Algebra Cap5
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Universidade Federal do Cear´ a Campus Quixad´ a Prof. Me. Joel Cas tro ´ Algebra - Ralph Costa Texeira - Cap ´ ıtulo 5 5.1. Verifique expli citamente que produto B A de transforma¸ c˜ oes lineares ´ e ainda uma transforma¸ c˜ao linear. 5.2. Consid ere os operadores lineare s R, S, P : R 2 → R 2 , onde R ´ e a ro ta ¸ c˜ ao de 30 o em torno da origem, S ´ e a reflex˜ ao em torno da reta y = 2x e P ´ e a pr o je¸ c˜ ao ortogonal sobre a mesma reta. (i) Mos tre que se tem P S = SP = P . (ii) V erifique a igualdade RSR = S . (iii) Mostre que R n˜ ao comuta com S nem com P . (iv) Determine todos os vetore s v tais que P R v = 0 e RP v = 0. 5.3. Dado o operador linear A : E → E , seja N o conjunto dos vetores v ∈ E tais que A v = 0. Mostre que N ´ e um sub espa¸ co vetorial de E . Prove que A 2 = 0 se, e somente se, para todo v ∈ E tem-se A v ∈ N . 5.4. Sejam R, R : R 2 → R 2 respectivamente as rota¸ c˜oes de ˆangulos θ e θ em torno da origem. Par tindo do fato de que o produto RR’ ´ e a rot a¸ c˜ao de ˆangulo θ + θ , use o Exemplo 4.2 para obter as f´ormulas cl´ assicas cos(θ + θ ) = cos θ · cos θ - sen θ · sen θ e sen(θ + θ ) = sen θ · co s θ + sen θ · co s θ. 5.5. Seja A : E → E um operador nilpotente. Prove que existe algum vetor v = 0 em E tal que A v = 0. 5.6. Dados os operadores A, B : R 2 → R 2 dados por A(x, y) = (x + y , 0) e B(x, y) = (−y, x), obtenha as express˜ oes dos operadores A + B, AB, BA, A 2 e B 2 . Descre v a geomet ricame nte esses cinco operadores . (Exemplo: A ´ e a pro je¸ c˜ao sobre o eixo x paralelamente a uma certa reta. (Qual?)) 5.7. Seja A : R 3 → R 3 dado por A(x, y) = (ay + bz, cz, 0). Mostre que A 3 = 0. 5.8. Sejam A, B,C,D : R 2 → R 2 os operadores dados por A(x, y) = (x, 0), B (x, y) = (−y, x), C (x, y) = (0, y) e D(x, y) = (y, −x). Determine o operador ABCD. 5.9. Consid ere as transforma¸ c˜ oes linear es A : R 2 → R 3 e B : R 3 → R 2 , definidas por: A(x, y) = (x,y,x + z) e B(x,y,z) = (ax + (a − 1)y + (1 − a)z, −bx + (1 − b)y + bz ). Determine o operador BA : R 2 → R 2 . 5.10. Dado o opera dor A : R 2 → R 2 , com A(x, y) = (3x − 2y, 2x + 7y), ache um vetor n˜ ao-nulo v = (x, y) tal que A v = 5 v. 5.11. Sejam A, B : E → E operadores lineares. Suponha que existam vetores u, v ∈ E tais que A u e A v sejam L.D. Prove que B A u e B A v s˜ ao L.D. Se a dimens˜ ao de E for igual a 2 , pr ove tamb´ em q ue AB u e AB v s˜ ao L.D. (Sugest˜ ao: se u e v s˜ ao L.D. o fato ´ e ´ obvio . Caso contr´ ario, u e v formam uma base de E . Exprima B u e B v em termos dessa base e depois aplique A.) 5.12. Sejam A, B : R 3 → R 3 definidos por A(x,y,z) = (x,y, 0) e B(x,y,z) = (x + z,y, 0). Obtenha vetores u, v ∈ R 3 tais que A u e A v sej am L.D. po r´ em AB u e AB v sejam L.I. . 5.13. No es pa¸ co vetorial P dos polinˆ omios, considere os operadores lineares D, A : P → P de deriva¸ c˜ ao (D p (x) = p (x)) e multiplica¸ c˜ ao por x ( A p (x) = xp(x)) respectivamente. Determine DA − AD. 5.14. Sej a A : R 2 → R 2 o operador linear definido por A(x, y) = (ax +by, cx+dy). Verifique que A 2 −(a +d)A = (bc − ad)I . Use esta igualdade para provar que, se ad − bc = 0, existe um operador linear B : R 2 → R 2 tal que BA = AB = I . 5.15. Sej a C (A) o conjunto dos operadores lineares X : E → E que comutam com o operador A ∈ L(E ) (isto ´ e, AX = X A). Prove que C (A) ´ e um sub espa¸ co vetorial de L(E ) e que X, Y ∈ C (A) ⇒ X Y ∈ C (A). 5.16. Sej a A : R 2 → R 2 um operador linear que n˜ ao ´ e da for ma αI . Prove:
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7/25/2019 Algebra Cap5
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Universidade Federal do Ceara
Campus Quixada
Prof. Me. Joel Castro
Algebra - Ralph Costa Texeira - Capıtulo 5
5.1. Verifique explicitamente que produto B A de transformacoes lineares e ainda uma transformacao linear.
5.2. Considere os operadores lineares R, S, P : R2 → R2, onde R e a rotacao de 30o em torno da origem, S e
a reflexao em torno da reta y = 2x e P e a projecao ortogonal sobre a mesma reta.
(i) Mostre que se tem P S = SP = P .
(ii) Verifique a igualdade RSR = S .
(iii) Mostre que R nao comuta com S nem com P .
(iv) Determine todos os vetores v tais que P Rv = 0 e RP v = 0.
5.3. Dado o operador linear A : E → E , seja N o conjunto dos vetores v ∈ E tais que Av = 0. Mostre que N
e um subespaco vetorial de E . Prove que A2 = 0 se, e somente se, para todo v ∈ E tem-se Av ∈ N .
5.4. Sejam R, R : R2 → R2 respectivamente as rotacoes de angulos θ e θ em torno da origem. Partindo
do fato de que o produto RR’ e a rotacao de angulo θ + θ, use o Exemplo 4.2 para obter as formulasclassicas cos(θ + θ) = cos θ · cos θ - sen θ · sen θ e sen(θ + θ) = sen θ · cos θ + sen θ · cos θ.
5.5. Seja A : E → E um operador nilpotente. Prove que existe algum vetor v = 0 em E tal que Av = 0.
5.6. Dados os operadores A, B : R2 → R2 dados por A(x, y) = (x + y, 0) e B(x, y) = (−y, x), obtenha as
expressoes dos operadores A + B, AB, BA, A2 e B2. Descreva geometricamente esses cinco operadores.(Exemplo: A e a projecao sobre o eixo x paralelamente a uma certa reta. (Qual?))
5.7. Seja A :R3
→R3
dado por A(x, y) = (ay + bz, cz, 0). Mostre que A3
= 0.
5.8. Sejam A, B , C , D : R2 → R
2 os operadores dados por A(x, y) = (x, 0), B (x, y) = (−y, x), C (x, y) = (0, y)e D(x, y) = (y, −x). Determine o operador ABCD.
5.9. Considere as transformacoes lineares A : R2 → R3 e B : R
3 → R2, definidas por: A(x, y) = (x, y , x + z) e
B(x, y , z) = (ax + (a − 1)y + (1 − a)z, −bx + (1 − b)y + bz). Determine o operador BA : R2 → R2.
5.10. Dado o operador A : R2 → R2, com A(x, y) = (3x − 2y, 2x + 7y), ache um vetor nao-nulo v = (x, y) tal
que Av = 5 v.
5.11. Sejam A, B : E → E operadores lineares. Suponha que existam vetores u, v ∈ E tais que Au e Av sejamL.D. Prove que B Au e B Av sao L.D. Se a dimensao de E for igual a 2, prove tambem que ABu e ABv
sao L.D. (Sugestao: se u e v sao L.D. o fato e obvio. Caso contrario, u e v formam uma base de E .Exprima Bu e Bv em termos dessa base e depois aplique A.)
5.12. Sejam A, B : R3 → R3 definidos por A(x, y , z) = (x,y, 0) e B(x, y , z) = (x + z,y, 0). Obtenha vetores
u, v ∈ R3 tais que Au e Av sejam L.D. porem ABu e ABv sejam L.I. .
5.13. No espaco vetorial P dos polinomios, considere os operadores lineares D, A : P → P de derivacao (D p(x)= p(x)) e multiplicacao por x (A p(x) = xp(x)) respectivamente. Determine DA − AD.
5.14. Seja A : R2 → R2 o operador linear definido por A(x, y) = (ax+by, cx+dy). Verifique que A2−(a+d)A =
(bc − ad)I . Use esta igualdade para provar que, se ad − bc = 0, existe um operador linear B : R2 → R2
tal que BA = AB = I .
5.15. Seja C (A) o conjunto dos operadores lineares X : E → E que comutam com o operador A ∈ L(E ) (istoe, AX = X A). Prove que C (A) e um subespaco vetorial de L(E ) e que X, Y ∈ C (A) ⇒ X Y ∈ C (A).
5.16. Seja A : R2 → R2 um operador linear que nao e da forma αI . Prove:
7/25/2019 Algebra Cap5
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Universidade Federal do Ceara
Campus Quixada
Prof. Me. Joel Castro
(a) Existe w ∈ R2 tal que {w,Aw - w} ⊂ R
2 e uma base.
(b) Se P : R2 → R2 e o operador que a cada v = xw + y(Aw−w ∈ R
2) faz corresponder P v = xw entaoAP = P A.
Conclua que os unicos operadores lineares em R2 que comutam com todos os demais sao os da forma αI .
5.17. Estenda o exercıcio anterior para todos os espacos vetoriais de dimensao finita (maior do que 1) em vezde R2.
5.18. Sejam A : E → F uma transformacao linear e B : F → E uma funcao tal que AB = I F e BA = I E .Prove que B e uma tranformacao linear.
5.19. Seja E um espaco vetorial de dimensao n. Para todo k = 2, ..., n, exiba um operador linear A : E → E
tal que Ak = 0 mas A j = 0 se j < k.
5.20. Sejam A, P : E → E operadores lineares nao-nulos tais que AP = 0. Prove que existem vetores diferentesde 0 u = v com Au = Av.
