Alexander Bobenko and Ulrich Pinkall- Discrete Isothermic Surfaces

8/3/2019 Alexander Bobenko and Ulrich Pinkall- Discrete Isothermic Surfaces

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D i s c r e t e I s o t h e r m i c S u r f a c e s

A l e x a n d e r B o b e n k o

y

U l r i c h P i n k a l l

z

F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n ,

S t r a s s e d e s 1 7 . J u n i 1 3 6 , 1 0 6 2 3 B e r l i n , G e r m a n y

N o v e m b e r 1 0 , 1 9 9 4

A b s t r a c t

D i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s a r e d e n e d . I t i s s h o w n t h a t t h e s e d i s -

c r e t e s u r f a c e s p o s s e s s p r o p e r t i e s , w h i c h a r e c h a r a c t e r i s t i c f o r s m o o t h

i s o t h e r m i c s u r f a c e s ( M o b i u s i n v a r i a n c e , d u a l s u r f a c e ) . Q u a t e r n i o n i c

z e r o - c u r v a t u r e l o o p g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s f o r s m o o t h a n d d i s c r e t e i s o -

t h e r m i c s u r f a c e s a r e p r e s e n t e d . A W e i e r s t r a s s t y p e r e p r e s e n t a t i o n f o r

d i s c r e t e m i n i m a l i s o t h e r m i c s u r f a c e s i s o b t a i n e d a n d t h e d i s c r e t e c a -

t e n o i d a n d t h e E n n e p e r s u r f a c e a r e c o n s t r u c t e d .

1 I n t r o d u c t i o n

S u r f a c e s i n a n E u c l i d e a n 3 - s p a c e s t u d i e d b y t h e t h e o r y o f i n t e g r a b l e s y s t e m s

a r e u s u a l l y d e s c r i b e d a s i m m e r s i o n s o f R

2

o r o f s o m e d o m a i n i n R

2

F : R

2

! R

3

( 1 )

T h e l i s t i n c l u d e s s u r f a c e s w i t h c o n s t a n t n e g a t i v e G a u s s i a n a n d m e a n c u r -

v a t u r e a n d s o m e o t h e r s ( s e e t h e s u r v e y 2 ] ) . I n t h i s c a s e R

2

i s t r e a t e d a s

p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e S o n d e r f o r s c h u n g s b e r e i c h 2 8 8

y

e - m a i l : b o b e n k o @ s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e

z

e - m a i l : p i n k a l l @ s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e

1


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a s p a c e - t i m e o f t h e c o r r e s p o n d i n g i n t e g r a b l e s y s t e m . O n e c a n d e s c r i b e t o -

p o l o g i c a l p l a n e s , c y l i n d e r s a n d t o r i i n t h i s w a y . T o s t u d y s u r f a c e s o f m o r e

c o m p l i c a t e d t o p o l o g y o n e s h o u l d d e a l w i t h i m m e r s i o n s

F : R ! R

3

; ( 2 )

w h e r e R i s s o m e R i e m a n n s u r f a c e . T h e t r a d i t i o n a l t h e o r y o f i n t e g r a b l e s y -

s t e m s n e e d s e s s e n t i a l i m p r o v e m e n t s t o b e a p p l i e d t o t h i s c a s e a n d u p t o n o w

t h e r e e x i s t s n o r e a l p r o g r e s s .

T h i s p a p e r i s p a r t o f o u r g e n e r a l p r o g r a m o n t h e d i s c r e t i z a t i o n o f s u r f a c e s

d e s c r i b e d b y i n t e g r a b l e s y s t e m s . B y s u c h a s u r f a c e w e m e a n a m a p

F : G ! R

3

; ( 3 )

w h e r e G i s s o m e g r a p h , w h i c h i s t r e a t e d a s a d i s c r e t e s p a c e - t i m e o f t h e

c o r r e s p o n d i n g d i s c r e t e i n t e g r a b l e s y s t e m . W h e n t h e s i z e o f t h e e d g e s t e n d s

t o z e r o s u c h a s u r f a c e a p p r o x i m a t e s a c o r r e s p o n d i n g s m o o t h s u r f a c e ( 2 ) . T h e

c a s e c l o s e s t t o ( 1 )

F : Z

2

! R

3

( 4 )

i s r e l a t i v e l y w e l l u n d e r s t o o d . I n 3 ] , 4 ] t h e d i s c r e t e s u r f a c e s ( 1 ) w i t h c o n s t a n t

G a u s s i a n a n d m e a n c u r v a t u r e w e r e d e n e d a n d t h e i r g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s

w e r e i n v e s t i g a t e d ( f o r t h e l o o p g r o u p f a c t o r i z a t i o n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e

s u r f a c e s s e e 9 ] ) . W e h o p e t h a t t h e i n t e g r a b l e d i s c r e t i z a t i o n ( 3 ) m a y b e c o m e

a m e t h o d t o u n d e r s t a n d t h e s t r u c t u r e o f i t s c o r r e s p o n d i n g s m o o t h l i m i t ( 2 ) .

B e s i d e s t h i s , t h e e l e m e n t a r y g e o m e t r y o f t h e c a s e ( 4 ) i t s e l f i s v e r y n i c e a n d

w o r t h s t u d y i n g .

T h e p r e s e n t p a p e r w a s i n i t i a t e d b y t h e r e c e n t p r e p r i n t o f J . C i e s l i n s k i ,

P . G o l d s h t e i n a n d A . S y m 7 ] . T h e s e a u t h o r s , b a s e d o n c l a s s i c a l r e s u l t s o f

P . C a l a p s o 6 ] a n d W . B l a s c h k e 1 ] , g i v e a c h a r a c t e r i z a t i o n o f i s o t h e r m i c

s u r f a c e s a s " s o l i t o n s u r f a c e s " b y i n t r o d u c i n g a s p e c t r a l p a r a m e t e r . T h e g e o -

m e t r i c a l m e a n i n g o f t h i s s p e c t r a l p a r a m e t e r w a s c l a r i e d i n 5 ] , w h e r e i t

w a s s h o w n h o w p a i r s o f i s o t h e r m i c s u r f a c e s a r e g i v e n b y c u r v e d a t s i n a

p s e u d o - R i e m a n n i a n s y m m e t r i c s p a c e a n d v i c e v e r s a .

H e r e , u s i n g t h e s p i n o r r e p r e s e n t a t i o n o f S O ( 4 ; 1 ) , i n S e c t i o n 3 w e r e w r i t e

t h e z e r o - c u r v a t u r e r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e a s s o c i a t e d f a m i l y o f i s o t h e r m i c s u r -

f a c e s i n t e r m s o f 2 2 m a t r i c e s w i t h q u a t e r n i o n i c c o e c i e n t s . A n a t u r a l

d i s c r e t i z a t i o n o f t h i s r e p r e s e n t a t i o n y i e l d s t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n o f d i s c r e t e

i s o t h e r m i c s u r f a c e s .

2


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D e n i t i o n 1 A d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e i s a m a p F : Z

2

! R

3

s u c h t h a t

t h e c r o s s - r a t i o s q

n m

= q ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) o f a l l e l e m e n t a r y

q u a d r i l a t e r a l s a r e r e a l q

n m

2 R a n d s a t i s f y t h e f a c t o r i z a t i o n c o n d i t i o n

q

n m

q

n + 1 m + 1

= q

n + 1 m

q

n m + 1

( 5 )

T h i s d e n i t i o n c o i n c i d e s w i t h t h e d e n i t i o n ( 3 5 ) i n t h e R e m a r k a f t e r D e n i -

t i o n 6 i n S e c t i o n 4 .

G e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s a s w e l l a s t h e a n a -

l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g a s s o c i a t e d f a m i l y a r e s t u d i e d i n S e c -

t i o n s 4 , 5 . I n S e c t i o n 7 w e d e n e d i s c r e t e i s o t h e r m i c m i n i m a l s u r f a c e s , d e r i v e

a W e i e r s t r a s s t y p e r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e m a n d c o n s t r u c t s o m e s i m p l e e x -

a m p l e s .

2 I s o t h e r m i c s u r f a c e s a n d t h e i r p r o p e r t i e s

L e t F b e a s m o o t h s u r f a c e i n a 3 - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e a n d F ( x ; y )

F = ( F

1

; F

2

; F

3

) : R ! R

3

;

a c o n f o r m a l p a r a m e t r i z a t i o n o f F

< F

x

; F

x

> = < F

y

; F

y

> = e

u

; < F

x

; F

y

> = 0 ( 6 )

H e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e t h e s c a l a r p r o d u c t

< a ; b > = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

;

a n d F

x

a n d F

y

a r e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s @ F = @ x a n d @ F = @ y

T h e v e c t o r s F

x

; F

y

a s w e l l a s t h e n o r m a l N ,

< F

x

; N > = < F

y

; N > = 0 ; < N ; N > = 1 ; ( 7 )

d e n e a m o v i n g f r a m e o n t h e s u r f a c e . W e c o n s i d e r a l o c a l t h e o r y : R i s a

d o m a i n i n R

2

I f t h e s e c o n d f u n d a m e n t a l f o r m i s d i a g o n a l

< d F ; d N > = e

u

( k

1

d x

2

+ k

2

d y

2

) ( 8 )

w i t h r e s p e c t t o t h e i n d u c e d m e t r i c

< d F ; d F > = e

u

( d x

2

+ d y

2

) ; ( 9 )

3


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t h e n t h e p a r a m e t r i z a t i o n i s c a l l e d i s o t h e r m i c . I n t h i s c a s e k

1

a n d k

2

a r e t h e

p r i n c i p a l c u r v a t u r e s a n d t h e p r e i m a g e s o f t h e c u r v a t u r e l i n e s a r e t h e l i n e s

x = c o n s t a n d y = c o n s t i n t h e p a r a m e t e r d o m a i n .

D e n i t i o n 2 S u r f a c e s w h i c h a d m i t i s o t h e r m i c c o o r d i n a t e s a r e c a l l e d i s o -

t h e r m i c .

S u r f a c e s o f r e v o l u t i o n , q u a d r i c s a n d c o n s t a n t m e a n c u r v a t u r e s u r f a c e s

w i t h o u t u m b i l i c s a r e e x a m p l e s o f i s o t h e r m i c s u r f a c e s . W e c o n s i d e r i s o t h e r m i c

i m m e r s i o n s , i . e . s u p p o s e t h a t u ( x ; y ) i s n i t e .

D u e t o ( 6 , 7 ) t h e m o v i n g f r a m e

= ( F

x

; F

y

; N )

T

s a t i s e s t h e f o l l o w i n g G a u s s - W e i n g a r t e n e q u a t i o n s :

x

=

0

B

@

u

x

= 2 u

y

= 2 k

1

e

u

u

y

= 2 u

x

= 2 0

k

1

0 0

1

C

A

;

y

=

0

B

@

u

y

= 2 u

x

= 2 0

u

x

= 2 u

y

= 2 k

2

e

u

0 k

2

0

1

C

A

( 1 0 )

T h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s o f t h i s s y s t e m a r e t h e G a u s s - C o d a z z i e q u a t i o n s

u

x x

+ u

y y

+ 2 k

1

k

2

e

u

= 0 ;

2 k

2 x

( k

1

k

2

) u

x

= 0 ; ( 1 1 )

2 k

1 y

+ ( k

1

k

2

) u

y

= 0

O u r g o a l i s t o n d a p r o p e r d i s c r e t e v e r s i o n o f i s o t h e r m i c s u r f a c e s . L e t u s

m e n t i o n t w o i m p o r t a n t g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f i s o t h e r m i c s u r f a c e s w h i c h

w e w a n t t o r e t a i n i n t h e d i s c r e t e c a s e .

P r o p e r t y 1 ( M o b i u s i n v a r i a n c e ) . L e t F : R ! R

3

b e a n i s o t h e r m i c i m -

m e r s i o n a n d M a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n o f E u c l i d e a n 3 - s p a c e . T h e n

~

F

M F : R ! R

3

i s a l s o i s o t h e r m i c .

P r o o f . I s o t h e r m i c c o o r d i n a t e s ( 8 ) , ( 9 ) c a n b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f F o n l y

F

x

= F

y

; < F

x

; F

y

> = 0 ; F

x y

2 s p a n f F

x

; F

y

g ( 1 2 )

C l e a r l y , i f i s e n o u g h t o p r o v e P r o p e r t y 1 f o r t h e c a s e o f a n i n v e r s i o n M

~

F =

F

< F ; F >

4


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C a l c u l a t i n g

~

F

x

;

~

F

y

w e s e e t h e c o n f o r m a l i t y o f

~

F . A d i r e c t c a l c u l a t i o n p r o v e s

t h e t h i r d p r o p e r t y o f ( 1 2 ) o f

~

F

~

F

x y

= ( 2

< F ; F

y

>

< F ; F >

)

~

F

x

+ ( 2

< F ; F

x

>

< F ; F >

)

~

F

y

;

w h e r e a n d a r e d e n e d b y

F

x y

= F

x

+ F

y

P r o p e r t y 2 ( D u a l s u r f a c e ) . L e t F : R ! R

3

b e a n i s o t h e r m i c i m m e r s i o n .

T h e n t h e i m m e r s i o n F

: R ! R

3

d e n e d b y t h e f o r m u l a s

F

x

= e

u

F

x

; F

y

= e

u

F

y

( 1 3 )

i s i s o t h e r m i c . T h e G a u s s m a p s o f F a n d F

a r e a n t i p o d a l

N = N

T h e f u n d a m e n t a l f o r m s o f F

a r e a s f o l l o w s

< d F

; d F

> = e

u

( d x

2

+ d y

2

) ;

< d F

; d N

> = k

1

d x

2

+ k

2

d y

2

( 1 4 )

D e n i t i o n 3 T h e i m m e r s i o n F

: R ! R

3

d e n e d a b o v e i s c a l l e d d u a l t o

F

P r o o f o f P r o p e r t y 2 . T h e d e n i t i o n ( 1 3 ) o f F

m a k e s s e n s e s i n c e t h e e q u a l i t y

F

x y

= F

y x

i s e q u i v a l e n t t o ( e

u

F

x

)

y

=

1

2

e

u

( u

x

F

y

u

y

F

x

) = ( e

u

F

y

)

x

. H e r e

w e u s e ( 1 3 ) a n d t h e G a u s s - W e i n g a r t e n e q u a t i o n f o r F

x y

. T h e c o n f o r m a l i t y

o f F

i s e v i d e n t . T h e e x p r e s s i o n s ( 1 4 ) a r e o b t a i n e d b y s t r a i g h t f o r w a r d c a l -

c u l a t i o n .

R e m a r k F

= F

T o d i s c r e t i z e i s o t h e r m i c s u r f a c e s ( s e e S e c t . 5 ) a n d f o r i n v e s t i g a t i o n b y a n a l y -

t i c a l m e t h o d s i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o u s e 2 2 m a t r i c e s i n s t e a d o f 3 3

m a t r i c e s ( 1 0 ) , t h e r e f o r e r s t w e r e w r i t e e q u a t i o n s ( 1 0 ) f o r t h e m o v i n g f r a m e

i n t e r m s o f q u a t e r n i o n s .

5


6/26

L e t u s d e n o t e t h e a l g e b r a o f q u a t e r n i o n s b y H , t h e m u l t i p l i c a t i v e q u a t e r -

n i o n g r o u p b y H

= H n f 0 g a n d t h e s t a n d a r d b a s i s o f H b y f 1 ; i ; j ; k g

i j = k ; j k = i ; k i = j ( 1 5 )

U s i n g t h e s t a n d a r d m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f H t h e P a u l i m a t r i c e s

a r e

r e l a t e d t o t h i s b a s i s a s f o l l o w s :

1

=

0 1

1 0

!

= i i ;

2

=

0 i

i 0

!

= i j ;

3

=

1 0

0 1

!

= i k ; 1 =

1 0

0 1

!

( 1 6 )

W e i d e n t i f y 3 - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e w i t h t h e s p a c e o f i m a g i n a r y q u a -

t e r n i o n s I m H

X = i

3

X

= 1

X

2 I m H ! X = ( X

1

; X

2

; X

3

) 2 R

3

( 1 7 )

T h e s c a l a r p r o d u c t o f v e c t o r s i n t e r m s o f m a t r i c e s i s t h e n

< X ; Y > =

1

2

t r X Y ( 1 8 )

W e a l s o d e n o t e b y F a n d N t h e m a t r i c e s o b t a i n e d i n t h i s w a y f r o m t h e

v e c t o r s F a n d N

L e t u s t a k e a u n i t a r y q u a t e r n i o n

2 H

; d e t = 1 ; ( 1 9 )

w h i c h t r a n s f o r m s t h e b a s i s i ; j ; k i n t o t h e b a s i s F

x

; F

y

; N :

F

x

= e

u = 2

1

i ; F

y

= e

u = 2

1

j ; N =

1

k ( 2 0 )

A s i m p l e c a l c u l a t i o n p r o v e s t h e f o l l o w i n g f o r m o f t h e G a u s s - W e i n g a r t e n

s y s t e m .

T h e o r e m 1 T h e m o v i n g f r a m e F

x

; F

y

; N o f a n i s o t h e r m i c s u r f a c e i s d e s -

c r i b e d b y t h e f o r m u l a s ( 2 0 ) , w h e r e t h e u n i t a r y q u a t e r n i o n s a t i s e s t h e

e q u a t i o n s

x

= A ;

y

= B ( 2 1 )

w i t h A ; B o f t h e f o r m

A =

u

y

4

k +

k

1

2

e

u = 2

j ; B =

u

x

4

k

k

2

2

e

u = 2

i ( 2 2 )

6


7/26

T h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n o f ( 2 1 )

A

y

B

x

+ A ; B ] = 0 ( 2 3 )

i s t h e G a u s s - C o d a z z i s y s t e m ( 1 1 ) .

3 L a x r e p r e s e n t a t i o n f o r s m o o t h i s o t h e r m i c

s u r f a c e s

T o p u t a c l a s s o f s u r f a c e s i n t o f r a m e s o f t h e t h e o r y o f i n t e g r a b l e e q u a t i o n s

o n e s h o u l d " i n s e r t " a s p e c t r a l p a r a m e t e r i n t o t h e G a u s s - C o d a z z i s y s t e m

A

y

( ) B

x

( ) + A ( ) ; B ( ) ] = 0

G e o m e t r i c a l l y d e s c r i b e s s o m e d e f o r m a t i o n o f s u r f a c e s p r e s e r v i n g t h e i r p r o -

p e r t i e s ( o n e c a n n d m a n y e x a m p l e s i n 2 ] ) . I n s o m e s e n s e , t h e c a s e o f

i s o t h e r m i c s u r f a c e s i s m o r e c o m p l i c a t e d . A c h a r a c t e r i z a t i o n o f i s o t h e r m i c

s u r f a c e s a s " s o l i t o n s u r f a c e s " b y i n t r o d u c i n g a s p e c t r a l p a r a m e t e r w a s g i v e n

i n a s h o r t n o t e b y J . C i e s l i n s k i , P . G o l d s t e i n a n d A . S y m 7 ] . T h e y d e s c r i -

b e d a L a x p a i r w i t h c o e c i e n t s i n s o ( 4 ; 1 ) . T h e L a x r e p r e s e n t a t i o n ( 2 4 , 2 5 )

w e p r e s e n t b e l o w r e s u l t s b y u s i n g a 4 - d i m e n s i o n a l s p i n o r r e p r e s e n t a t i o n o f

s o ( 4 ; 1 ) ( s e e , f o r e x a m p l e , t h e A p p e n d i x i n 8 ] ) . B y a d i r e c t c a l c u l a t i o n o n e

c a n c h e c k t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t

T h e o r e m 2 T h e s y s t e m

x

= U ( ) ;

y

= V ( ) ; ( 2 4 )

U ( ) =

A i e

u = 2

i e

u = 2

A

!

; V ( ) =

B j e

u = 2

j e

u = 2

B

!

; ( 2 5 )

w h e r e A ; B a r e t h e m a t r i c e s ( 2 2 ) , i s c o m p a t i b l e i f a n d o n l y i f t h e G a u s s -

C o d a z z i e q u a t i o n s o f i s o t h e r m i c s u r f a c e s ( 1 1 ) a r e s a t i s e d .

W h e r e a s f o r = 0 t h e s y s t e m ( 2 4 , 2 5 ) i s j u s t a d o u b l e d G a u s s - W e i n g a r t e n

s y s t e m ( 2 1 , 2 2 ) , t h e g e o m e t r i c a l m e a n i n g o f t h e L a x r e p r e s e n t a t i o n w i t h

6= 0 i s m o r e c o m p l i c a t e d , a n d w e d o n o t d i s c u s s i t i n t h i s p a p e r . F o r t h i s

i n t e r p r e t a t i o n w e r e f e r t o t h e r e c e n t p r e p r i n t 5 ] b y F . B u r s t a l l , U . H e r t r i c h -

J e r o m i n , F . P e d i t a n d U . P i n k a l l , w h e r e t h e y s h o w e d h o w p a i r s o f i s o t h e r m i c

7


8/26

s u r f a c e s a r e g i v e n b y c u r v e d a t s i n a p s e u d o - R i e m a n n i a n s y m m e t r i c s p a c e

a n d v i c e v e r s a .

L e t u s n o t e t h e f o l l o w i n g s y m m e t r i e s o f t h e s y s t e m ( 2 4 , 2 5 ) . I f ( x ; y ; )

i s a s o l u t i o n o f t h e C a u c h y p r o b l e m w i t h ( x

0

; y

0

; ) = I , t h e n

( ) =

I 0

0 I

!

( )

I 0

0 I

!

( 2 6 )

a n d

( = 0 ) =

0

0

!

; ( 2 7 )

w h e r e 2 H

, s o l v e s ( 2 1 , 2 2 ) .

T h e o r e m 3 ( S y m f o r m u l a ) L e t ( x ; y ; ) b e a s o l u t i o n o f ( 2 4 , 2 5 ) s a t i s f y i n g

( 2 6 , 2 7 ) , t h e n t h e i s o t h e r m i c i m m e r s i o n F a n d i t s d u a l F

a r e g i v e n b y t h e

f o r m u l a

1

@

@

= 0

F =

0 F

F

0

!

( 2 8 )

T h e c o r r e s p o n d i n g G a u s s m a p s a r e

1

0 k

k 0

!

= 0

N =

0 N

N

0

!

P r o o f . F o r

F

x

f o r m u l a s ( 2 7 , 2 8 ) i m p l y

F

x

=

1

@ U

@

= 0

=

0 e

u = 2

1

i

e

u = 2

1

i 0

!

=

0 F

x

F

x

0

!

;

w h e r e o n e s h o u l d u s e ( 2 0 , 1 3 ) . T h e p r o o f f o r

F

y

a n d

N i s t h e s a m e .

4 D i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s

T o d e n e d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s w e n e e d a n o t i o n o f a c r o s s - r a t i o o f

a q u a d r i l a t e r a l ( X

1

; X

2

; X

3

; X

4

) i n 3 - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e . O n e c a n

e a s i l y e x t e n d t h e n o t i o n o f t h e c r o s s - r a t i o o f c o m p l e x n u m b e r s t o p o i n t s i n

R

3

i d e n t i f y i n g a s p h e r e

1

S , p a s s i n g t h r o u g h X

1

; X

2

; X

3

; X

4

w i t h t h e R i e m a n n

s p h e r e C P

1

I t t u r n s o u t t h a t t h e r e i s a n i c e q u a t e r n i o n i c d e s c r i p t i o n o f t h e c r o s s - r a t i o

i f o n e u s e s t h e i s o m o r p h i s m ( 1 7 ) .

1

a p l a n e i s a s p e c i a l c a s e

8


9/26

D e n i t i o n 4 L e t X

1

; X

2

; X

3

; X

4

2 I m H b e 4 p o i n t s i n R

3

( s e e F i g . 1 ) . T h e

u n o r d e r e d p a i r f q ; q g o f e i g e n v a l u e s o f t h e q u a t e r n i o n

Q = ( X

1

X

2

) ( X

2

X

3

)

1

( X

3

X

4

) ( X

4

X

1

)

1

( 2 9 )

i s c a l l e d t h e c r o s s - r a t i o o f t h e q u a d r i l a t e r a l ( X

1

; X

2

; X

3

; X

4

)

a

a

bb

X1 X2

X4 X3

F i g u r e 1 : V e r t i c e s a n d e d g e s o f a q u a d r i l a t e r a l

Q i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o t r a n s l a t i o n s a n d d i l a t a t i o n o f R

3

; r o t a t i o n s

o f R

3

a c t o n Q a s Q ! R Q R

1

a n d t h e r e f o r e p r e s e r v e f q ; q g

W e u s u a l l y w i l l j u s t s p e a k o f t h e " c r o s s - r a t i o q 2 C " . O n e h a s t o k e e p

i n m i n d t h a t q i s o n l y w e l l d e n e d u p t o c o m p l e x c o n j u g a t i o n . D e n o t i n g t h e

q u a t e r n i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e v e c t o r - e d g e s a s i n F i g . 1 o n e g e t s

Q = a a

0 1

b

0 1

b

I f t h e q u a d r i l a t e r a l ( X

1

; X

2

; X

3

; X

4

) i s p l a n a r , i t c a n b e p u t t o t h e i ; j p l a n e

a n d i t s e d g e s

a

1

i + a

2

j = ( a

1

1 + a

2

k ) i

c a n b e i d e n t i e d w i t h c o m p l e x n u m b e r s

a = a

1

+ i a

2

2 C ( 3 0 )

F o r t h e c r o s s - r a t i o t h i s i m p l i e s

q =

a a

0

b b

0

2 C ( 3 1 )

L e m m a 1 T h e c r o s s - r a t i o i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o t h e M o b i u s t r a n s f o r -

m a t i o n s o f R

3

9


10/26

P r o o f . O n l y f o r i n v e r s i o n s t h e p r o o f n e e d s s o m e c a l c u l a t i o n . D e s c r i b i n g t h e

i n v e r s i o n b y t h e i n v e r s e m a t r i x

X !

~

X =

X

< X ; X >

= X

1

( 3 2 )

w e g e t

~

Q = ( X

1

1

X

1

2

) ( X

1

2

X

1

3

)

1

( X

1

3

X

1

4

) ( X

1

4

X

1

1

)

1

= X

1

1

Q X

1

T h e e i g e n v a l u e s o f Q a n d

~

Q c o i n c i d e .

D e n i t i o n 5 L e t F : R ! R

3

b e a n i m m e r s i o n a n d F ; F

x

; : : : ; F

y y

t h e v a l u e s

o f t h e i m m e r s i o n f u n c t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e s a t s o m e p o i n t ( x ; y ) 2 R A

o n e - p a r a m e t r i c f a m i l y o f q u a d r i l a t e r a l s F

= ( F

1

; F

2

; F

3

; F

4

) w i t h v e r t i c e s

F

1

= F + ( F

x

F

y

) +

2

2

( F

x x

+ F

y y

+ 2 F

x y

) ;

F

2

= F + ( F

x

F

y

) +

2

2

( F

x x

+ F

y y

2 F

x y

) ;

F

3

= F + ( F

x

+ F

y

) +

2

2

( F

x x

+ F

y y

+ 2 F

x y

) ;

F

4

= F + ( F

x

+ F

y

) +

2

2

( F

x x

+ F

y y

2 F

x y

)

i s c a l l e d a n i n n i t e s i m a l q u a d r i l a t e r a l a t ( x ; y )

U p t o t e r m s o f o r d e r O (

3

) t h e v e r t i c e s F

1

; F

2

; F

3

; F

4

o f t h e i n n i t e s i m a l

q u a d r i l a t e r a l c o i n c i d e w i t h F ( x ; y ) ; F ( x + ; y ) ; F ( x + ; y + ) ; F ( x

; y + ) r e s p e c t i v e l y . T h e f o l l o w i n g r e m a r k i s t r i v i a l :

L e m m a 2

1 ) q ( F

) = 1 + O ( ) ( ) Q ( F

) = I + O ( ) ;

2 ) q ( F

) = 1 + O (

2

) ( ) Q ( F

) = I + O (

2

)

T h e o r e m 4 C o n f o r m a l a n d i s o t h e r m i c i m m e r s i o n s F a r e c h a r a c t e r i z e d i n

t e r m s o f i n n i t e s i m a l q u a d r i l a t e r a l a s f o l l o w s :

1 ) Q ( F

) = I + O ( ) ( ) F i s c o n f o r m a l ,

1 0


11/26

2 ) Q ( F

) = I + O (

2

) ( ) F i s i s o t h e r m i c .

P r o o f . T o c a l c u l a t e t h e c r o s s - r a t i o o f t h e i n n i t e s i m a l q u a d r i l a t e r a l w e n o t e ,

t h a t F

u p t o s c a l i n g i s a t r a n s l a t i o n o f t h e q u a d r i l a t e r a l w i t h v e r t i c e s a t

X

1

= 0 ; X

2

= F

x

F

x y

; X

3

= F

x

+ F

y

; X

4

= F

y

F

x y

I n v e r t i n g i t b y t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 3 2 ) w e s e n d o n e o f t h e p o i n t s t o i n n i t y

~

X

1

= 1 ;

~

X

2

=

F

x

F

x y

k F

x

F

x y

k

2

;

~

X

3

=

F

x

+ F

y

k F

x

+ F

y

k

2

;

~

X

4

=

F

y

F

x y

k F

x

F

x y

k

2

T h e c o n d i t i o n

Q (

~

X

1

;

~

X

2

;

~

X

3

;

~

X

4

) = I + O (

2

)

i s e q u i v a l e n t t o t h e e q u a l i t y o f v e c t o r s

!

~

X

2

~

X

3

=

!

~

X

3

~

X

4

+ O (

2

) ;

o r e q u i v a l e n t l y

2

F

x

+ F

y

k F

x

+ F

y

k

2

=

F

x

F

x y

k F

x

F

x y

k

2

+

F

y

F

x y

k F

y

F

x y

k

2

+ O (

2

) = ( 3 3 )

=

F

x

F

x y

k F

x

k

2

1 + 2

< F

x

; F

x y

>

k F

x

k

2

!

+

F

y

F

x y

k F

y

k

2

1 + 2

< F

y

; F

x y

>

k F

y

k

2

!

+ O (

2

)

T h e z e r o o d e r t e r m i n ( 3 3 ) y i e l d s ( 6 ) a n d t h e t e r m o f o d e r i m p l i e s t h a t F

x y

l i e s i n t h e t a n g e n t i a l p l a n e , i . e . t h e t h i r d c o n d i t i o n i n ( 1 2 ) .

T h e f o l l o w i n g g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f t h e c r o s s - r a t i o a r e s t a n d a r d a n d

c a n b e e a s i l y c h e c k e d :

L e m m a 3 I f t h e c r o s s - r a t i o o f a q u a d r i l a t e r a l ( X

1

; X

2

; X

3

; X

4

) i s r e a l q 2

R ; Q = q I , t h e n X

1

; X

2

; X

3

; X

4

l i e o n a c i r c l e . T h e c r o s s - r a t i o o f a s q u a r e i s

q = 1

N o w w e a r e i n a p o s i t i o n t o g i v e a d e n i t i o n o f d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a -

c e s . B y a d i s c r e t e s u r f a c e w e m e a n a m a p F : Z

2

! R

3

. W e u s e t h e f o l l o w i n g

n o t a t i o n s f o r t h e e l e m e n t s o f d i s c r e t e s u r f a c e s ( n ; m a r e i n t e g e r l a b e l s ) :

F

n m

- f o r t h e v e r t i c e s ,

F

n + 1 m

; F

n m

; F

n m + 1

; F

n m

] - f o r t h e e d g e s ,

( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) - f o r t h e e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l s .

M o t i v a t e d b y T h e o r e m 4 a b o v e w e d e n e d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s a s

f o l l o w s :

1 1


12/26

D e n i t i o n 6 A d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e i s a m a p F : Z

2

! R

3

, f o r

w h i c h a l l e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l s h a v e c r o s s - r a t i o 1 :

Q ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) = I f o r a l l n ; m 2 Z ( 3 4 )

R e m a r k . M o r e g e n e r a l l y d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s c a n b e d e n e d b y t h e

p r o p e r t y t h a t Q

n m

i s a p r o d u c t o f t w o f a c t o r s

Q ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) =

m

n

I f o r a l l n ; m 2 Z ; ( 3 5 )

w h e r e

n

d o e s n o t d e p e n d o n m a n d

m

n o t o n n . T h i s c o n d i t i o n i s r e f o r -

m u l a t e d i n a n o t h e r w a y i n D e n i t i o n 1 . W e r e s t r i c t o u r s e l f i n t h i s p a p e r t o

t h e s i m p l e s t s y m m e t r i c c a s e ( 3 4 ) .

L e m m a 1 i m p l i e s

T h e o r e m 5 ( M o b i u s i n v a r i a n c e ) . L e t F : Z

2

! R

3

b e a d i s c r e t e i s o t h e r m i c

s u r f a c e a n d M a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n o f E u c l i d e a n 3 - s p a c e . T h e n

~

F

M F : Z ! R

3

i s a l s o i s o t h e r m i c .

P r o p e r t y 2 o f s m o o t h i s o t h e r m i c s u r f a c e s a l s o p e r s i s t s i n t h e d i s c r e t e c a s e :

T h e o r e m 6 ( D u a l s u r f a c e ) . L e t F : Z

2

! R

3

b e a d i s c r e t e i s o t h e r m i c

s u r f a c e . T h e n t h e d i s c r e t e s u r f a c e F

: Z

2

! R

3

d e n e d ( u p t o t r a n s l a t i o n )

b y t h e f o r m u l a s

F

n + 1 m

F

n m

=

F

n + 1 m

F

n m

k F

n m

F

n + 1 m

k

2

; F

n m + 1

F

n m

=

F

n m + 1

F

n m

k F

n m

F

n m + 1

k

2

( 3 6 )

i s i s o t h e r m i c .

P r o o f . I t i s c o n v e n i e n t t o u s e t h e c o m p l e x l a n g u a g e ( 3 0 ) ( e l e m e n t a r y q u a d r i -

l a t e r a l s a r e p l a n a r ) . T h u s w e a s s u m e a ; b ; a

0

; b

0

2 C

F o r t h e e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) w e h a v e

a + b

0

= b + a

0

; a a

0

= b b

0

( 3 7 )

F o r m u l a s ( 3 6 ) i m p l y

a

=

1

a

; a

0

=

1

a

0

; b

=

1

b

; b

0

=

1

b

0

( 3 8 )

1 2


13/26

a

a

b b

a*

a*

b* b*

F i g u r e 2 : A n e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l a n d i t s d u a l

f o r t h e e d g e s o f t h e d u a l q u a d r i l a t e r a l . C o m b i n i n g ( 3 7 ) w i t h ( 3 8 ) o n e g e t s

a

+ b

0

= b

+ a

0

; a

a

0

= b

b

0

;

t h e d u a l q u a d r i l a t e r a l c l o s e s u p a n d h a s a c r o s s - r a t i o 1

R e m a r k . F o r a d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e i n t h e s e n s e o f d e n i t i o n ( 3 5 )

t h e d u a l s u r f a c e i s d e n e d b y

F

n + 1 m

F

n m

=

1

2

n

F

n + 1 m

F

n m

k F

n m

F

n + 1 m

k

2

;

F

n m + 1

F

n m + 1

=

1

2

m

F

n m + 1

F

n m

k F

n m

F

n m + 1

k

2

( 3 9 )

T h e c r o s s - r a t i o s o f t h e c o r r e s p o n d i n g q u a d r i l a t e r a l s o f F a n d F

c o i n c i d e

Q ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) =

m

n

I ( 4 0 )

5 L a x r e p r e s e n t a t i o n f o r d i s c r e t e i s o t h e r m i c

s u r f a c e s

D e n i t i o n 6 o f d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s i s g e o m e t r i c a l l y m o t i v a t e d a n d

l o o k s n a t u r a l . I n t h i s s e c t i o n w e e x p l a i n h o w i t w a s f o u n d . N a m e l y , w e

d i s c r e t i z e t h e L a x r e p r e s e n t a t i o n ( 2 4 , 2 5 ) i n a n a t u r a l w a y p r e s e r v i n g a l l i t s

s y m m e t r i e s a n d s h o w h o w D e n i t i o n 6 a p p e a r s i n t h i s a p p r o a c h .

A n i n t e g r a b l e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e s y s t e m ( 2 4 , 2 5 ) l o o k s a s f o l l o w s . T o

e a c h p o i n t ( n ; m ) o f t h e Z

2

- l a t t i c e o n e a s s o c i a t e s a m a t r i x

n m

. T h e s e

1 3


14/26

m a t r i c e s a t t w o n e i g h b o u r i n g v e r t i c e s a r e r e l a t e d b y

n + 1 m

= U

n m

n m

;

n m + 1

= V

n m

n m

; ( 4 1 )

w h e r e t h e m a t r i c e s U

n m

a n d V

n m

a r e a s s o c i a t e d t o t h e e d g e s c o n n e c t i n g t h e

p o i n t s ( n + 1 ; m ) ; ( n ; m ) a n d ( n ; m + 1 ) ; ( n ; m ) r e s p e c t i v e l y . H a v i n g i n m i n d

t h e c o n t i n u u m l i m i t ( i s a c h a r a c t e r i s t i c s i z e o f e d g e s )

U = I + U + : : : ; V = I + V +

w i t h U ; V o f t h e f o r m ( 2 5 ) , a n d p r e s e r v i n g t h e g r o u p s t r u c t u r e a n d t h e d e -

p e n d e n c y o f i n t h e c o n t i n u o u s c a s e , i t i s n a t u r a l t o s e t

U

n m

=

A

n m

p

0

n m

i

p

0 0

n m

i A

n m

!

; A

n m

= a

n m

1 + b

n m

k + c

n m

j

( 4 2 )

V

n m

=

B

n m

q

0

n m

j

q

0 0

n m

j B

n m

!

; B

n m

= d

n m

1 + e

n m

k + f

n m

j ;

w h e r e t h e e l d s p ; q ; a ; b ; c ; d ; e ; f l i v e o n t h e c o r r e s p o n d i n g e d g e s .

T h e s e m a t r i c e s c a n b e s i m p l i e d

U

n m

!

g

n + 1 m

g

n m

U

n m

; V

n m

!

g

n m + 1

g

n m

V

n m

b y a - i n d e p e n d e n t g a u g e t r a n s f o r m a t i o n

n m

! g

n m

n m

w i t h g

n m

2 R a t v e r t i c e s . B y s u c h a t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h p r e s e r v e s t h e

s t r u c t u r e ( 4 2 ) o f U a n d V , o n e c a n a c h i e v e t h e n o r m a l i z a t i o n p

0

n m

= 1 = p

0 0

n m

p

n m

; q

0

n m

= 1 = q

0 0

n m

q

n m

f o r a l l n ; m . T h e n U a n d V a r e o f t h e f o r m

U

n m

=

A

n m

p

n m

i

p

1

n m

i A

n m

!

; V

n m

=

B

n m

q

n m

j

q

1

n m

j B

n m

!

( 4 3 )

L e t u s t a k e f o u r a d j a c e n t v e r t i c e s ( n ; m ) ; ( n + 1 ; m ) ; ( n + 1 ; m + 1 ) ; ( n ; m + 1 )

a n d c o n s i d e r t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n

V

0

U = U

0

V ; ( 4 4 )

1 4


15/26

n,m n+1,m

n,m+1 n+1,m+1

U

U

V V

F i g u r e 3 : C o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n

c h a n g i n g n o t a t i o n s f o r t h e m a t r i c e s U

n m

; U

n m + 1

; V

n m

; V

n + 1 m

a n d t h e i r c o -

e c i e n t s a s i t i s s h o w n i n F i g . 3 .

T h e n f o r t h e c o e c i e n t s o f U ; U

0

; V ; V

0

o n e g e t s

p p

0

= q q

0

; ( 4 5 )

B

0

A = A

0

B ; ( 4 6 )

p B

0

i + q

0

j A = q A

0

j + p

0

i B ; ( 4 7 )

1

p

B

0

i

1

q

0

j A =

1

q

A

0

j +

1

p

0

i B ( 4 8 )

W i t h t h e n o t a t i o n

u

n m

( ) = d e t U

n m

; v

n m

( ) = d e t V

n m

( 4 9 ) i m p l i e s

v

n + 1 m

( ) u

n m

( ) = u

n m + 1

( ) v

n m

( ) ( 4 9 )

N o w n o t e t h a t t h e z e r o s o f b o t h s i d e s o f ( 4 9 ) ( c o n s i d e r e d a s f u n c t i o n s o f )

s h o u l d c o i n c i d e . T h i s i m p l i e s

(

2

+ d e t B

n + 1 m

)

2

(

2

+ d e t A

n m

)

2

= (

2

+ d e t A

n m + 1

)

2

(

2

+ d e t B

n m

)

2

W e s u p p o s e t h a t t h e z e r o s o f u

n m + 1

( ) a n d u

n m

( ) c o i n c i d e . T h i s i s e q u i -

v a l e n t t o

d e t A

n m

=

n

; d e t B

n m

=

m

; ( 5 0 )

w h e r e w e h a v e i n c o r p o r a t e d i n t o t h e n o t a t i o n t h a t

n

d o e s n o t d e p e n d o n m

a n d

m

n o t o n n

1 5


16/26

N o w l e t u s d e n e d i s c r e t e s u r f a c e s F

n m

a n d F

n m

i n R

3

b y t h e S y m

f o r m u l a ( 2 8 )

1

n m

@

n m

@

= 0

F

n m

=

0 F

n m

F

n m

0

!

; ( 5 1 )

w h e r e

n m

( ) i s t h e s o l u t i o n o f t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m ( 4 1 , 4 3 ) w i t h

0 0

( ) = I

L e m m a 4 T h e d i s c r e t e s u r f a c e F

n m

d e n e d b y ( 5 1 ) i s i s o t h e r m i c i n t h e

s e n s e o f t h e g e n e r a l i z e d d e n i t i o n ( 3 5 ) :

Q ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) =

m

n

I

T h e s u r f a c e F

n m

i n ( 5 1 ) i s i t s d u a l ( 3 9 ) .

P r o o f . F o r m u l a ( 5 1 ) i m p l i e s f o r t h e e d g e s

0 F

n + 1 m

F

n m

F

n + 1 m

F

n m

0

!

=

1

n m

U

1

n m

@ U

n m

@

n m

=

=

0 p

n m

1

n m

A

1

n m

i

n m

p

1

n m

1

n m

A

1

n m

i

n m

0

!

;

a n d a s i m i l a r f o r m u l a f o r t h e e d g e s F

n m

; F

n m + 1

; F

n m

; F

n m + 1

H e r e a s i n

t h e s m o o t h c a s e

n m

d e n o t e s t h e c o m p o n e n t s o f

n m

( = 0 ) =

n m

0

0

n m

!

C o n s i d e r i n g t h e l o c a l g e o m e t r y o f t h e q u a d r i l a t e r a l s ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

,

F

n m + 1

) a n d ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) w e c a n n e g l e c t a g e n e r a l r o t a t i o n

1

n m

n m

. T h e n t h e e d g e s o f t h e s e q u a d r i l a t e r a l s i n n o t a t i o n s o f F i g . 3 a r e

g i v e n b y t h e v e c t o r s i n F i g . 4 .

T h e c r o s s - r a t i o o f t h e q u a d r i l a t e r a l ( F

n m

; F

n + 1 m

, F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) i s

e q u a l t o

Q

n m

= ( p A

1

) ( q

0

A

1

B

0 1

j A )

1

( p

0

B

1

A

0 1

i B ) ( q B

1

j )

1

=

= A

1

i A

1

k B j B =

m

n

I ;

1 6


17/26

qB1j qA1 B1jA

pB1 A1 i B

pA1 iFn,m Fn+1,m

Fn,m+1 Fn+1,m+1

(q)1A1B1jA

p1A1i

(p)1B1 A1i B

q1B1j

F*n,m+1 F*n+1,m+1

F*n,m F*n+1,m

F i g u r e 4 : Q u a d r i l a t e r a l s ( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) a n d

( F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) o b t a i n e d f r o m t h e S y m f o r m u l a

w h e r e w e h a v e u s e d e q u a t i o n s ( 4 5 , 4 6 ) , t h e e q u a l i t i e s

n

i A

1

= A i ; j B =

m

B

1

j

a n d t h e n o t a t i o n s ( 5 0 ) . O n e c a n e a s i l y c h e c k t h a t t h e e d g e s o f t h e s u r f a c e

F

: Z

2

! R

3

a r e r e l a t e d t o t h e e d g e s o f F : Z

2

! R

3

b y ( 3 9 ) .

T h e s p e c i a l c a s e

d e t A

n m

= d e t B

n m

= 1 ;

l e a d s t o d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s a s d e n e d i n D e n i t i o n 6 .

N o w l e t u s s h o w t h a t a n y d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e g e n e r a t e s t h e L a x

r e p r e s e n t a t i o n ( 4 3 ) . C o n s i d e r a n e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l ( F

n m

; F

n + 1 m

,

F

n + 1 m + 1

; F

n m + 1

) . I n a x e d f r a m e i t s e d g e s ( s e e F i g 5 ) a r e r e p r e s e n t e d b y

t h e m a t r i c e s X ; Y ; X

0

; Y

0

, w h i c h s a t i s f y t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s :

X + Y

0

= X

0

+ Y ( 5 2 )

X Y

0 1

X

0

Y

0 1

= 1 ( 5 3 )

1 7


18/26

n,m n+1,m

n,m+1 n+1,m+1

X

X

Y Y

F i g u r e 5 : A n e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l i n R

3

T h e d u a l q u a d r i l a t e r a l i s a l s o c l o s e d :

X

0

Y

0 1

= X

0 1

Y

1

( 5 4 )

T o c o m p a r e t h e s e i d e n t i t i e s w i t h t h e s y s t e m ( 4 5 - 4 8 ) l e t u s i n t r o d u c e a

m o v i n g f r a m e , d e n e d a t e a c h v e r t e x o f t h e s u r f a c e . T h i s f r a m e i s d e s c r i b e d

b y u n i t a r y q u a t e r n i o n s

n m

. W e d e n o t e b y

~

X ;

~

Y t h e c o o r d i n a t e m a t r i c e s

o f t h e v e c t o r s X a n d Y i n t h e f r a m e

n m

t a k e n a t t h e b a s i c v e r t e x o f t h e

v e c t o r

X =

1

n m

~

X

n m

; X =

1

n m

~

Y

n m

T h e n f o r t h e v e c t o r s

~

X

0

;

~

Y

0

o n e h a s

X

0

=

1

n m + 1

~

X

0

n m + 1

=

1

n m

B

1

n m

~

X

0

B

n m

n m

; ( 5 5 )

Y

0

=

1

n + 1 m

~

Y

0

n + 1 m

=

1

n m

A

1

n m

~

Y

0

A

n m

n m

;

w h e r e

A

n m

=

n + 1 m

1

n m

; B

n m

=

n m + 1

1

n m

s t i l l h a v e t o b e d e n e d .

T h e o r e m 7 L e t F : Z

2

! R

3

b e a d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e ,

X

n m

= F

n + 1 m

F

n m

; Y

n m

= F

n m + 1

F

n m

t h e v e c t o r s o f i t s e d g e s a n d

p

n m

= k X

n m

k ; q

n m

= k Y

n m

k ( 5 6 )

1 8


19/26

t h e l e n g t h s o f t h e s e e d g e s . L e t

n m

b e a u n i t a r y q u a t e r n i o n d e s c r i b i n g t h e

f r a m e a t t h e v e r t e x ( n ; m ) a n d

~

X

n m

=

n m

X

n m

1

n m

;

~

Y

n m

=

n m

Y

n m

1

n m

( 5 7 )

b e a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e v e c t o r s X

n m

; Y

n m

i n t h i s f r a m e . S u p p o s e t h a t t h e

f r a m e s a t n e g b o u r i n g p o i n t s a r e r e l a t e d b y

n + 1 m

= A

n m

n m

;

n m + 1

= B

n m

n m

; ( 5 8 )

w h e r e

A

n m

= i

1

p

n m

~

X

n m

; B

n m

= j

1

q

n m

~

Y

n m

( 5 9 )

T h e n

A = A

n m

; A

0

= A

n m + 1

; B = B

n m

; B

0

= B

n + 1 m

;

p = p

n m

; p

0

= p

n m + 1

; q = q

n m

; q

0

= q

n + 1 m

s a t i s f y t h e s y s t e m ( 4 5 - 4 8 ) , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e L a x r e p r e s e n t a t i o n

( 4 3 , 4 4 ) f o r t h e d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e F

P r o o f . I d e n t i t y ( 4 5 ) f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m ( 5 3 , 5 6 ) . L e t u s s h o w r s t t h a t

t h e f r a m e s

n m

a r e w e l l - d e n e d , i . e . t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n ( 4 6 ) f o r t h e

s y s t e m ( 5 8 , 5 9 ) i s s a t i s e d . T a k i n g i n t o a c c o u n t ( 5 5 ) w e s e e , t h a t B

0

A = A

0

B

i s e q u i v a l e n t t o

j

1

q

0

A Y

0

= j

1

p

0

B X

0

( 6 0 )

F o r m u l a s ( 5 7 ) i m p l y

A = i

1

p

X ; B = j

1

q

Y

S u b s t i t u t i n g t h e s e i d e n t i t i e s i n t o ( 6 0 ) a n d u s i n g ( 4 5 ) a n d t h e o b v i o u s r e l a t i -

o n s

Y = q

2

Y

1

; X = p

2

X

1

;

w e s e e t h a t ( 4 6 ) f o l l o w s f r o m ( 5 3 ) . I n t h e s a m e w a y , u s i n g

i B

1

= B i ; i A

1

= A i ;

o n e s h o w s t h a t ( 5 2 , 5 4 ) i m p l y ( 4 7 , 4 8 ) .

1 9


20/26

6 C o n s t r u c t i o n o f d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a -

c e s

T h e d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s c a n b e c o n s t r u c t e d i n t h e s a m e w a y a s t h e

d i s c r e t e K - s u r f a c e s w e d i s c u s s e d i n o u r p a p e r 3 ] .

U s i n g t h e d e n i t i o n o f d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s a n d s t a r t i n g w i t h s o m e

i n i t i a l s t a i r w a y l o o p

F

n m

; F

n + 1 m

; F

n + 1 m + 1

; F

n + 2 m

; : : : ; F

n + N m + N

= F

n m

;

o n e c a n r e c u r s i v e l y d e t e r m i n e t h e c o o r d i n a t e s F

n m

o f a l l t h e p o i n t s o f t h e

d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e i n a u n i q u e w a y ( s e e F i g . 6 ) .

n,m

n+1,m+1

n,m+1n,m+1

b)a)

F i g u r e 6 : D i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s a s e v o l u t i o n s o f i n i t i a l s t a i r w a y s :

a ) w i t h Q

n m

= 1 , b ) w i t h Q

n m

=

m

=

n

I n d e e d , g i v e n t h e p o i n t s F

n m

, F

n + 1 m

, F

n + 1 m + 1

t h e c r o s s - r a t i o ( 3 4 ) u n i -

q u e l y d e t e r m i n e s t h e p o i n t F

n m + 1

T o c o n s t r u c t t h e d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e i n t h e s e n s e o f t h e g e n e r a l i z e d

D e n i t i o n 1 o n e s h o u l d s t a r t w i t h a n i n i t i a l s t a i r w a y s t r i p a s s h o w n i n F i g . 6 b .

T h e f a c t o r i z a t i o n p r o p e r t y ( 3 5 ) o f t h e c r o s s - r a t i o a l l o w s u s t o c a l c u l a t e a l l

n

;

m

u p t o a c o m m o n f a c t o r a n d , a s a c o r o l l a r y , t h e c r o s s - r a t i o s o f a l l t h e

q u a d r i l a t e r a l s o f t h e d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e F : Z

2

! R

3

. A f t e r t h a t o n e

c a n p r o c e e d a s b e f o r e i n F i g . 6 a r e c o n s t r u c t i n g t h e s u r f a c e s t e p b y s t e p .

A s i n t h e c a s e o f a d i s c r e t e K - s u r f a c e , o n e c a n c o n s t r u c t b y t h i s e l e m e n t a r y

m e t h o d v a r i o u s c y l i n d e r s a n d s o m e o t h e r i n t e r e s t i n g s u r f a c e s . W e s h o u l d

m e n t i o n h e r e a l s o , t h a t t h e e v o l u t i o n o f t h e s t a i r w a y l o o p s d e s c r i b e d a b o v e

2 0


21/26

i s u n s t a b l e . A s m a l l v a r i a t i o n o f t h e i n i t i a l l o o p y i e l d s d r a m a t i c c h a n g e s o f

t h e s u r f a c e . T h i s s i m p l e g e o m e t r i c a l m e t h o d d o e s n o t a l l o w u s t o c o n t r o l

t h e g l o b a l b e h a v i o u r o f t h e s u r f a c e ( f o r e x a m p l e t o c o n t r o l t h e p e r i o d i c i t y o f

t h e e v o l u t i o n o f t h e i n i t i a l s t a i r w a y l o o p ) a n d t o c o n s t r u c t c o m p a c t d i s c r e t e

i s o t h e r m i c s u r f a c e s .

T o c o n s t r u c t t h e m o n e s h o u l d a p p l y m e t h o d s f r o m t h e t h e o r y o f i n t e g r a b l e

e q u a t i o n s , w h i c h a r e b a s e d o n a n a n a l y t i c s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m ( a n d a r e

d e s c r i b e d f o r t h e c a s e o f t h e d i s c r e t e K - s u r f a c e i n 3 ] ) . B u t t h i s c o u l d b e t h e

s u b j e c t o f a f u t u r e p a p e r .

7 D i s c r e t e i s o t h e r m i c m i n i m a l s u r f a c e s .

D e n i t i o n 7 A d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e F : X

2

! R

3

i s c a l l e d m i n i m a l

i f f o r a n y v e r t e x F : n ; m o f t h i s s u r f a c e t h e r e i s a p l a n e P

n m

s u c h t h a t t h e

d i s t a n c e s o f t h e p o i n t s F

n 1 m

; F

n + 1 m

; F

n m 1

; F

n m + 1

t o t h i s p l a n e a r e e q u a l

a n d

< F

n + 1 m

F

n m

; N

n m

> = < F

n 1 m

F

n m

; N

n m

> =

= < F

n m + 1

F

n m

; N

n m

> = < F

n m 1

F

n m

; N

n m

> =

n m

;

w h e r e N

n m

i s a n o r m a l v e c t o r t o P

n m

( s e e F i g . 7 ) .

R e m a r k . A m e a n c u r v a t u r e H f o r d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e s h a s b e e n d e -

n e d i n 4 ] . D e n i t i o n 7 c o r r e s p o n d s t o t h e s p e c i a l c a s e H = 0 o f t h e d e n i t i o n

o f t h e d i s c r e t e c o n s t a n t m e a n c u r v a t u r e s u r f a c e s .

L e m m a 5 F o r a l l p o i n t s o f a d i s c r e t e i s o t h e r m i c m i n i m a l s u r f a c e

n m

=

i s c o n s t a n t o n Z

2

P r o o f . S i n c e t h e f o r m u l a s ( 3 6 ) f o r t h e n a n d m e d g e s o f a d u a l s u r f a c e

d i e r b y a s i g n , w e i n t r o d u c e 4 v e c t o r s

H = F

n + 1 m

F

n m

; H

0

= F

n 1 m

F

n m

;

V = F

n m

F

n m + 1

; V

0

= F

n m

F

n m 1

w i t h t h e b a s i c p o i n t a t t h e v e r t e x F

n m

. T h e n a l l t h e e n d p o i n t s o f t h e s e

2 1


22/26

Fn,mFn,m1

Fn,m+1

Fn+1,m

Fn1,m

Nn,m

Pn,m

F i g u r e 7 : D e n i t i o n o f d i s c r e t e m i n i m a l i s o t h e r m i c s u r f a c e s

v e c t o r s l i e i n a p l a n e P

n m

a n d

n m

i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s e t w o

p l a n e s ( F i g . 8 ) . I f w e i d e n t i f y F

n m

= F

n m

, f o r m u l a s ( 3 6 ) s h o w t h a t

a l l t h e p o i n t s F

n 1 m

; F

n + 1 m

, F

n m 1

, F

n m + 1

o f t h e d u a l s u r f a c e l i e o n a

s p h e r e S

n m

o f r a d i u s

1

2

n m

, w h i c h i s t h e i m a g e o f P

n m

u n d e r i n v e r s i o n

o f R

3

w i t h r e s p e c t t o t h e u n i t s p h e r e w i t h a c e n t e r a t F

n m

. T h e p o i n t s

F

n 1 m 1

; F

n + 1 m 1

; F

n + 1 m + 1

; F

n 1 m + 1

a l s o l i e i n S

n m

. I n d e e d , s i n c e F

i s

d i s c r e t e i s o t h e r m i c , F

n + 1 m + 1

l i e s i n a c i r c l e d e t e r m i n e d b y F

n m

; F

n + 1 m

,

F

n m + 1

, w h i c h l i e s i n S

n m

. S i x p o i n t s F

n m + 1

, F

n + 1 m + 1

, F

n m

, F

n + 1 m

, F

n m 1

,

F

n + 1 m 1

a r e c o m m o n f o r S

n m

a n d S

n + 1 m

, t h e r e f o r e t h e s e s p h e r e s c o i n c i d e

S

n m

= S

n + 1 m

;

n m

=

n + 1 m

A c t u a l l y w e p r o v e d a l r e a d y t h a t t h e d u a l s u r f a c e l i e s o n a s p h e r e . W i t h o u t

l o s s o f g e n e r a l i t y o n e c a n a s s u m e t h e n o r m a l i z a t i o n

= 1 = 2 ( 6 1 )

T h e n t h e d u a l s u r f a c e l i e s o n t h e u n i t s p h e r e . M o r e o v e r t h e G a u s s m a p N

o f F c o i n c i d e s w i t h F

T h e o r e m 8 T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t :

2 2


23/26

Fn,m

Fn+1,mFn1,m

Fn,m+1

Fn,m1

F*n,m+1 F*n1,m

F*n,m1F*n+1,m

Pn,m

Pn,m

Nn,m

HHV

V

F i g u r e 8 : D u a l d i s c r e t e m i n i m a l i s o t h e r m i c s u r f a c e

( i ) F : Z

2

! R

3

i s a d i s c r e t e i s o t h e r m i c m i n i m a l s u r f a c e n o r m a l i z e d b y

( 6 1 ) .

( i i ) T h e d u a l s u r f a c e F

: Z

2

! R

3

l i e s o n a s p h e r e a n d w i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y o n e c a n a s s u m e

F

= N : Z

2

! S

2

T h i s t h e o r e m a l l o w s u s t o p a r a m e t r i z e d i s c r e t e m i n i m a l s u r f a c e s b y " h o l o -

m o r p h i c " d a t a N

D e n i t i o n 8 A m a p g : Z

2

! R

2

= C i s c a l l e d d i s c r e t e h o l o m o r p h i c i f t h e

c r o s s - r a t i o o f a l l i t s e l e m e n t a r y q u a d r i l a t e r a l s a r e e q u a l t o - 1

q ( g

n m

; g

n + 1 m

; g

n + 1 m + 1

; g

n m + 1

) =

( g

n + 1 m

g

n m

) ( g

n m + 1

g

n + 1 m + 1

)

( g

n + 1 m + 1

g

n + 1 m

) ( g

n m

g

n m + 1

)

= 1 ;

g

n m

a r e c o m p l e x n u m b e r h e r e .

2 3


24/26

A d i s c r e t e i s o t h e r m i c s u r f a c e N : Z

2

! S

2

i n S

2

c a n b e o b t a i n e d f r o m

a d i s c r e t e h o l o m o r p h i c f u n c t i o n g : Z

2

! C b y s t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n

C ! S

2

( N

1

+ i N

2

; N

3

) = (

2 g

1 + g

2

;

g

2

1

g

2

+ 1

)

C o m b i n i n g t h i s f o r m u l a w i t h ( 3 6 ) o n e g e t s a n a n a l o g u e o f t h e W e i e r s t r a s s

r e p r e s e n t a t i o n i n t h e d i s c r e t e c a s e .

T h e o r e m 9 L e t g : Z

2

! C b e d i s c r e t e h o l o m o r p h i c . T h e n t h e f o r m u l a s

F

n + 1 m

F

n m

=

=

1

2

R e

1

g

n + 1 m

g

n m

( 1 g

n + 1 m

g

n m

; i ( 1 + g

n + 1 m

g

n m

) ; g

n + 1 m

+ g

n m

)

F

n m + 1

F

n m

=

=

1

2

R e

1

g

n m + 1

g

n m

( 1 g

n m + 1

g

n m

; i ( 1 + g

n m + 1

g

n m

) ; g

n m + 1

+ g

n m

)

d e s c r i b e a d i s c r e t e m i n i m a l i s o t h e r m i c s u r f a c e . A l l d i s c r e t e m i n i m a l i s o t h e r -

m i c s u r f a c e s a r e d e s c r i b e d i n t h i s w a y .

F i g u r e 9 : D i s c r e t e E n n e p e r s u r f a c e

2 4


25/26

T h e i d e n t i c a l m a p

g

n m

= n + i m

( w h i c h i s o b v i o u s l y d i s c r e t e h o l o m o r p h i c ) g e n e r a t e s t h e d i s c r e t e E n n e p e r

s u r f a c e ( F i g . 9 ) . T h e d i s c r e t e e x p o n e n t i a l m a p

g

n m

= e x p ( n + i m ) ; = 2 = N ;

w h e r e

= 2 a r c s i n h ( s i n

2

) ;

g e n e r a t e s t h e d i s c r e t e c a t e n o i d . ( F i g . 1 0 )

F i g u r e 1 0 : D i s c r e t e c a t e n o i d

R e f e r e n c e s

1 ] W . B l a s c h k e : V o r l e s u n g e n u b e r D i e r e n t i a l g e o m e t r i e I I I , B e r l i n ( 1 9 2 9 )

2 ] A . B o b e n k o : S u r f a c e s i n t e r m s o f 2 b y 2 m a t r i c e s . O l d a n d n e w i n t e g r a b l e

c a s e s , I n : F o r d y A . , W o o d J . ( e d s ) " H a r m o n i c M a p s a n d I n t e g r a b l e

S y s t e m s " , V i e w e g ( 1 9 9 4 )

2 5


26/26

3 ] A . B o b e n k o , U . P i n k a l l : D i s c r e t e S u r f a c e s w i t h C o n s t a n t N e g a t i v e G a u s -

s i a n C u r v a t u r e a n d t h e H i r o t a E q u a t i o n , S f b 2 8 8 P r e p r i n t N o . 1 2 7 ( 1 9 9 4 )

( t o b e p u b l i s h e d i n J o u r n . o f D i . G e o m . )

4 ] A . B o b e n k o , U . P i n k a l l : D i s c r e t e S u r f a c e s w i t h C o n s t a n t C u r v a t u r e a n d

I n t e g r a b l e S y s t e m s , ( i n p r e p a r a t i o n )

5 ] F . B u r s t a l l , U . H e r t r i c h - J e r o m i n , F . P e d i t , U . P i n k a l l : C u r v e d F l a t s a n d

I s o t h e r m i c S u r f a c e s , S f b 2 8 8 P r e p r i n t N o . 1 3 2 ( 1 9 9 4 )

6 ] P . C a l a p s o : S u l l a s u p e r c i e a l i n e e d i c u r v a t u r e i s o t h e r m e , R e n d . C i r c .

M a t . P a l e r m o 1 7 , 2 7 5 - 2 8 6 ( 1 9 9 2 )

7 ] J . C i e s l i n s k i , P . G o l d s t e i n , A . S y m : I s o t h e r m i c S u r f a c e s i n E

3

a s S o l i t o n

S u r f a c e s , S h o r t R e p o r t ( 1 9 9 4 )

8 ] D . F e r u s , F . P e d i t , U . P i n k a l l , I . S t e r l i n g : M i n i m a l T o r i i n S

4

, J . R e i n e

A n g e w . M a t h . 4 2 9 , 1 - 4 7 ( 1 9 9 2 )

9 ] F . P e d i t , H . W u : D i s c r e t i z i n g c o n s t a n t c u r v a t u r e s u r f a c e s v i a l o o p g r o u p

f a c t o r i z a t i o n s : t h e d i s c r e t e s i n e - a n d s i n h - G o r d o n e q u a t i o n s , P r e p r i n t

G A N G ( 1 9 9 4 )

2 6

Alexander Bobenko and Ulrich Pinkall- Discrete Isothermic Surfaces

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