Algebra Linear e Corpos

Algebra Linear

Prof. Roldao da Rocha, 2013

E permitido o uso e a reproducao destas notas para finsexclusivamente educacionais, COM A AUTORIZACAO

EXPLICITA DO AUTOR.

U ⊗ (V ⊗ (W ⊗X))ξ- (U ⊗ V )⊗ (W ⊗X)

ξ- ((U ⊗ V )⊗W )⊗X

=

U ⊗ ((V ⊗W )⊗X)

Id⊗ ξ

? ξ - (U ⊗ (V ⊗W ))⊗X

ξ ⊗ Id

6

i

Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months ofcomplete darkness, isolation and starvation, constant danger, safe return

doubtful.1

Ernest Shackleton

Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the painsets in.

1Em 29 de dezembro de 1913, anuncio de um jornal britanico, convocando voluntariospara viagem ao Polo Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais tres mulheres.

Sumario

1 Corpos e Espacos Vetoriais 31.1 Corpos: definicoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Isomorfismo entre corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Outras estruturas algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Bases de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3 Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.4 Bandeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Nucleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 Espacos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.9.1 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Exercıcios 39

Bibliografia 49

1

Capıtulo 1Corpos e Espacos Vetoriais

1.1 Corpos: definicoes fundamentais

Primeiramente apresentaremos o conceito de corpo utilizando uma notacaosimilar ao que e usado usualmente no caso dos numeros inteiros — que naoe um corpo. Um corpo K e um conjunto nao-vazio dotado de duas operacoesbinarias “ + ” e “ · ”, denominadas soma e produto respectivamente, satisfa-zendo as seguintes propriedades1:

1. A operacao de soma tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K, a+ b = b+ a.(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K, vale a+ (b+ c) = (a+ b) + c.(c) Elemento neutro: existe um elemento z ∈ K, chamado de elemento nulo,ou zero, tal que a+ z = a = z + a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K existe um elemento denotado por b com a

1A notacao ( · ) e comumente usada para produto escalar, e aqui enquanto possıvel ten-taremos denotar o produto no corpo por justaposicao.

3

4 1. CORPOS E ESPACOS VETORIAIS

propriedade a + b = z. Esse elemento e mais comumente denotado por −aem alguns casos, por exemplo, quando K = R.

2. A operacao de produto tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K vale a · b = b · a(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K vale a · (b · c) = (a · b) · c(c) Elemento neutro: existe um elemento e ∈ K, chamado de unidade, talque a · e = a = e · a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K, a 6= z, existe um elemento denotado por b∗

com a propriedade a · b∗ = e. Esse elemento no caso onde K = R e maiscomumente denotado por a−1.

3. Distributividade: o produto e distributivo em relacao a adicao: para todosa, b, c ∈ K vale a · (b+ c) = a · b+ a · c.

Se a · b = z, entao a = z ou b = z.

Alguns autores consideram conveniente incluir tambem a hipotese de queo elemento neutro e o elemento nulo sao distintos, e 6= z, pois de outra formaterıamos K = {z} (prove!), uma situacao trivial.

I Obs.1: Um grupo e um conjunto nao-vazio G munido de uma operacaobinaria ◦ : G×G→ G, denominada produto, com as seguintes propriedades:

(a) Elemento neutro: existe um elemento e∗ ∈ G, denominado elementoneutro, tal que g ◦ e∗ = e∗ ◦ g = g para todo g ∈ G.(b) Elemento inverso: existe uma operacao G → G (g 7→ g−1) bijetoradenominada inversa, tal que g ◦ g−1 = e∗ = g−1 ◦ g, para todo g ∈ G.(c) Associatividade: para todos a, b, c ∈ G vale (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Quando umas das tres propriedades acima que definem um grupo nao e sa-tisfeita, temos outras estruturas algebricas. Quando somente (a) e (b) valem,dizemos que G e um grupoide. Quando somente a propriedade (c) e satisfeita,G e dito ser um semigrupo (alguns autores adicionam a condicao (a) nestecaso). Quando somente (a) and (c) sao validas G e dito ser um monoide. Ummonoide e portanto um semigrupo com unidade e um grupoide e um gruponao associativo. Note-se que corpos sao grupos comutativos em relacao aoperacao de soma e monoides comutativos em relacao a operacao de pro-duto. J

A distributividade e a unica propriedade listada acima que relaciona asoperacoes de soma e produto. Os elementos de um corpo sao comumentedenominados escalares. Por motivos estruturais, e importante enfatizar queum corpo depende da definicao do conjunto K e das operacoes binarias + e· nele definidas, e muitas vezes nos referiremos a um corpo como sendo uma

1.2. OS CORPOS ZP (P PRIMO) 5

tripla (K, +, ·). E frequente omitir-se o sımbolo “·” de produto por escalaresquando nao houver confusao.

Em um corpo K sempre vale a · z = z para todo a ∈ K. De fato, comoz = z+z (Prove!), segue que a·z = a·(z+z) = a·z+a·z. Somando-se a ambosos lados o elemento inverso (−a·z), teremos a·z+(−a·z) = a·z+a·z+(−a·z),ou seja, z = a · z + z = a · z, como querıamos provar. Pela comutatividadedo produto vale tambem z · a = z para todo a ∈ K.

B Exercıcio 1: Mostre que o elemento neutro da adicao e unico, e que aidentidade multiplicativa tambem e unica. C

B Exercıcio 2: Verifique que Q, R e C sao corpos em relacao as operacoesusuais de soma e produto. O conjunto das matrizes n × n para qualquern ≥ 2 com o produto usual de matrizes e um corpo?C

B Exercıcio 3: Mostre que R[√

2] := {a+ b√

2 | a, b ∈ R} nao e um corpo.C

1.2 Os corpos Zp (p primo)

Uma relacao de equivalencia R definida em um conjunto X e uma relacao(i) reflexiva, (ii) simetrica e (iii) transitiva, respectivamente (i) xRx, (ii) sexRy entao yRx, e (iii) se xRy e yRz entao xRz, ∀x, y, z ∈ X. O conjunto detodos os elementos equivalentes a x constituem a classe de equivalencia de x,denotada por [x] = {y ∈ X | yRx}. O conjunto dessas classes de equivalenciae denotado por X = X/R = {[x] |x ∈ X}, e denominado espaco quociente.Uma notacao muita utilizada para xRy e x ∼ y. Um elemento x ∈ [x] ouqualquer outro elemento em [x] e denominado representantede [x].

Tais classes de equivalencia sao disjuntas, no sentido de que [x] ∩ [y] = ∅.Mostraremos que se [x] ∩ [y] 6= ∅, entao [x] = [y]. Supondo entao que[x] ∩ [y] 6= ∅, existe c ∈ [x] ∩ [y], e em particular c ∼ x e c ∼ y. Portransitividade, x ∼ y. Agora mostraremos que [x] ⊂ [y]. Tomando umelemento arbitrario x1 ∈ [x] temos que x1 ∼ x, e como x ∼ y, entao y ∼ x1,isto e, x1 ∈ [y], e portanto, [x] ⊂ [y]. Analogamente podemos mostrar que[y] ⊂ [x], e portanto [x] = [y].

B Exemplo 1: Para n ∈ N, no conjunto dos inteiros Z podemos definira seguinte relacao de equivalencia: a ∼ b ⇔ a − b = kn, k = 0,±1,±2, . . .ou seja, os inteiros a e b sao considerados equivalentes se diferirem por ummultiplo de n. A classe de equivalencia de a consiste portanto no conjunto

[a] = {c ∈ Z | c = a+ kn} = {a, a± n, a± 2n, a± 3n, . . .}.


O conjunto das classes de equivalencia e o conjunto Zn = Z/ ∼, o conjuntodos inteiros modulo n. Outra notacao tambem utilizada e Z/nZ. Lembramosque, se a, b ∈ Z, dizemos que a e congruente a b modulo n — e denotamosa ≡ b mod n — se n| (a− b). Podemos ainda mostrar que nesse caso, a ≡ bmod n se e somente se existir um inteiro k tal que a = b+ kn.

Portanto definimos o conjunto das classes de equivalencia a partir darelacao a ∼ b ⇔ a = b mod n. C

B Exercıcio 4: Prove que a ∼ b definida por a ≡ b mod n e uma relacaode equivalencia C

B Exercıcio 5: Dado (a, b) ∈ Z × Z, com a, b ∈ Z, defina a relacao R emZ×Z por (a, b)R(c, d) se, e somente se ad = cb. Mostre que R e uma relacaode equivalencia C

Denotamos tambem o conjunto Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}, com n ∈ N,n ≥ 2, com a soma definida por [a] u [b] ≡ (a + b) (mod n) = [a + b], para[a], [b] ∈ Zn. Podemos tambem considerar em Zn uma operacao de produto,definida por [a] • [b] ≡ ab (mod n) = [ab].

I Teorema 1: Se o conjunto Zn e um corpo com as operacoes acimadefinidas, entao n e um numero primo. J

Demonstracao: As operacoes de soma e produto definidas acima saocomutativas, associativas e distributivas (justifique!). Sempre vale que [−a] =[n− a], ∀[a] ∈ Zn, o que implica na existencia de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existencia de elementos inversos [a]−1. Vamos supor que Znseja um corpo. Entao [a] ∈ {[2], . . . , [n−1]} tem uma inversa em Zn, ou seja,um numero [b] ∈ {[1], . . . , [n−1]} tal que [a]• [b] = 1. Lembrando a definicaode produto em Zn, isso significa que existe um inteiro k tal que ab = kn+ 1.Mas isso implica b− 1

a = k na . Como o lado esquerdo nao e um numero inteiro,o lado direito tambem nao pode ser. Portanto n/a nao pode ser inteiro paranenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n nao tem divisores e portanto e umnumero primo 3

Os conjuntos Zn tem profundas aplicacoes em teoria de codigos e relevantetambem em outras areas de Algebra e Geometria.

B Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4]u [6] = [10] = [3],enquanto que [6] • [6] = [6 · 6] = [36] = [1]. A tabela de multiplicacao paraZ7 e dada por

1.2. OS CORPOS ZP (P PRIMO) 7

u [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0][2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1][3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2][4] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3][5] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4][6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5][3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4][4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3][5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2][6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

Os valores de [a] u [b] e [a] • [b] para Z7 sao exibidos na interseccao da[a]-esima linha [b]-esima coluna, na tabela apropriada. C

B Exercıcio 6:

a) Quais sao os elementos invertıveis de Z10 com respeito a adicao e amultiplicacao induzidas?

b) Mostre que Z e Z6 nao sao corpos.

c) Faca a tabela multiplicativa de Z6, Z8 e Z9, identificando quais sao osrespectivos elementos inversıveis de tais conjuntos

C

I Proposicao 1: As operacoes u e • estao bem definidas em Zn J

Demonstracao: Suponha que [a] = [c] e [b] = [d] em Zn. Entao a = c+une b = d+ vn, para u, v ∈ Z apropriados. Assim,

[a+ b] = [c+ un+ d+ vn] = [c+ d+ (u+ v)n]

= [c+ d] + [(u+ v)n] = [c+ d] + [0] = [c+ d]

[a · b] = [(c+ un) · (d+ vn)]

= [c · d+ (c · v + u · d+ u · n · v) · n] = [c · d]

3


1.3 Isomorfismo entre corpos

Dois corpos (K1,u, ◦) e (K2,+, ·) sao ditos serem isomorfos se existir umaaplicacao bijetora φ : K1 → K2 que preserve as operacoes algebricas de K1 eK2, ou seja, tal que φ(a u b) = φ(a) + φ(b), φ(a ◦ b) = φ(a) · φ(b). Podemosprovar que φ(1K1

) = 1K2e φ(0K1

) = 0K2. Acima, 1Kj

e 0Kjsao a unidade

multiplicativa e o elemento nulo, respectivamente, de Kj , j = 1, 2.

B Exercıcio 7: Prove que φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a−1) =(φ(a))−1 para todo a ∈ K1, a 6= 0K1 C

B Exercıcio 8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma(a −bb a

), com a, b ∈ R. Mostre que esse conjunto e um corpo em relacao as

operacoes usuais de soma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo eisomorfo ao corpo dos numeros complexos C, atraves da aplicacao

Θ : C → M(2,R)

(a+ ib) 7→(a −bb a

)(1.1)

C

Considere agora um corpo K com unidade. Para um numero natural n,

definimos n · 1 =

n vezes︷︸︸︷1 + · · ·+ 1. Define-se a caracterıstica de K — e denotamos

por char(K) — como sendo o menor numero natural nao-nulo n tal quen·1 = 0. Se um tal numero nao existir, dizemos que o corpo tem caracterısticazero.

B Exercıcio 9: Prove que Q,R,C tem caracterıstica zero, e prove que Zp,com p primo, tem caracterıstica p C

B Exercıcio 10: Prove que, quando char(K) 6= 0, entao char(K) e sempreum numero primo C

B Exercıcio 11: Prove que, quando char(K) = p, entao ∀a, b ∈ K, (a+b)p =ap + bp. C

B Exercıcio 12: Sejam a, b ∈ K. Quais das seguintes relacoes sao necessa-riamente verdadeiras? Prove ou justifique.

1. 0.a = 0

2. (−1) · a = −a

3. (−a) · (−b) = a · b

4. 1 + 1 6= 0

1.4. OUTRAS ESTRUTURAS ALGEBRICAS 9

5. Se a 6= 0 e b 6= 0 entao a · b 6= 0

C

B Exercıcio 13: Dado um isomorfismo de corpos φ : (K1,u, ∗)→ (K2,+, ·),mostre que

1. φ(0K1) = 0K2

2. Se 1K1denota a identidade de K1, entao a identidade em K2 e dada por

φ(1K1).

3. φ(an) = (φ(a))n

4. φ−1 : K2 → K1 existe e tambem e isomorfismo.

5. Se (K3,�,�) e um corpo, e se ψ : (K2,+, ·)→ (K3,�,�) e isomorfismo,entao ψ ◦ φ : (K1,u, ∗)→ (K3,�,�) e tambem um isomorfismo

C

1.4 Outras estruturas algebricas

Considere elementos a, b, c de um conjunto S, e as seguintes propriedades:

A1) a+ b = b+ a

A2) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

A3) ∃z ∈ S tal que z + a = a+ z = a

A4) para cada a ∈ S, ∃a∗ ∈ S tal que a+ a∗ = a∗ + a = z

M1) a · b = b · a

M2) (a · b) · c = a · (b · c)

M3) ∃e ∈ S tal que e · a = a · e = a

M4) para cada a ∈ S tal que a 6= z, ∃a′ ∈ S tal que a · a′ = a′ · a = e

D) a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c

Z) Se a · b = z entao a = z ou b = z (ou ambos).


Usamos as palavras zero e identidade para descrever os elementos z e e res-pectivamente. Qualquer elemento a ∈ S (incluindo a = z) para o qual existeb 6= 0 tal que a·b = z ou b·a = 0 e chamado de divisor de zero. Substituımos asnotacoes 0, 1,−a, a−1 respectivamente por z, e, a∗, a′ para evitarmos atribuirinconscientemente algumas propriedades que decorrem das definicoes, masnao sao axiomas e devem ser provadas. A seguinte tabela ilustra as diver-sas estruturas algebricas advindas do conjunto S equipado com as operacoesbinarias + e · :

A1 A2 A3 A4 M2 D M1 M3 M4 Z 〈S,+, ·〉• • • • • • − − − − anel• • • • • • • − − − a.c.• • • • • • − • − − a.u.• • • • • • − − − • a.u.s.d.z• • • • • • • • − − a.c.u.• • • • • • • − − • a.c.s.d.z.• • • • • • − • − • a.u.s.d.z.• • • • • • • • − • a.i.• • • • • • − • • • a.d.• • • • • • • • • • corpo

Tabela 1.1: usamos na ultima coluna a notacao: anel comutativo: a.c.; anel com

unidade: a.u.; anel com unidade sem divisores de zero: a.u.s.d.z; anel comutativo

com unidade: a.c.u.; anel comutativo sem divisores de zero: a.c.s.d.; anel unital

sem divisores de zero: a.u.s.d.z; anel de integridade: a.i.; anel de divisao: a.d.

Um exemplo de anel bastante utilizado e o anel dos polinomios.

B Exercıcio 14: Prove que as propriedades M4 e Z nao sao satisfeitas paraZn quando n e um inteiro composto. Prove que todas as outras propriedadessao satisfeitas C

I Teorema 2: Seja p um inteiro positivo primo. Entao Zp satisfaz aspropriedades M4 e Z J

Demonstracao: a) Suponha que [a] ∈ Zp, [a] 6= [0] e denotemos oproduto em Zp por •. Entao p - a (isso denota que p nao divide a) em Z, eportanto o maximo divisor comum (m.d.c.) entre p e a, denotado por (p, a)satisfaz (p, a)=1. Portanto, existem r, s ∈ Z tais que rp + sa = 1. Entao[1]=[rp+ sa] = [sa] = [s] • [a]. Logo [s]•[a] = [a]•[s] = 1, e Zp satisfaz M4.b) Agora suponha que [b], [c] ∈ Zp tais que [b]•[c] = 0. Ou [b] = [0] e naoha mais nada a se provar, ou [b] 6= [0]. Pela parte a) da prova, entao existe[t] ∈ Zp tal que [t]•[b] = [1]. Entao, [0] = [t]•[0] = [t]•([b]•[c]) = ([t]•[b])•[c] =[1]•[c] = [c]. Portanto quando assumimos que [b]•[c] = [0] concluımos ou que[b] = [0] ou que [c] = [0], e portanto a propriedade Z e satisfeita para Zp 3

1.5. ESPACOS VETORIAIS 11

1.5 Espacos Vetoriais

Um espaco vetorial V sobre um corpo K e um conjunto de elementos cha-mados vetores, munido de uma operacao aditiva +: V ×V → V , denominadasoma vetorial, e tambem de um produto por escalares . : K × V → V comas seguintes propriedades:

1) A cada par u, v ∈ V de vetores, e associado um elemento u + v ∈ V ,denominado soma de u e v, com as seguintes propriedades:(a) A soma e comutativa: u+ v = v + u para todos u, v ∈ V(b) A soma e associativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w para todos u, v, w ∈ V(c) Existe um vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que u+0 = upara todo u ∈ V(d) A cada u ∈ V existe associado um unico vetor denotado por (−u) tal queu+ (−u) = 0

2) A cada par a ∈ K, u ∈ V existe associado um vetor denotado porau ∈ V , denominado produto de u por a, de forma que(a) O produto por escalares e associativo: a.(b.u) = (ab).u, para todos a, b ∈K e u ∈ V , onde ab e o produto de a por b em K.(b) 1.u = u para todo u ∈ V , onde 1 denota a unidade de K.(c) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de vetores:a.(u+ v) = a.u+ a.v, para todo a ∈ K e todos u, v ∈ V .(d) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de escalares:(a+ b).u = a.u+ b.u, para todos a, b ∈ K e todo u ∈ V .

B Exercıcio 15: Prove que os espacos vetoriais sao grupos comutativos emrelacao a operacao de soma C

Os elementos de um corpo sobre os quais um espaco vetorial se constituisao frequentemente denominados escalares. Usamos o sımbolo “+”tanto paraa operacao de adicao do corpo K quanto para a operacao de adicao do espacovetorial V , ainda que se trate de operacoes distintas. Igualmente usamos omesmo sımbolo “0”para designar o vetor nulo de V e “0” para denotar oelemento nulo de K.

B Exercıcio 16: Mostre que, usando os postulados acima, que 0.u = 0para todo u ∈ V , onde, o elemento “0” do lado esquerdo representa o zerodo corpo K e o do lado direito o vetor nulo de V . Em seguida, prove quepara todo a ∈ K e todo u ∈ V vale (−a).u = −(a.u), sendo que −a denota ainversa aditiva de a em K e −(a.u) denota a inversa aditiva de a.u ∈ V C

B Exercıcio 17: Prove que:


1. Se K e um corpo, entao K e um espaco vetorial sobre K com as mesmasoperacoes de soma e produto definidas em K.

2. Se K e um corpo e L e um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto deK que e por si so um corpo com as operacoes definidas em K), entao Ke um espaco vetorial sobre L.

3. Se K e um corpo, o produto Cartesiano Kn = {(k1, . . . , kn), kj ∈ K, j =1, . . . , n} e um espaco vetorial sobre K com a operacao de soma definidapor (k1, . . . , kn) + (l1, . . . , ln) = (k1 + l1, . . . , kn + ln) e o produto porescalares por a.(k1, . . . , kn) = (ak1, . . . , akn) para todo a ∈ K. O vetornulo e o vetor (0, . . . , 0).

4. O conjunto Mm×n(K), de todas as matrizes m × n cujos elementos dematriz pertencem a K, e um espaco vetorial sobre K, com a soma sendoa soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produtousual de matrizes por numeros escalares. O vetor nulo e a matriz comtodas as entradas nulas

C

B Exercıcio 18: Determine se os seguintes conjuntos sao espacos vetoriais:

1. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v =a2 v, ∀v ∈ V e a ∈ K.

2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v =(Re a) v, ∀v ∈ V e a ∈ K

3. O conjunto de todas as funcoes pares.

4. O conjunto de todas as funcoes ımpares.

C

B Exercıcio 19: Considere o conjunto R com a operacao de soma usual,um corpo Zp, com p primo e o produto Zp×R→ R, a ∈ Zp e x ∈ R dada peloproduto usual em R. Essa estrutura define um espaco vetorial? Justifique C

1.5.1 Subespacos Vetoriais

Um subconjunto U 6= ∅ de um espaco vetorial V e dito ser um subespaco ve-torial de V se e somente se, dados a ∈ K e u, v ∈ U , au+ v ∈ U . Subespacossao nesse sentido fechados com relacao a combinacoes lineares. Adicional-mente, o conjunto {0} e elemento de todo subespaco de V . De fato, se U esubespaco vetorial de V , entao se w e um elemento arbitrario de U , entao0.w ∈ U , e ja que 0.w = 0, entao 0 ∈ U para todo U ⊂ V . Alem disso,quando em particular quando a = 1, entao u+ v ∈ U .


B Exercıcio 20: Considere V = C3 e os seguintes conjuntos U ⊆ Vconsistindo dos vetores de componentes (a, b, c), onde a, b, c ∈ C tais que

1. a = 0

2. b = 0

3. a+ b = 1

4. a+ b = 0

5. Re a+ Re b ≥ 0 (aqui Re a denota a parte real de a)

6. a ∈ R

Em quais desses casos U e subespaco vetorial de V ? C

B Exemplo 3: Considere V o espaco vetorial P(R) dos polinomios de graun com coeficientes reais, e Ui ⊆ V (i = 1, 2, 3, 4) consistindo dos polinomiosp(t) sobre um corpo K que satisfazem a propriedade i:

1. possuem grau tres.

2. 2p(0) = p(1).

3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1.

4. p(t) = p(1− t),∀t ∈ R.

Queremos determinar em quais desses casos U e subespaco vetorial de V epara tanto iremos analisar cada caso em separado:

1. O espaco dos polinomios que possuem grau tres nao constitui um su-bespaco vectorial de V . De fato, adicionando ou subtraindo dois po-linomios de grau tres pode resultar em um polinomio de grau menor.Por exemplo, se f(x) = x3 − 3x e g(x) = x3, entao f(x)− g(x) = 3x eo grau de (g− f) e igual a um. Uma observacao mais imediata e que opolinomio identicamente nulo nao pertence a U e portanto U nao e umsubespaco de V .

2. Aqui U e subespaco vetorial de P(R). Com efeito, p(t) ≡ 0 satisfaz adefinicao 2p(0) = p(1). Alem disso, se p, q ∈ P(R) tais que 2p(0) = p(1)e 2q(0) = q(1), entao para a ∈ R temos 2(ap+ q)(0) = 2ap(0) + 2q(0) =ap(1) + q(1) = (ap+ q)(1).

3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1. Neste caso U nao e um subespacovectorial de V pois o inverso aditivo de uma funcao que e nao negativae nao positiva. Por exemplo se q(x) = x2, entao q ∈ U mas −q /∈ U .


4. p(t) = p(1 − t),∀t ∈ R. Aqui U e subespaco vetorial de P(R), poiso polinomio identicamente nulo satisfaz a condicao p(t) = p(1 − t)Dado outro polinomio q ∈ P(R), entao (ap + q)(t) = ap(t) + q(t) =ap(1− t) + q(1− t) = (ap+ q)(1− t).

C

B Exercıcio 21: Em um corpo finito Zp, p primo, calcule o numero desubespacos vetoriais de dimensao j em um Zp-espaco vetorial (Zp)n C

B Exercıcio 22: Prove que a interseccao de subespacos vetoriais e umsubespaco vetorial C

B Exercıcio 23: Prove que os unicos subespacos de R, sao o proprio R eo subspaco nulo. Mostre que todos os subespacos de R2 sao o proprio R2, osubespaco nulo ou os subespacos consistindo dos conjuntos dos multiplos deum vetor fixo em R2 centrado na origem (retas que passam pela origem) C

1.5.2 Bases de um Espaco Vetorial

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito {v1, . . . , vn} ⊂V de vetores e dito ser linearmente dependente (LD) se existir um conjunto deescalares {a1, . . . , an} ⊂ K, nem todos nulos, tais que a1v1 + · · ·+ anvn = 0.Um conjunto arbitrario de vetores e dito ser linearmente independente (LI)se nao possuir nenhum subconjunto finito que seja linearmente dependente.

Para um conjunto finito de vetores {v1, . . . , vn} ⊂ V e de escalares {a1, . . . , an} ⊂K, uma expressao como a1v1 + · · ·+ anvn e dita ser uma combinacao lineardos vetores vi.

Considerando agora um conjunto de vetores U ⊆ V , o espaco gerado porU e denotado por 〈U〉 e o conjunto de todos os vetores de V que podem serescritos como uma combinacao linear finita de elementos de U .

Denotando um conjunto arbitrario nao-vazio de ındices por J , uma base emum espaco vetorial V e um conjunto A = {vi | i ∈ J} de vetores linearmenteindependentes que geram V (qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de modounico como uma combinacao linear de elementos de A). Um espaco vetoriale dito ser de dimensao finita se possuir uma base finita, neste caso sendo suadimensao e definida como sendo o numero de elementos de sua base.

B Exemplo 4: Os polinomios de uma variavel real com coeficientes com-plexos Pn(t) = ant

n + · · · + a1t + a0, t ∈ R, ai ∈ C, e polinomio de grau nquando an 6= 0 C

B Exemplo 5: V = Cn sobre C e V = Rn sobre R sao ambos espacosvetoriais de dimensao finita n, enquanto que V = Cn sobre R e espaco vetorialde dimensao finita 2n. Isso mostra a dependencia da dimensao com o corpo


utilizado. Esse conceito sera bastante utilizado quando falarmos de produtotensorial C

B Exercıcio 24: Dois conjuntos disjuntos de R2 podem gerar o mesmoespaco vetorial? Qual e em R3 o espaco gerado pelo conjunto{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}? C

B Exemplo 6: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reaissobre o corpo dos reais e um espaco vetorial unidimensional, pois qualquerelemento v ∈ R pode ser escrito como v = v.1, onde {1} e o unico elementoda base de R. Ao considerarmos V = R sobre o corpo Q dos racionais, talespaco vetorial nao possui dimensao finita, pois nao existe um conjunto finito{x1, . . . , xm} de numeros reais tais que todo x ∈ R possa ser escrito comox = q1x1 + · · · + qmxm, onde qi ∈ Q. Como Q e um conjunto contavel, acolecao de numeros que podem ser escritos como o lado direito e uma colecaocontavel e tem a mesma cardinalidade de Qm, porem o conjunto R nao econtavel C

B Exercıcio 25: Verifique se P2(R) tem como base os vetores u1(t) = 1+ t,u2(t) = t+ 2t2 e u3(t) = 1− t2. C

I Teorema 3: Se em um espaco vetorial V existir um conjunto {vi} de nvetores linearmente independentes, entao a dimensao de V e maior ou iguala n J

Demonstracao: Suponhamos por absurdo que exista uma base B ={u1, . . . , uk} em V com k < n. Entao podemos escrever v1 = a1u1+· · ·+akukpois B e uma base e pelo menos ak 6= 0, portanto

uk = (ak)−1(v1 − a1u1 − · · · − ak−1uk−1) (1.2)

Analogamente temos que v2 = b1u1+· · ·+bkuk e usando a Eq.(1.2) escrevemosv2 = c1u1 + · · · + ck−1uk−1 + d1v1. Os ci nao podem ser todos nulos, senaov2 = d1v1, contrariando a hipotese de que os {vi} sao LI. Suponhamos queck−1 seja o elemento nao-nulo, podemos escrever uk−1 como uma combinacaolinear envolvendo {u1, . . . , uk−2} e os vetores v1 e v2. Apos k passos provamosque vk+1 = α1v1 + · · ·+αkvk, contrariando a hipotese de que os vi sao LI. 3

B Exercıcio 26: Se K e um corpo com p elementos, quantas bases existemem Kn? C

Vimos que o espaco V tem dimensao finita se ele possui uma base finita.Duas bases quaisquer de V tem o mesmo numero (finito) de elementos.

B Exercıcio 27: Prove as seguintes afirmacoes:a) O conjunto de vetores {e1, . . . , en} e LD se e somente se pelo menos um


dos vetores ej for combinacao linear dos outros.b) Se o conjunto {e1, . . . , en} e LI e o conjunto {e1, . . . , en, en+1} e LD, entaoen+1 e combinacao linear de e1, . . . , en C

B Exercıcio 28: Considere Kn−1[x] o espaco dos polinomios na variavelx que tem grau menor ou igual a n − 1, com coeficientes em um corpo K.Verifique que:a) O conjunto {1, x, . . . , xn−1} forma uma base de Kn−1[x], e as coordenadasde um polinomio f ∈ Kn−1[x] em tal base sao seus coeficientes.b) O conjunto S = {1, x − a, (x − a)2, . . . , (x − a)n−1} forma uma base deKn−1[x]. Se char(K)= p > n, entao os coeficientes de um polinomio f sao ele-

mentos do conjunto {f(a), f ′(a), . . . , f(n−1)(a)(n−1)! }, em relacao a base ordenada

S.c) Sejam a1, . . . , an ∈ K elementos distintos dois a dois. Seja gi(x) =∏i 6=j(x − aj)(ai − aj)−1. Os polinomios g1(x), . . . , gn(x) formam uma base

de Kn−1[x] — denominada base de interpolacao — e as coordenadas do po-linomio f nessa base e {f(a1), . . . , f(an)} C

I Obs.2: Dado U = {e1, . . . , en} um conjunto finito de vetores em V , eW = {ei1 , . . . , eim} um conjunto LI de U , dizemos que W e maximal se cadaelemento de U puder ser escrito como uma combinacao linear dos elementosde W J

I Proposicao 2: Qualquer conjunto {e1, . . . , en} ⊂ S maximal LI e umabase do espaco gerado 〈S〉 de S J

Demonstracao: Mostraremos que qualquer vetor em 〈S〉 pode ser escritocomo uma combinacao linear de e1, e2, . . . , ek. Por definicao, qualquer vetorem 〈S〉 pode ser expresso como uma combinacao linear de vetores em S.Qualquer vetor v ∈ S pode ser expresso com uma combinacao linear dee1, e2, . . . , ek. Para v ∈ {e1, . . . , en} ⊂ S, isso e obvio. Para v /∈ {e1, . . . , en},sabemos que um vetor v pode ser expresso como qualquer combinacao linearde e1, . . . , en se, e somente se v, e1, . . . , en sao LD. Portanto segue o enunciado3

Aplicando as consideracoes do Lema anterior a S = V , obtemos o

I Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores LI em V pode ser completadoa uma base J

Em particular, qualquer 0 6= v ∈ V esta contido em alguma base de V , equalquer conjunto de n vetores LI em um espaco vetorial V n-dimensionalforma uma base de V .


I Teorema 5: Qualquer subespaco vetorial U de um espaco vetorial dedimensao finita V tambem possui dimensao finita, e dim U ≤ dim V. Alemdisso, se U 6= V , entao dim U < dim V J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , ek} um sistema maximal de vetores LI emU . {e1, . . . , ek} e uma base de U e dim U = k. O conjunto LI {e1, . . . , ek}pode ser completado a uma base de V , e se U 6= V , entao dim V > k 3

B Exercıcio 29: Dados U,W subespacos vetoriais de V , para quais espacosvetoriais V temos valida a propriedade V ∩ (U +W ) = V ∩ U + V ∩W? C

B Exercıcio 30: Prove que se U e um subespaco de V e dim U = dimV <∞, entao U = V C

1.5.3 Transformacoes Lineares

Considere U e V espacos vetoriais sobre um corpo K. Uma aplicacaoφ : U → V e dito ser linear se ∀u, v ∈ U , a ∈ K, tivermos φ(au) = aφ(u) eφ(u+ v) = φ(u) +φ(v). Uma aplicacao linear e um homomorfismo de gruposaditivos. Com efeito, φ(0) = φ(0.0) = 0.φ(0) = 0 e φ(−u) = φ((−1).u) =−φ(u). Denotamos por Hom(U, V ) o conjunto dos homomorfismos entre U eV .

B Exercıcio 31: Mostre que as aplicacoes de homotetia f : V → V ,definidos por f(u) = a.u,∀a ∈ K, u ∈ V , sao transformacoes lineares C

Dizemos que dois K-espacos vetoriais U, V sao isomorfos se o homomor-fismo φ : U → V for uma aplicacao bijetiva. A aplicacao φ e denominadaisomorfismo entre U e V .

Se {e1, e2, . . . , en} e {f1, f2, . . . , fn} forem bases de U e V respectivamente,a matriz A ∈ Mm×n(K) de φ em relacao a tais bases acima tem elementosAij tais que φ(ei) = a1if1 + · · · + amifm, i = 1, . . . , n. (Isto e, as colu-nas de A sao as coordenadas dos vetores φ(e1), . . . , φ(en) em relacao a base{f1, f2, . . . , fn} ⊂ V . I Proposicao 3: Sejam U, V espacos vetoriais sobreum corpo K, e considere {e1, . . . , en} ⊂ U e {h1, . . . , hn} ⊂ V dois conjuntosde vetores com o mesmo numero de elementos. Entao, se 〈e1, . . . , en〉 coin-cide com U , existe somente uma aplicacao ψ : U → V tal que ψ(ei) = hi,para todo i entre 1 e n. Alem disso, se {e1, . . . , en} for LI — e neste caso{e1, . . . , en} forma uma base de U — entao a aplicacao ψ existe, e e umisomorfismo J

Demonstracao: Sejam ψ e ψ′ duas aplicacoess tais que ψ(ei) = ψ′(ei) =hi. Considere a aplicacao φ = ψ − ψ′, onde (ψ − ψ′)(ei) = ψ(ei) − ψ′(ei).Verifique que φ : U → V e linear, e dada a combinacao linear u = a1e1 +


· · · + anen ∈ U , temos que φ(u) = 0. Portanto ψ(u) = ψ′(u),∀u ∈ U ,logo ψ = ψ′. Agora, ja que cada elemento de u ∈ U pode ser unicamenterepresentado na forma u = a1e1 + · · · + anen, definimos ψ : U → V porψ(a1e1 + · · · + anen) = b1h1 + · · · + bnhn, onde bk ∈ K. Prove que talaplicacao e linear 3

B Exercıcio 32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) e um espaco vetorial C

Mostraremos agora que a inversa de uma aplicacao linear e linear. Seja ξ ∈Hom(U, V ) uma aplicacao bijetiva. Portanto existe ξ−1 : V → U . Mostremosentao que ξ−1 e linear. Ja que ξ e bijetiva, existem vetores — unicamentedefinidos — u1, u2 ∈ U tais que V 3 vi = ξ(ui). Das expressoes ξ(u1 + u2) =ξ(u1) + ξ(u2) e ξ(a u1) = a ξ(u1), aplicamos ξ−1 em ambos os lados dessasduas expressoes, e portanto u1+u2 = ξ−1(ξ(u1)+ξ(u2)) e a u1 = ξ−1(a ξ(u1)).Portanto, ξ−1(v1) + ξ−1(v2) = ξ−1(v1 + v2) e a ξ−1(v1) = ξ−1(a v1)

B Exercıcio 33: Mostre que se φ e uma aplicacao linear, entao φn tambeme linear, para todo n ∈ N CI Proposicao 4: Qualquer K-espaco vetorial V n-dimensional e isomorfo

a Kn JDemonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Considere a aplicacao

φ : V → Kn que associa a cada vetor v ∈ V , a n-upla (a1, . . . , an) decoordenadas do vetor v na base {ei}. Tal aplicacao e bijetiva. Agora, sev = a1e1 + · · ·+ anen e u = b1e1 + · · ·+ bnen, entao

u+ v = (a1 + b1)e1 + · · ·+ (an + bn)en

λv = (λa1)e1 + · · ·+ (λan)en

Portanto φ e isomorfismo 3

I Teorema 6: Dois K-espacos vetoriais U, V de dimensao finita saoisomorfos se e somente se eles possuem a mesma dimensao J

Demonstracao: O isomorfismo φ : U → V leva a base de U na base deV , e portanto dim U = dim V . Reciprocamente, considere dim U = dim V .Considere BU = {e1, . . . , en} ⊂ U e BV = {h1, . . . , hn} ⊂ V respectivamentebases de U e V . A expressao φ(a1e1 + · · ·+ anen) = b1h1 + · · ·+ bnhn defineuma aplicacao linear de U em V , de acordo com a penultima Proposicao.Alem disso φ e bijetiva, pois a1e1 + · · ·+ anen = φ−1(b1h1 + · · ·+ bnhn) 3

I Obs.3: Na demonstracao acima tomamos o isomorfismo φ : U → V , ese {e1, . . . , en} e base de U , entao {φ(e1), . . . , φ(en)} e base de V , portantodim U = dim V . Reciprocamente, provamos no Teorema acima que qualquerK-espaco vetorial V n-dimensional e isomorfo a Kn, e portanto esses espacostambem sao isomorfos entre si, por relacao de equivalencia J


1.5.4 Bandeiras

Um dos metodos usuais para se estudar conjuntos S que possuem estruturasalgebricas e por meio de sequencias de subconjuntos — ou cadeias crescentes— S0 ⊂ S1 ⊂ S2 ⊂ · · · . No formalismo dos espacos vetoriais, uma sequenciaestritamente crescente de subespacos (supondo dim V = n), correspondendoa filtracao2 V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr em V e denominada bandeira. O numeror e denominado comprimento da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr. A bandeiraV0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn e dita ser maximal se V0 = {0},

⋃ni=1 Vi = V , e um

subespaco nao pode ser inserido entre Vi e Vi+1: se Vi ⊂ M ⊂ Vi+1, entaoou Vi = M ou M = Vi+1. Quando r = n, entao dim Vi = i para todo i(1≤ i ≤ n), e a bandeira e denominada completa. Neste caso a bandeira euma serie de composicao de V .

Denominamos assinatura da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn a sequencia{dim V0, dim V1, . . . , dim Vn}.

Uma bandeira de comprimento n pode ser construıda a partir de qualquerbase do espaco V , definindo-se V0 = {0} e Vi = 〈e1, . . . , ei〉, para i ≥ 1. Talbandeira e maximal e tal construcao nos fornece todas as bandeiras maximais.

I Teorema 7: A dimensao do espaco vetorial V e igual a dimensao dequalquer bandeira maximal de V J

Demonstracao: Seja V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · uma bandeira maximal emV . Para todo i ∈ N, tomamos um vetor ei ∈ Vi\Vi−1 e mostraremos que{e1, . . . , ei} formam uma base de Vi. Primeiramente, 〈{e1, . . . , ei−1〉 ⊂ Vi−1e ei /∈ Vi−1, portanto segue-se por inducao sobre i (ja que e1 6= 0), que{e1, . . . , ei} e LI para todo i.

Agora, por inducao em i mostramos que {e1, . . . , ei} gera Vi. Assumaque tal afirmacao seja verdadeira para i − 1 e seja M = 〈e1, . . . , ei〉. EntaoVi−1 ⊂M de acordo com a hipotese de inducao e Vi−1 6= M , ja que ei /∈ Vi−1.A definicao de maximalidade de uma bandeira implica que M = Vi.

Se V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V e uma bandeira maximal finita emV , entao de acordo com o que ja foi mostrado, os vetores {e1, . . . , en}, ondeei ∈ Vi\Vi−1, formam uma base de V tal que dim V = n. Se V contemuma bandeira maximal infinita, entao essa construcao fornece um numeroarbitrariamente grande de conjuntos de vetores em V , e portanto V possuidimensao infinita 3

B Exercıcio 34: Prove que qualquer bandeira em um espaco V de dimensaofinita pode ser estendida a bandeira maximal, e seu comprimento nao excedea (dim V ) C

2Uma filtracao e um conjunto indexado Si de subobjetos de uma estrutura algebrica S,onde os ındices i estao em um conjunto I totalmente ordenado, sujeito a condicao deque se i ≤ j entao Si ⊆ Sj .


B Exercıcio 35: Mostre que em uma bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr, verifica-se que 0 ≤ dim V0 < dim V1 < · · · < dim Vr ≤ n C

Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de umabandeira completa, quando eliminamos alguns subespacos vetoriais apropri-ados. Reciprocamente, qualquer bandeira pode ser completada, inserindotambem subespacos vetoriais apropriados. Em geral isso pode ser feita demaneiras alternativas.

B Exercıcio 36: Complete a seguinte bandeira de R3:{0} ⊂ R2 (plano-xy) ⊂ R3, de duas maneiras diferentes C

1.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Uma aplicacao α : V −→ Ke dita ser um funcional linear se α(au + bv) = aα(u) + bα(v), ∀u, v ∈ V epara todo a, b ∈ K.

B Exercıcio 37: Mostre que, de acordo com a definicao acima, para qual-quer funcional linear α : V −→ K temos que α(0) = 0 C

O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K e denominado espacodual de V e denotado V ∗. O conjunto V ∗ e um espaco vetorial sobre K, aodefinirmos (aα+ β)(u) := aα(u) + β(u), ∀α, β ∈ V ∗, a ∈ K, u ∈ V .

B Exercıcio 38: Prove que V ∗ e espaco vetorial sobre K C

O vetor nulo de V ∗ e o funcional linear α que associa trivialmente todovetor de V a zero: α(u) = 0,∀u ∈ V .

B Exemplo 7: Sejam a1, . . . , an ∈ K escalares. Definimos φ : Kn → K aaplicacao φ(x1, . . . , xn) = a1x1 + · · ·+anxn. A matriz de φ e (a1, . . . , an) emrelacao a base usual de Kn e a base {1} de K. Notamos que todas as funcoeslineares sobre Kn sao dessa forma, e se x = x1e1 + · · · + xnen ∈ Kn, entaoφ(x) = x1φ(e1) + · · ·+ xnφ(en). Denote φ(ei) = ai C

B Exercıcio 39: Defina um funcional α ∈ (C2)∗ tal que α(1, 1) = 0. Definaum funcional α em (C3)∗ tal que α(1, 1, 1) = 0 e α(1, i, 3) = 0 C

B Exercıcio 40: Considere um funcional linear sobre um C-espaco vetorial.Tal funcional pode assumir somente valores reais? C

B Exercıcio 41: Seja C[a, b] o espaco das funcoes contınuas, f : [a, b]→ R.

Definimos φ(f) =∫ baf(t)dt. Prove que φ e um funcional linear C

O seguinte teorema sera implicitamente usado varias vezes no que se segue.

1.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES 21

I Teorema 8: Seja um espaco vetorial V sobre um corpo K. Se um vetorv ∈ V tem a propriedade α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, entao v = 0 J

Demonstracao: Seja B uma base em V . Para cada elemento u ∈ Bpodemos associar um funcional linear αu, definido como

αu(v) = vu, ∀v ∈ V (1.3)

onde, como todo v ∈ V pode ser escrito como uma combinacao linear finitade elementos de B, podemos sempre escrever v = vu u + v′, onde v′ e umacombinacao linear finita de elementos de B e vu ∈ K. Alem disso, vu = 0,caso u nao faca parte na decomposicao de v em uma soma finita de elementosde B).

B Exercıcio 42: Mostre que, para cada u ∈ B, αu : V → K dada pelaEq.(1.3) e um funcional linear C

Seja entao v ∈ V um vetor como no enunciado do Teorema. Se α(v) = 0para todo α ∈ V ∗, vale obviamente que αu(v) = 0, para todo u ∈ B. Issoimplica que v = 0 3

B Exercıcio 43: Considere o espaco M(n, K) das matrizes n × n sobre ocorpo K. Denotando as componentes de A ∈ M(n,K) por {Aij}, defina otraco da matriz como sendo o operador

Tr : M(n,K) → K

A 7→n∑i=1

Aii = A11 +A22 + · · ·+Ann

1. Mostre que Tr e um funcional linear sobre M(n,K), n ∈ N.

2. Dado n ∈ N e dadas matrizes A,B ∈ M(n,K), mostre que Tr(AB) =Tr(BA).

3. Mostre que nao existem matrizes A,B ∈ M(n,K) tais que AB −BA =In×n, n ∈ N. Exiba operadores A,B ∈ End(W ), onde W e um espacovetorial de dimensao infinita, onde AB −BA = IW

4. Ainda em W como acima, suponha que AB − BA = I. Mostre queAmB −BAm = mAm−1, m ∈ N.

C

I Proposicao 5: Se dim V = n, entao dim V ∗ = n e V ' V ∗ J


Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Para cada i, 1 ≤ i ≤ n,existe um unico ei ∈ V ∗ tal que ei(ej) = δij , j = 1, . . . , n. Os funcionais

e1, . . . , en sao LI: se α = α1e1 + · · · + αne

n, entao α(ei) =∑ni=1 αje

j(ei) =αie

i(ei) = αi. Suponhamos α = 0, logo αi = 0, i = 1, . . . , n. O conjunto{e1, . . . , en} forma uma base de V ∗: se α ∈ V ∗, entao α(ei) = αi, e α =α1e

1 + · · ·+ αnen. A base {ej} e dita ser a base dual de {ei} 3

B Corolario 1: Utilizando a notacao acima, α =∑ni=1 α(ei)e

i e v =∑ni=1 e

i(v)ei, para cada α ∈ V ∗ e v ∈ V . De fato, seja α =∑ni=1 αie

i.As coordenadas αi sao unicas, dadas por α(ei) = αi. Analogamente, sev =

∑ni=1 biei, entao ej(v) = bje

j(ej) = bj C

I Obs.4: O isomorfismo (entre espacos vetoriais) V ' V ∗ nao e canonicoou natural, no sentido que tal isomorfismo depende da escolha de bases. Semudamos de base em V o isomorfismo tambem e modificado J

B Exemplo 8: Suponha V tal que dim V = 1, para qualquer 0 6= e1 ∈ V ,o conjunto {e1} e base de V . Considere a base dual {e1} ⊂ V ∗, que satisfazpor definicao a relacao e1(e1) = 1. Dado a ∈ K\{0}, tome outra base {a e1}de V , portanto {a−1 e1} ⊂ V ∗ e a base dual associada. Mas as aplicacoeslineares φ : e1 7→ e1 e φa : ae1 7→ a−1e1 sao diferentes no caso onde a2 6= 1 C

A todo espaco vetorial V esta associado o espaco dual V ∗ de V . Ja vimosque esse espaco e o conjunto dos funcionais lineares α : V → K, tambem de-nominados covetores. Alem disso os covetores ei(i = 1, . . . , n) foram definidoscomo

ei(ej) = δij =

{1, i = j,0, i 6= j.

Segue-se que os covetores {ei} formam uma base para V ∗. As coordenadasde um covetor arbitrario α nessa base sao dadas pelo valor de α na base{ei} de V . De fato, dado v =

∑ni=1 v

iei, entao α(v) = α(∑ni=1 v

iei) =∑ni=1 v

iα(ei) =∑ni=1 v

iαi.

B Exercıcio 44: Seja {e1, e2, e3} uma base de V = R3 dada por e1 =(1, 0, 1)ᵀ, e2 = (1, 1,−1)ᵀ e e3 = (0, 1, 2)ᵀ. Seja α ∈ V ∗ o covetor dadopor α(e1) = 4, α(e2) = 1, α(e3) = 1. Determine α(v) para v = (a, b, c)ᵀ eexpresse α em termos da base canonica de R3C

Como V ∗ e um espaco vetorial, e natural nos perguntarmos se podemosdefinir tambem um espaco dual ao espaco V ∗. Isso e possıvel, e para taldefinimos os funcionais lineares

τ : V −→ (V ∗)∗

v 7→ τv : V ∗ −→ Kα 7→ τv(α) := α(v) (1.4)

1.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES 23

Nesse sentido, temos que τv(α) = α(v). Obviamente τv : V ∗ −→ R. A somadesses funcionais lineares e dada por τu + τv = τv+u e a multiplicacao porum escalar por aτv = τ(av). Nao e difıcil vermos que dim (V ∗)∗ = dim V . Oresultado fundamental aqui e:

I Teorema 9: Os espacos vetoriais V e (V ∗)∗ sao (canonicamente)isomorfos J

Demonstracao: Pela definicao, dados a, b ∈ K, u, v ∈ V e α, β ∈ V ∗,entao τ(au+bv)(α) = α(au+ bv) = aα(u) + bβ(v) = aτu(α) + bτv(α). Portantoτu e elemento de (V ∗)∗ e e linear. Como dim V = dim V ∗ = dim (V ∗)∗,entao τ e isomorfismo de V em (V ∗)∗ 3

I Obs.5: Mais geralmente, dados dois espacos vetoriais V e W , e dadauma aplicacao linear φ : V → W , temos uma aplicacao dual associada φ∗ :W ∗ → V ∗ definida por φ∗(α)(v) = α(φ(v)), para α ∈ W ∗ e v ∈ V . Alemdisso, temos ainda a aplicacao bidual φ∗∗ : V ∗∗ →W ∗∗. O diagrama

VτV - V ∗∗

W

φ

? τW- W ∗∗

φ∗∗

?

comuta. De fato, denotando por τV e τW respectivamente a aplicacao (1.4)restrita a V e a W , e dados v ∈ V e α ∈W ∗, segue-se que

((φ∗∗ ◦ τV )(v))(α) = (φ∗∗(τV (v)))(α) = (τv)(φ∗(α))

= (φ∗(α))(v) = α(φ(v)) = (τW (f(v)))(α)

= ((τW ◦ φ)(v))(α)

J

B Exercıcio 45: Prove que se dim V <∞, entao toda base de V ∗ e a dualde alguma base de V C

B Exercıcio 46: Seja dim V <∞ e φ ∈ (V ∗)∗. Mostre que existe um unicov ∈ V tal que φ(α) = α(v), ∀α ∈ V ∗ C

IObs.6: E sabido que todos os espacos vetoriais com a mesma dimensao saoisomorfos, mas o resultado aqui e mais forte: existe um isomorfismo natural(canonico) entre V e (V ∗)∗ dado por τ . Ja vimos que para um espaco vetorialV e o seu dual V ∗ nao existe um isomorfismo natural (no sentido discutidoacima). Precisamos de uma estrutura a mais para definirmos o isomorfismo


entre estes espacos, e essa estrutura adicional e chamada uma correlacao.Para tanto precisamos munir V com uma metrica aqui a denominacao parauma forma bilinear simetrica nao-degenerada. J

Considere agora um subespaco U ⊂ V , definimos o anulador (ou aniquila-dor) de U :

U = {α ∈ V ∗ |α(v) = 0 ,∀v ∈ U} (1.5)

B Exercıcio 47: Mostre que U e subespaco de V ∗. Se U = {0}, entaoU = V ∗; se U = V , entao U = {0} ⊂ V ∗ C

I Lema 1: dim U = dim V− dim U J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V tal que U = 〈e1, . . . , ek〉.Se {e1, . . . , en} e uma base de V ∗, entao U = 〈ek+1, . . . , en〉 3

Ja que sabemos identificar os espacos V e (V ∗)∗, o aniquilador de um su-bespaco Z ∈ V ∗ esta em V . Por definicao, Z = {τv ∈ (V ∗)∗ | τv(α) = α(v) =0 ,∀α ∈ Z}.

I Teorema 10:˚U ' U , para todo subespaco U ⊂ V J

Demonstracao:˚U = 〈τe1 , . . . , τek〉 ' 〈e1, . . . , ek〉 = U . O isomorfismo

˚U

e canonico 3

B Exercıcio 48: Dado um K-espaco vetorial V , mostre que se U ⊂ V ,entao V ⊂ U C

B Exercıcio 49: Sejam U1 e U2 subespacos de um K-espaco vetorial V .Mostre que (U1 ∩ U2) = U1 + U2 (aqui definimos a soma U1 + U2 = {u1 +u2 |u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}. C

1.7 Nucleo e Imagem

Considere φ ∈ Hom(U, V ). O conjunto ker φ = {u ∈ U |φ(u) = 0} ⊂ U edenominado nucleo de φ, e o conjunto Im φ = {v ∈ V | ∃u ∈ U, φ(u) = v} ⊂ Ve denominado imagem de φ. A dimensao da imagem de uma aplicacao edenominada posto desta aplicacao

B Exercıcio 50: Seja A ∈ End(R3) definida por: A(x1, x2, x3) = (x1−x2 +2x3, 2x1 + x2,−x1− 2x2 + 2x3). Verifique que A e uma transformacao lineare determine a imagem e o posto de A C

B Exercıcio 51: Mostre que ker φ e Im φ sao respectivamente subespacosvetoriais de U e V C

1.7. NUCLEO E IMAGEM 25

I Teorema 11: φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se, e somente se, ker φ = {0}J

Demonstracao: Suponha que ker φ = {0}. Entao φ(u1) = φ(u2) ⇒φ(u1 − u2) = φ(u1) − φ(u2) = 0 e u1 − u2 ∈ ker φ, o que implica queu1 − u2 = 0, ou seja, u1 = u2. Reciprocamente, se u ∈ ker φ, entao φ(u) =0 = φ(0)⇒ u = 0, logo ker φ = {0} 3

B Exercıcio 52: Mostre que φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se, e somente se, φleva vetores LI em U em vetores LI de V C

I Obs.7: Vimos que um homomorfismo φ : U → V e uma aplicacaoque preserva estruturas algebricas, no sentido de que ∀u, v ∈ U , a ∈ K,φ(au + v) = aφ(u) + φ(v). Um homomorfismo que possui o nucleo trivial— e portanto injetivo — e denominado monomorfismo (ou imersao). Nocaso em que φ(U) = V , e portanto φ e sobrejetivo, φ e denominado umepimorfismo. Ainda, denominamos por endomorfismo todo elemento φ ∈Hom(V, V )= End(V ), e por automorfismo um isomorfismo φ : V → V (iso-morfismo do mesmo espaco) J

B Exercıcio 53: No espaco Kn+1[x] dos polinomios na variavel x, considereas aplicacoes φ, ψ ∈ End(V ) definidas por

φ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1

ψ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0x+ a1x

2 + · · ·+ anxn+1

Mostre que φ ◦ ψ = I e ψ ◦ φ 6= I. A aplicacao φ possui inversa? C

I Teorema 12: (Teorema do Nucleo e da Imagem) Seja U um espacovetorial de dimensao finita e φ ∈ Hom(U, V ). Entao ker φ e Im φ temdimensao finita, e

dim kerφ + dim Imφ = dim U

J

Demonstracao: ker φ tem dimensao finita, ja que ker φ e subespacovetorial de U . Tome uma base {e1, . . . , em} de ker φ e estenda esta basea uma base {e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n} de todo o espaco U . Mostraremosque os vetores φ(em+1), . . . , φ(em+n) formam uma base de Im φ.

Qualquer vetor em Im φ possui a forma

φ

(m+n∑i=1

aiei

)=

m+n∑i=m+1

aiφ(ei), (1.6)


pois∑mj=1 ajφ(ej) = 0, ja que {e1, . . . , em} ⊂ ker φ, o que significa que

φ(e1) = 0 = · · · = φ(em).Portanto, φ(em+1), . . . , φ(em+n) geram Im φ. Seja agora a combinacao

linear∑m+ni=m+1 aiφ(ei) = 0. Entao, φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0, o que significa que∑m+n

i=m+1 aiei ∈ ker φ, isto e,∑m+ni=m+1 aiei =

∑mj=1(a′j)ej , pois {e1, . . . , em} e

base de ker φ. Mas φ(∑m+n

i=m+1 aiei

)= 0 so e possıvel se todos os coeficientes

ai, a′i forem nulos, pois

{e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n} e base de U . Portanto o conjunto de vetoresφ(em+1), . . . , φ(em+n) sao LI, pois em particular os ai sao nulos 3

B Corolario 2: Temos que dim U = dim Im φ se, e somente se dim ker φ= 0, isto e, ker φ = {0}. Neste caso, φ e injetiva e tambem sobrejetiva, ouseja, φ e isomorfismo C

B Exercıcio 54: Para cada operador linear abaixo, encontre bases para onucleo e a imagem, cheque o resultado do Teorema do Nucleo e da Imageme determine se T e bijetora.

1. T : R3 → R2, T (a, b, c) = (a− b, 2c).

2. T : R2 → R3, T (a, b) = (a+ b, 0, 2a− b).

3. T : P2(R)→ P3(R), T (p(t)) = tp(t) + p′(t).

4. T : M(2,R)→ R, T (M) = tr M .

C

B Exercıcio 55: Seja P (R) o conjunto dos polinomios reais. Mostre queT : P (R)→ P (R) dada por T (p) =

∫ ᵀ0p(s)ds e injetiva mas nao e sobrejetiva.

C

B Exercıcio 56: De exemplos de transformacoes lineares T1, T2 : V → Wtais que ker T1 = ker T2 e Im T1 = Im T2, mas T1 6= T2. C

B Exercıcio 57: Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita eT : V → W linear. Prove que se dim V < dim W entao T nao pode sersobrejetiva. Prove que se dim V > dim W entao T nao pode ser injetiva C

B Exercıcio 58: Seja T : R3 → R. Descreva geometricamente as possibili-dades para o nucleo de T C

Um subespaco de dimensao n− 1 de um K-espaco vetorial V de dimensaon e denominado hiperplano — ou subespaco de codimensao 1. Se 0 6= α ∈ V ∗e se dim V = n, entao dim Im α = 1 e dim ker α = n − 1, pois Im α = K,e dim K = 1. O Teorema do Nucleo e da Imagem nos diz que dim ker α =n− 1.

1.8. SOMA DIRETA 27

IObs.8: Quando a dimensao de V e infinita, um hiperplano e um subespacoU ⊂ V tal que U 6= V , e se W e um subespaco tal que U ⊆ W ⊆ V , entaoW = V ou W = U , o que caracteriza U como um subespaco proprio maximalde V J

I Teorema 13: Se 0 6= α ∈ V ∗, entao (ker α) e hiperplano em V .Reciprocamente, todo hiperplano de V e o nucleo de um funcional α ∈ V ∗ (αnao e unico). J

Demonstracao: Dado 0 6= α ∈ V ∗, existe v ∈ V tal que α(v) 6= 0.Seja u ∈ V , definamos a = α(u)/α(v). Entao w = u − av ∈ ker α, poisα(w) = α(u − av) = α(u) − aα(v) = 0. Portanto u = w + av ∈ (kerα + 〈v〉), e (ker α) e um hiperplano, ja que u e um elemento arbitrario deV . Reciprocamente, seja (ker α) um hiperplano em V , e seja v ∈ V \(ker α).Entao, ja que (ker α) e subespaco proprio maximal de V , temos que V = kerα + 〈v〉, e cada u ∈ V tem a representacao u = w+ av, a ∈ K e w ∈ (ker α).Se tivessemos u = w′+a′v, a′ ∈ K e w′ ∈ ker α, entao (a−a′)v = w′−w. Sea− a′ 6= 0, temos v ∈ ker α, o que nao e possıvel. Portanto a = a′ e w = w′

3

B Exercıcio 59: Seja V = M(n,K). Prove que End(V ) ' (End(V ))∗

(Dica: Prove que para qualquer α ∈ V ∗ existe uma unica matriz A ∈ V coma propriedade de que α(X) = Tr(AX), ∀X ∈ V ). C

1.8 Soma Direta

Considere {Vi}ni=1 subespacos vetoriais de um K-espaco vetorial V . Dize-mos que V e soma direta de V1, . . . , Vn se todo v ∈ V puder ser representadoda forma v =

∑ni=1 vi, onde vi ∈ Vi e vi /∈ Vj , para todo j 6= i. Se isso

ocorrer, escrevemos

V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = ⊕ni=1Vi

B Exemplo 9: Considere {e1, . . . , en} uma base de V e seja Vi = 〈ei〉.Entao V = ⊕ni=1Vi. E claro que quando V = ⊕ni=1Vi entao V =

∑ni=1 Vi. A

recıproca nao e verdadeira. C

Seja V um espaco vetorial e U,W subespacos de V . Definimos a soma deU e W por

U +W = {u+ w ∈ V |u ∈ U,w ∈W}

Se U ∩W = {0}, denotamos U + W por U ⊕W . Este conjunto chama-sesoma direta de U e W .


B Exercıcio 60: Mostre que U + W e subespaco de V . Mostre que seV = U ∩W , entao todo elemento de V se escreve de maneira unica comosoma de um elemento de U com outro de W . Mostre que se B1 e base de Ue B2 e base de W e V = U +W e U ∩W 6= {0}, entao V = 〈B1 ∪B2〉, masB1 ∪B2 nao e base de V . Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W eV = U +W e U ∩W = {0}, entao V = 〈B1 ∪B2〉, e B1 ∪B2 e base de V C

B Exercıcio 61: Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V = U ⊕W :

1. V = R2 e U,W sao retas distintas que passam pela origem.

2. V = R3 e U,W sao planos distintos que passam pela origem.

3. V = M(2,R), U =

{(a 00 b

) ∣∣∣∣ a, b ∈ R}

, W =

{(0 cd 0

) ∣∣∣∣ c, d ∈ R}

.

4. V = M(n,R), U,W sao respectivamente o espaco das matrizes simetricase anti-simetricas.

5. V = C(R,R) e o espaco das funcoes reais e U,W sao respectivamenteo espaco das funcoes pares e ımpares.

C

Mais geralmente, se tivermos uma colecao finita de espacos vetoriais V1, . . . , Vnsobre um mesmo corpo K procedemos analogamente, primeiro definindo ogrupo abeliano V1⊕ · · · ⊕ Vn e depois definindo a multiplicacao por escalarespor a(v1 ⊕ · · · ⊕ vn) := (av1) ⊕ · · · ⊕ (avn), com a ∈ K e v1 ⊕ · · · ⊕ vn ∈V1 ⊕ · · · ⊕ Vn. O espaco vetorial (sobre K) assim definido e denotado porV1 ⊕K · · · ⊕K Vn.

B Exercıcio 62: Mostre que dados vi ∈ Vi, as aplicacoes

φ : (V1 ⊕ V2)⊕ V3 → V1 ⊕ V2 ⊕ V3(v1 + v2) + v3 7→ φ((v1 + v2) + v3) = v1 + v2 + v3

ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3v1 + (v2 + v3) 7→ ψ(v1 + (v2 + v3)) = v1 + v2 + v3

sao isomorfismos (canonicos) C

BExercıcio 63: Sejam V1 e V2 subespacos vetoriais de V , com V1∩V2 = {0}.Defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 ⊕ V2(v1, v2) 7→ φ(v1, v2) = v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

Prove que φ e um isomorfismo. C

1.8. SOMA DIRETA 29

Agora, se V1 ∩ V2 6= {0}, defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 + V2

(v1, v2) 7→ v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

φ e sobrejetiva, o que implica que dim (Im φ) = dim (V1 + V2). Alem disso,ker φ = {(v,−v) | v ∈ V1 ∩ V2}. A aplicacao

ψ : V1 ∩ V2 → kerφ

v 7→ (v,−v)

e um isomorfismo (Prove!). Portanto,

dimV1 + dimV2 = dim(V1 × V2)

= dim kerφ+ dim Im(φ),

= dim kerφ+ dim(V1 + V2)

= dim(V1 ∩ V2) + dim(V1 + V2)

B Exercıcio 64: Dados U1 e U2 subespacos vetoriais de U tais que U1∩U2 ={0}, mostre que B1∪B2 e base de U1⊕U2, onde B1 e base de U1 e B2 e basede U2. C

I Teorema 14: Sejam {Vi}ni=1 ⊂ V subespacos vetoriais de um K-espacovetorial V . Entao V = ⊕ni=1Vi se e somente se valer qualquer uma dasseguintes condicoes:a) V =

∑ni=1 Vi e Vj

⋂(∑i6=j Vi) = {0}, ∀j = 1, . . . , n.

b) V =∑ni=1 Vi e

∑ni=1 dim Vi = dim V (aqui assumimos que dim V = n <

∞ ) J

Demonstracao: a) A unicidade da representacao de qualquer vetor v ∈ Vna forma

∑ni=1 vi ∈ V e equivalente a unicidade do vetor 0 ∈ V . Com efeito,

se∑ni=1 vi =

∑ni=1 v

′i, entao 0 =

∑ni=1(vi − v′i) e vice-versa. Se existir uma

representacao nao-trivial de 0 =∑ni=1(vi−v′i), na qual, digamos, vj−v′j 6= 0,

entao vj − v′j ∈∑i 6=j Vj ∩ (

∑i 6=j Vi), e portanto a condicao a) nao e mais

valida.b) Se V = ⊕ni=1Vi, entao

∑ni=1 Vi = V e

∑ni=1 dim Vi ≥ dim V , pois

∪ni=1Vi = V e portanto contem uma base de V . Pelo Teorema anterior —que diz que dim V1 + dim V2 = dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 + V2) — aplicadoaos subespacos Vj e

∑i 6=j Vi, temos

dim

Vj ∩∑i6=j

Vi

+ dimV = dimVj + dim

∑i6=j

Vi


Mas a assercao a) nos diz que dim(Vj ∩

(∑i 6=j Vi

))= 0. Ademais, se∑n

i=1 Vi = ⊕ni=1Vi, entao∑i6=j Vi = ⊕i 6=jVi, e, por inducao, provamos que

dim

∑i 6=j

Vi

=∑i 6=j

dimVi.

Portanto, dim∑ni=1 Vi = dim V .

Reciprocamente, se dim∑ni=1 Vi = dim V , entao a uniao das bases de todos

os Vi consiste de (dim V ) elementos, e gera todo o K-espaco vetorial V , sendoportanto uma base de V . Com efeito, uma representacao nao-trivial do vetor0 ∈ V na forma

∑ni=1 vi ∈ V forneceria uma combinacao nula nao-trivial de

elementos da base, o que seria impossıvel 3

Dizemos que uma aplicacao linear P : V → V e um operador de projecaose P 2 = P ◦ P = P . Podemos associar n operadores de projecao {Pi}ni=1 asoma direta

⊕ni=1 Vi da seguinte maneira: para quaisquer vj ∈ Vj ,

Pi

n∑j=1

vj

= vi

As aplicacoes Pi estao bem definidas, ja que v ∈ V pode ser unicamenterepresentado por v =

∑nj=1 vj , onde vj ∈ Vj . A linearidade de Pi e a pro-

priedade P 2i = Pi seguem diretamente da definicao. Evidentemente, Vi = Im

Pi.

B Exercıcio 65: a) Verifique que PiPj = 0, se i 6= j.b) Prove que

∑ni=1 Pi = I C

B Exercıcio 66: Quando a soma de dois operadores de projecao e nova-mente um operador de projecao? C

B Exercıcio 67: Mostre que dado φ ∈ End(V ), se ker φ = ker (φ2) podemosescrever V = ker φ ⊕ Im φ. A recıproca e verdadeira? (Mostre, se forverdadeira, ou de um contra-exemplo) C

B Exercıcio 68: Dado φ ∈ Hom(U, V ) tal que φ2(1− φ) = 0, φ e idempo-tente? Tal condicao e equivalente a φ(1− φ)2 = 0? C

B Exercıcio 69: Se ker φ = Im φ, prove que a aplicacao φ ∈ End(V ) euma projecao. C

I Teorema 15: Sejam P1, . . . , Pn : V → V um conjunto finito de operado-res de projecao satisfazendo as condicoes PiPj = 0, se i 6= j, e

∑ni=1 Pi = I.

Seja Vi = Im Pi. Entao, V =⊕n

i=1 Vi. J

1.8. SOMA DIRETA 31

Demonstracao: Aplicando-se o operador I =∑ni=1 Pi a cada vetor

v ∈ V , obtemos v =∑ni=1 Pi(v), onde Pi(v) ∈ Vi. Portanto V =

∑ni=1 Vi.

Para mostrar que essa soma e uma soma direta, pelo criterio a) do Teorema

anterior, considere v ∈ Vj ∩(∑

i6=j Vi

). A definicao dos espacos Vi = Im Pi

implica que existem vetores v1, . . . , vn tais que v = Pj(vj), pois em particular

se v ∈ Vj∩(∑

i6=j Vi

), isso significa que v ∈ Vj = Im Pj e v ∈

∑i6=j Im Pi(vi).

Portanto,

v = Pj(vj) =∑i 6=j

Pi(vi).

Aplicando Pj a igualdade acima, e usando que P 2j = Pj , PiPj = 0, i 6= j,

obtemos

PjPj(vj) = Pj(vj) =∑i 6=j

PjPi(vi) = 0. (1.7)

Provamos que dado um vetor v ∈ Vj ∩(∑

i 6=j Vi

)arbitrario, entao v = 0,

o que significa que Vj ∩(∑

i6=j Vi

)= {0}, e portanto pelo criterio a) do

Teorema anterior, segue-se que⋂ni=1 Vi = {0} 3

IObs.9: Se dim V = n <∞, entao para qualquer subespaco V1 ⊂ V , existeum subespaco V2 ⊂ V tal que V = V1⊕V2. Dizemos que V2 e o complementodireto de V1. J

Podemos definir somas diretas de operadores lineares, considerando U =⊕ni=1 Ui e V =

⊕ni=1 Vi e φ : U → V uma aplicacao linear tal que φ(Ui) =

Vi. Denotamos por φi : Ui → Vi a aplicacao linear induzida, e escrevemosφ =

⊕ni=1 φi. Escolhendo bases de U e V como a respectiva uniao de bases

de Ui e Vi, a matriz de φ e a uniao de blocos diagonais.

B Exercıcio 70: Considere V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn uma bandeira em umK-espaco vetorial de dimensao finita, onde mi = dim Vi. Prove que, dadauma outra bandeira V ′1 ⊂ V ′2 ⊂ · · · ⊂ V ′n tal que m′i = dim V ′i , entao existeζ ∈ Aut(V ) que leva uma bandeira na outra se, e somente se, mi = m′i, paratodos i = 1, . . . , n C

I Teorema 16: Seja P ∈ End(V ). Se P 2 = P , entao V = ker P ⊕ Im PJ

Demonstracao: Para todo v ∈ V , podemos escrever v = P (v)+(v−P (v)).Um calculo imediato mostra que (v − P (v)) ∈ ker P , e portanto V = ker P+ Im P . Se u ∈ ker P ∩ Im P , temos que P (u) = 0 e P (u) = u, pois paratodo u ∈ Im(P ), temos que u = P (w), para algum w ∈ V , o que significa queP (u) = P (P (w)) = P (w) = u. Portanto u = 0 e V = ker P ⊕ Im P 3


B Exercıcio 71: Considere uma involucao ω ∈ End(V ) (isto e, ω2 = I).Defina os conjuntos V1 = {v ∈ V |ω(v) = v} e V2 = {v ∈ V |ω(v) = −v}.Mostre que V1 e V2 sao subespacos vetoriais de V e que V = V1⊕V2. Mostreque para todo v = v1 +v2, onde va ∈ Va (a = 1, 2), temos que ω(v) = v1−v2,e que P = 1

2 (ω + I) e a projecao sobre V1 paralelamente a V2 C

B Exercıcio 72: Considere Kn[x] o conjunto dos polinomios de grau me-nor igual que n, sobre um corpo K. Mostre que o conjunto de todos ospolinomios pares KEn [x] (p(x) = p(−x)) e o conjunto de todos os polinomiosimpares KOn [x] (p(x) = −p(−x)) sao subespacos vetoriais. Mostre tambemque Kn[x] = KEn [x]⊕KOn [x] C

1.9 Espacos Quocientes

Considere um subespaco vetorial U ⊆ V . Existem geralmente varios su-bespacos W ⊂ V tais que W ∩U = {0} e W +U = V . Em outras palavras, Upode ter diversos complementos, e nao ha uma maneira natural de escolherqualquer um desses complementos. Contudo, existe uma construcao naturalque associa a U e V um novo espaco que para fins praticos desempenha opapel de complemento de U em relacao a V . A vantagem formal que essaconstrucao possui sobre qualquer outra que possa descrever um complementoarbitrario de U e que ela tem um carater natural, e em particular nao dependeda escolha de uma base.

Suponha por exemplo V = R2 e U = {(x, y) | y = 0} o eixo-x. Cada com-plemento de U e uma linha — que nao seja o eixo-x — atraves da origem.Observando que cada complemento possui a propriedade de que a unica in-terseccao com o eixo-x consta de um unico ponto, a ideia que paira sobreespacos quocientes neste caso e podermos construir todo o R2 a partir delinhas horizontais.

Voltando agora ao caso mais geral, se v ∈ V , o conjunto v+U que consistede todos os vetores v + u, u ∈ U , e denominado classe lateral de U . Noexemplo do paragrafo anterior, as classes laterais sao linhas horizontais, epodemos ter v1 + U = v2 + U , mesmo que v1 6= v2.

Dado um subespaco vetorial U ⊆ V , as translacoes de U por um vetorv ∈ V correspondem ao conjunto

v + U = {v + u |u ∈ U}.

Tais translacoes nao sao, necessariamente, subespacos vetoriais de V, e saodenominadas subvariedades lineares.

I Definicao 1: Dados U ⊆ V um subespaco vetorial e v1, v2 ∈ V , dizemosque v1 e congruente a v2 modulo U se v1−v2 ∈ U e escrevemos v1 ≡ v2 (mod

1.9. ESPACOS QUOCIENTES 33

U) ou v1 ≡ v2 (U) ou v1U≡ v2. A congruencia modulo U e uma relacao de

equivalencia sobre V . (Mostre!) J

I Obs.10: Se v ∈ V , a classe lateral de v e dada por v = {w ∈ V | v − w ∈U} = {v + w |w ∈ U}. Por essa razao indicamos v = {v + U | v ∈ V }. J

I Definicao 2: A colecao de todas as classes laterais de U sera indicadapor V/U . Dados v1, v2 ∈ V e a ∈ K, definimos a soma e multiplicacao porescalar como:a) v1 + v2 = v1 + v2b) av1 = av1 J

A fim de verificarmos que a definicao esta correta, devemos mostrar que asoma e multiplicacao por escalar independem dos representantes, e dependemexclusivamente das classes laterais. Suponha que v1(= v1 + U) = w1(=w1 + U). Pela definicao, v1 − w1 = u1 ∈ U e v2 − w2 = u2 ∈ U . Portanto,

v1 + v2 = (v1 + v2) + U = (w1 + w2) + u1 + u2 + U

= (w1 + w2) + U

= w1 + w2

Agora, como v1 − w1 = u1 ∈ U , entao av1 − aw1 = au1 ∈ U e portanto

av1 = av1 + U = aw1 + au1 + U

= aw1 + U

= aw1

Isso mostra que a soma e multiplicacao por escalar dependem somente dasclasses laterais e estao bem definidas. O espaco vetorial V/U assim obtido edenominado espaco quociente de V por U .

I Obs.11: O vetor nulo 0 de V/U e a classe de equivalencia que consistede 0 = {0 + U} = U . J

B Exercıcio 73: Mostre que o conjunto V/U e um espaco vetorial sobre ocorpo K com as operacoes definidas acima C

B Exercıcio 74: Prove que se {v1 +W, . . . , vn+W} sao LI em V/W , entao{v1, . . . , vn} sao LI em V . C

B Exercıcio 75: Seja U um subespaco de V . Suponha que {v1, . . . , vn} ⊂ Vsejam LI e gerem um subespaco W tal que U∩W = {0}. Prove que o conjunto{v1 +W, . . . , vn +W} e LI em V/W . C


A transformacao

π : V → V/U

v 7→ π(v) = v = v + U

e denominada projecao canonica.

Podemos provar que π ∈ Hom(V, V/U) e que ker π = U e Im π = V/U . Defato, dados u, v ∈ V e a ∈ K, temos que π(au+v) = au+v+U = a(u+U)+v + U = aπ(u) + π(v). Alem disso, ker π = {v ∈ V |π(v) = 0 = 0 + U = U},e portanto v ∈ U . Podemos daı demonstrar o

I Proposicao 6: Se V tem dimensao finita, entao (dim V/U) = (dim V )−(dim U) J

Demonstracao: Em relacao a aplicacao canonica π : V → V/U , ja queker π = U e Im π = V/U , pelo Teorema do Nucleo e da Imagem, temos quedim ker π + dim Im π = dim V , e portanto dim U + dim V/U = dim V .Portanto,

(dimV/U) = (dimV )− (dimU)

3

I Obs.12: O numero (dim V/U) e geralmente denominado codimensao dosubespaco vetorial U em V , e denotado por codim U ou codimV UJ

IDefinicao 3: Sejam W,V dois K-espacos vetoriais. Dado φ ∈ Hom(W,V ),a coimagem e o conucleo de φ sao definidos por

coim φ = W/ker φ, coker φ = V/Im φ

A coimagem e o conucleo estao bem definidos, no sentido de que Im φ esubespaco de V , enquanto ker φ e subespaco vetorial de W .

Definimos tambem o ındice de φ como sendo o numero

ind φ = dim coker φ− dim ker φ

J

No caso onde V e W possuem dimensao finita, obtemos do Teorema acima,que

ind φ = (dim V − dim Im φ)− (dim W − dim Im φ)

= dim V − dim W

Nesse caso, o ındice de um operador φ ∈ Hom(W,V ) somente depende dosespacos V e W .


B Exercıcio 76: Prove que ind φ = 0, ∀φ ∈ Aut(V ), onde V e um K-espacovetorial de dimensao finita C

Vimos que existe um epimorfismo natural (canonico) π entre V e o espacoquociente V/U , que mapeia v ∈ V a sua classe de equivalencia v = [v]. Onucleo de tal epimorfismo e o subespaco U . Definimos a sequencia exata

0 - U - Vπ- V/U - 0

B Exemplo 10: Considerando U = R2 ⊂ V = R3, a sequencia exata acimacitada toma a forma

0 - R2 - R3 π- R3/R2 ' R - 0

C

1.9.1 Teoremas de Isomorfismos

O Teorema a seguir diz que dado um homomorfismo ϕ : V → U entre doisK-espacos vetoriais, entao

V/ker ϕ ' Imϕ

I Teorema 17: Seja ϕ ∈ Hom(V,U) tal que ϕ(V ) = U . Entao existe umunico isomorfismo ϕ : V/ker ϕ→ U tal que ϕ = ϕ◦π, onde π : V → V/ker ϕe a projecao canonica J

Demonstracao: Note que π : V → V/ker ϕ e ϕ : V/ker ϕ → U , eportanto ϕ = ϕ ◦ π : V → U = ϕ(V ). Defina a aplicacao induzida

ϕ : V/ker ϕ → U = ϕ(V )

v = v + ker ϕ 7→ ϕ(v)

Primeiramente devemos verificar se ϕ e, de fato, bem definida. Com efeito,dados v1, v2 ∈ V e portanto v1 = v1 + ker ϕ, v2 = v2 + ker ϕ ∈ V /ker ϕ. Sev1 = v2, significa que v1 + ker ϕ = v2 = v2 + ker ϕ. Daı, existe w ∈ ker ϕtal que v1 = v2 + w. Segue-se que

ϕ(v1) = ϕ(v1) = ϕ(v2 + w) = ϕ(v2) + ϕ(w), pois ϕ ∈ Hom(V,U)

= ϕ(v2) + 0, pois w ∈ ker ϕ

= ϕ(v2) = ϕ(v2)

Portanto a funcao ϕ esta bem definida.


A fim de provar que ϕ e isomorfismo, resta agora provar que ϕ e bijetivae linear. Por construcao ϕ e linear, pois e a composicao de duas aplicacoeslineares.

Para ver que ϕ e sobrejetiva, como ϕ(v) = ϕ(v) e ja que ϕ(V/kerϕ) =ϕ(V ) = U , entao a funcao ϕ : V/ker ϕ → U contempla todo o espaco dechegada U .

Agora para provar que ϕ e injetiva, mostraremos que ker ϕ = 0. Pordefinicao,

ker ϕ = {v ∈ V/kerϕ | ϕ(v) = 0}= {v + kerϕ |ϕ(v) = 0}= {v + kerϕ | v ∈ kerϕ}= kerϕ

= 0 + kerϕ

= 0 (1.8)

Ja demonstramos que se o nucleo de uma aplicacao consistir somente doelemento zero, entao tal aplicacao e injetiva. Portanto ϕ e bijetiva e linear,sendo portanto um isomorfismo. Resta mostrar que tal isomorfismo e unico.Suponha que existam dois isomorfismos ϕ1 : V/ker ϕ→ U e ϕ2 : V/ker φ→U , ambos com a propriedade ϕ(v) = ϕ(v). Entao, para todo v ∈ V , ϕ1(v)−ϕ2(v) = ϕ(v) − ϕ(v) = 0, e portanto (ϕ1 − ϕ2)(v) = 0, ∀v ∈ V/ker ϕ.Consequentemente, ϕ1 − ϕ2 = 0 e ϕ1 = ϕ2 = 0 3

O Teorema acima demonstrado pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama:

Vϕ - U

V/kerϕ

ϕ

6

π-

I Obs.13: Esse Teorema e mais conhecido como o 1o Teorema dos Ho-momorfismos. Aqui ele e enunciado em termos de espacos vetoriais por setratarem de grupos abelianos com relacao a soma.

B Exemplo 11: Ao tomarmos a projecao P : Rn+1 → Rn dada porP (x1, x2, . . . , xn, xn+1) = (x1, x2, . . . , xn, 0), podemos ver que ker P = (0, 0, . . . , 0, xn+1) 'R e portanto pelo Teorema acima, considerando-se V = Rn+1, temos que Im(P ) = Rn, e portanto, segue-se que

Rn+1/R = Rn

C


B Exercıcio 77: Mostre que Rn/Rp ' Rn−p para todo p = 0, 1, . . . , n C

A seguir enunciaremos e demonstraremos o chamado 2o Teorema dos Ho-momorfismos J

I Teorema 18: Considere V1, V2 ⊂ V dois subespacos vetoriais de V .Entao

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

J

Demonstracao: Defina a aplicacao

σ : V1 → V1 + V2V2

v1 7→ v1 + V2, ∀vi ∈ Vi, i = 1, 2

Ja que v1 +V2 = v1, entao σ e um epimorfismo, pois sendo sobrejetiva, dadosa ∈ K e w1 ∈ V1,

σ(av1 + w1) = av1 + w1 = av1 + w1

= aσ(v1) + σ(w1)

e portanto σ e linear. Agora provaremos que ker σ = V1 ∩ V2. Por um lado,ker σ = {v1 ∈ V1 |σ(v1) = 0 = 0 + V2}. Mas σ(v1) = v1 + V2, o que implicaque v1 deve estar em V2 tambem. Portanto dado v ∈ ker σ, necessariamentev ∈ V1∩V2. Reciprocamente, dado v ∈ V1∩V2, entao σ(v) = v+V2 = V2 = 0,pois em particular v ∈ V2. Portanto ker σ = V1 ∩ V2.

A partir do 1o. Teorema dos Isomorfismos, como ja sabemos que para σ ∈Hom(V1, (V1 +V2)/V2) temos V1/ker σ ' Imσ, identificando kerσ = V1 ∩V2e Im σ = (V1 + V2)/V2, temos

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

3

B Exercıcio 78: Dados V1, V2 subespacos vetoriais de V , explicite o Se-gundo Teorema dos Isomorfismos quando V1 e o eixo-x e V2 e o eixo-y C

B Exercıcio 79: Suponha que um K-espaco vetorial V possa ser escritocomo V = V1 ⊕ V2. Considere a aplicacao canonica

κ : V1 → V

V2v 7→ v = v + V2

Mostre que κ e um isomorfismo C


B Exercıcio 80: Dado U um subespaco vetorial de um K-espaco vetorialV , mostre que (V/U)∗ ' U C

Capıtulo 2Exercıcios

Ex.1: Vamos mostrar que as respectivas unidades de (K,+) e (K, ∗) sao unicas. De fato,a unidade de (K,+) e unica, pois ao tomarmos 01 e 02 unidades de (K,+), temos

Ambos sao unidades︷︸︸︷01 = 01 + 02 = 02 ⇒ 01 = 02

A unidade de (K, ∗) tambem e unica: de fato, sejam 11 e 12 unidades de (K, ∗). Entao

Ambos sao unidades︷︸︸︷11 = 11 ∗ 12 = 12 ⇒ 11 = 12

Ex.2: Nos conjuntos Q, R e C, o ponto crucial e quanto a existencia do inverso multipli-cativo.

• K = Q. Se x = ab

, temos que o inverso e dado por x−1 = ba

• K = R. Dado x 6= 0 temos que o inverso e dado por x−1 = 1x

.

• K = C. Dado z = a+ ib 6= (0, 0), o inverso e dado por z−1 = a−iba2+b2

Em M(n,K), n ≥ 2, ha elementos nao invertıveis. Por exemplo, para n = 2, basta tomar amatriz T =

(1 00 0

), pois sabemos que na algebra M(n,K) a formula do inverso multiplicativo

depende do inverso do determinante da matriz.Ja o conjunto R[

√2] = {a + b

√2 | a, b ∈ R} nao e um corpo, pois por exemplo se

tomarmos a =√

2 e b = 1, temos o elemento w =√

2 + 1.√

2 que nao e invertıvel. De fato,

39

40 2. EXERCICIOS

dado ω ∈ R[√

2], temos que o inverso e dado por ω−1 = a−b√

2a2−2b2

, e no caso do elemento w,

temos a2 − 2b2 = 0.

Ex.3: Temos duas estruturas a investigar: (Z10,+) e (Z10, ∗):

• O grupo aditivoG = (Z10,+): aqui, todo elemento possui inverso, entao

grupo de unidades︷︸︸︷U(G) = G .

• O anel A = (Z10, ∗). Aqui temos (ver [17], Proposicao 19, pagina 34):

U(A) = {n ∈ A | mdc(n, 10) = 1} ⇒ U(A) = {1, 3, 7, 9}

Ex.4: E necessario verificar os tres axiomas de uma relacao de equivalencia:1) Reflexiva: xRx. De fato x− x = 0 = 0k, k ∈ Z.2) Simetrica: xRy ⇒ yRx. Com efeito

xRy ⇒ x− y = nk, k ∈ Z⇒ y − x = n(−k), k ∈ Z⇒ yRx

3) Transitiva: se xRy e yRz ⇒ xRz :

xRy ⇒ x− y = nk1 (I) , yRz ⇒ y − z = nk2 (II)

Fazendo (I) + (II), obtemos:

x− z = x− y + y − z = nk1 + nk2 = n(k1 + k2)⇒ xRz

Ex.5: Dados (a, b) (c, d) ∈ Z × Z∗, definimos (a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc. Verifiquemos ostres axiomas de uma relacao de equivalencia:1) Reflexiva: (a, b)R(a, b). De fato ab = ba.2) Simetrica: (a, b)R(c, d)⇒ (c, d)R(a, b). De fato:

(a, b)R(c, d)⇒ ad = bc⇒ da = cb⇒ (c, d)R(a, b)

3) Transitiva: (a, b)R(c, d) e (c, d)R(e, f)⇒ (a, b)R(e, f). De fato

(a, b)R(c, d) ⇒ ad = bc(I) , (c, d)R(e, f)⇒ cf = de (II)

Agora basta uma pequena manipulacao algebrica:

ad = bc⇒

cf=de︷︸︸︷adf = bcf = bde⇒ afd = bed⇒ af = be⇒ (a, b)R(e, f)

Ex.6: Os conjuntos numericos Z e Z10 nao sao corpos: de fato, em Z, o elemento x =2 nao possui inverso multiplicativo; em Z6, temos elementos que nao possuem inversomultiplicativo. Por exemplo: 6.

As tabelas pedidas neste exercıcio sao dadas abaixo:

• A = Z6:

+ [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5][1] [1] [2] [3] [4] [5] [0][2] [2] [3] [4] [5] [0] [1][3] [3] [4] [5] [0] [1] [2][4] [4] [5] [0] [1] [2] [3][5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5][2] [0] [2] [4] [0] [2] [3][3] [0] [3] [0] [3] [0] [3][4] [0] [4] [2] [0] [4] [2][5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]

41

I Obs.14: No caso de (Z6, •), os elementos invertıveis estao indicados em negrito; em(Z6,+) todos os elementos sao invertıveis J

• A = Z8

+ [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7][1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0][2] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [1][3] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [2][4] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [3][5] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [4][6] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [5][7] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7][0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7][2] [0] [2] [4] [6] [0] [2] [4] [6][3] [0] [3] [6] [1] [4] [7] [2] [5][4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4][5] [0] [5] [2] [7] [4] [1] [2] [3][6] [0] [6] [4] [2] [0] [2] [4] [2][7] [0] [7] [6] [5] [4] [7] [2] [1]

I Obs.15: No caso de (Z8,+), todos os elementos possuem inverso. No caso de (Z8, •),os elementos invertıveis estao indicados em negrito J

• A = Z9

+ [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8][0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8][1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [0][2] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [0] [1][3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [0] [1] [2][4] [4] [5] [6] [7] [8] [0] [1] [2] [3][5] [5] [6] [7] [8] [0] [1] [2] [3] [4][6] [6] [7] [8] [0] [1] [2] [3] [4] [5][7] [7] [8] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][8] [8] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8][0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8][2] [0] [2] [4] [6] [8] [1] [3] [5] [7][3] [0] [3] [6] [0] [3] [6] [0] [3] [6][4] [0] [4] [8] [3] [7] [2] [6] [1] [4][5] [0] [5] [1] [6] [2] [7] [3] [8] [4][6] [0] [6] [3] [0] [6] [3] [0] [6] [3][7] [0] [7] [5] [3] [1] [8] [7] [7] [2][8] [0] [8] [7] [3] [5] [4] [3] [2] [1]

42 2. EXERCICIOS

I Obs.16: No caso de (Z9,+), todos os elementos possuem inverso, e em (Z9, •), oselementos invertıveis estao indicados em negrito J

Ex.7: Consideremos o homomorfismo de corpos φ : K1 → K2. Mostremos que essaaplicacao leva inverso em inverso.

Inverso da adicao:

a+ (−a) = 0⇒ φ(a+ (−a)) = φ(0)⇒ φ(a) + φ(−a) = 0, ∀a ∈ K1

∴ φ(−a) = −φ(a)

Inverso da multiplicacao:

aa−1 = 1⇒ φ(aa−1) = φ(1)⇒ φ(a)φ(a−1) = φ(1) = 1 ∀a ∈ K1

∴ φ(a−1) = φ(a)−1

Ex.8: A matriz em questao e obtida da R-algebra C via representacao regular a esquerda(uma representacao de algebras associativas):

L : C → EndR(R2)

z 7→ Lz : R2 → R2

w 7→ Lz(w) := zw .

Dessa definicao, tomando z = (a, b) = a+ ib, segue-se que:

Lz(1, 0) = (a, b)(1, 0) = (a, b) , Lz(0, 1) = (a, b)(0, 1) = (−b, a)

∴ Lz =

(a −bb a

)Para mostrarmos que a aplicacao L e um isomorfismo de algebras sobre a imagem de L, esuficiente verificar que a mesma e injetora. De fato, seja z ∈ ker(L). Entao

Lz(w) = zw = 0, ∀w ∈ C w 6=0⇒ z = 0 .

Portanto, a representacao L e injetora, e se trata de um isomorfismo de algebras. OlhandoC como corpo e C∗ como grupo, temos outros isomorfismos.

Ex.9: Os corpos Q, R e C possuem caracterıstica zero, pois nao existe um n 6= 0 quesatisfaca a equacao n.1 = 0. Mas para o caso do corpo Zp a caracterıstica e p por construcaodo corpo. Observe que [x] = {x+ hp | h ∈ Z}, entao temos:

[1] = {1 + hp | h ∈ Z} 6= [0]

[2] = {2 + hp | h ∈ Z} 6= [0]

.

.. =...

[p− 1] = {p− 1 + hp | h ∈ Z} 6= [0]

[p] = {p+ hp | h ∈ Z} = {p(1 + h) | h ∈ Z} = [0] ⇒ charZp = p

Ex.10: (Fonte: [17], Proposicao 2, pagina 62)

Vamos supor que m = char(K) 6= 0 seja um numero composto. Entao m = m1.m2, ondeos mi sao inteiros maiores do que 1 e menores do que m. Ficamos com:

0 = m1 = (m1.m2)1 = m1(m21) = (m11)(m21)

de onde m11 = 0 ou m21 = 0, o que e um absurdo, pois contradiz a minimalidade de m.

43

Ex.11: Temos que char(K) = p (primo), entao usando a formula do binomio de Newton

(a+ b)p =∑p

k=0

(pk

)ap−kbk, e como

(pk

)= p!

k!(p−k)!=

p(p−1)!k!(p−k)!

, pelo fato de p ser primo e(pk

)um numero inteiro, segue-se necessariamente que (k!(p−k)!) | (p−1)!. Entao, a menos

nos casos em que k = 0 ou k = p temos(pk

)≡ 0 (mod p). Portanto, (a+ b)p = ap + bp

Ex.12: Verifiquemos as afirmacoes:

1. 0.a = 0. Verdadeira: de fato, 0.a = (0 + 0).a = 0.a+ 0.a⇒ 0.a = 02. (−1).a = −a. Verdadeira:

(−1).a+ a =

Distributiva︷︸︸︷(−1).a+ 1.a = (−1 + 1).a = 0.a = 0

3. (−a)(−b) = a.b. Verdadeira:

Do item (2)︷︸︸︷(−a)(−b) = (−1).a(−b) = (−1).a(−1).b = (−1)2.ab = ab

4. 1 + 1 6= 0. Falsa. Basta tomar o caso Z2, no qual 1 + 1 = 0.5. Se a 6= 0 e b 6= 0 entao ab 6= 0. Verdadeira. Se trata de um corpo (nao ha divisores dezero).

Ex.13: Segue a demonstracao de cada item pedido no problema:

1) φ(0K1) = φ(0K1

+ 0K1) = φ(0K1

) + φ(0K1)

=0K2︷︸︸︷φ(0K1

) + (−φ(0K1)) = φ(0K1

) + φ(0K1) + (−φ(0K1

))

0K2= φ(0K1

) +

=0K2︷︸︸︷(φ(0K1

) + (−φ(0K1))) = φ(0K1

) + 0K2= φ(0K1

)

2) φ(1K1) = 1K2

: x = x1K1= 1K1

x⇒ φ(x) = φ(x1K1) = φ(x)φ(1K1

), ∀x ∈ (K1,+, ∗)

3) φ(an) = (φ(a))n: A afirmacao segue por inducao finita. De fato, a afirmacao everdadeira para n = 1. Entao, existe um k natural tal que φ(ak) = (φ(a))k. Mostremosagora que o resultado vale para k + 1:

φ(ak+1) = φ(aka) =

HI︷︸︸︷φ(ak)φ(a) = (φ(a))kφ(a) = (φ(a))k+1

4) φ−1 : K2 → K1 existe e tambem e um isomorfismo. Por se tratar de uma bijecao, existeφ−1, resta mostrar que se trata de um homomorfismo de corpos.

• φ−1 preserva o produto. De fato, dados x1, x2 ∈ K2, entao existem y1, y2 ∈ K1 talque φ(y1) = x1 e φ(y2) = x2. Portanto

φ−1(x1x2) = φ−1(φ(y1)φ(y2) = φ−1(φ(y1y2)) = φ−1 ◦ φ(y1y2) = idK1(y1y2)

= y1y2 = φ−1(x1)φ−1(x2)

• φ−1 preserva a soma. De fato:

φ−1(x1 + x2) = φ−1(φ(y1) + φ(y2)) = φ−1(φ(y1 + y2)) = φ−1 ◦ φ(y1 + y2)

= idK1(y1 + y2) = y1 + y2 = φ−1(x1) + φ−1(x2)

44 2. EXERCICIOS

5) A composicao e uma bijecao pois e a composicao de duas bijecoes. Resta mostrar quese trata de um homomorfismo de corpos.

• ψ ◦ φ preserva o produto.

(ψ ◦ φ)(xy)=ψ(φ(xy))=ψ(φ(x)φ(y))=ψ(φ(x))ψ(φ(y))=(ψ ◦ φ)(x)(ψ ◦ φ)(y)

• ψ ◦ φ preserva a soma.

(ψ ◦ φ)(x+ y) = ψ(φ(x+ y)) = ψ(φ(x) + φ(y)) = ψ(φ(x)) + ψ(φ(y))

(ψ ◦ φ)(x+ y) = (ψ ◦ φ)(x) + (ψ ◦ φ)(y)

Ex.14: Para mostrar que as propriedades M4 e Z nao sao satisfeitas para Zn quando ne um inteiro composto, tomemos como exemplo o caso n = 4:

• Viola a propriedade Z: de fato, 2 2 = 2× 2 = 4 = 0, mas 2 6= 0.

• Viola a propriedade M4: apenas o elemento 1 possui inverso. De fato 2 0 = 0 =2× 2 = 4 e 2 1 = 2 = 2 3 = 6.

Passemos agora a demonstracao das outras propriedades:

A1) : a+ b = a+ b = b+ a = b+ a .A2) : (a+ b) + c = a+ b+ ca+ b+ cA3) ∃ z ∈ S tal que z + a = a+ z = a. De fato,

a+ 0 = a+ 0 = a = 0 + a = 0 + a = a

A4) para cada a ∈ S, ∃ a∗ ∈ S tal que a+ a∗ = a∗ + a = z:

a+−a = a− a = z = −a+ a = −a+ a

M1) ab = ab = ba = ba.M2) (ab)c = abc = abc = a(bc) = abcM3) ∃ e ∈ S tal que e.a = a.e = a. De fato a1 = a.1 = a = 1.a = 1a.D) a.(b+ c) = a.b+ a.c e (a+ b).c = a.c+ b.c:

a(b+ c) = a(b+ c) = ab+ ac = ab+ ac = a b+ a c

(a+ b)c = (a+ b)c = ac+ bc = ac+ bc = a c+ b c

Ex.15: Dado um espaco vetorial V sobre um corpo K, por definicao o par (V,+) e umgrupo abeliano (comutativo).

Ex.16: Sao duas afirmacoes a se demonstrar:

i) 0.u = (0 + 0).u = 0.u+ 0.u⇒

0.u+(−0.u)=0︷︸︸︷0.u+ (−0.u) = 0.u+ 0.u+ (−0.u) = 0

ii) (−a).u+ a.u =

Pelo item anterior︷︸︸︷(−a+ a).u = 0.u = 0

Ex.17: Provemos item por item:

1. Pelos axiomas de corpo, temos que (K,+) e um grupo comutativo. Quanto a operacao(V, ∗) (multiplicacao por escalar), se trata apenas de reinterpretar axiomas de forma con-veniente.

2. Dado K um corpo e L ⊆ K um subcorpo. Vamos mostrar que K e um L espaco vetorial.

Axiomas da soma: nao sao afetados.

Axiomas de multiplicacao por escalar

45

• Dado a ∈ L e x ∈ K, o produto ax esta bem definido, pois L ⊆ K

• 1 ∈ L⇒ 1x = x, ∀x ∈ K

• Os outros axiomas sao imediatos, por exemplo

L⊆K︷︸︸︷(a+ b)x = ax+ bx.

3. Kn e um K-espaco vetorial:

Axiomas da soma:

• Comutatividade da soma:

x+ y = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

=

K e um corpo︷︸︸︷(y1 + x1, y2 + x2, . . . , yn + xn) = y + x

• Associatividade da soma:

(x+ y) + z = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) + (z1, z2, . . . , zn)

= (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2, . . . , xn + yn + zn)

= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2), . . . , xn + (yn + zn))

= x+ (y1 + z1, y2 + z2, yn + zn) = x+ (y + z)

• Existencia do elemento neutro:

x+ 0 = (x1, x2, . . . , xn) + (0, 0, . . . , 0) = (x1 + 0, x2 + 0, . . . , xn + 0) = x

0 + x = (0, 0, . . . , 0) + (x1, x2, . . . , xn) = (0 + x1, 0 + x2, . . . , 0 + xn) = x

• Existencia do inverso aditivo:

x+ (−x)=(x1−x1, . . . , xn−xn)=0=(−x1+x1, . . . ,−xn+xn)=(−x)+x

Axiomas da multiplicacao por escalar:

• 1.x = x, ∀x ∈ Kn

1.x = 1.(x1, x2, . . . , xn) = (1.x1, 1.x2, . . . , 1.xn) = (x1, x2, . . . , xn) = x

• (a+ b)x = ax+ bx

(a+ b)x = ((a+ b)x1, (a+ b)x2, . . . , (a+ b)xn)

= (ax1, ax2, . . . , axn) + (bx1, bx2, . . . , bxn) = ax+ bx

• a(x+ y) = ax+ ay:

a(x+ y) = (a(x1 + y1), a(x2 + y2), . . . , a(xn + yn))

= (ax1, ax2, . . . , axn) + (ay1, ay2, . . . , ayn) = ax+ ay

• ab.x = a.(b.x):

ab.x = (abx1, abx2, . . . , abxn) = (a(bx1), a(bx2), . . . , a(bxn))

= a.(bx1, bx2, . . . , bxn) = a.(b.x)

46 2. EXERCICIOS

4. Mm×n(K). Considere o conjunto In = {1, 2, . . . , n}. Uma matriz A com n-linhas em-colunas (com entradas num corpo K) e uma funcao A : In × Im → K. Definindo destemodo, temos que a estrutura de K-espaco vetorial em Mm×n(K) e dada por

Aij +Bij := (A+B)(i, j) = A(i, j) +B(i, j) Soma de funcoes

cAij := (cA)(i, j) = cA(i, j) Multiplicacao de funcao por escalar.

Desta definicao segue imediatamente que Mm×n(K) e um K-espaco vetorial. (Esta e adefinicao rigorosa (ou seja, baseada na linguagem de conjuntos) do que e uma matriz. Napratica, visualizar uma matriz como uma tabela e mais util (mas e apenas um auxıliovisual). Na pratica da ciencia da computacao, quando programamos, trabalhamos comestruturas de dados, nas quais e visıvel que o modelo matematica correto e o de umafuncao. E o caso de matrizes.)

Ex.18:1. Nao temos um espaco vetorial pois a seguinte propriedade (a + b) • v = a • v + b • vnao vale. De fato:

(a+ b) • v = (a+ b)2v = a2v + b2v + 2abv 6= a2v + b2v = a • v + b • v

2. Nao temos um espaco vetorial porque nao vale a propriedade av = 0a6=0⇒ v = 0. De

fato:

a • v = <(a)va=i⇒ a • v = <(i)v = 0v = 0

3. e 4. Temos um espaco vetorial. Consideremos os conjuntos F(R) = {f | f : R → R}e Vp(R) = {f ∈ F(R) | f(−x) = ±f(x)}. Sejam f1 e f2 funcoes fi : R → R pares para osinal positivo em Vp acima e ımpares para o sinal negativo. Entao:

(c1f1+c2f2)(−x)=

fi par︷︸︸︷c1f1(−x)+c2f2(−x) = ±c1f1(x)± c2f2(x)=(±c1f1±c2f2)(x)

Portanto, Vp(R) ⊆ F(R) e um espaco vetorial.

Ex.19: Nao define um espaco vetorial pois a multiplicacao por escalares adotada naoesta bem definida. De fato, efetuemos o calculo de 0 • x, onde precisamos escolher umrepresentante da classe. Por um lado 0 • x = 0x = 0, mas 0 • x = 2x 6= 0, e portanto, naotemos um espaco vetorial.

Ex.20:1. Define um subespaco vetorial, pois c1(0, x2, x3) + c2(0, y2, y3) = (0, c1x2, c1x3) +(0, c2y2, c2y3) = (0, c1x2 + c2y2, c1x3 + c2y3).

2. Define um subespaco vetorial. A prova e analoga ao item anterior.

3. Nao define um subespaco vetorial, pois e uma condicao nao-linear (e afim).

4. Define um subespaco vetorial, pois

c1(x1,−x1, x3) + c2(y1,−y1, y3) = (c1x1,−c1x1, c1x3) + (c2y1,−c2y1, c1y3) =

= (c1x1 + c2y1,−(c1x1 + c2y1), c1x3 + c2y3)

5. e 6. Nao define um espaco vetorial. Pois dado um vetor v ∈ C3 obedecendo a condicao,basta tomarmos o vetor −v como contra-exemplo.

47

Ex.21: Se trata de um problema de contagem: para um dado subespaco de dimensao j,associamos uma base com j-vetores β = {v1, v2, . . . , vj}. De quantas maneiras podemosfazer esta associacao ? Para comecar, o vetor v1 pode ser escolhido de maneira arbitrariaem Zn

p (nao-nulo e claro). Entao, temos pn − 1 escolhas para o vetor v1. Fixado v1,podemos escolher v2 como sendo qualquer vetor que nao esteja no subespaco gerado porv1. Como este subespaco possui p elementos, sobram pn−p escolhas para v2. Prosseguindocom este argumento, temos que dados v1, v2, . . . , vl com l < j temos pn−pl escolhas paravl+1. Deste modo, o numero de conjuntos com j vetores LIs e dado por:

(pn − 1)(pn − p)(pn − p2) . . . (pn − pj−1) , (2.1)

que e o numero de subespacos procurado. Mas muitas dessas j-uplas germ o mesmosubespaco e devemos portanto dividir a expressao (2.1) pelo numero de diferentes escolhaspossıveis para uma base de um subespaco de dimensao j particular. Isso e essencialmenteo memso numero em (2.1) fazendo-se n 7→ j. Portanto o numero de diferentes subespacosj-dimensionais e dado por

Referencias Bibliograficas

[1] K. Hoffman e R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, New Jersey 1971.

[2] A. I. Kostrikin e Yu. I. Manin, Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach,New York 1981.

[3] G. E. Shilov, Linear Algebra, Dover, New York 1977.

[4] Elon Lages Lima, Algebra Linear, Colecao Matematica Universitaria, Rio deJaneiro 2005.

[5] Elon Lages Lima, Algebra Exterior, Colecao Matematica Universitaria, Rio deJaneiro 2005.

[6] E. B. Vinberg, A Course in Algebra, Graduate Studies in Mathematics 56, AMS,Providence 2003.

[7] J. Vaz, Notas de Aula MT-307, [http://www.ime.unicamp.br/%7Evaz/mt307a05.htm]

[8] I. M. Gel’fand, Lectures on Linear Algebra, Dover, New York 1989.

[9] P. Halmos, Finite-dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, Heidelberg 1974.

[10] H. Grassmann, Die lineare Ausdehnungslehre, Leipzig Wiegand 1844. Englishtranslation, 1995, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics, Chicago:Open Court.

[11] J. Vaz, R. da Rocha, Algebras de Clifford e Espinores, Editora Livraria da Fısicada USP (2012).

[12] R. da Rocha, J. Vaz, Jr., On Clifford Subalgebras, Spacetime Splittingsand Applications, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3 (2006) 1359-1380[arXiv:math-ph/0605009].

[13] R. da Rocha, J. Vaz, Jr., Extended Grassmann and Clifford algebras, Advancesin Applied Clifford Algebras 16 (2006) 103-125 [arXiv:math-ph/0603050].

[14] Warner, F.; - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups - SpringerVerlag - 1983

[15] Jacobson, N.; - Basic Algebra - Volume 2 Freeman & Company - 1989

[16] Rudin, W.; - Functional Analysis McGraw Hill - 1991

[17] Hefez, A. - Villela, M.L; Codigos Corretores de Erros IMPA - 2002

49

[18] Lima, E.L. Algebra Exterior IMPA - 2005

[19] S. Roman, “Advanced Linear Algebra”, Graduate Texts in Mathematics 135 (2a.ed.), Springer, New York (2005).

[20] Rogers,A.; Supermanifolds: Theory and Applications World Scientific - 2007

[21] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications John Wiley -1978

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