Alex Clésio Nunes Martins - Federal University of Rio Grande do … · 2019. 1. 31. · Caos em...

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física Teórica e Experimental

Bacharelado em Física

Alex Clésio Nunes Martins

Uma Abordagem sobre Caos e Sistemas

Não-lineares para Graduação

Natal-RN

Junho de 2016

Alex Clésio Nunes Martins

Uma Abordagem Sobre Caos e Sistemas Não-lineares para

Graduação

Monogra�a de Graduação apresentada ao

Departamento de Física Teórica e Expe-

rimental do Centro de Ciências Exatas e da

Terra da Universidade Federal do Rio Grande

do Norte como requisito parcial para a obten-

ção do grau de bacharel em Física.

Orientador: Prof. Dr. Francisco Alexandre da

Costa

Natal�RN

Junho de 2016

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Martins, Alex Clésio Nunes. Uma abordagem sobre caos e sistemas não-lineares para graduação / Alex

Clésio Nunes Martins. - Natal, 2016. 47 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Francisco Alexandre da Costa. Monografia (Graduação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental.

1. Dinâmica – Monografia. 2. Ponto fixo – Monografia. 3. Bifurcação –

Monografia. 4. Diagrama de órbitas – Monografia. I. Costa, Francisco Alexandre da. II. Título.

RN/UF/BSE-CCET CDU: 531.3

Monogra�a de Graduação sob o título Uma Abordagem sobre Caos e Sistemas Não-lineares

para Graduação apresentada por Alex Clésio Nunes Martins e aceita pelo Departamento

de Física Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universi-

dade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca

examinadora abaixo especi�cada:

Dr. Francisco Alexandre da CostaOrientador

DFTE

UFRN

Dr. Luciano Rodrigues da SilvaDFTE

UFRN

Dr. Ananias Monteiro MarizDFTE

UFRN

Natal-RN, 10 de Junho de 2016.

Aos meus pais, João e Raimunda, à minha irmã

Aline e companheira Michelle Goertzen.

Agradecimentos

Aos meus pais, João Maria e Raimunda, os quais sempre me incentivaram a buscar o

conhecimento, não desistir dos meus sonhos e são meu exemplo de vida e me cativam pelo

companheirismo diário que eles têm.

À minha irmã Aline, a qual é mais do que uma irmã.

À minha companheira Michelle, pelas ótimas conversas, simplicidade, companheirismo e

amor que tem demonstrado. À sua curiosidade pelas Ciências Naturais e Sociais, a qual

me faz amá-la ainda mais.

Ao professor Francisco Alexandre, pela orientação e todo empenho demonstrado durante

disciplinas cursadas, diálogos sobre Física Teórica e sua fé em meu trabalho.

Ao Professor André Bessa, por toda a amizade demonstrada desde o meu primeiro ano

nesta Universidade. Seus ensinamentos e conselhos foram sempre muito bem-vindos.

Aos professores Leonardo Mafra, Felipe Bohn, Marcela C. Silvestre e Deusdedit Medeiros,

pelos ensinamentos no meu primeiro ciclo da Graduação na Escola de Ciências e Tecnolo-

gia, o que me levou a continuar estudando Matemática e Física, mantendo vivos os meus

objetivos pessoais.

Aos professores Raimundo Silva, Artur Carriço, João Medeiros, Ananias Monteiro e Car-

los Chesman, por todas as disciplinas ministradas, as quais sempre tentei aproveitar o

máximo que pude.

Aos meus amigos Giorgio André, Gabriel Fernandes, Letícia Goes, Kandice Barros e Ka-

renina Paiva, pela amizade e companheirismo de sempre.

À minha amiga Lívia Teixeira, por sua motivação cientí�ca, determinação pessoal para o

desenvolvimento da ciência com uso bené�co pera a sociedade e suas perguntas instigantes

a respeito de Física e Biologia.

Aos meus amigos Gustavo Miasato, Bernardo Odlavson, Guilherme Monteiro e Welling-

ton Júnior por serem bons amigos durante a graduação.

Ao meu amigo Francisco Valdécio, por ter se mostrado uma grande pessoa com vários

conselhos pertinentes para o meu sucesso e sempre se mostrar alegre mesmo quando mo-

mentos difíceis em sua vida pareceriam impossíveis de serem superados. Tenho ele como

um exemplo na minha vida.

Ao meu amigo Carlos Iglesias, por toda sua amizade desde que cheguei ao curso de Física

e seu exemplo de grande superação diante de sua trajetória. Também, por sempre lembrar

quão linda a Física é e a necessidade da pesquisa cientí�ca.

À todos os outros amigos que estiveram perto de mim durante esta Graduação.

Ao CNPq e programa Ciências Sem Fronteiras, que me trouxeram uma experiência única

no meu intercâmbio no Canadá.

Nothing in life is to be feared, it is only to be

understood. Now is the time to understand

more, so that we may fear less.

Marie Curie

Uma Abordagem sobre Caos e Sistemas Não-linearespara Graduação

Autor: Alex Clésio Nunes Martins

Orientador(a): Dr Francisco Alexandre da Costa

Resumo

Caos em sistemas determinísticos não-lineares tem se tornado um tópico muito divulgado e

estudado nas últimas décadas. Desde a sua descoberta em 1963, feita pelo cientista Edward

Lorenz, a teoria do caos vem sendo aplicada e tem se mostrado bastante importante

na análise de fenômenos naturais. Assim, resultando em aprimoramentos de teorias nas

áreas da metereologia, biologia, bolsa de valores, física, entre outras. Este trabalho é uma

abordagem sobre caos em sistemas dinâmicos determinísticos que busca trazer, para alunos

de gradação, fundamentos sobre a teoria do caos e como caos é atingido a partir de uma

dinâmica ordenada. Toda a análise do caos é feita para um sistema de crescimento de uma

espécie, conhecido como mapa logístico, passando pelo método do ponto �xo, bifurcações

e diagramas de órbitas, fractais, grá�cos de Poincaré e expoente de Lyapunov.

Palavras-chave: dinâmica, ponto �xo, bifurcação, diagrama de órbitas.

An Approach About Chaos and Nonlinear Systems forUndergraduation

Author: Alex Clésio Nunes Martins

Advisor: Francisco Alexandre da Costa

Abstract

Chaos in deterministic nonlinear systems has become a well studied and spread topic in

the last decades. Since its discovery in 1963, by the scientist Edward Lorenz, the theory of

chaos has been applied and it has shown very important in natural phenomena analysis.

Thus, enhancing theories such as metereology, biology, stock market, physics, etc. This

work is an approach about chaos in deterministic dynamical systems that tries to bring,

for undergraduate students, the fundamentals about the theory of chaos and how chaos is

attained from an orderly dynamic. The analysis of chaos is done for a system that descri-

bes the growth of a determined specie, passing through �xed point method, bifurcation

and orbit diagrams, fractals, Poincaré plots and Lyapunov exponents.

Keywords : dynamics, �xed point, bifurcation, orbits diagram.

Lista de �guras

1 Mapa logístico com a = 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2 f(x) e y = x. Os pontos de intersecção são os pontos �xos. . . . . . . . p. 20

3 visualização do método do ponto �xo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

4 a = 0.75 e x0 = 0.95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

5 a = 0.9 e x0 = 0.95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

6 a = 1.2 e x0 = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

7 a = 1 e x0 = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

8 f e f 2 para a = 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

9 f e f 2 para a = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

10 f e f 2 para a = 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

11 f e f 2 para a = 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

12 Encurvamento de uma viga por uma massa m. . . . . . . . . . . . . . . p. 32

13 Diagrama de Órbitas para o Mapa Logístico . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

14 Diagrama de Órbitas próximo à a = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

15 Mapa Logístico para a = 4.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

16 Trajetórias do mapa de Lorenz para σ = 10, b = 83e r = 28. . . . . . . p. 37

17 Atrator de Hénon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

18 Diagrama de órbitas para o mapa logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

19 Diagrama de órbitas ampliado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

20 Diagrama de órbitas ampliado em torno de a = 3.85. . . . . . . . . . . p. 41

21 Grá�co de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

22 Grá�co de Poincaré no regime caótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

23 Separação entre uma iteração e a próxima. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

24 Logaritmo da separação entre duas trajetórias no mapa de Lorenz. . . . p. 44

25 Expoente de Lyapunov em função do parâmetro a no mapa logístico. . p. 46

Sumário

1 Introdução p. 14

2 Método do Ponto Fixo p. 16

3 Bifurcações e Diagramas de Órbitas p. 31

4 Caos p. 36

4.1 Caos no Mapa de Hénon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

4.2 Caos no Mapa Logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

4.3 Grá�cos de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

4.4 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

5 Considerações �nais p. 47

Referências p. 48

14

1 Introdução

Caos em sistemas determinísticos não-lineares tem se tornado um tópico muito divul-

gado e estudado nas últimas décadas. Primeiro, porque a palavra �determinismo� remete-se

a uma ideia de previsão em sistemas dinâmicos, como mostra a Mecânica Newtoniana. No

entanto, para alguns sistemas não-lineares, o determinismo Newtoniano pode dar resul-

tados que não condizem com resultados experimentais. Para esses sistemas, a imprevisão

causada não vem da falta de determinismo, mas porque a complexidade da dinâmica

requer uma precisão que é impossível de calcular. Isto pode ser visto em sistemas onde

condições iniciais muito parecidas geram comportamentos muito diferentes (GERSHEN-

SON, 2003).

Sistemas caóticos são um simples subconjunto da dinâmica não-linear. Eles podem

conter algumas partes interagentes e seguir simples regras (leis da dinâmica), mas to-

dos esses sistemas tem uma sensível dependência em suas condições iniciais. Apesar de

sua simpli�cidade determinística, esses sistemas podem produzir, para longos períodos de

tempo, um comportamento imprevisível, e até mesmo divergente. Edward Lorenz descre-

veu caos como sendo �o presente determina o futuro, mas um presente aproximado não

determina um futuro aproximado� (BOEING, 2015). Edward Lorenz foi um meteorologista

do MIT que descobriu a sensível dependência nas condições iniciais do sistema de pre-

visão do tempo. Os resultados de suas simulações foram publicados no artigo (LORENZ,

1963) e resultaram na famosa pergunta �Será que o bater de asas de uma borboleta no

Brasil causaria um tornado no Texas?�. Essa pergunta nada mais é do que o famoso efeito

borboleta.

Apesar da grande descoberta de Lorenz, levou-se mais de uma década para que sua

pesquisa fosse amplamente disseminada em outras áreas do conhecimento cientí�co como:

biologia, geologia, �nanças, entre outras áreas. Felizmente, a Física está repleta de vá-

rios problemas excitantes que possuem, intrinsicamente, caráter não-linear, caótico e que

podem ser melhores explicados a partir de simulações computacionais. São exemplos: o

15

pêndulo simples, laser e mapa logístico para a análise de crescimento de uma espécie,

entre outros.

Este trabalho é uma abordagem sobre caos em sistemas dinâmicos determinísticos

que busca trazer, para alunos de gradação, fundamentos sobre a teoria do caos e como

atingimos o caos a partir de uma dinâmica ordenada. O sistema Físico escolhido foi o

mapa logístico para o crescimento de uma espécie. Esse é um sistema de simples formu-

lação matemática, que dependendo da taxa de crescimento da espécie pode levar ao caos.

O capítulo 2 apresenta o método do ponto �xo que é uma ferramenta importante para

encontrar os chamados pontos �xos de um sistema dinâmico. Enquanto que, o capítulo 3

traz as bifurcações e diagramas de órbitas que serão amplamente utilizados no capítulo 4.

Finalmente, o capítulo 4 trará o estudo do caos determinístico e os principais mecanismos

que caracterizam o caos determinístico e o diferencia de aleatoriedade.

16

2 Método do Ponto Fixo

Este capítulo será destinado ao estudo de uma classe de sistemas dinâmicos que são

discretos no tempo. Sistemas deste tipo são conhecidos como equações de diferenças, re-

lações de recorrência, mapas iterativos, ou simplesmente mapas . Mapas surgem como

uma ferramenta para analisar equações diferenciais, por exemplo, o mapa de Lorenz que

será mencionado no capítulo 4, ou modelos de fenômenos naturais como eletrônica digital,

bolsa de valores e no estudo de certas populações de animais onde gerações sucessivas não

coincidem (STROGATZ, 1994). A análise matemática de um sistema escolhido se dará a

partir do método do ponto �xo, isso porque o comportamento da dinâmica do sistema,

geralmente, tende para um ponto especí�co ou se afasta desse ponto após sucessivas itera-

ções. Estes são os chamados pontos �xos de um sistema dinâmico. O fato de termos uma

dinâmica dependente de um parâmetro variável, pode levar a resultados muito importantes

como a criação e destruição de pontos �xos e um caminho para o caos determinístico.

Um modelo muito estudado em caos e sistemas não-lineares é o modelo de crescimento

de uma espécie. Suponhamos que queremos saber o comportamento de crescimento ou di-

minuição de uma população em relação à população atual à medida que o tempo passa.

Denotando por xn a n−ésima geração, podemos nos perguntar: o que acontecerá com apopulação de determinada espécie à medida que o tempo passa? Ela irá aumentar, dimi-

nuir ou permanecer a mesma?

Uma simples modelagem matemática para esse sistema dinâmico é desenvolvida em

(DEVANEY, 1992). Primeiramente, vamos assumir que a geração sucessiva é diretamente

proporcional à geração atual. Matematicamente

xn+1 = axn (2.1)

17

onde a é um parâmetro do sistema que representa a taxa de crescimento ou fertilidade da

espécie. Assim, dada a população inicial x0, podemos determinar as gerações futuras

x1 = ax0

x2 = ax1 = a2x0

x3 = ax2 = a3x0

.

.

.

xn = anx0

É fácil notar que devido à este comportamento teremos

xn = anx0

Também nota-se que as gerações sucessivas dependem do valor do parâmetro a. Se o

parâmetro a é positivo, a população cresce e tende para o in�nito à medida que n cresce.

Por outro lado, se o parâmetro a é negativo, a população tende à extinção. Finalmente, se

a = 1, a população não varia à medida que o tempo passa. Esta é uma simples abordagem

do modelo de crescimento de uma espécie. Na vida real, a população de uma espécie não

tende para o in�nito.

Em busca de contornar o problema desta modelagem, adicionaremos a possibilidade

de uma saturação populacional. Isso signi�ca que a população tem limitadas fontes de co-

mida, o que limita o crescimento da espécie e leva à morte da espécie por falta de alimento.

Este é o chamado modelo logístico de crescimento populacional , ou simplismente

mapa logístico que é matematicamente escrito como

xn+1 = axn(1− xn) (2.2)

18

O parâmetro a continua sendo um indicador da fertilidade ou taxa de crescimento da

população, com limitadas fontes de comida. Através deste mapa, vemos que para uma

população saturada (xn = 1), a geração sucessiva se torna xn+1 = 0. Para entender o cres-

cimento ou diminuição da população atráves deste modelo, precisamos iteragir a função

logística

f(x) = ax(1− x)

Esta é uma função do segundo grau na variável x. Então, vemos que para atingir caos

não precisamos de funções com complicadas formas, mas deveremos saber como o caos se

desenvolve a partir de um comportamento �ordenado�. Utilizando o software MATLAB

versão R2015b-Student use, podemos ver que f(x) é uma parábola como mostra a �gura 1.

Figura 1: Mapa logístico com a = 2.5.

Fonte: Elaborada pelo autor

Podemos notar que este grá�co possui dois pontos de intersecção com o eixo x. Estes

pontos são chamados de zeros ou raizes da função f(x). Para a no intervalo [0, 4] e x em

[0, 1], obtemos a função parabólica f(x) no intervalo [0, 1].

Suponha que tenhamos o mapa

19

xn+1 = f(xn) (2.3)

De�nimos uma iteração funcional , ou regra de composição ◦ como sendo

f 2 ≡ f ◦ f (2.4)

Tal que

f 2(x) ≡ f(x) ◦ f(x) (2.5)

A n-ésima iteração de f é então

fn = f◦f...◦f (2.6)

Onde f é composta n vezes. É fácil mostrar a seguinte regra

fm◦fn = fn◦fm = fm+n (2.7)

Esta abordagem traz uma discretização do sistema dinâmico, e n pode ser considerado

como um determinado tempo t = n. Através do estudo da dinâmica, podemos acompanhar

as órbitas do sistema dinâmico ao longo do tempo. Ou seja

x0 → x1 → x2...→ xn

Agora, vamos introduzir o método do ponto �xo. Este método consiste em encontrar

os pontos �xos de uma dada função ou mapa a partir de um valor x0 que nada mais é do

que um �chute� inicial. Consideremos o mapa unidimensional da equação 2.3

xn+1 = f(xn)

diz-se que x∗ é um ponto �xo de 2.3 se

x∗ = f(x∗) (2.8)

20

Para estudar a estabilidade de x∗ deve-se veri�car o que ocorre com as sucessivas

iterações a partir de um ponto xn próximo de x∗ (PRADO; FIEDLER-FERRARA, 1995).

Existem pontos �xos que atraem ou repelem a evolução do sistema. Esses comportamentos

serão estudados neste capítulo e terão uma formulação matemática. Dado um �chute�

inicial x0 igual a um ponto �xo, o sistema permanecerá naquele ponto. No entanto, assim

que modi�camos in�nitesimalmente o valor do �chute� inicial, a solução se afastará de um

ponto �xo ou será atraída para ele.

Figura 2: f(x) e y = x. Os pontos de intersecção são os pontos �xos.


A �gura 2 mostra as funções f(x) e y = x no mesmo grá�co. Como podemos ver na

�gura acima, a reta intersecta a parábola duas vezes, então, existem dois pontos �xos.

Uma forma de identi�car os pontos �xos é utilizando o seguinte método: para um

�chute� inicial x0 encontramos o novo valor x1 = f(x0). Tendo x1, iteramos f(x) nova-

mente para encontrar x2, e assim por diante. Matematicamente, temos

x1 = f(x0)

x2 = f(x1)

x3 = f(x2)

.

.

21

.

xn+1 = f(xn)

Onde xn é a n-ésima iteração de x0. O conjunto de todas as iterações de uma função

é chamado de mapa desta função. Assim, se obtivermos o conjunto de iterações da função

logística, teremos o mapa logístico. Se o �chute� inicial for bom o bastante, o método con-

vergirá. Isso signi�ca que a cada iteração estamos mais próximo da solução desejada (ou

seja, o ponto �xo). Podemos escolher uma condição de parada do método, por exemplo,

podemos usar um número pré-de�nido de iterações ou um erro relativo. Isso fará com que

o programa escrito em alguma linguagem de computador tenha sua execução parada. Em

contraste, quando vemos que a cada iteração o valor da variável x está se distanciando de

x∗, dizemos que o método está divergindo.

Uma outra forma fácil de visualizar o que está sendo feito é desenhando gra�ca-

mente as funções y = x e f(x). Em seguida, conectando os pontos [(x0, x0), (x0, x1)],

[(x1, x1), (x1, x2)], ..., [(xn, xn), (xn, xn+1)], como podemos visualizar na �gura 3.

Figura 3: visualização do método do ponto �xo.


De acordo com esta �gura, com a = 2.5, vemos que a medida que iteramos a função a

partir do �chute� inicial x0 = 0.09, o método converge para x = 0.6. Então, o ponto �xo,

nesse caso, é x∗ = 0.6. Um fato interessante, a respeito desse ponto, é que se modi�carmos

o �chute� inicial x0 = 0.09 dentro do intervalo (0, 1), as órbitas continuarão tendendo à

22

x∗ = 0.6. Agora, modi�caremos o valor de a e veri�caremos a mudança que acontece na

forma da função e em seus pontos �xos. Já sabemos que para valores de a no intervalo

[0, 4] e xn no intervalo [0, 1], teremos um mapeamento dentro do próprio intervalo [0, 1].

É fácil ver que para a = 0, f(x) = 0, independente do �chute� inicial x0.

Figura 4: a = 0.75 e x0 = 0.95


A �gura acima foi obtida com um �chute� de x0 = 0.95 e tem como ponto �xo x∗ = 0.

Portanto, com a = 0.75, as órbitas tendem para x∗ = 0. Esse é o chamado ponto �xo

trivial . Agora, usemos a = 0.9 e o mesmo �chute� e veremos que o comportamento da

dinâmica é bastante similar ao caso anterior.

Figura 5: a = 0.9 e x0 = 0.95.


Notamos o mesmo comportamento para a �gura 5. Portanto, até agora, encontramos

23

apenas um ponto �xo e independentemente do �chute� inicial o sistema termina no mesmo

ponto �xo x∗ = 0 quando 0 < a < 1. Vamos estudar o mapa logístico para valores de a

maiores do que 1. Agora, com a = 1.2 e x0 = 0.8, obtemos x∗ = 0.1667. Podemos notar

que o comportamento do sistema mudou, e essa mudança está relacionada com o valor de

a. Isso porque, ao fazer a > 1, obtemos um novo ponto �xo que é diferente do ponto �xo

trivial. Gra�camente, temos

Figura 6: a = 1.2 e x0 = 0.8.


A mudança do sistema acontece quando a reta y = x toca a parábola em um outro

ponto além da origem. O valor do parâmetro a para que essa mudança aconteça é a = 1.

Figura 7: a = 1 e x0 = 0.8.


No caso a = 1, o ponto �xo é obtido assintoticamente. Isso signi�ca que o valor x∗ = 0

24

é obtido no limite n→∞. Ou seja, para um grande número de iterações. No entanto, seanalisarmos a função f , vemos que mesmo para valores de a > 1, o sistema permanecerá

em x∗ = 0 se o �chute� inicial for x0 = 0. Agora, qualquer �chute� inicial x0 6= 0, mesmomuito próximo do ponto �xo trivial x∗ = 0, leva a pontos afastados da origem. Nesse caso,

o sistema teve seu comportamento modi�cado em relação ao ponto �xo trivial. Portanto,

as órbitas do sistema f = f(x), para a > 1, serão atraídas para o ponto de intersecção da

parábola com a reta.

O ponto �xo está mudando à medida que variamos o valor de a. Existe uma forma de

analisar o comportamento do ponto �xo em função de a. Sabemos que a função f é dada

por

f(x) = ax(1− x) (2.9)

Então, o ponto �xo satisfaz a equação

x∗ = ax∗(1− x∗) (2.10)

Portanto, os pontos �xos são as raizes da equação 2.10

x∗ = 0, x∗ = 1− 1a

(2.11)

Fazendo a análise desses dois pontos, vemos que a primeira raiz tende para x∗ = 0

quando a ≤ 1, e se distancia quando a > 1, como foi visto nas �guras acima. Enquantoa segunda raiz está fora do intervalo [0, 1] para a < 1. Se a = 1, ambas raizes são iguais.

Agora, se aumentamos a, notaremos que as órbitas do sistema convergirão para (1− 1a),

que é um ponto atrator . Um ponto atrator é atribuído para pontos �xos que �puxam�

as órbitas para si. Esse mesmo ponto converge mais devagar quando nos aproximamos

de a = 3, e a convergência só é obtida quando n → ∞. Esse valor do parâmetro fazcom que o ponto �xo se comporte como no caso a = 1. Para valores de a > 3, o sistema

apresenta outro tipo de comportamento que será discutido mais adiante neste capítulo.

Vamos tentar reproduzir o que foi dito anteriormente nas três �guras seguintes.

A �gura 8 descreve as funções f e f 2 para um valor de a = 2.5. Vemos que as duas

funções só tocam a reta em um único ponto além do ponto �xo trivial. Isso por que as

órbitas estão sendo atraídas para o ponto �xo (1− 1a).

25

Figura 8: f e f 2 para a = 2.5.


Aumentando o valor de a = 2.5 para a = 3, as órbitas tendem assintoticamente para

o atrator, e convergirá no limite em que n → ∞. A mudança do sistema já pode serobservada na �gura 9.

Figura 9: f e f 2 para a = 3.


Aumentando a apenas um pouco acima do valor a = 3, podemos ver a partir da �gura

11, que o ponto atrator teve seu comportamento modi�cado, pois o sistema está tendo

suas órbitas alternadas entre dois valores. Agora temos um ciclo atrator de período

2. Um ciclo atrator de período m signi�ca que após determinado tempo t, as órbitas do

26

mapa se alternarão entre m valores. Por exemplo, se tivermos um ciclo de período 2, te-

remos duas órbitas que se repetirão após um certo número de iterações. Se o sistema está

em ciclo período 4, quatro órbitas se repetirão, e assim por diante para maiores ciclos.

A �gura 11, com a = 3.4, mostra claramente que temos 2 pontos que formam um ciclo

2 para a função f . Isso signi�ca que a medida que iteramos o mapa logístico, as órbitas

desse mapa se alternarão entre x∗1 e x∗2, onde x

∗1 e x

∗2 são os valores do ciclo 2.

Se iterarmos f 2, como mostra a �gura 10, com a = 3.1, veremos que o ciclo atrator

de período 2 terá os pontos x∗1 e x∗2 iguais a dois dos pontos �xos de f

2. Utilizamos aqui a

mesma ideia que usamos para encontrar os pontos �xos gra�camente para a função f . O

antigo ponto �xo (1− 1a) da função f também é um ponto �xo para f 2, mas ele não atrai

as órbitas como x∗1 e x∗2. Esse ponto �empurra� as órbitas em direção aos pontos �xos x

∗1

e x∗2 de f2.



Como exemplo, vamos usar o método do ponto �xo para checar o comportamento do

sistema. Uma vez que sabemos que a posição do ponto �xo é dada pela equação

x∗ = 1− 1a

(2.12)

e utilizando a = 3.4, deveríamos encontrar um ponto �xo da função f no ponto x∗ =

0.7059. Entretanto, as órbitas não estão convergindo para este ponto, mas sim, se alter-

27

nam entre dois valores, x∗ = 0.4520 e x∗ = 0.8422, como é mostrado na �gura 11.



Esses são os novos pontos �xos para f 2, como mencionado anteriormente. Além disso,

esses dois valores fazem parte do ciclo 2 da função f . Um outro fato interessante é que

após encontrados os pontos �xos, encontramos que

x∗1 = f(x∗2) (2.13)

x∗2 = f(x∗1) (2.14)

Podemos encontrar matematicamente os pontos �xos de f 2 usando o mesmo método

que utilizamos para encontrar os pontos �xos de f . Os pontos �xos de f 2 serão encontra-

dos a partir da seguinte equação

x∗ = f 2(x∗) (2.15)

onde

28

f 2(x∗) = a(ax∗(1− x∗))(1− ax∗(1− x∗)) (2.16)

Essa é uma equação do quarto grau em x e, portanto, possui 4 raizes ou ponto �xos.

Ora, já havíamos deduzido gra�camente que o sistema possuía 4 pontos �xos. Pode-se

observar que dois deles são os mesmos que tínhamos para f(x), e os outros dois são novos

pontos �xos.

Os fenômenos que aconteceram para a = 1 e a = 3, são chamados de duplicação de

período, e irão acontecer novamente para alguns outros valores de a, devemos destinar

esforço à uma formalização de como obtermos estas transições de períodos 2, 4, 8, ...,

2n, isso por que acima de a = 3 existem mais ciclos de períodos maiores. Primeiramente,

devemos formalizar matematicamente o comportamento do sistema quando variamos a e

assim geramos pontos que atraem ou repelem órbitas. Esses são chamados de pontos �xos

estáveis e instáveis. Dessa forma, se x∗ é um ponto �xo de f , esse ponto também será um

ponto �xo de fn (HU, 1982). Agora, faça

xn = x∗ + �n (2.17)

xn+1 = x∗ + �n+1 (2.18)

onde �n e �n+1 são erros.

Substituindo 2.17 em 2.18 e fazendo uma aproximação linear, obteremos

xn+1 = f(x∗ + �n) ≈ (x∗) + f ′(x∗)�n = x∗ + f ′(x∗)�n (2.19)

Portanto,

�n+1�n

= f ′(x∗) (2.20)

Este resultado diz que para |f ′(x∗)| > 1 teremos |�n+1| > |�n|, |�n+1| aumenta cada vezmais à medida que n aumenta. Já se |f ′(x∗)| < 1 teremos |�n+1| < |�n|, |�n+1| diminui cada

29

vez mais à medida que n aumenta. Portanto, um ponto �xo será estável se |f ′(x∗)| < 1.

Assim, olhemos para a função f e sua derivada f ′, onde a derivada de f é dada por

f ′(x) = a(1− 2x) (2.21)

Os pontos �xos são x∗ = 0 e x∗ = 1 − 1a. Para a < 1 só temos o ponto x∗ = 0 como

ponto �xo, a derivada de f neste ponto é

f ′(0) = a (2.22)

Portanto, |f ′(x∗)| < 1, e o comportamento das órbitas tende para x∗ = 0 para valoresde x0 entre (0, 1), como foi visto nas �guras 4 e 5, com a = 0.2 e a = 0.75, respectivamente.

Para 1 < a < 3, temos dois pontos �xos para o mapa logístico. No entanto, é fácil

notar que usando o ponto �xo x∗ = 0, obtemos f ′(0) = a > 1. Agora, aplicando x∗ = 1− 1a

na derivada de f , vemos que

f ′(1− 1a) = 2− a (2.23)

De modo que |f ′(x∗)| < 1, para aqueles valores de a mencionados acima. Podemosveri�car que a solução diverge de x∗ = 0 e converge para x∗ = 1− 1

anas �guras 2, 6 e 8,

as quais possuem 1 < a < 3.

Até agora só analisamos a estabilidade de pontos �xos quando |f ′(x∗)| < 1 ou|f ′(x∗)| > 1. Mas o que acontece quando |f ′(x∗)| = 1 para algum parâmetro a ? Em(FEIGENBAUM, 1983), o autor mostra que à medida que variamos o parâmetro e nos

aproximamos de a = 3, f entra em um ciclo de período 2 e dois novos pontos �xos são

criados em f 2. Os pontos �xos que são comuns à f e f 2 são instáveis, enquanto que os

dois novos pontos �xos de f 2 são estáveis. Podemos veri�car o que foi dito a partir das

�guras 8, 9 e 10. Na �gura 8, com a = 2.5, a reta toca as curvas f e f 2 em um único

30

ponto. Mas à medida que aumentamos o parâmetro para a = 3, o valor de mínimo de f 2

passa a diminuir e uma mudança começa a acontecer, como é mostrado na �gura 9. Já na

�gura 10, com a = 3.1, vemos que a reta toca f 2 em quatro pontos, dois pontos �xos de

f e outros dois novos pontos �xos de f 2.

Portanto, podemos a�rmar que um novo ciclo é criado quando |f ′(x∗)| = 1. A mesmaideia de estabilidade de pontos �xos, apresentada para f , pode ser aplicada para os pon-

tos �xos de f 2, f 4,..., fn, onde encontramos os pontos �xos da n−ésima função iteradae checamos a estabilidade daqueles pontos. Uma outra forma de analisar um sistema di-

nâmico é através de bifurcações e diagramas de órbitas . Esse tipo de diagrama será

apresentado no próximo capítulo.

31

3 Bifurcações e Diagramas deÓrbitas

A análise do mapa logístico no capítulo anterior se deu a partir do método do ponto

�xo. Neste capítulo é apresentado as chamadas bifurcações. Para um sistema unidimen-

sional podemos notar certa trivialidade, pois a função logística apenas depende de uma

variável. No entanto, também temos uma dependência no parâmetro a o qual pode le-

var a uma mudança no comportamento do sistema, como já foi visto. Então, a estrutura

qualitativa da dinâmica pode mudar a medida que variamos a. Em particular, pontos

�xos podem ser criados ou destruídos, ou ter sua estabilidade mudada. Essas mudanças

qualitativas na dinâmica são chamadas de bifurcações, e os valores do parâmetro os quais

as bifurcações ocorrem são chamados pontos de bifurcação (STROGATZ, 1994).

As bifurcações são importantes cienti�camente porque elas representam modelos com

transições e instabilidades quando algum parâmetro de transição é variado. Isso nos per-

mite estudar os limites da teoria e as consequências da extrapolação. Por exemplo, consi-

dere o desvio de uma viga ao equilibrarmos uma caixa de massa m sobre um dos extremos

da viga. Se a massa for muito leve, ela será facilmente equilibrada pela viga e continuará

estável na posição vertical. No entanto, se a massa m for maior do que a capacidade que

pode ser suportada pela viga, a posição vertical se tornará instável, e a viga pode se en-

curvar. Este exemplo é mostrado na �gura 12.

Aqui, a massa m é considerada um parâmetro de controle, e o encurvamento da viga

da posição vertical (equilíbrio) é considerada como uma variável dinâmica x.

Existem várias formas de bifurcações como: sela-nó, transcrítica e forquilha. O pri-

meiro tipo de bifucação é um mecanismo básico no qual pontos �xos são criados e des-

truídos. Na medida que o parâmetro é variado, os dois pontos �xos se movem na mesma

32

Figura 12: Encurvamento de uma viga por uma massa m.

Fonte: Retirada de (STROGATZ, 1994, p. 44).

direção e em sentidos diferentes, colidem, e se aniquilam mutuamente. O segundo tipo é

encontrado em sistemas que possuem um ponto �xo para todos os valores do parâmetro e

nunca pode ser destruído. Por exemplo, na função logística e em outros modelos simples

de crescimento de uma única espécie, existe um ponto �xo para o ponto inicial onde a

população começa do zero, independente da taxa de crescimento. No entanto, o ponto

�xo pode mudar sua estabilidade a medida que variamos o parâmetro a. A bifurcação

transcrítica é o mecanismo padrão para mudança de estabilidade (STROGATZ, 1994).

Finalmente, a bifurcação forquilha é comum em problemas físicos com simetria. Por

exemplo, problemas que possuem simetria espacial entre a direita e a esquerda. Nestes

tipos de simetria, pontos �xos tendem a aparecer e desaparecer em pares simétricos. No

exemplo da viga representado pela �gura 12, a viga é estável para pequenos valores de

massa m. Dessa forma, existe um ponto �xo estável na posição de encurvamento zero.

Mas se a massa m excede o limite que a viga suporta, a viga pode então se encurvar em

relação à posição vertical. Agora, a posição vertical não é mais estável, e dois pontos-�xos

simétricos foram criados. Na perspectiva da �gura 12, a viga poderia se encurvar tanto

para a esquerda quanto para a direita.

Vamos continuar trabalhando com o mapa logístico, mas agora traremos uma repre-

sentação de diagramas de órbitas. Para o mapa logístico que trabalhamos no capítulo

anterior, tínhamos uma função f = f(x) que estava limitada entre [0, 1], com os valores

da variável x no mesmo intervalo. O tipo de bifurcação encontrada para o mapa logístico é

a bifurcação transcrítica. Como discutido acima, essa bifurcação se dá através da mudança

de estabilidade do ponto �xo encontrado na origem do sistema. Diagramas de órbitas são

ferramentas práticas para observar o que acontece em uma dinâmica. Basicamente, vamos

33

mostrar gra�camente o valor do parâmetro onde a dinâmica tem se concentrado depois de

algumas iterações iniciais, o que representa um ponto atrator, ciclo ou atrator estranho

(GERSHENSON, 2003).

Apresentamos um pseudo-código para um simples programa de computador para ge-

rar diagramas de órbitas. Primeiramente, escolha um valor de a. Gerando uma órbita que

começa de um chute inicial aleatório x0, itere por 300 ciclos ou mais, para permitir que

o sistema se estabilize para o seu eventual comportamento. Uma vez que o período tran-

siente do sistema decaiu, gere gra�camente os pontos x301, ..., x600 para aquele a. Assim,

repete-se o mesmo procedimento para um valor adjacente de a. Seguindo esta ideia, a

�gura 13 é gerada no MATLAB versão R2015b-Student use:

Figura 13: Diagrama de Órbitas para o Mapa Logístico

Fonte: Elaborada pelo autor.

Podemos ver claramente todos os resultados observados anteriormente, e um pouco

mais. Para 0 < a < 1, x∗ = 0 é um ponto atrator estável. Quando a = 1, um ponto de

bifurcação é atingido. Para valores de a no intervalo (1, 3), o ponto atrator será dado por

1− 1a, como foi mostrado pelo método do ponto �xo. Durante a apresentação do método

ponto �xo, foi mostrado que para alguns valores maiores que a = 3 o sistema entrava em

um ciclo de período 2, e que continuando com a variação o sistema duplica seu período

para 4, 8, 16, 32, 64, .... Isso acontece porque a = 3 é um outro ponto de bifurcação. Vamos

checar esta �gura mais de perto, próximo de a = 3.

Na �gura 14, notamos que a medida que um ponto de bifurcação é atingido, a próxima

34

Figura 14: Diagrama de Órbitas próximo à a = 3.


bifurcação se torna mais próxima da anterior. Vamos de�nir a1, a2, ..., an, como sendo os

valores do parâmetro para os quais bifurcações ocorrem. Por exemplo, o primeiro ponto

de bifurcação foi em a1 = 1, o segundo em a2 = 3 e o terceiro em torno de 3.45. Vamos

analisar o diagrama de órbitas para valores de 3.4≤a≤4. Para a = 3.4, o atrator é deperíodo 2, como indicado pelos dois ramos representados na �gura 14. A medida que a

aumenta, os dois ramos se dividem simultaneamente, resultando em um ciclo de período

4. Esta divisão é uma bifurcação que representa a duplicação do período. A medida que a

aumenta mais, mais divisões acontecem duplicando o período para 8, 16, 32... . De acordo

com (STROGATZ, 1994) este processo se mantém até que a = a∞ ≈ 3.57, e o mapa começaa apresentar comportamento caótico e o atrator muda de um conjunto �nito de pontos

para um in�nito conjunto de pontos. A �gura 15 mostra que as órbitas do sistema não

tendem para um único ponto �xo, mas �cam oscilando e tendem a ocupar todo o intervalo

[0, 1] como também mostra a �gura 14.

Para a > a∞, o diagrama de órbitas da �gura 14 revela uma mistura inesperada de

ordem e caos, com janelas periódicas intercaladas entre núvens caóticas de pontos. A

janela começa próximo de a≤3.83 que contém um ciclo estável de período 3 (STROGATZ,1994). Estas janelas periódicas duplicam seus períodos para 6, 12, 24, ... e chegando, as-

sim, a uma região caótica novamente. Esse é um resultado surpreendente, mas ainda

melhor, podemos dizer que existem mais outras janelas de períodos diferentes, emergindo

de pontos de acumulação. Na verdade, pode ser provado que neste diagrama de bifurcação

existem órbitas de período n para todos os naturais n (GERSHENSON, 2003).

35

Figura 15: Mapa Logístico para a = 4.0.


Para um estudo mais aprofundado sobre os tópicos discutidos neste capítulo, sugere-se

as seguintes referências: (STROGATZ, 1994) e (PRADO; FIEDLER-FERRARA, 1995).

36

4 Caos

Apesar de um dado sistema ser determinístico e por causa dele ser não-linear, podemos

ter soluções que divergem entre si para diferentes condições iniciais. Essas divergências po-

dem não ser aparentes para pequenos intervalos de tempo, mas para pequenas diferenças

em condições iniciais e um longo período de tempo, notamos a diferença de comporta-

mento das soluções.

Caos em sistemas determinísticos não-lineares foi observado, primeiramente, pelo ci-

entista meteorológico Edward Norton Lorenz e divulgado em (LORENZ, 1963). Ele traba-

lhava em modelos para a previsão do tempo e com programas que eram baseados em 12

variáveis, que representavam, por exemplo: pressão, temperatura, velocidade do vento e

etc. Essas variáveis podem ser representadas em grá�cos em função da variável temporal.

Lorenz notou que arredondando uma condição inicial de seu sistema de 0.506127 para

0.506, acarretaria em uma mudança no comportamento de sua solução para um período

de dois meses de simulação computacional (DIZIKES, 2011). Este resultado inesperado

levou Lorenz a ter uma ideia a respeito de como a natureza evolui no tempo: pequenas

mudanças podem ter grandes consequências à longo prazo. Essa conclusão é hoje conhe-

cida como o �efeito borboleta�, pois o próprio Lorenz propôs a seguinte questão: Será que

o bater de asas de uma borboleta no Brasil causaria um tornado no Texas?

As equações diferenciais que Lorenz utilizou para representar o seu sistema foram:

ẋ = σ(y − x)ẏ = rx− y − xzż = xy − bz

(4.1)

Aqui, σ, r, b > 0 são parâmetros. Em (STROGATZ, 1994), o autor dedica um capítulo

37

inteiro a respeito das equações de Lorenz. Inclusive, ele traz a imagem a seguir que é

bastante característica do efeito borboleta. É aparente que as trajetórias deste sistema se

cruzem. Mas isso é apenas uma projeção de uma trajetória tridimensional em um plano

bidimensional. Em três dimensões não acontecem intersecções em uma trajetória anterior

(STROGATZ, 1994).

Figura 16: Trajetórias do mapa de Lorenz para σ = 10, b = 83e r = 28.


Uma outra forma de referir-se ao efeito borboleta é dizer que o sistema tem uma

sensível dependência nas suas condições iniciais. Estes são sistemas que levam ao caos de-

terminístico e uma conclusão importante é que prever o futuro pode ser quase impossível

para longos períodos de tempo. Infelizmente, o trabalho de Lorenz levou mais de uma

década para ser bem divulgado em meios cientí�cos que não tratavam de meteorologia.

No entanto, durante as décadas de 1970 e 1980, sua descoberta foi reconhecida como o

princípio da teoria do caos e ajudou no desenvolvimento de áreas como meteorologia,

geologia e biologia.

Na década 1980, vários cientistas já haviam notado que o trabalho de Lorenz levou

à uma nova perspectiva para o conhecimento clássico da natureza. As leis da Mecânica

desenvolvidas por Sir Isaac Newton e publicadas em 1687 sugerem que sistemas mecânicos

são previsíveis. Ou seja, a incerteza ou o imprevisível não pode ser considerado dentro da

Mecânica Newtoniana. Todos os eventos são determinados pelas condições iniciais. Mas,

em seu trabalho, Lorenz utilizou seu sistema simpli�cado com três equações determinís-

38

ticas (mostradas acima) para demonstrar que pequenas mudanças na precisão de suas

simulações importavam, tanto que a imprecisão intrínseca na medição humana poderia se

tornar um grande acréscimo em previsões do tempo (DIZIKES, 2011). Se pararmos para

pensar a respeito deste novo conceito, podemos ver o quão chocante ele foi para a comu-

nidade cientí�ca da época. O determinismo era sinônimo de previsão matemática para

sistemas de condições iniciais, ou seja, dada as equações de movimento de uma partícula

de massa m e condições iniciais podemos dizer onde uma partícula estará depois de um

tempo t. Agora, vemos que equações determinísticas não-lineares podem trazer previsões

para pequenos períodos de tempo, mas não podemos garantir o mesmo para longos pe-

ríodos de tempo. E isso é o que é chamado de caos determinístico.

4.1 Caos no Mapa de Hénon

O mapa de Hénon é um dos mais simples mapas bidimensionais que exibem compor-

tamento caótico. Este mapa é uma abordagem reduzida do estudo da dinâmica do sistema

de Lorenz (WEN, 2014). O mapa de Hénon é dado pelas seguintes equações:

xn+1 = 1− ax2n + bynyn+1 = xn

(4.2)

Podemos encontrar os pontos �xos deste sistema ao tomarmos

(xn+1, yn+1) = (xn, yn) = (x0, x0)

e substituir em 4.2. Portanto,

x0 =−(1− b)±

√(1− b)2 + 4a

2a(4.3)

O mapa de Hénon possui um atrator estranho para (a, b) = (1.4, 0.3) e é representado

na �gura 17. Um estudo do mapa de Hénon é feito em (WEN, 2014) com uma interpretação

Física do mapa de Hénon e comparação com o oscilador harmônico.

39

Figura 17: Atrator de Hénon.

Fonte: Retirada de (WEN, 2014, p. 2).

4.2 Caos no Mapa Logístico

Se faz necessária uma de�nição de caos, apesar que não há uma de�nição universal

para este fenômeno. De acordo com (STROGATZ, 1994), caos é um comportamento ape-

riódico a longo prazo em sistemas determinísticos que exibem sensível dependência em

condições iniciais. Primeiramente, �comportamento aperiódico a longo prazo� signi�ca que

existem trajetórias que não se estabilizam para pontos �xos, órbitas periódicas, ou órbitas

quasiperiódicas para longos períodos de tempo. Segundo, �determinístico� signi�ca que o

sistema não tem aleatoriedade. O comportamento irregular vem da não-linearidade do

sistema. Finalmente, �sensível dependência em condições iniciais� signi�ca que se modi�-

carmos as condições iniciais in�nitesimalmente, o resultado será totalmente diferente ao

resultado anterior para um longo período de tempo.

Analisando o diagrama de órbitas apresentado pela �gura 18, notamos que acima de

uma taxa de crescimento a = 3.6 bifurcações acontecem mais rapidamente à medida que

variamos a. Essas bifurcações acontecem até que o sistema seja capaz de, eventualmente,

assumir qualquer órbita no intervalo [0, 1]. Isso é conhecido como o caminho de dupli-

cagem de período para o caos. À medida que variamos a, as órbitas do mapa logístico

variam entre 2, 4, 8, 16, ..., 2n valores. Quando chegamos à a = 3.9, o sistema tem tantas

bifurcações que até parece que as órbitas oscilam aleatoriamente entre todos os valores

da população. Apesar de parecer uma oscilação aleatória, ela não é. Este sistema segue

simples regras determinísticas que parecem ser aleatórias, mas não são. Este é o caos

determinístico e aperiódico (BOEING, 2015).

40

Figura 18: Diagrama de órbitas para o mapa logístico.


Vamos ampliar esta imagem e veri�cá-la entre 3.7 e 3.9.

Figura 19: Diagrama de órbitas ampliado.


Podemos observar na �gura 19, com a em torno de 3.83, que o sistema está em uma

dinâmica caótica, e então entra em um regime ordenado, oscilando apenas entre três ór-

bitas. Mas rapidamente, bifurca mais uma vez, e entra no regime caótico para valores

do parâmetro acima de 3.86. Nessa mesma �gura, pode-se notar que as bifurcações em

torno de a = 3.85 apresentam a mesma estrutura da �gura 18, ou mesmo da �gura 14.

Ampliando essa �gura em torno da bifurcação central, obtemos a �gura 20. Vemos que

essa �gura tem a mesma estrutura que foi produzida no diagrama de órbitas da �gura

14. Se continuarmos ampliando esse diagrama de órbitas, poderemos observar a mesma

41

estrutura a cada vez que o diagrama for ampliado.

Figura 20: Diagrama de órbitas ampliado em torno de a = 3.85.


No capítulo 3, foi mencionado que a região onde o regime caótico se inicia é aquela

que o sistema cobre todo o intervalo [0, 1]. Também foi dito que sistemas caóticos possuem

um atrator estranho. O sistema passa a oscilar em torno desse atrator estranho e nunca

se repete, ou seja, órbitas não se cruzam no regime caótico ou tem um comportamento

estacionário. Essa estrutura é caracterizada como um fractal (BOEING, 2015). Fractais

são auto-similares, o que signi�ca que eles possuem a mesma estrutura em todas as esca-

las. À medida que ampliamos uma estrutura fractal, encontraremos cópias da estrutura

original. Podemos observar, na �gura 20, as mesmas formas de bifurcações, o caos, e ciclos

que vimos no primeiro diagrama de órbitas que possui todo o intervalo para parâmetro a.

4.3 Grá�cos de Poincaré

No �m do século XIX, grandes progressos foram feitos na dinâmica gravitacional a

partir de trabalhos do matemático Henri Poincaré. Sir Isaac Newton resolveu o problema

de dois corpos, no entanto os questionamentos de Poincaré acerca da estabilidade de cor-

pos celestes levou a análise do problema de três corpos de uma visão quantitativa para

uma visão qualitativa. Sua abordagem geométrica foi tão poderosa que atualmente pode-

mos aplicar a teoria de sistemas dinâmicos em áreas do conhecimento cientí�co totalmente

diferentes da mecânica gravitacional (PINTO, 2007). Então, uma outra forma de visualisar

42

o caos determinístico é através de um grá�co de Poincaré , que possui os valores xn+1

no eixo y e xn no eixo x. Para o mapa logístico, com a = 2.5 e a = 3.55, temos os seguintes

grá�cos de Poincaré. Na �gura 21, o grá�co de Poincaré do lado esquerdo mostra que para

a = 2.5, temos apenas um ponto �xo atrator em x∗ = 0.6. Enquanto que o grá�co da

direita mostra que para a = 3.55, temos o sistema orbitando em torno de oito pontos �xos

atratores, este é um ciclo de período 8. Na �gura 22, com valores maiores de a, pode-se

observar o caminho para o caos e a forma geométrica que os grá�cos de Poincaré possuem.

Isto é, as órbitas não se cruzam à medida que o tempo passa.

Figura 21: Grá�co de Poincaré.


Figura 22: Grá�co de Poincaré no regime caótico.


O grá�co à esquerda, é uma parábola formada a partir do parâmetro a = 3.95. En-

43

quanto que o grá�co da direita representa vários paramêtros no intervalo [3.6, 4]. Esse

intervalo representa o regime caótico: o intervalo de valores do paramêtro que o mapa

logístico se comporta caoticamente. Cada curva é formada a partir de um valor do pa-

ramêtro. As parabólas nunca se sobrepõem, devido as suas geometrias fractais e a sua

natureza determinística do mapa logística (BOEING, 2015). Os atratores estranhos são

determinados a partir dessas formas, pois o sistema, de alguma forma, está contido nestas

parábolas. Mas as órbitas nunca tendem para um único ponto �xo, ou até mesmo uma

oscilação estacionária como foi o caso dos grá�cos de Poincaré da �gura 22. Elas apenas

passam a ocupar diferentes valores no intervalo [0, 1], sem nunca repetir valores dentro

desse intervalo.

4.4 Expoentes de Lyapunov

Já sabemos que sistemas caóticos possuem sensível dependência nas suas condições

iniciais. Isso signi�ca que duas trajetórias do mapa de Lorenz que começam muito próxi-

mas uma da outra (ou seja, condições iniciais muito próximas) vão se afastar rapidamente,

e se encontrarão em diferentes posições no futuro (STROGATZ, 1994). Agora, suponha que

o sistema decai no seu estado transiente, então a trajetória está no atrator. Suponha x(t)

é um ponto no atrator no tempo t, e considere um ponto próximo x(t) + δ(t), onde δ é

uma pequena separação do valor inicial δ0.

Figura 23: Separação entre uma iteração e a próxima.


Em estudos numéricos do atrator de Lorenz, encontra-se

||δ(t)|| ≈ ||δ0|| exp(λt) (4.4)

44

onde λ é o expoente de Lyapunov . Desde que as trajetórias vizinhas se separem ex-

ponencialmente. Equivalentemente, podemos desenhar gra�camente ln||δ(t)|| contra t,encontrando

Figura 24: Logaritmo da separação entre duas trajetórias no mapa de Lorenz.


O valor de λ é a inclinação da reta da �gura acima. No entanto, se faz necessária uma

abordagem mais simples para o cálculo de λ. Considere δn como sendo a separação depois

de n iterações. Se |δn| ≈ |δ0| exp(nλ), então λ é um expoente de Lyapunov. Um expoentede Lyapunov positivo é uma característica do caos. Tomando o logaritmo na equação 4.4

e notando que δn = fn(x0 + δ0)− fn(x0), podemos obter

λ ≈ 1nln |δn

δ0| (4.5)

o que leva à

λ ≈ 1nln|f

n(x0 + δ0)− fn(x0)δ0

| (4.6)

portanto,

λ ≈ 1nln|(fn)′(x0)| (4.7)

onde foi tomado o limite δ0 → 0. Expandindo o termo do logaritmo usando a regra da

45

cadeia:

(fn)′(x0) =n−1∏i=0

f ′(xi) (4.8)

Desde que

λ ≈ 1nln|

n−1∏i=0

f ′(xi)| =1

n

n−1∑i=0

ln|(fn)′(xi)| (4.9)

Se a última equação possui um limite �nito quando n→∞, temos de�nido o expoentede Lyapunov com órbita inicialmente no ponto x0:

λ = limn→∞{ 1n

n−1∑i=0

ln|(fn)′(xi)|} (4.10)

O expoente de Lyapunov depende da órbita inicial x0. Para pontos �xos estáveis e

ciclos, λ é negativo, enquanto que atratores caóticos possuem λ positivo.

A �gura a seguir é uma representação do expoente de Lyapunov em função do parâ-

metro a no mapa logístico.

Portanto, neste capítulo foi introduzido a ideia de caos determinístico, apresentando

rapidamente o mapa de Lorenz e o efeito borboleta. A partir de caos no mapa logístico,

foi apresentada a ideia de fractais, grá�co de Poincaré e expoente de Lyapunov. Fractais,

grá�cos de Poincaré e expoentes de Lyapunov são formas de caracterizar o caos deter-

minístico e diferenciá-lo de aleatoriedade em sistemas dinâmicos não-lineares. Fractais

possuem auto similaridade, ou seja, à medida que ampliamos a imagem em uma região

caótica, o sistema apresenta o mesmo comportamento. No caso de grá�cos de Poincaré,

a dinâmica �ca restrita a uma forma geométrica (uma parábola no caso do mapa logís-

tico). Enquanto que para valores �nitos e positivos do expoentes de Lyapunov, estamos

na dinâmica caótica.

46

Figura 25: Expoente de Lyapunov em função do parâmetro a no mapa logístico.


47

5 Considerações �nais

Neste trabalho foram desenvolvidas ideias básicas a respeito do caos determinístico,

passando por seu contexto histórico e a sua formulação matemática necessária para o seu

estudo como: o método do ponto �xo, bifurcações e diagramas de órbitas, fractais, grá-

�cos de Poincaré e expoentes de Liapunov. Dessa forma, uma simples abordagem sobre

caos determinístico para alunos de graduação foi apresentada a partir do mapa logístico.

Acredita-se que o estudo de caos em cursos de graduação se é necessário, devido a sua sim-

plicidade e abrangente aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento cientí�co como:

biologia, geologia, �nanças, física, entre outras.

Espera-se que possamos continuar trabalhando na divulgação de caos, mas agora,

escrevendo um texto para alunos do Ensino Médio, uma vez que o ferramental necessário

não é tão avançado como para outros tópicos do conhecimento cientí�co. Novos conceitos

como programação de computadores podem ser apresentados para alunos do Ensino Médio

de modo a despertar curiosidade a respeito da programação, dinâmica caótica e produção

de excitantes imagens fractais.

48

Referências

BOEING, G. Chaos Theory and the Logistic Map. 2015. Disponível em:. Acesso em: 19abr. 2016.

DEVANEY, R. L. A �rst course in chaotic dynamical systems: theory and experiment. 1.ed. [S.l.]: Perseus Books Publishing, L.L.C., 1992.

DIZIKES, P. When the Butter�y E�ect Took Flight. 2011. Disponível em:.Acesso em: 08 jun. 2016.

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Alex Clésio Nunes Martins - Federal University of Rio Grande do … · 2019. 1. 31. · Caos em...

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