Algebra Tomo 1

7/26/2019 Algebra Tomo 1

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llG'PYSOp l'01lOcllIl IeJltO.n pc_Jrn,lecido íJlriJJ,4J,,pJJte lignrJo nIn rco Iogín .?' n InJiIoso_rn,nbínJ, /,pcI,o dlrJ_nJrreeI J-_JJaciJJJic,,to, su_J-erodo e,,el re,7-eJ7oJo,JJín, /,n_ín97 __i_o z,iol_J,JrnJ,JeJlrecoJJJbntidnspoJ' In ig/esin .?7 Inre,J/4bn relr lli/' e1J,,J, coJ,JirJ,ro L'o/J,J-e,,tc rodo eJsn_pJ' des,Jcianislndn, InsposicioJlesieIieiosn__ deJsigIo ,__I ,1o_nz'oJ_ec_ieyotJ

nJf7__iL'esn Cnli Ipo, Ivp/eJ_, DcscnJf_?s,Lei_J,j__ _' ,\_eT__ro,J.Jr'oJl._ic'rosfeoJó_i,_os, _?'4 _JJeIn i__l__si4,_,rc /ln_í4 coJ,de12ado47l Jiic'o eJ, s,r __isióJl d,l 7JJlJ1rrIo. DiscípIJlo de_1istórelcs.,,opllede

J_c_irJo poJ' le_?'esJJ,4/e,J,ár ic-nsJ_, si,JeJJ7_nJgo, Iossn_iosdeI sigIo.?' c_íI,-Jr IopeJfe?c'c_io1lr_/,du deJJl,lcJsrJ_r2,,rJlle eseI soI e7 _,rcesrá eJJe_I

e,_R9lo es7r1JIí_J/i_o c._rnJ,c_ndo. SiJ, eJJ,_nJgo,pnJ_n In JI,n?'oJ-índc /osJ-cdicJJo ''. _ In JJll,,J1edcCJisriJ1n deS,re c_in, e( __,_rpo desnbios_,rJ_opn, peJ_segl,irIos.J/-ecl_eJ,le1J,c1,repo/' Jn ,-o1,l,-n ,-e_oJ1Jln.PeJ-o,,Jtip/icnJ, _J_ncinsrl lI,l nJ/ligo deDcscnJ1es, eJpndJ_e_'__erseJJJ,e,densJJ,nsJ__7_'o Ilrc'io/,nJnins, e,J,p,vn,,do pu_ InsdeGnJi Jeo+

I _j8_j. SedPdicó n csrJJrJiaJ'pJ-iJlcipio__ de_J__JIíJJ7,des.Jte, es(edis,-ípJr lo dcCopé,1liL_o J__iJ,lel_pJ-Rtrl el JJ,o'_!iJJ,iel,to dei/_n,lrJo r,IJ-ededoI- deI sol.icns_JJ7 eI sPJ,u d_?/r___ cieJ,L'ir_s.?' In ,-eIixióJ,.Rc_/Jo, In g_?o Iogír_, Ir_s11JnfeJJlá/ic-ns_' In Jj/yso__n,dolnJo dc lr,rc'r/_jJJn de_esc_nJ1c._. _lr Jlro coJ, _!_'e1L_toJ,dcsnJ1-oJJnel c'IL' , l Jo

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_ _ _m_\ __=; _-"_____"_-_uesom,, cons,_,.en,esde___e, ,ec_o, eces,.,,_

b_icosde_ __ebra_omo:s (adici6n, _ust_acci6n, multiRlicaci 6n, di_i6n,

r en el de; __,_0 del texto. '

, parado para_provechar con mayocer_cenc ia el desanollo ___,_-: , _''''X''

artiremosdealgunosejemplosprácticos.

los. Si los junt_ramosen unasolabolsatendríamosl2ar delasiguienlemanera:

uisiéramosjuntarlosen unasolabolsa, sólo diríamos: "sed ía eFectuarseoperación antméticaalguna,

elementosde un mis_no conJunto.

obJelo o cantidad deobjetos,trasequivalenlesal nombre.

esar delasiguientefonna:s_anciassetendr_ 7_+5_ y se obtend_aI_.



_ __ _ __ _ _ ____ _ _ ____ _ __ _ _ _____ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ , _ ___ ___ __ _ ______ ________________

etalladamente. \-asdebenser semejantes. __ nnx sí y sólo sí x tieneel mismo exponenteen'por laIey distributivademultiplicación respecto alaadici6n

ones_ - 5_

lIar el eQUiValenlede. l. A+ BIIl. 2A+ 3B, ,__

, _ _3,s(') ,+ (-5 _

_J-7,-5y')=_-l4xy_lO_'0)_ + (- _o_9)_-

el lector. ,;



_ __ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

ar dea_

2+ 5ab + I

ab+l ';__ __.. ._ _-_.... N_. ..... _ ........ ... ..._:'

_

+ 5ab + _ _ 3a2

mPlO8

b)J+3b) +4aJ

'lf_ lOS afeCtadOS

+(2



__?_0___0t__0___0_________\0_0___0__)____2____c__0______0p_n_____3__)__o__+0(0_00300)__00__00___0_000_0_03_00_0_00_00__0____0_0_0__0___0______________a___0_5___a___0_o_0______0____o_m0y____(0____0__0m_____________o+____o______+5_)_____000____a____(_0__0n____00__0_2n_n____t_mJ)____0_00500_0_+0_00_000o+02_000_00_0_0__0_000_0_0_ _0__0m___0__0_(y_0_0_0m____)___0_+_0_________+__o__o____n__nn___)_00y00on00000__0__0__0_0__0__0_00_0_0__0_o0__00__0___0__________0____________0____0_0oo0o_o0_o_____ _ R2p_a(a+2__nym32 a_m__+____n 22n_ _/As_3n3)_(__ma_a_3n _t3+_a+anmyan6_ a_+man m6na2)

elamultiplicación como:

)(a3b+mn + abmn_)

_,''_'__,'''', '''_,,_'0''''''''' ''' '_'_''_ __'''.'_'_'''''___'__' _ __'_'''_ _____*___' __"_ _'_e__%''__ ___' __'_'_____''''''__'__'_d_,___D_ __ __' _ _'' _0__ _ ' ' ^ ' ' ' '''_'__0, 0 '_- _'' '_,_..; '; _'' _:_ _ ::._, ';; ___, _ _,d'__d _0'_D,

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x+3)(x-2)(x+l)

ducido es: I4x - l l



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ndo lasequivalenciasnotables

(3_-5Y4)2 = (_)2-2(3_J(5YQ)+ (5Y')'O_y9+ 25_

) (__ 5y4) = (_)2 - (5v4)'

= (2x)2 + (1+5)2x + _.5



__ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _

D..,_D.,..,..,,.,.d.,..,...,.o.d...,...,....,,...o.........,.......Sedebetener presentequela__i,.i _0_,,.._,.D__''_,:_'_,___:'.__::'._S'''''',:_::_;_,'__',''''_'_,,.''','_''''''_'_,''''_,''_'''_,_'_'0'''''''''_,''''''?'''''''''''' ____''_,,a'____0__,,0_,__,__,_00'_0_0a0__,,i00,o0__'0,a0,o_0_o0a,'__,o__0_0,,__0,'__,,'___'_0'__'_,'__'_''__0___'______ii',',__,__0_,0___,'__8_'_,'___i_,____'_,_'____.__',,_0___,._e'___,____,''_'__.i'___i_'_,i____,_i'__'_.''__i'_,i___,i.____,i'____,i d!V!S!Ón _rCerO' nOeStá_'___0'''0__

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____D_0_s__n___0_s____0____D__0_____o_t______________F_______f___u_0_______a0_0_0______0______c______0c_p_(_____0___0_p________c__0_06____0___0_____________ ___0______on__po___o________>__)____p_______o___y___0__n___________e_________________a___ts______________2___0________t____p_______________________6__p______e(/____________p__________________0______p____e_p___4__)_p____p_____s________)p_____________t___________paa______________t__2__________________(___________o_____________(_____________rm___p____________00____N______________p)________e_________00 ________0___________________________s_____________e________________t_____________N________________a__N____p__________p_0__________n______p0_____0_0_______pa___p_____0___________n_p________________________________D______D__________________________t____tttt__N_____________+____l__J_ __________ /______xr_____+_ ___ _x _

anotase

_____.'__'_i___'___'0a'_'''_da'_____,o.ida____'_a0'_'_0__.0___.'_.,_,_,_,___,__,0___?,___0,_e. __.__,__,__0i_____,_e,_,_,_,,_,'_a0_0,0,___, 0__,,'_,0'_,,'__,,_'_,_i_+ b + b a+ by ",_i0'''D_,x(x _ 2) _x_0_^ _P..__D.____'___'''^__'_____i^_______ c+x_+x _+xi'__,_ - x ______:,'__.'_,'_.'__:'v_'__:','_'_v''__''_''_._'_,:_.'''_,__ Y_ i__'',___,

s

utilizando expresionesque seconsiderarán bien

dividiendo ambosmiembrosenlrer)



_ _ __ __ _ . __ ____ _ ___ __

-l

6_ - 5XP(X)



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

o Efectuar

+ c_a2bc

=_ - l



_

)'_2x(_x_5)+(x_l)2

3J + 2x(x+5)

entesexp Fes_,

I

J

4



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

n - l. + 1



___ _ ______ __ _ __ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _

M + 5y - _ x x

_l

, __J__ N



_ ";';n, _

sp J_só e1_ _J_rDpn In JlJ____e_/_n_,'ó_l _lJ14,,n.p, y ,s-PisnJ1o,nl __o/_'e/' de,I1J InJ_o _'iniepo,' ,_J_i_'n _' eJ

ndo _i_erAbaci do1J_ee_'poJlír_ ._'pJ_poJlir_ el_JpIenJ' InI __e_ In /lnb/n1, npJ-_J1rIi_o deIosIlixlrIIícs.?_ r/_JeJ,o

_1l /lec/l o li_'o Il_cioJlnJ_io, _ebi_o n _IJeI_o estnbncJ_IMi ttissigIospnJ_n _J_eJ,_iJ_n c'o,_oc'i_neJJ_o_n

7cn pI-ecolo1IJbi1In, IJIs precisnJJleJIteeJJ1r_los1Ile_ glIeellose1J_plen6n_l eJ_ sJI sisl_I,n _R

es_I_'_e,_cio1JesdpI geI_io IJ_I1IJn1Io _'n _I_e_-4_'ins1nl ln, ndoplJIdo5R ln dpci_IInl _'igeJIrenIíJJe1JI_IIrslrosJ-acioJ1esnni_IIéJicns.

_rJ. .__ I__rl_.



_ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ _

e5 _ _osteoremascarresP0ndjentesalos _Pon_ntesde

en eC CU0 C_n Can l aeS mUy peQUenaS OmU y s_

mresdecacientes, praducto5, potenciasora_ces_; _

nentea e0onenteen laresolu_i6n delasecuacione5

capíEulo atravésdealgunosejemplos:n papel muy importanteen lanotación decimal y sellamandicar estaspotenciasesmedianteel uso deexponentes:

za laquintapotencia". El numeral 5 en lO' sellama

ialesestáen e l trabajo cientíF_co, debido alanecesidadmuygrandeso númerospequeos. CitamoslossiguienEes

estáa25.OOO.OOO.OOO.OOOmillasdelatierraquepuedea25. l0'_ millasde latierra. .orteamencano RobertAndrewsMilfikan2gdedujo quelacarga

ial?adeo Avogadro determinaunaconstantellamándolael

nencial en el trabaJo cientíF_co.blemadeastronomía. Seacostumbradescribir lasdesllamadasaos luz. Por deF_nición, un ao luzeslaas}. Si laluzviajacon unavelocidad de3, l _ lO' kmrs.o _u2?



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ , _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ __ _ _ _ _ __

_;;_:x"v___ ,,'. ,__,,';_v_,,___,' _ ,__n,\,_ _ .',;:'''_'

dicael num/ ero devecesqueserepi_e unaexpresi6n

'._' ' _ _ ;,, v___';,'x__:_'_,5"'"Y

/ '^__ v_; . , , _, '

úmero

exponentecero eslaundad.

e_aci6

esión no esta/ der_ida.



__ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __

invierte(inverso multiplicativo).

os radicaJes, dondeel denominador dedicho

a



_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ _ . _ ; _ __ __ _ _ _! __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __

_ ' ': ., __' '_?''_;' .. _^ ' -_'en hallar unaexpresin Ilamadapo_encia,pa_iendo deo_as

mente.

3_ __-4 ._s=x__ .x___ =__' _

_o o,

r1al de50 _,_



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

' _^ ' ' ' ^ ^ '' ^ ^ _^ ^ __^ ^ ^ ^ "^ ^ __ _^ ^ __ __^ ^ ' ' "_______"__ ' '_' ___0__' '_'__'__"'_' ~_ ' ' ^ i__' ___"^ 8 " _''_ '_' '"~'0'"'' '"'"^ _^ ^ _^ _ _"__"___ _"___ __^

0',___,__'_'_____' _,__,_'0'_a________i0_____do,_,___..__._0_, __,'_o,,,___Do,___,,_o_'_____.___,__o, ,,'__o,,__,a,_,_,___,___,__? ,.....___..,,_9__._ L o st eo r em as exp ues t osy _i_i____'_,____.~__'__, _______'_____'?'''''_! . demoslradospa raexponentes ____i.,._'i?,,_:__:_''' naturales, puedenampIiarsea '__'_,_''_,_,,' _D_,,_,troselementosde__l,__,,,,,



e enn________o___tTa_Epoa_____r________E__A___________o_D___D_____0___ m__y__________+__y___________________________n_________________________a______________0____________0__0 _N_________________________________0________________0__0________________0____0________0_____0__x__00_________________N0_________p__________________________________n0__D_____________0____e___c_t___0____a____y____os____o_oe___N_______n__________t_______0_n_________________0__________e_0>__)0s2__M_____________Ty_p0__a_____0_E__r__________0__e___p_____9__A____o___ooo0_0n_ a(t Ro)__n_)__E__c__e_s__3A__e_________>___ 2o___ >o___ _

' _ '''' _:''_._;_'_____:''.,_ _.. __.,........ ''''''''''''''''''''''''',_'____',.. ' ..'''';:.ral n mayor que1, "b'' sellam__ raí2 n _ ésimaprincipal

c,_

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2



________________ _________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ __ _____________________________________________________________________________ _ __ _______________________________________________________________ __________________ _______________ _________________ _______________________________ ___________________________ _______________________________________ __

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n' ' (l_4+3)3+4 _ 24 2S

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0_oo_____00ppp_____00o_o0000__0_0_0_00009_)__0oap_______000o_ooo0_oo00o__pp__00_______00o0ooa_____________0_______0D00q0q0_______________o________e________________________0__________________________p_q_(_q0pp_0p_o0_(_(__00____00___0D_0__0_________0o_______________________________+0________________70_)____0__0_____x_00___00)__0___)00_00_0000__0__000_0_0__0_0o___________o________o__o____________oo_2____000___o4_p_0___00300__0_x_00o0o_0_0_0_0p020p0__0_000_0)00___2_0____q___oy_____0____________________0o______0___0___0_______0_____0________0_0__000__000_0_____000_0__00_0______0____0__________________4+ ) (____8_2__)2__x3__3_x__ _(xo_3__x__83_3_)3__3__t_24x__2_24___4_t__x_ _5>_M__2o2____x_o_2_2J_

plosaplicativos:

ión:reg lapr áct icaI_o' - _x{J,2_J_,3__ . x2 _x22. x

_)'_

Unt_S: 3 4

á



_ _ _ __ __ _____ ___ __ ____ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ __ ____ _ _

nes

xx O

ominador)

i._,.,..,._._,.__.,,.__.,,,,_o,,.e_,_ai8,___,,_,6,_?____.__,__._._,,__a.,__,,.i__,,_,_,,__,.,___?i_.,._,,,_o.i_.,._i,.i_..,_,0.e_._i_._a_.____9_..i.,.__'____^^'_D,o..g.._.__.._._..'0..-_,:_=_'_.'':___,:'__'____;,';_;;._;;;?__?M__.__o,..,.___;'__...... O' noestádeFlnido 0_____^^__,,,0,......... (F)'_,_,,_,_,,_,,0,,_,_,,0,,_,,0,,0,,0,,_,,0,,_,,_,,_,,__,_,_,_,_,,_0,9_.__,_a.8_._8,_,_,_,_,_,_,,_,,_.__._,0._._._,.__,_._,0._,.,0,9,,,,,.,,,0.,,,.,,,,.,,.,9,,,,,9,..,,,..,,,,,.,,0,.0,,9.,..,,,.,.,,_,,,,.,,,,,,,.,.,,, ,,,,_,8,,o _ ___ ' '_ _ ' ' '

o Con respecto alaexpresión



_ _ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ ____ _ _

_+ 3

da-- 45

delas:

_isteenIR; sixeN/_ y>O

ioural_f_ Z,

V. (F)

accionariosse



_ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

_2'.x(24)4

nan , I

n ,_ 2

__l

__iii._..i _ii'i,._ ,2 , '_,__ '_0

n''''''_'''''''''''''''"''''''''''''"' __,__,,,__ ''"^ ' ""_ MY_"'' __' "''d___"''___'' _'' ''_""____''"'''_" "___ ' ' ^



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

__'''^% _'_'_____~_'____''_^__' 3_ _8 3_J3_ c_

_3_ +3_)

sió

e unaoperación.es,esultae_ Usaremosel cnlerio sieuiente

ión se"Inrr_io e_ _4c0nti_ad inmen. sA_e____n% quesi !nces, _'if_sJ. ,=_,.,;J_;,._.n. ;''nFdY,,m- s'_, re__,_____' njro_.._



_ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _. __ _ __ _ _

_o_n..

2en el mayor valor den setomar_

0,,.,,..i_. _ _..''0 '' _ O_ "_''_=' _0 ' _V_' __._ _.__ _ _'_ _'._'. _' _' '_' __,__ ___ ________,___ _. ;_h a_ ' ' !_ ____.,, ''_,,,,,,',,,,,

...,....,. ..........,,, ..,.,,.,..,, ,,p.,,,.,,,., ....,..,,,.,, ,.,,,.....,, .,,,,. ,..,0., .. .,.,._ __.,_,..



0___t__0__t__________o_____________0______q/___ __00_0__00_0___000)__0n)_____00____________(00_______0__D_____n____t_0_______0_________0________t________0__0__p____________0___________+__0_________________________________0___0_______0____t____ap5_00o________0__m0___________)__0_____o_0_0__________________________o__0___o0__________v______o_o______n___0xD___0_________0_(______0_(___02________4n____0__v_____p______________t_____0_0q_3_0______0_________000_________p_______00___Tx__t____0__n__0______0n04a__0__0_0__)__0x)0__n0___0__K__00___________062_T____x____0rm__t_______0___70___0____0___00___e______0___0_0__00_00__+___0_0_t00_0_00__0____0_0x_00___00_____(_00_00(_00__0___0>__n0__0__________(0______0____)_0______L____________________0_0____0_t__0_o_0_00+_0_0__0__a_____o____)__t___0______00_0__00_(_0___000y0_)___(___)_____l_xlgsfl(na_lul_ao2d___e_r3eaJ_or7_derm3x4a_ecllN4a__38ml2_e35_xxr_rl_oxe2ap_o2xs_gtl(_xdod__5l_x_u2_labn3c_n_et4apJg_an7l4lr__xe__aL_/__el6s____ce3l3x_)x3bytd_l2_5t33_cxoe__q__a1x___6__u_x24txe_x___4834e__n34x(n6olx_o___3ls7_h)t)tGp_____5xpe521foJ_xms_____l__6t2a0_xxh___Ja__nr_1_l7larruna

__;. _ _._. i ;. _.. ;,_;, ;,, '_,_ ' _, '_,' _, i_ ': ! _ r,,0,,,,_ oo,,,,

_, _ _ ' __. '_, _._ 0: : : __ e., ' "_ _ _ _ 0 ' ,,,D_ 4, j _

cales

uctivo).,adical

fáCtlCaen ve,moslaFo,mación desus ex one,tes

4



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _

ando y de_ = _ se tiene

OndeX= 3

ad.

/nit

nde_ _y _ _=y_y ..... (,)

= y......... ... (ß)

_'.D3_ _J_''__ ' ' ' ''''_,D'_,,,,,, ae n D: 72 + y



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __

E_ va_o, ap,ox;

,,,,,,.,,,.,,.o,.,.,..,,,.0...,,,a,..,,,,.,,,.,.0.., a+ar+a+ + _ a'_,_'_,''''_'''''_i'_''''''__''''_'''_'''_'''''''''''''''''_'''_''''_!''_''''''__''^''''_0_"_''__'_,_',_'_'_.'_i''__ '-'''' - _- r '''_.''_.

-__'__''_---''"' l' ' < r < _'_.



_ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ ' _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ __ _ _ __ _

dicales, luego para

__a

nte: _

a__ _ _



_ _ ___ _ __ _ __ __ ___ ______ __ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _____ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ __ _ __ _ __ __ ___ __ _ _ ___

exponentesde

al dex en

Ee



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _

2 c) _

onencial._

_ex tomalafo_ma4ndonde ''n"es

n

naA) _ B) __ c) 3

-4

ntesucesiún

d X3 _x_o



___ __ _ _____ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ ._ . ___ ____ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ ___ _ _ _ . ___ _ _ _

a_ lasproposicianessiguientes:_

n ;R: _(-_)(-2j = ___ _-2

FFF c) wv

deve,d,d dela.s

_ = -_

x o

a



____ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ ___ ___ ________ _ ___ _ _| _ _ _ _ _

= 3 _ ,_ además_ y=2_/3

__n.(48)n.9

...

n_



___________________________________cc______________________________________________________________'______________________________________________7___________________________________________________________________ _t_______7_____________________________________________________________________________________t)__________________ ____________________________________________________________________________ _________________________r__________'___________________________________________n____________________________________________________________?___7_______________________________________________________r____________________________________________________________l______l__________________________________________________________________y_h__________y___________7________________________________________r____________________ll_____l_______________y__________y________________________n________________________________l_______________________________________________________________________________n_________________n__________________________r_____________________________t________________?_____l____________________________t_______t________________n_r__y_h_____h_r______________________________________r__J________________m____m__________________________________________________y_______________________________________________y_____h______________________________________________________________________l_______l___l_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________?__________________________________________________________________________________7________0___________________l____________________0________t___t_7____t____________l_______________________________f___________________________________________________v_______________________________________________________________________________________________________________________________r____________________________________________________________________________________________________________________?___________7______________________m________D_________________________________________'___________'__________________________________________________t__________n__________________y__7___

n?,0__'__, _, V_ '_'_ ; _: ' _ ?_ ' __._,v_ : ' ,i p ' '3 ?_ ' m,' :._._ m _ _ _ ; si ,_.. '.n.\ ' ' ' ' _.._._. _: __' ' ' ':v,._t._,_._4, !a_:-_,2 _.,.,.,_nnm,_ ,x,._-_ ;- _;__ __ '-; __ !m_ _ ', ' ' ''_.'i__..<, :_-,,_.......;.. _1 _;'_ An,_1 1 _ g _2 1 __g _ _v:__''.:,,.._'._n__._.;;_-y,.__,-a: A,_.,_._12 _,_i_ c_, ,2..2. . i A_32_if ___-___:-n_.__y;; E _13 __;; A_2j3 _' B_3 3 __ '__,_''',_:.:_._...._.._;:.,__..'_'_::_;___.''_,.___;. _4._,___'- cm _c_,,0.1o4o..,,. ..... A' _, ,,,,2,,4,,, ;_A __,,,,_4,,,,, ,,_ _, _-n__;_____,,.-__:--:;-:

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_-rJ_éJJ,oJ,ose,, eJc_JJ_JiJ__o _, _J_eeseJ _e/ Ig_bya eJe_,pii_a/,J_.nJ_l_ieJ_n _lo cJ_I, coJJlo /___'o/_JnJJios, seesc_bex_ e _).IedeseJ- e_ectJcndo sob1_RJos1J7j1JIeros__oJJJov_'.d ,-,Jd,f,J,JJ,',7,da,,,,d,'d, ,,JJJJ,rJ,os. ,J,fo,,,,so delndo v_ J,' v_ ' eI __oIJ_11Je?IJdeJIJJ_'l_bo denJ_istr_,x.

y4+l_es_'ecesn Ialo1Jgi/,r_ di _K, esdeciJ-J__ JJIelJ_s._,

_,' estacJIe1_daL-7resrn p,Ies:

eJ_jciel_K' ie1J,J,_,//_os_'JrI__J_ndosJ, nIpr_r'io deJ_estetnbleJ _ cJIest4 ___+_. /_ = _1._'_ soIes.(cJI JJIerJ_osc'líbicosJ, n Ipl '_9c-io del su Jese?I Iir,_

gJI__ e9JJIJJ7Jret1_u L'Ijbi_'o /JaJ' 1000 7irJ_osJ,_ _'JI.este

Oso Jes sepi_eevK'pl_esn/' In slIJIJn _J_e_esrn peJJ_so1'_nee_'ide1Ire_,_eesrn s,I,Jln depeJ,__ dcvK?' _J_J7o sepJrcdei7ndo,' si1Je7JI_a/gopJ_ede_,x'p/_esnJ_s_,e,_ so Jeshnjo la_oJ7JJn

apo IiJJoJJ,io deIJJ,n iJJdetRJ1JJiJJndn (lnaL_o1l _/_ecJIeJ1ciapo1- P(.KJ, _JJeseIce"P de_K'' (P esIn

le_'n1ín17 n es'tn_Iec-eJ; poI' ejeJJJp Io,eIpo IiiJoJJJio:

_rl(J'_,rJ lç_Jren Jns_) Js_nJ= Ji - l._' + 2._n', ercérer_.

P, , P,, .... , JJo es In preseJJci4 _ l4reJ_cio l. etc., siJJu el coJ,iJ,9Jro dec'oeJic'ieJllcs:

JoIJlio,+

sJ__,_isto, o_eI'acioJlescoJl IospoIii7oIJ7ioscoJ_ro

de_i1lició1l n(go J1_s geJ7e1-nI delos poIiJloJJJios.JJ,4g1JirJrd illJelcl7llilJa_ sobJ__ Ja_lres'ec4IcJr/a, J,losetJ-ns1JlillJíscJIlnscoiJJo n, b, c,... o -pnJ-n I1o agornr

eJJ7iJJJjsclil4sn_c__I4daspoiI,__ j1,dice, es deciJ-,_r II1_nJ-ncteJ_es_4lieMloseJ, In paJ_eiJ,_eJioJ-.?' n IndeJ__cl_a

?'a_Joses_n1/liJin/-, nreJ1Jo__?n n__ecesalosJ,oadeiJlistelioso.' siJJJpleJJJeJJreesJ__J1Jledioc_7JJodo

_._' _i1K_rl1-r_.



__ _____________________ _ ___ _ _______ ___ _ _____________ ________,_ __ __ _____ __ ____ ____________________________ ________,,____ ___ _ ___ _____, _ ____ _ _

m_m_ y

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___x _:-_s_,__, __''___ ____r_, c_a_, a_qu___!'_ere_____ac__?__' r_se___' ; v'' ' ;':''',,,'_ ,, _' ;;, ' ''",y'_'v__

de_ S_poM0mta_ _ __ Ver con _ac_I1_ad l_ o_iä_ones'___ '_ _ ;__,'' i_ _;;_J,J,:?__ __,5,____' _s:_,._,_''_'v,x_,?x_'

_c__e___6n_eun' 6__erta_xpîài6nmaEe!__ca. '_ ''__;___x;_,,_,_'___,_ '_, '',n;_';,,i', "' _ _vn_,;n,;,__,"_ ,n '

', '__"n; '____n;,, ,, , , ' ' __',s, ' ', V'/

tir_ comprender lautiIidad delospol'_omiosen nuestraparaproyectosm_s_ndes:apenasunahabilaci6n de"y_ metrosdelargo,"_''etros, demandarálossiguientesgastos: ''8"solesenlaacalidad del suelo, 4c"solesen laconstruc_ióny Ud'' soles

ariablescon lacual se tendr_ un presupuesto totaI6n), quedependerádedichasvariablesy lo denotaremos).niero civil paraelaborar un proyecto deconstrucciónnesno necesariamentehomoséneas.

--:_

__ _, ' __, _ _' __x_! i_ ; ___ _ _ __. _ _ , - - ____?,D ______c--,_

os, queF_nalmenteobedecen aciertosmodelos



_ _ _ _ __0__o__________0______o__0_0__o__o_________o____________o_0______________________o____o___0_____0_0______o_____o______0___o_0___________0______________________________0_____________________________0_____________________o__________________o____0__o_________o________0__o________0____o_____________________0_____0_0___________o___________o____________________________0_________________________________0__________7_______________0__________________0__0_ yJ ___

rosy letrasligadospor losdi Ferentesoperadores

esionesliterales

og(_ _ 3)

resión matemáticaquenospermitediferenciar las

car lasvariablesy constantesen;ta_ R(xy) __ 9gx_y + _sen(x_

or

'_____ __

asson: P

ón dele

alavariableo vanabless6lo seden_nen laso_racionesación, división, elevaci6n a exponentenatural, extracciónde

odecombinacionesdeestos.



__ __ __ _ __ _ _ , _ . _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

ducidadondeno sedeF_nelasoperacionesdeadici6n

__ + a__ '96

tasexpresionesasu vezpueden ser:

una expresión racion_I, _ondepuraableo uariab(esno estápe__tidaladiuisión.

y_ab+-C

iujsión que reng0 en elujsorpor ro menosaunaua_able.

G(X_ Yt _) = -32x + _

entesradicación queinvolucrealasvariables.leza)

x _ 4

s(x y ,J_ 45 _ __3



__ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

x__'n,''_' Ete_plo ,

l_- l7___

raicasalascualesse les_lamatra8cendentes, lasm_simport3ntes:

eslog0rítm_c4s_eF_nidaspor logaritmos.

d F e ?

+_3 +_4 _ _

ý '_ nx__ _ ' _ '

ticasehalladeF_nidaasí:

eXCe_tOen

_o _ x__r-3,3]

seasignea x quepuedeser realo cornplejo

sìbili_, _d' __irlo,que.__es,_. ' p0lino__.



__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

__ ''''..,.

ard_cionai entera, queasu vezestádefiniclasobreunmérico paralasvariables.

__0dOC_V_A_(RO_)

::''_;., .;, ,_.: :''''' '''. ''_' _: '' .. '_' ' ' ' '

nteformageneral:

^'^'''___'''. _^:_''^"^^ "''_^^'^ '_ _'_'' :P 2'''__ _'''' _' _^ ' __'"' ' '_' _ W_'_'_' '-"_____,'+. _._._ +..a. n _a_0...._,,,

+ _

2x' + l6x''

_R__E___'__6.Mmn__Cn'''''' ''''''''__'''''''' '''''''''''' ''' /..'_' _'__ _

las_'ajablespor algunaconstante.

_ derin_ido,o o denl_unasniciones matemáticas.

) = _ + 2x_ l

1n__

o ex._steo no esta, der_nl.

perado,d,.v._s.lo,,esta, __,,___0_,____,'_o_0,__,_,_o_0'__'__0__'_,____i,____'____0',___o____,__0_,"_ . ,. . '___i__,__^___'_'__g'o. delnl O SOOSl edenOmlnadOr eS t_'_,,i_0_o .__,_,e,_,



_ _ _ _ __ _ _ _

. En_aex ,es._o,n. _;.

_:.:_,?____' P(x+ l ,_'-3) = 2x-y l''_''___,.

+ _ _

nidoampo deG 2 3 _ _ 42 _ g 3 _mos. _ 2

=__3__+y__

oen (l,3,5

y__=2

_ 4- 12 +8_ O

umedesus coef_c_entesseobt_iene

_,depe,d.,e,te,eobt.,



__ _ ___ _ _ _ ___ _ __ _ _ _ _ _ ___

riable:_ii__ _ Lasuma decoenc__

unadel aSv_rlablespoC

ntedelasvariableslazando cadaunadelasero cero.l__ ' _'00 _ 0'_ 0''d_,_,8i8,_d,_,d8_,_,,_d,8,__d_._,_d,_,,8_8, ,_._,__,___,_.i_Dd_.d_D_,_D,_, d_.__.0_,__m__.__. .!,e0____0_0._,_8__.,,_,_00,,,_,__0,_0,i_._, ,8__,_,_,___,,__,_,__,_,8i_. _,e_,,8_,____,__o,_,8_0__8__08_,0__,_,o_,8____9_ _ .,.\, ..,_ ,____,_,_,_,,0___0,,_,,0,,0,,_,_,_D,,_0i _-,_w___,8i_,d__,8_,_,d_,,8i_, d8_,_,,__,_,d8i_,,_,d_,d__,_D, _,d0,00_,_e0

t. ind. _ o

nte)7 lasumade

funcionesdentro deun conjunto devaloresadmisibles.s_or otras.

do



_ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _

m_lO_

5 6x=_I

ivamenteparalospolinomios_ relacionado con los

x'y'sgradosabso_utosde_osmonom_.osson._2 respect__

_3_14x"-5_+__"ón:mo i(x_y) esun polinomio, los

onentesdelasva_ablesdeben seFlOentefosy posit_vos.

N

eo i(x,y)=__-I4_y'+__



__o_______0__00___0_000_0__0________0___0___0_0____00____0pq0_0_00p_0_(p_0___0pp__p0p_0_)0_p00o____00____00__0D_pp___0(p0__0_,00pT0_____p00E__o0__0__0___o_0_q0)op00_0___00__R___p0_00_0q_p0___E0__________p______m_0_o__________o___)A____0__0_____p_____e_0___00____p_0__0__0p___0__T__0_______00_________0____0_____________________________________0_0_0__0_0____0_0_____0_0,___0_0_0__0_____0_________v_______

8_,_,____,_,,'_,,,,,__,,__,_,,_o_,.._,,,,,__,_,_,,'_,,_a_'_o0'_09o____0,,a,o__0%__'_a_,_,_0 _,g'_00__,__a_,,,__0,o_ R_,_,_,____._ __,. i _,__ _.,.. _,... _... __'_'._. _,:_'._0....,.__,._,,'.''_: '_.. _ _ __' _ %^'_:_: _ 0^0a__O_,^^ _'__.:_, _''D_ ___, '"0,,,^o_,,,,,

omo el exponentedela___

__,^^'0,

^enderáqueserenlerealgradoabsoluto. _____

rtascaracterísticasy deacuerdo aelloson:

oun_olinomiocomplet_enunaveriebte,elOdetfmlnOS eS igUal aSUerado

a+4_+ (__ 1)_do 5 y tiene6 térmir_os

RE._A'' ''

pectovoser_eren

emplos:,



___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

icoso Doso máspolinomiosen lasmismaso varia_lesson idénticos_ cuando tienen losoresnuméricosparacualquier

_Q(x,y) = (x-yJ_

+b 2 4ab _ a2+b_

smo valorrminado valor dex e

tesp _

mismo

_ , a, = b, .......... _, , -_ b,

+c

osHa__ar (a+b_

_'_'___'0'___'0,'___,_,__'_____. En esteProblemasehallaqueM y N__,'ese jg_eles. __._,'_'0.. _ a+ +C'_



_ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

onpolinomio esidénticamentenulo_ si sus

CUalqUler ValOf OOfeS aSi_nadOS a laS V^nableS feSUltaSef

p (x y) es_.dent__

osquesi x tomael valor de8,

P( J= _("+2)J _ ' (' - 2)2 8a

8a'8at P(')_O ?_a_i

esdec__,.

rX- -+C+xeS

amentenUlOSi...................,.. (l)

, - -



_ _ __ ____ _ _ _ _ ____ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _

ualeslaSi P(X) eS _linOmio ; (n -- l) e__ setiene:OJ

ef_ __nCiPal: l _6_2_(-5J "'60

= _2 _ n_-3(X) eS

queResolución:4

6n:P(P(P(X))) eSlineal

+b = a(_+b)+b



__ ___ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _

ecesel término independiente

mO_ene0 y

(__,y) es el po!inomio

b--l5 ..... ......... ', .... ... (I)



__ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _

0

solut_dismir_uye.

3 y p=4

. nx_2 - l

O'd'^"d0' 'd'm_' '""e4" '

ntedea_ - ' a-



_ _ _ _ _ ___ __ _ __ ___ _ __ _ _ __ __ ___ _ __ _ _ ____ _ _ _____ _

, calcular lasuma deuex+3)+f(3_x)

zseen _(x_ I) _ F(x+3J+ f(3-x)

I l ParéntesisF(x} -- 3x - 22 = 3(3x_2)-2

x)) = 2

3 _ 3 ' -3+2)

inducción

mio_ IJm + (2x+ IJm - 2x+ l'm'' si se cumpleen el

omio quelasumadecoerlcienlesy su_ o

2Ic_ 7.

OlUCiÓn:

. p(_) p(o)



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _

J_+(b+c)x+a+c

Os

a= b

c

P(x)=_+px+q decoe F_cientesamínima, queveriF1calass:

o

p+q esmínimo ; p , q eN

p+3l=7

_+ l5



_ ___ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __

Of(t,+_,) = f(ta). F(tbJobtenemosheb t _ _sl53 b

+e_+-+ ..... + e'' _

minoaDe_ o__.nom._

(x,y) _ 3'5_'' ym 2+ xn+2 ym '

n-_ lo ....... (,); Gi,, = m_2-_n



_ __ __ _ _ __ _

nelpolinomiop(x) = (1 +2x)n + (I +3x)nsexcedeen 23 alfmino jndependiente.

E_ po_;nom,_o p(x) e, de gr,do -2

eXßreSlÓn -xJ___ (x n -2 )3. x 'n -3 _2. x '

do grado,

y DJ4 E) 5

sNl e_ pol__nom__

x,y) -- (a'-+ l)x"'2y'+ (a+I) ^ 'y"- l

__cientes.

d delas

ValOr de_ eS 0_ l _5



_ _ _ _ _ ___ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

eidentidad:(x- l)7 = (_+9x+l8)A(x)+_+bndeA(x) = a_'+a_x4 +....+ as_ ao_o_

) 2(47 + l) B) 3/47 + l) c) 2/47

l) EJ4325na

_(a+b-c-d2J_+(b_de) _+g(b+c-a-e_ntenulo, calcular

mio

em+nCOn aCOnqueelpol inomio

adiferenciadea6.

hOmO_



_ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _

queposeegrado absoluto

Pecti_'amente.

ado P(x) = 6_' + 5_4a+ 4_' + 3_'a

alcular el valor dea, sj secumplequelan sumadecoe Flcientesesigual asu te/ rminoel jndependjenteincrementadoenJ6.

coer_cientesdeldo

nadosasu vanable

c(a+b)(a+cJ(b+c)

l63 C) 16 l

2o E) _o



__ ___ ___ _ __ __ _ __ _ ___ ____ _ __ _ _ __ _ _ _ _

. Dado el polinomio

término independiente es

os:

nde

geb,,;c,

lasabiendo queel grado deEp(x) l2 lQ(x}lJes

Q(xJl' esigual a22.



__?_,?__,____________________ ____x____________________<_______xn_______________y_______J,_________________m_____t____9_________________ny___7n_4_xr_____n_s____________________c_________________o________________y___________________n_____r_______n_______________________t_t________________n __________________r_7__r_______________________________0__________________________________m__t_____________________________________J____________________n____y______________________________________________________________________t__y______________y_____________________7_7________________________________________m__nn___________y______________m____r_________________________________________________________?____________________________________________________________________________o_____________________J________7______________x__________

;',_.' ':''V'':!'' _ ..,_ :'':;'___V' _. -'__-'-'.-,-_-- --_-__--__:-=-.___-----= ---__;_.._...__.:.: ''.''.' ':___.':' '._. ._;; __.?_.'_:''.!_. ;.. '_.:__'.':_; -_.:-_'' -;---;_-__-----_-_-_; -_----._'-_-__-==_-=; '=_ :' .,__ __.._,.'.:,. ;:, ,.''',__--; -='-n-_=--'__=---- :_5_-_--:-=:_=_-=M: ___=;"--_-;'~:; ____,,'';j.:_.. __._:_,x,1_x,__f. _;;__'_,.'=''_'._._';_. ;_::.;__"-,._:i '_'_:.;'_;: ;:.;-: .;''-' :_;-f_.;; : _'_' __' ._' ,,__;:' _:,:;:,;_;_; ;''_'_: ''''__._ :;_:: :_._ ' ,._'.;__; ..____:',__'n'_' ;:'n:___.:':'___. ;;_.__;___:'___;:: :..;._._:_.;, '_._::'_';_':': , ,,?,,_;..;:. _;_,.'i __'''.'_,'.,' _,._!._, _;_::

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Dt__oc__0e_0_D?e____re_00_____ocn____v_0________Dc_0__0_________o____o_D____o____?0ec_n______0c____u_00___o__0o___________p_?_____c__o0________0____0_______________00__u__?_0__vc0____c___________0D______________0o0o0o______v______0ct90____v0o_____,____0_c___________00_0_____D____t__ce__0__oc_c___0_____0____c_0___________0____0_0_co___c___Dontn____?__0_0____0________o___u__oo0____0_0oc__o___o__0_o_v00____________0______0_____00_______cc_____v_o0____D__0___t_____o___c0____0c_c_______vc__0_0__________po___c0_00____c___0_______o__c________________t0__0e,_0__c_______00D________0__________t_c0__0___0o_0__00__t0____c0o__oe0_o___o_t_____o0e____0___0______n__e_0_____v__0___e_0_oo______0__0_____0___0___0,_____00_D____0c____0__t0_____o__t__0__c___o__vp0o______o000o0oec_c_0o____0______0_00________0v__o0___0______D_c0__v0_0_0_oc0_v__o0(___p____æ____l__t_J___)_(4___t____ _+g____v___>_____c____)___x_o_>____v_____________________0__rc___0_0___o0___,___o______t___>__ 0_ ___

D,_,___,c__v,_D____,,,^_o0'_o,0,___^'__',,_^'__,,0o0__,_,^'_^V'_,_0^_'ao_______oD0ô,0oOccvo0__0,__'__T,,_ooc_0,_'____0D__o,,_o'___,,^'_,^c,o___,,,___'__c__,c,'ec_,,:_,_,,__0,v_,_'_,_,_,_D__,_,c^00__,__^'oLagrange, JosephLois (1 736- 181 3)

^_0_ __', ",_' __c,_ ''_ _,^0_,^'_,__ ,,____ '__,_'',c___ __ '_,_' _,_,_o''__,0'__v, ,__,'_,^D,,_'_0_dn,_,'', '0_,,__',v _v"O_c,n' ^''__,, vD''o,_,'__,_a^__' ''__''e00^,,c_ '_,^'_ _,_ ''co0Matemtico. astrónomo,nacido en_o_o_o___,:_c__,_O__8_,c?__''"____o'____D',,_,'__?'_,,'0_o___'__^'_,,0,_0__,'D__0D,"_,,,0'v,00_0o__,_',''__,'0_,,o___;^'__'_o'_,___P__,,'_,'_u___^'',,OItatiay desangrefrancesa. Alos16

0,___0,a_8','__^'0,,''o_,_'___'0o__,_'_____,'_,___0,_'_o,_%'_^__o__^__,__"c_,__,0_,0__,_'_^_''__,,o_,__o___',o_cec_____'___'_c,__,_;_"c0a,_0D__,'___,_cc,0__vaos fuenGmbrado profesor de0_0^0,v,___,_0''____0,,0o,_,'__''_0,'^'_0_u__,_o_'__',D0,,^_o_,,_,;_'_00'_o,o__o_,_,''0_oo,_e_0''___,_'0',c0____,''_c0,,_,'_'a_,___,'_,,_'__,^'__,__''_______i'_'0__',__^'cD' Matemtica enlaReal Escuelade_o'_e,_______'__,t'____0____0_,,___i'_0_o,_o000____,''_,0_,,___'_o_,ô,__o_''_,cc,_,________ _'_o,,_,,_^_g_,''_,o^_,,_,'___'_,_O'cooô__,__DnD_0'_,,0_o AItilleríadeTurin.__,o,_,,o_____,_ 'c_,_,o_____ooo, _^0__00,D_'__^___,,_,_,___,D0_,,_o_,,__,_'__,_o,__,c,o0,___D'',0_,_o_'c,v,___,^'__,'_c_0_D_'___,D_'0,i_v_,u_,o____'^v,o,e__'_,_'n,fueunodeI_s ms grandesanatistas__'_,',_'0_,,_,_,V_''_,___''_,_'___0a___'_,'_0,'C'_,_,_,'____00'o,,,00a0_'_'_,'0'_0c0_0_c0_^^,_,^___,,'_,c,'__,,__''_,'_,,_'0,_______,'o,^'_c,_______D_'_,eo:,'____'^'ec,,',___0del siglo XVlll, lamayor contribucin ,, ' >'._._m^_w "''''__,'_ ' 0_ou___, ____v ' ' '_,0,, __D, _0D_,c'0,o_c,_____ _, _'_ 0'_ __, ___ _ _0_ __0,,', _ _ '__ '0,_6 _ D_' c__D_ 0'_,_ ___,, _''_' _''__, ''__DO0c__0 __ '_o__0L, _:_'_ _, '___,__ __ '' _a, _DD^'_o0_ '__0, '_cc _o at Álgebra est enla memoriaque es- __..,4,_ _0,_;,_',___D'_'_"____v__0_;g'__,_o0_0,'_,'_''_,_'',,a___'__,^_o_ec,_cc__''''__0,^00__0_,__0___o^''_,_,a_o'_,__,__'oc__,^0'_,_''o0_,__v___'''u_0,_,_0'_,,_0___'__,_0o__e__^'_,'_,oOo0, cribi en Berlinhacia1767. ''Sobrela!._>'_,._,,__-_-o _''_'_'__c

__,_^0'o,_,,_,_D__D''v ",,,__''_D00_,,^_'ccc,o____,'c_^,_' ___D^'___'0__ _0,__o0 _00__oD,,c'_vc,,_,_'_,0'__,_00 _,,_s'_,_''v_0, _o00__ '__,_''_,,_c_0___,_,__, ''___^__o___, _'__'_'_,__''v____Resolucin detas Ecuaciones_00_'0' _D0,,,''__',0'''__'' -\_,-_'__i's_,o'______0_0,_____''___,o____,___0o__o,__'v_,,90___'___,___o_n'___'''_^_'_,0_____o,___'^''o0__,__,'_^'',o'c__,_^'_'ê,,,__'' Numricas''_ sehizocélebrepor su , _' _ ; _:_ '''___,__0_,___-_ :__,,c\_'_,_','-,'__'_^'v_",___o__'''__'_,___'^0___^'v',_0u__,''__i,%__,''_o"c:^_''c_c_'_eDU'_,,_''_,_,^'__'_,00teor__ao re_ __ - _ _ 9 "'__,Ç_c_,' __,_0c___0':___ _0__00_oD____ 'v^_00_o_ _, ___ __0n__'_00'_,c___?_0_ ___v _,__n,'_o_______ ''0'o,___ 0,____ '^_,'0',_n _^___,c_ S ?_ _- ' x'_/ ___,_, __,',_'^,;',___G_'__,_0__,_'00,______,00v,'0a_,,___,___,_'_0ô_,n,____0D_0'oc___'_____^^''_,,___,'_c_0___:^__,o,c_0oec!__v^'__''__,_,__u_'0_____^'_,'0,0_o_,___v_0'_,,^c_o,_,____0oyporsumatemati2acinyracionaliza- '__\. __-q'_ ._;_,_,_,,_,_'_-;__

e__^^D,'^c_O__^___'c_,____e,_____'__,,'_'0,,o_,0o,_c_o_,^'_,_ao___0o_,'_00'o_n,0'_,_0__o_,o0__,c_____0'_0,_o___'_v,"a_c,;,_,_^v__,0'^__,,''cc0_0,_^'_0'v,,Ôc_,o__,__^'_,,00,_cin delamecánicaen suobra _ :D,. 0,,_. nc__..,_._,,nc_'__î^':._!'0 _c____ '''__,, a0,0,___ _,0q,,''__,,_o,,_0,_0,,^c_,v_ P'0,_0,_e0 '''_,_0,o _n_ _ _'_,,0 0,0,__,oo__n'_,,^'v,,_ 'c,,o__,'__,, 0^''_,0' 'cc0_c_ ' ,' __o__ '''a,,,_o_,,,____, _'__ 00___,o__''_,_ _,, '__,' _'c,, O__, ____, '^v,0_,_,_,'o0,, lWecani4ueAna/ _ique. Descubri __ o ____ _ _ ''_0' ~___-d9_^' ''_^_,0 _',_nh. 's-'_' ,7,, . ,_;,_'_c_cc__ _' __ ''' _''___ '^'0,0e'_c, _'_ ' _''J_,__,vô',__ __D,^ ''''_,O"0_,,co0_'_ _'_ae^,__, '^0__ ' _'0_0'0 _,_' ^_''_ ^ 'c_, O_^0,^' ___, ^''_o_ ' _^ _^'_^_D,__ ' _''_'0'0_0c,c_6"_ '^0_ '__,,0''D_ _'''___'ô00_u0o_0_'0, ' _0___' __ 0'__ _0'_,c 00 _c^"'^ _' _____^'''_0 _, "__,'otambié n las__amadasseries de _' , _ _o "_'___ __'v__ ___ '''' ' ' '___'_''^'___'__,_c,,__n,_v_,,_o__,_,___00,,0_'_o^'_,0,0_,o,___,___,__00__,___0___,c_O_______,e,c_,___0__0,,_'____,_0__0,c,_,,__,_c,_o__,,'__,_,_,a, Laran elafrmuladeinter olacin ' -^ '_' ''_; ___t ,__' o___oi__>__,.__ _;a,,_ _' ___, __ 0_e,, _ __ _ ___,D"__L0'_,0 _;_o ___0 _, _0_o _0'_0o00o'_,_, _,'_ _0,_o_ __ _v,_ _0,0 _0__ _ __,,_, 0c_0_n,_ ''____^__,_ ' 0'_,__,,__ '''__ _0_, ''_cao_'oD^''___ ',,'____,, _ _,c_ _' __0 qv___ _____,_que Itevasunombre.' ' _' \ '' _ .,_' ._,, __,,___,__a'n9,___ %_;'_, '_'_; _-"' _ _,

___,o_0c______''__oie_0,__'___,_''__,_n^__,___^_'___0___00,_____00__^0_,,00_oon_,^'__0'_____,,__^0v''c0_,_0_,gv___,__,'_0e,v0_D_,_;,_0u0c,,__',______;,00n0_,__''_'___,^_ecc,en'_Respetado por Ia revolución fueami- ' ',__o, ' __ ' _' '_''~^^>''''"'' .__,__o^'_,00,,i__'_'0_o^'_,o___'_,D^'"'_,,'o______,_D'__,__'___'_'_oi'_,0__0''___,'C'__,_'_,co0__0____0__,_,c,'c____g_____o,__,'o__o'_,___'_,_?_,,0''_'__,'__co__,'_Dc_c,,0_go de Bonapa_equienlonombr - ;_ '__' ,,, _,. ,_ J_ ;-7';,_'_,o_,''0__'0_,_,___,_'_'____,_,o'^_o^',_,_D__,,^_v,___>'0_'_0_c___,____,â;_^_''0,___,__0__,'D__,^'0,'e_,,0:_______'_0_,'',''o_,0e'_,_,,_'___,g0_,'^'_,,0e_n,___'_o,oSenadorporsuscualidadesdecientí- '_!.\ _' _"'__.___ ' ' _n, ' s' ' _ _0, _ ' e00, __0, ,,DOo _ _,c_ _ ' ' ' v,,0 ___, _ ' _ ,, _D^ ' _,0 , _',_0, _ ' _ _,_D,0 _ _,, ' 0' _ _,0 , __,_, __o ' _ _, , 0 0 0 ,, _00, _0 __^ _0, , 0 ' o_, _ _o _o, _ o ____ _, _ , c _0_, ,D , _, ',' ' __, , _,o __ _,o_, __ ; _, _, 0__, ' 0_0_, , ce, __ ' _, c__,^ ___ o _ ' ' _ c, ', _ ' _, __ _ __L__v ' v cu_ _ __ ' _^ ' _ _ _,, _ co y g e n i o. '_

_0 _,0 'c,D_,_ &,__,eo_, ?_, ' ', _',,_0__o _ _, ', ' _,,, ',_, _,0,0,,__, _o _,'_o,0 ; - :___?____'0_??__''_'_o___0__,_,_cc,,c,c_'__'___,,__n___;__;;o_,,____,c_,,_v_'0_v;_^_o,0__,,_0,_0__,^_0__,',,_,o__,_,_,_,,v0o_______,,_,0__','0_,,___',o_,_',0'_,ax+b2+ abx 2 _ a2+b2x2

_00_'__0_'0^_c''n'__'^'_^_''_''__^_o _ '_,'_,,,_c,___,'u,_,e_,,_,__0,,c,c,_,___,0uo,,0,,ec___0,_,'v_,n_e,'_,____,__,,','__'__o0_,v,_0o0__^_o^'_co_'e___i_.___.____.___.__._____._________________.__________.__,.i



o

JJpJic-rl nIgo iJJJJJpJlso eil)7posib IedeIl,gnJ-n c-oJJocpy._JJeJ Je,,_,,nJ,_ln pn)n_J-n pnyn iJJdicnJ' de.roJJJJn _'ngn "ev_'ryeJJIndnJJJeJJ(egJ_nJJde'' u_c9ltelJlellteseciln eJ1llj1JleJ_DdeestJ_RIInseJ2e/ cielo o deeJ-nJ7ossJJo so1J, des_ IIIego, J-enIJJleJIreiJ7JiJliros,sólopodeJJJosobseJ__nJ-_scJJIJJl iJIs-tnJJtedndo. De/Jec-I1o, eJ) In _'i_rJdinJin jrJI1Jcn /eIle1JJos,iro.Jt_-n JJIJIcIJns_'eceseI i1J_jJ1iro, eJJocnsioJJesde/o_1In

po rJIleIosJJ_n/eJJJlic-os e9JJpe_nJ_uJJn iJ,reJJtrlJ'oIJreJleJ'I,9JnJJJe_i_npeI7JIiriernJ_ _JIeeI iJ1_iJJiro eJ1grosnrn Ins_iJnsdeorJ-os o_je_os_ieJJcoJ_ocido ?' discip IiJJndo. IbnJJ n 1e?JJe_JJJJ__'IJnsso JprRsns.Ji1JJifndospJ_ogJ-csos, ?' JJoJJ_esiJ1o /Instn eI siglo___.cJ_nJIdosernbnjo degJ_nJJr Ies 9JJnre7JJ1icos coJJJoGeoJgeC_nllror .?! JV/_l

J-n JJJJ_c'IJose_ecros, so In1JJeJJle7n iden Ii_ncióJ2 de JIJJne_JlecoJlsider JJ_ola co1JJo esrJ-ic_rnJJJeJJreiJJ_iJJirnsec_oJJ_eleJ1 cIInJJdo, In npn_iió1JdeI ilJJjJJiro eJJ__J,n reoJínJ(sicniJzdic_nJdeIn JJJisJJlafeoJín o bieJJrJelo _lIeésfn__sL'_i_e. _steeseI cnsopo. GJ_ncinsneJJns1los eJJcoJ7(J__rR1JJosc_nJ_an cnrn co_I elelnJJdo nlgo JJJ2I_1Jpl_o_J,JJdo.' _,Ie/JeJ1JosIIegndo nIJilJdeI IIJJi__e_so.

I .1Jr_r Ji1'17r_ _ I_I/il/irI1_1 J__. JIr_11ellI__J._.



_ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _

a_ul_plicar _lin_m as.ble8 por ser desuma ^_portanci_ en lasimpli_caci6n

ca5osparalarRso1u_i6n deecuacíones._s

ticatienesu origen en lasescuelascientír_casyescubiertoslosnúmerosirracionales, enlaaún no fortalecidaar paralainvestigación cientír1caunateoríamatemáticacionalescomo paralosirracionales.ionalesresultó quelacolección demagnitudes

amáscompletaqueel conjunto delos número racionales,ulo másgeneral en formageométrica.Estecálculofueométricapuesdesdeeste momento losproductosnotables_retación geométnca.ntinuación:



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ | __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _

2 _ b2_!_m i___m___ _S! !_, :,;nnJn,_.mn

__ac_ 2bc?_;

_'"____' '-'-'' '__ _ v_,_ _'emáticaqueconsisteen hallar unaterceraexpresiónllamadasmultiplicando [ M (x) Jy multiplicador l N(x) J

mo producto _+_-x-

E_emplos=

_,(__c_5 -a__' ) _;____' ' _____'_



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

_ ';,' v

et p,oduc_o r_e_,ab, es,_a,, s,.y so__os._

mOel _foducto _b escero, 5i Y sólo si

__+y)(3y-_x) _ Osol4_ mentecuand_

_bu__

_....__. ._._,

b3 6+ q 3

-'_' _ '?, _ - ,_ _ , - ' v

plo8:

j7

' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' - :' 2 3 3s_ J t 3 3 7 s3 3 _J3 sg

o

6 - 2y



_ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _

__0s_ ... _ '' ' ... ':_,_,.. ::.gebraica, con laparticulajdad quesuselementossonentidad entretalespolinomios.

)(_) = __ Tad_0 P X_ _fadD_(X),,.,,,0 ___,, 0 , ,,,, ,, ,,,,,,, , , ,,,., ,, ,, ,,_00,,,,,,.,,, ._,,, ,,,,,, _,\_,__.__' ._. ,.___ ,,, d,,0 __'

''''''''''''''''''_''',:'._,,':,'__:_'__,_._,'''_:?,_...__'_,M'___,,_''.__,;,m_,__e__.__'.:'; = Pvr'''^ + ... + B__,_,''''''''''''''''' El grado dep(x) ser m.n, su término ___,__,,,_,''

_,,'_,,

"__^^^"'i' P_"'"'P_''_d'___'''0_ ''' ''''i'_O''''__'^"_ '^_' __0'_ '__^^00'_^'^' _^^_' '^''_^'''_0"' _ ''"0_''0 ^_'^"'"^O'''""P^'^^^_^_'^'i'''^'_'^^_^'"^_^__^_^"^'"^""' ''n0'__''__'''"_'^''_^__"'^''"_"^""^_'_^_^'^'^"^'''_^^^'^^^^^

_+9x+l

_).Q(x) es5+g _1_

_ _1

7(3) y el grado _e

__ tC1 X"' + _v _ + C3

esindicadasqueseobtienen en rormadirecta,butivadelamultiplicación, por laformaquepresentan:

m__nn_n__v_'n___ ___; l. (2_' +3_)' = (2_)'+_' (2_)(3vx3) + í3_)'

__ lox_y6+yI2 -



__ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ ___ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _____ _ __ ____ _ ___ __ ___ __ _ __ __ __ _ _ _ _ _ ___ _ ___ _ ___ ____ _ __ __ _ _

ca

- _ _ (2) + 2(2__)(3y) + 2(2x)22 + 2(3y)_?2_ (3) 4_ _ _ _ _J6 _9_+_+l2_+ _-+___-

)2 __ m2+n'+p2

D_5a_OOeUn InOmlOal _bO

eS 3 3 _ 2 3'

2a(a__3b_)

3y)3 _ (2x)' + 3(2x)2 (3__)

__+27y_1

O+ 3abJ_x_v__ by_

y __ 3 ,, _y __ 4 h,_lar. _+y _

sdatos en



__________n>___>____>__n__>s_p_>_ta_n_ta_uu_>o____>__mr_____Jeen_r>____+___r(_nex_ __>_________rroo_______a n___nm______n______>_te_o__mo_______>n__+sN____________>_____n____t_______m___q_(_>___t__c___________a____u_________________n__)_____ea(__t____________)_at_s_____________t__e____+__)_3_n(______na_t_a______(_r____e_ +n_>_+>___(____nn_c____m_rc_m>_t____t_t)+_ttn__n_____c____t_m_______)________c___o____)(_____)______a_________(____________>_+_______>_____>___a__o_>__>__>a_________a__>__(______+____a________>_>_____c_________ur) ____>__n__(__________ax_t+ct___ _____+__t___)__t_>_c_n_+___t+n__c_c__nt___+3__)_>a____n__(____(___+__na____a_>______+__+_+__3_q_______> _>(__c3__)____a_J+_(c________a_v_)c__3__+()__>_(a__(ac___ _t_tn)_ _c)+(p(+ __+aa+cc)_c+))__tc)__(J_____3__a__ __)c(a)_3()

+2)(__2x+4) _=_+23_-x'+8____, __,... _____ ___,______ __ __'''''''''''''' ',:;'' '''__2 '-' 3'''UV_'.'_-''_'_! 3. (_+6_+9_?')(2x_352) _- (2x)3 _ (3?'-)3

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+ l) =x_6+_+ l + 3(_+x)(_+ 1)(x+ 1)

e_ino común

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) ,-M_ x... S + i; .+. _ +.. c'),2..+ .(,.. b ._'_b.c_'''_._ '',_ j' x_.: + a__bc. t_:''_''_.'__''..: '' -_. ::'_-:'._' ' '_ '' '''_ '--'_'' ''' ' ' ''_'' '-'''' '''' ' ''- ' '' ' '' __' ' ''''''_'__:'''''''-'-'-' '_'_.'' ' - '''' '''__.'_'_.'_ _''''''__'__''_.__.'.'_','_' ''' - ''''n'_V_:_: _i_________,_. _m'__.'''"'-' '_'_' ________''__?-___''_:'__':._____V__ _::_;__'':-''''_' :;Y,; '_.'__' '_'___.' __ :_.;' _____, 9,_:_:.._;.::b. _ _),(x. -' '_'c:___. '':__-_._. _;.x.. :..' ?_-''_'__a.. _. >.._:i."_.. ::'_....:._;_..;e___.:_x;.'. ..._ Z:'___. _'_a__' _' _''' :_. c__:_'_':c.______'_'J.x.-'_a__...e__'''t



____________s__(____________x______________ _0_________________________________________________+a_______y___________________________________________________________________________________+___________________________+____0__0___o___)____________________o___c(___________x____________________________________________________________________________________________M______________________w____________________________3____3_______________________________________(_____________________________t_______________________________+______ __________________________________________________________________________________________________________________________+________________________________t_______________________)________________________________________________________c____________>__________________________+______________________________(_______________________________t_________________________)_________________30__________0_____0________________________________________________________________________________________________________J_____________3_____w_______t__(___________N______l_ 3+

b,a__

_ __22x+ I20+2.3+5.3)x+2.5.3= _ + IO_+ 3 lx+3o+4.3-6.3J x + 4.6.3 = _-_-3ox+72

'd_

... '.. .._ _.__(x.___. .;'':,;. ;?.;;'::_.;;...:..'?''.'';...;...>.:::_':,._''__...,___,_.,.':..,,_ ...;....._:.....4,i...;.._;_;__.....:_..._,;._:._:,_..;;_;._;.;..___:_.__.'; _.... ' .._':_'',.:'.....':..::.':'::_:_',:'':;.__'_::'_:::,::.__,;..:,.....:......_',M _ener8l:

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+ y4 -_ x"+ x6_ '+ y4(3yJl' + (3y)4 _- I_4+ 3__ + 8ly4

_s_

,..._;'3' a__.___:'.,;.._; ;.________ __:.i. a_'b...m;..... ...c..;?.. _..__:______._:2:___..__ ___; _._:_.___._:_....; _;.,_,;..,..: .__:....._:.c. 2'_ __...;;,...a :....:...b.. '_a..c'' _.'':''_'' ''::',:_: '_'.''____.... .':_._;....J ,

, '_a;:'' .;(_a_+_ _'m'c,J_._a' __.;.:_:..::'':__: _0._.:...:.:. ::5__._:;.__:_'. :.:_.____..;_...: _._.;__'. '__.:_'''_''?_

m + n + ß = O

3



_ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __

uivalentede

elaidentidad Setienea= _ = c

..:.:...:._._.._...:....::p_.:._p_:._p.,.._..p..,...p._.,:,.:,._,,,,,;p._,._.,,,,.,0,..,,,,...,.,,o..,.,,..,,,,....p.,,,,,,.,.,,,,..,,,0,,,,o...,,,0.,,,do,,,,,o,.,,..,p..,,..,,,.0,.,0000oo,p,0,p,p,,.,pp,,.00.0,,,p,,.,0p,,,,0,,,,,0,,,,,0,,,,,0.,,,,,,...,.,,,...0.,,..,.0,,0,.0..,,,.0,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,o0..,0,,,p,0,,0,..0,00.,,,,0,,.,.,,.,,,,,.,00,,p,0,,,,d,,0,,..DD,0,,,,,,,,,,,,,,,.0D,.,,0,,,,d,,.,0.0,,,,,0._,___,,,,,_____,.,,o Luego lobuscado esequivalentea

"'_:/.__'_________''_"'_"'_::_''____"::._'_:'..'-_:,.__.' '''.. '__''_.___._ 5 a2a3a2 5a7 5.._____.;2__:(:a..4_. __:b'__ +__c__?,._;j! '___ _____ ____/__:_._ ____ ___'_____._:____:.._.:: ;__. ._;.,__..._.:. :___ ,._.,,..__::_.j/_ 3. Haar eVaOr nUmerlCOdelaeXpreSlÓn3.':!

_>>: si x, y, ?son realesque cumplen la...n..___ __,_.:_?,.___":_:;_;;:_;__,'__:_.. ____..__._ ___ _._;__.;:_,___._.__5___ siguiente

___:___.__,.__._.,__.__' _ ' '' _'____'_____'n_ i + _ + 2y - 4x+ 5 + 9_' O_,X_ R_ ./

__' . . y_;_ El dato esequivalentea

_ 2

ea

_o

_+y_)



__ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _____ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ ___ _ __ ._ __ _ _ ____ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _

de

relvalor

e_a ntesse

_- 1)(_ +_+1)(_t-_+l)



__ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

+ .....

o__.,om,.

5 gradolp(xJl= 12.2 +22.3 +32.4 +42.5+....+ lo2. l l

7 + 55'- "55(7+55)

olosbinomiosal cuadrado en el

+4b 2 + x2 _+ c2



_ __ _ __ __ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ __ ___ _ ___ __ _ _ _ ___ _ _ _

ica

ácil inte_retar quelastir_que

_uex3 Jy3_ +__3 6

o.

n) Operemosy Ordenemosconvenientemente,da. Así por

b2_J/a2 bJ__7)i: xev er i r _ ca n J4 ,3 b !3 / _ ' l! 4 J ,3! b , /

r laexpresión

seobtieneesoluctón:

COmO



__ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _____ __ ,__ ___ __ _ _

ial iroDlgmg 1_4b ' a)'- _ara: x_o, simp1ir_car

mios:

3xy4 - y'

_4

esPOr lOtantOualizar x 2 + 3 _ x 2 + 3 _ 1

m o a7_ b + ab7_ _ _d e_ aco n d._ c_. o,

_g elevemosalcubo

/a3b3 _ I

2a3b3 __

efa

_ + bx + a



_ __ __ ___ __ _ _ __ __ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ ___ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ __ ___ _ _ __ __ ___ _ _ __ ______ _ __ _ __ __ _ _ ___ _ __ __ __ _ ___ _ _

b _ ab _ l

+y) = AzJ3 __ 3+3A

bc_ o n a+ b + c_



_ ___ ______ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __

e( l) al cuadrado:

_ _ __

reducidaa

mpliéndOSeqUe- _t t _ t _ (IJ

de

a_

no, X + Y+ _ + 2(a+b+C) = 3(a+b+C)



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ |_ _ _ ___ _ _ _ _ _ ____ ______ __ _ _____ _ ___

3. 3

.......... ... _

ab 2+ bc2_ ca2c._...... _ _ (2l

3abc

GaussJ



_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ____ _ _ _ ____ _ ___ ______ ______ _ _ _

x + y + _?= _

iÓn_

o__menteeh Y+ X__ = _ + X) _ + _)

x+ _?) _ +x) _ + _) (_ +x)(_ +y)_ __ + _J+ (Xt _J+ (X + Y)+ x)

l ___+y3+_'+3(x+y)(x+?)_+_)= I

_+_?) = I

l_ando (_) en (_)



__ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __

O

E ' _2 - _' _ _ -

c



_ _ __ _ __ __ _____ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ __ ___ __

3

) w2 C) í-w2

y

llrlCaf -

O

sión

8 A) I B) 2 c) 4



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _

b,a_,

) l B) -l c) 3

b+c= O

CUanli FlCaF el ValOF de

n

X(_+_+_3+3') es:

OS ValOreS de



_ ___ _ _ _ _ _ _ ___ _ ___ ___ _ __ _ _ __ ___ __ __ _ _ _ _ _____ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ __ ___ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ___ ____ _ __ _ ____ __ _

relvalorde

D) 36 E) 3 2

+3a_)



_ _ _ _ ___ _ __ _ _

4__

2__

bJ

c_ aJ2



_ _ ___ ____ __ _ _ _ _ _0o_________0____0_____0___0e_______0____0______0___0_0_______00_o________0_________0_______0_0o______0______@_0___D____________0________0_D___0___________0_oo____0______________00_ao_______000____o_0__________________0_______0______00________0____0__________t__o0__0____0___0_______0_______00______p_________p____v_______________________t_____0____________t___0_______________________0____0____________________________________0_p__________________________________________________0_________t______________t0____________0_______________p______a0______o_________________0o____________________00__o0__o________0___o0pp__________________0__a_______t_0__________D_________________________________________________v___o_____0_______________0_o___________0_____0_____________o_o_0__0____0___0___p____0_0_____0o______0___p__00________ro_

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______________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________ ____________________ __ ______ ________________________________ _____ ___________________________ _ __ ___ _ ___ _ _____ ____

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_ ' :'' _0 _JAp/__c__/JospJ _/J_rodo dg HoJ__eyco12_r o______J__1'eJ_ro _ lospol i__o9J_ iosnsce_Jdg9J_ei_Je_Jre.bte77i_o poseei1i_i2itostémJi12os.

12re_>_ Ios_ Ia_!a__ble.

,. _x_ <_

_;

K//2t.



____0)_______0___D_______o_0____0_________p_____________________D______0________0______p____________D______0_______D________00____________0__________0_____0____D____0___________D________0__________o_______________o_____D_________)_____D_____t____0___________________0_______________0_______t___p______________0__________0_____r________0__________________________________0___________n_____________0________p______________0________________0________0__________0______0_____________________0__________0__0____0__0__0______________0_________0___0__________0_________________________o________0____0______________________________________0_________0______________________________________________________0____0________________________________________________________0____________________________0_________n______________x____0________

nStantenOnUla.polinomiosse haprocedido demaneraanálogaalagando ladeF_nición deresiduo.

nida, pero deFlniendo como división enteray uncierto

sible efectuar en losnaturalesni siquieracon residuo,o modo 2_+3x- l entrex'_2x+3 no seráposible, puesto quequeel segundo (7) imposibilitando estaoperación.o objetivo resolver operacionesdedivisión de polinomiosseen cuentalasiguiente der_nición:

_: _:,,._,_._.__.0.:._:.__:__::_:_...___,.___.__,___,. _. .____ :ími' .. .'''''' 0''''''_'' ''__;::__'''_D. (x_:_':.^'_:______'y._'__'__, .ix__''',_:_.,d_._..:_,_:_'..!__:'.0_ ._r.._..____.._______'___:___._''___,._m_'^_;_''...,.,_., ..,'_:_,_.,;_','"'.n_i__'_''''_'.re. . '.s.''_0__,,c......M:_. _.a_.m'._. _nt.e....Ç.m._:_nJ Ila. rn.a..dDs'._._;___a__ _e_d_________'__.,._.;_'__ ,__!... .: _.0r; dNi_f. ' 'i_:_0.'_ix') _e''n_ed___x__:_:________'_:_c_ :a._ n_ ?. i..__.e.'. .:'_n'' ''h_. l.a._'_:0_t_r_o____d_o_? 'g0_inanu_' . s_q''' _x''''') Y:.''R(x) __,,_'''_'__' '''____''_'' 'i__e_ __ ______T__s__d. _'___''''''''''''._. o'' n' d. eel ____ad0d' e'''''''''_''''''_:'_. .Cx) es_.____:_m..__:R.. _n:a_..r que' :.... v_..:ß' ' .'' ',,..__.! .,. b.i_m .R(x);-_-O. ; .de_ tal '___._,__,,.s....'.':'''_0!' _..':'':_.__'_____...;___..____:......_.:::;....o......___tXu....:.. ______' '_c' .um_., 'p_,__.. 'Iaiden_da..d.. '_u_nd. _a;ment_..de..'_. _.a.... :d.,._..i:'' '''..s_'_6.........'n'' e'''nte....i..a.....,.....,.,,.__,.,......,.:_:..,,. ' ......__.,___,_

a_..._,. _0_'_ _'_._;_,.;.__;.._____....!...;.. _;_.. __' :_. __.:_'__._.....__. E_.. 'n....._' __''_'''''''.E'' .' ':aN_si_: .a..._.h___.____.._:..E___ __^__ _ __. . : ,__Rh''' '' ''_'''''''''''''''''_.''''_,''''':_.''>''_'__,:'__'__':,'_,'_,___.:,:_;,.;'_,,,:,_.,,,,.,..,,,,____.,,__,'_.',:..,,,,,,.,.,.:_;_;.,__....._,....;_... ;':__'___.___:.:.'_''...,,_:.:_:_._;:''..,_..__.,_,__.:,,,,.,.,,,,,...,,'_.'_. _ ._ ';. _._,_._,_::___.;_.:n'.::__ :_,..,::_!,:___'.::_::_:,_.,._.__.'''''-'__:;.,;.;,_._,,.,,.,,,.,,,.:,''.,. ..........,..... .....

sor (d(x)), cociente(q(x)) y residuo (R(x))e:;.'_:a...'..__..'.._x. '_ )_ _;.__''''.q,..: '(...._............._...:...,;,._. _'' '_,_:'.R''0. : ' ''' ''''_.._ 'x. ..)..::.. _''_,,,,

00'^_:O'___o''____0__0'_,_!_,"_,'''__'_,___ Su residuo es idénticamentenulo __i0d____,_'__'___:'__'_._._.''__:__.:.2'_____._'''''''_''''___''_'___'__:''''__'' __._'__,_'_.



_ _ __ _ _ _ _ __ _ _ ___ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ ___ _____ __ ____ _ ________ _ _ ____ __ _ _ ___ _ __

os

datambien Di__t6n no ex8ctgt toma, losestenombcecuando el Fesiduo no esdénticamentenulo, por lo queder_nimos

Rìx)

'^i_-_ i_,:5' ___

_ __ (ß) Al dividir _-3x+4 entre_+x_ _

_ + 4 =_ (_+x_ l) (x- _) + 3 - x

deUedeSe, Demane,ae uN_va_entecualx3-_+4 x_ 3_x

_0_i_ad_ deGradOS

grado de_ dividendo y e_ grado

_v _ ad(dT

ad(q) _- Grad (DJ- Grad (d )

mo que puedetomar eI residuo

_n_.,_,d:_'____n._R.._-?_ .r6dC__ )__'_'divisor e5 deg Fado _ln'_t e_ Fesiduo alo_rado (n- l)



_ _ _ __ __ _____ _ _ _ __ _ _ _ __ ___ __. _ _ _ _ _ _

._

Ue

_

- _ _ n dep o _ _ n o_ _-om_.lel cual seIlama

,;s;6, e,te,a..

S

=o_ P (O) = d (O) q (O) + R (O)

;_



_ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ ___

os

+b_l0+c= (2+3)q(l) + 15

5

D_v___Rio__Nom_osstoser completosy ordenadosen _or_nascendente. Sifaftasealgúntérmino_ensulugar

mino con coeFlcientecero.

_3 _ _p,ev_NamenteSeo,dena,a/ y ag,ega,a/

2

POLIM0MlaS _ cvisión enteradenúmerosenteros

elos

CO

ndeq(x) = _+x+3

Sl0n



__ _ ____ _ _ __ __ ______ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _

on lacons. En estecasasí seexigequelos

o dividendo y divisor_ seaner_dente.

me su prop Nl

2x+3J

n

ar_lo 2ividir x+2_+_+2_+x4+2 entre x4+2



_ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _| _ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

ios

,

s,

nOr: - '' ;

n ;, ;,

nteCoef.del reBiduo

ey ereSldU

tadosen unaFlla, deunacolumnahacia

dOS atrás.

como Il)'

_c_ _' ,'__-..._b,_',' .. .... -c__._b1 \'';.

.a.. ',:_,

uela

ción toquelaúltima

os



_ __ _ _ __ __ _ _, _ _ __ _ _ __ _ _ _ _

a_ + axn-1 + an-2 + +

of lo _antoisor _

. __' _ , ''' __,_,o Y' __ ___ ___l ' - , '' ;_, ' _are_la

rdenado)

7 78 204 648

6

c_ R(XJ"_663



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ | _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _

;

-----C_-l_

.d,do,o.a0. ,,....,.......,. .._,,,,,, _ _, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w_.,, ,,,,,,,,,,o__..... .,. .,.

- Cn f

.''' . , ' '.

_..

E_. DE.__ .R. M._Q,_, '' '''''' ,,_,_ '_._ _''_:: '

unadivisión depolinomios sin lanecesidad deeFectuar dicha

ax+b), el resto sehallamedianteel valoro x tomael _,elor de b



_ ___ _ _ ___ _ __ __ _ _ _ _ _ _

l 9 3

adel reSto

ual

3)(_+ 2_+ x - 5

x - _



_ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ ___ ____ . _ __ .._ _ _ _ _

+ 7x 3_ _

nUnCiar el VaIOf deVerdad OfaISedad deCada

_+2_+ l

deHOfner

O

= + 2 + l _''_

r_ni



__ _ __ .| _ _ __ _ _____ .. _

_ _

EnunCiar et VaIOr deverdad o falsedad deCada

_+2_+ l

e Horner

2 O

a_lar lasumade_oscoc.l

__ l __) _2x3+__ 7

RuFFlni

x-2



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

:

q_3

p-2)

mg _

n

_l_m8lglx424 _ 5x _

3)____5(_3)__g_4 + _5 __

sea33.



__ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ | || __ __ _ _

S!On_ e3P_O!nOnll

éntjco a

HOm_'

4edonde a2Q) - _ 3o - 24

__ cla d_'v'Is!o_n

o resultaser -3.

aus ar Ho m er.



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

en la

def(xJ

R_ y_

615 39132

3 t 6

(x+3)=2x4+23_+97_+l82x+I3I

__al

nomio

- _ución:esiduo dedividif

e

x+2

_ _



_ _ _ _ _ _ _ ___ ____ ____ __ __ __ __ __ _ _ ___ _ __ _ __ __ _ _ _ ____ ____

mios

adivisi6nl entre(_+ 2x) tienelasiguienteforma

_ax+ bsegu_n e__o sen_ala'r

a"8'') división Resolucin:

plicaT _ l -a

eS 2

_2) + 2

P

or el teofemadel resto

ienteindica_-2x+ l)(xJ(_ _2x)

el coc__o es el dividendo?



_ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ __ _ _ ___ ___ _ __ __ _____ ___ _______ __ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ __ _ ___ _ _ _ _ __ _ __] _ ___ _ _ ____ _ _____ __ _______ __ ______ _ _ __ ____

ellpolinomior esiduo.

residuo de_er.

C _+ C_x+ ___

+r_

ismo: r_ = 2

,i,ión

_._.......,,_, ..0,..,._...,_......_.d_, .,..,,._,d,,.,,......._.. .....,........... ... .._., ............... ............ .o;b__ _' _g._ __ ..'i_)___ _ _n______ in_ +i x, .nf.N.___eR / ..._..'''''_'' ''' '_''' _____'_'''''' '''' ' ''''d'•_-_______'__ ' '':'''_'-___''_- d_ _ _'0''_'0'__'''''''0' m___ __'_ _____''' ' ' ''_ ' '

_ = 5



_ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ .. . . _ _ . ._ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __

m_

x- 1)2) = o __ p'(I) = o

e

_''_''.0____''__________' ,,_'__'_=0___'d_''___' _'_i'''_'. P'(x)es1aprimeraderivadadeP(x) ''ii''...,,.....,,.,,.,,0.,. ,,,,.0........ ... ...,........ ............ ..,...,, 9...,.,.0..,,, .,,0,,...,... .......,.,.,, .,,,.,.,,,o,, ,..,.,.,9,,,. ,.,0,,,,.,,,,, ,,,,.,.0,,,. ...,_,..,.,...,.,., ,,_,__ii.

_ + 9 deflCientesnaturalesy desumamínirna, quesadicionales3! eS di_SiblePOr 6

le_or IO

Resoluci6n:

Homer _- + P+q = ___.t"'''__-'N

l5m p espar

_endr_

__+8x+_s



_ _ _ __ ___ __ _____ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ ___ _ __ __ _ _ __

-;-';,_=-;-;=_-_; _ ;- _ _--_' !_

S_+1 l ; _+3

ceseldelaPOr datOn_I

n+l _ n+3

OnCeS

ene

deB.

de_ ,es__duo Delaidentidad fundamental

_)+2x+ l

''_'__'''''_ (a)

l resto De(a) y (ß) sumando obtenemos2B= 2



__ _ _ _ _ __ _____ _ ___ _ _ _ _ _ ___ _ _ | _| _|_||_ __ _____ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ __ __

os

3 a2 3/5 _ a3

inomio

n AB_ O

epor

A

An __ o+l)= O; A'''' r O

suman 8.



_ _ _ _ _ _ _ _ __ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

6. Al efectuar ladivisión_+_3+__2+3x+2

allar el residuo en3n+3

uiente

división



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _

mos

-9)(x+3) seobtuvoresiduo de

ivisión deor

_ + px 2+esx J_ _ ,,

lar b_asj ladivisión

l D) _ E) _ 6

nte

x_2 c)1Jo E) -- _

r ladivisjón



_ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ___ _ __ _ __ _ _ _ _

dividir el polinomioy-(b+2)x+2bs_os7x_4 ?,_ 5x-8

e

s'j al d'lv'ldl'rabx5t b2x_+bcx3_ abx +acx2t c_

_a, _b (a+c)

_ 1) (x +2)

oljnomio de_l)es(_+2x_3)yel

la,elrestoobtenidoald_v__ir

5 C! _ 4_D) 4E)

c__ _-__ abc

rm._



_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

i

ntede36. Al eFectuar la división siguiente5 + 9x _ _

assiguientes

constante

o esx- 2

+bx+c es

^ 3-

eobtieneun residuo deprimer grado.siduo.

llo

3_+4 ab(,n+bn)x n+2-ab(a__b_ _ _bna- l)x __+_ _abx _ T l

dir P(x) entre(í' +x+ I) se obtu\/o _or



_______________________>____vM__x___t__s_t___0________c/______________m_____m__,__rrt_r__ns__nnr _____)_____________r_________________n___?_____0____________m__t)___m_____rr_t_______n__y_____m_____t___________________y_________________ry_______t_______n___n_______________o__________________?___r____________t_________y___ s____________t____________________00_____________________r________<____r____________________________________?__________________________________________m__________________m_______nx_______x__o________0__________________r__________________t_________K____________________________________________________t_____x_______?_______________________x____m_________________________________________n_____________________tx_______________?___n_____/________________m___x_____n____________________________________r___________

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,.??_?_,.__''_;::__;'_'5_::,__.. _1 ___; c_1 1 __:: E Wc_ __5'',;;''_.._'_,.;_,,.__,__.....;..;...;.._.......!.. 2 _;... _'-____' 1__ _;.,n_''_" 22 C. 32_-_ ,__...__....._.x'_._,_,._, __3 __. g _1 3 ;; B_23 __ _ ___;___-;_..:___,_;_.;.____.__'';__.__,_v_.__.'._,_;iv_;.___,v.;:, 4 ___+ A 1 4'__E 24 _34_ __: _?,?.,._-_,_',,_''

_ _5 __ c_1 5 _;'! A_2 5 !__ _ __;m__v, __-.-_''. ';__,__.,._Vi,.._;'-;;__.__;._'_'.__;_;._.;..'_;.,;. _n...M6___,,,,,,0 ;_'' E __t 6___; A_, ,2.6,, ,_g _3_6 _B_,?_._.__,....._;'__'_':.-::-,-_--- _7 :^--. g _1 7 ;_'--. _ WÈ '0'_V,.:,.;.. ;;.:'__.,_._,,.__:'__:__'.;._,::;s'__..;._.,___''_,.,:,__._v.n._v:''__..._,;_i..,;. __8__,.. _'-!' D._,o,o,1,,,8,,,,,,,,,,,__;._ A_.....2.8.... . . A _.. .38 ....p 'g'' ' ______, ~_..;:m-._._:__-_.--.-;.,.. _9 ---_: B__ 9 _ D._g'_v_:__'__Ldi:0 _1 o _!. g 2o __-_., A3o _ _4o CD;q'' 'i'' -



_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

'-, '--.:= -,;__n- _, _,,'_, ' _,'_,,;_i___0s,= :_ ,,'; :__'_; '

JleI-4 __e_ e9Jel sigIo pnsn_o, c'JJeJ_tn c_oJJln siJIJpnt1_aJee_l /icos

_leS, evX___SJOlJesell laS _JIPJill2to c'oJJsíJll_o IosJllareJJláricossMJlples.PnJ__ exprisn_7eces_noslossi_2os deIas cJ_ar_ o_y_ciolJesipIicnrJ_ di_i_iy.

r_l0_rll.



________ _______________ ___ __________ _ |____________ ______________________________|_____________ ______________________________________________________|___________________________________________________|___|______________ ___|____ _______________ ___ _____ ____________________________________________________________ _________________________________ _______ ______________ ____________________________________________________________________________________________________________________________,___________ |______ _ ____ _ ________________________a______________0____0____________________e_______________|_n___________________o___a____>_________(s_v_________0_________)_q____\_s0t__u___e_ _r_ _e__t_m_______________________J_o___________t______s_________ts___J___a_________t_____t_____t_0______0__e_____p___________r_______0

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;;.;_..,._;._'____;_.._,___;,..,.._..,..:,__.;;_;._;_;_^'',,,,0',,_,0,,_,,,_,,_,0,,_o,_.,,,_,__,,_0__,o,__,,o_,,;,____'_,,,;.;,_,,,,,,_,,,_,,,,,;,,_;,_'_'';__;,___,__ ;0. m' ^' _

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udialaspropiedadesque tieneunadivisión exactaenlreosenteros_ ladivisibilidad nosda aconocer diversoscritejosual lapa_eopera_vasereducenotablementey sobresa_ela

os: dividendo, divisor, cocienEey residuo) también tieneentasparareconocer divisionesexactas_puesesto permite

al esfundamental enlateoríadeecuaciones.b_idad depolinomiossinren parafactonzar polinomios.inomiosesuna teoa básicaquedebeconoce-rseparan loscapítulosen lascua_essetengacomo elementosalospodía ser el siguienteejemplo:ave_ocidad va_acon el liempo según laexpresiónsedose_ auto sedetiene/ n sedeliene.locidad escero, paraello ree_nplazamosen laexpresi6n

5, entonces, el auto sedetiene. Ahoraveamos,si parane_ paraello vamosa transformar nuestraexpresiónen una

aCta, en eSleCaSO dl CemOS QUeVt eS dlVlSlblepOC

nemos

ro tiempo di Ferentede''5'' lavelocidadno escero-

no sedetiene.



____________________________________________ ____________ _ ___________ __ _____ _______ ___________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________ ___________________ __________________ __________________________________________________ __________________________

o nuloscon coeflcientesrealeso complejos_ si el restomentenulo, entoncesg(xJse llam_ divisor def(x).

..,. ...snonulos sedi_ queF(x) esdinsiblepor g(x) si existeela identidad dedinsión exacta.

-3- !__(xJ; r(x)=-g(x)_h(x_ '_

entede ladivisión f(x_) entreg(h-) esh(x).sun factor der(x-).

ax=a_ esO_ decir_ P(a) = O _ el resto dedividir _(x) entreuef(x) (x- a) escero_ luego P(x-) esel producto de(x -- a)sporot Fopolinomiodegrado (n-l),sie__do_cn''e!doquegrado del polinomio i(x), esdecir,i(x) es

dedividir divisiblepor (x- a).equivalenteaaparax=a.

Lacondición necesariay su Flcientep4_ raquesiblepor (x-a) esqueX=a.

n X-

2do. grado

dir

x). g(x) 20 0 _ -12

l -4 ; Ox-a) es_



_ _ ____ _ _ _____________________________________________ _ ___________________________________ _____________________ ___________ ______________.___. .______ ________________________

os, coc_entesnotabl

' ..:..''''' ..... ''' ''___,,,__',_':..,..;.._._,._:.,_._.....'.....,--.::--_. _'_,..,.;..;..... ..__; _:_____,:_:_,,,.h'' -:._,,,...._;.''''_' ..,- ' ''__ '

^' '-_'_ Delosteorem&s2 y 3sededuce:

lei_''P' _ _- v '' ' ''""'''_ __., .,. ' 'V' _- '' '' - -- '' - _,_ '__'__, _ '......_C_aUm,0,, ,,8, e l__Iin0mJaS_ ,;' ,,;_'.'' :_;_ _''_,..,,._-_-._,____'_____) _. _-_n divìsi__l'e___ _r _x:); _'',

X.) _ __.._._ _'d0_d_'_' '_l_?'_ _2(X)' ..'._''_. '_' 4'''''''(X) __'_'__,,'_i&n. es_ _i_g ' ---' '_1.inomi0. fÇxJ_'''_'''' _1vi?ibte__'' '''_''' _,__m:íodescadD_ro. ' ' ,''_'

x)_'' _c, _'"_v''_un Mom___ '

x)I, ___.,,,,,,, arbitrariode,2rad,ocero. .,_0__'_(x) ___, MIO__. __ ''' ''' .. . '''' _x .o,

__ ' ___o__,

e_r g(x), fix) :tumay ,__. '' estambiem d'_msible_r c.g(x), dondeces ___r h(x) __g _acons__e_ n___....' ,_ _€Cx)-_h, (xJ,gtxJ'_h x c_ x. ___x) y g(x_' ','so_ 4m_' ('b_"''i_

oy_s_ó_ocuand_ f(x) _'''__.g(x), ;'_'___te_o nW_ _'''_-_''__''____0'"_ __dm_-v___0''_'_''__ w__'' _'__'__'a'0___ _ - _ ______ _______' _ __'__''_'0'_____' _ ___ "___ _' ' ''

n(X) ' Osi el po_inomio p(x) es divisibleseperadamente/a_b_c_

(x.a x_b x_c

_''''''__.._' _M..__''__. J_..,:'_'_:._g'__,_'_'_'','___;_ ...-- ,_',''_',._,_,_:'._''''''''''''''' Demostrac16n;) l ComoP(x) esdivisiblepor (x_a)_ _(x) _ (x-a)q_(x)__v__s_.

x_c) / atbtc__(x-C) Q3(x)

_-(X_a)(x-b)(x-C)Q3(x)_ !ue_Ose

) (x_a)(x_bJ(x_c)



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

. ___ '_;.._,_,,.;;_.,.:;;._,.......:;..._.;,__,.:_--;----_-__-----;;-------_--;---_-_;--:----;---__--:-_---_--;--_--_--:--------_:_::,_;_'_,__'_____:'__,_:_,____::._.,_:_._,___,:_:__,_:_::_;,._;_,_:__-----_------_;--___-__-_;--_--__--_--=_---=_-;__'---------=-_?__..'_;':_-__- ';g--;___'''_;,__'__' xg,..',,=_--_-=__:_:__:.n._,___;;__:._'_,'_:,_..'__.'_____,'__.__.;__,___-_---_-_-___--_--_=_-;,_===a-__-:.,.;_.;'_.c_._.,::._.____,-'0_0_'_'______R_m___d______'_',''|'"__i_''''''!'.i,.i____i___,_.'_ _r (x_a)(x-b)(x_cJ; axb_c,será' _'' ____-_-'-'__^^"_"'^. '":'''':''_-__--' _ ' : -' :'' ' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''_-----_-------- ' ''''''''

__,''_'0_, d'Nisjbleseradamenter (x_a) _ ntOdaIVlSlÓn ePOllnOmlOS,SialdiVidendOyal_' cx-bJy cx_cJ' __ , diviso_, seles mu__i_lica_cun _linomi,,p.pp0.,,, ....,........,...... ........ ..,.,.p.,..,.,,.,,,,.,........,.,..grado no nulo, el cocienteno seallera; pero elmio.

, D(X) ' S(X)=-_d(X) ' S(X)l4(X)+ lR(XJ_ S(X)_r DedondeseobSe_aque el residuo quedac_.multiplicando _rS(xJyel cocienteesel mismo.

__ o EiemPlo

X'_

ividendo y divisor por x+ l_ _ _'_;__;;.;__ _.__'''___.._:_';____ _.;_____...__.__:_.; _:____ _.___._,,,,.;_''__'':-'':.a.__'' _'_,_.î ::,__0_0,,_0, _,._,_ ___.: __. _ :.;;,.__,;'_,,_'' '' _':____''_::__;::'''',,__,_'::'':,_;,'_': '' '''''':;:'; '_::,_.' '__' '_,' '' ' ' ' "' ''' ____^''_'____e_;__"''''__:/__"''::'__: (2x__7x + 4)(x + _)(2x.w_ 7x_ 4)(x+ _J_ _ _3 _

idirar_eS l2( ). X_7X+4l(_X+

+ l)dó mWtiplicado por x+ I, se_ queR(x) -- '9x + 4

.'....---_-,___;_-----_=;;-__;=_-__--__--;-__-_;-;,-;-;_;=--__,....,..::_.,.,.;_._'0_=_.gE..._0,,.0w,_,0___ _J' -_--- ,,._g,.,:..__.._:.;.:.__;'' ___ .-_,_.s._o,n_epol._num.,oss.,ald._v_.sdindepor un polinomio de_r_dOc_ientenosealtera; _roelresiduo

l- D'v'd'endOPO' S(X) ' Oc) _D(x! ___ _d(xJ. q(x) + _R(x)S (x JndeseObSeNaqueel residuOmUedamo.



________ _ __________________________________)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________o______n__________________o________________________0____p____________D0__0DD_______________0________t____________0_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________J___________________J_\__________________________________________________________________________J_____________________________________________________________________________ ____________ _____ _______

o,, cociente, notab_

to en cada

(x+ l) __ (x 2- _ + I J3l + x

_+_)(x_2)52J6

___=-'- - _i- -_-' --c---=-=-------- _ ' '' _:_ _.:__':- -_-_-_=---i----__--_-_-_- -------_------_-_-_-__-___-_' -_'______^ ______0^ -____P_:--5_---_--_______;_, ,_/'''__;__,;' , q__ ?____ ' ' ':'':'. ___:__'t_'/:;__._______, ____,.,';''_;; ,'(__'''___',____' _;'_t',_,_,_;_' __, ' ^ _''_^ _,__^ ' _, '_ _, '_^ ' ___'_ _,_^ _ '_, , ___,'__:_;'_::_:____:_' '_~___':____::': '''''_'' ''___'''.'' _:'.''''' :'_._':_:'_'_' ':''':' _':_':'_:'' ''':_''_'' _X__'J'X''__'_: '''___';_o ___;__ _ _________'__:--_______-__-= __-___-_ :_ _' ....'''__.__''._.._, .'_._ _:'.,..._:.__----_-- -'--:__--_-_-__--:_-__-- _----____--_---._--___.---:. _--_--___----__;_--_-_-=--_- _;.-_;-__-___;-----.- -.______.=_.__d_,,;,__.d_.,, ,._,,. ___0____8____ _dD____ --__-___. _ _____ '_.'',,''; ____,'_;_,,''______'_' ;__.;'' n,_ _.y P'' . ,':'. .. _ ....::::. .:' ::.::...,,..,:,,; .:__:_,,;;._: __;_.,_,i_._.;;_. '_,_. ;_;__:__,;_,_;_,____,,;___,_;;, ;_;,;,' _ o ,, o',_' __0_, o' _,'_,,'_,'_,,' _,'_,,'_,_, o'_,,,,_'_,, o__,,_,, o', o,,_' ,_,',,,, _,_,______g.__.__;_;.._...__. ;_....:_;'_: :_.,.._,: __.. _...... ... ......:___..___;. ...._:_,_'_. ..__::___..... _._.__,._._,____'_ ._'__..,__:, .__'_:_._._,',;n_?v' ,, ,;;'___, ,_?,__X__

cocientesqueseobtienen en Fo_adirecta, esdecir,sinnsión.stoscocienlesnotablesson delafo_a:

___ '?___'___._ __ __ ' :__ _ ___ _ '___; ___ ___.: __ _ __ _ _ _ _ _._ /'_.;_ _ ___._ ': _ '__; P._' _ ' ''___' P___ ' __ , '_. '____ _' _ ' _ ' '''. _'__'.: '; ; _''_. : '_,_''_.: , __ ' '___m _ _'__''' ____ :___, _ ___'_ :__ __ _ __ :,'':' ' _' ''''' '''' _ ___' : _''' _:' '''''. _ _''''_,'' ''.', __':'_. ___''' '___ ''''' _.' _'' ''''_' ______._.__ ' '_._'_ _____.''' __ ;,__.____' _'_ '_'.____;_.____. '' ___5__, _ ~'__~_ __. _ __;-.___. '- _'_. : '_ _.__ _'_ ___.;: '____-_ :__ ____.___ ' '_ ____._' _.:;___-___ __;;.''' ____ _'' _._ __ ____._____ ' __-' __'' _ _ ______ _'_' _ ___'__ ____ _ '_._: _ _' _' ________ _'_.__:' :_' " _'' n ' '- _ ' '' _ ' 0''''''''''''' '''''''' :'''':'' ''''''' . '''_:_._''' _''':'__''' .'''_:?_,_,___:____. ____::.;.__.'_;: ._.::'',:' _'_''__ ;___''.__.:_, .._'__..,.n._...2' , __.'_--,- -

_:__.;. .:.:_:_..;__:___. _.;_;.;;.;: '_..:_'___;.! _..;_:,,_'' :._''' :v_'''''' :__,___:_;._._,__. :_;;__:; _;',_.: '_'',:__';_,' _,:_.:'__,..;: :;::,,___,:: _.',,__:_,__.,, .;,_____,:.;_,_.. ,_._;::;,,: _._.___.,_...,___;-,.: ..,_:__:_..,:_, _.,:_,-.,:,;_. :_':,_.,__.,:: ._____,,:,; ;,_..,:__.,___.,. :._,,:_:.;__.m_._. :...;: .__., '__,_;.,m:.,_,,: _,:;_,..,:P,. .,__\v. .._ ;0_..;_. ._.

. Su cociente: _ectuando ladivisión por la

__ n-Yn setendrá

__0':_.: _:._'_____:___._:__i.' __,:_____._._,:.__'': _ _:___ d'_'d__' '' '_ ' ' ' '_''_'_n'__i __ __,_,.:..;........_'.. :___.'''..:. . X''Yy l

_= :_-___ ::=y-. ---=:----------- -:---,---_;._. ,_,:m,....... .....,......: ........... ....:..:... ............. ..........; ...,,...,.,., ..,.,...:.; ._,..;,..;._. ..../.:_''i .l Y. .."'..

l de



_ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ____ __ _ _

uiente_, _ _ . ..'_.__;.._;:.:_.::.:.;:_.....__'___;-__.._T. '''E.Q_-__,_. ,__o_ ... _.,,...'' '' _

_'''''''!''''''''''"' _ _ '______;''_,___"__ __;,,,, ';,',_'__'___________.____.,:o_ '________:.. __.______-____''____'__ ________ _' _''' '''''' ''''''''''_,,!___.''e___ '' '__ _- '' '' _'_'_'___^'^___^^_^_,^'_^_'_'_:_^_'_'^^^_,_^__y:____' ':'.__i;_'_/''_,_'..__ _:i'' ''_'_ __' _'_"_' :;__._'''_,_ __;_,.'' _'_'_' ,,__W _ DadOel CoclentenO_able:_ n-_l___,_.,i_0__,8'_ _e_;'o._'___0___',_^'0;^',^'^'^'_^'__0___._''_.,:__::_. ,_._' ;_,'__;''''..____;:__:_'_.''___i___'__;n... _,_._f_.___:,___'_''' ''0x n,_,_ ' ___x _____:n___' '' _ !_,' '''::'_''''_"'''''':___ i"' ___,_,. _ ,_ '__ i.____ ;_'v 4,_ -, un lérmino cualesquieralh esigual

_:_''}_''_____"... ..,.....,..,..:..'_.',__.;,_;'..:._';_X"''_ ' .-_ ' ------__;_:___ _-,-_._':'_'.._:_'/_'._::',_.'''_;:.^__,:...........,...._....:...,..1 . x -y

y_'l

2

_ _ -- _

5

nneCeSidada40 _ b _ugar 2 l



_ _ _ _ __ __ __ ______ _ _ _ _ ___ ___.. ..__ _ _

s, cocientesnotables

___ ____ s

a. Ve_o_ su resto:a_

o, RnY' -- -Y-

.

_

le

x -_ +xn-_2 - ...,. -yn-'

et OOO_______NO-_

elEntOnCeS

ero la



__ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ __ _ _ __ ___ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ntecuadro__

_nh_ _ _ \ _?_ __,n_?- ' __'/ , ' ';_ ' _n ' ' ò_' b__ _ __ ;;'w_'__,_ ,' ' '' , _q'n ?' ___ ' x ' J J_ J' _! ó Q___' _uo,v,

laResolu_6n;

o

x 2 _y

+k_I_3Q__-_5___Lueo el te_ino en mención ocu ael uinto_? __' ,_,___

m____

eracocientenotable

___ ._ n ,_ y

o _ (5m+ _)(m_2) __ o.,

ner _'

=2 seobtendráun cocien_e



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _

visibleUn polinomio P(x) detercer grado sedivideesseparadamenteentre(x_l); (x-2) y (y+3);ando como resto com_ 5. Adem_sal di_dirlo29. Calculaf el2) y té__no_'nde_ndientedep(x).

_6n..ueal djvjdir p(x) entfe(x_ l)N, (x_2)te, dejael mismo

ir el polinomio P(x) entre-2)(x-3Jdejaráalmismo res_o5.2J(x+3) q(x) + 5

x- l) (- l- l)(- l-2)(- I +3)q+5 = 29nte. _ q -_ntre

mo resto_vl.d__, (p(x))_a



_ _ _ _ _ _ __ __ __ __ ____ _ __ _ _ _ ___ _ _ __ ___ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _

_e (m_OJ

x- I, se3 __

por s_. el o__.nom_,o p(x) _ x__ + _3+x7 esd,___s,._or de_ es,

sdivisiblepor

+ _ + _ esd_._._.s_.b_eo,_

Luego por Ho_er

lepoc_ _ _ _ =

; h _h

ución:

x 4 _ _

o en el dividendo reemplazamosx4-- lx) _- O'



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ __ _ __ __ _

, cocientesnot4bles

Sea n

n = 5e_o ladivisión indicadaes

_''i___0_'_'_a_,'_i_'0a0_,'___i,'__,__0'0_,__'0a__'0a___a___,_',__,'_8_,_,_',__,'_8,_,,__,__,_0_,_i,'0a,__,'_,__,'0a,__,_,__'0___,'0_,__,'____,_0,_io'0_,___'_,__,'0_,__,'0___._,'0_,_i,'_,'_'_nn _,_'_i''_,,__,,^'_,,,__0^. "^'^_y_____i_'''^''_^o^'',^',^_'___^''_0'^'^'^'^^'^''^'^'^''__^',i^',,'',^',,'___,_0_,__o'__0_,_,___,_.,.0"_,_,_0,0__,o.en. a- . t _ an__ 1,.__,^'_,.',::.''',,,'_ ' a_b ' k' ____..__o,^^,.,.

__i'________'_'___'____'-0__0_0'00__-'_0____________'0-___0_-__,____'0___________ ___0i ___ _____________________ii-_________-___ __________ ___i_______i_____i_____i__ddo___-___i,___-i___i________i_'_--___-___d_,__i____,i0_iii,____i_i__ii___'V,i

n el

3_, ademásPa'+b2

a+b 9p _ a_b 9p a+b 'p_ a_b _p

r l(a2+b2_bJ8 (a+b)_-(a--b)'1

tonces_.nos

- '

visión

ro de



__ _ _ __ _ _ __ _ _ ___ __ __

eHallaF el númeFodete__inosde_ sigujente

visión

ococ_t

CUtiVOS.

nticos40

x78 _x16 +x74 _x72 +. .. .x2 _ l

denomi



_ __ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ __ _, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __

s, cocientesnot4bles

sracional entero sisva_ablesson enterosy

acional

alores, 6 términosserán

s: Si la diViSi6n:

;naun coc;entenotableen e_ cua_ un te/rm__25__l)Y.

ido por

ón: __,,_,,_'___~v ______'_,_____,__0_.._o0_,_,o' _ox_ 5x _ + sx+_ ___,___,__,__.!,____..'_^ :,,: - __'__,,__,_,,,__,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,,,,.0,,,0, ..,,0,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,.,,, ,,,,,,,,,_,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,_,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,.0,,,, ._..,.., .0,., .,9.,.,,._,,.0. 0..0.. ,. ,o.,0....,..,.. ,..,...,.... .,.......... ..........,,, ,,v, .,.,,,,,_o.,,, ,0,,,,0,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,.,, _,,_ '_,, __

t l o

cua_qu;

+

x__)B(5x+_)B_ 9g__ __ ___. x__



__ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

deté_inos.

al6y8

i._,_,_..i__D.,_,,._i...,.,_,._.,_,.,.,,.,,,_i_.,d_i.,a,i,._ii,,._.i,.,_,_,.i.,.._. ; , _''i__0'. x:(3"-l)(a-2)=16 .................. (I)__0:_g'g'_____.____v_,o__i/' 8_(_+r) = (X+Y)' - (X'Y)' ______'...,_0,,_ . n_ __ ,

a

OlUCt6n:ladivisión

^pael lugar 6.

en_eunpo__nom_o p(x) de5to.g,ado estal

__v_.dl_ecomaresiduo _ _+ 1 7.



_ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ ___ _ _ _ ____ __ __ _ __ __ __ __ __ _ _

os, cocientesnotables

mos al dividendo yr ?- 2, el cocienteno sealtera; peromultiplicado por ? _- 2

__ _ 2

R(Z -2)

x-4. 83+ l+ bratlCOeS ' a- _ ' _ - '

enede

el F_nal,esonales



_ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ando se_aR_.(x+ l), siendo R_ el resto en:

2(_)s+ _ 2

e

eSeeUndO_fadOalnCcoc_Nen t eQ( x) y u n, e st o _ 2 s_. sed__v __enteaurnenIadoen4, la

_.d_.

_ (x + 3) Q(x) + 12

enePerO)

+ (a+4+bJx+b(a+4)



_ _ __ _ ___ _ _ _ . _ __ _ _ _ ___

cociente, notab1

polinomios

Q(x) I

mios no cons_ntes.

(_+x+ I ); enloncese neP(x) = (_+x+ l) q_(x)................. ..( l)

X- l)(X-2) _ f(x). i(xJ_ (_+x+ l) f(xJ. q_(xJ

POlinOmiOP(X) eS diViSibl_ POC(_+i+ l ).(xJy B(x)

VJ

delresto(x-l) (_+x+l)= O)= xA(_)+B(_)

el resto de



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Si el residuo deladivisión del po l inom iotre(x_+4) es7 yla sumadelosel cocientees6, hallar el

x) entre_+x-+ I seobtuvocomo residuox+l, v, al divjdjr i(x) entrex-_ l.Calcular el resto de

naDJ_+x E) x+ I

deefeciuar ladivjsión+x_

) l B) 2 c) cx__ _xJ+ t E 2_ + 1

sdivisib leentr___

s nula. si al dividir p(x) entre(x-2) se3 obtuvo como residuo 50.

Hall,,e_restodedi ,l_d;,p(.x)enE,e (_7__)

y

ablegenerado por

U<331talqueexist enl3té_inosente rosenudesa,o__o.



___ _ _ _ _ _ _

os, cocientesnotables

Unpolinomio m6nico denoveno gradocúbicaexacta, ademásesdi_sible

omo en_e(x_4)entede dicho

o decuartoseadivisibleseparadamentepor_v N_d__-3 dejaun resto igual alOO_ luegocho

omio entrex+ t

un te_ino del cocientenotable

Um ax_+yIo

' equ__d__



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _

m_salserd'__'dido_r(x+_)seobtieneendiente

olinomio de grado n y devariablex esleen_re_ l+_ 2+ _iente2. Sabiendo que

nte, calcular el

+ l)"

- l_

q2 - l _pqq2

E) pa_ _ __

e

Hallar el

_c) (X- l)(X-2)

Vament_ Se



_ _ _ _ _ ___ __ _ _ _ _ _

/ coc;entesnot,b_

4 ; se36. Simpli Flcar+xp+x2p +x3p + x(2n - _)p

_P_ l

nEenOtable; el Se_undOeStáadosareS del ß_meCO. _CUál eS el té_inoeCentral en d_ChOCOClentenOtable_ SabiendO

) se38_ HallaC el g CadOabSOlUtOdel déCl mO_ Pnmef téCmlnOen el COCientenOtableQUeSeeObtleneal diVidif:

ble9 sl, el poll_noml_) _ b_ _ b _ d. .sl.

x _ + __2

: D) 2 E) - '/2

_j ;

SYmnpq t Oobtiene?



n?,___,?vv__?_,,__s_,,__s_;__v__?_,v,,_?__n,_?_?____?v__?,q?,,_;_t____vn_t?v__?__,_,vs_v_v___v_____sss;__;n_?nvn_?_____?_v____,,_?__v__,,v?n,___?v??v_vv;__,_?_vs_?;______,_,v__nv____?,?_;_,?_m?v;s_??_?___nt,r,_?_?,J?u__?_,ss??_____?__v_v_t_s?;_?_v__s_;_?,t_?s,?v___?,?vs_v_s?_s,_c?n__v;_?vs___?__,;_;____?_v,_,_;__?;,_;__n__v_ss?_?___vvs;_;?_v__;__vv_?,,,_?_n;_____?,_,n,v?_?_?__?_????n_t?v?_v__?nv__9___?;,,___?_s_;,_n;;_,;;__v__t_;__,_?,_vv,nv_?__?s?_?_;_s_,,_st;?tv______;_ns;n_?;_v?_?__;;,t;_?__?__s?_;____s?___?n__v_??;?___s__oe_fmea_a__ntolrsn_caonu_st_letme0nu___ccasenapuouf_ee9yaa__Asermccn__obeno__oploorrluno_r_anpsumsrt__eatcee_taesc1aJ9_(onr9a_caoo9tsule_ls9eaeyayaeenn_ntta)etrobreaoosrurc_haoar1n_lt_ot_+_nJsf__aca0fdoa9eccelstrrm_adnataedemesoanenel__(r_cFacc______ttg___0

_c_?__?r______qe5t________K_____?__?cre_c____r?___t__x_???_n_f_?_%____n_t__h0?J________?t??___________?a_?r___?______v__n_v_/l__t____?b__ty__l__t_J_q__?__2t______________?/_gv_v_J_r__?___xy_t______a______ny\_r__\nv_ry__;__t___M__t_\__n_____v__x____c___t____nqs___tt_v_rn__________?____t___tv__yv_s/_??_______9___n??___mt___qx______?_______t?sxx____?__?__v____0??___t_F_l?_??_?_?tt??__?tt___t_\_____??______??__n_?_?_?_?__?_m?_____nc__??__xce__sto___?_q___0__;?_?_tt?__J___??__J__?v____?__JeJ_______n____9_,_?_r_q?_0_?__xo___t___h_t?(xc\_x______n_D???_?_?v

_,,5_ __,____%,

n cond iciones? L, __,, \ _ ___ ' _ _ _> _cX' _, ' '_ __,,'__A lOS 16 anOS, __L__,:'' ''' __ ,, _ __,os n _,n_\_ .,. ' ___G_ _i_

-___ ___y"'__'___; _ _"_,:_',__.___;_'__ '! _M_;____n ,_"elativa! ,_n_;_,,__' ', _,,_ _,__ __e_q j _\v __ ;_ _; ;;,c_x__ ',\ ?',_ _' ;_,' ' :v,_v,,cior :_ ,,", n',_/n, _',,__nsesc,.. ''' 'x ,,"' , ' _;_.,x ; __



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________ ________ __ _ __ _________________ ______ ______ __ _____ __ ___ _________ ____ _____ _ ___________________ ____ _____ _ _ _______ ___ ___ _ ______ ___ _ ___ _ _ _ ______ _______ _________ __ __ ______

'' _.''''_'_.' '_''' 9__.:'''_.'' __.''_:''_'_.' '_'''_.'_'_. _'''_'___:'__'_, ''__'__'_.__''' _.'_''s_'_,'___' __:_''_._:':' _''''''___'__' _,''_''_.?'__' ''_.__4mv,__'y_'__v!_?.v.! _'.'''__';' .'_!'__._.;_''' ''_'''_:: ';__'' ._'_.;''__5_'___.? _'_n_;___'__.:_?___;_:______._/ '__;_'_:__._, _______;:______.n'' :;':i.n.'' .;_'''''_' !:_.'iqM:'_:' ''y_'':_.__'_' _._'g'__.'0_ ''_X'.'___' _.''_._''__'' '_''_'''_:' '_'__'_.''_'' __''_''_'''_. __'_____._'''.''_' ''_.__'î''. '''_'.'____'__' '_.'__:'__''_' _'_:''___'_.'__ .'._'_'._'_'.x' '_:,__:i.'_'_. _'_,i___'__;!6'9._s _.:_._;___;_:_:i: ''___i''''' ''''' '.;_._'''' '_ '_ __:'__'___''_'' _:':_'_.'__ '' ' _ ' ' ____..'_ _._.'____ _. ___ __., :'_::.__,''_. _,__'.,_.'::,i __'_.._.__..,__,'__i '.'_::,_''_: .._'_::._:,____.. .,_':.__._::._. y_'_.i:._..:.' ;.__.:'_::,, _,_':'_,y__.:,.' :::_j.:_.; y'::._:',.' :.'':x__. .:__. n_'_y__.,,_,, m____.,;y.,_,,.M_,>____,_;_' '_:)''_''_' .:'__._._'.,'' __.i'':_',. _.__.'_:.____.','' 'v_s:::.j_____,. .'i.:'_~n.__.: __/_';'?i__.. .;vi__n,,,':;' _K;;_;e,''' _;.,_''!,;:. i,_._._;_'_,;' .'','__'__;;__, !_.:_,,.. ,_,.;.;i,.., __'__.,;.. ..._.0..._..., ......_....._,. ?....._:.__..,. ,,;._.... ..._........ ..2......._,_.. _....,...__._'.. ,.'':___,j,_.. ,..v.'__. _;. .h'q.;i 's:''..: _._;,___V_:; n,/,;_...;,,. ._.;_,_:,''' _.:_':_':._: .'_:;.._'_:' __,._.:.:. ':!___':.'_; :;..'' ' ,, ' __''':'.:' '_'_'.:___...:, ::_:__.: .__'::__.__:' _

_, _'''', ''''''_ ''''','''''' : '''''''''_ ::''''','''''_, :_'''','''_::''''' '''''' Al expyRsay24 =J.8 se)_a_4cro__?4do 24 e97p_d7_ctodeeJ2reyos,_ sic92doJ?_ 8_4ctoyess7_ vem l4 =J._;' J__ 2 so17 raJJ2biéi2 JacrorRsde24 _7seJl4_JIn17 _4ctoJ__s

JJJo Jn 1JIJIltipl-icncióJJdeotyospoIi17orJ7iospeJ1e12ec_ie_7t_sn JI1J.ct o__?ació12 depoIi12o1JJios.

cro___ay. DeacJieido nl4scaJ_acteJísricasrl_Ielic4r ral o c7_.al c_ieiio, poy ejeJ'JIp Io:

_ _spadobleespeci4Icos

Ios poli12oJ17ios:

Jrdo e1l esreJJlnJ_n_'iII oso reJiI4 _JIee._ /nJncroJih_ncióJ 7.



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ , _, __

_/?_?î6n i_cadae_0_' n'__X_ _sdem_or_' _\_''_.uact_n.es, __ent_ /en la_ e_i___es, _tc. ?h'__n ?î-';_ \ __ '' ,_ - - "_ '

__ inc____,c, __,n.n,es,,,. ''nn v',n' 'S ,, ,,,,, _

sdetodo _nsamienlo matemá_co, surgelateoríadeealgebraica.siones_ esta ayudanoslabjndalateoríadelasimpli F_cacálculosengorTososy pennitelaresolución deunciones, etc. Paraello, desanoIlaremosel temaconco, polinomiosirreducti bles, Faclor pjmo,etc. _ así como losmios, sobredeter minadosconjunt osnumericos.

ctoreslineales.caremos''diferenciadecua_rados'' o "aspasimple''.et_aparagraF_car ciertasregior_es.ipalmentealgunasecuacionescuárticas.aresolver ciertasecuaciones, de preFerencia,con grado

mosfact onzar.debemos facto_zar numerador y denominador para

vasFormasdeoperar, paraaplicarlasenotroscapítulos

sentecapítulo.



._.''_';\__:'_';'';v' ____'.,_;,,_,.,;,;V,,'''_,,__'''_,'_,;;''J"''_'_'__::' _''_,'_,''__,_'___ '''';'''''':':':''_,''_''''__''_'','''''_:'''''''''''''__'__'''''''''','''''''''''''':'';,''''''''''',:';''':''':''',':'_;'_'';'''_'__''''Y__=_=__=:;--=--:--,______,_,-_---_-=--'_-_=__--__=:;--__----_------;----=--------_---_-------------_--;--=--=--=------------_----_''' ..:'... /'''__-,__,-=;_-_--:_-___-__'=_=-_-___-_-_ m-'_'__=.''__:',;=';...,..;.=;:':.:' ..,.'' :-------------- -----------------_-''_.'' '

eracionesbinanas: adición (+) y multiplicacio'n(.)mpo numérico si secumpIen lossiguientes_iomas:

elementosay b deun conjunto Kt existeun únicoconjunto / c=a+bdapar deelementosa, b del conjunto K, setendrá:

elemento a, b, cdet conjunto Kt lasumadeestosese.

o como neutro aditivo. Paracadaelemento del conjuntoO''; OfK; a+O=O+a=ao de''&'' o simétrico: Paracadaelemento 8 del conjuntoa, (-a)eK_ a+(-a)=(-a)+a=O

mentu a, b del conjunto K, existiráun único elementoceneceal conjunto K.lemento a, b del conjunto K, secumple: 8b b8ro ''.o 8t b, celementosdel conjunto K,se lendrá:

como seasocia0 loselemen(os_, b, c,' esdecii,el

tivo: Paratodo elemento "8'' del conjunto K, existeun8

&do inverso multiplic8_vo: Paracadaelementono nulo aotado or a- _ deK, aal _ a 1.

mu_n___CAc_6_coNREs_E_on ln AD_c_óN;

os numé_cosconsideradoscomo camposson loss(_).

_Losirr8cion8les(_') forman un c8mpo?_

iemßreCUmpleel aXiOmade

_ _) __'

osi_acionalesno fo_an



_ _ ___ _ _ _ __ ___ _ _ _ ____ __ _

_y_ __ , _v,_N ,' ' "_,_ ' , ' ,__ '' -,, __, '

s,,_,,,,, ,, , cno e, consI,o por ser degrado nulo.

o dete__.nado campo nume_,__co s__ noadm___sado como la mu_t__ p___cac__o_n dedoso ma_

ocampo.

; E.x) __ __1 _ _

=4x4_ I no esirreductibl een _ porquepUedeeX_reSarCOmO

I_ F(x) = 2_- l esi_eductibleen _' _ero no en

pero

m_'___v,_________, _ ,, , , _ eslaunidad ima_inariadenotado_?_ _ '_ . . , J

"_' _ adela,te D

, _' '' _ _ __ _ __ _ __ _

dOPOlinOmiOdRPrimef _fadOeS iffedUCtibleen_

XSl

ledeun

_sonx__2,_+__+Ien

v_- 2)

2) n, ,___"; _,,,__,_?AlfaCtOCde Un_lInOmiOtamblRnSe _0eno '

-y_''



_ _ _ _

_;';, s5_;_ Enp(xy_,) __ _yz2acto_spjmosson tres: x, y, _

nlCOSOfeS en tOtal.

namultiplicación indicadadesusFactorespnmoso sus

cAmio esúnica,

maquepresenteel polinomio.

esoIución:

so P(x) = _(4_+5), donde_usfactoresmino. pnmosson' x_ 4 +5

FJem_ O_Y) '' (X+Y) + 5_(X+Y)

y



_ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _____ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ ______ __ __ _ _ __ ___ _ __ __ _ __ _ _ ___ __ ___ _ __ _ ___ ___ _ __ __ _

op(x ab) __ _ + 2(a+b)x + (a+b)2

tnnomio cuadrado pe_ectoar

(x) __ x4 + 2_7

a___andOCOnVenlentemente3 2_ 2x 2

lUCiÓn:

-ac-bc) :'............................. ;_

+ (- 2)'

a.

E _P_

alospolinomiosdeen_efo_, ene,,_..

__ym + Cy_ 6

_Y) = _ '"+ _m + C_



_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _

olucl6n:- Descomponjendo los ext Femosadecuadamente

2 _ gy2)

(x, y) -_ (_+6 _) (2x+3 y) (2x_3n

___,,TEoRE__,,,,_,.....v ''m), T

(x) =_+_+c__ (A_B,c) cz, _A, o,_

5x + 2, sí

lo 2sractor'_ableeng 7.

dO

Zab e

mOs

+(_+t)x+_

_) _ _'_+2_+ l -4_ = (__ _)'-_ _)2 esun cuacl,ad



____A______________e____t_______D ___t______e_o______B______o_______________r_____0___E ________________e______o_o______n________0___f_0______0a____0_0_00______0_0________0_0_0_______v______0_____r_0_____0______________r_________e__0___________0_____00____0________________________________p____________________________o__________t____________x______________________J_________ __________________________________________________________________________________________________________________t_________________________________________________________________r_t_____t___ __________________________ ___ __0__________________________0________________o0________o_o )

gotenemos:adr_tico en unavariable, si esP (XtY) = (a__+ C__ + F_) (a_ + CW"+ _j)

__rqueno es

.................................................................,..........,,.....,.......................,...........,,........,..,..,......,....,..,. Factori2ar

_i. Re8oluc16n:______''' =_._'_,!'.,_'_.' ,''__!,.!_,_!_!__!,, . ,,,. Aplicandol asaspa ssimples :

eneral, li_ii_i''_,.pa '-__''_'',,. D.o. _ t l_ + 6_ + 7_ + 8 + 2

S de_ - _ly - 3

,,,, , , ,, ,, _, , ,,,,, ,,_ _ __,., ,, , _,, ,,,, ,,_,,,,,,,,,,_,, ,, 5_ D-2y -3.:;_':.:._::_:_:__'::.::.;_:.....''_' ...._:.... , _,, , ___so_b_i

_.___ _:'?____.___'_,_...__. ..._q._.,.....; ...,.._;_; +_'''_C_2,___ '';..__.,._,_; .,_'___!0:.!i,,, ,,,,,,,,,_,,, ;,;,_,,,,__,,_, ,,,,,,,, _,,, _; ;_,,', ;:' _ 3yl

3)(2x + 3y + l

en su EJempIo 3

) -- _ - 25_ + 20z2 - 5__ 2Mz_5y_

eacuerdo alaFonna_eneralterceravariablecomo si (uera

O_

suFo_afacton.zadaes.2x _ 5 _ 5_,



__ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _______ __ __ _ _ ____ ___ _ _ _ __ _ _ _ _ ___

cto_zar F(xJ=_(x+ l) + 2_ + 5(x-3)olución_..'':_:._'''__ __:,. .,,,.,.,,.'0 '' i''': _' _': _,.':''"''i''_''''''i'''''''_,__,''',...'._ EFectuando y ordenandodeacuerdo ala Forma._,',__.:___':. :....B' ,,. _: _'''''t' _;__,;.._. _' ,,_... __' ' _''''''___''_E, ,_,_'_;;,. . genefal_

5x - l5 SDT:

___: 2StV

te_ p __ ,2_s_ +6 2 ,2_5, +q 2

ntal. _ -2Y_ -Y

_ __ _+_ _Juc_o/

_ SDT: llx_4

+3 4)(_+2 +2 _J



_ _ ___ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ ___ _ __ __ __

S

unto-_n5___v__ delos_siblescerosracionales._or, _ _ _Factor EJ.e_plo.

ona_esson l o,Asl/m_,smo p(_) _

O.

lOnaeS, pOf _l.nea_es.,nd._

acionales.

eS :__:__ 0_s, ' ___n _____. 'do unpo1_nom_o p(x), e1 número _b_,es undeun cero de este_linomio, si y sálo si (x- b) seráunOr deP(XJ_

6 = O

Dado el polinomio_n 2 + ... +a, _, ao.a,,o

noss._ u_.en_emane,a.

S QUenOS

ClOnal_

Rufflni entreele, grado depolinomio y el pnmer factor encontrado,neraícesSlendOel COClentedeeSta dIVISlÓnel OtfO



__ _ _ _ _ ______ ____ _ _ _______ ___ _ __ ___ __ _ __ __ __ _ _ _

cton_za,6

on,_es..

orcutivamente.

_tan lao;



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

, lasuma defactoresRrimoses:x + 5 + x + 2 + _ + 7x + 3 = _ + 9x + lO

amARYRESTAR

mponer algúne, unaensFo,meen otro ra/c_._

Nom_osDE G_o pAR: consist

varlo aunadiferenciadecuadrados.

,maf y rest,, 4_)

mosde

x_2x)

+ 2x + 5)(_-2x+5)

oluc_'o/ n:



________ ___ _________ ______________________________ ___ _____________________________ _____________ ____ _________________________________________________ __ _ ____ ___ _ _________________________________________ _________ _ __________________________ __ ______________________ __________ _____________________________________ ___ _ __ __ __ _ _ _____ _ __ __ _ ________ __ ___________

R_CíPROCOSnomios4uetienen pori un_raiz cuo Iqu ieraesKla

= ax3+b_+bx+a+_+bx+a

_,,--_.-_--'_ ' _'__., ;n__, - -i_ _- +_ _ "'l::_:-_- :''' ., ... '''___,::'_,:';'''_,::''_;__'_. ' ' '''__ii .. ,.,....,._, __ E o &_ M A,.__?;,?_.='-_-----=_-J'' .', . ..._'''___ ''ii ' '' '''''''''''''''''''''' '' _' ''x__'_:'_i_ l) _ Todo polinomio recíproco degrado impar se anula

_.,:,.;.................,,,;D,, :;.,,_,;..;.,;0:..,,. ,. ,.,.,:_:;,.:.;;,;._;____;. .... paraI ó - l

,,,8,,0d,..,,8,,,_,D,d,,,,Ddd,,.,...,,,..,.,,_....,.,,,,0,.,..,.,_,,.,.._=,_,,......,._.g_.,..,..,.,._...,_SeaP (x) un _ l ino m i o de grad o i m p ar i ___o '_, '' _=:_' 'P'_'.P_ '_,___i'_''_ _'_'_''_''_i_|'_i'_''''_ en_onces(x- l)6 (x+I)seráunodesus'__ __ _''_ __'_d'_ ractores. ____,'d''0o0___....____''_'_'_'_'_''''''''-'''''_''0'''_ '_'-'i''''__''''-____'"'''_'''''-'''''"'''''''''''''''''_'_'_'_''__'_'''___'_'_''__''''_'__ __0 '''''''''''''''''''''''''''''''''''9''_'__'-__'-'__''____'"-'__''_'''_'''''-''''''''''_''''''_''_'_''''__''_'-'''_'-_'__'--_''_''_"''0'''''"_''''''

actorizar polinomiasar;

al

grado del

eral del término central.



_ _ _ _ _ _ _

_

nde el ractor demayor sumade

OS SIM_' l_OS

r

_

r.



__ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ , _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

cos:

2_ --- '''' ' ''_'__'':''''''''''_''___'''':,,''''_''','_::'';_;,:'''''/''..''_:___'?'_:s_' _/n___.____'"''_' ''___''',,'''''''''_'_''''''':''.''_'''__;''''''_','_;_, ':' '.__;''__' _,''' - _ ... .. ....O_ ' ' ;:..''..,: ''___,';_,'__''____''''',:;:.;'_.__''.___.'_._'_____: _'^ iq' .,'_:... .,'' ....;:.,;_"'';,;,'''''_ _. _''''''.: , rBO ' ..:'' ,__.' _... :: '' '' '; ;

__ __. .. __ ', ___ ____'_ _ ; . _.. '' ' :'_,,_,,:,;'',_,__,_ ____, '' : ' ;,,'_',:' '_'. ' ' :''_ .. _' _, '''' _,_,___'._, ;_,:;.', :,''''___'_ _ __' ' ' '' '' : _'__ .. _' __, ' ' ' ;' ' ' ', _ ' ' _ ' :' : _ ..,,;'__'_''_:''__ _' '_- :-- __ _--- : : ' _- _:-- _'- '-' '-- ' '--'-: :-'-'--- ' , '''_' _ '_: _d_'_;n ' _ '_' ' ' ' ' :_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' '_''' _' ; ';.__' _' '_ ' ' _ :. ; ' ' ,,''_' x-- ' _ ' , _._''_ ''''' ' ' '

y+_)

d:al (x + yJ5 _ _-_ _- _(x + y) a(x. y)e,. g,ado _2do. g,,d

N

ac_.endo.

.:,.._, . .:,_' _ l_2S

ón det 5M _ 2N __ l5 ....___N__ (_)

X,1 = _ X+y 5 + + 5xy)x _

algunaEJe_PlO

a __a3c+c3b+ Ja_a_Jb_ 3_ 3bleResoIu_ón:ier par devariab_es, el

_-M(bta,cJ. Entonces, el polinomj'omado, ade_násparaa=b setieneunam(b,b,c)_o _ (a_b) esun Factof dem. Luegr polinomiosalternados, losotrosfactoressonay (c_a)

a-b b-C(C-a. k(a+b+C)

menteal procedirniento del problema

M(a,b,c) = (a-b)(b-c)(c-_a)(a+b+c)



__ _ _ __ __ _ ____ _ _ _ _ _ _ , , _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ __

alor __)+__)+_'_) ,por lo tanto P(x,y) __ (x+Y+z)(_+_+?2),delOS FaCtOresprimoses:y2+_'

lojzar, indicar un Factor primo de2__2+2_)

__m+_?)2 + (m__,)2_ + 5(m2__,2)V

o desus

385

oresprimoslineales.olución:

aP(xJ=x4+_+ l+7__385ivamente. Reduciendo seobtieneP(x)=x4+_-389

3 como =_ (_+24)(x+4)(x-4)

_4), cu asumaes2 x



_ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _

a+I=O

x)

mos

xJ.

ct or n.

orizando por aspadoble:6 xg_ _ 3 x2

) = (3_+2_+3)(2x'-3__2)zables

omios; sin embargo, no_UYeentOnCeS qUe2_-3_'2 eS eles.

dar lasumadesus(actoresprimos.

a+b)'- _ l)obtiene

ntoncesK(a,b) -- (a-b)(a+b+ l)(a+b- IJOCeS ßnmOS SOn

; a+b_ ICt_ pnmOS eS 3a+b



_ _ _ _ ___ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ , _ __ _ _ __

decoeF_cientedeun factor prirnomio S(x) = _ - 2b2x - b8 - b4 - l

,...,.,. .,,,,,.,,,.,. ,.,,,.,,,,,, ..,._,,.,.,,, .,,, , ,, __ _D_D'd0d0.. ___i__'____'___0_____..'_' _..q_,.__,_,,_,,,,, ,_,,_,,_._.'_'_... '_0_','_'_'__;,, _,..',,.,. ' 2b-X+ b' --' _ "b) _ _,,'_0a, ,''?_... , ,............................ ,... ,........ ,............,........ ,.... ,........... ,....,.......... ,............................................ ,. ,.......,............... ,..... ,.. _... i i. i i i

s+ l

teses

Ci r b - b + 2 _ -b ' b

s

del POl!'nOml'O

imo R' C

+ + a+ CC+

: -- C+ a+CaC+c+l 6 a+c ó ac+I

OS

_ ( 6 _ )2d derfeCtOt

efOS COnSeCUtIVOSmbossean cuadrados

nConSecuencia, _ + 6_ + l no es factojzable



_ __ __ __ _ _ __ __

+ _2 = m

cir setendr;2bcms _ 3n2m + 2n3and o 3 n2

m+2n)(m_n) _ (m-n)'-(_n+2n)

+ _+,2

_)'_actoresalgebraicoses

pnmOdemayOf SUmadeOeFlCiente5 en36x_

or común monomio: 6xy', sel Ox-_+y+6)

(_ + O_ - _ + l ax + y + 6)

pOlinOmiO._.H(x,yJ= __(2x+y+2)(2x.-y+3)

y + , X-Y+decoeF_c, Nenteses 2



_ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ ___

x-4)x+4 x_rimo dedonde un Factor primo puedeser

ner el nu/ me,o de factoresa_eb,al.

Factoresal eb,a_.+ _)(_+ 1)_ _ -_ 7

primo

un cambio devariablex -3 = _I__ + 243

N+_N+

_ =



__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ ___ _ ,

+27I J(x,yJ= (_+y2-y_6_)(í+y2-_+2_)

Factor demenor sumadecoeflcientesesctor Y_'

Oi(x) _ xG-9_+30x4-45_+30ì_9x+ Ior pnmo mónicov_ + l-3x

_ ' ' _3 --_ -3?

_) v _l) F lll) _/

em8 28

_b_C-- a+ tC - -- ' '



__ _ _ _ _ _ ___ _ __ __ _ __ _ _ _ ___ _,

oQlem8 30mio

z) X- X' - _+ ^ + ,delas siguientes

(x,y,z) l_ Tlene4 (aCtO reS PC_mOS

m(x) pol_.noml.o recl/p,oco degrado l.r Ay Bm(_ _ j __o _ueo o, d_.v._so,e,b.lno/ ml.cos.

J

nosde

+30x4-Q5_+3O_- 9x+ I

proco degradpa, Facto,;zado (_) set;ene.

x + 30x - 45 + - - - _ -, i

mismo

x+_ _ 3 __ (x2 _3x_ _);_

+I)J

_T. F _T_. v



_

sT. lndicar unfactor pjmo de

resionesno es_ino de un factor pnmo de?.

9. Indicar el Factor primo cuadrático demayorespuésdefacLori2ar4__

+2x 4 c)_+x_g

_ospol,_nomN_y+_5y2_ 1 _x_ 17y+4

como respueslael factor pr_monoe coerIcientes.

+5y_4 B) 2x+3y- l C) x+y+4_ E) 2x+y+4

uadrático demayor

)__2x+5 C)__4x-2

tesdeun raclor



_ __ _ _ _ _

DJa+b+c+2 EJ 2a+2b+2c. _

s

actory'-

-

posicionessiguientes:

ade_1_ a_ c7_ no esun rac_o, pn.

ode Q(x) -_ aa_ + (2,_+,__J_+ (_a+2,__a)x+a_3

_ __ __ 4ro o falso con fespecto a

ns2- 2c'- ; O< c< I

A) VWBJVFF C) FVF



b+ l _ a_ I cuadradosper€ectos.

x+ 2dad deoPosicianes:

x + lprimo es_ _ x + l

eS l

FV

or dealeaquel queno es factor

x + 1

n Factor primo de

+bs+c.5+abc(a2b2cJ_

Y"2x)'+ (3_-x)5



_ _ _ _ _ _. _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ . __ _ __ __ _ _ _ _ _ ___ ___ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

) en l o ss (a_ b ,c) _ ( 2 a2 + a b + ac+ b c) 2 + a_ ( b c)

F d ev e, d ad dec ad au na d eIi en t e p (x ) __ __5y. 1 _



_ _ __ _ _ ,__ _ ,_ _ __ ,__ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

ud _ossobre,?,__ ___ ,_M_________5,_-m____'a ?_ , "^ß' v_ ' vw'' _'_,c3_,n_a_U__ade /aJ__^Ç_'J;cy' ' ' _ ; ' ,_, ??_;,_f l0s_,?, m'?__J' _ ', ___, _ _'_''_af_sic, J,_,___?__'i, _ n ! _ _ _'.VXcc__y' ' " _,_ 'C,___-___, 'e,

___,d, _c_,_,__,__ _._ ___ _ _ t,_C___ _'_, 5_, x '___'_'_v_,''_'. _

ndo en ''_,_c0__ _ ,'__'_5'?___,,,?_?___, _5___ç'z_,''__ ,n,v,_ __, '- \' ?___,_

_,____ ,_,_ ' _ '_ ?__

SU %___ ,n :_ M_5_ ,_ _"_?,_v ____ _ / _ _____ __c________'c!,,__,x?__ __ _^ c_ _',_x';_ ! ' '1741.se' '' ' ''"-"'_ _' '__ _ 'J__' ';;' g,,_ . '

__..________________._/ j



__.di__; _'_M_s_ces_*:n, c_'-.'_,._.

ides(D= dg +RJ seJ_en J__aeIsigJ_ieJ2teprDc_edi_JIieJJroar1_raIesa_?' b(b>nJ

z

Sx' -___x - J

_ _

_(xJ _- 2___- - Jlx'' + l_xn + _

&-4_-/ax2+/8x+;a+ r__

_. _.D.(_,BJ

__1rJ.



_ _ _ _ __ | _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ , _ _ _ _ __ |_ _ _ _ _ __ _ | __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ __ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _

_ , 'S_esde{ m__mo' ' com5X'^~ __ša___^ __ com_YS _ m' __.__i_, _-_ _h___' as'p__ ' _ _s_, r cua_ c_mÓ_' nes,;__;_ _ ;"'_ '__; "'

m. y M.C.D.son consecuenciasdela teo_ademúltiplosmética. Unadelas aplicacionestécnicasdel m.c.m.y

deobjetosgeométjcossemejantesde unaFormaexactaen

^_____^__ ''m' 'n___h~"?__M_

trar lacantidad decajaspequeas que en_anen lacaja__ M-C.D.

úmero deplanchasque sedeben utilizar en laconst_cci6nsnecesario utilizar el concepto defracciones.

C.D.segeneralizan aexpresionesalgebraicasy esteecapítWo.



___ , __ __ _ _ ____ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ___ ____ _______ _____ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ ___ _ ____ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ _ _ __ ___ ___ ___ __ _ __ _ __ _

._,.::,_:_._..:_..?,''';_'':;;_.'_:_"'"' '"_'_._.___,_.''__.;,,'':'._',.!'..^'":""'._:__.;:__.:_,_.;:____'__.;;__'5.:,_;''....:'_.;...._:....,.._;'''_''''_;____.:_'__:____._:_.'/.:,';;__;_'_;,..:.._.._..,,.;,:'.../.''_'';.,_:'__.,'''':..,.::.''''' "''._'__,.'_,.____:._.'__''':'':;..""'._'.'''..,..''::;_;._;,;_:_;_,'' .:.:'';':''''_,_.'_,:_''_,:.___'_''_;,''' ''. _ :_',_.____. _'_,'__'_,_',:_..._ .: :'...;,_._;_:__:;'._.:'_' ,,''_,.... :,_.,... ...spolinomiosde gradosno nulosP (x) yQ (x ), sed icequeQ (x)esexacta. En tal caso seráposibleexpresar lo por:

x_____' .; H.ix' ' J'...:_'... n'u_0..........,.::'_

mlOS, DiremosqueM (x) ser áun factor com ún a dosnomiosf(x) y g(x) nonulosde tal maneraqueseaposi b le

o tanto, susfactorescomunesson:) '-

,_,.,,_t P(xJ= 2x 4 - 3 _ + _ + Ax+ B ytor Q(x) = 3x 4_ 7 _ + NTx + N

n te,

_2 ;,^,.^'.^^^o^^0^^......^_^,a'_,^__,__^__.___'_.__:_____._^^_._____,.._Og._0,_,,_ _'__,t _t00''___,.___'oi,_ 6 ; 12 72esse'0_,__D'00___0o0 2 - l l 2 ; O O

6 + 12-_ o _A= _6poseen __D,_., _,,.0,,



_____________________________________________________________________ __ ___________ ____ _ _ __________________________________ _________ _____ _ _ __,____ _____ __ _ ___ _ ,

E UNPolIN0Mlo

sisible

masepaFada.

Q(x),

x+l)(_+3)l)(x+I)'(_+3)3, ...

polinomio múl_pIo comun demenor grado.

x). A(x). C(x)) B(x) A(x) c(x)

M'C'D'(P,Q) m'C'm'(P,Q)-- M.C.D.(P,Q).m.c.m.(P,Q)

El m.c.m. dedospolinomiosA(x) y B(x) es_x _ 2. Hallar ell) número defactoresprimosdeA(x).B(x)

_,':_.',_.,.__:_.._:__:_'_'_,:._._,_:M.....:_......:.,__._'_'_,__.__:_: '',..._._:.__,__,_'_a'''_0......_,_..R.''''E: _. .._.' _ '' ..,... :..'_''_:_' _. ,'_.' ,,,n.,,__.;';,''' ., A(x) B(x) =eque _ _3 x2 4 _ + 4 _2

+2J(x- IJ

+2)2(x_ _)2(

) _._ene3 Facto,esp_.



__ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _____ __ ______ _ _ __ ___ _ _____ _ _ __ ____ _ _ _ ___ ___ _ _ _ _ _ _ __ ___ __ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ ___ ______ _ _ _ _

OmlOS en (x2 + _)2 _ _2 (x 2 _ l)2OllnOmiOS eS 2

mOdedondem.c.D.(A,B) -_ x4+ _ + l

s:

_) A(x) __ x4+ 2x2 _ 3

x 6 + x2 + 1

en el;5) -_



_ _o_____________________0pu____E________o_0_____________0__________________________A____________________________________c_______________p_0_p____x_____________00_____0_______________o______________________N___+_______________E5x___________s____________+________________7_______________E_____________N____________________T_________________R__________________E________________________________N______________u___r________m________E_________________o________s_____________________

s

''_'''''':.:_''':'''__:,'''',''''._''':_'':'_'_';__''_'''-.'''__._'':'''__'_;:_.''_'.,,;_'_. ';_ _---- _,':.'''__'___:.''_'''''_'''''___'_'''''''''''.':''''' _ -__;=,--=---/---_: _-;__--:_--___;'________'_'___''Y';'__.'_''':,;.,''',':h_';'''_,_',..''''_.':.''''',;'__.''___.''_',;'''''_''',,'',.''''_.;,...;..__:''.'',,''':''__,_..:,.,'_'::_::---... :- .._:;_._,_:_,___;,m_~::;_;.____:;:____:____;___,_____.:'__;;__:_:____:'___-'i__':_:___':-..,_.:-_.,_....:_:,.;_;-^,;:;--_..,__..;;:Y:,:'',, ____,_:_,_,;_;;;:''_,:__,''___';''_:___.-,__._,,_:,.'-:__:-':--'-'' ' ''' ___,;_.;_,,:_:_____::______.,__'__ X_,Y_V''-_:_;;____;,;_':__,,,_:_:.__;,_ '_..

_';:'::::__.'.:,.:;:,.,.'_,::._'_,''''_,:'.,__''_:_,:::''''_.,___;____,_::_'''_,_'''',''';,N''''''''''_'__'x_'__ J'' ''::'..,.:/'_;;''_____::.''_:_:___:_:____^'^''_^''_:,_:n__n_:.,..'':: ..''':'':''''_'0vv^_^^'_'_''_"'D(x), i..;........._..._',,,,_0i_._a_i0_,,o'_''_ ;~im-- :.. ..D.:_. _.:- ----:--- ___m__n___,__,;.__,__':___.;_;_._ ,_ ''' ' _' ' ' ' .. .....

;;.;-_--_-____--_-_;-,_----'---:--:---_---_---__-__=__-_=--_----_-,=-_-:-'''' _,,.,....:.:..,:..:.._,:..,..__.,.:._;_..........,...',._:'. _"?_.,,','';' ,.. .. '.... _:., _:-' m: - .. _.;.;./,.'__;';;:^'':_

_'__,'_,'_;''__'__;__'''::,''____''''__,'''''''''':_''_:'__,''._.___''__n''''___''''':'''',,'''__:'''''._'_..__._'-_''.__:__,_,_x:__:__;__:._,_____ '_,,_''_,,,a,,_____0,_'ix_' _?'.___:'_,_:'_._'___''''''_,;____',_''____' :; "_d__''"_0 :'__''0o:'0'_'_'^^___'_"' 'm'''''''''' '' _'__'' '_' ''-':''''=''' '0''___ __ j .

encial).

JemPlos_

do

caexcepto _2 y _I_porquedetomar x talesaloF deido lafracción.e,c.v.A. (f)-_& _ (__2, _ _)

-

adOF_ x2 + 4

mero Fealc'x"_pues_+4nuncaescero.C_ Entoncesc.v.A.(_ _ _

___

___.__,_o0.__0.,__,_'i'_i_"'''''_''_.''___'_i'''_____'______=''_,i'=__=_''__'''''''-'''____________',,_,,_n__,,_',,_o,'_,,,0'_,, presenteque debemoseliminar ''__'_,_,_.,,,,.:_:,,'.:;;:.,. ____:_ valoresdelavariableque anulei_t_____'.,.

era, el ___._.im encordar:

nOS ac

aun. _iCiÓnbC

en b d bd



______c___________________________o___________________o______v_D_____________________o___________0______(________________________________c_______________________r______________________________t______________)______________________________x____o__________________o_(__________________o_0__o____)_o______________o___00_____________________0_________________________________________________D__(_p___________(__)______________)___r_______________0_______o_____y___o_x__p______0_s0___o__t___20____o___________________________________0___________(__________________)________0 3N((J )__t_(x(__txx)t+_+x__)_x2(____F_)x_ _ aa2c)_v_A_oe

+I)+(x-I)(x-I)+l)

x_U- (I, -l)

..'''''''':':' _N_tXJ_2L_X)''t N_(X_---D____;_--_) .:''''' '''--' D_._xJ' ._.'D2(___:_-' :_- _--=----.:. '' '. r_cc_oN_n_GEB__c_ REDumB_Es'o'''i' '''' __''''''''-'_''-'''''''v''-'' '_'i '_''''e' '''''''''''0d'd'_ddd''0_0'o__d'"d' '''''''' u F . , f() N(x) d.bl .

tr

ctible, seprocedeala__.:_._/_''A':__:_,_.:_ _ _ ( _''"o, simpliF_cacióndefactorescomunesconsiderando_..._. X_,,,,' 2 .,__D0 comocvAde _arracct_o,nreduct_;:'' _,''x'''''''n_''D-;'?_. J...,.. _2_X_J_:-':-:___:'--;___.... lafracción inicial.

O) l. LaFracción en_

''_-_-- __ -= , N--f'_''':''x' '''_''' ':..;.._^__-_C__'-___0_,i. Puedereducirsea_;_......._....__=.,.,,,_!'''' _ ' ,,,.,. ''' . . ------_----;;:-:-_:.;;:-_''_,i_

X^''____ ,; 2_ X..._:_ F(X) = _X'' ' '__ : ;:: ;_. ___ ;___'__._.:_;. _'_;_., ;....__.:;..____. _,;:;. ..,_n;_.:._,.:\. _,_:_ _: ':..:.......dd. .......,.........,_;..v.,.. ;: _ ' __ '_, ,_ :'_,d_:,_;;__:..._,...._' :....;_.__;_:: __0 ::_' x - 5:J_(x)--o) C,V,A_(_ -- _ ' (3, 5)



_ _ _ _ ________ _

g_poscomomogeneas

_ICAS homogéneassi todas poseen igual polinomio

(aS.

cionesal_ebraicassonf

nadoF

erogéneas.



_ _ _ _ __ _

de8 '4 7eune

N E_

nes, por ejemplo+d7_)

_2 ' (x_2j(x+ j

r.decir_di

l6n PrOplaIr fedUCtlblel denO

mio

v8 que

eneracomo sumando al a

_,. _,, ,,,,,,,,,,,a,,,,,, ,,,.,_,,.,..,.,. ,,,,.,,,o.,., .,

a _' ''' ': ''' ' ''' '''' '' '' '''' S'' _

esle ^'_,_,v0 .....,.,,o_o ''..:. . ' :'''' _' '_'_ ,,, _n ' _ ''' ' ' ''' ___



_ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _

+ _ _

_A(x_l!(x+2!+B(x+!!(x+2!+C(x+!)(x-'!)l)(x- IJ(x+2)

x+2)

r del_ fO_a(_+bJ" n 8tO

ade

,,-,,,,, ,, ,, , ,..,,..,_ ,._ ,,..,,,,_ ..-...... .. .,,, ,,,e-,,,,-,,..,.,,, .....,,.,,d ,.,,'''' ''B,,'_'' c''' '''''''' ___ ' M ''''',''

_'_,,-,'_

e

_ 1 3_ l 4 no _o esento x__ l 3

actor



_____ _ __ _ __ _ _____ ______ __ ____ _ _ _ __ __ ____ ____ _ _ __ _ ______ __ _ ___ __ __ _ _ ___ __ ___ _ _ _ __ _ __ _ ___ __ _ _

_ + BJ(X2 + 2X+ 2) + _ + D

resdeben ser

radores

2ue puedeexpresarse

escomponeF en laadición indicadad

+ 4 t ene,a__ t Co_n '

-'''- '-'' ''' ''-' "' ' ''' '''''''' '''''' '' '-_':'-'__'D''_' '_ --- - ' i-'---------,'__----- ____i f(X)-+-

--=+____î-:_-'''-----'''_ x _2 x2+4_' _-l,''_

_i_2 ,.___'__i. f(xJ= _+ X+ +- _--:.?- _).,=m i.' (x + 2)(x_ + Q)

0^"0'^^____ '"' ' '"''^' ' _0'0^i__0^___'_'_ __ i'_'_"i"^_0^^''' Entonceslos polinomiosnumeradoresdebenser

B+C)X+ 2C+ _



_ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _______0___)______________(_____________________________________0__________________J0__o0_____K__(______________________)__________o______________o____o_o_0____2o_______)_(______+___F______________x________0_________________0___________)___0(_______(__________0__)_______0______________+_o____(_)____!___(0___0)_0____0___0__0_3____________)___(p)0__o_____p_____0__0____D_t_t___cc)

una fracci6nropia quedebemostransformaflaen laadicinonesparciales.

deDescomponer en laadición defracciones

quelafracción esimpropia,

pueselegrado del

_x_ _x- _

x + l -

propia

_'_!'_'a_B_'_'_'_'^"'0_'"_B___7_..____i__.' x__1 __. (x+ 1)(x _)(,-2+ _) '',

ible:

x-l (x-I)(x2_l) X-l x_+l__ _______-____-_______0__ __ _____ __d_D_____Dd_______________________-____ ______________D__ ______________________,..... _2 A(x 2!

+-_4_ - _''_.' _2 -- '! ' X_! 1B_ K

'-l)(Bx+C)

alOreS COnVe_lenteS a''__'':

2A- 2( - _+c) _ B= l

lÓn J_ x _ 2

MM'M_'^m'^'?, LaF,_cción im fopia

,,,,,,,,,,,,,,o ,,_,,,,,,_,_,,,____ ' x __ y2 +! .__ _ l x2



_ ___________|_ __ _________|___

C.D.delos polinomios4_+ _ + b_

B(xJ=_+_+d es(x- I )(x+3)m.

sOS

(xJ_ M.C.D.y B(x) _ M.C.D.

)(x+3)(x+2) _

x+2)(x--2)b

b Sean lOS ßOlinOmiOS4 + _ - 9_+n y otro Q(x) cuyo5x + 6/;

esReSOlUCiÓn:COmÚnaP(X) YQ(X)



_ _ _ _ _ __ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _

M.C_D. = (m+n)(m_n)(m2+mn+n2)(_--mn+n'')

eS Luego; m.c,D.(Tn,_) _ m_ + m2Jn_ + r)_m_C_m_ m.c.m.(m,N) __(m_ _n_)(m_+m__n__ + ,,'iJ

N) ,_ ,

(P,Q) Reempl,z,, do m _, n set;ene .

C.D.(x,yJ

mos.

uel po1inomio _uecon9)'(x+2) tenga como M.C_._demás; _ = x' - 13x?+36 ?

Q(x) el polinomjo, sabemos_ue.C.D.(P,Q). m.c.m.(P ,Q)

). m,c.m. (P,Q)

c.m.

= _



_ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ ___

Facto_zando el numerador -

) x_+ 2

ne

+b _ab_b2 _a+ab_b _bJ_ -' _(_ _bj2

_e(j bj b(_ bj -' j bj

2

_' __

. I + b



_ __ __ __ __ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

"

m_ 13

-c) + (x _ b)(x ' a)

C+ C-a_ _ (a+C)X+aC_



__ _ __ _ _ ______ _ _ _ _ _ _ _

lor deT losvalaresdeA y Brespectivamente.

lirá7x _ l _ A+ B

.___ (D)



_ __ _ . __ __ _ _ _ _ _ _ _ .| __ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ _ __

+ X - X_

es impropia, descomponiendo

25x2-lox lox2+ 14x+46_2+25x_lo---..-...

2 = _5 2 +

2)(_+C)B)_ + (5C-2B)x + _A-2C

A+_B= lO_) 5C- 2B= l4

A= IO, _= -2 , C_2

_+46 _o _2x +2

(X) --X'_+



_ __ ________ _ __ _ _ _ __ _ _ ___ _ ___ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ ___ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _

a __ ( x)

_

ución:ectuando

y2 +y4)

+y4)x2y2 x2_y2

2



_ _ _ _ __ _ __ _____ _ __ _ __ _ _

__ I -l 7;. 12

ndrá4)+(x-5) = 2x-9

esta' ' + _2 + ( 2 _j j x + _ 2_

a

dentQ _ + _+ _ +



_ _ _ _ _ __ _

2

. es20

_(ß)

--

__828inomios

nO

)(X+3)(X+FJ. deB(X) '' (X_ l)(X+3)(X+5)

nA: -l+3+r= _2_f= -4C.D.) _ A(x) _ (x_ _)(x+3)(x-q)

UneS SOn

_-6X+8



_ __ __ __ _ _ _ _ __ ___ __ _ _ _ _ _ __

omios6. Si lospolinomios5_+Tnx+ n+ px - qcomo M.C.D.a2_ + 2x + l

M.C.D. delospolinomios+ _y + y4

y M.C.D.dedos+ I )2 _ 4x2, además2 - 4x'.D. es:

M .C.DD) (x+ l )(_- l J



_ _ _ _ ____ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ ___ _

uelafracción

+ b 2 _ p 2 - m

transforma

nteaA+ B+ C

dondeA, B_ Cson constantesreales.

l E) 5

n+_

ax)+a'1x_



___ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Fracciones:

onesen la:

+ l)



__ _ _ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ _

plo delos

2 b2c2 c2 a2_j ' -j ' _j _

_.

n



_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ , _ _

+ac) + (I _ab)(I _bc) + (I +ac)(I _bc)

E __a2b2 _ n-

madedoble

o.

CldOdeh,

_?y2____? _?2-_?y



__ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __

RJ' n cN,n > 2; ac_daunadelas n raícesdiFerenles

2_ -2, 2i. -2i ; i =

r suEJemplo;_esiduo 2

esel ,ora_o2 d Ee_ q(Xd! e _ m 1 'nO' _^P el _'adO

Cl_NcuAD_DADE uNpoL_Nom_o__\__v___ I. El polinomlo radicando _eneralmente_c_ef_enado en __na vafia_l_N___ 9 ' -3 forma_escendente__ si Falta._eaIgún término

panalos' términos_el po_inomio _eosi, su dOS en dOS a _art_r _el ÚlllmUt_rmîIiO_; 3 _ Se eXtfaelaral'2 CUadI'ada_l mn' _ner le/ fln'lnO

_' í_,a_ay elmio.jguientes_ term;nos_e1

ajzvideel rid?S ?ntfe_St?YRIaí2,

__;u si du_____ceday todoe_loquedamu_t__p_N__teel segundo téfm_no _e_araí_ p_ra_

tasdos t_rmi__ossiguientesy seor tantasveceshastaq_e

adeg Fado menor quelafc_í__ oe



__ ___________________________________ ___ ________________________________ ______________________________ ___ __________________________ _________ ______________ ____________________________ ____ ____________________________ __ ____________________ _____________ _______ _________________________________________________________________________________ _ ______________ ____ ___ __ ____________ _______ ____ ___________ ___________ ______

p x __ x4_2,_1 _ __ _+_x 3 +4 4enteResoluc_ón;

K_J- ( -_) (-_)-

_+_+4Y4

__'___'_'_'___'__'''0_g__'_,__'0'O'_'__'_''___''__'^'0___'___'_'__''_''''___'i'__'_.___i_i0___,a_,_0....___,_,_ __''_ '_._.^:_ '_'

n,;nosdele,a__z

2y2.

dadp_ polinon,;

tro deun radical, seer__uentra_trosradic_,r=

no sustracción n t m_B

DOBLE ENtal que(_', y} c _' _ x> yxpfesio___e_

_leYandOal CUmdr_dOB+2 _B_ qx



______________________________________________________________________ ________________ _____ _______ _________ _ __________________________________________________________ ____________________________

mplo 2:_ca_ess__

o

+ _ x x x x

__.__, _.___,._...i__'___,,.______.__'___-__'____',___i'__i__,ii__.__,,'__,.____i.._______, a.__.___D_00_,___'0_,,__0___',__,__,_____0,_______'__,d,__,,_0___o_0,oo, ,',,,i'____'_,,i,,__,''__'_::,,,.;',,,,,,,,,__ _.,'__,.._,.m_,____,_,,__,.__'_,_:'__,._:'_,,_''__,.__,__'__,.::'___,.::''_,::'._'_,; __,,,_i_'_o_'_,,e es'a'rans_ormación es_'_i''.

cto en ?___,_

,__.

a, si b--_?A = x+ y _''',i''__.,'_,..

x>__ _i'_ ' _ _,'.''=_

icalessimples



___ _________ _ _ __ _ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ ______ __ __ __ _ __ _ _ _ __ _ ___ __ _ _ _ _ __ __ ____ _ __ _ _ _____ ___ _ _ __ __ ____ __ __ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _

__________ 00 m_\______________m__________,_ __-__ ._ _________,,0,_,.._

_m,__h,_,,.,,,,,m,_m_,,,,,_M__ _' '

+_ __- _+ _+__ 2 __ 2__xy +, __ _6 .......... (T)

_y__2g _ _.J....... (lfl)

ando en un trinon_;,.__



___ _____ __ ____________________________________ _ _ _______ _____________________________________________ _______________ __________ _________

A_ __B

__o Al r _esolver seobtienelosvatoresdex; y ; _.

-_

ob_eese_uiva_ent

_

_______,'__,____.',__________.___0_,_.,___. '_'"____-_'___ae____,___,'0_0__'___, _,,'___,_;__',,__': _,,_,,__0_'.__,oo__%___,_____ii____' 0_.__,i''_..___._@___.. _,_',i?__.__'_''''_'' ''__'__:_''' __.:_'_'_''_'' ___g=i=;_0._,0,

tetipa____,,'__,,,ooooo8, la'___r,^'_,oacá sujelaa l p_incipio deductivo de8___i_,e-__,'''' ____

_e_'_,__,,_

eprovenlr deun trinomio al Cuadradodela ___o_,_, 0,

ado _ ____,'__o',

_,'__'_0,______'' '__'_____'_'_'__'"'_' "'""'d___'''_-_-'_- '-_-"'-_--'_''_' _'_o'''' _'''''''_"_''_'__'''_"_' '_'_'9__'9__''___'_' '''_'_'_'"_' _'_"___""_"_''-m''_'_-' _D''D''"'"'d' n0'''''''' '__'a'___'''-_"' '''i'-'' ''''--'--' '-_''___'_____"'' "_



_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

miembro amiembro se

ndOA+ B A- B_ x2 -ÇJ'

cilmentepodremosobtenef ''_"e_

e_uidaveamoS al_unoseJemplosde

adicalessimples.

os

_c__J,__ _ ,ox _c._7) __ o

toncesx= - I

deestadex el COmOX'' _I ' Y ^n ( - l )2 + l t Y'' 2



_ _ _ __ ___ ____ __ _ _ _ ___ _ _ ___ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _

lo __ o

x___2 __n ico raciona_ que_esue_ve_a

. 2)a_ 2_ y __ 2,

_ _12 __ _ (2-_- _

ea

in:r

_2b:_, ; a_vjendo este sistemasetien_. que



_ __ _______ _________________________ ________________ ______________________________________________________________________________ __________________ _______ _ __ __ _ __ ____________ ____ ___ _____ _____ _ _

ominaracionalización aaquel proceso _ue permiteional.

n_lidad en losdenominadoresdelas expresiones,salvosediga

racional, al cuaI sele llamar_ Factor racion__li2ante.

) EJemplo lquella1oe_ sde_ RaClOnal2ar el denOmlnadOr de

._

2antees_ _d__ _ _2_5_3

__,,'__,____,'_,__,_,__'_,__'______e..o_'._,oD.,.,_,._,..____._._,a.,.__a_,,_.g.__o__,._...,.i._,i_..,._ao.i...ii_... ,,, _'D__ IndICaf el denOminadOr raCiOnali2adOde_'^'_'__-__,_0S____0_'"i_'_'''_ . _- a__D__..__,,,.. 24

_00'__'0''_'''''''''' _'''''''''''__'i'''''_'_0'__0___00'-''_'_'_'__'_0__0_0_'0_'__'0_'0_'_'__'_'_'___ __'''_'''''_'-'_ _''_"' _ '' '__''''00'-'''_''''''_"-''''''_'"''00'''_'-__00'_'''_'''''-'''__'' '''''''''''_''_' ' ' ' ''' ''0__'-"_'0-''"0ii'''"' . 3

,c_ly. _ _aclor racionatizantees. .



__ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ _ __ _ __

e

2(_ _ 3) = (3 _ _m2) (2 _ _)

, _(3-_2)(2___3)

_..__

,N_, __x_,_q&_,,,,,,.,__.v\. ,_ x_. _ ' ' 'acjon_lj2ado esJ

de

_' _m''''''"'' "' '"M"'"''M'' '"' _'""' '""'_ __._

,_mN_ __,__mJ_m__M______,___ ___ ,_v,4__ _,___J__ m__n '_____ '' '

_m__,.._.....,,,mmmm.,n,yv.v..; ,,'



_ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ | _

,_, , ,,,,,o_'

ali2antedepend

ntes

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N' ' ' ' ' ' ' ' - - - - - - ' ' - ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' _

,' _

en_rácomo factor racionalizantea

g f(__) - _(x) ;,

-_(x) ;_

2a_O_e



____________________ ______ _ _ ________ ___________ __ _ _

minador racionalizado de

r eI F_R_ (índiCeimPar)

plicar IndiCar:ctor racionalizante(F.RJ

ución:

ado deesun cocientenota ble

_ ,,_a%______a,,__, ,___ _ _l s_ 5 _3 i _ ____'__ _ ' __'_^ ___''___,_', o_ '_,- -_ + _5+ _ _ l R_,___.

7 .'. El denominador racionalizado es4



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ ___ ____ _ _ _ ___ __

,,;,, g_,,_,,__,.,,_o,,,,_,,,_.,,,,,_,.,,,,,,,,n,d ,,,,,,0,,,,,_,_,_,,,0d_,,,,,o ,_,,,,,,,,,o,,,,,,,,_,d,,,,,,o,0,0,,,,o8,,,.. E1 polinomio p(x) es o,denad0en D, _,,o___'___ _V'_ formacrecientepues to quetiene___,__,__oo,:_i.. _ '' '_' raizcuadradaexacta. l'_,^_^^^,;

ada

a + b con (a_,b) ,_-z+,

polinomio ,a;, de2do. gfado. es

!_ _ ,t 3 __ !_

+ l

m

x1.5 + .xG+ _3+g__ lor de"mlucióndo un polinomio raízdegrado i -_

4_o Qx_8+ _2,,__+x 6+_+g - (2x_J___+3)_

te, tendremosm = - 6

es:



____ _ _ _ __ _ !_ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ ____ _ _____ __ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ ___ _ _ __ ________ __ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _

'_ =; _ _ _, 8

or

ales. . / ci ón,

_-_6_

_ _,nndaLo

y t ______5 J_ J(7ab - 2c_ )x ' '_ '_?J

i ón:



_ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _

ser _or lo tanlo, lara_zcuadradaesy + _

HallarelvalordeAyBen_ _ B

CtiCa.

+3j(2x+3J2

r Para-- < x < O

__



___ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ ___ ___ _ _ _ __ _

poIinomio

x,ct, ,,,,,, p _ _ + p _cos

n

dradade)(c_+ab+ bc+ac)c} c_

g_pación se tj_ne

endo

si la_ajzcuad_adade



__ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ _

ero en __7 -

_ .set iene

3_ _ M3 i - l

_jj_

_ _7 g x _ _

+ n)' __ _ n - ;-,se para- 1 , I _2 '^'' lu?

_, F,R, 8_I

es ?,

al c_obleequjvale__tee

+ 2)__

_-

nac!_oi' /__'t J___/ ____ - _3= 2 - J3

_ 3 - _. 2_/__ = \ _ _J3



______ ______ ___ ________________ ____ ______ ___

On -- ,_ _ m -- n -t_uego

V_

onll___d_r e_,

_ ____,_

do

J 2) t_--_2)(_- __3)(_'5 - _____)-

_. F., _. _q. _

ali___1-

a_ue

3 7 - ' g ' b



_ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __

'h'''''') en E



__ _

a

n

ble

l+x__



_ _ _ _ _ _ _ _

Q

ncill

ax 'y 2 _x '_,,

delaexpresión

tenga3 _



_

23. laigua ldad

de:

o



_ _____ _ _ _ _ ___ _ _ ___

nominadordelaexpresión( x)

) a'-+b2

e

I) -- 1 ,

cando un ,ad__ca_ s__



_ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ __ __ _ __

pres iones

_



_t_________nrn__ ______________________________yy_________________________________x,______t_______c_y___y_____t______t_______________x_____x_____________n___________________s_______________________r_____________________________?__f___________________y___rr ___________________________________________________________t___________________,___n___________r_______________________r_r_____________________________________________________J____________________________r__________t__________________ ____________r___________c__ _____r____________________________________t_____________________________________/___ ______________________,__________t ________________________________________________________________________________n___x_______________________r______________________m__,_______________________________________m____________________________________________o____________________

.,__'_'___ '__ ______'__..X- !-, _i _; ,i p,,.__ _ __ _',,_:'_ :_u' "'h'_' ' ' -'-m'_ ''--- _-' -_-.__= __ ,,_n'''''''__m _'' '' '' ''' _ _-v_ '_.__._,'_:,' __''_.:;:__,:' ';'__ _1___ A_1 1!!_ E _21 __'_.D_3_1_ ''___,.:__'_.'':_';._,.._:: .n,_:;.;. _2____ A_1 2__ _ ___2_2__x... E __3 2r_g_ ;,'____;.;.'':

_..'_55;._; ..,_,;;;.;i ':_._.',__..: _. _3 __'E __1_3__=D'~_2_ __E _14:=.. ç_2_4 ___ __34 _g'-E _15 '_;c_25_2B_

, _p.._6___! g_.__1_6 __,i A_,,, , ,,,,2,_6__ B...... .3. 6.. ...p ... D,_;.,.__,';'...!,..'...''___,..._;,;....';.:_...;,.'_:;. _7 __A_1 7 !!_AW_c_3 7 ___' _' s_

_g_ 2g__, , ,,_ _,d ,,d ,,, ,,; _, ,,,,,, ,,,,_g __. _E _1g C.c_ _ ?' _,;_ ___._.;___..__._, _::__,;_vv_,_,v;..,____ ___''._1o _ __E _3o. .. i gn_4o_.__c g_'



_-o, elyó In soIJIc-ióJ7 deesJeseJJ__iIIo_J-obl__1J7r_: '',S i se nJ_-ojnnJ_n o L_J__?, IIrí l esIn po_ i _ i I i dn _ ___ o _JeJ1e/' cJ1i_ poJ- JoR

_ín r1-Rscnso._posib Ies'.' c-J1l_, e11cl pln iJ77eJ- t i/-o, cJ''II.n_dec'i_' dosc'nso._ Jn__ol_nl_Iess-ol7l__ rl__sposi_Ies.

esso11 c-J_r)tJ_o.'

_7JeeJ1 eIpJiJJlei' InJ7_' ,n1JIie9Jlo In 1JJiInddeJoseel JO_/c, esJpciJ- Jn J/ 1 pnl1e_el totn I seJ_ trllll _ i éJ7 _-J_l,_._J/J

c'ns,pJ-o_oJ7_ eJs iglJiclJtelJegoc- io r_ 1rJ7 nlJl igo slr.1'o

J7o co1Jlo p7_J7ro deprll_ idn. 5'o rednl_ c-adn_ ínJes. _ cnJ_rbio, rlj JJJedn1_s elpJ-iJIJeJ'dín JsoI, el seglIJl do

_'naJre11te. r_c'eptnseI tt_nto?igo e_ J csrl( dinJ' rn17_n._ 1Jlnt__J1l át icnsJeIln _ ía1/JeJ7te, J' rJJlp i__?n n IlnceJ- pJ_o_?'ectos- pnJ_n e1JI_ lenJ' el, JJ_nJ7 /rncp cIcJJlos pnJ_n sn _el- cll Jlto leJ___97tal- 1J sllsil2teJ- ésc'o9llp7lesfo. 'sJJJo ?

_._plrestn.'OOO= J OOOO OOOso /es, .... .. ,- es_ecir, In slr1J7n delllln Jtl-ogJ-csi _Jl

cSJr,-- l. -=2''U- l = J OjJ/1J8_ so/cs

J17ilIo1les_eso IeGI _

'(J-. Il__rJ._ l /_Jq_r_lil.



___ ___ _______________ ____ ____________ ____ ______________________________________________ ________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________ _ ____ __________ ___________y_________|________y_______s________(_o___t_______________________________|___________________A___B____________\_m_s0_____9_____0__________0x_________m_______________m______tn__n__Bc______v_______tv0____t0___om__0_t___t_______________tt______n_/__r__m___t______________c__B______t_____ta_____t_______________________t______0______ __op_cAn___0__t_0_yD0n__0_D_2____0__Do_n___m__/0r_t______0_p____00___0____o____0o0_n0_0_0 __ ______ _ t___ n_t__ \__v_ _m___6t_____8_4tt__ot_t_t

_:.._.__..;__:_.!_,_''',n;_,:..''_ ',i.',...'',. . , ,; ,.,,,,n,,,,_,, ,, ,,,_ _,_ __,,'__

_______=--'-----------------_-----:-----:------:_--__=-_=--___'----:----:---:----------:--=--=;_-------._'_ ._. '__.:;;:.._'''___;.,__;_:_"_'''_____^''"'^'^'_''_^"'^"''''''' ''' ,__''.'''''',_';':''.;'''''','.''''_'''_'_,:,'''' _ _

_ '''n'\ ,, t'_' '_'''' ,i;e' cc'_ones- ques_',giib-leFonn_ conl0s.elem_enlosde_

0sde'' _' uicï ' a;ßn de'_' ue_n-Io postejor ap_quen lare5oluciónde__\ ,,i_,,':,c,,,,omb1n_to_o,yp, _,,,,,b,__ bi_esque_,sw_genenel_anscwsod_elav_ida__,.

nac?_n, _ermutai_n oc0m_in8ci_n' q' _e.est_n relacio' na' dos___' _ ,_ ; '' -_' __ _,_,

nación (permutaciones, ordenaciones, combinaciones).inguir ladiferenciay laaf_nidad entrecadaunadeellas.gaal "tiercés'' (apuesta........ lostresprimeroscaballosdeuna

inicialesA, B,C.y cuántasson?ar aestostreselementosA,B, C; veamoslas posiblesv .... .... ..._._

ellegar.premio! Alapartidatenemos20 caballosque designaremosNuestro jugador deshace, dando muestrasdeprudencia,ercés'' tienequejugar en Eotat paraestar seguro deganarrente(2,l,3). EI problemaconsisteen detenninar deetosdelresen _res, considerando quedosordenamientosrden diFerenteson diStintaS. AJ= 20 xl9 x l8

céses demasiado oneroso parasu bolsillo puederenunciaron Formarsecon unaganancia(en el desorden).Por5} esidéntico a(4, 5, 3) ; (5, 4, 3); (4,3,5). etc., enluga_-uno.ntonces6 vecesmenoselevado queen el delas



c___pt___u_0_____________r__p__p__0a_0o_p___e______x____________p____________r___0__t__e_t__p_t___s__0t___p_0__o_0____n__________o_____0__f_00____o0_0__f_0_p_______p_______o__________0_________________p____0_____________0__p__p_0______00_om4__________0________LL_0__p_______0______0____0____*_________________________o0_f__0__0A______o_____p___0e__0_________r______a__r0_______t20_e_0_____00n_________r__e_____m0_____o____s__0__0t___p_000_______ ) ______ __2_7 t_27_

.. ''' como aquel producto queresultademultiplicar todos

ael número n.

lorial.

_l__' :^D_D__;. _,;_,, _ _ _'' :: : ' ' ' ; xn _ ' ; ' ' ' '. ; ; _: ;,_ ' '; ' ' ' '.,,' ' _n___ _ _ ' ___0,,,,,.. _: '.. ' ' ' _' _ _. '... '''' ' ' ' ' ' ' ', ', n.,.2, ' ' : '__ _ _ _ _ _

:.. _

U_'C' . ''?' _ ''' '_ . ,.: ',.:'. .; ... __. ''_ 'T ' :_._

_ ; n _ _m_'' .....'_ Resolución:

,,, ,,,,,_R_,___m 0 ' '

_0_ i 0 _ ' ' _ ' ' _ '- ' _ _ _ ' i _ '_YO,' ',_ _ ' __ _ _%__ _v, (n !)! _ n! ! ' _ _,_,D. _n ,



__ __ __ _ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

an Se, , , ,alCl6_gn Si un evento designado como AsepuederealizarBpuede

mentOS, ;, rea___2a, de__b_, manerasd__yaSea_Or la' simultáneamente) en total puedenrealizarseden de"a+ b"maneresdit'erentes.seg u i m i en t o,_,0_,0,_v,,.?s_,._,_._,,,_,,_,_v,,_o,_,, ,,,,,.,v,,,,_,,,,,0_,,,0_,_0o,,_,0_,0o,,,,,0,_,,,_?o,,0

b' ca. II, Pm_pio demul_pli_ciónE.

vaala_niversidad lleva

: n> k > O(acorde_ pero el cuentaen el ciclo con treslibrosden) y en el caso ;_' análisismatemático (A,B, C) y 2 libros den _?_i_, álgebralineal (D,E)De cuántasmanerasdistinta.spodráIlevar

nto al ____ suslibros?'c. Re_olución:

NTEOMale_tico L_ae_D Puedellevar de6

B0 m an ef aS

ocurrede''ddaunade ellasotron O_ evento des__ nado como Bocurre,Eb_,reas. '__ d;re,entesentoncese_ evento Asegu__do de_o__.car su^_,_'',,'', evento Bo amhosAy Bocurrensimultáneamente

_e__,_T_e_qTT__T__0_c___,___o__ ncc,c____?_______,______,o_,___c?0_____0__,_0__,0__,_a_0____ _?_?

.._ _ _ __. _ 4 l_neasaereas_

. E_ nu/mero de ordena,n__onesde',n_'^^^_^^^^^^^_^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^_^^ ^^'^^^^^ __''_' - ' - ' '~ -_''_'^__^'^'C__'_yo (diStintOSJdiSpUeSlOS de''k'' en "k'' eS i_Ual al

laS. -__!



umamosqueprimero seeligieraal delegado.uesto quecadaalumno deI g_potieneIaosdeposibilidad deser elegido como delegado,esdentequeexistan 20 manerasdeser elegido.Luegocadaunadelasl 9 personasq_equedanodetendfán lafacultad deser tomadas comoo deleg_do suplente. Demodo que cadauno del'' los20 modosdeelegir al delegado tendráquesderelacionarsecon cadaunadelas l 9 posibilidadesn de oblener al subdelegado. _ decir existjrán

do 20. l9 = 380 manerasdeelegir al detegado ysubdelegadodeestesal6n.ir unmplo 4

ecuántasmanerasdiferentespodrán sentarser al cuatro personasal entrar en un vagón deestasre_ocaml queposeeseisasientos?deResolu_ón:

osLaprimerapersonapodráescoger su asientodealosseismaneras, lasegundadecinco,latercefade

) cuatroylacua_ade_es,ademáscomocadaunasdeeslasmanefaspuedeasociarsecon cadaunao dek delas otras, pues, resultaquepodrán sentarsede5. 4.3= 360manerasd'jstjntas.

mo, ObseNación: Si multipljcamosy di_djmosporos, !__o.

mo - An- n(_ - 1!(n - 2!__-[n - _ - l!JN- IJJ_ _I)

uidodaos

aordenación enlacual los''n'' elementossedispon_o_- _

entespermutassólo varían en Función al orden c__

btener con loselementos: 8, b, cserían seisasab___



___________ _____ _ _ _ ___ _ | _ _ _ _ _

a_6n;

iferentesentresí yoselementosfe5tantes,entoncesdos(_. CadaUnadefaS Pn pefmUtaCiOneS 0btenidaSero depodemos tener _ per_nutacionesdiferentes

mentosL d_UtaClOneSmosP,,. !_ pe_ut_ciones_

amente

aC_Ones,Conteniendo cadauna yUaleS entfeSí_ etC_asen Al Se_ir eStRProCeSOnnalmenteßodremos_ _!_ _ _..N...... = __cualesestaríanformadascon ''n''' objetos distintos.

ras. EJem_lO8Determinaf el número dePefmuEacionesenlesqueserían posibleformarsecon lasrasdela palabraacacias.

ftO_eS 3 SOnequecca,, 2 son __c,, y el festo d__onamiento anter_erdeP7 = _2 = ___'_ '_1 ' = 420elas' - ' 'esel Ahoraconsideremose_ número dearreglosde nelementosdi Ferentesalrededor deun círculo.e_lossedenOminauna

tosdistintosnearectaydesignemosaunodeepuedesser al inicio o (inal realjcemoslosdiversos

n a_eglospermisiblesperosoloaniveldelos__n- l,'ose_ementosrestantes. sideUn ug esto no se darjaen unae_utacjón cj,culardeun d o n d e_ ao s_. c. _o, n d e_ e_ em e nt o A_ eb e-'

S reS lar_tesintas



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

n obtenerse

_ número impar y a lasmujeresen loslugareso par.es

entemosprimero a lasmujeresalrede_or de_ forma_ (según el teorema3).

, Ue_Oqlleaflan 3 lU_areS attemadOS PaF_

nto, elesse_u, mero total defo,m_sd,.fe,entesse,a/ ._os2 _ !_ -- l2

delosdi(erentesgruposq_e puedan formarsetomando anto, sin considerar el orden des__selemer_tos.

bOlO_laC(n.k) i i

diferentesmentosnt_, deor C_) _t o _ as _ _ sc o mb_.nac_.nquees_os!' (_r)! ._ d _. e, n d o se_. __ a ln f _ _ n u,?iónde._' ' '

másn_oa- lo order_acio__e,_ de__n_. efementosdi,tin€usanl seren.

_ ,.__, ,,_\n _j(,_2j ...,. _n _(_ _ j_J



_ __ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _

cias, Un eStUdIanEedISPOnedeUnabIbllOteC_ COnl2unalibros, idecu_nt_smaneraspodráreali2ar una

_Deluido

Nb) cuando u, determ__na_o 11Nbfo se_ s__

_,, con C8SO8_remus_ueun libro es_ciflco estésiempree_+ ello el

lOn.' ' -

_ _In determinado libro no_____i__i__i__.__i_;._'0. __._.___, _0___ _,o_0_0_,___'O,_0___''__._0_ - ____D0,' ' ' / t. ' ' '__'''_'_'__''0_'' _roblema___scit ar un sen(imienEo de__,D'_0,_ ,-antjdad ___,,,0''_,,,, d_ SeleCCiOnaf 5 llbrOS_ de1_S l 1 reS tanteS_____,,._'_.,_ Es decir, el n'_mero dem_ner_sserá

dade__'_'_0D'_,,_o con i___0,,,'__n este'P'__.'_'0,?,'__. c_l_ _ _ 1 l . IO.9_8_7_'e_,_ S i_6l5_.l.2._.4.5gelc_ ___'_Lie__'__,__o.'__,

Ropig_ADEsGENE__esDE cn'. d,,a.,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,., ,,,,,,,.,,,, ,,,,,,,.,,,,, ,.,,.,,,,,,. ,,..,.,..... .,_.,..Rd0,..., ....0_.0.,...,., .,,...,..,.. ..,..,.,.... ..,..,,,..0,.. ..........0. .....,...,., -...0._..,, _ , _ ', ' ' k

2

tosn _obtene,ft__ n ' _ _ 1

C,omblnat_floS COmßlement arloS

_'^i_M"'_-^'''_mM' '__'__nn'''''_' ''"'' '''_''d''0"'i--'''- '''"_'_-'_'__'"""_'_''

4__*m_,,,,, _,, ,,,. ..n._._wf.v, .,,..,..,m...... ,..__.,,.,,_,,.. _,,,-_,__D

_'__O'ia_' 0i f_ n .__'k = p _ p= n - k _D,,,,,_



_______ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

ecto, cuando: n = l /\ k = O,

'l -'-

_"'_ __' ' ' '_'''''_ '_ O' Cuando: n =2 "(k=O'__ k= l ) tendremos

O, l, 2)

_rmade

s

tenom1'

O 10 5 1



_ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __

de

-''

oS

+ I)

OrCl

or _o tan_o 7/ _ '"35



,

aDel prOblemaanleriOr, pUedeUd. indiCaCráel inVesti_ador si

t, d

eSi como mínimo 2 caracteresson diferentes;cal entOnCeS ßOdemOS t0_farlOde2 rOfmaS _

c__p__o l. _os c8racteresd1ferentesmas

ccionadonadeentre35opcionestal como lo h_bíamo_gresa, visto en el problemaantejor. Ahoraunaave_ escogido e_l p_mer carácter, yano

eecafactefesden s f d__fefentes._ntOS intentOS pafael segundo car_cter sólo tendiemos34ar opciones, cun esto __ase satisfacel_

gundo carácterpuedetambién ser escogido

Oyar deposición tambjén tenemos3_ opciones, pord''. serseleccionesindependientesaplicaremos

25 T T t5 x 34 x 33carácterhOfa_afalap_mefaCaSilfatenemOS 35sseOpCiOneS,unavezesCO_ldOel CafáCtef,nasuedan 34 opcionesy unave2 escogido este

CCefapOSiCi6n.



_ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _

ón:steproblemapodemosresolverlo apoyándonossen el gráFico

cionaF losdígitosen cadaunadelas 4 casillasúltimas, así, enlata.casill a,elmenordígitoas eleccionardebese r6n es 6por condición (número mayor a6 OOO) pero noodemosseleccionar a7 ni a9. Así nosquedanlade2 opciones: 6 y 8. Parala5ta. casilla,6tay 7maualquier cifradi IerenteopCiOnes.

s_ así Or On 0_ eXl _CaraCteStiCaS.

gistrar

On

er_jacomponede3letrasseguidasde2 dígitos, yelllaalFabeto tiene25 letras.

ResoIución:illa, Nospodemosapoy,, en e_ g,a_f,

de

eas

trasay para

ántosd_/gito, tenemoslOopciones. En total 25'-. IO7 y Fo_as.ifraspor lo tanto, se pueden ,eg;stra, 6 25o placa,con_stlN



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

e losEn unareunión Familiar seencuentranel padresde Familia, su esposay sus3 hijos. Si esta,n

mar Unaalrededor deunamesa circulaF enlreteniéndoseO._Decon un juego de salón. iDecuántasFo_asse

SidenteS , pueden ubicar aIrededor delamesasi los 3 niñosben estar siemprejuntos7.Re,o_u__o,n.

t_jarles'',alesEstamosfrentea un caso depe_utación circWarosya auedeseamossaber cuántasFormas

masdiferentesdeubicaci6n pueden tener losPero si los3 chicoss

bíanenaa

pe_utar susp;t,_ posicionesde3! fo_as. Luego en totalostendremos2t . 3! Formasposiblesde

ordenamiento.pital?Por lo tanto_ laFarniliapuededisponerseen la

s2 sonasde__oDl_mg 1ß

uántasordenacjonesdj(erentessepueden

nOi acamisetasdeUniversitano deDeportesy2misetasdeAlian2aLima, dispuestasenForma

Rego_uci6n.



_ __ _ _ _ _ _ _

defactoresesdependiente, por el pnncipio demultiplicacióno lendremos:

snl) _~_eCeSsRrOeSte"ÛmeFo defaCtOcesincluyeel factoral, _iVial l

eses

steResolver alaecuación expresadacomogea_ _( n 3 )_ n 4_ ' l20

arln

nOde_ -_ l20

e'

eUnal

esde4 ' 5

_car

1



_ _ _ _ _

Dlgmg 12ace_aduradela_óvedadeun banco constade_mOS 3 disCos, cadaunade ellas con 30 _siciones.es_ Unave2cerradal abóveda,paraab_rladenue vo,stassecadauno delos3 discosdebeestar en la___sposi ción co_ecta. Si un a_go delo ajenodese ao, ello abnr labóveda, icuánlosintentosinf_ctuosostendráquerealizar?

d Nlsco e,teen _aos._cl.o,

2do.asy 3er. d_sco tamb_en hab,ían 3o opc;ones., en

2aLimatotal habrían querealizar 30Jcombjnacionesascomo máximo paraabrir lab6ve_a, pero comoos_iden, cuántosintentosinf_ctuososcomomáximo tendráquereali2ar nues_o personaje,

mero deen remOS

miSetaS deM jguel deseafes tejar susl 8 anosy deseainvitaf 9 compajeros.

o más

r en una._: O__o_ l_nv__to o no _o l_n_,to t-lenej o c.ltepa,ael segundo com__ne,o._esivamenteconcad_ uno desus9 com_eros.

onesdelnaen re eren eS'itea_aClOneSión yaeS' ueur lo menosdebeinv;tar_ 1.lrar 5! por _o tanto ml_gue_ tend,a/ 29 __ Formasd_le_idaS en el deinvitar asu f,esta.

mas4!ales

nsresEantesdiferentes.e+ l)2' - l



__ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

__0__'___"'_O_'0_ _L_^___' _'___0'_:___'^___a__y^_,_.cu_ndo n _ _. ! _ u _'-___

._..,,,..........,..,.,,0,0,..0.,po.,,,o,_,,,,..,.,.,...,,.o._.,...,...,..,0...,,,.,,,,,0,,,,,,,.,,,,,.,...,...._ ,,,..0.,p,,,,0,,0,,,,,,,,0d.,...0.,,,,,..,.,0,0,,,o,,.,,,,0,0_,0 ,,0 ,,,0,0,_0_,,,. ,. ,...,.,,,00,... ,,,, .,0. _,. .,, q, ,..0.,0,,0 , ,, , o.. ,, ,,0 ,0 ,, _,0 ,0,0 _ ,0 _0 o , ,, , ,._,. ,0. .. 0. ... ,.. .. ,. , ., ,., ,. .. , , , .0. , ,. ,. v ,. __?__ ,'__0g

entOSetlene



_ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ______ __ _ __ _ _ ____

elam g _ _ _

= 29 _ m = 2_

adiciór,, Dedondem + n + _+ n + es66 _ 5_,



_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ . _ _ _ _ _ _ _

I6 C) 3332E) 25

_. Un agentevendedor deproductosacéuticosdeprimeracalidad visitaafjamenteJfarmaciasen el Centro den Lima. parano tratar dedar prefefenciasaec;dj

o7

n con ,eso deEstudl.

asaladeexposiciones, dondeparticipal_7. I Oestudiantes, loscualesdeben ag_parsedeeden agrupar

rsA) lOB) 8 C) 36I6 E) 4 200

En unareunión entre5 comp_nerosdeel colegio quesereencuentradespuésdel O

ÓlOañosdehaber egresado; ello.svanmp-añadosdesusrespectivasesposas.cuántasmaneraspueden d;sponersedlnaS SOn en unamesacircular sj siem re_eben es(ares en (orm_ alte,r_eda7

o

scom an_e,as_e _, unl.ve,s.l

n un evenEo Eecnológin_o.erm inar, _cu ántossalu dossembian como mínimo, 5i 2deell_sestán reunidas?

OA) 6 B) 3o c) 1;



__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ __ ___ __ ___ __

unareunión lOamigosdeseanesordenarseparatomarseuna(oto. Si entreelloshayunapareJadeenamoradosque no

separarse. iDecuántasmaneras

) 2. 9!! E) 3. 9!

snmentep objetoseraspuedelld.

senPB) (m+ l )(n+ I )P ' ln C) (m + l )(n + I )2P -- l

úmerosprimos,

Stalaf en n ,)+ 1 , t

allarlasumade

s, l7. Avejguar el valor de"n'' _uejusti Flque alagualdad

nar SU!_ = n_ + 6n3 + l I n'- + 6n,u e_ al v a_ o r au m en t ad oe n su t, _.



_



_t____________y__n_y__y__yy________f______________n________sy__y____yy________4f__nsm________n______x___________________r_t r_s _____y__________________x_t_____________________ _________y______rnr_______________________ys____________________________y____rn_________________________r_________________x_n________________________n______________________nx___________J_)__t ___ ________________n__________y_______________________________________________________________________x__rx__________________________rr__________________________________\________c____?_______________________________________________?___________________________________________7____r______x_______n______________r_____________________________s_____x______________rr__r__nm_____n_____________________________________y______r___________________________________xn____________n__________________________________________________________x______________________________________________________x________?7__?___________________r_________x_____________________________________________________________r_____________________________________?nr__n____________n____________________rc__h________________________t____,_?_________________________n_______________rr__r__________________________________________________n____________________________________________x_________n___________________x__________________J__________________l_____y____________________xr_____________________________________________r_______y____y____________________________c_____s___________x_______________r_r_______c_________________rr___________?___________________________t____r______4?_______________________x__________,_,,_________________________________vr__v___________v_______y_æ_x_______________y____________________________________A_______________________0___________________tn____________7_________E______t_?_r__r_________7______________________r__________________________________m__________________________M________p__t0_________p________________________________y______t_3_____4__________ç___________________________,____t____J___7_________________________________________________________________________________0_________0__o0__po________________________________________________________n________\___________________0_E_______________________________________________n__________________________________________________________r_________t__________________r___________________________________________________________________________________________________________________________________s_____________?______________tt_t1

__ _, ''-_/i_____i,,;ji---_. ;:i;._.v;' ';;__._ ,_,_ __wm,mx ,n_;., _, ' ;i__ :._._--,,___ ______,. ''_; !;.._ ..i_

1 1 ._.. c_1 6 E '-_---_--' ' ':: :;,_ :;; ''', :?' '''_ ''' : !,,_ 'i :,, ' _ _,,.' ___4;v_..,_;_.' __..;,..2 ___. 7r,_c' _2 ,___D17

8 E,13 18_____w__ 0_ __ __ _ - _ __ _____ __ __ __ _._.

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__ ____ ___ _________ ____ _ ___ _________________

cl__icrt_ _' r/__'_/7__l)n__ poJ- I,rrrJJri)ryJ( _,JJ_ _1_J.

_'uJls/J__1_osn _nJtJJ- d__l _,.Tpr_rio ì'_c'_oJ-inJ r I__ r/u_-ieJldo n _' __JJ1(í1JleI-DsJ-_n Ics. CoJJsi__J-eJ/7osnI7oJ'rl __/!

JIJe__ J__n Ics__7osì'ec'/or_7s (_, _, c,r(J.

' _X__ = (r2, , __,,r'_7, rJ_,J, _r_'1-_17 1__J_n7c__ si,'

i17Je/11nJse _9sc'J-i_e.' _XJ+ _X_ = (r_/+n '._/ +_,.r'J+c_ ,,

IJIX7 _ (1JInJ, 1J7_,, l/1c',, J,I_, J i

illteJJln (_1-__l_c-tuJ, __liJirJJlysrIJJn l7ns_9 cu1r _'JIrrIJ-o-_nc'io. ._iLJ77rfrJé cJ_'IeJ11caIru JJcJl1J-u,_r_J_n cl_J-_rJJIc-ru. .\-o7JfJ_rus_J-_JJ/(o//__J((o J(7r}.cc-J/_J rJ,.J,?J_(_9sr Ic,s(o.c z,t,(,rr) ),e,s-. _,r, (nlj Jr_lirlrl r uIJIrJ._i__JI_J.' l

_lIeet1i C__II7e 1l1o Il_Iltl-CJDllIi_ __'fll ___I7-ll_'l(Jll.'

' rJep_9Ja_crJ_/ uJ'_leJJ,JJ cl rJJri ser_/7rrlJJ_'Jsf_nc-tu!-__-. __1._j

2Itt__l'Sl n_ r___tl'L't.T_l, _i)t rl_'_ 7 lI.'DtiltlCI-

_'_nr'lrI _'e_ 'rrJI -irli r-olsirIcJilclr_ s_' r_._c'J'I__' n(_-_'bJ___c-rIJJ_eJJ_e'

_c__Jc'71r_re9/_/7lo.

__.i_,,JJJ). l.. lJ_tJJ _J_1)_._. !



__ ______ _____ ________ __ __________ ____________________ ________________________ ______ ____________|__ __ _______ ____________ ___ ___ ___ _ ___ __ _____________ ______|__ ____ _____ _ __ ___ _____ _ ______________ ____________________________ ____ _________________________ _ ______ _________________________ _________ _ _____________ ___________ ________________________________________________________ _______ __ ____________ ________

............. ' _ _

_0__c.annnte(x'+a)"_ .. ,., __ ' ' ''__''''' _''_e_xpresi_n de- (x+a.i,_...'__..'_''confando dederechaaiz_uier_dao ''_,__'_'/ ' ; __

einec?ac_onesiiTacionalesarac_e_osin_e_alosen05'' _ _,. '' :: ' ' '''' '' , ,,, ' .: , ,' ' 'i

ordaremosen estecapítulo desempeñaun papeliguientesde álgebray, en especial, en el análisisciclosen todaslascarrerasdeingeniejay cie_ncias.ciones, por ejemplo, en ladesigualdad deBemoulli

l .... esmuy importanteen el an_Iisismatemático.eoríade ecuaci0nes, desigualdades, funcionesy

es v seriesqueson temascentratesen el análisismatemáticoo deuna serie:

chasaplicacionesen losdiferentescapítulos.

Al _:. _____ ,__ ' '' _)^ paran _ N, mediantelossiguientes ejemplos:

ollo de(x+a)^ ; n?_



__ _ _ _ _ _ _ __ __ ____

_Xa+ 2Xa+ 3X a

e4S_-2 X' a -

+a)^ esun polinomioeneOy COm_letOde(n+ I) téfminOSariables"x'' ; "a'' de

a,io,_ en _a_

Losexponentesde"x'' disminuyen deuno

C__-ta+ C2_'2a2

O_ I i2 ;... :n



_ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ , __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _

e\_t_

efeChàat_'_' i2 uierdasó_o secembia et ?,se s_ así en _

t_ , _ _ c_an k x k _

_n _ _C____aXdN_' ''a_c3__ :,..:'m__c,n_.,

_,s _,_ _'x'_;,_' , ' ' ,,, ' .?_!'M ,_\ ' ___,v v ,,_, .

_cn



___ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

byP)n se_iene;

3 + ... b. Lasumade gradosabsolurosdetodos

n_- ' + ... Demo8!_8ción_

ueelcoerlciente

o es

o

(n) +ODl + l a(n- l) + DJ + l a(n- 2) +2PJl

2

sdempar, eS i_Ual alaSUmadR

C,a_. x_ _ . a_



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _

evvton

nterOt l amemOS le

. detu_af par

uelostérminosdelugares

os dem_imo valor en el

elugar

edeSarfOO_

_té_inosdelugaresr y r+ l_r'I

3



_ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ ____ _ _ _ __ _

g 2 3

forma

al coeF_ciente

eno ante_'i(_rco _e' rmino cu_quiera''+l

_ X5 + _' X9at _' X 'a

On lOS de'

+ _ 3 + _ 4 + l

3a2+I x_a3+5xa_+aJ



_ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _

deNevvt

jempIo:

''' ' ' ' '

ollo Resoluci6n;uieraEl desarrollo esel producto de__n"fa ctores

+d+.....+ cado una

_ol_o de _eE,adecadauno dee,t os__,_,

r..... apa,eceráen el

2 producto rlnal, esigual al número demanerasdeel o,dena, n _et,ascuando ade e_losson a., p dllossonb.ydee__ossoncas__sucesN_et ra_sdec_.r e i coer ,c_.ent e d eaa bpcn,d6 es .

os ''x''de_ _ _! _..,.._'' de

delosdOndea+D+_+6+ NN_'_= n

uego, untérmino cualquieraes:elosci r es_ aab _ cy d 6

lo de: (a+bx+_+_'+.....)"es_

al '''_''_' , ' '''''' '

ldOeS: a_,'._ aab CYd..... x _Y

_ ' ' "

e-_ en el desarrollo de



__ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

mos

' S 24 3_ + _ 22 3_ + !_ 2o 3 3

E_ desa_o__o de(a+ b + c + + p )n _._

_, _0S ai..

e

,,, _ ,,.,..o.,......... ,,,._o_' _ i_ Qx3 x _ _

ode

_, -- 20 términos.



__ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Newton

_no aat_ral! ,.jemplo llaexpansión de(I _x) "

3

_rmulaser_v_lidasi xc_ <_1,l>

asi xe- <_ l,l>

...

l- '-4"'__ '-16"'-g '-_' "''nO_ _5 _35 g45

______0_0___,___________'4__ ,__ _vm_\___. , ___,,,,32 4 16 64

_nn__m,_m.._.. .,..D,.,,..., ,.,...,,,,,. ............ .......,_ _ 32128 X' 512X2o48



__ _ __ _ _ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _

Nevvton

nte773 275 277

es-7, _ OtOOO059 ' '. ' '

_

o; eno centra l.

NDEualq Llier n

n los

mentando

vamenteen

On e. .eeleeestepunto sevuelvenecemenorsetermino m_ximo.

,______,8'_____,______,__'00,_'____,__,__', ._-___,._ n '_',,_a''"_ _' ' __ _;;_="''''' ':' _=__'_,_________._.._.,_,( a+x)n=T ar_-kxk.,n___,, _,__,_ ___,0,_,

,,,,,,,,,,,o, ,,,,,,,o,,,,_,, o,,.,,..,.,., ..,.....,,., ,,.,.,,,,,o,,. ,,.,,o,,,,,,, 00,,,,,0,.,0,p0,.o,, ..,.,,.,..., .,,.,,.,,... .,,.,...,,.. .....,,,,,.0,. ,0,0,,,,.,.,,. .,.,,.,,,,,, 0,,,,,,,o,,,.o.. ........,o,., ,o,....,,,,,.. ,,,,,.,,,,,, ,0,,0,0,0,,0,,0,,, ,,,0,,,,,0,,,., ,,,0,,0,,0,0,... ,0..,...,....0. ......,..... ,.,.,.,0_.,... ,,,...0,0,.,,0,, ,0,00_..0,0,.,,,,. ,o.,.,.,,,,,,, ....,__..._,ii ,



_ _ __ _ _ _ _ __ .__ _ _ _ __

dex debeser deno del grado nulo.

_________-_-_____-_-_-----N_-_---__. LUe_O, el lefmlnOlnde_endlente Serael téfmlnO

_7_ tG+_ _ C_9 .'. t_,,,_,_ _ 84

Halleelos.

s

+2 esdec_., t , _son te,m_.'''-'de_ 4n_3(n_ _ )__o _ n__ _

:

lr,ac__teen



___ _____ _____ __ ____ __ _ __ _ _ ___ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _

té1mino independientede"x'',

en t e, o Luego, no existete_ino independiente

_

t c2nx2 2n_k 2n _n 2___

u vaIor, Luego su coef_c._enteesc2n

4a_cu__f e_ coer_cl.

C_Ón:

fUefaUn

_ _ _ _ _ ' _ ' ' _ _' - ' - _ ' '.,

, a

d8to lo -2K-2p+p=7 _ 2K+p _ 3 / h ,_ p

s; K-_ _ _, p___ en(a)

Ual lI K_ O/__. i - 3 N

-- o ' 3 ' ' --



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ __ ___________ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ ___ ___ __________________ _ __

-- 2' '

ncnn_ . E _ 2n- I

llo de3c_ _cx (2x _Jcx 2( t) g23

slos___i,,__,_,_',,,__,___' _'_,i'_i'_,'__' _0''0__d'd_'__,__w______d;.a__. ..__.__,__,_,____'_,,____i_,. ,___'_,_i__,_a__,.i,__' a.a__..._...ii i____,x x,- .._,_i_'_.

__,_,,.:,,,,,,, ,,,,,,__,,,,... ' k - k ' k __,''_,,_'',,.__i____i0i__,_,_ ,______0_,__,__,_,_,_i0,_i____•____0___0_0__,_,_, ______i,0i___0_,____,_,_,_i_00,__,_, ,,___,_i__,0___0_,__,____,oi___i_i _,__,_,_,0_,0,0,0,_0__,_,_,_,_, _____,_o_,_,,,_____,__i_,__,__,_,_, D__a_____,__,,__,_____,0,_, _,,_, _____'_

2C; + C_,') + (4 CÇ- - + C;') + .,... + (2xC; + C_,} + 1

_ +2C_ +3C3+



_ _ _ . . __ __ _______ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ ___

e___ton

rrollo de

4 _ a=6

8 o __

5g 52o

_ coenc__entedex_7

lo desu te_,m._no gen'e,a_ es



_ _ ___ _ ___ _ __ _ _ _ _ ___ _ ___ _ __ _ ___ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ____ _ __ _ __ ____ ___ _ _ _ _ ___ _ ___ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _____ ___ _ __ _ ____ _, ___ _ _ _____ _ ___ __ ____ __ _ _ __ _,___ ___ ___ _ ___ __ _____ __ __ _ ___ _ _ __ ___ _ _ __ __ _ __

n_l ,

alesa

m _n OS C On S eCUt _ VO S _ _1 _ h + _ i t h+ 2

_

7---3n .....



_ _ __ ___ _ __ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ __ __ __ _ __ ___

evvton

mino del Sealar el coeFlcientede__ en el desarrollo dees. P(x) -- (I+x-_)6

eral

_ ( _ _ )y_x p_3y

o deHallar el té_ino independientedexen el

ollodex+_+ _

_ 2a+y =4

y__



_ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ _____ ________ ___ ____ _______ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

sión Hallar el tercer te_ino delaexpansión de

Se

x3 I03 x2"4 2 4 3203x2

te,ce,te/_._noes297x2

_9'_'''_'''____'_:;__-_,C__:;._-___;._;,_____,0,__,0_0,o00,_,'_0;_o_^_ (I _a) =l+3a+6a+ IOa3+l5a_+ ... '

''''''''''''^'''''_'''''''''''''''' ''''i'''i'-i'''''''''''i''i''' ''''i'''i''^'''i''''''''''''''''i''''''''''''''- _ _^ ''_'''-9''''''' _'''i''''^'''i'^'''_''''''_'''''''''_'''''''''i'''''^'__''^''^__''_-''''' _

lo(2x_3_J)3

4 es- 66



__ _ __ __ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _

Nevvton

+r=2

_ _n l ; ,-_ _

y' es:

I_ónde+ _3 .

S tf+l y tr eSta/n en

:k ino

o

n = I Ok ____NNN__

n= IO/1 k= 3dato

ef(x;y) cn _r cn _ r

eN, n= lO

x_)



_ _ __ _ , ____ _ ___ _ ___ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _

6. Hallar el lugar queocupael términondependientedex en el desarrollo de

flc,_entedel te/ fm_Nno quellevax6

8. Hallar el término independientede"x'' enelladese,o__o dex __

') ( 1 ! 2 ! 3!. .. .. n! )2 = (4o 32o)9

b / r cuadradadelasumadecoeF1cienteses2 I6_a parteliteral (variable) del 5to. término es4to. término si



_ _ ___ _ _ _____ _ _ __ _ _ _ ____ _ _____ ___ _ _ _

Newton

+ ..... .,, _ N

b A2n sen 2n_B_ ,+, 2n sen 2n_da

,__af e_ l 6. Hallar el término independientedexen el

independientede x en el

n

_



_ __ _ _ __ _! _ ___ _ ___ __ _ _ ____ _

elaexpansión

+ l )^i 25. Hallar el valor delasumatoria

2+_+__ +__ ' +.....

ABI

lo ao+a_x+a_+_,_,_+a,_+_,_+a2,_nallarelValOrdea_+a4+a-,+.....

llo de



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __

evvton

eHallar el grado del término delugar (n - l ),remo inicial.

ro E) 30

stérminosdelu_ares: n ; (n+ IJY (n+2)"X)m Sehallan en

ión geométrica; se_ún esto halle el

odos

cular el valor de

te

D) 7 E) l4

de.. 39_ CalCUlar el ValOr aßrOXimadOde

7A) 80 B) 8 l C) 82

; hallar el

ero par no nulo.

A) 420 B) 420i 560 C_)-420; 5656 E) 560



___________________r__t___________________________m_____m____________________ ________________________________________________________________________00o_________r__________?______________________________________________________________ __0_,_______________________________________________________________x____________________ r____________________________r_______________________t___________________________________________?J?___?___________y__________________________________________________________________________y______________________________________n__x___________________________,___J__rr_______________________________________________________________________________________________________e__?x__________________s____________________________________________________________________________________________________________________v______m_______________n______t___r________ _ _________t_____m_____________c_________________0___+_________t ____y___________7____________l______v________________J___________

_".___,?,. _ '._ '.:_ ,.;'^/::':'-__-;., ,_';_., _._?__;._:-__'-x,._i_., _,,.,__'^ '. .;;;__ ,; ;-.' _._'''.__i''_ '' _'' __ '_,_,,__'_'._.._..,_.._._..,-.;. _1 _;.,E _1 1 __' g _2 1 _, _3 E _3 _ _ :_;;''::':.:.'';,..;,':;,._;.:_____,.,.::;;:._..''_''_...,;,__:.._.',.._ __2v_wm;_'_,..' À"_1 2____' m _22 i. - ___3m_J__!.__-_.....'5'!!5:..:...';'_'::__..:!!!_.!.(..'!!)!.(.(...''__,_..,; __3 __;,_B_1 3_C, B_ _23 _A_3_3 ._c:.:_'_;._.;:._'_.;..._'.:.;,;.'_.,.;.;_;;.__;..'_.._;; __y._n.4nmm____ _ __1._4 m'r. c_2_4. ...,p. c m___3__ Mr,N6'

;''_......'_.;..._._''_,:._...._;;;;__._;,;;,_;'__.:..:;,;' ___ _D_15 _g_25 J_B__35_,__ A_V_.,_;__i_:...;'è...'_...;_..:''_..:_',.;.. 6 ;,_-,B "1 6___ c26 _r_c~' 36 JCc_.,::;,:'_....V;,_.__._.':_;..'_'__,_;..''_,._._5_;,__,__,_.__._,::5__;,'_,._''5,:,,.; _7 ;-. c_1 7 __.-_ D_2_7iB____7 _____' _.V';_..;;..V;._._,.,..____,__,.),.''_...,'_N,,.',._..,, ___8 __, A _,,,, 1,,8,,,,,,,,,_- A m,w2_8 D .._3_____ g;,'.;,__;.:'_,.Vvv_...:?_,.,_''_..'''_,__ _9 __ D_19 C..E _g _39 ?i_E___ E nn_30 j_g _4O__

._._, :;_.______- y4__W---



_ _ __ _ __ _ , __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ ,_ __ _ _ _ _ __ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _

8 1 1 - 1832)

ms precoz. fuereto ala30, y expuIsado de1 por

uchalibradapor losquia. Murin duelosinr asuChevalier quecientí_co,sideassobre1araicas, i deasbra __,__ni,

gni f_cat ivo al _,__ _ _,'?_? ' ', __x_ n_ , _;_,degr upos. ,: _._____._,_____,_ ____ ' _?_ _, __?_ ' _, ____ ' _c,

obrelaresolucin _ _,; __ , __ _'_ __', _,_

emticas m s ì _' '_, t "_q ___Desgraciadamente, "._ _,_ _,., _ __,

hy, el principal _,, _,,__'_ c___ ,_ __ _,a, _ahaya_'_' x0 _ _v__ _'_ ' ,__ _____,_: ;', _?,,aJOa 1aACademla_ _._'j____;x_.___ _\ 'J- _n, _/__'_,a_??__

maxem tico de , '' '- _'__s_ , ,_ ' _- _?_ ; _; ;_ _n_", _,,._-1 trabajo ' _'_ __n _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _

J_Jr_riz'o _n1__ de._jJ7ji' eI J7aíJJ7eJ-o J__nl n pnJtiI' de_U__J,__JJ.

IdlIJ_rl e1l _ si_?' sóIo ._-i sez'eJ_i_ic'n.+ t

C'oJfnd7IJ-n cJJ_ esJl Jln _nJ1,7pJ_opio .?' JJoz_nc'ín dc_nJ_cc'e de1Jl,_niJJJo.

c-n/-n_'rcJ-j.__n JiJInpn71icióJ7 e7JJ_ _l_edeJJorn1JJos_o/'

__- C,

__sll 1I CoJ1nrlor.- _ = ( x' __ _/ vin < J/J)

,sd,c,_,_ ,,I J.1_,JJ,J_ ,/çJJ,,,J,fo d_J,.oJ7 _,

Jrc-_7sro_o cJe JJJe97ro de_l es1JIcJJoJ' _lIetorIo cIeJJleJ1Jro

_' F_,_, eJIroJ7c'espoJ- ln c_o1Idic-ióJJ(IJJ dc/n rIeJi,Jic'ió_Jio nIn /J7pótr7sis.

_J7 i97n Il JIn _;o/1nrIJIJ-n eJF _ _c/ïJJidn poJ'

/-n J-nc_ioJJr_/ de Ir_ _;o1_ndJ_1_n .?' ._eirIcJJ(!_Jic'n _-o/I eI JJJí'1JiJJJo

I l i_lt__JI(rJr/i12



_____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________ __ ____________________ ___ __________________________________________________________________________ _______________ ___ ________ __________ ______________________________________________________________________________ _________________ ____________ _________________________________ ________ ___ ___________________ ___ _______________________________________________________________________

__''''''_''x'n_',','__, '_''' '''''

..':.';';'m"'' '''..__' ,,,_':' ' '' _

c_asesden_mero5-, ^' '' ' __uido estec0njunto .nwn__c0. ,__egoría' d, ecamponumé_ca. ' '__llo_ cam' po), , __,_0_ l0saxi0ma,,s_delosnijmerosreal_es. _ ___

reglas, podíamos mover un peón 4 espacioso unade lasmos trabajar con losnúmerossin conocer lasreglasque

acionesteóricasy pr_cticas. Por citar el casodonde lahamenteyaquesehadescubierto queexisteunarelaciónunaliray lasrazonesentrelaslongitudesde lascuerdas

amosal decir queel mundo estágobernado _or los

mportante_ incluso marcahitosen lahistoria, así:erizaalasociedad pn_iivay esacondicionadopara

prác_casdel hombre.iospositivosfueacondicionado alanecesidaddeefectuar

osFueprovocado por el desarrollo del álgebraen laVll).rrollado unateoja_gurosadelosnúmeros realesen lostrabajoss.

sido creadospor extensión debido alasnecesidadesoncretosde lavidacotidiana.



__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _

a_ _ __nabC-- ma

Y) ' - _9_' _9go

allela Fracción equivalentea

S

428sj _ l42857 - O!g - 7

a

ner parteas

SUo_inomiosde coeF_c__entesenteros.

oef_cient

itosnoperiódicosperiódicosdicos



_ __ _

a_

ansitiva : si un número na_ral esmosquei_ual aun Se_undo y estesegundo esiguaI a,Un tefCefO, entOnCeS el _fimeFOeS i_Ual aleCCeFO.

mbóli carnente:v ab c, N. a__ b,_ b __ c_ a __

eración binaria. -- Llamadatambién leydedaen un conjunto noenciatosde

ncaqueanico

a_ao ley deto Ano

deAxA

umna

a(g, b) c

elosLacorrespondenciabiunívocaladenotaremosepor _, entonces_ esunaoperación binariaenAa_: Ax A _ A, esdecir a_A._ b_.'A_ a__b? A

:es l. Laadición usual en Z esunaoperaciónodo par de

osenteroses atroentero:

Lasust racc_No_n e, _n, esunao perac__o_sto que_ ' d__ferencl_o

7= -.3 __ N



_ _ _ _ _ . _

ón Resoluct6n:mosen lasiguientetabladedobleesen_rada;

A._

n.n,_o/

eraClOn lnarlaO

OideS lOS COn_UntOS _.Ón Ordinana, eS deCir,_ (R,+)elaUnaleYdeCOmPOSlClOn

El Par (Y, _)_ dOnde_ SedeFlneCOmO_m_ (a,b) _enelaeSt_CtUfade

daetabla:

sse

_ddd._,__.,_d__'___d_dd_''''_'''_______ddd''_B'^___'_'_'__''__'____d__'0___e___i_'___''__'___'__''''_____'''__'_'___'_____-__'_''____'''_'__._',,_'__._,.__,'_'_______d'_,,.Todao_ración binariacumplela ___,.n p m n__,__,,_,_,__,_,'^____,_'_ ley declausurao cerradura.'i'

..,,,..,......._.....,....,.............................,......,.....,_..,,....,.,...,..,.,,.,...,,,,..,,,,__'_,'_.P m n P

DefiniCiÓn (ley aSOCiatiVa) '--naria___ esasociativaen A. s.i (a_b)x_c-- a__(b_c) Ya, b, ce A



_ _ __ _ _ _

eales

Veamosa_b = a+ b = b + a_ b_an ___'0'

_atativaen_

sego diremosque_ es

no vacjo Ay unaoperacióntidado laoperación _ si y sólo si

es._dent._dad auea+o__2 En (NJel nu,s' _.de,t_.d_d puesto quea___ _a__

grupooerac_,o/n__eF_n__

_ ab c

+b+ I

a. CCa b

naFiaa_C= C = C_ao si dedondeseconcluyequeaesel elemer_to

On_Unto AConlaoperación _.



__ _ _ _ ._ _ _. _ _ ,

ónl. la adicjón y lamul_iplicación en _sonpe,ac_onesb_na_asy _a segundaes

_butl.vacon,especEo a_apF.l

ivaa

qUeque(a.b)n=a''.bn

/ On

o ematema,t._cass._mblte/, en ot,ascl_enc_,ascomo en _ar_/s_l

radoaimpon;endo cond_cionesa_,sest_ctu,,sde

juntolOy X_ Una

G_ XcJsellamagrupo s;1 sólo si _ esunaoperación binat'i,aa?ociati_'_.emento de_

mbólicamente:A(G, X_) eS Un__ßOSi ySÓlOSi SeVenrlCanlO_

si aXlOmaS 'GJ__:GxG_GG__ x_ esasaciativo, esdecir, (a_b)__c= aX_(b_,c,. __ a,b1 c_ !_



_______ _____________________________ _ _ _ _ ____ ___ ____ _

dad 6. Sea(a, __) un grupo _ a,b eGprobar laciay unicidad dexeGtal quexxcab

StfaClÓn:

etal x

ex esúni

mosquex, y .x,, ve__jcan lacio/n.x,_a= b = x,_a_ x,_a _ x,4a

_e= X2X_e' X_ = X_.

trar que(a_b)'--b'_a' Yab _ Gi

(P_rael lector)

e con Der_nición (grupo abeliana)Si en el grupo (G, _Jsecumplequea_.,b = bx_aivo Ya,b?_ G, sedjcequeel g_po es abelianoo

co. ___^''_,,^'oo,__0__,___,__0_i__,_~_,_,_______0_,___~_D_,______,,___,_%__,_,,,_,___'_,_,_,'_,___,_'_0,,D, El tefmlnOde_rUßOabellanOSe__^^'_,^^oo_'_'__i_^'^__'_^''___,',___0,__,^__o_,0__,__,__,,,_,,debeen honor al ce_lebre'__,,^'_,^^o,o ''_,'__;'_''_i:'_,___'''_,'__,_'_,_.,,. . __ '_' '__,''''_,_''_,: matemático no_ego NielsHenrik _-__adosacerca____._

or la_.,0_bilidad de resotvef tas__m____o'_cinco por __'___,_o__'_,

entes. ___.,_,,0

e:a, a'' = a4a__a_... 4_a"n'' veCes.

uesi a_b 2 _ a2 2ano.



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _

deA = {a, b, c, d } y la

ab cd

4) esun g_po abel iano.sun

a, b, c)oessu bg_po de( A, x_) y a

__H/', beH

n g_po

a) Asociatividad garant izadapues H__ _ento neutro:a4a' f H_ ec_H

Cl C l O,e, e,_H,,, a,_Ht e_a_ ,_ Ht a_ ,__ H

de aeH_ b' _H_ a4 (b' J' eH _ a_ b eHsólo si (Demuestreque( b J' = b)

_ , 4) y (H_, 4) son subg_posde( G,_)_POdemostrar que(H_ _ H,,x_) esun subgrupo de



_

re4les

n _ y iRlosconjuntosy +,. lasleyes dena, lenemosque: f(x) = a"

H2 con a>O n af l).

mOmOnlsmOdeZ y TR

mOmO_lSm0de _ y _'

F es

_l. f esepimor F_smo si y sólo si f essuyectivo.yectivoun automor Flsmo si y sólo si A= A'

eyes

tal queh(x) = - 7xh(a+b) = -7(a+b) = -7a+ - 7b h(a}+h(b)h(x) esun automorf_smo eisomof Fjsmo.

momo,F_smo dmef el neutro del segundo grupo.

el)

x

4, e,ncelación f(e) = e'

omor Flsmo degrupos,

esdec;, F(x_) -_ (F(xJ)_, dondex_ ese_



_ __ _

n_lo:exisleun elemento l _Atal que

ces(A, +, .)anillo con elemento identidad. Si a.b = b.a_ a, b f A, entonces (a_+_.)

es:

_b,A

6n

Y t _ ,.o +a.o __ _ ,.o +a.o + a.o

ano

O

ntesO

ién_= (a+ (_a) ). b Oa).b=O__(ab)+ab+(-a)(b)=-' (ab )+O

)b _- (ab)

o _(a+ (_a))(b+ (_b)) _ oibutividad

xiste



__ _ _ _ _ _ _ _ _

rea_

lo Lascondicionesl, ll y Ill setraducen en losquesiguientes_iomas:leyessy a. b , s

sa.b = b.a

nillo deC3: Lasoperaciones+ y. son asociatjvas,espo,_diiA_ ,+) decir:a+(b+c) (a+b)+cy a(bc) = (ab)clOde(A,+t.) c4 .. _ec_ st a+ o __ a__o+a,es decir oeselAy e_emento __de/ nt__co baJNo laoperac__o_

mento itiplosdeadenotado por:lo (-a) / a+ (-a) O = (-a)+aepto el ceroxisteun inverso bajo laoperación. , es

ulivarespecto ala

nulosl. Lastemas(_ , +, .) y (_, + , .) son cuemos.Todo

CU'mO. 2. Latema(z, + t .Jno esun cuemo, pueslososqueadmjlenun inverso rnultiplicativo son - l y l.

3. El anillo _ detodoslos númerosfealesesunasg propiedadadede campo.

;.) esun campo _rquealas8propiedadesdecampo, _ eselalaconjunto delosnúmeros complejosO=(O;OJ



_ . __ __ _ , . _. _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ _ _ _ ., _, _ __ _ _ , _ ._ ' _ __ .__ _ . _ _ _ _ ___ _________

R_oRD_.OY''_.,,_OmRlm 'v ...' '.S_aCeh_3 : Ley 8SOCi8tt_&'. PafatOd0a, b1C _ _:ultiplicaci6n detresmásnúmerosrealespfoduceel mismoS pOr resultado, sean ag_padosde cualqujef iÓn demanera.

S dOS __.. _;,tenc;gyun;,;d8ddele_ementoneut,oCl n mul_pI_ca_vo: _jsteun elemento en_ y

mentesolo uno, denotado por cc l tl djstinto de cero.det,l uear, todo af _. al __ l ., __ aa. ' . . ' .e' ' . . .v. aae ex. te' U^ m O

+b)

RParatOdo a. b, cen i _:a. (b+c) = ab + ac). c_ ac+ bcién esu_.

, a,, uel,te,n, _.+. ,eaunt_cue,ado com _eto,, t.lene_es,tl.sface, ___

OS _ . .o

de lassiguientesproposiciones:M, ll.-xeM, ITI. O_ M, escie_aajo ._,-

' . _. . -:



_ _ __ _ _ _ _

,ea_e,

ostr8ctón:osO+ O = Oneutro aditivox

M, x.O+ x.O= x.Opropiedad distributivanosx.O+ x.O= x.O+ Oneutro aditivopor Io . x o _ o _edecancelac.l

ado.

ntOdelosuna

e_Uraf . , . , . .cia_ass__gu__entes_rop__edades.

puntos

_asII. Si aRbt a t bIII. Si a, b, c,eA, aRb r\ bRc_ aRc

ráunes < (menor que) setendr_:

oncesaysolamenteuna delas

f bR, se

on-

lementosentoncesAtieneunximo y uno mínimo. Perotambiénsnnl,

mplos:unto el elementol Oy el mínimo es - 3.

otiene_nimo que

enl_ max/ l_mon_l



__ , _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ . _ __ _ _ _ _ _ _ __._ _ _ _

tadoscRSean _el conjunto delosnúmerosrealesy LcR.onjunto L está acotado si existeun nu/meroiR,talqueparatodox__; -c__x__ c,esdecirmayOf Oel conjunto L esacotado si esacotado su_eFior e

o_ente.

'___ ,_ _ '_'___' . / ___oS_,___, "_ ._,_'__ e_OUC_0lI_____?__,_____,__'_',___' ,, ,!__v!n' ;_,C

fmentees. El

<__ 5) y_5)junto es

IRacotado5ecc_or decot e.

_ acotada__ esodas

E_em_lO_

net end r a/

c _, _ _ _l , _-_ _-_ ... ,. - _ inF.A= - I

xisje__.ual _ l



_ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ _ ___ _ _

Sea: b = e donde"e'' esel elemento neutro

problemaN^ 2 demostrar _uee l elemento

' + e' = O(del prob. anterior)

quepro__gmg _n A__ ( _, 2, 3, 4) sedeF,neun, ope,,c_,o/n x,.

uyosvaloresestán dadospor latabladedo_le

ar quea

va_ _ Lao e,ac._o/ n x, esconmutat_.

e_Ún: 444__ _



_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

reales

nelaoperación 4 por: Va, b _- R_

de PrOal_m8 9aturalesampliados) sederlne

lassiguientespreguntas:álaOPeraClÓn'_tO_lmentederlnidaenNoaoperación !_'_ asociativa

nidaenNo1 Si:

OSl'me/ trl'COS ._.lao eración ;,; no est_ totalmentederlnida.

n ;__ esasociativasj_.No, (a!__b)í:_,c= a__(_! ;'c)

o,n n



_ __ _ _ _ __ _ _ __ _ _ ,

ciatividad sep_ebadelV)

O) para+ y

Si en losnúmerosnaturalesden_nimoslaac_.o,n _ med._antem_n _

Nm _ n

:__ (faISO)P) > (m_P)las_ _+ _ >_ _

m ' _ ' P '-

On j 2

= _m2 _ n_ -2mn _ mn

)_+ _m _+p J_



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ __ _ ________ _ _ ___ _ __ _ _ _ __ __ _

ma*.

ß Jelemento inversomultiplicativo

s e_emento neutroa

Oadit.) .N. (_) l = x l y l ley decan_e_ación

straF -X, -Y_ si __ o

ón:

sistamb._e_n al a__ _ dedondesetend,a/ a

Oen (l):ón



_ _ __ _ _ _ _ _

ea_

_) es un g_poemas(C, .) no es un g_po, porquenoexisteel

operaciones

po?t ab u _ a, e s.

despara

ßeCtOaeStaS OperaClOne5

_cerT.andrán que_'enF1cerseio_-

__ xy i TT_ T _ _: T XT _ T

mutat__v_.dad po, s__metr1_

especto aladjagonal princjpal dondeelasoperacioneseS deCir Si XYF T_ y+x _ x.y = y_l c. . .d d . _.

Oel COn}UntOT liene2 elementOS,número decasos_uetieneba



_ __ ___ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

"_b_ X' RYSi a'O, entOnCeS

ción:

cual prODl_m_ 21bparacada número real x, demostraf

do?



_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

= O

efso ad;t;,, deo__1._ __ _l _ _ __ __

3XleT/x,___xlx__ ___ _ _x 1 __ _

ademostrado quelaterna(T, +_ .) es

bf]_:a(-b) = _.(ab) = (-a)b

:delprob. lI)deZ dela" (a(- l)b) (MJ)

OneS de_ (_ _)(ab) (m m J

_a)b = (- I )(ab).............. (prob. l I)................ (II)

b) = -(ab) = ( a)b

(-a)(-b)=a.b

)aJ(- b)...... (prob. I l.. _ _ _ _ _ __ (M_J_ M3)

= ab



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ __ ___

eA, si _roDl8mg 25en lasgujentes, respecto aun número

Ano es

de exponented y ,, e, el di FerentedeceroJ esracional-ajO__

ónen t On ' ' ' U

os__ Todaote c.,adex _.,ac_. na_ no s._uee. .rlrlCan lOS EjeInplo: ( _) ' = 8 ca

d) lII. Algunaspotenciasdex irracional esracionalpecto Ejemplo: ( _) 2 = 3 _iera,f_rmación carrecta.

trar Dadaslasar_rmaciones, indicar el valor deerdad.( _

,ac__ .,_re_ .,ex,_stea_xistef"

existe_eroO''noexiste



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

reai

ean ay b dos númerosrealestalesqueelego analizar lasional. Sl_UlenteS ßrOßOSIClOneS:queel l, Si aeS i_aCiOnal, entOnCeS b debeSer

I. Si aesracional, entoncesb debeser

no Reso_ucl,o/ n,

'J_'.

ent

ab e_' _a_;- g_ , entoncesb r__ _ v b c__

F

: Sea' Z__ -- (Otlt2'3,4} der'n!mO' l"'d'C'6n Y l"

istema:' ' ' ' ' ' ' ' (!!,

x -_ 2 t _, -_ _

o_s,_J_c,'ó,J._ 2. q = 3en _,c



__ _ _ _ _ _ _ _ __

e4. Sede rlneunaope ración _ en el conjuntoralesde modo mue

Tndicar el valor devefdad en lassiguienteses:

o araestao er,cl.o/n ';;.,_

S obre_ - ( _ l ) sedeF inel aoperación

+b+ab.

siguientespFoposicjones:

ble1 T. El ,, _g. _ e, un _o conmut,t;,o

eal r es_

B) V_ C) FVVVFF E) FFV

_J, _) y laley de) ,ección) están dados_or lastablas

E _ _ _



_ _ __ _ _ . _ _ . _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ____ _ _rea_esEstablecer el valor deverdad:_ un carnpo ordenado.

B _ cvFF

Establecer el valor dever dad de lasones:

conjunto_.



_ __ _ _ _ __ _

m _ n= residuo dedi_dir (m+n) entreg

# (5_7)

acionesdef_nid,spo,;

cda aaa

_J(1+_+b2_a)+a_Jb+l+b'N)

n _ definimoslassiguienteS opefaciones

_ _x _9; y#y=2 I_+20

) 25 C) 26



__ _ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ___ __

e4les

_, B) a_ C) a3l D) a_ E) ao

aX'b = min {a;_b = maX(a;b} _ R

ay b

o,e:

2

_ IR; sp deFlnefaoperación _ como:+ b_ 1

CJl -2; 6J



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

son 29. Si deFlnimosen & laoperación xcdeF_nidaor:a;b}

sas?= b X_ a

4cll. (x _ 4) _ 2 _ x= lx,N___ 2___x___ ,/ x___,

y;

es

l, (a. bJ-. - = l ab _O

steoremas.= b+c

=b _ a= c

Il_ Si a_- R_ (- l )a _a)=b

b númerosnaturales, si sedefine

- b_a

a+2b)''



eales

. ConsideremoslasratacionesdeunáteFo ABCalfededor desu

n

nDemostrar si esteproceso con laoperacjón

neoperac_lo/n b__na,__

_+_' . . /

. iAdmiteelemenlo neutro?, jcuál es?

_v _.Todoelemento deA t_.enes._me/t,._

pUeStaativas.



_________________r___r __________r______________________________?__x______________x________________________________r_______________________________nnv______ct__r______________ ___r_r_______t________v____y____________________r___________r_______________________________________________________nn__y_________________________mxm___________________________________________c____________m____________________n__s____________s_____________________________________________________________________________________________r________,_______________________________c______________________________r_____________s_________________________________________)_______ ____________________________y_____________________________s_________________________________________n_________________________________________________________________________________m__ ____________--i__

m _ :. _ ' v_ _ __.__ _. ; _ i_ ,. '_ '_!, _ _ ,.,_ ', , .;. _ _ ; _,,,' _ '_ - :s': ' ' ,.; _- ...,.. , ; ' ' ' ': _-- _ _,-c;, An,____1 mn.M__;', _ _21.__! D_W2 .w::; 'Bm,M2__v2___3--;_''__ .,_Mv__3..__,.mv,_' ' "_; c_m_1 3 _';--.__c NM_23 ;__ D__33_r--- :; A.M__19 ____. h n__24_._''_ Bm__34_.._ __.. A_1_ _;-_-_ c__2_5__E __35__p ,,1, 6,, _,_.___+ E ___2_6 m__D_.3,n_6 _v__ __;_ __m _1 7 _c_2__/ , '' 'g _3 i m_', 8,,, ,,__. A_1_8 _,,,__ A___28.,,d.p ..c__3.8._..._J _

r.__ _29_B___B' _3Mo_,m__ ' _ __4o_

' -6 _..;,_,'5: -_---x . .;_ - ____ ;''.;'__._''_''_'''n' '_-"-_'' '''''- ''



__ se_- el _elos_'o_1lp I_7iu_', poI' cjeIJ_pIu, pel-o J__e.TUoJJ{a, _, ... ),_ dotndn _e?II11 c_I__JJJe7Jto (_J(idn_, e,__ sen_

eJ7.Tio_I_9_', Si Iosc_/c91Jc1Jfos_e l''sy11 iIF_ic_nJos_rJ/_(_X,ecf ol_ir_l.'

eJ1Jn, i1J_icndn "+ 'J, c_ol(11IJrtntiz'n, n._nc'inti__r_,__renl _J{ecndn z'ec'ro/"_Xt_1Jen _n/_n __._rn Ie_.)_ I_9Jop_resro

_teJ1Jn c_1l o__9l_rlc1oJ___s__JJI_ rlsrJc_inli_'r_ .)' _ist/i I_lrli__n r'oJIili_JJi91fos' __ lí,'

UJ. _U_n, ..,., _U,, tn Jes_JreJr17 z'_7c'to1"c'Jrnl_Jri_/_nrl__ r's-eeestus _'_Jctu/__Js.)' rJecoc,_ic'i_7/Ite_s/eJ, __,, ..., _,

,

rl-n _er_JJillo, cspJ-Rciso de_iJ_iJ- eJJeI JJJisJJJrJ( JJJr_ln, Irl o_r_J-nc-ióJJ''xn '' _IJces nsor'ir_liz_n, JisrJibJJti__rI _'/J/Ic'uIJIn Ie.?' c,__Ie?J_Jn, esdec-iJ-, _ rnl r In.Te_Jrc rc_JJ_nJJJos,__JJ

rJu _lIerIefiJJeeIpJDdJrcfo deI r_1Jillo coJJsirJr?J_n_o.e/ _'JrrI/ e_J__'oIJJp Iejo o, JJJcioJ' (IJJríJ__bJ_n. ,_Jrse Je_JJcJJ/os' s__us.__rrl 1J_o Iosele-JJJe_Jtos debnse_oJ1J_nJJJJJJ __J_rpo prI/_n/Jn._oJ1JJn_/o eI _7_____rn deI_J__po-

7rIJJr I':.. IJt__JJ'li_J._.



x_00___0_0__0_0_________00__00___________0___0_0______________00__t___00_0__00________________________/______________________________________________________________________________t___________________0___t_____________________________o0o______________0__________o_______________________c________________________________________o____________0o_______________________________________________o__________D_________mp0p___________o_____o0________________________0_____________p_0______________________________________________,________e__________________J_0_____0__0_o,_______0____0__o_______0_______0_____0__0_____0______o____0___s_0____0p_______p_s________p____0____0__________________0___0____o_________o________0_________0_____00_____________________________________________________________________p_________0___________

'_'_,'_'_'_'_''_'_'''''____,''_,__'''' \ _'____'_'__''___'___'____;.,:_,;,__.,.__,:_,:.,_,._'_,.::.__, '_:'_,.___''__,.'__,'_,_,__,__,_'_,:',.::''_'_:':''_'''':_::'_:__'''''''' :__,:';_'_:''::'',,,___,:_,__,___,____,___,_,____,_.__:_,_,__,,__.:_:__,_, .:;..;..;,.'_,_:,',:'_,_'_,_''__,_;'__'___:,,,''',;__'''''''' ,.;__',,,,,,__'__:_:,'_;:____:''_,''__,'_,_,__,,,,_;,_;___',_:'_,:'_,,'__, ''_''_'__,,_,_'__,,,'_,,__

-- =-- _= = = -- - - _-- ; =_ _ =,--- ___--__ - - - -- __-_ - = =_ ' :. _ ___,_ ' ':_ :'.._,.. ____.: '_,:':: ' ' ' ' '_' ' _ ' _ _ Y' / ' _ _'_._:. _ _ __' _': ;_. _:__.;.,;,..:. _ _. _: ;. ; ;;,: __..;;.._.._: _,_;.__,;,:. _,., _. _..._ ;, _..,.. _. :_.. _. ._;,._.:,__.: _.., ;._ :.:...: :, '...:. __. '... _ ' :..' ' ' ' ' ' _' ' _

'''''' -- . , ' _'.m_,,mu_encollama'' d'o~Elca-_:__lejo_q_d__ _a_. papel ,?_?'_,_=,ne's' '':''',p0 o_omal_s. . ' ___'_amas, '_'' ,e,, I8, ___- - - íá y __lacienc_'._ _ '''':: ' ..' ?'

oselect_,c,, _'s, ,_ geo_t_a_racta_, etc. \ , ,_ / . ...._.."_ "_ .i_

el muyimportanteen el desarrollo del Algebraen especial lasecuacionespolinomialesobe deceal Teoremaón escomplicadapor medios algebraicos; en cam_io por et

eLioville; lademostraci6n esbastantesencillay rigurosa(ver

mico necesiEamoshacer uso delase cuacionesesolverdichasecuaciones seutilizan alosnúmeros complejosn problemadeonda sseutiliza el méEodo devariableser.

slasra masdela Ingeniería. Por ejemplo en lacos.

asseha desarrollado laGeometr{a Fractal ; dondeentreoscomplejoslos cualesson un componenteimportante

aplicac ionespropiasde laGeometría Fractal (Física,Química,ía, Arte, etc.). LaGeometríaFractal nacepor lamismaquela geometríatradicional o Euclideatiene limitaciones

como montañas, Iranjascosteras. sistemahidrográf_cos.objetosque no son Fácilmentedescritospor lageometría

descripción y unaFoimademodelo matemático paranaturale2a; todo esto esposiblepor queladimensión

uclidea.

actal esel deautosimilitud, esto quieredecir_ quecadaecon unalupaposeela mismaFo__ay caracteíslicas queel



____ ____ ________ _____________________________________________________________________________________________ypxw________________4___0________0_________________o___________________________________0______0____________0___0__0__0__0_0_00_______0__0_______0__D____00___0D_00_D0______D0___0______0___00po____0__o____0__0__0__0_po__p__0_____p___0_______0______________0w_0__0p_0__D__0_0___0_D0_0___00___0____0_D00_0__0___o_D0____0__________0_0___0__p___0___p____________po___________________________________________0___0_o_________0_0_____0______________________\_____\_______n\__m__t__ __5__0___

sal8ebr_icash_ l'leuad0 at h0mbr_ de_deI_ n_mel_osnatura/_s0 los___,_

DS IrraCl On eS y 4 SIStemaConp etOeDsnUmeroS __a' es.l __mefc_rl_CodeJoslVnd_mentos' deJ_na__J-_r_smodgmodgsc__,b(._esra_,,,

mprensr_n del si_em_ d_ númeraspor el hombre. _abem0spor eiemplo, que'___i__x"'' con laproped_d deue___car.. _+ l _O; eI problem0 es_n4/ogo; _u0ndo ei '?__,L__re_sne.ia. rjuos;' s_lo contempl4b0 Iaec_aci_nxt___9,_eF n_mero -5 0u'n no _'___,_,

númeIoscomplej_ s' î_' uje' n'' do est4sm sm.. _sIjneas, l_sde_inicionesy __las____,,?___' '' ' '' _'_ '' ''' '_''L?sistem_ de' númerasesu_ n_ ext_nsF_n de/sjxe.made.J_ números r_oles.__''_,me_sco_pleiosy l_ pnmerap_b_ s0l_- _aclm del teorem0 .___71 -J8S5_ensud(irt_ri6n_to_tenl __ Mterm'nonúmero

n_'c_'_n denu'me_s'' co_reJ_Dsiomopa_so_d_n__e_nu_me_s_e4Jesruei____temdtjco ,ifIand_S _llIW' m R_n Hamilto_ lJd05 - l 865Jy Iue_o _,_di_ est_ den___, d_ los_tim_ comp_iosal_ n _d._sordenadas__XJ,' eStOS nÚm_iO_ hipercOm_l_iOS __J1er_l_an 0 l_n__ COm._leJOS y a_

aI jmport'anci0 en Á_eb_. En l4 teo__ d_ t_ funcjmes_n_/íticasde_rDscomp IeJosiueg_n _n p0pel j___teen lasecuaci0ne__erencjaIes; en _., iones, uib__c(ones, fenbneno_. md_loronos, n --7os_cr_les9ueesuno ___omo Iosd1rerencio Ies. ;__\-,

enumerosreales(x ; y) ; esdecir x ; y _ 7R ; donde''x''componente.

amosel conjunto delosnúmeros

Comple_os

_r4.

, __ (2+4 _, 3+5) __ (6 ., g)

(-7 i 22)



_____ ___ __ ________ _____________ _______________._ ________________ _________________________________ _________________ __ ______________________________________________________ _________ _ ______________________________ __________________|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________ _ __ ____ ____ ___ _____ _ __

complejos; estamismaoperación deadición en V_aciÓn demultiplicación sedistingueen _ yV2; en losnumefos

mero complejo; en cam_io lamultiplicación dedos vectoresue un vector tienedirección; en cambio un número

_.;'',, '''' ':_ ' ' '':'''"' ' ' _'- ''_''' /

UC16n_

.2..,__'''''''_i__ ___Y2 ___,.___,__,, __=_2 4=X-3 _ Y+I_5-Y

X+ _'--9

d__ Ga. _s_ ,, ,,., ' _' _' ,,,

cual PROPlEDADES: _ _,; _, ; z3 e _el e)e"X'' A_: __+_2 f _ (Ley de ClaUSUfaOCeffadUraal deParalaadición)naAJ_; __+?J_ -- ?7_+Z_ (Ley Conmutativaparala

ma

ditiv_).

__(o.o) _, _,_!o)

CerradUfa_ara

v_ _arala__ _- ____- - - ______'__,,___,_,_,_____ multiplicación).

fm__--(I; O) tal_ue5. _'= _ __?__.C(e__istenciatiVO)_

?.- _. ' Nd ' _ V' Y?_ F '

erlnidasmu_t__p___cat__r D( + _) +

(le), d;stribut;_,a) -



mero real 8_ obtenemosevidenternenteunascorrespondenciabiunívocaentreel conjunto

nsiderado depuntosy el conjunto detodoslosemásnúmerosreales. Como aplicación delasor. operacionesdeFlnidasen _ tenemos:

)S ean _

ealOS pUntOS (a;0) SemUltißliCan en_ Sí (X3 ;y3) l_Ual qUelOS nÚmefOS fealeS CO_eSßOndienteS_

ChOS nÚmerOS nOSediferenCian eny_+y3Jnada_Or SUS prO_iedadesal_ebraiCasdeloseS fepfeSentadOS OCdinaflamente

Of pUnt05 deUnafeCta; _Of lOtantOCOnClUimOS:

y2) C_

,+y,x,) Al Paf l2 i O) leCOrreSPOndeel nÚmerOreal l2OJ= l2; an_logamentecitamosos:

) ' 4 i O=

plejosi,n _ T E o g E M A__s'' ' -on , _F'_i Z = (XiY)ede_,_____, (x _ y} '_ _ _ secum_ler5 = (rXi fY)

O) el

n

dos e/stosel ma_s__m portantees_. ,a_ cua_eal d . .d d . . .



__________________________ ______ ____, _______________________ _______ ________________________ _ ____________________________________ ___ ______________________________ ____________________________ ___ ______ ____ __ . _ ____

,maginaria; tienelaparticular notación i = (0 ; l)

Ao i"; 4_

P0f lOtantOi _ l

,,, ,m,,,,,;:,, ,o,,,,,,,,,,, ;';,,,,_';' ':'' ,,,,,,,,,, :,.__..,..,.b' :,:;,.,..o. .,_.....,,,., .,,,a..,.,.,a ,,..,...... _____i0''"'' Luegodeduc_mos que

Luego sededucedeece_N- ,j - k _ l_ _

do a_t __ .._. ( _ _ )_ ,_ k . _J_ ___-_



_ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __

Ii FICar

V_- i 2! + i J! + i J'' _ ..... + i l20''

o de_"'_'_'a___0_____00___9__,___'P80O____'__,a__'___'_____''0__0__i'____'_,''0 '___'__,''_ CUatFO_ n > 4__',__,_"_,_'''__''__ (Por _ropiedadesarilmé_cas) ____.,_d__,o,,,. _ _q

UNC0MPLUO'

m__cao cartes__ar_.' ' _'__ ; _'_) escadauno delossiguientesnúme_osco_np_e,ic__dospoF suscomponentes.



_________________________________________________________________________________ ________________ __________________________________________________ ____________ _ _ ____________ ____________________ ________________________________________________|_

Ejemplo 2o+ 12i

enEación Geométricade?= (x,_y), de su

_l'

;';!"! ;'__ _'' ' ''' '_'' 't ;' '''''4'tt'. '''''''''>

s_= _; __ ; ?__ _?_

e70fea1

mp_e__ imagin_ri

al 4, + -_

eF_ne_z_ _



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

Ao cnRTES_m' ''..._._._..._ ,x __ . . ' , ',.,,xo.,,.,,,.,,,.,,,,,v,,,,,,, _'___^^'_

___^_o0 '''_______o_ '_ _____ _____?o' _ '__' __''' "'_ ''_'''' ''''_''' ''_'''''''_''''_' _'''_ ''''_'''' _'__''_ ''''_ _' __'0'__''d''0''' __'_'0'0_''_''dd'__' _''.'__'___'___0_dd_'_'_d.''___'__ 'd'D_DD__ ddDdD_,____._''_.._''__'''_'''_,0''._,^''_,'''__,._''_',._'',._^:,. _ '''_'___damosladennición rigurosade la__D__,,,0'_,,

pticación dedos complejoscomo par _D'''D__',''_,_ado, tenemos: _,,_0:'_D,__'_'-~_''"_i'''__'_^^"_'_'_'_''_''_'''''_'^_^i_'"^^"^^'_'_'_____ii_'_______'___,.?.,.y Io expresamosen formabinómica__D__o'_.

c_bd) + (ad+bc)i __''_,_"__'__d_'___ ' _' ___ __''D_______'__''____'v_ __' Llegamosal mismo resultado, esdecir ladeF_nici n __0_.__._.

____-______ '__-'-'_-_''____'a- _'0____'_'__'_'_ _'__''__'_'__'_'_'_'_'_'______0_0__00'_0___o__'-_ __-' ____'___0__'_d_0''__-__'__'_'_''_'_-'_'___'0_0__o______'_'___-____0'-__i__' _'_____-__'_00o00_0_0_'_'_0''_'_''__0___'_ _-_'_'__ _'''

acionesindicadasy halla_:

amultiplicación denúmeroscomp_ejossaet orden

OreS._ _ -' _ : ' ' = _ ' ' _ i ' __ 0 ' ' _ 0.; ' _ ' 0' ' P ' ' ' ' ' ' ' __ ' ' ' ' ' ' _ _ ' ' _' ' ' _ _ i __ __ __ i _ O,._. ' ' _ ' _ ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' _ ' _ ' _' ' ' ' _ ' '- i ' i ' ' ' ' '''__ _ i ''_.. Lue,o_,e t.,a''''_"_'' _''''''"''"^'''^'"^'^''""_'P _ = ( l + i)( I +3i)(3- i))(6+g__

+8j+ 6j+8j2 = -2+l4j

S sean los númeroscomplejos___ , __2 pafaerectuar___n _ habrá4UemUltipIiCar a__ y___

l SeObtiene

.,.,,,,,,.,,...,,..,....,.......,.,.,p.,..p ,..,......,,,.,a,,,.,0_,...,,......0.,..,,.,...,, .._.., ?_ = a+bi ,_2= c+di_,..D?_ a+bi (a+bi)(C_dj)'_'"'^^"^'^''"'"i'''i''''''i '''i_i'i""'^00^"''' '''''' ' _2 C+ di (Ct di) (C - di)

_?."i'___"_''''''' ''m_'''D^^_^^_^^^_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' -'____D__0''

__



_ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

esolución:ndo EFectuando por separado2 2 __



_ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ ] _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _

_' _' ;_ ' _ __n.aEn FonnaanáIogaseobtieneemos

Nos_N

2+ y_ _ x+ x2_ v2aa ' t ; b _ t '

nCeS_ SetendralOS__U_ente

osignosdiferentes

or lo tanto

ro: cyx x22 sn , x xa 2 i

iene_ , , , j_

_i) = +-_(2"i)



__0_______op_0__po_40p_p_n0___0_0____0_0_0__0___0__0__0_0__0_00_o_0___00_____0_____0_0__0___p____00__0__0p0o__0_0_po0_y_____D___0_06___0_p0_00_00_0pap_0p_00__0_00____0000__o0_00_p_0_p0_0_____0____0_0_p____0___o_____p_p___fttt0___0_o__0__________o____0_____0_o__________________________________t__0________p_0____0_0____pp_o__0_0J___00_00____0__D_0_D0pp0____D_0__0____0________________0_______0_____________o_______________o_____o_____________p_00_o_0oo0___o0_o0__p_p_________0_o_oo____000op___p___________________________________________________________________pa__________2______t___________1________2__n__ff_____E____v___et_____l____c___e_f__x_s________f_____(______E_______z_____f)___)________E____f_(___ ______ )t_t 1_______0________________o0_______0_______

NMER_ CaMP.L_.O' '' 'Oi IEDADE5ado DeladeF_nicjo/n demódulo sedesprendetaseS; Se an _?; Z_ ; __ _ _

_'__-__' '__'_'_____0___d_____ __'0_'__'__'_ '__'____ '_'______'_________d___________ __._____._______. 0___0 0_'___0______."__0__0_B____0.____0'____0_o_______0__8_a_______' ____0_8__8__'_____ i____________.____ 0_____0_8_0__0______________00__0____0__8_______0_____________8_______8____0_______o_______T___0_0__0_-___0__ ,,0,..,ot 2.0; _.. t._f__Q.__ __(o;oJ. _,.:__.''''_.':''''':''::__''':........ ...''''''''''.. __ î___. _.,_ .. _ _.,,,___,_ __ __ _._,__....':..... ''' :;'. ; .. ': :...g. ;. ,. __ec2. )f __f2l:_'_, f' :: '_ ':_m(5. _) 5_, _ __,,'...l__2, tt.2l ._. l.__.1.1 l.Z_i.. .., ..... ... _o.

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pleJos_. l 'l'2 f ' _- ('l'2) ('l '2

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________ l?t ;nveces

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_' __ '___'______^ v_'____^ '_________'_'______________________',____,,' _0___,.._,_,.,,__i,g____o, z a% 1 z1 = 1 al ___''?_o_'' _ _ _ _ _::,'':_ z__b; _ lz1___b1 ___,_,,D_,,, Z_Z2+ZJ?2=2Re'1_2 __Re'_?2_?_?2



_ ______________________._| _______________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________ _____ ___________________________________________________ ____ ___ _____________________ _____ _____________|____________________________________________________________________________________________

2 + 2 I_, l l _, l + _?2 l2_ ( l?, l+l_?, l )2

_mE_ocom_. L_. o

_,_''ii_'P''' ''''''' g''''i'___i,N... ,,..d.d,.,..,...,,...,,,.,,,,,_...,.d._'__

prjncjpal de_os

d?_,,__0,,_,B8,_.__8,_,_.,_,,8,.,_D,,,_.,,,,_,,_,__,_,.,_.,_,_.,.,_.,_.,_,_.,_.,_.,,,,.__,_,_,_,.___,____d__d'"''d'

_ ' _ ' "_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ t t > ''__^_^'_,'_,_D^'_,,_,____,__'____'____' __'i0'_a^____i._'_,_' ''"i____'_'_____._,_.___o_,_o__o______0__',,.____,_g_.i__,,__.?__,,_._..._a.__,_,.?._.._.__'0____",o'___=____=_,__,___'_.__.a_,__a_____,___,._i,?_.

_ a, gum e, t o d e, AF g( ,) t em b., e/, se_ e__,___o,,,

elángulogenerado_relradio ''00el _.,.........,...................,,....,,........d.,,,.....,,..,,.,,,,,,,,,,,.,,,.,..,.,.........._... ejereal posilivo haciaun pun(ocualquieradel

,iiii,0,,0,,0,,,0_,.,,0_.,,,,0,,,,,,,,,0_,,0,.,..,...,,,..,,...........,.....,...,.,........,.......,,...,.,....,...,........,.....,,.,...,..,,.,.,..,0o.0..0.,.,....0,0.0,...,.._d,,.,,,,,.0.,..0,..,,..,,,,,,,.,,.,0,,0,,,,,...,,,,..,,,,.,,,,.0,o,,,,,,,,,0,,.,....,......,,..,.o....,.,......,,...,,..,,,,,.o.,,.,,,,,.,o.......,,,,,,,,,,,,.,.,,.,,....,.,.,....,.......,,..,,.,,..._..,,.

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__________________________________ ____________ _______________ _ ___ _________________________________________________ ________________________________t_________________,______________________0__0_____________________________________________________________________________________,______________________________________o0_________________________________0_____0_____p_0____p0__000_p00____0_0t_00__0______0_00____0_0_0_0000_Q_0__Q0__0__Q0___n0_______0__00_0_______0o0__)___q___sp_________________________o_____0___p_______,000p_00_30__2p_)_3p_0__s00___D___0__0x_____

reSenlaF en (O_aPOlaF ?t = 4- 3i

_,_,_,___,,__,_,_,,__,,__,_,____________,,__0__,____,,^'____,,0,,_,,_,,_,_,,_o_,'_, argumento prjncipal en et inte1valo'_.<-_;_I,esdecir_ __<0__;_rettono ___'.consideramosen _,.

l

1z l 1wl (Cos(0+a)+Sen(0+a))

,^^_,,,,_0_'_^'^^,,^^_^a0__^_'_a^'_^^_^'^_^__,^'__,^^'_,,'___'__,__,_^_,,'_^^__,,^^'__,''_,,^^'__,^',,,^^',,^,_,^^__,_,_,'__'_,,___,_,__^'_,,^__,^^'_,, '__,_^_,_,^__,__,^'_'_,,_____,,__,^'0,,,,^^_,, '_,,,_^''_,,,0^'_,,,,^^'__,,^^'_,,,.cued,en_e seencuentre eleF_)ode __r,_,,DemOStraCiÓn_^:.____^_'____':_,^____^_' y luego catculamosapactir de_D,_^_^' l. _w = l_t ._wt (cosg+isen8) (cosa+isena)

na)__ _____, ___0_____D_,_0!,,,____,0,,_00n, 0n_ ,,0_,__,_ 0_,_,_,__. _0_0,___n_0,0,_0,_0,0,_0,_,0,_0,0,0,_0,0,_0,0,_0,,,,,_,0__0,0,_0_,,,___,_,_, _0_,_ ,,,,,,_,0n__,0n0_8,,___0_,__,_,_ ,___0_0,,_0 _0,__8,,_,_n0_0,_,0,,_,_,_,,,0,__,__ 0,0,_,0,_0_0,_0,_0,_,,_,_,,0,_0_0_8,,__0o_0_,__ _,___,____ __ __ +i ( Co s 0 Se n a+S en 0 Co s a) I

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sólo _'0' e'= _ e'N' 8_'

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dap,,, represent,, en Fple_oensurormapolar. Así

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__ _ ___^^^/, :osusencl_a__ Losar_josdelas raícesn - ésimasdeun númerowo __ complejo son los verticesdeun polígono regu- larde

_,a/,,e,

WDe_ re_r_coseobseNa. g _. _2_noses:

Donde__esunadelasraíces(n-esimal)de_

esra_cesn-ésim_ dela unided _ienen '_'cen especial 6_,

maS delaUnldad_ ,__,i_'elaunidad __-,,_''_.... __i._

ua dei_e_.''_.,,

vas; lescualesson __t;___8_'_'

0 con n_'__t_,



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uadrados

renciade

eo_se_aue?eselcom _e.nte

valores

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Algebra Tomo 1

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