Introduc ao ` aAlgebra LinearUm Curso de NivelamentoJorge Delgado Katia FrenselDepto. de Matem atica Aplicada Depto. de GeometriaInstituto de Matem aticaUFFMarco de 2005J. Delgado - K. Frensel ii Instituto de Matem atica - UFFConte udoNoc oes Preliminares 11. Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Sistemas de Equac oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 33. Operac oes Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Multiplicac ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. Matrizes Invertveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Espac os Vetoriais 291. Espaco Vetorial - denic oes e propriedades b asicas . . . . 292. Subespaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Bases e Dimens ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505. Equival encia por Linhas resumo . . . . . . . . . . . . . . 55Transformac oes Lineares 611. Transformac ao Linear - noc oes b asicas . . . . . . . . . . . 612. Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Polin omios 971.Algebras - generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972. Interpolac ao de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043. Ideais de Polin omios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084. Decomposic ao de um polin omio em fatores primos. . . . . 117iii5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226. Propriedades dos Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . 134Formas Can onicas - Preliminares 1391. Formas Can onicas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 1392. Polin omios Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493. Subespacos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564. Triangulac ao Simult anea e Diagonalizac ao Simult anea . . . 1675. Decomposic ao em Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . 1706. Somas Diretas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787. O Teorema da Decomposic ao Prim aria . . . . . . . . . . . 183Forma Can onica Racional 1931. Subespacos cclicos e anuladores . . . . . . . . . . . . . . 1932. Decomposic ao Cclica e a Forma Racional . . . . . . . . . 197Forma Can onica de Jordan 2171. Forma Can onica Racional dos Operadores Nilpotentes . . 2172. C alculo da Forma Can onica dos Operadores Nilpotentes . 2193. Forma Can onica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334. Forma Can onica de Jordan Real . . . . . . . . . . . . . . . 2425. Operadores Semi-Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Espac os Vetoriais com Produto Interno 2691. Produto Interno - Denic oes b asicas. . . . . . . . . . . . . 2692. Funcionais Lineares e Adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . 2883. Operadores Unit arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984. Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3075. Diagonalizac aosimult aneadeumafamliacomutativadeoperadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366. Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341J. Delgado - K. Frensel iv Instituto de Matem atica - UFF7. Formas Positivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3488. Resumo sobre matrizes positivas. . . . . . . . . . . . . . . 354J. Delgado - K. Frensel 0 Instituto de Matem atica - UFFNoc oes Preliminares1. CorposPara saber mais ...Da hist oria daAlgebra Linear,consulte as p aginas:http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.htmlehttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_linear_spaces.htmlUm corpo comutativo e um conjunto K, cujos elementos s ao chama-dos escalares, com um par de operac oes:+x K e y K =x +y K (adic ao) x K e y K =xy = xy K (multiplicac ao)que satisfazem as seguintes propriedades:1. A adic ao e comutativa:x +y = y +x , x, y K.2. A adic ao e associativa:x + (y +z) = (x +y) +z , x, y, z K.3. Existe um unico elemento 0 K (zero), tal que x +0 = x , x K.4. Acadax Kcorrespondeum unicoelementox K, tal quex + (x) = 0.5. A multiplicac ao e comutativa:xy = yx , x, y K.6. A multiplicac ao e associativa:x(yz) = (xy)z , x, y, z K.7. Existe um unico elemento 1 K{0} (um), tal que x 1 = x , x K.8. A cada x K {0} (x n ao-nulo) corresponde um unico elemento x1ou1x em K, tal que xx1= 1.9. A multiplicac ao e distributiva em relac ao` a adic ao:x(y +z) = xy +xz , x, y, z K.1CorposDenic ao 1.1Um subcorpo de K e um subconjunto Tde K que e um corpo com asoperac oes de adic ao e multiplicac ao de K.Assim,dizer que T e um subcorpo do corpo K signica que0 e1est ao em T e que se x e y s ao elementos de T, ent ao, x+y, xy, x e x1(caso x ,= 0) s ao tamb em elementos de T.Exemplo 1.1O conjunto dos n umeros complexos C={a + ib| a, b 1} e um corpocom as operac oes de adic ao e multiplicac ao usuais.

Exemplo 1.2O conjunto dos n umeros reais 1 e um subcorpo de C.

Exemplo 1.3Oconjuntodosn umerosracionais ={pq | p Z,q Z {0}} eumsubcorpo de 1 e deC. Mais ainda, e f acil vericar que todo subcorpo deC deve conter .

Exemplo 1.4O conjunto {x +y2 | x, y } e um subcorpo de C.

Exemplos ...Os corpos Zp=Z/(pZ) comp>0 inteiro primo t emcaracterstica p.Observac ao 1.1Num corpo K pode ser possvel adicionar uma quantidade nita de parce-las iguais a 1 e obter 0, isto e, 1 +1 +1 + +1 = 0.Quando esse fato acontece, o menor natural k, tal que a soma dek par-celas1 e igual a0, e chamado a caracterstica de K. Quando tal n umeronatural n ao existe, dizemos que o corpo tem caracterstica zero.Emtodooseguinte, vamosconsiderarapenascorposdecaractersticazero.J. Delgado - K. Frensel 2 Instituto de Matem atica - UFFSistemas de Equac oes Lineares2. Sistemas de Equac oes LinearesSejaKumcorpo(comosempre, decaractersticazero)esejaosistema de m equac oes lineares a n inc ognitasA11x1+ A12x2++ A1nxn= y1A21x1+ A22x2++ A2nxn= y2............Am1x1+ Am2x2++ Amnxn= ym,()onde y1, . . . ,ym e Aij, 1 i m e 1 j n, s ao elementos de K.Denic ao 2.1Umanupla(x1, x2, . . . , xn) Knquesatisfazosistema echamadauma soluc ao do sistema. Se (y1, y2, . . . , ym) = (0, 0, . . . , 0), dizemos que o sistema e homog eneo. se c1, c2, . . . , cm K, dizemos que(c1A11 +c2A21 + +cmAm1)x1+(c1A12 +c2A22 + +cmAm2)x2+ + (c1A1n +c2A2n + +cmAmn)xn= c1y1 +c2y2 + +cmym e uma combinac ao linear das equac oes do sistema.Note que toda soluc ao do sistema e,tamb em,uma soluc ao desta novaequac ao. Dizemos que dois sistemas de equac oes lineares s ao equivalentes secada equac ao de um dos sistemas e combinac ao linear das equac oes dooutro sistema.Em particular, sistemas de equac oes lineares que s ao equivalentes pos-suem exatamente as mesmas soluc oes.J. Delgado - K. Frensel 3 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes Elementares3. Operac oes ElementaresPodemos escrever o sistema () na forma matricialAX = Y,ondeA =______A11A12 A1nA21A22 A2n............Am1Am2 Amn______mn e a matriz dos coecientes do sistema,X =______x1x2...xn______n1e Y=______y1y2...ym______m1.Vamosconsiderartr esoperac oeselementaressobreaslinhasdamatriz A que correspondem a formar combinac oes lineares das equac oesdo sistema AX = Y:1. multiplicac ao de uma linha de A por um escalar n ao-nulo;2. substituic ao da p esima linha de A pelo resultado da soma da linhap esima maisc vezes a linhaq esima, sendoc K {0} ep ,=qn umeros entre 1 e m;3. transposic ao de duas linhas de A.Uma operac ao elementar sobre linhas e uma func ao e que a cadamatriz A de tamanho mn associa outra matriz e(A) de mesmo tamanho.Para as tr es operac oes elementares acima, temos:1. e(A)ij = Aij se i ,= p, e(A)pj = c Apj.2. e(A)ij = Aij se i ,= p, e(A)pj = Apj +c Aqj.3. e(A)ij = Aij se i ,= p, e i ,= q, e(A)pj = Aqj e e(A)qj = Apj.J. Delgado - K. Frensel 4 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes ElementaresTeorema 3.1Paracadaoperac aoelementar eexisteumaoperac aoelementar e1 domesmo tipo, tal que, e1(e(A)) = e(e1(A)) = A.Prova.De fato,See eamultiplicac aodap esimalinhapor c(c ,=0), ent aoe1 eamultiplicac ao da p esima linha por c1. Se e e a operac ao que substitui ap esima linha deA pelap esimalinha mais c vezes a q esima linha, ent ao e1 e a operac ao que substitui ap esima linha deA pelap esima linha deA maisc vezes aq esimalinha de A. Se e e a operac ao que transp oe as linhas p e q de A, ent ao e1 = e.

Denic ao 3.1SejamA eB matrizesm n sobre o corpo K. Dizemos queB e equiva-lente por linhas aA seB pode ser obtida deA por uma seq u encia nitade operac oes elementares sobre as linhas de A.Observac ao 3.1A equival encia por linhas no conjunto das matrizesm n e uma relac aode equival encia.Teorema 3.2SeA eB s ao matrizesm n equivalentes por linhas, ent ao os sistemashomog eneos AX = 0 e BX = 0 t em exatamente as mesmas soluc oes.Prova.Podemos passar de Apara B por meio de uma seq u encia nita de operac oeselementares sobre as linhas.A = A0A1A2 Ak = B.Basta ent ao observar que uma operac ao elementar sobre linhas n ao al-tera o conjunto de soluc oes.De fato. Sejam C e D matrizes mn tais que e(C) = D.Ent ao, toda linha deD e uma combinac ao linear das linhas deC. ComoC = e1(e(C)) = e1(D), toda linha de C e, tamb em, uma combinac ao linearJ. Delgado - K. Frensel 5 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes Elementaresdas linhas deD. Logo, C eD s ao matrizes equivalentes e, portanto, ossistemas homog eneos associados a tais matrizes possuem as mesmassoluc oes.

Exemplo 3.1Seja A a matriz 3 4A =___2 1 3 21 4 0 12 6 1 5___sobre o corpo .Vamos efetuar uma seq u encia nita de operac oes elementares sobre aslinhas de A:A =___2 1 3 21 4 0 12 6 1 5___(2)___0 9 3 41 4 0 12 6 1 5___(2)___0 9 3 41 4 0 10 2 1 7___(1)___0 9 3 41 4 0 10 1 1/2 7/2___(2)___0 9 3 41 0 2 130 1 1/2 7/2___(2)___0 0 15/2 55/21 0 2 130 1 1/2 7/2___(1)___0 0 1 11/31 0 2 130 1 1/2 7/2___(2)___0 0 1 11/31 0 0 17/30 1 1/2 7/2___(2)___0 0 1 11/31 0 0 17/30 1 0 5/3___= BComo as matrizes34A eB s ao equivalentes por linhas, os sistemaslineares homog eneos___2x1 x2+ 3x3+ 2x4= 0x1+ 4x2 x4= 02x1+ 6x2 x3+ 5x4= 0e___x3113x4= 0x1+173x4= 0x253x4= 0t em as mesmas soluc oes. Logo, toda soluc ao do sistema e da forma_173x4,53x4,113x4, x4_, x4 1.J. Delgado - K. Frensel 6 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes ElementaresOu seja, toda soluc ao e um m ultiplo da soluc ao (17, 5, 11, 3).

Denic ao 3.2UmamatrizR detamanhom n edita linha-reduzida oureduzidaporlinhas se:a. a primeira entrada n ao-nula de cada linha n ao-nula de R e igual a 1;b. toda coluna de R que cont em a primeira entrada n ao-nula de algumalinha tem todos as suas outras entradas nulas;Exemplo 3.2A matriz B obtida no exemplo anterior e reduzida por linhas.

Em alguns textos ...A matriz identidade e tamb emchamada matriz unidade,pois, como veremos maisadiante, atua como unidademultiplicativa para asmatrizes.Exemplo 3.3A matriz identidade n n I cujas entradas s ao:Iij = ij =_1 , se i = j0 , se i ,= j .

Exemplo 3.4As matrizes__1 0 0 00 1 1 00 0 1 0__e__0 2 11 0 30 0 0__n ao s ao reduzidas por linhas.

Teorema 3.3Todamatrizm ncomentradassobreumcorpo K eequivalenteporlinhas a uma matriz reduzida por linhas.Prova.SejaAumamatrizm n. SetodaentradanaprimeiralinhadeA e0, a condic ao a. est a satisfeita no que diz respeito` a primeira linha.Seaprimeiralinhatemumaentradan ao-nula, sejakomenor inteiropositivo j para o qual A1j ,=0. Multiplicando a linha 1 por A11j , a condic aoa. ca satisfeita em relac ao` a linha 1.J. Delgado - K. Frensel 7 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes ElementaresPara cadai 2, somamosAik vezes a linha1` a linhai, para tornar asoutras entradas na k esima coluna iguais a zero.Consideremos agora a matriz que resultou das operac oes acima. Se todaentradadalinha2 enula, nadafazemosaessalinha. Massealgumaentrada da linha2 e diferente de zero,multiplicamos essa linha por umescalar de modo que a primeira entrada n ao-nula seja 1.No caso em que a linha 1 tenha uma primeira entrada n ao-nula na colunak, a primeira entrada n ao-nula na linha2 aparece numa colunak

, ondek

,=k. Somando m ultiplos adequados da linha2` as diversas linhas, po-demos fazer com que todas as entradas da colunak

, com excec ao do1na linha 2, sejam nulas.Observe que ao efetuarmos essas ultimas operac oes, n ao alteramos asentradasdalinha1nascolunas1, . . . , kenenhumaentradadacolunak. Al em disso, se a linha1 fosse nula, as operac oes com a linha2 n aoafetariam a linha 1.Trabalhando com uma linha de cada vez da maneira acima, chegaremosa uma matriz reduzida por linhas ap os um n umero nito de etapas.

Denic ao 3.3Uma matriz R de tamanho mn e dita linha-reduzida ` a forma em escadaou reduzida por linhas` a forma em escada, se:a. R e reduzida por linhas;b. todalinhadeRcujasentradass aotodasnulasocorreabaixodetodas as linhas que possuem uma entrada n ao-nula;c. se as linhas1, . . . , r s ao as linhas n ao-nulas deR e se a primeiraentrada n ao-nula da linhai ocorre na colunaki, i=1, . . . , r, ent aok1 < k2 < . . . < kr.Isto e, existeuminteiropositivor, 1r merinteirospositivosk1,k2,. . .,kr com 1 ki n, tais que:a. Rij = 0, para i > r e 1 j n;b. Rij = 0, para j < ki e 1 i r;J. Delgado - K. Frensel 8 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes Elementaresc. Rikj= ij, para 1 i r e 1 j r;d. k1 < . . . < kr.Exemplo 3.5A matriz identidadenn e a matriz nulam n s ao matrizes reduzidaspor linhas` a forma em escada.

Exemplo 3.6A matriz___0 1 3 0 1/20 0 0 1 20 0 0 0 0___ e uma matriz reduzida por linhas` a forma em escada.

Teorema 3.4Toda matriz e equivalente por linhas a uma matriz reduzida por linhas` aforma em escada.Prova.SabemosquetodamatrizA eequivalenteporlinhasaumamatrizre-duzidaporlinhasR. Efetuandoumn umeronitodetransposic oesdaslinhas deR, obtemos uma matriz equivalente por linhas aR, e portanto aA, que e reduzida por linhas` a forma em escada.

Exemplo 3.7A matrizA do exemplo 3.1 e equivalente por linhas` a matrizB que est ana forma reduzida por linhas. Essa matriz e, por sua vez, equivalente porlinhas` a matrizC =___1 0 0 17/30 1 0 5/30 0 1 11/3___que e a forma reduzida por linhas` a forma em escada.

SejaRumamatrizm nreduzidaporlinhas` aformaemescadae sejam1, . . . , r as linhas n ao-nulas deR. Suponhamos que o primeiroelemento n ao-nulo da linha i, 1 i r, ocorra na coluna ki.J. Delgado - K. Frensel 9 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes ElementaresEnt ao, o sistemaRX=0 consiste der equac oes n ao-triviais. Al emdisso, ainc ognitaxkiaparecer a, comcoecienten ao-nulo, apenasnai esima equac ao. Se indicarmos por u1, . . . , unr as nr inc ognitas ques ao diferentes de xk1, . . . , xkr, ent ao as r equac oes n ao triviais do sistemas ao da forma:xk1+nr

j=1C1juj= 0.........xkr+nr

j=1Crjuj= 0(1)Todas as soluc oes do sistemaRX=0 s ao obtidas atribuindo valores ar-bitr arios` as inc ognitasu1, . . . unr e calculando os valores corresponden-tes de xk1, . . . , xkr por meio de (1).Exemplo 3.8Seja R a seguinte matriz 3 5 reduzida por linhas` a forma em escadaR =__0 1 3 0 1/20 0 0 1 20 0 0 0 0__Neste caso, temos r = 2, k1 = 2 e k2 = 4.As equac oes n ao-triviais do sistema RX = 0 s aox2 3x3 +12x5 = 0 x2 = 3x3 12x5x4 +2x5 = 0 x4 = 2x5Atribuindo valores arbitr arios x1 = a, x3 = b e x5 = c, vemos que qualquersoluc ao do sistema RX = 0 e da forma_a, 3b 12c, b, 2c, c_.

Observac ao 3.2SejaR uma matrizmn reduzida por linhas` a forma em escada. Se on umeror de linhas n ao-nulas e menor quen, o sistemaRX=0 possuisoluc oes n ao-triviais, isto e, soluc oes(x1, . . . , xn) em que nem todoxj enulo.Teorema 3.5Se A e uma matriz mn comm < n, ent ao o sistema homog eneo AX = 0admite soluc oes n ao-triviais.J. Delgado - K. Frensel 10 Instituto de Matem atica - UFFOperac oes ElementaresProva.SejaRumamatrizm nreduzidaporlinhas` aformaemescadaquesejaequivalenteporlinhas` amatrizA. Ent ao, ossistemasAX=0eRX = 0 possuem as mesmas soluc oes.Ser e o n umero de linhas n ao-nulas emR, ent aor m. Comom m.Logo,(cf +g)() =n

i=0(cfi +gi)i= cn

i=0fii+n

i=0gii= cn

i=0fii+m

i=0gii= cf() +g() .Comof g=

i,jfigjxi+j(verpag. 100), por (1)temosquef g() =

i,jfigji+j. Logofg() =_n

i=0fii_ _m

j=0gjj_= f() g() .

2. Interpolac ao de LagrangeSeja V o subespaco de K[x] gerado pelos polin omios 1, x, x2, . . . , xn,ouseja, V eosubespacode K[x]formadoportodosospolin omiosdegrau n, junto com o polin omio nulo. Ent ao, dimV= n +1.Sejamt0, t1, . . . , tn K,n + 1 escalares distintos, eLi :V K asaplicac oes denidas por Li(f) = f(ti), i = 0, 1, . . . , n.Pelo item a.do teorema anterior, temos que cadaLi e um funcionallinear, ou seja, Li V

.Vamos mostrar que {L0, L1, . . . , Ln} e uma base do espaco vetorial V

dual de V.J. Delgado - K. Frensel 104 Instituto de Matem atica - UFFInterpolac ao de LagrangePara isso, basta mostrar que existe uma base{p0, p1, . . . , pn} deVtal que{L0, L1, . . . , Ln} seja a sua base dual, ou seja,Li(pj)=ij =Pj(ti),para i, j = 0, 1, . . . , n.Consideremos os polin omiospj =n

i =1i =jx titj ti, j = 0, 1, . . . , n.Ent ao, j a que cadapj V e um polin omio de graun, epj(tk)=jk,pelo item b. do teorema anterior.Armac ao: Os polin omios p0, p1, . . . , pn s ao LI.De fato, sen

j=0cjpj=0, temos quen

j=0cjpj(ti)=0, para todoi =0, 1, . . . n.Como pj(ti) = ji, temos que ci = 0, para todo i = 0, 1, . . . n.Sendo dimV=n + 1, temos que{p0, p1, . . . , pn} e uma base deVdual da base {L0, L1, . . . , Ln}.Ent ao, sef V, temos a chamada f ormula de interpolac ao de La-grange:f =n

i=0f(ti) pi =n

i=0f(ti)n

k =1k =ix tkti tkTomando f = xj, obtemos,xj=n

i=0tjipi.Ent ao, a matriz de mudanca de base da base {1, x, x2, . . . , xn} para abase {p0, p1, . . . , pn}, e______1 t0t20 tn01 t1t21 tn1...............1 tnt2n tnn______conhecida como a matriz de Vandermonde. Essa matriz e, portanto, in-vertvel.J. Delgado - K. Frensel 105 Instituto de Matem atica - UFFInterpolac ao de LagrangeSeja,agoraf um polin omio sobre K,e seja f: K K a func aopolinomial que leva t em f(t).Observac ao 2.1Pode acontecer que f = g para dois polin omios f e g tais que f ,= g.De fato, seja K = Z2 e sejam f = x2+1 e g = x3+1 polin omios em Z2[x].Como f(0) = g(0) = 1 e f(1) = g(1) = 0, temos que f = g, mas f ,= g.Veremos que isso n ao ocorre quando K e um corpo com um n umero in-nito de elementos.Para descrever de maneira precisa a relac ao entre os polin omios eas func oes polinomiais, devemos denir o produto de duas func oes poli-nomiais.Denic ao 2.1Sejam f e g polin omios sobre K. O produto das func oes polinomiais f e g,associadas a f e g, respectivamente, e a func ao polinomial f g : K Kdada por:(f g)(t) = f(t) g(t) , t K.Pela parte b. do teorema 1.2, temos que (fg)(t) = f(t) g(t). Logo,(fg)(t) = (fg)(t) = f(t)g(t) = f(t) g(t) , t K.Assim,fg = f g.Com a multiplicac ao denida acima, o espaco vetorial das func oespolinomiais sobre K e uma algebra linear comutativa com elemento uni-dade.De fato,f( g h) = f(gh) =

f(gh) =

(fg)h = (fg) h = (f g) h.Denic ao 2.2Duas algebraslineares /e /sobreocorpo Ks aoditasisomorfasseexiste uma aplicac ao de / em /, tal que:J. Delgado - K. Frensel 106 Instituto de Matem atica - UFFInterpolac ao de Lagrange

(c +) = c +,

() = , , /, c K.Exemplo 2.1SejaV um espaco vetorial de dimens aon sobre o corpo K e seja B umabase ordenada de V.Sejam T, L /(V, V) operadores lineares sobre V e c K.Como [cT+L]B= c[T]B + [L]B e [T L]B= [T]B[L]B, temos que a aplicac ao/(V, V) KnnT [T]B e um isomorsmo da algebra dos operadores lineares sobre V na algebradas matrizes n n com entradas em K.SejaU /(V, V) e sejaf=n

i=0cixium polin omio de graun com coeci-entes em K. Ent ao,f(U) =n

i=0ciUi,e como T [T]B e uma aplicac ao linear, temos[f(U)]B=n

i=0ci[Ui]B .Al em disso, como [T L]B= [T]B[L]B para quaisquer L, T /(V, V), temosque[f(U)]B=n

i=0ci[U]iB,ou seja,[f(U)]B= f ([U]B).

Teorema 2.1Seja K um corpo com um n umero innito de elementos.Ent ao, a aplicac aof f e um isomorsmo da algebra dos polin omiossobre K na algebra das func oes polinomiais sobre K.J. Delgado - K. Frensel 107 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosProva.Como j a sabemos que a aplicac ao e sobrejetora, e que

(cf +g) = cf + g

(fg) = f g,bastamostrarqueaaplicac ao einjetora. Paratanto esuciente, pelalinearidade, demonstrar que f = O implica f = 0.Sejafumpolin omiodegrau ntal que f = O, esejamt0, t1, . . . , tnelementos distintos de K.Pela f ormula de interpolac ao de Lagrange, temos quef =n

i=0f(ti)pi.Como f = O, temos f(ti) = 0, para todo i = 0, 1, . . . , n. Logo, f = 0.

3. Ideais de Polin omiosLema 3.1Sejam f e d polin omios n ao-nulos sobre o corpo K tais quegrau(d) grau(f).Ent ao existe um polin omio g sobre K, tal quef gd = 0 ou grau(f gd) < grau(f) .Prova.Suponhamos quef =m

i=0aixi= amxm+m1

i=0aixi, am,= 0ed =n

j=0bjxj= bnxn+n1

j=0bjxi, , bn,= 0 .Tome g =ambnxmn, que faz sentido, pois m n. Ent ao,f gd = f ambnxmnd = 0 ou grau(f gd) < grau(f) .

J. Delgado - K. Frensel 108 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosTeorema 3.1Sejamf ed polin omios sobre um corpo K,sendod um polin omio n ao-nulo. Ent ao existem polin omios q e r tais que:(1) f = qd +r ,(2) r = 0 ou grau(r) < grau(d) .Os polin omios q e r que satisfazem (1) e (2) s ao unicos.Algoritmo de EuclidesProva.Exist encia: Se f = 0 ou grau(f) < grau(d), basta tomar q = 0 e r = f.Suponhamos, ent ao, que f ,= 0 e grau(f) grau(d).Ent ao, pelo lema anterior, existe um polin omio g K[x] tal que f dg = 0ou grau(f dg) < grau(f).Se f dg ,= 0egrau(f dg) grau(d) , existe h K[x] tal quef dg dh = 0ougrau(f d(g +h)) < grau(f dg) < grau(f) .Ap os um n umero nito de passos,no m aximo grau(f) grau(d) + 1 nocaso em que d n ao e um polin omio constante, chegamos a um polin omioq K[x] e a um polin omio r K[x], tais quef dq = r , comr = 0ougrau(r) < grau(d) .No caso em que d e um polin omio constante, basta tomarq =1df e r = 0.Unicidade: Suponhamos que existem outros polin omios q1, r1 K[x] taisque f = q1d +r1, onde r1 = 0ougrau(r1) < grau(d).Como f = qd +r = q1d +r1, temos que d(q q1) = r1 r.Se q q1,= 0ent ao, d(q q1) ,= 0egrau(d(q q1)) = grau(d) +grau(q q1) grau(d) .Mas, como grau(d(q q1)) = grau(r1 r)< grau(d) , chegamos a umacontradic ao (grau(d) < grau(d)).Logo, q q1 = 0e r1 r = 0, ou seja, q1 = qe r1 = r .

Denic ao 3.1Sejad um polin omio n ao-nulo sobre K ef K[x]. Se existeq K[x]tal quef=qd, dizemos qued dividef, quef e divisvel pord, ou quefJ. Delgado - K. Frensel 109 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omios e m ultiplo ded, e denominamosq o quociente def pord. Escrevemos,tamb em, q =fd.Proposic ao 3.1Seja f K[x] e seja c K. Ent ao, f e divisvel por x c se, e somente se,f(c) = 0.Prova.Pelo teorema anterior,existeq K[x] e um polin omio constanter,taisquef = (x c)q +r .Logo, f(c) = 0 se, e somente se, r = 0.

Denic ao 3.2Um escalarc K e uma raiz ou um zero de um polin omiof K[x], sef(c) = 0.Corol ario 3.1Um polin omiof n ao-nulo de graun sobre um corpo K tem no m aximonrazes em K.Prova.O resultado e obvio quando f tem grau 0 ou 1.Suponhamos que grau(f) > 1.Vamos proceder por induc ao sobre o grau n de f .Suponhamos que o resultado vale para polin omios de grau n 1.Sejac K uma raiz def. Ent ao, existeq K[x] de graun 1 tal quef=(x c)q. Como, por hip otese de induc ao,q possui no m aximon 1razes, temos que f possui no m aximo n razes.

A derivada do polin omio f = c0+c1x+c2x2+. . . +cnxn e o polin omioDf = f

= c1 +2c2x +. . . +ncnxn1.A derivac ao e linear, isto e, D e um operador linear sobre K[x]. Exis-tem tamb em as derivadas formais de ordem dois D2f = f

, de ordem tr esD3f = f

etc.J. Delgado - K. Frensel 110 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosTeorema 3.2Se f e um polin omio sobre K de grau n, ent aof =n

k=0Dkf(c)k !(x c)k,onde c e um escalar em K.F ormula de TaylorProva.Pela f ormula do bin omio de Newton, temos quexm= (c + (x c))m=m

k=0_mk_cmk(x c)k,onde_mk_=m!k ! (mk) !=m(m1)(m2) . . . (mk +1)123. . .k. Ent ao,xm=m

k=0Dkxm(c)k !(x c)k,que e a f ormula de Taylor para f = xm.Sef=n

m=0amxm, temos queDkf(c)=n

m=0amDk(xm)(c) , j a que a deri-vada de ordem k e linear.Logo,n

k=0Dkf(c)k !(x c)k=n

k=0n

m=0amDk(xm)(c)k !(x c)k=n

m=0amn

k=0Dk(xm)(c)k !(x c)k=n

m=0amxm= f

Observac ao 3.1 Os polin omios 1, (x c), . . . , (x c)ns ao LI.De fato: Procedemos com a demonstrac ao usando induc ao sobre n.1.{1} e LI, j a que 1 ,= 0.2. Suponhamos que {1, (x c), . . . , (x c)n1} e LI e queJ. Delgado - K. Frensel 111 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosan(x c)n+an1(x c)n1+. . . +a1(x c) +a0 = 0.Logo,an(x c)n= (an1(x c)n1+. . . +a1(x c) +a0) .Ent ao, an = 0, pois se an,= 0, teramos que an(xc)nseria um polin omiodegraun, enquantoan1(x c)n1+. . . +a0 eumpolin omiodegrau n 1.Como an = 0, temosan1(x c)n1+. . . +a1(x c) +a0 = 0,Logo, an1 = . . . = a1 = a0 = 0. A f ormula de Taylor nos fornece, ent ao, o unico modo de escrever umpolin omio f como combinac ao linear dos polin omios (x c)k, 0 k n.Denic ao 3.3Sec for uma raiz do polin omiof, a multiplicidade dec como raiz def e omaior inteiro positivo r tal que (x c)rdivide f.Teorema 3.3Seja f um polin omio sobre K de grau n. Ent ao o escalar c K e uma raizde f de multiplicidade f se, e s o se,(Dkf)(c) = 0 , 0 k r 1;(Drf)(c) ,= 0 .Prova.Suponhamosqueftemmultiplicidader. Ent aoexisteg K[x]tal quef = (xc)rg, com g(c) ,= 0, pois se g(c) = 0, f seria divisvel por (xc)r+1.Pela f ormula de Taylor aplicada a g, temos queg =nr

k=0Dkg(c)k !(x c)k.Logo,f =nr

k=0Dkg(c)k !(x c)r+k.Como existe apenas uma maneira de escrever f como combinac ao lineardos polin omios (x c)k, 0 k n, temos queJ. Delgado - K. Frensel 112 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosDmf(c)m!=___0 , se 0 m r 1Dmrg(c)(mr)!, se r m nLogo, Dmf(c) = 0 se 0 m r 1 e Drf(c) = r ! g(c) ,= 0.Suponhamos agora queDkf(c)=0,0 k r 1 eDrf(c) ,=0. Ent ao,pela f ormula de Taylor,f = (x c)rn

k=rDkf(c)k !(x c)kr,ou seja, existe g =n

k=rDkf(c)k !(x c)kr K[x], tal que f = (x c)rg.Observe que g(c) =Drf(c)r,= 0.Suponhamos que r n ao e o maior inteiro positivo tal que (x c)rdivide f.Ent ao, existeh K[x], tal quef=(x c)r+1h. Sendof=(x c)rg=(x c)r+1h, temos que (x c)r(g (x c)h) = 0.Mas, comox c ,= 0, temos queg (x c)h= 0, ou seja,g=(x c)h.Assim, g(c) = 0, o que e uma contradic ao.

Denic ao 3.4Seja K um corpo. Um ideal em K[x] e um subespaco " de K[x] tal quefg " para todo f K[x] e todo g ".Exemplo 3.1Seja d K[x]. Ent ao " =dK[x], o conjunto de todos os m ultiplos de d eum ideal.De fato, " e n ao vazio, pois cont em d = d1. Se f, g K[x] e c K, ent ao c(df) +dg = d(cf +g) " .Logo, " e um subespaco de K[x]. Se h K[x] e d f ", ent ao (d f)h = d (fh) ". Logo " e um ideal.O ideal " = dK[x] e chamado o ideal principal gerado por d.

Exemplo 3.2Sejamd1, . . . , dnK[x]. Ent aoasoma" dossubespacosdiK[x],J. Delgado - K. Frensel 113 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosi = 1, . . . , n, e um subespaco e, tamb em, um ideal.De fato, se p ", existem f1, . . . , fn K[x] tais que p = d1 f1+. . . +dn fn.Se g K[x], temos quepg = (d1 f1 +. . . +dn fn)g = d1 (f1 g) +. . . +dn (fn g) ,ou seja, pg ". Dizemos que "=d1 K[x] + . . . + dn K[x] e o idealgerado pelos polin omios d1, . . . , dn.

Exemplo 3.3Seja K um subcorpo dos n umeros complexos e consideremos o ideal" = (x +2)K[x] + (x2+8x +16)K[x] ,Ent ao, " = K[x]. De fato, como(x2+8x +16) x(x +2) = 6x +16 " ,temos que (6x + 16) 6(x + 2) =4 ". Assim, o polin omio constante 1pertence a ", bem como todos os seus m ultiplos.

Teorema 3.4Seja " um ideal n ao-nulo de K[x]. Ent ao existe um unico polin omio unit ariod K[x] tal que " = dK[x].Prova.Exist encia. Como " en ao-vazio, existeem "umpolin omioddegraumnimo e unit ario. Vamos mostrar que " = dK[x].Seja f ". Ent ao existem q, r K[x] tais que f =qd + r, onde r = 0 ougrau(r) < grau(d).Comod ", temos quedq " e, portanto,r=f qd ". Sendodum polin omio em " de grau mnimo, n ao podemos ter grau(r)< grau(d).Logo, r = 0 e f = dq.Assim, " = dK[x].Unicidade. Sejam d, d1 K[x] polin omios unit arios tais que" = dK[x] = d1K[x] .Ent ao, existemq, q1 K[x] taisqued=d1 q1ed1=d q. Logo,d = dqq1 e, portanto,grau(d) = grau(d) +grau(q) +grau(q1) .J. Delgado - K. Frensel 114 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosAssim, grau(q)= grau(q1)=0. Ou seja,q eq1 s ao polin omios constan-tes. Como d e d1 s ao unit arios, q = q1 = 1, isto e, d = d1.

Corol ario 3.2Sejamp1, . . . , pn K[x]polin omiosn aotodosnulos. Ent ao, existeum unico polin omio unit ario d tal que:(a) d pertence ao ideal gerado por p1, . . . , pn;(b) d divide pi, i = 1, . . . , n.Al em disso, todo polin omio d que satisfaz (a) e (b), satisfaz tamb em:(c) d edivisvel portodopolin omioquedividecadaumdospolin omiosp1, . . . , pn.Prova.Seja d K[x] o polin omio unit ario tal que d K[x] = p1 K[x] +. . . +pn K[x].Ent ao,d pertence ao ideal gerado porp1, . . . , pn e cadapi,i=1, . . . , n,pertence ao ideal dK[x].Logo, d divide cada um dos polin omios pi.Suponhamos agora quef seja um polin omio que divide cada um dos po-lin omios p1, . . . , pn. Ent ao, existempolin omios h1, . . . , hn, tais quepi = hi f, i = 1, . . . , n.Al emdisso, comod p1K[x]+. . .+pnK[x], existempolin omiosq1, . . . , qn, tais qued = p1 q1 +. . . +pn qn.Logo, d = f(h1 q1 +. . . +pn qn) , ou seja, d e divisvel por f.Seja d

um polin omio unit ario que satisfaz (a) e (b).Por (a),d

dK[x] = p1 K[x] + +pn K[x],ou seja, existe q K[x], tal que d

= dq.Comod

satisfaz (b) ed satisfaz (c), d e divisvel pord

, ou seja, existeh K[x] tal qued=d

h. Logo, d=dqh e, portanto, q=h=1.Assim, d

= d.

J. Delgado - K. Frensel 115 Instituto de Matem atica - UFFIdeais de Polin omiosDenic ao 3.5Sejamp1, . . . , pnpolin omiosemK[x] n aotodosnulos. Ent ao, o unicopolin omio unit ario d K[x] tal quedK[x] = p1 K[x] +. . . +pn K[x], e chamado o m aximo divisor comum (m.d.c.) dep1, . . . , pn, e e indicadopor (p1, . . . , pn).Se(p1, . . . , pn)= 1, ou seja,p1 K[x] + . . . + pn K[x] = 1K[x] = K[x],dizemos que p1, . . . , pn s ao primos entre si ou relativamente primos.Exemplo 3.4No exemplo anterior, vimos queK[x] = (x +2)K[x] + (x2+8x +16)K[x] .Logo, (x +2, x2+8x +16) = 1.

Exemplo 3.5Veriquemos que((x 2)2 (x + i), (x 2)(x2+ 1))=(x 2)(x + i),onde K e o corpo dos n umeros complexos.De fato, o ideal((x 2)2 (x +i))K[x] + ((x 2)(x2+1))K[x]cont em(x 2)2 (x +i) (x 2)(x2+1) = (x +2)(x +i)(i 2) .Logo, cont em o polin omio (x 2)(x +i) , que e unit ario e divide(x 2)2 (x +i) e (x 2)(x2+1) .Como o polin omio(x 2)(x + i) satisfaz (a) e (b) do corol ario anterior,temos que (x 2)(x +i) = ((x 2)2(x +i), (x 2)(x2+1)) .

J. Delgado - K. Frensel 116 Instituto de Matem atica - UFFDecomposic ao de um polin omio em fatores primos4. Decomposic ao de um polin omio em fatoresprimosDenic ao 4.1Dizemosqueumpolin omiof K[x] eredutvel sobre K[x] seexistempolin omiosg, h K[x], de grau 1, tais quef=gh. Caso contr ario,dizemos que o polin omiof e irredutvel. Sef K[x] e irredutvel e n ao-constante, f e dito um polin omio primo sobre K.Exemplo 4.1O polin omiox2+ 1 e redutvel sobre o corpo C dos n umeros complexos,poisx2+1 = (x +i)(x i) .Por outro lado, x2+1 e irredutvel sobre o corpo 1 dos n umeros reais, poissex2+1 = (ax +b)(a

x +b

),com a, b, a

, b

1, ent aoaa

= 1 , ab

+a

b = 0ebb

= 1 .Logo, 0=a1b+1a b=a2+b2ab, ou seja, a2+ b2=0. Comoa, b 1,temos que a = b = 0, o que e uma contradic ao, j a que aa

= 1 e bb

= 1.

Teorema 4.1Sejamf, g ep polin omios sobre o corpo K. Sep e um polin omio primoque divide o produto fg, ent ao p divide f ou p divide g.Prova.Podemos supor,sem perda de generalidade,quep e unit ario. Comop e primo, os unicos divisores unit arios de p s ao 1 e p.Seja d o m.d.c de p e f. Ent ao, d = 1 ou d = p.Se d = p, ent ao p divide f.Se d = 1, isto e, p e f s ao primos entre si, existem polin omios h, K[x],tais que 1 = hf +p.J. Delgado - K. Frensel 117 Instituto de Matem atica - UFFDecomposic ao de um polin omio em fatores primosMultiplicando essa igualdade porg, obtemos queg=hfg + pg.Como p divide fg, temos que p divide h fg. Al em disso, p divide p g.Logo, p divide g.

Corol ario 4.1Se p e um polin omio primo que divide o produto f1 . . .fn, ent ao p divideum dos polin omios f1, . . . , fn.Prova.Faremos a demonstrac ao por induc ao sobre n.Pelo teorema anterior, o resultado e v alido para n = 2.Suponhamos que o resultado seja v alido para n = k e que p divide f1 . . . fk+1.Como p divide f1 . . .fk fk+1 temos, pelo teorema anterior, que p dividefk+1 ou p divide f1 . . .fk.Isto e,p dividefk+1 ou, pela hip otese de induc ao,p dividefj, para algumj = 1, . . . , k.Assim, em qualquer caso, f divide algum fj, j = 1, . . . , k +1.

Teorema 4.2Todo polin omiof K[x] unit ario e n ao-constante pode ser decompostocomo um produto de polin omios primos em K[x] de uma unica maneira, amenos da ordem dos fatores.Prova.Provaremos o resultado por induc ao sobre o grau de f.Se grau(f) = 1, ent ao f e irredutvel e, portanto, primo.Suponhamos que o teorema seja v alido para polin omios de grau 1 e n > 1.Comop1 divideq1 . . .qn, temos quep1 divide algumqj, j =1, . . . , n.Sendo p1 e qj primos unit arios, temos que p1 = qj.Reordenando os polin omios qi, caso seja necess ario, podemos supor quep1 = q1.Logo,p1 p2 . . .pm = p1 q2 . . .qn,e, portanto, p2 . . .pm = q2 . . .qn.O teorema se segue agora pela hip otese de induc ao, pois esse polin omiotem grau menor que grau(f).

Observac ao 4.1Nadecomposic aodeumpolin omiounit arion ao-constanteemprodutode fatores primos unit arios,alguns fatores podem repetir-se. Assim,sep1, . . . , prs aoosfatoresprimosunit ariosdistintosqueocorremnade-composic ao de um polin omio unit ario n ao-constante f, ent aof = pn11 . . .pnrr,sendo o expoente ni o n umero de vezes que o fator primo pi ocorre nessadecomposic ao. Essadecomposic aodefemprodutodepot enciasdefatores primos e unica, a menos da ordem dos fatores, e se denomina adecomposic ao prim aria de f.Assim, todo divisor unit ario de f e da formap11 . . .prr,onde 0 i ni, i = 1, . . . , r.Em particular, o m.d.c de uma colec ao nita de polin omios n ao-constantese unit arios f1, . . . , fn eJ. Delgado - K. Frensel 119 Instituto de Matem atica - UFFDecomposic ao de um polin omio em fatores primosps11 . . .pskk ,onde p1, . . . , pks ao os polin omios primos que aparecemnas decomposic oesdetodosospolin omios f1, . . . , fne, paracadai =1, . . . , k, oexpo-entesi eomenordosexpoentescomqueopolin omiopi aparecenasdecomposic oes dos polin omios f1, . . . , fn.Se os polin omiosf1, . . . , fn n ao possuem fatores primos em comum, eless ao primos entre si.Exemplo 4.2Sejama, b, c K escalares distintos. Ent ao, x a, x be x cs aopolin omios primos unit arios distintos em K[x].Logo,((x b)n (x c)s, (x a)m (x c)s+1) = (x c)s,e((x b)n (x c)s, (x a)m (x c)s, (x b)n(x a)m) = 1 .

Teorema 4.3Seja f um polin omio unit ario n ao-constante sobre o corpo K e sejaf = pn11 . . .pnkk,a decomposic ao de f em (produto de pot encias de) fatores primos.Para cada j, 1 j k, sejafj =fpnjj=

i=jpnii,Ent ao, fi, . . . , fk s ao primos entre si.Teorema 4.4Sejafumpolin omiosobreocorpo Kcomderivadaf

. Ent ao, f eumproduto de polin omios primos distintos se, e somente se, f e f

s ao primosentre si.Prova.(=) Suponhamos que na decomposic ao de f em fatores primos algumpolin omio primo p esteja repetido, ou seja, f = p2 h, para algum h K[x].J. Delgado - K. Frensel 120 Instituto de Matem atica - UFFDecomposic ao de um polin omio em fatores primosEnt ao, f

=2p p

h +p2h

. Logo, ptamb emdividef

, n aosendo,portanto, f e f

primos entre si.(=) Suponhamos quef=p1 . . .pk, ondep1, . . . , pk s ao polin omiosprimos unit arios e distintos.Sejafj =fpj=

i=jpi.Ent ao,f

= p

1 f1 +. . . +p

k fk.Sejap um polin omio primo que dividef ef

. Ent ao, p=pi para algumi = 1, . . . , k. Como pi divide fj, para j ,= i, e pi divide f

, temos que p = pidivide p

i fi.Ent ao, p divide p

i ou p divide fi.Comop=pin aoaparecenadecomposic ao

j=ipj, temosquepin aodivide fi.Tamb em pi n ao divide p

i, pois grau(pi) > grau(p

i).Com isso vericamos que nenhum polin omio primo dividef ef

simulta-neamente. Ou seja f e f

s ao primos entre si.

Denic ao 4.2O corpo K e dito algebricamente fechado se todo polin omio primo sobreK tem grau 1, isto e, se todo polin omio primo unit ario sobre K e da formax c.Maneiras equivalentes para denir umcorpo algebricamente fechado: Um corpo K e algebricamente fechado se todo polin omio unit ario n ao-constante f K[x] se expressa na forma:f = (x c1)1 . . .(x ck)k,onde c1, . . . , ck K s ao escalares distintos e 1, . . . , k s ao inteiros positi-vos.Os escalares c1,...,ck s aoas razes de f e os inteiros1,...,k s ao as respectivasmultiplicidades dessas razes. Um corpo K e algebricamente fechado se todo polin omio n ao-constantef K[x] possui uma raiz em K. Ou seja, existe c K tal que f(c) = 0.J. Delgado - K. Frensel 121 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesExemplo 4.3O corpo C dos n umeros complexos e algebricamente fechado (Teoremafundamental daAlgebra).

Exemplo 4.4Sef e um polin omio unit ario com coecientes reais ec e uma raiz com-plexa de f, ent ao c e tamb em uma raiz de f.Portanto, o conjunto das razes de f e da forma:{t1, . . . , ts, c1, . . . , cr, c1, . . . , cr} ,onde t1, . . . , ts 1 e c1, . . . , cr C.Logo, f se decomp oe em C[x] sob a forma:f = (x t1). . .(x ts)(x c1)(x c1). . .(x cr)(x cr) ,ou seja, f se decomp oes em 1[x] sob a forma:f = (x t1). . .(x ts)p1 . . .pr,onde pi = (x ci)(x ci) = x2 (ci + ci) x + |ci|2 e um polin omio primode grau 2 em 1[x], i = 1, . . . , r.Assim, todo polin omio primo em 1[x] tem grau 1 ou grau 2.

5. DeterminantesDenic ao 5.1Um anel e um conjunto F, munido de duas operac oes:(x, y) x +y (adic ao)e(x, y) xy = xy (multiplicac ao),que satisfazem as seguintes propriedades:Lembre que um conjunto G eum grupo em relac ao a umaoperac ao: GG Gsea operac ao e associativa,possui elemento neutro e todoelemento de Gpossui inversoem relac ao` a operac ao. Al emdisso, quando a operac ao ecomutativa, o grupo e ditocomutativo ou Abeliano.1. F e um grupo comutativo em relac ao` a adic ao;2. A multiplicac ao e associativa:(xy)z = x(yz) , x, y, z F;3. A multiplicac ao e distributiva em relac ao` a adic ao:x(y +z) = xy +xz(x +y)z = xz +yz , x, y, z F .J. Delgado - K. Frensel 122 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesSe xy = yx para todos x, y F, dizemos que o anel F e comutativo.Se existe um elemento 1 F tal que 1x=x1=x x F, dizemos queF e um anel com elemento unidade (o elemento 1).Observac ao 5.1Um corpo e um anel comutativo com elemento unidade diferente de zeroquesatisfazapropriedadeadicional dequeacadaxn ao-nulocorres-ponde um elemento x1tal que x1x = 1.Exemplo 5.1O conjunto dos n umeros inteiros, com as operac oes usuais de adic ao emultiplicac ao, eumanelcomutativocomelementounidade, masn ao eum corpo.

Exemplo 5.2O conjunto dos polin omios sobre um corpo, com a adic ao e multiplicac aoque denimos para polin omios, e um anel comutativo com elemento uni-dade.

Exemplo 5.3SeF eumanel comutativocomelementounidade, ent aooconjuntodas matrizesmn com entradas em F, que denotamos Fmn, com asoperac oes(A+B)ij= Aij +Bij(CD)ij=n

k=1CikDkj. e um anel comutativo com elemento unidade.

Denic ao 5.2SejaFumanel comutativocomelementounidade. Umafunc aoD:Fnn F enlinear se para cadai=1, . . . , n,D e uma func ao linearda i esima linha, quando as outras n 1 linhas s ao mantidas xas.SeD:Fnn F e uma func ao e se1, . . . , n s ao as linhas damatrizA, escrevemosD(A) =D(1, . . . , n). DizerqueD enlinearsignica que, para todo i = 1, . . . , n,J. Delgado - K. Frensel 123 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesD(1, . . . , i1, ci +

i, i+1, . . . , n) = c D(1, . . . , i1, i, i+1, . . . , n)+ D(1, . . . , i1,

i, i+1, . . . , n),Exemplo 5.4Sejamk1, . . . , kn inteiros positivos,1 ki n, e sejaa F. Para cadamatriz A n n sobre F, denimosAo lado, A(i,j) designa aentrada Aij da matriz A.D(A) = aA(1, k1). . .A(n, kn)Ent ao, a func ao D e nlinear. De fato, considerando D como uma func aoda i esima linha de A, com as outras linhas xas, podemos escreverD(i) = A(i, ki)b,onde b e um elemento xo de F. Seja

i = (A

i1, . . . , A

in).Ent ao,D(ci +

i) = (cA(i, ki) +A

(i, ki))b = cD(i) +D(

i).Logo, D e uma func ao nlinear.Caso particular: o produto dos elementos da diagonal D(A) = A11. . .Ann e uma func ao nlinear sobre Fnn.

Exemplo 5.5Seja D uma func ao bilinear (2linear) sobre as matrizes 2 2 com entra-das em F.Fazendo e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), temosD(A) = D(A11e1 +A12e2, A21e1 +A22e2)= A11D(e1, A21e1 +A22e2) +A12D(e2, A21e1 +A22e2)= A11A21D(e1, e1) +A11A22D(e1, e2)+A12A21D(e2, e1) +A12A22D(e2, e2) .

Lema 5.1Uma combinac ao linear de func oes nlineares sobre Fnn e nlinear.Prova.Basta mostrar que uma combinac ao linear de duas func oesnlineares e nlinear.J. Delgado - K. Frensel 124 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesSejam D e E func oes nlineares, e sejam a, b F.A combinac ao linear aD+bE e denida por(aD+bE)(A) = aD(A) +bE(A) .Ent ao, xando todas as linhas exceto a linha i, temos(aD+bE)(ci +

i) = aD(ci +

i) +bE(ci +

i)= acD(i) +aD(

i) +bcE(i) +bE(

i)= c(aD+bE)(i) + (aD+bE)(

i) .Como queramos demonstrar.

Exemplo 5.6Seja F um anel comutativo com elemento unidade e seja D a func ao de-nida sobre as matrizes 2 2 com entradas em F porD(A) = A11A22 A12A21.ComoD=D1 + D2, ondeD1(A)=A11A22 eD2(A)=A12A21, temos,pelo lema anterior, que D e uma func ao bilinear.Vejamos algumas propriedades dessa func ao: Se I e a matriz identidade 2 2, ent ao D(I) = 1, isto e, D(e1, e2) = 1. Se as duas linhas de A s ao iguais, ent aoD(A) = A11A22 A12A21 = A11A12 A12A11 = 0 . Se A

e a matriz obtida de uma matriz A F22permutando suas linhas,ent aoD(A

) = A

11A

22 A

12A

21= A21A12 A22A11 = D(A) .

Denic ao 5.3Uma func aonlinearD e dita alternada, se as seguintes condic oes s aosatisfeitas:(a) D(A) = 0 sempre que duas linhas de A s ao iguais.(b) Se A

e a matriz obtida permutando duas linhas de A, ent aoD(A

) = D(A).J. Delgado - K. Frensel 125 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesObservac ao 5.2Demonstraremos abaixo que toda func ao nlinear que satisfaz (a) tamb emsatisfaz (b).Por outro lado, seD satisfaz a condic ao (b) eA e uma matriz com duaslinhas iguais, ent ao D(A) = D(A), ou seja, D(A) +D(A) = 0. Podemos,ent ao, concluirqueDsatisfazacondic ao(a)se, porexemplo, F eumcorpo onde 1 + 1 ,= 0, mas em geral (a) n ao e uma conseq u encia de (b).Denic ao 5.4SejaFumanel comutativocomelementounidadeesejanuminteiropositivo. Suponhamos queD seja uma func ao de Fnnem F. Dizemosque D e uma func ao determinante se D e nlinear, alternada e D(I) = 1.A exist encia e a unicidade da func ao determinante e evidente paramatrizes 1 1, A = [a], sobre F. Basta tomar D(A) = a.Pelo exemplo 5.5, sabemos que toda func ao bilinear sobre as matri-zes 2 2 sobre F e da formaD(A) = A11A21D(e1, e1) +A11A22D(e1, e2)+ A12A21D(e2, e1) +A12A22D(e2, e2) .Se D e alternada, temos queD(e1, e1) = D(e2, e2) = 0 e D(e2, e1) = D(e1, e2) .Logo, D(A) = (A11A22 A12A21)D(e1, e2).Se, al em disso, D(I) = D(e1, e2) = 1, temos queD(A) = A11A22 A12A21, e a unica func ao determinante das matrizes 22 com entradas no anel F.Antes de provarmos a exist encia e a unicidade da func ao determi-nantedasmatrizesn ncomentradasnoanel F, precisamosprovaralguns resultados preliminares.Lema 5.2SejaD uma func aonlinear sobre as matrizesnn com entradas noanel F. Suponhamos queD(A)=0 sempre que duas linhas adjacentesna matriz A sejam iguais. Ent ao D e alternada.Prova.J. Delgado - K. Frensel 126 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantes Primeiro vamos provar que D(A

) = D(A) sendo A

obtida transpondo-se duas linhas adjacentes da matriz A.Sejam 1, . . . , n as linhas de A e suponhamos queA

= (1, . . . , i1, i+1, i, i+2, . . . , n) ,isto e, A

e obtida transpondo-se as linhas i e i+1 da matriz A.Ent ao,D(1, . . . , i1, i +i+1, i +i+1, i+2, . . . , n)= D(1, . . . , i1, i, i, i+2, . . . , n)+D(1, . . . , i1, i, i+1, i+2, . . . , n)+D(1, . . . , i1, i+1, i, i+2, . . . , n)= D(1, . . . , i1, i+1, i+1, i+2, . . . , n) .Por hip otese,D(1, . . . , i1, i, i, i+2, . . . , n) = 0D(1, . . . , i1, i+1, i+1, i+2, . . . , n) = 0D(1, . . . , i1, i +i+1, i +i+1, i+2, . . . , n) = 0 .Logo,D(1, . . . , i1, i+1, i, i+2, . . . , n) = D(1, . . . , i1, i, i+1, i+2, . . . , n) ,ou seja, D(A

) = D(A). Seja agoraB a matriz obtida transpondo-se as linhasi ej da matrizA,sendo i < j.Podemosobter Bapartir deAporuma sucess aode transposic oesdepares de linhas adjacentes.Primeiro transpomos as linhasi ei + 1 e continuamos at e que as linhasestejam na ordem1, . . . , i1, i+1, . . . , j, i, j+1, . . . , n.Para isso, foram necess arias k = j i transposic oes de linhas adjacentes.Agora, temos que deslocar j para a i esima posic ao, realizando j 1 i = k 1 transposic oes de linhas adjacentes.Dessa forma,obtemosB a partir deA por meio dek + k 1=2k 1transposic oes de linhas adjacentes.Assim,D(B) = (1)2k1D(A) = D(A).J. Delgado - K. Frensel 127 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantes Seja agora A uma matriz com duas linhas iguais, digamos i = j, comi < j.Se j = i +1, D(A) = 0, pois A tem duas linhas adjacentes iguais.Se j > i +1, a matriz B, obtida transpondo as linhas j e i +1 da matriz A,tem duas linhas adjacentes iguais e, portanto, D(B) = 0. Mas, como,D(A) = D(B) ,temos que D(A) = 0.

Denic ao 5.5Se n>1 e A e uma matriz n n com entradas no anel F, indicamos porA(i | j)a matriz (n1) (n1) obtida de A, retirando-se a sua i esimalinha e a sua j esima coluna.SeD e uma func ao(n 1)linear eA e uma matriznn, escrevemosDij = D( A(i | j) ).Teorema 5.1Seja n > 1 e seja Duma func ao (n1)linear alternada sobre as matrizes(n 1) (n 1) com entradas no anel F.Para cada j, 1 j n, a func ao Ej denida porEj(A) =n

i=1(1)i+jAijDij(A) e uma func ao nlinear alternada sobre as n n matrizes A.Se D e uma func ao determinante, ent ao cada Ej tamb em o e.Prova.ComoD e(n 1)-linear eDij(A) independe dai esima linha, temosqueDij e uma func ao linear de todas as linhas, exceto ai esima. Mas,como a func aoA Aij e linear com respeito apenas` ai esima linhade A, temos que AijDij e uma func ao nlinear de A.Logo,Ej enlinear, pois uma combinac ao linear de func oesnlineares e nlinear.Para mostrar queEj e alternada, basta mostrar, pelo lema anterior, queEj(A) = 0 sempre que A tiver duas linhas adjacentes iguais.J. Delgado - K. Frensel 128 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesSuponhamos quek=k+1. Sei ,=k ei ,=k + 1, a matriz A(i | j) temduas linhas iguais e, portanto, Dij(A) = 0.Logo,Ej(A) = (1)k+jAkjDkj(A) + (1)k+1+jA(k+1)jD(k+1)j(A) .Como k = k+1, temos queAkj = A(k+1)je A(k | j) =A(k +1 | j) .Ent ao, Ej(A) = 0.Suponhamos, agora, que Dseja uma func ao determinante, ou seja D(In1) =1, onde estamos designando In1a matriz identidade (n 1) (n 1).Se In e a matriz identidade n n, temos queIn(j | j) = In1, 1 j n, eInij = 0, se i ,= j.Logo,Ej(In) = D( In(j | j) ) = D(In1) = 1 ,ou seja, Ej e uma func ao determinante.

Corol ario 5.1SejaFumanel comutativocomelementounidadeesejanuminteiropositivo. Ent ao existe uma func ao determinante sobre Fnn.Prova.J a provamos a exist encia da func ao determinante paran=1 en=2. Ocorol ario segue por induc ao, pois o teorema anterior nos diz como cons-truir uma func ao determinante sobre matrizes nn, a partir de uma func aodeterminante sobre matrizes (n 1) (n 1).O nosso objetivo agora e mostrar a unicidade da func ao determinante.SuponhamosqueDsejaumafunc aonlinearalternadasobreasma-trizesnn sobre F. SejaA uma matriznn com entradas em F quetem por linhas 1, . . . , n, e sejam e1, . . . , enas linhas da matriz identidaden n.Comoi =n

j=1A(i, j)ej, 1 i n,J. Delgado - K. Frensel 129 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantestemos queD(A) = D_n

j=1A(1, j)ej, 2, . . . , n_=n

j=1A(1, j)D(ej, 2, . . . , n) .Se, agora, substituirmos 2 porn

k=1A(2, k)ek, temos queD(ej, 2, . . . , n) =n

k=1A(2, k)D(ej, ek, . . . , n)Assim,D(A) =

k,jA(1, j)A(2, k)D(ej, ek, 3, . . . , n) .Ouseja, sesubstituirmoscadalinhaiporn

k=1A(i, k)ek, i =1, . . . , n,obteremos queD(A) =n

k1,...,kn=1A(1, k1)A(2, k2) . . . A(n, kn)D(ek1, ek2, . . . , ekn) .Como D e alternada, D(ek1, ek2, . . . , ekn) = 0 sempre que dois dos ndiceski s ao iguais.

Denic ao 5.6Uma seq u encia(k1, . . . , kn) de inteiros positivos menores ou iguais an,comapropriedadeden aoexistiremdoiski iguais, edenominadaumapermutac ao de grau n.Uma permutac ao de grau n pode ser denida como uma func ao bijetora do conjunto {1, 2, . . . , n} em si mesmo. Tal func ao corresponde ` a nupla(1, 2, . . . , n)e esimplesmenteumaregraparaordenar 1, 2, . . . , ndeoutra maneira.Assim,D(A) =

A(1, 1) . . . A(n, n)D(e1, . . . , en) ,onde a soma e estendida a todas as permutac oes distintas de grau n.J. Delgado - K. Frensel 130 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesComo a seq u encia (1, . . . , n) pode ser obtida da seq u encia (1, . . . , n)ap os um n umero nitom,0 m n, de transposic oes de pares de ele-mentos, e D e alternada, temos queD(e1, . . . , en) = (1)mD(e1, . . . , en).Em particular, se D e uma func ao determinante,D(e1, . . . , em) = (1)m,onde m depende somente de e n ao de D.Com isto, podemos provar um fato b asico sobre permutac oes.Proposic ao 5.1O n umero de transposic oes de pares de elementos usadas para passarda seq u encia(1, 2, . . . , n) para a seq u encia(1, . . . , n) e sempre par ousempre mpar.Prova.SejaD uma func ao determinante sobre as matrizesnn sobre F, cujaexist encia j a foi provada.Sejaumapermutac aodegraunesuponhamosquepassamosde(1, 2, . . . , n)a(1, . . . , n)pormeiodemtransposic oesdepares(i, j),i ,= j. Ent ao, D(e1, . . . , en) = (1)m.SeD(e1, . . . , en)=1,m tem que ser par, e seD(e1, . . . , en)=1,mtem que ser mpar.

Denic ao 5.7Se o n umero de transposic oes de pares usadas para passar da seq u encia(1, . . . , n)` a seq u encia(1, . . . , n) e sempre par (mpar) dizemos que apermutac ao e par (mpar).Dene-se, tamb em, o sinal de uma permutac ao porsinal =___1 , se e par1 , se e mpar .Teorema 5.2Seja F um anel comutativo com elemento unidade e seja n um inteiro posi-tivo. Ent ao existe exatamente uma func ao determinante sobre o conjuntoJ. Delgado - K. Frensel 131 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantesdas matrizes nn com entradas em F, que designamos det e e dada pordet(A) =

(sinal )A(1, 1) . . . A(n, n) ,sendo a soma estendida a todas as permutac oes distintas de grau n.Se D e uma func ao nlinear alternada arbitr aria sobre Fnn, ent aoD(A) = det(A)D(I)para toda matriz A Fnn.Prova.J avericamosqueseD eumafunc aonlinearalternadasobre Fnn,ent aoD(A) =

A(1, 1) . . . A(n, n) D(e1, . . . , en) ,sendo a soma estendida a todas as permutac oes distintas de grau n.Logo, como D(e1, . . . , en) = sinal , temosD(A) =

(sinal )A(1, 1) . . . A(n, n) D(I) , (I)Provamos, assim, queD(A) =

(sinal )A(1, 1) . . . A(n, n) e a unica func ao determinante sobre Fnn, que denotaremos por det(A).Se D e uma func ao nlinear alternada sobre Fnn, ent ao, por (I),D(A) = det(A)D(I) .

Observac ao 5.3Existem exatamenten! =12. . .n permutac oes de graun,pois se eumatal permutac ao, existemnescolhaspossveispara1; n1possibilidades para 2; n 2 possibilidades para 3, e assim por diante.A f ormuladet(A) =

(sinal )A(1, 1) . . . A(n, n)fornece det(A) como uma soma de n! termos, um para cada permutac aoJ. Delgado - K. Frensel 132 Instituto de Matem atica - UFFDeterminantes de graun. Um termo gen erico e um produtoA(1, 1) . . . A(n, n) denentradas da matrizA, uma entrada de cada linha e uma de cada coluna,acompanhado de um sinal + ou , conforme a permutac ao seja par oumpar.Teorema 5.3Seja F um anel comutativo com elemento unidade e sejam A e B matrizesn n com entradas em F. Ent ao,det(AB) = det(A)det(B) .Prova.Denimos a func aoD(A)= det(AB). Indicando por1, . . . , n as linhasde A, temos queD(1, . . . , n) = det(1B, . . . , nB) .Como (ci+

i)B = c(iB) +(

iB) e a func ao det e nlinear, conclumosque D e nlinear.Se i = j, ent ao iB = jB, e j a que det e alternada, temosD(1, . . . , n) = 0 ,ou seja, D e alternada.Sendo D uma func ao nlinear alternada, do teorema anterior segue queD(A) = det(A)D(I) .Mas D(I) = det(IB) = det(B). Portanto,det(AB) = D(A) = det(A)det(B) .Como queramos demonstrar.

Observac ao 5.41. Comoaspermutac oess aofunc oesbijetorasdoconjunto{1, . . . , n}sobre si mesmo, podemos denir o produto das permutac oes e comosendo a func ao composta (i) = ((i)) , i = 1, . . . , n.Se c indica a permutac ao id entica (ou identidade), E(i) = i, ent ao cada possui uma inversa 1tal que 1= 1 = c.Ent ao, o conjunto das permutac oes de graun, com o produto dado pelacomposic ao, e um grupo, denominado grupo sim etrico de grau n.J. Delgado - K. Frensel 133 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos Determinantes2. Sejam e permutac oes de graun, e sejame1, . . . , en as linhas damatriz identidade n n.Seja Aa matriz de linhas e1, . . . , en e seja B a matriz de linhas e1, . . . , en.A i esima linha da matriz A tem exatamente um elemento n ao-nulo, a sa-ber o 1 na coluna i.Assim, a i esima linha da matriz AB e eiB = e(i), pois eiB e a i esimalinha da matriz B. Logo, AB = (e1, . . . , en).Como det(A)=sinal , det(B)=sinal e det(AB)=sinal (), temos,pelo teorema anterior, quesinal ( ) = (sinal )(sinal ) .Ent ao, e uma permutac ao par se e s ao ambas pares ou ambasmpares, enquanto e mpar se uma das permutac oes e par e a outra e mpar.6. Propriedades dos Determinantes(1) det(At) = det(A)De fato, sendodet(At) =

(sinal )At(1, 1) . . . At(n, n)=

(sinal )A(1, 1) . . . A(n, n) ,e A(i, i) = A(j, 1j), para (i) = i = j, temosdet(At) =

(sinal )A(1, 1(1)) . . . A(n, 1(n)) .Al em disso, como 1 e a permutac ao id entica, temos que(sinal )(sinal 1) = 1,ou seja, sinal 1= sinal .Logo,det(At) =

(sinal 1)A(1, 1(1)) . . . A(n, 1(n)) = det(A) ,J. Delgado - K. Frensel 134 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos Determinantespois quando percorre todas as permutac oes de graun,1tamb em ofaz.Como consequ encia da igualdade det(At) =det(A), temos que afunc ao det(A) e, tamb em, uma func ao nlinear alternada das colunas damatriz A.(2) Se a matrizB e obtida da matrizA somando-se um m ultiplo de umalinha (coluna) a outra linha (coluna), ent ao det(B) = det(A).De fato, sejam1, . . . , n as linhas deA e sejaB a matriz obtida deA somando-se cj a i, onde i < j.Como det e uma func ao linear da i esima linha, temosdet(B) = det(A) +c det(1, . . . , i1, j, i+1, . . . , j, . . . , n) = det(A) .(3) Seja_A BO C_ uma matriznn na forma de blocos, ondeA e umamatriz r r, C e uma matriz s s (com r +s = n), B e uma matriz r s eO indica a matriz nula s r. Ent aodet_A BO C_= det(A) det(C)De fato, denamos a func aoD(A, B, C) = det_A BO C_.Se xarmos A e B, ent ao D e alternada e slinear como uma func aodas linhas de C. Assim, pelo teorema 5.2,D(A, B, C) = det(C)D(A, B, I) ,ondeI e a matriz identidadess. Subtraindo das linhas deB m ultiplosdas linhas de I, obtemos, pela propriedade anterior, queD(A, B, I) = D(A, O, I) .Como D(A, O, I) e alternada e rlinear como uma func ao das linhasde A, temos, pelo teorema 5.2, queD(A, O, I) = det(A)D(I, O, I) .Mas D(I, O, I) = det_IrOO Is_= det(In) = 1.J. Delgado - K. Frensel 135 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos DeterminantesLogo,D(A, B, C) = det(C)D(A, B, I) = det(C)D(A, O, I)= det(C)det(A)D(I, O, I) = det(A)det(C) .Por um raciocnio an alogo, ou tomando transpostas, vericamos quedet_A OB C_= det(A) det(C) .Exemplo 6.1Seja A 44a matrizA =_____1 1 2 32 2 0 24 1 1 11 2 3 0_____.Subtraindo das linhas 2,3 e 4 m ultiplos convenientes da primeira linha,obtemos a matriz_____1 1 2 30 4 4 40 5 9 130 3 1 3_____,que tem, pela propriedade (2), o mesmo determinante que a matriz A.Subtraindo da linha 3,54da linha 2 e subtraindo da linha 4,34da linha 2,obtemos a matrizB =_____1 1 2 30 4 4 40 0 4 80 0 4 0_____,cujo determinante e igual ao da matriz A. Como B e uma matriz em formade blocos, temos quedet(A) = det(B) = det_1 10 4_ det_4 84 0_= 4 32 = 128.

No teorema 5.1, provamos que se n > 1 e se D e uma func ao deter-minante sobre as matrizes (n 1) (n 1), ent aoJ. Delgado - K. Frensel 136 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos DeterminantesEj(A) =n

i=1(1)i+jAijDij(A) e uma func ao determinante sobre as matrizes nn, para todo j = 1, . . . , n.Pela unicidade da func ao determinante, temos, para cada j = 1, . . . , n,det(A) =n

i=1(1)i+jAijdet( A(i | j) ) .O escalarCij = (1)i+jdet( A(i | j) ) e chamado o cofator i, j da matriz A.A f ormula acima para det(A) e denominada o desenvolvimento dedet(A) pelos cofatores daj esima coluna, ou o desenvolvimento pelosmenores da j esima coluna.Assim, a f ormula acima nos diz que, para cada j = 1, . . . , n,det(A) =n

i=1AijCij, (I)onde o cofator Cij e (1)i+jvezes o determinante da matriz (n1)(n1)obtida de A retirando-se a i esima linha e a j esima coluna de A.Se j ,= k, ent ao,n

i=1AikCij = 0 . (II)Defato, sejaBamatrizobtidadeAsubstituindoasuaj esimacoluna pela k esima coluna. Como B tem duas colunas iguais eB(i | j) =A(i | j) , temos que0 = det(B) =n

i=1(1)i+jBijdet( B(i | j) )=n

i=1(1)i+jAikdet( A(i | j) )=n

i=1AikCij.Ent ao, por (I) e (II), temos quen

i=1AikCij = jk det(A) . (III)J. Delgado - K. Frensel 137 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos DeterminantesA matriz transposta da matriz de cofatores de A e chamada a matrizadjunta de A e se designa por Adj A, ou seja,(Adj A)ij = Cji = (1)i+jdet( A(j | i) ) .Por (III), temos quen

i=1(Adj A)jiAik = jk det(A) ,ou seja,(Adj A)A = det(A)I . (IV)Vamos provar, agora, que A (Adj A) = det(A)I.ComoAt(i | j) =A(j | i)t, temos(1)i+jdet( At(i | j) ) = (1)i+jdet( A(j | i) ) ,isto e, ocofator i, j damatriz At eocofator j, i damatriz A. Logo,Adj (At) = (Adj A)t.Assim, por (IV), temos queAdj (At)At= det(At)I = det(A)I ,e transpondo,A (Adj (At))t= det(A)I ,ou seja,A (Adj A) = det(A)I ,pois (Adj (At))t= Adj A.Resumindo, temosA (Adj A) = (Adj A)A = det(A)IDa mesma forma que para matrizes sobre um corpo, denimos asmatrizes invertveis com entradas num anel comutativo com elemento uni-dade.Denic ao 6.1Seja F um anel comutativo com elemento unidade, uma matrizA Fnn e dita invertvel sobre F se existe uma matriz B Fnn, dita inversa de A,tal que AB = BA = I.J. Delgado - K. Frensel 138 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos DeterminantesObservac ao 6.1Se a matrizA Fnnpossui uma matriz inversa, ent ao ela e unica e sedesigna A1.De fato, se BA = AC = I, ent aoC = I C = (BA) C = B(AC) = BI = B.ComoA (Adj A) = (Adj A)A = det(A)I ,temos que se det(A) e invertvel em F,ent aoA e uma matriz invertvelsobre F eA1= (det(A))1 Adj A.Reciprocamente,seA e invertvelsobre F,det(A) e um elementoinvertvel do anel F, pois se BA = I, temos:1 = det(I) = det(B)det(A) .Teorema 6.1Seja F um anel comutativo com elemento unidade e seja A Fnn. Ent aoA e invertvel sobre F se,e somente se,det(A) F e um elemento in-vertvel. Nesse caso, temosA1= (det(A))1 Adj AEm particular, uma matriz nn com entradas num corpo e invertvelse, e somente se, seu determinante e diferente de zero.Exemplo 6.2Seja F o anel dos inteiros e seja A =_1 23 4_.Ent ao, det(A) = 2 e Adj A =_4 23 1_.Assim, como det(A) ,= 1, A n ao e invertvel sobre o anel dos inteiros,mas e invertvel como uma matriz sobre o corpo dos n umeros racionais,sendo, nesse caso,A1=12Adj A = 12_4 23 1_=_2 13/2 1/2_.

J. Delgado - K. Frensel 139 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos DeterminantesObservac ao 6.2Se F e um anel comutativo com elemento unidade e A Fnnpossui umainversa` a esquerda ou` a direita, ent ao e invertvel.De fato, suponhamos que A possui uma inversa B ` a direita. Como AB = I,temos que det(A)det(B) = 1, ou seja, det(A) possui um elemento inversoem F. Logo, pelo teorema acima, A e invertvel eB = A1= (det(A))1 Adj A.Observac ao 6.3Se K e um corpo,os unicos elementos do anel de polin omios K[x] ques ao invertveis s ao os polin omios constantes n ao-nulos.De fato, se f, g K[x] e fg = 1, temos que grau(f) +grau(g) = 0.Assim, grau(f)=grau(g)=0, ou sejaf eg s ao polin omios constantesn ao-nulos.Portanto, uma matriznn com entradas em K[x] e invertvel sobre K[x]se, e somente se, seu determinante e um polin omio constante n ao-nulo.Exemplo 6.3Consideremos as matrizes A, B (1[x])22dadas por:A =_x2+x x +1x 1 1_e B =_x2x x +2x22x 3 x_.Ent ao,det(A) = (x2+x)1 (x +1) (x 1) = x +1 ,det(B) = (x2x) x (x +2)(x22x 3) = 6 .Assim, A n ao e invertvel sobre 1[x] e B e invertvel sobre 1[x].Mais ainda, comoAdj A =_1 x 1x +1 x2+x_e Adj B =_x x 2x2+2x 3 x21_,temos que (Adj A)A = (x +1)I e (Adj B)B = 6I, ou seja,B1= 16_x x 2x2+2x 3 x21_.

J. Delgado - K. Frensel 140 Instituto de Matem atica - UFFPropriedades dos DeterminantesObservac ao 6.4Matrizes semelhantes tem o mesmo determinante. Isto e, se P e invertvele B = P1AP, ent aodetB = det(P1AP) = det(P1)det(A)det(P) = det(A) ,pois, comoP1P= I, det(P)det(P1) = det(I) = 1.Denic ao 6.2Seja T um operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nita.Denimos o determinante de Tcomo sendo o determinante de [T]B, ondeB e uma base ordenada de V.OdeterminantedeT est abemdenido, poisse B

eoutrabaseordenada de V, ent ao [T]B e [T]Bs ao semelhantes, e possuem, portanto,o mesmo determinante.Regra de Cramer para aresoluc ao de sistemas deequac oes lineares.Observac ao 6.5Seja K um corpo e seja A Knn. Consideremos o sistema de equac oeslineares AX = Y para uma nupla Y= (y1, . . . , yn) dada.Ent ao,(Adj A)AX = (Adj A)Y ,ou seja,det(A) X = (Adj A)Y .Assim, se X = (x1, . . . , xn), temosdet(A) xj =n

i=1(Adj A)jiyi =n

i=1(1)i+jyidet( A(i | j) ) = det(Bj) ,onde Bj e a matriz nn obtida substituindo a j esima coluna de A por Y.Se det(A) ,=0, temos que o sistemaAX=Ypossui uma unica soluc aopara X, dada por:xj =det(Bj)det(A), j = 1, . . . , nOu aindaX =1det(A) (det(B1), . . . , det(Bn))J. Delgado - K. Frensel 138 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas -Preliminares1. Formas Can onicas ElementaresAs terminologias valorcaracterstico, valor pr oprioraiz caracterstica e autovalors ao equivalentes.Denic ao 1.1SejaVum espaco vetorial sobre o corpo K e sejaTum operador linearsobreV. Um autovalor deT e um escalar K tal que existe um vetorv V n ao-nulo tal que T(v) = v.Se e um autovalor de T, ent aoAs terminologias vetorcaracterstico, vetor pr oprio eautovetor s ao equivalentes.Tamb em, as terminologiasespaco caracterstico eautoespaco s ao equivalentes.todovetor w Vtal queT(w) =w echamadoumautovetordeTassociado ao autovalor . a colec ao de todos os autovetores associados a um autovalor deT edenominado o autoespaco de Tassociado a .Oautoespaco de T associado a umautovalor e de fato umsubespacode V, pois{v V | Tv = v} = {v V | (T I)v = 0} = n ucleo(TI) .Assim, K e um autovalor deTse, e somente se, T I n ao einjetora, ou seja, o subespaco{v V | (T I)v= 0} n ao e o subespaconulo.Lema 1.1Seja L um operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nita.Ent ao, L e invertvel se, e somente se, det(L) ,= 0.Prova.139Formas Can onicas ElementaresSeja Buma base ordenada do espaco vetorial V. ComoL e invertvelse, e somente se, [L]B e invertvel, temos que L e invertvel se, e somentese, det([L]B) ,= 0, ou seja, se, e s o se, det(L) ,= 0.

Teorema 1.1Seja Tum operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nitae seja um escalar. Ent ao, as seguintes armac oes s ao equivalentes.(a) e um autovalor de T.(b) TI n ao e invertvel.(c) det(TI) = 0.Prova.BastaobservarquesendoTIumoperadorsobreumespacove-torial de dimens ao nita, temos que T I n ao e injetiva se, e s o se, T In ao e invertvel.

Denic ao 1.2Seja K um corpo e seja A Knn. Um autovalor de A em K e um escalar K tal que a matriz AI n ao e invertvel.Ent ao, e um autovalor de A se, e s o se,det(AI) = det(I A) = 0.Denic ao 1.3O polin omio pc(x) = det(xI A), onde xI A e uma matriz com entradasem K[x], e denominado o polin omio caracterstico da matriz A.Observac ao 1.1Os autovalores deA em K s ao as razes do polin omio caracterstico damatriz A.Observac ao 1.2O polin omio caracterstico pc de uma matriz nn e um polin omio unit ariode grau n.De fato, pela f ormula do determinante de uma matriz em func ao de suasentradasJ. Delgado - K. Frensel 140 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas Elementaresdet(B) =

(sinal )B(1, 1) . . . B(n, n) ,temos quedet(xI A) = (x A11) . . . (x Ann) +

=id(sinal )q(x) ,onde q(x) s ao polin omios de grau n 1.Lema 1.2Matrizes semelhantes t em o mesmo polin omio caracterstico.Prova.Se B = P1AP, ent aodet(xI B) = det(xI P1AP)= det(P1(xI A)P)= det(P1) det(xI A) det(P)= det(xI A) ,pois det(P1)det(P) = det(P1P) = det(I) = 1 .

Observe que, em virtude dolema, o polin omiocaracterstico de um operadordepende apenas do operadore n ao da matriz representantede T utilizada paradetermin a-lo. Isto e, qualquerque seja a base B, opolin omio caracterstico de T e det(xI [T]B).Denic ao 1.4Seja T um operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nita eseja B um a base ordenada de V. O polin omio caracterstico do operadorT e, por denic ao, o polin omio caracterstico da matriz [T]B.Observac ao 1.3Os autovalores do operadorTs ao as razes do polin omio caractersticode T.De fato, e autovalor deTse, e s o se,T I n ao e invertvel. Ou seja,se, e s o se, [TI]B= [T]B I n ao e invertvel. Logo, e autovalor de Tse, e somente se, pC() = det(I [T]B) = 0 .Observac ao 1.4Como o polin omio caracterstico tem grau n, Tpossui no m aximo n auto-valores diferentes. Mas, Tpode n ao ter nenhum autovalor.J. Delgado - K. Frensel 141 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas ElementaresExemplo 1.1Seja T o operador linear sobre 12que e representado, em relac ao ` a basecan onica, pela matrizA =_0 11 0_.O polin omio caracterstico de T(ou de A) epC(x) = det(xI A) = det_x 11 x_= x2+1 .Como esse polin omio n ao possui razes reais, Tn ao possui autovalores.Mas seU e o operador linear sobre C2que e representado pela matrizAem relac ao` a base can onica, ent ao U possui dois autovalores:i e i.

Assim, ao discutirmos os autovalores de uma matrizA, precisamostomar o cuidado de estipular o corpo envolvido.Exemplo 1.2Seja A a matriz 3 3 realA =___3 1 12 2 12 2 0___.O polin omio caracterstico de A edet(xI A) = det___x 3 1 12 x 2 12 2 x___= x35x2+8x 4 = (x 1)(x 2)2.Logo, 1 e 2 s ao os autovalores de A.SejaTo operador linear sobre 13representado porA em relac ao` a basecan onica.Determinemos os autovetores de Tassociados aos autovalores 1 e 2.ComoA1 I = AI =___2 1 12 1 12 2 1___,tem posto dois, temos que o n ucleo deT I tem dimens ao1, ou seja, oJ. Delgado - K. Frensel 142 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas Elementaresespaco dos autovetores associados ao autovalor 1 tem dimens ao 1.Sendo (T I)(1, 0, 2) = (0, 0, 0), temos que v1 = (1, 0, 2) gera o n ucleo deTI. Logo,{v 13| Tv = v} = {k v1| k 1}.Consideremos agora a matrizA2I =___1 1 12 0 12 2 2___.Como o posto de A2I tem dimens ao dois, o espaco dos autovetores deTassociados ao autovalor 2 tem dimens ao 1.Sendo (T2I)(1, 1, 2) = (0, 0, 0), temos que{v | Tv = 2v} = {kv2| k 1} ,onde v2 = (1, 1, 2).

Denic ao 1.5Seja T um operador linear sobre o espaco V de dimens ao nita. Dizemosque T e diagonaliz avel se existe uma base de V formada por autovetoresde T.Ou seja, T e diagonaliz avel se seus autovetores geram o espaco V.Se B= {1, . . . , n} e uma base de autovetores de V e T(i) = cii,i = 1, . . . n, ent ao[T]B=______c1000 c2 0............0 0cn______, e uma matriz diagonal.Exemplo 1.3O operador linear Tsobre 12do exemplo 1.1 n ao e diagonaliz avel, pois Tn ao possui autovalores em 1.

Exemplo 1.4O operador linearTsobre 13do exemplo 1.2 apesar de possuir dois au-J. Delgado - K. Frensel 143 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas Elementarestovalores1e2nocorpo 1, n ao ediagonaliz avel, poisosespacosdosautovetores associados a esses autovalores t em dimens ao1. Portanto,n ao h a possibilidade de formar uma base de 13constituda de autoveto-res de T.

Suponhamos que o operadorT: V Vseja diagonaliz avel e quec1, . . . , ck s ao os autovalores distintos deT. Seja B uma base ordenadadeVformada por autovetores deT. Ent ao[T]B e uma matriz diagonal,cujos elementos da diagonal s ao os escalaresci,cada um repetido umdeterminado n umero de vezes. Seci est a repetidodi vezes,podemos,reordenando a base B, caso necess ario, fazer com que a matriz do ope-rador tenha a forma em blocos:[T]B=______c1I1OOO c2I2 O............O OckIk______,onde Ij e a matriz unidade djdj.Nesse caso, o polin omio caracterstico deT e o produto de fatoreslineares:pc(x) = (x c1)d1. . . (x ck)dk.Portanto, se o corpo K n ao for algebricamente fechado, estaremosobservandoumapropriedadeespecial deT, aodizermosqueseupo-lin omio caracterstico tem uma tal fatorac ao.Tamb em podemos observar que a multiplicidadedi do autovalorcicomo raiz do polin omio caracterstico e igual ` a dimens ao do espaco deautovetores associado ao autovalor ci.Defato, como[TciI]B eumamatrizdiagonal comdizerosnadiagonal, temos que a dimens ao do n ucleo de TciI e igual a di.A relac ao entre a dimens ao do autoespaco e a multiplicidade do au-tovalor como uma raiz do polin omio caracterstico nos fornecer a uma ma-neira simples de vericar se um operador dado e ou n ao diagonaliz avel.Lema 1.3Suponhamos que T = c. Se f e um polin omio arbitr ario, ent aof(T)() = f(c).J. Delgado - K. Frensel 144 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas ElementaresProva.Seja f = anxn+. . . +a1x +a0. Ent ao,f(T)() = (anTn+. . . +a1T+a0I)()= anTn() +. . . +a1T() +a0I()= ancn +. . . +a1c +a0= (ancn+. . . +a1c +a0)= f(c) .

Lema 1.4Seja T um operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nita.Sejamc1, . . . , ck os autovalores distintos deTe sejaWi, i =1, . . . , k, oespaco dos autovetores associado ao autovalor ci. Se W= W1+. . . +Wke Bi e uma base ordenada deWi, ent ao B= B1 . . . Bk e uma baseordenada de W. Em particular, dimW= dimW1 +. . . + dimWk.Prova.Sejav1 + . . . + vk = 0, ondevi Wi,i=1, . . . , k, e sejaf um polin omioarbitr ario.Como T(vi) = civi, temos, pelo lema anterior, que0 = f(T)(0) = f(T)v1 +. . . +f(T)vk = f(c1)v1 +. . . +f(ck)vk.Sejam f1, . . . , fk polin omios tais quefi(cj) = ij =___1 , i = j ;0 , i ,= j .Ent ao,0 = fi(T)(0) =k

j=1fi(cj)vj =k

j=1ijvj = vi.ComoW=W1 + . . . + Wk e o espaco gerado por todos os autovetoresdeT, temos que B= B1 . . . Bk geraW, onde Bi e uma base deWi,i = 1, . . . , k.Seja Bi = {vi1, . . . , vini} , i = i, . . . , k, e sejaa11v11 +. . . +a1n1v1n1+a21v21 +. . . +a2n2v2n2+. . . +ak1vk1 +. . . +aknkvknk= 0,uma combinac ao linear nula dos vetores de B.J. Delgado - K. Frensel 145 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas ElementaresFazendo vi =ai1vi1 + . . . + ainivini Wi, temos que v1 + . . . + vk = 0. Peloprovado acima, vi = 0 para cada i = 1, . . . , k.Logo, ai1vi1+. . .+ainivini= 0 para todo i = 1, . . . , k. Como {vi1, . . . , vini} = Bi e um conjunto LI, temos queai1=. . . =aini=0 para todoi=1, . . . , k.Provando, assim, que B e um conjunto LI de vetores de V.Como B e LI e gera W, temos que B= B1 . . . Bk e uma base de W e,portanto,dimW= dimW1 +. . . + dimWk.

Teorema 1.2Seja T um operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nita.Sejamc1, . . . , ckos autovalores distintos de T e seja Wio n ucleo de TciI.As seguintes armac oes s ao equivalentes:(a) T e diagonaliz avel.(b) O polin omio caracterstico de T epc = (x c1)d1. . . (x ck)dk,onde dk = dimWk.(c) dimV= dimW1 +. . . + dimWk.Prova.J a provamos (a)=(b).(b)=(c) Suponhamos que pC = (x c1)d1. . . (x ck)dk.Ent ao, grau(pC) = dimV= d1 +. . . +dk = dimW1 +. . . + dimWk.Pelo lema anterior, dim(W1 +. . . +Wk) = dimV.Logo, V= W1 +. . . +Wk.(c)=(a) Suponhamos, agora, que dimV= dimW1 +. . . + dimWk.Como dimW= dimW1 + . . . + dimWk, ondeW=W1 + . . . + Wk, temosque dimW= dimV.Ent ao, V= W, ou seja, os autovetores de Tgeram V.

O an alogo do teorema acima para matrizes pode ser formulado daseguinte maneira:J. Delgado - K. Frensel 146 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas ElementaresTeorema 1.3SejaAumamatrizn ncomentradasnocorpo Kesejamc1, . . . , ckos autovalores distintos deA em K. Para cadai, sejaWi o espaco dosvetores colunas em Kn1tais que(AciI)X = 0,e seja Bi uma base ordenada de Wi.Os vetores das bases B1, . . . , Bk podem ser reunidos para formar as colu-nas P1, . . . , P

de uma matriz P.Ent ao, a matrizA e semelhante sobre K a uma matriz diagonal se, e s ose,= n, ou seja, se, e s o se, P e uma matriz quadrada.Nesse caso, P e invertvel e P1AP e diagonal.Exemplo 1.5Seja T o operador linear sobre 13representado emrelac ao ` a base can onicapela matrizA =___5 6 61 4 23 6 4___Vamoscalcularopolin omiocaractersticodeApormeiodeoperac oeselementares sobre linhas e colunas da matriz xI A (1[x])33:det(xI A) = det___x 5 6 61 x 4 23 6 x +4___= det___x 5 0 61 x 2 23 x +2 x +4___= (x 2) det___x 5 0 61 1 23 1 x +4___= (x 2) det___x 5 0 61 1 22 0 x +2___= (x 2) det_x 5 62 x +2_= (x 2) ((x 5)(x +2) +12).= (x 2)(x23x +2) = (x 2)2(x 1) .Ent ao, 1 e 2 s ao os autovalores de T, eAI =__4 6 61 3 23 6 5__e A2I =__3 6 61 2 23 6 6__.J. Delgado - K. Frensel 147 Instituto de Matem atica - UFFFormas Can onicas ElementaresComo AI n ao e invertvel e posto (AI) 2, pois (4, 6, 6) e (1, 3, 2)s ao LI, temos que posto(AI) = 2.Al em disso, e claro que posto(A2I) = 1.SejamW1 eW2 os espacos dos autovetores associados aos autovalores1 e 2, respectivamente.Como dimW1=3 2=1 e dimW2=3 1=2, temos, pelo teoremaanterior, que T e diagonaliz avel, pois dimW1 + dimW2 = 1 +2 = dim13.E f acil ver que o n ucleo deT I e gerado pelo vetor1=(3, 1, 3),eassim, {1} e uma base de W1.On ucleo de T2I, isto e, o espaco W2, e formado pelos vetores (x1, x2, x3)tais que x1 = 2x2 +2x3. Logo, por exemplo, os vetores2 = (2, 1, 0) , e 3 = (2, 0, 1) ,formam uma base de W2.Ent ao, B= {1, 2, 3} e uma base de 13e [T]B e a matriz diagonalD =__1 0 00 2 00 0 2__.Assim, D = P1AP, ondeP=__3 2 21 1 03 0 1__, e a matriz de mudanca de base da base B para a base can onica.

J. Delgado - K. Frensel 148 Instituto de Matem atica - UFFPolin omios Anuladores2. Polin omios AnuladoresSejaVum espaco vetorial sobre o corpo K e sejaT : V Vumoperador sobre V.Ent ao, o conjunto" = {p K[x] | p(T) = O} , e um ideal da algebra K[x] dos polin omios com coecientes em K.De fato, sejam p, q K[x] e seja K. Como(p +q)(T) = p(T) +q(T) ,e(pq)(T) = p(T) q(T) ,temos que p +q " se p, q " e pq " se p ".O ideal " pode ser o ideal nulo, isto e, o ideal formado apenas pelopolin omio nulo. Mas veremos agora que isto n ao ocorre quando o espacovetorial V e de dimens ao nita.De fato, se dimV=n, temos que dim/(V, V)=n2. Logo, osn2+ 1operadoresI, T, . . . , Tn2, s ao LD. Isto e,existem escalaresc0, c1, . . . , cn2em K n ao todos nulos tais quec0I +c1T+. . . +cn2 Tn2= O.Ent ao, o polin omiop = c0 +c1x +. . . +cn2 xn2 e um polin omio n ao-nulo de grau n2que pertence ao ideal ".Como" eumideal n ao-nulo, existeum unicopolin omiounit ariop K[x] tal que " = pK[x].Ouseja, sef K[x], temos: f(T) =Ose, esomentese, existeq K[x] tal que f = pq.Denic ao 2.1SejaVumespacovetorial dedimens aonitasobreocorpoKesejaT: V V um operador linear. O polin omio minimal de T, designado pm, e o unico gerador unit ario do ideal dos polin omios com coecientes em Kque anulam T.J. Delgado - K. Frensel 149 Instituto de Matem atica - UFFPolin omios AnuladoresObservac ao 2.1Nenhum polin omio sobre K que anule Ttem grau menor que o de pm.Denic ao 2.2Se A e uma matriz nn com entradas no corpo K, denimos o polin omiominimal de A como sendo o unico gerador unit ario do ideal formado pelospolin omios de K[x] que anulam A.Observac ao 2.2Se o operadorT e representado, em relac ao a alguma base ordenada Bde V, pela matriz A = [T]B, ent ao Te A t em o mesmo polin omio minimal.De fato, se f K[x], temos quef(T) = O [f(T)]B= 0 f([T]B) = O f(A) = O.Observac ao 2.3Seja F um subcorpo do corpo K e suponhamos queA seja uma matriznn com entradas no corpo F. Ent ao, o polin omio minimal de A, quandoconsiderada como uma matriz de Fnn, e igual ao polin omio minimal deA, quando considerada como uma matriz de Knn.Sejapm F[x] o polin omio minimal deA, considerada como uma matrizde Fnn.Como pm K[x] e pm(A) = O, temos que o polin omio minimal pm K[x]de A considerada como uma matriz de Knn, tem grau grau(pm).Seja pm = xk+ak1xk1+. . . +a1x +a0. Ent ao,Ak+ak1Ak1+. . . +a1A+a0I = O.Ouseja, ovetor (ak1, . . . , a0) Kk esoluc aodeumsistemaden2equac oeslinearesdekinc ognitasdaformaBX=Y, ondeB Fn2ke Y Fn21.Ent ao, pelo que foi provado anteriormente, o sistema BX =Y possui umasoluc ao (bk1, . . . , b0) Fk. Ou seja, o polin omioq = xk+bk1xk1+. . . +b1x +b0 F[x]anula a matriz A. Logo, grau(q) = grau(pm) grau(pm) .Ent ao, grau(pm) = grau(pm).J. Delgado - K. Frensel 150 Instituto de Matem atica - UFFPolin omios AnuladoresAl emdisso, comopm K[x] eogeradorunit ariodoideal de K[x]dospolin omios que anulamA,pm K[x],pm(A)=O epm e unit ario, temosque pm = pm.Teorema 2.1SejaTumoperadorlinearsobreumespacovetorial Vdedimens aon(ou, sejaAumamatrizn n). Ospolin omioscaractersticoeminimaldeT(respectivamente,deA) possuem as mesmas razes,a menos demultiplicidade.Prova.Sejapmopolin omiominimal deTesejac Ktal quepm(c) =0.Ent ao, existe q K[x] tal que pm = (x c)q.Como grau(q) 2, temos tamb em quedet(B) = pc(T) ,pois o polin omio caracterstico de T, pc, e o determinante da matriz xIA,cujas entradas s ao os polin omios(xI A)ij = ijx Aij.Como det(xI A)= det ((xI A)t), temos, tamb em, quepc e o determi-nante da matriz xI At, cujas entradas s ao os polin omios(xI At)ij = ijx Aji.J. Delgado - K. Frensel 154 Instituto de Matem atica - UFFPolin omios AnuladoresPela denic ao de B, temos quen

j=1Bijvj = 0, 1 i n. (I)Seja B = Adj B. Ent ao, por (I), temos quen

j=1BkiBijvj = 0, 1 i, k n.Somando em relac ao a i, temosn

i=1n

j=1BkiBijvj = 0 =n

j=1_n

i=1BkiBij_vj = 0. (II)Como BB = det(B) I, temos quen

i=1BkiBij = kjdet(B) .Logo, por (II), temosn

j=1kjdet(B)vj = 0 =det(B)vk = 0, 1 k n.Assim, provamos que pc(T) = det(B) = 0, ou seja, que o polin omio carac-terstico de Tanula T.

Observac ao 2.5Comoopolin omiominimal pm divideopolin omiocaractersticopc eosdois polin omios possuem as mesmas razes, temos que, sepc se fatoracomopc = (x c1)d1. . . (x ck)dk,onde c1, . . . , ck s ao as razes distintas e dj 1 para todo j, ent aopm = (x c1)r1. . . (x ck)rk,com 1 rj dj, para todo j = 1, . . . , k.J. Delgado - K. Frensel 155 Instituto de Matem atica - UFFSubespac os Invariantes3. Subespac os InvariantesDenic ao 3.1SejaV um espaco vetorial sobre o corpo K eTum operador linear sobreV. Dizemos que um subespacoW deV e invariante porT, se para todovetor v W, o vetor T(v) pertence, tamb em, a W.Ou seja, W e um subespaco invariante por Tse T(W) W.Exemplo 3.1SejaT:V V um operador linear. Ent ao, os seguintes subespacos deV s ao invariantes por T: W= V; W= {0}; W= T(V) = Im(T) (a imagem de T); W= T1(0) = Ker(T) (o n ucleo de T).

Exemplo 3.2Seja K um corpo e seja D o operador derivac ao sobre o espaco K[x] dospolin omios com coecientes em K.Sejan um inteiro positivo e sejaWo subespaco de K[x] formado pelospolin omios de grau n.Ent ao W e invariante por D.

Exemplo 3.3SejamT, U: V Voperadores lineares sobreVque comutam, isto eT U = UT.Ent ao, W=U(V),a imagem deU,eN=U1(0),o n ucleo deU,s aosubespacos invariantes por T.De fato, se v W, existe w V tal que U(w) = v. Logo,T(v) = T(U(w)) = U(T(w)) W.Analogamente, se v N, U(v) = 0. Logo,U(T(v)) = T(U(v)) = T(0) = 0,ou seja, T(v) N.

J. Delgado - K. Frensel 156 Instituto de Matem atica - UFFSubespac os InvariantesUmtipoparticulardeoperadorquecomutacomT eumoperadorU = g(T), onde g e um polin omio.Por exemplo, U = TcI, onde c e um autovalor de T.Nesse caso, o n ucleo de U, que e o espaco dos autovetores associ-ados ao autovalor c, e invariante por TExemplo 3.4SejaTo operador linear sobre 12que e representado em relac ao` a basecan onica pela matrizA =_0 11 0_.Ent ao, os unicos subespacos de 12que s ao invariantes porTs ao 12e osubespaco nulo.De fato, qualquer outro subespaco invariante W teria dimens ao 1, ou seja,W seria gerado por um vetor v n ao-nulo.Sendo W invariante por T, teramos T(v) = v, ou seja Tteria um autova-lor em 1, o que e um absurdo, pois j a vericamos, no exemplo 1.1, que Tn ao possui autovalores reais.

Observac ao 3.1Quando o subespaco W e invariante por T, T induz um operador linear TWsobre o espaco W, denido por TW(v) = T(v), para todo v W.SuponhamosqueVtemdimens aonitaeque B={v1, . . . , vn} eumabase ordenada deV tal que B

={v1, . . . , vr} seja uma base ordenada deW, sendo r = dimW.Seja A = [T]B. Ent ao,T(vj) =n

i=1Aijvi, 1 j n.ComoW e invariante porT, temos queAij=0, para todos1 j r ei r +1. Assim,A =_B CO D_,onde B = [TW]B , e uma matriz r r, C e uma matriz r (nr) e D e umaJ. Delgado - K. Frensel 157 Instituto de Matem atica - UFFSubespac os Invariantesmatriz (n r) (n r).Lema 3.1Seja W um subespaco invariante por T. Ent ao, o polin omio caractersticodo operador TW divide o polin omio caracterstico de T, e o polin omio mini-mal de TW divide o polin omio minimal de T.Prova.Seja A =_B CO D_, onde A = [T]B e B = [TW]B .Por causa da forma em blocos da matriz A, temosdet(xI A) = det(xI B) det(xI D) .Ou seja, o polin omio caracterstico det(xI B) deTW divide o polin omiocaracterstico det(xI A) de T.Como a k esima pot encia da matriz A tem a forma em blocosAk=_BkCkO Dk_,onde Ck e uma matriz r(nr), temos que qualquer polin omio que anulaA, tamb em anula B.Assim, o polin omio minimal de B divide o polin omio minimal de A.

Observac ao 3.2Seja Tum operador linear sobre um espaco vetorial V de dimens ao nitan.Sejamc1, . . . , ck os autovalores distintos deTe sejaWi,i=1, . . . , k oespaco dos autovetores associados ao autovalor ci.Seja W= W1+. . . +Wk o subespaco gerado por todos os autovetores deT.Se Bi, i=1, . . . , k e uma base ordenada deWi, j a sabemos, pelo lema1.4, que B

= B1 . . . Bk e uma base ordenada deWe que dimW=dimW1 +. . . + dimWk.Ent ao, se B

= {v1, . . . , vr}, onde r = dimW, temos queT(vi) = tivi, i = 1, . . . , r,onde (t1, . . . , tr) = (c1, . . . , c1, . . . , ck, . . . , ck) com cada ci repetido dimWivezes.J. Delgado - K. Frensel 158 Instituto de Matem atica - UFFSubespac os InvariantesO subespacoW e invariante porT, pois todov W pode ser escrito naformav = 1v1 +. . . +rvr,logo,T(v) = 1t1v1 +. . . +rtrvr. Sejamvr+1, . . . , vn vetores deVtais que B={v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn} sejauma base de V.A matriz de Tem relac ao` a base B e da forma em blocos[T]B=_[TW]B CO D_,onde[TW]B =______t1000 t2 0............0 0tr______. e uma matriz r r diagonal.Assim,g=(x c1)

1. . . (x ck)

k, comi = dimWi, e o polin omio carac-terstico de TW.Comog divide o polin omio caractersticopc deT, temos que a multiplici-dade de ci como raiz de pc e no mnimo dimWi.Denic ao 3.2Seja V um espaco vetorial sobre o corpo K.Seja W um subespaco de V invariante pelo operador T: V V e seja vum vetor do espaco V.OTcondutordevemW eoconjuntoST(v; W)formadodetodosospolin omios g K[x] tais que g(T)(v) W.Emparticular, se W= {0}, o Tcondutor de v e denominado o Tanuladorde v.Observac ao 3.3Como o operadorTpermanecer a xo durante a maioria das discuss oes,abandonaremos o ndice T e escreveremos S(v; W) em vez de ST(v; W), eJ. Delgado - K. Frensel 159 Instituto de Matem atica - UFFSubespac os Invariantestal conjunto ser a denominado apenas condutor de v em W.Lema 3.2Se W e um subespaco invariante por T, ent ao W e invariante por qualquerpolin omio em T.Assim, para todov V, o condutor S(v; W) e um idealna algebra dospolin omios K[x].Prova.Sew W, ent aoT(w) W. ComoTn(w) =T(Tn1(w)), podemosprovar, por induc ao, que Tn(w) W, para todo n N.Assim, a0w+a1T(w) +. . . +anTn(w) W quaisquer que sejam os esca-lares a0, a1, . . . , an K, ou seja p(T)(w) W para todo p K[x].Ocondutor S(v; W) eumsubespacodeK[x], poissep(T)(v)Weg(T)(w) W, ent ao(cp +g)(T)(v) = cp(T)(v) +g(T)(v) W.ComoW e invariante porT, temos que seg e um polin omio emS(v; W),isto e, se g(T)(v) W e se f K[x] e um polin omio arbitr ario, ent ao(fg)(T)(v) = (f(T) g(T))(v) = f(T)(g(T)(v)) W,pois W e invariante por qualquer polin omio em T.

Observac ao 3.4O unico gerador unit ario do ideal S(v; W) e tamb emdenominado Tcondutorde v em W (ou Tanulador de v, no caso em que W= {0}).OTcondutor dev emW e o polin omio unit ariog de menor grau tal queg(T)(v) W.Observe que o polin omio minimal pertence ao ideal S(v; W). Logo, todoTcondutor (ou Tanulador) divide o polin omio minimal.Denic ao 3.3Um operador linearTsobre um espaco vetorial de dimens ao nita e tri-angul avel seexisteumabaseordenada BdeVtal queamatriz[T]B etriangular.J. Delgado - K. Frensel 160 Instituto de Matem atica - UFFSubespac os InvariantesLema 3.3Seja V um espaco vetorial de dimens ao nita sobre o corpo K. Seja T umoperador linear sobre V tal que o polin omio minimal de T seja um produtode fatores linearespm = (x c1)r1. . . (x ck)rk, ci K.SejaW um subespaco pr oprio deV (i.e. W ,=V) invariante porT. Ent aoexiste um vetor v em V tal que:(a) v , W;(b) (TcI)(v) W, para algum autovalor c do operador T.Prova.Seja wumvetor arbitr ario de V que n ao pertence a W e seja g o Tcondutorde w em W.Comow n ao est a emW,o polin omiog n ao e constante e divide o po-lin omio minimal pm. Ent ao,g = (x c1)s1. . . (x ck)sk,onde pelo menos um dos inteiros s1, . . . , sk e positivo.Seja j tal que sj > 0. Ent ao (x cj) divide g:g = (x cj) h.Pela denic ao de g, o vetor v = h(T)(w) n ao pertence a W, pois grau(h) r

, logo (N

)2r

j= O.Como DD

= N

N, temos que DD

e um operador diagonaliz avele nilpotente. Ent ao, DD

= O, ou seja D = D

, e, portanto, N = N

(verobservac ao abaixo).

Observac ao 7.2De fato, podemos provar que o unico operadorL que e simultaneamentediagonaliz avel e nilpotente e o operador nulo de, pelo menos, duas ma-neiras: Suponha queLr= O e que e um autovalor deL. Ent ao, existev ,= 0tal que L(v) = v. Logo, Lr(v) = rv = 0. Como v ,= 0, devemos ter = 0.Assim, o espaco V e gerado pelos autovetores associados ao autovalor 0,ou seja, L = O. SendoL nilpotente,seu polin omio minimal e da formaxs,para algums 1. Mas como L e tamb em diagonaliz avel, seu polin omio minimal e umproduto de fatores lineares distintos. Logo,x e o polin omio minimal deL,ou seja L = O.Corol ario 7.2SejaVum espaco vetorial de dimens ao nita sobre um corpo algebrica-mente fechado K.Ent ao, todo operador linear Tsobre V se escreve como uma soma de umoperador diagonaliz avel D com um operador nilpotente N, que comutam.Esses operadores D e B s ao unicos e s ao polin omios em T.Lema 7.1Se N e um operador nilpotente, ent ao I +N e um isomorsmo.Prova.Seja L =r

j=0(1)jNj, onde Nr+1= O e Nr,= O. Ent ao,J. Delgado - K. Frensel 188 Instituto de Matem atica - UFFO Teorema da Decomposic ao Prim aria(I +N)L = L(I +N) =r

j=0(1)jNj+r

j=0(1)jNj+1= I .Logo, I +N e invertvel e (I +N)1=r

j=0(1)jNj.

Observe a analoga entre ooperador inverso de I +Naolado e a s erie de pot encias(1x)1=

j=0xj.Observac ao 7.3Se N e nilpotente e ,= 0, ent ao I +N e um isomorsmo.De fato, como I +N = _I +1N_e1N e nilpotente, temos, pelo lemaanterior, que I +1N e um isomorsmo. Logo, I +N = (I +1N).Lema 7.2SejaVum espaco vetorial de dimens ao nita sobre o corpo K e sejaNum operador nilpotente sobre V.Suponha que o polin omio caracterstico de Nse escreve como umprodutode fatores lineares em K[x]. Ent ao,xn e o polin omio caracterstico deN,onde n = dim(V).Prova.De fato,sepc=(x c1)d1. . . (x ck)dk e o polin omio caracterstico deN, c1, . . . , ck s ao os valores caractersticos distintos de N.Mas comoN e nilpotente, 0 (o zero) e o unico valor caracterstico deN.Logo, pc = xn.

Observac ao 7.4SeV eumespacovetorial dedimens aonsobreocorpo KeN eumoperador nilpotente sobreV, ent aopc=xn e o polin omio caractersticode N.Comefeito, sejaKumcorpoalgebricamentefechadodoqual K eumsubcorpo. Seja B uma base ordenada de V e A = [N]B.Considerando Acomo uma matriz sobre K, temos, pelo lema anterior, quexn e o seu polin omio caracterstico. Mas, como o polin omio caractersticode N eJ. Delgado - K. Frensel 189 Instituto de Matem atica - UFFO Teorema da Decomposic ao Prim a