Ang pos normal
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Prof:: Jesús Ciro Callupe Guzmán
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER MAGNITUD
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo está en posición normal, estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de ejes coordenados y su lado inicial coincide con el eje X positivo.
X
Y
O A
Bq
X
YConsiderando el ángulo en posición normal , cuyo lado final está en el punto P(x ; y); esta vez como se trata del Plano Cartesiano la base es: La abscisa (x), la ordenada (y) y el radio vector (r), de un punto del final del ángulo.
Rs. Ts. DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
P(x;y)
q
y
x
r
0y ,yr
vectorradio
0 x,xr
Sec
vectorradio
0y ,yx
P de
P de abscisa
0 x,xy
P de P de ordenada
rx
P de abscisa
ry
P de ordenada
CscPdeordenada
Csc
PdeabscisaSec
Ctgordenada
Ctg
Tgabscisa
Tg
Cosvectorradio
Cos
senvectorradio
Sen
22xr
:que
y
recordar
Sea un ángulo en posición normal y P(x,y)un punto del lado final de dicho ángulo, entonces las R.T. se definen de la siguiente manera:
X
Y
P(x;y)
q
y
x
r
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE
X
Y
PS
T C
Todas son positivasSenoCosecante
TangenteCotangente
CosenoSecante
Las Rs. Ts. que seanotan son positivas
IC IIC IIIC IVC
Sen + + - -
Cos + - - +
Tg + - + -
Ctg + - + -
Sec + - - +
Csc + + - -
Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes.
Las definiciones de las razones trigonométricas son válidas para éstos ángulos, aunque para algunos no está definido por tener denominador cero.
Ángulos Cuadrantales
, , , , son cuadrantales
RESUMEN DE LAS R.T.DE ÁNGULOS CUADRANTALES
(rad) 0 /2 3/2 2
(grados)
0 90° 180° 270° 360°
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
Tg 0 ND 0 ND 0
Ctg ND 0 ND 0 ND
Sec 1 ND -1 ND 1
Csc ND 1 ND -1 ND
Los ángulos coterminales son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, obviamente el, mismo vértice.
Ángulos Coterminales
X
Y
O A
B
a
b
PROPIEDAD 1
La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número entero de vueltas (n Є Z- {0} ).
Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado.
PROPIEDAD 2
Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales Si y son ángulos coterminales y los ubicamos en posición normal(evidentemente pertenecen al mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple:
vueltasn 360 n rad 2 n
CosCos
SenSen
CtgCtg
TgTg
CscCsc
SecSec
PROPIEDADES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS:
Dado los puntos P y P1; Observa que:
ySen
rx
Cos rx
Tany
xCot
y
rSec
xr
Cs cy
X
Y
O
a
-a
P(x;y)
r
r
P1(x;-y)
-ySen (- )
rx
Cos -rx
Tan -y
yCot -
xr
Sec -xr
Csc -y
Rs. Ts. Ángulo positivo
Rs. Ts. Ángulo
negativo
De éstas dos igualdades se deduce:
sen (- ) sen
cos - cos
tan - tan
cot - cot
sec - sec
csc - csc
X
Y
O
a
-a
P(x;y)
r
r
P1(x;-y)
PRACTICAMOS1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el valor de
Csc α
a) 4/3 b) 5/4 c) -4/5 d) -5/3
2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo signo?
a) I y III b) I y II c )I y IV d) II y III 3) El resultado de: Csc270º (Sen90º + cos180º), es:
a) 0 b) -1 c) 2 d) -2
4) ¿Son coterminales los ángulos?
) 445º y 85º
b) 69º y 429º
-17º y 343º
d) 735º y 25º
5) El valor de [sen(-30)]3 es:
A a) -1/2 b) -1/4 c) -1/8 d) -1/6
UNO MÁS EN LA FAMILIA
El matemático P. G. Lejeune Dirichlet no era muy amigo de escribir cartas. Hizo una excepción cuando nació su rimer hijo.
Dirichlet mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje: 1+1=3
ANO LUZ
El año luz es la distancia que recorre la luz en un año.La luz viaja a 300.000 kilometros por segundo,18.000.000 kilometros por minutos,o 1.080.000.000 kilometros por hora(lo mismo que mi auto),los que mas le guste.En un día recorre 25.920.000.000.
Curiosidades