Analiza Matematica - Mona CRISTESCU

Cuprins

1 Numere reale 7

1.1 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Mulimi numrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Spaii metrice 17

2.1 Spaii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Spaii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Topologia indus de o metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Convergena n spaii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Puncte limit i limite extreme ale unui ir din R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Funcii continue 43

3.1 Funcii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Limite iterate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Mulimi compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Continuitate pe compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Mulimi conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 Continuitate pe conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7 Funcii uniform continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Aplicaii liniare i continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Difereniabilitate 63

4.1 Funcii difereniabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Derivate pariale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Derivata dup o direcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4 Proprieti ale funciilor difereniabile i ale derivatelor pariale . . . . . . . . . . 72

4.5 Difereniabilitatea funciilor compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6 Derivate pariale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7 Formula lui Taylor pentru funcii de o variabil real . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.8 Formula lui Taylor pentru funcii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . 90

4.9 Puncte de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.10 Difeomorsme. Teorema de inversiune local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.11 Funcii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.12 Extreme cu legturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.13 Metoda celor mai mici ptrate pentru aproximarea unei funcii . . . . . . . . . . 114

4.14 Metoda gradientului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3

5 Serii numerice 119

5.1 Serii numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2 Proprieti ale seriilor numerice i ale sumelor pariale . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Criterii de convergen pentru serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4 Serii alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5 Serii absolut convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.6 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.7 Produsul convolutiv a dou serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6 iruri de funcii. Serii de funcii. Serii de puteri 141

6.1 iruri de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 Proprieti ale irurilor de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3 Serii de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4 Criterii de convergen uniform pentru serii de funcii . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.5 Proprieti ale seriilor de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.6 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.7 Proprieti ale seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.8 Seria Taylor. Dezvoltri n serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Integrale generalizate 163

7.1 Integrale generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2 Proprieti ale integralelor improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.3 Criterii de convergen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8 Integrale curbilinii 171

8.1 Drumuri. Curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.2 Integrala curbilinie n raport cu lungimea arcului . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.3 Calculul integralei curbilinii n raport cu lungimea arcului . . . . . . . . . . . . . 178

8.4 Integrala curbilinie n raport cu coordonatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.5 Calculul integralei curbilinii n raport cu coordonatele . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.6 Proprietile integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.7 Independena de drum a integralei curbilinii n raport cu coordonatele . . . . . . 184

8.8 Aplicaii ale integralelor curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9 Integrale duble 189

9.1 Mulimi msurabile Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.2 Integrala dubl. Noiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.3 Proprieti ale sumelor Darboux i Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.4 Proprietile integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.5 Calculul integralelor duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.6 Formula lui Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.7 Exprimarea ariei unui domeniu cu ajutorul unei integrale curbilinii . . . . . . . . 204

9.8 Schimbarea de variabil la integrala dubl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.9 Aplicaii ale integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4

10 Integrale de suprafa 211

10.1 Pnze parametrizate. Suprafee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.2 Aria unei suprafee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.3 Integrale de suprafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

10.4 Integrala de suprafa n raport cu coordonatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10.5 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

11 Integrala tripl 225

11.1 Mulimi din spaiu msurabile Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

11.2 Integrala tripl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

11.3 Criterii de integrabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.4 Calculul integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

11.5 Formula lui Gauss - Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

11.6 Schimbarea de variabil la integrala tripl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

11.7 Aplicaii ale integralelor triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

12 Serii Fourier 241

12.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

12.2 Operaii cu serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Bibliograe 253

Glosar 254

5

Capitolul 1

Numere reale

1.1 Numere reale

Deniia 1.1.1 Fie A o mulime nevid. Se numete relaie binar pe A orice submulime aprodusului cartezian R AA.Pentru x, y A n loc de (x, y) R vom scrie xR y i spunem c x este n relaia R cu y.

Deniia 1.1.2 O relaie binar R pe A se numete relaie de ordine dac se veric urmtoareleaxiome:

1. x A xRx (reexivitatea),2. Dac xR y i y Rx, unde x, y A, atunci x = y (antisimetria),3. Dac xR y i y R z, unde x, y, z A, atunci xR z (tranzitivitatea).

Dac n plus x, y A xRy sau y Rx, atunci relaia R se numete relaie de ordine total.O mulime A pe care s-a denit o relaie de ordine R se numete mulime ordonat i senoteaz prin (A,R) sau A atunci cnd se subnelege care este relaia de ordine.Fie A o mulime ordonat pe care s-a denit relaia de ordine notat . Dac B Aeste o submulime nevid a lui A, atunci orice element a A pentru care x a (respectiva x) oricare ar x B se numete majorant (respectiv minorant) al mulimii B n A. Dacsubmulimea B admite cel puin un majorant, respectiv un minorant ea se numete majorat(mrginit superior), respectiv minorat (mrginit inferior) n A. Mulimea B se numetemrginit, dac este att minorat, ct i majorat. Dac mulimea B admite un majorant,respectiv un minorant ce aparine lui B acesta se numete cel mai mare element, respectiv celmai mic element notat cu maxB, respectiv minB.Cel mai mic majorant al mulimii B se numete margine superioar exact sau supremum ise noteaz cu supB.

b A, b = supB x b, x B (b este un majorant al muimii B) i dac b A astfelnct x b, x B, atunci b b (b este cel mai mic majorant al mulimii B).Cel mai mare minorant al mulimii B se numete margine inferioar exact sau inmum ise noteaz cu inf B.

a A, a = inf B a x, x B (a este un minorant al mulimii B) i dac a Aastfel nct a x, x B, atunci a a (a este cel mai mare minorant al mulimii B).

Observaia 1.1.1 1. Dac exist inf B i supB nu rezult neaprat c inf B, supB B.2. Dac exist inf B i supB conform proprietii de antisimetrie acestea sunt unic determi-nate.

7

8 1. Numere reale

Exemplu 1.1.1 1. Dac A = R i B = [0, 1), atunci orice a 1 este un majorant pentru B iorice b 0 este un minorant pentru B. n acest caz inf B = 0 B, supB = 1 6 B, iar 0 estecel mai mic element al lui B.

2. Dac A = R i B = N, atunci orice b 0 este un minorant al lui B, dar nici un elementa R nu este majorant pentru N; inf N = 0, supA nu exist n R.Dac B = Z atunci nu exist nici majorani nici minorani; nu exist inf Z i supZ n R.

Deniia 1.1.3 axiomatic a numerelor reale

Fie K o mulime pe care sunt denite operaiile de adunare i nmulire:

+, : K K K,(x, y) x+ y(x, y) x y

i o relaie de ordine x y ntre elementele lui K, care satisfac urmtoarele axiome:A1) (K,+, ) este un corp comutativ, adic

1. + este asociativ: x, y, z K (x+ y) + z = x+ (y + z),2. + este comutativ: x, y K x+ y = y + x,3. exist n K elementul 0 pentru care x+ 0 = x, x K,4. x K, x K astfel nct: x+ (x) = 0,5. este asociativ: x, y, z K (x y) z = x (y z),6. este comutativ: x, y K xy = y x,7. exist n K, elementul 1 pentru care x 1 = x, x K,8. x K, x 6= 0, x1 K astfel nct xx1 = 1,9. este distributiv fa de + : x, y, z K x (y + z) = x y + y z.

A2.) este o relaie de ordine total pe K, care este compatibil cu operaiile algebrice + i ;

1. este reexiv: x x, x K,2. este antisimetric: x, y K, dac x y i y x x = y,3. este tranzitiv: x, y, z K, dac x y i y z x z,4. x, y K x y sau y x,5. x, y, z K, dac x y x+ z y + z,6. x, y, z K i 0 z, dac x y x z y z.

A3) Orice submulime nevid i majorat a lui K admite o margine superioar exact (axiomamarginii superioare sau axioma Cantor - Dedekind).

1.1. Numere reale 9

Observaia 1.1.2 1. Orice mulime ce veric A1, A2 i A3 este izomorf cu mulimea K, pecare o vom nota R i care se numete mulimea numerelor reale.2. Ultima axiom din deniia 1.1.3 constitue punctul de plecare n stabilirea rezultatelor de

baz ale analizei matematice, ceea ce o separ de algebr.

Teorema 1.1.1 regula semnelor n R.1. x R, x > 0 x < 0;

x < 0 x > 02. x, y R, x > 0, y > 0 x y > 0

x > 0, y < 0 x y < 0x < 0, y < 0 x y > 0;3. x R, x 6= 0 x2 > 0

1 6= 0 1 > 0;4. x R, x > 0 1x > 0

x < 0 1x < 0;5. x, y R, x 0, y 0 i x+ y = 0 x = 0 i y = 0.

Demonstraie:

1. Dac x > 0, 0 = (x) + x > (x) + 0 = x x < 0Dac x < 0, 0 = (x) + x < (x) + 0 = x x > 0.

2. Dac x > 0 i y > 0, atunci x y > x 0 = 0 x y > 0.Dac x > 0 i y < 0, atunci x > 0 i y > 0, deci x(y) > 0 x y > 0 x y < 0; x < 0i y < 0 x < 0 i y > 0 x y < 0 x y > 0.

3. Dac x 6= 0, atunci x2 = xx{dac x > 0 x2 > 0dac x < 0 x2 > 0. Cum 1 6= 0 1

2 > 0 1 > 0

4. Dac x > 0, 1 = x 1x > 0. Presupunnd c1x < 0, rezult 1 = x

1x < 0, ceea ce este fals,deci

1x > 0.

Dac x < 0 1x < 0 se arat n mod analog.

5. Dac x 0, y 0 i x + y = 0 x = yx 0

} y 0 y 0 i, cum y 0, rezult

y = 0, care mpreun cu x+ y = 0 ne d x = 0.

Deniia 1.1.4 O submulime I R se numete inductiv dac 0 I i pentru orice x I x+ 1 I.

Teorema 1.1.2 Exist o singur submulime N R numit mulimea numerelor naturale, careare urmtoarele proprieti:

1. 0 N;

2. Dac x N x+ 1 N;

3. Dac A R cu 0 A i x A x+ 1 A, atunci N A.

10 1. Numere reale

Demonstraie: Unicitatea. Presupunem c exist dou mulimi N i M caresatisfac condiiile din ipotez. Conform proprietii 3 din enun avem N R cu0 Nx N x+ 1 N

} M N. De asemenea avem M R cu 0 M

x M x+ 1 M}

N M, adic M = N.Existena. Considerm mulimea A = {A R | 0 A, dac x A x+ 1 A} 6= . Dac

N = AAA, atunci 0 N.Fie x N x AAA x A, A A x + 1 A, A A x + 1 AAA

x+ 1 N.Din N = AAA pentru orice A A N A.

Observaia 1.1.3 a) Mulimea N este cea mai mic mulime inductiv din R (relativ la incluz-iune).

b) Avem 0 N, 0 + 1 = 1 N, 1 + 1 = 2 N, . . . ,N = {0, 1, 2, . . . , n, . . . }.c) Folosind noiunea de mulime inductiv, se poate enuna principiul induciei matematice

astfel: Dac S N este o mulime inductiv, atunci S = N.

Proprieti remarcabile ale mulimii numerelor naturale N

Teorema 1.1.3 1. Pentru orice x N x 0. Dac x N, x 6= 0 atunci y N astfelnct x = y + 1.

2. Pentru orice x, y N cu x < y z N astfel nct y = x+ z.3. Pentru orice x, y N x+ y N i x y N.

Demonstraie.

1. Notm R+ = {x R |x 0} mulimea numerelor reale pozitive; R+ R i 0 R;x R+ x+ 1 R+. Din teorema 1.1.2 rezult c N R+, adic pentru orice x Nx R+.Mulimea A = {0} {x + 1 |x N} N. Evident 0 A i dac x A x + 1 A.Din teorema 1.1.2 obinem N A, deci A = N. Aadar pentru orice x N, x 6= 0 avemx {y + 1 | y N} y N astfel nct x = y + 1.2. Mulimea A = {x N | dac x < y, z N astfel nct x + z = y} N. Fie y Ncu 0 < y 0 + y = y 0 A. Fie x A; dac x N i x + 1 < y y 6= 0 i cumy N y N astfel nct y = y + 1.Cum x + 1 < y x + 1 < y + 1 x < y care mpreun cu x A ne d c z Nastfel nct x+ z = y (x+ 1) + z = (x+ z) + 1 = y + 1 = y. Deci z N astfel nct(x+ 1) + z = y x+ 1 A.Deoarece mulimea A satisface proprietile: 0 A i dac x A x + 1 A, atunciconform teoremei 1.1.2 N A, de unde A = N.3. Fie x N i A = {y N |x + y N} N. Cum x = x + 0 N 0 A. Dac

y A x+ y N (x+ y) + 1 N x+ (y + 1) N y + 1 A.Deoarece mulimea A satisface proprietile: 0 A i dac y A y + 1 A, atunciconform teoremei 1.1.2 N A, de unde A = N.

1.1. Numere reale 11

Fie x N i A = {y N |x y N} N. Din 0 = x 0 N 0 A. Dac y A x y N;x(y+1) = x y+x N, deoarece x y, x N, deci y+1 A. Deoarece mulimea A satisfaceproprietile: 0 A i dac y A y + 1 A, atunci conform teoremei 1.1.2 N A, deunde A = N.

Teorema 1.1.4 Mulimea numerelor naturale este bine ordonat, adic orice submulime nevid

a lui N, A N are un cel mai mic element.

Demonstraie. Dac 0 A 0 este cel mai mic element al lui A, deci N este bineordonat.

Dac 0 6 A considerm mulimea B = {x N |x este minorant al lui A} = {x N |x 0. Atunci conform teoremei 1.1.5exist n N, n 6= 0 astfel nct 1 < n, de unde 1n < .Considerm mulimea A =

{p N | pn y

}6= i e m cel mai mic element din A. Avem

mn y i m 1n < y. Din mn y m 1n y 1n y = x x m 1n < y.

Teorema 1.1.7 Dac x R, atunci x = sup{r Q | r < x}, respectiv x = inf{r Q | r > x}.

Demonstraie: Fie A = {r Q | r < x} 6= , deoarece x 1 A. A ind o mulime nevidi majorat de numere reale, rezult c exist supA A; supA < x r Q astfel nctsupA < r < x. Cum r A supA < r i supA A, ceea ce este fals, aadar supA = x.

Teorema 1.1.8 Fie a R, a 0 xat. Dac pentru orice > 0, Q avem a < , atuncia = 0.

Demonstraie: Dac a 6= 0, atunci a > 0 i, din proprietatea lui Arhimede, rezult cexist n N astfel nct na 1. Dac n enun lum = 1n , avem a < 1n, de unde na < 1 iastfel obinem o contradicie. Deci a = 0.

Teorema 1.1.9 (lema intervalelor nchise incluse) Fie I0 I1, In . . . un ir descen-dent de intervale nchise i mrginite n R, In = [an, bn], n 0. Atunci intersecia n0In estetot un interval. Dac, n plus, limn(bn an) = 0, atunci intersecia n0In este alctuitdintr-un punct.

1.2. Mulimi numrabile 13

Demonstraie: Considerm A = {an |n 0} i B = {bn |n 0},

a0 < a1 < a2 < < an < < bn < < b2 < b1 < b0.

Mulimea A este majorat de b0, iar mulimea B este minorat de a0. Fie a = supA i b = inf B.Deoarece an bm, n,m N avem

an a b bn, n 0, (1.5)

deci [a, b] In, n 0, de unde [a, b] n0In.Dac limn(bn an) = 0, atunci din (1.5) obinem inegalitile

0 b a bn an a = b,

aadar n0In = {a}.

Lema 1.1.1 Lema lui Cesar (1859-1906)

Orice ir mrginit de numere reale conine un subir convergent.

Demonstraie: Fie (xn) un ir mrginit de numere reale. Atunci exist numerele realea, b R, a < b astfel nct xn [a, b], n N i considerm c = a+ b2 . Dintre intervalele[a, c], respectiv [c, b] l alegem pe acela care conine o innitate de termeni ai irului xn. Notmintervalul ales cu I1 = [a1, b1].

a a1 < b1 b, b1 a1 = b a2

Fie c1 =a1 + b1

2 . Dintre intervalele [a1, c1], respectiv [c1, b1] l alegem pe acela care conine oinnitate de termeni ai irului xn. Notm acest interval cu I2 = [a2, b2].

a a1 a2 < b2 b1 b, b2 a2 = b a22 .

Folosind procedeul de mai sus construim inductiv un ir de intervale nchise In = [an, bn] cuurmtoarele proprieti: In conine o innitate de termeni ai irului xn,

a = a0 a1 a2 an bn b2 b1 b0 = b

i bn an = b a2n , n N.Conform teoremei 1.1.9, rezult nNIn = {}.Din construcia intervalelor In exist un ir strict cresctor de numere naturale n0 < n1

>

+

+

?

+

+

Lund elementele din tablou n ordinea indicat de sgei, formm irul a11, a12, a

21, a

31,

a22, a13, a

14, a

23, a

32, a

41, . . . . Oricare ar un element a

nm al unei mulimi An, m N, el aparine aces-tui ir. Prin urmare, irul de mai sus conine toate elementele reuniunii n1An, deci n1Aneste numrabil.

Teorema 1.2.3 Produsul cartezian al unui numr nit de mulimi numrabile este, de aseme-

nea, numrabil.

Demonstraie: Este sucient de artat c produsul cartezian a dou mulimi numrabile

A1 i A2 este numrabil. Cum A1 este mulime numrabil, putem numerota elementele ei deforma A1 = {a1, a2, . . . , an, . . . }. Atunci A1 A2 = n1{an} A2. Mulimea {an} A2 esteechipotent cu A2, prin urmare, este numrabil. Astfel, produsul A1 A2 este o mulimenumrabil de mulimi numrabil i, conform teoremei 1.2.2, el este numrabil.

Teorema 1.2.4 Mulimile Z i Q sunt numrabile.

Demonstraie: Cum aplicaia f : N Z denit prin

f(n) =

n2 , dac n este par

n+ 12 , dac n este impareste o bijecie, rezult c mulimea numerelor ntregi este numrabil.

N N deoarece, dac considerm aplicaia g : N N g(n) = n+1, n N, ea este o bijecie.Aadar, N este i ea numrabil. Conform teoremei 1.2.3 mulimea Z N este numrabil.Aplicaia h : Z N Q denit prin h(p, q) = pq ind o bijecie, rezult Z N Q i,deoarece N Z N, rezult N Q, adic mulimea numerelor raionale este numrabil.Teorema 1.2.5 Mulimea numerelor reale R nu este numrabil.

Demonstraie: Presupunem prin absurd c mulimea numerelor reale ar numrabil,

adic ar exista o bijecie f : N R f(n) = an, n N. Scriem elementele an ca fracii zecimalean = xn, xn1xn2 . . . xnm . . . , n N, unde (xij)i,j1 {0, 1, 2, . . . , 9}, xn Z.Considerm elementul b = 0, b1b2b3 . . . , unde b1 6= x11, b2 6= x22, b3 6= x33 etc. Cum b R,exist p 0 astfel nct b = xp, adic 0, b1b2b3 = xp, xp1xp2 . . . xpn . . . bp = xpp, ceea cecontravine alegerii cifrelor bp. Aadar, mulimea numerelor reale R nu este numrabil.

16 1. Numere reale

Corolarul 1.2.1 Mulimea numerelor iraionale RQ nu este numrabil.

Demonstraie: Presupunem c R Q este numrabil. Deoarece R = Q (R Q) i Qeste numrabil, conform teoremei 1.2.2 ar rezulta c R este numrabil, ceea ce este fals.

Corolarul 1.2.2 Orice interval deschis (, ), unde < este mulime nenumrabil.

Capitolul 2

Spaii metrice

2.1 Spaii metrice

Spaiile metrice formeaz o clas important de spaii topologice. Datorm aceast noiune

matematicianului M. Frecht (1878-1973) care, introducnd noiunea de distan ntre obiecte

matematice de acelai tip, ne permite s vorbim de distana nu numai ntre dou puncte din

plan.

Deniia 2.1.1 Fie X o mulime nevid. O funcie d : X X R cu proprietile:(D1) d(x, x) = 0, x X;(D2) d(x, y) = d(y, x), x, y X (simetrie);(D3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X (inegalitatea triunghiului);se numete semimetric (sau semidistan). Dac, n plus, d veric i

(D4) d(x, y) = 0 x = y, x, y X,atunci d se numete metric (sau distan).

Observaia 2.1.1 1. Dac n (D3) punem x = y obinem:d(x, x) d(x, z) + d(z, x), x, z X, de unde d(x, z) 0, x, z X.2. Putem reduce numrul de axiome care caracterizeaz noiunea de semimetric. Astfel

(D2) i (D3) sunt echivalente cu (D2)(D2) : d(x, y) d(x, z) + d(y, z), x, y, z X, deci (D1) + (D2) + (D3) (D1) + (D2).Evident (D2) + (D3) (D2). Reciproc, lum n (D2) z = x i obinem

d(x, y) d(x, x) + d(y, x) d(x, y) d(y, x)

Dac inversm pe x cu y avem d(y, x) d(x, y), deci d(x, y) = d(y, x), adic (D2).

Deniia 2.1.2 O pereche (X, d), unde d : XX R este o metric (semimetric) se numetespaiu metric (semimetric). Elementele unui spaiu metric se numesc puncte.

Observaia 2.1.2 1. Dac perechea (X, d) este un spaiu metric i A X este o submulimenevid a lui X, atunci perechea (A, d) este un spaiu metric.

2. Pe o mulime nevid X pot denite mai multe distane, dup cum vom constata mai jos,deci mai multe structuri de spaiu metric. Atunci, cnd nu este pericol de confuzie, spaiul

metric (X, d) va notat cu X.

17

18 2. Spaii metrice

n continuare vom da cteva exemple de spaii metrice.

1. (R, d) este un spaiu metric, unde d : R R R d(x, y) = |x y|, x, y X estemetrica euclidian.

2. (C, d) este spaiu metric relativ la metrica euclidian d : C C R, d(z1, z2) = |z1 z2|, z1, z2 C.3. (Rn,C) este spaiu metric, unde metrica euclidian d : Rn Rn R se denete astfel:

x = (x1, x2, . . . , xn) Rn, y = (y1, y2, . . . , yn) Rn

d(x, y) =

[ni=1

(xi yi)2]1/2

.

Vericarea proprietilor (D1), (D2) i (D4) este imediat.

Pentru a verica (D3) e x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) i z = (z1, z2, . . . , zn) Rn.

(D3)[

ni=1

(xi yi)2]1/2

[

ni=1

(xi zi)2]1/2

+

[ni=1

(zi yi)2]1/2(2.1)

Notm xi zi = ai i zi yi = bi, i = 1, n. Atunci relaia (2.1) devine[ni=1

(ai + bi)2]1/2

[

ni=1

a2i

]1/2+

[ni=1

b2i

]1/2

ni=1

(ai + bi)2 ni=1

a2i +ni=1

b2i + 2

[ni=1

a2i

]1/2 [ ni=1

b2i

]1/2

ni=1

aibi [

ni=1

a2i

]1/2 [ ni=1

b2i

]1/2[

ni=1

aibi

]2[

ni=1

a2i

][ni=1

b2i

],

care nu este altceva dect inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz.

Observm c spaiile metrice (R2, d) i (C, d) cu distanele euclidiene sunt identice.4. (Rn, d) este un spaiu metric, unde d : Rn Rn R

d(x, y) =ni=1

|xi yi|, x = (x1, x2, . . . , xn) y = (y1, y2, . . . , yn) Rn

este metrica Manhattan (distana "potaului").

5. (Rn, d) este un spaiu metric relativ la distana d : Rn Rn R

d(x, y) = maxi=1,n

|xi yi|, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn.

6. Fie A Mm,n (R). Orice matrice din Mm,n(R) poate identicat cu un vector dinRmn.

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

== (a11a12 . . . a1n . . . a21a22 . . . a2n . . . am1am2 . . . amn).

2.1. Spaii metrice 19

Cum pe Rmn am introdus deja 3 metrici, rezult c putem deni distana ntre dou matricifolosind cele 3 metrici.

7. (Rn, d) este un spaiu metric, unde d : Rn Rn R

d(x, y) =

[ni=1

|xi yi|p]1/p

, p 1, p R, x = (x1, x2, . . . , xn),

y = (y1, y2, . . . , yn) Rn este metrica Minkowski (1864 - 1909).Vericarea proprietilor (D1), (D2) i (D4) este imediat. Pentru a arta c are loc i (D3)

vom folosi urmtoarele inegaliti.

Lema 2.1.1 Fie a, b R+ i p, q > 1 astfel nct 1p + 1q = 1. Atunci

a b ap

p+bq

q.

Demonstraie: Funcia f : (0,) R

f(x) =xp

p+xq

q

este derivabil i are un minim n punctul x = 1. Pentru x = a1q b 1pavem

1 = f(1) f(a1q b 1p

)=

1papq b1 +

1qa1b

qp .

Cum

pq = p 1 i qp = q 1, rezult ab a

p

p +bqq .

Lema 2.1.2 Fie ai, bi R+, i = 1, n i p, q > 1 astfel nct 1p + 1q = 1. Atunci

ni=1

aibi [

ni=1

api

]1/p [ ni=1

bqi

]1/qinegalitatea lui Hlder (1859 - 1937).

Demonstraie: Presupunem c cel puin un ai 6= 0 respectiv, bi 6= 0. Fie a = ai[n

i=1 api ]1/p

i b = bi[n

i=1 bqi ]1/q .

Folosind lema 2.1.1 pentru a i b obinem

aibi

[n

i=1 api ]1/p [

ni=1 b

qi ]1/q

api

pn

i=1 api

+bqi

qn

i=1 bqi

, i = 1, n.

nsumnd dup i avemni=1 aibi

[n

i=1 api ]1/p [

ni=1 b

qi ]1/q

n

i=1 api

pn

i=1 api

+n

i=1 bqi

qn

i=1 bqi

=1p+1q= 1,

de unde

ni=1

aibi [

ni=1

api

]1/p [ ni=1

bqi

]1/q.

20 2. Spaii metrice

Lema 2.1.3 Fie ai, bi R+, i = 1, n i p 1. Atunci[ni=1

(ai + bi)p]1/p

[

ni=1

api

]1/p+

[ni=1

bpi

]1/pinegalitatea lui Minkowski.

Demonstraie: Dac p = 1 obinem chiar egalitate. Pentru p > 1 avem

ni=1

(ai + bi)p =ni=1

(ai + bi)p1(ai + bi) =ni=1

(ai + bi)p1ai +ni=1

(ai + b1)p1bi

[

ni=1

api

]1/p [ ni=1

((ai + bi)p1

) pp1

] p1p

+

+

[ni=1

bpi

]1/p [ ni=1

((ai + bi)p1

) pp1

] p1p

=

=

[ni=1

(ai + bi)p] p1

p

[ ni=1

api

]1/p+

[ni=1

bpi

]1/p ,de unde rezult [

ni=1

(ai + bi)p]1/p

[

ni=1

api

]1/p+

[ni=1

bpi

]1/p.

Fie x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) i z = (z1, z2, . . . , zn) Rn.

(D3)[

ni=1

|xi yi|p]1/p

[

ni=1

|xi zi|p]1/p

+

[ni=1

|zi yi|p]1/p(2.2)

Notm ai = xi zi i bi = zi yi, i = 1, n. Cu notaiile fcute 2.2 devine[ni=1

|ai + bi|p]1/p

[

ni=1

|ai|p]1/p

+

[ni=1

|bi|]1/p

,

ceea ce este adevrat folosind inegalitatea lui Minkowski.

Observaia 2.1.3 Dac nu va precizat vom subnelege pe Rn distana euclidian.

8. Pentru orice mulime nevid X, (X, d) este spaiu metric, unde d : X X Rd(x, y) =

{0, dac x = y1, dac x 6= y , x, y X, este metrica discret. Un astfel de spaiu metric senumete spaiu metric discret.

9. Hipercubul de dimensiune n.Fie B = {0, 1} codul binar. Mulimea Bn = B B B se numete hipercub dedimensiune n. Orice n-uplu x Bn, x = (x1, x2, . . . , xn) = x1x2 . . . xn reprezint un cuvnt decod de lungime n. Denim adunarea modulo 2 n B i o extindem la elementele din Bn. Astfel x, y Bn, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), x y = (x1 y, x2 y2, . . . , xn yn).Pentru x, y Bn se denete d(x, y) =ni=1 xi yi, adic numrul de componente ale lui x iy care nu coincid.

2.1. Spaii metrice 21

Se veric uor c (Bn, d) este un spaiu metric d, unde d se numete distana Hamming(1915 - 1998).

Hipercubul de dimensiune 2 este ptratul avnd latura de lungime 1 i ca vrfuri cuvintele

de cod 00, 01, 10, 11. Hipercubul de dimensiune 3 este cubul obinuit de latur avnd lungimea

1, iar ca vrfuri cuvintele de cod 000, 001, 010, 100, 011, 101, 110 i 111.

Mulimea Bn are o interpretare remarcabil i anume Bn ' An, unde An este mulimea denumere naturale {0, 1, 2, . . . , 2n 1}. Orice numr x An are o reprezentare unic de formax =

ni=1 ai2

i1cu ai B i poate astfel identicat cu punctul a1a2 . . . an Bn.10. Proiecia stereograc.

z

K YO

P

N(0, 0, 1)

]

[ X

Figura 2.1:

Fie o sfer n R3 cu centrul n O(0, 0, 0) i N extrem-itatea cealalt a diametrului ce trece prin O. Orice punctz din planul complex xOy va proiectat ntr-un punct Pde pe sfer prin intersecia sferei cu dreapta Nz. Astfelecrui punct din plan i corespunde un punct de pe sfer

i, reciproc, ecrui punct de pe sfer i corespunde un

punct din plan. Aceast coresponden este o corespon-

den homeomorf.

Denim o metric pe C (alta dect metrica n plan)numit metrica sferic n C astfel:

: C C R(z, z) = d(P, P ) =

2|z z|1 + |z|21 + |z|2 ,unde d este metrica euclidian n R3.Aceast operaie, prin care punctele din plan se pun n coresponden cu punctele sferei,

se numete proiecie stereograc prin polul N , iar sfera se numete sfera lui Riemann (1826 -1866).

Dac z C se ndeprteaz de originea O (|z| ), atunci punctul P se apropie pe sferde punctul N i vom identica elementul de la innit cu N de pe sfer. n acest fel n planulcomplex vom vorbi de un singur punct la innit.

C = C {} se numete planul complex compacticat.Punctul P are coordonatele

P

( =

2xx2 + y2 + 1

, =2y

x2 + y2 + 1, =

x2 + y2 1x2 + y2 + 1

.

)Invers, orice punct P 6= N al sferei va determina un singur punct z C prin intersecia drepteiNP cu planul = 0. Dac P are coordonatele P (, , ), atunci z = + i1 .11. Fie A o mulime nevid, A Rn.(M(A), d) este spaiu metric, undeM(A) este mulimea funciilor numerice, reale, mrginitedenite pe A, iar d : M(A) M(A) R denit prin d(f, g) = supxA |f(x) g(x)|, f, g M(A) este distana uniform.Vericarea condiiilor (D1), (D2) i (D4) este imediat. Artm c are loc i condiia (D3).

Avem inegalitile evidente f, g, h M(A), x A

|f(x) g(x)| |f(x) h(x)|+ |h(x) g(x)| supxA

|f(x) g(x)|+ supxA

|h(x) g(x)| .

22 2. Spaii metrice

Atunci

supxA

|f(x) g(x)| supx]A

|f(x) h(x)|+ supxA

|h(x) g(x)|,

adic d(f, g) d(f, h) + d(h, g), f, g, h M(A).12. (Ck([a, b]), d) este spaiul metric, unde Ck([a, b]) = {f : [a, b] R | f, f , f , . . . , f (k)sunt continue pe [a, b], k N}, iar d : Ck([a, b]) Ck([a, b]) R este denit prin

d(f, g) =ki=0

maxx[a,b]

|f (i)(x) g(i)(x)| metrica Cebev (1821 - 1894).

2.2 Spaii vectoriale

Deniia 2.2.1 Fie V o mulime nevid i (K,+, ) un corp comutativ. Spunem c pe V s-adenit o structur de spaiu vectorial (sau spaiu liniar) peste corpul K, dac s-au denit o legede compoziie intern pe V , notat cu ,

V V V(v, w) v wi o lege de compoziie extern, notat cu ,

K V(, v) v ,care veric urmtoarele axiome:

(V1) (V,) este grup abelian;(V2) (+ ) v = v v, , K, v V ;(V3) (v w) = v w, K, v, w V ;(V4) ( v) = () v, , K, v V ;(V5) Dac 1 este elementul unitate al corpului K, atunci 1 v = v, v V.(V,K,,) se numete spaiu vectorial (liniar) peste corpul K sau K spaiu vectorial. Ele-mentele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Dac K = R, respectivC, atunci (V,K,,) este un spaiu vectorial real, respectiv complex.

Exemplu 2.2.1 1. Dac xm un corp (K,+, ), atunci pe acest corp avem o structur de Kspaiu vectorial.

2. Dac V = Rn, K = R i pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn R,denim cele dou operaii

x y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) x = (x1, x2, . . . , xn),atunci Rn este un spaiu vectorial real n dimensional.

3. Dac V = C0([a, b]) = {f : [a, b] R | f continu}, K = R i f, g C0([a, b]), Ri x [a, b] denim cele dou operaii:

(f g)(x) = f(x) + g(x)( f)(x) = f(x) ,atunci (C0([a, b]),R,,) devine spaiu vectorial real.

2.2. Spaii vectoriale 23

4. (Ck([a, b]),K,,) este spaiu vectorial real, unde i sunt operaiile denite la exem-plul 3.

Convenim ca atunci, cnd nu se produce confuzie, operaia intern s e notat cu + , iarcea extern i K-spaiul vectorial (V,K,+, ) s-l notm cu V sau V/K.

Deniia 2.2.2 Fie V un K spaiu vectorial real sau complex. O aplicaie q : V R ce vericproprietile:

(N1) q(v) 0, v V i q(v) = 0 v = 0V ;(N2') q(v) = q(v), v V ;(N3) q(v1 + v2) q(v1) + q(v2), v1, v2 V (proprietatea de subaditivitate), se numetecvasinorm.

Dac ntrim condiia (N2') prin condiia:

(N2) q(v) = ||q(v), v V, atunci cvasinorma se numete norm.

Observaia 2.2.1 1. v1, v2, . . . , vn V q (n

i=1 vi) n

i=1 q(vi).2. v1, v2 V |q(v1) q(v2)| q(v1 v2).3. Vom nota, n mod curent, norma prin .

Exemplu 2.2.2 Fie V = Rn i K = R. Pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn) Rn se denesc

x1 =ni=1

|xi|, x2 =[

ni=1

x2i

]1/2, x = max

i=1,n|xi|.

Considerm un spaiu vectorial real V i o metric d : V V R. Atunci (V, d) va spaiumetric. Fie funcia q : V R denit prin

q(v) = d(v, 0V ) (2.3)

i presupunem, c distana d este invariant la translaii, adic

d(v1 + v, v2 + v) = d(v1, v2), v, v1, v2 V.Deoarece d(v, 0V ) 0 avem q(v) 0, v V ; q(v) = 0 d(v, 0V ) = 0 v = 0V din (D1) i(D4) deniia 2.1.1, deci q veric (N1).

v V q(v) = d(v, 0V ) = d(v v, 0V v) = d(0V ,v) = d(v, 0V ) = q(v), adic are loc(N2').

v1, v2 V q(v1+v2) = d(v1+v2, 0V ) = d(v1,v2) d(v1, 0V )+d(0V ,v2) = q(v1)+q(v2),deci q veric i (N3).Observm c, pornind cu o metric invariant la translaii, ajungem la o cvasinorm. Are

loc i reciproca, adic o cvasinorm determin o metric invariant la translaii.

Fie q : V R o cvasinorm pe spaiul vectorial real V i denim funcia d : V V Rd(v1, v2) = q(v1 v2) (2.4)Atunci

v V d(v, v) = q(v v) = q(0V ) = 0 (D1); v1, v2 V d(v1, v2) = q(v1 v2) = q(v2 v1) = d(v2, v1) (D2); v1, v2, v3 V d(v1, v2) = q(v1 v2) = q(v1 v3 + v3 v2)

q(v1 v3) + q(v3 v2) = d(v1, v3) + d(v3, v2) (D3).

24 2. Spaii metrice

Dac v1, v2 V d(v1, v2) = 0 q(v1 v2) = 0 v1 v2 = 0V v1 = v2 (D4); v1, v2, v V d(v1 + v, v2 + v) = q(v1 + v v2 v) = q(v1 v2) = d(v1, v2), adic d denitprin (2.4) este o metric invariant la translaii pe V . Deci metricele invariante la translaii suntgenerate de cvasinorme.

Dac n (2.3) considerm c d este o metric compatibil cu nmulirea cu scalarii, adic K, v1, v2 V d(v1, v2) = ||d(v1, v2), atunci q denit de (2.3) este o norm. ntr-adevr, q(v) = d(v, 0V ) = ||d(, 0V ) = ||q(v), prin urmare are loc (N2).Dac q este o norm, atunci metrica d denit de (2.4) este compatibil cu nmulirea cuscalarii. ntr-adevr, pentru orice v1, v2 V, K avem

d(v1, v2) = q(v1 v2) = q((v1 v2)) = ||q(v1 v2) = ||d(v1, v2).

Astfel avem o coresponden biunivoc ntre metricele invariante la translaii i compatibile

cu nmulirea cu scalarii i norme. Metricele care au fost introduse la exemplele de la spaii

metrice sunt induse de norme (distana sferic nu este indus de nici o norm) i, la rndul lor,

induc norme.

Deniia 2.2.3 Un K spaiu vectorial pe care s-a denit o norm se numete spaiu vectorialnormat.

Deniia 2.2.4 Fie (V,K,+, ) un spaiu vectorial, unde K = R sau C. O funcie ( , ) :V V K se numete produs scalar dac sunt satisfcute urmtoarele proprieti

P1 (x, x) 0, x V i (x, x) = 0 x = ;P2 (x, y) = (y, x), x, y V ;P3 (x+ y, z) = (x, z) + (y, z), x, y, z V ;P4 (x, y) = (x, y), K, x, y V.

Exemplu 2.2.3 n spaiul vectorial real Rn funcia

(x, y) =ni=1

xiyi, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn

este un produs scalar pe Rn.

Deniia 2.2.5 Un spaiu vectorial pe care s-a denit un produs scalar se numete spaiu pre-

hilbertian.

Teorema 2.2.1 Inegalitatea Cauchy - Buniakovski - Schwarz.

Dac (V,K,+ , ) este un spaiu prehilbertian nzestrat cu un produs scalar ( , ), atunci

|(x, y)| (x, x)

(y, y), x, y V.

Demonstraie. Fie x, y V i C. Avem

0 (x+ y, x+ y) = ||2(x, x) + (x, y) + (x, y) + (y, y) (2.5)

Dac (x, y) = 0, atunci relaia din enun are loc. Dac (x, y) 6= 0, atunci n (2.5) e =(x, y)|(x, y)| t, t R. Avem t

2(x, x) + 2t|(x, y)| + (y, y) 0, t R dac i numai dac |(x, y)|2 (x, x)(y, y), x, y V.

2.3. Topologia indus de o metric 25

Teorema 2.2.2 Orice spaiu prehilbertian este un spaiu normat.

Demonstraie: Fie (V,K,+, ) un spaiu prehilbertian nzestrat cu un produs scalar ( , ) :V K i denim funcia : V R x = (x, x). Artm c funcia este o norm.Avem

x = 0(x, x) = 0 (x, x) = 0 x =

x =(x, x) =

(x, x) =

||2(x, x) = ||

(x, x) = ||x

x+ y2 = (x+ y, x+ y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) == x2 + y2 + (x, y) + (x, y) = x2 + y2+ 2Re (x, y) x2 + y2 + 2|(x, y)| x2 + y2 + 2x y = (x+ y)2,

adic x+ y x+ y.

2.3 Topologia indus de o metric

Deniia 2.3.1 Fie X un spaiu metric, x X un punct xat i r > 0 un numr real pozitiv.Mulimea S(x, r) = {y X | d(x, y) < r} se numete sferoid deschis centrat n x de raz r.

Exemplu 2.3.1 1. Fie X = R, x R i r > 0.

S(x, r) = {y R | |x y| < r} = (x r, x+ r).

Aadar, sferoizii deschii din R sunt intervalele deschise din R.2. Fie X = Rn, x = (x1, x2, . . . , xn) X i r > 0.

S(x, r) = {y = (y1, y2, . . . , yn) Rn | (yi xi)2 < r2}.

Pentru n = 2 sferoizii din R2 reprezint discurile din R2, iar pentru n = 3 sferoizii din R3 suntsferele pline din R3.3. Fie X = C0([a, b]), f C0([a, b]) i r > 0.

S(f, r) = {g C0([a, b]) | d(f, g) < r} = {g C0([a, b]) | maxx[a,b]

|f(x) g(x)| < r}.

g S(f, r) |f(x) g(x)| < r, x [a, b] f(x) r < g(x) < f(x) + r, x A,aadar S(f, r) este mulimea funciilor g ce au gracul situat ntre gracele funciilor fr, f+r.

Fie X un spaiu metric.

Deniia 2.3.2 Se numete vecintate a punctului x X orice mulime V X pentru careexist un sferoid deschis centrat n x, adic S(x, r) V, r > 0, r R.

Pentru orice x X notm Vx = {V X |V vecintate a punctului x X}.

Observaia 2.3.1 Orice sferoid cu centrul n x este o vecintate a lui x.

26 2. Spaii metrice

Teorema 2.3.1 Proprietile vecintilor unui punct, ntr-un spaiu metric X.

1. V Vx avem x V ;2. Dac V Vx i V U, atunci U Vx;3. Dac V1, V2 Vx, atunci V1 V2 Vx;4. Dac V Vx, atunci U Vx, U V astfel nct y U, V Vy5. Dac x 6= y, x, y X, atunci V Vx i V Vy astfel nct V U = (proprietateaHaussdorf).

Demonstraie: 1. evident.

2. Dac V Vx, atunci r > 0 astfel nct S(x, r) V . Cum V U rezult c r > 0astfel nct S(x, r) U , de unde U Vx.3. Din Vi Vx, i = 1, 2 rezult c exist ri > 0 astfel nct S(x, ri) Vi, i = 1, 2. Alegnd

r = min(r1, r2) > 0, avem S(x, r) V1 V2 i, deci, V1 V2 Vx.4. Cum V Vx, rezult c exist r > 0 astfel nct S(x, r) V. Dac lum U = S(x, r) Vx,atunci aceasta satisface cerina.

5. ntruct x 6= y, rezult d(x, y) > 0. Fie r = 13d(x, y) > 0 i V = S(x, r) Vx, U =S(y, r) Vy. Presupunem c V U 6= , adic z V U. Din z V U d(x, z) < r id(y, z) < r. ns

d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < 2r = 23d(x, y) 1

3d(x, y) < 0,

ceea ce contravine faptului c d(x, y) > 0. Astfel, presupunerea fcut este fals, prin urmare,V U = .

Deniia 2.3.3 Fie X un spaiu metric. Submulimea D X se numete deschis sau undeschis al spaiului X dac D Vx, x D, adic o dat cu orice punct al ei conine un sferoidcentrat n acel punct.

Teorema 2.3.2 Fie X un spaiu metric, a X i r > 0, r R. Atunci S(a, r) este o mulimedeschis.

Demonstraie: Fie b S(a, r), d(a, b) < r i notm r1 = r d(a, b) > 0. Pentru ca S(a, r)s e o mulime deschis e sucient s artm c S(b, r1) S(a, r).

x S(b, r1) d(x, b) < r1 = r d(a, b) d(x, b) + d(a, b) < r; d(x, a) d(x, b) + d(a, b)d(x, a) < r, adic x S(a, r).

Deniia 2.3.4 Fie X un spaiu metric. O submulime F X se numete nchis sau un nchisal spaiului X, dac X F = CXF este deschis.

Exemplu 2.3.2 1. i X sunt n acelai timp mulimi deschise i nchise.

2. Pentru X = R, a, b R a < b intervalele (a, b), (a,), (, a) sunt mulimi deschise,intervalele [a, b], [a,), (, a] sunt mulimi nchise, dar intervalele [a, b), (a, b] nu suntnici nchise, nici deschise. Mulimea Z R este nchis, dar mulimea Q R nu este nicinchis, nici

deschis.


3. Pentru X = R2 mulimile {(x, y) R2 |x2 + y2 < r2}, {(x, y) R2 |x2 + y2 > r2},{(x, y) R2 | r2 < x2 + y2 < R2}, unde r,R R, r, R > 0, sunt mulimi deschise, n timpce mulimile {(x, y) R2 |x2 + y2 r2}, {(x, y) R2 |x2 + y2 r2}, {(x, y) R2 | r2 x2 + y2 < R2} sunt mulimi nchise.Mulimea format dintr-un singur punct n R2 este nchis ca i mulimea [a, b] [c, d].4. Fie Y un spaiu metric i X Y spaiul metric cu distana indus. O submulime A Xeste deschis n X D Y deschis astfel nct A = D X.

Deniia 2.3.5 Dac X este o mulime i T o familie de submulimi ale lui X, T P(X) ceveric proprietile:

1. , X T ;2. Orice reuniune de mulimi din T aparine lui T , adic Ai T , i I avem iIAi T ;3. Orice intersecie nit de mulimi din T aparine lui T , adic Ai T , i I cu I nitavem iIAi T ,

atunci spunem c pe X este denit o topologie T , iar perechea (X, T ) se numete spaiu topologic.

Teorema 2.3.3 Fie X un spaiu metric i T = {D X |D mulime deschis} mulimea de-schiilor din X. Atunci (X, T ) este un spaiu topologic.

Demonstraie: 1. evident.

2. Fie Di T , i I mulimi deschise i notm D = iIDi. Dac a D, atunci i0 Iastfel nct a Di0 i, cum Di0 este deschis, S(a, r) Di0 D, aadar D este deschis.3. Fie D = iIDi unde Di T sunt mulimi deschise, i I, I nit. Dac a D, atunci

a Di, i I. Cum Di sunt mulimi deschise, rezult c S(a, ri) Di, i I. Lundr = miniI ri > 0 avem S(a, r) Di, i I, deci S(a, r) D, adic D este mulime deschis.

Observaia 2.3.2 Din teorema 2.3.3 rezult c orice spaiu metric este n mod natural un spaiu

topologic.

Teorema 2.3.4 Fie X un spaiu metric i F = {F X |F mulime nchis} mulimea nchiilordin X. Atunci (X,CF) este un spaiu topologic.

Demonstraie. Cum F X este mulime nchis CxF este deschis i folosind formulalui de Morgan (1806 - 1871) i teorema 2.3.3 rezult cerina teoremei.

Observaia 2.3.3 1. Intersecia unei familii innite de mulimi deschise nu este ntotdeauna

deschis. Dac considerm mulimile An =( 1n, 1n

), n 1 ele sunt deschise, dar inter-secia lor A = n1An = {0} nu este deschis.2. Reuniunea unei familii innite de mulimi nchise nu este ntotdeauna nchis. Dac con-

siderm mulimile

[1n, 1

], n 1 ele sunt mulimi nchise, dar reuniunea lor A = n1An =

(0, 1] nu este nchis.

3. Orice mulime nit este nchis, ea ind reuniune nit de mulimi formate dintr-un

singur element, care sunt mulimi nchise, ntr-un spaiu metric.

28 2. Spaii metrice

Fie X un spaiu metric i A X o submulime a lui X.

Deniia 2.3.6 Un punct a A se numete punct interior lui A dac exist un sferoid centratn a inclus n A, adic r R, r > 0 astfel nct S(a, r) A. Mulimea A = {a X | a estepunct interior lui A} se numete interiorul lui A.

Deniia 2.3.7 Un punct a X se numete punct aderent lui A dac orice vecintate a punc-tului a are puncte din A, adic V Va, V A 6= . Mulimea A = {a X | a punct aderentlui A} se numete aderena sau nchiderea lui A.

Deniia 2.3.8 Un punct a X se numete punct exterior lui A dac este punct interiormulimii CA, adic a

CA. Mulimea punctelor exterioare lui A se numete exteriorul lui A ise noteaz ExtA.

Deniia 2.3.9 Un punct a X se numete punct frontier al mulimii A dac nu este nicipunct interior nici punct exterior lui A. Mulimea A = FrA = {a X | a punct frontier al luiA} se numete frontiera lui A.

Deniia 2.3.10 Un punct a X se numete punct de acumulare al mulimii A dac pentruorice vecintate V Va a punctului a avem (V A) {a} 6= . Mulimea A = {a X | a punctde acumulare al lui A} se numete mulimea punctelor de acumulare sau mulimea derivat a luiA.

Orice punct de acumulare al lui A este punct aderent al lui A, dar pot exista puncte aderenteale lui A care s nu e puncte de acumulare.

Un punct aderent a al lui A, care nu aparine lui A, este n mod necesar punct de acumulare.Punctele lui A nu sunt n mod necesar puncte de acumulare.

De exemplu, dac A = {a}, atunci a A dar a nu este punct de acumulare al lui A, deoareceA nu conine nici un alt punct diferit de a, deci nu veric deniia punctului de acumulare.

Dac o mulime A dintr-un spaiu metric are un punct de acumulare, atunci ea este innit.Prin urmare o mulime nit nu are nici un punct de acumulare. Exist i mulimi innite care

nu au nici un punct de acumulare cum sunt N,Z.

Deniia 2.3.11 Un punct a A se numete punct izolat al lui A dac exist o vecintate a luia ce are ca element comun cu A doar pe a, adic V Va astfel nct V A = {a}.

Observaia 2.3.4 1. A A A;2. A A i A = A A;3. FrA = A CA.

Exemplu 2.3.3 1. Fie X = R i A = (0, 1). Avem A= (0, 1), A = [0, 1], FrA = {0, 1}.

2. X = R i A = N. AvemN= , N = N, FrN = N.

3. X = R i A = Q. AvemQ= , Q = R, FrQ = R.

4. X = R2 i A = {(x, y) R2 |x2 + y2 < 1}, atunci A = A, A = {(x, y) R2 |x2 + y2 1},FrA = {(x, y) R2 |x2 + y2 = 1}.


5. X = R, A ={1, 12 ,

13 , . . . ,

1n, . . .

}, atunci A = {0},A = , A = A A ={

0, 1, 12 ,13 , . . . ,

1n, . . .

}, FrA = A.

Teorema 2.3.5 Pentru orice submulime A X, A este cea mai mare mulime deschis inclusn A, relativ la relaia de incluziune.

Demonstraie. Pentru orice a A notm Da mulimea deschis cu a Da A. Cum Daeste deschis, rezult c A este vecintate pentru orice y Da, prin urmare, Da A

. Deoarece

A= aADa obinem A

mulime deschis.

Fie D A o mulime deschis. Dac a D A, atunci a A , deci D A , adic A estecea mai mare mulime deschis inclus n A.

Corolarul 2.3.1 O mulime A X este deschis dac i numai dac A = A .

Demonstraie: Dac A este o mulime deschis i, cum Aeste cea mai mare mulime

deschis inclus n A, obinem A = A. Dac A = A

rezult evident c A este mulime deschis.

Teorema 2.3.6 Pentru orice A X avem CA =CA i CA

= CA.

Demonstraie: a CA a 6 A V Va astfel nct V A = V Va astfelnct V CA a

CA, adic CA =

CA .

Pentru cea de-a doua relaie avem: CCA =

CCA= A CA = CCCA = CA.

Teorema 2.3.7 Pentru orice A X, A este cea mai mic mulime nchis, relativ la relaia deincluziune, care include pe A.

Demonstraie: CA =CA i, cum

CA este mulime deschis, rezult A mulime nchis.

Fie F X o mulime nchis astfel nct A F. Atunci CF CA i CA =CA CA. Dar,ntruct

CA este cea mai mare mulime deschis inclus n CA i CF este o mulime deschisinclus n CA, rezult CF CA, adic A F.

Corolarul 2.3.2 Pentru orice A X mulimea A este nchis dac i numai dac A = A.

Demonstraie: Dac A este nchis avemA = A, adic A i conine toate punctele aderentei, cum A A, A i conine toate punctele de acumulare.S admitem c A i conine toate puctele de acumulare. Fie a A i presupunem c a 6 A.Atunci a este punct de acumulare al lui A, deci a A, contradicie; rezult deci c a A. Cuma a fost ales arbitrar avem A A, deci A = A, adic A este nchis.

Corolarul 2.3.3 O mulime A X este nchis dac i numai dac i conine toate punctelede acumulare.

Exemplu 2.3.4 1. Pentru X = R i A = [0, 1] avem A = [0, 1] = A, adic A este nchis.2. Mulimile N,Z i R sunt nchise, Q ns nu.

Teorema 2.3.8 Pentru orice A X A = DAD, D deschis i A = FAF, F nchis.

30 2. Spaii metrice

Demonstraie: Dac D este mulime deschis, D A, rezult c DAD este mulimedeschis inclus n A, deci DA A

.

Fie a A . Atunci exist D Va astfel nct D A, deci A DAD, D va, de unde Deste deschis i A

= DAD.

Teorema 2.3.9 1. O mulime A X este nchis dac i numai dac A A

2. O mulime A X este deschis dac i numai dac (CA) CA.

Demonstraie: 1. A = A CA = A CA = A\A , deci A = A A; A este nchis A = A A, adic A A.2. A este deschis CA este nchis (CA) CA.

Observaia 2.3.5 1. Exist mulimi n R pentru care A = A, de exemplu, N = N, Z = Z.

2. Fie X un spaiu metric. Dac A B X, atunci A B i A B, dar n generalFrA 6 FrB. Dac X = R, A = Q i B = Q [0, 1] avem A B, FrA = R, darFrB = (, 0] [1,).

2.4 Convergena n spaii metrice

Fie (X, d) un spaiu metric.

Deniia 2.4.1 Orice aplicaie f : N X f(n) not= xn, n N se numete ir de elemente dinX i se noteaz (xn)n sau simplu (xn). Pentru orice n N, xn se numete termenul general alirului (xn).

Nh - N

g

@@@@@R

X

f

?

Deniia 2.4.2 Fie h : N N o aplicaie strict cresctoare. Se numetesubir al irului (xn) din X orice aplicaie g : N X care realizeazcomutativitatea diagramei adic (f h)(n) = g(n), n N, de undeavem g(n) = f(h(n)) = xh(n), n N.

Exemplu 2.4.1 (x2n+1), (x2n), (xn2) reprezint subiruri ale unui ir (xn) din X.

Deniia 2.4.3 Fie (xn) un ir de puncte din X i l X. Spunem c irul (xn) are limita l,sau c este convergent ctre l, dac limn d(xn, l) = 0 sau d(xn, l) 0 pe R, n. Notmxn l pe X, sau dac nu este pericol de confuzie xn l.

Observaia 2.4.1 Deniii echivalente ale limitei de iruri.

ntruct d(xn, l) R, n N avem:1. xn l > 0, n() N astfel ca n n() d(xn, l) < ;2. xn l > 0, n() N astfel ca n n() xn S(l, )3. xn l V Vl, nV N astfel ca n nV xn V.

Teorema 2.4.1 Unicitatea limitei

Orice ir de puncte convergent din X are limit unic.

2.4. Convergena n spaii metrice 31

Demonstraie: Presupunem c irul convergent (xn) de puncte din X nu are limit unic,adic exist l1 6= l2, l1, l2 X astfel nct xn l1 i xn l2.Cum l1 6= l2, l1, l2 X, conform proprietii Haussdorf, exist V1 Vl1 i V2 Vl2 astfel ca

V1 V2 = .Din xn l1 i xn l2 folosind observaia 2.4.1 punctul 3 pentru V1, respectiv V2 rezult cexist nV1 , nV2 N astfel nct xn V1, n nV1 , respectiv xn V2, n nV2 . Atunci pentruorice n max(nV1 , nV2) avem xn V1 V2 = , ceea ce este fals, aadar l1 = l2.

Observaia 2.4.2 Limita unui ir convergent ind unic se poate nota limn xn = l.

Exemplu 2.4.2 1. irul xn =(

n2n+ 1 ,

2n 12n + 1 ,

1n,

n2), n 1, din R4, converge ctre

l =(12 , 1, 0, 1

), deoarece

d(xn, l) =

[(n

2n+ 1 12

)2+(2n 12n + 1

1)2

+1n2

+(

n2 1

)2] 12 0.2. ntr-un spaiu metric discret un ir este convergent dac i numai dac, ncepnd de la un

anumit rang, irul este constant.

Teorema 2.4.2 Orice subir al unui ir convergent (xn), de puncte din X, are aceeai limit cairul (xn).

Demonstraie: Fie (xh(n)) un subir al irului convergent (xn) din X, unde h : N N esteo aplicaie strict cresctoare, h(n) n, n N.

(xn) este convergent l X, V Vl, nV N astfel ca xn V, n nV .ntruct h(n) n avem xh(n) V, n nV , adic xh(n) l.

Caracterizarea mulimilor nchise cu ajutorul irurilor

Teorema 2.4.3 Fie X un spaiu metric i A X o submulime.

1. Un punct l X aparine lui A dac i numai dac exist un ir (xn) de puncte din A aanct xn l pe X.2. Mulimea A este nchis dac i numai dac limita oricrui ir convergent de puncte din

A aparine lui A.

Demonstraie.

1. Dac l A, atunci pentru orice n 1 S(l, 1n

) A 6= . Fie xn A S

(l, 1n

), n 1.Obinem un ir de puncte (xn) A astfel nct d(xn, l) < 1n, n 1, adic xn l pe X.Reciproc, dac (xn) este un ir de puncte din A i xn l pe X, atunci rezult c n oricesferoid centrat n l se a puncte ale irului, deci puncte din A, aadar a A.2. Presupunem mulimea A nchis i xn l, xn A,n 1. Conform punctului 1 al teoremei

l A, dar cum A este nchis, rezult l A.Reciproc, dac limita oricrui ir convergent de puncte din A aparine lui A, atunci conformpunctului 1 al teoremei, rezult A A, adic mulimea A este nchis.

32 2. Spaii metrice

Deniia 2.4.4 O submulime A X a unui spaiu metric X se numete dens dac oricepunct din X este limita unui ir convergent de puncte din A.

Teorema 2.4.4 O submuime A X a unui spaiu metric X este dens dac i numai dacA = X.

Demonstraie. A este dens l X este limita unui ir de puncte din A conformteoremei 2.4.3 l X, l A X A X = A.Exemplu 2.4.3 Pentru X = R submulimile Q i R Q sunt dense. ntr-adevr, n oriceinterval

(l 1n, l + 1n

), n 1 alegem xn Q i yn R Q. Atunci xn, yn l, deci Q =

RQ = R.Deniia 2.4.5 Un ir de puncte (xn) din X se numete ir fundamental sau ir Cauchy dac > 0, n() N astfel nct d(xn, xm) < , n,m n().Observaia 2.4.3 (xn) este ir fundamental > 0, n() N astfel nct d(xn+p, xn) < , n n() i p 1.Deniia 2.4.6 Un ir (xn) din X se numete mrginit dac exist S(a, r), a X, r > 0 astfelnct xn S(a, r), pentru orice n N.Teorema 2.4.5 Fie (xn) un ir de puncte din X.1. Dac irul (xn) este convergent, atunci el este fundamental.2. Dac irul (xn) este fundamental, atunci el este mrginit.

Demonstraie: 1. (xn) ir convergent l X, > 0, n() N astfel ca d(xn, l) 0, n() N astfel ca d(xn, xm) < ,

n,m n(). Lund m = n() obinem xn S(xn(), ), n n(). Dac r =max(d(x0, xn()), d(x1, xn()), . . . , d(xn()1, xn()), ), atunci xn S(xn(), r), n N, aadarirul (xn) este mrginit.

Observaia 2.4.4 n general nu orice ir fundamental este convergent. Q cu distana euclidiand este spaiu metric, ind subspaiu al spaiului metric (R, d).Pentru

2 considerm irurile aproximaiilor prin lips i adaos:

1 < 1, 4 < 1, 41 < 0, n() N astfel nct[

mi=1

(xin xin+p)2]1/2

< n n() i p 1,

care mpreun cu

|xin xin+p| [

mi=1

(xin xin+p)2]1/2stabilesc |xin xin+p| < , n n(), p 1 i i = 1,m, adic (xin) este ir fundamental i = 1,m.

34 2. Spaii metrice

Reciproc, dac (xin), i = 1,m sunt iruri fundamentale, atunci > 0, ni() N astfelnct

|xin xin+p| < m

, i = 1,m ,care mpreun cu [

mi=1

(xin xin+p)2]1/2

mi=1

|xin xin+p|

ne dau [mi=1

(xin xin+p)2]1/2

< , n maxi=1,m

ni(),

adic (xn) este ir fundamental n Rm.

Deniia 2.4.7 Un spaiu metric X se numete complet dac orice ir fundamental din X esteconvergent n X.

Teorema 2.4.7 R este spaiu metric complet, relativ la metrica euclidian.

Demonstraie: Fie (xn) un ir fundamental de numere reale. Din teorema 2.4.7 el estemrginit i conform lemei lui Cesaro (xn) conine un subir convergent, adic h : N No funcie strict cresctoare (h(n) n, n N) astfel nct (xh(n)) este un subir convergental irului (xn). Deoarece (xh(n)) este un ir convergent, rezult c l R astfel ca > 0, n() N cu |xh(n) l| < 2 , n n(). Pe de alt parte, cum (xn) este ir fundamental avemc > 0, n() N astfel nct |xnxm| < 2 , n,m n(). Lundm = h(n) n n(),obinem

|xn l| |xn xh(n)|+ |xh(n) l| 0, n() N astfel nct fm fn < , m,n n(). Deoarece |fm(x)fn(x)| supxA |fm(x)fn(x)| = fmfn < , m,n n()i x A, rezult c pentru orice x A irul de numere reale (fn(x)) este fundamental i,conform teoremei 2.4.7, (fn(x)) este un ir convergent, care converge ctre un numr real f(x),


unde f : A R. Pentru ca teorema s e demonstrat, trebuie s artm c f M(A) ifn f peM(A).Deoarece (fn) este un ir fundamental, rezult c > 0 exist un numr n() N astfelnct n n() i p 1 s avem

d(fn+p, fn) 0, x2 = f(x1), x3 = f(x2), . . . , xn = f(xn1), . . . , n 1.

36 2. Spaii metrice

Artm c irul construit mai sus este fundamental.

d(x2, x1) = d(f(x1), f(x0)) cd(x1, x0) = c

d(x3, x2) = d(f(x2), f(x1)) cd(x2, x1) = c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d(xn, xn1) = d(f(xn1), f(xn2) d(xn1, xn2)) cn1 , n 1.

Atunci pentru orice p 1 avem

d(xn, xn+p) d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + + d(xn+p1, xn+p)

cn + cn+1 + + cn+p1 =

= cn [1 + c+ c2 + + cp1] = cn1 cP1 c .

Deoarece 0 c < 1 cn 0, deci cn1 cP1 c 0 > 0, n() N astfel nct n n() i p 1 s avem cn1 cP1 c < . Deci > 0, n() N astfel nct n n() i p 1 d(xn, xn+p) < , adic irul (xn) este fundamental. Cum spaiul metric X este complet,rezult (xn) ir convergent, aadar exist limn xn = X.

d(xn+1, f()) = d(f(xn), f()) cd(xn, ). Dar, cum xn , atunci d(xn, ) 0, de unded(xn+1, f()) 0, ceea ce implic xn+1 f(). Deoarece, pe de alt parte, avem xn+1 , dinunicitatea limitei unui ir convergent rezult f() = , adic este unicul punct x al contracieif .

Observaia 2.4.7 Metoda de demonstraie folosit pentru determinarea punctului x al uneicontracii f se numete metoda aproximaiilor succesice ale lui . Astfel, x0 este prima aproxi-maie, x1 = f(x2) a doua aproximaie, x2 = f(x3)a treia aproximaie, ..., xn = f(xn1) a n+ 1aproximaie a lui . Acest ir de aproximaii converge ctre . Eroarea fcut n aproximareaxn ' este cu att mai mic cu ct n este mai mare. Dac vrem s calculm cu aproximaremai mic dect , este sucient s am n minim astfel ca

d(xn, ) cn 1 c < .

n aplicarea efectiv a principiului contraciei este important s determinm n mod conven-

abil un spaiu metric complet X precum i o contracie f : X X.Principiul contraciei poate folosit la rezolvarea ntr-un spaiu metric a ecuaiei f(x) = x.

Exemplu 2.4.5 1. Fie X = R (sau [a, b], [a,), (, a]). Considerm o funcie derivabilf : X X. Din teorema creterilor nite rezult c exist un punct situat ntre x1 i x2,x1, x2 X astfel nct f(x1)f(x2) = f ()(x1x2). Dac pe X derivata funciei este mrginiti mai mult este mai mic dect 1, adic |f (x)| c < 1, x X, atunci f este o contracie iputem aplica teorema 2.4.10.

Fie ecuaia algebric x3+ px+ r = 0, care, scriind-o sub forma x = rx2 + p

, reduce problema

gsirii soluiilor ecuaiei iniiale la determinarea punctelor xe ale funciei f : R R f(x) =


rx2 + p

. Dac p = 4 i r = 1 avem f(x) = 1x2 + 4

. Artm c f este contracie.

d(f(x), f(y)) =|x+ y|d(x, y)

(x2 + 4)(y2 + 4).

Cu ajutorul irului lui Rolle (1652 - 1719) gsim c ecuaia x3 + 4x 1 = 0 are o singurrdcin n intervalul [0, 1]. Vrem s determinm aceast rdcin cu aproximaie 103.Avem f : [0, 1] [0, 1] f(x) = 1

x2 + 4, f (x) = 2x

(x2 + 4)2.

c = supx[0,1]

|f (x)| = sup 2x(x2 + 4)2

=225

< 1,

x0 = 0, x1 = f(x0) = 14 , = d(x0, x1) =14 . Determinm cel mai mic numr natural n pentrucare avem

cn

1 c < 103 25

92cn < 103 cn < 92

25000 n = 3,deci

' x3 = f(x2) = f(1665

)=

1(1665

)2 + 4 = 422517156 = 0, 246269.2. Cu ajutorul principiului contraciei putem rezolva uneori i problema determinrii zer-

ourilor unei aplicaii.

Considerm cazul funciilor f : [a, b] [c, c], derivabile, strict cresctoare. Deoarece feste strict cresctoare, rezult c m,M astfel nct 0 < m f (x) M, x [a, b]. Fiep (m,M) i g(x) = x f(x)p , x [a, b].Dac g admite un punct x , din = g() rezult f() = 0, aadar, punctele xe ale lui gvor zerouri pentru f . Pentru anumite valori ale lui p putem avea g contracie. Cum

g(x) = 1 f(x)p

1 Mp g(x) 1 m

p< 1,

deoarece m < p < M, i pentru ca |g(x)| C < 1 trebuie s avem p > M2 . Pentru p (max

{m, M2

},M)g devine o contracie i se poate aplica principiul contraciei.

Dac punem p = p(x), se poate extinde procedeul anterior. Pentru p(x) = f (x) obinem

metoda Newton pentru determinarea zerourilor. Avem g(x) = x f(x)f (x) , iar dac f este de

dou ori derivabil i |f(x)f (x)| cf 2(x), 0 < c < 1, atunci g este contracie i putem aplicaprincipiul contraciei.

S calculm aproximativ

pa, a R+, p 2, p N folosind metoda Newton. Lum f(x) =

xp a ig(x) = x f(x)

f (x)= x x

pa

pxp1=

1p[(p 1)x+ ax1p].

Cum

g(x) =p 1p

[1 axp] < p 1p

< 1,

rezult c g denete o contracie i vom putea aa pa ' xn, unde xn este al (n + 1) termendin irul aproximaiilor succesive construit cu ajutorul lui g.

Pentru p = 2 avem g(x) = 12(x+ ax

), iar pentru p = 3 g(x) = 13

(2x+ a

x2

).

38 2. Spaii metrice

3. Considerm un sistem liniar de forma

AX = B, (2.8)

unde

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

Mn(R), B =

b1b2.

.

.

bn

Mn,1(R),akk 6= 0, k = 1, n, i vrem s-i gsim soluiile

X =

x1x2.

.

.

xn

Mn,1(R).

(2.8)

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

x1 +a12a11x2 + +

a1na11 xn =

b1a11

a21a22x1 + x2 + +

a2na22 xn =

b2a22

. . .an1annx1 +

an2annx2 + + xn =

bnann .

Astfel, sistemul liniar (2.8) devine

InX +

0 a12a11 . . .

a1na11

a21a22 0 . . .

a2na22

. . . . . . . . . . . .an1ann

an2ann . . . 0

X = B,

deci X = AX + B, unde

A =

0 a12a11 . . .

a1na11a21

a22 0 . . .a2na22

. . . . . . . . . . . .an1ann

an2ann . . . 0

i B =

b1a11b2a22.

.

.

bnann

.

Considerm funcia f : Rn Rn f(X) = AX + B.Dac aceast funcie este o contracie, atunci putem aplica principiul contraciei i problema

este rezolvat. S vedem cnd aceast funcie este contracie.

d(f(X), f(Y )) = d(AX + B, AY + B) = A(X Y ) i


notm X Y = Z, Z =

z1z2.

.

.

zn

.Atunci

AZ =

a12a11 z2 +

a13a11 z3 + +

a1na11 zn

a21a22 z1 +

a23a22 z3 +

a2na22 zn

. . .an1ann z1 +

an2ann zn + +

ann1ann zn1

,

AZ =[(

a12a11

z2 + + a1na11

zn

)2+ +

(an1ann

z1 + + ann1ann

zn1)2] 12

{[(

a12a11

)2+ +

(a1na11

)2]Z2 + +

[(an1ann

)2+ +

+(ann1ann

)2]Z2

} 12

= cZ = cX Y = cd(X,Y ),

unde

c =

[(a12a11

)2+ +

(a1na11

)2+(a21a22

)2+ +

(a2na22

)2+ +

+(an1ann

)2+ +

(ann1ann

)2]1/2Dac c < 1, atunci f devine o contracie i ecuaia X = f(X) are soluie unic, care se poatedetermina prin metoda aproximaiilor succesive.

X0 = 0, X1 = f(X0) = AX0 + B = B, X2 = f(X1) = AX1 + B = AB + B, etc. ...S rezolvm sistemul

10X1 +X2 X3 = 0X1 + 10X2 2X3 = 4X1 + 20X3 = 2(2.9)

cu aproximaie 13 folosind metoda iterativ expus anterior.Sistemul (2.9) este echivalent cu urmtorul sistem:

x1 = 0, 1x2 + 0, 1x3x2 = 0, 1x1 + 0, 2x3 + 0, 4x3 = 0, 05x1 0, 1

X = AX + B,

unde A =

0 0, 1 0, 10, 1 0 0, 20, 05 0 0

iar B =

00, 40, 1

. Considerm funcia f : R3 R3f(X) = AX +B.

c =

3i,j=1

a2ij =0, 0725 < 1,

40 2. Spaii metrice

aadar, f este contracie i putem aplica metoda aproximaiilor succesive.

X0 = 0, X1 = f(X0) = B =

00, 40, 1

, = d(X0, X1) = 0, 17.Determinm cel mai mic numr natural n pentru care

cn

1 c amulimea {n N |xn < v} este innit.

2. b = limxn dac i numai dac u < b, mulimea {n N} |xn > u} este innit i v > bmulimea {n N |xn > v} este nit.

42 2. Spaii metrice

Demonstraie: 1. Fie a = limxn a = = supn infmn xm = supn n. Dac a = ,atunci n N n = i pentru orice v > a, mulimea {n N |xn < v} rezult innit.Presupunem a R. Atunci u < a, n0 astfel nct u < n0 < a, deci pentru n

n0 xn n0 > u, adic {n N |xn < u} este nit. Dac v > a atunci, evident, mulimea{n N |xn < v} este innit.Reciproc, presupunem c u < a mulimea {n N |xn < u} este nit i v > a mulimea

{n N |xn < v} este innit. Fie = limxn. Dac a = atunci a . Dac < a iu < a, atunci n0 N astfel nct xn u, n n0, deci n0 u, de unde u . Pentruorice u < a avem u , aadar a . Cum, pentru orice v > a mulimea {n N |xn < v}este innit, rezult c n1 N astfel nct xn < v, n n1, deci n1 v, de unde v.Obinem c pentru orice v > a avem v, de unde a i deci a = .2. Se arat n mod analog ca i la punctul 1.

Teorema 2.5.3 Fie (xn) un ir de elemente din R.

1. limxn i limxn sunt puncte limit pentru irul (xn) i pentru orice alt punct limit avemlimxn limxn.2. irul (xn) are limita l n R dac i numai dac limxn = l = limxn.

Demonstraie: 1. (n) respectiv (n) sunt subiruri ale irului (xn) i au limitele limxnrespectiv limxn i, conform teoremei 2.5.1, aceste limite sunt puncte limite ale irului (xn). Dac este un punct limit al irului (xn), atunci exist o funcie strict cresctoare h : N Nastfel nct limn xh(n) = . Deoarece n = infmn xm, respectiv n = supmn xm i, cumh(n) n, n N, avem n xh(n) n de unde rezult limxn limxn.2. Dac limn xn = l, atunci orice subir al irului (xn) va avea limita l, deci toate punctelelimit coincid cu l, prin urmare, limxn = limxn = l.Reciproc, dac limxn = limxn = l, pentru orice vecintate (l, l+) a lui l, > 0, mulimile

{n N |xn l} i {n N | l+ xn} sunt nite, conform teoremei 2.5.2. Rezult c n afaravecintii (l , l + ) se a un numr nit de termeni ai irului (xn), aadar limn xn = l.

Capitolul 3

Funcii continue

3.1 Funcii continue

n acest capitol vom studia comportarea unei funcii f denit pe o submulime a unui spaiumetric, ntr-un punct a X. Problema care se pune este dac pentru valori sucient de "aproape"de a, valorile funciei f(x) pot orict de aproape de f(a).Fie X,Y dou spaii metrice, A X o submulime nevid a lui X, f : A Y o funcie i

a A.Deniia 3.1.1 Funcia f este continu n punctul a dac, pentru orice ir (xn) de elementedin A cu xn a pe X, rezult c f(xn) f(a) pe Y .Funcia f este continu pe mulimea A dac este continu n ecare punct al mulimii A.

Observaia 3.1.1 Problema continuitii nu are sens n punctele n care funcia nu este denit.

Teorema 3.1.1 Dac (X, d) i (Y, d) sunt dou spaii metrice, 6= A X, f : A Y o funciei a A, atunci urmtoarele armaii sunt echivalente:1. f este continu n a;2. V Vf(a), U Va astfel nct x U A f(x) V ;3. > 0, () > 0 astfel nct x A cu d(x, a) < () d(f(x), f(a)) < .

A

Ua

XV

f(a)

f(U)

Y

f

Figura 3.1:

Demonstraie: 1 2 Presupunem c feste continu n a i armaia 2 nu este ade-vrat. Atunci exist V0 Vf(a) astfel nctpentru orice U Va, exist xU U A cuf(xU ) 6 V0.Pentru orice n 1 considerm vecintile

Un = S(a, 1n) Va. Atunci exist xn UnAastfel nct f(xn) 6 V0. irul (xn) construitare proprietatea: xn A, d(xn, a) < 1n i f(xn) 6 V0, n N, ceea ce contrazice ipoteza.

2 3 Presupunem c are loc armaia 2 i e > 0. Deoarece V = S(f(a), ) Vf(a),conform ipotezei, exist U Va astfel nct x U A implic f(x) V . Cum U Va, rezultc exist () = > 0 astfel ca x S(a, ) A avem f(x) S(f(a), ) sau echivalent > 0, () > 0 astfel nct x A cu d(x, a) < () d(f(x), f(a)) < , adic armaia 3.

3 1 Presupunem armaia 3 ndeplinit i e (xn) un ir de elemente din A, xn a pe X.Pentru > 0 alegem () > 0 astfel nct s se verice 3. Exist n() N astfel ca n n()

43

44 3. Funcii continue

d(xn, a) < () i cu condiia 3 avem d(f(xn), f(a)) < , ceea ce este echivalent cu f(xn) f(a)pe Y , adic funcia f este continu n punctul a.

Exemplu 3.1.1 1. Fie X un spaiu metric. Aplicaia identic 1X : X X este continupe X. ntr-adevr, dac a X este un punct arbitrar, iar (xn) este un ir de puncte alspaiului X, xn a pe X, atunci 1X(xn) = xn a = 1X(a) pe X.2. Dac (X, d) este un spaiu metric, atunci distana d : XX R este o aplicaie continu.ntr-adevr, dac (a, b) X X i xn a pe X, yn b pe X, (xn, yn) X X, atuncidin inegalitatea:

|d(xn, yn) d(a, b)| d(xn, a) + d(yn, b),rezult d(xn, yn) d(a, b).3. n orice spaiu vectorial normat X, norma q : X R este o aplicaie continu, deoareceputem scrie q(x) = d(x, 0), iar (X, d) unde d(x, y) = q(x y) este un spaiu metric i,conform exemplului 2, distana d este o aplicaie continu.

4. Fie (X1, q1), (X2, q2), . . . , (Xn, qn) spaii vectoriale normate. Pe spaiul vectorial X = X1X2 Xn, denim norma q(x) = maxi=1,n qi(xi), x = (x1, . . . , xn) X. Aplicaiaproiecie pi : X Xi, pi(x) = xi, x = (x1, x2, . . . , xn) X, i = 1, n, este continu.Avem qi(pi(x) pi(a)) = qi(xi ai) maxi=1,n qi(xi ai) = q(x a), x, a X.Fie > 0 i alegem () = . Pentru orice x X pentru care q(x a) < () rezultqi(pi(x) pi(a)) < , adic aplicaia pi este continu n punctul a. Cum a a fost alesarbitrar n spaiul X, rezult pi continu pe spaiul X.

Teorema 3.1.2 Fie X,Y, Z spaii metrice, 6= A X, 6= B Y, f : A B, g : B Zdou funcii i a A. Dac funcia f este continu n punctul a, iar funcia g este continu npunctul f(a), atunci funcia g f : A Z este continu n a.

Demonstraie: Fie (xn) un ir de puncte din X, xn a pe X. Din continuitatea funciilorf i g n punctele a, respectiv f(a) obinem f(xn) f(a) pe Y i g(f(xn)) g(f(a)) pe Z.Aadar, (g f)(xn) (g f)(a) pe Z, adic g f este continu n punctul a.

Corolarul 3.1.1 Dac Xf Y g Z, f este continu pe X, g este continu pe Y , atunci

g f : X Z este continu pe X.

Fie X,Y spaii metrice, 6= A X. Notm

C0(A;Y ) = {f : A Y | f continu pe A}.

Teorema 3.1.3 Dac (Y, ) este un spaiu vectorial normat i f C0(A;Y ), atunci funciaf() : A R, f() C0(A;R).Demonstraie: Cum n orice spaiu vectorial normat Y norma este funcie continu pe Y ,iar f este continu pe A, din teorema 3.1.2 rezult c funcia f() C0(A;R).

Teorema 3.1.4 Dac (Y, ) este un K-spaiu normat, atunci mulimea C0(A;Y ) este un spaiuvectorial peste corpul K (K = R sau C).

3.1. Funcii continue 45

Demonstraie: Considerm f, g C0(A;Y ) i vrem s artm c f + g C0(A;Y ), , K.Fie a A i (xn) un ir de puncte n A, xn a pe X. Are loc urmtoarea relaie:

(f + g)(xn) (f + g)(a) = (f(xn) f(a)) + (g(xn) g(a)) ||f(xn) f(a)+ ||g(xn)g(a) .Din teorema 3.1.3 i din continuitatea funciilor f i g n punctul a, rezult c (f+g)(xn)

(f + g)(a) pe Y . Cum punctul a A a fost ales arbitrar, obinem (f + g) C0(A;Y ).Teorema 3.1.5 Fie X,Y dou spaii metrice i f : X Y o funcie. Urmtoarele armaiisunt echivalente:

1. f este continu pe X;2. Pentru orice deschis D Y f1(D) este deschis n X;3. Pentru orice nchis F Y f1(F ) este nchis n X.Demonstraie: 1 2 Presupunem c funcia f este continu pe X; e D Y un deschisn Y i a f1(D). Atunci f(a) D i, cum D este deschis n Y , exist > 0 astfel caS(f(a), ) D. Din teorema 3.1.1 exist () > 0 astfel nct x S(a, ()) f(x) S(f(a), ), sau echivalent f(S(a, ())) S(f(a), ) D. De aici obinem S(a, ()) f1(D),adic f1(D) este un deschis n X.

2 3 Rezult imediat folosind relaia f1(Y F ) = X f1(F ).2 1 Presupunem c are loc 2 i e a X. Dac V Vf(a), atunci exist > 0 astfel ca

S(f(a), ) V . Sferoidul S(f(a), ) ind un deschis din Y , din ipotez rezult f1(Sf(a), )deschis n X ce conine punctul a. Atunci exist () > 0 astfel nct U = S(a, ()) f1(S(f(a)), ), de unde f(U) S(f(a), ) V, adic funcia f este continu n punctul a.Cum acest punct a fost ales arbitrar din spaiul X, rezult funcia f continu pe X.

Corolarul 3.1.2 Dac X este un spaiu metric i f, g : X R sunt dou funcii continue peX, atunci mulimile D1 = {x X | f(x) < g(x)}, D2 = {x X | f(x) > g(x)} sunt deschise, iarmulimile F1 = {x X | f(x) g(x)}, F2 = {x X | f(x) g(x)} sunt nchise.Demonstraie: Funcia h : X R, h(x) = f(x) g(x), x X este continu pe X.Mulimile (, 0), (0,) sunt deschise n R, iar mulimile (, 0], [0,) sunt nchise n R.Conform teoremei 3.1.5 mulimile h1((, 0)) = D1, h1((0,)) = D2 rezult deschise n X,iar mulimile h1((, 0]) = F1, h1([0,)) = F2 rezult nchise n X.Corolarul 3.1.3 Dac X este un spaiu metric, f, g : X R sunt dou funcii continue, iarA X o mulime dens a spaiului X pentru care f |A = g |A, atunci f = g.Demonstraie: A {x X | f(x) = g(x)} = F. Mulimea F este nchis, deoarece

F = F1 F2, unde F1, F2 sunt mulimile din corolarul 3.1.2. Atunci A F = F i, cum A estedens, obinem X F, adic X = F . Aadar, f = g.Teorema 3.1.6 Fie X un spaiu metric, Y un spaiu normat, 6= A X, f : A Y ia A. Dac funcia f este continu n punctul a i f(a) 6= 0Y , atunci exist U Va astfel nctf(x) 6= 0Y , x A U.Demonstraie: Deoarece f(a) 6= 0Y , exist > 0 astfel nct V = S(f(a), ) Vf(a) i

0Y 6 V . Din continuitatea funciei f n punctul a pentru vecintatea V exist U Va astfel caf(x) V, x A U i, cum 0Y 6 V, obinem f(x) 6= 0Y , x A U.


Corolarul 3.1.4 Dac X este un spaiu metric, 6= A X, a A i f : A R este o funciecontinu n a astfel ca f(a) > 0, respectiv f(a) < 0, atunci exist U Va astfel nct f(x) > 0,respectiv f(x) < 0, x A U.

Teorema 3.1.7 Dac X,Y sunt dou spaii metrice, 6= A X, a A i f : A Y este ofuncie continu n a, atunci exist U Va astfel nct f |AU s e mrginit.

Demonstraie: Fie > 0 i V = S(f(a), ) Vf(a). Din continuitatea funciei f n punctula, pentru V , exist U Va astfel nct f(x) S(f(a), ), x A U, adic f |AU estemrginit.

Teorema 3.1.8 Dac X este un spaiu metric, 6= A X, a A i f, g : A R sunt funciicontinue n a, atunci urmtoarele funcii fg, |fg|, max(f, g),min(f, g) : A R sunt continue na. Dac f(a) 6= 0, atunci i funcia g

f: A R este continu n a.

Demonstraie: Demonstraia este imediat folosind deniia 3.1.1, iar pentru

max(f, g),min(f, g) i relaiile:

max(f, g) = 12[f + g + |f g|]

min(f, g) = 12[f + g |f g|].

Teorema 3.1.9 Dac X este un spaiu metric, 6= A X, f = (f1, f2, . . . , fm) : A Rm,m 1 i a A, atunci urmtoarele armaii sunt echivalente:1. Funcia f este continu n punctul a;

2. Funciile fi, i = 1,m sunt continue n punctul a.

Xf - Rm

pri

R

fi

?

Figura 3.2:

Demonstraie: 1 2 Presupunem funcia f continu n punctula. Din continuitatea diagramei avem fi = pri f, i = 1,m, undepri : Rm R sunt funciile proiecie, care sunt continue i = 1,m.Conform teoremei 3.1.2 rezult c funciile fi sunt continue n punctul

a i = 1,m.2 1 Presupunem funciile fi, i = 1,m, continue n punctul a. Pen-tru orice ir (xn) de puncte din A, xn a pe X avem fi(xn) f(a), i = 1,m.

f(xn) = (f1(xn), f2(xn), . . . , fm(xn)) (f1(a), f2(a), . . . , fm(a)) =f(a) pe Rm Aadar, rezult c f este continu n punctul a.

Teorema 3.1.10 Darboux (1842 - 1917) - Bolzano (1781 - 1848)

Dac f : [a, b] R, [a, b] R este o funcie real continu au loc urmtoarele armaii:

1. Dac f(a)f(b) 0, atunci exist [a, b] astfel nct f() = 0;2. Dac m = infx[a,b] f(x) i M = supx[a,b] f(x), atunci pentru orice c (m,M) exist

[a, b] astfel nct f() = c;3. Dac f este strict monoton, atunci f : [a, b] [m,M ] este o bijecie, iar inversa f1 estecontinu i strict monoton.

3.1. Funcii continue 47

Demonstraie: 1. Fie I0 = [a, b]. mprim intervalul I0 n dou intervale nchise avndlungimi egale. Funcie f va lua valori de semne opuse la capetele unuia dintre aceste intervale,pe care-l vom nota I1. Continund acest procedeu gsim un ir descendent de intervale nchiseI0 I1 In . . . cu lungimea intervalului In tinznd ctre zero.Fie an, respectiv bn, n 1 capetele intervalelor In n care funcia este pozitiv, respectivnegativ. Din lema intervalelor nchise incluse exist n0In cu an , bn . Deoarece feste continu, atunci rezult f(an) f(), f(bn) f(). Cum f(an) 0, f(bn) 0 f() 0i f() 0, adic f() = 0.2. Din m = infx[a,b] f(x) i M = supx[a,b] f(x) , [a, b] astfel nct m f() 0 i, aplicnd punctul 1 al teoremei, exist [, ] astfel ca g() = 0 f() = c.3. Din punctul 2 al teoremei avem funcia f surjectiv, iar din enun ind strict monoton,ea este injectiv, deci bijectiv. Dac I [a, b] este mulime nchis, atunci (f1)1(I) = f(I)este, de asemenea, nchis. Conform teoremei 3.1.5 funcia f1 este continu pe [a, b].

Fie (X, d), (Y, d) dou spaii metrice, 6= A X i f : A Y o funcie.

Deniia 3.1.2 Fie a A. Funcia f are limita l, l Y, n punctul a dac funcia g : A{a} Y, g(x) =

{f(x), x 6= al, x = aeste continu n punctul a i vom nota limxa f(x) = l.

X

Ua

A

l

V

Y

f

Figura 3.3:

Observaia 3.1.2 1. limxa f(x) = l (xn) A, xn 6= a, n N, xn a pe X f(xn) l peY (deniia lui Heine)

2. limxa f(x) = l V Vl, U Va astfel nct x (A U) {a} f(x) V3. limxa f(x) = l > 0, () > 0 astfel nct x A {a} cu

d(x, a) < () d(f(x), l) < .

Teorema 3.1.11 Dac Y = R, f, g : A R astfel nct |f(x)| g(x), x A, i a A astfelca limxa g(x) = 0, atunci limxa f(x) = l.

Demonstraie: Fie > 0. Deoarece limxa g(x) = 0, exist () > 0 astfel nct x A {a} cu d(x, a) < () g(x) < , |f(x)| < , adic limxa f(x) = l.Urmtoarea teorem ne asigur existena limitei unei funcii ntr-un punct.

Teorema 3.1.12 Cauchy-Bolzano

Dac (X, d) spaiu metric, (Y, d) spaiu metric complet, 6= A X i f : A Y, atuncisunt echivalente urmtoarele armaii:

1. Funcia f are limit n punctul a;2. > 0, U Va astfel nct x, x (U A) {a} d(f(x), f(x)) < .


Demonstraie: 1 2 Fie limxa f(x) = l i > 0. Din observaia 3.1.2 rezult c exist() > 0 astfel nct x A {a} cu d(x, a) < () d(f(x), l) < 2 . Lum U = S(a, ());atunci x, x (U A) {a}

d(f(x), f(x)) d(f(x), l) + d(f(x), l) < 2+

2= .

2 1 Fie (xn) un ir de puncte din A, xn 6= a, xn a pe X. Exist n() N astfelnct n n() xn U A, unde U Va este vecintatea din enun. Deci n,m n()d(f(xn), f(xm)) < , adic irul (f(xn)) este fundamental. Cum Y este spaiu metric complet,irul (f(xn)) este convergent i e l = limn f(xn).Artm c limita irului (f(xn)) nu depinde de alegerea irului (xn). Fie (yn) un irde puncte din A, yn 6= a, yn a pe X. Urmnd acelai raionament ca i pentruirul (xn), gsim l1 = limn f(yn). Considerm irul x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn, . . . . Evi-dent acest ir are limita a, iar irurile (f(xn)), (f(yn)) sunt subiruri ale irului convergentf(x1), f(y1), f(x2), f(y2), . . . , f(xn), f(yn), . . . .Aadar, avem l = limn f(xn) = limn f(yn) = l1, adic funcia f are limit n punctul

a.

Exemplu 3.1.2 1. Fie

f : R2 {(0, 0)} R f(x, y) = x3

x2 + y2.

Deoarece

|f(x, y)| = x3x2 + y2

= x2x2 + y2 |x| |x| 0, (x, y) (0, 0), lim(x,y)(0,0) f(x, y) = 0.2. Fie

f : R2 {(0, 0)} R f(x, y) = 2xyx2 + y2

.

Vrem s calculm lim(x,y)(0,0) f(x, y). Dac x 0 i y = mx 0, m R atunci observm c

limx0y=mx

f(x, y) = limx0

2mx2

x2 +m2x2=

2m1 +m2

.

n concluzie, funcia f nu are limit n punctul (0, 0).3. Fie f : R2 R

f(x, y) =

{1 cosx3x2 + y2

, dac (x, y) 6= (0, 0)0 , n rest

,

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)(0,0)

1 cosx3x2 + y2

= lim(x,y)(0,0)

2 sin2 x3

2x2 + y2

=

=12

lim(x,y)(0,0)

sin2 x3

2(x32

)2 x6x2 + y2 = 0 = f(0, 0).Prin urmare, funcia f este continu pe R2.

3.2. Limite iterate 49

3.2 Limite iterate

Fie A Rn, a = (a1, a2, . . . , an) A, f : A Y o funcie, unde Y este un spaiu metric i Sn o permutare a primelor n numere naturale.Deniia 3.2.1 Dac exist limitele succesive

limx(n)a(n)

(. . . limx(1)a(1)

f(x)) = l,

unde a(i) A(i), Ai = {xi | (x1, x2, . . . , xi1, xi, xi+1, . . . , xn) A}, atunci aceast limit senumete limit iterat a funciei f n punctul a.

Observaia 3.2.1 1. Funcia f poate avea cel mult n! limite iterate.

2. Dac n = 2, funcia f poate avea cel mult dou limite iterate, i anume,limxa(limybf(x, y)), respectiv limyb(limxa f(x, y)).

Exemplu 3.2.1

1. f : R2 {(0, 0)} R f(x, y) = 2xyx2 + y2

limx0

(limy0

f(x, y)) = limy0

( limx0

f(x, y)) = 0.

2. f : R2 {(0, 0)} R f(x, y) = x2 y2x2 + y2

limx0

(limy0

f(x, y)) = 1, limy0

( limx0

f(x, y)) = 1.

3. f : R2 {(0, 0)} R f(x, y) = y sin 1xsin

1y

limx0(limy0 f(x, y)) = 0, dar limy0(limx0 f(x, y)) nu exist.

Teorema 3.2.1 Dac exist limita funciei f n punctul a i una dintre limitele iterate n acestpunct, atunci aceste limite sunt egale.

Demonstraie: Pentru simplicare vom demonstra n cazul n = 2. Fie (a, b) A ipresupunem c exist limitele l = lim(x,y)(a,b) f(x, y) i l1 = limxa(limyb f(x, y)).Pentru ecare x A1 = pr1A vom nota F (x) = limyb f(x, y). Atunci l1 = limxa F (x).Fie > 0; deoarece lim(x,y)(a,b) f(x, y) = l, exist U V(a,b) astfel nct

d(f(x, y), l) 0, r R astfel nct K S(a, r), adic dac este coninut ntr-un sferoid.

Teorema 3.3.1 Orice mulime compact dintr-un spaiu metric este nchis i mrginit.

Demonstraie: K este nchis K = K. Presupunem c K 6 K i e x K astfel nctx 6 K. Pentru orice y K avem x 6= y. Cum spaiul metric este un spaiu separat, rezultc ry > 0, astfel nct S(x, ry) S(y, ry) = . Sferoizii S(y, ry), y K formeaz o acoperiredeschis a lui K, K yKS(y, ry) i, cum K este compact, rezult c exist o subacoperirenit a sa, adic y1, y2, . . . , yp K i ry1 > 0, . . . ryp > 0 numere reale astfel nct

K S(y1, ry1) S(y2, ry2) S(yp, ryp).Lund r = min(ry1 , . . . , ryp) > 0, obinem S(x, r) S(yi, ryi) = , i = 1, p, de unde avem

S(x, r) (

pi=1

S(yi, ri)

)= S(x, r) K = ,

adic, x 6 K, ceea ce contravine ipotezei x K. Astfel K K, deci K = K, adic mulimea Keste nchis. Fie a X; pentru ecare x K considerm d(x, a) 0. Conform proprietii luiArhimede nx N, astfel nct d(x, a) < nx x S(a, nx). Dac nx = [d(x, a)] + 1, atunciK nxNS(a, nx). Mulimea {S(a, nx) |nx N} constituie o acoperire deschis a lui K i,cum K este compact, din aceast acoperire se poate extrage o subacoperire nit, deci n1 >0 . . . , nm > 0 astfel nct K S(a, n1) S(a, n2) S(a, nm). Lund n = maxi=1,m ni > 0,obinem K S(a, n), adic mulimea K este mrginit.

3.3. Mulimi compacte 51

Teorema 3.3.2 Caracterizarea mulimilor compacte cu iruri.

O submulime K X a unui spaiu metric este compact dac i numai dac pentru oriceir de puncte din K exist un subir convergent n K, adic (xn) K, (xf(n)) subir astfelnct xf(n) K.

Demonstraie: Presupunem mulimea K compact i e (an) un ir de puncte din K, astfelnct acest ir nu conine subiruri convergente n X. Dac ar conine un subir convergent nX, atunci xf(n) X, xf(n) K. Din teorema 2.4.3 K i, cum K este compact, K estenchis, deci K.Considerm acum mulimile

D0 = X {x0, x1, . . . , xn, . . . }, D1 = X {x1, x2, . . . , xn, . . . }, . . . , Dn = X {xn, xn+1, . . . } . . .

care au proprietile:

D0 D1 D2 Dn . . . (3.2)i K nNDn.Fie y D0. Dac pentru orice r > 0 S(y, r) conine termeni ai irului (xn), lum r = 1n,

xn S(y, 1n

). Obinem astfel un ir de puncte xf(n) y, ceea ce contravine faptului, c nici unsubir al irului (xn) nu este convergent n X. Deci r > 0, astfel ca S(y, r) D0, prin urmare,D0 este o mulime deschis, iar din (3.2) avem (Dn) ir de mulimi deschise, care formeaz oacoperire deschis a lui K. Cum K este o mulime compact, se poate extrage o subacoperirenit a sa, K Dn1 Dn2 Dnp = Dn, unde n = maxi=1,p ni, deci K Dn. Dar dinmodul de denire al mulimilor Dn avem xn 6 Dn i xn K. Am obinut astfel o contradicie,aadar orice ir de elemente din K conine un subir convergent n K.Pentru a demonstra reciproca vom arta urmtoarele:

1. > 0 exist o acoperire nit a lui K format din sferoizi de raz , adic K S(x1, ) S(xp, ) unde x1, x2, . . . , xp K.2. Dac K iIDi este o acoperire deschis, atunci 0 > 0, astfel nct x K,

ix I cu S(x, 0) Dix .Presupunem c 0 > 0 astfel nct nu avem o acoperire nit a lui K de sferoizi deschiide raz 0. Dac x0 K i K 6 S(x0, 0), atunci x1 K astfel ca x1 6 S(x0, 0), decid(x1, x0) 0.Dac K 6 S(x0, 0) S(x1, 0), atunci x2 K astfel ca x2 6 S(x0, 0) S(x1, 0)

d(x2, x0) 0 i d(x2, x1) 0. Continund procedeul, formm un ir de elemente din K, (xn) K astfel nct p, q N d(xp, xq) 0. Acest ir nu poate avea nici un subir convergent n X.Dac (xf(n)) ar un subir al irului (xn), convergent n X, atunci (xf(n)) ar ir fundamentaladic > 0, n() N astfel ca p, q n() d(xp, xq) < i obinem astfel o contradicie.Prin urmare > 0, K S(x1, ) S(x2, ) S(xp, ) cu x1, x2, . . . , xp K.Pentru a arta armaia a doua presupunem c > 0, x K astfel ca i I

S(x, ) 6 Di. Lum = 1n, n N. Pentru ecare n N exist xn K astfel nctS(xn,

1n

)6 Di, i I. Dar din ipotez avem c irul (xn) din K conine un subir convergentn K, adic exist (xf(n)) astfel nct xf(n) K.Cum K iIDi, exist i0 I astfel nct Di0 . Deoarece Di0 este un deschis, exist

r > 0, r R cu S(, r) Di0 .Pentru n sucient de mare avem d(xf(n), ) < r2 i

1f(n) 0, atunci exist c C astfel nct f(c) = 0.

Demonstraie: Conform teoremei 3.6.1 rezult c f(C) este o submulime conex a lui R,adic un interval. Atunci, pentru c 0 [f(a), f(b)] f(C), exist c C astfel nct f(c) = 0.

Observaia 3.6.1 1. Proprietatea din corolarul 3.6.1 se numete proprietatea lui Darboux.

Aceast proprietate nu o au numai funciile continue.

2. Orice mulime convex din Rn este conex.3. Orice interval din Rn este conex.


Deniia 3.6.2 O mulime deschis i conex ntr-un spaiu metric se numete domeniu.

Deniia 3.6.3 Fie a, b Rn. Se numete linie poligonal ce unete punctele a, b o submulimeL Rn astfel nct s existe punctele x1, x2, . . . , xm Rn i Lab = [a, x1] [x1, x2] [xm1, xm] [xm, b].

Observaia 3.6.2 1. Intervalul [a, b] n Rn se denete ca ind

[a, b] = {(1 t)a+ tb | t [0, 1]}.

2. Intervalul [a, b] din Rn este conex, deoarece [a, b] = f([0, 1]), f(t) = (1t)a+tb, t [0, 1],iar funcia f este continu pe mulimea conex [0, 1].

Caracterizarea mulimilor conexe n Rn

Teorema 3.6.5 Fie D Rn o mulime deschis, nevid din Rn, n 1. Sunt echivalente condii-ile:

1. D este domeniu n Rn;2. Orice dou puncte din D pot numite printr-o linie poligonal coninut n D.

Demonstraie: 1 2 Fie a, b D dou puncte xate. Notm D1 = {x D | exist o liniepoligonal n D, care unete punctele a i x} = {x D | Lax D} i D2 = D D1; D1 iD2 mulimi deschise. Dac D2 6= , atunci D este neconex, ceea ce contrazice ipoteza. Prinurmare D1 = D i b D1, adic Lab D.

2 1 Fie a D un punct xat. Pentru orice punct b D exist o linie poligonal Lab D icare, conform teoremei 3.6.3, este mulime conex. Mulimea D = bDLab este conex, deoreceLab sunt conexe i bDLab = {a}.

3.7 Funcii uniform continue

Analiza Matematica - Mona CRISTESCU

Documents

Transcript of Analiza Matematica - Mona CRISTESCU