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Especialización en Telecomunicaciones Digitales Cohorte Nº43Curso de Nivelación

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería Electrónica

Especialización en Telecomunicaciones Digitales

CURSO DE NIVELACIONTEMA I

INTRODUCCIÓN A LAS SEÑALES Y LOS SISTEMAS

Estrategia Metodológica: Tema de Autodesarrollo Procedimiento: Cada participante es responsable del dominio de este tema

SUMARIO:Concepto de señal.Concepto de sistema.Clasificación de señales. Señales determinísticas y aleatoriasOperaciones sobre señales continuas y discretas.Señales singulares.Producto integral o convolución de señales.Propiedades de la convolución.Análisis de formas de ondas. Periodo, frecuencia y amplitud.Valor medio y valor eficaz de una señal.

1.- Concepto de señal:Análisis de Sistemas 1


En forma muy general, se puede decir, que una señal es un estímulo externo que condiciona el comportamiento de un sistema. En la figura #1 se muestra esquemáticamente este hecho.

Figura #1Esquema de un sistema, señal de estimulo y señal de respuesta.

Desde un punto de vista más matemático, se puede decir que una señal se define como una función univaluada del tiempo; es decir, a cada instante de tiempo asignado (definida como variable independiente) corresponde un único valor de la función (variable dependiente). Como ejemplo podemos ver la figura #2, la cual muestra una senoide como señal.

Figura #2Representación de una señal.

Como regla se puede establecer que el mensaje producido por una fuente no es eléctrico y, por lo tanto, es necesario un transductor de entrada. Este transductor convierte el mensaje en una señal eléctrica variable, tal como un voltaje o una corriente.La descripción de una señal v(t) usualmente existe en el dominio del tiempo, donde la variable independiente es “t”. Pero para el trabajo de comunicaciones, a menudo es más conveniente describir las señales en el dominio de la frecuencia, donde la variable independiente es w o f (w = 2f ). El análisis espectral está basado en el uso de las series y transformadas de Fourier como herramientas.En la figura #3 se muestra la representación espectral (dominio de la frecuencia) de varias señales con sus correspondientes rep[resentacion en el dominio del tiempo.

2.- Concepto de sistema.

Un sistema es un grupo de objetos que pueden interactuar de forma armónica y que se combinan con el propósito de alcanzar determinado objetivo. Un sistema puede, a su vez, ser una porción de un sistema mayor.En la figura # 4 se muestra un rompecabezas, el cual puede servir para entender el concepto de sistema. Con mucha frecuencia los rompecabezas son figuras que deben ser armadas en su totalidad por una persona. Cada pieza de la figura tiene una forma adecuada para encajar dentro

Análisis de Sistemas 2

f(t)

wt

A

-A

T


de la totalidad del dibujo; de ésta manera “interactúa de forma armónica” con el resto de las piezas de su entorno con el “propósito” de alcanzar como “objetivo” la figura en su totalidad.

Figura # 3Representación de varias señales en el dominio del tiempo y

su correspondiente representación en el dominio de la frecuencia.

Figura # 4Rompecabezas como ejemplo de sistema y subsistema.

Podemos además, ver cada pieza como un subsistema que posee una forma, es parte de una gran figura y ocupa en la figura total, una posición única.


t

t

w

w

w

t

f(t) F(w)

cos(Wc.t)

f(t).cos(Wc.t)

F[cos(Wc.t)]

F[f(t).cos(Wc.t)]

-wm wm

-Wc Wc

Wc-Wc


3.- Clasificación de las señales.

Las señales se pueden dividir en dos grandes grupos: las señales determínisticas y las señales aleatorias.Una señal determínistica es aquella que tiene un valor definido instante por instante.Las señales aleatorias como su nombre lo indica, están ligadas a la casualidad. Estas señales no son de nuestro interés en este curso, razón por la cual no dedicaremos estudio a las mismas.Las señales determínisticas pueden ser clasificadas según su forma en: señales determínisticas continuas, señales determínisticas discretas y señales determínisticas singulares.En resumen se tiene la siguiente clasificación:

3.1.- Señales determínisticas Continuas.

Estos tipos de señales poseen campos de existencia continuos o por lo menos continuos en intervalos, para los cuales se dice que las señales son continuas por intervalos.La figura #5 muestra una señal continua por intervalos, la cual solo toma valores desde -4 hasta +5. La señal está constituida por cuatro intervalos: -4 a -1; -1 a +1; +1 a +3 y +3 a +5. En cada caso definida por una ecuación diferente.

Figura # 5Señal continua por intervalos.

Para determinar la continuidad o no de la señal es necesario determinar los límites laterales de cada intervalo. La función presentará discontinuidad en un punto si en ese punto el límite por la derecha es diferente al límite por la izquierda, esto es:



considerando que el punto de análisis de continuidad está denotado como to y la función es f(t).

3.1.1 Operaciones sobre señales determínisticas continuas.

Al realizar en la práctica el análisis de señales de nuestro interés, encontraremos que en muchas ocasiones, será necesario realizar operaciones matemáticas sobre dichas señales con la finalidad de obtener resultados favorables en la operación de un sistema, equipo, circuito, etc., permitiendo de una manera analítica poder comprender los principios de funcionamiento del sistema en cuestión.Existen varias operaciones muy útiles que se pueden realizar sobre señales continuas, las cuales serán descritas a continuación.

3.1.1.a.- Suma de señales continuas.

Para realizar la suma de dos funciones continuas, el procedimiento más sencillo es tomar los valores punto a punto de cada una de las funciones e ir sumándolos hasta obtener todos los valores necesarios. Sin embargo, este es un trabajo muy largo y el resultado será una función discreta en dependencia del valor del incremento que se tome entre un punto y el siguiente. Un procedimiento más adecuado, es tomar cada una de las funciones y dividirlas por tramos o intervalos donde estén definidas por la misma ecuación. Luego se suman cada una de las ecuaciones de las señales para cada intervalo considerado, tomando en consideración los límites entre los cuales esté definida cada función. Puede ocurrir que una función solo tenga uno o dos intervalos en los cuales exista señal, mientras que las otras tengan más intervalos y su duración en el tiempo sea mayor. En este caso, como es lógico, cuando no hay función se suma el valor de la señal existente con cero. El siguiente ejemplo permite observar mejor el procedimiento explicado.Se desea hallar la suma de las funciones:

f1(t) = 3t para 0 t 5 (Ecuación 1)f2(t) = tpara 3 t 6 (Ecuación 2)

Como puede observarse en la figura #6, la funciones f1(t) y f2(t) están definidas para intervalos diferentes y además coinciden en un intervalo para el cual ambas están definidas y otros dos para los cuales una de las dos funciones es cero. El procedimiento a seguir es, realizar la suma en tres intervalos: de 0 a 3; de 3 a 5 y de 5 a 6. El valor de f2(t) vale cero para el intervalos 0 a 3 y f1(t) vale cero para el intervalo 5 a 6. Para hallar la suma basta con sumar las ecuaciones de cada una de las funciones definidas en los intervalos 3 a 5 donde existen ambas funciones y sumarle la porción de f1(t) entre 0 y 3 más la porción de f2(t) entre 5 y 6. La función f(t) de la figura #6 representa la suma total de las dos funciones f1(t) y f2(t).El número de intervalos a considerar dependerá de las formas que posean las señales, sin embargo, siempre será posible dividir la suma total en “n” sumas parciales dadas por el número de intervalos que posean las señales. Se tomará como referencia el número de intervalos mayor de las señales a sumar. Esto es, si una señal posee tres intervalos y la otra cinco, el número de sumas parciales será cinco.Si se desea hallar la suma de más de dos señales, la solución se puede hallar mediante la realización de varias sumas parciales para luego hallar la suma total.



Figura # 6Suma de dos funciones continuas por tramos.

3.1.1.b.- Producto de dos funciones.

Para determinar el producto de dos señales, el procedimiento utilizado puede ser el mismo que se describió para la suma de dos señales, con la única diferencia que en vez de sumar las ecuaciones se hallará el producto.En el ejemplo anterior si se hallara el producto de las dos funciones f1(t) y f2(t), se tendría como resultado sólo una función cuadrática ( en este caso, 3t2 ) definida para el intervalo de 3 a 5, ya que, para los otros dos intervalos una de las señales vale cero en cada caso.Para hallar el producto de más de dos funciones, se procede al igual que en la suma, con productos parciales de funciones. Esta no es la única vía, pero facilita considerablemente el trabajo.

3.1.1.c.- Escalamiento en magnitud de una función continua.

Se habla de escalamiento en magnitud de una señal, cuando se multiplica su amplitud por una constante. La constante puede ser mayor que uno o menor que uno. Si se tiene el caso en el cual la constante es mayor que uno se está en presencia de una amplificación. En el otro caso, cuando la constante es menor que uno, se tiene una atenuación.



El valor de la constante puede ser positivo o negativo. En caso que la constante sea positiva no se producen cambios de signo en la amplitud de la señal. En caso de ser negativo se produce un cambio de signo en la amplitud de la señal. Sea por ejemplo la función:

f(t) = A.sen(wt + ) (Ecuación 3 )

entonces la función puede ser escalada en amplitud de la siguiente manera:

f(t) = K.A.sen(wt + ) (Ecuación 4 )

La figura # 7 muestra una señal senoidal con escalamiento en amplitud: a) señal sin escalar, b) señal escalada en magnitud con K > 1 ( amplificada ) y c) señal con escalamiento en amplitud con 0 < K < 1 ( atenuada ). En la figura #7 d) se muestra la gráfica de la señal con un escalamiento en magnitud para valores negativos de la constante, observe que se produce un cambio de fase de 180 grados en la señal. En todo caso se debe observar que solo se modifica la amplitud de la señal, ya qué los demás parámetros de la misma permanecen inalterables, excepto en el caso d).

Figura #7Escalamiento en amplitud de una señal.

3.1.1.d.- Escalamiento en tiempo de una función continua.

El escalamiento en tiempo de una señal, modifica la duración de la misma en dependencia del valor de una constante por la cual se multiplica el tiempo. Dicho de otra manera, el escalamiento en tiempo de una señal se produce cambiando la variable “t” por “a.t” en la ecuación de la señal, donde “a” es una constante positiva. En el caso de que a > 1, se produce una compresión de la señal. En caso de que 0 < a < 1, se produce una expansión de la señal.


f(t)= sen(Wt)

f(t)= Ksen(Wt), K > 1

f(t)= Ksen(Wt), 0 < K < 1

a)

b)

c)

f(t)= Ksen(Wt), K < - 1

d)


Consideremos nuevamente la función:

f(t) = A.sen(wt + ) (Ecuación 5 )

Si sustituimos la variable “t” por “a.t” y damos a “a” valores mayores que 1 y valores menores que 1, podemos obtener escalamiento en tiempo, es decir:

f(t) = A.sen(w.(at) + ) (Ecuación 6 )

En la figura #8 se muestra una señal senoidal, la cual ha sido escalada en tiempo. En la parte a) la señal se muestra sin escalamiento. En b) la señal a sido escalada en tiempo para valores de a > 1 ( se disminuye la duración de la señal) mientras que para c) se escala en tiempo la señal para valores de 0 < a < 1 ( se aumenta la duración de la señal)Físicamente hablando, podemos decir que al escalar en tiempo la señal senoidal anterior, estamos variando la frecuencia de la señal, es decir, el número de ciclos por unidad de tiempo de la misma. De esta manera, se puede entender porqué se produce la compresión ( si a > 1 ) y la expansión ( si 0 < a < 1 ) de la señal.

Figura #8Escalamiento en tiempo de una señal.

3.1.1.e.- Desplazamiento o traslación en el tiempo de una función.

El inicio y fin de una función puede ser trasladado en el eje de los tiempos. Es así como se produce el desplazamiento de la función, lo cual, no es más que un corrimiento de la función en el eje horizontal.Desde el punto de vista matemático, esto no es más que sustituir la variable t en la ecuación de la función por (a + t ), donde “a” es una constante que puede tomar valores positivos o negativos. Si los valores que toma la constante “a” son positivos, el desplazamiento de la función es hacia la izquierda. Si “a” toma valores negativos el desplazamiento es hacia la derecha.Consideremos la función definida como:


f(t)= sen(wt)

f(t)= sen(wat), a > 1

f(t)= sen(wat), 0 < a < 1

a)

b)

c)


(Ecuación 7 )

El desplazamiento de la función f(t) se hace sustituyendo en las ecuaciones que definen la función a la variable “t” por “ t + a ”, donde “a” representa el valor del desplazamiento que se desea dar a la función y su signo el sentido: derecha o izquierda.

(Ecuación 8 )

Si sustituimos la variable “t” por ( t + a ) con a = - 2 en la ecuación anterior nos queda:

(Ecuación 9 )

Resolviendo tenemos:

(Ecuación ( 10 )

Este resultado se muestra en la figura # 9-b.Si se considera a = 2 se obtiene el resultado de la figura # 9-c.

Figura #9



Desplazamiento en tiempo de una señal.3.1.1.f.- Transposición de una función.

La transposición se obtiene cuando se sustituye en la ecuación de la función la variable por la misma variable multiplicada por -1. Es decir, si la función en cuestión es f(t), para hallar la transpuesta de ella basta con sustituir la variable “t” por “- t”. En este caso la función se rota 180 grados sobre el eje vertical.Considerando nuevamente la función:

(Ecuación 11 )

podemos hallar su transpuesta como la función g(t) sustituyendo la variable “t” por “-t” obteniendo:

(Ecuación 12 )

Resolviendo obtenemos:

(Ecuación 13 )

En la figura # 10 se muestran las gráficas para ambos casos.Obsérvese que la función ha sido rotada sobre el eje vertical, por lo cual se mantiene la simetría respecto al eje “y”.

Figura #10Transposición de una función.

3.2.- Señales determínisticas discretas.



Las señales determínisticas discretas son funciones que asumen o toman valores solo para algunos instantes discretos. Estos instantes discretos pueden estar equiespaciados, es decir pueden producirse cada “nt”, donde n toma valores enteros y puede ser finito o infinito.En forma analítica la función discreta será función de “n”.Consideremos la función discreta x(n) dada por la ecuación:

(Ecuación 14 )

En la figura # 11 se muestra la gráfica de esta función.

Figura #11Representación gráfica de la función discreta x1(n).

Se puede mencionar que las funciones discretas tienen las siguientes características:a) la variable sólo toma valores discretos.b) los valores que asume “n” pueden ser finitos o infinitos.c) la gráfica de la función discreta está constituida por un conjunto de puntos con amplitud dada a los valores de “n” equidistantes, para valores de “n” finito o infinito.Al igual que las funciones continuas en el tiempo, las funciones discretas también soportan las operaciones de: suma y resta, multiplicación, escalamiento en amplitud, desplazamiento y transposición. El escalamiento en tiempo continuo no se da ya que la función no depende del tiempo continuo.

3.3.- Señales determínisticas singulares.

Los miembros de estas clase tienen formas matemáticas simples, pero no son finitas o no tienen derivadas finitas de todo orden en todos los puntos. Por esta razón se denominan funciones singulares.Las señales determínisticas singulares son formas de ondas que por su composición son útiles en el análisis de sistemas físicos, como por ejemplo sistemas de control, amplificadores, filtros, etc.Estas funciones son idealizaciones matemáticas y, en rigor, no aparecen en sistemas físicos. Resultan útiles en el análisis de sistemas debido a que son buenas aproximaciones a ciertas condiciones restrictivas de los sistemas físicos.


1 2 3 4-1-2-3

1.5

2

1

0.5n

x(n)

0


3.3.1.- Función escalón unitario.

La función escalón unitario está definida como:

(Ecuación 15 )

Según la definición anterior, se puede entender que la función x(t) será igual a uno cuando el argumento de la función p(t) sea mayor o igual que cero (sea positivo), y valdrá cero cuando el argumento sea menor que cero (sea negativo). Por esta razón se le conoce a esta función como escalón unitario, dado que su amplitud cambia abruptamente de cero a la unidad.Como ejemplo de una función escalón unitario consideremos la función x(t) = u(t2 - 4t + 1).Según la definición, se debe analizar para qué valores de “t” la función p(t) 0. Utilizando la ecuación de segundo grado se pueden encontrar los valores de “t” que anulan a p(t). Según esto, se tiene que t = 2 3 son las raíces de la ecuación (t2 - 4t + 1).De acuerdo a estos resultados se tiene lo siguiente:

(Ecuación 16 )

Con los resultados anteriores y de acuerdo con la definición, la función x(t) es igual a “1” para todos los valores de “t” para los cuales p(t) 0, lo cual se cumple en las ramas ( I ) y (III) de los resultados obtenidos en la ecuación (16). Para el restante intervalo la función x(t) vale cero.La gráfica de x(t) se muestra en la figura #12.

Figura #12Representación gráfica de la función x(t).

Si tuviéramos el caso en el cual p(t) = t, entonces la función x(t) se reduciría a la siguiente expresión:

(Ecuación 17 )



Figura #13Representación gráfica de la función x(t) = u(t).

La gráfica de la función en este caso es la que se muestra en la figura # 13.

3.3.1.2.- Operaciones sobre la función escalón unitario.

Al igual que sobre las funciones continuas se pueden realizar ciertas operaciones matemáticas, sobre las funciones determínisticas singulares también se pueden realizar estas operaciones matemáticas.En el caso de la función escalón podemos efectuar desplazamiento, transposición y escalamiento en amplitud.Estas operaciones se consideran a continuación.

3.3.1.2.a.- Operación de escalamiento en amplitud de la función escalón unitario.

El escalamiento en amplitud de la función escalón unitario se produce multiplicando su amplitud unitaria por una constante k, la cual tendrá como efecto aumentar k veces la magnitud de la discontinuidad de la función.Matemáticamente hablando esto se puede expresar de la siguiente manera:

(Ecuación 18 )

resultando de la definición la siguiente ecuación:

(Ecuación 19 )

Gráficamente se tendría el escalón de la figura #14.

3.3.1.2.b.- Operación de desplazamiento de la función escalón unitario.

El desplazamiento de la función escalón unitario se obtiene sustituyendo “ t ” por “ t + a ”.Así, si en la ecuación de x(t) sustituimos “t” por “ t + a ” tenemos:

(Ecuación 20 )y en la ecuación general:



(Ecuación 21 )

Figura #14Representación gráfica de la función xk(t) = Ku(t).

La gráfica de la función escalón unitario desplazada se muestra en la figura # 15. Si el valor de a > 0, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Si a < 0 la gráfica se desplaza hacia la derecha.

Figura #15Representación gráfica de la función x(t a) = u(t a).


x(t-a)

+ a

1

x(t+a)

0--a

1

1

0a = 0

x(t+a)

t

t t0

a < 0a > 0


3.3.1.2.c.- Operación de transposición de la función escalón unitario.

La transposición de la función escalón unitario se efectúa realizando el cambio de la variable “ t ” por la variable “- t ”.Según lo anterior aplicado a la definición de escalón unitario tenemos:

(Ecuación 22 )

Realizando las operaciones necesarias se llega finalmente a que la expresión para la función escalón unitario transpuesta es:

(Ecuación 23 )

La gráfica de la función escalón unitario transpuesta se muestra en la figura # 16.

Figura #16Representación gráfica de la función xT( t ) = x(- t) = u(- t).

3.3.2.- Función pulso rectangular.

A partir de la definición de la función escalón, es posible obtener las ecuaciones de otras formas de ondas típicas de gran utilidad también en el análisis de sistemas.La función pulso rectangular se puede concebir como aquella función que asume dos valores perfectamente definidos. Inicialmente el pulso tiene una amplitud igual a cero para luego en cierto tiempo t1 cambiar abruptamente a un valor máximo “A” manteniéndose en este hasta el tiempo t2. De esta manera la duración del pulso está dado como t = t2 - t1.Lo que anteriormente hemos dicho en palabras lo podemos representar matemáticamente hablando, de la siguiente manera:

(Ecuación 24 )

donde a 0 , b 0 y a < b .La duración del pulso esta dada como:



T = b - a (Ecuación 25 )

y la amplitud es “A”.Analizando la ecuación ( 24 ) podemos observar que puede ser descompuesta como la diferencia de dos funciones escalones f1(t) y f2(t) de amplitud “A” desplazados en t = a y t = b.Bajo esta consideración, sean las ecuaciones:

(Ecuación 26 )

(Ecuación 27 )

entonces podemos definir la ecuación ( 28) como:

(Ecuación 28 )

(Ecuación 29 )

La gráfica de la ecuación (29) se muestra en la figura #17 para A = 1.Si en la ecuación (29) se hace A = 1 se tiene la función pulso rectangular unitario.

3.3.3.- Función rampa.

Así como para la función pulso rectangular se emplea la función escalón para definir la función, también se puede usar este mismo principio para definir otra función muy útil: la función rampa.La función rampa, denotada como Rk(t), está definida como:

(Ecuación 29 )Podemos observar que esta función es una recta que comienza en el origen y tiene una pendiente k y que además es cero para todos los valores de tiempo negativos. Por esta razón la función rampa puede ser expresada en función de la función escalón unitario de la siguiente manera:

(Ecuación 30 )

Si el valor de k=1, se obtiene la función rampa unidad.La figura # 18 muestra la gráfica de la función rampa Rk(t).

3.3.3.1.- Operación de desplazamiento de la función rampa.

Si en la función de la ecuación (29) se sustituye “t” por “t - a” obtenemos:

(Ecuación 31 )



La ecuacion 31 indica que la gráfica de la figura #18 experimenta un desplazamiento hacia la derecha al cambiar “t” por “t - a”. Situación similar se presenta cuando se sustituye “t” por “t + a”, solo que en esta ocasión la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

Figura #17Representación gráfica de la función pulso rectangular.

Figura #18Representación gráfica de la función rampa.

La gráfica # 19 muestra la gráfica desplazada de la función rampa.



Figura #19Representación gráfica de la función rampa desplazada.

3.3.3.2.- Operación de transposición de la función rampa.

El proceso de transposición de la función rampa se produce al cambiar “t” por “- t ” en la ecuación (30) o la ecuación (31). Si se considera la ecuación de la rampa desplazada se obtiene:

(Ecuación ( 32)

En la gráfica # 20 se muestra la función rampa transpuesta.

Figura #20Representación gráfica de la función rampa transpuesta.

3.3.4.- Función impulso unitario.

Esta función tiene la propiedad mostrada por la siguiente integral:

(Ecuación (33)

para cualquier f(t) continua en t = t0 , con t0 finito.La función, según la ecuación (33), selecciona o separa el valor particular de f(t) para t = t 0

durante el proceso de integración, por esta razón, se designa a esta propiedad como propiedad de muestreo de la función impulso.

Veamos dos ejemplos que facilitan la comprensión de este hecho.i) Evaluar la integral definida:



Solución: aplicando la ecuación (33) y tomando t0 = , se tiene:

Observe que se ha tomado: f(t) = ecos t y se evalúo en t0 = .

ii) Evaluar:

Solución: Analizando la integral observamos que x0 = 0, no aparece explícitamente, pero podemos considerar lo siguiente:

Como x0 = 0 no está entre el intervalo 1 < x < , el resultado de la integral es cero.Esto es:

Ejercicio propuesto:

Evaluar la integral:

La ecuación (33) muestra que la función impulso no es una función ordinaria. Sin embargo, (t) se puede tratar como una función que obedece formalmente las reglas de integración, si basamos las conclusiones en la ecuación (33) y no en las propiedades puntuales de (t).

La función impulso puede ser definida como una función pulso, la cual tiene una amplitud infinitamente grande y un ancho infinitamente pequeño y cuya área es finita e igual a la unidad.La función impulso también es conocida como función delta o función de Dirac.Una interpretación gráfica de la función impulso se puede obtener por medio de la figura # 21.



Figura #21Interpretación gráfica de la función impulso.

Observando la figura #21 se puede calcular el área del pulso con base igual a ““ y altura “h” igual a k/ obteniéndose como resultado el área igual a k, la cual se mantiene constante para los tres rectángulos.Se observa que si la base ““ disminuye la altura “h” aumenta mientras el área se mantiene constante.En el limite cuando ““ tiende a cero se tiene:

(Ecuación 34)

(Ecuación 35)

Con este procedimiento se ha podido demostrar como obtener una función, que tiene una altura infinita, un ancho infinitesimal y un área finita.La figura #22 muestra la representación gráfica de la función impulso unitario.Se puede observar que la función impulso existe en aquellos instantes en los cuales se anula su argumento. Con esta consideración, si el argumento de la función delta es una función p(t), entonces la función delta existirá en todos aquellos valores en los cuales se anule p(t).

Figura #22Representación gráfica de la función impulso.


f(t)

th

h'

h''

e/2-e/2 e'/2-e'/2 e''/2-e''/2

k/e''

k/e'

k/e


La función impulso es factible de ser desplazada en el eje horizontal, así como también escalada en magnitud, el procedimiento es similar al procedimiento ya descrito para las funciones anteriores. La figura # 23 muestra la función impulso desplazada y escalada en magnitud.

3.3.4.1 Propiedades de la función impulso.

a) Propiedad del muestreo.La propiedad del muestreo está expresada de la siguiente manera:

(Ecuación 36)

Utilizando la gráfica de la figura # 24 podemos comprender mejor el significado de la ecuación (36).Sea la función f(t) y considere el valor que se obtiene de la función para el valor de t = T ( ver gráfica “a” ). La gráfica b) muestra un impulso desplazado hasta “ T ” . El impulso está definido como (t-T) (desplazado a t = T) y el producto de una función cualquiera continua en t = T y multiplicada por (t-T) se reduce necesariamente a un impulso en t = T, con una amplitud igual al valor que tiene f(t) en t = T o lo que es lo mismo f(T).

Figura #23Representación gráfica de la función impulso

escalada en amplitud y desplazada.

Se concluye que el producto de una función continua en “T” multiplicada por una función impulso en “ t = T ” es igual a la función f(t) evaluada en el punto “T”, es decir f(T).

De acuerdo a lo anterior podemos realizar la siguiente consideración:

f(t).(t-T) = f(T).(t-T) (Ecuación 37)

Basados en esto, podemos retomar la ecuación (36) y realizar algunas manipulaciones matemáticas, para finalmente obtener:

(Ecuación 38)

ya que:



(Ecuación 39)

b) Área de la función impulso. Si f(t) = 1, entonces de la ecuación (33) tenemos:

, a < t0 < b (Ecuación 40)De la ecuación (40) se concluye que la función impulso tiene un área unitaria, tal como se había mencionado anteriormente. En consecuencia A.(t) tiene un área igual a “A” unidades.

Figura #24Representación gráfica de la ecuación (39).

c) Amplitud de la función impulso.Según la ecuación (33) se tiene que:

( t - t0 ) = 0 para todo t t0

es decir los valores de f(t) para t t0 se hacen cero en el proceso de integración.La amplitud en el punto t t0 queda indefinida y se denota por: .

d) Representación gráfica de la función impulso.Es difícil según la definición y las propiedades dadas, graficar la función impulso.Se conviene representar la función impulso como una flecha ubicada en t = t0, apuntando hacia arriba.



El área del impulso se designa con una cantidad entre paréntesis junto a la flecha. También se puede hacer por medio de una escala en el eje vertical.Una flecha hacia abajo indica un área negativa.

e) Escala de tiempo de la función impulso.Al argumento de la función impulso se le puede aplicar una escala. Este procedimiento es como sigue:

(Ecuación 41)Comprobemos el resultado anterior.

Figura #25Representación gráfica de la función impulso.

Para a > 0 tenemos:Consideremos el cambio de variable x = a.t en la ecuación (33).Sea x = a.t entonces t = x/a, sustituyendo en la integral tenemos:

(Ecuación 42)

donde se ha considerado: f(t) = f(x/a) y t0 = a.t0 según la ecuación (33).

Para a < 0 tenemos:

Sea x = - a.t entonces t = - x/a, sustituyendo en la integral tenemos:

Finalmente tenemos:



(Ecuación 43)

donde se ha considerado: f(t) = f(x/t) y t0 = a.t0 según la ecuación (33).

Combinando los resultados de las ecuaciones (42) y (43) se puede escribir:

(Ecuación 44)

En forma gráfica, es necesaria la introducción de este factor de escala para mantener el área unitaria en la definición de la función impulso.

Veamos a continuación un ejemplo de aplicación.

Evalúe la integral definida .Solución:Analizando la integral anterior, podemos resolverla aplicando primero factor de escala y luego propiedad del muestreo.Según factor de escala tenemos:

.

Si ahora aplicamos propiedad del muestreo tenemos finalmente:

f) La integral de la función impulso unitario.Si en la ecuación (33) hacemos a = - , b = t y f(t) = 1 tenemos:

(Ecuación 45)

Ahora si recordamos la definición de función escalón tenemos:



(Ecuación 46)

Comparando las ecuaciones (45) y (46) podemos establecer que:

(Ecuación 47)Se concluye que la integral de la función impulso unitario es la función escalón unitario.g) Derivada de la función escalón unitario.Si se derivan ambos miembros de la ecuación (47) se tiene:

(Ecuación 48)

Se concluye que la derivada de la función escalón unitario en t = t0 es la función impulso unitario que ocurre en t = t0

Veamos un ejemplo de aplicación.Calcular y graficar la derivada del pulso rectangular de la figura # 26-a

Figura #26Pulso rectangular y su derivada

Solución: La ecuación de la función pulso rectangular es:

f(t) = A.u ( t ) - A.u ( t - t0 )

aplicando propiedad de derivada al escalón tenemos:

El resultado es un impulso en el origen de área A apuntando hacia arriba mas otro impulso de área - A apuntando hacia abajo y ubicado en t = t0. Esto se aprecia en la figura # 26-b



3.3.5.- Función signo.La función signo se define de la siguiente manera:

(Ecuación 44)

De la ecuación anterior se puede concluir que la función sgnt (t) está constituida por dos niveles: - 1 desde - a cero y +1 desde cero a + , observándose el salto abrupto en cero.La figura # 25 muestra la gráfica de la función signo.

Figura #25Representación gráfica función sgnt.

También se puede observar que la función signo se puede obtener a partir de la función escalón unitario como:

sgnt= 2.u(t) - 1 (Ecuación 45)

En la figura # 26 se muestra gráficamente como se puede obtener la función signo a partir de una función constante y una función escalón.La amplitud de la función escalón es 2, su ecuación f1(t) = 2u(t). La otra función es una función constante dada por f2(t) = -1.Si se define:

f(t) = f1(t) + f2(t)

entonces tenemos:f(t) = 2 u(t) - 1

la cual coincide con la ecuación (45).

4.- Producto integral o convolución de señales.

La operación matemática conocida como convolución posee una alta clasificación entre las herramientas analíticas usadas por los ingenieros en comunicaciones. Por una razón, es un buen



modelo de los procesos físicos que existen en un sistema lineal; por otra parte, nos ayuda a comprender las relaciones entre los dominios del tiempo y de la frecuencia.

4.1.- Definición de producto integral o convolución.

La convolución de dos funciones de la misma variable, digamos v(t) y w(t), se define por

(Ecuación 46)

donde v(t)*w(t) denota la operación de convolución.

Figura #26Obtención de la función sgnt a partir

de la función escalón y una función constante.

En la ecuación (46) se observa que la variable independiente es t, así como en las funciones que van a ser tratadas con este procedimiento; la integración también se lleva a cabo con respecto a una variable muda ( la variable “x” en la ecuación (46) ) y t es una constante en cuanto a la integración se refiere.Si las dos funciones son continuas en el tiempo, el cálculo de v(t)*w(t) se determina con una integración ordinaria de la ecuación (46). Sin embargo, en muchas ocasiones la convolución involucra funciones continuas por tramos en cuyo caso, es más conveniente operar con la convolución en forma gráfica. Este procedimiento se mostrará más adelante.

4.2.- Leyes del producto integral o convolución.4.2.a.- Ley conmutativa.Sean f1(t) y f2(t) dos funciones continuas o continuas por tramos, entonces se establece que

f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) (Ecuación 47)Análisis de Sistemas 27


4.2.b.- Ley asociativa.La ley asociativa para la convolución establece que

[f1(t) * f2(t)] * f3(t) = f1(t) * [ f2(t) * f3(t)] (Ecuación 48)

4.2.c.- Ley distributiva.La ley distributiva para la convolución establece que

f1(t) *[ f2(t)] + f3(t)] = f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)] (Ecuación 49)

A continuación se mencionan algunos resultados importantes que involucran la convolución con funciones impulso.

Problema:Demostrar que la convolución de una función f(t) con una función impulso unitario conduce a la misma función f(t).Solución:Según la definición de función impulso se tiene:

(Ecuación 50)

Si a la ecuación (50) le aplicamos la ley conmutativa de la ecuación (47) se tiene

(Ecuación 51)

donde se ha aplicado la propiedad de muestreo de la función impulso.Del resultado de la ecuación (51) se puede concluir que

(Ecuación 52)

La ecuación (51) establece que el producto integral de una función continua f(t) con una función impulso es la misma función f(t).

Problema:Demostrar que

(Ecuación 53)Solución:Según la definición de convolución se tiene

(Ecuación 54)



Si a la ecuación (54), le aplicamos la propiedad del muestreo de la función impulso, tenemos:

(Ecuación 55)

Problema: Demostrar que

(Ecuación 56)Solución:Al igual que en el problema anterior, se puede establecer que

Aplicando propiedad de muestreo, queda

(Ecuación 57)

Problema:Hallar la convolución entre las funciones

Solución:Aplicando la definición de la convolución expresada en la ecuación (46), tenemos

Sustituyendo en la ecuación anterior la función f(x), la cual se obtiene de la función f(t) sustituyendo “x” por “t” y hallando la función g(x) desplazada en “t”, se llega a la ecuación siguiente:

Como se va a integrar respecto a “x”, se puede obtener e-at como factor común y tener el resultado que se muestra a continuación



4.3.- Producto integral de funciones con soluciones gráficas.

Según se pudo observar en la definición de la convolución, se debe hallar el producto integral de las dos funciones desde - hasta +. Por esta razón, es necesario que se establezca un procedimiento que permita hallar la convolución de dos funciones gráficamente, dejando una de ellas fija e ir desplazando la otra a lo largo del eje horizontal desde - hasta +.A continuación se procederá a dar un procedimiento para hallar la solución de la convolución de dos funciones cuyas gráficas son continuas por intervalos.Supongamos que se desea hallar la convolución de dos funciones f(t) y g(t) cuyas gráficas están dadas en la figura #27 . Como se puede observar las dos funciones están constituidas por pulsos rectangulares de duración dada.Para hallar la solución de este problemas, enumeramos varios pasos para facilitar su comprensión.PASO #1Aplicar la definición de la convolución dada por la ecuación (46), esto es, para las funciones dadas:

Figura #27Representación gráfica de la funciones f(t) y g(t)

las cuales se van a convolucionar.

PASO #2:Según el integrando de la ecuación del paso #1, se debe realizar un cambio de variable. Se obtienen f(x) y g(x). Se cambian directamente las variables en las ecuaciones de cada una de las funciones, obteniéndose las gráficas de la figura # 28, en la cual se ha cambiado la variable “t” por “x”.



Figura #28Representación gráfica de la funciones f(x) y g(x)

(cambio de la variable “t” por “x”)

PASO #3:Dado que una de las gráficas debe ser desplazada y la otra mantenerse fija, establecemos que la función a ser desplazada es la g(x). Bajo esta consideración se halla la transpuesta de la función g(x), lo cual se obtiene cambiando “ x” por “ - x ” .En la gráfica de la figura #29 se muestra la función transpuesta de g(x) .

PASO #4:Dar un desplazamiento genérico “t “ a la función g(-x), con lo cual se obtiene la función g(t-x). La representación de la función g(t-x) se muestra en la figura #30. Observe en la gráfica de g(t-x), que se ha dado un desplazamiento “t” y se ha denotado el lado derecho del pulso rectangular con la letra “ t ” y el izquierdo como “ t - 2 ”.

Figura #29Gráfica de la funciones f(x) y g(-x)

Esta letra representa la variable “t” que tomará distintos valores entre - y +. Al darle valores a “t”, lo que se está haciendo es desplazar la gráfica de g(t-x) en el eje “t”. Los valores que se dan a “t” corresponden a intervalos bien definidos y que pueden ser determinados de una manera muy sencilla. Si la gráfica de g(t-x) está totalmente a la izquierda de f(x) ( esto es, t -3), el producto integral es cero. Si el lado derecho de g(t-x) penetra por el lado izquierdo de f(x) de manera que se solapen ( t > -3) el producto integral será diferente de cero mientras se mantenga Análisis de Sistemas 31


dentro del rectángulo de la gráfica de f(x) (esto es, el producto integral será diferente de cero siempre que

Figura #30Desplazamiento de la gráfica de la función g(t-x)

halla solapamiento entre las dos gráficas) y hasta que el lado t-2 haya salido por el lado derecho de la gráfica de f(x). Una vez que el lado denotado como t-2 de g(t-x) supera el lado derecho de la gráfica de f(x), el producto integral se hace igual a cero.En los pasos sucesivos se realiza un análisis para cada uno de los intervalos.

PASO #5:Intervalo t<-3.Consideremos que la gráfica de g(t-x) se encuentra ubicada según la figura #31, esto es, para valores de t < -3 ( observe que la variable “t” está asociada con el lado derecho de la gráfica g(t-x) y es la que nos permite hacer el estudio para los diferentes intervalos).Bajo la consideración anterior, el producto integral es cero, debido a que f(x) vale cero para t < -3, esto se puede escribir:

para t<-3

para t<-3



Figura #31Gráfica de la funciones f(x) y g(t-x)

para un desplazamiento de t<-3

PASO #6:Intervalo -3 t<-1.El análisis para este intervalo es, según se muestra en la figura # 32. Observe que ahora el valor de “t” se encuentra definido como -3 t < -1.El valor de la convolución para este intervalo es

Observe que los límites de la integral corresponden al área común para ambas gráficas de las funciones.El valor de la convolución para este intervalo es:

para -3 t < -1.

PASO #7:Intervalo -1 t<2.Este intervalo se pudo obviar si se consideraba todo el intervalo en que se solapan las dos gráficas, es decir desde -3 hasta 2, ya que en este intervalo el rectángulo de la gráfica de g(t-x) se encuentra dentro de la gráfica de f(x). Sin embargo, para facilitar la división del trabajo por intervalos, fue considerado.En este caso la gráfica de g(t-x) se desplaza con valores de “t” en -1 t<2. En la figura # 33 se muestran las gráficas de f(t) y g(t-x).




para un desplazamiento de -3 t <-1

El cálculo de la convolución está dado por:

p3(t) = 2.A.B para -3 t < -1.


para un desplazamiento de -1 t <2

PASO #8:Intervalo 2 t < 4.Para este intervalo el lado derecho de la gráfica de g(t-x) está a la derecha del rectángulo de la gráfica de f(x), es decir el rectángulo de g(t-x) va saliendo del rectángulo de f(x).Esta situación se muestra en la figura # 34.



p4(t) = A.B.(4-t) para 2 t < 4


para un desplazamiento de 2 t < 4

PASO #9:Intervalo t 4.Para este intervalo el lado izquierdo de la gráfica de g(t-x) está a la derecha del rectángulo de la gráfica de f(x), es decir el rectángulo de g(t-x) ha salido totalmente del rectángulo de f(x). Ya que las gráficas no se solapan, el producto integral o convolución es igual a cero.Esta situación se muestra en la figura # 35.

p4(t) = 0 para t > 4

PASO #9:La solución total del problema se halla por medio de la suma de todos los productos integrales parciales encontrados para cada uno de los intervalos. Considerando esto, la solución está dada por:

p1(t) = 0 t < -3p2(t) = A.B.( t + 3 ) -3 t -1p3(t) = 2.A.B -1 t 2p4(t) = A.B.( 4 - t ) 2 t 4p5(t) = 0 t > 4



Figura #35Gráfica de la funciones f(x) y g(t-x) para un desplazamiento de t > 4.

Debe observarse que los resultados son funciones de la variable “t”, lo cual permite graficar en el tiempo el resultado de la convolución de las gráficas de f(t) y g(t). La gráfica de todos estos productos parciales se muestra en la figura # 36.

Figura #36Gráfica de la función p(t)

Ejercicio propuesto: hallar la convolución de la funciones f1(t) y f2(t) cuyas gráficas se muestran en la figura #37.

Figura #37Gráficas de las funciones f1(t) y f2(t)

correspondientes al ejercicio propuesto



5.- Análisis de formas de ondas.

Dentro las señales de nuestro interés existe una clasificación de mucha utilidad y que reciben como nombre señales periódicas. Una señal periódica es aquella se repite cada cierto tiempo “T”. Asociados a estas formas de ondas existen varios parámetros que son de interés en el análisis de sistemas y proyectos. Dentro de estos parámetros se pueden mencionar el valor promedio ( también conocido como valor medio), el valor eficaz, el valor pico-pico, el valor pico, el periodo, la frecuencia, etc.A continuación analizaremos algunos de los parámetros mencionados anteriormente.

5.1.- Señal periódica y los parámetros asociados a ella.Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos, donde T se nombra como periodo. En la figura # 37 se muestra una señal periódica, f(t) = seno (wt). El valor de f(t) en un instante dado t1 es el mismo en t1+T. La frecuencia de la señal denota el numero de ciclos de señal que ocurren en un instante de tiempo, normalmente se utiliza un segundo y la unidad de medida de la misma se llama Hertz.La relación entre la frecuencia y el periodo es:

(Ecuación 57)

La amplitud máxima de la señal se denota como Vm, y comúnmente se hace mención a ésta como tensión pico.

Vpico = Vm (Ecuación 58)

El valor pico-pico es el valor que existe entre Vm y -Vm, es decir la tensión pico-pico es igual a dos veces la tensión pico.

Vpico =2.Vm (Ecuación 59)

Figura #37Gráfica de una función periódica f(t) = seno(wt)

5.2.- Valor promedio de una señal.El valor promedio o medio esta dado por la ecuación (60)


f(t)

wt

Vm

-Vm

T


(Ecuación 60)

El valor medio de una señal alterna (sin nivel DC), es la media aritmética de todos los valores instantáneos comprendidos en un determinado intervalo; por lo tanto, el valor medio de un periodo completo es cero, ya que la señal en el semiperíodo positivo es idéntica en el semiperíodo negativo pero de signo opuesto. La situación es totalmente contraria si la señal no es alterna, es decir posee un desplazamiento respecto al eje horizontal.

5.3.- Valor eficaz de una señal.El valor eficaz de una señal se puede determinar de la siguiente manera:

(Ecuación 61)El valor obtenido de la ecuación (61) también se denota como raíz cuadrática media (RMS).El valor eficaz de una señal alterna senoidal, se define como el equivalente al de una señal constante, cuando aplicadas ambas señales a una misma resistencia durante un periodo igual de tiempo desarrollan la misma cantidad de calor.


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