AnalizaXI Limite

8/17/2019 AnalizaXI Limite

1/22

Limite de funcŃii - Analiza matematică, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia

Limite de funcŃii

NotaŃii: f : DR , DR , - punct de acumulare a lui D;

1. DefiniŃii ale limitei

DefiniŃia 1.1. lim f ( x) = l ,l R , dacă pentru orice vecinătate V a lui l există o vecinătate x

a lui astfel încât xDU, x, să rezulte f!x"V.

DefiniŃia 1.2. lim f ( x) = l ,l R , dacă pentru orice şir (x n )n0 , x n D\{} , având x

lim xn = rezultă lim f ( x) = l (criteriul cu şiruri);n n

DefiniŃia 1.3. lim f ( x) = l ,l R , dacă >0, >0 astfel încât x D\{} şi x -


2/22


3/22


lim a x = 0 , xlim a x = , dac 0 0 +inita, '$ % &'; lim lo*a x = şi lim lo*a x = + dac a +

x x 0 x x >0

> ; lim lo*a x

= + şi lim lo*a x

= dac 0 0

. lim in x = in , lim co x = co ; lim tgx = tg , ∉ + Z , x x x !lim ctgx = ctg , ∉ Z ; lim tgx = , lim tgx = ; x x ! x !

x ! !

x

lim0 ctgx = , limctgx = ; x 0 x >0 x ; x

0. lim + x = e,lim( + x) x = e;

x±

x

x 0

. lim x 0

ln( + x) = ; x

!. x 0

a


4/22

x lim x = ln a,a > 0 ,

".lim x 0 ( + x)r = r ,r ' .

x

!


5/22

Limite de fu ncŃii - Analiza matematică, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia

LIMITELE FUNCłIILOR ELEMENTARE

1 FUNCłIA !UTERE f : ' ' " f#$ % $n, unde n numr natural nenullim xn = + lim x!n = + lim x!n+ =

x+ x x

3xemple:

a)lim x = +x+

4) lim x" = +x+ c) xlim x" =x d) xlim x#

= + x

c) xlim x = , pentru c x ⋅ (+ ) =x+

d) xlim 0 x! = , pentru c 0 x! 0 ⋅ (+ ) =

x+

2 FUNCłIA RADICAL # DE ORDIN 2 f&'(" ' " f #$ % xlim x x = +

x+

3xemple:

a) xlim ! x +0 = + , pentru c ! x +0 ! ⋅ (+ ) +0 = + +0 = ++

4) xlim x! !0 = + , pentru c x! !0 ( )! !0 = + !0 = +

3 FUNCłIA E)!ONENłIAL* f : ' ' " f#$ % a$" unde a % +a,-" a (" a lim a x = + , dac a > ( adic 4a5 upraunitar)

x+

lim a x = 0 , dac a (0,) , ( adic 4a5 u4unitar ) x+

3xemple:

a) xlim " x = + , pentru c a 6 " > +

4) xlim #,! x = + , pentru c a 6 #, > , iar -!x ! ⋅ ( ) = +

c) xlim 1 x+0 = + , pentru c a 6 1 > + d)

xlim 0 x = + , pentru c a 6 0 > +

x+ = 0 , pentru c a 6 = 0, ≺ e)

xlim 0, = 0 , pentru c a 6 0, < +) xlim ! x

++

!! x 2

*) xlim

" +

#

= 0 , pentru c a 6 " = 0, ≺ , iar !x-2 ! ⋅ (+ ) 2 = + 2 = +#

4 FUNCłIA LO/ARITMIC* f : (0,+) ' " f#$ % 0n $ ( lo*aritmul natural, 7n 4a5a e6!,..., numrul lui 3uler ) lim ln x = +

x+

3xemple:

a) xlim ln(! x +0) = + , pentru c ! x +0 ! ⋅ (+ ) +0 = + +0 = + +

4) xlim ln(1 x 0) = + , pentru c 1 x 0 1 ⋅ (+ )0 = + 0 = + +

c) xlim ln(! x +0) = + , pentru c -!x80 ! ⋅ ( ) +0 = + +0 = +


6/22

"


7/22


d) xlim ln(! x# ) = + , pentru c !x#- ! ⋅ ( )# = ! ⋅ (+ ) = + = +

E$eciŃii&9 e calcule5e urmtoarele limite (explicnd re5ultatul *it):

) xlim "x8 + !) xlim 0,"!x

+

") xlim #,"x-

+

#) xlim

+ #

x

) xlim !x0

+

) xlim -"0x#

+

) xlim ln(x8!) +

1) xlim ln(x-1)+

2) xlim ( ! x +0 + !,1" x2

+ 0,1! x

+ ln(" x 0) + x00 ) +

0) xlim x 22 +) xlim ! x 00 + !) xlim ( !x 8 0,x 8 ln x 8 x ) +

") xlim !-x #) xlim

!x) xlim

-!x") xlim -"x#

-"x80 1 -x ! 2 x +

) xlim 0,!

1) xlim 0,"

2) xlim

!0) xlim x# +

!) xlim "#-1x !!) xlim ,-#x- !") xlim !,1-x !#) xlim ",1-x

!) xlim ln(1-

!x)

!) xlim ln(-0x80)

!) xlim ln ( -x 81)

!1) xlim ln( -!0x!-"00)!2) xlim !0 x + " "0) xlim ! x" +0

") xlim -!⋅ x

x

"!) xlim -"ln(x80)+

x

"") xlim -!⋅ x +0 +

"#) xlim + #


8/22

") xlim # + ") xlim #! ⋅ ln(! x + ) +

") xlim 1 ⋅ x + 2 +"1) xlim " x + "2) xlim -!x

+

#0) xlim (-)!x

+

#


9/22


LIMITELE FUNCłIILOR !OLINOMIALE I A FUNCłIILOR RAłIONALE1LIMITE DE FUNCłII !OLINOMIALE

3xemple de +uncŃii polinomiale: f ( x) 6 ! x80, +uncŃie polinimial de *radul

f ( x) 6 x!"8 x!-!, +uncŃie polinimial de *radul f ( x) 6 x - x 8" x - , +uncŃie polinimial de *radul

eci *radul unei +uncn Ńii polinomiale ete cea mai mare putere la care apare necunocuta x=ie +(x) 6 anx 8 an-xn- 8 ... 8 ao o +uncŃie polinomial de *radul n , atunci

limita a cnd x + ete: xlim f ( x) = an ⋅ (+ ) +3xemple:

a) xlim ! x#-" x!8 x-2 6 !⋅ (+ )# = ! ⋅ (+ ) = + +

4) xlim -" x8 x#8 x"- x!- x81 6 -"⋅ (+ ) =" ⋅ (+ ) = +

2 LIMITE DE FUNCłII RAłIONALE

3xemple de +uncŃii raŃionale: f ( x) 6 ! x , f ( x) = x 1 , f ( x) = xx +!1

n n - " x + !

x

"

=ie + i(x) 6 a-nx 8 an-x 8 ... 8 ao o +uncŃie polinomial de *radul n şi*(x) 6 4ix 84i-xi 8...84o o +uncŃie polinomial de *radul i, atunci:

lim f ( x) = x

+ g ( x

)

3xemple:

an , dac *rad + 6 *rad *&i

0 , dac *rad * > *rad +8, dac *rad + > *rad * şi numerele an şi 4i au acelaşi emn-, dac *rad + > *rad * şi numerele an şi 4i au emne di+erite

) xlim ! x = ! , au *radele e*ale cu

+ " x "

!) xlim ! xx = + , *radul de u ete mai mare, iar numerele şi ! au acelaşi emn !+ +#

") xlim x " x = , *radul de u ete mai mare, iar numerele şi -" au emne di+erite !

+

#) xlim " xx!++0 = 0 , *radul celui de o ete mai mare +


10/22


11/22


) xlim ! xx!+" x = , au *radele e*ale cu ! !

+ !

) xlim x!! x1 x = 0 , *radul celui de o ete mai mare +

E$eciŃii entu munc- indeendent-

9 e calcule5e urmtoarele limite, explicnd re5ultatul *it:

) xlim ! x + #

+ " x

!) xlim (-! x"8 x!8 x-2)

+

") xlim (# x-#) +

#) xlim

! xx!+ +

x! x 1

) xlim ! x + # + x !

) xlim ! x + +

) xlim ( x"- x!82)

+

1) xlim (-! x!8 x-)

+

2) xlim (-! x82) +

0) xlim ! x! 2 x + 1 !

+ " x 2 x +

) xlim ! x# x+1 x + # !

+

!) xlim x x2 x !

+

") xlim x x+

!

#) xlim

! xx+0 2

!

+ "+

) xlim 2 x x+ x 2+

) xlim ( x#81 x-00)

+

) xlim (-" x"- x! 8 x81)

+

1) xlim (-1 x! 8) +

2) xlim ! xx+

+2 +

!0) xlim #! xx+2!

+


12/22

!) xlim xx! x+ 2+ + x

!!) xlim ! x 2 x+ !+ x+

!") xlim x x2+ x0 + ! +!#) xlim x2+ x !

+

!) xlim ! xx 1 +

0 +

x" + ! x

!) xlim ! x! x + + !) xlim x 2+ !#

x +

!1) xlim (-" x!82 x-)

+

!2) xlim (# x"-2 x!8 x-#0)

+

"0) xlim (-" x#-2 x! 8 x-2)

+


13/22


Nedetermin-ri :

Să se calculeze limitele de func Ń ii:

1) xlim

!" x + 1 x ; 2) xlim xx!

++ x# ; 3) xlim x# x+ " x ;

x! + " ! ! !

! x# x! ; 5) lim ! x" x + ; 6) lim x + " ;

4) lim " x" + x + ! x x " x " + # x ! x ! x !

7) xlim

x + ; 8) lim x + ; 9) lim

! x

x;

x x x x x +#; 10) xlim

x! + #

11 )lim

x

x ! + x + ; 12) x# +

x!

lim x

x ! + x + ; 13) x# +

lim x

x!

x! + ;

14) lim 15) xlim

! x + " ; 16) lim ! x + " ; x x + ! x + ! x x + !

17) lim ln( xx# ++! xx)

)

; 18) lim ln(ee x ++)) ; 19) xlim

( x!+ x)+ x x ; x ln( ! x ln( ! x ! " "

Să se determine parametrii reali a )i b, astfel încât :

lim x + ax & = 0 ;!

x

x

+

Nedetermin-ri : 00

Să se calculeze limitele de func Ń ii :

1) lim0 " x x+ "!+ ! x! ; 2) lim

x! x+ " x+

! ; 3) lim

xx# #" xx!++!"

; x # x x ! x ! x "


14/22

4) lim xx!+!" xx +!" ; 5) lim

! x! x " x#+

! ; 6) lim

x" x !! x +

;

x # ! x ! x ! x x+

7)lim

x ! # x + "; 8) lim

" x! #

; 9) lim x# + x

;

x x" ! x ! + ! x x! x 1 x 0 x # x


15/22


10) lim0 xx3 ; 11) lim

0 x x+# x ; 12) lim

x + x + ....... + x n ;

# " ! n

x x x x

13) lim x ( xn)(! x ) ; nN* ; 14) lim

xxn ; m , n N* ; m n.

x n x m

14) lim" ! x" ++!0 xx! ++"" xx

1 ; 15) xlim! " xx! ++# xx+1# ;

x ! # x " !1 ! " + 1 !

16 )m )i p fiind numere naturale, să se afle :

lim * xm am . xa x a *

S ă s e af le :

lim ( x )! a (a )! x ." "

xa ( x ) a (a ) x

Nedetermin-ri : 00


1) lim0 e " x ; 2) lim

0 e x ; 3) lim

e x" ; 4) lim

0 ee" x e x ;

x ! x !

x

x e " x

x ! x !

x ! xe

x

5) lim0 e

" ; 6) lim e x e# x ; 7) lim " x ! ; 8) lim a x

, ( >0);

x x x 0 e x e ! x x " x " x 0 x

9) lim! ! x !# ; 10) lim

" # x # ; 11) lim

0 e # x ; 12) lim

0 e x .

x x in x in " x

x x " x x


1) lim0 ln (+ " x) ;

!

x x


16/22

2) lim0 ln (( + x)

) ; x ln + ! x 3) lim

0 ln ( + " xx x ) ; x

4) lim ln ( + x x x ) ; 5) lim

0 ln (+ " xx)

) ; 6) lim

0 e + ln x ( + ! x) ;

# ! x

x x ln ( + # x !

7) lim" " ! x+ln" ( x !) ; 8) lim

0 ln (( + in " x )

) ; 9) lim

0 ln( +tg ! x ) ; x

x x ln + in x x x

1


17/22


10) lim0 ln ( inarcin x ) . +

x " x

Nedetermin-ri : 00


in " x ; 2) lim in ! x ; 3) lim in ( x" x! ) ; 4) lim in!

! x

1) lim0 x x

x0 in 2 x x 0 " x ! x 0 x ! ;

5) lim0 in x xin " x ; 6) lim

0 in x + in " x ; 7) lim

0 in x in " x ;

x x x x in x

8) lim! arcin"( x !) ; 9) lim

0 in ( xxin " x) ; 10) xlim! in (( xx! ++" xx+!!))

; in ! x x! x + !

in ( x! 2)

x ! arcin ( x! x + #) ;13) lim in ( x ) .

11) xlim" arcin ( x! + x ) ;12) lim

# x x! x x!


1) lim0 tg 0 x ; 2) lim0 tg x ; 3) lim0 tg x , 0. x x x tg x x tg x

4) lim! "tg !("+ xx!)

! ; 5) lim

0 arctg ! x . x

x x arctg x"


1) lim0 in x x ; 2) lim arcin x(! ! x) ; 3) lim" arctg (( xx! "2)) . x tg x ! tg (# ) x arcin

Nedetermin-ri : 00


1) lim0 + xx ; 2) lim0 + x

x ; 3) lim x

! ; x x x x x


18/22

2


19/22


4) lim xx ; 5) lim

! ! x#2" ; 6) lim0

x ;

x

" x+1 !

x x x

x ! +

" x +

"

# + " x !

"

7) lim0

x

x ; 8) lim

x

x + x! !

2 + ! x

; 9) lim1 xx1! ; x

10) lim x 1 ; 11) lim

x# " x # x1 "

; 12) lim# " +

x ;

x ! x x

13) lim" x ! xx+! x + x " + ! x ; 14) lim

0 + x + xx x ;

x ! # ! x !

x ; 15) lim0

" ! x + ; 16) lim# x + " ; "

15) lim

x

" x + " !

x + ! " x !

x x +

"

x x

17) lim!

x

# x + x ;18) lim

0 + x ;19) lima x &x aa & .

x + x x

Nedetermin-ri :


1) lim

x

( x ! + ! x ; 2) lim ) x ( x ! + ! x x ! + x ; )

3) lim x + " x" ; 4) lim x

( ) x

( x

"

"

+ x ! + " x" x ! + ; )

5) xlim ( " x ! 1 x + + x " ; 6) ) lim x

x ( 2 x ! + + " x ; )

7) xlim ( x!

+ " x + x ; 8) lim x ! x! + " x ! ;


20/22

) x

( )

9) xlim ( # x ! + " x + ! x! + ; 10) lim x! x# " x! + ;

) x

( )

11) xlim ( " x! x + + ! x ; 12) lim) x ( x + ! x + ! + x + " ; )

13) xlim x! x+ x ; 14) lim x

" x" ; 15) lim co

x in! x ;

"

x

x 2

0


21/22


16) lim0 2 !

; 17) lim " ( x + )

!

" ( x )

! ;

x in ! x in x

x

18) lim x ( x!

+ x ; 19) lim!

)

x x x " x + !

!

20) lim (ln( x + ) ln x) ; 21) lim x [ln ( x + !) ln x];

x x

Nedetermin-ri :


x + x ; 2) lim x x ; 3) lim x ; 4) lim x + " x

! +

1) lim x

x

x + x x ! ; x

x

x

!

x! + x + x

4) lim" (" # x) x"

! x + " " x + ; x

; 5) xlim x! x +

; 6) lim ! x +

x

x

x! + x +

7) lim0 ( + ! x) ; 8) lim ( x) x x

; 9) xlim x x +

!

;

x

x


22/22

10) lim0 ( + in ! x)

x

! x

; 11) lim (in x)! x

; 12) lim0 ! + x

x ;

x !

x !

! x + 1 x ; 14) lim0 a + &

x

x x ;15) lim

x x ! x + " ; x

! x x

13) lim0

!

x

x x

x

x! # x +

x! + ax + x = e Afla Ń i valorile parametrului a, pentru care : lim x! + " x !

x! +# x

16) lim x! + x

+ !

este : a) e-2 ; b) e ; c) 1 ; d) e2 ; e) e-1 .

x x x +

17) xlim +" x"

+ x este: a) 0 ; b) 1 ; c) ! ; d) " ; e) .

AnalizaXI Limite

Documents

Transcript of AnalizaXI Limite