Algebra Lineal - LACDAEyEA Computacional - CC063 Algebra Lineal Prof: J. Solano 2012-I Universidad...

Fisica Computacional - CC063

Algebra LinealAlgebra Lineal

Prof: J. Solano2012-I

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ciencias

Física ComputacionalCC063


IntroduccionIntroduccion

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Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como solucion de ecuaciones lineales, calculo de inversa de matriz, su determinante, etc.

Detalles importantes de programacion tales como manejo de asignacion de memoria para matrices, introduccion al concepto de clases, templates.

Trabajaremos principlamente con matrices simetricas o hermitianas.

En aras de la simplicidad, echemos un vistazo a una matriz (4x4) A y una matriz identidad correspondiente I.

La inversa de una matriz es definida por

Una propiedad de las matrices simetricas y hermitianas es que tienen autovalores reales


Propiedades de matricesPropiedades de matrices

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Declaracion de vectores y matrices de tamanho fijoDeclaracion de vectores y matrices de tamanho fijo

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Fisica Computacional - CC063 5


Declaracion de vectores y matrices de Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinamicotamanho dinamico

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Descomposicion-LU de una matrizDescomposicion-LU de una matriz

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Una matriz mxn se dice que tiene descomposicion-LU si existen matrices L y U con las siguientes propiedades:

- L es una matriz triangular inferior mxn con todas los elementos en la diagonal siendo 1

- U es una matriz m×n en alguna forma escalonada

- A = LU

Ventajas de la descomposicion:

Suponga que queremos resolver el sistema mxn, Ax = b

Si podemos hallar una descomposicion-LU para A, entonces para resolver AX=b es suficiente resolver los sistemas (Ax=b equivale a LUx=b)

Ly = b

Ux = y

Entonces el sistema Ly = b puede ser resuelto por el método de sustitución hacia adelante y el sistema Ux = y puede ser resuelto por el método de sustitución hacia atrás.

Para ilustrar esto, le damos algunos ejemplos



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Considere el sistema Ax = b, donde

x1 + 2 x

2 = 2

3 x1 + 6 x

2 – x

3 = 8

x1 + 2 x

2 + x

3 = 0

Es facil chequear que A=LU, donde

Para resolver Ax=b, primero resolvemos Ly = b por sustitucion hacia adelante

para obtener

Ahora resolvemos Ux = y por sustitucion hacia atras:

obteniendose x1= 6, x

2= -2, x

3= -2



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Sea matriz A4x4

tq A=BC

Comenzamos con la primera columna

Que determina los elementos c11

, b21

, b31

, b41

. Ahora para la segunda columna

Aqui los valores desconocidos son c12

, c22

, b32

y b42

, que pueden ser evaluados por A y por el resultado anterior


Descomposicion-LU: algoritmo de CroutDescomposicion-LU: algoritmo de Crout

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Podemos generalizar este procedimiento en tres ecuaciones

Para cada columna (j) calculemos el primer elemento c1j por: c

1j = a

1j

Luego calculamos todos los elementos cij , i = 2, …, j-1

Ahora calculamos los elementos de la diagonal cjj,

Finalmente calculamos los elementos bij , i > j.

En el caso que es cero o cercano a cero, lo que lleva a perdida de precision, hay que usar un metodo de pivoteo (intercambiano filas) en torno al mayor elemento de la columna


Solucion de sistema de ecuaciones linealesSolucion de sistema de ecuaciones lineales

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Con la descomposicion-LU es simple resolver un sistema de ecuaciones lineales

En forma matricial: Ax = w

Usando la descomposicion-LU: Ax = BCx = w

Se puede calcular esta ecuacion en dos pasos: By = w ; Cx = y

Para nuestro ejemplo 4-d

esto toma la forma:

y


Inversa de una matriz y determinanteInversa de una matriz y determinante

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Def. basica de determinante:

la suma es sobre todas las permutaciones p de los indices 1,2,...,n, que dan n! terminos.

Igual, para caclular la inversa de A hay que calcular el cofactor de c/elemento aij, que es un

(j-1) determinante. Esto significa el calculo de n2 determinantes. DEMASIADO!!!

Una matriz A con descomposicion-LU: det{A} = det{B} x det{C) = det{C}

ya que los elementos diagonales de B son 1.

Entonces el determinante de A es:

La inversa es algo mas complicada. Formalmente, dado A=BC: A-1 = C-1 B-1

La razon es que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) tambien es una matriz triangular superior (inferior)



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Si llamamos D a la inversa de B, se pueden determinar los elementos de la matriz de la ec

que lleva al algoritmo general

que es valido para i > j. La diagonal es 1 y los elementos del triangulo superior son cero. Resolvemos la ecuacion columna por columna (incrementando j).



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Similarmente definimos una ecuacion que da la inversa de C (la llamamos E)

con la ecuacion general (para i<= j)


Solucion de sistema de ecuaciones linealesSolucion de sistema de ecuaciones lineales

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Con la descomposicion-LU es simple resolver un sistema de ecuaciones lineales

En forma matricial: A x = w

A-1 A x = A-1 w

I x = A-1 w

x = A-1 w

Tambien se puede resolver usando las librerias de Matlab

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