UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

CURSO: ALGEBRA LINEAL (MB165)-A

TEMA: ALGEBRA DE BOOLE

PERIODO ACADEMICO: 2013-III

INTEGRANTES: CASTILLO MEJIA EUSEBIO (20131050F)HUAMANI ZORRILLA ALEJANDRO (20131245A)VIRREYRA TRIGUEROS JUAN PABLO (20131400G)

INDICE

1. Definición del Algebra de Boole………………………………………2

2. Teoremas de Boole………………………………………………………3

3. Representación esquemática de operaciones con elementos del algebra de Boole…………………………………………………………4

4. Funciones Booleanas…………………………………………………..6

5. Funciones normales…………………………………………………….9

6. Circuitos lógicos, descripción algebraica…………………………12

7. Mintemrs y Maxterms………………………………………………….14

8. Evaluación de las salidas de los circuitos lógicos……………….15

1

9. Problemas Aplicativos………………………………………………...16

Algebra de Boole

1. Definición

Un algebra de Boole es un sistema de elementos B=0,1 y los operadores binarios (·) y (+) y (’) definidos de la siguiente forma.

A B A+B A∙B0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 1 1

OPERADOR + → OPERADOR OR OPERADOR · → OPERADOR AND OPERADOR ‘ → OPERADOR NOT

Que cumplen en las siguientes propiedades:

1.- Propiedad Conmutativa: A + B = B + A A · B = B · A

2. Propiedad Distributiva: A·(B+C) = A·B + A·C A + B·C = (A+B)·(A+C)

3. Elementos neutros diferentes: A + 0 = A A · 1 = A

2

A A´0 11 0

4. Siempre existe el complemento de A, denominado A’: A + A’ = 1 A · A’ = 0

Principio de Dualidad: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.

CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B. VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya

sea constante o fórmula completa.

2. Teoremas de Boole

Teorema 1: El elemento complemento A’ es único.

Teorema 2 (Elementos Nulos): Para cada elemento de B se verifica: A+1 = 1A·0 = 0

Teorema 3: Cada elemento identidad es el complemento del otro. 0’=11’=0

Teorema 4 (Idempotencia): para cada elemento de B, se verifica: A+A=AA·A=A

Teorema 5 (Involución): para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A

Teorema 6 (Absorción): para cada par de elementos de B, se verifica: A+A·B=A

A·(A+B)=A

Teorema 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’·B = A + B

A · (A’ + B) = A · B

Teorema 8 (Asociatividad): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa: A+(B+C) = (A+B)+CA·(B·C) = (A·B)·C

Leyes de Demorgan: para cada par de elementos de B, se verifica:

3

(A+B)’ = A’·B’(A·B)’ = A’ + B’

3. Representación esquemática de operaciones con elementos del algebra de Boole

La suma lógica: Representa la unión de dos conjuntos (AUB).

Supuestas dos variables lógicas A y B.

A + B = 1 A ó B ó A y B = 1; 0 A y B = 0

La suma lógica de dos variables vale 1 cuando A ó B ó ambas sean 1. Tabla de verdad Circuito eléctrico 0-Apagada.

Producto lógico: Representa la intersección de dos conjuntos (A Ω B).

Supuestas dos variables lógicas A y B. A · B = 1 A y B = 1; 0 A ó B = 0

4

Inversión: La inversión se define para una sola variable y se puede representar como A o A’.

A’ vale 1 cuando A ≠ 1 es decir cuando A = 0. A’ vale 0 cuando A ≠ 0 es decir cuando A = 1.

Representación gráfica de variables y funciones. Los conodiagramas.

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4. Funciones Booleanas

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

Algebraica Por tabla de verdad Numérica Gráfica

El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso.

Algebraica

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

a) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C

b) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

c) F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)

d) F = BC’ + AB’

e) F = (A + B)(B’ + C’)

f) F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’

g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b),

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y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos.

Por tabla de verdad

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2n. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior.

La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)

F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’;

nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro

combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101 para AB’C y 110 para ABC’) siendo el

resto de combinaciones 0. Con la función canónica de producto de sumas (o forma canónica conjuntiva)

se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea

uno de sus productos.

También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

Numérica

La representación numérica es una forma simplificada de representar las expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de la combinación. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos se representarán del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso):

AB’CD = 10112 = 1110

A’ + B + C’ + D’ = 01002 = 410

Para representar una función canónica en suma de productos utilizaremos el símbolo Σn (sigma) y en producto de sumas Πn (pi), donde n indicará el número de variables. Así, la representación numérica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedará como:

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F = Σ3(2, 4, 5, 6) = Π3(0, 1, 3, 7)

Matemáticamente se demuestra, que para todo término i de una función, se cumple la siguiente

ecuación:

F = [Σn(i)]' = Πn(2n-1-i )

A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma

de productos del ejemplo anterior:

F = Σ3(2, 4, 5, 6) = [Σ3(2, 4, 5, 6)]' ' = [Σ3(0, 1, 3, 7)]' = Π3(0, 1, 3, 7)

Grafica

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)

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5. Formas Normales

Forma normal disyuntiva. Una expresión booleana está en forma normal

disyuntiva en n variables x1, x2,... xn, si la expresión es una suma de términos del

tipo E1 (x1) x E2( x2) x ... x En(xn), donde Ei(xi) = xi o xi’ para i = 1, 2,..., n, y ningún

par de términos son idénticos. Además se dice que 0 y 1 están en F.N.D en una

variable para todo n ³ 0.

o Teorema. Toda expresión booleana que no contiene constantes es igual a

una función en forma normal disyuntiva.

La manera de realizar esa transformación la ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Escribir (xy’ + xz)’ + x' en F.N.DSolución:

( xy’ + xz)’ + x' = (xy’)’(xz)’ + x'

= (x’ + y)(x’ + z’) + x’

= (x’ + y)x’ + (x’ + y)z’ + x’

= x’ + x’y + x’z’ + yz’ + x’

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= x’ + yz’

= x’(y + y’)(z + z’) + yz’(x + x’)

= x’ y z + x’ y z’ + x’ y’ z + x’ y’ z’ + x y z’

Cualquier expresión booleana puede colocarse en forma normal disyuntiva en más de

una forma. Basta cambiar el número de variables.

Definición. La forma normal disyuntiva en n variables, que contiene 2n términos se

llama forma normal disyuntiva completa en n variables.

o Teorema. Si a cada una de las n variables de una expresión booleana en

la F.N.D se le asigna el valor 0 o 1 de una forma arbitraria pero fija,

entonces exactamente un término de la F.N.D completa tendrá el valor 1,

todos los demás términos tendrán el valor 0.

o Teorema. Dos expresiones booleanas son iguales si y sólo si sus

respectivas F.N.D son iguales.

o Teorema. Para establecer cualquier Identidad en álgebra booleana, es

suficiente verificar el valor de cada función para todas las combinaciones

de 0 y 1 que pueden asignarse a las variables.

Se concluye entonces, que una expresión booleana está completamente determinada

por los valores que toma para cada asignación posible de 0 y 1 a las variables

respectivas. Luego las funciones se pueden especificar completamente dando una

tabla que represente estas propiedades.

En el diseño de circuitos, esta es precisamente la manera como las expresiones

booleanas son construidas. Si tal tabla ha sido dada, entonces la expresión booleana

en F.N.D puede escribirse por inspección. A cada conjunto de condiciones para los

cuales la expresión booleana sea 1, corresponderá un término en la F.N.D escogida. La

suma de estos términos da la función aunque no necesariamente en la forma más

simple.

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Forma normal conjuntiva. En esta forma cada función se representa como un

producto de sumas, en lugar de una suma de productos.

Definición. Una función booleana está en F.N.C en n variables x1, x2,... xn, para n 0,

si la función en un producto de factores del tipo E1 (x1) E2( x2) ... En(xn), donde

Ei(xi) = xi o xi’ para i = 1, 2, ..., n, y ningún par de factores son idénticos. Se dice

también que 0 y 1 están en F.N.C en n variables para n 0.

o Teorema. Toda función en un álgebra booleana que no contiene

constantes es igual a una función en forma normal conjuntiva.

Definición. La forma normal conjuntiva en n variables que contienen 2n factores se llama forma normal conjuntiva completa en n variables.

o Teorema. Si a cada una de las n variables de una F.N.C se le asigna el 0 o 1 de una manera arbitraria, pero fija, entonces exactamente un factor de la F.N.C en las n variables tendrá el valor 0 y todos los demás factores tendrán el valor 1.

Acá se asignará a las variables sin prima el valor de 0 y las variables con prima el valor de 1. El factor adecuado es entonces la suma de estas letras, cada una de las cuales tiene el valor 0. Todos los demás factores tienen el valor 1.

o Teorema. Dos funciones, cada una expresada en la forma normal conjuntiva en n variables, son iguales si y sólo si contienen idénticos factores.

La F.N.C tendrá 2 términos o factores y serán los correspondientes a las filas segunda y sexta las cuales la función es 0.

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6. Circuitos lógicos, descripción algebraica

Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1.

Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones físicas como, por ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor.

Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales denominados compuertas lógicas, entre las cuales diferenciaremos:

• Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT. • Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND.

o Compuerta OR: En una compuerta OR con entradas A y B, la salida Y resulta: Y=A+B

o Compuerta AND: En una compuerta AND con entradas A y B, la salida Y resulta: Y=A∗B

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o Compuerta NOT: En una compuerta NOT con entrada A, la salida Y resulta: Y=A´

o Compuertas NOR y NAND: Las compuertas NOR y NAND no son básicas. Una compuerta NOR equivale a una compuerta OR seguida de una compuerta NOT. Una compuerta NAND equivale a una compuerta AND seguida de una compuerta NOT.

Los circuitos lógicos se forman combinando compuertas lógicas. La salida de un circuito lógico se obtiene combinando las tablas correspondientes a sus compuertas componentes.

Por ejemplo:

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7. Minterms y Maxterms

En Álgebra booleana, se conoce como término canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. Una Función lógicaque está compuesta por operador lógico puede ser expresada en forma canónica usando los conceptos de minterm y maxterm. Todas las funciones lógicas son expresables en forma canónica, tanto como una "suma de minterms" como "producto de maxterms". Esto permite un mejor análisis para la simplificación de dichas funciones, lo que es de gran importancia para la minimización de circuitos digitales.

Una función booleana expresada como una disyunción lógica (OR) de minterms es usualmente conocida la "suma de productos", y su Dual de Morgan es el "producto de sumas", la cual es una función expresada como una conjunción lógica (AND) de maxterms.

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8. Evaluación de las salidas de los circuitos lógicos

Una vez que se obtiene la expresión booleana para la salida de un circuito, el nivel lógico de la salida se puede determinar para cualquier valor de las entradas del circuito. Por ejemplo en el siguiente caso donde A= 0, B= 1 y D= 1.

x = ABC(A + D) = 0 ∙ 1 ∙ 1 (0 + 1)

= 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ (0 + 1) = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ (1)

= 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 = 0

En general, siempre deben seguirse los siguientes lineamientos cuando se evalúa una expresión booleana. 1.- Primero, realice todas las inversiones de términos simples; es decir 0= 1 o1= 0. 2.- Luego efectúe todas las operaciones dentro de los paréntesis. 3.- Efectué una operación AND antes de una OR a menos que los paréntesis indiquen lo contrario. 4.- Si una expresión tiene una barra sobre ella, efectué las operaciones de la expresión primero y luego invierta el resultado.

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Determinación del Nivel de Salida a partir de un Diagrama

También se puede determinar en forma directa el nivel lógico de salida para los niveles de entrada dados, a partir de un diagrama de circuito, sin usar la expresión booleana.El procedimiento comienza desde las entradas y sigue a través de cada INVENSOR y compuerta, expresando cada una de sus salidas en el proceso hasta que se llegue al resultado final.

Determinación del nivel de salida del diagrama del circuito.

9. Problemas Aplicativos

1. Demostrar la veracidad o falsedad de la siguiente relación

Aʘ(BʘC)=(AʘB)ʘ(AʘC)

A(BC+B´C´)+A´(BC+B´C´)´=(AB+A´B´)(AC+A´C´)+(AB+A´B´)´(AC+A´C´)´

ABC+AB´C´+A´(B´C+BC´) = ABC + A´B´C´+[(A+B)(A´+B´)][(A´+C´)(A+C)]

ABC+AB´C´+A´B´C+A´BC´= ABC + A´B´C´+A’BC+AB´C´

Comparando ambos resultados, se concluye que la proposición mencionada es falsa.Resuelto por : Samuel Huamani

2. Simplificar la siguiente funcion:

F= A´∙B´∙C + A´∙B∙C´ + A´∙B∙C + A∙B∙C´

A´∙B´∙C + A´∙B∙C = A´∙C(B´ + B) = A´∙C

A´∙B∙C´ + A∙B∙C´ = (A´ + A) ∙B∙C´ = B∙C´

Entonces la funcion simplificada quedaria de la siguiente manera:

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F = A´∙C + B∙C´ Resuelto por : Juan Pablo Virreyra

3. Simplifique la siguiente función booleanas aplicando el Mapa de Karnaugh y diseñe el circulo lógico correspondiente con compuertas NAND.

F (A, B, C, D) = (B + D) (A + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)

SOLUCIONTENEMOS:

F = (B + D + AA) (A + C + BB + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)

F = (A + B + D) (A + B + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)

(A + B + C + D) (A + B + C + D)

F = (A + B + CC + D) (A + B + CC + D) (A + B+ C + D) (A + B + C + D)

(A + B +C + D) (A + B + C + D)

F = (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C +D)

(A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)

F = M₅ M₇ M₁₃ M₁₅ M₁₀ M₁₄ M₆ M₁₁

F = π (5, 7, 13, 15, 10, 14, 6, 11)

F = π (5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15)

F = ∑ (0 ,1¿,2 ,3 ,4 ,8 ,9 ,12)¿

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LAZO 1

A = 0, B = 0, C = ⁰₁, D = ⁰₁

LAZO 1: A´B´

LAZO 2A = ⁰₁, B = ⁰₁, C = 0, D = 0

LAZO 2: C´D´LAZO 3A = ⁰₁, B = 0, C = 0, D = ⁰₁LAZO 3: B´C´

La función simplificada es:F (A, B, C, D) = A´B´ + C´D´ + B´C´

F = A B + C D + B CResuelto por : Eusebio Castillo

4. Una función booleana F(A,B,C) está implementada en la siguiente tabla lógica:- Hallar la función simplificada

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

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F(A,B,C,D) = A´B´C´+ A´B´C+AB´C´+AB´C+ABC = A´C´+B´C+AC

Expresar la función en compuertas NAND F = [(A´C´)´(B´C)´(AC)´]

Resuelto por : Samuel Huamani

5. Simplificar la siguiente función, hacer su tabla de verdad y su circuito lógico

Z = AB + CB + A´B´C

Z = AB(C+C´) + BC(A+A´) + A´B´C

Z = ABC + ABC´ + ABC + A´BC + A´B´C

Z = AB(C+C´) + A´C(B+B´)

Z = AB + A´C

C\BA 00 01 11 100 0 0 1 01 1 0 1 1

A B C Z0 0 0 01 0 0 00 1 0 01 1 0 10 0 1 1

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1 0 1 00 1 1 11 1 1 1

Resuelto por : Juan Pablo Virreyra

6. En una comisión hay cuatro personas que, por orden de importancia son A, B, C y D, cuando evalúan a un candidato, lo aprueban si obtiene al menos tres votos a favor y lo suspenden si tiene 3 en contra. En el caso que obtenga exactamente dos a favor y dos en contra, se considera que el voto de A vale 4, el de B vale 3, el C vale 2 y el de D vale 1 y el candidato es admitido cuando la suma de los votos favorables es mayor o igual que el de los desfavorables.

Expresar la función booleana en producto de términos máximos, la función simplificada y el circuito mínimo que determina cuando de acepta o no a un candidato.

Solución TENEMOS: 1: Candidato aprobado 0: Candidato desaprobado

Voto A: 4 puntos Voto B: 3 puntos

Voto C: 2 puntos Voto D: 1 puntos

A FAVOR PUNTOS EN CONTRA PUNTOSA,B 7 C,D 3A,C 6 B,D 4A,D 5 B,C 5B,C 5 A,D 5B,D 4 A,C 6C,D 3 A,B 7

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A B C D F0 0 0 0 0 m₀0 0 0 1 0 m₁0 0 1 0 0 m₂0 0 1 1 0 m₃0 1 0 0 0 m₄0 1 0 1 0 m₅0 1 1 0 1 m₆0 1 1 1 1 m₇1 0 0 0 0 m₈1 0 0 1 1 m₉1 0 1 0 1 m₁₀1 0 1 1 1 m₁₁1 1 0 0 1 m₁₂1 1 0 1 1 m₁₃1 1 1 0 1 m₁₄1 1 1 1 1 m₁₅

APLICANDO EL METODO DEL MAPA DE KARNAUGH:

CD AB

1 1

1 1 1 1

1 1 1

TENEMOS

LAZO 1: A = ⁰₁, B = 1, C = 1, D = ⁰₁

LAZO 1: BC

LAZO 2: A = 1, B = 1, C = ⁰₁, D = ⁰₁

LAZO 2: AB

LAZO 3: A = 1, B = ⁰₁, C =1, D = ⁰₁

LAZO 3: AC

LAZO 4: A = 1 , B = ⁰₁ , C = ⁰₁ , D = 1 ELIMINADO ELIMINADO

LAZO 4: AD

LA FUNCION SIMPLIFICADA ES:

F (A, B, C, D) = BC + AB + AC + AD

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EL CIRCUITO MINIMO ES:

Resuelto por : Eusebio Castillo

7. Dadas las siguientes funciones booleanas

G(A,B,C)=(AʘB)+ABC´+B(AC)´

F(A,B,C)=(A´+C)(A´+B+C)(B+C´)

Operando:G= ABC+ABC´+A´BC+A´BC´+ABC´+A´B´C+A´B´C´ = π(4,5)F=(A´+B+C)(A´+B´+B)(A´+B+C)(A+B+C´)(A´+B´+C)= π(1,4,5,6,)

-Hallar H(A,B,C)=G(A,B,C). F(A,B,C)

H= π(1,4,5,6) = Σ(0,2,3,7)

SIMPLIFICANDO

H(A,B,C) = A´C´+BCResuelto por : Samuel Huamani

8. Justifique por medio de la expression booleana las compuertas derivadas NAND, NOR y EX-NOR

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AND Z = AB NANDZ´ = AB

Z´´ = (AB)´Z = (AB)´

Z = A´ + B´OR Z = A + B NOR Z´ = A + B

Z´´ = (A + B)´Z = (A + B)´

Z = A´B´

EXOR Z = A´B + AB´ EX-NORZ´ = A´B + AB´

Z´´ = (A´B + AB´)´Z = (A´B)´(AB´)´

Z = (A + B´)(A´ + B)Z = AB´ + BA´

Resuelto por : Juan Pablo Virreyra

9. Sea la función booleana:

F (A, B, C) = (A B ʘ C) + AC + (ABC + AC) + BC

Especifique dicha función e implemente el circuito lógico correspondiente.

Solución TENEMOS:

F₁ = (A B ʘ C) + AC

F₁ = (A B) C + (AB) (C) + AC

F₁ = (A+B) C + ABC + AC

F₁ = AC + BC + ABC + A + C

F₁ = A (C + 1) + BC + C (AB + 1)

F₁ = A + BC + C

Luego:

F₁ = A + BC + C

F₁ = A + BC C

F₁ = A (B + C) C = ABC

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ADEMAS:

F₂ = ABC + AC

F₂ = (ABC) (AC) + (ABC) (AC)

F₂ = (A + B + C) (AC) + (ABC) (A + C)

F₂ = AC + ABC + ABC

F₂ = AC (1 + B) + ABC

F₂ = AC + ABC

También F₃ = BC

Entonces

F (A, B, C) = ABC + AC + ABC + BC

=AC (B+1) + A B C + B C

= AC + A B C + B C

= AC + A B C + B C

= (A + C) (A + B + C) (B + C)

= (A + C) (AB + AC + B + BC + B C) = (A + C) (AC + B)

F (A, B, C) = A B + B C

Implementando el circuito lógico correspondiente:

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Resuelto por : Eusebio Castillo

10. Implementar el mapa de Carnaugh de 4 variables

F(A,B,C,D)= Σ(0,2,8,9,10,11,14,15)

1 1

1 11 1 1 1

LAZO1 (ESQUINAS)A 0,1B 0C 0,1D 0

LAZO 2 ( ROJO) A 1B 0C 0,1D 0,1

LAZO 3 ( AZUL)A 1B 1,0C 1D 1,0

F= AB´ + AC + B´D´Resuelto por : Samuel Huamani

11. Simplifique la siguiente funcion:

F = ((AB + A´C)(C + B´))(A + B´ + C)F = (ABC + ABB´ + A´CC + A´B´C)(A + B´ + C)F = (ABC + A´C + A´B´C)(A + B´ + C)

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F = ABCA + A´CA + A´CBÁ + ABCB´ + A´B´C + A´B´B´C + ABCC + A´CC + A´B´CCF = ABC + A´B´C + A´B´C + ABC + A´C + A´B´CF = ABC + A´B´C + A´CF = ABC + A´C(B´+ 1)F = ABC + A´CF = C(AB+ A´)F = C((A + A´)(B + A´)) = C(B + A´)F = CB + CA´

Resuelto por : Juan Pablo Virreyra

12.Demostrar la veracidad o falsedad de las siguientes relaciones:

a) A + (B + C) = (A + B) + (A + C)b) A + B = (A + B) (AB)

Solución:

a) (A + B) + (A + C)

= (A + B) (A + C) + (A + B) (A + C)

= A B (A + C) + (A + B) (A C)

= A B C + A B C = A (DC + BC) = A (B + C) (falso)

b) A + B = AB + AB

(A + B) (AB) = (A + B) (A + B) = AB + AB

= A + B (verdadero) Resuelto por : Eusebio Castillo

13.El siguiente circuito fue diseñado para implementar la siguiente ecuación lógica F(A,B,C)=(A+B´+C´)(A´+B+C´)(A´+B´+C) pero no funciona correctamente. Los cables de entradas de las puertas 1,2 y 3 están enmaradas y apretados que nos llevaría mucho tiempo seguir cada cable para ver si las entradas son correctas. Sería muy útil encontrar un método que nos permitiera seguir tan solo el cable mal conectado. Cuando A=B=C=1, las entradas y salidas de la puerta 4 son las que se muestran.¿Qué puerta resultante está mal conectada?

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F(A,B,C)=(A+B´+C´)(A´+B+C´)(A´+B´+C)

EXPRESANDOLO EN COMPUERTAS NOR

F=[(A+B´+C´)´+(A´+B+C´)´+(A´+B´+C)´]´

Entonces A=B=1

Compuerta 1 :

(1+0+0)´=0

Compuerta 2:

(1´+0+1´)´=1

Compuerta 3:

(1´+1´+1´)´=1

* La compuerta 4 ya trabaja mal porque reemplazando los datos en la función debería ser 1 no 0

** Las compuertas 1 y 4 no funcionan bien, por los expuesto antes.Resuelto por : Samuel Huamani

14.En el circuito que se muestra a continuación fue diseñado para implementar la función lógica F (A, B, C, D) = ABC + B C D + BCD, pero no funciona correctamente.

Los cables de entradas de la puertas 1, 2 y 3 están enmarañados y apretados que nos llevaría mucho tiempo seguir cada cable para ver si las entradas son correctas.

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Sería muy útil encontrar un método que nos permitiera seguir tan solo el cable mal conectado.Cuando A = B = 0 y C = D = 1. Las entradas y salidas de la puerta 4 son como se muestran, indique ¿Qué puerta restante está conectada incorrectamente o está funcionando mal? Justifique.

A 1

B 1 1F

C0

D

SOLUCIÓN:

TENEMOS:

F (A, B, C, D) = A B D + B C D +B C D

F (A, B, C, D) = A B D + B C D +B C D

F (A, B, C, D) = A B D + B C D +B C D

ANALIZANDO EL GRÁFICO:

PUERTA 1: A B D = 0 0 1 = 1 (cuando A = B = 0 y C = D = 1) Funciona

PUERTA 2: B C D = 0 1 1 = 1 (cuando A = B = 0 y C = D = 1) Funciona

PUERTA 3: B C D = 0 1 1 = 1 (cuando A = B = 0 y C = D = 1) Puerta mala PUERTA 4: 1 1 1 = 0 (lo que recibe de las puertas 1, 2 y 3) Funciona mal

Por lo tanto la puerta 3 funcional mal y hace que la compuerta 4 funciona mal.

Resuelto por : Eusebio Castillo

15. En el examen de ingreso a una facultad universitaria, se reciben los expedientes y de un gran número de candidatos. El criterio de admisión es el siguiente: un alumno es admitido si y solo si alcanza la nota mínima exigida en Matemática M y un mínimo de dos de las siguientes disciplinas: Lenguaje L, un idioma extranjero I y Física F.

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MARAÑA DE CABLES

1

2

3

4

->m9 -> 0

->m10 -> 0

->m11 -> 1

->m12 -> 0

->m13 -> 1

->m14 -> 1

->m15 -> 1

a. Determine su ecuación lógica.b. Simplifique dicha ecuación mediante el método de Karnaugh.

M: MATEMATICA NO ALCANZO LA MIN. NOTA: OL: LENGUAJE ALCANZO NOTA MIN.: 1I: IDIOMA EXTRANJEROF: FISICA

a.- ML´IF + MLI´F + MLIF´ + MLIF

b.- ML\IF

1 1 11

Lazo 1 : M=1 L=1 I=0;1 F=1Lazo 1 = MLF

Lazo 2 : M=1 L=1 I=1 F=0;1Lazo 2 = MLI

Lazo 3 : M=1 L=0;1 I=1 F=1Lazo 3 = MIF

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M L I F F10 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 0 1 1 1 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1

F = MLF + MLI + MIF

Resuelto por : Juan Pablo Virreyra

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