alpha dan hasil pemetaannya - UKSW

Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/292615759

Pemetaan(1/z)^\alphadanhasilpemetaannya

ConferencePaper·December2009

CITATION

1

READS

46

1author:

HannaAriniParhusip

UniversitasKristenSatyaWacana

61PUBLICATIONS21CITATIONS

SEEPROFILE

AllcontentfollowingthispagewasuploadedbyHannaAriniParhusipon02February2016.

Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile.

https://www.researchgate.net/publication/292615759_Pemetaan_1zalpha_dan_hasil_pemetaannya?enrichId=rgreq-2d41a11d25c0322f14d1580f45997b73-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI5MjYxNTc1OTtBUzozMjQ1Njc3NzAzMDQ1MTJAMTQ1NDM5NDM5NDAyMg%3D%3D&el=1_x_2&_esc=publicationCoverPdf

https://www.researchgate.net/publication/292615759_Pemetaan_1zalpha_dan_hasil_pemetaannya?enrichId=rgreq-2d41a11d25c0322f14d1580f45997b73-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI5MjYxNTc1OTtBUzozMjQ1Njc3NzAzMDQ1MTJAMTQ1NDM5NDM5NDAyMg%3D%3D&el=1_x_3&_esc=publicationCoverPdf

https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-2d41a11d25c0322f14d1580f45997b73-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI5MjYxNTc1OTtBUzozMjQ1Njc3NzAzMDQ1MTJAMTQ1NDM5NDM5NDAyMg%3D%3D&el=1_x_1&_esc=publicationCoverPdf

https://www.researchgate.net/profile/Hanna_Parhusip?enrichId=rgreq-2d41a11d25c0322f14d1580f45997b73-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI5MjYxNTc1OTtBUzozMjQ1Njc3NzAzMDQ1MTJAMTQ1NDM5NDM5NDAyMg%3D%3D&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf


https://www.researchgate.net/institution/Universitas_Kristen_Satya_Wacana?enrichId=rgreq-2d41a11d25c0322f14d1580f45997b73-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI5MjYxNTc1OTtBUzozMjQ1Njc3NzAzMDQ1MTJAMTQ1NDM5NDM5NDAyMg%3D%3D&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf



ISBN : 978-979-16353-3-2

“PPeenneelliittiiaann ddaann PPeennddiiddiikkaann MMaatteemmaattiikkaa sseerrttaa kkoonnttrriibbuussiinnyyaa

ddaallaamm UUppaayyaa PPeennccaappaaiiaann WWCCUU ((WWoorrlldd CCllaassss UUnniivveerrssiittyy)) ””

Yogyakarta, 5 Desember 2009

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta 2009

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Kerjasama dengan Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) wilayah Jateng dan DIY

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 5 Desember 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

pada tanggal 5 Desember 2009 di Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar :

1. Prof. Dr. Rusgianto 2. Dr. Hartono 3. Dr. Jailani 4. Sahid, M.Sc

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta 2009

1

DAFTAR MAKALAH

kode Nama pemakalah Judul Hal A.1 Imam Fahcruddin

Spectrum Pada Graf Star ( ) Dan Graf Bipartisi Komplit ( )

Dengan

1

A.2 M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung 12 A.3 Lucia Ratnasari/ Y.D. Sumanto

KOMPLEMEN GRAF FUZZY

22

An.1 Muslim Ansori

RUANG LINEAR BERNORMA ( )( )2, [ , ]ESSC H L a b 31

An.2 Drajad Maknawi /Drs. Mulich, M.Si

Definisi Tipe Riemann untuk Integral Lebesgue 38

An.3 Rudianto Artiono Discounted Feynman Kac Untuk Mencari PDP Pada Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan Setelah Vesting Period

49

An.4 Sujito, S.T., M.T

Implementasi Lagrange Equation Pada Optimasi Incremental Fuel Cost Pembangkit Energi Guna Penjadwalan Pembangkit Berbasis Metode Dynamic Programming

57

An.5 Hairur Rahman Globally Small Riemann Sums (Gsrs) Integral Henstock-Pettis Pada Ruang Euclide Rn

72

P.1 Drs. M. Nur Yadil, M.Si

Penerapan Model Pembelajaran Van Hiele Untuk Meningkatkan Pemahaman Siswa SMP Karunadipa Palu Terhadap Konsep Bangun- Bangun Segiempat

81

P.2 Drs. Syaiful, M.Pd

Model Pengajaran Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Pada Guru SMP

92

P.3 Dra. Dwi Astuti, M.Si/ Bambang Hudiono

Perilaku Metakognisi Anak Dalam Matematika: Kajian Berdasarkan Etnis Dan Gender Pada Siswa SMP Di Kalimantan Barat

107

P.4

Budiyono

Kompetensi Guru Sekolah Dasar Dalam Memahami Matematika SD

119

P.5 Budiyono /Wanti Guspriati

Jenis-Jenis Kesalahan Dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Differensial Biasa (PDB) Studi Kasus Pada Mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo

131

P.6 Drs. Abusyafik, M. Pd./ Siti Khanifah, S. Pd

PEMBELAJARAN FPB DAN KPK DENGAN DAN TANPA ALAT PERAGA PADA SISWA KELAS V SD NEGERI BLENGORKULON KECAMATAN AMBAL KABUPATEN KEBUMEN TAHUN PELAJARAN 2008/2009

141

P.7 Dra. Sulis Janu Hartati, M.T

Karakteristik Proses Berpikir Siswa Kelas III Sekolah Dasar Pada Saat Melakukan Aktivitas Membagi

153

P.8

Drs. Hamdani, M.Pd.

Pengembangan Pembelajaran Dengan Mathematical Discourse Dalam Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama

163

P.9

Dra. Tina Yunarti, M.Si

Fungsi Dan Pentingnya Pertanyaan Dalam Pembelajaran

174

P.10 Supratman

Membandingkan Hasil Belajar Matematika Siswa Yang Pembelajarannya Menggunakan Model Kooperatif Tipe Jigsaw Dengan Tipe Stad Pada Materi Lingkaran

185

P.11 Akhmad Jazuli Berfikir Kreatif Dalam Kemampuan Komunikasi Matematika 209 P.12 Agustin Ernawati, S.Pd./

Sitti Maesuri Patahuddin Pemanfaatan Internet dalam Mempersiapkan Guru mengajar di Kelas RSBI 221

2

P.13 Alfath Famela Rokhim/ Sitti Maesuri Patahuddin

Penggunaan Permainan Online Dalam Belajar Matematika

234

P.14 Darmadi, S.Si, M.Pd.

Spektrum Hasil Belajar Analisis Real Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun Tahun Akademik 2008/2009

247

P.15 Endang Rahayu, S.Si, M.Pd. Pembelajaran Konstruktivisme Ditinjau Dari Gaya Belajar Siswa

252

P.16 Armiati Komunikasi Matematis dan Kecerdasan Emosional

270

P.17 Sitti Maesuri Patahuddin/ Siti Rokhmah/ Mohamad Nur

Pengembangan LKS berbasis ICT pada Pembelajaran Matematika SMP RSBI

281

P.18 Drs. Mustangin, M.Pd / Agustin Debora MS

Penerapan Global Learning Dan Mind Mapping Dalam Pembelajaran Matematika Sebagai Jaringan Konsep

295

P.19 Drs.Dwikoranto,M.Pd

MENINGKATKAN KOMPETENSI GURU MATEMATIKA DAN IPA SMP MELALUI KEGIATAN LESSON STUDY

310

P.20 Siti Rokhmah/ Siti Maesuri Patahuddin / Mohamad Nur LKS Matematika Berbasis ICT Untuk Memfasilitasi Siswa Berpikir Kritis 325

P.21 Agustin Debora MS, Drs. Mustangin, MPd Dra. Santi Irawati, M.Si,Ph.D

Mengoptimalkan Memory Jangka Panjang Siswa SMPN1 Pajarakan dalam Memaknai Konsep Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dengan Penyandian

336

P.22 Kartini, S.Pd. M.Si

Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika

361

P.23 Ariyadi Wijaya, M.Sc

Hypothetical Learning Trajectory dan Peningkatan Pemahaman Konsep Pengukuran Panjang

373

P.24 Abdussakir, M.Pd/ Nur Laili Achadiyah, S.Pd

PEMBELAJARAN KELILING DAN LUAS LINGKARAN DENGAN STRATEGI REACT PADA SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 6 KOTA MOJOKERTO

388

P.25 Djamilah Bondan Widjajanti, M.Si

KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA: APA dan BAGAIMANA MENGEMBANGKANNYA

402

P.26 Sugiman, M.Si

PANDANGAN MATEMATIKA SEBAGAI AKTIVITAS INSANI BESERTA DAMPAK PEMBELAJARANNYA

414

P.28 Kadir, S.Pd., M.Si. Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP melalui Penerapan Pembelajaran Kontekstual Pesisir

428

P.30 Risnanosanti

PENGGUNAAN PEMBELAJARAN INKUIRI DALAM MENGEMBANGKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SMA DI KOTA BENGKULU

441

P.31 Abdul Qohar

PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA PADA PEMBELAJARAN DENGAN MODEL RECIPROCAL TEACHING

453

P.32 Ali Mahmudi, M.Pd

Menulis sebagai Strategi Belajar Matematika 466

P.33 Dra. Sri Hastuti Noer, M.Pd.

Peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah

473

P.34 Dra. Nila Kesumawati, M. Si

Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik

484

P.35 Eri Satria

Model Pembelajaran Computer Support Collaborative Learning (CSCL)

494

S.1 Pika Silvianti, Khairil A. Notodiputro, I Made Sumertajaya

Pendekatan Metode Bayes Untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi Pada Model Ammi (Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model)

503

S.2 I Gede Nyoman Mindra Jaya Analisis Interaksi Genotipe � Lingkungan Menggunakan Partial Least Square

Path Modeling 514

S.3 H. Bernik Maskun *)

Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut Menggunakan Statistik Chi-Kuadrat Rank (Pendekatan Non Parametrik)

530

S.4 Zulhanif , Yadi Suprijadi Perbandingan Mekanisme Data Hilang Pada Model Normal

544

3

S.5 Mohammad Masjkur

Metode Kemungkinan Maksimum Em Pendugaan Parameter Model Nonlinear Jerapan Fosfor

551

S.6 Enny Supartini

Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali Pembatasan Pengacakan

560

S.7 Neneng Sunengsih

Seleksi Variabel Dalam Analisis Regresi Multivariat Multipel 567

S.8 Liana Kusuma Ningrum / Winita Sulandari, M.Si

Penerapan Model Arfima (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) Dalam Peramalan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI)

581

S.9 Retno Hestiningtyas / Winita Sulandari, M.Si

Pemodelan Tarch Pada Nilai Tukar Kurs Euro Terhadap Rupiah

591

S.10 Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc./ Dra. Khurul Wardati, M.Si./ Iwan Kuswidi, S.Pd.I., M.Sc.

Aplikasi Multidimensional Scalling (Studi Kasus : Analisis Segmentasi dan Peta Posisi UIN Sunan Kalijaga terhadap Perguruan Tinggi di Yogyakarta)

599

S.11 Anindya Apriliyanti Pravitasari

Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy CMeans Cluster Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity dan Indeks XB (Xie dan Beni)

623

S.12 Wahyu Wibowo

METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE

633

S.13 Achmad Zanbar Soleh / Peris Siregar/ Resa Septiani Pontoh

SELEKSI VARIABEL KUALITATIF MELALUI PROPORTIONAL REDUCTION IN UNCERTAINTY (PRU)

646

S.14 Lisnur Wachidah

Uji Kecocokan Chi-Kuadrat Untuk Distribusi Poisson Pada Data Asuransi

653

S.15 Danang Teguh Qoyyimi Model Suku Bunga Multinomial

666

S.16 Hery Tri Sutanto

MULTI KOLLINIERITAS DALAM REGRESI MULTIPLE LOGISTIK

676

S.17 Hery Tri Sutanto

Cluster Analysis 681

S.18 Anna Chadidjah/ Indra Elfiyan Model Regresi Data Panel untuk Menaksir Realisasi Total Investasi Asing dan Dalam Negeri .(Studi Kasus di Provinsi Jawa Barat)

690

S.19 Siti Sunendiari

Model Regresi Linier Dalam Melihat Keberhasilan Belajar Siswa SMU

731

S.20 Anik Djuraidah

Indeks Kerentanan Sosial Ekonomi Untuk Bencana Alam Di Wilayah Indonesia

746

S.21 Anik Djuraidah

Evaluasi Status Ketertinggalan Daerah Dengan Analisis Diskriminan 756

S.22 Isnani, M.Si

Penggunaan Bootstrap Untuk Mendeteksi Keakuratanan Kriging

772

S.23 Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc Pemanfaatan Software Open Source R dalam pemodelan ARIMA

786

S.24 Indahwati / Dian Kusumaningrum / Wiwid Widiyani

APLIKASI REGRESI DUA LEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA

796

S.25 Indahwati / Yenni Angraeni /Tri Wuri Sastuti

PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG

816

S.26 Yusep Suparman

Perlukah Cross Validation dilakukan? Perbandingan antara Mean Square Prediction Error dan Mean Square Error sebagai Penaksir Harapan Kuadrat Kekeliruan Model

833

S.27 Ridha Ferdhiana, M.Sc

Uji Alternatif Data Terurut Perbandingan antara Uji Jonckheere Terpstra dan Modifikasinya

840

4

S.28 Bertho Tantular

Pelanggaran Asumsi Normalitas Model Multilevel Pada Galat Level yang Lebih Tinggi

849

S.30 Dien Sukardinah SENSITIFITAS INDIKATOR KESELURUHAN MULTIKOLINEARITAS DALAM MODEL REGRESI LINEAR MULTIPEL

862

S.31 Lienda Noviyanti SUATU MODEL HARGA OBLIGASI 871 S.32 Kismiantini / Dhoriva Urwatul Wutsqa

DAMPAK PENURUNAN HARGA BBM JENIS PREMIUM TERHADAP ANGKA INFLASI DI KOTA YOGYAKARTA (Studi Aplikasi Model Intervensi dengan Step Function)

879

S.33 Iqbal Kharisudin Koefisien Determinasi Regresi Fuzzy Simetris Untuk Pemilihan Model Terbaik 895 S.35 Heri Retnawati Pengaruh Kemampuan Awal dan Kemampuan Berfikir Logis/penalaran

terhadap Kemampuan Matematika (Studi Komparasi Sensitivitas Program Lisrel 8.51 dan Amos 6.0)

910

S.36 Dhoriva Urwatul Wutsqa /Suhartono PERAMALAN DERET WAKTU MULTIVARIAT SEASONAL PADA DATA PARIWISATA DENGAN MODEL VAR-GSTAR

933

T.1 Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum 950 T.2 Gumgum Darmawan, Okira Mapanta ,

Trifandi Lasalewo Membangun Software Aplikasi pada Antrian Jaringan Jackson untuk menentukan Performansi Optimal

960

T.3 Totok Yulianto

Simulasi Pengendalian Struktur berbasis pada Material Cerdas 979

T.4 John Maspupu

ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET

993

T.5 John Maspupu

PENENTUAN HUBUNGAN EKSPONEN SPEKTRAL DAN DIMENSI FRAKTAL SINYAL ULF GEOMAGNET

1000

T.6 Gatot Riwi Setyanto, Drs., M.Si.

RISIKO PENDANAAN PENSIUN ACCRUED BENEFIT COST METHOD DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PENGARUH KURS VALUTA ASING

1010

T.7 Bachtiar Anwar

Analyzing Coronal Mass Ejection of July 10, 2005 and Its Effect on the Earth’s Magnetosphere

1021

T.8 Sangadji

FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK

1033

T.9 Dwi Lestari / Atmini Dhoruri, MS Model Epidemi Berdasarkan Umur dan Kriteria Threshold 1040

T.10 Renny, M.Si

MODEL MATEMATIKA DALAM KASUS EPIDEMIK KOLERA DENGAN POPULASI KONSTAN

1051

T.11 Rubono Setiawan

Analisa Kestabilan Ekuilibrium Model Matematika Berbentuk Sistim Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskrit

1064

T.12 I Made Sulandra

Algoritma Groebner Walk Lambat? 1078

T.13 Dwi Ertiningsih, Widodo

Optimalisasi dan Pemodelan Inventory dengan Dua Gudang Penyimpanan untuk Barang yang Mengalami Penyusutan dengan Backlog Shortage dan Waktu Tunggu (Lead Time) Fuzzy

1093

T.14 M. Navi’ Jauhari Ulinnuha

Perancangan Software Batik Berbasis Geometri Fraktal 1109

T.15 Habirun

ANALISIS MODEL VARIASI HARIAN KOMPONEN GEOMAGNET BERDASARKAN POSISI MATAHARI

1116

T.16 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Sulistyono

PEMETAAN α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

DAN HASIL PEMETAANNYA

1127

T.17 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Siska Ayunani

METODE FINALTI UNTUK MENENTUKAN BERAT SAPI OPTIMAL

1139

T.18 Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

Metode Levenberg-Marquardt Untuk Masalah Kuadrat Terkecil Nonlinear

1152

5

T.19 Dra. Asmara Iriani Tarigan, M.Si

Optimasi Jadwal Ujian di Perguruan Tinggi dengan Metode Branch and Bound 1162

T.20 Fitriana Yuli Saptaningtyas

Metode Volume Hingga Untuk Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan Saluran Terhadap Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai

1174

T.21 Nikenasih Binatari

Model SIR untuk Ketahanan Behavioural

1187

T.22 Kuswari Hernawati

Optimalisasi SEO (Search Engine Optimizer) sebagai upaya meningkatkan unsur Visibility dalam Webometric

1198

T.23 Isnaini Rosyida

PENENTUAN BILANGAN KROMATIK FUZZY PADA GRAF FUZZY GF(V,EF) MELALUI BILANGAN KROMATIK PADA CUT Gα(V,Eα)

1210

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1127

T-16

PEMETAAN α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

DAN HASIL PEMETAANNYA

Oleh : H. A. Parhusip1 dan Sulistyono2

Program Studi Matematika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matematika (FSM)

Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www.uksw.edu) [email protected]

2mahasiswa S1, matematika –FSM‐UKSW Abstrak : Pemetaan α)/1( zw = , dengan α −∈ Z (himpunan bulat negatif) dan α )1,0(∈ serta hasil pemetaannya ditunjukkan pada makalah ini. Dapat ditunjukkan pemetaan ini konformal. Hasil pemetaan diperoleh dengan melakukan transformasi geometri. Kata kunci : pemetaan konformal, fungsi analitik, persegi 1. Pendahuluan

Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mempertahankan besaran dan

arah sudut diantara sebarang dua kurva yang berpotongan di suatu titik tertentu. Pada

makalah terdahulu (Parhusip dan Sulisyono, 2009) ditunjukkan hasil pemetaan

α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

untuk 1=α dan 2=α . Hasil pemetaan ditunjukkan dengan terlebih dahulu

ditunjukkan untuk pemetaan garis vertikal dan garis horizontal secara terpisah.

Selanjutnya dilakukan pemetaan untuk 1 bidang persegi. Untuk persegi lebih dari 1

dilakukan dengan menggunakan transformasi geometri seperti pencerminan. Pada

makalah ini akan ditunjukkan pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

untuk berbagai nilai α .

Pada Bab II ditunjukkan pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya

yang merupakan hasil penelitian sebelum ini (Parhusip dan Sulisyono, 2009) . Pada Bab

III dijelaskan cara melakukan penelitian ini. Hasil dan Pembahasan ditunjukkan pada

Bab IV. Selanjutnya kesimpulan ditunjukkan pada Bab terakhir.

2. Pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya

Pemetaan garis vertikal dan garis horizontal

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Telah diketahui bahwa pemetaan garis vertikal dan haris horisontal oleh w=1/z

merupakan persamaan lingkaran (Parhusip dan Sulisyono, 2009). Beberapa hasil

pemetaan untuk garis vertikal dan horizontal ditunjukkan pada Gambar 1‐3.

Sedangkan untuk y = a dan garis x = b (a,b 0≠ ) dengan fungsi pemetaan w = 1/z

untuk berbagai nilai a dan b yang berbeda, yaitu a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b

> 0 dan a,b < 0 berturut‐turut ditunjukkan pada Gambar 4.

Gambar 1. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran , c,d > 0

Gambar 2. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran ,c,d < 0.

Gambar 3. Persamaan garis x=c dan x=d dan bayangannya untuk c>0 dan d<0

Gambar 4. Persamaan garis y=a, x=b dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran dengan a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0.

Bayangan persegí untuk 1 persegi

Gambar 4a menunjukkan bahwa a,b > 0 dan bayangan digambarkan dalam

lingkaran penuh. Bayangan pada Gambar 4a ini dapat dibatasi (tidak sebagai lingkaran

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


penuh) jika kita juga membatasi persegí yang terbentuk pada Gambar 4a, yaitu

Gambar 4a diubah sedemikian sehingga terbentuk Gambar 5.

Gambar 5. Persegi ABCO dan bayangannya dengan pemetaan w=1/z.

Bayangan pada Gambar 5b diperoleh pertama kali mencari batas dari bayangannya

yaitu titik 'A , 'B dan 'C dan kemudian menghubungkan titik‐titik tersebut. Untuk titik

asal tetap dipetakkan ke titik asal, karena titik asal O(0,0) adalah titik singular atau

kesingularan dari w=1/z. Untuk titik A(0,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi

w=1/z ke titik )1,0('a

A − pada bidang w. Hal ini karena titik A(0,a) pada bidang z dapat

ditulis sebagai z = 0+ia, sehingga aiaz

w 10

11−=

+== dan karena w = u + iv maka

diperoleh titik )1,0('a

A − .

Untuk titik B(b,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi pemetaan w=1/z

ke titik ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+ 2222 ,'ba

aba

bB pada bidang w. Titik 'B diperoleh dengan menuliskan titik

B sebagai z = b + ia , sehingga diperoleh 22 baiabw

+−

= sehingga diperoleh koordinat 'B

tersebut. Untuk selanjutnya titik C(b,0) pada bidang z dipetakkan ke titik ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0,1'

bC

pada bidang w oleh fungsi pemetaan w=1/z Kemudian titik‐titik tersebut dihubungkan

untuk memperoleh Gambar 5b. Untuk selanjutnya kita dapat menyusun hasil

pemetaan untuk tiap persegi pada kuadran yang lain dengan cara melakukan

pencerminan.

Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu u

adalah

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=10

01RX (3)

sehingga jika koordinat suatu titik A dinyatakan dalam notasi vektor posisi ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

A

A

yx

dengan koordinat bayangannya adalah 'A sebagai vektor posisi ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡''

A

A

yx

maka dapat

ditulis

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

A

AR

A

A

yx

Xyx

'

' .

Kita dapat melakukan transformasi pencerminan untuk titik B dan C untuk

mendapatkan koordinat pencerminannya berturut‐turut 'B dan 'C . Kita dapat

melakukan pencerminan dengan cara serupa sehingga dapat diperoleh berbagai hasil

pemetaan yang ditunjukkan pada Gambar 6. Gambar 6 diperoleh dengan melakukan

pencerminan Gambar 5a dan Gambar 5b terhadap Sumbu y dan sumbu v secara

berturut‐turut menggunakan matriks transformasi ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=10

01RX dan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1001

RX .

Gambar 6. Pemetaan 1 persegi dan hasil pemetaannya melalui pencerminan.

2.3 Bayangan persegí untuk n x n persegi

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Dengan menggabungkan hasil gambar‐gambar yang diperoleh pada subbab

sebelum ini beserta bayangannya, diperoleh beberapa hasil pemetaan sebagaimana

ditunjukkan pada Gambar 7. Untuk persegi dengan jumlah yang lebih banyak,

bayangannya dapat diperoleh dengan langkah‐langkah yang sama.

Gambar 7a. Ilustrasi perseguí 4 x 4 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.

Gambar 7b. Ilustrasi perseguí 14 x 14 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.

Modifikasi pemetaan w=1/z dan hasil pemetaannya

Modifikasi yang ditunjukkan pada makalah ini adalah menyusun pemetaan

α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dan N∈α (himpunan bilangan asli). Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan ini

merupakan pemetaan konformal dengan menyatakan w dalam koordinat polar dan

memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Untuk persegi yang dibentuk dari persegi 14

x14 yang dipetakkan oleh 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw ditunjukkan pada Gambar 10.

Gambar 10. Pemetaan persegi 14 x 14 (kiri) oleh 2

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw dan hasil pemetaannya

(kanan).

3. METODE PENELITIAN Dalam tahap ini dibagi dalam beberapa kasus, yaitu:

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


3.1 Menunjukkan bahwa pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dengan −∈ Zα (himpunan bulat negatif)

adalah pemetaan konformal

3.2 Mengilustrasikan hasil pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

, βα −= dan 2=β untuk bidang

persegi yang dipetakkan.

3.3 Menunjukkan bahwa pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dengan )1,0(∈α adalah pemetaan

konformal.

3.4 Mengilustrasikan hasil pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

, 5.0=α untuk bidang persegi yang

dipetakkan. 4. HASIL & PEMBAHASAN

4.1 Pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dengan −∈ Zα (himpunan bulat negatif)

Untuk −∈ Zα maka dapat dituliskan sebagai βα −= dengan N∈β (himpunan bilangan asli) sehingga

α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

= ββ

zz

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−1. Sebutlah 1wzw == β dengan ivuw +=1 .

(4.1)

Teorema 4.1. Pemetaan ββ

zz

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−1dengan N∈β merupakan pemetaan konformal.

Bukti. Perlu ditunjukkan bahwa 1wzw == β merupakan pemetaan analitik yang dapat ditunjukkan 2 cara yaitu dengan Koefisien Binomial (cara I) dan koordinat kutub (cara II). Pada bagian ini ditunjukkan kedua cara. Cara 1. Karena z = x + iy maka βzw =1 = β)( iyx + . Dengan menggunakan koefisien Binomial diperoleh

βzw =1 = β)( iyx + = jj

jj iyxC )(

0

−

=∑ β

ββ

= ...555

444

333

222

110 +++−−+ −−−−− yxiCyxCyxiCyxCyxiCxC ββββββββββββ . (4.a)

Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari persamaan (4.a) berturut‐turut diperoleh

jjj

k

j

j yxCyxCyxCyxCxu 222

0

666

444

222 )1(... −

=

−−− ∑ −=+−+−= βββββββββ ,

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


12)12(12

0

555

555

333

1 )1(... ++−+

=

−−−− ∑ −=+++−= jjj

k

j

j yxCyxCyxCyxCyxu ββββββββββ

Sehingga

jjj

k

j

j yxCjxu 212

20

)2()1( −−

=

−−=∂∂ ∑ βββ (5.a)

1222

02)1( −−

=∑ −=

∂∂ jj

j

k

j

j yxjCyu ββ (5.b)

12)1(212

0)12()1( ++−

+=

−−−=∂∂ ∑ jj

j

k

j

j yxCjxv βββ , (5.c)

jjj

k

j

j yxCjyv 2)1(2

120

)12()1( +−+

=

+−=∂∂ ∑ ββ (5.d)

dengan ⎥⎦⎥

⎢⎣⎢=

2βk . Dari persamaan (5.a)‐(5.b) belum terlihat bahwa

persamaan tersebut memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

xv

yu

yv

xu dan . Oleh karena itu masing‐masing turuna parsial

pada persamaan (5.a)‐(5.d) dijabarkan diperoleh

( ) ( ) ...,42 454

232

10 +−+−−=

∂∂ −−− yxCyxCxC

xu ββββββ βββ (6.a)

...,6420 566

344

22 +++−=

∂∂ −−− yxCyxCyxC

yu ββββββ (6.b)

...,)5()3()1( 565

343

21 +−+−−−=

∂∂ −−− yxCyxCyxCxv ββββββ βββ (6.c)

...,53 455

233

11 ++−=

∂∂ −−− yxCyxCxCyv ββββββ (6.d)

Dengan menggunakan identitas 0!=1, maka 10 == aa

a CC , aC a =1 dan aba

ab CC −= .

Selain itu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)!(!

)!))(1()...(2)(1()!(!

!bab

babaaaabbab

abbC ab

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−−=

)!1(!))1()...(3)(2)(1(

bbbaaaaab

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−−−−=

)!1())1()...(3)(2)(1())1((

bbaaaaaba

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Maka didapatkan ( ) ( ) ( ) ββββββ βββ 342312 34,23,12 CCCCCC −=−=−= dan

seterusnya sehingga persamaan (6.a)‐(6.d) diperoleh ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

xv

yu

yv

xu dan .

Yang berarti 1w memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Cara 2. Dalam koordinat polar 1w dapat ditulis sebagai

)sin(cos1 βθβθββ irzw +== . Denan menuliskan bagian riil dan bagian khayal 1w

diperoleh βθθ β cos),( rru = dan βθθ β sin),( rrv = . Sehingga

θβθββθβ ββ

∂∂

===∂∂ − v

rr

rr

ru 1cos1cos1

dan rurrrr

rv

∂∂

−=−==∂∂ − βθββθβ ββ sinsin1 . Jadi memenuhi persamaan Cauchy‐

Riemann. Karena 1w merupakan polinom berderajat β atau dapat juga disebut sebagai fungsi

pangkat, maka turunan 1w yaitu 1'1

−= ββzw ada untuk setiap Cz ∈≠ 0 . Jadi 1w merupakan pemetaan konformal. Untuk 1=β maka diperoleh 1w = z . Hasil pemetaan adalah gambar yang sama karena fungsi pemetaan ini tidak mengubah bentuk gambar tetapi hanya menggantu sumbu‐sumbu koordinat, yaitu sumbu x menjadi sumbu u dan sumbu y menjadi sumbu v berturut‐turut untuk bidang z dan bidang w. Pada bagian selanjutnya ditunjukkan untuk 2=β .

4.2 Hasil pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

, βα −= dan 2=β

Untuk nilai 2=β diperoleh 21 zw = dan ini merupakan fungsi parabolik atau

fungsi kuadrat. Berdasarkan persamaan (4.1) maka 221 2 yixyxw −+= . Dengan

menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari 1w berturut‐turut diperoleh 22 yxu −= dan xyv 2= . (7)

Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan garis ax ±= pada bidang –z dipetakkan sebagai keluarga parabola pada bidang‐w, yang ditunjukkan oleh persamaan (8.). Yaitu karena

ayv 2±= sehingga avy

2±= dan 22 yau −= maka 2

22

22

42 ava

avau −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−= .

(8.a) Untuk persamaan garis by ±= pada bidang‐z dipetakkan sebagai suatu keluarga parabola pada bidang‐w, yaitu

bxv 2±= sehingga bvx

2±= dan 22 bxu −= maka 2

2

22

2

42b

bvb

bvu −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±= . (8.b)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Keluarga parabola persamaan (8.a)‐(8.b) merupakan sistem ortogonal (Gordon,1963). Masing‐masing dari bayangan garis ax ±= dan by ±= dan persegi ditunjukkan pada Gambar 4.1‐4.3.

Gambar 11. Bayangan garis ax ±= dan by ±= beserta bayangan persegi ABCD

dengan fungsi 2zw = .

Gambar 12. Bayangan garis ax ±= dan by ±= untuk a=1,2 dan b=a,2 serta 2zw = .

Gambar 13. Bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 dengan fungsi 2zw = .

4.3 Pemetaan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dengan )1,0(∈α

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Karena )1,0(∈α , maka dapat dituliskan ba

=α dengan a,b N∈ , a<b, sehingga

diperoleh

ba

zzw ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

11 α

.

Dalam koordinat polar dapat diperoleh ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−θθθ b

aibar

rew b

aba

i sincos1. Dengan

menuliskan bagian riil dan khayalnya diperoleh θbaru b

a

cos−

= , θbarv b

a

sin−

−= .

Sehingga

θbar

ba

ru b

a

cos1−−

−=∂∂

; θθ b

arbau b

a

sin−

−=∂∂

; (9.a)

θbar

ba

rv b

a

sin1−−

=∂∂

; θθ b

arbav b

a

cos−

−=∂∂

. (9.b)

Jadi persamaan Cauchy‐Riemann dipenuhi. Karena Czzb

awba

∈∀≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

,01'1

maka

terbukti α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dengan )1,0(∈α merupakan pemetaan konformal.

Untuk 21

=α , maka diperoleh bentuk pemetaan z

w 1= . Dengan

menggunakan koordinat polar diperoleh

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==−

22sin

22cos12/1 πθπθθ kik

rrew i , k = 0,1. (10)

Sehingga untuk k = 0 diperoleh nilai utama ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== 2

sin2

cos10

θθ ir

wk dan untuk

nilai k = 1 diperoleh ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==−

= 22sin

22cos12/1

1πθπθθ i

rrew i

k . Dengan

mengingat bahwa sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan cos(a+b)=cos a cos b – sin a sin b , maka

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−== 2

sin2

cos11

θθ ir

wk = 0=− kw .

Dengan menuliskan ivuwk +==0 , maka bagian riil dan bagian khayal dapat ditulis

sebagai

2

cos1 θr

u = dan 2

sin1 θr

v −= . (11)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Dengan menuliskan persamaan (11) dalam x dan y diperoleh 2cos11 θ+

=r

u .

Karena 2

2cos1cos2 θθ += diperoleh

21

21

21

2

11 22

22

xyx

yxxr

rrxr

rrx

ru

++

+=

+=

+=

+= .

Secara sama, karena 2

2cos1sin 2 θθ −= diperoleh

21

21

21

2

11 22

22

xyx

yx

xrrr

xrr

rx

rv

−+

+−=

−−=

−−=

−−= .

Sehingga untuk setiap titik (a,b) pada bidang‐z akan dipetakkan menjadi titik

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

+−

++

+ 21,

21 22

22

22

22

aba

ba

bba

ba pada bidang‐w. Dengan mengambil

nilai utama 0=kw yaitu πθ 20 <≤ maka bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14

ditunjukkan pada Gambar 14 pada dua cabang.

Gambar 14 Hasil pemetaan 0=kw =z

1 untuk 14 x14 persegi.

Kita dapat melakukan pemetaan untuk berbagai nilai α yang lain dan menyusun aspek

matematis sebagaimana di atas. Untuk nilai 21

−=α dapat ditunjukkan hasil pemetaan

yang ditunjukkan pada Gambar 15.

Gambar 15. Hasil pemetaan persegi 14x14 dengan α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

dengan 21

−=α .

5 KESIMPULAN DAN SARAN

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2


Pada makalah ini telah ditunjukkan hasil pemetaan persegi n x n dari α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

zw 1

untuk −∈ Zα (himpunan bilangan bulat negatif) dan )1,0(∈α .

Diperoleh bahwa hasil pemetaan persegi n x n untuk 2=α merupakan keluarga

parabola. Sedangkan pemetaan persegi n x n dengan 21

=α merupakan bentuk

lemniscate yang terpotong‐potong. Beberapa pengembangan dapat dilakukan dengan melakukan pemetaan tak konformal untuk bidang persegi.

DAFTAR PUSTAKA

Churchill, R. V. 1960. Complex Variables and Applications,2nd Edition. McGraw‐Hill Book Company. New York. Gordon, L. I dan Sim Lasher. 1963. Elements of Complex Variables. Holt, Rinehart and Winston, Inc. Parhusip H. A., dan Sulistyono, Pemetaaan Konformal dan Modifikasinya untuk suatu Bidang Persegi, Prosiding Seminar Nasioanal Matematika UNPAR 5 September 2009, hal.MT 250‐259, Vol 4. Th. 2009, ISSN 1907‐3909.

Pustaka Web

web1. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html

View publication statsView publication stats

https://www.researchgate.net/publication/292615759

alpha dan hasil pemetaannya - UKSW

Documents

Transcript of alpha dan hasil pemetaannya - UKSW