e a n s o f t h e s e r e s u l t s w e o b t a i n

c o t (

i

?

i

) t a n

i

=

c o t

i

+ t a n

i

c o t

i

? c o t

i

= 1 +

2

r

( c o t

i

+ t a n

i + 1

)

2

( c o t

i

? t a n

i + 1

)

2

+ 4

? 1

:

L e t u s n o w a s s u m e t h a t 1 i m ? 1 . T h e n w e h a v e

t a n

i + 1

=

( i + 1 ) h

2

m h

1

;

c o t

i

=

m h

1

i h

2

:

T h i s g i v e s

( c o t

i

+ t a n

i + 1

)

2

( c o t

i

? t a n

i + 1

)

2

+ 4

=

1

1 ?

4 m

2

i

m

2

h

1

h

2

+ i ( i + 1 )

h

2

h

1

2

= :

1

1 ? g

m

( i )

= : f

m

( i ) :

F o r m >

1

2

h

2

h

1

t h e f u n c t i o n g

m

( x ) i s b o u n d e d a n d a t t a i n s i t s g l o b a l m a x i m u m

i n

x

m

: = ?

1

6

+

1

6

r

1 + 1 2 m

2

h

2

1

h

2

2

:

T h u s , f o r 1 i m ? 1 ,

g

m

( i ) g

m

( x

m

) ! 0

+

f o r m ! 1 ;

w h i c h y i e l d s

f

m

( i )

1

1 ? g

m

( x

m

)

! 1

+

f o r m ! 1 :

T h i s g i v e s

m i n

1 i m ? 1

c o t (

i

?

i

) t a n

i

1 +

2

q

f

m

( x

m

) ? 1

! 1 f o r m ! 1 :




F o r m i 2 m ? 2 s i m i l a r c a l c u l a t i o n s s h o w t h a t b y m e a n s o f

t a n

i + 1

=

m h

2

( 2 m ? i ? 1 ) h

1

;

c o t

i

=

( 2 m ? i ) h

1

m h

2

o n e o b t a i n s

m i n

m i 2 m ? 2

c o t (

i

?

i

) t a n

i

! 1 f o r m ! 1 :

F o r i = 2 m ? 1 w e h a v e

c o t

2 m ? 1

?

2 m ? 1

t a n

2 m ? 1

= c o t

4

?

2 m ? 1

2

!

t a n

4

+

2 m ? 1

2

!

= t a n

2

4

+

2 m ? 1

2

!

! 1 f o r m ! 1 :

I t i s n o t h a r d t o v e r i f y t h a t f o r

? 2 m + 1

i

? 1 t h e p r e c e d i n g r e s u l t s

c a r r y o v e r . H e n c e ,

l i m

m ! 1

m i n

j i j 2 J

m

c o t (

i

?

i

) t a n

i

!

= 1 : ( 3 . 3 7 )

N o w , i n a s i m i l a r w a y a s a b o v e , o n e e s t a b l i s h e s t h a t

l i m

m ! 1

m i n

j i j 2 J

m

c o t (

i

?

i

) c o t

i

!

= 1 : ( 3 . 3 8 )

F r o m ( 3 . 3 7 ) a n d ( 3 . 3 8 ) w e n a l l y e n d u p w i t h t h e a s s e r t i o n

l i m

m ! 1

m i n

j i j 2 J

m

i ; m

= 1 :

2

R e m a r k s :

( a ) W e o b s e r v e t h a t t h e p r e c e d i n g e x i s t e n c e p r o o f i s c o n s t r u c t i v e . M o r e o v e r ,

o n l y t h r e e d i r e c t i o n s a r e s u c i e n t t o g u a r a n t e e a n o n n e g a t i v e d i r e c t i o n a l

s p l i t t i n g . T h u s , u n l e s s m i s v e r y s m a l l , m o s t o f t h e s t e n c i l c o e c i e n t s c a n

b e s e t t o z e r o .




( b ) E s p e c i a l l y f o r l a r g e m , a ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 1 ) - s t e n c i l r e v e a l s m u c h m o r e

d i r e c t i o n s t h a n t h o s e 4 m t h a t a r e i n d u c e d b y t h e 8 m \ b o u n d a r y p i x e l s " .

T h e r e f o r e , e v e n i f w e u s e o n l y 3 d i r e c t i o n s , w e m a y e x p e c t t o n d s t r i c t e r

e s t i m a t e s t h a n t h o s e g i v e n i n t h e p r o o f . T h e s e e s t i m a t e s m i g h t b e i m p r o v e d

f u r t h e r b y a d m i t t i n g m o r e t h a n 3 d i r e c t i o n s .

( c ) F o r a s p e c i e d d i u s i o n t e n s o r f u n c t i o n D i t i s p o s s i b l e t o g i v e a - p r i o r i

e s t i m a t e s f o r t h e r e q u i r e d s t e n c i l s i z e : u s i n g t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e i t i s

n o t h a r d t o s h o w t h a t

j r u

( x ; t ) j = j ( r K

u ) ( x ; t ) j

4 k f k

L

1

( )

p

2

o n

( 0 ; 1 ) ;

w h e r e t h e n o t a t i o n s f r o m C h a p t e r 2 h a v e b e e n u s e d . T h a n k s t o t h e u n i -

f o r m p o s i t i v e d e n i t e n e s s o f D t h e r e e x i s t s a n u p p e r l i m i t f o r t h e s p e c t r a l

c o n d i t i o n n u m b e r o f D . T h i s c o n d i t i o n l i m i t c a n b e u s e d t o x a s u i t a b l e

s t e n c i l s i z e .

( d ) T h e e x i s t e n c e o f a n o n n e g a t i v e d i r e c t i o n a l s p l i t t i n g d i s t i n g u i s h e s t h e l t e r

c l a s s ( P

c

) f r o m m o r p h o l o g i c a l a n i s o t r o p i c e q u a t i o n s s u c h a s m e a n c u r v a -

t u r e m o t i o n . I n t h i s c a s e i t h a s b e e n p r o v e d t h a t i t i s i m p o s s i b l e t o n d a

n o n n e g a t i v e d i r e c t i o n a l s p l i t t i n g o n a n i t e s t e n c i l 1 2 ] .

L e t u s n o w i l l u s t r a t e t h e i d e a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 6 b y a p p l y i n g t h e m

t o a p r a c t i c a l e x a m p l e : W e w a n t t o n d a n o n n e g a t i v e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n o f

d i v ( D r u ) o n a ( 3 3 ) - s t e n c i l , w h e r e

D =

a

b

b

c

!

a n d a , b a n d c m a y b e f u n c t i o n s o f J

( r u

) .

S i n c e m = 1 w e h a v e a p a r t i t i o n o f (

?

2

;

2

] i n t o 4 m

? 2 = 2 s u b i n t e r v a l s :

( ?

2

;

2

] = ( ?

2

; 0 ] ( 0 ;

2

] = : I

? 1

I

1

:

I

? 1

a n d I

1

b e l o n g t o t h e g r i d a n g l e s

? 1

= a r c t a n

?

h

2

h

1

!

;

1

= a r c t a n

h

2

h

1

!

= : :

F i r s t w e f o c u s o n t h e c a s e 2 I

1

w h e r e ( c o s ; s i n ) d e n o t e s t h e e i g e n v e c t o r t o

t h e l a r g e r e i g e n v a l u e

1

o f D . W i t h t h e n o t a t i o n s f r o m t h e p r o o f o f T h e o r e m 6




w e o b t a i n

1

=

2

;

1

=

1

+

1

2

=

4

+

2

;

1

=

2

:

T h e r e f o r e , w e g e t

c o t (

1

?

1

) t a n

1

= c o t

4

?

2

!

t a n

4

+

2

!

=

1 + s i n

1 ? s i n

;

c o t (

1

?

1

) c o t

1

= c o t

2

2

!

=

1 + c o s

1 ? c o s

;

w h i c h r e s t r i c t s t h e u p p e r c o n d i t i o n n u m b e r f o r a n o n n e g a t i v e d i s c r e t i z a t i o n w i t h

2 I

1

t o

1 ; 1

: = m i n

1 + s i n

1

? s i n

;

1 + c o s

1

? c o s

!

: ( 3 . 3 9 )

T h a n k s t o t h e s y m m e t r y w e o b t a i n t h e s a m e c o n d i t i o n r e s t r i c t i o n f o r 2 I

? 1

.

T h e s e a d m i s s a b l e c o n d i t i o n n u m b e r s a t t a i n t h e i r m a x i m a l v a l u e f o r h

1

= h

2

. I n

t h i s c a s e =

4

g i v e s

1 ; 1

=

? 1 ; 1

=

2 +

p

2

2 ?

p

2

5 : 8 2 8 4 : ( 3 . 4 0 )

B y v i r t u e o f ( 3 . 3 2 ) { ( 3 . 3 4 ) w e o b t a i n a s e x p r e s s i o n s f o r t h e d i r e c t i o n a l d i u s i v i t i e s

? 1

=

j b j ? b

h

2

1

+ h

2

2

2 h

1

h

2

;

0

= a ? j b j

h

1

h

2

;

1

=

j b j + b

h

2

1

+ h

2

2

2 h

1

h

2

;

2

= c ? j b j

h

2

h

1

:

T h i s i n d u c e s i n a n a t u r a l w a y t h e f o l l o w i n g s e c o n d - o r d e r d i s c r e t i z a t i o n f o r d i v ( D r u ) :




j b

i ? 1 ; j + 1

j ? b

i ? 1 ; j + 1

4 h

1

h

2

+

j b

i ; j

j ? b

i ; j

4 h

1

h

2

c

i ; j + 1

+ c

i ; j

2 h

2

2

?

j b

i ; j + 1

j + j b

i ; j

j

2 h

1

h

2

j b

i + 1 ; j + 1

j + b

i + 1 ; j + 1

4 h

1

h

2

+

j b

i ; j

j + b

i ; j

4 h

1

h

2

a

i ? 1 ; j

+ a

i ; j

2 h

2

1

?

j b

i ? 1 ; j

j + j b

i ; j

j

2 h

1

h

2

?

a

i ? 1 ; j

+ 2 a

i ; j

+ a

i + 1 ; j

2 h

2

1

?

j b

i ? 1 ; j + 1

j ? b

i ? 1 ; j + 1

+ j b

i + 1 ; j + 1

j + b

i + 1 ; j + 1

4 h

1

h

2

?

j b

i ? 1 ; j ? 1

j + b

i ? 1 ; j ? 1

+ j b

i + 1 ; j ? 1

j ? b

i + 1 ; j ? 1

4 h

1

h

2

+

j b

i ? 1 ; j

j + j b

i + 1 ; j

j + j b

i ; j ? 1

j + j b

i ; j + 1

j + 2 j b

i ; j

j

2 h

1

h

2

?

c

i ; j ? 1

+ 2 c

i ; j

+ c

i ; j + 1

2 h

2

2

a

i + 1 ; j

+ a

i ; j

2 h

2

1

?

j b

i + 1 ; j

j + j b

i ; j

j

2 h

1

h

2

j b

i ? 1 ; j ? 1

j + b

i ? 1 ; j ? 1

4 h

1

h

2

+

j b

i ; j

j + b

i ; j

4 h

1

h

2

c

i ; j ? 1

+ c

i ; j

2 h

2

2

?

j b

i ; j ? 1

j + j b

i ; j

j

2 h

1

h

2

j b

i + 1 ; j ? 1

j ? b

i + 1 ; j ? 1

4 h

1

h

2

+

j b

i ; j

j ? b

i ; j

4 h

1

h

2

A l l n o n v a n i s h i n g e n t r i e s o f t h e p - t h r o w o f A ( u ) a r e r e p r e s e n t e d i n t h i s s t e n c i l ,

w h e r e p ( i ; j ) i s t h e i n d e x o f s o m e i n n e r p i x e l ( i ; j ) . T h u s , f o r i n s t a n c e , t h e u p p e r

l e f t s t e n c i l e n t r y g i v e s t h e e l e m e n t ( p ( i ; j ) ; p ( i ? 1 ; j + 1 ) ) o f A ( u ) . T h e o t h e r n o t a -

t i o n s s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e c o n t e x t a s w e l l , e . g . b

i ; j

d e n o t e s a n i t e d i e r e n c e

a p p r o x i m a t i o n o f b ( J

( r u

) ) a t s o m e g r i d p o i n t ( x

i

; y

j

) .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t r e l a t e d n o n n e g a t i v e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s o n a

( 3 3 ) - s t e n c i l h a v e b e e n p r o p o s e d i n 1 1 1 , 7 6 , 1 1 2 ] f o r t h e s i m p l e r o p e r a t o r

a ( x ; y ) @

x x

u + 2 b ( x ; y ) @

x y

u + c ( x ; y ) @

y y

u :

O u r a p p r o a c h e x t e n d s t h e s e r e s u l t s t o

@

x

a ( x ; y ) @

x

u

+ @

x

b ( x ; y ) @

y

u

+ @

y

b ( x ; y ) @

x

u

+ @

y

c ( x ; y ) @

y

u

a n d c l a r i e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e c o n d i t i o n n u m b e r o f

a

b

b

c

a n d t h e n o n n e g a -

t i v i t y o f t h e d i e r e n c e o p e r a t o r .



C h a p t e r 4

D i s c r e t e d i u s i o n l t e r i n g

T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a d i s c r e t e c l a s s o f d i u s i o n p r o c e s s e s f o r w h i c h o n e c a n e s -

t a b l i s h s i m i l a r p r o p e r t i e s a s i n t h e s e m i d i s c r e t e c a s e c o n c e r n i n g e x i s t e n c e , u n i q u e -

n e s s , c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o f t h e s o l u t i o n o n t h e i n i t i a l i m a g e , m a x i m u m -

m i n i m u m p r i n c i p l e , a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e , L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a n d c o n -

v e r g e n c e t o a c o n s t a n t s t e a d y s t a t e . W e s h a l l s e e t h a t t h i s c l a s s c o m p r i s e s -

s e m i - i m p l i c i t d i s c r e t i z a t i o n s o f t h e s e m i d i s c r e t e l t e r c l a s s ( P

s

) .

4 . 1 T h e g e n e r a l m o d e l

A s i n C h a p t e r 3 w e r e g a r d a d i s c r e t e i m a g e a s a v e c t o r f 2 I R

N

, N 2 , a n d d e n o t e

t h e i n d e x s e t f 1 ; : : : ; N g b y J . O u r d i s c r e t e l t e r c l a s s ( P

d

) i s a s f o l l o w s :

L e t f 2 I R

N

. C a l c u l a t e a s e q u e n c e ( u

( k )

)

k 2 I N

0

o f p r o c e s s e d v e r s i o n s

o f f b y m e a n s o f

u

( 0 )

= f ;

u

( k + 1 )

= Q ( u

( k )

) u

( k )

; 8 k 2 I N

0

;

w h e r e Q = ( q

i j

) h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( D 1 ) c o n t i n u i t y i n i t s a r g u m e n t : Q 2 C ( I R

N

; I R

N N

) ,

( D 2 ) s y m m e t r y : q

i j

( v ) = q

j i

( v ) 8 i ; j 2 J ; 8 v 2 I R

N

,

( D 3 ) u n i t r o w s u m :

P

j 2 J

q

i j

( v ) = 1 8 i 2 J ; 8 v 2 I R

N

,

( D 4 ) n o n n e g a t i v i t y : q

i j

( v ) 0 8 i ; j 2 J ; 8 v 2 I R

N

,

( D 5 ) i r r e d u c i b i l i t y f o r a l l v

2 I R

N

,

( D 6 ) p o s i t i v e d i a g o n a l : q

i i

( v ) > 0 8 i 2 J ; 8 v 2 I R

N

.

9

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( P

d

)

8 3



8 4 C H A P T E R 4 . D I S C R E T E D I F F U S I O N F I L T E R I N G

R e m a r k s :

( a ) A l t h o u g h t h e b a s i c i d e a b e h i n d s c a l e - s p a c e s i s t o h a v e a c o n t i n u o u s s c a l e

p a r a m e t e r , i t i s e v i d e n t t h a t f u l l y d i s c r e t e r e s u l t s a r e o f i m p o r t a n c e s i n c e i n

p r a c t i s e s c a l e - s p a c e e v o l u t i o n s a r e e v a l u a t e d e x c l u s i v e l y a t a n i t e n u m b e r

o f s c a l e s .

( b ) T h e r e q u i r e m e n t s ( D 1 ) { ( D 5 ) h a v e a s i m i l a r m e a n i n g a s t h e i r s e m i d i s c r e t e

c o u n t e r p a r t s ( S 1 ) { ( S 5 ) . I n d e e d , ( D 1 ) i m m e d i a t e l y g i v e s w e l l - p o s e d n e s s r e -

s u l t s , w h i l e t h e p r o o f o f t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e r e q u i r e s ( D 3 ) a n d ( D 4 ) , a n d

a v e r a g e g r e y v a l u e i n v a r i a n c e i s b a s e d o n ( D 2 ) a n d ( D 3 ) . T h e e x i s t e n c e o f

L y a p u n o v f u n c t i o n a l s i s a c o n s e q u e n c e o f ( D 2 ) { ( D 4 ) , s t r i c t L y a p u n o v f u n c -

t i o n a l s n e e d ( D 5 ) a n d ( D 6 ) i n a d d i t i o n t o ( D 2 ) { ( D 4 ) , a n d t h e c o n v e r g e n c e

t o a c o n s t a n t s t e a d y s t a t e u t i l i z e s ( D 2 ) { ( D 5 ) .

( c ) N o n n e g a t i v e m a t r i c e s Q = ( q

i j

) 2 I R

N N

s a t i s f y i n g

P

j 2 J

q

i j

= 1 f o r a l l

i 2 J a r e a l s o c a l l e d s t o c h a s t i c m a t r i c e s . M o r e o v e r , i f Q i s s t o c h a s t i c a n d

P

i 2 J

q

i j

= 1 f o r a l l j 2 J , t h e n Q i s d o u b l y s t o c h a s t i c . T h i s i n d i c a t e s t h a t

o u r d i s c r e t e d i u s i o n p r o c e s s e s a r e r e l a t e d t o t h e t h e o r y o f M a r k o v c h a i n s

2 2 4 , 9 1 , 1 3 6 ] .


I t i s o b v i o u s t h a t f o r a x e d l t e r b e l o n g i n g t o t h e c l a s s ( P

d

) e v e r y i n i t i a l i m a g e

f

2 I R

N

g e n e r a t e s a u n i q u e s e q u e n c e ( u

( k )

)

k 2 I N

0

. M o r e o v e r , b y m e a n s o f ( D 1 ) w e

k n o w t h a t , f o r e v e r y n i t e k , u

( k )

d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n f . T h e r e f o r e , l e t u s

n o w p r o v e a m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e .

P r o p o s i t i o n 3 ( E x t r e m u m p r i n c i p l e ) .

L e t f 2 I R

N

a n d l e t ( u

( k )

)

k 2 I N

0

b e t h e s e q u e n c e o f l t e r e d i m a g e s a c c o r d i n g t o ( P

d

) .

T h e n ,

a u

( k )

i

b 8 i 2 J ; 8 k 2 I N

0

; ( 4 . 1 )

w h e r e

a : = m i n

j 2 J

f

j

; ( 4 . 2 )

b : = m a x

j 2 J

f

j

: ( 4 . 3 )

P r o o f :

T h e m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e f a c t t h a t , f o r a l l i 2 J

a n d k 2 I N

0

, t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s h o l d :




( i ) u

( k + 1 )

i

=

P

j 2 J

q

i j

( u

( k )

) u

( k )

j

( D 4 )

m a x

m 2 J

u

( k )

m

P

j 2 J

q

i j

( u

( k )

)

( D 3 )

= m a x

m 2 J

u

( k )

m

:

( i i ) u

( k + 1 )

i

=

P

j 2 J

q

i j

( u

( k )

) u

( k )

j

( D 4 )

m i n

m 2 J

u

( k )

m

P

j 2 J

q

i j

( u

( k )

)

( D 3 )

= m i n

m 2 J

u

( k )

m

:

2


A l l s t a t e m e n t s f r o m C h a p t e r 3 w i t h r e s p e c t t o i n v a r i a n c e s a r e v a l i d i n t h e d i s c r e t e

f r a m e w o r k a s w e l l . B e l o w w e f o c u s o n p r o v i n g a v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e .



: =

1

N

X

j 2 J

f

j

( 4 . 4 )

i s n o t a e c t e d b y t h e d i s c r e t e d i u s i o n l t e r :

1

N

X

j 2 J

u

( k )

j

= 8 k 2 I N

0

: ( 4 . 5 )

P r o o f :

B y v i r t u e o f ( D 2 ) a n d ( D 3 ) w e h a v e

P

i 2 J

q

i j

( u

( k )

) = 1 f o r a l l j 2 J a n d k 2 I N

0

.

T h i s s o - c a l l e d r e d i s t r i b u t i o n p r o p e r t y 1 0 7 ] e n s u r e s t h a t , f o r a l l k 2 I N

0

,

X

i 2 J

u

( k + 1 )

i

=

X

i 2 J

X

j 2 J

q

i j

( u

( k )

) u

( k )

j

=

X

j 2 J

X

i 2 J

q

i j

( u

( k )

)

u

( k )

j

=

X

j 2 J

u

( k )

j

;

w h i c h p r o v e s t h e p r o p o s i t i o n . 2

A s o n e m i g h t e x p e c t , t h e c l a s s ( P

d

) a l l o w s a n i n t e r p r e t a t i o n a s a t r a n s f o r m a -

t i o n w h i c h i s s m o o t h i n g i n t e r m s o f L y a p u n o v f u n c t i o n s . T h e s e f u n c t i o n s e n s u r e

t h a t u

( k )

c o n v e r g e s t o a c o n s t a n t i m a g e a s k

! 1 . H o w e v e r , w e n e e d l e s s r e g u -

l a r i t y t h a n i n t h e s e m i d i s c r e t e c a s e : T h e c o n v e x f u n c t i o n r , w h i c h g e n e r a t e s t h e

L y a p u n o v f u n c t i o n a l s , n e e d s o n l y t o b e c o n t i n u o u s , b u t n o m o r e d i e r e n t i a b l e .

T h e o r e m 7 ( L y a p u n o v f u n c t i o n a l s a n d b e h a v i o u r f o r n ! 1 ) .

A s s u m e t h a t ( u

( k )

)

k 2 I N

0

s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t s o f ( P

d

) , l e t a , b , a n d b e d e n e d

a s i n ( 4 . 2 ) , ( 4 . 3 ) , a n d ( 4 . 4 ) , r e s p e c t i v e l y , a n d l e t c : = ( ; ; : : : ; )

>

2 I R

N

.

T h e n t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s a r e f u l l l e d :





F o r a l l c o n v e x r 2 C a ; b ] t h e s e q u e n c e

V

( k )

: = ( u

( k )

) : =

X

i 2 J

r ( u

( k )

i

) ; k 2 I N

0

i s a L y a p u n o v s e q u e n c e :

( i ) ( u

( k )

) ( c ) 8 k 2 I N

0

( i i ) V

( k + 1 )

? V

( k )

0 8 k 2 I N

0

M o r e o v e r , i f r i s s t r i c t l y c o n v e x , t h e n V

( k )

= ( u

( k )

) i s a s t r i c t L y a p u n o v

s e q u e n c e :

( i i i ) ( u

( k )

) = ( c ) ( ) u

( k )

= c

( i v ) V

( k + 1 )

? V

( k )

= 0 ( ) u

( k )

= c

( b ) ( C o n v e r g e n c e )

l i m

k ! 1

u

( k )

= c .

P r o o f :

( a ) ( i ) A v e r a g e g r e y l e v e l i n v a r i a n c e a n d t h e c o n v e x i t y o f r g i v e

( c ) =

N

X

i = 1

r

0

@

N

X

j = 1

1

N

u

( k )

j

1

A

N

X

i = 1

0

@

1

N

N

X

j = 1

r ( u

( k )

j

)

1

A

=

N

X

j = 1

r ( u

( k )

j

)

= ( u

( k )

) : ( 4 . 6 )

( i i ) F o r i ; j 2 J w e d e n e

a

i j

( u

( k )

) : =

(

q

i j

( u

( k )

) ? 1 ( i = j )

q

i j

( u

( k )

) ( i 6= j ) :

( 4 . 7 )

U s i n g t h e c o n v e x i t y o f r , t h e p r e c e d i n g d e n i t i o n , a n d t h e p r e r e q u i s i t e s

( D 2 ) a n d ( D 3 ) w e o b t a i n

V

( k + 1 )

? V

( k )

=

N

X

i = 1

0

@

r

0

@

N

X

j = 1

q

i j

( u

( k )

) u

( k )

j

1

A

? r ( u

( k )

i

)

1

A




c o n v .

N

X

i = 1

0

@

N

X

j = 1

q

i j

( u

( k )

) r ( u

( k )

j

) ? r ( u

( k )

i

)

1

A

( 4 7 )

=

N

X

i = 1

N

X

j = 1

a

i j

( u

( k )

) r ( u

( k )

j

)

( D 3 )

=

N

X

i = 1

N

X

j = 1

a

i j

( u

( k )

)

r ( u

( k )

j

) ? r ( u

( k )

i

)

=

N

X

i = 1

N ? i

X

m = 1

a

i + m ; i

( u

( k )

)

r ( u

( k )

i

) ? r ( u

( k )

i + m

)

+

N

X

i = 1

N ? i

X

m = 1

a

i ; i + m

( u

( k )

)

r ( u

( k )

i + m

) ? r ( u

( k )

i

)

( D 2 )

= 0 : ( 4 . 8 )

( i i i ) T h i s p a r t o f t h e p r o o f c a n b e s h o w n i n e x a c t l y t h e s a m e m a n n e r a s i n

t h e s e m i d i s c r e t e c a s e ( C h a p t e r 3 , T h e o r e m 5 ) : E q u a l i t y i n t h e e s t i m a t e

( 4 . 6 ) h o l d s d u e t o t h e s t r i c t c o n v e x i t y o f r i f a n d o n l y i f u

( k )

= c .

( i v ) I n o r d e r t o v e r i f y t h e r s t i m p l i c a t i o n , l e t u s s t a r t w i t h a p r o o f t h a t

V

( k + 1 )

= V

( k )

i m p l i e s u

( k )

1

= : : : = u

( k )

N

. T o t h i s e n d , a s s u m e t h a t u

( k )

i s n o t c o n s t a n t :

u

( k )

i

0

: = m i n

i 2 J

u

( k )

i

< m a x

j 2 J

u

( k )

j

= : u

( k )

j

0

:

T h e n , b y t h e i r r e d u c i b i l i t y o f Q ( u

( k )

) , w e n d l

0

; : : : ; l

r

2 J w i t h l

0

= i

0

,

l

r

= j

0

a n d q

l

p

l

p + 1

6= 0 f o r p = 0 ; : : : ; r ? 1 . H e n c e , t h e r e e x i s t s s o m e

p

0

2 f 0 ; : : : ; r ? 1 g s u c h t h a t n : = l

p

0

, m : = l

p

0

+ 1

, q

n m

( u

( k )

) 6= 0 , a n d

u

( k )

m

6= u

( k )

n

. M o r e o v e r , t h e n o n n e g a t i v i t y o f Q ( u

( k )

) g i v e s q

n m

( u

( k )

) > 0 ,

a n d b y ( D 6 ) w e h a v e q

n n

( u

( k )

) > 0 . T o g e t h e r w i t h t h e s t r i c t c o n v e x i t y

o f r t h e s e p r o p e r t i e s l e a d t o

r

0

@

N

X

j = 1

q

n j

( u

( k )

) u

( k )

j

1

A

= r

0

B

@

N

X

j = 1

j 6= n ; m

q

n j

( u

( k )

) u

( k )

j

+ q

n n

( u

( k )

) u

( k )

n

+ q

n m

( u

( k )

) u

( k )

m

1

C

A

<

N

X

j = 1

j 6= n ; m

q

n j

( u

( k )

) r ( u

( k )

j

) + q

n n

( u

( k )

) r ( u

( k )

n

) + q

n m

( u

( k )

) r ( u

( k )

m

)

=

N

X

j = 1

q

n j

( u

( k )

) r ( u

( k )

j

) :




I f w e c o m b i n e t h i s w i t h t h e r e s u l t s i n ( 4 . 8 ) , w e o b t a i n

V

( k + 1 )

? V

( k )

=

N

X

i = 1

i 6= n

0

@

r

0

@

N

X

j = 1

q

i j

( u

( k )

) u

( k )

j

1

A

? r ( u

( k )

i

)

1

A

+ r

0

@

N

X

j = 1

q

n j

( u

( k )

) u

( k )

j

1

A

? r ( u

( k )

n

)

<

N

X

i = 1

0

@

N

X

j = 1

q

i j

( u

( k )

) r ( u

( k )

j

) ? r ( u

( k )

i

)

1

A

( 4 8 )

= 0 :

T h i s e s t a b l i s h e s t h a t V

( k + 1 )

= V

( k )

i m p l i e s u

( k )

1

= : : : = u

( k )

N

. T h e n , b y

v i r t u e o f t h e g r e y v a l u e i n v a r i a n c e , w e c o n c l u d e t h a t u

( k )

= c .

C o n v e r s e l y , l e t u

( k )

= c . B y m e a n s o f p r e r e q u i s i t e ( D 3 ) w e o b t a i n

V

( k + 1 )

? V

( k )

=

N

X

i = 1

r

0

@

N

X

j = 1

q

i j

( u

( k )

)

1

A

?

N

X

i = 1

r ( ) = 0 :

( c ) I n o r d e r t o p r o v e c o n v e r g e n c e t o a c o n s t a n t s t e a d y s t a t e , w e c a n a r g u e

e x a c t l y i n t h e s a m e w a y a s i n t h e s e m i d i s c r e t e c a s e i f w e r e p l a c e L y a p u n o v

f u n c t i o n a l s b y L y a p u n o v s e q u e n c e s a n d i n t e g r a l s b y s u m s . S e e C h a p t e r 3 ,

T h e o r e m 5 f o r m o r e d e t a i l s . 2

I n a n a l o g y t o t h e s e m i d i s c r e t e c a s e t h e p r e c e d i n g t h e o r e m c o m p r i s e s m a n y

L y a p u n o v f u n c t i o n a l s w h i c h d e m o n s t r a t e t h e i n f o r m a t i o n - r e d u c i n g q u a l i t i e s o f

o u r l t e r c l a s s . C h o o s i n g t h e c o n v e x f u n c t i o n s r ( s ) : = j s j

p

, r ( s ) : = ( s ? )

2 n

a n d

r ( s ) : = s l n s , w e i m m e d i a t e l y o b t a i n t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .


L e t ( u

( k )

)

k 2 I N

0

b e a d i u s i o n s e q u e n c e a c c o r d i n g t o ( P

d

) , a n d l e t a a n d b e d e n e d

a s i n ( 4 . 2 ) a n d ( 4 . 4 ) . T h e n t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s a r e d e c r e a s i n g i n k :

( a ) k u

( k )

k

p

f o r a l l p 1 .

( b ) M

2 n

u

( k )

] : =

1

N

N

P

j = 1

( u

( k )

j

? )

2 n

f o r a l l n 2 I N .

( c ) H u

( k )

] : =

N

P

j = 1

u

( k )

j

l n ( u

( k )

j

) , i f a > 0 .

A n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e r e s u l t s i n t e r m s o f d e c r e a s i n g e n e r g y , d e c r e a s i n g

c e n t r a l m o m e n t s a n d i n c r e a s i n g e n t r o p y i s e v i d e n t .



4 . 4 . R E L A T I O N T O S E M I D I S C R E T E M O D E L S 8 9

4 . 4 R e l a t i o n t o s e m i d i s c r e t e m o d e l s

L e t u s n o w i n v e s t i g a t e i n w h i c h s e n s e o u r d i s c r e t e l t e r c l a s s c o v e r s i n a n a t u r a l

w a y t i m e d i s c r e t i z a t i o n s o f s e m i d i s c r e t e l t e r s . T o t h i s e n d , w e r e g a r d u

( k )

a s a n

a p p r o x i m a t i o n o f t h e s o l u t i o n u o f ( P

s

) a t t i m e t = k , w h e r e d e n o t e s t h e t i m e

s t e p s i z e . W e c o n s i d e r a n F D s c h e m e w i t h t w o t i m e l e v e l s w h e r e t h e o p e r a t o r

A { w h i c h d e p e n d s n o n l i n e a r l y o n u { i s e v a l u a t e d i n a n e x p l i c i t w a y , w h i l e t h e

l i n e a r r e m a i n d e r i s d i s c r e t i z e d i n a n - i m p l i c i t m a n n e r . S u c h s c h e m e s a r e c a l l e d

- s e m i - i m p l i c i t . T h e y r e v e a l t h e a d v a n t a g e t h a t t h e l i n e a r i m p l i c i t p a r t e n s u r e s

g o o d s t a b i l i l t y p r o p e r t i e s , w h i l e t h e e x p l i c i t e v a l u a t i o n o f t h e n o n l i n e a r t e r m s

a v o i d s t h e n e c e s s i t y t o s o l v e n o n l i n e a r s y s t e m s o f e q u a t i o n s . T h e t h e o r e m b e l o w

s t a t e s t h a t t h i s c l a s s o f s c h e m e s i s c o v e r e d b y t h e d i s c r e t e f r a m e w o r k , f o r w h i c h

w e h a v e e s t a b l i s h e d s c a l e - s p a c e r e s u l t s .

T h e o r e m 8 ( S c a l e - s p a c e i n t e r p r e t a t i o n f o r - s e m i - i m p l i c i t s c h e m e s ) .

L e t 2 0 ; 1 ] , > 0 , a n d l e t A = ( a

i j

) : I R

N

! I R

N N

s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t s

( S 1 ) { ( S 5 ) o f s e c t i o n 3 . 1 . T h e n t h e - s e m i - i m p l i c i t s c h e m e

u

( k + 1 )

? u

( k )

= A ( u

( k )

)

u

( k + 1 )

+ ( 1 ? ) u

( k )

( 4 . 9 )

f u l l s t h e p r e r e q u i s i t e s ( D 1 ) { ( D 6 ) f o r d i s c r e t e d i u s i o n m o d e l s p r o v i d e d t h a t

1

( 1 ? ) m a x

i 2 J

j a

i i

( u

( k )

) j

( 4 . 1 0 )

f o r 2 ( 0 ; 1 ) . I n t h e e x p l i c i t c a s e ( = 0 ) t h e p r o p e r t i e s ( D 1 ) { ( D 6 ) h o l d f o r

<

1

m a x

i 2 J

j a

i i

( u

( k )

)

j

; ( 4 . 1 1 )

a n d t h e s e m i - i m p l i c i t c a s e ( = 1 ) s a t i s e s ( D 1 ) { ( D 6 ) u n c o n d i t i o n a l l y .

P r o o f : L e t

B ( u

( k )

) : = ( b

i j

( u

( k )

) ) : = I ? A ( u

( k )

) ;

C ( u

( k )

) : = ( c

i j

( u

( k )

) ) : = I + ( 1 ? ) A ( u

( k )

) ;

w h e r e I 2 I R

N

d e n o t e s t h e u n i t m a t r i x . S i n c e ( 4 . 9 ) c a n b e w r i t t e n a s

B ( u

( k )

) u

( k + 1 )

= C ( u

( k )

) u

( k )

w e r s t h a v e t o s h o w t h a t B ( u

( k )

) i s i n v e r t i b l e f o r a l l u

( k )

2 I R

N

. H e n c e f o r t h , t h e

a r g u m e n t u

( k )

i s s u p p r e s s e d f r e q u e n t l y s i n c e t h e c o n s i d e r a t i o n s b e l o w a r e v a l i d

f o r a l l u

( k )

2 I R

N

.




I f = 0 , t h e n B = I a n d h e n c e i n v e r t i b l e . N o w a s s u m e t h a t > 0 . T h e n B i s

s t r i c t l y d i a g o n a l l y d o m i n a n t , s i n c e

b

i i

= 1 ? a

i i

( S 3 )

= 1 +

X

j 2 J

j 6= i

a

i j

>

X

j 2 J

j 6= i

a

i j

( S 4 )

=

X

j 2 J

j 6= i

j b

i j

j 8 i 2 J :

T h i s a l s o s h o w s t h a t b

i i

> 0 f o r a l l i 2 J , a n d b y t h e s t r u c t u r e o f t h e o - d i a g o n a l

e l e m e n t s o f B w e o b s e r v e t h a t t h e i r r e d u c i b i l i t y o f A i m p l i e s t h e i r r e d u c i b i l i t y o f

B . T h a n k s t o t h e f a c t t h a t B i s i r r e d u c i b l y d i a g o n a l l y d o m i n a n t , b

i j

0 f o r a l l

i 6= j , a n d b

i i

> 0 f o r a l l i 2 J , w e k n o w f r o m 2 4 1 , p . 8 5 ] t h a t B

? 1

= : H = : ( h

i j

)

e x i s t s a n d h

i j

> 0 f o r a l l i ; j 2 J . T h u s , Q : = ( q

i j

) : = B

? 1

C e x i s t s a n d b y ( S 1 ) i t

f o l l o w s t h a t Q

2 C ( I R

N

; I R

N N

) . T h i s p r o v e s ( D 1 ) .

T h e r e q u i r e m e n t ( D 2 ) i s n o t h a r d t o s a t i s f y : S i n c e B

? 1

a n d C a r e s y m m e t r i c

a n d r e v e a l t h e s a m e s e t o f e i g e n v e c t o r s { n a m e l y t h o s e o f A { i t f o l l o w s t h a t

Q = B

? 1

C i s s y m m e t r i c a s w e l l .

L e t u s n o w v e r i f y ( D 3 ) . B y m e a n s o f ( S 3 ) w e o b t a i n

X

j 2 J

b

i j

= 1 =

X

j 2 J

c

i j

8 i

2 J : ( 4 . 1 2 )

L e t v : = ( 1 ; : : : ; 1 )

>

2 I R

N

. T h e n ( 4 . 1 2 ) i s e q u i v a l e n t t o

B v = v = C v ; ( 4 . 1 3 )

a n d t h e i n v e r t i b i l i t y o f B g i v e s

v = B

? 1

v = H v : ( 4 . 1 4 )

T h e r e f o r e , f r o m

Q v = H C v

( 4 1 3 )

= H v

( 4 1 4 )

= v

w e c o n c l u d e t h a t

P

j 2 J

q

i j

= 1 f o r a l l i 2 J . T h i s p r o v e s ( D 3 ) .

I n o r d e r t o s h o w t h a t ( D 4 ) i s f u l l l e d , w e r s t c h e c k t h e n o n n e g a t i v i t y o f C .

F o r i 6= j w e h a v e

c

i j

= ( 1 ? ) a

i j

( S 4 )

0 :

T h e d i a g o n a l e n t r i e s y i e l d

c

i i

= 1 + ( 1 ? ) a

i i

:

I f = 1 w e h a v e c

i i

= 1 f o r a l l i 2 J . F o r 0 < 1 , h o w e v e r , n o n n e g a t i v i t y o f

C i s n o t a u t o m a t i c a l l y g u a r a n t e e d : U s i n g ( S 3 ) { ( S 5 ) w e o b t a i n

a

i i

( S 3 )

= ?

X

j 2 J

j 6= i

a

i j

( S 4 ) ; ( S 5 )

< 0 8 i 2 J : ( 4 . 1 5 )




H e n c e , C ( u

( k )

) i s n o n n e g a t i v e i f

1

( 1 ? ) m a x

i 2 J

j a

i i

( u

( k )

) j

= :

( u

( k )

) :

S i n c e H i s n o n n e g a t i v e , w e k n o w t h a t t h e n o n n e g a t i v i t y o f C i m p l i e s t h e n o n -

n e g a t i v i t y o f Q = H C .

N o w w e w a n t t o p r o v e ( D 5 ) . I f = 1 , t h e n C = I , a n d b y t h e p o s i t i v i t y o f H

w e h a v e q

i j

> 0 f o r a l l i ; j 2 J . T h u s , Q i s i r r e d u c i b l e .

N e x t l e t u s c o n s i d e r t h e c a s e 0 < < 1 a n d

( u

( k )

) . T h e n w e k n o w t h a t C

i s n o n n e g a t i v e . U s i n g t h i s i n f o r m a t i o n , t h e p o s i t i v i t y o f H , t h e s y m m e t r y o f C ,

a n d ( 4 : 1 2 ) w e o b t a i n

q

i j

=

X

k 2 J

h

i k

c

k j

m i n

k 2 J

h

i k

| { z }

> 0

X

k 2 J

c

k j

| { z }

= 1

> 0 8 i ; j 2 J ;

w h i c h e s t a b l i s h e s t h e i r r e d u c i b i l i t y o f Q .

F i n a l l y , f o r = 0 , w e h a v e Q = C . F o r i ; j 2 J w i t h i 6= j w e k n o w t h a t

a

i j

( u

( k )

) > 0 i m p l i e s c

i j

( u

( k )

) > 0 . N o w f o r

<

1

m a x

i 2 J

j a

i i

( u

( k )

) j

i t f o l l o w s t h a t c

i i

( u

( k )

) > 0 f o r a l l i 2 J a n d , t h u s , t h e i r r e d u c i b i l i t y o f A ( u

( k )

)

c a r r i e s o v e r t o Q ( u

( k )

) .

I n a l l t h e a b o v e m e n t i o n e d c a s e s t h e t i m e s t e p s i z e r e s t r i c t i o n s f o r e n s u r i n g

i r r e d u c i b i l i t y i m p l y t h a t a l l d i a g o n a l e l e m e n t s o f Q ( u

( k )

) a r e p o s i t i v e . T h i s e s t a b -

l i s h e s ( D 6 ) . 2

R e m a r k s :

( a ) W e h a v e s e e n t h a t t h e d i s c r e t e l t e r c l a s s ( P

d

) { a l t h o u g h a t r s t g l a n c e

l o o k i n g l i k e a p u r e e x p l i c i t d i s c r e t i z a t i o n { c o v e r s t h e - s e m i - i m p l i c i t c a s e a s

w e l l . E x p l i c i t t w o - l e v e l s c h e m e s a r e c o m p r i s e d b y t h e c h o i c e = 0 . E q u a t i o n

( 4 . 1 1 ) s h o w s t h a t t h e y r e v e a l t h e m o s t p r o h i b i t i v e t i m e s t e p s i z e r e s t r i c t i o n s .

( b ) T h e c o n d i t i o n s ( 4 . 1 0 ) a n d ( 4 . 1 1 ) c a n b e s a t i s e d b y m e a n s o f a n a - p r i o r i

e s t i m a t e . S i n c e t h e s e m i - i m p l i c i t s c h e m e f u l l s ( D 1 ) { ( D 6 ) w e k n o w b y T h e -

o r e m 3 t h a t t h e s o l u t i o n o b e y s a n e x t r e m u m p r i n c i p l e . T h i s m e a n s t h a t u

( k )

b e l o n g s t o t h e c o m p a c t s e t f v 2 I R

N

k v k

1

k f k

1

g f o r a l l k 2 I N

0

. B y

A

2 C ( I R

N

; I R

N N

) i t f o l l o w s t h a t

K

f

: = m a x

n

j a

i i

( v ) j

i 2 J ; v 2 I R

N

; k v k

1

k f k

1

o




e x i s t s , a n d ( 4 . 1 5 ) s h o w s t h a t K

f

> 0 . T h u s , c h o o s i n g

1

( 1 ? ) K

f

e n s u r e s t h a t ( 4 . 1 0 ) i s a l w a y s s a t i s e d , a n d

<

1

K

f

g u a r a n t e e s t h a t ( 4 . 1 1 ) h o l d s .

( c ) I f > 0 , a l a r g e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s h a s t o b e s o l v e d . T h e s y s t e m m a -

t r i x , h o w e v e r , i s s y m m e t r i c , d i a g o n a l l y d o m i n a n t , a n d s p a r s e .

1

H e n c e , o n e

c a n a p p l y s t a n d a r d i t e r a t i v e t e c h n i q u e s . T h e a u t h o r ' s e x p e r i m e n t s i n d i c a t e

t h a t a c o n j u g a t e g r a d i e n t a l g o r i t h m w i t h S S O R p r e c o n d i t i o n i n g i s h i g h l y

r e c o m m e n d a b l e . M o r e d e t a i l s a b o u t t h i s m e t h o d c a n b e f o u n d i n 1 6 8 , p p .

1 5 4 { 1 6 1 ] .

( d ) F o r = 1 w e o b t a i n s e m i - i m p l i c i t s c h e m e s w h i c h d o n o t s u e r f r o m t i m e

s t e p s i z e r e s t r i c t i o n s . I n s p i t e o f t h e f a c t t h a t t h e n o n l i n e a r i t y i s d i s c r e t i z e d

i n a n e x p l i c i t w a y t h e y a r e a b s o l u t e l y s t a b l e i n t h e m a x i m u m n o r m , a n d

t h e y i n h e r i t t h e s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s f r o m t h e s e m i d i s c r e t e s e t t i n g r e g a r d -

l e s s o f t h e s t e p s i z e . C o m p a r e d t o e x p l i c i t s c h e m e s , t h i s a d v a n t a g e u s u a l l y

o v e r c o m p e n s a t e s f o r t h e a d d i t i o n a l e o r t o f r e s o l v i n g a l i n e a r s y s t e m .

( e ) B y t h e e x p l i c i t d i s c r e t i z a t i o n o f t h e n o n l i n e a r o p e r a t o r A i t f o l l o w s t h a t a l l

s c h e m e s i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m a r e o f r s t o r d e r i n t i m e . T h i s s h o u l d n o t

g i v e r i s e t o c o n c e r n , s i n c e i n i m a g e p r o c e s s i n g o n e i s i n g e n e r a l m o r e i n t e r -

e s t e d i n m a i n t a i n i n g q u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s s u c h a s m a x i m u m p r i n c i p l e s o r

i n v a r i a n c e s r a t h e r t h a n h a v i n g a n a c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n o f t h e c o n t i n u -

o u s e q u a t i o n . H o w e v e r , i f o n e i n s i s t s i n s e c o n d - o r d e r s c h e m e s , o n e m a y f o r

i n s t a n c e u s e t h e p r e d i c t o r { c o r r e c t o r a p p r o a c h b y D o u g l a s a n d J o n e s 7 7 ] :

u

( k + 1 = 2 )

? u

( k )

= 2

= A ( u

( k )

) u

( k + 1 = 2 )

;

u

( k + 1 )

? u

( k )

= A ( u

( k + 1 = 2 )

)

1

2

u

( k + 1 )

+

1

2

u

( k )

:

T h i s s c h e m e s a t i s e s t h e p r o p e r t i e s ( D 1 ) { ( D 6 ) f o r 2 = K

f

.

1

I f t h e s y s t e m m a t r i x r e s u l t s f r o m a n F D d i s c r e t i z a t i o n o n a ( p p ) - s t e n c i l i t c o n t a i n s a t

m o s t p

2

n o n v a n i s h i n g e n t r i e s p e r r o w .




( f ) O n e m a y a l s o w i s h t o a p p l y s p l i t t i n g t e c h n i q u e s 7 6 , 1 6 4 , 1 6 8 , 2 1 1 , 2 6 5 ] . I n

t h i s c a s e i t s h o u l d b e k e p t i n m i n d t h a t i n t h e g e n e r a l n o n l i n e a r f r a m e w o r k

t h e s p l i t o p e r a t o r s d o n o t c o m m u t e . E s p e c i a l l y f o r l a r g e t i m e s t e p s t h i s m a y

l e a d t o v i s i b l e b i a s t o w a r d s c e r t a i n p r e f e r r e d d i r e c t i o n s .

( g ) T h e a s s u m p t i o n s ( S 1 ) { ( S 5 ) a r e s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e - s e m i - i m p l i c i t

s c h e m e t o f u l l ( D 1 ) { ( D 6 ) , b u t t h e y a r e n o t n e c e s s a r y . N o n n e g a t i v i t y o f

Q ( u

( k )

) m a y a l s o b e a c h i e v e d u s i n g s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n s w h e r e A ( u

( k )

)

v i o l a t e s n o n n e g a t i v i t y ( s e e 3 8 ] f o r e x a m p l e s ) .



C h a p t e r 5

E x a m p l e s a n d a p p l i c a t i o n s

T h e s c a l e - s p a c e t h e o r y t h a t w e h a v e d i s c u s s e d i n C h a p t e r s 2 { 4 c o v e r s m e t h o d s

s u c h a s l i n e a r o r n o n l i n e a r i s o t o p i c d i u s i o n l t e r i n g , f o r w h i c h m a n y i n t e r e s t i n g

a p p l i c a t i o n s h a v e a l r e a d y b e e n m e n t i o n e d i n C h a p t e r 1 . T h e r e f o r e , t h e g o a l o f t h e

p r e s e n t c h a p t e r i s t o s h o w t h a t a g e n e r a l i z a t i o n t o a n i s o t r o p i c m o d e l s w i t h d i u -

s i o n t e n s o r s d e p e n d i n g o n t h e s t r u c t u r e t e n s o r o e r n o v e l i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s

a n d a p p l i c a t i o n e l d s . T h u s , w e f o c u s m a i n l y o n t h e s e a n i s o t r o p i c t e c h n i q u e s a n d

j u x t a p o s e t h e r e s u l t s t o o t h e r m e t h o d s . I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e e x i b i l i t y o f

a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r i n g , w e s h a l l p u r s u e t w o d i e r e n t o b j e c t i v e s :

s m o o t h i n g w i t h s i m u l t a n e o u s e d g e - e n h a n c e m e n t ,

s m o o t h i n g w i t h e n h a n c e m e n t o f c o h e r e n t o w - l i k e t e x t u r e s .

A l l c a l c u l a t i o n s f o r d i u s i o n l t e r i n g a r e p e r f o r m e d u s i n g s e m i - i m p l i c i t F D

s c h e m e s w i t h t i m e s t e p s t 2 2 ; 5 ] , a n d t h e r e g u l a r i z i n g c o n v o l u t i o n w i t h a

G a u s s i a n i s i m p l e m e n t e d v i a a n i m p l i c i t F D s c h e m e f o r l i n e a r d i u s i o n . I n o r d e r

t o c o m p a r e a n i s o t r o p i c d i u s i o n t o o t h e r m e t h o d s , m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s

h a v e b e e n d i s c r e t i z e d a s w e l l . F o r M C M a n d A M S S t h i s i s a c h i e v e d b y m e a n s o f

( e x p l i c i t ) P S C s c h e m e s ( c f . 1 . 5 . 4 ) w i t h t : = 0 : 1 a n d t : = 0 : 0 1 , r e s p e c t i v e l y .

O n a s m a l l w o r k s t a t i o n s u c h a s a n H P 7 1 2 / 8 0 ( 9 2 M I P S , 2 7 . 6 M e g a o p s ) i t t a k e s

a b o u t 3 C P U s e c o n d s t o c a l c u l a t e o n e a n i s o t r o p i c d i u s i o n s t e p f o r a 2 5 6 2 5 6

i m a g e , a n d M C M o r A M S S r e q u i r e a p p r o x i m a t e l y 0 . 4 s e c o n d s .

5 . 1 E d g e - e n h a n c i n g d i u s i o n

5 . 1 . 1 F i l t e r d e s i g n

I n a c c o r d a n c e w i t h t h e n o t a t i o n s i n 2 . 2 , l e t

1

,

2

w i t h

1

2

b e t h e e i g e n v a l u e s

o f t h e s t r u c t u r e t e n s o r J

, a n d v

1

, v

2

t h e c o r r e s p o n d i n g o r t h o n o r m a l e i g e n v e c t o r s .

9 5



9 6 C H A P T E R 5 . E X A M P L E S A N D A P P L I C A T I O N S

S i n c e t h e d i u s i o n t e n s o r s h o u l d r e e c t t h e l o c a l i m a g e s t r u c t u r e i t o u g h t t o b e

c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t i t r e v e a l s t h e s a m e s e t o f e i g e n v e c t o r s v

1

, v

2

a l s J

.

T h e c h o i c e o f t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s

1

,

2

d e p e n d s o n t h e d e s i r e d g o a l

o f t h e l t e r .

I f o n e w a n t s t o s m o o t h p r e f e r a b l y w i t h i n e a c h r e g i o n a n d a i m s t o i n h i b i t d i f -

f u s i o n a c r o s s e d g e s , t h e n o n e c a n r e d u c e t h e d i u s i v i t y

1

p e r p e n d i c u l a r t o e d g e s

t h e m o r e t h e h i g h e r t h e c o n t r a s t

1

i s , s e e 1 . 2 . 3 a n d 2 4 7 , 2 5 0 ] . T h i s b e h a v i o u r

m a y b e a c c o m p l i s h e d b y t h e f o l l o w i n g c h o i c e ( m 2 I N , C

m

> 0 , > 0 ) :

1

(

1

) : = g (

1

) ; ( 5 . 1 )

2

: = 1 ( 5 . 2 )

w i t h

g ( s ) : =

8

<

:

1 ( s 0 )

1 ? e x p

? C

m

( s = )

m

( s > 0 ) :

( 5 . 3 )

T h i s e x p o n e n t i a l l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n i s c h o s e n i n o r d e r t o f u l l t h e s m o o t h n e s s

r e q u i r e m e n t s t a t e d i n ( P

c

) , c f . 2 . 3 . S i n c e r u

r e m a i n s b o u n d e d o n 0 ; 1 ) a n d

1

= j r u

j

2

, w e k n o w t h a t t h e u n i f o r m p o s i t i v e d e n i t e n e s s o f D i s a u t o m a t i c a l l y

s a t i s e d b y t h i s l t e r .

T h e c o n s t a n t C

m

i s c a l c u l a t e d i n s u c h a w a y t h a t t h e u x s g ( s ) i s i n c r e a s i n g

f o r s 2 0 ; ] a n d d e c r e a s i n g f o r s 2 ( ; 1 ) . T h u s , t h e p r e c e d i n g l t e r s t r a t e g y

c a n b e r e g a r d e d a s a n a n i s o t r o p i c r e g u l a r i z a t i o n o f t h e P e r o n a { M a l i k m o d e l .

T h e c h o i c e m : = 4 ( w h i c h i m p l i e s C

4

= 3 : 3 1 4 8 8 ) g i v e s v i s u a l l y g o o d r e s u l t s

a n d i s u s e d e x c l u s i v e l y i n t h e e x a m p l e s b e l o w . S i n c e i n t h i s s e c t i o n w e a r e o n l y

i n t e r e s t e d i n e d g e - e n h a n c i n g d i u s i o n w e m a y s e t t h e i n t e g r a t i o n s c a l e o f t h e

s t r u c t u r e t e n s o r e q u a l t o 0 . A p p l i c a t i o n s w h i c h r e q u i r e n o n v a n i s h i n g i n t e g r a t i o n

s c a l e s s h a l l b e s t u d i e d i n s e c t i o n 5 . 2 .

5 . 1 . 2 A p p l i c a t i o n s

F i g u r e 5 . 1 i l l u s t r a t e s t h a t a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r i n g i s s t i l l c a p a b l e o f p o s s e s s -

i n g t h e c o n t r a s t - e n h a n c i n g p r o p e r t i e s o f t h e P e r o n a { M a l i k l t e r ( p r o v i d e d t h e

r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r i s n o t t o o l a r g e ) .

1

I t d e p i c t s t h e t e m p o r a l e v o l u t i o n

o f a G a u s s i a n - l i k e f u n c t i o n a n d i t s i s o l i n e s . I t c a n b e o b s e r v e d t h a t t w o r e g i o n s

w i t h a l m o s t c o n s t a n t g r e y v a l u e e v o l v e w h i c h a r e s e p a r a t e d b y a f a i r l y s t e e p e d g e .

E d g e e n h a n c e m e n t i s c a u s e d b y t h e f a c t t h a t , d u e t o t h e r a p i d l y d e c r e a s i n g d i f -

f u s i v i t y , s m o o t h i n g w i t h i n e a c h r e g i o n i s s t r o n g l y p r e f e r r e d t o d i u s i o n b e t w e e n

1

E x c e p t f o r F i g s . 5 . 1 , 5 . 3 a n d 5 . 4 , w h e r e c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i s t o b e d e m o n s t r a t e d , a l l

i m a g e s i n t h e p r e s e n t w o r k a r e d e p i c t e d i n s u c h a w a y t h a t t h e l o w e s t v a l u e i s b l a c k a n d t h e

h i g h e s t o n e a p p e a r s w h i t e . T h e y r e v e a l a r a n g e w i t h i n t h e i n t e r v a l 0 ; 2 5 5 ] a n d a l l p i x e l s h a v e

u n i t l e n g t h i n b o t h d i r e c t i o n s .



5 . 1 . E D G E - E N H A N C I N G D I F F U S I O N 9 7

F i g u r e 5 . 1 : A n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r i n g o f a G a u s s i a n - t y p e f u n c t i o n ,

= ( 0 ; 2 5 6 )

2

. F r o m t o p l e f t t o b o t t o m r i g h t : t = 0 , 1 2 5 , 6 2 5 , 3 1 2 5 ,

1 5 6 2 5 , 7 8 1 2 5 .



9 8 C H A P T E R 5 . E X A M P L E S A N D A P P L I C A T I O N S

t h e t w o a d j a c e n t r e g i o n s . T h e e d g e l o c a t i o n r e m a i n s s t a b l e o v e r a v e r y l o n g t i m e

i n t e r v a l . T h i s i n d i c a t e s t h a t , i n p r a c t i s e , t h e d e t e r m i n a t i o n o f a s u i t a b l e s t o p p i n g

t i m e i s n o t a c r i t i c a l p r o b l e m . A f t e r t h e p r o c e s s o f c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i s c o n -

c l u d e d , t h e s t e e p n e s s o f e d g e s d e c r e a s e s v e r y s l o w l y u n t i l t h e g r a d i e n t r e a c h e s a

v a l u e w h e r e n o b a c k w a r d d i u s i o n i s p o s s i b l e a n y m o r e . T h e n t h e i m a g e c o n v e r g e s

q u i c k l y t o w a r d s a c o n s t a n t i m a g e .

L e t u s n o w c o m p a r e t h e d e n o i s i n g p r o p e r t i e s o f d i e r e n t d i u s i o n l t e r s . F i g -

u r e 5 . 2 ( a ) c o n s i s t s o f a t r i a n g l e a n d a r e c t a n g l e w i t h 7 0 % o f a l l p i x e l s b e i n g

c o m p l e t e l y d e g r a d e d b y n o i s e .

2

I n F i g . 5 . 2 ( b ) w e o b s e r v e t h a t l i n e a r d i u s i o n

l t e r i n g i s c a p a b l e o f r e m o v i n g a l l n o i s e , b u t w e h a v e t o p a y a p r i c e : t h e i m a g e

b e c o m e s c o m p l e t e l y b l u r r e d . B e s i d e s t h e f a c t t h a t e d g e s g e t s m o o t h e d s o t h a t

t h e y a r e h a r d e r t o i d e n t i f y , t h e c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m a p p e a r s : e d g e s b e c o m e

d i s l o c a t e d . T h u s , o n c e t h e y a r e i d e n t i e d a t a c o a r s e s c a l e , t h e y h a v e t o b e t r a c e d

b a c k i n o r d e r t o n d t h e i r t r u e l o c a t i o n , a n u m e r i c a l l y v e r y d i c u l t p r o b l e m .

F i g . 5 . 2 ( c ) s h o w s t h e e e c t w h e n a p p l y i n g t h e i s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n

e q u a t i o n 5 8 ]

@

t

u = d i v ( g ( j r u

j ) r u ) ( 5 . 4 )

w i t h g a s i n ( 5 . 3 ) . S i n c e e d g e s a r e h a r d l y a e c t e d b y t h i s p r o c e s s , n o n l i n e a r

i s o t r o p i c d i u s i o n d o e s n o t r e v e a l t h e c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m s w h i c h a r e c h a r -

a c t e r i s t i c f o r l i n e a r l t e r i n g . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d r a s t i c a l l y r e d u c e d d i u s i v i t y

a t e d g e s i s a l s o r e s p o n s i b l e f o r t h e d r a w b a c k t h a t n o i s e a t e d g e s i s p r e s e r v e d .

F i g u r e 5 . 2 ( d ) d e m o n s t r a t e s t h a t n o n l i n e a r a n i s o t r o p i c l t e r i n g s h a r e s t h e a d -

v a n t a g e s o f b o t h b e f o r e m e n t i o n e d m e t h o d s . I t c o m b i n e s t h e g o o d n o i s e e l i m i -

n a t i n g p r o p e r t i e s o f l i n e a r d i u s i o n w i t h t h e s t a b l e e d g e s t r u c t u r e o f n o n l i n e a r

i s o t r o p i c l t e r i n g . D u e t o t h e p e r m i t t e d s m o o t h i n g a l o n g e d g e s , h o w e v e r , c o r n e r s

g e t m o r e r o u n d e d t h a n i n t h e n o n l i n e a r i s o t r o p i c c a s e .

T h e s c a l e - s p a c e b e h a v i o u r o f t h e d i e r e n t d i u s i o n l t e r s i s j u x t a p o s e d i n F i g .

5 . 3 , w h e r e a n M R T s l i c e o f a h u m a n h e a d i s p r o c e s s e d 2 4 9 ] .

W e o b s e r v e t h a t l i n e a r d i u s i o n d o e s n o t o n l y b l u r a l l s t r u c t u r e s i n a n e q u a l

a m o u n t b u t a l s o d i s l o c a t e s t h e m m o r e a n d m o r e w i t h i n c r e a s i n g s c a l e .

I s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n g i v e s v e r y w e l l l o c a l i z e d e d g e s , s o n o c o r r e s p o n -

d e n c e p r o b l e m a p p e a r s a n y m o r e . O n e t h e o t h e r h a n d , s m a l l o r t h i n s t r u c t u r e s

r e v e a l a n e x t r e m e l y e x t e n d e d l i f e t i m e a c r o s s t h e s c a l e s i f t h e y c a n b e d i s t i n -

g u i s h e d f r o m t h e i r n e i g h b o u r h o o d b y a s u c i e n t l y l a r g e g r e y v a l u e d i e r e n c e . A s

a c o n s e q u e n c e , t h e y m a y b e p r e s e n t f o r t o o l o n g , a s c a n b e s e e n f r o m t h e l a s t

2

T h i s i m a g e i s t a k e n f r o m t h e S o f t w a r e p a c k a g e M e g a W a v e w h i c h w a s d e v e l o p e d a t t h e

C E R E M A D E ( U n i v e r s i t y P a r i s I X ) . T e s t i m a g e s o f t h i s t y p e h a v e b e e n u s e d t o s t u d y t h e

b e h a v i o u r o f l t e r s s u c h a s 1 2 , 1 4 , 1 5 , 6 5 , 6 6 ] .



5 . 1 . E D G E - E N H A N C I N G D I F F U S I O N 9 9

F i g u r e 5 . 2 : R e s t o r a t i o n p r o p e r t i e s o f d i u s i o n l t e r s . ( a ) T o p L e f t :

T e s t i m a g e , = ( 0 ; 1 2 8 )

2

. ( b ) T o p R i g h t : L i n e a r d i u s i o n , t = 8 0 .

( c ) B o t t o m L e f t : N o n l i n e a r i s o t r o p i c d i u s i o n , = 3 : 5 , = 3 ,

t = 8 0 . ( d ) B o t t o m R i g h t : N o n l i n e a r a n i s o t r o p i c d i u s i o n , = 3 : 5 ,

= 3 , t = 8 0 .



1 0 0 C H A P T E R 5 . E X A M P L E S A N D A P P L I C A T I O N S

i m a g e i n t h e m i d d l e c o l u m n . T h e w h o l e n o n l i n e a r i s o t r o p i c d i u s i o n s c a l e - s p a c e

e v o l u t i o n i s v e r y s l o w .

A n i s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n h a s a f a s t e r s c a l e - s p a c e b e h a v i o u r s i n c e d i u -

s i o n a l o n g e d g e s i s s t i l l p e r m i t t e d . A s i n ( 5 . 2 ( d ) ) , t h i s c a u s e s a s t r o n g e r r o u n d i n g

o f s t r u c t u r e s , w h i c h c a n b e s e e n a t t h e n o s e . A s a p o s i t i v e c o n s e q u e n c e o f t h i s

s l i g h t s h r i n k i n g e e c t , s m a l l o r e l o n g a t e d a n d t h i n s t r u c t u r e s a r e b e t t e r e l i m i -

n a t e d t h a n i n t h e i s o t r o p i c c a s e . T h u s , w e r e c o g n i z e t h a t m o s t o f t h e d e p i c t e d

\ s e g m e n t s " c o i n c i d e w i t h t h e s e m a n t i c a l l y c o r r e c t o b j e c t s t h a t o n e w o u l d e x p e c t

a t t h e s e s c a l e s . F i n a l l y t h e i m a g e t u r n s t o a s i l h o u e t t e o f t h e h e a d , b e f o r e i t

c o n v e r g e s t o a c o n s t a n t i m a g e .

A s c a n b e s e e n f o r i n s t a n c e a t t h e c h i n , b o t h n o n l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s e s a r e

c a p a b l e o f e n h a n c i n g e d g e s . T h e t e n d e n c y t o p r o d u c e p i e c e w i s e a l m o s t c o n s t a n t

r e g i o n s i n d i c a t e s t h a t t h e s e s c a l e - s p a c e s a r e i d e a l p r e p o c e s s i n g t o o l s f o r s e g m e n -

t a t i o n . U n l i k e d i u s i o n { r e a c t i o n m o d e l s a i m i n g t o y i e l d o n e s e g m e n t a t i o n - l i k e

r e s u l t f o r t ! 1 ( c f . 1 . 3 ) , t h e t e m p o r a l e v o l u t i o n o f t h e s e m o d e l s g e n e r a t e s a

c o m p l e t e h i e r a r c h i c a l f a m i l y o f s e g m e n t a t i o n - l i k e i m a g e s . T h e c o n t r a s t - e n h a n c i n g

q u a l i t y d i s t i n g u i s h e s n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s f r o m o t h e r s c a l e - s p a c e s . I t s h o u l d

b e n o t e d t h a t c o n t r a s t e n h a n c e m e n t i s a l o c a l p h e n o m e n o n w h i c h c a n n o t b e

r e p l a c e d b y s i m p l e g l o b a l r e s c a l i n g s o f t h e g r e y v a l u e r a n g e . T h e r e f o r e , i t i s g e n -

e r a l l y n o t p o s s i b l e t o o b t a i n s i m i l a r s e g m e n t a t i o n - l i k e r e s u l t s b y j u s t r e s c a l i n g

t h e r e s u l t s f r o m a s c a l e - s p a c e w h i c h i s o n l y c o n t r a s t - r e d u c i n g .

T h e c o n t r a s t a n d n o i s e p a r a m e t e r s a n d g i v e t h e u s e r t h e l i b e r t y t o a d a p t

n o n l i n e a r d i u s i o n s c a l e - s p a c e s t o t h e d e s i r e d p u r p o s e i n o r d e r t o r e w a r d i n t e r -

e s t i n g f e a t u r e s w i t h a l o n g e r l i f e t i m e . S u i t a b l e v a l u e s f o r t h e m s h o u l d r e s u l t i n

a n a t u r a l w a y f r o m t h e s p e c i c p r o b l e m . I n t h i s s e n s e , t h e t i m e t i s r a t h e r a

p a r a m e t e r o f i m p o r t a n c e , w i t h r e s p e c t t o t h e s p e c i e d t a s k , t h a n a d e s c r i p t o r o f

s p a t i a l s c a l e . T h e c o m m o n v i e w t h a t t h e e v o l u t i o n p a r a m a t e r t o f s c a l e - s p a c e s

s h o u l d b e r e l a t e d t o t h e s p a t i a l s c a l e r e e c t s t h e a s s u m p t i o n t h a t a s c a l e - s p a c e

a n a l y s i s s h o u l d b e u n c o m m i t t e d . N o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g r e n o u n c e s t h i s r e -

q u i r e m e n t b y a l l o w i n g t o i n c o r p o r a t e a - p r i o r i i n f o r m a t i o n ( e . g . a b o u t t h e c o n t r a s t

o f s e m a n t i c a l l y i m p o r t a n t s t r u c t u r e s ) i n t o t h e e v o l u t i o n p r o c e s s . T h e b a s i c i d e a

o f s c a l e - s p a c e s , h o w e v e r , i s m a i n t a i n e d : t o p r o v i d e a f a m i l y o f s u b s e q u e n t l y s i m -

p l i e d v e r s i o n s o f t h e o r i g i n a l i m a g e , w h i c h g i v e s a h i e r a r c h y o f s t r u c t u r e s a n d

a l l o w s t o p i c k u p t h e r e l e v a n t i n f o r m a t i o n f r o m a c e r t a i n s c a l e .

B e s i d e s t h e s e s p e c i c f e a t u r e s o f n o n l i n e a r d i u s i o n s c a l e - s p a c e s i t s h o u l d b e

m e n t i o n e d t h a t , d u e t o t h e h o m o g e n e o u s N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n a n d t h e

d i v e r g e n c e f o r m , b o t h l i n e a r a n d n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r s p r e s e r v e t h e a v e r a g e

g r e y l e v e l o f t h e i m a g e .

T h i s i s n o t t r u e f o r t h e m o r p h o l o g i c a l l t e r s w h i c h h a v e b e e n a p p l i e d i n F i g .

5 . 4 . W e o b s e r v e t h a t t h e i m a g e s b e c o m e i n c r e a s i n g l y d a r k e r a s t h e t i m e p r o c e e d s .



5 . 1 . E D G E - E N H A N C I N G D I F F U S I O N 1 0 1

O n t h e o t h e r h a n d , e d g e s a r e n o t b l u r r e d a s s t r o n g l y a s i n t h e l i n e a r d i u s i o n

c a s e .

T h e c u r v a t u r e m o t i o n ( 1 . 7 4 ) a t t h e l e f t c o l u m n o f F i g . 5 . 4 i s a p u r e a n i s o t r o p i c

t e c h n i q u e . S i n c e M C M s h r i n k s l e v e l l i n e s w i t h a v e l o c i t y t h a t i s p r o p o r t i o n a l t o

t h e i r c u r v a t u r e , l o w - c u r v e d o b j e c t b o u n d a r i e s a r e l e s s a e c t e d b y t h i s p r o c e s s ,

w h i l e h i g h - c u r v e d s t r u c t u r e s ( e . g . t h e n o s e ) e x h i b i t r o u n d i n g s a t a n e a r l i e r s t a g e .

A f t e r s o m e t i m e , h o w e v e r , t h e h e a d l o o k s a l m o s t l i k e a b a l l . T h i s i s i n a c c o r d a n c e

w i t h t h e t h e o r y w h i c h p r e d i c t s c o n v e r g e n c e o f a l l c l o s e d l e v e l l i n e s t o a c i r c u l a r

p o i n t .

A s i m i l a r b e h a v i o u r c a n b e o b s e r v e d f o r t h e a n e i n v a r i a n t m o r p h o l o g i c a l

s c a l e - s p a c e ( 1 . 9 2 ) . S i n c e i t t a k e s t h e t i m e T =

3

4

s

4

3

t o r e m o v e a l l i s o l i n e s w i t h i n

a c i r c l e o f r a d i u s s { i n c o n t r a s t t o T =

1

2

s

2

f o r M C M { w e s e e t h a t , f o r a

c o m p a r a b l e e l i m i n a t i o n o f s m a l l s t r u c t u r e , t h e s h r i n k i n g e e c t o f l a r g e s t r u c -

t u r e s i s s t r o n g e r f o r A M S S t h a n f o r M C M . T h u s , a l t h o u g h e d g e s a r e e a s i e r t o

d e t e c t t h a n i n t h e l i n e a r d i u s i o n c a s e , t h e c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m r e m a i n s .

N e v e r t h e l e s s , t h e a d v a n t a g e o f h a v i n g a n e i n v a r i a n c e m a y c o u n t e r b a l a n c e t h e

c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m i n c e r t a i n a p p l i c a t i o n s . S i n c e t h e A M S S i n v o l v e s n o a d -

d i t i o n a l p a r a m e t e r s a n d o e r s m o r e i n v a r i a n c e s t h a n o t h e r s c a l e - s p a c e s , i t i s i d e a l

f o r u n c o m m i t t e d i m a g e a n a l y s i s a n d s h a p e r e c o g n i t i o n .

O n e p o s s i b i l i t y t o a v o i d t h e c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m o f m o r p h o l o g i c a l s c a l e -

s p a c e s i s t o d a m p t h e c u r v e e v o l u t i o n a t h i g h - c o n t r a s t e d g e s , w h i c h i s a t t h e

e x p e n s e o f w i t h d r a w i n g m o r p h o l o g y . P r o c e s s e s o f t h i s t y p e a r e s t u d i e d i n 1 2 ,

2 1 7 , 2 1 8 ] . A s a s i m p l e p r o t o t y p e f o r t h i s i d e a , l e t u s i n v e s t i g a t e t h e m o d i e d

M C M

@

t

u =

j r u j c u r v ( u )

1 + ( j r u

j = )

2

: ( 5 . 5 )

I t s c o r r e s p o n d i n g e v o l u t i o n i s d e p i c t e d i n t h e t h i r d c o l u m n o f F i g . 5 . 4 . W e o b s e r v e

t h a t s t r u c t u r e s r e m a i n m u c h b e t t e r l o c a l i z e d t h a n i n t h e o r i g i n a l M C M . O n

t h e o t h e r h a n d , t h e e x p e r i m e n t s g i v e e v i d e n c e t h a t t h i s p r o c e s s i s p r o b a b l y n o t

c o n t r a s t - e n h a n c i n g , s e e e . g . t h e c h i n . A s a c o n s e q u e n c e , t h e r e s u l t s a p p e a r l e s s

s e g m e n t a t i o n - l i k e t h a n t h o s e f o r n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g .

L e t u s n o w s t u d y t w o a p p l i c a t i o n s o f n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g i n c o m p u t e r

a i d e d q u a l i t y c o n t r o l ( C A Q ) : t h e g r a d i n g o f f a b r i c s a n d w o o d s u r f a c e s ( s e e a l s o

2 4 8 ] ) .

T h e q u a l i t y o f a f a b r i c i s d e t e r m i n e d b y t w o c r i t e r i a , n a m e l y c l o u d s a n d

s t r i p e s . C l o u d s r e s u l t f r o m i s o t r o p i c i n h o m o g e n e i t i e s o f t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n ,

w h e r e a s s t r i p e s a r e a n a n i s o t r o p i c p h e n o m e n o n c a u s e d b y a d j a c e n t b e r s p o i n t -

i n g i n t h e s a m e d i r e c t i o n . A n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s a r e c a p a b l e o f v i s u a l i z i n g

b o t h q u a l i t y - r e l e v a n t f e a t u r e s s i m u l t a n e o u s l y ( F i g . 5 . 5 ) . F o r a s u i t a b l e p a r a m e t e r

c h o i c e , t h e y p e r f o r m i s o t r o p i c s m o o t h i n g a t c l o u d s a n d d i u s e i n a n a n i s o t r o p i c




F i g u r e 5 . 3 : D i u s i o n s c a l e - s p a c e s . T o p : O r i g i n a l i m a g e , = ( 0 ; 2 3 6 )

2

. L e f t

C o l u m n : L i n e a r d i u s i o n , t o p t o b o t t o m : t = 0 , 1 2 : 5 , 5 0 , 2 0 0 . M i d d l e C o l u m n :

I s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n ( = 3 , = 1 ) , t = 0 , 2 5 0 0 0 , 5 0 0 0 0 0 , 7 0 0 0 0 0 0 . R i g h t

C o l u m n : A n i s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n ( = 3 , = 1 ) , t = 0 , 2 5 0 , 8 7 5 , 3 0 0 0 .




F i g u r e 5 . 4 : M o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s a n d r e l a t e d m e t h o d s . T o p : O r i g i n a l i m a g e ,

= ( 0 ; 2 3 6 )

2

. L e f t C o l u m n : M e a n c u r v a t u r e m o t i o n , t = 0 , 7 0 , 2 7 5 , 1 2 7 5 .

M i d d l e C o l u m n : A n e m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e , t = 0 , 2 0 , 5 0 , 1 4 0 . R i g h t

C o l u m n : M o d i e d m e a n c u r v a t u r e m o t i o n ( = 3 , = 1 ) , t = 0 , 1 0 0 , 3 5 0 , 1 5 0 0 .




F i g u r e 5 . 5 : P r e p r o c e s s i n g o f a f a b r i c i m a g e . ( a ) L e f t : F a b r i c , =

( 0 ; 2 5 7 )

2

. ( b ) R i g h t : A n i s o t r o p i c d i u s i o n , = 4 , = 2 , t = 2 4 0 .

F i g u r e 5 . 6 : D e f e c t d e t e c t i o n i n w o o d . ( a ) L e f t : W o o d s u r f a c e , =

( 0 ; 2 5 6 )

2

. ( b ) R i g h t : I s o t r o p i c n o n l i n e a r d i u s i o n , = 4 , = 2 ,

t = 2 0 0 0 .




w a y a l o n g b r e s i n o r d e r t o e n h a n c e t h e m . H o w e v e r , i f o n e w a n t s t o v i s u a l i z e

b o t h f e a t u r e s s e p a r a t e l y , o n e c a n u s e a f a s t p y r a m i d a l g o r i t h m b a s e d o n l i n e a r

d i u s i o n l t e r i n g f o r t h e c l o u d s 2 5 1 ] , w h e r e a s s t r i p e s c a n b e e n h a n c e d b y a s p e -

c i a l n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r w h i c h i s d e s i g n e d f o r c l o s i n g i n t e r r u p t e d l i n e s a n d

w h i c h s h a l l b e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . 2 .

F o r f u r n i t u r e p r o d u c t i o n i t i s o f i m p o r t a n c e t o c l a s s i f y t h e q u a l i t y o f w o o d

s u r f a c e s . I f o n e a i m s t o a u t o m i z e t h i s e v a l u a t i o n , o n e h a s t o p r o c e s s t h e i m a g e i n

s u c h a w a y t h a t q u a l i t y r e l a v a n t f e a t u r e s b e c o m e b e t t e r v i s i b l e u n d u n i m p o r t a n t

s t r u c t u r e s d i s a p p e a r . F i g . 5 . 6 ( a ) d e p i c t s a w o o d s u r f a c e p o s s e s s i n g o n e d e f e c t .

T o v i s u a l i z e t h i s d e f e c t , e q u a t i o n ( 5 . 4 ) c a n b e a p p l i e d w i t h g o o d s u c c e s s ( F i g .

5 . 6 ( b ) ) . I n 2 4 8 ] i t i s d e m o n s t r a t e d h o w a m o d i e d a n i s o t r o p i c d i u s i o n p r o c e s s

y i e l d s e v e n m o r e a c c u r a t e r e s u l t s w i t h l e s s r o u n d i n g s a t t h e c o r n e r s .

F i g . 5 . 7 ( a ) g i v e s a n e x a m p l e f o r p o s s i b l e m e d i c a l a p p l i c a t i o n s o f n o n l i n e a r

d i u s i o n l t e r i n g a s a p r e p r o c e s s i n g t o o l f o r s e g m e n t a t i o n ( s e e a l s o 2 4 7 , 2 5 0 ] f o r

a n o t h e r e x a m p l e ) . I t d e p i c t s a n M R T s l i c e

3

o f t h e h u m a n h e a d . F o r d e t e c t i n g

A l z h e i m e r ' s d i s e a s e o n e i s i n t e r e s t e d i n d e t e r m i n i n g t h e r a t i o b e t w e e n t h e v e n t r i -

c l e a r e a s ( t h e t w o w h i t e l o n g i t u d i n a l o b j e c t s i n t h e c e n t r e ) a n d t h e e n t i r e h e a d

a r e a .

I n o r d e r t o m a k e t h e d i a g n o s i s m o r e o b j e c t i v e a n d r e l i a b l e , i t i s i n t e n d e d t o

e x t r a c t t h e s e f e a t u r e s b y a s e g m e n t a t i o n a l g o r i t h m . F i g u r e 5 . 7 ( c ) s h o w s a s e g m e n -

t a t i o n a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g s i m p l i c a t i o n o f t h e M u m f o r d { S h a h f u n c t i o n a l

( 1 . 4 7 ) :

E

f

( u ; K ) =

Z

( u ? f )

2

d x + j K j : ( 5 . 6 )

I t h a s b e e n o b t a i n e d b y a M e g a W a v e p r o g r a m m e u s i n g a h i e r a r c h i c a l r e g i o n -

g r o w i n g a l g o r i t h m d u e t o K o e p e r e t a l . 1 4 2 ] . A s i s s e e n i n F i g . 5 . 7 ( d ) , o n e g e t s

a b e t t e r s e g m e n t a t i o n w h e n p r o c e s s i n g t h e o r i g i n a l i m a g e s l i g h t l y b y m e a n s o f

n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g ( F i g . 5 . 7 ( b ) ) p r i o r t o s e g m e n t i n g i t . I n o r d e r t o e x t e n d

t h e s e p r o m i s i n g r e s u l t s t o t h e 3 D s e t t i n g , a n a n i s o t r o p i c d i u s i o n a l g o r i t h m f o r

3 D i m a g e s h a s b e e n d e v o l o p e d w h i c h a l l o w s t o l t e r s i m u l t a n e o u s l y a n e n t i r e

M R T o r C T s e t 2 0 2 ] .

3

k i n d l y p r o v i d e d b y A l d o v o n W a n g e n h e i m , G e r m a n R e s e a r c h C e n t e r f o r A r t i c i a l I n t e l l i -

g e n c e , K a i s e r s l a u t e r n .




F i g u r e 5 . 7 : P r e p r o c e s s i n g o f a n M R T i m a g e . ( a ) T o p L e f t : H e a d ,

= ( 0 ; 2 5 6 )

2

. ( b ) T o p R i g h t : D i u s i o n - l t e r e d , = 5 , = 0 : 1 ,

t = 2 : 5 . ( c ) B o t t o m L e f t : S e g m e n t e d o r i g i n a l i m a g e , = 8 1 9 2 . ( d )

B o t t o m R i g h t : S e g m e n t e d l t e r e d i m a g e , = 8 1 9 2 .



5 . 2 . C O H E R E N C E - E N H A N C I N G D I F F U S I O N 1 0 7

5 . 2 C o h e r e n c e - e n h a n c i n g d i u s i o n

5 . 2 . 1 F i l t e r d e s i g n

I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l i n v e s t i g a t e h o w t h e s t r u c t u r e t e n s o r i n f o r m a t i o n c a n b e

u s e d t o d e s i g n a n i s o t r o p i c d i u s i o n s c a l e - s p a c e s w h i c h e n h a n c e t h e c o h e r e n c e o f

o w - l i k e t e x t u r e s 2 5 2 ] . T h i s r e q u i r e s a n o n v a n i s h i n g i n t e g r a t i o n s c a l e .

L e t a g a i n

1

,

2

w i t h

1

2

b e t h e e i g e n v a l u e s o f J

, a n d v

1

, v

2

t h e c o r -

r e s p o n d i n g o r t h o n o r m a l e i g e n v e c t o r s . A s i n 5 . 1 t h e d i u s i o n t e n s o r D ( J

( r u

) )

o u g h t t o p o s s e s s t h e s a m e s e t o f e i g e n v e c t o r s a s J

(

r u

) .

I f o n e w a n t s t o e n h a n c e c o h e r e n t s t r u c t u r e s , o n e s h o u l d s m o o t h p r e f e r a b l y

a l o n g t h e c o h e r e n c e d i r e c t i o n v

2

w i t h a d i u s i v i t y

2

w h i c h i n c r e a s e s w i t h r e s p e c t

t o t h e c o h e r e n c e (

1

?

2

)

2

. T h i s m a y b e a c h i e v e d b y t h e f o l l o w i n g c h o i c e f o r t h e

e i g e n v a l u e s o f t h e d i u s i o n t e n s o r ( C > 0 , m 2 I N ) :

1

: = ;

2

: =

8

<

:

i f

1

=

2

,

+ ( 1 ? ) e x p

? C

(

1

?

2

)

2 m

e l s e ,

w h e r e t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n w a s c h o s e n t o e n s u r e t h e s m o o t h n e s s o f D a n d

t h e s m a l l p o s i t i v e p a r a m e t e r 2 ( 0 ; 1 ) k e e p s D ( J

( r u

) ) u n i f o r m l y p o s i t i v e

d e n i t e .

4

A l l e x a m p l e s b e l o w a r e c a l c u l a t e d u s i n g C : = 1 , m : = 1 , a n d : = 0 : 0 0 1 .

5 . 2 . 2 A p p l i c a t i o n s

F i g u r e 5 . 8 i l l u s t r a t e s t h e a d v a n t a g e s o f l o c a l o r i e n t a t i o n a n a l y s i s b y m e a n s o f

t h e s t r u c t u r e t e n s o r . I n o r d e r t o d e t e c t t h e l o c a l o r i e n t a t i o n o f t h e n g e r p r i n t

d e p i c t e d i n F i g . 5 . 8 ( a ) , t h e g r a d i e n t o r i e n t a t i o n o f a s l i g h t l y s m o o t h e d i m a g e h a s

b e e n c a l c u l a t e d ( F i g . 5 . 8 ( b ) ) . H o r i z o n t a l l y o r i e n t e d s t r u c t u r e s a p p e a r b l a c k , w h i l e

v e r t i c a l s t r u c t u r e s a r e r e p r e s e n t e d i n w h i t e . W e o b s e r v e v e r y h i g h u c t u a t i o n s i n

t h e l o c a l o r i e n t a t i o n . W h e n a p p l y i n g a l a r g e r s m o o t h i n g k e r n e l i t i s c l e a r t h a t

a d j a c e n t g r a d i e n t s h a v i n g t h e s a m e o r i e n t a t i o n b u t o p p o s i t e d i r e c t i o n c a n c e l o u t .

T h e r e f o r e , t h e r e s u l t s i n ( c ) a r e m u c h w o r s e t h a n i n ( b ) . T h e s t r u c t u r e t e n s o r ,

h o w e v e r , a v e r a g e s t h e g r a d i e n t o r i e n t a t i o n i n s t e a d o f i t s d i r e c t i o n . T h i s i s t h e

r e a s o n f o r t h e r e l i a b l e e s t i m a t e s o f l o c a l o r i e n t a t i o n t h a t c a n b e o b t a i n e d w i t h

t h i s m e t h o d ( F i g . 5 . 8 ( d ) ) .

T o i l l u s t r a t e h o w t h e r e s u l t o f a n i s o t o p i c P D E m e t h o d s d e p e n d s o n t h e d i r e c -

t i o n i n w h i c h t h e y s m o o t h , l e t u s r e c a l l t h e e x a m p l e o f m e a n c u r v a t u r e m o t i o n

4

E v i d e n t l y , l t e r s o f t h i s t y p e a r e n o t r e g u l a r i z a t i o n s o f t h e P e r o n a { M a l i k p r o c e s s : t h e l i m i t

! 0 , ! 0 l e a d s t o a l i n e a r d i u s i o n p r o c e s s w i t h c o n s t a n t d i u s i v i t y .




F i g u r e 5 . 8 : L o c a l o r i e n t a t i o n i n a n g e r p r i n t i m a g e . ( a ) T o p L e f t :

O r i g i n a l n g e r p r i n t , = ( 0 ; 2 5 6 )

2

. ( b ) T o p R i g h t : O r i e n t a t i o n

o f s m o o t h e d g r a d i e n t , = 0 : 5 . ( c ) B o t t o m L e f t : O r i e n t a t i o n o f

s m o o t h e d g r a d i e n t , = 5 . ( d ) B o t t o m R i g h t : S t r u c t u r e t e n s o r

o r i e n t a t i o n , = 0 : 5 , = 4 .




F i g u r e 5 . 9 : A n i s o t r o p i c e q u a t i o n s a p p l i e d t o t h e n g e r p r i n t i m a g e .

( a ) L e f t : M e a n - c u r v a t u r e m o t i o n , t = 5 . ( b ) R i g h t : C o h e r e n c e -

e n h a n c i n g a n i s o t r o p i c d i u s i o n , = 0 : 5 , = 4 , t = 2 0 .

( c f . 1 . 5 . 1 ) :

@

t

u = u

= j r u j c u r v ( u ) ( 5 . 7 )

w i t h b e i n g t h e d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o r u . S i n c e M C M s m o o t h e s b y p r o p -

a g a t i n g l e v e l l i n e s i n i n n e r n o r m a l d i r e c t i o n w e r e c o g n i z e t h a t i t s s m o o t h i n g d i -

r e c t i o n d e p e n d s e x c l u s i v e l y o n

r u . T h u s , a l t h o u g h t h i s m e t h o d i s i n a c o m p l e t e

a n i s o t r o p i c s p i r i t , w e s h o u l d n o t e x p e c t i t t o b e c a p a b l e o f c l o s i n g i n t e r r u p t e d

l i n e - l i k e s t r u c t u r e s . T h e r e s u l t s i n F i g . 5 . 9 ( a ) c o n r m t h i s i m p r e s s i o n .

T h e p r o p o s e d a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r , h o w e v e r , r o t a t e s t h e d i u s i v e u x

t o w a r d s t h e c o h e r e n c e o r i e n t a t i o n v

2

a n d i s t h e r e f o r e w e l l - s u i t e d f o r c l o s i n g i n -

t e r r u p t e d l i n e s i n c o h e r e n t o w - l i k e t e x t u r e s , s e e F i g . 5 . 9 ( b ) . D u e t o i t s r e d u c e d

d i u s i v i t y a t n o n c o h e r e n t s t r u c t u r e s , t h e l o c a t i o n s o f t h e s e m a n t i c a l l y i m p o r t a n t

s i n g u l a r i t i e s i n t h e n g e r p r i n t r e m a i n t h e s a m e . T h i s i s a n i m p o r t a n t p r e r e q u i s i t e

t h a t a n y i m a g e p r o c e s s i n g m e t h o d h a s t o s a t i s f y i f i t i s t o b e a p p l i e d t o n g e r p r i n t

a n a l y s i s .

F i g u r e 5 . 1 0 d e p i c t s t h e s c a l e - s p a c e b e h a v i o u r o f c o h e r e n c e - e n h a n c i n g a n i s o -

t r o p i c d i u s i o n a p p l i e d t o t h e f a b r i c i m a g e f r o m F i g . 5 . 5 . T h e t e m p o r a l b e h a v i o u r

o f t h i s d i u s i o n l t e r s e e m s t o b e a p p r o p r i a t e f o r v i s u a l i z i n g c o h e r e n t b r e a g -

g l o m e r a t i o n s ( s t r i p e s ) a t d i e r e n t s c a l e s , a d i c u l t p r o b l e m f o r t h e a u t o m a t i c

g r a d i n g o f n o n w o v e n s .

L e t u s n o w i n v e s t i g a t e t h e i m p a c t o f c o h e r e n c e - e n h a n c i n g d i u s i o n o n i m a g e s ,

w h i c h a r e n o t t y p i c a l t e x t u r e i m a g e s , b u t s t i l l r e v e a l a o w - l i k e c h a r a c t e r . T o t h i s

e n d , w e s h a l l p r o c e s s i m p r e s s i o n i s t i c p a i n t i n g s b y V i n c e n t v a n G o g h .




F i g u r e 5 . 1 0 : S c a l e - s p a c e b e h a v i o u r o f c o h e r e n c e - e n h a n c i n g d i u s i o n

( = 0 : 5 , = 2 ) . ( a ) T o p L e f t : O r i g i n a l f a b r i c i m a g e , = ( 0 ; 2 5 7 )

2

.

( b ) T o p R i g h t : t = 2 0 . ( c ) B o t t o m L e f t : t = 1 2 0 . ( d ) B o t t o m

R i g h t : t = 6 4 0 .




F i g u r e 5 . 1 1 : I m a g e r e s t o r a t i o n u s i n g c o h e r e n c e - e n h a n c i n g a n i s o t r o p i c

d i u s i o n . ( a ) L e f t : \ S e l f p o r t r a i t " b y v a n G o g h ( S a i n t - R e m y , 1 8 8 9 ;

P a r i s , M u s e e d ' O r s a y ) , = ( 0 ; 2 1 5 ) ( 0 ; 2 7 5 ) . ( b ) R i g h t : F i l t e r e d ,

= 0 : 5 , = 4 , t = 6 .

F i g . 5 . 1 1 s h o w s t h e r e s t o r a t i o n p r o p e r t i e s o f c o h e r e r e n c e - e n h a n c i n g a n i s o t r o p i c

d i u s i o n w h e n b e i n g a p p l i e d t o a s e l f p o r t r a i t o f t h e a r t i s t 1 0 3 ] . W e o b s e r v e t h a t

t h e d i u s i o n l t e r c a n c l o s e i n t e r r u p t e d l i n e s a n d e n h a n c e t h e o w - l i k e c h a r a c t e r

w h i c h i s t y p i c a l f o r v a n G o g h p a i n t i n g s .

T h e n e x t p a i n t i n g w e a r e c o n c e r n e d w i t h i s c a l l e d \ L a n e u n d e r C y p r e s s e s

B e l o w t h e S t a r r y S k y " 1 0 4 ] . I t i s d e p i c t e d i n F i g . 5 . 1 2 . I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e

t h e i n u e n c e o f t h e i n t e g r a t i o n s c a l e , a l l l t e r p a r a m e t e r s a r e x e d e x c e p t f o r

. I n F i g . 5 . 1 2 ( b ) w e o b s e r v e t h a t a v a l u e f o r w h i c h i s t o o s m a l l d o e s n o t l e a d

t o t h e v i s u a l l y d o m i n a n t c o h e r e n c e o r i e n t a t i o n a n d , t h u s , t h e l t e r e d s t r u c t u r e s

r e v e a l a l o t o f u n d e s i r e d u c t u a t i o n s . I n c r e a s i n g t h e v a l u e f o r i m p r o v e s t h e

i m a g e s i g n i c a n t l y ( F i g . 5 . 1 3 ( c ) ) . I n t e r e s t i n g l y , a f u r t h e r i n c r e a s i n g o f d o e s

h a r d l y a l t e r t h i s r e s u l t ( F i g . 5 . 1 3 ( d ) ) , w h i c h i n d i c a t e s t h a t t h i s v a n G o g h p a i n t i n g

p o s s e s s e s a u n i f o r m \ t e x t u r e s c a l e " r e e c t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c p a i n t i n g s t y l e o f

t h e a r t i s t .

I n a l a s t e x a m p l e t h e t e m p o r a l e v o l u t i o n o f o w - l i k e i m a g e s i s i l l u s t r a t e d b y

v i r t u e o f t h e \ S t a r r y N i g h t " p a i n t i n g i n F i g . 5 . 1 3 1 0 2 , 2 5 3 ] . D u e t o t h e e s t a b l i s h e d

s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s , t h e i m a g e b e c o m e s g r a d u a l l y s i m p l e r w i t h r e s p e c t t o m a n y




F i g u r e 5 . 1 2 : I m p a c t o f t h e i n t e g r a t i o n s c a l e o n c o h e r e n c e - e n h a n c i n g

a n i s o t r o p i c d i u s i o n ( = 0 : 5 , t = 8 ) . ( a ) T o p L e f t : \ L a n e u n d e r

C y p r e s s e s b e l o w t h e S t a r r y S k y " b y v a n G o g h ( A u v e r s - s u r - O i s e , 1 8 9 0 ;

O t t e r l o , R i j k s m u s e u m K r o l l e r { M u l l e r ) , = ( 0 ; 2 0 3 )

( 0 ; 2 9 0 ) . ( b )

T o p R i g h t : F i l t e r e d w i t h = 1 . ( c ) B o t t o m L e f t : = 4 . ( d )

B o t t o m R i g h t : = 6 .




F i g u r e 5 . 1 3 : S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s o f c o h e r e n c e - e n h a n c i n g a n i s o t r o p i c d i u s i o n

( = 0 : 5 , = 4 ) . ( a ) T o p L e f t : \ S t a r r y N i g h t " b y v a n G o g h ( S a i n t - R e m y ,

1 8 8 9 ; N e w Y o r k , T h e M u s e u m o f M o d e r n A r t ) , = ( 0 ; 2 5 5 ) ( 0 ; 1 9 9 ) . ( b ) T o p

R i g h t : t = 8 . ( c ) B o t t o m L e f t : t = 6 4 . ( d ) B o t t o m R i g h t : t = 5 1 2 .

a s p e c t s , b e f o r e i t n a l l y w i l l t e n d t o i t s s i m p l e s t r e p r e s e n t a t i o n , a c o n s t a n t i m a g e

w i t h t h e s a m e a v e r a g e g r e y v a l u e a s t h e o r i g i n a l o n e . T h e o w - l i k e c h a r a c t e r ,

h o w e v e r , i s m a i n t a i n e d f o r a v e r y l o n g t i m e .

5

5

R e s u l t s f o r A M S S l t e r i n g o f t h i s i m a g e c a n b e f o u n d i n 1 7 8 ] .



C h a p t e r 6

C o n c l u s i o n s

I n t h i s w o r k a s c a l e - s p a c e f r a m e w o r k h a s b e e n p r e s e n t e d w h i c h d o e s n o t r e q u i r e

a n y m o n o t o n y a s s u m p t i o n ( c o m p a r i s o n p r i n c i p l e ) . W e h a v e s e e n t h a t , b e s i d e s

t h e f a c t t h a t m a n y g l o b a l s m o o t h i n g s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s a r e m a i n t a i n e d , n e w

p o s s i b i l i t i e s w i t h r e s p e c t t o i m a g e r e s t o r a t i o n a p p e a r .

R a t h e r t h a n d e d u c i n g a u n i q u e e q u a t i o n f r o m r s t p r i n c i p l e s w e h a v e a n a -

l y s e d w e l l - p o s e d n e s s a n d s c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s o f a g e n e r a l f a m i l y o f r e g u l a r i z e d

a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s . E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s r e s u l t s , c o n t i n u o u s d e p e n -

d e n c e o f t h e s o l u t i o n o n t h e i n i t i a l i m a g e , m a x i m u m { m i n i m u m p r i n c i p l e s , i n v a r i -

a n c e s , L y a p u n o v f u n c t i o n a l s , a n d c o n v e r g e n c e t o a c o n s t a n t s t e a d y s t a t e h a v e

b e e n e s t a b l i s h e d .

T h e l a r g e c l a s s o f L y a p u n o v f u n c t i o n a l s p e r m i t s t o r e g a r d t h e s e l t e r s i n n u -

m e r o u s w a y s a s s i m p l i f y i n g , i n f o r m a t i o n - r e d u c i n g t r a n s f o r m a t i o n s . T h e s e g l o b a l

s m o o t h i n g p r o p e r t i e s d o n o t c o n t r a d i c t s e e m i n g l y o p p o s i t e l o c a l e e c t s s u c h

a s e d g e e n h a n c e m e n t . F o r t h i s r e a s o n i t i s p o s s i b l e t o d e s i g n s c a l e - s p a c e s w i t h

r e s t o r a t i o n p r o p e r t i e s g i v i n g s e g m e n t a t i o n - l i k e r e s u l t s .

P r e r e q u i s i t e s h a v e b e e n s t a t e d u n d e r w h i c h o n e c a n p r o v e w e l l - p o s e d n e s s a n d

s c a l e - s p a c e r e s u l t s i n t h e c o n t i n u o u s , s e m i d i s c r e t e a n d d i s c r e t e s e t t i n g . E a c h o f

t h e s e f r a m e w o r k s s t a n d s o n i t s o w n a n d d o e s n o t r e q u i r e t h e o t h e r s . O n t h e

o t h e r h a n d , t h e p r e r e q u i s i t e s i n a l l t h r e e s e t t i n g s r e v e a l m a n y s i m i l a r i t i e s a n d ,

a s a c o n s e q u e n c e , r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e s e m i d i s c r e t e c l a s s c a n b e o b t a i n e d b y

s u i t a b l e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n s o f t h e c o n t i n u o u s c l a s s , w h i l e r e p r e s e n t a t i v e s o f

t h e d i s c r e t e c l a s s m a y a r i s e f r o m t i m e d i s c r e t i z a t i o n s o f s e m i d i s c r e t e l t e r s .

T h e d e g r e e o f f r e e d o m w i t h i n t h e p r o p o s e d c l a s s o f l t e r s c a n b e u s e d t o t a i l o r

t h e l t e r s t o w a r d s s p e c i c r e s t o r a t i o n t a s k s . T h e r e f o r e , t h e s e s c a l e - s p a c e s d o n o t

n e e d t o b e u n c o m m i t t e d ; t h e y g i v e t h e u s e r t h e l i b e r t y t o i n c o r p o r a t e a - p r i o r i

k n o w l e d g e , f o r i n s t a n c e c o n c e r n i n g s i z e a n d c o n t r a s t o f e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g f e a -

t u r e s .

1 1 5



1 1 6 C H A P T E R 6 . C O N C L U S I O N S

T h e a n a l y s e d c l a s s c o m p r i s e s l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g a n d t h e n o n l i n e a r i s o -

t r o p i c m o d e l o f C a t t e , L i o n s , M o r e l , C o l l 5 8 ] a n d W h i t a k e r a n d P i z e r 2 5 5 ] , b u t

a l s o n o v e l a p p r o a c h e s h a v e b e e n p r o p o s e d : T h e u s e o f d i u s i o n t e n s o r s i n s t e a d o f

s c a l a r - v a l u e d d i u s i v i t i e s p u t s u s i n a p o s i t i o n t o d e s i g n r e a l a n i s o t r o p i c d i u s i o n

p r o c e s s e s w h i c h m a y r e v e a l a d v a n t a g e s a t n o i s y e d g e s . L a s t b u t n o t l e a s t , t h e f a c t

t h a t t h e s e l t e r s a r e s t e e r e d b y t h e s t r u c t u r t e n s o r i n s t e a d o f t h e r e g u l a r i z e d g r a -

d i e n t a l l o w s t o a d a p t t h e m t o m o r e s o p h i s t i c a t e d t a s k s s u c h a s t h e e n h a n c e m e n t

o f c o h e r e n t o w - l i k e s t r u c t u r e s .

I n v i e w o f t h e s e r e s u l t s , a n i s o t r o p i c d i u s i o n d e s e r v e s t o b e r e g a r d e d a s m u c h

m o r e t h a n a n a d - h o c s t r a t e g y f o r t r a n s f o r m i n g a d e g r a d e d i m a g e i n t o a m o r e

p l e a s a n t l o o k i n g o n e . I t i s a e x i b l e a n d m a t h e m a t i c a l l y s o u n d c l a s s o f m e t h o d s

w h i c h t i e s t h e a d v a n t a g e s o f t w o w o r l d s : s c a l e - s p a c e a n a l y s i s a n d i m a g e r e s t o r a -

t i o n .



B i b l i o g r a p h y

1 ] R . A c a r , C . R . V o g e l A n a l y s i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n p e n a l t y m e t h o d s f o r i l l -

p o s e d p r o b l e m s , I n v e r s e P r o b l e m s , V o l . 1 0 , 1 2 1 7 { 1 2 2 9 , 1 9 9 4 .

2 ] A . A c k a h { M i e z a n , A . G a g a l o w i c z , D i s c r e t e m o d e l s f o r e n e r g y - m i n i m i z i n g

s e g m e n t a t i o n , P r o c . F o u r t h I n t . C o n f . o n C o m p u t e r V i s i o n ( I C C V ' 9 3 ,

B e r l i n , M a y 1 1 { 1 4 , 1 9 9 3 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s ,

2 0 0 { 2 0 7 , 1 9 9 3 .

3 ] S . T . A c t o n , A . C . B o v i k , M . M . C r a w f o r d , A n i s o t r o p i c d i u s i o n p y r a m i d s f o r

i m a g e s e g m e n t a t i o n , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P {

9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s ,

V o l . 3 , 4 7 8 { 4 8 2 , 1 9 9 4 .

4 ] S . T . A c t o n , M . M . C r a w f o r d , A m e a n e l d s o l u t i o n t o a n i s o t r o p i c e d g e d e t e c -

t i o n o f r e m o t e l y s e n s e d d a t a , P r o c . 1 2 t h I n t . G e o s c i e n c e a n d R e m o t e S e n s -

i n g S y m p o s i u m ( I G A R S S ' 9 2 , H o u s t o n , M a y 2 6 { 2 9 , 1 9 9 2 ) , V o l . 2 , 8 4 5 { 8 4 7 ,

1 9 9 2 .

5 ] R . A . A d a m s , S o b o l e v s p a c e s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 5 .

6 ] D . A d a l s t e i n s s o n , J . A . S e t h i a n , A f a s t l e v e l s e t m e t h o d f o r p r o p a g a t i n g i n -

t e r f a c e s , J . C o m p u t . P h y s . , V o l . 1 1 8 , 2 6 9 { 2 7 7 , 1 9 9 5 .

7 ] H . W . A l t , L i n e a r e F u n k t i o n a l a n a l y s i s , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 2 .

8 ] L . A l v a r e z , F . G u i c h a r d , P . - L . L i o n s , J . - M . M o r e l , A x i o m e s e t e q u a t i o n s

f o n d a m e n t a l e s d u t r a i t e m e n t d ' i m a g e s . ( A n a l y s e m u l t i e c h e l l e e t E . D . P . ) ,

C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 5 , S e r i e I , 1 3 5 { 1 3 8 , 1 9 9 2 .

9 ] L . A l v a r e z , F . G u i c h a r d , P . - L . L i o n s , J . - M . M o r e l , A x i o m a t i s a t i o n e t n o u -

v e a u x o p e r a t e u r s d e l a m o r p h o l o g i e m a t h e m a t i q u e , C . R . A c a d . S c i . P a r i s ,

t . 3 1 5 , S e r i e I , 2 6 5 { 2 6 8 , 1 9 9 2 .

1 0 ] L . A l v a r e z , F . G u i c h a r d , P . - L . L i o n s , J . - M . M o r e l ,

E q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s

d e l ' a n a l y s e m u l t i e c h e l l e d e s l m s , C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 5 , S e r i e I ,

1 1 4 5 { 1 1 4 8 , 1 9 9 2 .

1 1 7



1 1 8 B I B L I O G R A P H Y

1 1 ] L . A l v a r e z , F . G u i c h a r d , P . - L . L i o n s , J . - M . M o r e l , A x i o m s a n d f u n d a m e n t a l

e q u a t i o n s i n i m a g e p r o c e s s i n g , A r c h . R a t i o n a l M e c h . A n a l . , V o l . 1 2 3 , 1 9 9 {

2 5 7 , 1 9 9 3 .

1 2 ] L . A l v a r e z , P . - L . L i o n s , J . - M . M o r e l , I m a g e s e l e c t i v e s m o o t h i n g a n d e d g e

d e t e c t i o n b y n o n l i n e a r d i u s i o n . I I , S I A M J . N u m e r . A n a l . , V o l . 2 9 , 8 4 5 {

8 6 6 , 1 9 9 2 .

1 3 ] L . A l v a r e z , L . M a z o r r a , S i g n a l a n d i m a g e r e s t o r a t i o n u s i n g s h o c k l t e r s a n d

a n i s o t r o p i c d i u s i o n , S I A M J . N u m e r . A n a l . , V o l . 3 1 , 5 9 0 { 6 0 5 , 1 9 9 4 .

1 4 ] L . A l v a r e z , F . M o r a l e s , A n e m o r p h o l o g i c a l m u l t i s c a l e a n a l y s i s o f c o r n e r s

a n d m u l t i p l e j u n c t i o n s , R e p o r t N o . 9 4 0 2 , D e p a r t a m e n t o d e I n f o r m a t i c a

y S i s t e m a s , U n i v e r s i d a d d e L a s P a l m a s , C a m p u s U n i v e r s i t a r i o d e T a r a ,

3 5 0 1 7 L a s P a l m a s , S p a i n , 1 9 9 4 ; t o a p p e a r i n I n t . J . C o m p u t . V i s i o n .

1 5 ] L . A l v a r e z , J . - M . M o r e l , F o r m a l i z a t i o n a n d c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s o f i m a g e

a n a l y s i s , A c t a N u m e r i c a , 1 { 5 9 , 1 9 9 4 .

1 6 ] L . A l v a r e z , J . - M . M o r e l , M o r p h o l o g i c a l a p p r o a c h t o m u l t i s c a l e a n a l y s i s :

F r o m p r i n c i p l e s t o e q u a t i o n s , B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y -

d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t , 2 2 9 { 2 5 4 , 1 9 9 4 .

1 7 ] L . A m b r o s i o , A c o m p a c t n e s s t h e o r e m f o r a s p e c i a l c l a s s o f f u n c t i o n s o f

b o u n d e d v a r i a t i o n s , B o l l . U n . M a t h . I t a l . , V o l . 3 - B , 8 5 7 { 8 8 1 , 1 9 9 0 .

1 8 ] L . A m b r o s i o , V . T o r t o r e l l i , O n t h e a p p r o x i m a t i o n o f f u n c t i o n a l s d e p e n d i n g

o n j u m p s b y e l l i p t i c f u n c t i o n a l s , C o m m . P u r e A p p l . M a t h . , V o l . 4 3 , 9 9 9 {

1 0 3 6 , 1 9 9 0 .

1 9 ] L . A m b r o s i o , V . T o r t o r e l l i , A p p r o x i m a t i o n o f f u n c t i o n a l s d e p e n d i n g o n

j u m p s b y e l l i p t i c f u n c t i o n a l s v i a ? - c o n v e r g e n c e , B o l l . U n . M a t h . I t a l . , V o l .

7 , 1 0 5 { 1 2 3 , 1 9 9 2 .

2 0 ] S . A n g e n e n t , P a r a b o l i c e q u a t i o n s o n c u r v e s a n d s u r f a c e s . P a r t I . C u r v e s

w i t h p - i n t e g r a b l e c u r v a t u r e , A n n a l s o f M a t h e m a t i c s , V o l . 1 3 2 , 4 5 1 { 4 8 3 ,

1 9 9 0 .

2 1 ] S . A n g e n e n t , P a r a b o l i c e q u a t i o n s o n c u r v e s a n d s u r f a c e s . P a r t I I . I n t e r s e c -

t i o n s , b l o w u p , a n d g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s , A n n a l s o f M a t h e m a t i c s , V o l . 1 3 3 ,

1 7 1 { 2 1 5 , 1 9 9 1 .

2 2 ] A . B . A r e h a r t , L . V i n c e n t , B . B . K i m i a , M a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y : T h e

H a m i l t o n { J a c o b i c o n n e c t i o n , P r o c . F o u r t h I n t . C o n f . o n C o m p u t e r V i s i o n



B I B L I O G R A P H Y 1 1 9

( I C C V ' 9 3 , B e r l i n , M a y 1 1 { 1 4 , 1 9 9 3 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s

A l a m i t o s , 2 1 5 { 2 1 9 , 1 9 9 3 .

2 3 ] I . B a j l a , M . M a r u s i a k , M .

S r a m e k , A n i s o t r o p i c l t e r i n g o f M R I d a t a b a s e d

u p o n i m a g e g r a d i e n t h i s t o g r a m , D . C h e t v e r i k o v , W . G . K r o p a t s c h ( E d s . ) ,

C o m p u t e r a n a l y s i s o f i m a g e s a n d p a t t e r n s , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e ,

V o l . 7 1 9 , S p r i n g e r , B e r l i n , 9 0 { 9 7 , 1 9 9 3 .

2 4 ] J . B a b a u d , A . P . W i t k i n , M . B a u d i n , R . O . D u d a , U n i q u e n e s s o f t h e G a u s -

s i a n k e r n e l f o r s c a l e s p a c e l t e r i n g , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n -

t e l l . , V o l . 8 , 2 6 { 3 3 , 1 9 8 6 .

2 5 ] C . B a l l e s t e r N i c o l a u , A n a n e i n v a r i a n t m o d e l f o r i m a g e s e g m e n t a t i o n :

M a t h e m a t i c a l a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s , P h . D . t h e s i s , U n i v e r s i t y o f I l l e s

B a l e a r e s , P a l m a d e M a l l o r c a , S p a i n , 1 9 9 5 .

2 6 ] C . B a l l e s t e r , V . C a s e l l e s , M . G o n z a l e z , A n e i n v a r i a n t s e g m e n t a t i o n b y

v a r i a t i o n a l m e t h o d , T e c h n i c a l R e p o r t , D e p t . o f M a t h . a n d C o m p . S c i e n c e ,

U n i v . o f I l l e s B a l e a r e s , 0 7 0 7 1 P a l m a d e M a l l o r c a , S p a i n , 1 9 9 4 ; t o a p p e a r i n

S I A M J . A p p l . M a t h .

2 7 ] G . I . B a r e n b l a t t , M . B e r t s c h , R . D a l P a s s o , M . U g h i , A d e g e n e r a t e p s e u -

d o p a r a b o l i c r e g u l a r i z a t i o n o f a n o n l i n e a r f o r w a r d { b a c k w a r d h e a t e q u a t i o n

a r i s i n g i n t h e t h e o r y o f h e a t a n d m a s s e x c h a n g e i n s t a b l y s t r a t i e d t u r b u -

l e n t s h e a r o w , S I A M J . M a t h . A n a l . , V o l . 2 4 , 1 4 1 4 { 1 4 3 9 , 1 9 9 3 .

2 8 ] B . B e n h a m o u d a , P a r a m e t e r a d a p t a t i o n f o r n o n l i n e a r d i u s i o n i n i m a g e

p r o c e s s i n g , m a s t e r t h e s i s , D e p t . o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f K a i s e r s -

l a u t e r n , P . O . B o x 3 0 4 9 , 6 7 6 5 3 K a i s e r s l a u t e r n , G e r m a n y , 1 9 9 4 .

2 9 ] F . B e r g h o l m , E d g e f o c u s i n g , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l .

9 , 7 2 6 { 7 4 1 , 1 9 8 7 .

3 0 ] J . B i g u n , G . H . G r a n l u n d , O p t i m a l o r i e n t a t i o n d e t e c t i o n o f l i n e a r s y m m e t r y ,

P r o c . F i r s t I n t . C o n f . o n C o m p u t e r V i s i o n ( I C C V ' 8 7 , L o n d o n , J u n e 8 { 1 1 ,

1 9 8 7 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , W a s h i n g t o n , 4 3 3 { 4 3 8 , 1 9 8 7 .

3 1 ] J . B i g u n , G . H . G r a n l u n d , J . W i k l u n d , M u l t i d i m e n s i o n a l o r i e n t a t i o n e s t i -

m a t i o n w i t h a p p l i c a t i o n s t o t e x t u r e a n a l y s i s a n d o p t i c a l o w , I E E E T r a n s .

P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 3 , 7 7 5 { 7 9 0 , 1 9 9 1 .

3 2 ] A . B l a k e , A . Z i s s e r m a n , V i s u a l r e c o n s t r u c t i o n , M I T P r e s s , C a m b r i d g e

( M a s s . ) , 1 9 8 7 .




3 3 ] W . B l a s c h k e , V o r l e s u n g e n u b e r D i e r e n t i a l g e o m e t r i e I I , S p r i n g e r , B e r l i n ,

1 9 2 3 .

3 4 ] R . v a n d e n B o o m g a a r d , M a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y : E x t e n s i o n s t o w a r d s c o m -

p u t e r v i s i o n , P h . D . t h e s i s , U n i v e r s i t y o f A m s t e r d a m , 1 9 9 2 .

3 5 ] R . v a n d e n B o o m g a a r d , A . W . M . S m e u l d e r s , T o w a r d s a m o r p h o l o g i c a l s c a l e -

s p a c e t h e o r y , Y . L . O , A . T o e t , D . F o s t e r , H . J . A . M . H e i j m a n s , P . M e e r

( E d s . ) , S h a p e i n p i c t u r e , S p r i n g e r , 6 3 1 { 6 4 0 , 1 9 9 4 .

3 6 ] R . v a n d e n B o o m g a a r d , A . S m e u l d e r s , T h e m o r p h o l o g i c a l s t r u c t u r e o f i m -

a g e s : T h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e , I E E E T r a n s .

P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 6 , 1 1 0 1 { 1 1 1 3 , 1 9 9 4 .

3 7 ] A . B o n n e t , O n t h e M u m f o r d { S h a h f u n c t i o n a l f o r i m a g e s e g m e n t a t i o n , o r a l

p r e s e n t a t i o n , T h i r d I n t . C o n g r e s s o n I n d u s t r i a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s

( I C I A M ' 9 5 , H a m b u r g , J u l y 3 { 7 , 1 9 9 5 ) .

3 8 ] J . H . B r a m b l e , B . E . H u b b a r d , N e w m o n o t o n e t y p e a p p r o x i m a t i o n s f o r e l l i p -

t i c p r o b l e m s , M a t h . C o m p . , V o l . 1 8 , 3 4 9 { 3 6 7 , 1 9 6 4 .

3 9 ] H . B r e z i s , O p e r a t e u r s m a x i m a u x m o n o t o n e s e t s e m i - g r o u p e s d e c o n t r a c t i o n s

d a n s l e s e s p a c e s d e H i l b e r t , N o r t h H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 7 3 .

4 0 ] H . B r e z i s , A n a l y s e f o n c t i o n e l l e , M a s s o n , P a r i s , 1 9 9 2 .

4 1 ] R . W . B r o c k e t t , P . M a r a g o s , E v o l u t i o n e q u a t i o n s f o r c o n t i n u o u s - s c a l e m o r -

p h o l o g y , P r o c . I E E E I n t . C o n f . A c o u s t i c s , S p e e c h a n d S i g n a l P r o c e s s i n g

( I C A S S P { 9 2 , S a n F r a n c i s c o , M a r c h 2 3 { 2 6 , 1 9 9 2 ) , V o l . 3 , 1 2 5 { 1 2 8 , 1 9 9 2 .

4 2 ] R . W . B r o c k e t t , P . M a r a g o s , E v o l u t i o n e q u a t i o n s f o r c o n t i n u o u s - s c a l e m o r -

p h o l o g i c a l l t e r i n g , I E E E T r a n s . S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 4 2 , 3 3 7 7 { 3 3 8 6 ,

1 9 9 4 .

4 3 ] A . M . B r u c k s t e i n , A n a l y z i n g a n d s y n t h e s i z i n g i m a g e s b y e v o l v i n g c u r v e s ,

P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 {

1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 1 1 { 1 5 , 1 9 9 4 .

4 4 ] A . M . B r u c k s t e i n , G . S a p i r o , D . S h a k e d , E v o l u t i o n o f p l a n a r p o l y g o n s , C I S

R e p o r t N o . 9 2 0 2 ( 2 n d r e v i s i o n ) , C o m p u t e r S c i e n c e D e p t . , T e c h n i o n , H a i f a

3 2 0 0 0 , I s r a e l , 1 9 9 3 .

4 5 ] A . M . B r u c k s t e i n , D . S h a k e d , O n p r o j e c t i v e i n v a r i a n t s m o o t h i n g a n d e v o l u -

t i o n o f p l a n a r c u r v e s a n d p o l y g o n s , C I S R e p o r t N o . 9 3 2 8 , C o m p u t e r S c i e n c e

D e p t . , T e c h n i o n , H a i f a 3 2 0 0 0 , I s r a e l , 1 9 9 3 .




4 6 ] B . B u c k , V . M a c a u l a y ( E d s . ) , M a x i m u m e n t r o p y i n a c t i o n , C l a r e n d o n , O x -

f o r d , 1 9 9 1 .

4 7 ] P . J . B u r t , E . H . A d e l s o n , T h e L a p l a c i a n p y r a m i d a s a c o m p a c t i m a g e c o d e ,

I E E E T r a n s . C o m m . , V o l . 3 1 , 5 3 2 { 5 4 0 , 1 9 8 3 .

4 8 ] L . D . C a i , S o m e n o t e s o n r e p e a t e d a v e r a g i n g s m o o t h i n g , J . K i t t l e r ( E d . ) ,

P a t t e r n r e c o g n i t i o n , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 3 0 1 , S p r i n g e r ,

B e r l i n , 5 9 7 { 6 0 5 , 1 9 8 8 .

4 9 ] L . D . C a i , A \ s m a l l l e a k a g e " m o d e l f o r d i u s i o n s m o o t h i n g o f i m a g e d a t a ,

P r o c . 1 1 t h I n t . J o i n t C o n f . o n A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e ( I J C A I ' 8 9 , D e t r o i t ,

A u g . 2 0 { 2 5 , 1 9 8 9 ) , V o l . 2 , 1 5 8 5 { 1 5 9 0 , 1 9 8 9 .

5 0 ] M . P . d o C a r m o , D i e r e n t i a l g e o m e t r i e v o n K u r v e n u n d F l a c h e n , V i e w e g ,

B r a u n s c h w e i g , 1 9 8 3 .

5 1 ] J . C a n n y , A c o m p u t a t i o n a l a p p r o a c h t o e d g e d e t e c t i o n , I E E E T r a n s . P a t t e r n

A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 8 , 6 7 9 { 6 9 8 , 1 9 8 6 .

5 2 ] V . C a s e l l e s , F . C a t t e , T . C o l l , F . D i b o s , A g e o m e t r i c m o d e l f o r a c t i v e c o n -

t o u r s i n i m a g e p r o c e s s i n g , N u m e r . M a t h . , V o l . 6 6 , 1 { 3 1 , 1 9 9 3 .

5 3 ] V . C a s e l l e s , B . C o l l , S n a k e s i n m o v e m e n t , T e c h n i c a l R e p o r t , D e p t . o f M a t h .

a n d C o m p . S c i e n c e , U n i v . o f I l l e s B a l e a r e s , 0 7 0 7 1 P a l m a d e M a l l o r c a , S p a i n ,

1 9 9 3 .

5 4 ] V . C a s e l l e s , C . S b e r t , W h a t i s t h e b e s t c a u s a l s c a l e - s p a c e f o r 3 - D i m -

a g e s ? , T e c h n i c a l R e p o r t , D e p t . o f M a t h . a n d C o m p . S c i e n c e , U n i v . o f I l l e s

B a l e a r e s , 0 7 0 7 1 P a l m a d e M a l l o r c a , S p a i n , 1 9 9 4 ; s u b m i t t e d t o S I A M J .

A p p l . M a t h .

5 5 ] V . C a s e l l e s , R . K i m m e l , G . S a p i r o , G e o d e s i c s n a k e s , T e c h n i c a l R e p o r t ,

D e p t . o f M a t h . a n d C o m p . S c i e n c e , U n i v . o f I l l e s B a l e a r e s , 0 7 0 7 1 P a l m a d e

M a l l o r c a , S p a i n , 1 9 9 4 .

5 6 ] F . C a t t e , C o n v e r g e n c e o f i t e r a t e d a n e a n d m o r p h o l o g i c a l l t e r s b y n o n l i n -

e a r s e m i - g r o u p t h e o r y , P r e p r i n t N o . 9 5 2 8 , C E R E M A D E , U n i v e r s i t e P a r i s

I X { D a u p h i n e , P l a c e d u M a r e c h a l d e L a t t r e d e T a s s i g n y , 7 5 7 7 5 P a r i s C e d e x

1 6 , F r a n c e , 1 9 9 5 .

5 7 ] F . C a t t e , F . D i b o s , G . K o e p e r , A m o r p h o l o g i c a l s c h e m e f o r m e a n c u r v a t u r e

m o t i o n a n d a p p l i c a t i o n s t o a n i s o t r o p i c d i u s i o n a n d m o t i o n o f l e v e l s e t s ,

P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 {

1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 2 6 { 3 0 , 1 9 9 4 .




5 8 ] F . C a t t e , P . - L . L i o n s , J . - M . M o r e l , T . C o l l , I m a g e s e l e c t i v e s m o o t h i n g a n d

e d g e d e t e c t i o n b y n o n l i n e a r d i u s i o n , S I A M J . N u m e r . A n a l . , V o l . 2 9 , 1 8 2 {

1 9 3 , 1 9 9 2 .

5 9 ] A . C h a m b o l l e , P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i m a g e p r o c e s s i n g , P r o c .

F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 { 1 6 ,

1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 1 6 { 2 0 , 1 9 9 4 .

6 0 ] R . H . C h a n , T . F . C h a n , C . K . W o n g , C o s i n e t r a n s f o r m b a s e d p r e c o n d i t i o n e r s

f o r t o t a l v a r i a t i o n m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s i n i m a g e p r o c e s s i n g , C A M R e p o r t

9 5 - 2 3 , D e p t . o f M a t h e m a t i c s , U n i v . o f C a l i f o r m i a , L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 2 4 ,

U . S . A . , 1 9 9 5 .

6 1 ] T . F . C h a n , H . M . Z h o u , R . H . C h a n , C o n t i n u a t i o n m e t h o d f o r t o t a l v a r i a t i o n

m i n i m i z i n g p r o b l e m s i n i m a g e p r o c e s s i n g , C A M R e p o r t 9 5 - 1 8 , D e p t . o f

M a t h e m a t i c s , U n i v . o f C a l i f o r m i a , L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 2 4 , U . S . A , 1 9 9 5 ; t o

a p p e a r i n A d v a n c e d S i g n a l P r o c e s s i n g A l g o r i t h m s , S P I E V o l . 2 5 6 3 , 1 9 9 5 .

6 2 ] Y . - G . C h e n , Y . G i g a , S . G o t o , U n i q u e n e s s a n d e x i s t e n c e o f v i s c o s i t y s o l u -

t i o n s o f g e n e r a l i z e d m e a n c u r v a t u r e o w e q u a t i o n s , J . D i e r e n t i a l G e o m e t r y ,

V o l . 3 3 , 7 4 9 { 7 8 6 , 1 9 9 1 .

6 3 ] M . A . C o h e n , S . G r o s s b e r g , N e u r a l d y n a m i c s o f b r i g h t n e s s p e r c e p t i o n : F e a -

t u r e s , b o u n d a r i e s , d i u s i o n a n d r e s o n a n c e , P e r c e p t i o n a n d P s y c h o p h y s i c s ,

V o l . 3 6 , 4 2 8 { 4 5 6 , 1 9 8 4 .

6 4 ] T . C o h i g n a c , F . E v e , F . G u i c h a r d , C . L o p e z , J . - M . M o r e l , N u m e r i c a l a n a -

l y s i s o f t h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n o f i m a g e p r o c e s s i n g , P r e p r i n t N o . 9 2 5 4 ,

C E R E M A D E , U n i v e r s i t e P a r i s I X { D a u p h i n e , P l a c e d u M a r e c h a l d e L a t -

t r e d e T a s s i g n y , 7 5 7 7 5 P a r i s C e d e x 1 6 , F r a n c e , 1 9 9 2 ; t o a p p e a r i n I n t . J .

C o m p u t . V i s i o n .

6 5 ] G . - H . C o t t e t , D i u s i o n a p p r o x i m a t i o n o n n e u r a l n e t w o r k s a n d a p p l i c a t i o n s

f o r i m a g e p r o c e s s i n g , F . H o d n e t t ( E d . ) , P r o c . S i x t h E u r o p e a n C o n f . o n

M a t h e m a t i c s i n I n d u s t r y , T e u b n e r , S t u t t g a r t , 3 { 9 , 1 9 9 2 .

6 6 ] G . - H . C o t t e t , L . G e r m a i n , I m a g e p r o c e s s i n g t h r o u g h r e a c t i o n c o m b i n e d w i t h

n o n l i n e a r d i u s i o n , M a t h . C o m p . , V o l . 6 1 , 6 5 9 { 6 7 3 , 1 9 9 3 .

6 7 ] G . - H . C o t t e t , N e u r a l n e t w o r k s : C o n t i n u o u s a p p r o a c h a n d a p p l i c a t i o n s t o

i m a g e p r o c e s s i n g , T e c h n i c a l R e p o r t N o . 1 1 3 , L M C { I M A G , U n i v e r s i t e

J o s e p h F o u r i e r , B . P . 5 3 , 3 8 0 4 1 G r e n o b l e C e d e x 9 , F r a n c e , 1 9 9 4 ; s u b m i t -

t e d t o P r o c . 2 n d E u r o p . C o n f . o n M a t h e m a t i c s A p p l i e d t o B i o l o g y a n d

M e d i c i n e ( L y o n , D e c . 1 5 { 1 8 , 1 9 9 3 ) .




6 8 ] M . G . C r a n d a l l , I . I s h i i , P . - L . L i o n s , U s e r ' s g u i d e t o v i s c o s i t y s o l u t i o n s o f

s e c o n d o r d e r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , B u l l . A m . M a t h . S o c . , V o l . 2 7 ,

1 { 6 7 , 1 9 9 2 .

6 9 ] J . D a m o n , L o c a l M o r s e t h e o r y f o r s o l u t i o n s t o t h e h e a t e q u a t i o n a n d G a u s -

s i a n b l u r r i n g , J . D i e r e n t i a l E q u a t i o n s , V o l . 1 1 5 , 3 6 8 { 4 0 1 , 1 9 9 5 .

7 0 ] E . D e G i o r g i , M . C a r r i e r o , A . L a e c i , E x i s t e n c e t h e o r e m f o r a m i n i m u m

p r o b l e m w i t h a f r e e d i s c o n t i n u i t y s e t , A r c h . R a t . M e c h . A n a l . , V o l . 1 0 8 ,

1 9 5 { 2 1 8 , 1 9 8 9 .

7 1 ] D . D e t t w i l e r , S t a b i l e B i l d g l a t t u n g u n d E x t r a k t i o n v o n S t r u k t u r p r i m i t i v e n

m i t t e l s n i c h t l i n e a r e r D i u s i o n , S e m e s t e r a r b e i t , C o m m u n i c a t i o n T e c h n o l -

o g y L a b o r a t o r y , I m a g e S c i e n c e D i v i s i o n , E T H { Z e n t r u m , C H { 8 0 9 2 Z u r i c h ,

S w i t z e r l a n d , 1 9 9 3 .

7 2 ] F . D i b o s , A n a l y s e m u l t i e c h e l l e i n v a r i a n t e p a r t r a n s f o r m a t i o n s p r o j e c t i v e s ,

C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 2 0 , S e r i e I , 9 1 7 { 9 2 1 , 1 9 9 5 .

7 3 ] D . C . D o b s o n , F . S a n t o s a , A n i m a g e e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e f o r e l e c t r i c a l

i m p e d a n c e t o m o g r a p h y , I n v e r s e P r o b l e m s , V o l . 1 0 , 3 1 7 { 3 3 4 , 1 9 9 4 .

7 4 ] D . C . D o b s o n , F . S a n t o s a , R e c o v e r y o f b l o c k y i m a g e s f r o m n o i s y a n d b l u r r e d

d a t a , T e c h n i c a l R e p o r t , D e p t . o f M a t h e m a t i c s , T e x a s A & M U n i v e r s i t y , C o l -

l e g e S t a t i o n , T X 7 7 8 4 3 { 3 3 6 8 , U . S . A . ; t o a p p e a r i n S I A M J . A p p l . M a t h .

7 5 ] D . C . D o b s o n , C . R . V o g e l , C o n v e r g e n c e o f a n i t e r a t i v e m e t h o d f o r t o t a l v a r i -

a t i o n d e n o i s i n g , P r e p r i n t , D e p t . o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , M o n t a n a S t a t e

U n i v e r s i t y , B o z e m a n , M T 5 9 7 1 7 - 0 2 4 0 , U . S . A . , 1 9 9 5 ; s u b m i t t e d t o S I A M J .

N u m e r . A n a l .

7 6 ] J . D o u g l a s , J . E . G u n n , A g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n

m e t h o d s . P a r t I . P a r a b o l i c a n d h y p e r b o l i c p r o b l e m s , N u m e r . M a t h . , V o l .

6 , 4 2 8 { 4 5 3 , 1 9 6 4 .

7 7 ] J . D o u g l a s , B . F . J o n e s , O n p r e d i c t o r { c o r r e c t o r m e t h o d s f o r n o n - l i n e a r

p a r a b o l i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , J . S o c . I n d . A p p l . M a t h . , V o l . 1 1 , 1 9 5 { 2 0 4 ,

1 9 6 3 .

7 8 ] S . K . D z h u M a g a z i e v a , N u m e r i c a l s t u d y o f a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n ,

U . S . S . R . C o m p u t . M a t h s . M a t h . P h y s . , V o l . 2 3 , N o . 4 , 4 5 { 4 9 , 1 9 8 3 .

7 9 ] D . E b e r l y , A d i e r e n t i a l g e o m e t r i c a p p r o a c h t o a n i s o t r o p i c d i u s i o n , B . M .

t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n ,

K l u w e r , D o r d r e c h t , 3 7 1 { 3 9 1 , 1 9 9 4 .




8 0 ] S . E i d e l m a n , W . G r o s s m a n n , A . F r i e d m a n , N o n l i n e a r s i g n a l p r o c e s s i n g u s -

i n g i n t e g r a t i o n o f u i d d y n a m i c s e q u a t i o n s , A . G . T e s c h e r ( E d . ) : A p p l i c a -

t i o n s o f d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g X I V , S P I E V o l . 1 5 6 7 , 4 3 9 { 4 5 0 , 1 9 9 1 .

8 1 ] A . I . E l - F a l l a h , G . E . F o r d , N o n l i n e a r a d a p t i v e i m a g e l t e r i n g b a s e d o n i n h o -

m o g e n e o u s d i u s i o n a n d d i e r e n t i a l g e o m e t r y , S . A . R a j a l a , R . L . S t e v e n s o n

( E d s . ) , I m a g e a n d v i d e o p r o c e s s i n g I I , S P I E V o l . 2 1 8 2 , 4 9 { 6 3 , 1 9 9 4 .

8 2 ] A . I . E l - F a l l a h , G . E . F o r d , T h e e v o l u t i o n o f m e a n c u r v a t u r e i n i m a g e l t e r -

i n g , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n , N o v .

1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 2 9 8 { 3 0 2 ,

1 9 9 4 .

8 3 ] L . C . E v a n s , J . S p r u c k , M o t i o n o f l e v e l s e t s b y m e a n c u r v a t u r e I . , J . D i e r -

e n t i a l G e o m e t r y , V o l . 3 3 , 6 3 5 { 6 8 1 , 1 9 9 1 .

8 4 ] O . F a u g e r a s , S u r l ' e v o l u t i o n d e c o u r b e s s i m p l e s d u p l a n p r o j e c t i f r e e l , C . R .

A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 7 , S e r i e I , 5 6 5 { 5 7 0 , 1 9 9 3 .

8 5 ] O . F a u g e r a s , C a r t a n ' s m o v i n g f r a m e m e t h o d a n d i t s a p p l i c a t i o n t o t h e g e o -

m e t r y a n d e v o l u t i o n o f c u r v e s i n t h e E u c l i d e a n , a n e a n d p r o j e c t i v e p l a n e s ,

J . L . M u n d y , A . Z i s s e r m a n , D . F o r s y t h ( E d s . ) , A p p l i c a t i o n s o f i n v a r i a n c e i n

c o m p u t e r v i s i o n , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 8 2 5 , S p r i n g e r , B e r l i n ,

1 1 { 4 6 , 1 9 9 4 .

8 6 ] O . F a u g e r a s , R . K e r i v e n , S c a l e - s p a c e s a n d a n e c u r v a t u r e , W . C h e n k e ,

R . M o h r ( E d s . ) , P r o c . W o r k s h o p o n G e o m e t r i c a l M o d e l l i n g a n d I n v a r i a n t s

f o r C o m p u t e r V i s i o n ( X i ' a n , A p r i l 2 7 { 3 0 , 1 9 9 5 ) , X i d i a n U n i v e r s i t y P r e s s ,

X i ' a n , 1 9 9 5 .

8 7 ] P . F i d d e l a e r s , E . J . P a u w e l s , L . J . V a n G o o l , G e o m e t r y - d r i v e n c u r v e e v o l u -

t i o n , J . - O . E k l u n d h ( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n { E C C V ' 9 4 , L e c t u r e N o t e s i n

C o m p . S c i e n c e , V o l . 8 0 0 , S p r i n g e r , B e r l i n , 4 2 7 { 4 3 2 , 1 9 9 4 .

8 8 ] L . M . J . F l o r a c k , T h e s y n t a c t i c a l s t r u c t u r e o f s c a l a r i m a g e s , P h . D . t h e s i s ,

U t r e c h t U n i v e r s i t y , T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 3 .

8 9 ] L . M . J . F l o r a c k , B . M . t e r H a a r R o m e n y , J . J . K o e n d e r i n k , M . A . V i e r g e v e r ,

L i n e a r s c a l e - s p a c e , J . M a t h . I m a g . V i s i o n , V o l . 4 , 3 2 5 { 3 5 1 , 1 9 9 4 .

9 0 ] L . M . J . F l o r a c k , A . H . S a l d e n , B . M . t e r H a a r R o m e n y , J . J . K o e n d e r i n k , M . A .

V i e r g e v e r , N o n l i n e a r s c a l e - s p a c e , B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y -





9 1 ] F . J . F r i t z , B . H u p p e r t , W . W i l l e m s , S t o c h a s t i s c h e M a t r i z e n , S p r i n g e r ,

B e r l i n , 1 9 7 9 .

9 2 ] J . F r o h l i c h , J . W e i c k e r t , I m a g e p r o c e s s i n g u s i n g a w a v e l e t a l g o r i t h m f o r

n o n l i n e a r d i u s i o n , R e p o r t N o . 1 0 4 , L a b o r a t o r y o f T e c h n o m a t h e m a t i c s ,

U n i v e r s i t y o f K a i s e r s l a u t e r n , P . O . B o x 3 0 4 9 , 6 7 6 5 3 K a i s e r s l a u t e r n , G e r -

m a n y , 1 9 9 4 .

9 3 ] D . G a b o r , I n f o r m a t i o n t h e o r y i n e l e c t r o n m i c r o s c o p y , L a b o r a t o r y I n v e s t i -

g a t i o n , V o l . 1 4 , 8 0 1 { 8 0 7 , 1 9 6 5 .

9 4 ] M . G a g e , O n a r e a - p r e s e r v i n g e v o l u t i o n e q u a t i o n f o r p l a n e c u r v e s , C o n t e m p .

M a t h . , V o l . 2 3 , 5 1 { 6 2 , 1 9 8 6 .

9 5 ] M . G a g e , R . S . H a m i l t o n , T h e h e a t e q u a t i o n s h r i n k i n g c o n v e x p l a n e c u r v e s ,

J . D i e r e n t i a l G e o m e t r y , V o l . 2 3 , 6 9 { 9 6 , 1 9 8 6 .

9 6 ] D . G e i g e r , A . Y u i l l e , A c o m m o n f r a m e w o r k f o r i m a g e s e g m e n t a t i o n , I n t . J .

C o m p u t . V i s i o n , V o l . 6 , 2 2 7 { 2 4 3 , 1 9 9 1 .

9 7 ] D . G e m a n , G . R e y n o l d s , C o n s t r a i n e d r e s t o r a t i o n a n d t h e r e c o v e r y o f d i s -

c o n t i n u i t i e s , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 4 , 3 6 7 { 3 8 3 ,

1 9 9 2 .

9 8 ] S . G e m a n , D . G e m a n , S t o c h a s t i c r e l a x a t i o n , G i b b s d i s t r i b u t i o n s , a n d t h e

B a y e s i a n r e s t o r a t i o n o f i m a g e s , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . ,

V o l . 6 , 7 2 1 { 7 4 1 , 1 9 8 4 .

9 9 ] G . G e r i g , O . K u b l e r , R . K i k i n i s , F . A . J o l e s z , N o n l i n e a r a n i s o t r o p i c l t e r i n g

o f M R I d a t a , I E E E T r a n s . M e d i c a l I m a g i n g , V o l . 1 1 , 2 2 1 { 2 3 2 , 1 9 9 2 .

1 0 0 ] G . G e r i g , G . S z e k e l y , G . I s r a e l , M . B e r g e r , D e t e c t i o n a n d c h a r a c t e r i z a t i o n

o f u n s h a r p b l o b s b y c u r v e e v o l u t i o n , Y . B i z a i s e t a l . ( E d s . ) , I n f o r m a t i o n

p r o c e s s i n g i n m e d i c a l i m a g i n g ( I P M I ' 9 5 ) , S e r i e s o n C o m p u t a t i o n a l I m a g i n g

a n d V i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t , 1 6 5 { 1 7 6 , 1 9 9 5 .

1 0 1 ] D . G i u i l i a n i , D i r e c t e d d i u s i o n e q u a t i o n s a n d e d g e d e t e c t i o n , m a s t e r t h e s i s ,

D e p t . o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f K a i s e r s l a u t e r n , P . O . B o x 3 0 4 9 , 6 7 6 5 3

K a i s e r s l a u t e r n , G e r m a n y , 1 9 9 1 .

1 0 2 ] V . v a n G o g h , S t a r r y n i g h t , S a i n t - R e m y , 1 8 8 9 . N e w Y o r k , T h e M u s e u m o f

M o d e r n A r t .

1 0 3 ] V . v a n G o g h , S e l f p o r t r a i t , S a i n t - R e m y , 1 8 8 9 . P a r i s , M u s e e d ' O r s a y .




1 0 4 ] V . v a n G o g h , L a n e u n d e r c y p r e s s e s b e l o w t h e s t a r r y s k y , A u v e r s - s u r - O i s e ,

1 8 9 0 . O t t e r l o , R i j k s m u s e u m K r o l l e r { M u l l e r .

1 0 5 ] R . C . G o n z a l e z , P . W i n t z , D i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g , A d d i s o n { W e s l e y , R e a d -

i n g , 1 9 8 7 .

1 0 6 ] R . G o r e n o , D i e r e n z e n s c h e m a t a m o n o t o n e r A r t f u r l i n e a r e p a r a b o l i s c h e

R a n d w e r t a u f g a b e n , Z A M M , V o l . 5 1 , 5 9 5 { 6 1 0 , 1 9 7 1 .

1 0 7 ] R . G o r e n o , C o n s e r v a t i v e d i e r e n c e s c h e m e s f o r d i u s i o n p r o b l e m s ,

P r e p r i n t N o . 3 9 , F B M a t h e m a t i k , F U B e r l i n , A r n i m a l l e e 2 { 6 , W - 1 0 0 0

B e r l i n 3 3 , G e r m a n y , 1 9 7 7 .

1 0 8 ] A . R . G o u r l a y , I m p l i c i t c o n v o l u t i o n , I m a g e V i s i o n C o m p u t . , V o l . 3 , 1 5 { 2 3 ,

1 9 8 5 .

1 0 9 ] R . G r a h a m , S n o w r e m o v a l : A n o i s e - s t r i p p i n g p r o c e s s f o r T V s i g n a l s , I R E

T r a n s . I n f o r m a t i o n T h e o r y , V o l . 8 , 1 2 9 { 1 4 4 , 1 9 6 2 .

1 1 0 ] M . G r a y s o n , T h e h e a t e q u a t i o n s h r i n k s e m b e d d e d p l a n e c u r v e s t o r o u n d

p o i n t s , J . D i e r e n t i a l G e o m e t r y , V o l . 2 6 , 2 8 5 { 3 1 4 , 1 9 8 7 .

1 1 1 ] D . G r e e n s p a n , P a r t i a l d i e r e n t i a l a p p r o x i m a t i o n s w i t h n o n - n e g a t i v e c o e -

c i e n t s , J . F r a n k l i n I n s t . , V o l . 2 7 5 , 4 8 1 { 4 9 0 , 1 9 6 3 .

1 1 2 ] D . G r e e n s p a n , P . C . J a i n , O n n o n - n e g a t i v e d i e r e n c e a n a l o g u e s o f e l l i p t i c

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , J . F r a n k l i n I n s t . , V o l . 2 7 9 , 3 6 0 { 3 6 5 , 1 9 6 5 .

1 1 3 ] B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i -

s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t , 1 9 9 4 .

1 1 4 ] B . M . t e r H a a r R o m e n y , L . M . J . F l o r a c k , J . J . K o e n d e r i n k , M . A . V i e r g e v e r ,

S c a l e s p a c e : I t s n a t u r a l o p e r a t o r s a n d d i e r e n t i a l i n v a r i a n t s , A . C . F . C o l c h -

e s t e r , D . J . H a w k e s ( E d s . ) , I n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g i n m e d i c a l i m a g i n g , L e c -

t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 5 1 1 , S p r i n g e r , B e r l i n , 2 3 9 { 2 5 5 , 1 9 9 1 .

1 1 5 ] B . M . t e r H a a r R o m e n y , L . M . J . F l o r a c k , M . d e S w a r t , J . W i l t i n g , M . A .

V i e r g e v e r , D e b l u r r i n g G a u s s i a n b l u r , F . L . B o o k s t e i n , J . S . D u n c a n , N .

L a n g e , D . C . W i l s o n ( E d s . ) , M a t h e m a t i c a l m e t h o d s i n m e d i c a l i m a g i n g I I I ,

S P I E V o l . 2 2 9 9 , 1 3 9 { 1 4 8 , 1 9 9 4 .

1 1 6 ] W . H a h n , T h e o r i e u n d A n w e n d u n g d e r d i r e k t e n M e t h o d e v o n L j a p u n o v ,

S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 5 9 .




1 1 7 ] H . H a m y , P . P r e z , P r o c e s s u s d e d i u s i o n e n v i s i o n c o m p u t a t i o n e l l e : A n a -

l y s e c r i t i q u e d e l a n o t i o n d ' e c h e l l e , R e p o r t N o . 9 5 1 8 , C R E A , E c o l e P o l y -

t e c h n i q u e , 1 , r u e D e s c a r t e s , 7 5 0 0 5 P a r i s , F r a n c e , 1 9 9 5 .

1 1 8 ] R . M . H a r a l i c k , S . R . S t e r n b e r g , X . Z h u a n g , I m a g e a n a l y s i s u s i n g m a t h e m a t -

i c a l m o r p h o l o g y , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 9 , 5 3 2 { 5 5 0 ,

1 9 8 7 .

1 1 9 ] H . J . A . M . H e i j m a n s , M a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y : A m o d e r n a p p r o a c h i n i m -

a g e p r o c e s s i n g b a s e d o n a l g e b r a a n d g e o m e t r y , S I A M R e v i e w , V o l . 3 7 , 1 { 3 6 ,

1 9 9 5 .

1 2 0 ] G . H e l l w i g , P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , T e u b n e r , S t u t t g a r t , 1 9 7 7 .

1 2 1 ] K . H o l l i g , E x i s t e n c e o f i n n i t e l y m a n y s o l u t i o n s f o r a f o r w a r d { b a c k w a r d

h e a t e q u a t i o n , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . , V o l . 2 7 8 , 2 9 9 { 3 1 6 , 1 9 8 3 .

1 2 2 ] K . H o l l i g , J . A . N o h e l , A d i u s i o n e q u a t i o n w i t h a n o n m o n o t o n e c o n s t i -

t u t i v e f u n c t i o n , J . M . B a l l ( E d . ) , S y s t e m s o f n o n l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s , R e i d e l , D o r d r e c h t , 4 0 9 { 4 2 2 , 1 9 8 3 .

1 2 3 ] G . H u i s k e n , F l o w b y m e a n c u r v a t u r e o f c o n v e x s u r f a c e s i n t o s p h e r e s , J .

D i e r e n t i a l G e o m e t r y , V o l . 2 0 , 2 3 7 { 2 6 6 , 1 9 8 4 .

1 2 4 ] R . A . H u m m e l , R e p r e s e n t a t i o n s b a s e d o n z e r o - c r o s s i n g s i n s c a l e s p a c e , P r o c .

I E E E C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R

' 8 6 , M i a m i B e a c h , J u n e 2 2 { 2 6 , 1 9 8 6 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , W a s h -

i n g t o n , 2 0 4 { 2 0 9 , 1 9 8 6 .

1 2 5 ] R . H u m m e l , R . M o n i o t , R e c o n s t r u c t i o n s f r o m z e r o - c r o s s i n g s i n s c a l e s p a c e ,

I E E E T r a n s . A c o u s t i c s , S p e e c h a n d S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 3 7 , 2 1 1 1 { 2 1 3 0 ,

1 9 8 9 .

1 2 6 ] R . I l l n e r , G l o b a l e x i s t e n c e f o r t w o - v e l o c i t y m o d e l s o f t h e B o l t z m a n n e q u a -

t i o n , M a t h . M e t h . A p p l . S c i . , V o l . 1 , 1 8 7 { 1 9 3 , 1 9 7 9 .

1 2 7 ] R . I l l n e r , H . N e u n z e r t , R e l a t i v e e n t r o p y m a x i m i z a t i o n a n d d i r e c t e d d i u s i o n

e q u a t i o n s , M a t h . M e t h . A p p l . S c i . , V o l . 1 6 , 5 4 5 { 5 5 4 , 1 9 9 3 .

1 2 8 ] R . I l l n e r , J . T i e , O n d i r e c t e d d i u s i o n w i t h m e a s u r a b l e b a c k g r o u n d , M a t h .

M e t h . A p p l . S c i . , V o l . 1 6 , 6 8 1 { 6 9 0 , 1 9 9 3 .

1 2 9 ] K . I t o , K . K u n i s c h , A u g m e n t e d L a g r a n g i a n m e t h o d s f o r n o n s m o o t h , c o n v e x

o p t i m i z a t i o n i n H i l b e r t s p a c e s , P r e p r i n t N o . 4 0 9 / 1 9 9 4 , F a c h b e r e i c h M a t h e -

m a t i k ( 3 ) , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n , S t r a e d e s 1 7 . J u n i 1 3 6 , 1 0 6 2 3

B e r l i n , G e r m a n y , 1 9 9 4 .




1 3 0 ] K . I t o , K . K u n i s c h , A n a c t i v e s e t s t r a t e g y f o r i m a g e r e s t o r a t i o n b a s e d o n

t h e a u g m e n t e d L a g r a n g i a n f o r m u l a t i o n , P r e p r i n t N o . 4 1 0 / 1 9 9 4 , F a c h b e r e i c h

M a t h e m a t i k ( 3 ) , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n , S t r a e d e s 1 7 . J u n i 1 3 6 ,

1 0 6 2 3 B e r l i n , G e r m a n y , 1 9 9 4 .

1 3 1 ] P . T . J a c k w a y , M o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e , P r o c . 1 1 t h I n t . C o n f . P a t t e r n

R e c o g n i t i o n ( I C P R 1 1 , T h e H a g u e , A u g . 3 0 { S e p t . 3 , 1 9 9 2 ) , V o l . C , 2 5 2 {

2 5 5 , 1 9 9 2 .

1 3 2 ] P . J a c k w a y , W . W . B o l e s , M . D e r i c h e , M o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e n g e r p r i n t s

a n d t h e i r u s e i n o b j e c t r e c o g n i t i o n i n r a n g e i m a g e s , P r o c . I E E E I n t . C o n f .

A c o u s t i c s , S p e e c h a n d S i g n a l P r o c e s s i n g ( I C A S S P { 9 4 , A d e l a i d e , A p r i l 1 9 {

2 2 , 1 9 9 4 ) , V o l . 5 , 5 { 8 , 1 9 9 4 .

1 3 3 ] B . J a h n e , S p a t i o - t e m p o r a l i m a g e p r o c e s s i n g , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i -

e n c e , V o l . 7 5 1 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 3 .

1 3 4 ] F . J o h n , P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 7 8 .

1 3 5 ] M . K a s s , A . W i t k i n , A n a l y z i n g o r i e n t e d p a t t e r n s , C o m p u t e r V i s i o n , G r a p h -

i c s , a n d I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 3 7 , 3 6 2 { 3 8 5 , 1 9 8 7 .

1 3 6 ] J . G . K e m e n y , J . L . S n e l l , F i n i t e M a r k o v c h a i n s , D . V a n N o s t r a n d , P r i n c e t o n ,

1 9 6 0 .

1 3 7 ] B . B . K i m i a , K . S i d d i q i , G e o m e t r i c h e a t e q u a t i o n a n d n o n - l i n e a r d i u s i o n

o f s h a p e s a n d i m a g e s , P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d

P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 4 , S e a t t l e , J u n e 2 1 { 2 3 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m -

p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 1 1 3 { 1 2 0 , 1 9 9 4 .

1 3 8 ] B . B . K i m i a , A . T a n n e n b a u m , S . W . Z u c k e r , T o w a r d a c o m p u t a t i o n a l t h e o r y

o f s h a p e : A n o v e r v i e w , O . F a u g e r a s ( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n { E C C V ' 9 0 ,

L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 4 2 7 , S p r i n g e r , B e r l i n , 4 0 2 { 4 0 7 , 1 9 9 0 .

1 3 9 ] B . B . K i m i a , A . T a n n e n b a u m , S . W . Z u c k e r , O n t h e e v o l u t i o n o f c u r v e s v i a

a f u n c t i o n o f c u r v a t u r e . I . T h e c l a s s i c a l c a s e , J . M a t h . A n a l . A p p l . , V o l .

1 6 3 , 4 3 8 { 4 5 8 , 1 9 9 2 .

1 4 0 ] B . B . K i m i a , A . R . T a n n e n b a u m , S . W . Z u c k e r , N o n - l i n e a r s h a p e a p p r o x i m a -

t i o n v i a t h e e n t r o p y s c a l e s p a c e , B . C . V e m u r i ( E d . ) , G e o m e t r i c m e t h o d s i n

c o m p u t e r v i s i o n I I , S P I E V o l . 2 0 3 1 , 2 1 8 { 2 3 3 , 1 9 9 3 .

1 4 1 ] H . E . K n u t s s o n , R . W i l s o n , G . H . G r a n l u n d , A n i s o t r o p i c n o n s t a t i o n a r y i m -

a g e e s t i m a t i o n a n d i t s a p p l i c a t i o n s : P a r t I { R e s t o r a t i o n o f n o i s y i m a g e s ,

I E E E T r a n s . C o m m . , V o l . 3 1 , 3 8 8 { 3 9 7 , 1 9 8 3 .




1 4 2 ] G . K o e p e r , C . L o p e z , J . - M . M o r e l , A m u l t i s c a l e a l g o r i t h m f o r i m a g e s e g -

m e n t a t i o n b y v a r i a t i o n a l m e t h o d , S I A M J . N u m e r . A n a l . , V o l . 3 1 , 2 8 2 { 2 9 9 ,

1 9 9 4 .

1 4 3 ] J . J . K o e n d e r i n k , T h e s t r u c t u r e o f i m a g e s , B i o l . C y b e r n . , V o l . 5 0 , 3 6 3 { 3 7 0 ,

1 9 8 4 .

1 4 4 ] O . A . L a d y z e n s k a j a , V . A . S o l o n n i k o v , N . N . U r a l ' c e v a , L i n e a r a n d q u a s i -

l i n e a r e q u a t i o n s o f p a r a b o l i c t y p e , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i -

d e n c e , 1 9 6 8 .

1 4 5 ] A . L e a c i , S . S o l i m i n i , V a r i a t i o n a l p r o b l e m s w i t h a f r e e d i s c o n t i n u i t y s e t ,

B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n ,

K l u w e r , D o r d r e c h t , 1 4 7 { 1 5 4 , 1 9 9 4 .

1 4 6 ] A . L e v , S . Z u c k e r , A . R o s e n f e l d , I t e r a t i v e e n h a n c e m e n t o f n o i s y i m a g e s ,

I E E E T r a n s . S y s t e m s , M a n a n d C y b e r n e t i c s , V o l . 7 , 4 3 5 { 4 4 2 , 1 9 7 7 .

1 4 7 ] V . L i , F . S a n t o s a , A n a n e s c a l i n g a l g o r i t h m f o r m i n i m i z i n g t o t a l v a r i a t i o n

i n i m a g e e n h a n c e m e n t , T e c h n i c a l R e p o r t C T C 9 4 T R 2 0 1 , C o r n e l l T h e o r y

C e n t e r , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , N Y 1 4 8 5 3 { 3 8 0 1 , U . S . A . , 1 9 9 4 .

1 4 8 ] X . L i , T . C h e n , N o n l i n e a r d i u s i o n w i t h m u l t i p l e e d g i n e s s t h r e s h o l d s , P a t -

t e r n R e c o g n i t i o n , V o l . 2 7 , 1 0 2 9 { 1 0 3 7 , 1 9 9 4 .

1 4 9 ] L . M . L i f s h i t z , S . M . P i z e r , A m u l t i r e s o l u t i o n h i e r a r c h i c a l a p p r o a c h t o i m a g e

s e g m e n t a t i o n b a s e d o n i n t e n s i t y e x t r e m a , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h .

I n t e l l . , V o l . 1 2 , 5 2 9 { 5 4 0 , 1 9 9 0 .

1 5 0 ] T . L i n d e b e r g , S c a l e - s p a c e f o r d i s c r e t e s i g n a l s , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l .

M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 2 , 2 3 4 { 2 5 4 , 1 9 9 0 .

1 5 1 ] T . L i n d e b e r g , S c a l e - s p a c e t h e o r y i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , B o s t o n , 1 9 9 4 .

1 5 2 ] T . L i n d e b e r g , J . G a r d i n g , S h a p e - a d a p t e d s m o o t h i n g i n e s t i m a t i o n o f 3 - D

d e p t h c u e s f r o m a n e d i s t o r t i o n s o f l o c a l 2 - D b r i g h t n e s s s t r u c t u r e , J . - O .

E k l u n d h ( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n { E C C V ' 9 4 , L e c t u r e N o t e s i n C o m p .

S c i e n c e , V o l . 8 0 0 , S p r i n g e r , B e r l i n , 3 8 9 { 4 0 0 , 1 9 9 4 .

1 5 3 ] T . L i n d e b e r g , B . M . t e r H a a r R o m e n y , L i n e a r s c a l e - s p a c e I I : E a r l y v i -

s u a l o p e r a t i o n s , B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n

i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t , 3 9 { 7 1 , 1 9 9 4 .

1 5 4 ] M . L i n d e n b a u m , M . F i s c h e r , A . B r u c k s t e i n , O n G a b o r ' s c o n t r i b u t i o n t o

i m a g e e n h a n c e m e n t , P a t t e r n R e c o g n i t i o n , V o l . 2 7 , 1 { 8 , 1 9 9 4 .




1 5 5 ] P . - L . L i o n s , A x i o m a t i c d e r i v a t i o n o f i m a g e p r o c e s s i n g m o d e l s , M a t h . M o d .

M e t h . A p p l . S c i . , V o l . 4 , 4 6 7 { 4 7 5 , 1 9 9 4 .

1 5 6 ] P . - L . L i o n s , S . O s h e r , L . I . R u d i n , D e n o i s i n g a n d d e b l u r r i n g i m a g e s u s -

i n g c o n s t r a i n e d n o n l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , P r e p r i n t , C o g n i t e c h ,

I n c . , 2 8 0 0 { 2 8 S t . , S u i t e 1 0 1 , S a n t a M o n i c a , C A 9 0 4 0 5 , U . S . A . , 1 9 9 3 ; s u b -

m i t t e d t o S I A M J . N u m e r . A n a l .

1 5 7 ] M . H . L o e w , J . R o s e n m a n , J . C h e n , A c l i n i c a l t o o l f o r e n h a n c e m e n t o f p o r t a l

i m a g e s , M . H . L o e w ( E d . ) , I m a g e p r o c e s s i n g , S P I E V o l . 2 1 6 7 , 5 4 3 { 5 5 0 , 1 9 9 4 .

1 5 8 ] C . L o p e z , J . - M . M o r e l , A x i o m a t i z a t i o n o f s h a p e a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s

t o t e x t u r e h y p e r d i s c r i m i n a t i o n , P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r

V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 3 , N e w Y o r k , J u n e 1 5 { 1 7 , 1 9 9 3 ) ,

I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 6 4 6 { 6 4 7 , 1 9 9 3 .

1 5 9 ] A . L u k s c h i n , H . N e u n z e r t , J . S t r u c k m e i e r , I n t e r i m r e p o r t o f t h e p r o j e c t

D P H 6 4 7 3 / 9 1 { C o u p l i n g o f N a v i e r - S t o k e s a n d B o l t z m a n n r e g i o n s , I n t e r n a l

R e p o r t , L a b o r a t o r y o f T e c h n o m a t h e m a t i c s , K a i s e r s l a u t e r n , 1 9 9 3 .

1 6 0 ] R . M a l l a d i , J . A . S e t h i a n , A u n i e d f r a m e w o r k f o r s h a p e s e g m e n t a t i o n , r e p -

r e s e n t a t i o n a n d r e c o g n i t i o n , R e p o r t P A M - 6 1 4 , C e n t e r f o r P u r e a n d A p p l i e d

M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 , U . S . A . , 1 9 9 4 .

1 6 1 ] R . M a l l a d i , J . A . S e t h i a n , B . C . V e m u r i , A t o p o l o g y i n d e p e n d e n t s h a p e m o d -

e l i n g s c h e m e , B . C . V e m u r i ( E d . ) , G e o m e t r i c m e t h o d s i n c o m p u t e r v i s i o n

I I , S P I E V o l . 2 0 3 1 , 2 4 6 { 2 5 8 , 1 9 9 3 .

1 6 2 ] R . M a l l a d i , J . A . S e t h i a n , B . C . V e m u r i , S h a p e m o d e l i n g w i t h f r o n t p r o p a g a -

t i o n : A l e v e l s e t a p p r o a c h , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l .

1 7 , 1 5 8 { 1 7 5 , 1 9 9 5 .

1 6 3 ] P . M a r a g o s , A r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y f o r m o r p h o l o g i c a l i m a g e a n d s i g n a l

p r o c e s s i n g , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 1 , 5 8 6 { 5 9 9 , 1 9 8 9 .

1 6 4 ] G . I . M a r c h u k , S p l i t t i n g a n d a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n m e t h o d s , P . G . C i a r l e t , J . -

L . L i o n s ( E d s . ) , H a n d b o o k o f n u m e r i c a l a n a l y s i s , V o l . I , 1 9 7 { 4 6 2 , 1 9 9 0 .

1 6 5 ] D . M a r r , E . H i l d r e t h , T h e o r y o f e d g e d e t e c t i o n , P r o c . R . S o c . L o n d o n S e r .

B , V o l . 2 0 7 , 1 8 7 { 2 1 7 , 1 9 8 0 .

1 6 6 ] J . L . M a r r o q u i n , D e t e r m i n i s t i c i n t e r a c t i v e p a r t i c l e m o d e l s f o r i m a g e p r o -

c e s s i n g a n d c o m p u t e r g r a p h i c s , C V G I P : G r a p h i c a l M o d e l s a n d I m a g e P r o -

c e s s i n g , V o l . 5 5 , 4 0 8 { 4 1 7 , 1 9 9 3 .




1 6 7 ] G . M a t h e r o n , R a n d o m s e t s a n d i n t e g r a l g e o m e t r y , W i l e y , N e w Y o r k , 1 9 7 5 .

1 6 8 ] A . R . M i t c h e l l , D . F . G r i t h s , T h e n i t e d i e r e n c e m e t h o d i n p a r t i a l d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n s , W i l e y , C h i c h e s t e r , 1 9 8 0 .

1 6 9 ] L . M o i s a n , A n a l y s e m u l t i e c h e l l e d e l m s p o u r l a r e c o n s t r u c t i o n d u r e l i e f , C .

R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 2 0 , S e r i e I , 2 7 9 { 2 8 4 , 1 9 9 5 .

1 7 0 ] F . M o k h t a r i a n , A . K . M a c k w o r t h , A t h e o r y o f m u l t i s c a l e , c u r v a t u r e - b a s e d

s h a p e r e p r e s e n t a t i o n f o r p l a n a r c u r v e s , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h .

I n t e l l . , V o l . 1 4 , 7 8 9 { 8 0 5 , 1 9 9 2 .

1 7 1 ] J . - M . M o r e l , S . S o l i m i n i , V a r i a t i o n a l m e t h o d s i n i m a g e s e g m e n t a t i o n ,

B i r k h a u s e r , B o s t o n , 1 9 9 4 .

1 7 2 ] D . M u m f o r d , J . S h a h , B o u n d a r y d e t e c t i o n b y m i n i m i z i n g f u n c t i o n a l s , I ,

P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n

( C V P R ' 8 5 , S a n F r a n c i s c o , J u n e 1 9 { 2 3 , 1 9 8 5 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y

P r e s s , W a s h i n g t o n , 2 2 { 2 6 , 1 9 8 5 .

1 7 3 ] D . M u m f o r d , J . S h a h , O p t i m a l a p p r o x i m a t i o n s b y p i e c e w i s e s m o o t h f u n c -

t i o n s a n d a s s o c i a t e d v a r i a t i o n a l p r o b l e m s , C o m m . P u r e A p p l . M a t h . , V o l .

4 2 , 5 7 7 { 6 8 5 , 1 9 8 9 .

1 7 4 ] M . N a g a o , T . M a t s u y a m a , E d g e p r e s e r v i n g s m o o t h i n g , C o m p u t e r G r a p h i c s

a n d I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 9 , 3 9 4 { 4 0 7 , 1 9 7 9 .

1 7 5 ] P . N e s k o v i c , B . B . K i m i a , T h r e e - d i m e n s i o n a l s h a p e r e p r e s e n t a t i o n f r o m c u r -

v a t u r e d e p e n d e n t s u r f a c e e v o l u t i o n , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o -

c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s ,

L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 6 { 1 0 , 1 9 9 4 .

1 7 6 ] T . G . N e w m a n , H . D i r i l t e n , A n o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n f o r d i g i t a l p i c t u r e

p r o c e s s i n g , I E E E T r a n s . C o m p u t e r s , V o l . 2 2 , 8 6 9 { 8 7 3 , 1 9 7 3 .

1 7 7 ] W . J . N i e s s e n , B . M . t e r H a a r R o m e n y , L . M . J . F l o r a c k , A . H . S a l d e n , M . A .

V i e r g e v e r , N o n l i n e a r d i u s i o n o f s c a l a r i m a g e s u s i n g w e l l - p o s e d d i e r e n -

t i a l o p e r a t o r s , P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n

R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 4 , S e a t t l e , J u n e 2 1 { 2 3 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o -

c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 9 2 { 9 7 , 1 9 9 4 .

1 7 8 ] W . J . N i e s s e n , B . M . t e r H a a r R o m e n y , M . A . V i e r g e v e r , N u m e r i c a l a n a -

l y s i s o f g e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n e q u a t i o n s , B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) ,

G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t , 3 9 2 { 4 1 0 ,

1 9 9 4 .




1 7 9 ] M . N i t z b e r g , D . M u m f o r d , T . S h i o t a , F i l t e r i n g , s e g m e n t a t i o n a n d d e p t h ,

L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 6 6 2 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 3 .

1 8 0 ] M . N i t z b e r g , T . S h i o t a , N o n l i n e a r i m a g e l t e r i n g w i t h e d g e a n d c o r n e r

e n h a n c e m e n t , T e c h n i c a l R e p o r t N o . 9 0 { 2 , D i v i s i o n o f A p p l i e d S c i e n c e s ,

H a r v a r d U n i v e r s i t y , C a m b r i d g e , M A 0 2 1 3 8 , U . S . A . , 1 9 9 0 .

1 8 1 ] M . N i t z b e r g , T . S h i o t a , N o n l i n e a r i m a g e l t e r i n g w i t h e d g e a n d c o r n e r

e n h a n c e m e n t , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 4 , 8 2 6 { 8 3 3 ,

1 9 9 2 .

1 8 2 ] N . N o r d s t r o m , B i a s e d a n i s o t r o p i c d i u s i o n - a u n i e d r e g u l a r i z a t i o n a n d

d i u s i o n a p p r o a c h t o e d g e d e t e c t i o n , O . F a u g e r a s ( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n

{ E C C V ' 9 0 , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 4 2 7 , S p r i n g e r , B e r l i n ,

1 8 { 2 7 , 1 9 9 0 .

1 8 3 ] N . N o r d s t r o m , B i a s e d a n i s o t r o p i c d i u s i o n - a u n i e d r e g u l a r i z a t i o n a n d

d i u s i o n a p p r o a c h t o e d g e d e t e c t i o n , I m a g e V i s i o n C o m p u t . , V o l . 8 , 3 1 8 {

3 2 7 , 1 9 9 0 .

1 8 4 ] P . J . O l v e r , G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , C l a s s i c a t i o n a n d u n i q u e n e s s o f

i n v a r i a n t g e o m e t r i c o w s , C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 9 , S e r i e I , 3 3 9 { 3 4 4 ,

1 9 9 4 .

1 8 5 ] P . O l v e r , G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , D i e r e n t i a l i n v a r i a n t s i g n a t u r e s a n d

o w s i n c o m p u t e r v i s i o n : A s y m m e t r y g r o u p a p p r o a c h , B . M . t e r H a a r

R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r -

d r e c h t , 2 5 5 { 3 0 6 , 1 9 9 4 .

1 8 6 ] S . O s h e r , L . R u d i n , F e a t u r e - o r i e n t e d i m a g e e n h a n c e m e n t u s i n g s h o c k l t e r s ,

S I A M J . N u m e r . A n a l . , V o l . 2 7 , 9 1 9 { 9 4 9 , 1 9 9 0 .

1 8 7 ] S . O s h e r , L . R u d i n , S h o c k s a n d o t h e r n o n l i n e a r l t e r i n g a p p l i e d t o i m a g e

p r o c e s s i n g , A . G . T e s c h e r ( E d . ) : A p p l i c a t i o n s o f d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g

X I V , S P I E V o l . 1 5 6 7 , 4 1 4 { 4 2 5 , 1 9 9 1 .

1 8 8 ] S . O s h e r , J . A . S e t h i a n , F r o n t s p r o p a g a t i n g w i t h c u r v a t u r e - d e p e n d e n t s p e e d :

A l g o r i t h m s b a s e d o n H a m i l t o n { J a c o b i f o r m u l a t i o n s , J . C o m p u t . P h y s . , V o l .

7 9 , 1 2 { 4 9 , 1 9 8 8 .

1 8 9 ] K . O t t e n b e r g , M o d e l - b a s e d e x t r a c t i o n o f g e o m e t r i c s t r u c t u r e f r o m d i g i t a l

i m a g e s , P h . D . t h e s i s , U t r e c h t U n i v e r s i t y , T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 3 .




1 9 0 ] P . P e r o n a , J . M a l i k , S c a l e s p a c e a n d e d g e d e t e c t i o n u s i n g a n i s o t r o p i c d i u -

s i o n , P r o c . I E E E C o m p . S o c . W o r k s h o p o n C o m p u t e r V i s i o n ( M i a m i B e a c h ,

N o v . 3 0 { D e c . 2 , 1 9 8 7 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , W a s h i n g t o n , 1 6 { 2 2 ,

1 9 8 7 .

1 9 1 ] P . P e r o n a , J . M a l i k , A n e t w o r k f o r m u l t i s c a l e i m a g e s e g m e n t a t i o n , P r o c .

I E E E I n t . S y m p . C i r c u i t s a n d S y s t e m s ( I S C A S { 8 8 , E s p o o , J u n e 7 { 9 , 1 9 8 8 ) ,

2 5 6 5 { 2 5 6 8 , 1 9 8 8 .

1 9 2 ] P . P e r o n a , J . M a l i k , S c a l e s p a c e a n d e d g e d e t e c t i o n u s i n g a n i s o t r o p i c d i u -

s i o n , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 2 , 6 2 9 { 6 3 9 , 1 9 9 0 .

1 9 3 ] P . P e r o n a , T . S h i o t a , J . M a l i k , A n i s o t r o p i c d i u s i o n , B . M . t e r H a a r R o m e n y

( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t ,

7 2 { 9 2 , 1 9 9 4 .

1 9 4 ] P . P e r o n a , M . T a r t a g n i , D i u s i o n n e t w o r k s f o r o n - c h i p i m a g e c o n t r a s t n o r -

m a l i z a t i o n , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n ,

N o v . 1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 1 {

5 , 1 9 9 4 .

1 9 5 ] I . G . P e t r o w s k i , V o r l e s u n g e n u b e r p a r t i e l l e D i e r e n t i a l g l e i c h u n g e n , T e u b n e r ,

L e i p z i g , 1 9 5 5 .

1 9 6 ] E . S . P o s m e n t i e r , T h e g e n e r a t i o n o f s a l i n i t y n e s t r u c t u r e b y v e r t i c a l d i u -

s i o n , J . P h y s . O c e a n o g r . , V o l . 7 , 2 9 8 { 3 0 0 , 1 9 7 7 .

1 9 7 ] C . B . P r i c e , P . W a m b a c q , A . O o s t e r l i n c k , A p p l i c a t i o n s o f r e a c t i o n { d i u s i o n

e q u a t i o n s t o i m a g e p r o c e s s i n g , I E E T h i r d I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g a n d

i t s A p p l i c a t i o n s ( W a r w i c k , 1 8 { 2 0 J u l y 1 9 8 9 ) , I E E , L o n d o n , 4 9 { 5 3 , 1 9 8 9 .

1 9 8 ] C . B . P r i c e , P . W a m b a c q , A . O o s t e r l i n c k , C o m p u t i n g w i t h r e a c t i o n { d i u s i o n

s y s t e m s : a p p l i c a t i o n s i n i m a g e p r o c e s s i n g , D . R o o s e e t a l . ( E d s . ) , C o n t i n -

u a t i o n a n d b i f u r c a t i o n s : N u m e r i c a l t e c h n i q u e s a n d a p p l i c a t i o n s , K l u w e r ,

3 7 9 { 3 8 7 , 1 9 9 0 .

1 9 9 ] M . P r o e s m a n s , E . J . P a u w e l s , L . J . V a n G o o l , C o u p l e d g e o m e t r y - d r i v e n d i u -

s i o n e q u a t i o n s f o r l o w - l e v e l v i s i o n , B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y -


2 0 0 ] M . P r o e s m a n s , E . J . P a u w e l s , L . J . V a n G o o l , T . M o o n s , A . O o s t e r l i n c k , I m -

a g e e n h a n c e m e n t u s i n g n o n - l i n e a r d i u s i o n , P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f .

C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 3 , N e w Y o r k , J u n e

1 5 { 1 7 , 1 9 9 3 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 6 8 0 { 6 8 1 , 1 9 9 3 .




2 0 1 ] M . P r o e s m a n s , L . V a n G o o l , E . P a u w e l s , A . O o s t e r l i n c k , D e t e r m i n a t i o n o f

o p t i c a l o w a n d i t s d i s c o n t i n u i t i e s u s i n g n o n - l i n e a r d i u s i o n , J . - O . E k l u n d h

( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n { E C C V ' 9 4 , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l .

8 0 1 , S p r i n g e r , B e r l i n , 2 9 5 { 3 0 4 , 1 9 9 4 .

2 0 2 ] I . R a m b a u x , P . G a r c o n , N o n l i n e a r a n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r i n g o f 3 D i m -

a g e s , p r o j e c t w o r k , D e p a r t e m e n t G e n i e M a t h e m a t i q u e , I N S A d e R o u e n a n d

L a b o r a t o r y o f T e c h n o m a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f K a i s e r s l a u t e r n , 1 9 9 4 .

2 0 3 ] A . R . R a o , B . G . S c h u n c k , C o m p u t i n g o r i e n t e d t e x t u r e e l d s , P r o c . I E E E

C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 8 9 ,

S a n D i e g o , J u n e 4 { 8 , 1 9 8 9 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , W a s h i n g t o n ,

6 1 { 6 8 , 1 9 8 9 .

2 0 4 ] A . R . R a o , B . G . S c h u n c k , C o m p u t i n g o r i e n t e d t e x t u r e e l d s , C V G I P : G r a p h -

i c a l M o d e l s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , V o l . 5 3 , 1 5 7 { 1 8 5 , 1 9 9 1 .

2 0 5 ] T . R i c h a r d s o n , S . M i t t e r , A p p r o x i m a t i o n , c o m p u t a t i o n , a n d d i s t o r t i o n i n

t h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n , B . M . t e r H a a r R o m e n y ( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n

d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t , 1 6 9 { 1 9 0 , 1 9 9 4 .

2 0 6 ] L . I . R u d i n , S . O s h e r , T o t a l v a r i a t i o n b a s e d i m a g e r e s t o r a t i o n w i t h f r e e l o c a l

c o n s t r a i n t s , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n ,

N o v . 1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 1 , 3 1 {

3 5 , 1 9 9 4 .

2 0 7 ] L . I . R u d i n , S . O s h e r , E . F a t e m i , N o n l i n e a r t o t a l v a r i a t i o n b a s e d n o i s e r e -

m o v a l a l g o r i t h m s , P h y s i c a D , V o l . 6 0 , 2 5 9 { 2 6 8 , 1 9 9 2 .

2 0 8 ] L . I . R u d i n , S . O s h e r , C . F u , T o t a l v a r i a t i o n b a s e d r e s t o r a t i o n o f n o i s y ,

b l u r r e d i m a g e s , P r e p r i n t , C o g n i t e c h , I n c . , 2 8 0 0 { 2 8 S t . , S u i t e 1 0 1 , S a n t a

M o n i c a , C A 9 0 4 0 5 , U . S . A . , 1 9 9 2 ; S I A M J . N u m e r . A n a l . , i n p r e s s .

2 0 9 ] P . S a i n t - M a r c , J . S . C h e n , G . M e d i o n i , A d a p t i v e s m o o t h i n g : a g e n e r a l t o o l

f o r e a r l y v i s i o n , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 3 , 5 1 4 { 5 2 9 ,

1 9 9 0 .

2 1 0 ] A . H . S a l d e n , T h e n o n l i n e a r r e s c a l i n g p r o c e s s , R e p o r t 3 D C V 9 2 - 2 8 , 3 D C o m -

p u t e r V i s i o n , A Z U , R o o m E . 0 2 . 2 2 2 , H e i d e l b e r g l a a n 1 0 0 , 3 5 8 4 C X U t r e c h t ,

T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 2 .

2 1 1 ] A . A . S a m a r s k i j , T h e o r i e d e r D i e r e n z e n v e r f a h r e n , G e e s t & P o r t i g , L e i p z i g ,

1 9 8 4 .




2 1 2 ] G . S a p i r o , V . C a s e l l e s , H i s t o g r a m m o d i c a t i o n v i a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a -

t i o n s , T e c h n i c a l R e p o r t H P L - 9 5 - 6 6 , H e w l e t t { P a c k a r d L a b o r a t o r i e s , 1 5 0 1

P a g e M i l l R o a d , P a l o A l t o , C A 9 4 3 0 4 , U . S . A . , 1 9 9 5 ; t o a p p e a r i n C o m m .

A p p l . N o n l i n e a r A n a l y s i s .

2 1 3 ] G . S a p i r o , R . K i m m e l , D . S h a k e d , B . B . K i m i a , A . M . B r u c k s t e i n , I m p l e -

m e n t i n g c o n t i n u o u s - s c a l e m o r p h o l o g y v i a c u r v e e v o l u t i o n , P a t t e r n R e c o g -

n i t i o n , V o l . 2 6 , 1 3 6 3 { 1 3 7 2 , 1 9 9 3 .

2 1 4 ] G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , A n e i n v a r i a n t s c a l e - s p a c e , I n t . J . C o m p u t .

V i s i o n , V o l . 1 1 , 2 5 { 4 4 , 1 9 9 3 .

2 1 5 ] G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , O n a n e p l a n e c u r v e e v o l u t i o n , J . F u n c t . A n a l . ,

V o l . 1 1 9 , 7 9 { 1 2 0 , 1 9 9 4 .

2 1 6 ] G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , A r e a a n d l e n g t h p r e s e r v i n g g e o m e t r i c i n v a r i a n t

s c a l e - s p a c e s , J . - O . E k l u n d h ( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n { E C C V ' 9 4 , L e c t u r e

N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 8 0 1 , S p r i n g e r , B e r l i n , 4 4 9 { 4 5 8 , 1 9 9 4 .

2 1 7 ] G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , E d g e p r e s e r v i n g g e o m e t r i c s m o o t h i n g o f M R I

d a t a , T e c h n i c a l R e p o r t , D e p t . o f E l e c t i c a l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f M i n -

n e s o t a , M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 , U . S . A . , 1 9 9 4 ; s u b m i t t e d t o I E E E T r a n s .

M e d i c a l I m a g i n g .

2 1 8 ] G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , Y . - L . Y o u , M . K a v e h , E x p e r i m e n t s o n g e o m e t r i c

i m a g e e n h a n c e m e n t , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f . I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P {

9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s ,

V o l . 2 , 4 7 2 { 4 7 6 , 1 9 9 4 .

2 1 9 ] G . S a p i r o , A . T a n n e n b a u m , A r e a a n d l e n g t h p r e s e r v i n g g e o m e t r i c i n v a r i a n t

s c a l e - s p a c e s , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 7 , 6 7 { 7 2 , 1 9 9 5 .

2 2 0 ] C . S c h n o r r , U n i q u e r e c o n s t r u c t i o n o f p i e c e w i s e s m o o t h i m a g e s b y m i n i m i z -

i n g s t r i c t l y c o n v e x n o n - q u a d r a t i c f u n c t i o n a l s , J . M a t h . I m a g . V i s i o n , V o l .

4 , 1 8 9 { 1 9 8 , 1 9 9 4 .

2 2 1 ] C . S c h n o r r , S e g m e n t a t i o n o f v i s u a l m o t i o n b y m i n i m i z i n g c o n v e x n o n -

q u a d r a t i c f u n c t i o n a l s , P r o c . 1 2 t h I n t . C o n f . P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( I C P R

1 2 , J e r u s a l e m , O c t . 9 { 1 3 , 1 9 9 4 ) , V o l . A , 6 6 1 { 6 6 3 , 1 9 9 4 .

2 2 2 ] C . S c h n o r r , B e w e g u n g s s e g m e n t a t i o n v o n B i l d f o l g e n d u r c h d i e M i n i m i e r u n g

k o n v e x e r n i c h t - q u a d r a t i s c h e r F u n k t i o n a l e , W . G . K r o p a t s c h , H . B i s c h o f

( E d s . ) , T a g u n g s b a n d M u s t e r e r k e n n u n g 1 9 9 4 , I n f o r m a t i k X p r e s s 5 , W i e n ,

1 7 8 { 1 8 5 , 1 9 9 4 .




2 2 3 ] C . S c h n o r r , R . S p r e n g e l , B . N e u m a n n , A v a r i a t i o n a l a p p r o a c h t o t h e d e -

s i g n o f e a r l y v i s i o n a l g o r i t h m s , W . K r o p a t s c h , R . K l e t t e , F . S o l i n a ( E d s . ) ,

T h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s o f c o m p u t e r v i s i o n , C o m p u t i n g S u p p l e m e n t 1 1 ,

S p r i n g e r , W i e n , 1 4 9 { 1 6 5 , 1 9 9 6 .

2 2 4 ] E . S e n e t a , N o n - n e g a t i v e m a t r i c e s a n d M a r k o v c h a i n s , S p r i n g e r , N e w Y o r k ,

1 9 8 1 .

2 2 5 ] J . S e r r a , I m a g e a n a l y s i s a n d m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y , A c a d e m i c P r e s s ,

L o n d o n , 1 9 8 2 .

2 2 6 ] J . A . S e t h i a n , N u m e r i c a l a l g o r i t h m s f o r p r o p a g a t i n g i n t e r f a c e s : H a m i l t o n {

J a c o b i e q u a t i o n s a n d c o n s e r v a t i o n l a w s , J . D i e r e n t i a l G e o m e t r y , V o l . 3 1 ,

1 3 1 { 1 6 1 , 1 9 9 0 .

2 2 7 ] J . S h a h , S e g m e n t a t i o n b y n o n l i n e a r d i u s i o n , P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f .

o n C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 1 , M a u i , J u n e 3 { 6 ,

1 9 9 2 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 2 0 2 { 2 0 7 , 1 9 9 1 .

2 2 8 ] J . S h a h , S e g m e n t a t i o n b y n o n l i n e a r d i u s i o n , I I , P r o c . I E E E C o m p . S o c .

C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 2 , C h a m p a i g n ,

J u n e 1 5 { 1 8 , 1 9 9 2 ) , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 6 4 4 { 6 4 7 ,

1 9 9 2 .

2 2 9 ] J . S h a h , P r o p e r t i e s o f e n e r g y - m i n i m i z i n g s e g m e n t a t i o n s , S I A M J . C o n t r o l

a n d O p t i m i z a t i o n , V o l . 3 0 , 9 9 { 1 1 1 , 1 9 9 2 .

2 3 0 ] J . S h a h , A n o n l i n e a r d i u s i o n m o d e l f o r d i s c o n t i n u o u s d i s p a r i t y a n d h a l f -

o c c l u s i o n s i n s t e r e o , P r o c . I E E E C o m p . S o c . C o n f . C o m p u t e r V i s i o n a n d

P a t t e r n R e c o g n i t i o n ( C V P R ' 9 3 , N e w Y o r k , J u n e 1 5 { 1 7 , 1 9 9 3 ) , I E E E C o m -

p u t e r S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , 3 4 { 4 0 , 1 9 9 3 .

2 3 1 ] J . S h a h , P i e c e w i s e s m o o t h a p p r o x i m a t i o n s o f f u n c t i o n s , C a l c . V a r . , V o l . 2 ,

3 1 5 { 3 2 8 , 1 9 9 4 .

2 3 2 ] J . S h a h , U s e o f e l l i p t i c a p p r o x i m a t i o n s i n c o m p u t e r v i s i o n , t o a p p e a r i n

R . S e r a p i o n i , F . T o m a r e l l i ( E d s . ) , V a r i a t i o n a l m e t h o d s f o r d i s c o n t i n u o u s

s t r u c t u r e s , B i r k h a u s e r , B o s t o n .

2 3 3 ] K . S i d d i q i , B . B . K i m i a , P a r t s o f v i s u a l f o r m : c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s , I E E E

T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 1 7 , 2 3 9 { 2 5 1 , 1 9 9 5 .

2 3 4 ] K . S i d d i q i , B . B . K i m i a , C . - W . S h u , G e o m e t r i c s h o c k - c a p t u r i n g E N O

s c h e m e s f o r s u b p i x e l i n t e r p o l a t i o n , c o m p u t a t i o n a n d c u r v e e v o l u t i o n , T e c h -

n i c a l R e p o r t L E M S - 1 4 2 , D i v i s i o n o f E n g i n e e r i n g , B r o w n U n i v e r s i t y , P r o v -

i d e n c e , R . I . 0 2 9 1 2 , U . S . A . , 1 9 9 5 .




2 3 5 ] W . S n y d e r , Y . - S . H a n , G . B i l b r o , R . W h i t a k e r , S . P i z e r , I m a g e r e l a x a t i o n :

R e s t o r a t i o n a n d f e a t u r e e x t r a c t i o n , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . ,

V o l . 1 7 , 6 2 0 { 6 2 4 , 1 9 9 5 .

2 3 6 ] E . S t e e n , B . O l s t a d , S c a l e - s p a c e a n d b o u n d a r y d e t e c t i o n i n u l t r a s o n i c i m a g -

i n g u s i n g n o n l i n e a r s i g n a l - a d a p t i v e a n i s o t r o p i c d i u s i o n , M . H . L o e w ( E d . ) ,

I m a g e p r o c e s s i n g , S P I E V o l . 2 1 6 7 , 1 1 6 { 1 2 7 , 1 9 9 4 .

2 3 7 ] P . S t o l l , C . - W . S h u , B . B . K i m i a , S c h o c k - c a p t u r i n g n u m e r i c a l m e t h o d s f o r

v i s c o s i t y s o l u t i o n s o f c e r t a i n P D E s i n c o m p u t e r v i s i o n : T h e G o d u n o v ,

O s h e r { S e t h i a n a n d E N O s c h e m e s , T e c h n i c a l R e p o r t L E M S - 1 3 2 , D i v i s i o n

o f E n g i n e e r i n g , B r o w n U n i v e r s i t y , P r o v i d e n c e , R . I . 0 2 9 1 2 , U . S . A . , 1 9 9 4 .

2 3 8 ] H . T e k , B . B . K i m i a , S h o c k - b a s e d r e a c t i o n { d i u s i o n b u b b l e s f o r i m a g e s e g -

m e n t a t i o n , N . A y a c h e ( E d . ) , C o m p u t e r v i s i o n , v i r t u a l r e a l i t y a n d r o b o t i c s

i n m e d i c i n e , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 9 0 5 , S p r i n g e r , B e r l i n ,

4 3 4 { 4 3 8 , 1 9 9 5 .

2 3 9 ] V . T o r r e , T . A . P o g g i o , O n e d g e d e t e c t i o n , I E E E T r a n s . P a t t e r n A n a l . M a c h .

I n t e l l . , V o l . 8 , 1 4 8 { 1 6 3 , 1 9 8 6 .

2 4 0 ] G . T u r k , G e n e r a t i n g t e x t u r e s o n a r b i t r a r y s u r f a c e s u s i n g r e a c t i o n { d i u s i o n ,

C o m p u t e r G r a p h i c s , V o l . 2 5 , N o . 4 , 2 8 9 { 2 9 8 , 1 9 9 1 .

2 4 1 ] R . A . V a r g a , M a t r i x i t e r a t i v e a n a l y s i s , P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i s , 1 9 6 2 .

2 4 2 ] C . R . V o g e l , M . E . O m a n , I t e r a t i v e m e t h o d s f o r t o t a l v a r i a t i o n d e n o i s i n g ,

P r e p r i n t , D e p t . o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , M o n t a n a S t a t e U n i v e r s i t y , B o z e -

m a n , M T 5 9 7 1 7 - 0 2 4 0 , U . S . A . , 1 9 9 4 ; t o a p p e a r i n S I A M J . S c i . C o m p u t .

2 4 3 ] C . R . V o g e l , M . E . O m a n , F a s t n u m e r i c a l m e t h o d s f o r t o t a l v a r i a t i o n m i n i -

m i z a t i o n i n i m a g e r e c o n s t r u c t i o n , P r e p r i n t , D e p t . o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,

M o n t a n a S t a t e U n i v e r s i t y , B o z e m a n , M T 5 9 7 1 7 - 0 2 4 0 , U . S . A . , 1 9 9 5 ; t o a p -

p e a r i n S P I E P r o c . V o l . 2 5 6 3 \ A d v a n c e d S i g n a l P r o c e s s i n g A l g o r i t h m s " ,

1 9 9 5 .

2 4 4 ] W . W a l t e r , D i e r e n t i a l a n d i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 7 0 .

2 4 5 ] W . W a l t e r , G e w o h n l i c h e D i e r e n t i a l g l e i c h u n g e n , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 7 6 .

2 4 6 ] J . W e i c k e r t , Z w i s c h e n b e r i c h t z u m P r o j e k t \ N i c h t l i n e a r e D i u s i o n s l t e r " ,

B e r i c h t u b e r d i e w i s s e n s c h a f t l i c h e T a t i g k e i t J a n u a r 1 9 9 1 { D e z e m b e r 1 9 9 1 ,

C e n t e r f o r A p p l i e d M a t h e m a t i c s , D a r m s t a d t { K a i s e r s l a u t e r n , 1 3 3 { 1 4 2 ,

1 9 9 2 .




2 4 7 ] J . W e i c k e r t , A b s c h l u b e r i c h t z u m P r o j e k t \ N i c h t l i n e a r e D i u s i o n s l t e r " ,

A b s c h l u b e r i c h t u n d B e r i c h t u b e r d i e w i s s e n s c h a f t l i c h e T a t i g k e i t J a n u a r

1 9 9 2 { D e z e m b e r 1 9 9 3 , C e n t e r f o r A p p l i e d M a t h e m a t i c s , D a r m s t a d t {

K a i s e r s l a u t e r n , 1 9 1 { 2 0 9 , 1 9 9 4 .

2 4 8 ] J . W e i c k e r t , A n i s o t r o p i c d i u s i o n l t e r s f o r i m a g e p r o c e s s i n g b a s e d q u a l i t y

c o n t r o l , A . F a s a n o , M . P r i m i c e r i o ( E d s . ) , P r o c . S e v e n t h E u r o p e a n C o n f . o n

M a t h e m a t i c s i n I n d u s t r y , T e u b n e r , S t u t t g a r t , 3 5 5 { 3 6 2 , 1 9 9 4 .

2 4 9 ] J . W e i c k e r t , S c a l e - s p a c e p r o p e r t i e s o f n o n l i n e a r d i u s i o n l t e r i n g w i t h a

d i u s i o n t e n s o r , R e p o r t N o . 1 1 0 , L a b o r a t o r y o f T e c h n o m a t h e m a t i c s , U n i -

v e r s i t y o f K a i s e r s l a u t e r n , P . O . B o x 3 0 4 9 , 6 7 6 5 3 K a i s e r s l a u t e r n , G e r m a n y ,

1 9 9 4 .

2 5 0 ] J . W e i c k e r t , T h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s o f a n i s o t r o p i c d i u s i o n i n i m a g e p r o -

c e s s i n g , W . K r o p a t s c h , R . K l e t t e , F . S o l i n a ( E d s . ) , T h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s

o f c o m p u t e r v i s i o n , C o m p u t i n g S u p p l e m e n t 1 1 , S p r i n g e r , W i e n , 2 2 1 { 2 3 6 ,

1 9 9 6 .

2 5 1 ] J . W e i c k e r t , A m o d e l f o r t h e c l o u d i n e s s o f f a b r i c s , H . N e u n z e r t ( E d . ) , P r o c .

E i g h t h E u r o p e a n C o n f . o n M a t h e m a t i c s i n I n d u s t r y , T e u b n e r , S t u t t g a r t ,

1 9 9 5 , i n p r e s s .

2 5 2 ] J . W e i c k e r t , M u l t i s c a l e t e x t u r e e n h a n c e m e n t , V . H l a v a c , R .

S a r a ( E d s . ) ,

C o m p u t e r a n a l y s i s o f i m a g e s a n d p a t t e r n s , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e ,

V o l . 9 7 0 , S p r i n g e r , B e r l i n , 2 3 0 { 2 3 7 , 1 9 9 5 .

2 5 3 ] J . W e i c k e r t , F o u n d a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s o f n o n l i n e a r a n i s o t r o p i c d i u -

s i o n l t e r i n g , s u b m i t t e d t o P r o c . T h i r d I n t . C o n g r e s s o n I n d u s t r i a l a n d

A p p l i e d M a t h e m a t i c s ( I C I A M ' 9 5 , H a m b u r g , J u l y 3 { 7 , 1 9 9 5 ) , Z e i t s c h r i f t

f u r A n g e w a n d t e M a t h e m a t i k u n d M e c h a n i k ( Z A M M ) , 1 9 9 6 .

2 5 4 ] H . W e r n e r , H . A r n d t , G e w o h n l i c h e D i e r e n t i a l g l e i c h u n g e n , S p r i n g e r ,

B e r l i n , 1 9 8 6 .

2 5 5 ] R . T . W h i t a k e r , S . M . P i z e r , A m u l t i - s c a l e a p p r o a c h t o n o n u n i f o r m d i u s i o n ,

C V G I P : I m a g e U n d e r s t a n d i n g , V o l . 5 7 , 9 9 { 1 1 0 , 1 9 9 3 .

2 5 6 ] R . T . W h i t a k e r , G e o m e t r y - l i m i t e d d i u s i o n , P h . D . t h e s i s , D e p t . o f C o m -

p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f N o r t h C a r o l i n a , C h a p e l H i l l , N C 2 7 5 1 4 , U . S . A . ,

1 9 9 3 .

2 5 7 ] R . T . W h i t a k e r , G e o m e t r y l i m i t e d d i u s i o n i n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f g e o -

m e t r i c p a t c h e s i n i m a g e s , C V G I P : I m a g e U n d e r s t a n d i n g , V o l . 5 7 , 1 1 1 { 1 2 0 ,

1 9 9 3 .




2 5 8 ] R . T . W h i t a k e r , C h a r a c t e r i z i n g r s t a n d s e c o n d - o r d e r p a t c h e s u s i n g

g e o m e t r y - l i m i t e d d i u s i o n , H . H . B a r r e t t , A . F . G m i t r o ( E d s . ) , I n f o r m a t i o n

p r o c e s s i n g i n m e d i c a l i m a g i n g , L e c t u r e N o t e s i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 6 8 7 ,

S p r i n g e r , B e r l i n , 1 4 9 { 1 6 7 , 1 9 9 3 .

2 5 9 ] R . T . W h i t a k e r , D . T . C h e n , E m b e d d e d a c t i v e s u r f a c e s f o r v o l u m e v i s u a l i z a -

t i o n , M . H . L o e w ( E d . ) , I m a g e p r o c e s s i n g , S P I E V o l . 2 1 6 7 , 3 4 0 { 3 5 2 , 1 9 9 4 .

2 6 0 ] R . W h i t a k e r , G . G e r i g , V e c t o r - v a l u e d d i u s i o n , B . M . t e r H a a r R o m e n y

( E d . ) , G e o m e t r y - d r i v e n d i u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , K l u w e r , D o r d r e c h t ,

9 3 { 1 3 4 , 1 9 9 4 .

2 6 1 ] R . T . W h i t a k e r , S . M . P i z e r , G e o m e t r y - b a s e d i m a g e s e g m e n t a t i o n u s i n g

a n i s o t r o p i c d i u s i o n , Y . L . O , A . T o e t , D . F o s t e r , H . J . A . M . H e i j m a n s , P .

M e e r ( E d s . ) , S h a p e i n p i c t u r e , S p r i n g e r , 6 4 1 { 6 5 0 , 1 9 9 4 .

2 6 2 ] R . W i l s o n , H . E . K n u t s s o n , G . H . G r a n l u n d , A n i s o t r o p i c n o n s t a t i o n a r y i m -

a g e e s t i m a t i o n a n d i t s a p p l i c a t i o n s : P a r t I I { P r e d i c t i v e i m a g e c o d i n g , I E E E

T r a n s . C o m m . , V o l . 3 1 , 3 9 8 { 4 0 6 , 1 9 8 3 .

2 6 3 ] A . P . W i t k i n , S c a l e - s p a c e l t e r i n g , P r o c . E i g h t h I n t . J o i n t C o n f . o n A r t i c i a l

I n t e l l i g e n c e ( I J C A I ' 8 3 , K a r l s r u h e , A u g . 8 { 1 2 , 1 9 8 3 ) , V o l . 2 , 1 0 1 9 { 1 0 2 2 ,

1 9 8 3 .

2 6 4 ] A . W i t k i n , M . K a s s , R e a c t i o n { d i u s i o n t e x t u r e s , C o m p u t e r G r a p h i c s , V o l .

2 5 , N o . 4 , 2 9 9 { 3 0 8 , 1 9 9 1 .

2 6 5 ] N . N . Y a n e n k o , T h e m e t h o d o f f r a c t i o n a l s t e p s : t h e s o l u t i o n o f p r o b l e m s o f

m a t h e m a t i c a l p h y s i c s i n s e v e r a l v a r i a b l e s , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 7 1 .

2 6 6 ] G . Z . Y a n g , P . B u r g e r , D . N . F i r m i n , S . R . U n d e r w o o d , S t r u c t u r e a d a p t i v e

a n i s o t r o p i c l t e r i n g f o r m a g n e t i c r e s o n a n c e i m a g e e n h a n c e m e n t , V . H l a v a c ,

R .

S a r a ( E d s . ) , C o m p u t e r a n a l y s i s o f i m a g e s a n d p a t t e r n s , L e c t u r e N o t e s

i n C o m p . S c i e n c e , V o l . 9 7 0 , S p r i n g e r , B e r l i n , 3 8 4 { 3 9 1 , 1 9 9 5 .

2 6 7 ] Y . - L . Y o u , M . K a v e h , W . - Y . X u , A . T a n n e n b a u m , A n a l y s i s a n d d e s i g n

o f a n i s o t r o p i c d i u s i o n f o r i m a g e p r o c e s s i n g , P r o c . F i r s t I E E E I n t . C o n f .

I m a g e P r o c e s s i n g ( I C I P { 9 4 , A u s t i n , N o v . 1 3 { 1 6 , 1 9 9 4 ) , I E E E C o m p u t e r

S o c i e t y P r e s s , L o s A l a m i t o s , V o l . 2 , 4 9 6 { 5 0 1 , 1 9 9 4 .

2 6 8 ] A . L . Y u i l l e , T . A . P o g g i o , S c a l i n g t h e o r e m s f o r z e r o c r o s s i n g s , I E E E T r a n s .

P a t t e r n A n a l . M a c h . I n t e l l . , V o l . 8 , 1 5 { 2 5 , 1 9 8 6 .




2 6 9 ] S . W . Z u c k e r , A . D o b b i n s , L . I v e r s o n , B . K i m i a , A . T a n n e n b a u m , F r o m

c u r v e d e t e c t i o n t o s h a p e d e s c r i p t i o n : a n o u t l i n e , A . B a s u , X . L i ( E d s . ) ,

C o m p u t e r v i s i o n : s y s t e m s , t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s , W o r l d S c i e n t i c , S i n -

g a p o r e , 2 5 { 3 9 , 1 9 9 3 .



W i s s e n s c h a f t l i c h e r W e r d e g a n g

1 5 . 0 3 . 1 9 6 5 g e b o r e n i n L u d w i g s h a f e n a m R h e i n

1 9 7 1 { 1 9 7 5 G r u n d s c h u l e H e t t e n l e i d e l h e i m

1 9 7 5 { 1 9 8 4 S t a a t l i c h e s L e i n i n g e r { G y m n a s i u m G r u n s t a d t

0 6 / 8 4 A b i t u r

1 0 / 8 4 { 0 1 / 9 1 S t u d i u m d e r M a t h e m a t i k u n d P h y s i k a n d e r U n i v e r s i t a t

K a i s e r s l a u t e r n

0 9 / 8 6 Z w i s c h e n p r u f u n g i n M a t h e m a t i k f u r d a s L e h r a m t a n G y m -

n a s i e n

0 4 / 8 7 Z w i s c h e n p r u f u n g i n P h y s i k f u r d a s L e h r a m t a n G y m n a s i e n

u n d V o r d i p l o m i n P h y s i k m i t N e b e n f a c h I n f o r m a t i k

0 8 / 8 7 V o r d i p l o m i n T e c h n o m a t h e m a t i k m i t N e b e n f a c h T e c h n i s c h e

P h y s i k

0 1 / 9 1 D i p l o m i n T e c h n o m a t h e m a t i k m i t N e b e n f a c h T e c h n i s c h e

P h y s i k

0 2 / 9 1 { 0 7 / 9 3 W i s s e n s c h a f t l i c h e r M i t a r b e i t e r a m Z e n t r u m f u r P r a k t i s c h e

M a t h e m a t i k D a r m s t a d t { K a i s e r s l a u t e r n i m P r o j e k t \ N i c h t -

l i n e a r e D i u s i o n s l t e r "

0 8 / 9 3 { 0 1 / 9 6 W i s s e n s c h a f t l i c h e r M i t a r b e i t e r i n d e r A r b e i t s g r u p p e T e c h n o -

m a t h e m a t i k d e r U n i v e r s i t a t K a i s e r s l a u t e r n i m P r o j e k t

\ E n t w i c k l u n g n e u e r m a t h e m a t i s c h e r W e r k z e u g e i n d e r

B i l d v e r a r b e i t u n g z u r a u t o m a t i s c h e n Q u a l i t a t s k o n t r o l l e v o n

O b e r a c h e n "

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