ANEXO III. PÉNDULO SIMPLE NO...

ANEXO III. Péndulo simple no lineal.

168

ANEXO III. PÉNDULO SIMPLE NO LINEAL AIII.1) Oscilaciones libres no amortiguadas del péndulo.

Muchos de los métodos matemáticos empleados en oscilaciones no lineales se prueban en uno de los sistemas matemáticos más sencillos: el péndulo matemático.

Fig AIII.1. Péndulo simple no lineal.

Cuando el amortiguamiento no es considerado, la ecuación diferencial que gobierna la oscilación del péndulo matemático es:

⇔=+ 0mgsenxxml &&

0senxx 2

0 =⋅+ω&& AIII.1

donde: m = masa. l = longitud del cable del péndulo. g = fuerza gravitatoria.

.lg2

0 =ω

x = ángulo del péndulo con respecto a la posición vertical de equilibrio.

Como se puede observar, la ec.AIII.1 es una ecuación diferencial de 2º orden no lineal. Para poder resolverla hay dos opciones:


169

- Recurrir a resolución mediante el empleo de programas informáticos de cálculo

numérico, como podrían ser MATLAB O MATHEMÁTICA. - Recurrir a métodos analíticos que se pueden aplicar bajo consideraciones

particulares.

A continuación se recogen los planteamientos más interesantes que a día de hoy se emplean para abordar la resolución de este problema que tantos matemáticos y físicos han estudiado a lo largo de la historia.

Así pues, es interesante ver a dónde llevan estos dos caminos de resolución.

4.2) Métodos analíticos que se pueden emplear bajo consideraciones particulares. 1) Pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio: Si se considera que los valores que toma la magnitud x (ángulo del cable del péndulo con respecto a la posición vertical de equilibrio) son muy pequeños, esto es, que el péndulo se separe poco de la posición de equilibrio estable, se puede aproximar, teniendo en cuenta la serie de TAYLOR de senx, que:

...!7

x!5

x!3

xxsenx753

+−+−=

1x pp de donde se puede considerar:

xsen ≅

Así pues, sustituyendo en la ecuación diferencial no lineal de la ec.AIII.1, se llega a la expresión:

0xx 20 =⋅+ω&& ec.AIII..2

que tiene por solución general:

tcosBtAsenx 00 ωω += ec.AIII.3


170

donde A y B son las constantes de integración , que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Con respecto a la frecuencia natural 0ω , hay que señalar que ésta no depende de la amplitud de oscilación , lo cual, tal y como se sabe de las oscilaciones lineales, es una característica de este tipo de sistemas. Denominando las condiciones iniciales por:

t=0

0x)0(x =

0x)0(x && =

y sustituyendo en la ec.AIII.3, así como en su derivada, se tiene que:

tcosxtsenxx 0000

0 ωωω

+=&

ec.AIII.4

tsenxtcosxx 00000 ωωω −= &&

ec.AIII.5

Así, el diagrama de plano de fases en el plano x, x& consiste en una familia de elipses dadas por la fórmula:

20

202

02o

22 xxxx

ωω+=+

& ec.AIII.6

como puede deducirse fácilmente de eliminar el parámetro t de las ec.AIII.4 y ec.AIII.5.

Considerando 0

x,xω&

como ejes de coordenadas, se tiene una familia de círculos.

Todos estos círculos o elipses son recorridos en el mismo intervalo de tiempo:

0

2Tωπ

=

Esto es similar a lo que ocurre en el caso de oscilaciones lineales.


171

Fig AIII.2

Obviamente, esta solución falla estrepitosamente para valores grandes del ángulo x, en los que pierde validez la aproximación realizada. De hecho, la ecuación diferencial ec.AIII.1 (ecuación no simplificada) tiene una posición adicional de equilibrio:

π=x

0x =&

Sin embargo, nuestro problema simplificado (ec.AIII.2), sólo presenta un punto crítico:

0x =

0x =& La lógica lleva a pensar que encontraremos una solución “mejor” si no nos quedamos sólo con el primer término de la Serie de Taylor.


172

2) Métodos de perturbación.

Como ya se ha indicado anteriormente, la expresión 6xxsenx

3

−≅ debería ser

una aproximación mejor que xsenx ≅ . Sin más que sustituir en la ec.AIII.1, se tiene:

0x6

xx 32

020 =−+

ωω&& ec.AIII.7

En orden a darle un tratamiento más generalista, vamos a trabajar con la ecuación de DUFFING:

0xxx 320 =++ µω&& ec.AIII.8

donde µ es conocido como como el “parámetro pequeño”. Así, se va a tratar de obtener una solución en la fórma:

...)t(x...)t(x)t(x)t(x)t(x mm

22

10 +++++= µµµ ec.AIII.9

donde ix (t), i=1,2,... son funciones aún por determinar. Sustituyendo la ec.AIII.9 en la ec.AIII.8 :

0)(O)xx3xx()xxx(xx 21

202

202

2301

2010

200 =++++++++ µωµωµω &&&&&& ec.AIII.10

donde O(s) representa a los términos que son pequeños en comparación con s, de tal modo que :

0s

)s(Olim 0s =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

→

Ordenando en función de las potencias de µ , tal y como se ha hecho en la ec.AIII.10, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones: 0xx 000 =+ω&& ec.AIII.11 3

012

01 xxx −=+ω&& ec.AIII.12 1

202

202 xx3xx −=+ω&& ec.AIII.13

y así sucesivamente.


173

De este modo, este sistemas de ecuaciones se tiene que resolver recursivamente. La solución general de la ec.AIII.11 viene dada por la solución de la ecuación diferencial ec.AIII.2 del caso A.1, que puede ser reescrito como:

)t(Csen)t(x 00 γω += ..................................ec.AIII.14

donde se introducen las constantes de integración C y γ . Sustituyendo la ec.AIII.14 en la ec.AIII.12:

)t(senCxx 033

12

01 γωω +−=+&& ec.AIII.15

Para poder resolver esta ecuación de la forma más simple posible, la parte derecha de la ecuación se rescribe empleando funciones trigonométricas:

)t3(senC41)t(senC

43xx 0

30

31

201 γωγωω +++−=+&& ec.AIII.16

Para esta ecuación diferencial, la solución es:

)t(senC)3t3(senC32

1)tcos(C8

t3)t(x 0103

20

03

01 γωγω

ωγω

ω+++−+= ec.AIII.17

donde se presentan más constantes de integración, 1C y 1γ . La solución de la ecuación ec.AIII.17 es una superposición de oscilaciones libres con las dos oscilaciones forzadas de frecuencias circulares 0ω y 3 0ω ; esto ocurre porque, de nuevo, la ecuación ec.AIII.16 es una ecuación diferencial lineal. En las sucesivas soluciones de la ec.AIII.13 y las siguientes ecuaciones diferenciales, las nuevas constantes de integración que entran en juego ( ,...,...,C,C 3,232 γγ ) dependen de las condiciones iniciales. Sin embargo, sólo hay dos condiciones iniciales, por lo que se abre un abanico de combinaciones para elegir estas constantes. Dos opciones son las más empleadas: 1.- Las condiciones iniciales:

...)0(x)0(x)0(x)0(x 22

10 +++= µµ ec.AIII.18.a

...)0(x)0(x)0(x)0(x 22

10 +++= &&&& µµ ec.AIII.18.b


174

son impuestas en la “aproximación cero”: esto es, para unos )0(x),0(x & dados, las constantes C y γ en la ec.AIII.14 se eligen para satisfacer )0(x)0(x),0(x)0(x 00 && == ; además se considera 0)0(x,0)0(x ii == & para i=1,2,... Se trata ahora el caso particular para el que las condiciones son: A)0(x = 0)0(x =& (la solución del caso general de x(0) y )0(x& se puede deducir fácilmente a partir de este caso). Así pues, se considera tal y como se ha dicho: A)0(x 0 = 0)0(x 0 =& 0)0(x i = 0)0(x i =& para i=1,2,... ec.AIII.19 Sustituyendo en la ec.AIII.14 se obtiene:

C = A πγ21

=

Para i=1, considerando la ec.AIII.17, se tiene:

0senCC321

1120

3

=+ γω

0cosC 11 =γ

De donde:

πγ21

1 = 20

3

1 32CCω

−=

Por tanto, se puede concluir que:

[ ] )(ottsen12tcost3cosC321tcosC)t(x 00002

0

3

0 µωωωωω

µω +−−+= ec.AIII.19.a

Las constantes que parten de los términos de aproximación de mayor orden son determinados de manera similar. 2.- Todos los Ci (i=1,2,...) se igualan a cero (los iγ permanecen arbitrarios) y C y γ no se determinan directamente a partir de las condiciones iniciales para 0,0 xx & , sino de la


175

ec.AIII.18, teniendo en cuenta que las condiciones para i,i xx & (i=1,2,...) también dependen de C y γ . Insistiendo de nuevo en que 0)0(x =& , entonces se tiene:

...3cosC32

3cosC83cosC0)0(x 3

00

3

0 +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+== γ

ωγ

ωµγω&

que se cumple con πγ21

= . La solución vendrá dada por:

[ ] )(ottsen12t3cosC321tcosC)t(x 0002

0

3

0 µωωωω

µω +−+=

donde

)(oC321CA)0(x 2

0

3

µω

µ ++==

Nótese que la amplitud A ya no es igual a C. Si el proceso se continúa del mismo modo, eventualmente se obtiene x(0), y, en el caso de una solución periódica, también la amplitud, en la forma:

)C(A)C(AC)0(x 22

1 µµ ++= ec.AIII.20 Si tanto para la ec.AIII.19.a como para la ec.AIII.19.b sólo se toman los términos de primer orden enµ , aparece un término libre que crece linealmente con el tiempo, con la implicación de que no existe solución periódica. Sin embargo, se sabe por la observación del fenómeno, que se pueden presentar soluciones periódicas. En cualquier caso, este método A.2 es bastante útil para intervalos de tiempo pequeños. Los errores grandes únicamente se presentan cuando los intervalos de tiempo aquí considerados son grandes. Los conceptos de “grande” y “pequeño” aquí empleados junto a “intervalos de tiempo” se refieren siempre a la unidad comparativa del periodo:

0

2Tωπ

=

De hecho, las soluciones de la ecuación de Duffing (ec.AIII.8) son periódicas, pero esto no se aprecia hasta que la serie se corta después de un número finito de términos.


176

Hay que recordar que se pueden hacer los mismos comentarios sobre la serie de Taylor de la función periódica t)(sen 0 µ+ω con respecto a tµ :

...tcos!3ttsen

!2ttcosttsent)(sen 0

33

0

22

000 +−−+=+ ωµωµωµωµω

Esta serie converge para todo tµ , pero no lo hace uniformemente para

),0(t ∞∈ . Todo esto conlleva a que sería deseable ajustar la aproximación de la perturbación de tal modo que la periodicidad de la solución pueda ser reconocida tras un número finito de términos dela serie, y, si es posible, de tal modo que se obtenga un recordatorio de que es uniformemente pequeño en t. Una aproximación propuesta por LINDSTEDT (1883) se emplea junto con el hecho conocido de que la frecuencia circular de una oscilación no lineal es función de la amplitud. Consecuentemente:

...)C(e)C(e 22

12

02 +++= µµωω ec.AIII.21

o

)(o)C(e)C(e 22

21

220 µµµωω +−−= ec.AIII.22

Estas dos expresiones junto con la ec.AIII.9 se sustituyen en la ec.AIII.8, de tal modo que el resultado se ordena de nuevo en función de las potencias de µ :

( ) 0)(o)xexexx3xx(xxxxx 211021

202

22

2301

210

20 =+−−+++++++ µωµωµω &&&&&&

ec.AIII.23

Esta ecuación se resuelve igualando los coeficientes de las potencias de µ a cero, resultando: 0xx 0

20 =+ω&& ec.AIII.24

01

301

21 xexxx +−=+ω&& ec.AIII.25

11021

202

22 xexexx3xx ++−=+ω&& ec.AIII.26

...


177

Si sustituimos )t(Csen)t(x0 γω += en la ec.AIII.26 se llega a: )t(Csene)t(senCxx 1

331

21 γωγωω +++−=+&&

y entonces:

)t(Csene)3t3(senC41)t(senC

43xx 1

331

21 γωγωγωω +++++−=+&& ec.AIII.27

Para garantizar que no aparecerán términos seculares en la solución de la ec.AIII.27, la resonancia debe ser evitada. Para esto, la función )C(e1 , no especificada hasta ahora, se elige como:

21 C

43)C(e = ec.AIII.28

Como consecuencia de la ec.AIII.21, se tiene que:

)(oC43 22

02 µµωω ++= ec.AIII.29

)3t3(senC32

1)t(senC)t(x 32111 γω

ωγω +−+= ec.AIII.30

Por simplicidad, la constante de integración 1C se iguala a cero, por lo que:

)(o)3t3(senC32

)t(Csen)t(x 32 µγω

ωµγω ++−+= ec.AIII.31

(nótese de nuevo que C no se corresponde con la amplitud de x(t)). Si se toma nota de los términos de segundo orden de una manera similar, se obtiene:

{ } )()33(3)55(1024

1

)33(32

1)()(

254

2

32

µγωγωω

µ

γωω

µγω

otsentsenC

tsenCtCsentx

++−+

++−+= ec.AIII.32

)(oC1283C

43)C( 2

2

4222

02 µ

ωµµωω +++= ec.AIII.33

Naturalmente, 2ω en la parte derecha de la igualdad de la ec.AIII.32 debe ser reemplazada por 2

0ω . Hay que destacar que los términos no lineales en la ec.AIII.8 se


178

aproximan a los términos armónicos de orden impar en x(t), y que la frecuencia de las oscilaciones libres se vuelven entonces dependientes de la amplitud. Es generalmente dificultoso probar que una ecuación diferencial no lineal tiene soluciones que pueden ser escritas en forma de series de potencias, como las que se han empleado aquí. Además, el error estimado es complicado de obtener en extremo. 3) El método del balance harmónico. Ahora se asume que la ec.AIII.7:

0x6

xx 32

020 =−+

ωω&&

tiene una solución que sería: tCsen)t(x ω= ec.AIII.34 donde la frecuencia circular )C(ω depende de la amplitud. Considerando:

)t3sen41tsen

43(CtsenCx 3333 ωωω −==

se obtiene

t3sen24CtCsen

8C

6xxx

32

0

22

022

0

32

0 ωωωωωωω +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+&& ec.AIII.35

que naturalmente no es igual a cero en general. El lado derecho de la ec.AIII.35 tendría que anularse si x(t) fuera una solución de la ec.AIII.7. Se debe, por tanto, asegurar la anulación del factor de tsenω imponiendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

8C1

22

02 ωω ec.AIII.36

Si suponemos que 3C es pequeño, entonces el lado derecho de la ec.AIII.35 está “cercano a cero” y la ec.AIII.7 se satisface aproximadamente. Hay que destacar que la expresión de la ec.AIII.37 coincide con la de la ec.AIII.29 si fijamos:


179

6

20ωµ −=

Obviamente, para un C pequeño se puede escribir también:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

16C1

2

0ωω ec.AIII.37

Se obtiene una aproximación mejor si el método del balance harmónico se basa en una estimación con harmónicos superiores, como:

∑∑==

++=m

2nn

m

2nn tncosDtsenCtCsen)t(x ωωω ec.AIII.38

en lugar de la estimación recogida en ec.AIII.34. Introduciendo esta nueva estimación en la ec.AIII.7 y el lado derecho de la ecuación diferencial se rescribe como una suma de funciones trigonométricas. La ecuación diferencial es entonces aproximadamente satisfecha igualando los coeficientes de tncos,tsenn,tsen ωωω , n=2,3,...,m a cero en esta suma. Esto da lugar a 2m-1 ecuaciones algebraicas para los que

m32m32 D,...,D,D,C,...,C,C,ω en función de C. Evidentemente, sólo los coeficientes ,...C,C,C 753 son distintos de cero. Aunque por lo general no es posible dar una

justificación matemática para proceder así, es muy útil en diversas aplicaciones. 4) El método de Ritz. El método de Ritz, que se ha empleado frecuentemente en la resolución de problemas de valores límite en mecánica de sistemas elásticos, también puede ser aplicado en problemas de oscilaciones no lineales. Así, la función desconocida x(t) se escribe como una combinación lineal de funciones convenientes )t(iϕ , i=1,2,..., esto es:

∑=

=m

1iii )t(C)t(x ϕ ec.AIII.39

donde ∞→m . Los coeficientes iC , i=1,2,... han de ser determinados de tal modo que el error debido a la sustitución de la solución aproximada por la exacta sea tan pequeño como sea posible.


180

Si se considera:

)t(eC61C)t(C

6xxx

m

1i

m

1i

3m

1iiiii

20ii

32

0 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ ∑ ∑ ∑

= = =

ϕϕωϕω &&&& ec.AIII.40

e se impone que el error cuadrático medio en un intervalo de tiempo dado,

∫−

b

a

2 dt)t(eab

1

sea tan pequeño como fuese posible (en otras palabras, minimizando para poder acotar la ec.39), entonces:

∫ ∫ =∂∂

=∂∂ a

b

a

b i

2

i

0dtCee2dt)t(e

C, j=1,2,... ec.AIII.41

da lugar a un sistema de ecuaciones algebraicas en el que iC , i=1,2,... deben ser determinados. Por ejemplo, la opción de: tsen)t(1 ωϕ = , 0)t(...)t( m2 === ϕϕ ec.AIII.42 da lugar a:

t3senC24

tsenCC8

)t(e 31

20

11

2022

0 ωω

ωω

ωω +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ec.AIII.43

y con a=0, ωπ

==2Tb , se tiene:

∫ =∂∂T

0 1

dtCee ∫ ∫ =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=∂∂T

0

T

01

20

1

20

11

0dtt3senC8

tBsent3senC24

tsenACdtCee ω

ωωω

ωω

ec.AIII.44

donde:

1

2022

0 C8

A ωωω −−= 1

2022

0 C8

3B

ωωω −−=

Mas allá de la solución trivial { }01 ,0C ωω == se llega a la ecuación algebraica:


181

0C965C

211C

4112 4

12

14

022

02

14 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− ωωωω ec.AIII.45

que presenta las dos raíces: ( ){ }2

12

02 C10.025.01 ±−+= ωω ec.AIII.46

siempre que se asuma que la amplitud se mantiene pequeña y que 4

1C es despreciable. Es fácil demostrar que el signo + en la ec.AIII.46 se corresponde con el mínimo de

∫T

0

2dte

mientras que el signo – se corresponde con el máximo. Nótese que la frecuencia circular

2ω que se ha considerado aquí es algo menor que la dada por la ec.AIII.36. Se obtienen mejores aproximaciones si se incluyen funciones adicionales como t3sen)t(3 ω=ϕ tras

tsen)t(1 ω=ϕ en la expresión ec.AIII.41. En comparación con los métodos tratados anteriormente, la convergencia puede ser más fácilmente probada para este método, y el error estimado a veces se puede obtener con poca dificultad. A pesar de la no linealidad, la convergencia del método de Ritz se hace patente en este caso. El método de Galerkin, de gran aplicación en la resolución de problemas de valores límite en elastomecánica, no presenta los mismos resultados aquí. La convergencia del método no está necesariamente garantizada. 5) Método de linealización equivalente. Aquí, la ecuación diferencial no lineal 0senxx 2

0 =+ω&& se sustituye por la ecuación diferencial lineal 0xx 2 =+ω&& ec.AIII.47


182

donde 2ω , sin embargo, debe todavía depender de las condiciones iniciales, esto es, de la amplitud. Hay muchos criterios disponibles para escoger ω . Esto es probablemente cercano a reemplazar el “muelle no lineal” por un muelle lineal de tal modo que las energías almacenadas sean iguales para la misma amplitud, esto es

∫ =C

0

222

0 2Csenxdx ωω

que resulta en:

22

02

CCcos12 −

⋅= ωω

Usando que ,!4

C!2

C1Ccos42

+−≅ resulta que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

12C1

22

02 ωω

siendo esto una aproximación relativamente pobre. Se obtiene un mejor resultado con la “linealización óptima de BLAQUIERS (1966)”, según la cual, un error: senxxe 2

02 ωω −= ec.AIII.48

es definido, de tal modo que representa la diferencia entre el término lineal y el no lineal. Aquí e es una función de 2ω y x, o de 2ω y t si la solución para x(t) se asume en la forma: tCsen)t(x ω= La función )C(2ω es ahora determinada de tal modo que el error cuadrático medio

( )∫T

0

22 dtt,eT1 ω

se minimice para un valor de T fijo. Consecuentemente, se parte de la condición:

( )∫ ∫ =∂∂

=∂∂ T

0

T

02

222 0dtee2dtt,e

ωω

ω ec.AIII.49


183

El empleo de la ec.AIII.48 da lugar a :

( )∫ =−T

0

20

22 0dtxsenxx ωω ec.AIII.50

y por lo tanto:

∫

∫= T

0

2

T

020

2

dtx

xsenxdxωω

Si la solución de tCsen)t(x ω= se sustituye en la ecuación lineal, las integrales pueden ser tratadas con ωπ= /2T :

( )∫ =⋅T

01 )C(CJ2dttCsensentCsen

ωπωω

que resulta en:

C

)C(J2 120

2 ωω =

Aquí, kJ , es la función de BESSEL de orden k del primer tipo. Si solo se consideran los dos primeros términos de la serie de Taylor de la función de BESSEL 1J , entonces:

...x384

1x161x

21)x(J 53

1 −+−=

Operando así se obtiene de nuevo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

02 C

811ωω

6) La solución exacta.


184

En primer lugar, una aproximación más general es empleada con el fin de investigar cómo obtener una solución analítica de la ecuación diferencial: 0)x(fxm =+&& ec.AIII.53 donde m es una constante y f(x) es una función integrable arbitraria. En particular, como es el caso del péndulo, f(x) debe ser una función trigonométrica; pero además debe representar la curva de carga-desplazamiento no lineal de un muelle , donde hay que distinguir entre muelles “superlineales” y muelles “sublineales”; o podría ser un elemento no lineal en una red de trabajo, como un “condensador” no lineal. Hay que aclarar que un muelle “superlineal” es aquel en el que la rigidez del muelle aumenta con x, mientras que un muelle “sublineal” la rigidez del muelle se reduce al aumentar x.

Fig.AIII.3

MUELLE SUPERLINEAL MUELLE SUBLINEAL La multiplicación de la ec.AIII.53 por x& y la subsiguiente integración en t, nos lleva a la expresión:

∫ ==+ 02 Econstdx)x(fxm

21

& ec.AIII.54

Si m tiene dimensiones de masa y x de longitud, entonces la energía cinética viene dada por:


185

2xm21T &=

mientras que la energía potencial viene dada por: ∫= dx)x(f)x(U ( U(x) es entonces definido como una constante arbitraria). Así se obtiene:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −±= )x(UE

m2x 0& ec.AIII.55

Podemos dibujar fácilmente el diagrama de plano de fases para un nivel de energía 0E (Fig AIII.4). Es fácil deducir que las trayectorias de fase deben ser ortogonales con respecto al eje x en los puntos en los que se cortan, si se ignoran los puntos críticos (“posiciones de equilibrio”) Generalmente se obtienen trayectorias de fase cerradas, correspondientes a soluciones periódicas, aperiódicas, a la vez que la separatriz S. En el plano de fases, la separatriz separa las regiones que contienen soluciones periódicas de las que contienen soluciones aperiódicas o de otro tipo. El tipo de movimiento puede ser deducido rápidamente a partir del diagrama de fases. Finalmente, para determinar la oscilación como función del tiempo, se establece la siguiente integración:

( )

∫∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

±=+=x

x0

0

x

x0

00 )x(UEm2

xdt)x(x

xdtt&

ec.AIII.56

Naturalmente, no es siempre posible dar una solución formal cerrada de la ec.AIII.56, pero al final la solución de la ecuación diferencial ec.AIII.53 ha sido reducido a “cuadraturas”, esto es, a integraciones. Si U es un polinomio de 4º grado, entonces la ec.AIII.56 se convierte en una integral elíptica. El péndulo matemático de la ecuación: 0mgsenxxml =+&& se convierte ahora en:


186

∫ =+x

00

22 Exdxmglsenxml21

& ec.AIII.57

donde el factor l es introducido para que 0E tenga dimensiones de energía. En la ec.AIII.57, los límites de integración fueron escogidos de tal modo que la energía potencial es cero para la posición de equilibrio x=0. De la ec.AIII.57 se obtiene:

Fig AIII.4

{ }⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−±= )xcos1(mlEml

2x 20

202 ω& ec.AIII.58


187

Si ( )20

20

mlEω

se representa por *E , entonces se tiene:

( ){ }*

0 E1xcos2x +−±= ω& ec.AIII.59 donde para 2E0 * << se tienen soluciones periódicas y para 2E* > se tienen soluciones de péndulo rotativo. Para 2E0 * << la amplitud de la solución, C, se obtiene de *E1Ccos −= . El diagrama de fase se puede dibujar ahora sin dificultad.

Fig. AIII.5

Debido a la periodicidad del sistema, es bueno introducir aquí un espacio cilíndrico de fase. Para este propósito, una banda de ancho π≤≤ 2x0 es extraída del diagrama de fase y dos límites paralelos al eje x& son unidos. Las soluciones periódicas rodean la posición de equilibrio estable en la superficie del cilindro, sin envolver el cilindro, mientras los movimientos del péndulo rotativo se corresponden con curvas que dan la vuelta al cilindro.

Trabajando en la integral


188

{ }∫ −

±=x

000 Ccosx(cos2

xd1ttω

ec.AIII.60

se llega a la dependencia con el tiempo t de los movimientos periódicos con amplitud C

y con condiciones iniciales 0t 0 = , x(0)=0. El empleo de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2xsen21xcos 2 nos

lleva a:

Fig. AIII.6

( ){ }

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

2xsen

2Csen2

xdCcosxcos2

xd

22

y la sustitución senz2Csen

2xsen ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ entonces resulta en:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zsen2Csen1

dzzcos2Csen2

2xcos

dzzcos2Csen2xd

22


189

que se va a emplear para transformar la ec.AIII.60 en:

( )∫−

±=α

ω 022

0 zsenk1dz1t ec.AIII:.61

donde:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2Csenk

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2Csen

2xsen

arcsenα ec.AIII..62

La integral recogida en la ec.AIII.61 es una integral elíptica de primer tipo, la inversa de la función )k,(F α , la función elíptica de Jacobi )t,k(sn 0ω . El periodo debe entonces ser calculado como:

( )∫ ===−

=2

0 00022

0

)2Csen(K4)k(K4)k,

2(F4

zsenk1

dz4T

π

ωωπ

ωω ec.AIII.63

donde K es la integral elíptica completa

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ...k

4231k

211

2)k(K 4

22

2π

Para pequeñas amplitudes, 2C

2Csen ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ debe ser empleada, obteniendo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≅ 2

0

C16112T

ωπ ec.AIII.64

para el periodo, y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

16C1

2

0ωω ec.4.65

para la frecuencia circular correspondiente, lo cual sustenta lo obtenido en los métodos aproximados vistos anteriormente. En este último apartado, se ha demostrado como las ecuaciones diferenciales del tipo de la ec.AIII.53 pueden ser resueltas. Puesto que siempre tienen una integral


190

primera del tipo de la ec.AIII.54 (la integral de la energía), estos sistemas se denominan conservativos. 4.3). Resolución mediante el empleo de programas informáticos de cálculo numérico La ecuación diferencial que estamos considerando es:

0senxx 20 =+ω&& con

lg

0 =ω ec.AIII.66

Para resolver esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos se va a recurrir al programa matemático MATLAB. Con este propósito, es necesario realizar una serie de transformaciones sobre la ecuación diferencial anterior, para convertirla en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Con este fin se realiza el siguiente cambio de variables:

xy1 = ec.AIII.67

xy2 &= De este modo, sin más que considerar conjuntamente las expresiones ec.AIII.66 y ec.AIII.67: 21 yxy == && 21 yy && = ec.AIII.68

12 senylgxy −== &&& 12 seny

lgy −=&

El sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden recogidos en ec.AIII.68 es el que vamos a introducir en MATLAB. En principio, para resolver este problema se va a acudir a la función de MATLAB ode45. Esta función se basa en una fórmula de Runge-Kutta, el par Dormand-Prince. Se trata de un solucionador computacional de un paso )t(y n , que necesita sólo la solución del punto temporal inmediatamente anterior.


191

La función ode45 es la más empleada como “primer intento” para resolver la mayor parte de los problemas. PROGRAMACIÓN EN MATLAB. Tal y como se ha indicado anteriormente, el sistema de ecuaciones diferenciales es: 21 yy && =

12 senylgy −=&

Para simular este sistema, se crea la función ecpen que contiene las ecuaciones: function dy = ecpen(t,y) dy =zeros(2,1); % vector columna % g=9.8 , l=1 dy(1) = y(2); dy(2) = -(9.8/1)*sin(y(1)); Esta ecuación se encuentra recogida también en el anexo de funciones de MATLAB. En este problema se va a emplear las tolerancias relativas y absolutas siguientes:

310− y 610− respectivamente. Así mismo, se va a resolver en un intervalo de tiempo variable en función de las necesidades de representación. Además, es necesario establecer unas condiciones iniciales y los valores de g y l:

2sm8.9g = m1l =

En función de las condiciones iniciales que se escojan se presentan varios casos, que podemos agrupar en dos apartados:


192

A) 0)0(x =& . El péndulo inicialmente no tiene “impulso”, esto es, 0)0(x =& . El movimiento nace entonces de que la posición inicial del péndulo no sea la de equilibrio. Así, se ha calculado la solución gráfica de los siguientes casos: a.1) 0)0(x,0)0(x ==& a.2) 310)0(x,0)0(x −==& a.3) π== )0(x,0)0(x& B) El péndulo inicialmente parte de la posición inicial de equilibrio, esto es, x(0)=0, pero puede poseer una velocidad inicial. Así se ha calculado la solución gráfica de los siguientes casos: b.1) 0)0(x,0)0(x == & b.2) 310)0(x,0)0(x −== &

b.3) 261.6lg4)0(x,0)0(x === &

b.4) 10)0(x,0)0(x == &

C) Por último, se representa 0

xω&

frente a x para varios de los casos anteriores, lo cual

nos permite comparar resultados con la solución exacta analítica. Se tienen cuatro gráficos: c.1) 1)0(x,0)0(x ==& c.2) π== )0(x,0)0(x& c.3) 10)0(x,0)0(x == &

c.4) 261.6lg4)0(x,0)0(x === &

Consideremos cada uno de estos casos:


193

a.1) 0)0(x,0)0(x ==& Fig AIII.7

Puesto que el péndulo inicialmente no tiene aceleración, si la posición para t=0 es la de equilibrio, no hay movimiento. Por tanto, el péndulo no abandona la posición de equilibrio estable en la que se encuentra. a.2) 3)0(x,0)0(x ==&

Fig AIII.8

Con 0)0(x =& , para toda posición inicial tal que 0x está “cerca” de 0, el péndulo oscila periódicamente.


194

a.3) π== )0(x,0)0(x&

Fig AIII.10

El péndulo se mantiene en la posición de equilibrio inestable. b.1) 0)0(x,0)0(x == &

Fig AIII.12

Obviamente, es la misma situación que el caso a.1. El péndulo no abandona la posición de equilibrio estable.


195

b.2) 310)0(x,0)0(x −== &

Fig AIII.13

Se presenta de nuevo un movimiento de oscilación periódica.

b.3) 261.6lg4)0(x,0)0(x === &

Fig AIII.15

Se considera aquí el caso en el que la velocidad inicial es tal que el péndulo se encuentra muy próximo a alcanzar la posición de equilibrio inestable ( π=′x ).


196

b.4) 10)0(x,0)0(x == & Fig AIII.16

El péndulo gira (dando vueltas completas) para velocidades iniciales superiores a 261.6x 0 =′ .

A continuación se representan los planos de fase:

c.1) 1)0(x,0)0(x ==&

Fig AIII.17

Este caso se corresponde con la situación de la gráfica de la Fig AIII.15 en la que:

2*E <


197

c.2) π== )0(x,0)0(x& Fig AIII.18

Aquí se estudia el caso en el que 2*E ≈ . En esta gráfica se puede apreciar cómo los errores numéricos inherentes al cálculo numérico nos juegan una mala pasada ya que x´/w debería oscilar continuamente entre dos valores (cosa que no ocurre en el gráfico superior). c.3) 10)0(x,0)0(x == &

Fig AIII.19

En esta situación claramente estamos en E*>2.


198

c.4) 261.6lg4)0(x,0)0(x === &

Fig AIII.20

Este es un caso particular en el que 2*E ≅ . En concreto, E pasa de ligeramente inferior a 2 a ligeramente superior a 2. Los errores numéricos vuelven a jugarnos una mala pasada, y hacen que un E* ligeramente inferior pase a ser ligeramente superior por lo que se produce un cambio de comportamiento recogido en el gráfico.


199

ANEXO III. PÉNDULO SIMPLE NO...

Documents

Transcript of ANEXO III. PÉNDULO SIMPLE NO...