Analisis III-Tarea-1.docx

7/17/2019 Analisis III-Tarea-1.docx

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UNIVERSIDAD NACIONAL DECAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INTEGRAL MULTIPLE

CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III

DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA

ESTUDIANTES:

CHUQUIRUNA CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ ANTONY

SOLANO VARGAS DIEGO RENATO

CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015



INTEGRAL MULTIPLE

INTRODUCCION

En este capítulo se introduce el concepto de integrales dobles sobreregiones en el plano.

Se puede aproxiar el !oluen de una regi"n s"lida encontrando lasua de los !ol#enes de prisas rectangulares representati!os.$oo auenta el n#ero de prisas rectangulares% la aproxiaci"ntiende a ser &s ' &s exacta. En el in(ore se aprender& a usarintegrales #ltiples para encontrar el !oluen de una regi"n s"lida.

OBJETIVOS

Resol!er los e)ercicios en clase% utili*ando los distintosso(t+ares aprendidos coo son el ,eri!e% Mat-cad% Auto$A,.

Utili*ar los prograas para representar las gr&cas de lassupercies ' solidos de una anera &s entendible.

AN/LISIS MATEM/TI$0 III 1



INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA 1: Resol!er2

∫−1

0

∫0

1

( x3 y3+3 x y2)dydx

S0LU$I3N

14 II,5 ∫−1

0

∫0

1

( x3 y3+3 x y2)dydx

64 Regi"n de integraci"n2

74 II,5

∫−1

0

∫0

1

( x3 y3+3 x y2)dydx=−9/16




INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA 2: Resol!er

∫0

1

∫0

1 xy

√ x2+ y2+1dydx

S0LU$I0N

14 II, 5 ∫0

1

∫0

1

xy

√ x2+ y2+1dydx


74 II, 5 ∫0

1

∫0

1 xy

√ x2+ y2+1dydx




INTEGRAL MULTIPLE




INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA : Resol!er

∫0

1

∫−√ 1− x2

√ 1− x2

3 y dydx

S0LU$I3N

14 II, 5 ∫0

1

∫−√ 1− x

2

√ 1− x2

3 y dydx


74 II, 5 ∫0

1

∫−√ 1− x

2

√ 1− x2

3 y dydx




INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA !:

A: Resolver

∬ R

❑1/ x dA

S0LU$I3N

14 II,5 ∬ R

1/ x dA

64 Regi"n de integraci"n2 R={( x , y )/ y2≤ x ≤ y4∧1< y<℮ }

74 II,5 ∬ R

❑

1/ x dA , dA=dxdy

AN/LISIS MATEM/TI$0 III :



INTEGRAL MULTIPLE

B: Resolver

∬ R

❑

x2 y √ 1− x3− y3dA

S0LU$I3N

14 II,5 ∬ R

❑

x2 y √ 1− x3− y3dA

64 Regi"n de integraci"n2 R={( x , y )/ x ≥0, y ≥0∧ x3+ y3≤1 }

74 II,5

∬ R

❑

x2 y √ 1− x3− y3dA ,dA=dxdy

II D=∫0

1

∫0

3

√ 1− y3

x2 y √ 1− x3− y3dxdy

AN/LISIS MATEM/TI$0 III ;



INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA ". <allar el !oluen del solido =ue esta deba)o de la supercie

f ( x , y )= x2+ y2

' sobre el rectangulo R5>?6%6@ x >?7%7@

S0LU$I0N

14 Gr&co del S"lido2

S2 f ( x , y )= x2+ y2

Sea z= f ( x , y )→ z= x2+ y2

⇒ Paraboloide de re!oluci"n o

circular

Si2 x=0→ z= y2

Si2 y=0→ z= x2

Si2 z=0→x=0∧ y=0

Si2 z=k → x2+ y2=k

64 oluen2

dV = z dydx →dV =∬ R

❑

z dydx

R= {( x , y ) /−2≤ x ≤2∧−3≤ y ≤3}

AN/LISIS MATEM/TI$0 III B



INTEGRAL MULTIPLE

V =∫−3

3

∫−2

2

x2+ y2 dxdyV =∫−3

3

23

3+2 y2+ 2

3

3+2 y2dy

x3

3+ y2∗ x

¿¿

¿−22dy¿

V =∫−3

3

¿

V =¿

16

3 y+

4 y3

3¿¿¿

V =104unid 3

PROBLEMA #. $alcular el !oluen deliitado por las supercies2

z=1− x2∧ $ilindro parabolico

y= z∧ Plano

x=0∧ Plano CD

z=0∧ Plano C

y=5 Plano paralelo a D

S0LU$I0N

14 GRAFI$0 ,EL S3LI,02

AN/LISIS MATEM/TI$0 III



INTEGRAL MULTIPLE

dV = (5− y ) dzdx

AN/LISIS MATEM/TI$0 III1H



INTEGRAL MULTIPLE

64 oluen del s"lido2

dV = (5− y ) dzdx→V =

∬ R

❑

(5− y ) dzdx

V =∫0

1

∫0

1− x2

(5− z ) dzdx

V =∫0

1

[5 z− z2

2 ]0 z

dx

V =5 [ x− x3

3 ]01

−1

2∫0

1

(1+ x4−2 x2 ) dx

V =5( 23 )−1

2 [1+ 1

5−

2

3 ]V =

46

15unid3

PROBLEMA $: <allar el &rea de la regi"n plana liitada por la recta y= x−1 ' la par&bola y

2=2 x+6 .

S0LU$I3N

14 Gr&ca de la regi"n R

L: y= x−1

C : y2=2 x−6

x=1

2 y2−3 Par&bola de e)e -ori*ontal ' !Jrtice v=(−3,0) 4

L∩C : y+1= y 2

2−3

y=−2∧ y=4

AN/LISIS MATEM/TI$0 III11



INTEGRAL MULTIPLE

R={( x , y )/ y2

2−3≤ x ≤ y+1∧−2≤ y ≤4 }

64 /rea de la regi"n R.

A ( R)=∬ R

❑

dA=∫−2

4

∫ y

2

2

−3

y+1

dx .dy




INTEGRAL MULTIPLE

74

∬ R

dA=18un d2




INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA %: <allar el &rea de la regi"n plana liitada por las gr&cas de

las (unciones y= x3−2 x y=6 x− x3

S0LU$I3N

14 Gr&ca de la regi"n R.

C 1 : y= x3−2 x= x ( x2−2 )= x ( x−√ 2)( x+√ 2)

y' =3 x2−2=0

3( x2−

2

3)=0

3( x−√2

3)( x+√2

3)=0

K K

−√2

3

√2

3

Existe &xio4 Existe ínio4

C 2: y=6 x− x3=− x ( x2−6 )=− x ( x−√6)( x+√ 6)

y' =6−3 x2=0

? 3( x2−2)=0

−3 ( x−√2)( x+√2)=0

K

−√ 2 √ 2

Existe &xio4 Existe ínio4




INTEGRAL MULTIPLE

C 1∩C 2: x3−2 x=6 x− x3

2 x3−8 x=0

x=−2,0,2

R={( x , y )/≤ x ≤2∧ x3−2 x ≤ y ≤6 x− x3 }

64 /rea de la regi"n R2 AR4

A ( R)=2.∬ R

❑

dA=2.∫−2

4

∫ x

3

−2 x

6 x− x3

dy.dx




INTEGRAL MULTIPLE

74

2.∬ R

❑

dA=16un d2

AN/LISIS MATEM/TI$0 III1:



INTEGRAL MULTIPLE

PROBLEMA &: E!aluar la integral ∬ xydA en la regi"n R descrita a

continuaci"n.

S0LU$I3N

14

IID=∬ R1

❑ xydA+∬

R2

❑ xydA+∬

R3

❑ xydA

IID=∫−1

0

∫−1

1+ x2

xydydx+∫0

1

∫√ x

1+ x2

xydydx+∫−1

0

∫0

y2

xydxdy

AN/LISIS MATEM/TI$0 III1;



INTEGRAL MULTIPLE

AN/LISIS MATEM/TI$0 III1B



INTEGRAL MULTIPLE




INTEGRAL MULTIPLE

64

∬ R1

xydA+∬ R2

xydA+∬ R3

xydA=0

AN/LISIS MATEM/TI$0 III6H



INTEGRAL MULTIPLE

CONCLUSIONES

Se resol!ieron los e)ercicios utili*ando los di(erentes so(t+ares deapo'o de Mate&tica

Se gracaron las supercies de las (unciones en Auto$A, ' Mat-cad Se gracaron las supercies planas en ,eri!e ' se deterin" la

regi"n sobre&ndola con di(erentes colores.


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