Algebra Lineal Modulo Junio 2008 PDF
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MODULO
LGEBRA LINEAL
CAMILO ZIGA
A mi padre, JUAN ARTURO ZIGA R., quien fue el primero en ensearme el hermoso mundode la matemticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
UNIDAD DE CIENCIAS BSICASBogot D. C., 2008
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COMIT DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Gloria Herrera
Vicerrectora Acadmica
Roberto Salazar Ramos
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas
Maribel Crdoba Guerrero
Secretaria General
MDULOCURSO LGEBRA LINEALPRIMERA EDICIN
Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
ISBN
2008
Bogot, Colombia
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AL ESTUDIANTE
El propsito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos
tericos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes paracontextualizarlos en su campo de formacin disciplinar.
El Algebra Lineal es un rea de las matemticas que en las ltimas dcadas ha tenido unsignificativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad endiversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativodel profesional de hoy en da como herramienta de apoyo para resolver problemas en lasms diversas disciplinas. En este sentido y por su carcter mismo, el curso hace aportessignificativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemtica en el estudiante, entanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstraccin, el
anlisis, la sntesis, la induccin, la deduccin, etc.
El curso acadmico se estructura bsicamente en dos unidades didcticas. La primeracontempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de EcuacionesLineales, Rectas, Planos e Introduccin a los Espacios Vectoriales.
A travs del curso acadmico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificacincognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante laarticulacin de los fundamentos tericos a la identificacin de ncleos problmicos en losdiferentes campos de formacin disciplinar.
Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinmica del uso delos recursos informticos y telemticos como herramientas de apoyo a los procesos deaprendizaje. En este sentido, el curso acadmico de Algebra Lineal articular a sudesarrollo actividades mediadas por estas tecnologas, como bsquedas de informacinen la Web, interactividades sincrnicas o asincrnicas para orientar acciones deacompaamiento individual o de pequeo grupo colaborativo y acceso a informacindisponible en la plataforma virtual de la universidad.
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso setomar como estrategia pedaggica que apunte al fortalecimiento del esprituinvestigativo. En este sentido, se espera que el estudiante ample la gama de opcionesdocumentales que aportan a la resignificacin cognitiva. Estas fuentes documentales sonobviamente de diferentes orgenes, a las cuales se tendr acceso a travs de: materialimpreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.
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TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD I
1. VECTORES EN 2R .91.1 NOCION DEDISTANCIA .11
1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS141.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR.201.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES..23
1.4.1 Multiplicacin de un vector por un escalar.231.4.2 Suma de Vectores351.4.3 Diferencia de vectores..391.4.4 Producto escalar43
1.5
PROYECCIONES
..522. VECTORES EN 3R ..582.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS622.2 VECTORES BASE..662.3 PRODUCTO VECTORIAL..72PROBLEMAS . 77
AUTOEVALUACION.. 793. MATRICES..81
3.1 OPERACIONES CON MATRICES833.1.1 Suma de matrices843.1.2 Multiplicacin por escalar873.1.3 Multiplicacin de matrices..88
3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES...923.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida953.2.2 Inversa de una matriz..993.2.3 Matrices Elementales1053.2.4 La Factorizacin LU..119
4. DETERMINANTES1314.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES1384.2 INVERSAS .140INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ.147
PROBLEMAS155AUTOEVALUACION.159
UNIDAD II
5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES1635.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ELIMINACION GAUSSIANA..186
5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESMETODO DE GAUSS JORDAN.189
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5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESREGLA DE CRAMER..195
5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESEMPLEANDO LA FACTORIZACION LU.198
5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESEMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA..203SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS..206
6. RECTAS EN 3R ..2087. PLANOS..2208. ESPACIOS VECTORIALES....228PROBLEMAS ..235
AUTOEVALUACION.239
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UNIDAD 1
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
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OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con losfundamentos bsicos que constituyen el campo terico y aplicativo de los vectores,matrices y determinantes a travs del estudio y anlisis de fuentes documentales ysituaciones particulares en diferentes campos del saber.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evidenciar en el estudiante una apropiacin conceptual que refleje elentendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo
pertinente de las operaciones con los mismos.
Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve aespacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones masespecificas. Adems, debe entender y manejar con propiedad las distintasoperaciones que con ellas puede realizar y que le permitirn utilizar herramientascomo el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolvera futuro sistemas lineales.
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1.1 NOCION DE DISTANCIAAhora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro inters es encontrar la distancia entreellos.Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometra elemental, llamado Teorema de Pitgoras, quenos establece que:
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a
a
a
Dado que a es una distancia, entonces consideramos nicamente los valores positivos, es decir,
10a unidades.
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3E
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001
4E , por lo tanto
160
010
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4E
3100
010
001
5E , por lo tanto
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5E
100
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501
6E , por lo tanto
100
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501
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6E
100
6
110
001
7E , por lo tanto
100
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0011
7E
Ahora realicemos el siguiente producto
1
7
1
6
1
2
1
1
EEEE
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100
011
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100
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010
3501
Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:
100
6
110
001
100
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3
501
300010
001
160010
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001
Seguimos
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3
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160
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Seguimos
100
6
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001
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041
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Seguimos
100
6
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001
360
3
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3
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Finalmente
260
141
221
En conclusin, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su
inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las
inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.
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UNIDAD 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS YESPACIOS VECTORIALES
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OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda los fundamentos tericos que soportan la concepcin delos sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a travs delcomplejo ejercicio mental de abstraccin, estudio, anlisis e interpretacin de fuentesbibliogrficas referenciadas y casos especficos de aplicacin en diferentes reas delconocimiento.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evidenciar en el estudiante una apropiacin conceptual que refleje elentendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.
Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que sonobtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.
Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema deecuaciones lineales, lo lleve a espacios ms generales y reconozca su importanciaen aplicaciones mas especificas. Adems, debe entender y manejar con propiedadlos distintos procedimientos que le permiten obtener una solucin del mismo (enel caso en que sea posible)
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5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALESEMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA
El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A esinvertible.
Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe,dado que A es invertible), con lo que nos queda:
bAAXA 11 Agrupando obtenemos
bAXAA 11 Simplificando bAXI 1 Finalmente
bAX1
La ultima afirmacin, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solucin
del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX 1 .
Ejemplo
Dado el sistema lineal
17457
114
211032
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Determine si el sistema tiene solucin nica o no. De tener solucin nica, encuentre suinversa y sela para resolver el sistema.
Solucin
Para determinar si el sistema tiene solucin nica o no, debemos calcular sudeterminante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendr nicasolucin y adems la inversa de la matriz de coeficientes existir (y esta ser nica)
Encontremos el determinante:
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225
457
114
1032
DetA
Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:
1. Empleando el mtodo de reduccin de Gauss- Jordn2. Empleando determinantes ( AdjA
AA *
det
11 )
Voy a emplear el mtodo de reduccin de Gauss- Jordn. Se deja al estudiante lainvitacin a realizarlo tambin por el otro mtodo.
12
1f
12 4 ff
13 7 ff 2
7
1f
212
3ff
232
11ff 3
225
14f
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Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operacioneselementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversade A.Es decir,
225
14
225
11
25
3225
38
225
62
25
1225
13
225
38
25
1
1A
Finalmente, para obtener la solucin del sistema, consideramos la ecuacin bAX 1 .Donde,
17
11
21
b
Por tanto,
17
11
21
225
14
225
11
25
3225
38
225
62
25
1225
13
225
38
25
1
X
2
12
X
Es decir, la solucin es 2;1;2 321 xxx
3114
13ff
327
19ff
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