AnalisisVectorial · AnalisisVectorial M.Sc.AlejandroGaloRoldan PhysicsProfessor...

Analisis Vectorial

M.Sc. Alejandro Galo RoldanPhysics Professor

Head of the Physics Program at the National University of Honduras

UNAH

19 de octubre de 2011

M.Sc. Alejandro Galo RoldanPhysics Professor Head of the Physics Program at the National University of Honduras (UNAH)Analisis Vectorial 19 de octubre de 2011 1 / 31

Analisis Vectorial

Analisis VectorialResumen

Elementos:Vectores (Sistema de Coordenadas: la elección este se hará en base ala simetría del sistema)

Cartesianas: Placas, CintasCilíndricas: Hilos Cables, CilíndrosEsféricas: Esféras

Analisis:Operaciones Simples (+, -, Producto Escalar, Producto Vectorial)Calculo Diferencial e Integral (Rotacional, Gradiente, Divergencia,Integrales de línea, área y volumen)


Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios En Coordenadas Cartesianas

ax Puntos en la dirección de xay Puntos en la dirección de yaz Puntos en la dirección de z

Figura: Sistema de Coordenadas Cartesianas


Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios En Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas Vectores Unitarios


Analisis Vectorial

VectoresOperaciones Vectoriales

Sistema de coordenadas cartesiano

~A = Ax ax + Ay ay + Az az

Modulo de un vector

|~A| =√

A2x + A2

y + A2z

Producto escalar

~A · ~B = AxBx + Ay By + AzBz

Producto vectorial

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣∣ax ay azAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣M.Sc. Alejandro Galo RoldanPhysics Professor Head of the Physics Program at the National University of Honduras (UNAH)Analisis Vectorial 19 de octubre de 2011 5 / 31

Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios En Coordenadas Cilíndricas

aρ Puntos en la dirección de ρaφ Puntos en la dirección de φaz Puntos en la dirección de z

Figura: Sistema de Coordenadas Cilíndricas


Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios En Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas Cilindricas Vectores Unitarios


Analisis Vectorial


Sistema de coordenadas cilíndricas

~A = Aρaρ + Aφaφ + Az az

Modulo de un vector

|~A| =√

A2ρ + A2

φ + A2z

Producto escalar

~A · ~B = AρBρ + AφBφ + AzBz

Producto vectorial

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣∣aρ aφ azAρ Aφ AzBρ Bφ Bz


Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios En Coordenadas Esféricas

ar Puntos en la dirección de raθ Puntos en la dirección de θaφ Puntos en la dirección de φ

Figura: Sistema de Coordenadas Cilíndricas


Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios En Coordenadas Esféricas

Coordenadas Esféricas Vectores Unitarios


Analisis Vectorial


Sistema de coordenadas esféricas

~A = Ar ar + Aθaθ + Aφaφ

Modulo de un vector

|~A| =√

A2r + A2

θ + A2φ

Producto escalar

~A · ~B = Ar Br + AθBθ + AφBφ

Producto vectorial

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣∣ar aθ aφAr Aθ AφBr Bθ Bφ


Analisis Vectorial

VectoresVectores Unitarios


Analisis Vectorial

Medidas InfinitesimalesFormas Diferenciales

Coordenadas Cartesianas: Un movimiento infinitesimal en la direcciónde x será una distancia dx , de una forma general se generan dy y dz

dx , dy , dz

Coordenadas Cilíndricas: Un movimiento infinitesimal en la direcciónde ρ será una distancia dρ, de una forma general se generan ρdφ y dz

dρ, ρdφ, dz

Coordenadas Esféricas: Un movimiento infinitesimal en la dirección der será una distancia dr , de una forma general se generan rdθ yr sin θdφ

dr , rdθ, r sin θdφ


Analisis Vectorial

Medidas InfinitesimalesFormas Diferenciales 1D

Coordenadas Cartesianas d~l = αdxax + βdyay + γdzaz

d~l = dxax

Coordenadas Cilíndricas: d~l = αdρaρ + βρdφaφ + γdzaz

d~l = dρaρ

Coordenadas Esféricas: d~l = αdr ar + βrdθaθ + γr sin θdφaφ

d~l = rdθaθ


Analisis Vectorial


Integración sobre dos distancias infinitesimalesCoordenadas Cartesianas d~s = dxdyaz y el Area =

∫ ∫dxdy

Figura: areas en los ejes coordenados

Las integrales de superficie serán similares: r = constante oφ = constante o θ = constante etc...


Analisis Vectorial


Figura: volumenes en los sistemas coordenados


Analisis Vectorial

Calculo VectorialIntegral de Línea

La integal de línea mide la circulación del vector ~A a lo largo de uncambio cerrado.Es una integral sobre un determinado camino cerrado.Es una magnitud macroscópica.

z~A · d~l


Analisis Vectorial

Calculo VectorialRotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial quemuestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotaciónalrededor de un punto.

∇× ~A =

∣∣∣∣∣∣∣ax ay az∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣No lo vamos a demostrar (Teorema de Stokes) pero el operadorrotacional de un vector tiene un significado similar al de la integral decirculación. z

~A · d~l =

∫S∇× ~A · d~s


Analisis Vectorial

Calculo VectorialOperador Gradiente

El operador gradiente mide el cambio en un campo escalar.El resultado es un vector apuntando segun la dirección del aumentode dicho campo escalar (perpendicular a las superficies de igual valorde f ).

∇f =∂f∂x ax +

∂f∂y ay +

∂f∂z az

Se puede demostrar directamente que ∇×∇f = 0, esto quiere decirque si un campo vectorial ~A está relacionado con un campo escalar f(~A = ∇f ), se verifica que:

∇× ~A = 0z~A · d~l = 0

El campo es irrotacional (conservativo)M.Sc. Alejandro Galo RoldanPhysics Professor Head of the Physics Program at the National University of Honduras (UNAH)Analisis Vectorial 19 de octubre de 2011 19 / 31

Analisis Vectorial

Calculo VectorialIntegral de Superficie (Flujo)

Esta integral de superficie mide el flujo (cantidad) de ~A a través de lasuperficie de integración


Analisis Vectorial

Calculo VectorialOperador Divergencia

∇ · ~A =∂Ax∂x +

∂Ay∂y +

∂Az∂z

Cant.Globales =

{∫ ~A · d~s mide el flujo a través de una superficieu~A · d~s mide el flujo a través de una superficie cerrada

El teorema de Gauss dice que:z~A · d~s =

∫(∇ · ~A)dv


Analisis Vectorial

ApendiceProducto punto de vectores unitarios

Producto punto de vectores unitarios del sistema de coordenadascilíndricas y cartesianas

aρ aφ azax cosφ − sinφ 0ay sinφ cosφ 0az 0 0 1

Producto punto de vectores unitarios del sistema de coorrdenadasesféricas y cartesianas

aρ aφ azax sin θ cosφ cos θ cos θ − sinφay sin θ sinφ cos θ sinφ cosφaz cos θ − sin θ 0


Analisis Vectorial

ApendiceTransformacion de coordenadas

Producto punto de vectores unitarios del sistema de coordenadascilíndricas y cartesianas

cartesianas cilíndricas esféricasx ρ cosφ r cosφ sin θy ρ sinφ r sinφ sin θz z r cos θ

Modulosρ =

√x2 + y2

φ = arctan(y

x

)r =

√x2 + y2 + z2

θ = arctan( √

x2 + y2

z

)M.Sc. Alejandro Galo RoldanPhysics Professor Head of the Physics Program at the National University of Honduras (UNAH)Analisis Vectorial 19 de octubre de 2011 23 / 31

Analisis Vectorial

Calculo VectorialDiferenciales de Superficie y Volumen

Diferenciales de Superficie 2D

d~S =

dydzax dxdzay dxdyazρdφdzaρ dρdzaφ ρdρdφaz

r2 sin θdθdφar r sin θdrdφaθ rdrdθaφ

Diferenciales de Volumen 3D

dV =

dydzdzρdρdφdz

r2 sin θdrdθdφ


Analisis Vectorial

Calculo VectorialOperaciones Vectoriales en Cilíndricas

Gradiente∇f =

∂f∂ρ

aρ +1ρ

∂f∂φ

aφ +∂f∂z az

Divergencia∇ · ~A =

1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

Rotacional

∇× ~A =1ρ

∣∣∣∣∣∣∣aρ ρaφ az∂∂ρ

∂∂φ

∂∂z

Aρ ρAφ Az

∣∣∣∣∣∣∣Laplaciano

∆f = ∇2f =1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂f∂ρ

)+

1ρ2∂2f∂φ2 +

∂2f∂z2


Analisis Vectorial

Calculo VectorialOperaciones Vectoriales en Esféricas

Gradiente∇f =

∂f∂r ar +

1r∂f∂θ

aθ +1

r sin θ∂f∂φ

aφ

Divergencia

∇ · ~A =1r2

∂

∂r(r2Ar

)+

1r sin θ

∂

∂θ(Aφ sin θ) +

1r sin θ

∂Aφ∂φ

Rotacional

∇× ~A =1

r2 sin θ

∣∣∣∣∣∣∣ar r aθ r sin θaφ∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sin θAφ

∣∣∣∣∣∣∣Laplaciano

∆f = ∇2f =1r2

∂

∂r

(r2∂f∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ∂f

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2f∂φ2


Analisis Vectorial

Calculo VectorialComponentes rectangulares

Cilíndricasaρ = cosφax + sinφayaφ = − sinφax + cosφayaz = azax = cosφaρ − sinφaφ

ay = − sinφaρ + cosφaφ

az = az

Esféricasar = sin θ cosφax + sin θ sinφay + cos θazaθ = cos θ cosφax + cos θ sinφay − sin θazaφ = − sinφax + cosφayax = sin θ cosφar + cos θ cosφaθ − sinφaφ

ay = sin θ sinφar + cos θ sinφaθ + cosφaφ

az = cos θar − sin θaθ


Analisis Vectorial

Calculo VectorialIdentidades Vectoriales

∇(fg) = f∇g + g∇f∇ef = ef∇f

∇ · (f ~A) = f∇ · ~A + ~A · ∇f∇ · (~A× ~B) = (∇× ~A) · ~B − (∇× ~B) · ~A

∇× (f ~A) = f∇× ~A +∇f × ~A∇× (~A× ~B) = ~A∇ · ~B − ~B∇ · ~A + (~B · ∇)~A− (~A · ∇)~B

∇(~A · ~B) = (~A · ∇)~B + (~B · ∇)~A + ~A× (∇× ~B) + ~B × (∇× ~A)

∇ · ∇f = ∇2f∇ · ∇ × ~A = 0∇×∇f = 0

∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A)− (∇ · ∇)~AM.Sc. Alejandro Galo RoldanPhysics Professor Head of the Physics Program at the National University of Honduras (UNAH)Analisis Vectorial 19 de octubre de 2011 28 / 31

Analisis Vectorial

Calculo VectorialRelaciones Integrales, Primera identidad de Green

Funciones Escalares∫V

(∇f · ∇g + g∇2f

)dV =

z

Sg∇f · ndA

Vectores ∫V∇ ·

(~A×∇× ~B

)dV =

z

S

~A×(∇× ~B

)· ndA


Analisis Vectorial

Calculo VectorialRelaciones Integrales, Segunda identidad de Green

Funciones Escalares∫V

(g∇2f − f∇2g

)dV =

z

S(g∇f − f∇g) · ndA

Vectores ∫V

(~B · ∇ ×∇× ~A− ~A · ∇ ×∇× ~B

)dV =

z

S

(~A× (∇× ~B)− ~B × (∇× ~A)

)· ndA


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Ejercicios


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