Aljabar Linear Elementer€¦ · Definisi Determinan Matriks Hasil kali elementer A hasilkali n...
Transcript of Aljabar Linear Elementer€¦ · Definisi Determinan Matriks Hasil kali elementer A hasilkali n...
13/02/2014 9:17 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
13/02/2014 9:17 2
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan
– Permutasi dan Determinan Matriks
– Determinan dengan OBE
– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Beberapa Aplikasi Determinan
Solusi SPL
Optimasi
Model Ekonomi
dan lain-lain.
13/02/2014 9:17 3
Permutasi dan Definisi Determinan Matriks
Permutasi susunan yang mungkin dibuat dengan
memperhatikan urutan
Contoh :
Permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
Invers dalam Permutasi
Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan
yang lebih kecil dalam urutan permutasi
13/02/2014 9:17 4
Permutasi Genap Jumlah invers adalah bil. genap
Permutasi Ganjil Jumlah invers adalah bil. ganjil
Contoh :
Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3}
(1,2,3) 0 + 0 = 0 genap
(1,3,2) 0 + 1 = 1 ganjil
(2,1,3) 1 + 0 = 1 ganjil
(2,3,1) 1 + 1 = 2 genap
(3,1,2) 2 + 0 = 2 genap
(3,2,1) 2 + 1 = 3 ganjil Bilangan yang lebih dari 3: 2 dan 12, yang lebih dari 2: 11
13/02/2014 9:17 5
Definisi Determinan Matriks
Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.
Contoh :
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:
a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
Perhatikan angka kedua saja, misal: a12 a23 a31 (2,3,1)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
21111
11111
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
13/02/2014 9:17 6
Hasil kali elementer bertanda
a11 a22 a33
– a11 a23 a32
– a12 a21 a33
a12 a23 a31
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A
didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali
elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
Perhatikan…
Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
klasifikasi permutasi indeks kolom,
yaitu : jika genap + (positif)
jika ganjil - (negatif)
13/02/2014 9:17 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh :
Tentukan Determinan matriks
Jawab :
Menurut definisi :
Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
13/02/2014 9:17 8
Contoh :
Tentukan determinan matriks
Jawab :
122
011
123
B
122
011
123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
22
11
23
13/02/2014 9:17 9
Menghitung Determinan dengan OBE
Perhatikan :
a.
b.
c.
330
21
det
45
987
054
001
det
24
600
540
321
Dengan mudah…
Karena hasil kali elementer bertanda
selain unsur diagonal adalah nol
Det(A) =
Hasilkali unsur diagonal?
Hitung Det.
Matriks Bukan
Segitiga???
13/02/2014 9:17 10
Perlu OBE untuk menentukan determinan
suatu matriks yang bukan segitiga.
Caranya :
Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga
Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan
suatu matriks, yaitu :
1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali
pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)
Contoh :
maka
11
12A 3A
12
11B
12
11B A3
13/02/2014 9:17 11
2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan
mengalikan satu baris dengan konstanta k, maka
Det (B) = kDet (A)
Contoh :
dan
maka
11
12A 3A
22
12B
22
12B 62
11
122
A
13/02/2014 9:17 12
3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan
perkalian sebuah baris dengan konstanta
tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain
maka Det (B) = Det (A)
Contoh 3 :
Perhatikan
62
31A 12A
62
31
120
31
12-
OBE yang dilakukan pada matriks
tersebut adalah –2b1 + b2
13/02/2014 9:17 13
Contoh 3 :
Tentukan determinan matriks berikut :
Jawab :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
2-kedan 1-ke baris pertukaran
2 1 0
0 1 2
1 2 1
13/02/2014 9:17 14
= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)
212
2 1 0
2- 3- 0
1 2 1
bbA
3-kedan 2-ke baris Pertukaran
2- 3- 0
2 1 0
1 2 1
323
4 0 0
2 1 0
1 2 1
bb
13/02/2014 9:17 15
Determinan dengan ekspansi kofaktor
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A 1
1 0
2 1
maka 13 M
13/02/2014 9:17 MA-1223 Aljabar Linear 16
• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2
= – 2
2 1
0 1 1
12
12
C
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13/02/2014 9:17 17
Secara umum, cara menghitung determinan dengan
ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn
Contoh 6 :
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13/02/2014 9:17 18
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + . . . + a3n C3n
= 0 – 2 + 6
= 4
3
1
33)det(
j
jjcaA
23)1(10 1 1
0 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13/02/2014 9:17 19
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor
sepanjang kolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + . . . + an3 Cn3
= 0 – 2 + 6
= 4
3
1
33)det(i
ii caA
32)1(10 1 0
1 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
13/02/2014 9:17 20
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka
dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,
notasi adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
C
22
12221
11211
TCAadj )(
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
12212
12111
13/02/2014 9:17 21
Misalkan A punya invers
maka
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
3. Jika A mempunyai invers maka :
)()det(
11 AadjA
A
)det(
1)det( 1
AA
13/02/2014 9:17 22
Contoh :
Diketahui
Tentukan matriks adjoin A
Jawab :
Perhatikan bahwa
1 2 0
0 1- 1
1 0 1
A
112
01)1( 11
11
c 110
01)1( 21
12 c 220
11)1( 31
13
c
.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc
13/02/2014 9:17 23
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1
2- 1 2
2 1- 1-
C
1- 2- 2
1 1 1-
1 2 1-
)( TCAadj
13/02/2014 9:17 24
Latihan Bab 2
1. Tentukan determinan matriks dengan
OBE dan ekspansi kofaktor
dan
2. Diketahui :
dan
Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211
121
112
P
144
010
023
Q
200
043
012
A
105
217
311
B
13/02/2014 9:17 25
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A.
Tentukan nilai
43
101
51
k
k
D
543
012
001
A
BA
BAx
tdet
5det2det 2