An1 DGheorghiu Logica Gen Vol II

8/14/2019 An1 DGheorghiu Logica Gen Vol II

1/164

DUMITRU GHEORGHIU

LOGIC GENERALII

ANALIZA I EVALUAREA ARGUMENTELOR N LOGICAPREDICATELOR. SISTEME DEDUCTIVE. EXTINDERI

I MODIFICRI ALE LOGICII PROPOZIIONALE CLASICE.ARGUMENTE PLAUZIBILE

Universitatea Spiru Haret


2/164

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

GHEORGHIU, DUMITRULogic general / Dumitru Gheorghiu. Bucureti,Editura FundaieiRomnia de Mine, 2004

162 p.; 20,5 cmISBN 973-582-696-8Vol. 2. 2004. - ISBN 973-582-885-5

16(075.8)

Editura FundaieiRomnia de Mine, 2004ISBN 973-582-696-8 generalISBN 973-582-885-5 vol II

Redactor: Octavian CHEANTehnoredactor: Marcela OLARUCoperta: Stan BARON

Bun de tipar: 13.01.2004; Coli tipar: 10,25Format: 16/6186

Editura i Tipografia FundaieiRomnia de MineSplaiul Independenei nr.313, Bucureti, sector 6,

O. P. 83, Telefon i Fax. 410 43 80 www. SpiruHaret.roe-mail: [email protected]



3/164

UNIVERSITATEA SPIRU HARET

FACULTATEA DE FILOSOFIE I JURNALISTIC

DUMITRU GHEORGHIU

LOGIC GENERALII

ANALIZA I EVALUAREA ARGUMENTELOR N LOGICAPREDICATELOR. SISTEME DEDUCTIVE. EXTINDERI I

MODIFICRI ALE LOGICII PROPOZIIONALE CLASICE.ARGUMENTE PLAUZIBILE

EDITURA FUNDAIEI ROMNIA DE MINE

Bucureti, 2004



4/164



5/164

5

CUPRINS

V. Analiza i evaluarea argumentelor n logica predicatelor ... 7

5.1. Noiunea de predicat n logica predicatelor ... 75.2. Simbolismul logicii predicatelor .. 9

5.3. Scheme de propoziii despre indivizi .... 11

5.4. Scheme de propoziii uniform cuantificate .. 15

5.5. Formule nchise cu scheme de predicate diadice ... 22

5.6. Probleme ale formalizrii limbii romne n limbajul logicii

predicatelor .... 28

5.7. Aspecte ale problemei deciziei n logica predicatelor ... 33

5.8. Metoda deduciei naturale .... 365.9. Teoria relaiilori logica predicatelor ... 48

Exerciii i probleme ...... 52

VI. Sisteme deductive ......... 60

6.1. Cerine impuse sistemelor deductive ... 62

6.2. Un sistem deductiv de calcul propoziional clasic . 66

6.3. Extinderi ale sistemelor deductive de calcul propoziional

clasic ....... 73

Exerciii i probleme .... 78

VII. Extinderi i modificri ale logicii propoziionale clasice . . 80

7.1. Negaia contrari negaia subcontrar .... 80

7.2. O logic propoziional relevant .... 92

7.3. O logic propoziional modal ... 107

Exerciii i probleme .... 118



6/164

6

VIII. Argumente plauzibile ... 120

8.1 Implicaii certe i implicaii plauzibile ... 1208.2. Examinarea unei consecine certe .... 123

8.3. Examinarea succesiv a mai multor consecine certe 129

8.4. Examinarea unei ipoteze posibile 133

8.5. Examinarea succesiv a mai multor ipoteze posibile 137

8.6. Examinarea unei consecine plauzibile 141

8.7. Disjuncii neexclusive i disjuncii exclusive ... 145

8.8. Examinarea unui disjunct neexclusiv ... 146

8.9. Examinarea unui disjunct exclusiv .. 1488.10. Examinarea unor ipoteze incompatibile . 151

8.11. Respingere i compatibilitate . 153

8.12. Argumente plauzibile complexe 157

Exerciii i probleme ... 160

Bibliografie ....... 163



7/164

7

V. ANALIZA I EVALUAREA ARGUMENTELORN LOGICA PREDICATELOR

n logica propoziional1, propoziiile simple conteaz ca unitineanalizate, iar metodele logicii propoziionale permit evaluarea argumen-

telor deductive cu propoziii compuse cu ajutorul expresiilor logice nu,i, sau i dac. Metodele silogisticii2 permit evaluarea argumentelordeductive cu propoziii categorice, a cror validitate depinde de structuraintern a propoziiilor componente, dat de relaiile enunate de propoziiilerespective ntre termenii din alctuirea lor. Logica predicatelor, numit iteoria cuantificrii, ofer un model pentru analiza i evaluareaargumentelor silogistice, precum i pentru analiza i evaluarea unorargumente care nu pot fi tratate adecvat nici n logica propoziionali nici n

silogistic, deoarece mbin trsturi ale argumentelor cu propoziii compusecu trsturi ale argumentelor silogistice. n plus, limbajul formal al logiciipredicatelor permite o analiz pertinent a unor noiuni fundamentale pentruargumentarea nedeductiv, precum i sesizarea structurilor de adncime aleargumentelor nedeductive.

5.1. Noiunea de predicat n logica predicatelor

Ideea de baz a logicii predicatelor este c orice univers de discurs este

alctuit din entiti individuale sau indivizi, despre care se enun c au sau nuanumite nsuiri, respectiv c stau sau nu n anumite relaii3. Natura acestorentiti individuale este indiferent; tot ceea ce conteaz n logica predicatelor

1 Vezi capitolul II, n Dumitru Gheorghiu, Logic general, vol. I, EdituraFundaieiRomnia de Mine, Bucureti, 2001.

2 Vezi capitolul III.3 Ca atare, prin individ vom nelege n continuare orice lucru, fapt, situaie

etc. despre care se poate spune c are sau nu o anumit nsuire, respectiv c st sau nuntr-o anumit relaie cu un individ.



8/164

8

este presupunerea c n universul de discurs considerat existcel puin unindividsau, altfel spus, corice univers de discurs considerat este nevid. nacest cadru, un predicat este o expresie incomplet care introduce n discurs

o nsuire sau o relaie. Fie, de pild, propoziia Toi sportivii suntprofesioniti sau amatori. Din punctul de vedere al logicii predicatelor, naceast propoziie apar predicatele este sportiv, este profesionist i este amator, fiecare dintre acestea introducnd o nsuire, respectiv a fi

sportiv, a fi profesionist i a fi amator. Din acelai punct de vedere, npropoziia Deputaii i senatorii primesc o indemnizaie apar predicatele este deputat, este senator, este indemnizaie i primete. Primele trei predicate introduc nsuiri, n timp ce ultimul predicat

introduce o relaie ntre cel care primete ceva i ceea ce este primit.Punctele nu fac parte propriu-zis dintr-un predicat, ci marcheazlocuri goale care pot fi completate cu termeni individuali4 sau cu anumite

pronume nehotrte pentru a se obine propoziii. Dup cum reiese i dinexemplele de mai sus, predicatele care introduc nsuiri conin un singurastfel de loc gol, motiv pentru care se numesc predicate monadice, iar

predicatele care introduc relaii conin cel puin dou astfel de locuri goale,motiv pentru care se numesc predicate poliadice. Predicatele care introduc

o relaie ntre doi indivizi (conin dou locuri goale) se numesc predicatediadice, iar cele care introduc o relaie ntre trei indivizi se numescpredicate triadice. n general, se spune c un predicat cu n locuri goale esteun predicat n-adic. Astfel, predicatele poliadice sunt predicate n-adice cu n2.Fie, de pild, predicatul monadic este romancier. Din acest predicat

putem obine cel puin propoziiile Liviu Rebreanu este romancier5, Celpuin cineva este romancier, Octavian Goga este romancier i Oricineeste romancier, primele dou propoziii fiind adevrate, iar ultimele doufiind false.

Fie acum predicatul diadic nfiaz pe . Din acest predicatputem obine, ntre altele, propoziiile Cel puin cineva nfiaz pe cel puincineva, Cel puin cineva nfiaz pe oricine, Oricine nfiaz pe cel puin

4 Amintim c un termen individual desemneaz un singur obiect specificat,determinat i c termenii individuali pot fi descriptivi (e.g. Autorul romanului

Rscoala, cel mai nalt munte de pe Pmnt) sau nedescriptivi (e.g. LiviuRebreanu, Hymalaia).

5 Aici i n cele ce urmeaz facem abstracie de timpul verbului a fi.



9/164

9

cineva i Oricine nfiaz pe oricine, prima propoziie fiind adevrat, iarcelelalte fiind false. Predicatele se afl ntre i i mprumut

pe cu sunt exemple de predicate triadice.

n cele ce urmeaz, ne vom limita analiza la propoziii n care aparpredicate cel mult diadice.

5.2. Simbolismul logicii predicatelor

Simbolismul (limbajul) logicii predicatelor este alctuit din simbolis-mul logicii propoziionale, la care se adaug urmtoarele:

1. Minusculele de la nceputul alfabetului latin a, b, c etc. eventual urmate de indici, sunt constante individuale. Constanteleindividuale pot fi puse n coresponden cu termeni individuali.

2. Minusculele de la sfritul alfabetului latin x, y, z eventualurmate de indici, sunt variabile individuale. Variabilelorindividuale nu le corespunde vreun tip de expresie din limbajulnatural, ele fiind utilizate pentru a marca locurile goale dintr-un

predicat. Ca atare, se spune c variabilele individuale desemneazindivizi oarecare sau indivizi nedeterminai.

3. MajusculeleF, GiHsunt litere-predicatsau variabile-predicat.Literele-predicat pot fi puse n coresponden cu nume de nsuirisau de relaii. Pentru nlesnirea expunerii, n aplicaii se pot folosii alte majuscule ale alfabetului latin.

4. Simbolurile i urmate de o variabil individual, de pildx,y, x, y, sunt cuantori. O combinaie de simboluri de formax se numete cuantor universal i se citete pentru orice

x sau oricare ar fix , iar o combinaie de forma x senumete cuantor existenial i se citete exist cel puin unx

astfel nct .5. Literele-predicat urmate de cel puin o variabil individual Fx,

Gy, Hxy etc. sunt formule elementare deschise ale logiciipredicatelorsauscheme de predicate. Schemele de predicate potfi puse n coresponden cu predicate. Analog predicatelorsimbolizate, avem scheme de predicate monadice, cum suntFxiGy, sau scheme de predicate diadice, cum esteHxy. O schem de

predicat Fx se citete x esteF sau Fdex, iar o schem de

predicatHxy se citete Hdex,y.



10/164

10

6. Literele-predicat urmate de cel puin o constant individual Fa,Gb, Hab etc. sunt scheme de propoziii elementare despreindivizii se folosesc pentru a simboliza propoziii care enun c

un individ are o anumit nsuire sau c doi sau mai muli indiviziau se afl ntr-o anumit relaie. Aceste scheme pot fi considerateca fiind obinute din scheme de predicate prin nlocuirea variabile-lor individuale cu constante individuale. De pild,Hab (Hdea, b)

poate fi obinut dinHxy prin nlocuirea luix cu ai a luiy cu b.7. Prin cuantificarea fiecrei variabile dintr-o schem de predicat se

obine o formul elementar nchis a logicii predicatelor,precum xFx (pentru oricex,x esteF), yFy (exist cel puin

uny, astfel ncty esteF), xyHxy (pentru oricex exist celpuin uny, astfel nctHdex,y) etc. Despre astfel de formule sespune c suntscheme de propoziii elementare cuantificate.

ntr-o formul a logicii predicatelor, variabilele individuale la care serefer un cuantor au calitatea de variabile legate (capturate) de acelcuantor, iar variabilele la care nu se refer vreun cuantor au calitatea devariabile libere (necapturate). Astfel, n formulele elementare nchisexFx, yFyi xyHxy, variabilele individualexiy sunt legate. n acest

sens, formulele nchise ale logicii predicatelor sunt formule n care toatevariabilele individuale sunt legate, iar formulele deschise ale logiciipredicatelor sunt formule n care apare cel puin o variabil individual liber.De exemplu, yFxy este o formul deschis, deoarece conine variabilaindividual liberx6.

8. Formulele neelementare ale logicii predicatelorsunt alctuitedin formule elementare cu ajutorul operatorilor propoziionali.

De pild, x (Fx ~Fx) este o formul sau schem

neelementar nchis, obinut prin cuantificarea universal avariabilei x n formula neelementar nchisFx ~Fx.

Formula x (Fx ~Fx) se citete pentru oricex,x esteFsaux nu esteF.

6 Formula yFxy poate fi considerat ca o schem de predicat degenerat dex. De pild, punnd n coresponden schema de predicatFxy cu predicatul x vede pey, se obine expresia incomplet x vede pe cel puin cineva.



11/164

11

Se numete domeniu al unui cuantor acea parte dintr-o formul la

care se refer cuantorul respectiv. Astfel, n formula x (Fx ~Fx),

domeniul cuantorului universal este formula Fx ~

Fx. Domeniul unuicuantor este indicat, de regul, de parantezele care l urmeaz imediat; dacun cuantor nu este urmat de paranteze, atunci domeniul acelui cuantor este

prima formul elementar care l urmeaz. De pild, n formula xFx Fy,domeniul cuantorului universal este formula Fx, n yFxy, domeniulcuantorului existenial este formulaFxy, iar n xyHxy, fiecare cuantor areca domeniu formulaHxy.

n construirea formulelor logicii predicatelor adoptm urmtoarele

trei restricii: (i) una i aceeai apariie a unei variabile individuale nu poate filegat de cuantori diferii (universal, existenial). De pild, aceast restricienu este nclcat n formula xFx xFx, dar este nclcat n formulax (FxxFx); (ii) una i aceeai variabil nu poate s apar att liber, cti legat n aceeai formul, ca n exemplul xFx Hxy; (iii) nici o liter pre-dicat nu poate s apar ntr-o formul cu un numr diferit de apariii ale varia-

bilelor individuale ataate, ca n exemplelex (FxFxx),x (FxFxy).n rezumat, pe lng simbolismul logicii propoziionale, simbo-

lismul logicii predicatelor conine urmtoarele:1. Constante individuale: a, b, c, 2. Variabile individuale:x,y,z, 3. Litere-predicat:F, G,H, 4. Cuantori:x, x5. Scheme de predicate:Fx, Gy,Hxy, 6. Scheme de propoziii elementare despre indivizi:Fa, Gb,Hab, 7. Scheme de propoziii elementare cuantificate: xFx, yGy,

xyHxy, 8. Scheme neelementare, cuantificate sau nu: x (Fx ~Fx),

Fx~Fx,xFxxFx

5.3. Scheme de propoziii despre indivizi

Dup cum am artat, constantele individuale pot fi puse ncoresponden cu termeni individuali. Schemele de propoziii elementare

despre indivizi pot fi combinate cu ajutorul operatorilor propoziionali pentru



12/164

12

a obine formule neelementare analoage structural cu cele ale logiciipropoziionale. De pild, date fiind corespondenele

Fx xeste infractor a PopescuGyx yeste complice cux b Ionescu,

formula (Fa & Gba) Fb red forma logic a propoziiei compuse DacPopescu este infractori Ionescu este complice cu Popescu, atunci Ionescueste infractor. S observm c n limbajul logicii propoziionale, aceast

propoziie apare a fi de forma (p & q) r. ntre componentele acesteiformule p, q, i r nu apare nici o legtur, or nu acesta este cazulcomponentelor corespunztoare ale propoziiei formalizate. Prin contrast, n

formula (Fa & Gba) Fb apar legturile dintre componente, datoritfaptului c litera-predicatFare dou apariii i la fel fiecare dintre cele douconstante individuale ai b. Acest exemplu ilustreaz faptul c formalizarean limbajul logicii predicatelor pune n eviden conexiuni care in destructura intern a propoziiilor formalizate i care nu pot fi puse n evidenn limbajul logicii propoziionale.

S examinm acum problema valorii logice a unei formule de acest tip.Rezolvarea acestei probleme presupune interpretarea formulei respective, iar

a interpreta o schemde propoziie despre indivizi nseamna asocia cteun termen individual fiecrei constante individuale din alctuirea sa i cteun predicat fiecrei scheme de predicat din care a fost obinuto schemde

propoziie elementardespre indivizi din alctuirea sa.Fie, de pild, constantele individuale ai bi schemele de predicateFx

i Gxy. Prin nlocuirea variabilelor individualexiy cu constantele meniona-te se obin urmtoarele ase scheme elementare de propoziii despre indivizi:

(i)Fa (ii)Fb (iii) Gaa

(iv) Gbb (v) Gab (vi) GbaS considerm urmtoarea interpretare, pe care o vom numi

interpretareaA:

a Bucureti Fx x este municipiub Ploieti Gxy x este la nord de y

Este uor de constatat c n interpretareaA, schemele (i), (ii) i (vi) iauvaloarea 1 (adevrat), iar schemele (iii), (iv) i (v) iau valoarea 0 (fals). Pe

aceast baz putem stabili valoarea logic a oricrei formule neelementare n



13/164

13

care apar scheme din mulimea (i) (vi), n interpretareaA, innd cont deoperatorii propoziionali care apar n formula respectiv. De pild, fieurmtoarele dou formule:

(vii)FaGba (viii) (Fb & ~Gab)Gaa

n interpretarea menionat, formula (vii) ia valoarea 1 (Bucureti estemunicipiu sau Ploieti este la nord de Bucureti), iar formula (viii) iavaloarea 0 (Dac Ploieti este municipiu i Bucureti nu este la nord dePloieti, atunci Bucureti este la nord de Bucureti). Acum, fie urmtoareainterpretare a schemelor (i) (viii), pe care o vom numi interpretareaB:

a 8 Fxx este numr imparb 4 Gxy x este divizibil cu y

Dup cum se poate constata, schemele elementare care iau valoarea 1n interpretareaA iau valoarea 0 n interpretareaB, iar cele care iau valoarea 0nA iau valoarea 1 nB. Tot aa, valorile logice luate n interpretareaA dectre formulele neelementare (vii) i (viii) se schimb n interpretarea B.Astfel, n B, formula (vii) ia valoarea 0, fiind o disjuncie n care ambiimembri iau valoarea 0 (8 este numr impar sau 8 nu este divizibil cu 4), ntimp ce formula (viii) ia valoarea 1, fiind un condiional n care antecedentulia valoarea 0i consecventul ia valoarea 1 (Dac 4 este numr impari 8 nueste divizibil cu 4, atunci 8 este divizibil cu sine). Vom spune co schemde propoziii despre indivizi care are cel puin o interpretare n care iavaloarea 1 i cel puin o interpretare n care ia valoarea 0 este o formulcontingenta logicii predicatelor. ntruct, dup cum am vzut, exist cel

puin o interpretare n care iau valoarea 1i cel puin o interpretare n care iauvaloarea 0, schemele (i) (viii) sunt formule contingente ale logicii

predicatelor.

Pentru cele ce urmeaz, vom introduce noiunea de substituieuniform ntr-o formul a logicii propoziionale. Fie A i B dou formuleoarecare ale logicii propoziionale i v o variabil propoziional care aparecel puin o dat n formulaA. Se numete substituie uniform a variabilei vn formulaA operaia de nlocuire a variabilei v n toate apariiile sale dinformulaA cu formulaB. n general, indicaia de substituire a unei variabile vcu o formulB se noteaz v/B. De pild, efectund substituiap/(q r) nformula (p & q) p, obinem, formula [(q r) & q] (q r). Se

demonstreaz c prin substituia uniform a unei variabile propoziionale



14/164

14

ntr-o lege a logicii propoziionale se obine o lege logic, precum i c prinsubstituia uniform a unei variabile propoziionale ntr-o formulinconsistenta logicii propoziionale se obine o formulinconsistent7. Cu

alte cuvinte, operaia de substituie uniform conserv caracterul de legelogic a unei formule a logicii propoziionale, precum i pe acela de formulinconsistent. n schimb, aa cum a fost definit mai sus, aceast operaie nuconserv caracterul de formul contingent. De pild, din formulacontingentqp se obine formula contingentq (q & r) prin substituia

p/(q & r), dar se obine legea logic (p & q)p prin substituia q/(p & q).O schem(neelementar) de propoziie despre indivizi este lege logic

daci numai dac ia valoarea 1 n orice interpretare a sa. Am vzut c,

prin interpretare, schemele contingente de propoziii despre indivizi iauvaloarea 1 sau valoarea 0. Sub acest aspect, aceste scheme sunt analoagevariabilelor propoziionale. Ca atare, orice schem neelementar de

propoziie despre indivizi obinut prin substituie uniform ntr-o lege alogicii propoziionale ia valoarea 1 n orice interpretare, fiind astfel o legelogic. De pild, schemeleFaFai (Fa & Gab) Fa sunt legi logice,fiind obinute, respectiv, din legile logice p p i (p & q) p prinsubstituiilep/Fai q/Gab.

Problema care se pune este dac exist scheme de propoziii despreindivizi care sunt legi logice, dar nu pot fi obinute prin substituie uniformdintr-o lege a logicii propoziionale. Dac lum n considerare doarconstantele logice , , &, i , precum i pe cele reductibile la acestea,rspunsul este negativ. Dac, ns, se introduce o constant special, notat cusemnul =, numit identitate i citit este identic cu, atunci rspunsul esteafirmativ. Fie, de pild, propoziia Dac Tudor Arghezi a fost scriitor iTudor Arghezi este acelai cu Ion Teodorescu, atunci Ion Teodorescu a fost

scriitor. Aceast propoziie este logic adevrat (nu poate fi fals).Formaliznd propoziia n limbajul logicii propoziionale, obinemcondiionalul (p & q) r, care este o formul contingent. Folosind limbajullogicii predicatelor fr identitate, obinem condiionalul (Fa & Gab) Fb,care, de asemenea, este o formul contingent (exerciiu). Introducndsemnul identitii, obinem formula [Fa & (a = b)]Fb (Daca esteFi a

7 Vezi exerciiul 4.



15/164

15

este identic cu b, atunci b esteF), care este o lege logic ce nu poate fiobinut prin substituie uniform ntr-o lege a logicii propoziionale.

Din cele de mai sus, rezult c dac ne limitm la constantele logice

introduse anterior (deci fr identitate), putem aplica metodele de deciziedezvoltate n logica propoziional pentru a stabili dac o schemneelementar de propoziie despre indivizi este sau nu lege logic, tratndschemele elementare din componena sa ca i cnd ar fi variabile

propoziionale.

5.4. Scheme de propoziii uniform cuantificate

Se numete schem de propoziie uniform cuantificat sau, pe scurt,schem uniform cuantificat orice formul nchis a logicii predicatelor,elementar sau nu, n care apar numai scheme de predicate monadice caredepind de una i aceeai variabil individual. Astfel, urmtoarele formulesunt exemple de scheme uniform cuantificate:

(i)xFxxGx (ii)x (GxFx)(iii) x (Hx & Gx) (iv)x (FxGx)xHx

Dat fiind un univers de discurs nevid oarecare U, care conine un

numr orict de mare de indivizi a1, a2, , condiiile semantice aleschemelor de propoziii elementare cuantificate de tipurile xFxi xFx sunturmtoarele (n continuare, ddac este o prescurtare pentru daci numaidac):

(1) O schem de tipul xFx ia valoarea 1 n Uddac fiecare individdin UesteFsau, altfel spus, ddac formulaFa1 &Fa2 & ia valoarea1. Deaici reiese cxFx ia valoarea 0 n Uddac n Uexist cel puin un individcare nu esteFsau, altfel spus, ddac formulaFa1 &Fa2 & ia valoarea 0.

(2) O schem de tipul xFx ia valoarea 1 n Uddac n Uexist celpuin un individ care esteFsau, altfel spus, ddac formulaFa1Fa2 iavaloarea 1. De aici reiese cxFx ia valoarea 0 n Uddac nici un individ dinUnu esteF, sau, altfel spus, ddac formulaFa1Fa2 ia valoarea 0

8.

8 Neviditatea universului de discurs este esenial pentru condiiile semantice(1) i (2). Astfel, ntr-un Uvid, orice schem de tipulxFx ia valoarea 1, deoarece nuexist vreun individ care s nu fieF, iar orice schem de tipul xFx ia valoarea 0,

deoarece nu exist vreun individ care s fieF.



16/164

16

Condiiile semantice (1) i (2) pun n legtur cuantorii universal iexistenial, respectiv, cu operatorii & i . Astfel, conform condiiei (1),xFx are aceeai valoare logic (este echivalent logic) n Ucu formula

Fa1 &Fa2 & , iar conform condiiei (2), xFx are aceeai valoare logic(este echivalent logic) n Ucu formulaFa1Fa2.

S stabilim valorile logice ale formulelor (i) (iv), considernduniversul de discurs al localitilor urbane din Romnia i urmtoareainterpretare:

Fx x este ora a1 AbrudGx x este municipiu a2 Adjud

Hx x este comun .Stabilirea valorii logice a formulei (i) revine la stabilirea valorii logice a

formulei

(v) (Fa1 &Fa2 & ) (Ga1 & Ga2 & )

Formula (v) este un condiional n care antecedentul ia valoarea 1iconsecventul ia valoarea 0; ca atare, aceast formul ia valoarea 0.

Conform condiiei semantice (1), o schem de tipul xFx poate fi

neleas ca asertnd schema de predicat Fx despre fiecare individ dinuniversul de discurs considerat. Analog, formula (ii) poate fi neleas caasertnd schema neelementar deschisGx Fx despre fiecare individ dinuniversul de discurs considerat. Astfel, stabilirea valorii logice a formulei (ii)revine la stabilirea valorii logice a formulei

(vi) (Ga1Fa1) & (Ga2Fa2) &

Formula (vi) este o conjuncie n care fiecare conjunct ia valoarea 1

(fiecare conjunct este un condiional n care consecventul ia valoarea 1); caatare, aceast formul ia valoarea 1, deci formula (ii) ia valoarea 1.Conform condiiei semantice (2), o schem de tipul xFx poate fi

neleas ca asertnd schema de predicatFx despre cel puin un individ dinuniversul de discurs considerat. Analog, formula (iii) poate fi neleas caasertnd schema neelementar deschisHx & Gx despre cel puin un individdin universul de discurs considerat. Astfel, stabilirea valorii logice a formulei(iii) revine la stabilirea valorii logice a formulei

(vii) (Ha1 & Ga1) (Ha2 & Ga2)



17/164

17

Formula (vii) este o disjuncie n care fiecare disjunct ia valoarea 0(fiecare disjunct este o conjuncie n care cel puin un conjunct ia valoarea 0);ca atare, aceast formul ia valoarea 0, deci formula (iii) ia valoarea 0.

n fine, stabilirea valorii logice a formulei (iv) revine la stabilireavalorii logice a formulei

(viii) [(Fa1Ga1) & (Fa2Ga2) & ] (Ha1Ha2)

Formula (viii) este un condiional n care antecedentul ia valoarea 1(antecedentul este o conjuncie n care fiecare conjunct ia valoarea 1), iarconsecventul ia valoarea 0 (consecventul este o disjuncie n care fiecaredisjunct ia valoarea 0); ca atare, aceast formul ia valoarea 0, deci formula

(iv) ia valoarea 0.Rezumnd, n universul de discurs i interpretarea considerate pnacum, formula (ii) ia valoarea 1, iar fiecare dintre formulele (i), (iii) i (iv) iavaloarea 0.

S considerm acum acelai univers de discurs ca mai sus, dar o altinterpretare, i anume:

Fx x este reedinde jude a1 AbrudGx x este municipiu a2 Adjud

Hx x este ora ...Raionnd pe baza formulelor (v) (viii), rezult c n aceast a doua

interpretare, formula (ii) ia valoarea 0, iar fiecare dintre formulele (i), (iii) i(iv) ia valoarea 1 (exerciiu). n fine, n universul de discurs al localitilorrurale din Romnia i n prima interpretare, formula (iii) ia valoarea 0, iarfiecare dintre formulele (i), (ii) i (iv) ia valoarea 1 (exerciiu).

Vom spune c o formul nchis este contingent ddac exist celpuin un univers de discurs i o interpretare n care formula respectiv ia

valoarea 1i cel puin un univers de discursi o interpretare n care formularespectiv ia valoarea 0. Dup cum am vzut, formulele (i) (iv) suntcontingente.

O formulneelementarnchiseste lege logicdacia valoarea 1 norice univers de discurs, finit sau infinit, i orice interpretare. Pornind de lalegi ale logicii propoziionale se poate ajunge la legi ale logicii predicatelor pemai multe ci. Astfel, am vzut c, prin interpretare ntr-un univers dediscurs, schemele contingente cuantificate uniform iau valoarea 1 sau

valoarea 0. Sub acest aspect, aceste scheme sunt analoage variabilelor



18/164

18

propoziionale. Ca atare, orice schem cuantificat uniform, obinut prinsubstituie uniform ntr-o lege a logicii propoziionale este o lege logic nlogica predicatelor. De pild, schema (xFx & xFx) este o lege logic,

fiind obinut din legea logic(p & p) prin substituiap/xFx.n continuare, vom spune c, ntr-o schem cuantificat uniform de

tipul xA sau xA, formulaA este matricea schemei respective. De pild,matricea schemei xFx esteFx, iar matricea schemei x [(FxGx) Hx]este (FxGx)Hx.

Fie acum schema neelementar deschisFxFx. Luat ca atare,acestei scheme nu i se poate atribui o valoare logic, deoarece ea corespundeunei expresii incomplete (dac esteF, atunci esteF). Considerat,ns, ntr-un univers de discurs oarecare, finit sau nu, alctuit din indiviziia1, a2, , schemaFxFx ia valoarea 1, oricare ar fi constanta individualcare nlocuiete variabilaxi pentru orice interpretare a schemei de predicat

Fx, deoarece orice astfel de propoziie neelementar despre indivizi(Fa1Fa1,Fa2Fa2, ) poate fi obinut , n principiu, prin substituieuniform n legea logicpp. Ca atare, formulele

(Fa1Fa1) & (Fa2Fa2) &

(Fa1Fa1) (Fa2Fa2) sunt legi logice i deci, conform celor artate mai sus, echivalentele logice aleacestorax (FxFx)i, respectiv, x (FxFx) sunt legi logice.

Vom spune c o matrice A este izomorf cu o formul a logiciipropoziionale, dac fiecrei variabile propoziionale distincte din formularespectiv i corespunde o schem de predicat distinct n A. De pild,

FxFx este izomorf cupp, iar (FxGx)Hx este izomorf cu (pq)r.n general, orice schem cuantificat uniform de tipul xA sau xA, n

care matriceaA este izomorf cu o lege logic a logicii propoziionale, este olege a logicii predicatelor. Rezult c pentru a verifica dac o schemcuantificat uniform de tipulxA sau xA este o lege a logicii predicatelor se

pot aplica metodele de decizie dezvoltate n logica propoziional, tratndschemele-predicat care apar n matricele respective ca i cnd ar fi variabile

propoziionale.Fie acum urmtoarea echivalen logic din logica propoziional:

(ix) (pq) (pq).



19/164

19

n orice univers de discurs U, finit sau infinit, alctuit din indiviziia1, a2, , schema x (FxGx), a crei matrice este izomorf cu formula

pq, ia valoarea 1 ddac formula

(x) (Fa1Ga1) & (Fa2Ga2) &

ia valoarea 1, iar schema x (FxGx), a crei matrice este izomorf cupq, ia valoarea 1 ddac formula

(xi) (Fa1Ga1) & (Fa2Ga2) &

ia valoarea 1. Conform legii logice (ix) i a regulii schimbului reciproc deechivaleni9, formulele (x) i (xi) sunt echivalente logic. Prin urmare,

schemele x (FxGx) i x (FxGx) sunt echivalente logic sau, altfelspus, formula

x (FxGx) x (FxGx)

este o lege a logicii predicatelor. Asemntor, se poate arta ci formula

x (FxGx) x (FxGx)

este o lege logic (exerciiu).

n general, dou scheme cuantificate uniform, QxAi QxB, unde Qxeste acelai cuantor, iar matriceleAiB sunt izomorfe cu formule echivalentelogic ale logicii propoziionale, sunt echivalente logic, astfel cQxAQxBeste o lege a logicii predicatelor.

n continuare, vom considera dou legi ale logicii propoziionale:(p & q) p, numit legea contragerii conjunciei, ip (pq), numitlegea extinderii disjunciei. Urmtoarele formule reprezint, respectiv,generalizri ale acestor dou legi logice:

(xii) (p & q & r& )p(xiii)p (pqr)

Pe baza legii logice (xii) se poate arta c o schem de tipul xFximplic logic schemaFa sau, altfel spus, c formula

9 Amintim enunul acestei reguli: dacdou formule sunt echivalente logic,atunci ele pot fi nlocuite una cu cealaltn orice context (formul), frca valoarea

logic a contextului (formulei) s se schimbe. Pentru detalii, vezi capitolul II,

seciunea 2.4.



20/164

20

(xiv)xFxFa

este o lege (implicaie logic) a logicii predicatelor, iar pe baza legii logice

(xiii) se poate arta c o schem de tipulFa implic logic schema xFx, sau,altfel spus, c formula

(xv)FaxFx

este o lege (implicaie) logic a logicii predicatelor10. Prin tranzitivitateacondiionalului11, din (xiv) i (xv) rezult ci formula xFxxFx estelege logic. Legea (xiv) este numit specificarea universal, iar legea (xv)este numit generalizarea existenial.

La rndul lor, legile (xiv)i (xv) pot fi generalizate. Astfel, fie

Axo

formul n care variabilax este liberiAa o formul obinut dinAx prinnlocuirea fiecrei apariii a variabileix cu constanta a. Atunci, schemele detipurile xAxAa specificarea universal i Aa xFx gene-ralizarea existenial sunt legi logice. De pild, urmtoarele dou formulesunt legi logice, prima fiind o aplicaie a specificrii universale, cealalt fiindo aplicaie a generalizrii existeniale:

x [(Fx & Gx)Hx] [(Fa & Ga)Ha]

[(Fa & Ga)Ha]x [(Fx & Gx)Hx]De notat c att specificarea universal, ct i generalizarea existenial

pot fi fcute i n raport cu variabile individuale. Astfel, urmtoarele formulesunt legi logice:

(xvi)xFxFy(xvii)FyxFx

Formula (xvi) enun c dac pentru orice individx,x esteF, atunci un

individ oarecare y este F, iar formula (xvii) enun c dac un individoarecarey esteF, atunci exist cel puin un individx, astfel nctx esteF.Generaliznd, fieAx o formul n care variabilax este liberiAy o formulobinut dinAx prin nlocuirea fiecrei apariii a variabileix cu variabilay.Atunci, schemele de tipurile xAxAy specificarea universal i

AyxFx generalizarea existenial sunt legi logice.

10 Vezi exerciiul 10.11 Vezi capitolul II, seciunea 2.8.



21/164

21

S considerm urmtoarele dou echivalene logice, cunoscute subnumele de legile lui De Morgan12:

(xviii) (p & q) (pq)(xix) (pq) (p & q)

Generaliznd legea (xviii), se poate arta c o formul de tipul xFxeste logic echivalent cuxFx sau, altfel spus, c formula

(xx) xFxxFx

este o lege (echivalen logic) a logicii predicatelor, iar pe baza generalizriilegii (xix) se poate arta c o formul de tipul xFx este echivalent logic cu

xFx sau, altfel spus, c formula

(xxi) xFxxFx

este o lege (echivalen logic) a logicii predicatelor13. La rndul lor, legile(xx) i (xi) pot fi generalizate dup cum urmeaz: orice schem de tipulxA este echivalent logic cu xA, astfel cxAxA este lege logici orice schem de tipul xA este echivalent logic cu xA, astfel cxAxA este lege logic. De pild, urmtoarele dou formule sunt legi

logice, reprezentnd aplicaii ale acestor generalizri:x (FxGx) x(FxGx)x(FxGx) x(FxGx).

Aplicnd legea (xxi), o formul xFx este echivalent logic cuxFxi, prin eliminarea dublei negaii, cuxFx, dup cum, aplicnd legea(xx), o formulxFx este echivalent logic cu xFxi, prin eliminareadublei negaii, cu xFx. Rezult c urmtoarele dou formule sunt legi ale

logicii predicatelor:(xxii)xFxxFx(xxiii) xFxxFx

Ultimele dou legi pot fi generalizate asemntor legilor (xx) i (xxi),astfel c formulele de tipurilexAxAi xAxA sunt legi logice.

12 Vezi capitolul II, seciunea 2.8.13 Vezi exerciiul 10.



22/164

22

Pe baza legilor (xx)-(xxiii), numite echivalenele cuantorilor, seformuleazregula transformrii cuantorilor, dup cum urmeaz: un tip decuantor poate fi nlocuit cu cellalt tip de cuantor ddac imediat nainte i

dupnoul cuantor semnul negaiei este eliminat, dacapare iniial, i esteintrodus, dacnu apare iniial. De pild, aplicnd aceast regul la formula

x(Fx & Gx)x(FxGx)

obinem formula

x (Fx & Gx)x (FxGx),

cele dou formule fiind echivalente logic.

5.5. Formule nchise cu scheme de predicate diadice

Fie schema de predicat diadicFxy. n aceast schem, Fintroduce orelaie oarecare, pe care o putem reprezenta printr-o sgeat de lax lay:xy.Considerat n sensul artat de sgeat,Fxy se va citi x indic prin relaia

Fpey; considerat n sens invers,Fxy se va citi y este indicat prin relaiaFde ctrex.

Fie urmtoarele opt formule (scheme) elementare nchise, obinute prin

cuantificarea variabilelor individualexiy din schema de predicatFxy:(i)xyFxy (v)yxFxy(ii) xyFxy (vi)yxFxy(iii)xyFxy (vii) yxFxy(iv) xyFxy (viii) yxFxy

De notat c fiecrei formule dintr-o coloan i corespunde n cealaltcoloan o formul n care ordinea cuantorilor este inversat. Ca mai sus, vom

considera un univers de discurs nevid oarecare U, care conine un numrorict de mare de indivizi a1, a2, .Fiecare dintre schemele (i)-(viii) poate fi neleas ca asertnd schema

de predicatFxy despre indivizii din U, dup cum urmeaz:

(i)xyFxy Orice individ indic prin relaiaFpe orice individ(ii) xyFxy Cel puin un individ indic prin relaiaFpe orice individ(iii)xyFxy Orice individ indic prin relaiaFpe cel puin un

individ



23/164

23

(iv) xyFxy Cel puin un individ indic prin relaiaFpe cel puin unindivid

(v)yxFxy Orice individ este indicat prin relaiaFde ctre oriceindivid

(vi)yxFxy Orice individ este indicat prin relaiaFde ctre cel puinun individ

(vii) yxFxy Cel puin un individ este indicat prin relaiaFde ctreorice individ

(viii) yxFxy Cel puin un individ este indicat prin relaiaFde ctrecel puin un individ.

Aceste formulri pot fi luate drept condiii semantice ale schemelorcorespunztoare. S exemplificm pentru schemele (i), (ii) i (vi). Astfel,schema (i) xyFxy ia valoarea 1 n Uddac n Uorice individ indic prinrelaiaFpe orice individ. De aici reiese cxyFxy ia valoarea 0 n Uddacn Ucel puin un individ nu indic prin relaiaFpe cel puin un individ. Deasemenea, reiese c o condiie necesar (evident, nu i suficient) pentru caschema xyFxy s ia valoarea 1 n Ueste ca fiecare individ din Us seindice prin relaiaFpe sine (altfel nu ar indica prin relaiaFpe toi indivizii).

De pild, n universul de discurs al indivizilor umani i interpretnd peFxy prin predicatul x iubete pe y, schema n discuie ia valoarea 1 ddacoricine iubete pe oricine (inclusiv pe sine) i ia valoarea 0 ddac cel puincineva nu iubete pe cel puin cineva.

Schema (ii) xyFxy ia valoarea 1 n Uddac n Ucel puin un individindic prin relaiaFpe orice individ. De aici reiese cxyFxy ia valoarea 0n Uddac n Ufiecare individ nu indic prin relaiaFpe cel puin un individsau, altfel spus, ddac n Unu exist vreun individ care s indice prin relaia

Fpe toi indivizii. De asemenea, reiese c o condiie necesar (evident, nu isuficient) pentru ca schema xyFxy s ia valoarea 1 n Ueste ca un individdin U, cel puin, s se indice prin relaiaFpe sine. Dac nu exist vreunindivid care s indice prin relaiaFpe toi indivizii, inclusiv pe sine, atuncixyFxy ia valoarea 0. De pild, n universul de discurs al indivizilor umanii interpretnd peFxy prin predicatul x iubete pey, schema n discuie iavaloarea 1 ddac cel puin cineva iubete pe oricine (inclusiv pe sine) i iavaloarea 0 ddac nu exist cineva care s iubeasc pe oricine.



24/164


25/164

25

individ. Prin urmare, schemele (i) i (v) sunt echivalente logic, astfel curmtoarea formul este lege logic:

(ix)xyFxyyxFxyTot aa, schemele (iv) xyFxy i (viii) yxFxy sunt echivalente

logic, deoarece cel puin un individ indic prin relaia F pe cel puin unindivid ddac cel puin un individ este indicat prin relaiaFde ctre cel puinun individ. Astfel, urmtoarea formul este lege logic:

(x) xyFxyyxFxy

Dac ntr-o formul a logicii predicatelor toi cuantorii se afl n faa

acelei formule i nici un cuantor nu este precedat de negaie, se spune cgrupul respectiv de cuantori formeazprefixulacelei formule. Domeniul unuiprefix este tot restul formulei n cauz. Unprefix omogen este alctuit dincuantori de acelai tip, iar unprefix eterogen este alctuit din cuantori de tipdiferit. Generaliznd, legile logice (ix) i (x) arat cun prefix omogen estecomutativ, n sensul c ordinea cuantorilor ntr-un astfel de prefix esteindiferent. Drept urmare, prin comutarea cuantorilor ntr-un prefix omogenal unei formule se obine o formul echivalent logic cu formula dat. De

pild, formulelexy [(Fx & Gxy)Fy] iyx [(Fx & Gxy)Fy]

sunt echivalente logic, deci formula

xy [(Fx & Gxy)Fy] yx [(Fx & Gxy)Fy]

este lege logic.S examinm acum schemele (ii) xyFxy i (vi) yxFxy. S

presupunem c schema xyFxy ia valoarea 1 ntr-un Uoarecare. Aceast

presupunere revine la a spune c n U, cel puin un individ, fie acesta a, indic prin relaiaFpe orice individ. De aici rezult c orice individ din Uesteindicat prin relaiaFde ctre a, deci de ctre cel puin un individ din U.ntruct este logic imposibil ca schema xyFxy s ia valoarea 1 ntr-un Uoarecare i schema yxFxy s ia valoarea 0 n acelai U, xyFxy impliclogicyxFxy, deci formula

(xi) xyFxyyxFxy

este lege logic.



26/164


27/164

27

legii logice (xi)), yxFxy implic logic xFxa (specificarea universal),xFxa implic logic yxFxy (generalizarea existenial), iaryxFxy esteechivalent logic cu xyFxy (conform legii logice (x)); prin urmare,xyFxy implic logic xyFxy, ceea ce nseamn c formula (xvi) este legelogic.

Implicaiile logice (xiii)-(xxii) se generalizeaz dup cum urmeaz: oformul n care cuantorii sunt n prefix i prefixul conine cel puin un

cuantor universal implic logic orice formulobinutdin formula iniialprin nlocuirea a cel puin unui cuantor universal cu cuantorul existenial

corespunztor(x cux,y cuy etc.) De pild, formula xy (FxyGxy)implic logic formula xy (FxyGxy), astfel c

xy (FxyGxy)xy (FxyGxy)

este lege logic.n fine, este uor de vzut c schemele xyFxy i xyFyx sunt

echivalente logic i la fel sunt schemele xyFxyi xyFyx (exerciiu). Caatare, urmtoarele formule sunt legi logice:

(xxiii)xyFxyxyFyx (xxiv) xyFxyxyFyx

n fiecare dintre aceste dou legi logice, schemele echivalente logic au prefix omogen i nu difer dect prin aceea c ordinea variabilelorindividuale din domeniul prefixului este inversat. Dac, ns, dou schemeelementare cuantificate n care apar predicate diadice au prefix eterogen i nudifer dect prin aceea c ordinea variabilelor individuale din domeniul

prefixului este inversat, atunci schemele respective sunt independentelogic16. n general, prin inversarea ordinii variabilelor individuale din

domeniul prefixului unei formule cu scheme de predicate diadice se obine oformulechivalentlogic cu formula datnumai dacprefixul respectiv este

omogen. De pild, formulele xy (FxyGyx) i xy (FyxGxy) suntechivalente logic, astfel c formula xy (FxyGyx) xy (FyxGxy)este lege logic.

16 Vezi exerciiul 14.



28/164

28

5.6. Probleme ale formalizrii limbii romne n limbajul logiciipredicatelor

Formalizarea propoziiilor din limbajul natural (n cazul nostru, dinlimba romn) se bazeaz pe transcrierea celor patru forme standard depropoziii categorice, pornind de la interpretarea boolean a acestora17, dupcum urmeaz:

ToiFsunt G Nu existx, astfel nct x este x (Fx &Gx) sau,F i x nu este G echivalent,

x (FxGx)Nici unFnu este G Nu existx, astfel nct x este x (Fx & Gx) sau,

Fi x este G echivalent,x (FxGx)

UniiFsunt G Existcel puin un x, astfel nct x (Fx & Gx)x este Fi x este G

UniiFnu sunt G Existcel puin un x, astfel nct x (Fx &Gx)x este Fi x nu este G

Dup cum se poate constata, ca i n interpretarea boolean, i ntranscrierea de mai suspropoziiile universale sunt enunuri de non-existen,n timp cepropoziiile particulare sunt enunuri de existen. De notat c,spre deosebire de silogistic, n care propoziiile singulare erau tratate cauniversale, propoziiile singulare au o formalizare proprie n logica

predicatelor, dup cum am vzut n seciunea 5.3. Pe de alt parte, vom reinei aici distincia dintre propoziii exclusive i propoziii exceptive, introdusn silogistic17.

Reinnd formalizarea propoziiilor universale cu ajutorul cuantoruluiuniversal, pe baza transcrierilor de mai sus, procedura obinuit de

traducere a propoziiilor n limbajul logicii predicatelor se bazeaz peurmtoarea regul de formalizare: cuantorul universal cere condiionalul(),iar cuantorul existenial cere conjuncia (&).

Fie, de pild, propoziia(i) Orice contabil priceput este specialist apreciat.

tim c n silogistic, propoziia (i) este tratat ca o propoziie categoric, ncare termenul compus contabil priceput este subiect logic, iar termenul

17 Vezi capitolul III.



29/164

29

compus specialist apreciat este predicat logic. n limbajul logicii predicatelor vom trata aceti termeni compui drept conjuncii de nsuiri,ceea ce permite sesizarea structurilor de adncime ale propoziiilori, mai

departe, ale argumentelor. Astfel, pentru a formaliza propoziia (i), stabilimurmtoarele corespondene:

Fx x este contabil Hxx este specialistGx x este priceput Ix x este apreciat

Trecerea de la propoziia din limba romn la formula corespunztoareei n limbajul logicii predicatelor este nlesnit de redarea formei logice a

propoziiei respective, pornind de la corespondenele stabilite. Astfel, forma

logic a propoziiei (i) estePentru orice x, dacFxi Gx, atunci Hxi Ix,

iar formula corespunztoare ei este

x [(Fx & Gx) (Hx &Ix)]

Fie propoziia

(ii) Deputaiii senatorii primesc cel puin o indemnizaie.

Stabilim urmtoarele corespondene:

Fx x este deputat Hxy x primete yGx x este senator Iy y este indemnizaie

Forma logic a propoziiei (ii) este

Pentru orice x, dacFx sau Gx, atunci existcel puin un y, astfel nctIxi Hxy,

iar formula corespunztoare ei estex [(FxGx)y (Iy &Hxy)].

S notm c n formalizarea propoziiei (ii) am folosit disjunciaFxGx, dei n aceast propoziie avem expresia deputaii i senatorii.Dac am fi folosit conjuncia Fx & Gx, am fi obinut formulax [(Fx & Gx) y (Iy &Hxy)], din care, prin refacerea n sens invers acorespondenelor stabilite, rezult c oricine este att deputat, ct i senator



30/164

30

(n acelai timp) primete o indemnizaie, or nu acesta este nelesulpropoziiei (ii). Tot aa, stabilind corespondenele

Fx x este portocal Ix x este aromatGx x este mandarin Jx x este gustosHx x este clementin

propoziia Portocalele, mandarinele i clementinele sunt aromate i gustoa-se se formalizeaz prin x [(FxGxHx) (Ix &Jx)]. Dac n loc de

Fx GxHx am fi pus Fx & Gx & Hx, ar fi nsemnat c orice estedeopotriv portocal, mandarini clementin este aromat i gustos, ceea ceeste absurd.

Nu exist indicii gramaticale pentru a decide cnd i devine sau,fiind astfel traductibil prin i cnd nu. n aceast chestiune, decizia ine desesizarea exact a nelesului propoziiei de formalizat, iar corectitudineadeciziei luate poate fi controlat pe baza condiiei de adecvare a formalizrii18.

Pronumele nehotrte cineva i ceva se formalizeaz, de regul,folosind cuantorul existenial. De pild, stabilind corespondenele

Fy y este geam Gxy x a spart y,

propoziia Cel puin cineva a spart cel puin un geam se formalizeaz prinxy (Fy & Gxy). Exist, ns, i cazuri n care pronumele nehotrtemenionate se formalizeaz prin cuantorul universal. Astfel, fie propoziia

(iii) Ceva bun este ilegal, imoral sau ngra

i corespondenele

Fx x este bun Hx x este imoralGx x este ilegal Ix x este obiect care ngra

Conform nelesului su, forma logic a propoziiei (iii) este

Pentru orice x, dacFx, atunci Gx sau Hx sau Ix,

iar formula corespunztoare ei este

x [Fx (GxHxIx)]

18 Vezi capitolul II, seciunea 2.4.



31/164

31

Fie propoziia

(iv) Orice guvern adopthotrrii ordonane.

Stabilind corespondenele Fx x este guvern Hy y este hotrreGxy x adopty Iy y este ordonan,

Forma logic a propoziiei (iv) este

Pentru orice x existcel puin un y, astfel nct dacFxi (Hy sau Iy),atunci Gxy,

iar formula corespunztoare ei estexy{[Fx & (HyIy)]Gxy}.

Dac aici am fi pus y n loc de y, ar fi nsemnat c orice guvernadopttoate hotrrile i ordonanele din univers, or nu acesta este nelesul

propoziiei (iv).S analizm acum un exemplu de formalizare ceva mai complicat19.

Fie propoziia

(v) Unele studente poartcel puin un inel pe fiecare deget.Stabilim urmtoarele corespondene:

Fx x este student Iz z este degetGy y este inel Jyz y este pe z

Hxy x poarty Kzx z este al lui x

Forma logic a propoziiei (v) este urmtoarea:

Existcel puin un x i cel puin un y, astfel nct Fx i Gy i Hxy ipentru orice z, dacIzi Kzx, atunci Jyx,

formula corespunztoare ei fiind

xy{Fx & Gy &Hxy & [z(Iz&Kzx)Jyz]}.

19 Exemplul care urmeaz este adaptat dup Willard Van Orman Quine

(1970).



32/164

32

De notat c dac n-am fi introdus predicatul zeste al luix, simbolizatprinKzx, ar fi nsemnat c unele studente poart cel puin un inel pe fiecaredeget din univers, or nu acesta este nelesul propoziiei (v). De notat i c

predicatul x poarty, simbolizat prin Hxy, nu poate fi omis, ntruct sesubnelege c dac un inel este pe degetul cuiva, atunci acea persoan poartinelul respectiv, n timp ce reciproca nu este valabil (dac cineva poart uninel, nu rezult neaprat c inelul respectiv este pe un deget al acelei

persoane). Pe de alt parte, este recomandabil ca orice predicat s fieformalizat20.

Dm n continuare nc patru exemple de propoziii, mpreun cuformalizrile acestora; corespondenele stabilite pentru fiecare propoziie

reies din context:Toi rezideniii numai

acetia au drept de votx (FxGx) &x (GxFx) saux (FxGx)

Oricine deseneaztriunghiuri x [y (Fy & Gxy)y (Hy & Gxy)]deseneazpoligoane

Nu existfrizer care stund x [Fx &y (GxyGyy)]pe toi cei care nu se tund singuri

Orice persoancare respect x{[Fx & y (Fy & Gxy)]Gxx}cel puin o persoanse respect

pe sine

Am menionat mai sus c, n mod obinuit, cuantorul universal cerecondiionalul, iar cuantorul existenial cere conjuncia. Exist, ns, iexcepii. Astfel, orice propoziie simpl21 care se refer la absolut orice nunivers se traduce printr-o schem de propoziie elementar cuantificatuniversal. De pild, teza central a fizicalismului, Orice este fizical, setraduce prin xFx, unde Fx simbolizeaz predicatul x este fizical. Deasemenea, orice propoziie care aserteaz pur i simplu c ceva exist setraduce printr-o schem de propoziie elementar cuantificat existenial. De

pild, propoziia Exist miuoni se traduce prin xMx, unde Mx

20 Aceast regul de formalizare ne-a fost comunicat ntr-o discuie delogicianul i filosoful Gheorghe Enescu (1932-1997).

21 n sensul introdus n capitolul II, seciunea 2.4.



33/164

33

simbolizeaz predicatul x este miuon. Astfel, propoziia Dac existmiuoni i orice este fizical, atunci miuonii sunt fizicali se traduce prin(xMx &xFx)x (MxFx).

O problem interesant de formalizare n limbajul logicii predicateloreste ridicat chiar de propoziia

(vi) Ceva exist.

O posibil formalizare a acestei propoziii, care cere constanta =, estexyx =y. Acum, dei propoziia (vi) este adevrat, este ndoielnic c eaeste o propoziie logic adevrat22. Cu toate acestea, formula xyx =y estevalid n logica predicatelor suplimentat cu constanta =. Discuia asupra

acestei probleme depete cadrul propus pentru cursul de fa.Formalizarea propoziiilor din limbajul natural ntr-un limbaj logic este

un prim i foarte important pas n analiza logic.

5.7. Aspecte ale problemei deciziei n logica predicatelor

Dup cum am vzut, o formul nchis a logicii predicatelor este legelogic daci numai dac formula respectiv ia valoarea 1 n orice univers dediscurs, finit sau infinit, i pentru orice interpretare a schemelor de predicate

din alctuirea sa. O formul nchis a logicii predicatelor este inconsistentdac i numai dac formula respectiv ia valoarea 0 n orice univers dediscurs, finit sau infinit, i pentru orice interpretare a schemelor de predicatedin alctuirea sa. O formul care nu se afl n nici unul dintre aceste doucazuri (ia valoarea 1 pentru cel puin o interpretare n cel puin un univers dediscurs i ia valoarea 0 pentru cel puin o interpretare n cel puin un universde discurs) este contingent.

De asemenea, am vzut c o schem de tipulxA este echivalent cu o

conjuncie de scheme de propoziii despre indivizi, precum i c o schem detipul xA este echivalent cu o disjuncie de scheme de propoziii despreindivizi. Ca atare, n teorie, metoda tabelelor de adevr23 ar putea fi folosit

pentru a testa orice formul nchis a logicii predicatelor ntr-un univers finitcu k indivizi (k 1), nlocuind schemele de tipul xA cu conjuncii cu k

22 Pentru distincia dintre propoziii logic adevrate sau logic false i propoziiifactual adevrate sau factual false vezi capitolul I, seciunea 1.2.

23 Vezi capitolul II.



34/164

34

membri i schemele de tipul xA cu disjuncii cu kmembri. Practic, ns, aceas-t metod este inaplicabil. De pild, tim c formula xyFxyyxFxyeste lege logic. ntr-un univers de discurs alctuit din doar trei indivizi a, bi c aceast formul devine

[(Faa &Fab &Fac) (Fba &Fbb &Fbc) (Fca &Fcb &Fcc)] [(FaaFbaFca) & (FabFbbFcb) & (FacFbcFcc)].

ntruct n ultima formul avem nou scheme distincte de propoziiielementare despre indivizi, tabelul su complet de adevr ar trebui s aib512 rnduri (29 = 512). n general, ntr-un univers de discurs alctuit din kindivizi, o formul n care aparn variabile individuale distincte se desface

ntr-o formul cu kn scheme distincte de propoziii elementare despre indivizi,astfel c tabelul su complet de adevr ar trebui s aib (2k)n rnduri. De

pild, pentru k= 6 i n = 2 este necesar un tabel de adevr cu 236 rnduri(multe miliarde!).

Mai important este, ns, faptul c unele formule nchise ale logiciipredicatelor iau valoarea 1 ntr-un univers de discurs infinit, dei iau valoarea0 n orice univers de discurs finit. S considerm urmtoarea formul:

xyFyx &xFxx &xxz[(Fxy &Fyx)Fxz].

Aceast formul ia valoarea 1 n orice univers de discurs infinit i iavaloarea 0 n orice univers de discurs finit24. Fie, de pild, universul dediscurs al numerelor naturale (1, 2, 3, ). Interpretnd peFprin predicatul este mai mare dect , formula se transform n urmtoarea conjuncieadevrat:

xyFyx Pentru orice x existcel puin un y, astfel nct y estemai mare dect x

&xFxx i pentru orice x, x nu este mai mare dect x

&xyz[(Fxy &Fyz)Fxz] i pentru orice x, y, z, dacx estemai mare dect y i y este maimare dect z, atunci x este maimare dect z.

24 Vezi W. Ackermann (1954).



35/164

35

Considerat, ns, n orice submulime finit a mulimii numerelornaturale, formula ia valoarea 0, deoarece ntr-o astfel de submulime existcel puin un numr fa de care nici un alt numr nu este mai mare, astfel

nct componenta xyFyx ia valoarea 0. Prin urmare, nu putem presupune,nici mcar n teorie, c pentru orice formul nchis a logicii predicatelor se

poate decide dac este sau nu lege logic prin referire exclusiv la universuride discurs finite. ntr-un univers de discurs infinit, orice formul nchis alogicii predicatelor ar trebui s fie desfcut ntr-o formul cu o infinitatede scheme distincte de propoziii elementare despre indivizi, ceea ce ar cereun tabel de adevr cu o infinitate de rnduri. Ca atare, chiari n teorie,metoda tabelelor de adevr nu poate fi folosit pentru a testa orice formul a

logicii predicatelor n orice univers de discurs.S-a demonstrat c, spre deosebire de logica propoziional, n logicapredicatelor nu se poate da oprocedurgeneralde decizie, adic o metodprin care,pentru orice tip de formul, s se poat stabili ntr-un numr finit depai dac formula respectiv este lege logic, formul inconsistent sauformul contingent25. Au fost descoperite, ns, proceduri de decizie pentruanumite categorii de formule ale logicii predicatelor. De pild, exist o

procedur de decizie pentru schemele de propoziii cuantificate uniform26.

Apoi, printr-o metod pe care nu o vom descrie aici, orice formul nchis alogicii predicatelor poate fi transformat ntr-o alt formul, echivalent logiccu formula dat, n care toi cuantorii apar n prefix. Se spune c o formulcare are toi cuantorii n prefix este n form normal prenex. Exist o

procedur de decizie pentru acele formule care, aduse la forma normalprenex, au prefix omogen27. Exist, de asemenea, o procedur de deciziepentru validitatea formulelor aduse la forma normal prenex, al cror prefixnu conine nici un cuantor existenial la stnga vreunui cuantor universal i o

procedur de decizie pentru inconsistena formulelor aduse la forma normalprenex, al cror prefix nu conine nici un cuantor universal la stnga vreunuicuantor existenial. n fine, s-au descoperit proceduri de decizie i pentru alte

25 Alonzo Church (1936).26 Willard Van Orman Quine (1970; prima ediie 1950); David Hilbert i W.

Ackermann (1950).27 D. Hilbert i W. Ackermann, Op. cit.



36/164

36

categorii de formule28. S-a demonstrat, ns, c nu se pot da proceduri dedecizie pentru unele categorii de formule, de pild pentru formulele n alcror prefix cel puin trei cuantori existeniali preced un cuantor universal

(pentru validitate) i pentru formulele n al cror prefix cel puin trei cuantoriuniversali preced un cuantor existenial (pentru inconsisten)29.

Procedurile de decizie menionate mai sus pot fi adaptate pentruevaluarea argumentelor traductibile n limbajul logicii predicatelor prinformule care au proprietile respective. n cele ce urmeaz nu vom adoptaaceast abordare, ci vom folosi metoda deduciei naturale. Cum am vzut n

prima parte a acestui curs, aplicarea acestei metode presupune abilitatea iingeniozitatea de a cuta implicaii i echivalene logice care dovedesc c un

anumit argument este valid. Dac un argument este valid, atunci este posibilo deducie care, dup un numr finit de pai, arat c forma concluziei aceluiargument se poate obine din formele premiselor sale prin reguli de deducie,dar nu putem fi siguri c vom gsi acea deducie. Cu alte cuvinte, aplicndaceast metod, nu putem ajunge la un punct n care s putem spune: nu amdovedit c argumentul verificat este valid, deci argumentul respectiv estenevalid. Dac un argument este valid, atunci exist o deducie cu un numrfinit de pai care i dovedete validitatea, dar nu tim care este acest numr,

astfel nct, orict de mult am avansa n deducie, s-ar putea s ne oprimnainte de a ajunge la forma concluziei argumentului respectiv.

5.8. Metoda deduciei naturale

Pentru verificarea argumentelor formalizabile n limbajul logiciipredicatelor prin metoda deduciei naturale, la lista celor 15 reguli de deducieprezentat n capitolul II, seciunea 2.8 din prima parte a acestui cursadugm cinci reguli noi. n primele patru reguli,Ax este o formul n care

variabilax este liber, iarAa este o formul obinut dinAx prin nlocuireafiecrei apariii a variabileix cu constanta a.16. Regula specificrii universale (SU): de la o form de propoziie

xAx se poate trece la forma de propoziieAa.

28 Alonzo Church (1956); Chin-Liang Chang i Richard Char-Tung Lee(1973).

29 Alonzo Church, Op. cit.



37/164

37

17. Regula generalizrii existeniale (GE): de la o form depropoziieAa se poate trece la forma de propoziiexAx.

18. Regula specificrii existeniale* (SE): de la o form de propoziiexAx se poate trece la forma de propoziie Aa, cu condiia ca a s fie oconstant individual care nu apare n formele premiselor, n formaconcluziei i nici ntr-o linie intermediar din deducie.

19. Regula generalizrii universale* (GU): de la o form depropoziieAa se poate trece la forma de propoziiexAx, cu condiia ca a sfie o constant individual care nu apare n formele premiselori nu a fostintrodus n deducie prin SE.

20. Regula transformrii cuantorilor (TC): un tip de cuantor poate fi

nlocuit cu cellalt tip de cuantor daci numai dac imediat nainte i dupnoul cuantor semnul negaiei este eliminat, dac apare iniial, i este introdus,dac nu apare iniial.

Pentru a ilustra verificarea argumentelor formalizabile n limbajullogicii predicatelor prin metoda deduciei naturale, vom prezenta, pentrunceput, cteva exemple simple.

Primele patru reguli permit eliminarea (SU i SE) sau adugarea (GE iGU) de cuantori. Dintre acestea, regulile 16 i 17 (SU i GE) sunt aplicabile

necondiionat, deoarece corespund, respectiv, generalizrilor implicaiilorlogicexFxFai FaxFx. De pild, fie urmtorul argument:

(i) Toi cei politicoi sau modeti sunt calmi. Andrei este discretipoliticos.. Deci cel puin cineva este discreti calm.

Stabilind lista de corespondene Px x este politicos, Mx x estemodest, Cx x este calm, Dx x este discret, a Andrei, forma logic aacestui argument este redat de urmtoarele formule:

x [(PxMx)Cx]Da &Pax (Dx & Cx)

Ca i pn acum30, listm formulele corespunztoare premiselor pe verticali le numerotm, scriind formula corespunztoare concluziei la dreapta

30 Vezi capitolul Ii, seciunea 2.8 i capitolul III, seciunile 3.4 i 3.5.



38/164

38

formulei corespunztoare ultimei premise, desprit de aceasta printr-o barsimpl. Urmtoarea serie de pai arat c argumentul (i) este valid:

1. x [(PxMx)Cx]2. Da &Pa / x (Dx & Cx)3. [(PaMa)Ca] 1, SU4. Pa 2, conj5. PaMa 4, ext6. Ca 3,5, mp7. Da 2, conj8. Da & Ca 7,6, ad9. x (Dx & Cx) 8, GE

Specificarea universal a fost aplicat la linia 1 pentru a eliminacuantorul din forma primei premise, iar generalizarea existenial a fost apli-cat la linia 8 pentru a aduga cuantorul existenial, cerut de forma concluziei.

De notat c nlocuirea variabilei x din forma primei premise cuconstanta a nu a fost fcut ntmpltor. n principiu, n aplicarea specificriiuniversale este permis folosirea oricrei constante individuale. n cazuldeduciei de mai sus, avnd n vedere forma celei de-a doua premise,Da &

Pa, selectarea constantei a a permis obinerea liniei 8,Da & Ca, din care,prin generalizarea existenial, a putut fi obinut forma concluziei.

Regulile 18 i 19, marcate cu asterisc, sunt aplicabile numai subcondiiile (restriciile) menionate pentru fiecare regul n parte. Sconsiderm mai nti o aplicare a specificrii existeniale. Astfel, fieurmtorul silogism valid (AII-3):

(ii) Toi indiscreii sunt vorbrei. Unii indiscrei sunt plictisitori. Deci

unii plictisitori sunt vorbrei.Stabilind corespondenele de rigoare, forma logic a acestui argument

n limbajul logicii predicatelor este redat de urmtoarele formule:

1. x (IxVx)2. x (Ix &Px) / x (Px & Vx)

Forma celei de-a doua premise enun c exist cel puin ceva care esteatt I, ct i P. Specificarea existenial const din a da acestui ceva un



39/164

39

nume, folosind o constant individual, de pild a. Astfel, deduciacontinu dup cum urmeaz:

3.Ia &Pa 2, SE4.IaVa 1, SU5.Ia 3, conj6. Va 4, 5, mp7.Pa 3, conj8.Pa & Va 7, 6, ad9.x (Px & Vx) 8, GE

Restriciile impuse specificrii existeniale au n vedere faptul caceast regul este analoag unui proces de numireprin supoziie. n manierneformal, aplicarea acestei reguli la linia 2 poate fi expus astfel: Exist cel

puin ceva care este attI, ct iP. Spresupunem c acel ceva are numelea. Vom spune c o constant individual introdus prin specificareexistenial este un nume existenial. Una dintre restriciile menionate aratc un nume existenial nu trebuie s apar n forma concluziei. Cu altecuvinte, aceast restricie impune s nu ncheiem o deducie cu o linie n care

apare un nume existenial. Dac, n exemplul de mai sus, am fi ncheiatdeducia la linia 8, atunci ar fi rezultat c acel ceva care este attI, ct iParerealmente numele a, ceea ce este o eroare, deoarece a este un numeintrodusprin supoziie. Pentru ilustrare, s considerm urmtoarea secvendeductiv greit:

1. xFx /Fa2. Fa 1, SE (greit)

Dac punem n coresponden peFx cux este romancieri pe a cuOctavian Goga, atunci din premisa Exist cel puin un romancierconchidem (linia 2) c Octavian Goga este romancier, or acest argument estenevalid, avnd premisa adevrati concluzia fals.

Apoi, s observm c n deducia prin care am artat c argumentul (ii)este valid, specificarea existenial a fost aplicat naintea specificriiuniversale. Cu alte cuvinte, mai nti am introdus constanta a prin specificareexistenial (linia 3), dup care am utilizat aceeai constant n specificarea

universal (linia 4). Dac ordinea de aplicare a celor dou reguli ar fi fost



40/164

40

inversat, atunci ar fi rezultat c acel ceva care este,prin supoziie, attI, cti P este realmente acelai obiect cu cel specificat universal, i decinecondiionat, n linia IaVa, ceea ce este incorect. Aceast eroare este

blocat de o alt restricie impus specificrii existeniale, conform creia unnume existenial nu trebuie sapar ntr-o linie intermediardin deducie.Pentru ilustrare, fie urmtoarea secvendeductiv greit:

1. x (Fx & Gx)2. x (Fx &Hx) / x (Fx & Gx &Hx)3. Fa & Ga 1, SE4. Fa &Ha 2, SE (greit)5.

Fa 3, conj6. Ga 3, conj

7. Ha 4, conj8. Fa & Ga 5, 6, conj9. Fa & Ga &Ha 8, 7, conj10. x (Fx & Gx &Hx) 9, GE

Stabilind corespondeneleFx x este mamifer, Gx x este elefantiHx x este acvatic, obinem urmtorul argument nevalid: Unele mamifere

sunt elefani. Unele mamifere sunt acvatice. Deci unele mamifere suntelefani acvatici. Greeala a aprut n linia 4, n care numele existenial a,aprut deja n linia 3, a fost din nou utilizat pentru specificare existenial.

Specificarea existenial este supus i restriciei conform creia unnume existenial nu trebuie sapar n formele premiselor. Pentru a ilustraeroarea comis prin nclcarea acestei restricii, s considerm urmtoareasecvendeductiv greit:

1. xFx2. Fa / x (Fx & Fx)3. Fa 1, SE (greit)4. Fa & Fa 3, 2, ad5. x (Fx & Fx) 4, GE

Punnd n corespondenpeFx cux este viui pe a cu Liviu Rebreanu,obinem urmtorul argument nevalid: Cel puin cineva este viu. LiviuRebreanu nu este viu. Deci cel puin cineva este viu i nu este viu. Greeala



41/164

41

a aprut n linia 3, n care numele existenial a, aprut n forma celei de-adoua premise, a fost utilizat n linia 3 pentru specificare existenial.

n unele cazuri, putem conchide valid de la ceea ce este adevrat

despre un anumit individ la ceea ce este adevrat despre toi indivizii dinuniversul de discurs considerat, folosind regula generalizrii universale. Fie,de pild, urmtorul argument:

(iii) Toi cei discrei sunt sensibili. Toi cei politicoi sunt discrei. Decitoi cei politicoi sunt sensibili.

Stabilind corespondenele de rigoare, urmtoarea secven deductivarat c acest argument este valid:

1. x (DxSx)2. x (PxDx) /x (PxSx)3. PaDa 2, SU4. DaSa 1, SU5. PaSa 3,4, tr6. x (PxSx) 5, GU

Trecerea de la linia 5 la linia 6 prin generalizare universal se justific

prin aceea c ambele premise sunt propoziii universale. Forma primeipremise enun c tot ce este D este S, iar forma celei de-a doua premiseenun c tot ce estePesteD. De aici putem conchide valid c tot ce estePeste S. Cu alte cuvinte, linia 6 poate fi obinut din linia 5, ntruct, ncontextul argumentului, ceea ce este adevrat despre individul a este adevratdespre toi indivizii din universul de discurs considerat. Putem aplicaspecificarea universal la liniile 1 i 2 nu numai n raport cu individul a, ci in raport cu b, c, d ..., unde acetia sunt indivizi din domeniul de discurs

considerat.Ca i specificarea existenial, regula generalizrii universale nu estevalabil necondiionat. Vom spune c o constant individual folosit pentrugeneralizare universal este un nume universal. Conform primei restriciiimpuse acestei reguli, un nume universal nu trebuie s apar nformele

premiselor. nclcarea acestei restricii este ilustrat de urmtoarea secvendeductiv greit:

1. Fa2. xFx 1, GU (greit)



42/164

42

Dac punem n coresponden peFx cux este geniui pe a cuAlbertEinstein, atunci din premisa Albert Einstein este geniu conchidem c

oricine este geniu. Evident, acest argument este nevalid.Conform celei de-a doua restricii impuse generalizrii universale, unnume universal nu poate fi introdus n deducie prin specificare existenial.Pentru a ilustra eroarea comis prin nclcarea acestei restricii, s considermurmtoarea secvendeductiv greit:

1. xFx2. Fa 1, SE3. xFx 2, GU (greit)

Punnd n coresponden peFx cux este fizical, obinem urmtorulargument nevalid: Cel puin ceva este fizical. Deci orice este fizical.ntruct premisa este o propoziie despre unii indivizi, trecerea de la linia 1 lalinia 2 este valabil doar despre unii indivizi. Astfel, trecerea de la linia 2 lalinia 3 este incorect, ntruct ceea ce este valabil despre unii nu este n modnecesar valabil despre toi.

Este important de reinut c, ntruct corespund unor implicaii logice,regulile 16-19 se aplic numai la linii ntregi n deducie. De pild, ar fi greits aplicm regula specificrii universale pentru a obine Fa Ga dinxFxxGx sau din x (FxGx).

Dup cum am vzut n seciunea 5.4, regula transformrii cuantorilorcorespunde echivalenelor logice (xx)-(xxiii). Aceast regul permite elimi-narea sau introducerea negaiei care precede cuantorii. Urmtorul exemplu dededucie natural ilustreaz aplicarea regulii n discuie:

1. x (Fx & Gx)xHx2. x (HxGx) / xFx3. x(HxGx) 2, TC4. (HaGa) 3, SU5. Ha & Ga 4, DM6. Ha 5, conj7. xHx 6, GU8. xHx 7, TC9. x (Fx & Gx) 1, 8, mt10. x(Fx & Gx) 9, TC11. (Fb & Gb) 10, SE12. FbGb 11, DM, dn13. Ga 5, conj14.xGx 13, GU



43/164

43

15. Gb 14, SU16. Fb 12, 15, disj17. xFx 16, GE18. xFx 17, TCn aceast deducie, regula transformrii cuantorilor a fost aplicat la liniile 2

i 9 pentru a elimina negaiile de pe cuantori, la linia 7 pentru a obine negaiaconsecventului formulei din linia 1 i la linia 17 pentru a obine formaconcluziei. De notat c linia 11 a fost specificat existenial folosindu-seconstanta b; dac am fi folosit pentru specificare constanta a, am fi nclcatrestricia conform creia un nume existenial nu trebuie s apar ntr-o linieintermediar din deducie. S mai notm c, spre deosebire de regulile 16-19,

regula transformrii cuantorilor poate fi aplicat att unei linii ntregi, ct iunei (sub)formule care apare ca parte a unei linii. De pild, putem obine nmod corect formula xFx xGx din formula xFx xGx, prinaplicarea regulii TC la (sub)formula xFx.

Ca i n logica propoziional, n logica predicatelor poate fi aplicatdeducia condiionat i deducia indirect. Aplicarea acestor variante dededucie natural n logica predicatelor se face esenialmente la fel ca nlogica propoziional31. Urmtorul exemplu ilustreaz aplicarea deducieicondiionate:

1.x [Fx (Gx &Hx)] /x (IxFx)x (IxHx)2.x (IxFx) sdc

3.Ia sdc4.IaFa 2, SU5.Fa 3, 4, mp6.Fa (Ga &Ha) 1, SU7. Ga &Ha 5, 6, mp

8.Ha 7, conj9.IaHa 3-8, td10.x (IxHx) 9, GU

11.x (IxFx)x (IxHx) 2, 10, td

n cazul deduciei condiionate, regula generalizrii universale estesupus unei restricii suplimentare, conform creiageneralizarea universalnu trebuie s fie utilizat ntr-o secven de deducie condiionat , dac

31 Vezi capitolul II, subseciunile 2.8.3 i 2.8.4.



44/164

44

numele universal respectiv apare n prima linie a acelei secvene. n deduciade mai sus nu se ncalc aceast restricie, deoarece GU este utilizat nsecvena 2-10, dar numele universal a nu apare n prima linie a acestei

secvene. Pentru a ilustra eroarea comis prin nclcarea acestei restricii, sconsiderm urmtoarea deducie greit:

1. xFxxGx /x (FxGx)2.Fa sdc3.xFx 2, GU (greit)4.xGx 1, 3, mp5. Ga 4, SU

6.FaGa 2-3, td7.x (FxGx) 6, GU

Dac punem n coresponden peFx cux este cinei pe Gx cux este pisic,atunci obinem argumentul Dac orice (n univers) este cine, atunci orice(n univers) este pisic. Deci toi cinii sunt pisici. Acest argument estenevalid, deoarece premisa este adevrat, fiind un condiional cu antecedentfals, iar concluzia este fals.

Urmtorul exemplu ilustreaz aplicarea deduciei indirecte:

1. xFxxGx2. x (FxGx) / xGx

3.xGx sdi4.xFx 1, 3, disj5.Fa 4, SE6.FaGa 2, SU7. Ga 5, 6, mp8.xGx 3, TC9.Ga 8, SU10. Ga & Ga 7, 9, ad

11. xGx 3-10, rc, dn

i n cazul deduciei indirecte, regula generalizrii universale estesupus restriciei suplimentare, conform creiageneralizarea universalnutrebuie s fie utilizat ntr-o secvende deducie indirect , dac numele



45/164

45

universal respectiv apare n prima linie a acelei secvene. Pentru ilustrare, sconsiderm urmtoarea deducie, n care aceast restricie este nclcat:

1. xFxxGx2. xFx /xGx

3.Ga sdi4.xGx 3, GU (greit)5.xGx 4, TC6.xFx 1, 5, disj7.Fa 6, SU8.Fa 2, SU9.Fa & Fa 7, 8, ad

10. Ga 3-9, rc, dn11.xGx 10, GU

Punnd n coresponden peFx cux este inorogi pe Gx cux este mamifer,obinem argumentul nevalid Orice este inorog i exist mamifere. Orice nueste inorog. Deci orice este mamifer.

Ca i n logica propoziional, n logica predicatelor o secven de deduc-

ie indirecti o secvende deducie condiionat se pot include una pe alta.Metoda deduciei naturale se poate aplica i la argumente a crorformalizare n limbajul logicii predicatelor cere utilizarea formulelor nchisecu scheme de predicat diadice. Regulile 16-20 sunt utilizate esenialmente nacelai fel ca i pn acum. Iat dou exemple:

xyFxy / yxFxy 1.xyFxy /yxFxyyFay 1, SE 2.yFay 1, SUFab 2, SE 3.Fab 2, SU

xFxb 3, GE 4.xFxb 3, GUyxFxy 4, GE 5.yxFxy 4, GU

Tot aa se poate arta c din yxFxy se poate deduce xyFxyi c dinyxFxy se poate deduce xyFxy (exerciiu). Aceste deducii dovedescceea ce am artat n seciunea 5.5, i anume c un prefix omogen estecomutativ, n sensul c ordinea cuantorilor ntr-un astfel de prefix esteindiferent. Tot n seciunea 5.5 am artat c un prefix eterogen nu estecomutativ, n sensul c ordinea cuantorilor ntr-un astfel de prefix nu este



46/164

46

indiferent. Am vzut, de pild, c formula yxFxy implic logic formulaxyFxy, reciproca neavnd loc. Urmtoarea serie de pai arat c formulaxyFxy se poate deduce din formula yxFxy:

1. yxFxy /xyFxy2. xFxb 1, SE3. Fab 2, SU4. yFay 3, GE5. xyFxy 4, GUPentru a bloca deducerea formulei yxFxy din formula xyFxy,

precum i celelalte deducii ilicite de acest fel, este necesar o restricie

suplimentar impus generalizrii universale, conform creiageneralizareauniversalnu se poate aplica la o formde propoziie Aa, dacAa conineun nume existenial(diferit de a32). Pentru a ilustra aplicarea acestei restricii,s considerm urmtoarea deducie greit:

1. xyFxy2. yFay 1, SU3. Fab 2, SE4. xFxb 3, GU (greit)5. yxFxy 4, GE

Trecerea de la Fab la xFxb n linia 4 este greit, deoarece Fab coninenumele existenial b. Pentru a explica n manier neformal aplicarearestriciei menionate la ultima deducie, s considerm universul de discursal indivizilor umani i s interpretm peFxy prin predicatul x iubete pey.Astfel, linia 1 aserteaz c orice individ iubetepe cel puin un individ. nlinia 2 selectm la ntmplare individul a, care iubete pe cel puin un individ,

iar n linia 3 presupunem c individul iubit de a are numele b. Apoi, n linia4 tragem concluzia c oricine iubete pe b, ceea ce este greit, deoarecepremisa nu ne ndreptete s spunem c orice individ iubete anume pe b:premisa este adevrat, i n cazul n care individul iubit de orice individ estealtul dect b.

32 Precizarea dintre paranteze atrage atenia asupra faptului c, daca este oconstant individual introdus n deducie prin specificare existenial, aplicareageneralizrii universale laAa a fost deja blocat prin restricia conform creia un numeuniversal nu poate fi introdus n deducie prin specificare existenial.



47/164

47

Ultimele deducii de mai sus ilustreazi faptul c metoda deducieinaturale poate fi folosit pentru a verifica dac o formul de formaAB sau

AB este sau nu lege logic. Astfel, dac o formulB se poate deduce nmod valid din formulaA, atunci este imposibil ca formulaA s ia valoarea 1i formula B s ia valoarea 0, deci, conform definiiei condiionalului,formulaAB este o lege logic (implicaie logic). Reciproc, dac formula

AB este o lege logic, atunci este imposibil ca formulaA s ia valoarea 1iformulaB s ia valoarea 0, deciB este deductibil n mod valid dinA. Prinurmare,formula AB este o lege logic(implicaie logic) daci numaidacformula B se poate deduce n mod valid din formula A. Asemntor, se

poate arta cformula A B este o lege logic(echivalenlogic) dacinumai dacformula B se poate deduce n mod valid din formula Ai formula

A se poate deduce n mod valid din formula B (exerciiu). De pild,urmtoarele dou deducii arat c formula x (Fx & Gx) xFx & xGxeste o lege logic:

1. x (Fx & Gx) /xFx &xGx 1.xFx &xGx /x (Fx & Gx)2. Fa & Ga 1, SU 2.xFx 1, conj3. Fa 2, conj 3.Fa 2, SU4. xFx 3, GU 4.xGx 1, conj5. Ga 2, conj 5. Ga 4, SU6. xGx 5, GU 6.Fa & Ga 3, 5, ad7. xFx &xGx 4, 6, ad 7.x (Fx & Gx) 6, GU

Conform legii logice x (Fx & Gx) xFx & xGx, cuantoruluniversal este distributiv i poate fi scos ca simbol comun fa deconjuncie. Tot aa, cuantorul existenial este distributiv i poate fi scos casimbol comun fa de disjuncie. Cuantorul existenial este doar distributiv

fa de conjuncie, iar cuantorul universal are doar proprietatea inversdistributivitii (scoaterea ca simbol comun) fade disjuncie33.

Deduciile prin care am stabilit validitatea argumentelor (ii) i (iii) demai sus ilustreaz aplicarea metodei deduciei naturale la verificareavaliditii silogismelor transcrise n limbajul logicii predicatelor. Dup cumam vzut n seciunea 5.6, ca i n interpretarea boolean, i n transcrierea

propoziiilor categorice n limbajul logicii predicatelorpropoziiile universale

33 Vezi exerciiul



48/164

48

sunt enunuri de non-existen, n timp ce propoziiile particulare suntenunuri de existen. Din acest motiv, aplicarea metodei deduciei naturale laverificarea silogismelor cu premise universale i concluzie particular

transcrise n limbajul logicii predicatelor cere introducerea unor supoziii deexisten34. Fie, de pild, urmtorul silogism valid (AAI-4):

(iv) Toate balenele sunt mamifere. Toate mamiferele sunt vertebra-te. Deci unele vertebrate sunt balene.

Pentru a aplica metoda deduciei naturale la verificarea acestui silogism estenecesar adugarea supoziiei Exist balene. Deducia corespunztoaredecurge dup cum urmeaz:

1. x (BxMx)2. x (MxVx)3. xBx / x (Vx &Bx)4. Ba 3, SE5. BaMa 1, SU6. Ma 4, 5, mp7. MaVa 2, SU8. Va 6, 7, mp9. Va &Ba 8, 4, ad10. x (Vx &Bx) 9, GE

De notat c, n aceast deducie, specificarea existenial a fost aplicatnaintea specificrii universale. Dac ordinea de aplicare a acestor dou reguliar fi fost inversat, atunci s-ar fi nclcat regula conform creia un numeexistenial nu trebuie saparntr-o linie intermediardin deducie.

5.9. Teoria relaiilor i logica predicatelorn prima seciune a acestui capitol am artat c orice predicat

poliadic introduce n discurs o relaie ntre doi sau mai muli indivizi. ngeneral, o relaie este o caracterizare a unui obiect, n sensul cel mai larg alacestui cuvnt, n raport cu cel puin un obiect. De pild, spunnd Dan estefiul lui Mihai, l caracterizm pe Dan n raport cu Mihai prin intermediulrelaiei este fiul lui; spunnd Parva este ntre Salva i Romula, caracterizm

34 Revedei capitolul 3, subseciunea 3.5.4.



49/164

49

localitatea Parva n raport cu localitile Salva i Romula prin relaia estentre i .

n aceast seciune vom expune principalele noiuni ale teoriei

relaiilori vom folosi limbajul logicii predicatelor pentru a exprima acestenoiuni.

Relaiile care pot caracteriza un obiect n raport cu un singur obiectse numesc relaii diadice, cele care pot caracteriza un obiect n raport cudou alte obiecte se numesc relaii triadice etc. Astfel, relaia este fiul luieste diadic, iar relaia este ntre i este triadic. Studiul relaiilordiadice este fundamental pentru studiul relaiilor n general. n continuare,R desemneaz o relaie diadic oarecare, M desemneaz o mulime

oarecare de obiecte despre care are sens s spunem c se afl sau nu n relaiaR, iar aRb este o prescurtare pentru obiectul a indic prin relaiaR pe b.n expresia aRb, a i b se numesc termenii relaiei. Ca i pn acum,ddac este o prescurtare pentru daci numai dac.

Proprieti de baz ale relaiilor diadice:1.Reflexivitatea.R este reflexiv n Mddac pentru orice obiect a

din M, aRa (orice obiect din Mse indic prin relaiaR pe sine). n mulimeanumerelor, relaia este egal cu este reflexiv. n mulimea localitilor din

Romnia, relaia este n acelai judecu este reflexiv: orice localitate este nacelai jude cu sine.2. Simetria.R este simetric n Mddac oricare ar fi obiectele ai b

din M, dacaRb, atunci bRa. ntr-o relaie simetric, ordinea termenilor sieste reversibil. n mulimea persoanelor de sex masculin, relaia este frate cueste simetric: daca este frate cu b, atunci b este frate cu a.

3. Tranzitivitatea.R este tranzitiv n Mddac oricare ar fi obiectelea, bi c din M, dacaRbi bRc, atunci aRc. Orice relaie tranzitiv are loc

printr-un termen mediu, notat aici cu b. n mulimea oamenilor, relaiaeste strmo al lui este tranzitiv: daca este strmo al lui bi b este strmoal lui c, atunci ai este strmo al lui c.

4.Ireflexivitatea.R este ireflexiv n Mddac nici un obiect din Mnu se indic prin relaia Mpe sine. Relaia este mama lui este ireflexiv:nimeni nu este propria sa mam.

5.Asimetria.R este asimetric n Mddac oricare ar fi obiectele aib din M, daca indic prin relaiaR pe b, atunci b nu indic prin relaiaR pea. O relaie asimetric este orientat: ordinea termenilor si nu este



50/164

50

ireversibil. Relaia este mai tnr ca este asimetric: daca este mai tnr cab, atunci b nu este mai tnr ca a.

6. Intranzitivitatea. R este intranzitiv n M ddac oricare ar fi

obiectele a, bi c din M, daca indic prin relaiaRpe bi b indic prinrelaiaR pe c, atunci a nu indic prin relaiaR pe c. ntr-un arbore genealogic,relaia este descendent direct din este intranzitiv: dac a este descendentdirect din b i b este descendent direct din c, atunci a nu este descendentdirect din c.

7. Nereflexivitatea. R este nereflexiv n M ddacR nu estereflexiv, fr a fi ireflexiv sau, altfel spus, ddac nu orice obiect din Mseindic prin relaiaR pe sine, dar exist cel puin un obiect din Mcare se indic

prin relaiaR pe sine. Relaia respectpe este nereflexiv: nu orice persoanse respect pe sine, dar exist persoane care se respect pe sine.8.Nesimetria.R este nesimetric n MddacR nu este simetric,

fr a fi asimetric. Relaia iubete pe este nesimetric: daca iubete pe b,atunci se poate ca b s iubeasc pe a sau se poate ca b s nu iubeasc pe a.

9. Netranzitivitatea. R este netranzitiv n M ddacR nu estetranzitiv, fr a fi intranzitiv. Relaia este prieten cu este netranzitiv: daca este prieten cu bi b este prieten cu c, atunci se poate ca a s fie prieten cu c

sau se poate ca a s nu fie prieten cuc.Diferite relaii pot fi caracterizate n funcie de aceste proprieti.Astfel, relaia este cstorit cu este ireflexiv, simetric i intranzitiv, iarrelaia dn judecatpe este ireflexiv, nesimetrici netranzitiv.

Alte proprieti ale relaiilor:10. Antisimetria. R este antisimetric n M ddac oricare ar fi

obiectele ai b din M, dac aRb i bRa, atunci a este identic (acelai) cu b. narmat, relaia este ndreptit scomande lui este antisimetric: daca estendreptit s comande lui bi b este ndreptit s comande lui a, atunci aeste aceeai persoan cu b.

11. Conexitatea. R este conex n Mddac oricare ar fi obiectelediferite ai b din M, aRb sau bRa. O relaie conex ntr-o mulime pune nlegtur (conecteaz) oricare dou obiecte distincte din mulimearespectiv. Relaia are cel puin acelai salariu cu este conex n oricemulime de salariai, iar relaia are un salariu mai mare dect al lui esteconex doar ntr-o mulime de salariai care au salarii diferite. Despre o relaieconex ntr-o mulime se spune c este dihotomic n mulimea respectiv.

Acum, considernd relaia are un salariu mai mare dect al lui n orice



51/164

51

mulime de salariai, oricare ar fi salariaii ai b din mulimea respectiv, aare un salariu mai mare ca b sau b are un salariu mai mare ca a sau ai b ausalarii egale. Se spune c aceast relaie este trihotomicn orice mulime de

salariai. Tot aa, relaia este la nord de este trihotomic n orice mulime delocaliti, cci oricare ar fi localitile ai b din mulimea respectiv, a este lanord de b sau b este la nord de a sau ai b se afl la aceeai longitudinenordic.

Relaiile diadice pot fi clasificate n funcie de proprietile acestora.Principalele clase de relaii sunt relaiile de echivalen, relaiile de ordine irelaiile de succesiune. Astfel, se spune cR este o relaie de echivalennM, dacR este reflexiv, simetrici tranzitiv n M. n mulimea localitilor

din Romnia, relaia este n acelai jude cu este o relaie de echivalen.DacR este o relaie de echivalen n M, atunci despre oricare dou obiectedin Mse spune c sunt echivalente dup relaiaR sau, n termeni tehnici,echivalente modulo R. De pild, localitile Cluj i Turda sunt echivalentedup relaia este n acelai judecu.

Se disting mai multe tipuri de relaii de ordine. Astfel, se spune cReste o relaie de ordine slab n M, dacR este reflexiv, tranzitiv iantisimetric n M. n armat, relaia este ndreptit scomande lui este de

ordine slab, cci este reflexiv (oricine este ndreptit s-i comande siei),tranzitivi, dup cum am vzut, antisimetric. Se spune cR este o relaiede ordine tare n M, dacR este ireflexiv, asimetric i tranzitiv n M.ntr-un arbore genealogic, relaia este descendent din este de ordine tare. Maideparte, se spune cR este o relaie de ordine total n M, dacR este orelaie de ordine slab n Mi este conex n Msau dacR este o relaie deordine tare n Mi este trihotomic n M. Relaia are cel puin acelai salariucu este de ordine total ntr-o mulime de salariai care au salarii diferite, fiindconexi de ordine slab ntr-o astfel de mulime, iar relaia are un salariumai mare dect al lui este de ordine total n orice mulime de salariai, fiindtrihotomici de ordine tare. n fine, se spune cR este o relaie de ordine

parialn M, dacR este o relaie de ordine slab n Mi nu este conex nMsau dacR este o relaie de ordine tare n Mi nu este trihotomic n M. narmat, relaia de ordine slabeste ndreptit scomande lui este de ordin

An1 DGheorghiu Logica Gen Vol II

Documents

Transcript of An1 DGheorghiu Logica Gen Vol II