Analysis of Computational Aeroelastic Simulations by Fitting Time Signals

8/8/2019 Analysis of Computational Aeroelastic Simulations by Fitting Time Signals

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Nationaal Lucht- en Ruimtevaartlaboratorium

National Aerospace Laboratory NLR

NLR TP 97281

Analysis of computational aeroelastic

simulations by fitting time signals

M.H.L. Hounjet, B.J.G. Eussen and M.W. Soijer


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DOCUMENT CONTROL SHEET

ORIGINATOR'S REF. SECURITY CLASS.TP 97281 U Unclassified

ORIGINATORNational Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam, The Netherlands

TITLEAnalysis of computational aeroelastic simulations by fitting time signals

PRESENTED ATCEAS International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, Rome,Italy, June 17-20, 1997.

AUTHORS DATE pp refM.H.L. Hounjet, B.J.G. Eussenand M.W. Soijer

970626 15 20

DESCRIPTORSAeroelasticity Parameter identificationAircraft configurations Prediction analysis techniquesCurve fitting Time series analysisFlight characteristic Transfer functionsMIMO (control systems) Transonic flutterModal response

ABSTRACTThe procedures to assess the critical aeroelastic state of an aircraftwith the AESIM simulation method are described. The main innovation isthe identification with MIMO-class methods which opens up possibilitiesfor efficient usage of aeroelastic simulation methods. Experience withrecent applications is reported.


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A N A L Y S I S O F C O M P U T A T I O N A L A E R O E L A S T I C S I M U L A T I O N S B Y

F I T T I N G T I M E S I G N A L S

M i c h a e l H . L . H o u n j e t a n d B a r t J . G . E u s s e n

N L R , A n t h o n y F o k k e r w e g 2 , 1 0 5 9 C M A m s t e r d a m

e m a i l : h o u n j e t @ n l r . n l

e m a i l : e u s s e n @ n l r . n l

M a r c o W . S o i j e r

F a c u l t y o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g

D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , K l u y v e r w e g 1 , 2 6 2 9 H S D e l f t

e m a i l : m . w . s o i j e r @ l r . t u d e l f t . n l

A b s t r a c t .

T h e p r o c e d u r e s t o a s s e s s t h e c r i t i c a l a e r o e l a s t i c s t a t e o f a n

a i r c r a f t w i t h t h e A E S I M s i m u l a t i o n m e t h o d a r e d e s c r i b e d .

T h e m a i n i n n o v a t i o n i s t h e i d e n t i c a t i o n w i t h M I M O - c l a s s

m e t h o d s w h i c h o p e n s u p p o s s i b i l i t i e s f o r e c i e n t u s a g e

o f a e r o e l a s t i c s i m u l a t i o n m e t h o d s . E x p e r i e n c e w i t h r e c e n t

a p p l i c a t i o n s i s r e p o r t e d .

K e y w o r d s : A e r o e l a s t i c i t y , M I M O , P r o n y , A E S I M ,

D O U L A T , N A S T R A N , G U L , S t r u c t u r a l D y n a m i c s

1 . I n t r o d u c t i o n

T h e s u b j e c t i s b e i n g a d d r e s s e d b e c a u s e o f t h e

i n d u s t r i a l n e e d f o r a n e c i e n t a e r o e l a s t i c s i m u l a -

t i o n s y s t e m a b l e t o i m p r o v e a i r c r a f t d e s i g n w i t h

a d e q u a t e a n d e c i e n t a s s e s s m e n t o f a e r o e l a s t i c

b e h a v i o u r u t t e r a n d o r d y n a m i c r e s p o n s e s f o r

t r a n s o n i c i g h t o r o t h e r n o n l i n e a r c o n d i t i o n s .

T o d a y ' s i n d u s t r i a l a e r o e l a s t i c s t u d i e s a r e p e r -

f o r m e d m a i n l y w i t h a s e t o f c l a s s i c a l m e t h o d s

r e s t r i c t e d t o l i n e a r a s s u m p t i o n s d u e t o t h e i r e -

c i e n c y i n a s s e s s i n g t h e c r i t i c a l s t a t e c a s e s f o r a l a r g e

s t a t e s p a c e .

F o r t r a n s o n i c o w t h e s e r e s u l t s a r e q u e s t i o n a b l e

a n d t h e a f o r e m e n t i o n e d m e t h o d s a r e o f t e n m a t c h e d

w i t h d a t a o b t a i n e d f r o m e x p e r i m e n t a n d o r o t h e r

C F D m e t h o d s .

T h e N L R A E S I M m e t h o d i s d e v e l o p e d w i t h t h e

o b j e c t i v e t o a s s i s t i n t h e d e s i g n o f f u t u r e a i r c r a f t

w h i c h a r e s u b j e c t e d t o i n c r e a s e s i n e x i b i l i t y , a e r o -

d y n a m i c l o a d i n g a n d n o n l i n e a r i t y a n d m i g h t b e o f

v a l u e i n t h e e a r l y d e s i g n a n d d e v e l o p m e n t p h a s e f o r

a s s e s s i n g i g h t s t a b i l i t y a n d c o n t r o l , s a f e t y a n d r i s k

v a l u a t i o n a n d r i d e q u a l i t i e s . T h e m e t h o d f o c u s e s

p r i m a r i l y o n a e r o e l a s t i c i t y a t t r a n s o n i c a n d m i l d y

s e p a r a t e d o w s w h e r e a e r o d y n a m i c n o n l i n e a r i t y i s

a n o n - n e g l i g i b l e f a c t o r w h i c h c a n n o t b e e s t i m a t e d

w i t h e x t r a p o l a t i n g c u r r e n t m e t h o d o l o g y w h i c h i s

s u i t e d f o r i g h t a t s u b s o n i c a n d l o w a n g l e - o f - a t t a c k

s u p e r s o n i c s p e e d s .

O v e r t h e p a s t 2 0 y e a r s r e s e a r c h c e n t r e s a n d u n i -

v e r s i t i e s h a v e p u t e o r t i n t h e d e v e l o p m e n t a n d

v a l i d a t i o n o f a d v a n c e d t i m e - a c c u r a t e a e r o d y n a m -

i c C F D m e t h o d s f o r t h e a f o r e m e n t i o n e d p u r p o s e s ,

r e s u l t i n g i n a v a r i e t y o f m e t h o d o l o g i e s f o r m o s t l y

c l e a n w i n g s a n d f o r r i g i d m o t i o n s u s i n g t h e m o d a l

w a y o f c o u p l i n g . T h e r e c e n t a l g o r i t h m s a r e a l r e a d y

v e r y e c i e n t a n d a f u r t h e r s i g n i c a n t r e d u c t i o n o f

t u r n - a r o u n d t i m e f r o m a l g o r i t h m i m p r o v e m e n t s i s

n o t e x p e c t e d . A l s o , t h e i n d u s t r y s e e m s t o b e r e l u c -

t a n t i n t a k i n g o n t h e s e n e w t e c h n o l o g i e s d u e t o

t h e f a c t t h a t i n m a n y o c c a s i o n s a t t e n t i o n w a s g i v -

e n o n l y t o t h e m o d e l l i n g o f t h e p h y s i c a l u n s t e a d y

a e r o d y n a m i c p h e n o n e m a a n d m u c h l e s s t o t h e c o m -

p l e t e a e r o e l a s t i c p r o b l e m s m o r e r e l e v a n t t o i n d u s -

t r y . T h i s i s s u p p o r t e d b y t h e f a c t t h a t a l m o s t n o

m e t h o d s h a v e b e e n r e p o r t e d w h i c h d e a l w i t h t h e

i n t e r p o l a t i o n i s s u e s a t t h e u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e

f o r n o n - a t p l a t e g e o m e t r i e s

1

, t h a t t h e c o u p l i n g

m e t h o d o l o g y i s o c c a s i o n a l l y i n v e s t i g a t e d 3 a n d

t h e f a c t t h a t h a r d l y n o t h i n g m e t h o d s a n d s t r a t e -

g y h a s b e e n r e p o r t e d t h a t d e a l s w i t h t h e s y s t e m

i d e n t i c a t i o n i n c o m p u t a t i o n a l a e r o e l a s t i c s i m u l a -

t i o n .

O n e o f t h e f u n d a m e n t a l t a s k s i n a n a e r o e l a s t i c

a n a l y s i s i s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e f r e q u e n c y a n d

d a m p i n g o f a e r o e l a s t i c m o d e s e . g . t o d e t e c t i f o n e

o f t h e g e n e r a l i z e d d i s p l a c e m e n t s b e c o m e s u n s t a -

b l e a n d u t t e r w i l l o c c u r w h i c h i s a s u b s e t o f t h e

a f o r e - m e n t i o n e d s y s t e m i d e n t i c a t i o n .

I n m o s t t i m e d o m a i n a e r o e l a s t i c a p p l i c a t i o n s t h e

a n a l y s i s o f t h e t i m e s i g n a l i s a c l o s i n g e n t r y w h i c h

d o e s n o t g e t m u c h a t t e n t i o n a n d i s o f t e n l e f t o u t i n

p r e s e n t a t i o n s . F o r t h e w e l l - k n o w n I s o g a i c a s e a n y

a n a l y s i s m e t h o d i s g o o d e n o u g h i n c o n t r a s t w i t h

m o r e r e a l i s t i c m u l t i - D O F s t r u c t u r e s . T o s i n g l e o u t

a f e w m o d e s f o r a n a l y s i s f r o m a m u l t i - m o d e s s y s -

t e m i s n o t g o o d e n o u g h c o m p a r e d t o c l a s s i c a l p - o r

p k - m e t h o d s o f u t t e r a n a l y s i s t h a t g i v e t h e u s e r a

c o m p l e t e a n a l y s i s o f e v e r y m o d e . A s m a n y d i e r e n t

t i m e r e s p o n s e s i g n a l s m a y h a v e t o b e a n a l y z e d , s e v -

1

T h e v o l u m e s p l i n e m e t h o d h a s b e e n i n t r o d u c e d i n 1 9 9 4

1 , 2 f o r t h a t p u r p o s e .


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e r a l m e t h o d s f o r c u r v e - t t i n g s h o u l d b e a v a i l a b l e .

T h e a n a l y s i s c a n b e s e n s i t i v e t o l i g h t d a m p i n g s y s -

t e m s , t h e n u m b e r o f a n a l y z e d m o d e s , c o i n c i d i n g

m o d e s a n d t h e s i g n a l b e i n g n o n - p h y s i c a l . T o o v e r -

c o m e t h e s e p r o b l e m s a n u m b e r o f s o l u t i o n s t r a t e -

g i e s i s n e e d e d .

S t a b i l i t y a n a l y s i s w i t h t i m e - a c c u r a t e C F D m e t h -

o d s i s u s u a l l y p e r f o r m e d w i t h o n e o f t h e f o l l o w i n g

t w o s t r a t e g i e s :

P - o r p k - m e t h o d a n a l y s i s . T h e a e r o d y n a m i c

d a t a r e q u i r e d f o r t h e s e m e t h o d s m i g h t b e s u p -

p l i e d b y : i H a r m o n i c e x c i t a t i o n w h i c h i s i n e -

c i e n t w h e n t h e s t a t e s p a c e

2

i s l a r g e ; i i I m p u l s -

r e s p o n s e w h i c h i s p r o n e t o n o i s e a n d i s a l s o i n e -

c i e n t w h e n t h e s t a t e s p a c e i s l a r g e ; i i i . D i v e r g i n g

r a t e m e t h o d 4 . T h i s m e t h o d i s b a s e d o n t h e l i n -

e a r i z e d f o r m o f t h e e q u a t i o n s a n d i s s u i t a b l e i n

a d e s i g n c y c l e b e c a u s e t h e t u r n - a r o u n d t i m e c a n

b e b r o u g h t b a c k t o t h e m i n i m u m .

F u l l y - c o u p l e d s i m u l a t i o n . T h i s m e t h o d i s

e s p e c i a l l y u s e f u l i n c a s e o f s t r o n g n o n - l i n e a r i t i e s

a t l o w f r e q u e n c i e s a n d a l a r g e s t a t e s p a c e . F o r

a s i n g l e i g h t c o n d i t i o n t h e t u r n - a r o u n d t i m e

i s a l w a y s l e s s t h a n t h e t u r n - a r o u n d t i m e w h e n

m e t h o d 1 . i o r 1 . i i a r e u s e d f o r t h e s t u d y o f a

g e n e r a l s t a b i l i t y p r o b l e m . F o r a r e s t r i c t i v e s t u d y ,

m e t h o d s 1 . i a n d 1 . i i m i g h t b e m o r e e c i e n t t h a n

m e t h o d 2 . I t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t m e t h o d

1 . i i i c a n b e e m b e d d e d i n a r e a s o n a b l y e a s y w a y

i n a t i m e - a c c u r a t e C F D m e t h o d .

T h e m a i n i n n o v a t i o n i n t h i s p r e s e n t a t i o n

i s t h e a d o p t i o n o f M I M O - c l a s s 5 t e c h -

n o l o g y , w i t h t h e o b j e c t i v e t o p r e d i c t t h e

s y s t e m s t a t e a t m u l t i p l e i g h t c o n d i t i o n s

f r o m a M I M O i d e n t i c a t i o n o f a f u l l y -

c o u p l e d s i m u l a t i o n a t a s i n g l e i g h t c o n d i -

t i o n , b y e x t r a c t i n g u s e f u l d a t a e . g . G e n e r -

a l i z e d F o r c e s f r o m t h e c o u p l e d s i m u l a t i o n

w h i c h c a n b e u s e d f o r o t h e r p u r p o s e s .

B y t h e a f o r e m e n t i o n e d c o n t i n u a t i o n i t i s e x p e c t e d

t o i n c r e a s e e c i e n c y , s o t h a t i n d u s t r i a l a e r o e l a s -

t i c s t u d i e s m i g h t b e p e r f o r m e d w i t h f u l l y - c o u p l e d

C F D m e t h o d s i n a s s e s s i n g t h e c r i t i c a l s t a t e c a s e s

f o r a l a r g e s t a t e s p a c e .

T h i s p r e s e n t a t i o n d e s c r i b e s t h e e x p e r i e n c e w i t h t h e

c u r r e n t l y a v a i l a b l e t t i n g m e t h o d s a n d s t r a t e g i e s

i n a p p l i c a t i o n s .

2

T h e s t a t e s p a c e h e r e i s t h e u n i o n o f t h e g e o m e t r i c a l

s t a t e V i b r a t i o n m o d e s e t c . , t h e s t r u c t u r a l s t a t e M a s s ,

s t i n e s s , e i g e n f r e q u e n c i e s e t c . a n d t h e u i d s t a t e A i r s p e e d ,

a l t i t u d e , e t c .

AERO SOLVER

NASTRAN - MIMO

TLNS

AESIM

Motion

Cl -

Cm - Force history

Flutter diagram

CAR88

GUL

Convolution

Pade Transfer function

Lin. Methods

Panelling

Interpolation

DampingFrequencyData fit

AmplitudeCp

Grid Modeshapes

gustcoupleddiscrete

impulsesinestat.flex

Postprocessing

Monitoring

Full Potential

BLOWUP

Grid Generator

dataElastomechanical

Preprocessor

Elastomechanical

Surface grid

NASAESFOLDIT

Geo-preprocessor

NASTRANGeometry

F i g u r e 1 . A E r o e l a s t i c S I M u l a t i o n s y s t e m

2 . A e r o e l a s t i c S i m u l a t i o n S y s t e m

A t N L R m u c h e o r t h a s b e e n s p e n t t o c r e -

a t e a c o m p l e t e A E r o e l a s t i c S I M u l a t i o n s y s t e m ,

t o b e u s e d p r i m a r i l y f o r t h e u t t e r c e r t i c a t i o n

o f t r a n s p o r t - t y p e a i r c r a f t i n t h e t r a n s o n i c s p e e d

r e g i m e . T i m e - a c c u r a t e s i m u l a t i o n o f u i d a n d a i r -

f r a m e s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n i s e m p h a s i z e d . T h e

A E r o e l a s t i c S I M u l a t i o n s y s t e m i s r e f e r r e d t o a s

A E S I M , a f t e r t h e n a m e o f t h e c o r e p r o g r a m .

T h e A E r o e l a s t i c S I M u l a t i o n s y s t e m i s b u i l t a r o u n d

t h e A E S I M c o r e a n d c o n s i s t s o f s i x i n d e p e n d e n t

m a i n p r o g r a m m o d u l e s , s e e g u r e 1 :

F O L D I T : s u r f a c e g r i d g e n e r a t i o n .

B L O W U P : g r i d g e n e r a t i o n .

N A S A E S : e l a s t o m e c h a n i c a l d a t a m a n i p u l a -

t i o n .

A E S I M c o r e .

O u t p u t i n t e r f a c i n g e . g . t o N A S T R A N o r M I M O .

L i n e a r m e t h o d s l i b r a r y .

T h e A E S I M c o r e p r o g r a m i s d i v i d e d i n t o 5 i n d i v i d -

u a l m o d u l e s a n d c o n t a i n s t h o s e s u b r o u t i n e s w h i c h

a r e C P U i n t e n s i v e a n d m a k e i t p o s s i b l e t o r u n t h e

c o r e i n s t a n d a l o n e m o d e :

I n t e r p o l a t i o n : I n t e r p o l a t i o n o f e l a s t o m e c h a n -

i c a l a n d a e r o d y n a m i c d a t a V o l u m e S p l i n e

M e t h o d 1 , 2 .


5/13

A e r o s o l v e r : T i m e - a c c u r a t e s o l v i n g o f a e r o d y -

n a m i c e q u a t i o n s F u l l P o t e n t i a l a n d T L N S

3

M o t i o n : E i t h e r d e s c r i p t i o n o f m o t i o n s , s e e d e d

o w s , o r s o l v i n g o f e l a s t o m e c h a n i c a l e q u a t i o n s

w i t h o r w i t h o u t e x t e r n a l l o a d i n g s .

M o n i t o r i n g : V i s u a l i z a t i o n o f s i m u l a t e d d a t a .

P o s t p r o c e s s i n g : R e c o l l e c t i o n a n d a s s i m i l a t i o n

o f f a c t s a n d g u r e s o f p a s t s i m u l a t i o n s .

R e c e n t l y a c t i v i t i e s h a v e b e e n s t a r t e d t o e x t e n d

t h e A E S I M m e t h o d i n t h e d i r e c t i o n o f o w s a n d

g e o m e t r i e s w h i c h a r e e n c o u n t e r e d i n m i l i t a r y a i r -

c r a f t . T h e n t h e c o d e w i l l b e r e a d y t o p r o v e i t s v a l -

u e i n a p p l i c a t i o n s w i t h m i l d o w s e p a r a t i o n w h i c h

i s p r i m a r e l y r e s p o n s i b l e f o r i n d u c i n g s t r o n g l i m i t

c y c l e o s c i l l a t i o n s t r u c t u r a l r e s p o n s e s , w h i c h m i g h t

r e s t r i c t t h e i g h t e n v e l o p e o f t h e a i r c r a f t .

I n t h i s p a p e r w e g i v e a t t e n t i o n t o t h e t i m e - a n a l y s i s

a n d s t r a t e g i e s t o u s e t h e m e t h o d e c i e n t l y . T h e

o t h e r p a r t s h a v e b e e n p r e s e n t e d i n 8 .

3 . T i m e s i g n a l a n a l y s i s

T h e f u n d a m e n t a l t a s k i n a n a e r o e l a s t i c a n a l y s i s i s

t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e f r e q u e n c y a n d d a m p i n g o f

a e r o e l a s t i c m o d e s e . g . t o d e t e c t i f o n e o f t h e g e n -

e r a l i z e d d i s p l a c e m e n t s b e c o m e s u n s t a b l e a n d u t -

t e r w i l l o c c u r . A s m a n y d i e r e n t t i m e r e s p o n s e

s i g n a l s m a y h a v e t o b e a n a l y z e d a c o m p r e h e n s i v e

s e t o f m e t h o d s f o r c u r v e - t t i n g s h o u l d b e a v a i l -

a b l e . I n g e n e r a l e a c h t i m e r e s p o n s e s i g n a l e x i s t s

o f c o n t r i b u t i o n s o f v a r i o u s m o d a l m o d e s , o f w h i c h

t h e f r e q u e n c y a n d d a m p i n g o f e a c h o n e h a v e t o b e

d e t e r m i n e d .

T h e r e f o r e , d u r i n g a n u n s t e a d y s i m u l a t i o n t h e d a t a

m u s t b e a n a l y z e d o n - l i n e i n t h e t i m e d o m a i n i n

o r d e r t o d e t e r m i n e t h e b e h a v i o r o f a c o u p l e d s y s -

t e m . T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s a n a l y s i s i s t o d e t e r -

m i n e t h e f r e q u e n c y a n d d a m p i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f

t h e d i s c r e t e t i m e s i g n a l . T o f u l l t h a t t a s k t h e f o l -

l o w i n g m e t h o d s h a v e b e e n e m b e d d e d s e e s e c t i o n

3 . 2 :

T h e e x p o n e n t i a l s i n e t , 9

P r o n y ' s m e t h o d ,

F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m a n a l y s i s ,

C u r v e - t t i n g o f t r a n s f e r f u n c t i o n s .

V e r y r e c e n t l y , i n a c o o p e r a t i o n w i t h T U D e l f t a f e a -

s i b i l i t y s t u d y h a s b e e n s t a r t e d t o a p p l y t h e p r o m i s -

i n g M I M O - c l a s s t e c h n i q u e s 5 f o r t h a t p u r p o s e

3

R e c e n t l y t h e T L N S m e t h o d o l o g y a s r e p o r t e d i n 6 , 7

h a s b e e n e m b e d d e d a s t h e r e i s e n o u g h e v i d e n c e t h a t w i t h

t h e T h i n - L a y e r N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c o m p l e m e n t e d b y a

s i m p l e t u r b u l e n c e m o d e l l i n g t h e n e e d s o f t h e i n d u s t r y c a n

b e m e t f o r m a n y c o n g u r a t i o n s .

t o o . T h e y w i l l e n h a n c e t h e a n a l y s i s c a p a b i l i t y a s

d e p i c t e d i n g u r e 2 .

Freque

nties

in h ou dsverhouding

Frequentie-S i g n a a l l e n g t eMinimum

Tijddomein

Frequent iedomein

Ful ly Control led Fl ight

Impu ls responsie methodeSIMO

SISOControl Sys t ems

MIMO

SISO

responsie

Impuls

methode

Prony

Exp.SineFit

S ignaa l l engte (T imes teps)

F i g u r e 2 . D e p l o y m e n t t i m e - a n a l y s i s m e t h o d s w i t h r e s p e c t t o

a e r o e l a s t i c s y t e m s

S i n c e a w i d e a r r a y o f t i m e r e s p o n s e s i g n a l s i s a v a i l -

a b l e s e v e r a l w a y s e x i s t t o m a k e u s e o f t h e a f o r e -

m e n t i o n e d t i m e - t t i n g t o o l s . T h e m o s t c o m m o n

t i m e r e s p o n s e s i g n a l s w h i c h c a n b e u s e d t o d e t e r -

m i n e t h e f r e q u e n c y a n d d a m p i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f

t h e d i s c r e t e t i m e s i g n a l c o n s i s t o f :

F o r e v e r y m o d a l m o d e s e p a r a t e l y :

t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e ,

t h e v e l o c i t y o f t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e ,

t h e g e n e r a l i z e d f o r c e .

A l s o a c o m b i n a t i o n o f m o d a l m o d e s a n d o r t h e

p r e s s u r e o r d e f o r m a t i o n d a t a a t s e l e c t e d p o i n t s

c a n b e a n a l y z e d .

E x p e r i e n c e h a s l e a r n e d t h a t f o r a f a i l s a f e a n a l y -

s i s o f a n e l a s t o m e c h a n i c a l s y s t e m t h e a b o v e m e n -

t i o n e d t t i n g r o u t i n e s a r e a p p l i e d r s t t o t h e n o n -

a e r o d y n a m i c a l l y l o a d e d s y s t e m a n d n e x t t o t h e

s y s t e m l o a d e d u s i n g l i n e a r a e r o d y n a m i c s , 1 0 ,

t h r o u g h c o n v o l u t i o n o f t r a n s f e r f u n c t i o n s , 4 . T h e

d a t a f r o m t h e s e a n a l y s e s m i g h t a c t a s a g u i d e -

l i n e f o r t h e a n a l y s i s o f t h e n o n - l i n e a r t i m e s i g n a l ,

o r i g i n a t i n g f r o m t h e c o u p l e d n o n - l i n e a r u i d s t r u c -

t u r e s i m u l a t i o n . T h e a n a l y s i s p r o c e s s h a s b e e n f u l -

l y a u t o m a t e d t h r o u g h u s e o f s c r i p t s . T h i s f a c i l i t y

a l l o w s t h e a n a l y s i s p r o c e s s t o b e r e p e a t i b l e a n d t o

b e d o c u m e n t e d .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a l s o t h e a n a l y s i s m i g h t p r o -

v i d e a p r o g n o s t i c w a y t o s p e e d u p t h e s i m u l a t i o n b y

a l l o w i n g f o r l a r g e r t i m e s t e p s 3

3 . 1 . M I M O - c l a s s s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n

T h e m a i n i n n o v a t i o n i n t h i s p r e s e n t a t i o n i s t h e

a d o p t i o n o f M I M O 5 t e c h n o l o g y . T h i s p e r m i t s a


6/13

b l a c k b o x

4

e v a l u a t i o n o f t h e a e r o e l a s t i c s y s t e m i n

s u c h a w a y t h a t a f t e r a s i n g l e f u l l y - c o u p l e d s i m -

u l a t i o n f o r o n e i g h t c o n d i t i o n t h e s y s t e m s t a t e

f o r o t h e r i g h t c o n d i t i o n s e . g . q

d y n

m i g h t b e p r e -

d i c t e d a n d t o e x t r a c t u s e f u l d a t a e . g . G e n e r a l i z e d

F o r c e s f r o m t h e c o u p l e d s i m u l a t i o n w h i c h c a n b e

u s e d f o r o t h e r p u r p o s e s .

T h e m a i n p u r p o s e i s t o e x t e n d t h e s i n g l e p o i n t

a p p l i c a t i o n o f c o u p l e d s i m u l a t i o n m e t h o d s t o m u l -

t i p l e p o i n t s a n d w a y h e a d i s g i v e n t o p e r f o r m

p o s t p r o c e s s i n g a c t i v i t i e s , p k - , k - m e t h o d e t c , w i t h

e x t r a c t e d d a t a f r o m a n a p p l i c a t i o n o f a f u l l y -

c o u p l e d s i m u l a t i o n .

+

+

+

+

q

qdyn

dyn

22

21

12

11

+

+

u

u

x

x

DC

BA

Q

Q

Q

Q

F i g u r e 3 . G e n e r i c 2 m o d e a e r o e l a s t i c s y s t e m

A 2 - D O F e x a m p l e i s p r e s e n t e d i n g u r e 3 w h e r e w e

w a n t t o a s s e s s t h e t r a n s f e r f u n c t i o n s g e n e r a l i z e d

f o r c e s f r o m t h e c o u p l e d s i m u l a t i o n . F r o m t h e c o u -

p l e d r e s p o n s e s x ; u a t a x e d q

d y n

t h e M I M O a n a l -

y s e s w i l l d e d u c t t h e A ; B ; C ; D ; Q

1 1

; Q

1 2

; Q

2 1

a n d

Q

2 2

. T h e c o n d i t i o n o f t h e s y s t e m i s e q u i v a l e n t t o

t h e a m o u n t o f p r o p o r t i o n a l f e e d b a c k . T h e s y m b o l s

u s e d i n t h e g u r e a r e e x p l a i n e d i n t h e a p p e n d i x .

I n o r d e r t o o b t a i n a n e s t i m a t e f o r t h e u t t e r c o n d i -

t i o n f r o m a s i n g l e t i m e s i m u l a t i o n , t h e a e r o d y n a m -

i c s t h a t r e l a t e t h e g e n e r a l i z e d a e r o d y n a m i c f o r c e s

t o t h e g e n e r a l i z e d d i s p l a c e m e n t s a r e t o b e m o d -

e l l e d a n d i d e n t i e d . S i n c e t h e s y s t e m o p e r a t e s i n a

c l o s e d l o o p w i t h t h e e l a s t o m e c h a n i c a l s y s t e m , m u l -

t i v a r i a b l e a l g o r i t h m s f o r c l o s e d - l o o p i d e n t i c a t i o n

a r e r e q u i r e d . T h e d a t a t h a t i s t o b e u s e d i s o b t a i n e d

b y s i m u l a t i o n , s o t h e s i g n a l s a r e n o t c o n t a m i n a t e d

b y m e a s u r e m e n t n o i s e . H o w e v e r , a s m a l l a m o u n t

o f p r o c e s s n o i s e i s p r e s e n t , s i n c e r o u n d - o e r r o r s

a r e i n t r o d u c e d o n t h e p r o p a g a t i o n o f t h e s i g n a l s

t h r o u g h t h e t w o s y s t e m s .

T h e c o m p l i c a t e d d y n a m i c s t h a t g o v e r n t h e s y s -

t e m f o r a l a r g e n u m b e r o f m o d e s , s u g g e s t t h e u s e

o f f r e q u e n c y - d o m a i n m e t h o d s . T h i s c l a s s o f a l g o -

r i t h m s i s w e l l a p p l i c a b l e t o s y s t e m s w h e r e s e v e r -

4

N o k n o w l e d g e i s a s s u m e d o f c o e c i e n t s o f t h e s t r u c t u r a l

a n d a e r o d y n a m i c s y s t e m

a l c l o s e l y l o c a t e d p o l e s h a v e t o b e d i s t i n g u i s h e d .

H o w e v e r , t h e c l o s e d - l o o p c h a r a c t e r o f t h e i d e n t i -

c a t i o n p r o b l e m p o s e s a m a j o r p r o b l e m . S i n c e t h e r e

i s n o e x t e r n a l i n p u t o r r e f e r e n c e s i g n a l , t h e a e r o -

d y n a m i c a l m o d e l t h a t i s i d e n t i e d w i l l c o n v e r g e t o

t h e i n v e r s e o f t h e m e c h a n i c a l m o d e l . T h i s e e c t i s

d u e t o t h e a b s e n c e o f a n e x t e r n a l s i g n a l t h a t d r i v e s

t h e s y s t e m s . I n a d d i t i o n , t h e a e r o d y n a m i c m o d e l i s

i n s u c i e n t l y e x c i t e d t o u s e s t o c h a s t i c t h e o r i e s o n

w h i c h f r e q u e n c y - d o m a i n i d e n t i e r s a r e b a s e d . I n

f a c t , t h e i n p u t s i g n a l i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n i s t i c

a n d c o n t a i n s o n l y t h e s y s t e m d y n a m i c s .

F i n a l l y , f r e q u e n c y - d o m a i n a n a l y s i s i s m a i n l y u s e f u l

f o r s i g n a l s t h a t a r e d i s t o r t e d b y l a r g e a m o u n t s o f

n o i s e a n d w h e r e s p e c i c f r e q u e n c y r a n g e s a r e o f

i n t e r e s t . B o t h a r e n o t t h e c a s e f o r t h e p r o b l e m a t

h a n d .

T h e r e f o r e t i m e - d o m a i n a n a l y s i s h a s b e e n s e l e c t -

e d . T h e u s e o f t i m e - d o m a i n m e t h o d s t o e s t i m a t e

t h e a e r o d y n a m i c m o d e l , a l l o w s f o r t h e i s o l a t i o n o f

c a u s a l a n d n o n - c a u s a l r e l a t i o n s b e t w e e n t h e i n p u t s

a n d t h e o u t p u t s . N o n - c a u s a l e e c t s a r e n o t t o

b e m o d e l e d , s i n c e t h e s e a r e c a u s e d b y t h e e l a s -

t o m e c h a n i c a l s y s t e m i n t h e c l o s e d l o o p . B e c a u s e

t h e s t r u c t u r e o f t h e m e c h a n i c a l s y s t e m i s k n o w n

t o b e s t r i c t l y n o n - c a u s a l , i . e . t h e r e i s n o d i r e c t

f e e d t h r o u g h f r o m t h e f o r c e s t o t h e d i s p l a c e m e n t s ,

b o t h a l t e r m o d e l a n d a p r e d i c t i o n m o d e l c a n b e

u s e d f o r t h e a e r o d y n a m i c s y s t e m .

F o r i d e n t i c a t i o n , a m u l t i v a r i a b l e r e g r e s s i o n m o d e l

i s c h o s e n f o r t h e m o r e g e n e r a l l t e r c a s e . D e t a i l s o f

t h e a f o r e m e n t i o n e d p r o c e d u r e w i l l b e p u b l i s h e d i n

a f o r t h c o m i n g p u b l i c a t i o n .

3 . 2 . D a t a a n a l y s i s m e t h o d s e m b e d d e d i n

A E S I M

T h e m e t h o d s d e s c r i b e d i n t h i s s e c t i o n o b t a i n t h e

f r e q u e n c i e s a n d d a m p i n g s o f a d a t a s e t w i t h c o n -

s t a n t t i m e s t e p :

x

l

= x l t l = L

b

: : : L

e

; 1

w h e r e L

b

d e n o t e s t h e b e g i n n i n g a n d L

e

d e n o t e s t h e

e n d o f t h e d a t a s e t . F u r t h e r m o r e t h e t i m e i s d e n e d

a s :

t

l

= t = l t l = L

b

: : : L

e

2

3 . 2 . 1 . E x p o n e n t i a l s i n e t t i n g a n d d e t e r m i n a t i o n

o f d a m p i n g s a n d f r e q u e n c i e s

T h e d a t a s e t i s a p p r o x i m a t e d i n t i m e i n a l e a s t

s q u a r e s s e n s e b y t h e r e a l v a l u e d f u n c t i o n X

f

t


7/13

d e n e d b y 9 :

X

f

t =

N

f

X

k = 1

a

k

e

k

t

3

N

f

i s t h e o r d e r o f t h e t w h i c h i s l e s s o r e q u a l t o

t w i c e t h e n u m b e r o f m o d a l m o d e s N

h

. T h e c o e -

c i e n t a

k

i s c o m p l e x . F o r e v e r y s u c h t e r m t h e r e i s

a c o m p a n i o n t e r m w h i c h i s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e ,

s o t h a t t h e c o m p o n e n t s o f t h e s u m a r e r e a l . S u c h

a s u m a r i s e s a s t h e h o m o g e n e o u s s o l u t i o n o f a l i n -

e a r s y s t e m o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h

c o n s t a n t c o e c i e n t s . I n p a r t i c u l a r d y n a m i c a l s y s -

t e m s w i t h s y m m e t r i c m a s s , s t i n e s s a n d d a m p i n g

m a t r i c e s .

T h e c o m p l e x

k

i s d e n e d a s f o l l o w s :

k

=

k

+ |

k

; 4

f r o m w h i c h t h e f r e q u e n c i e s a n d d a m p i n g s o f X

f

t

a r e d e n e d :

D a m p e d n a t u r a l f r e q u e n c y =

k

; 5

C h a r a c t e r i s t i c d a m p i n g c o e c i e n t =

k

6

I n t h e l e a s t s q u a r e s t t h e s q u a r e d e r r o r d i e r e n c e

b e t w e e n t h e o u t p u t t X

f

t a n d t h e i n p u t t i m e -

h i s t o r y x

i

g i v e n b y :

E =

L

e

X

l = L

b

X

f

t

l

, x

l

2

; 7

i s m i n i m i z e d .

T h e d a m p i n g s a n d f r e q u e n c i e s a r e o b t a i n e d w i t h

t h e f o l l o w i n g m e t h o d s :

A . P r o n y :

T h e P r o n y f o r m u l a t i o n d e r i v e d b y P r o n y i n

1 7 9 0 1 1 t o a n a l y z e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f g a s s e s i s

d e s c r i b e d b e l o w .

T h e

k

a r e o b t a i n e d w i t h t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e :

D e t e r m i n a t i o n o f

k

:

A . 1 : I n t r o d u c e t h e p a r a m e t e r :

k

= e

k

t

8

W h i c h c a n b e w r i t t e n a s :

k

= r

k

e

|

k

+ 2 l

9

F r o m w h i c h t h e c h a r a c t e r i s t i c d a m p i n g c o e -

c i e n t a n d t h e d a m p e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s c a n b e

o b t a i n e d a s :

k

=

1

t

l o g r

k

;

k

=

k

+ 2 l

t

l = 0

i s d e n e d b y :

k

= a r c t a n

, |

k

,

k

k

+

k

; 1 0

w h e r e

d e n o t e s t h e c o n j u g a t e p a r t .

F r o m t h e d e n i t i o n o f

k

i t i s c l e a r t h a t

k

i s n o t

u n i q u e l y d e n e d . H e r e l = 0 i s t a k e n .

A . 2 :

k

a r e t h e r o o t s o f t h e p o l y n o m i a l e q u a t i o n :

N

f

+ p

N

f

N

f

, 1

+ + p

1

= 0 1 1

T h e z e r o s o f t h e p o l y n o m i a l e q u a t i o n 1 1 w h i c h

o c c u r i n c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s a r e d e t e r m i n e d

u s i n g a g e n e r a l r o o t n d i n g r o u t i n e , s e e 1 2 . A . 3 :

T h e c o e c i e n t s p

k

k = 1 : : : N

f

a r e d e n e d b y

t h e m a t r i x e q u a t i o n , s e e 1 3 :

0

B

B

B

@

c

1

: : : c

N

f

c

2

: : : c

N

f

+ 1

c

N

f

: : : c

2 N

f

, 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

p

1

p

2

p

N

f

1

C

C

C

A

=

0

B

B

B

@

, c

N

f

+ 1

, c

N

f

+ 2

, c

2 N

f

1

C

C

C

A

1 2

T h e c o e c i e n t s i n t h e m a t r i x o f e q u a t i o n 1 2 a r e

d e n e d a s f o l l o w s :

c

l

= 1 3

=

8

:

x

l

l = L

e

, 2 N

f

+ 1 : : : L

e

L

e

, 2 N

f

+ 1 = L

b

;

1

r

P

r

i = 1

x

l , i + 1

l = L

e

, 2 N

f

+ 1 : : : L

e

L

e

, 2 N

f

+ 1 L

b

;

r = 2 _ _ L

e

, L

b

, 2 N

f

+ 1

;

w h e r e I

e

d e n o t e s t h e e n d o f t h e s e l e c t e d t i m e i n t e r -

v a l .

I n p r i n c i p l e a s e t o f 2 N

f

e q u a l l y s p a c e d v a l u e s o f

t h e f u n c t i o n x t i s s u c i e n t t o d e t e r m i n e t h e f u n c -

t i o n X

f

t

H o w e v e r , a m o r e r o b u s t p r o c e d u r e i s o b t a i n e d

a c c o r d i n g t o 1 3 w h e n t h e s e t o f d a t a p o i n t s c o n -

t a i n m o r e t h a n 2 N

f

p o i n t s a n d t h e c o e c i e n t s a r e

o b t a i n e d b y a v e r a g i n g t h e e v e n l y s p a c e d v a l u e s o f

x t

T h e a

k

' s p a r a m e t e r s a r e o b t a i n e d a s e x p l a i n e d

b e l o w .

B . L e v e n b e r g - M a r q u a r d t M e t h o d :

P r e v i o u s o b t a i n e d

k

' s c a n b e i m p r o v e d b y t h e

L e v e n b e r g - M a r q u a r d t M e t h o d , s e e 1 4 . T h i s i t e r -

a t i v e n o n - l i n e a r t p r o c e d u r e i s a p p l i e d h e r e u s i n g

f r o z e n a

k

p a r a m e t e r s .

A r e a s o n a b l e g u e s s t o t h e a f o r e m e n t i o n e d

k

a n d

a

k

p a r a m e t e r s i s n e c e s s a r y f o r r e l i a b l e r e s u l t s . T h e

i n i t i a l g u e s s e s f o r

k

a r e p r o v i d e d b y :

1 . t h e a f o r e m e n t i o n e d P r o n y m e t h o d .

2 . t h e n a t u r a l h a r m o n i c f r e q u e n c i e s e i g e n f r e -

q u e n c i e s o f t h e s t r u c t u r e .


8/13

3 . o b t a i n e d b y t h e c u r v e t t i n g m e t h o d

e x p l a i n e d l a t e r o n .

T h e a

k

' s p a r a m e t e r s a r e o b t a i n e d a s e x p l a i n e d

b e l o w .

C . C o m p l e x c u r v e t :

W h e n t h e a s s u m p t i o n c a n b e m a d e t h a t a f t e r l =

L

b

n o e x t e r n a l f o r c e s a r e a p p l i e d t h e i n p u t - s i g n a l

t o t h e s y s t e m i s z e r o . T h e

0

k

s c a n a l s o b e d e r i v e d

b y t h e p r o c e d u r e b e l o w .

A f t e r a p p l y i n g t h e d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m t o

t h e d a t a :

x

f

= F x ; 1 4

t h e d a t a i s a p p r o x i m a t e d b y a c o m p l e x c u r v e t 1 5

a n d t h e c o e c i e n t s o f t h e r a t i o n a l p o l y n o m i a l s a r e

o b t a i n e d :

x

f

| ! '

P

N

a

i = 0

A

i

| !

i

P

N

b

i = 0

B

i

| !

i

; 1 5

w h e r e :

B

0

1 1 6

N

a

; N

b

a r e t h e o r d e r o f t h e p o l y n o m i a l s . N

b

i s

e q u a l t o t w i c e t h e n u m b e r o f m o d a l m o d e s N

b

=

2 N

h

a n d i n g e n e r a l N

a

N

b

T h e

0

k

s a r e t h e r o o t s o f t h e d e n o m i n a t o r p o l y n o -

m i a l w h i c h a g a i n a r e o b t a i n e d b y a g e n e r a l r o o t

n d i n g m e t h o d .

W i t h t h e

k

' s d e t e r m i n e d a s i n d i c a t e d a b o v e , i t

o n l y r e m a i n s t o d e t e r m i n e t h e a

k

' s . T h e f o l l o w i n g

s y s t e m o f e q u a t i o n s r e m a i n s t o b e s o l v e d f o r d e t e r -

m i n i n g t h e a

k

' s :

2

6

6

6

6

4

1 1 1

1

: : :

N

f

L

e

, L

b

1

: : :

L

e

, L

b

N

f

3

7

7

7

7

5

0

B

B

B

B

@

a

1

e

1

t

a

2

e

2

t

a

N

f

e

N

f

t

1

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

@

x

L

b

x

2

x

L

e

1

C

C

C

A

1 7

E q u a t i o n 1 7 i s s o l v e d b y a G e n e r a l L i n e a r L e a s t

S q u a r e s m e t h o d i n w h i c h t h e d e s i g n m a t r i x i s

i n v e r t e d b y o n e o f t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e s :

G a u s s e l i m i n a t i o n , 1 6

L U D e c o m p o s i t i o n , 1 7

S V D , s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n 1 7 . I f t h e

s y s t e m o f e q u a t i o n s i s n u m e r i c a l l y v e r y c l o s e t o

s i n g u l a r , G a u s s i a n e l i m i n a t i o n a n d L U d e c o m -

p o s i t i o n m a y f a i l t o g i v e s a t i s f a c t o r y r e s u l t s . I n

t h a t c a s e S V D i s a m o r e p o w e r f u l l t o o l .

I t c a n b e c o n c l u d e d f r o m t h e a f o r e m e n t i o n e d p r o c e -

d u r e t h a t a s t r a t e g y h a s t o b e d e v e l o p e d t o o b t a i n

t h e b e s t t . T h e s t r a t e g y d e v e l o p e d s o f a r c o n s i s t

o f :

U s e r - s u p p l i e d s p e c i c a t i o n o f t h e s e l e c t e d i n t e r -

v a l s u b s e t t

b

= L

b

t ; t

e

= L

e

t

W h e n P r o n y ' s m e t h o d i s a p p l i e d e v a l u a t i o n o f

t h e

0

s a n d t h e a

0

k

s i s p e r f o r m e d f o r a r a n g e o f

a v e r a g e s w i t h r = 1 ; 2 ; 4 ; 8 a n d s e l e c t i o n o f

t h e c o e c i e n t s w h i c h r e s u l t i n t h e s m a l l e s t e r r o r .

E v a l u a t i o n o f t h e

0

s a n d t h e a

0

k

s i s p e r f o r m e d

b y u s i n g a s e q u e n c e o f m o d e s 1 ; 2 ; 4 N

f

4 . A p p l i c a t i o n s

T h e e x a m p l e s h e r e f o c u s o n c u r r e n t o n g o i n g a c t i v -

i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e t i m e - a n a l y s i s a n d d e m o n -

s t r a t e t h e s t a t u s o f t h e a e r o e l a s t i c e n v i r o n m e n t .

4 . 1 . T - t a i l

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0.000

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y

x

1250

1550

1850

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5357

z-proj:1

2

dis C^=0.14

C_=

0.00

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SPC0.00

dis 0

.140

2

0.000

0

z

y

-98

125

349

-829026

4

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2

z

x

1250

1550

1850

-1419

0323

y-proj1

2

F i g u r e 4 . S e c o n d m o d e s h a p e o f T - t a i l

I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e a b i l i t y o f t h e s y s -

t e m t o d e a l w i t h e x i s t i n g a i r c r a f t s t r u c t u r e s a

t r a n s p o r t - t y p e T - t a i l f u s e l a g e c o n g u r a t i o n w a s

c o n s i d e r e d . T h e e l a s t o m e c h a n i c a l m o d e l c o n s i s t e d

o f t e n m o d e s . T h e g e o m e t r y a n d t h e s e c o n d m o d e

a r e d e p i c t e d i n g u r e 4 .

T h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s o f e a c h i n d i v i d u a l

m o d e w e r e c a l c u l a t e d i n t i m e a s a r e s u l t o f a n o n -

z e r o i n i t i a l v a l u e f o r t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e g e n e r a l -

i z e d c o o r d i n a t e . I n g u r e 5 t h e t i m e r e s p o n s e i n f o r -

m a t i o n i s e v a l u a t e d t h r o u g h e x p . s i n e t s i g n a l p r o -


9/13


10/13

0.6 0.4 0.2 0 0.20

0.5

1

1.5

Real

Imag

H11

2 1 0 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Real

Imag

H12

0.5 1 1.5 2 2.51

0

1

2

3

4

Real

Imag

H21

2 0 2 42

0

2

4

6

8

Real

Imag

H22

F i g u r e 7 . C o m p a r i s o n o f d i r e c t l y c a l c u l a t e d a n d t t e d

u n s t e a d y c o e c i e n t s o f a h a r m o n i c a l l y h e a v i n g a n d p i t c h -

i n g a t p l a t e a t M

1

= 0 . 5 .

F i g u r e 7 s h o w s a c o m p a r i s o n i n t h e f r e q u e n c y

d o m a i n b e t w e e n t h e o r i g i n a l d a t a c i r c l e a n d t h e

t t e d d a t a l i n e - c r o s s w h i c h s h o w a g o o d a g r e e -

m e n t .

0.6 0.4 0.2 0 0.20.5

0

0.5

1

1.5

Real

Imag

H11

2 1 0 10.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real

Imag

H12

0.5 1 1.5 2 2.51

0

1

2

3

45

Real

Imag

H21

2 0 2 42

0

2

4

6

8

Real

Imag

H22

F i g u r e 8 . C o m p a r i s o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n o f d i r e c t -

l y c a l c u l a t e d a n d t o a n d f r o t r a n s f o r m e d u n s t e a d y c o e -

c i e n t s o f a h a r m o n i c a l l y h e a v i n g a n d p i t c h i n g a t p l a t e a t

M

1

= 0 . 5 .



d a t a c r o s s o b t a i n e d b y a n a l y s i n g t h e t i m e t r a c e s

w h i c h a g a i n s h o w a g o o d a g r e e m e n t . F r o m t h i s

t h e c o n c l u s i o n m i g h t b e d r a w n t h a t t h e a f o r e m e n -

t i o n e d p r o c e d u r e i s a p p l i c a b l e i n 2 D .

4 . 2 . 2 . T h r e e - d i m e n s i o n a l a p p l i c a t i o n

C a l c u l a t i o n s h a v e a l s o b e e n p e r f o r m e d w i t h G U L

f o r t h e 3 - D A G A R D s t a n d a r d a e r o e l a s t i c w i n g

a t M a c h = 0 . 9 0 1 . T h i s c o n g u r a t i o n i s d e s c r i b e d i n

2 0 . A g a i n t w o m o d e s h a v e b e e n s e l e c t e d .

A s i m i l a r p r o c e d u r e a s o u t l i n e d a b o v e w a s a p p l i e d .

3 2.5 2 1.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Real

Imag

H11

4 3.8 3.6 3.4 3.20.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

Real

Imag

H12

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

Real

Imag

H21

1.5 1 0.5 00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Real

Imag

H22

F i g u r e 9 . C o m p a r i s o n o f d i r e c t l y c a l c u l a t e d a n d t t e d

u n s t e a d y c o e c i e n t s o f t h e h a r m o n i c a l l y o s c i l l a t i n g w i n g

4 4 5 . 6 a t M

1

= 0 . 9 0 1 .

3 2.5 2 1.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Real

Imag

H11

4 3.8 3.6 3.40.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

Real

Imag

H12

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

Real

Imag

H21

1.5 1 0.5 00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Real

Imag

H22

F i g u r e 1 0 . C o m p a r i s o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n o f d i r e c t l y

c a l c u l a t e d a n d t o a n d f r o t r a n s f o r m e d u n s t e a d y c o e c i e n t s

o f t h e h a r m o n i c a l l y o s c i l l a t i n g w i n g 4 4 5 . 6 a t M

1

= 0 . 9 0 1 .



t t e d d a t a l i n e - c r o s s w h i c h s h o w a g o o d a g r e e -

m e n t .

F i g u r e 1 0 s h o w s a c o m p a r i s o n i n t h e f r e q u e n c y


d a t a c r o s s o b t a i n e d b y a n a l y s i n g t h e t i m e t r a c e s

w h i c h a g a i n s h o w a g o o d a g r e e m e n t . F r o m t h i s

t h e c o n c l u s i o n m i g h t b e d r a w n t h a t t h e a f o r e m e n -

t i o n e d p r o c e d u r e s h o w s g o o d p r o m i s e f o r e m b e d -

d i n g i n t h e A E S I M s y s t e m .


11/13

4 . 3 . M I M O - c l a s s a p p l i c a t i o n

T h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e M I M O m e t h o d 5 i n u t -

t e r a n a l y s i s i s p r e s e n t e d f o r a n a e r o e l a s t i c i n v e s -

t i g a t i o n w h i c h w a s c o n d u c t e d f o r o n e o f t h e 3 -

D A G A R D s t a n d a r d a e r o e l a s t i c c o n g u r a t i o n s i n

s u b s o n i c , t r a n s o n i c a n d s u p e r s o n i c o w . T h i s c o n -

g u r a t i o n i s d e s c r i b e d i n 2 0 . T h e c o n g u r a t i o n

f o r d y n a m i c r e s p o n s e I w i n g 4 4 5 . 6 m o d e l " w e a k -

e n e d n o . 3 " w a s s e l e c t e d a t M a c h = 0 . 9 0 1 . T h e d a t a

w e r e o b t a i n e d f r o m 3 .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

0

10

1

102

103

104

105

Order

Conditionnumber

F i g u r e 1 1 . O r d e r o f e x c i t a t i o n v e r s u s c o n d i t i o n n u m b e r f o r

A G A R D a e r o e l a s t i c s y s t e m a t s u b c r i t i c a l i g h t c o n d i t i o n

P e r s i s t e n c y o f e x c i t a t i o n f o r t h e f o u r - m o d e s y s -

t e m i s i l l u s t r a t e d i n g u r e 1 1 , w h e r e t h e o r d e r o f

e x c i t a t i o n i s s h o w n a l o n g t h e h o r i z o n t a l a x i s a n d

t h e c o n d i t i o n n u m b e r f o r t h e c o r r e l a t i o n - f u n c t i o n

T o e p l i t z m a t r i x i s p r i n t e d a l o n g t h e v e r t i c a l a x i s .

F r o m t h e s e c o n d i t i o n n u m b e r s , t h e i n p u t i s f o u n d

t o b e p e r s i s t e n t l y e x c i t i n g o f o r d e r t w o a t m o s t .

T h e m o d e l o r d e r i s d e t e r m i n e d b y s e p a r a t i n g t h e

d a t a i n t h r e e s u b s e t s . T h e r s t s u b s e t c o n t a i n s t h e

r s t h a l f o f t h e a v a i l a b l e t i m e s e r i e s a n d i s u s e d f o r

i d e n t i c a t i o n . T h e s e c o n d s e t c o n t a i n s o n l y 1 2

o f t h e d a t a p o i n t s a n d i s u s e d t o t r a c k t h e s t a t e

v e c t o r o f t h e n e w m o d e l w i t h o u t u s i n g t h e s u b s e t

t h a t w a s u s e d i n t h e i d e n t i c a t i o n s t e p . F i n a l l y ,

t h e l a s t 3 8 o f t h e o r i g i n a l t i m e s e r i e s i s u s e d t o

v a l i d a t e t h e n e w m o d e l u s i n g t h e e s t i m a t e d s t a t e

v e c t o r a s a n i n i t i a l c o n d i t i o n .

T h e v a l i d a t i o n s t e p r e s u l t s i n t h r e e c r i t e r i a t o s i g -

n a l o v e r t t i n g o f t h e s y s t e m . T h e n o r m a l i z e d m e a n

s q u a r e e r r o r i n d i c a t e s t h e b e s t m o d e l . H o w e v e r ,

t h i s m a y n o t b e t h e o p t i m a l m o d e l s i n c e t h i s c r i t e -

r i o n c o n t a i n s n o p e n a l t y f o r h u g h m o d e l s . A k a i k e ' s

i n f o r m a t i o n c r i t e r i o n A I C a n d t h e n a l p r e d i c -

t i o n e r r o r c r i t e r i o n F P E b o t h d o i n c l u d e t h e n u m -

b e r o f m o d e l p a r a m e t e r s i n t h e r e s u l t i n g c o s t . H o w -

e v e r , a l l t h r e e c r i t e r i a u s u a l l y i n d i c a t e t h e s a m e

o p t i m a l m o d e l o r d e r .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

100

MSE(o) AIC(+) FPE(x)

1stbending

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

100

1sttorsion

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

100

2

ndbending

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

100

2ndtorsion

Model order

F i g u r e 1 2 . V a l i d a t i o n c r i t e r i a f o r A G A R D a e r o e l a s t i c s y s t e m

a t s u b c r i t i c a l i g h t c o n d i t i o n

F i g u r e 1 2 s h o w s t h e v a l i d a t i o n c r i t e r i a f o r e a c h

o f t h e m u l t i p l e - i n p u t s i n g l e - o u t p u t m o d e l s i n t h e

f o u r - m o d e s y s t e m t h a t w a s m e n t i o n e d b e f o r e . T h e

o r d e r o f t h e m u l t i p l e - o u t p u t m o d e l i s e q u a l t o t h e

s u m o f t h e o r d e r s o f t h e s i n g l e - o u t p u t m o d e l s .

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002

0

2x 10

3

1stbending

MSE 0.4967%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

0

5x 10

3

1sttorsion

MSE 0.326%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1

0

1x 10

3

2ndbending

MSE 1.079%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

0

1 x 103

2ndtorsion

Time

MSE 1.711%

F i g u r e 1 3 . C o m p a r i s o n o f M I M O t t e d a n d o r i g i n a l

- g e n e r a l i z e d f o r c e s d a t a f o r A G A R D a e r o e l a s t i c s y s t e m

a t s u b c r i t i c a l i g h t c o n d i t i o n

F i g u r e 1 3 s h o w s t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s a s o b t a i n e d

f r o m s i m u l a t i o n w i t h t h e i d e n t i e d m o d e l , t o g e t h -

e r w i t h t h e o r i g i n a l d a t a . T h e d a t a i s p l o t t e d f o r

t i m e p o i n t s a f t e r t h e t r a n s i t i o n h a s d a m p e d o u t .

A n e x c e l l e n t a g r e e m e n t i s s h o w n b e t w e e n b o t h

d a t a s e t s t h e y c o i n c i d e e n t i r e l y .

A s l i g h t l y d i e r e n t m o d e l s t r u c t u r e M I M O

,

i n c l u d i n g a u t o r e g r e s s i v e t e r m s o n t h e o u t p u t s ,

l e a d s t o s l i g h t l y l a r g e r e r r o r s f o r t h e s a m e s i m u -

l a t i o n , a s s h o w n i n g u r e 1 4 .

F i n a l l y w e c o m e t o t h e m a i n p u r p o s e o f t h e e x c e r -

c i s e . W e i n c r e a s e t h e a i r s p e e d t o a s u p e r c r i t i c a l

v a l u e a n d a p p l y t h e M I M O r e s u l t s o b t a i n e d f r o m

t t i n g t h e s u b c r i t i c a l a i r s p e e d d a t a a n d m a k e t h e


12/13

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002

0

2x 10

3

1stbending

MSE 2.725%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

0

5x 10

3

1sttorsion

MSE 1.52%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1

0

1x 10

3

2ndbending

MSE 3.774%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

0

1x 103

2ndtorsion

Time

MSE 4.04%

F i g u r e 1 4 . C o m p a r i s o n o f M I M O

t t e d w i t h a u t o

r e g r e s s i v e t e r m s o n o u t p u t s a n d o r i g i n a l - g e n e r a l i z e d

f o r c e s d a t a f o r A G A R D a e r o e l a s t i c s y s t e m a t s u b c r i t i c a l

i g h t c o n d i t i o n

c o m p a r i s o n w i t h r e s u l t s o f t h e a e r o e l a s t i c s i m u l a -

t i o n a t t h e h i g h e r a i r s p e e d .

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

0

5x 10

3

1stbending

MSE 7.422%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

0

5x 10

3

1sttorsion

MSE 16.23%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

0

1x 10

3

2ndbend

ing

MSE 8.773%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002

0

2x 10

3

2ndtorsion

Time

MSE 47.18%

F i g u r e 1 5 . C o m p a r i s o n o f M I M O p r e d i c t e d a n d r e f -

e r e n c e - g e n e r a l i z e d f o r c e s d a t a f o r A G A R D a e r o e l a s t i c

s y s t e m a t s u p e r c r i t i c a l i g h t c o n d i t i o n

F i g u r e 1 5 a n d 1 6 d e p i c t t h e c o m p a r i s o n w h i c h

s h o w s t h a t t h e s y s t e m a t t h e s u p e r c r i t i c a l a i r s p e e d

i s u n s t a b l e a n d t h a t t h e l i n e a r M I M O m o d e l p r e -

d i c t i o n p e r f o r m s v e r y w e l l f o r t h e l o w e r 3 m o d e s .

M o d e 4 i s o v e r p r e d i c t e d .

T h e m o d i e d m o d e l M I M O

r e s u l t s i n s m a l l e r

e r r o r s t h a n t h e m o d e l f r o m t h e o r i g i n a l m o d e l s e t .

W h i c h m o d e l s e t r e s u l t s i n t h e b e s t e s t i m a t e s f o r

a e r o d y n a m i c m o d e l i n g i n a e r o e l a s t i c a l c l o s e d - l o o p

s y s t e m s i s y e t t o b e i n v e s t i g a t e d .

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

0

5x 10

3

1stbending

MSE 3.39%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

0

5x 10

3

1sttorsion

MSE 5.574%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1

0

1x 10

3

2ndbending

MSE 3.924%

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002

0

2x 103

2ndtorsion

Time

MSE 66.75%

F i g u r e 1 6 . C o m p a r i s o n o f M I M O

p r e d i c t e d a n d r e f -

e r e n c e - g e n e r a l i z e d f o r c e s d a t a f o r A G A R D a e r o e l a s t i c

s y s t e m a t s u p e r c r i t i c a l i g h t c o n d i t i o n

5 . C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r t h e s t a t u s o f t h e N L R s y s t e m

f o r a e r o e l a s t i c s i m u l a t i o n h a s b e e n p r e s e n t e d a n d

d e m o n s t r a t e d w i t h t h e e m p h a s i s o n t i m e - a n a l y s i s .

E x p e r i e n c e w i t h r e c e n t a p p l i c a t i o n s a n d o n g o i n g

d e v e l o p m e n t s l e d t o t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s :

T h e a n a l y s i s o f t i m e s i g n a l s c a n b e c a r r i e d o u t

s a t i s f a c t o r i l y w i t h t h e a v a i l a b l e m o d e l s .

T h e M I M O - c l a s s t p r o c e d u r e s a r e s u p e r i o r t o

t h e o n e s c u r r e n t l y e m b e d d e d i n t h e A E S I M

m e t h o d .

T h e M I M O - c l a s s a n a l y s i s a p p l i c a t i o n h a s s h o w n

g o o d p r o m i s e f o r i n c r e a s i n g t h e e c i e n c y o f

c o u p l e d s i m u l a t i o n s b y a l l o w i n g r e s u l t s m a d e f o r

a s i n g l e i g h t c o n d i t i o n b e i n g e x t e n t e d t o m u l -

t i p l e i g h t c o n d i t i o n s .

T h e p r o c e d u r e s f o r u t i l i z a t i o n o f l i n e a i r a e r o d y -

n a m i c s f r o m t h e f r e q u e n c y d o m a i n t o t h e t i m e

d o m a i n h a v e s h o w n g o o d p r o m i s e f o r e m b e d d i n g

i n t h e a e r o e l a s t i c s i m u l a t i o n s y s t e m .

A p p e n d i x

A . A e r o e l a s t i c M I M O a n a l y s i s

A v e r y i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f t h e M I M O a n a l -

y s i s i s t h e b l a c k b o x e v a l u a t i o n o f t h e a e r o e l a s t i c

s y s t e m i n a w a y a s t o b e a b l e t o p r e d i c t t h e u t t e r

c o n d i t i o n a f t e r j u s t a s i n g l e t i m e - s i m u l a t i o n .

T h e s y s t e m c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e a m o u n t

o f p r o p o r t i o n a l f e e d b a c k a s d e p i c t e d i n g u r e 3 .

T o b e a n a l y z e d , b y t h e M I M O s o f t w a r e , i n g u r e 3

a r e t h e a e r o d y n a m i c t r a n s f e r f u n c t i o n s , Q

1 1

, Q

1 2

,

Q

2 1

a n d Q

2 2

, i n t h e c a s e o f a t w o m o d e s t r u c t u r a l


13/13

s y s t e m .

T h e d e n i t i o n o f t h e s t r u c t u r a l s y s t e m i s a s f o l -

l o w s :

T h e g e n e r a l i s e d c o o r d i n a t e s q

i

f o r e a c h v i b r a t i o n

m o d e m a y b e d i e r e n t i n t i m e a n d a r e b a s e d o n

t h e g e n e r a l i z e d m o d a l d e e c t i o n a p p r o a c h .

T h e d y n a m i c d e f o r m a t i o n s a r e e x p r e s s e d i n g e n e r -

a l i z e d c o o r d i n a t e s q

i

a n d t h e i r a s s o c i a t e d m o d a l

m a s s M , d a m p i n g D , s t i n e s s K a n d v i b r a t i o n

m o d e s

~

h

i

f o r N

h

m o d e s w h i c h s a t i s f y t h e e q u a t i o n :

M q + D _q + K q = F 2 0

T h e c o u p l i n g o f t h e s t r u c t u r a l m o d e l a n d t h e a e r o -

d y n a m i c m o d e l i n v o l v e t h e g e n e r a l i s e d a e r o d y n a m -

i c f o r c e s a c t i n g o n t h e a i r c r a f t c o n g u r a t i o n w h i c h

a r e o b t a i n e d b y s o l u t i o n o f t h e a e r o d y n a m i c e q u a -

t i o n s :

F

i

= , q

d y n

Z

s

C

p

, C

s t c

p

~

h

i

~

N d s ; 2 1

w h e r e C

s t c

p

i s o b a i n e d b y a p r e v i o u s s t a t i c s i m u l a -

t i o n o r b y a p p l i c a t i o n o f a l o w - p a s s l t e r .

E q u a t i o n 2 0 i s t r a n s f o r m e d t o r s t o r d e r :

d

_

Q + k Q = f ; 2 2

w h e r e Q =

q

_q

, f =

0

F

, d =

1 0

0 M

a n d

k =

0 , 1

K D

2 3

_

Q + d

, 1

k Q = d

, 1

f 2 4

T h e r e f o r e t h e s y s t e m i n g u r e 3 c a n b e d e n e d a s :

A , d

, 1

k 2 5

B d

, 1

2 6

C 1 2 7

D 0 2 8

A c k n o w l e d g e m e n t

R e s e a r c h p e r f o r m e d p a r t l y u n d e r c o n t r a c t w i t h

t h e N e t h e r l a n d s A g e n c y f o r A e r o s p a c e P r o g r a m s

N I V R c o n t r a c t n u m b e r : 0 1 9 0 4 N

T h e a u t h o r s l i k e t o m e n t i o n B . B . P r a n a n t a o f

T U D e l f t f o r m a k i n g a v a i l a b l e t h e g e n e r a l i z e d f o r c e

d a t a u s e d i n t h e M I M O - c l a s s a p p l i c a t i o n s .

R e f e r e n c e s

1 . M . H . L . H o u n j e t a n d B . J . G . E u s s e n , O u t l i n e a n d A p p l i -

c a t i o n o f t h e N L R A e r o e l a s t i c S i m u l a t i o n M e t h o d

I C A S - 9 4 - 5 . 8 . 2 , S e p t e m b e r 1 9 9 4

2 . M . H . L . H o u n j e t a n d J . J . M e i j e r , E v a l u a t i o n o f E l a s -

t o m e c h a n i c a l a n d A e r o d y n a m i c D a t a T r a n s f e r M e t h -

o d s f o r N o n - p l a n a r C o n g u r a t i o n s i n C o m p u t a t i o n -

a l A e r o e l a s t i c A n a l y s i s C o n t r i b u t i o n t o C E A S S y m -

p o s i u m : ' I n t e r n a t i o n a l F o r u m o n A e r o e l a s t i c i t y a n d

S t r u c t u r a l D y n a m i c s 1 9 9 5 '

3 . B . B . P r a n a n t a a n d M . H . L . H o u n j e t , L a r g e t i m e s t e p

a e r o - s t r u c t u r a l c o u p l i n g p r o c e d u r e s f o r a e r o e l a s t i c s i m -

u l a t i o n . I n P r o c e e d i n g s C E A S S y m p o s i u m : I n t e r n a -

t i o n a l F o r u m o n A e r e l a s t i c i t y a n d S t r u c t u r a l D y n a m -

i c s , C E A S , R o m e , J u n e 1 7 - 2 0 1 9 9 7

4 . M . H . L . H o u n j e t a n d B . J . G . E u s s e n , P r o s p e c t s o f t i m e -

l i n e a r i z e d u n s t e a d y c a l c u l a t i o n m e t h o d s f o r e x p o n e n -

t i a l l y d i v e r g i n g m o t i o n s i n a e r o e l a s t i c i t y A I A A p a p e r

9 2 - 2 1 2 2 , A p r i l 1 9 9 2

5 . M . W . S o i j e r , F r e q u e n c y D o m a i n I d e n t i c a t i o n o f

R o t o r c r a f t S t a t e S p a c e M o d e l s a n d A p p l i c a t i o n s t o a

B O 1 0 5 R i g i d B o d y M o d e l M a s t e r ' s t h e s i s , D e l f t U n i v e r -

s i t y o f T e c h n o l o g y , F a c u l t y o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g ,

D e c e m b e r 1 9 9 6

6 . B . P r a n a n t a , M . H . L . H o u n j e t a n d R . J . Z w a a n , A T h i n

L a y e r N a v i e r - S t o k e s S o l v e r a n d i t s A p p l i c a t i o n f o r

A e r o e l a s t i c A n a l y s i s o f a n A i r f o i l i n T r a n s o n i c F l o w

P r o c e e d i n g s C E A S S y m p o s i u m : ' I n t e r n a t i o n a l F o r u m

o n A e r o e l a s t i c i t y a n d S t r u c t u r a l D y n a m i c s 1 9 9 5 '

7 . B . B . P r a n a n t a a n d M . H . L . H o u n j e t , A e r o e l a s t i c S i m -

u l a t i o n w i t h A d v a n c e d C F D M e t h o d s i n 2 D a n d

3 D T r a n s o n i c F l o w , I n P r o c e e d i n g s C o n f e r e n c e o n

U n s t e a d y A e r o d y n a m i c s , R A e S , L o n d o n , J u l y 1 7 - 1 8

1 9 9 6

8 . B . J . G . E u s s e n , M . H . L . H o u n j e t a n d R . J . Z w a a n

E x p e r i e n c e s i n a e r o e l a s t i c s i m u l a t i o n p r a c t i c e s

E U R O M E C H c o l l o q u i u m 3 4 9 , G o t t i n g e n , G e r m a n y ,

1 9 9 6

9 . B e n n e t t , R o b e r t M . a n d D e s m a r a i s , R o b e r t N . C u r v e

F i t t i n g o f A e r o e l a s t i c T r a n s i e n t R e s p o n s e D a t a w i t h

E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s , N A S A S P - 4 1 5

1 0 . M . H . L . H o u n j e t . C a l c u l a t i o n o f u n s t e a d y s u b s o n i c a n d

s u p e r s o n i c o w a b o u t o s c i l l a t i n g w i n g s a n d b o d i e s b y

n e w p a n e l m e t h o d s , N L R T P 8 9 1 1 9 U , A p r i l 1 9 8 9 .

1 1 . C . L a n c o s z . A p p l i e d A n a l y s i s , P r e n t i c e H a l l , 1 9 5 6 .

1 2 . S t o e r , J . , a n d B u l i r s c h , R . I n t r o d u c t i o n t o N u m e r i c a l

A n a l y s i s , N e w Y o r k , S p r i n g e r V e r l a g

1 3 . C h a r l e s L . K e l l e r . D e t e r m i n a t i o n o f C o m p l e x E x p o n e n -

t i a l s , L e a s t S q u a r e s a n d P r e d i c t i o n M e t h o d s , A F W A L -

T R - 8 8 - 3 0 4 2 , A i r F o r c e W r i g h t A e r o n a u t i c a l L a b o r a t o -

r i e s

1 4 . M a r q u a r d t , D . W . J . S o c . I n d . A p p l . M a t h . , V o l . 1 1 ,

p p . 4 3 1 - 4 4 1 , 1 9 6 3

1 5 . E . C . L e v y C o m p l e x - C u r v e F i t t i n g I R E T r a n s a c t i o n s o n

A u t o m a t i c C o n t r o l , M a y 1 9 5 9

1 6 . C a r n a h a n , B r i c e , L u t h e r , H . A . , a n d W i l k e s , J a m e s O .

A p p l i e d N u m e r i c a l M e t h o d s , W i l e y , N e w Y o r k 1 9 6 9

1 7 . F o r s y t h e , G e o r g e E . , M a l c o l m , M i c h a e l A . , a n d M o l e r ,

C l e v e B . C o m p u t e r M e t h o d s f o r M a t h e m a t i c a l C o m -

p u t a t i o n s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i s , N e w Y o r k

1 9 7 7

1 8 . M . H . L . H o u n j e t a n d B . J . G . E u s s e n . B e y o n d t h e f r e -

q u e n c y l i m i t o f t i m e - l i n e a r i z e d m e t h o d s , N L R T P 9 1 2 1 6

U , J u n e 1 9 9 1 .

1 9 . E d w a r d s , J . W . U n s t e a d y a e r o d y n a m i c m o d e l i n g a n d

a c t i v e a e r o e l a s t i c c o n t r o l N A S A C R - 1 4 8 0 1 9

2 0 . Y a t e s , C . A G A R D S t a n d a r d A e r o e l a s t i c C o n g u r a t i o n s

f o r D y n a m i c R e s p o n s e I - W i n g 4 4 5 . 6 , A G A R D R e p o r t

N o . 7 6 5 , 1 9 8 8 .

Analysis of Computational Aeroelastic Simulations by Fitting Time Signals

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