Analise Combinatoria e Probabilidade Augusto Cesar

5/7/2018 Analise Combinatoria e Probabilidade Augusto Cesar

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Analise Cornbinat6ria ePro babilidadeAugusto Cesar de Oliveira MorgadoJoao Bosco Pitombeira de Carvalho

Paulo Cesar Pinto CarvalhoPedro Fernandez

-" : "_CD- . . . . .- I I !. . . ..- - 0


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Corit.etrdo1. Introducao1.1-0 que e Combinat6ria?1.2 Um Pouco de Hist6ria1.3 Conjuntos

11210

AQUISICA~R ~MPRAA D Q U IR ID O D E c:;-dP'f , . . . , _ , 2. Cornbinacoes e Perrnutacoes 172.1 Introd ucao 172.2 Perrnutacces Simples 272.3 Cornbinacoes Simples 312.4 Perrnutacoes Circulares 412.5 Perrnutacoes de Elementosnem Todos Distintos 452.6 Combinacoes Completas 48

3. Outros Metodos de Contagem 563.1 0 Prindpio da lnclusao-Exclusao 563.2 Perrnutacoes Ca6ticas 683.3 Os Lemas de Kaplansky 723.4 0 Princlpio da Reflexao 773.5 0 principio de Dirichlet 814. Niimeros Binomiais 884.1 0 Triangulo de Pascal 884.2 0 Binornio de Newton 1044.3 Polinomio de Leibniz 1145. Probabilidade 1185.1 lntroducao 1185.2 Espaco Amostral e Probabilidades de Laplace 1195.3 Espacos de Probabilidade 1255.4 Probabilidades Condicionais 1405.5 A Distribuicao Binomial 165

7 8 F E V . 2 0 0 0P R E ~ C ~ c..-oR E G I S I R O 0:~ti- , 1 - , ~ AD A T A D O ~ E G IS m O j g y ~~_ (J o o


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Apendice 1Apendice 2Apendice 3Respostas dos ExerciciosBibliografia

170175178180186

P'refac io

Este texto foi escrito como parte de um projeto de treina-mento de professores de Maternatica do 2 grau, financiado pelaFundacao VITAE, e iniciado no Rio de Janeiro, ern janeiro de1991. Aproveitamos para agradecer a VITAE por esta iniciativa,

A Analise Cornbinatoria tern sido frequentemente indicadapor professores do 2 Q grau como sendo a parte da Matematicamais dificil de ensinar.

Apesar de repleta de problemas capazes de motivar os alunos,e considerada uma disciplina complicada, em que os alunos terndificuldade de encontrar a formula correta para cada problema,Neste texto procuramos resolver problemas de eontagem atravesdo uso de alguns principios fundamentais, evitando, sernpre quepossivel, reeorrer ao uso de formulas,o livro incorpora a experiencia dos autores em ensinar AnaliseCornbinatoria a alunos de 2 grau, especialmente por parte doprimeiro autor,Rio de Janeiro, marco de 1991.

A ugusto Cesar de Oliveira MorgadoJoao Bosco Pitombeira de CarvalhoPaulo Cezar Pinto CarvalhoPedro Fernandez


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1. Lnt ro ducao

1.1 0 que e Combinat6ria ?o que e Analise Cornbinatoria ou simplesmente Combinatoria?A maior parte dos alunos do 2 grau responderia que ela e 0 es-tudo das combinacoes, arranjos e permutacoes, Isso no entanto euma resposta parcial pois, embora combinacoes, arranjos e per-mutacoes facam parte da Analise Combinatoria, sao conceitosque permitem resolver urn tipo de problemas de Analise Com-binatoria: os de contagem de certos tipos de subconjuntos de urnconjunto finito, sem que seja necessario enumerar seus elemen-tos. No entanto, a Analise Cornbinatoria trata de varies outrostipos de problemas e dispoe, alem das combinacoes, arranjos eperrnutacoes, de outras tecnicas para ataca-los: 0 principio da in-clusao-exclusao, 0 principio das gavetas de Dirichlet, as funcoesgeradoras, a teoria de Ramsey sao exemplos de tecnicas poderosasde Analise Combinatoria, Pelo menos uma delas, 0 principio dasgavetas de Dirichlet, e mais simples ou pelo menos tao simplesquanta 0 estudo das cornbinacoes, arranjos e perrnutacoes.

De maneira mais geral, podemos dizer que a Analise Com-binatoria e a parte daMatematica que analisa estruturas e relacoesdiscret as.

Dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em


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2 Introd u~ao Cap.I Cap.l Introdu~ao 3

Analise Combinatoria sao: torno de 300 a.C. 0 triangulo de Pascal era eonhecido por ChuShih-Chieh, na China, (em torno de 1300) e antes disso peloshindus e arabes. 0matematico hindu Baskhara (111-1-1185?),conheeido geralmente pela "formula de Baskhara" para a solucaode equacoes do 2Qgrau, sabia caleular 0 numero de permutacoes,de combinacoes e de arranjos de n objetos. 0 mesmo aconte-ceu com 0matematico e filosofo religoso frances Levi ben Gerson(1288-1341), que nasceu e trabalhou no sul da Franca, e que, entreoutras coisas, tentou demonstrar 0 5Q Postulado de Euclides. 0nome coeficiente binomial foi introduzido mais tarde pOI'MichaelStifel (1486'1-1567), que mostrou, em torno de 1550, como calcu-lar (1 + z)" a partir do desenvolvimento de (1 + x)n-l. Sabemostarnbem que 0maternatico arabe Al-Karaji (fins do seculo X) co-nhecia a lei de formacao dos elementos do triangulo de Pascal,

CP+l - Cp+l CPn+l - n + -'n

1) Dernonstrar a existencia de subconjuntos de elementos deurn conjunto finito dado e que satisfazem certas condicoes

2) Contar ou classifiear os subconjuntos de urn conjunto finitoe que satisfazem eertas condicoes dadas.Embora aAnalise Combinatoria disponha de tecnicas geraisque permitem atacar certos tipos de problemas, e verdade que a

solucao de urn problema combinatoric cxige quase sempre enge-nhosidade e a compreensao plena da situacao descrita pela pro-blema. Esse c urn dos encantos desta parte da matematica, emque problemas faceis de enunciar revelam-se por vezes dificeis,exigindo uma alta dose de criatividade para sua solucao.

POI' que privilegiar 0 estudo das cornbinacoes, arranjos eperrnutacoes em um primeiro curso de Analise Corhbinatoria?

Em prirneiro lugar, entre os varies tipos de "mirneros paracontagem" da Analise Combinatoria, eles sao certamente os maissimples e de uso mais amplo. Alern disso, eles permitem resolveruma grande quantidade de problemas de Analise Cornbinatori a.Outra razao para seu estudo e a aplicabilidade desses numerosa problemas de probabilidades finitas, urn campo de aplicacaoimportantc da Analise Combinatoria.

POI'outro lado, se a aprendizagem destes conceit os se fazde maneira mecanica, limitando-se a emprega-los em situacoespadronizadas, sem procurar habitual' 0 aluno com a analise cuida-dosa de cada problema, cria-se a impressao de que a Analise Com-binatoria e somente urn jogo de formulas cornplicadas.

o primeiro aparccimento do triangulo de Pascal no Ocidente foino frontispicio de um livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nic-colo Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os elementos dotriangulo de Pascal com as potencias de (x + y) . Pascal (1623-1662) publicou urn tratado em 1654 mostrando como utiliza-lospara achar os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n . JaimeBernoulli (1654-1705), em seu Ars Conjectandi, de 1713, usou ainterpretacao de Pascal para demonstrar que

1.2 Urn pouco de Hist6ria.Asegunda parte deste livro de Jaime. Bernoulli c dedicada it teoriadas cornbinacoes e perrnutacoes.

Isaac Newton (1646-1727) most rou como calcular direta-mente (1 + x}n sem antes calcular (1 + x)n-l. Ele.mostrou queeada coeficiente pode ser deterrninado, usando 0 antcriqr, pelaformuladesenvolvimcnto do binornio (1 + x)1 ' esta entre os primeirosproblemas estudados ligados it Analise Combinatori a. 0 caso

n = 2 ja pode ser _encontrado nos Elementos de Euclides, em ( n ) n - T ( n )r+1 =r+1 T'


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4 Introd u o ; : a o Cap.l Cap.l Int rodu o r a o .5

(x+v+" '+z )n,

A Analise Combinat6ria tem tido urn crescimento explosivonas ultirnas decadas. A import ancia de problemas de enumeracaotern rescido enormement.e, devido a necessidades em teoria dosgrafos, em analise de algoritmos, etc. Muitos problemas impor-tantes po dern ser mo delados matematicamente como problemasde teoria dos grafos (problemas de pesquisa operacional, de ar-mazenamento de informacoes em bancos de dados nos cornputa-dores, e tambem problemas de maternatica "pura", como 0 famosoproblema das 4 . cores).

Em verdade, Newton foi alem disso, e rnostrou como de-senvolver (x + y ) 1 ' , onde r e um numero racional, obtendo nesteeaso urn desenvolvimento em serie infinita.

Uma outra direcao de generalizacao do teorema do binornioe considerar potencies da forma

o chamado tearema mutinomial, que foi descoberto por Leibniz(1646-1716) e demonst rado tarnbem par Johann Bernoulli (1667-1748). Ja em 19370 maternatico hungaro-americano George Polya(1887-1985) introduziu nova e importante tecnica de enumeracao ,

que se tern prest ado as mais variadas aplicacoes, perrnitindo tratar,de maneira unificada, desde a enumeracao do numero de isomerosde uma substancia, ate a enumeracao de grafos, principalmentearvores, resolvendo problemas que ate ent ao eram atacados so-mente por metodos "ad hoe". Como dissc Polya, sua teoria euma maneira de enumerar configuracoes nao- cquivalentes rela-tivamente a urn grupo de permutacoes dado. Urn exemplo sim-ples de aplicacao da teoria do Polya e 0 de determinar a numerode tctraedros regulares "diferentes" com faces pintadas com duascores, preto e branco, por exernplo, Po demos tel" urn tetraedrotodo proto, outro todo branco, urn com uma [ace branca e asoutras pretas, etc. Dais tetraedros sao considerados "diferentes"se urn deles nao pode SCI' obtido do outro por meio de rot acoes.

Abraham De Moivrc (1667-1754), Daniel Bernoulli (1700-1782) e Jacques Phillipc Marie Binet (1786-1856) mostraram comoaehar diretamente as mirneros de Fibonacci", sery ser necessariocalcular todos eles, ate 0 que desejamos. Para isso, De Moivreutilizou pela primeira vez uma teenica extremamente poderosa,a das funcoes geradoras. Esta tecnica, muito util para estudarsucessoes recorrentes, foi bastante desenvolvida par Euler (1707-1783), em seu livro classico lntroductio in Analysin lnfinitorum,onde ele a utiliza para atacar 0 problema das particocs de urninteiro. 0 interesse de Euler par este problema surgiu devido auma pergunta que lhe foi feita pelo matematico frances PhillipeNaude, que trabalhava em Berlim , em uma carta, na qual, entreoutras coisas, perguntava de quantas maneiras urn numero podeser eserito como soma de inteiros positivos dist intos. Esta per-gunta, prontamente respondida pOI' Euler, foi a origem da "teo-ria das particoes" au "partitio numerorum", eomo escreveu Euler.Mas suas contribuicoes a Analise Combinat6ria nao se limitaram aisso, Varias obras suas, muitas delas sobre probabilidades, contemresultados importantes da Analise Combinatoria, Em particular,devemos a ele 0enuneiado e a solucao do Problema das Sete Pontesde Konigsberg, um l.eorema da Teoria das Gra/os, parte muito im-portante, atualmente, da Analise Combinatoria.

"Ptb onecct. t.ambdm conhectdc par Leona.rdo de Pts.a < 1175?-1250?)

Out.ra tcoria importante de Cornbinatoria foi criada pelo16gico ingles F. P. Ramsey (1903-1930); ela garante a existencia decertas configuracoes. Urn dos exemplos mais simples do chamadoteorema de Ramsey afirma que se tivermos no plano um eonjuntode n pontes, com n .:::::, no qual nao ha tres pontes colineares,entao, se unirmos todos os pontos dais a dois, usando duas coresdistintas, par exernplo preto e branco, para tracar as segmentosde ret.a que unirao as pontos, entao fon;,:osarnente teremos for-mado urn triangulo cujos lados sao todos da mesma cor (preto au11'an('.0).


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6 lntro ducjic Cap.I Cap.l Introd us;ao 7Diz-se geralmente que a Teoria das Probahilidades originou-

se com Blaise Pascal (162::J-Hi62) e Pierre de Fermat (1601-1665),devido a curiosidade de um cavalheiro, 0 Chevalier de M e r e , jo-gador apaixonado , que em cart as discutiu com Pascal problemasrelativos a probabilidade de ganhar ern certo jogos de cartas. Des-pertado seu interesse pelo assunto, Pascal correspondeu-se comFermat sobre 0 que hoje charnariamos de probabilidades finitas.

Mas ern verdade a teoria elemental' das probabilidadcs jatinha sido objeto de atencao bern antes. Levando em conta 0fascinio que os jogos de azar sempre exerceram sobre os homens,estimulando-os a achar maneiras seguras de ganhar, nao e de es-pantar que muito ccdo problemas relativos a jogos de cartas oude dados tenham atraido a atencao de pessoas com mentes maisespeculativas. Ja no. Divino. Comedic, de Dante Alighieri (1265-1321), hi uma refere~cia a probabil,i(~ade~ em ~o;o~ ~e dados. Emverdade, 0 desenvolvirnento da Analise Combinat.oria deve-se emgrande parte a necessidade de resolver problemas de eontagemoriginados na teoria das probabilidades,

A prirneira obra conhecida em que se estudam as proba-bilidades e 0 livro De Ludo Alea e, (Sa bre os jogo.~ de A za r) , deJeronimo Cardano (1501- 1576}) publicado em 1663. E possivelque 0 interesse de Cardano pelo assunto se deva a sua paixao pelosjogos de azar. Nas palavras de Isac Todhunter, ern sua ll isioriado. Teorui Moiemdiica do. Probabi lidade, "0 livro pode ser berndescrito como urn manual para jogadores. Contcm muito sobre jo-gos, com descricoes de jogos e com as preocupacoes que se deve tel"para se proteger de adversaries dispostos a trapacear; a discussaorelativa as probabilidades sao parte pequena de sell tratado". Umatraducao para 0 ingles moderno do livro de Cardano encontra-seno livro Cardano, the Gam.bling Scholar, de Oystcn Ore.

Na parte dedicada a probabilidade Cardano mostra, entreoutras coisas, de quantas rnaneiras podemos obter um numero,lancando dois dados. Assim, por exemplo, 10 po de ser obtido de3 maneiras: 5 em cada dado, 6 no primeiro e I} no segundo, e 4 no

primeiro e 6 no segundo.Alern de Cardano, Johannes Kepler (1571-1630) fez algu-

mas observacocs sobre probabilidades, em urn livro publicado em1 606 (D e. Stella nova in pede Se1pentarii), em que est uda as dife-rentes opinioes sobre 0 apararecimento de uma estrela brilhanteem 1604.

Tarnbem Galilen (1564-1642) preocu pou-se com as pro ba-bilidades, estudando os jogos de dados, para responder a perguntade um amigo: Com tres dados, 0 numero 9 e 0 numero 10 podemser obtidos de seis maneiras distintas, cada urn deles, No entanto ,a experiencia mostra que 10 e obt ido mais frequentemente do que9. Como explicar isso? Galileu estudou cuidadosamente as pro-babilidades envolvidas c rnostrou, corret amentc que, de 216 casospossfveis, 27 sao favoraveis ao aparccimento do mimero 10 e 2 , 1 )sao favoraveis 0.0 aparecimento do numero 9.

Malgrado investigacoes destes precursores, a Teoria dasProbabilidades so comcca a se desenvolvcr realrnente a partir dostrabalhos de Pascal. Ja vimos como Pascal estudou 0 trianguloaritrnetico que leva sell nome. Ele 0 aplicou 0.0 estudo dos jogosde cart.as.

Christian Huygens (1629-1695) publicou em 16570 primeirotratado de Teoria das Probabilidades, 0 De Raiiociniis in LudoAleae.

A Teoria das Probabilidades nao despertou logo grande in-teresse entre os matematicos que se seguiram a Pascal e Fermat,os quais estavam at raidos pclas invest.igacoes relativas 0.0 calculo,criado por Newton e Leibnitz, No ent anto, perccbcu-se imedi-atamente a ut ilidade da Teoria das Probabilidades para estudarsitua


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8 I ntrod u


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10 Introd u"ao Cap.l Cap.l

tribuicoes a out.ras areas cia matcmatica, como a mecanica analit i-ca, onde atacou 0 problema da est abilidadc do sistema solar. Seusirurmeros trabalhos sobre as probabilidadcs forarn incorporadosem seu monumental Tratado Ane.litico das Probabilidades, ondesao discutidos inumeros problemas de probabilidades, intro duzi-das tecnicas poderosas, como a das funcoos geradoras, aproxi-macoes para probabilidades usando os metodos do calculo inte-gral, etc. Encontramos neste trabalho, em particular, a integral

Introduc;:ao 11

{I} representa 0 conjunto que tem como unico elemento 0numero1. Urn conjunto pode tambern ser deserito por uma propriedadeI T , comum a todos os seus elementos, e escreveremos

descreve 0 conjunto dos inteiros pares positivos. Usaremos 0simbolo #A para reprosentar 0 numero de elementos do conjuntoA, isto e, a cardinali dade de A.

Se todo elemento de um conjunto A e tarnbem elemento deum conjunto B, diremos que A e urn subcanjunio de B e escreve-remos sirnbolicarnente A c B. Se A c B mas existe urn elementob E B tal que b 1 . A, (b nao pertence a A), diremos que A e urnsubconjunto proprio de B. A Figura 1.1 ilustra esta situacao, Ob-serve que 0 conjunto vazio e subcanjunto de qualquer conjunto A.Com efeito, se isso nao fosse verdade, deveria haver urn elementox E tal que x 1 . A. 0 que f. impossivel,

Par exemp!o,

J .je- dt,relacionada com a Distribuicao Normal.

1.3 Conjuntos/

Certamente 0 leiLor desta monografia est a Iamiliarizado com osrudimentos da teoria dos conjuntos, Assim, 0 proposito destecapitulo e simples mente revisal' rapidamente essas nocoes basicasc, ao mesmo tempo, fixar a notacao que usaremos nos capitulosposteriores.

Letras mai usculas, como por exem plo A, B, ... ,Y, Z, in-dicarao conjuntos, A letra grega {1 (omega) representara 0 con-junto uruuersol em uma situacao determinada. Lct ras minusculasa, b, ... , y, z , w, indicarao elementos desses conj untos.

A relacao de pertencer sera indicada pela letra grega Ee esereveremos POl' exemplo, a E A. 0 conjunto vazio sera re-present.ado pela letra . Urn conjunto com lim numero rcduzidode elementos sera indicado simples mente listando seus elementos.PO" exernplo, 0 conjunto que consistc nos numcros 1, 2 e 3 serarepresent.ado por

A ={I, 2, :l};

A = {x I x tern a propriedade I T } .

A = {x I x -:::2k, l: = 1,2, ... }

.Q

Fig. 1.1


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12 Introd u~l:io Cap.l Cap.lDados dois conjuntos A e B indicaremos por A U B 0 con-

junto dos elementos que pertencem a A 011 a B, isto e, 0 conjuntodos elementos que pertencern a pelo menos urn dos conjuntos A eB; Estc eonjunto e o chamado unuio de A corn /J . Sirnbolicarnento,

Introd u~ao 13

A parte sornbreada cia Figura 1.3 ilustra a interseccao de A e B.

AU 13 = {w En I w E A Oll (.1. ,' E B}.1 \ parte sombreada da Figura 1.2 ilustra 0 conjunto ;1U B.

No caso de termos por exemplo tres conjuntos, A, B e C,a int.erseccao e representada por A n B n C:

n

Fig. 1.3

Fig. 1.2 A n ts n c-, {w E n I w E A e wEB ewE C}A uniao de trcs conjuntos A, B, C sera represent.ada por

AU B U C. parA interseccao de n conjuntos AI, A2, .. . ,An e representada

Au B Uc = { , - < . ! E n 1 ' - < . ' E A ou lA., ' E 1 3 ou w E C}. n A i .i=lMais geralmcntc, a uniao de n conjuntos 1 11 ,1 12 , . .. ,An P definida

analogamente e represent ada por Dizernos que dois conjuntos A p B sao disjuntos Sf:' An B =c p . Quando temos mais de d.ois conjuntos, dizernos que eles saodisjuntos quando forern disjuntos tornados :2 a 2. A Figura 1.4ilust ra 0 caso de tres conjuntos disjuntos.

11U A i .i=l

Dados dois eonjuntos A e B, definimos 0 conjunto inter-sec~(io de A (' B como 0 conjunto dos elementos que pertencemsimultaneamentc a A caB, ou seja,

An B .= {w En I w EA ewE H}.


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14 lntroducjio Cap.l Cap.l Introd Uo;:ao 1 i}

c chamado conjunto diferenra. de A e B, 6 represent ado geralmentepor A-B. A parte sombreada da Figura 1.6 most.ra a diferencade A c B.

Fig . 1 .4

Dados um conjunto A, charnaremos conjusito complementar de Ao conjunto dos elementos de n que nao pertencem a A. Simboli-camente

Fig . 1 .6Se B C A, a diferenca A - J J e cham ada dife1'enra propria.o Teroema 1, a scguir, lista as propriedades mais impor-

tanLes que relacionam as conccitos defmidos anteriormente.A parte sombreada da Figura 1.5 indica. 0 complementarde A. Teorema 1.

1. Para todo conjunto A c n, A U = A, A n ( p = .2. A C B sc 8 somente sc : A U B = B ..3. A c B se c somente se A nB = A.4. AU (B UC) (A U H) UC.5. A n ([3 nC) .....A n B) nc.6. A n (B UC) = (A n B) U (A nC).7. A U (B nC) = (A U B) n (A UC).8. A U _A C = ,0, A n A C =, c =0, n c = c p .9 (AC)C-A"A B C AC. -, C S8 e somentc Sf' B'


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1G Introd ucao Cap.l 2. Comb inacoes e Permuta~oescariesiano de A por B 0 conj unto do pares ordenados (a, / J ) , onde0. (~ urn lernen to de Jl c b e 11m elcmento d(, B. Simbolicament.e

A xB={( a ,b ) laEA ,i JER }.POl' exemplo. Sf:' A = {L:2} e B = {1, 2, 3}, rcsulta que

A x B - = { ( 1, 1), (1, :2), (1, : J ) , (2 , 1 ), (2, 2), ( : 2 , :3)}.o prod uto cartesiano de tres onj unlos e definido de forma

scmclhantc tornando ternos em Ingar de pares, Em gcral, sc tcmos11 onj u nt.os A 1 , A 2, ... , A 1), 0 pro du to cart.esiano A 1 X A 2 X ... XAn {~definido como 0 conjunto das H-lIpJas (II], 1t2, - an), ondc11.1 E A l' (l,2 E A2, ' , . ,(1.n E An -

A ultima no~;,:iiodest capitulo e a de part.icao de urn con-

2.1 Irrtroducao

junto.

Neste capitulo sao aprcsentadas as ferrarnentas basicas que nospermitem determinar a numero de elementos de conjuntos forma-dos de acordo com certas regras, sem que soja necessario enumerarseus elementos.

Deftrricao: Scj a A urn conjunto Iinito nao-vazio. Urna parliciiode A e uma familia de conjuutos A 1, A2, .. . ,A,I,;, todos nao-vazios,f:' tais que:

1) A1UA2 UAk=A2) AinAj-.1J se ii-:f.

A proeura por tccnicas de contagem esta diretamente vin-culada it historia da Maternatica e it forma pela qual as pessoastcm seu prirneiro contato com esta disciplina, A primeira U~cnicamaternatica aprendida par uma crianca e "cont ar". ou seja, enu-merar os elementos de urn conjunto de forma a determinar quantossao os seus elementos. As operacoes aritrneticas sao tarnbem mo-tivadas (c aprcndidas pelas criancas] atravcs de sua aplicacao aproblemas de eontagem.

POI' exemplo, a operacao de adicao e sernpre introduzidaem conexao com urn problema de eontagem:

On soj < - t . os conj untos A 1, A 2, . .. A k sao disj untos dais-a-dois (> sua uniao {> \: > conjunto A. Dizcmos tambem que A foiparlicioruido polos conjuntos A 1, A2, . . . , A k.


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Fig. 2.1A figura 2.1 ilustra urn principio basico de contagem, que po demoschamar de "Principio de Adicao":

Se A e B siio dois conjuntos disjuriios, rom p e q elementos,respectioamenie, eniiio A U B possui p + q elementos.

18 Ccmbinacees e Pe rmuta coes

A B

Cap,2 Cap.2 Combinao;:5es e Perrnutacces 19

Assim, no exemplo, para formal' urn casal devemos tomaras decisoes

dl : cscolha do homem;d2 : escolha da mulher,

Como d1 pode ser tomada de 3 maneiras e, depois disso, d2 podeSCI' tomada de 4 maneiras, 0 numero de maneiras de se formal' urncasal (isto e, de tomar as decisoes dl e d2) 6 3 x 4 = 12.

Note que 0uso do Principio de Multiplicacao permite obtero mirnero de elementos do eonjunto

AuB {hIml, lqrnz, hIm3, /l]mtl, hZnJ.l, h2nJ.2,h2nJ.3, hzrn4, h3nJ.l' h3m2, h3m3, h :3n .4 }

constituido por todos os casais possfveis, sem que seja nccessarioenumerar seus elementos.Exemplo 2.1: Para fazer uma viagcm Rio-S.Paulo-Rio, possousar como transporte 0 trern, 0 onibus ou 0 aviao, De quantosmodos posso escolher as transportes se nao desejo usar na volta 0mesmo meio de transporte usado no. ida?Soluciio: Ha 3 modos de escolher 0 transportc de ida. Depoisdisso, ha duas alternativas para a volta. A resposta e 3 x 2 = 6.o

A seguir apresentamos 0 "Principia da Multiplicacao" , que,ao lade do "Principio da Adicao", constitui a ferramenta basicapara resolver os problemas de contagem abordados a nivel de 2grau. Para mot.ivar tal principio, consideramos 0exemplo a seguir.

Nurna sala ha 3 homens e 4 mulheres. De quantos mo-dos e possivel selecionar urn casal homem-mulher? Chamando oshomens de Iq , tvz, h: 3 e as mulheres de nlI , nJ.2, m:3 , m4 e facil vel'que ha 4 casais nos quais 0 homem e lq, outros 4 nos quais 0homem e h2 c outros 4 nos quais 0 homem e h:3. 0numero decasais Cport anto 4 -I - 4 + 4 = 3 x 4 :- 12.

o exernp lo aeima ilustra 0 Principia Fundamental da Enu-memr;iio ou Principio da Multiplicar;iio, 0 qual diz:

Exemplo 2.2: Uma bandeira e formada pOI' quatro listras, quedevem ser coloridas usando-se apenas as eores amarelo, branco ecinza, nao devendo listras adjaeentes ter a mesma cor. Dc quantosmodos pone ser eolorida a bandeira'!Soluciio: A prirneira listra po de ser colorida de 3 mo dos, a se-gunda de 2 modos (nao podemos usar a cor empregada na prirnciralistra), a terceira de 2 modos (niio podemos usar a cor empregadana segunda Iistra) e a quart a de 2 rnodos (nao podemos usar a corempregada na terceira listra). A respost.a e 3 x 2 x 2 x 2 = 2-1. 0Excmplo 2.3: Quantos numcros naturals de tres algarismos dis-t intos (na base 10) existem?

Se uma decisiio dl pode ser tornado. de :z : moneiras e se, uma- vez tomada a . decisiio d1, a decisiio d2 puder ser tom ada de

y maneiras entiio 0 nsimero de maneiras de se tomarem asdecisoes dIe d2 e .Ty.


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20 Combinacoes e Per rmrtacces Cap.2 Cap.2 CombinacSes e Perrnutacoes 21

Soluciio: 0 primciro algarisrno pode ser escolhido de 9 modos(nao po dernos usar 0 zero!), 0 segundo algarismo de 9 rnodos (nanpo demos usar 0 algarismo utilizado anteriormente) e 0 tcrceirode H mo dos (nao podemos usar as dois algarisrnos .i a emprcgadosanteriorrnentc}. A rcsposta e 9 x I) x 8:_ 648. 0

A resposta e J x 3 x 4 x 4 48. o

E interessante observar no cxemplo 2.3 que se comecassemospelo t"i limo algarismo teriamos 10 rno dos de escolher 0 ul timo al-garisrno, 9 modes de cscolhcr 0pcmiltimo algarisrno (niio podcmosusar 0 algarismo ernpregado anteriormente] e ... e agora est.a-mos diant de urn problema: de quantos rnodos podemos escolhero prirneiro algarismo? A resposta e: depende! Se 0 algarismozero tiver sido usado em alguma das ultirnas casas, a respost.a e 8(nao po demos usar os dais algarisrnosj a ut ilizados anteriormente).Caso contrario, a respost.a e 7 (nao podemos usar nem 0zero nemos dois algarismos usados anteriormentc).

E claro que essa dificuldade nao teria ocorrirlo se t ivesscmoscomecado pela escolha do primeiro algarismo do numero , escolhaossa que c mais prohlernat.ica do que ados clois outros algarisrnos(0 primeiro algarismo nao pode ser zero!).

Exemplo 2.5: As places dos automovcis sao formadas por duasletras (J(, Y e tv inclusive) seguidas por quat ro algarismos. Quan-tas placas podcm ser formadas?S'Ol1U;iw: Cada letra pode ser escolhida de 26 modos e cada al-garismo de 10 rno dos distintos, A resposta c

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 6760000. 0Exemplo 2.6: Quantos sao os numeros naturais pares que scescrevern (na base 10) com t.res algarismos distintos?SolUlJio: 0 ultimo algarismo do numero po do ser escolhido de5 modos (0,2,4,6 ou 8). 0 primeiro algarisrno pock SCI' cscolhidode ... dependel So 0 zero foi usado como ultimo algarismo, aprimeiro algarismo pode ser eseolhido de $ ) mo dos (nan podemosusar 0 algarisrno ja crnpregado na ult irna asa}. Se a zero naofoi usado como ultimo algarisrno, a primeiro algarisrno so podeser escolhido de 8 rnodos (nao podemos usar nem 0 zero nem 0algarismo j a empregado na ult ima casa].

Dai a rccomendacao: Para veneer este impasse, t.emos duas alternatives:Pequenos diJi(:llldade.s aduulas cosiuma m transjormar-se emqrasules dijiculdades. Se alquma decisiio e mais complicadaque 1 1 . . ' 1 demnis, do. deuc BCT tomado. em primeiro luqar.

a) "abrir" 0problema em casos (que e a alternativa mais natural).Contamos separadamentc os numeros que tern zero como ultimoalgarismo e aqueles cujo ultimo algarismo e diferentc de zero. '

Exemplo 2.4: Quantos numeros naturais de 4 algarismos (nabase 10), que sejarn rnenores que 5000 e divisiveis pOl" 5, podemser forrnados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5'1

Terminando ern zero t.emos 1 modo de escolhcr 0 ultimoalgarisrno, 9 modos de escolher prirneiro e 8 mo dos de cscolhero do meio, num total de 1 x 9 x 8 =72 numcros,

(jltimo algarisrno -"Primeiro algarisrno -Segundo algarismo -Terceiro algarismo _

1 modo (tem que ser 5)3 modos (nao pode scr 5)4 modos4 modos

Terrninando em um algarismo difcrcnte de zero t.ernos 4modos de oscolhcr a ultimo algarismo (2,4,6 on tI), 8 modos decscolher 0primeiro algarismo (nao podemos usar nem o zero nema algarisrno ja usado na ultima casal e 8 modos de escolher 0 alga-risrno no meio [nao podemos usar as dais algarismos . i i i . cmprega-dos nas casas cxtrcmas). Logo, ternos 4 x tI x !- I = - 25G numeros

Soluciio: Temos:


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22 Combinacoes e Pe rrnuta coes Cap.2 Cap.2 Combinacoes e Permutao;:oes 23

terminados em urn algarismo diferente de zero. A respost.a e, por-tanto 72 I 256 = 328.

6. Quantos numeros de quatro digitos sao maiores que 2400 e:a) tern todos os digit os diferentes,h) nao tern digit os iguais a 3,5 ou 6.c) tern as propriedades a) e b) sirnultanearnente.

7. 0 conjunto A possui iJ elementos e 0 conj unto B possui 7elementos. Quantas sao as funcoes f: A ---7 B? Quantas sao asfuncoes injctoras f: A ---7 B?8. Quantos divisorcs naturais pOSSU l 0 numero :360? Quantossao pares?9. Quantos sao os nurneros naturais de 4 digitos que possuempelo menos dois digitos iguais?10. Quant.os subconjuntos possui um conjunto que tern 11 ele-mentos?

b) Iqnorar uma das resiricoes (que e . uma alternativa mais sofisti-cada). Ignorando 0 fato de zero nao poder ser primeiro algarismo,terfamos 5 modus de eseolher 0 ultimo algarisrno, 9 modos de es-colhcr 0 prirneiro e 8 modos de escolher 0 do meio , num total de5 x 8 x 9 = :~60 numeros. Esses 360 numerso induem nurneroscornccados por zero, que devem ser descontados. Comecando emzero Lemos 1 modo de escolher 0 primeiro algarismo (0), 4 modosde escolher 0 ultimo (2,4,6 ou 8) e 8 modos de escolher 0 do meio(nao podemos usar os dois algarismos ja empregados nas casasextremas), num total de 1 x 4 x 8 = 32 ruuneros, A resposta e ,port anto, 360 - 32 = 328 numeros,

E claro tamhem que poderiamos ter resolvido 0 problemadeterminando todos os mirneros de :3 algarisrnos distintos (9 x 9 x8 = 648) e abatendo os nurneros irnpares de :i algarismos distintos(5 na ultima casa, 8 na primeira e 8 na segunda, num total de5 x 8 x 8 = 320 mimeros). A resposta seria 648 - 320 :::::328numeros,

11. De quantos modes po demos arrumar 8 torres iguais em urntabuleiro de xadrcz (8 x 8) de modo que nao haja duas torres namesma linha nem na mesma coluna?

Exercicios12. Ern uma banca ha 5 exemplares iguais da revista A, 6exernplares iguais da revist.a B e 10 exemplares iguais da revistaC. Quantas colecoes nao vazias de revistas dessa banca e possivelformar?

1. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser far-madas com um alfabeto de 26 letras?2. Quantos sao as gabaritos possiveis de urn teste de 10 questoesde multipla-escolha, com cinco alternativas por questao?3. Quantos inteiros ha entre 1000 e 9999 cujos algarismos saodist.intos?

13. De um baralho conium (52 cartas) saeam-se sucessivamentce sem rcposicao tres cartas. Quantas sao as ext.racoes nas quais aprimeira cart a e de copas, a segunda c um rei e a terceira nao euma dania?

4. De quantos modos diferentes podern ser escolhidos urn presi-dent~ e um secretario de urn conselho que tem 12 membros?5. De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeirasem fila?

14. guantos numeros diferentes podem ser formados multipli-cando alguns (ou todos) dos mimeros 1,5,6,7,7,9,9,9'115. Urn vagao de metro t.em 10 baneos individuals, sendo 5 defrente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferern sentar de frente,:~ preferem sentar de costas e os dernais n~o tern proferencia. Dequantos modes os passageiros podem se sentar, respeitando-se aspreferencias '?


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2,j Com bin a coes e Permutacoes Cap.2 Cap.2 Com bi nao;:oes e Perm utac;:oes 20

A

23. Escrevem-se numeros de cinco digitos (inclusive os comecadospor zero) em cartoes, Como 0,1 e 8 nao S(' alterarn de eahe(,,~aparabaixo c eomo G de cabcca para baixo se transform em 9, urnso carl.ao podc represent ar dois nurneros (pOl" exernp 10 , Uti198 e86190). Qual C 0 numcro minimo de cartoes para representartodos os numeros de cinco digitos?

16. Ha duas estradas principals do. cidade A ate a cidade B,ligadas por 10 est.radas socundarias, como no. Iigura 2.2. Quantasrotas livres de auto-intcrsecoes ha de A ati' B?

B24. No Senado Federal, 0 Distrito Federal (' os 26 est.ados cia fe-deracao tern :3 represent.antes cada. Deve-se Iormar urna comissaode modo que todos os est ados e o Dist rito Federal estejam rcpre-sentados por 1 ou 2 senadores, Dc quantos modos essa comissaopode ser forrnada?25. a) Qual e a soma dos divisores in teiros (' positives de 720'1

Fig . 2 .2 b) De quantos modos 720 po dc ser deeomposto em urn pro-duto de dois inteiros positives?

17. Quantos numcros inteiros entre 100 (' 999 sao imparcs c pos-suern les dfgitos dist .intos?

c) De quantos modos 720 po de ser dccomposto ern urn pro-duto de tres intciros positives?

d) De quantos modos 11-1 pode ser decornposto em urn pro-duto de clois intciros positives?18. Escrevern-se os inteiros de 1 ate 222222. Quantas vezcs 0algarisrno zero e escrito?

19. Quantos sao os numeros de 5 algarismos, no. base 10:a) nos quais 0 algarisrno 2 figura?b) nos quais 0 algarisrno 2 niio figura?

20. Em um concurso hii trcs candidates (' CHICO examinadores.devendo cada examinador votar em urn candidat.o. DE' quantosmodos as votes podem ser distribuidos?

26. a) Quantas sao as palavras de ;) lct ras dist int.as de um al-fabeto de 2G letras nas quais a letra A fignra mas nao {~a letrainieial da palavra?

b) Rcfaca 0 item a) suprirnindo a palavra distinlas do enun-ciado,

21. 0 codigo morse usa "palavras" contcndo de 1 a 4 "let. ras",as "'letras" senrlo ponto (' tra(,'o. Quantas "palavras" cxistem noc6digo morse'!22. Fichas podem sor azuis, vcrrnelhas on amarclas; circulates,ret angulares au triangulares; finas ou grossas. Quantos t ipos defichas existern?


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26 Combina


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28 Combinas:o es e Permutas:oes Cap.2 Cap.2 Combinacoes e Permutacoes 29ser arrumadas entre essas duas ccnsoantos de p . , )resposta e 4 x 3 x 5! = 1t1t10. 5! modos, Ao Exemplo 2.11: De quantos modos podernos dividir 8 pessoasem dois grupos de 4 pessoas cada?

Solw;.ao: A divisao pode ser feita colocando as 8 pessoas em filae dividindo-as de modo que um dos grupos seja formado polas 4primciras pessoas e 0 outro pclas 4 ult irnas. Como ha 8! modesde colo car as pessoas em fila, a resposta parecc ser 8!

Entretanto considcremos a divisao a bed / c j 9 h. Ela e identi-ca a divisao c jgh /abcd (as grupos formados sao os mesrnos: umgrupo 12 {a. ,b , c ,d} eo outro e {c,j,g,h}). Nao obstante, nanossa cont agern de 8!, essas divisoes foram cont adas como se fos-sem distintas, Alern disso, divisoes como ab ed / c f9 II . e c a db / e j 91 1 . ,que diferem pcla ordem dos elementos em cada grnpo, apesar deidenticas foram eontadas como se fossem distintas. Cada divisaofoi contada 2 x -1! x -1! vezes (2 por causa cia ordem dos grupos; 4!par causa da ordem dos elementos no lQ grup o e 4! par causa daordem dos elementos no 2u grupo).

Se contamos 8! divisoes e cada divisao foi coritada 241 4!vezes, 0 numero de divisoes e 2X~!!X-1! =35. 0

Excmplo 2.9: Do quantos modos 5 rapazes (' 5 mocas podernse 'sentar em .::;haricos de dois lugares carla, de modo que ern cadabanco fiqucm urn rapaz (' lima moca?Soluciio: a primciro rapaz pode escolher scu lugar de 10 modos,o segundo de 8 morlos, 0 tereeiro de (j modos, 0 quarto de 4 modose 0quinto de 2 modos. Colocados os rapazes, temos que colo caras 5 rnocas nos 5 lugares que sobraram , o que pode ser feito de 5!modes. A rosposl.a (~10 x 8 x () x 4 x 2 x 5! =160800. 0Exemplo 2.10: De quantos modos po demos forrnar urna rodacom t) criancas?

A E

Exercicios1. Quantos sao as anagramas da palavra CAPITULO:

a} que cornecam por consoante e terminam por vogal?b) que tern as lctras C, A, P juntas nessa ordern?c) que tern as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?d) que tern as vogais e as consoantes intercaladas?e) que tern a letra C no 1 Ingar e a letra A no' 2Q lugar?f) que tem a letra C no 1 Q lugar au a letra A no 2 Q Ingar?g} que tern a letra C no 1Q Iugar ou a let ra A no 2 lugar ou

a lctra P no 3Q lugar?2. Permutam-se de t.odos os modos possiveis os algarisrnos I,2, 4, 6, 7 e escrevern-se os mimeros assim forrnados em ordemcrescente.

Fig. 2 .5

Solu(:iio: A . primeira vista parece que para Iorrnar lima roda cornas cinco cri ancas basta escolhcr lima ordem para elas, 0 que pode-ria SCI" feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDEe EABC J) sao iguais, pois no. roda 0 que import .a c a posicaorelativa das criancas ntrc si e a ro da A 13CDE pade set" "virada"na roda EABCD. Como cada roda podo ser "virada" de cincomodos, a nossa contagem de 120 rodas contou caria roda 5 vezese a respost a C 120/5 = - 24. 0


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:30 Cornbinacoes e Pe rrnuta cces Cap.2 Cap.2 Combinacoes e Perrnutacces 31a) quo Iugar ocnpa 0 nurnero G241 T?b) qual 0 utirnero quo 0 CIIpa () 6(i'l Ingar?c) qual 0 200Q algarismo escri to"?

d) qual a :;0111 1 de estatistica, de modo quelivros dp lim mcsrno ass unto pcrmanecam juntos?6. Quant.as silo as permut acoes dos numeros (1 , 2, ... ,10) n asquais 0 .! J (' stft s it uado ~ direit a do 2 e a osquorda do :1. ernboranao ncccssariamento ern lugares consccut ivos?7. De quantos rnodos podemos dividir 12 pessoas:

2.3 Combinacoes Simples8. D(>quantos modos r rapazos e m mocas podern se colocar emfila elf' modo que as rnocas fiqucm juntas?

De quant.os modos podemos escolher p objetos distintos entre nobjotos distintos dados? Ou, 0 que e 0 mesmo, quantos sao ossub conjuntos com p elementos do conjunto {(LI, rt2,'.. ,an}?

Cada subconjunto com p elementos e charnado de umacombinaciio simples de classe p dos n 0bjetas i.a2,...,an' As-sim, por exemplo, as cornbinacoes simples de dasse 3 dos objetosal,a2,a3,a4,a5 sao

9. Dclegados (l


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:32 Ccrnbinacces e Per mutacoes Cap.2 Cap.2 Combinacoes e Permuta


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34 Combinacoes e Per mut acdes Cap.2 Cap .Z C om bin a in estritamente crescentes'?8. Urn homem tern 5 amigas c 7 amigos, Sua esposa tern 7ami gas e. 5 amigos. De. quantos modos eles podem convidar 6arnigas e (j amigos, Heeada urn deve convidar 6 pessoas?9. Quantos sao os numcros naturais de 7 digitos nos quais 0digito 4 figura exatamente 3 veze.s co digido 8 exat amente 2 vezes?10. Quantos sao os mimcros naturais de 7 digitos nos quais 0digito 4 figura exatamente. 3 vezes eo digito 8 exatarnente 2 vezes?11. Quantos sao os p-subeonjuntos (isto e , subconjuntos corn pelementos) de {a 1, a:2, . .. , all} nos quais:

E interessante cornparar esta solucao com a do exemplo2.11. 0

Exercicios1. Uma comissao formada por 3 horncns e :: J mulheres deve serescolhida em urn grupo de 8 homens c 5 mulheres.

a) Quantas comissoes podem ser forrnadas?


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36 Combinacfies e Pe rmutacSes Cap.2 Cap.2 Combinacfies e Permutacces .17

a) Quantas sao as retas que cont.ern dois desses pontos?b) Qual C 0 numero maximo de pontes de intersecao dessas

ret as?

h) urn "flush" (5 catLas do mesrno naipe, nao sendo clas de 5grupos consecut ivos)?

i) um "straight flush" (5 cart as de grupos consecutivos, todasdo mesilla naipe)?

j) um "royal straight flush" (10, valet, darna. rei e {IS de 11mmesmo naipc)?

15. 0 conjunto A possui p elementos C 0 c:onjunto B possui nelementos. Determine 0numero de funcocs f: A ____.J sobrejetoraspara:

a) p = n;b) p = It+ 1;e) p = n 1-2.

16. Considere um conjunto C de 20 pontos do cspaco que temum subc:onjunto C1 formado par 8 pontos coplanarcs. Sabe-se quetoda vez que 4 pont.os de C sao coplanares, entao eles sao pontosde C 1. Quantos sao as pianos que cant em pelo monos tres pontosde C'117. Quantos sao as anagramas da palavra CARAG UATATUBA?Quantos comecam por vagal?18. Sao dados, no plano, 11 . pontos tais que entre as ret.as pOI'eles determinadas nao ha duas ret as paralclas, Quantos sao, nomaximo, os pontos de intersecao dessas ret as que sao distintos dospontos dados?19. Considere urn poligono convcxo de u. lades e suponha quenao ha duas de suas diagonals que sejam paralclas nern tres queconcorrarn em um mesrno ponto que nao seja vertice,

a) Quantos sao as pontes de intorsecao dcssas diagonais?b) Quantos desses pontos de intcrsecao sao interiores ao polfgo-

no'!c) Quantos sao exteriores?

20. Uma fila de cadeiras no cinema tern 20 poltronas. De quan-tos modos (j casais podern se sentar nessas po ltrorias de modo quenenhum marido se sente separado de sua mulher?

a) a] figura:b) a] nao ligura;c) a] e a2 figurarn;

d) pelo menos um dos elementos (q, (L 2 figura;c) exatamente urn dos elementos a 1, ([2 Ilgura.

12. Considore n( n > 2) pontos em urn plano, entre os quais naoha 3 pontos colineares,

13. De quantos modos e possivel dividir 20 pcssoas:a) em dois grupos de 107b) em quatro grupos de 57e) em urn grupo de 12 e urn de 8' 1d) em tres grupos de 6 e um de 27

14. De urn baralho de poquer (7,8,9,] 0, valete, dama, rei e as,cada urn desses grupos apareoendo ern 4 naipes: copas, outros,pans, espadas] , sacam-se simultaneamentc 5 cart as.

a) Quantas sao as extracoes possiveis?Quant as sao as oxtracoes nas quais se forma:

b) urn par (duas cart as em urn mesmo grupo e as out.ras tresem tres on tros grupos di I erentes}?

c) dois pares (duas cartas em um grupo, duas em ou tro grupoe uma ern urn i.erceiro grupo}?

d) uma trinca (tres cart as em tim grupo e as outras duas emdois outros grupos diferentes)?

e) urn "four" (quatro cart as em urn grupo e uma em outrogrupo}?

f) urn "full hand" (t res cart as em urn grllpo e duas em outrogrupo) ?

g) uma sequencia (5 cart.as de grupos consecutivos, nao sendotodas do mcsrno naipe)?


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38 Combin acdes e Perrnutacoes Cap,2 Cap.2

21. Nove cicntist as trabalham nurn projcto sigiloso. POI' quesl.oesde seguranca, os planes sao guardados em um cofre protegido pormuitos cadeados de modo que so e possivel abri-los todos Sf' houverpelo menos 5 cientist.as presentes.

a) Qual e 0 numero minimo poss ivel de cadeados?b) Na sit uacao do item a), quantas chaves cada cientista deve

ter?

26. Suponha que n carros estao em fila para entrar em 11m e sta-cionamento que possui n vagas, lado a lado. Se 0 1Q carro podeescoher qualquer vaga e cada urn dos outros carros ao est acionardeve jnstapor-se a urn carro j Ii estacionado, quantos sao os mo dospossiveis dos carros ocuparem as n vagas?

22. Depois de tel' dado um em-so, ur n professor resolve so des-pedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7jantares para 3 alunos cada. De quantos modos ele pode fazer osconvites sc ele nao deseja que um mesmo par de alunos cornparecaa rnais de um jantar?

27. De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos ern 3times de basquetebol de 5 jogadores cada, denominados esperance,confumca e viloria,?28. 0 conjunto A possui n elementos.

23. Formam-se as comhinacoes simples de classc ,) dos elemen-tos al, a2, rt2, ... ,a12, as quais sao escritas com os elementos emordem crescent.e de indices. Quantas sao as cornbinacoes nas quaiso element.o as ocupa 0 :1 Ingar?

a) Determine 0mimero de relacoes que podem ser construidasem A;

b) Idem, relacoes refiexi vas;c) Idem, rolacoes simetricas;d) Idem, relacoes anti-simetricas;e) Idem, relacoes reflexivas e simetricas;f) Idem, relacoes reftexivas e anti-simetricas:g) Idem, relacocs sirnetricas e anti-simetricas;h) Idem, relacoes refiexivas, simctricas e anti- sirnetricas.24. De quantos modos e possivel colo car em fila It homens e mmulheres, todos de alturas diferent.es, rie modo que os bomens en-

tre si e as mulheres entre si fiquem em ordcrn crescente de alturas? 29. Quantos sao os jogos de urn carnpeonato disput ado por 20clubes, no qual todos se enfrentam lIma {mica vez?25. No quadro abaixo, de quantos modos e possivel formal' a

palavra "MATEMATICA", partindo de urn M e indo scmpre paraa direita ou para baixo? 30. Empregando dcz consoantes c cinco vogais, calcule 0numerode palavras de seis lel.ras que se podem formal' sem uasr consoant.es

nem vogais adjacentes:M

M AM A TM A T E

M A '[' E MM A T E M A

M A T E M A TM A T E M A T I

M A T E M A T I C!v I A 'I' E M A T I C A

a) Se sao permitidas repeticoes;b) Se nao sao permit idas repcticoes.31. De quantos modos se pode iluminar uma sala que possui mIampadas?32. Em uma escola, :I: professores se distribuem em 8 bancasexaminadoras de modo que cada professor part icipa de exata-mente ducts bancas e cada duas bancas tern exatarnente urn pro-fessor em conium.


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40 Combinacoes e Perrnutacces Cap.2 Cap.2 Com bin ao;:5es e Pe rm utacoes 11a) Calcule x ;b) Determine quantos profess ores ha em cada banca.

33. A partir de um conjunto de a atletas forrnam-se t times de kat'letas cada. Todos os atletas participam de urn mesmo numerode times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmonumero de vezes. Determine;

39. Prove qllP G 2 !1I C par, s(-' 11 > 1,40. c r 8 8 0 ~ divisivel por 7'?

2.4 Perrnutacoes Circularesa) de quantos times cada atlcta participa;b) em quantos times cada par de atlet as fica junto.

34. Mostre que existe um tabuleiro 6 x 4, cujas casas sao todaspretas au hrancas, no qual nenhum ret.angulo tern as 4 casas dosvertices cia mesma cor, Mostre que, em todo tabuleiro 7 x 4 cujascasas sao todas pretas ou hnmcas, sempre exist.e urn ret angulo cu-jas 4 casas extrcmas tem a mesrna cor. (Observacao: no tabuleirocasas adjacentes nao tern necessariamente cores diferentes) .35. Prove que um produto de p inteiros consecutivos e sempredivisivel pOI' p! .

De quantos modos POdPlllOS colocar "/I objetos distintos em "IIlugares equiespacados em torno fh~ 11m circulo, se consideramosequivalentes disposicoos quo possum coincidir por rot.acao?

A resposta desso problema sora represc-ntada por (PC)1!., 0numero de perrnu ta~:oes ci rcularos ( \ c . ~ "II 0hid.os dis t intos. E facilvel ' que (PC)11 6 . em geniI, dif(:'H'nte de Pn. Por oxernplo, no caso11 = a ternos p;{ o' :3 ! = 6 mo dos dr' olooar :3 objctos distintos em3 lugares,

1 ) .D!ill_.) 2" :3 " ,c) ~ ,

0030()200

36. Prove, usando urn argumcnto combinatoric, que os numcrosabaixo sao inteiros para qualquer n natural.

a) (211)!.2" ,

d)~,) ( 1 1 ! ) !e ( n ! ) ( > 1 l)~

37. No inicio de uma Festa ha 6 rapazes dcsacornpanhados e 10mocas desacompanhadas, Quantos sao os- ~staclos possiveis no fimcia Iest a?

Fig,2.6

38. Prove, usando um argumento combinatoric. que

No en tanto as tres prirnci ras disposi ~'o(:s porlem coi n ci dir entre sipor rct acao e 0mesmo o corro com as trios ult.imas, d(' modo qne(PC);32.

Repan' quo nas pr-rmu ta(;o('s simples irupo rta m os luga I"(-'Sqlte os objetos ocupam ao passo quo n3S porrnut acocs circulares


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42 Combinacces e Perrnutacoes Cap.2 Cap.2 Combinacoes e Permutacees 43o que import.a e apenas a posicao relativa dos objetos entre si,Nas tres primeiras figuras, olhando os circulos em sentido anti-horario, 1 precede 2, que precede 3, que precede 1; portanto, aposicao relativa dos objetos e a mesma. Nas tres ultimas figuras,1 precede ;3 , que precede 2, que precede 1; portanto, a posicaorelativa dos objetos e a mesrna.

Exemplo 2.17: De quantos modos podemos formar uma rodade ciranda com 7 criancas, de modo que duas determinadas dessascriancas nao fiquern juntas?Soiuciio: Podernos formar (PC)5 =4! rodas com as cinco outrascriancas,

Podemos verificar que (PC)n = (n - 1)1 de dais modos: 1

1.., _ u. _ ( ) 1(PC)n - - - n - 1 .n

a) Se nao considerassernos equivalentes disposicoes que pos-sam coincidir por rot acao , teriamos n ! disposicoes, Con-siderando a equivalencia, cada pormut.acao circular e ge-rada por n disposicoes, Logo,

b) Como 0 que irnport.a e a posicao relativa dos objetos, ha 1modo de colocar 0 1 objeto no circulo (onde quer que acoloquemos, ele sera 0 {mica objeto no circulo}; ha 1 modode colocar 0 29 objeto (ele sera 0 objct.o imediatamenteapos 0 primeiro}; 11a2 mo dos de colo car 0 3Q objeto (ime-diatamente apos 0 ]9 ou imediatamente apos 0 2Q); ha 3modos de colo car 0 4 objeto (imediatamente apos a 1 ouimcdiatamente apos 0 2 ou imediatamente apos 0 3}... ;ha n -1 modos de ('010 car 0n-esimo e ultimo objeto. Logo,

Fig. 2 .7

Ha agora 5 modos de colocar a crianca A na roda.

(PC)l I = 1 . 1 2 . 3 . (n - 1) = (n -1)!Exemplo 2.16: Quantas rodas de ciranda po dem ser formadascom n criancas '?

Fig . 2 .8

Soluciio: Como 1 : 1 . roda gira, 0 que import a nao e 0 lugar de cadacrianca e sim a posicao relativa das criancas entre si. A respostae

Ha agora 4 modos de colo car a crianca B na roda sem coloca-Iajunto de A. A resposta e

(PC)?! = (n - I)! 0 4! x 5 x 4 = 480. 0


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44 Combinacoes e Pe rmutacoes Cap,2 Cap.2 Combinacoes e Perrnutacdes 41)Exercicios 2.5 Perrnut.acfies de Elementos nem Todos Dis-tintos1. De quantos modos ,) meninos e 5 meninas podem formal' uma~oda de iranda de modo que pessoas de mesrno sexo nao fiquernjuntas?2. De quantos modos n riancas podern forrnar uma roda deciranda de modo que duas dcssas criancas perrnanecam juntas? Edf' modo que p( p < n) dessas criancas pormanccam juntas?3. De quantos modos 'II casais podem formar uma roda de cirandade modo que cada homem perrnaneca ao lado de sua mulher?4. Dc quantos rnodos 11 - casais po dcm formal' uma roda de cirandaelf' modo que carla homcm permaneca ao lado de sua rnulher e quepessoas de mesrno sexo nao Iiqucm juntas?5. Sao dados 11 pontos em circulo. Quantos H-agonos (nao ne-cessariamente convexos) existem com vertices nesses pontos?6. Urna pulscira deve SCI' cravejada corn urn rubi, urna esrneralda,um topazio, urna agua-marinha, uma turmalina c urna amctist a.De quantos modos isso po do ser f(-'ito supondo:

a) que 1 : 1 . pulseira tern Iecho (' 11m relogio cngastado no Iecho;b) que a pulsei ra tern fecho:c) que a pulseira nao tern fecho e 0 braco s o podc cntrar na

pulsoira ern urn scntido:d) que a pulsoira nao tern fecho (' 0 braco pode entrar na

pulseira nos dois sent.idos.

Quantos anagramas possui a palavra "T A RTA RA"? A res-posta mio c P7 = 71 = 5040. Pelo fato de "TARTARA", tcrletras repetidas, obtemos urn numero de anagramas menor do queo que obtcriamos se as letras fossem distintos, TARIT AR2A eT AR2T ARIA seriam anagramas difcrentes, pOl' oxemplo,

o mimero de anagramas de "TAHTA IlA" sera represen-: 3: 2 : 2tado pOI' P7" ou

numcro de permutacocs de 7 let ras das quais :\ sao iguais a A, 2iguais a If e 2 iguais a T,

Para deterrninar 0 nurnero de anagramas de TARTARA,podcmos pcnsar de dois modes:a) Para forrnar urn anagrama de "TARTARA" tcmos que arrumar3A, 2R e 2T em 7 lugarcs, , 0 numero de modosde cscolher os lugares onde serao colo cados os A c C{ Depoisdisso temos ci mo dos de cscolhcr os lugares pam colocar os Re, finalrnente, um unico modo de escolher os lugares para as T,Logo,

7. De quantos rnodos 5 mulhcres (' (- j homcns po dern formal' urnaroda dc-t.iranda d(' modo que as mulhcrcs pormanecam juntas?8. Quantos darlos diferent.es cxistem se 1 : 1 . soma das faces opostasdevc ser 7'1

PJ , : 2 , : 2 _ (,:3, C: 2 1 - 'Jr: G 1 - 21 07 - -'7' 4' - ,)0 X X -- .b) Sc as letras Iossem diferentes, obtcriamos P7 = 71 anagra-mas, Como os A sao iguais, contamos ada anagrama 31 vezes.Analogamente cont amos ada anagrama 21 vezes por serem iguaisos R e 21 vezes por serem iguais os T, Logo,

', :2 : 2 7 1p'" = _'_ = - 210,7 :1!2121


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46 Combinacces e Permutacces Cap.2 Cap.2It facil ver que, no caso geral, temos, para 0: + f3 + .. . + k +), =n, ExerciciospQ ,f J, . . . , k ,> .. - eQ . e fJ . .. C > " -n - n 11-0' "n-a-fJ--k -

11 .1 (n-a)! (n-n-j3--k)!n!(n - a) ! /3!{n - a - ( 3 ) 1 ) , ! { n - n- f3 - ' " - k - ),)!

Combinacces e Perrnutacees 47

1. A figura 2.9 represent a 0mapa de uma cidade, na qual ha 7avenidas na dirccao norte-sui e 6 avenidas na direcao leste-oeste.

n ! n!0:!j3! . . . ),!'!m .. . )'10!

resposta a qual chegarfamos diretamente pelo segundo raciocinio.Assim, a mimero de perrnutacoes de n objetos dos quais 0: saoiguais a a , fJ iguais a b, ... ,), iguais a l{a + fJ - I - . .. + ),= n} e

c B

fJ 1 1 . 1p O " , . . . , > . . = .11 o :!m . .. )'l

Exemplo 2.18: Quantos sao as anagramas da palavra "MATE-MATICA"? a) Quantos sao os trajctos de comprimento minimo ligando 0

ponto A ao ponto B '?b} Quantos desses trajetos passam par C?

2. Quantos mimeros de 7 di'gitos, maiores que 6000000, podemser formados usando apenas as algarismos 1,3,6,6,6,8,8'13. Urna part icula, estando no ponto ( x , y ) , pode mover-se paraa ponto (x + 1, y) ou para a ponto (x , y + 1) . Quantos sao ascaminhos que a particula pode tomar para, partindo do ponto(0,0), chegar ao ponto ( n , b) , onde (l > 0 e b > 074. Uma paticula, est ando no ponto ( x , y , z}, pode mover-se parao ponte ( x + 1 , y , z ) au para a ponto ( x , y + 1 , z ) au para 0 ponto(x , y, z + 1). Quantos sao as caminhos que a partfcula pode tornarpar, partindo do ponto (O,O,O), chegar ao ponto (Il, b, c ) , onde o. >0, b > 0 c c > O?

Solur;iio: Como temos 3 letras A, 2 letras M, 2 letras T, 1 letraC, 1 letra I e 1 letra E, a resposta e

P 3,2,2, 1,1,1 ,__10 1O ! = 151200.3!2!2!l!111! DExemplo 2.19: Quantos sao as anagrarnas de "URUGUAJ" quecornecam par vagal?

- 21111 3111Solu{:ao: Temos Po' , " comecados em U, Po' " cornecados3 111 ,em A y P6' " cornecados em I. A resposta eP5,1,1,1,1 +2pi,I,I,1 = 360 + 2 x 120 = 600. D

Fig. 2.9

5. Quantos numeros de 5 algarismos podem ser formados usandoapenas as algarismos 1,1,1,1,2 e 3?


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'!8 Cornbiriacoes e Pe rmutacces Cap.2 Cap.2 Ccrnbinacces e Pe r mut acfies 19

2.6 Combinacoes Completas Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores etornar uma solucao em inteiros nao negativos da cquacao

De quant.os modos {> possivel omprar rI sorvotos om uma loja queos-oferece em 7 saboros?

A rospost.a tuio e r:j = :35. ci scria 0 modo de cscolhcr 4sabo rc-s di!(Tniles entre os 7 sahores oferecidos, isto e , ci seria 0mimoro de modos d(~ cornprar < 1 sorvetes diforentes em uma lojaCjlH' os oferecc em 7 sabo res.

A respost .a desse problema { > rcprcsentada por C R i , numerode combinncoc completes de lasso t\ de 7 objetos. Port anto C Ri-c 0 numero de mo dos de escolher < 1 objetos entre 7 objetos distin-1.05, valondo ('5(:0111 ( ) numcro de modos de escolher p ob-jctos disiintos entre 1/. objctos distintos dados, e C R~ P 0 numerod(, modos de cscolher p objetos disiinios 011. ruio entre n objetosdist intos dados.

.l:} .j :(;2 j . . . . -I - :/:7 = 4.Podcmos , port.anto , interpretar C R~ de dais modes:a) C R~ e 0 11I'1me1"0 de modos de selecionar p ol~ct.as, disiinios allniio, entre 11 objet.os dist.intos dados.b) C R f t e 0 numero de solucoes da equacao ;(;1 -1 - ;1: 2 j . .. . + X n=pem inteiros nao negatives.

Vamos agora resolver 0 problema da cornpra dos sorvetes,isto e , vamos calcular CRi.Ora, C R i e 0 numero de solucoes em inteiros nao negativos daequa\,ao

Assim, por cxemplo, as combinacoes complctas de lasso 3dos ohjetos II, /J . r, d tornados 3 a ;~ sao

o quadro da ligura 2.10 most.ra algumas solucoes da equacaobern como sua rcprcsent.acao no esquema bola-t raco (cada bolarepresent a uma unidade no valor da incognita; cada traco e usadopara separar duas incognitas).aa (lab fi lm era. dda uhc

h l J b aac / J ( ) r c r b d d h a b dc c c a(J.d bh d ( ' c d ddc a r r ld d d fw d

e CR~= 20.

x ! x2 X3 X4 Xs X6 X71 1 1 0 0 0 1

0 2 0 1 0 1 0I 1

Fig. 2.10

Porlomos tamborn intorp rel.ar (' Il~ de 0I1t1"0 modo. Volte-mos a cornpra dos 4 sorvotos na loja que os ofcrcco em 7 sabores.Para cfctuar a cornpra dcvcmos cscolhcr valorcs para os variaveis:/:1, .J : Z ' . . . ,:1:7, onde ;/:1 6 a quanti dade que vamos comprar desorvetcs do 1Q sabor. ):2 < ; a quantidade que varnos ornprar desorvotes do 2(1 sahor ... : 1'" 7 { : a quant idadc que varnos cornprar desorvetcs do 701". l~ laro quo ;1."I, ;1:2, .. ,.r 7 dcvem ser intciros,nao negati vos (is to {~,maiores on iguais a zero) e que

.ct -I:1::2j ... l ;1."7 = rI. Para formal" uma ropresentacao devcmos arrumar em fila 4bolas (pais ern cada solucao 0 toted de unidados 11


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,so Combin acoes e Perrnuta cSes Cap.2 Cap.2 Cornbinacoes e Permuta'Toes t)1ja que xl +X 2 +... +X 7 = il) e 6 tracos (para separar 7 incognitas,usarnos 6 traces}. Mas, 0 nurnero de modos de fazer isso e defina-se a/olga da solucao por f =5 - (x + y + z).

-16 10! 4P4.t.D = 4!6! =C 10Logo, CRf = c to =210.

o quadro a seguir mostra algumas solucoes cas respect ivasfolgas.

No caso geral, para calcular CRf'l isto e, para determinar 0numero de solucoes intciras e nao negativas de . 1 : 1+X2-1- . + . 1 : 1 / = pteriamos p bolas e 11 - 1 traces. Logo,

x y z ;r-1-y+z f3 1 1 5 02 0 1 3 21 1 1 3 20 1 0 1 4

(n+p-1)!_ pCRP = pp,n-l = Cn p+n-l I( _ 1)1 - "'n+p-l'p. n .E dam que existe uma correspondencia hiunivoca entre as solucoesintciras nao-negativas de 3: -1 y + z ~ 5 e as solucoes inteiras nao-negativas de x -1 - y -j z -I - f = 5.

Soluciio: D

Logo, 0 mirnero de solucoes inteiras nao-negativas dainequacao x -j y + z :::; .) c igual ao numcro de solucoes inteirasnao-negativas de :); -I - y + z + i : 5 que e CR~ = cg = 56. DExempio 2.23: Quantas sao as solucoes inteiras da equacaox + y -1 - z = 20 com x :2 : 2, y :2 : 2, z :2 : 27o problema que sabernos resolver e contar as solucoes in-teiras com as variaveis sendo maiores 011 iguais a zero. Para fazerum problema recair no outro, pomos

Port anto , C R~ =C~+p_I'Exemplo 2.20: Quantas sao as solucoes inteiras e nao negativasde ;); .1 - y -1 - z = 5?8olur;. i io: C R~ = C 1 = 21. DExemplo 2.21: De quantos modos podernos comprar 3 refri-gerantes em uma loja onde ha .) tipos de refrigerantes?

Exemplo 2.22: Quantas sao as solucoes inteiras e nao-negat ivasda inequacao ;);+ y -1 - z :::;5'1Solucao: As solucoes inteiras nao-negativas de x -1 - y + z . : s : ; 5dividern-se em varies grupos: solucoes ande x -1 - y + z = 5, onde.'l: + y + z = - 4,..., onde x -1 - y + z =O. A resposta e

x = 2 -j. a, Y = 2 -1 - b, Z = 2 + c.A equacao x -1 - y + Z = 20 transforrna-so em a + b + c = H e asrestricoes x, y, z :2 : 2 e inteiros transformam-se em a, b, c :2 : 0 einteiros, A resposta e

CRj4 = c i c i = 120. DCR~ + CRj + C R~ + CR + CR:~+ CR~ ==C~ -1 - c t + c g + C~ -1 - C;} + c g == 21 + 15 + 10 -1 - 6 + 3 + 1 = 56.

Excmplo 2.24: Quantos sao as anagramas da palavra "PlRACI-CABA" que nao possuern duas letras A juntas?So lur;.iio: 0 numero de modos de arrumar as letras diferentes deA e pi,2,1,1,1. POl' exemplo, uma dessas arrumacoes eDutra. soluciio: Em cada solucao inteira nao-negativa de

p R J J c B cx+y+z":::;5 1 2 3 4 5 6 7 8


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52 Combinacoes e Perrnutacoes Cap.2 Cap.2 C om b in a < ;:0 5e se P e r m u ta < ;:0 5e s 5 3

Agora temos que colo ear as letras A nos 8 cspacos assinalados.Como em nenhum espaco podem cntrar duas letras A, ocuparemos3 espacos (uma letra A em cada) e deixarcmos 5 espacos vazios.O r numero de modos de eseolher os espacos que ocuparemos e C~.A resposta e

Exercicios1. Quantas sao as solucoes inteiras nao-ncgat ivas de

;1; - - I - JJ + Z + w = 3'1pi,2,1,1,1 X C~ = 1260 x 56 = 70560. 2. Quantas sao as solucoes inteiras nao-negativas de

Poderiamos tambem pensar assim: :1: + !/ + Z + w < 6'1Colocamos as let.ras A (1 modo)

A A A23-1

3. Quantas sao as solucoes int.eiras positives de x + Y + z = 10?4. Quantas sao as solucoes intciras positivas de :r+ y + z < 10?5. Quant as sao as pecas de urn domino comum?

:1:2 = 1+ Y2 ,X3 = 1+ Y 3

6. Im = {1,2, ... ,m} e In = {1,2, ... ,n}. Quantas sao asfuncoes j: 1m ..... ..In nao descrescentes?7. De quantos 1110dospodcmos colocar em fila 7letras A, GletrasB e 5 lctras e de modo que nao haja duas letras B juntas?8. Qual e 0 numero maximo de terrnos de urn polinornio ho-mogeneo do grau p com 1/. variaveis?9, Qual e 0numero maximo de terrnos de 11mpolinornio do graup eom 11 . variaveis?

Agora devemos decidir quantas letras colocarernos em cada urndos 4 espacos. Devemos escolher xl,:c 2, x 3, x 4 (x i=nQ de letrasque colocaremos no z-esimo espaco ) intei ros niio-negati vos tais queXl + X2 + X;3 + X4 = 7, com X2 2 : : 1 e X3 2 : : 1 (para impedir quehaja duas letras A juntas). Facamos

e caimos no problema de achar 0 numero de solucoes inteiras nao-negativas de :q+ Y2 + !/3 + X4 = 5, cuja resposta e C R~ = e g .Escolhidas quantas letras irao para cada espaco , por exemplo,

10. A fabriea X produz 8 tipos de bombons que sao vendidos emcaixas de 30 bombons (de urn mesmo tipo 011 sortidos). Quantascaixas diferentcs podem ser forrnadas?11. De quantos modos podern ser pintados () ohjetos 19UalSusando 3 cores difcrentes?

t~mos agora que colo ear as letras P, R, B, I, I, C, C nessas casas,d c:: t 22111 d At'o que po e ser leito ( e P7' , , , mo os. resp os a e1 x e~x pi,2,1,1,1 = 1 x 56 x 1260 = 70560. D

12. Quantos numeros inteiros entre 1 e 100000 tern soma dosalgarismos igual a 6'113. Quantas sao as solucoes intciras niio-ncgativas de


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. '54 Combinacoes e Permutacoes Cap.2 Cap.2 Cembinacoes e Permutacces 55

nas quais exatamente 3 incognitas sao nulas? Em quantas pelomenos tres sao nulas?

d) Quantas sao as funcoes f: A --+ B nao-decrescentes?e) Sugira uma definicao formal para eft, C Rf" Aft e AR~.

20. Seja A urn conjunto com #A =n.a) Quantas sao as funcoes [: A --+ A bijetoras?b) Sugira uma definicao formal para Pn

21. De quantos modos podemos cscolher 3 niimcros, nao neces-sariamentc distintos, no conjunto {I, 2, ... , I50} de modo que asoma dos nurneros cscolhidos seja divisivel por 3'1 E S8 os numerosdevessem ser dist intos?22. De quantas maneiras e possivel colocar 6 aneis diferentes em4 dedos?

14. Os numeros inteiros cornpreendidos entre 100000 e 999999sao divididos em classes de modo que dois rnimeros diferentesest.ao ria mesma classe se e so se clcs tern os mesmos algarismos,diferindo apenas na ordem. Assim, por exemplo, 552221 e 125252estao na rnesma classe, Quantas classes sao assim Iormadas?15. Quantas sao as solucoes inteiras nao-negati vas de x + y + z +w = 20 nas quais x > y '?16. Quantos inteiros entre 1 e 100000, inclusive, tern a pro-priedacle: "cada digito c menor au igual ao seu sucessor"?17. Quantas pcrmutacoes de 7 letras A e 7 letras B, nas quaisnao ha 3 letras A adjacentes, existem?18. Uma uma contern n bolas, das quais devem ser escolhidas pbolas. Determine:

a) 0 nurnero Aft de sclecoes ordenadas, se repeticoes nao saopcrmitidas (essas selecoes sao denorninadas arranjos sim-ples de classe p das n bolas);

b) 0 numero de selecoes dcsordenadas (isto e, selecoes que sodiferem pela ordem sao consideradas iguais), se repeticoesnao sao permitidas;

e) 0 numero AUf! de selecoes ordenadas, se repeticoes saoperrnit.idas (essas selecoes sao charnadas de arranjos com-pletos de classe p das n bolas. Tambern sao usados asnames arranjos corn reposicao at! arranjos com repeticao};

d) 0 numcro de selecoes desordenadas, se repet icoes sao per-mitidas,

J _ 9 . Sejam A e B conjuntos de numeros nat urais com #A = p e#B -= n,a) Quantas sao as funcoes f: A --+ B' ?b) Quant as sao as funcoes injetoras f: A --+ B?e) Quantas sao as funcoes i:A --+ B esl.rit.ament.e crescentes?


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3. Outros Mot.odos de Contagem Cap.3 Out ros Metodos de Contagem .')7

3.1 0Principia da Inclusao-ExclusaoFIg. 3.1

Na introducao ao capitulo anterior fizemos refcrcncia a urn principioelementar de contagem que estabelece que o mimero de elementosda uniao de conjuntos disjuntos i: a soma dos mimeros de elemen-Los de cada conjunto.

o Principio da Inclusao-Exclusao e uma formula para con-tar 0 numero de elementos que pertencem a uniao de varies con-juntos nan necessariamente disjuntos. Na sua versao mais simples,e]e afirrna que

b) #(A U H) (; 0 n umoro elf' clernon tos que pertcE(:elll a polomenos urn dos conj untos A c B. Para conl.ar os elementos de A U Bcont amos toeIos os elementos de AUJA) e to dos os de BUlB).Ao fazermos isso, os elementos de A n B Ioram contados duasvezes, uma em #A (' out ra ern it U, portanto devomos descont.ara segunda contagorn desses elementos (' obtcmos

'/ / ( A U B):- if A -I #B - /1 = (A n H).#(A U B) =#A -1 il=B - #(A n B). Para tres conjunt.os A, B, C 0 Principio da Inclusao- Ex-clusao afirrna que

A justificativa po de ser obtida de dois modos difercntes:a) Suponhamos que haja y elementos comuns a A e B ~quealern rlisso haja x elementos que pertencam a A e nao aBe zelementos que pertencarn a B mas nao a A (vcr figura 3.1).Ternos

if . (A U B UC ) = i i-A I- /lU + #C- f/(A n B) -1/(.1 nC) - 1 1 - ( 1 3 n C)+ #(A n B nC).

Uma justifica tiva pode sor:#(A U B ) = ; 1 ; - \ y + z;

#A + #B - #(A n B) = (x + y ) -I ( y + z) - y= x + y + z = I I ( A U 8).

i f o [ A U B UCj =Nj(A U 8) U Cj= 1 / c ( A U H ) -j 1 / C - -I f [( A U 8) n ci:~ /lA + #13 - //(.4 n H) j-lfC- /I-j(A n C) U (R n (.')1


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58 Outros Metodos de Corrtagern Cap.S Cap.3 Outros Metodos de Contagem !j!).= if A -I- #B - #(A n B) -I- #C- #(A n C) - #(B n C) .j #(A n C n R n C)= #A +#B +#C+- #(A n B) - #(A n C) - #(B n C)-I - #(A n B nC)

Em surna, 0 numero de elementos da uniao 6 obtido sornando os116meros de elementos de cada conjunto, subtraindo os nurneros deelementos das intersecoes dois a dois, somando os das intersecoostres a tres, subtraindo os das intersecoes quatro a quatro cte ...

A prova do Principio (usando 0 modo b) est a no Apendice1. Uma prova par inducao pode tambem ser obtida usando 0modo a.Exernplo 3.1: Quantos inteiros entre 1 e 1000 sao divisiveis por3 au 77

Dutra justifieativa:# (A UH UC) eo numero de elementos que pertencem a pelo menosum dos conjuntos A, Be C. Para contar os elementos de AUBUC,eontamos os elements de A(1fA), de B(ifB) e dc C(#C). Masentao as elementos de An B foram contados duas vezes (uma em#A e outra em #B), 0 mesmo ocorrendo earn os elementos deAn C e B n C. Port anto, devernos deseontar uma vez #(A n B ),#(A n C) e #(B n C). Mas entao os elementos de An H n C foramcant ados tres vezes (em #A, em #B e em #C) e descontados tresvezes (em # (A nB ), em i!A nC) e em # (B nC ) ). Con t ados t r esvezes e descontados tres vezes signifiea que eles nao estao sendocontados, Devemos pois inclui-los na eontagem c obtcmos

Solur;ao: Defina-se:A =Conjunto dos inteiros entre 1 e lOOO que sao divisiveis por 3.B :::::;onjunto dos inteiros entre 1 c 1000 que sao divisivcis par 7.Queremos calcular if(A U B). Tomos

#(A UB UC) = #A + #B -j- #C- #(A n B) - if(A nC) - #(B n C)+#(AnBnC).

#A =.: [1 ~3001 = :3 :3 :1. ([ l= part.e int.eira].[1000 1!B = -7- = 142.

#(A n B )' [ l ~ ~ O l= il7.#(A U B UCUD) =I#A + #B + #C + #D]- [ff(A n R) + #(A nC) -I- #(A nD)-I- #(B nC) + #(B n D) + #(C n D)]+ [#(A n B n C) + #(A n B n D)+ #(A n C n D) + #(B nen I J ) [- #(A n H n C n D).

(pois A n B e 0 conjunto dos inteiros entre 1 (' 1000 que saodivisiveis por :3 e 7, isto 8, qne sao divisivcis par 21).

Pelo Principia da Inclusao-Exclusao, tcmosPara quatro eonjuntos tcriamos

- #(A UB) = itA j- #B - #(A n B) = : 3 : 3 3 + 1 1 1 2 -17 = 1 2 8 ,que e a resposta. DExemplo 3.2: Quantos sao os anagram as cia palavra CAPiTU-LO que tern C em 1Q lugar, 011 A em 2 lugar, Oll P em :lQ lugarou J em 4 Ingar?Solur;iio: Defina-se:


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60 Outros Metodos de Contagem Cap.3 Cap.3 Out ros Metodos de Con t a gem 61

A1 =. conjunt.o dos anagramas de CAPITULO que tern C em 19lugar:A2 = conjunto dos anagrarnas de CAPITULO que tern A em 2Jugar:A:3 conjunto dos anagramas de CAPITTfLO que tern P em 3Qlugar;Atl = conjunto dos an agramas de CAPiTULO que tern I em 4Ingar.

den e

n

82 -; L i fo(.1i n Aj);1 _:Si


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62 Outros Metodos de Contagem Cap.3 Cap.3 Outros Metodos de Contagem 63

A part.e a), no caso geral, e devida ao matematico francesCamille Jordan (18.58-1922).

8. 1 = #(Al n A2 n A3 ) + # (A l n A2 n A4)++ #(Al n A3 n A4 ) -I - it(A2 n A3 n A4)= [1000] -I - [1000] + [1000] + [1000]42 30 70 210= 23 + 33 + 11 + 4= 71;

[1000]84= f f (A l n A2 n A: 3 n A1 ) = 210 = 1.

A parte a) do teorema, no caso P = 0, e conhecida pclonome de formula do crivo (' C devida ao algebrista ingles J. J.Sylvester (1814- 1H97).

Exemplo 3.3: Quantos sao as inteiros, cornprccndidos entre 1 e1000 inclusive, que sao dlvisiveis por exatamcnt dais dol"numeros2, , 1 . , 7 e 10? E por pelo menos dois?Soluciio: Defina-so Queremos calcular 0 numero de elementos que pcrtencem

a exatamente dais dos conjuntos A 1, A 2, A :3, A4 Esse mimero 6f!={:rEZ 1 1 S;x S;1000};Al = { ; 1 : E n I 2 divide z };A2 = { :t E n 1 3 divide :1:};A;l -= { :r E n I 7 divide x} ;A Ij = {:l: E n I 10 divide :r};

1-2a2 = 2 : ( _1)kC~+kS2+k

k=O= (-1)OCg82 + (_1)lCJS:3 + (-1)2C1S4- 82 - 383 + 684=431 - :1 X 74 + 6 X 4 = 233,

Tellios ([ ] = Parte Inteira),','0 = Hn .:"1000;5'1 = If A 1 + itA2 1 - IlA;3 + 1tA1= [102 ] -I - [1~100] + [10;0] + [ l ~ ~ O ]= .500 + :l:~3 + 142 -I 100 = 1075;

82 = -I fo(Al n A2 ) I-ItA] n A: 3) + it(Al n A4)+ __I- # (A2 n A;3) I- # (A2 n A4 ) + if (A;>, n A4 ) =h [ 1 0 0 0 ] + [ 1 0 0 0 ] -I - [ 1 0 0 0 ] [ 1 0 0 0 ] _ [ 1 0 0 0 ] _ _ [ 1 0 0 0 ]6 14 10 + 21 t- s n 1 70= loG + 71 + 100 -I - 47+ 33 + 14= 431;

que e a resposta da primeira pergunt a.Querernos calcular 0 numero de elementos que petencem a

pelo menos dois dos onjuntos AI, A2, A:3, A 1 Esse numero e4-2

b2 = l~)1)kC~+k_182+k1,:=0= ( - 1 )0C~)S '2 + (-1)lCJ8:3 I- (-1 )2C:~S'4

= .'h - 283 -I - ;{S '4= 431 - 2 X 74 + 3 x 4= 29.5"

que c a resposta da scgunda pergunta. Note', que os valores de 80e ,' h nao foram utilizados. 0


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G,[ Outros Metodos de Contagem Cap.3 Cap.3 Outros Metodo5 de Contagem 65

Exerrrplo 3.4: Para ada inl.eiro positive n. defino-sc : p ( 1 I ) comosonde 0nurnero de int.eiros positives que sao primos corn n p naosao superiorcs a 11, ist.o 6, que sao primos com 11 e menoros on iguaisa u . Assirn. por exornplo. cp(12) -= 4 p ois os inteiros posi t ivos queuao sup erarn 12 (' sao primos corn 12 sao 1. 5. 7 e 11. e c p (7 ) - fipois os inteiros posit ivos qlH' nao supcrarn 7 e S~lOprimos com 7sao 1, 2. :l. 4 , 5 . (j.

Qucrernos def.ermiuar 0numero de elementos de n que saoprimos corn n, au seja, 0 numcro de elementos de n que naopcrtencern a nenhum dos conjuntos A 1, A2, ... , Ar.

'P (n ) 6 pois () numero de elementos e l f > n que pcrtcnccm aexatamentp zero dos cnujuutos .11:A 2, ... ,A,. Tornos

A fllm;ao cp 6 chamada de Funcao :p de Euler (1707-1783). { I I . }i Vi, 2pj" ... , -PiVi111f(Ad .. -;PiAi n A j .= {PiP}, 2PiP}, ... , _II_PiPj} ,PiPj

o valor de :p ('/I) Jl 0 de SCI' ca lculado a partir ria decorn-I)osi(,'iio de II vm [atoros ptimos. Sf' lee 01111 OSlo f" 0 de em.' a { .' ,: ).


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(Hi Outros Metodos de Contagem Cap.3 Cap.3 Outros Metodos de Contagem 67

(11+ -1)"---

J)1J)2",pr

,= n ( 1 - _ ! _ ) ( 1 - _ 2 _ ) . . . ( 1 - _ ! _ ) .Pl P2 PI" D10. Determine 0 numero de permut acoes de (1 ,2, ... , J I - ) nasquais nao figuram (em posicoes consccutivas (' no. ordom dada)nem 0 par 12, nem 0 par 23,... ,nem 0 par (n - 1 )n .11. Oi to criancas est ao sentadas em t.orno de urn carrossel, Dequantos modos elas porlem trocar de lugar de modo que cadacrianca passe a tor uma crianca eli Ierentc a sua di rei ta 7

Exercicios 12. Calcule :p(:360).1. Quantos intei r08 entre 1 e 1000 incl usive: 13. Quantas especies de poligonos regulares de 100 lados eXIS-tem?

a) sao divisivois por pclo monos tres dos numeros 2. 3, 7 e 107h) nao sao divisiveis par nenhum dos mimeros 2, ;3, 7 e 107c) sao divisivois por exat amente 11mdos numeros 2, 3, 7 e 107d) sao divisivois par p elo menos 11m dos mimeros 2, 3, 7 e 107

2. Quantos int8i ros ont I"(~ 1000 e 10.000 inclusi ve nao sao di-visiveis nem por 2, nem par :~ e nern por 5 '13. Lancam-so 3 dados, Em quantos dos 6:3 resultados possivcisa soma dos pontos c 127

14. Se P c urn prirno, quanto vale : p ( p ) ?15. Quantos sao as elementos do conjunt.o {L 2, ... ,500} quesao divisiveis par ;J on 5 mas nao sao divisivcis par 7?16. a) De quantos morlos po dernos distribuir 1 1 . partfculas dis-tintas pOI' n. niveis distint.os? (om Fisica ossa dist.ribuicao depart.iculas por niveis de energia c chamada de estatist.ica de Boltz-mann).

h) Em quantas dessas distribuicoes to dos os niveis ficarnocu pados '?17. a) De quantos rnorlos porlemos distribuir fI. part.iculas iguaispar n niveis dist intos? (em Fisica essa distribuicao e chamada decstatist ica de Bose-Einstein).

b) Em quant.as dessas distribuicocs to dos as niveis ficamocupados?18. De quantos modos po demos distri bui r J i particulas iguaispOI' 11 niveis distintos so nenhum nivcl poclo canter mais de limapart icula? (em Ffsica essa disl.ribuicao c ehamada elf ostatist.icade Fermi-Dirac).

4. Quant as sao as solucoes inteiros nao-negativas de x + y + z =12 nas quais polo menos uma incogni to . (~ maior que 7?5. Se #A = n. e 1f.B = P ( n : : : : p ), quantas sao as f:A - Bsobrejctoras?6. Determine 0numcro de permut acoes ele (1 ,2,3 ,4.5 ,6) nas quaisnern 0 4 ocupa 0 4u lugar nem 0 G ocupa 0 6u Ingar.7. Quantos sao os inteiros de "II digitos, quP LeIll todos as digitospcrtencent.es 0.0 onjunto { I, 2, 3 } '? Em quant.o s d o les as inteiros1, :2 e ;1 figuram todos? -8,1 Determine a l1l1I1WrO de perrnutacoes das lctas AA BBee DDnas quais nao ha letras iguais adjaccntes.9. Quantos intciros entre] e 1000 000 nao sao 118m quadradosperfeitos nom cubos perfeitos?


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3.2 Per-mut.acoes Caot.icas zero des conjuntos A 1, A2 , ... ,A n e

{TIna permutacao dos mimeros (1, 2, . .. ,n ) (0 . dita caotica (ou de-sordonament.o) quando nenhum nurnero ('5L a no sen Ingar prirni-t ivo. A ssim , as perrnu tacoes 21,1:3 0 ;3} -12 sao caot icas mas 1342nao e (1 esta no sen lugar primitive]. Para calcular 0 numeroDII de pcrmu tac;oes caoticas de (1, 2, ... , n . ) , dofina-se A - i _ . con-junto das permutacoos de (1,2, ... ,n ) ern que 0 numero iocupao -i-csimo Ingar, i E {1, 2, ... , n}.

11-0'" ( 1 )1 .:.( '1,; '-~ao L- -. ~O+I . : . '~(H-I . : .1. : .=0

Querernos calcular 0 numcro de elementos do conjunto nrlas perrnut acoos de (1,2, ... , 1 1 . ) que pertencern a exat amente zerodos conj untos A 1 , A 2, ... ,A II' Temos:

L(-1}l . : .sl .:.1. : .=0= So - S' ] I S'2 - S ';3 I ... + ( _ l } H ' < " 1 I1 1 1=n!-n! I ! _ ! _ : _ - " ! ! _ : _ I ... +(-1)11':':':'2! :3 ! 1 1 !

~ 1 I . ! [.2.-_2_+!_!-t- ... -t - (_1)1l]01 ]! 21 31 n!Logo, 0 uumero de p erruut.acoes caol.ioas 00 (1,2, ... , ' I t ) e

5'0 -: If(n) ~- = n ! ;11. Dn I I . ! [ 2 _ - _ ! _ + _ ! _ - _ ! _ - t- . . . - + (-1) 11].O ! I! 2! 31 II!81=Lil=(Ad -,L(lI -1)!= 11' (n -I)! = n!

';---1 i-IL - I l (A inAj )=l::;i


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70 Outros Metodos de Ccritagem Cap.3 Outros Metodos de Contagem 71

"/I Dn 1 I 1 / c1 n 0 , : : L . .2 1 0,7 .. .~ 2 2 ,2 ...1 9 8, f - ) 5 44 44.1...

1 1 1 A paraas quais a cquacao f ( : c ) : X nao possui solucao? Quantas sao asfuncoes f: A ---'> A bijetoras para as quais a equacao f ( : c ) - :1 ' naopossui solucao?Ora, D .,. ( ' intciro e

IDn - ~ 1 ' - ' 1 1 t 1 ( 2 _ _ 2 _ -1-'" + (_1)11) -C O ! 1 ! 1 1 . 1-n! (~ ! 1 \ + ~! - ... ) I= n! I (_1)n+1 -I- (_1)11+2 - 1 - 1

( 1 1 . + 1)~ (n j. 2)1( 1 1 )< n! - I - - I - . . .- ( n + 1 ) 1 ( n + 2 ) 11 1 1--+ + -I -1 1 + 1 (n+ l) (n+ 2) (n+ l) (n -l-2}(n+ 3)

2. Quantas sao as pormut a',.:ops de (1,2,:3,4,5.6,7) que tern exat a-mente ~ elementos no sell lugar primitive?3. Determine 0mirnero de pcrmutacoes caoticas de (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) nas quais os numeros 1,2,:3,1,5 ocupam, em algurna ordem,os cinco prirnciros lugarcs.4. De quantos modos 6 possivel colocar 8 torres brancas em urntabuleiro de xadrcz 8 x 8 de rnorlo que nenhuma terre rique nadiagonal bra nca e nao haj a duas tones n11.mcsma linha on narnesma coluna?5. Prove que, Sf' n : ? : :3, Du = (n - 1)(Dn- + Dn-:2).


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72 Outros Metodos de Conragem Cap.3 Cap.3 Outros Metodos de Contagem 7. 1

6. Prove que (dofinindo 1)0 1)

( 1 1 ) ( 1 1 ) ( n ) ( n )! := D j. D -1 t- D .; .j ... -I - Don 11 1 1) 2 1) s: "/IOra, para formal" urn 3-subconjunto sem elementos conse-

cutivos devcmos colo car :3 sinais -I - e :3 sinais - em fila, scm quehaja dais sinais -I - consecutivos, Para fazer isso, colocamos assinais ~ (1 modo), e colo camas os sinais - t- nos 4 cspacos assi-nalados, na figura :3.2. earn no maximo lim sinal por esp aco ( C ' Xmodos). A respost.a {~entao, 1 x e X =1.7. Prove que Dn .. nJ)11-1 -t - (_1)11 para n 2 : 2.

8. Dais medicos dovem oxamiuar. durante uma mesma hora, Gpacicntcs, gas tando 10 min utos com cat l a paciontc, Cada urn dos() pacient.cs deve ser exarninado pelos dais medicos. De quant.osmodos podc SCI" fcito lim horario cornpat.ivcl?9. Quant as sao as perrnut.aooes de (1 ,2, . .. , 2 1 1 - ) nas quais n(~-nhum numero impar o cupa 0 sell lugar primitive?

Fig. 3.2No easo geral tcmos p sinais j, 11 ~ P sinais ~ para arrumar

scm que haja dois sinais + consecutivos, Temos ] modo de colocaros sinais - e C~_p+l modos de colocar os sinais - t - .

Acabamos de obter 03.3 Os Lemas de Kaplansky Primeiro Lema de Kaplansky: 0 mimero de p- SUl)COlljuntos

de {I, 2, ... ,n} 1l0S quais wio lui lllhnems consecu tivos 6DC'quantos modos (' possivcl formal" 11m p-snhconjunto (isto (~, 11mS11h c onj un to corn p elcmen tos) do {1, 2, ... ,II} no qual nao haj a11l101(']"0 onsccut.ivos? Po]" exernplo , para 11 . = (j e p. :~, podernosoh ter a partir de {I, 2, :3 , < 1 , 5, 6} os soguintcs :3-sub conj untos nosquais HaO ha lemcntos consccutivos:

f( )~('l'H,P ~ '1[-p..,..l.

{1, :~,5}, {1.3,6}, {1,4,G}, {2,4,G}.Exemplo 3.5: As tres provas de um vestibular devern ser rea-lizadas na primeira semana do ano. Dc quantos modos p possivelescolher os dias das provas de modo que 11i;"tOhaja provas em diascons eeu tios?Podcriamos ter concluido que ha quat.ro :l-subcon. illntos de {I ,2,3,

4.5.G} sern elementos consccutivos scm necessidado de enumcra-los oxaustivamente. An formal" urn subconjunto, marcamos corn 0sinal -I - os elementos do conjunto que Iarao parte do subconjunt.oe corn 0 sinal - os elementos que njio fa6io parte do sub conjunto.Assim,

Solur;ii.o: Devemos formar urn subconjunto de :l elementos noconjunto dos 7 dias da primeira semana. de modo que nao hajadias consecutivos no subconjunto. A resposta e

f (7 ,3) = ef-:3+1 :.. c.~,.~10. D{I ,:l,5} seria represent ado pOl' j- --j- - +-:{2.:l,G} (que nao e urn subconjunto valido pOlS :l (~3 saoconsccutivos) scria marc-ado - -I - .j- - -+.

Exemplo 3.6: Uma fila tern 1f; cadeiras nas quais devorn sent ar-se 5 hornens. rIC' modo que nao Iiquern dois hornens scntados emcadeiras ontfguas, De quant.os mo dos isso porlc sor rf'i to?


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Soiuciio: Devemos inicialmente escolher 5 cadeiras sem que hajacadeiras consccutivas. Isso pode ser feito de f(15, 5) = Cf5-5+1 =Cfl modos; escolhidas as 5 cadeiras, devemos designar a cadahornem uma cadeira, 0 que po de ser feito de P . ' J = 5\ modos. Arespost a e Cf1 x 5! = 55440. 0Exemplo 3.7: Quantos sao os anagram as da palavra MISSIS-SIPI nos quais nao ha duas letas .') consecutivas?

Agora os elementos "I" e "n" sao eonseeutivos. De quantosmodos e possivel formar urn p-subeonjunto de {I, 2, ... ,n } noqual nao haja numeros corisecut.ivos? Ora, 0 nurnero total desubconjuntos sera a soma do numero de subconjuntos nos quaiso elemento "I" figura corn a mimero de subconjuntos nos quais 0elemento "I" nao figura.

So luciio: Devernos colocar as letras de MISSISSIPI nas casasabaixo:

a) Subconjuntos nos quais 0 elemento "I" figura. Para forma-los devemos escolher p - 1 elementos em {3, 4, ... ,n - I} (poisse 0 "1" figura, 0 "2" e 0 "n" nao podem figural') para serem ascompanheiros do "I" no subconjunto, nao podendo SCI' escolhidoselementos eonseeutivos. 0 nurnero de modos de que isso pode SCI'feito eDevemos inieialmente escolher 4 casas sem que haja casas

consecutivas para colo car as letras S, 0 que po de ser feito def(10,4) =CfO-4+l =cj = 35 modos.

6 1p4,l,1 = __ . _ = 30G 411!1\

f(n - 3' p - 1) = Cp-.1 =Cp-1, n-.3-(p-l)+1 n-p-l'b) Sub conjuntos nos quais 0 elemcnto "I" nao figura. Paraforma-los devemos escolher p elementos em {2, 3, ... ,n}, nao po-dendo ser escolhidos elementos consecutivos, Isso pode ser feitode f( n - I, p ) =C~-l-p+l = C~_p modos. Port anto , a resposta e

Agora devemos arrumar as letras restantes (4 letras I, 1letra M e 1 letra P) nas 6 casas restantes, 0 que pode SCI' fcito de

modos. A resposta 6 35 x 30 = 1050. op-l p _ (n - p - 1)! (n - p ) !Cn-p-1 + ClI_ - ( ) ( ) +p-l!n -2p! p!(n -2p) !

(n -p-l ) !p+(n-p) !p!{n - 2p) !

=( n_p_ l ) !p+(n -p)p!(n -2p) !(n -p-l ) != n p!(n - 2p) !1 1. (n - p) !

n-pp! 'n -2p) !_ n p---en_pon-p

Suponhamos agora que os elementos de {I, 2, ... ,n } este-jam arrumados em circulo, como na figura :1.3.

Fig. 3.3 Aeahamos de obter 0


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Segundo Lema de Kapiansky: 0 nrimero de p- subconjuntosde {I, 2, . .. ,n} 11os quais nao lui 11timeros consecu tivas e , COIl-siderendo 1 en como consecurivos, ignel a

( ) 11 ,pg n,p = --en-vn-p

4. De quantos modos podemos formar uma sequencia de p ele-mentos iguais a 2, q elementos iguais ale 1 elementos iguais a 0se dois elementos iguais a zero nao podem ser adjaccntes?5. De quantos modos c possivel formal' uma roda de ciranda com7 meninas e 12 meninos sern que haja duas rneninas em posicoesadj acentes '!

Os Lcmas de Kaplansky foram construidos em 194a pelornaternat.ico canadense-americano Irving Kaplansky para a resolu-~ao do ehamado Problema de Lucas que Sf' encontra no Apendice2.

6i Quantos s a o os anagramas de uraraquara que nan possuemduas letras (I. consecutivas?

Excmplo 3.8: Hugo deve tel' aula de tenis trcs vezes por se-mana, durante urn semestre. Quantos sao as modos de escolheros elias de aula, Sf' Hugo nao desej a ter aulas ern dias consecutivos?

1. (Generaliza~ao do lQ Lerna de Kaplansky),De quantos modos e possivel formar urn p-subconjul1to de

{I, 2, ... ,n } de rna do que entre cada dois elementos escolhidospara 0 subconjunto haja, no conjunto, pelo menos 1" elementosnao cscolhidos para 0 subconjunto?

o

8. (Generaliza~ao do 2u Lema de Kaplansky). Refa~:a 0 pro-blema anterior no caso circular. .Nessc caso, por exemplo, tornandon = 6, 0 conjunto {l,2,3,J!,5,6} t' tal que entre 1 e 4 ha dois ele-mentos, entre 5 c 1 ha urn elemento, entre 6 e < 1 ha tres elementos.(Sugestao: divida os subconjuntos em dois grupos: aqueles quecoritem algum dos elementos 1,2, ... , T e os que nao contem ne-nhum dos elementos {1,2, ... ,1'}).

Soiuciio: Hugo deve escolher :3 dos elementos do eonjunto domin-go, sequnda, terca, quarto, quinta, sexta, sdbado, nao podendoescolher dois dias consecutivos e sendo 0 domingo e 0 sabado eliasconsecutivos. 0 mimcro de modos de fazer isso e

Exercicios 3.4 0 Pr inoipio da Reflexao1. 5 pessoas devern se sentar em 15 cadciras colocadas em tornode urna mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito senao deve haver ocupacao sirnult anea de duas cadciras adjacentes?2. Dado urn dccagono, quantos sao os t.riangulos cujos verticessao vertices nao-consecutivos do decagono?

Urna part icula, estando no ponto (x , V ), pone se movimentar parao ponto (x + l,y + 1) ou para 0 ponto ( . ' 1 : + l,y -1).a) Quantos sao os trajetos possiveis ciapart.icula de (0,0) a (8,6)?

3. De quantos modos podemos formar uma sequencia de p ele-mentos iguais ale q elementos iguais a 0 sc dois elementos iguaisa zero nao podem ser adjacentes?


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b) Quantos sao os trajetos de (O,O)a (10,4)'1Temos 8 + D

respost a e10 e 8 - D =4. Logo, , 1 , ' , .. .: 7, D = 3 e a

/VV/_Vr - ,//

7 3 10!P =~ = 120.10 7 1 3 1

Fig. 3.4

Parafraseando, em uma eleicao com 2 candidatos 8 e De 10 eleitores, a qual e vencida pelo candidate S por 4 votos dediferenca, lui 120 modos de marchar a apuracao.c) Quantos desses trajetos tocam na reta y = -I?

Todo trajeto de (0,0) a (10,4) que toque na reta y = -1pode ser transformado, par uma reflexao em torno da reta y = -1do trecho do trajeto entre (0,0) e 0prirneiro toque na reta y = -1,em urn trajeto do ponto (0, -2) ate 0 ponto (10,4). Reciproca-mente, todo trajeto do ponto (0,-2) ate 0 ponto (10,4) (urn taltrajeto obrigatoriamente toea na reta y =. , -1) pode ser transfor-mado (pOl' uma reflexao em torno da reta y = -1o trecho entre(0,0) eo primeiro toque na reta y = -1) em urn trajeto de (0,0)a (10,4) que toea na ret a y = -1.

Os movimentos permitidos para a part.icula sao de subidaS: (x , y) --+ (x I- 1, y + 1) Oll de descida, D: (;r, y) --+ (x + 1, y - 1).Na figura 3.4 0 trajeto descrito pela part.icula foi SSD SSS SS.

Para que ela va de (0,0) a (8,6) devemos tel" S +D = 8 (emcada movimento, de subida ou descida, a abscissa da partfculaavanca uma unidade. Como de (O,O) a (8,6) sua abscissa avancou8 unidades, 0total de movimentos de sub ida e descida deve ser 8)e S - D = 6 (em cada movimento de subida a ordenada aumentauma unidade e em cada movimento de descida a ordenada diminuiuma unidade), Dai S ' . .. :.7 e D =1.

O ' . d t . t 'p 7,1

Analise Combinatoria e Probabilidade Augusto Cesar

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