Analisis de Fourier Continuo

7/24/2019 Analisis de Fourier Continuo

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Análisis de Fourier para

señales continuas

Francisco Carlos Calderón

PUJ 2010



Objetivos

Representar señales continuas como suma

de exponenciales complejas.

Definir la transformada de fourier de tiempo

continuo estudiar al!unas de sus

propiedades.

"nali#ar señales $%&' continuos utili#ando

la transformada de Fourier.



Representaciones ortogonales de

señales• Los ortogonales y ortonormales, producen desarrollos en

series de señales simples.

• Donde

∑∞

− ∞=

=i

ii t ct x !! φ

≠=

==

−==

∫ ∑∫

∫ ∞

− ∞= ik

ik E dt t t cdt t t x

idt t t x E

c

i

t

t

k

i

ii

t

t

k

t

t

i

i

i

,"

,!!!!

,...#,",#!...,,!!#

$

#

$

#

$

#

%%

%

φ φ φ

φ

Desarrollo en serie de Fourier !enerali#ado de x(t)Ci son los coeficientes de Fourier con respecto al conjunto ortonormal !t iφ



Desarrollo en serie de &ourier

mediante e'ponenciales complejas• (na señal peri)dica

cumple si e'iste un valor

* y unos n+#, $, -,/

para los cuales0

• 1j0 Las &unciones seno,

coseno, e'ponencialcompleja y constante.

!! nT t xt x +=

+

==

T

nt j

T

nt et T

nt j

n

π π φ

π $

sin$

cos!$




mediante e'ponenciales complejas• Reempla2ando en el desarrollo en series de&ourier generali2ado0

• 3omo cada uno de los t4rminos de la serietiene periodo * si su suma converge estatendrá periodo *

∑

∞=

− ∞==

n

n

T

nt j

n

ect xπ $

!

,...#,",#!...,,!#

"

$

−== ∫ −

ndt et xT

cT

T

nt j

n

π



Desarrollo en serie de fourier

mediante exponenciales complejas

{ } { }∑

∑

∑

∑∑

∑∑

∑

∞=

=

∞=

=

∞=

=

−

∞=

=

∞=

=

−

−

∞=

=

−=

− ∞=

∞=

− ∞=

−+=

+=

++=

++=

++=

=

n

n

nn

n

n

T

nt j

n

n

n

T

nt j

nT

nt j

n

n

n

T

nt j

n

n

n

T

t n j

n

m

m

T

mt j

m

m

m

T

mt j

m

n

n

T

nt j

n

T

nt senc

T

nt cc

ecc

ececc

ececc

ececc

ect x

#

"

#

$

"

#

$$

%

"

#

$

#

!$

"

#

$# $

"

$

$5m

$cosRe$

Re$

!

π π

π

π π

π π

π π

π

nnnn

nn

T

T

t n j

n

T

T

nt j

n

cccc

cc

dt et xT

c

dt et xT

c

−−

−

−−

−

− ∠=∠∧=

=

=

=

∫

∫

tantolo6or

!#

!#

%

"

!$

%

"

$

π

π

+

+

T

nt jsen

T

nt c jc

ec

nn

T

nt j

n

π π

π

$$cos/5m/!ReRe

Re$




mediante e'ponenciales complejas

{ } { }

{ }

{ } ∫ ∫

∫ ∑

∑

=−=

==

=

++=

−+=

∞=

=

∞=

=

T

nn

T

nn

T

n

n nn

n

n

nn

dt T

nt sent x

T cb

dt T

nt t x

T ca

dt t xT

a

T

nt senb

T

nt aat x

T

nt senc

T

nt cct x

"

"

"

"

#"

#

"

$!

$5m$

$cos!

$Re$

!#

$$cos!

$5m

$cosRe$!

π

π

π π

π π

Desarrollo de fourieren series

tri!onom*tricas para

la señal periódica x(t)




mediante e'ponenciales complejas

1n t4rminos del

m)dulo y la &ase

nn

nn

n

n

nn

n

n

nn

n

n

T

nt j

n

c

c A

T

nt Act x

cT nt cct x

ecct x

∠==

++=

∠++=

+=

∑

∑

∑

∞=

=

∞=

=

∞=

=

φ

φ π

π

π

$

$cos!

$cos$!

Re$!

#

"

#

"

#

$

"



3ondiciones de Diric7let

( ) ∞<

∫ T

dt t x

( ) #",#

≤<= t

t

t x

+jemplo

,o cumple 1

Condición 1.

x(t) de-e ser a-solutamente inte!ra-le

so-re cualuier periodo.

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0




Condición 2.

x(t) de-e tener un n/mero finito de

mximos mnimos durante

cualuier periodo

( ) #",$

≤<

= t

t sent x π

,o cumple 2 pero cumple 1

+jemplo

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1-1

- 0 .8

- 0 .6

- 0 .4

- 0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1




Condición 3.

x(t) de-e tener un n/mero finito de

discontinuidades finitas en un inter3alo finito de

tiempo.

( )

<≤

<≤

<≤

<≤

<≤

=

...

-$8##98#,#9

#

#98#:8#,:#

:8#;8#,;

#

;8#$8#,$

#

$8#",#

etc

t

t

t

t

t

t x

. Cumple 1 4cumple 25 no cumple 6

+jemplo



6ropiedades de la <erie 3ontinua de

Fourier.• <uponiendo =ue '!t es una señal peri)dica,

de &recuencia &undamental0

• > con los coe&icientes de la serie de &ourier

notados como0

k

FS

ct x ↔!

T π ω $" =




Fourier.• Linealidad:

• Desplazamiento de tiempo:

• Inversión de tiempo.

k

FS

at x ↔!

( ) ( ) ( ) k k k

FS Bb Aact Byt Axt z += →←+=

( ) k

t jk FS cet t x ""

"

ω − →←−

( ) k

FS ct x − →←−

k

FS

bt y ↔!




Fourier.• Escalamiento en tiempo:

• Multiplicación:

k

FS

at x ↔!

( ) ( )k

FS j

k ct ect x →←= ∑ "ω α α

( ) ( ) ∑+ ∞

− ∞=−= →←

l

l k l k

FS

bact yt x k

FS

bt y ↔!




Fourier.• Conjugación y simetría:

• Relación de arseval para se!ales

periódicas continuas.

( ) ∗−

∗ →← k

FS ct x

nnnn

nn

T

T

t n j

n

T

T

nt j

n

cccc

cc

dt et xT

c

dt et xT

c

−−

−

−−

−

− ∠=∠∧=

=

=

=

∫

∫

tantolo6or

!#

!#

%

"

!$

%

"

$

π

π

( ) ∑∫ + ∞

− ∞=

=k

k

T

adt t xT

$$#



Re&erencias

Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.S y Srinath. M. 2ª edición cap 2

Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1

Apuntes de clase ro!. "airo #urtado $" Apuntes de clase ro!. "uli%n &uiro'a $"

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