Algebraic Geometric codes over...

AlgebraicGeometry that

corrects the errors

M. AQALMOUN

Table des matières

Prérequis

Codes over rings

Curves over rings

Diviseurs deCartier, diviseursde Weil et bré endroite

Notion de A-point

Forme diérentiellerationnelle etrésidu

Codes degéométriealgébrique sur lesanneaux

Algebraic Geometry that corrects the errors

Algebraic Geometric codes overrings

Mohamed AQALMOUN

Faculté des sciences Meknes

Samedi 17 Janvier , 2015


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M. AQALMOUN

Table des matières

Prérequis

Codes over rings

Curves over rings


Notion de A-point




Table des matières

1 Prérequis

2 Codes over rings

3 Curves over rings

4 Diviseurs de Cartier, diviseurs de Weil et bré en droite

5 Notion de A-point

6 Forme diérentielle rationnelle et résidu

7 Codes de géométrie algébrique sur les anneaux


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Prérequis

Codes over rings

Curves over rings


Notion de A-point




Prérequis

1 Notion de schéma : Faisceaux , Topologie de Zariski , espacetopologique (localement) annelé.

2 Produit bré (dans la catégorie des schémas).

3 Diviseurs de cartier.

4 Forme diérentielle rationnelle.


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Prérequis

Codes over rings

Curves over rings


Notion de A-point




Codes over rings

Dénition

Soit A un anneau commutatif unitaire.Un code de longueur n sur A est un sous ensemble C de An.Lorsque C est un sous A-module de An on dit que C est un codelinéaire sur A. Si C est un A-module libre on dit C est un code libre etsa dimension est dénie par dimC = rangA(C).

La distance de Hamming : d(x ,y)=#i ; xi 6= yi .Poids de Hamming : ωt(x)= d(x ,0).Distance minimale : dmin =mind(x ,y) ; x ,y ∈Cet x 6= y .Produit scalaire : ⟨x ,y ⟩ =∑

xi yi .Le dual de C : C⊥ = x ∈An ; ⟨x ,y ⟩ = 0 ∀y ∈C .


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Prérequis

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Curves over rings


Notion de A-point




Curves over rings

A un anneau local Artinien d'idéal maximal m.

Dénition

Une courbe sur A est un schéma projectif sur Spec(A) lisse etirréductible de dimension (relative) 1.l'application naturel X :→ Spec(A) est appelée le morphisme destructure de X sur A.

Soit X ⊆PrAune courbe sur A, on note

Xm :=X ×SpecA SpecFq

et par φ :Xm →X le morphisme canonique. et on suppose que Xm estabsolument irréductible.

Exemple

Soit X := Spec

(Z[T1,T2]

(T1−T2)

).


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Notion de A-point




Diviseurs de Cartier, diviseurs de Weil et bré en droite

Dénition

Soit X un schéma et K le faisceau d'anneaux de quotient total sur X .On note K ∗ le faisceau d'éléments inversible de K et O∗ le faisceaud'éléments inversible de OX .Un diviseur de Cartier D est une section globale du faisceau K ∗/O∗.Si un diviseur de cartier est dans l'image de l'application naturelleΓ(X ,K ∗)→ Γ(X ,K ∗/O∗) , il est dit principal.Deux diviseurs de Cartier D et D ′ sont linéairement équivalents si lediviseur D−D ′ est principal.Le groupe des des diviseurs Cartier noté CaCl(X ) est le groupe desdiviseurs de Cartier modulo cette relation d'équivalence (équivalencelinéaire).

Un diviseur de Cartier D peut être représenter sous la formeD = ((Ui , fi ))i où Ui est un recouvrement ouvert de X etfi ∈ Γ(Ui ,K ∗) tel que pour tous i , j , fi/fj ∈ Γ(Ui ∩Uj ,O∗)

Un diviseur de Cartier D est principal lorsqu'il est représenter parD = (X , f ) avec f ∈ Γ(X ,K ∗).


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Prérequis

Codes over rings

Curves over rings


Notion de A-point





Dénition

Soit X un schéma et K le faisceau d'anneaux de quotient total sur X .On note K ∗ le faisceau d'éléments inversible de K et O∗ le faisceaud'éléments inversible de OX .Un diviseur de Cartier D est une section globale du faisceau K ∗/O∗.Si un diviseur de cartier est dans l'image de l'application naturelleΓ(X ,K ∗)→ Γ(X ,K ∗/O∗) , il est dit principal.Deux diviseurs de Cartier D et D ′ sont linéairement équivalents si lediviseur D−D ′ est principal.Le groupe des des diviseurs Cartier noté CaCl(X ) est le groupe desdiviseurs de Cartier modulo cette relation d'équivalence (équivalencelinéaire).

Un diviseur de Cartier D peut être représenter sous la formeD = ((Ui , fi ))i où Ui est un recouvrement ouvert de X etfi ∈ Γ(Ui ,K ∗) tel que pour tous i , j , fi/fj ∈ Γ(Ui ∩Uj ,O∗)Un diviseur de Cartier D est principal lorsqu'il est représenter parD = (X , f ) avec f ∈ Γ(X ,K ∗).


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Notion de A-point





Dénition

Soit D = (Ui , fi ) un diviseur de Cartier sur X . Le sous-faisceau OX (D)de K est donné par

Γ(Ui ,OX (D))= f −1i Γ(Ui ,OX )= 1

fiOX (Ui )

Théorème

Soit X une courbe sur un anneau local Artinien A. Alors

1 Pour tout diviseur de Cartier D , OX (D) est un faisceau inversible(Localement libre de rang 1). L'application D 7→OX (D) est unebijection entre des diviseurs de Cartier et les sous-faisceauinversible de K .

2 OX (D−D ′)=OX (D)⊗

OX (D ′)−1.3 D ∼D ′ si et seulement si OX (D)'OX (D ′).


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Notion de A-point





Dénition


Γ(Ui ,OX (D))= f −1i Γ(Ui ,OX )= 1

fiOX (Ui )

Théorème



2 OX (D−D ′)=OX (D)⊗

OX (D ′)−1.

3 D ∼D ′ si et seulement si OX (D)'OX (D ′).


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Notion de A-point





Dénition


Γ(Ui ,OX (D))= f −1i Γ(Ui ,OX )= 1

fiOX (Ui )

Théorème



2 OX (D−D ′)=OX (D)⊗

OX (D ′)−1.3 D ∼D ′ si et seulement si OX (D)'OX (D ′).


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Notion de A-point





Dénition

Soit X un schéma Noethérien. Un diviseur Weil de X est un sousschéma fermé irréductible de X de codimension 1.

Dénition

Soit L un bré en droite sur la courbe X dénie sur l'anneau Artinienlocal A de corps résidu Fq , Xm =X ×SpecA SpecFq , et φ :Xm →X le

morphisme canonique. Soit D ′ un diviseur de Weil sur X tel queφ∗(L )=OX (D ′). Le degré de L est déni par degL := degD ′.Le genre de X est le genre de Xm

Soient L1 et L2 deux brés en droite sur X (de genre g), alorsφ∗(L1

⊗L2)=φ∗(L1)

⊗φ∗(L2) et deg(L1

⊗L2)= degL1+degL2

Théorème

Avec les notation précédente, si degL > 2g −2, alors Γ(X ,L ) est unA-module libre de rang degL +1−g


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Notion de A-point




Notion de A-point

Dénition

Soit X une courbe sur A et Z un sous-schéma fermé etzero-dimensionnel de X , i :Z →X l'inclusion et f :X → SpecA lemorphisme de structure. On dit que Z est un A-point de X si lacomposition f i est un isomorphisme de schémas.

D'après la dénition, il vient que Γ(Z ,OX |Z)'A.


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Curves over rings


Notion de A-point




Forme diérentielle rationnelle et résidu

A de Frobenius (eq. Gorenstein).

Dénition

Soit η le point générique de X et ω le faisceau canonique sur X et ωη legerme de ω en η. On appelle forme diérentielle rationnelle sur X toutélément de ωη.

Lemme

Soit Z un A-point de X , P l'unique point fermé contenu dans Z, t unparamètre local pour Z. Pour toute forme diérentielle rationnellev ∈ωη , soit v la classe de v dans ωη/ωP . Alors dans un voisinage de

Z, v est de la forme v = ∑j<0

aj tjdt avec les aj ∈A.

De plus si Z ′ est un autre A-point de X contenant le même point P ets un paramètre local de Z ′ et v = ∑

j<0bj s

jds une expression de v dans

un voisinage de Z ′ alors a−1 = b−1.

Dénition

a−1 est appelé le résidu de v en Z et se note ResZ (v). Le résidu de v enP est déni par ResP (v) := ResZ (P) pour tout A-point Z contenant P.


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Notion de A-point




Codes de géométrie algébrique sur les anneaux

Théorème (Théorème des résidus)

Pour toute forme diérentielle rationnelle v sur X , on a∑P∈S

ResP (v)= 0

Où S est l'ensemble des point fermés de X .


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Notion de A-point





Soit A un anneau local Artinien et X une courbe sur A , Z = Z1, . . . ,Znun ensemble de A-points de X deux à deux distincts, L un bré endroite sur sur X . Pour i ∈ 1, . . . ,n soit γi : Γ(Zi ,L |Zi )→A unisomorphisme et γ= γ1, . . . ,γn le système de ces isomorphismes.

Dénition

Soient A , X ,Z , L et γ comme précédemment, et CL(X ,Z ,L ,γ)l'image de l'application suivante :

α︷︸︸︷Γ(X ,L )−→⊕

Γ(Zi ,L |Zi )γ−→An

Où Γ(X ,L )−→⊕Γ(Zi ,L |Zi ) est donné par la restriction.

CL(X ,Z ,L ,γ) est appelé un code de géométrie algébrique sur l'anneauA.

Dénition

Soit D un diviseur de Cartier sur X , et P un point fermé de X c-à-d unpoint rationnel de Xm. On dit que P n'est pas dans le support de D siD = (Ui , fi )i où fj ∈OX (Ui )

× pour j tel que P ∈Uj . Si Z est unA-point contenant P et P n'est pas dans le support de D, on dit aussique Z n'est pas dans le support de D.


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Notion de A-point





Théorème

Soient X , Z et P comme précédemment.Soit L un bré en droite sur X et L ′ =φ(L ) où φ :Xm →X est lemorphisme canonique. Soit γ= γi : Γ(Zi ,L |Zi )→A et γ′ = γ′

i le

système d'isomorphisme induit

γ′i : Γ(Pi ,L′|Pi )= Γ(Zi ,L ′|Zi )

⊗Fq → Fq

Notons enn C =CL(X ,Z ,L ,γ) , C ′ =CFq (Xm,P ,L ′,γ′) et C =π(C)où π :An → Fnq est la projection canonique. On a alors

C =C ′

Théorème

Avec les notation précédente, et on suppose que 2g −2< degL < n.Alors CL(X ,Z ,L ,γ) est un code libre de longueur n est de dimensionk = degL +1−g et de distance de Hamming minimale au moinsδL := n−degL .

La quantité δL := n−degL est appelé la distance minimale (minimaldistance designed).


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Codes over rings

Curves over rings


Notion de A-point





Code dual :

Dénition

Soit A un anneau (de Frobenius) local Artinien , X une courbe sur A ,Z = Z1, . . . ,Zn un ensemble de A-point distincts de X et L un bré endroite sur X . Soit ω le bré en droite canonique de X et

ξi : Γ(Zi ,ω⊗

OX (Z )⊗

L−1)→A

l'isomorphisme déni par la formule ξi (v |Zi )= ρi (γ−1i (1)v |Zi ).Le code résidu CΩ(X ,Z ,L ,γ) sur A est déni parCΩ(X ,Z ,L ,γ) :=CL(X ,Z ,ω

⊗OX (Z )

⊗L−1,ξ)

Théorème

Si 2g −2< degL < n alors

1 CΩ(X ,Z ,L ,γ) est un code libre de dimensionkΩ = n+g −1−degL est de distance de Hamming minimale aumoins δΩ := degL −2g +2.

2 CL(X ,Z ,L ,γ)⊥ =CΩ(X ,Z ,L ,γ)


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