UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)FACULTAD DE QUMICA E INGENIERA QUMICA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA QUMICADEPARTAMENTO ACADMICO DE ANLISIS Y DISEO DE PROCESOS

ANLISIS NUMRICO

Sistemas de Ecuaciones Algebraicas LinealesIng. CIP Jorge Luis Crdenas Ruiz

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales* Un ingeniero supervisa la produccin de tres tipos de automviles. Se requieren tres clases de materiales - metal, plstico y caucho - para la produccin. La cantidad necesaria para producir cada automvil es de:Si se dispone de un total de 106 toneladas de metal, 2,17 toneladas de plstico y 8,2 toneladas de caucho diariamente, cuntos automviles se pueden producir por da? Se desea hallar los voltajes en los nodos a ,b y c de una red elctrica conectada en tres terminales con voltajes conocidos. Se obtuvieron las tres ecuaciones siguientes:(ea - 20)/2 + (ea - eb)/4 + (ea - ec)/3 = 0(eb - ea)/4 + (eb - 0)/3 + (eb - ec)/5 = 0(ec - 5)/3 + (ec - ea)/3 + (ec - eb)/3 = 0Hallar ea, eb y ec voltaje, en voltios.Un arreglo de tres resortes en serie cuando se comprimen con una fuerza F de 2 000 kg. En el equilibrio, se pueden desarrollar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, definiendo las interrelaciones entre resortes:k2(x2 x1) = k1x1Donde las k son las constantesk3(x3 x2) = k2(x2 x1)del resorte. Si de k1, k2, k3 son de:F = k3(x3 x2)150, 50, 75, respectivamente,Calcule las x.

Pasos para una simulacinMODELO MATEMTICOALGORITMOPROGRAMACINOPERACININTERPRETACIN DE RESULTADOSREALIDAD

Bases para el estudio de un sistemaSISTEMAS DE ECUACIONESALGEBRAICAS LINEALESECUACIONES DE BALANCELEYES DE LA CONSERVACINMASA, ENERGA, CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ETC.MASA, ENERGA, CANTIDAD DE MOVIMIENTO, ETC.

Hay un nuevo caso de determinacin de valores x1, x2, , xn que satisfacen simultneamente un conjunto de ecuaciones

Tales sistemas pueden ser lineales. La forma general de las ecuaciones algebraicas lineales es

Dos tipos de sistemas que pueden ser modelados usando ecuaciones algebraicas lineales: a) sistemas de variable englobada que involucran componentes finitos acoplados; b) El sistema de variable distribuido que involucra un continuo

Una matriz

Matriz identidadMatriz tridiagonalMatriz simtrica

Producto de dos matrices

Tres paracaidistas en cada libre mientras estn conectados con cuerdas de masa despreciable.Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los tres paracaidistas en cada libre .

a = 8,594 1 m/s2T = 34,411 8 NR = 36,764 7 N

Matriz inversa

Representacin de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial[Interacciones]{respuesta} = {estmulo}

{Respuesta} = [interacciones]-1 {estmulo}

Mtodo de Gauss-Seidel

Criterio de convergenciaCuando la matriz del SEAL es diagonalmente dominante, es decir,El mtodo de Gauss-Seidel converge.En caso de no cumplir este criterio, el mtodo an converge pero muy lentamente, por lo que se debe emplear una tcnica de sobrerrelajacin (overrelaxing method) para acelerar la velocidad de convergencia.

Ilustracin de a) convergencia y b) divergencia del mtodo de Gauss-Seidel. Note que las mismas funciones son graficadas en ambos casos (u: 11x1 + 13 x2 = 286; v: 11x1 - 9x2 = 99). As el orden en el que las ecuaciones se implementan dicta si el clculo converge.

CONCLUSIONESEl mtodo de inversin matricial es recomendable para SEAL de hasta de 50x500, ya que el error de redondeo crece en cada etapa de clculo.

El mtodo de Gauss-Seidel puede manejar SEAL de hasta 1000x1000 con la ventaja de que no se ve afectado por el nmero de iteraciones ya que el error de redondeo no lo afecta por el criterio de detencin, basado en el nmero de cifras significativo.